Cónicas 1

Cónicas 1
La circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano que equidistan de uno fijo, C
(a,b), el centro. Esta distancia constante es el radio r=d(P,C)
Conocida la distancia entre dos puntos del plano la ecuación de la circunferencia de centro
el punto C(a,b) y radio r será:
(x-a)2+(y-b)2=r2
Desarrollando esta expresión obtenemos:
x2-2ax+y2-2by+a2+b2-r2=0 que escribiremos x2+mx+y2+ny+p=0
La tangente a la circunferencia de centro C(a,b) por el punto P(x0,y0) es la recta de vector
director perpendicular al (x0-a,y0-b), pasando por P:
y-y0=-[(x0-a)/(y0-b)](x-x0)
Ecuación de la circunferencia
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por
centro el punto C(-1,2) y pasa por el punto P(3,-1).
Falta determinar el radio que es la distancia CP:
r2=(-1-3)2+(2+1)2=16+9=25 ⇒ r=5
y la ecuación: (x+1)2+(y-2)2=25
que desarrollada : x2+y2+2x-4y=20
Comprueba
•Que la circunferencia
cuyo diámetro es el
segmento de extremos
(3,4),
(-3,-4), es x2+y2=25
Determinar el centro y el radio de la circunferencia de
ecuación x2+y2-4x+2y+1=0
-2a=-4 ⇒ a=2 y -2b=2 ⇒ b=-1
a2+b2-r2=1 ⇒ a2+b2-1=r2 ⇒ r2=5 y r=2
Recta tangente a una circunferencia
Ecuación de la recta tangente a la circunferencia
x2+y2-4x+2y=0 en el punto P(4,0).
El centro de la circunferencia es C(2,-1)
El vector CP=(2,1) es normal a la recta tangente,
luego ésta será de vector director (-1,2)
y que pasa por P(4,0)
Ecuación de la recta: y=-2·(x-4) ⇒ 2x+y=8
Ecuación de la circunferencia concéntrica con la de
ecuación x2+y2+4x=0 y tangente a la recta x-y=2 en
el punto (0,-2).
Centro(-2,0); radio r=d(C,r)=d(P,C)=4/√2;
Ecuación: x2+y2+4x-4=0
Calcula
•La tangente a la
circunferencia
x2+y2=25 por el punto
(3,4).
Potencia de un punto
respecto a una circunferencia
La potencia de un punto respecto a una
circunferencia es el producto de cualquier par de
segmentos que forman las rectas que pasan por P
con los puntos de corte con la circunferencia.
Observemos que si el punto es exterior a la
circunferencia los dos segmentos tienen la misma
orientación y el producto es positivo, mientras que si
es interior los segmentos tienen distinto sentido y el
producto es negativo.
Para calcular la potencia:
Pot(P,c)=(x0-a)2+(y0-b)2-r2
o bien Pot(P,c)=x02+mx 0+y02+ny+p
Comprobar si el punto P(6,4) es exterior, interior o
pertenece a la circunferencia de centro C(1,-1) y
radio r=3.
Circunferencia : x2+y2-2x+2y-7=0
Sustituyendo P(6,4): Pot(P,c)=62+42-2·6+2·4-7=41
Al ser un valor positivo indica que el punto
es interior a la circunferencia.
Eje radical
El eje radical de dos circunferencias es el lugar
geométrico de los puntos que tienen la misma
potencia respecto a ambas circunferencias. Se trata
de una recta perpendicular al segmento que une los
dos centros.
Calcular el eje radical de las circunferencias c1 de
Comprueba
• Que el eje radical de
las circunferencias que
pasan por el origen de
coordenadas y tienen
centros respectivos
(-3,0) y (2,0) es el eje
de ordenadas.
centro O1(-1,-2) y radio r1=4 y c2 de centro O2(3,1)
y radio r2=3.
Circunferencia c1: x2+y2+2x+4y-11=0
Circunferencia c2: x2+y2-6x-2y+1=0
Sea el punto P(x,y), debe ser pot(p,c 1)=pot(p,c2)
x2+y2+2x+4y-11= x2+y2-6x-2y+1
operando: 8x+6y=12 ⇒ 4x+3y=4
MATEMÁTICAS I
Mª José García Cebrian, 2006