SECCIONES CÓNICAS 1. Investiga: ¿porqué el nombre de cónicas

SECCIONES CÓNICAS
1. Investiga: ¿porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar?
2. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO: es una ecuación de la siguiente forma
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
3. LA CIRCUNFERENCIA
3.1. Definición: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El
punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.
3.2. Algunos elementos característicos:
C: centro de la circunferencia.
Segmento CP: radio.
Segmento DE: cuerda.
Segmento AB: diámetro. Mide el doble del radio.
Recta L: tangente en el punto T. El radio CT es perpendicular a L.
3.3. Ecuaciones: La circunferencia cuyo centro es el punto ( h, k ) y cuyo radio es la constante
r, tiene por ecuación
( x - h )2 + ( y - k )2 = r2 Ecuación ordinaria
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, es decir si h = 0 y
k = 0, entonces la ecuación sería
x2 + y2 = r2 Ecuación canónica
Si se desarrollan los cuadrados en la ecuación ordinaria y se organizan los términos
resultantes tenemos que
x2 + y2 - 2hx -2ky + h2 + k2 - r2 = 0
Comparando este resultado con la ecuación general de segundo grado tenemos
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación general de la circunferencia
con D = - 2hx, E = -2ky , F = h2 + k2 - r2
Entonces, según lo anterior podemos decir que una ecuación general de segundo grado
puede llegar a representar una circunferencia si A = 1, B = 0, C = 1.
3.4. Formas degeneradas o casos excepcionales:
3.4.1. ( x - h )2 + ( y - k )2 = 0, esta ecuación sólo se cumple para x = h e y = k, es decir, un
punto, este caso algunos autores lo llaman circunferencia de radio cero.
3.4.2. ( x - h )2 + ( y - k )2 = -r2, como la suma de los cuadrados de dos cantidades nunca
puede dar un número negativo en los reales, entonces, decimos que la ecuación no
representa ningún lugar geométrico.
4. LA PARÁBOLA
4.1. Definición: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de
un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta
fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la
directriz.
4.2. Algunos elementos característicos:
F: foco.
L: Directriz.
Eje: recta perpendicular a la directriz y que pasa por F.
R: punto de intersección del eje y la directriz.
V: vértice, punto medio del segmento RF. Diremos que la distancia del vértice al foco es
una cantidad |p|.
Segmento FQ: radio focal.
Segmento CD: cuerda, une dos puntos cualesquiera de la parábola.
Segmento AB: cuerda focal, es decir, cuerda que pasa por el foco.
Segmento GH: Lado recto, cuerda focal perpendicular al eje y que pasa por el foco.
Longitud del lado recto = |4p|
4.3. Ecuaciones.
4.3.1. La parábola cuyo vértice es el punto ( h, k ) y su eje es paralelo al eje coordenado
X, tiene por ecuación
( y - k )2 = 4p( x - h ) Ecuación ordinaria
Se dan dos casos: parábola abierta hacia la derecha ó parábola abierta hacia la
izquierda, para saber cuál es el caso se analiza el valor de p.
p>0
P<0
Foco: F(h+p,k)
Directriz: x = h - p
Eje: y = k
Si el vértice de la parábola coincide con el origen de coordenadas, es decir si h = 0
y k = 0, entonces la ecuación sería
y2 = 4px Ecuación canónica
4.3.2. La parábola cuyo vértice es el punto ( h, k ) y su eje es paralelo al eje coordenado
Y, tiene por ecuación
( x - h )2 = 4p( y - k ) Ecuación ordinaria
Se dan dos casos: parábola abierta hacia arriba ó parábola abierta hacia abajo,
para saber cuál es el caso se analiza el valor de p.
p>0
P<0
Foco: F(h,k+p)
Directriz: y = k - p
Eje: x = h
Si el vértice de la parábola coincide con el origen de coordenadas, es decir si h = 0
y k = 0, entonces la ecuación sería
x2 = 4py Ecuación canónica
4.3.3. Una ecuación de segundo grado en las variables x, y que carezca del término en xy
puede escribirse de la forma
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, la ecuación puede representar una parábola cuyo eje es
paralelo a (o coincide con) el eje X.
Si C = 0, A ≠ 0 y E ≠ 0, la ecuación puede representar una parábola cuyo eje es
paralelo a (o coincide con) el eje Y.
4.4. Formas degeneradas o casos excepcionales:
4.4.1. Si en la ecuación general A = 0, C ≠ 0 y D = 0 la ecuación representa dos rectas
diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún
lugar geométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean reales y desiguales,
reales e iguales o complejas.
4.4.2. Si en la ecuación general C = 0, A ≠ 0 y E = 0 la ecuación representa dos rectas
diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y, o ningún
lugar geométrico, según que las raíces de Ax2 + Dx + F = 0 sean reales y desiguales,
reales e iguales o complejas.
4.5. Aplicaciones de la parábola: Investigue y socialice en clase la información encontrada.
5. LA ELIPSE
5.1. Definición: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una
constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman
focos de la elipse. La definición de una elipse excluye el caso en que el punto móvil esté
sobre el segmento que une los focos.
5.2. Algunos elementos característicos:
F1 Y F2: focos. La distancia de un foco al centro es c.
L1: Eje focal, recta que pasa por los dos focos.
L2: Eje normal, recta que pasa por C y es perpendicular al eje focal.
V1 y v2: vértices, puntos donde el eje focal corta la elipse. La distancia de un vértice al
centro es a.
Segmento V1V2: eje mayor.
Segmento Q1Q2: eje menor. La distancia de un vértice sobre el eje menor al centro es b.
C: centro.
Segmento F1P: radio focal.
Segmento F2P: radio focal
Segmento ET: diámetro, cuerda que pasa por el centro.
Segmento SD: cuerda, une dos puntos cualesquiera de la elipse.
Segmento AB: cuerda focal, es decir, cuerda que pasa por el foco.
Segmento GH: Lado recto, cuerda focal perpendicular al eje focal y que pasa por el foco.
5.3. Ecuaciones.
5.3.1. La elipse cuyo centro es el punto ( h, k ) y eje focal paralelo al eje coordenado X,
tiene por ecuación
𝒙−𝒉 𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚−𝒌 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 Ecuación ordinaria
Focos: F2(h+c,k), F1(h-c,k)
Eje focal: y = k
Eje normal: x = h
Vértices: V2(h+a,k), V1(h-a,k)
Vértices sobre el eje menor: Q1(h,k+b), Q2(h, k-b)
Longitud del lado recto: 2b2/a
Relación entre a, b y c: a2 = b2 + c2 y a>b
Excentricidad: e = (c / a) < 1
Si el centro de la elipse coincide con el origen de coordenadas, es decir si h = 0
y k = 0, entonces la ecuación sería
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
=𝟏
Ecuación canónica
5.3.2. La elipse cuyo centro es el punto ( h, k ) y eje focal paralelo al eje coordenado Y,
tiene por ecuación
𝒙−𝒉 𝟐
𝒃𝟐
+
𝒚−𝒌 𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏 Ecuación ordinaria
Focos: F2(h,k-c), F1(h,k+c)
Eje focal: x = h
Eje normal: y = k
Vértices: V2(h,k-a), V1(h,k+a)
Vértices sobre el eje menor: Q1(h+b,k), Q2(h-b, k)
Longitud del lado recto: 2b2/a
Relación entre a, b y c: a2 = b2 + c2 y a>b
Excentricidad: e = (c / a) < 1
Si el centro de la elipse coincide con el origen de coordenadas, es decir si h = 0
y k = 0, entonces la ecuación sería
𝒙𝟐
𝒃𝟐
𝒚𝟐
+ 𝒂𝟐 = 𝟏
Ecuación canónica
5.3.3. Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
puede representar una elipse de ejes paralelos a los coordenados
5.4. Formas degeneradas o casos excepcionales:
5.4.1. Un punto cuando en la ecuación ordinaria el término independiente es cero.
5.4.2. Ningún lugar geométrico en los reales si el término independiente en la ecuación
ordinaria es negativo.
5.5. Aplicaciones de la elipse: Investigue y socialice en clase la información encontrada.
6. LA HIPÉRBOLA
6.1. Definición: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es
siempre igual a una constante, menor que la distancia entre los dos puntos. Los dos
puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. La definición de una hipérbola excluye el
caso en que el punto móvil esté sobre el segmento que une los focos a excepción del
segmento comprendido entre ellos. Los focos y el punto medio de este segmento no
pueden pertenecer al lugar geométrico.
6.2. Algunos elementos característicos:
F1 Y F2: focos. La distancia de un foco al centro es c.
L1: Eje focal, recta que pasa por los dos focos.
L2: Eje normal, recta que pasa por C y es perpendicular al eje focal.
V1 y v2: vértices, puntos donde el eje focal corta la hipérbola. La distancia de un vértice
al centro es a.
Segmento V1V2: eje transverso.
Segmento QR: eje conjugado. La distancia Q al centro es b igualmente la distancia de R al
centro es b.
C: centro.
Segmento F1P: radio focal. Puede ser un foco de una rama y un punto de la otra rama.
Segmento ET: diámetro, cuerda que pasa por el centro.
Segmento SD: cuerda, une dos puntos cualesquiera de la hipérbola. No tienen que estar
en la misma rama.
Segmento MD: cuerda focal, es decir, cuerda que pasa por el foco.
Segmento GH: Lado recto, cuerda focal perpendicular al eje focal y que pasa por el foco.
Asíntotas: note que la hipérbola tiene dos rectas que son asíntotas oblicuas.
6.3. Ecuaciones.
6.3.1. La hipérbola cuyo centro es el punto ( h, k ) y eje focal paralelo al eje coordenado
X, tiene por ecuación
𝒙−𝒉 𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚−𝒌 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 Ecuación ordinaria
Focos: F2(h+c,k), F1(h-c,k)
Eje focal: y = k
Eje normal: x = h
Vértices: V2(h+a,k), V1(h-a,k)
Longitud del lado recto: 2b2/a
Relación entre a, b y c: c2 = a2 + b2 con a < c.
Excentricidad: e = (c / a) > 1
𝒃
Asíntotas: 𝒚 − 𝒌 = ± 𝒂 𝒙 − 𝒉
Si el centro de la hipérbola coincide con el origen de coordenadas, es decir si h = 0
y k = 0, entonces la ecuación sería
𝒙𝟐
𝒂𝟐
𝒚𝟐
− 𝒃𝟐 = 𝟏
Ecuación canónica
6.3.2. La hipérbola cuyo centro es el punto ( h, k ) y eje focal paralelo al eje coordenado
Y, tiene por ecuación
𝒚−𝒌 𝟐
𝒂𝟐
−
𝒙−𝒉 𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 Ecuación ordinaria
Focos: F2(h,k+c), F1(h,k-c)
Eje focal: x = h
Eje normal: y = k
Vértices: V2(h,k+a), V1(h,k-a)
Longitud del lado recto: 2b2/a
Relación entre a, b y c: c2 = a2 + b2 con a < c.
Excentricidad: e = (c / a) > 1
𝒂
Asíntotas: 𝒚 − 𝒌 = ± 𝒃 𝒙 − 𝒉
Si el centro de la hipérbola coincide con el origen de coordenadas, es decir si h = 0
y k = 0, entonces la ecuación sería
𝒚𝟐
𝒂𝟐
𝒙𝟐
− 𝒃𝟐 = 𝟏
Ecuación canónica
6.3.3. Si los coeficientes A y C son de signo diferente, la ecuación
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
puede representar una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados.
6.4. Formas degeneradas o casos excepcionales:
Un par de rectas que se cortan, cuando en la ecuación ordinaria el término independiente
es cero.
6.5. Aplicaciones de la hipérbola: Investigue y socialice en clase la información encontrada.
(Documento basado en el contenido de: Geometría analítica, Lehmann Charles. Gráficos creados en Geogebra).