Tema 1. Introducción a la Probabilidad

INTRODUCCIÓN A
LA PROBABILIDAD
José Luis Quintero
Experimento
aleatorio
Teoría
de
Conjuntos
Experimento
Binomial
Probabilidad
Teorema
de
Bayes
Técnicas
de
Conteo
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Postgrado de Investigación de Operaciones
Serie: Probabilidad y Estadística
INTRODUCCIÓN A
LA PROBABILIDAD
José Luis Quintero
Experimento
aleatorio
Teoría
de
Conjuntos
Experimento
Binomial
Probabilidad
Teorema
de
Bayes
Técnicas
de
Conteo
Universidad Central de Venezuela
Asignatura: Estadística
Caracas, Diciembre 2013
PRÓLOGO
ROBABILIDADES (ITEL-30205)
Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva
Distribución de frecuencias y medidas de localización
Lo malo de escribir libros es que se nos va la vida en rehacerlos
Alfonso Reyes
El presente material ha tenido un proceso de actualización permanente, iniciado ya
hace algunos años. En cada una de ellas, se han incluido nuevos temas y ejercicios, con lo cual
se ha venido enriqueciendo y mejorando su contenido, ajustándolo a las necesidades, para la
formación de profesionales y para estudiosos de la materia, que requieren de esta materia.
En esta edición, se han mejorado sustancialmente aspectos tales como su
diagramación, haciendo más agradable y hábil la presentación de los diferentes tópicos, además
en su contenido se han incluido, actualizado y revisado tópicos nuevos y problemas de
aplicación a fin de atender a las necesidades y consultas exigidas por estudiantes, profesionales
o personas que sin formación académica requieren de su utilización.
José Luis Quintero
José Luis Quintero
OBJETIVOS A
LOGRAR
ROBABILIDADES (ITEL-30205)
Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva
Distribución de frecuencias y medidas de localización
•
•
•
•
•
•
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•
•
•
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•
•
•
•
•
Definir experimento aleatorio, su propósito y sus tipos e ilustrar con ejemplos prácticos
Definir espacio muestral y sus tipos e ilustrar con ejemplos prácticos
Definir eventos y dar ejemplos de ciertos eventos característicos
Destacar ciertos experimentos aleatorios de interés
Destacar el uso de Diagramas de Venn para la comprensión del uso de eventos
Definir probabilidad
Discutir los dos enfoques hasta ahora conocidos para ilustrar el concepto de probabilidad
Trabajar mediante demostraciones y ejemplos algunos axiomas de la probabilidad
Definir combinatoria
Definir principio aditivo y principio multiplicativo e ilustrar con ejemplos
Definir permutaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos
Definir variaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos
Definir combinaciones sin repeticiones o con repeticiones e ilustrar con ejemplos
Trabajar mediante ejemplos los principios y usos de las técnicas de conteo
Definir probabilidad condicional, eventos independientes y probabilidad total
Definir diagrama de árbol y establecer su utilidad en el cálculo que involucra probabilidades
condicionales
Definir y aplicar el Teorema de Bayes
Definir y aplicar un Experimento de Bernoulli
Definir y aplicar un Experimento Binomial
Definir y aplicar un Experimento Multinomial
Definir y aplicar un Experimento Geométrico
Definir y aplicar un Experimento Binomial Negativo de orden r
Definir y aplicar un Experimento Hipergeométrico
Definir y aplicar un Experimento Multihipergeométrico
Definir y aplicar un Experimento de Poisson
Trabajar mediante problemas los principios y usos de la probabilidad condicional
José Luis Quintero
INDICE GENERAL
ROBABILIDADES (ITEL-30205)
Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva
Distribución defrecuencias y medidas de localización
1. Experimento aleatorio
1
1.1. Definición
1.2. Clasificación
1
1
1.3. Propósito de un experimento aleatorio
3
2. Espacio muestral de un experimento aleatorio
2.1. Definición
3
3
2.2. Clasificación
3
2.3. Cardinalidad de un conjunto C
2.4. Cardinalidad del espacio muestral
5
5
3. Eventos o sucesos
5
3.1. Definición
3.2. Algunos eventos de interés
5
6
3.3. Diagramas de Venn
6
4. Experimentos aleatorios de interés
4.1. Experimento de Bernoulli
7
7
4.2. Ejemplo ilustrativo
7
4.3. Experimento Binomial
4.4. Ejemplo ilustrativo
7
7
4.5. Experimento Multinomial
8
4.6. Ejemplo ilustrativo
4.7. Experimento Geométrico
8
8
4.8. Ejemplo ilustrativo
8
4.9. Experimento Binomial Negativo de Orden r
4.10. Ejemplo ilustrativo
8
8
4.11. Experimento Hipergeométrico
9
4.12. Ejemplo ilustrativo
4.13. Experimento Multihipergeométrico
9
9
4.14. Ejemplo ilustrativo
9
5. Probabilidad
5.1. Definiciones
5.2. Probabilidad (versión frecuencias relativas)
9
9
9
5.3. Ejemplos ilustrativos
5.4. Probabilidad (versión clásica – espacio muestral discreto y finito)
10
11
5.5. Probabilidad (versión clásica – espacio muestral continuo)
11
5.6. Axiomas de la probabilidad
6. Problemas resueltos
11
12
7. Principios de las técnicas de conteo
20
José Luis Quintero
7.1. Combinatoria
7.2. Prinicipio aditivo
20
20
7.3. Ejemplos ilustrativos
21
7.4. Principio multiplicativo
7.5. Ejemplos ilustrativos
21
21
8. Permutaciones
22
8.1. Permutaciones de n elementos sin repetición
8.2. Ejemplos ilustrativos
22
22
8.3. Permutaciones de n elementos con repetición
23
8.4. Ejemplo ilustrativo
9. Variaciones
23
23
9.1. Variaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones
23
9.2. Ejemplos ilustrativos
9.3. Variaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones
24
24
9.4. Ejemplos ilustrativos
24
10. Combinaciones
10.1. Combinaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones
25
25
10.2. Ejemplos ilustrativos
25
10.3. Combinaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones
10.4. Ejemplos ilustrativos
25
25
11. Problemas resueltos
26
12. Probabilidad condicional
12.1. Definición
40
40
12.2. Ejemplo ilustrativo
13. Eventos independientes
13.1. Dos eventos independientes
13.2. N eventos independientes
13.3. Ejemplos ilustrativos
14. Probabilidad total
14.1. Definición
14.2. Ejemplo ilustrativo
15. Diagrama de árbol
15.1. Definición
15.2. Ejemplos ilustrativos
16. Teorema de Bayes
16.1. Definición
16.2. Ejemplos ilustrativos
17. Experimento de Bernoulli
17.1. Definición
17.2. Ejemplos ilustrativos
18. Experimento Binomial
18.1. Definición
18.2. Ejemplos ilustrativos
19. Experimento Multinomial
19.1. Definición
José Luis Quintero
41
41
41
41
42
43
43
44
44
44
44
50
50
50
51
51
51
52
52
52
53
53
19.2. Ejemplo ilustrativo
20. Experimento Geométrico
20.1. Definición
20.2. Ejemplos ilustrativos
21. Experimento Binomial Negativo de Orden r
21.1. Definición
21.2. Ejemplos ilustrativos
22. Experimento Hipergeométrico
22.1. Definición
22.2. Ejemplo ilustrativo
23. Experimento Multihipergeométrico
23.1. Definición
23.2. Ejemplo ilustrativo
24. Experimento de Poisson
24.1. Definición
53
54
54
54
55
55
55
56
56
56
56
56
57
57
57
24.2. Ejemplo ilustrativo
25. Problemas resueltos
57
58
26. Problemas propuestos
71
José Luis Quintero
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
1. EXPERIMENTO ALEATORIO
1.1. Definición (Experimento aleatorio). Experimento en el cual no se puede predecir el
resultado antes de realizarlo. Para que un experimento sea aleatorio debe tener al menos
dos resultados posibles.
1.2. Clasificación:
a. Simple.
Ejemplos:
• Lanzamiento de una moneda
Observación
• Lanzamiento de un dado
aleatorio no está radicado en el
• Escogencia al azar de una pelota de una
caja que contiene n pelotas negras y v
fenómeno, sino que es parte del
modelo que se construye para
1.
El
carácter
estudiarlo. Cuando se lanza una
pelotas verdes
• Escogencia al azar de una persona
• Inspección de calidad de un producto
moneda
con
el
propósito
de
observar si se obtiene cara o sello,
si
fabricado
• Anotación del sexo de un recién nacido
• Anotación de la duración de una llamada
consideran
todas
las
condiciones
mecánicas
que
determinan el lanzamiento y la caída
de
telefónica
se
la
moneda
(velocidad
inicial,
• Medición de la temperatura interna de un
tanque que contiene un fluido
peso, distribución de densidad,
forma y elasticidad del piso y de la
• Medición
que
moneda, etc) es probable predecir el
ingresan a una entidad bancaria en una
hora
resultado. Sin embargo, es sabido
que lo más frecuente es pensar el
del
número
de
personas
• Medición del tiempo entre llegadas de los
experimento
usuarios de un aeropuerto
• Elegir al azar una placa de un automóvil
resultados posibles (cara y sello), a
cada uno de los cuales se le asigna
compuesta por tres letras y tres números
asociándole
dos
una cierta medida.
• Elegir al azar un grupo de 5 personas de un
universo de 17 personas
• Elegir al azar un número de tres cifras entre 100 y 999
• Elegir al azar una forma de colocar 12 libros en una estantería
• Elegir al azar un código de área de cinco dígitos del 1 al 5 sin repeticiones
b. Compuesto. Implica la realización de varios experimentos simples de forma simultánea o
de forma sucesiva.
Ejemplos:
• Lanzamiento de un dado n veces
José Luis Quintero
1
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
• Lanzamiento de n dados de forma simultánea
• Lanzamiento de un dado y dos monedas
• Anotación de las n pelotas escogidas al azar
Observación
2.
Un
de forma sucesiva de una caja que contiene
experimento
n pelotas negras y v pelotas verdes donde
cada vez que se escoge y se anota una
ejecutado varias veces. El número
de resultados de este experimento
pelota, ésta es devuelta a la caja
simple pudiera no ser el mismo cada
• Anotación de las n pelotas escogidas al azar
de forma sucesiva de una caja que contiene
n pelotas negras y v pelotas verdes donde
simple
mismo
puede
ser
vez que se realiza. Esta observación
da origen a una clasificación de un
experimento compuesto.
cada vez que se escoge y se anota una
pelota, ésta no es devuelta a la caja
• Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma simultánea de una caja que
contiene n pelotas negras y v pelotas verdes
• Inspección de calidad de varios productos fabricados
b.1. Compuesto con independencia. Un mismo experimento simple es repetido varias
veces bajo las mismas condiciones sin alterar en cada ejecución el número de
resultados posibles
Ejemplos:
• Lanzamiento de un dado n veces
• Lanzamiento de n dados de forma
Observación 3. Un caso particular
simultánea
• Lanzamiento
de un experimento compuesto con
dos
independencia ocurre cuando se
realiza un MUESTREO ALEATORIO
• Anotación de las n pelotas escogidas al
azar de forma sucesiva de una caja
CON REPOSICIÓN (MACR). Esta
de
un
dado
y
monedas
que contiene n pelotas negras y v
situación es ilustrada en el ejemplo
de las pelotas negras y verdes.
pelotas verdes donde cada vez que se
escoge y se anota una pelota, ésta es
devuelta a la caja
• Inspección de varios productos fabricados
b.2. Compuesto sin independencia. Un mismo experimento simple es repetido varias
veces alterando en algunas o en todas las ejecuciones el número de resultados
posibles
Ejemplos:
Observación 4. Un caso particular
• Anotación de las n pelotas escogidas al
azar de forma sucesiva de una caja
de un experimento compuesto con
independencia ocurre cuando se
que contiene n pelotas negras y v
realiza un MUESTREO ALEATORIO
pelotas verdes donde cada vez que se
escoge y se anota una pelota, ésta no
SIN REPOSICIÓN (MASR). Esta
situación es ilustrada en el ejemplo
es devuelta a la caja
de las pelotas negras y verdes.
José Luis Quintero
2
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
• Anotación de las n pelotas escogidas al azar de forma simultánea de una caja que
contiene n pelotas negras y v pelotas verdes
1.3. Propósito de un Experimento Aleatorio. Define lo que se persigue observar después de
ejecutado el experimento aleatorio.
Ejemplos:
• Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado normal con dos caras blancas y
cuatro caras negras sobre una mesa circular. Algunos propósitos que pudieran ser
definidos sobre este experimento:
Propósito 1. Determinar el número obtenido en la cara superior del dado
Propósito 2. Determinar el color de la cara superior del dado
Propósito 3. Determinar la distancia entre el centro de la mesa y el punto central de la
cara inferior del dado
• Experimento aleatorio: Escogencia al azar de un estudiante de Ingeniería de una
universidad específica. Algunos propósitos que pudieran ser definidos sobre este
experimento:
Propósito 1. Determinar la edad de la persona
Propósito 2. Determinar el tipo de Ingeniería que estudia
Propósito 3. Determinar el último dígito de su cédula
2. ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO
d
2.1. Definición (Espacio muestral de un experimento aleatorio). Es el conjunto de todos
los posibles resultados de ese experimento. Se denotará con la letra S.
2.2. Clasificación:
a. Discreto y finito. El número total de resultados de ese experimento es un número finito.
Ejemplos:
• En el experimento aleatorio de lanzar una moneda con el propósito de determinar lo
que ocurrió en la cara superior, los posibles resultados son cara y sello. Luego el
espacio muestral puede escribirse como S = {cara, sello} . Este espacio muestral tiene
dos posibles resultados (Experimento de Bernoulli)
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el
número obtenido en la cara superior del dado, los posibles resultados son cada una de
las seis caras del dado. Este espacio muestral puede escribirse como S = {1, 2, 3, 4,5, 6}
con seis resultados
José Luis Quintero
3
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro
caras negras con el propósito de determinar el color de la cara superior del dado, los
posibles resultados son blanco y negro. El espacio muestral se escribe como
S = {blanco,negro} . Este espacio muestral tiene dos posibles resultados (Experimento
de Bernoulli)
• En el experimento aleatorio de lanzar dos dados con el propósito de observar el
número obtenido en la cara superior del primer dado y el número obtenido en la cara
superior del segundo dado, los posibles resultados son todos los pares al considerar
cada una de las seis caras de cada dado. Luego el espacio muestral puede escribirse
como S = {(i, j) / i, j = 1, 2, 3, 4,5, 6} . Este espacio muestral tiene treinta y seis posibles
resultados y es un espacio bidimensional
b. Discreto e infinito numerable. El número total de resultados de ese experimento es un
número infinito pero se pueden ordenar en una sucesión.
Ejemplos:
• En el experimento aleatorio de observar el número de personas que entran a un banco
durante un período de una hora, el espacio muestral puede escribirse como
S = {0,1,2,...} Este espacio muestral tiene infinitos resultados
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado tantas veces como sea necesaria hasta
que salga seis por primera vez con el propósito de determinar el lanzamiento donde
ocurre esto por primera vez, el espacio muestral puede escribirse como S = {1, 2,...}
Este espacio muestral tiene infinitos resultados (Experimento Geométrico)
c. Continuo. El número total de resultados de ese experimento es un número infinito que
no se puede ordenar en una sucesión. Aquí el conjunto de resultados viene dado por
intervalos.
Ejemplos:
• En el experimento aleatorio de medir el voltaje entre un cierto punto y tierra en el
circuito de un receptor de radio, el espacio muestral puede escribirse como
S = {v : 0 ≤ v ≤ vMAX } . Este espacio muestral tiene infinitos resultados
• En el experimento aleatorio de escoger un número aleatorio entre cero y uno en un
computador, el espacio muestral puede escribirse como S = {r : 0 ≤ r ≤ 1} . Este espacio
muestral tiene infinitos resultados
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal sobre una mesa circular con el
propósito de determinar la distancia entre el centro de la mesa y el punto central de la
cara inferior del dado, el espacio muestral puede escribirse como S = {r : 0 ≤ r ≤ R} ,
donde R representa el radio de la mesa. Este espacio muestral tiene infinitos
resultados
d. Mixto. El número total de resultados de ese experimento es un número infinito que no se
puede ordenar en una sucesión. Aquí el conjunto de resultados viene expresado por
números puntuales y también por intervalos
José Luis Quintero
4
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Ejemplo:
• Suponga que se tiene un sensor asociado a un medidor de temperatura del interior de
un tanque que contiene un fluido que debe apagar el sistema y marcar en el medidor
la temperatura de 0° C si la temperatura medida en el interior del tanque es menor que
10° C . De igual manera debe apagar el sistema y marcar en el medidor la temperatura
de 25° C si la temperatura medida en el interior del tanque supera los 20° C . En caso
contrario se debe reportar la temperatura real en el interior del tanque. El espacio
muestral puede escribirse como S = {T : 0,10 ≤ T ≤ 20, 25} . Este espacio muestral tiene
dos resultados puntuales y un intervalo, por lo tanto tiene infinitos resultados
2.3. Cardinalidad de un conjunto C. Es el número de elementos que posee el conjunto C. Se
denotará por NC .
2.4. Cardinalidad del espacio muestral.
Ejemplos:
• En el experimento aleatorio de lanzar una moneda con el propósito de determinar lo que
ocurrió en la cara superior, el espacio muestral S = {cara, sello} tiene cardinalidad 2, es
decir NS = 2
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número
obtenido en la cara superior del dado, el espacio muestral S = {1,2, 3, 4,5, 6} tiene
cardinalidad 6, es decir NS = 6
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro
caras negras con el propósito de determinar el color de la cara superior del dado, el
espacio muestral S = {blanco,negro} tiene cardinalidad 6, es decir NS = 6 . En este
ejemplo se puede afirmar que Nblanco = 2 y Nnegro = 4
• En el experimento aleatorio de lanzar dos dados con el propósito de observar el número
obtenido en la cara superior del primer dado y el número obtenido en la cara superior del
segundo dado, el espacio muestral S = {(i, j) / i, j = 1, 2, 3, 4,5, 6} tiene cardinalidad 36, es
decir NS = 36
3. EVENTOS O SUCESOS
3.1. Definición (Evento o suceso). Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se
denotan con las letras mayúsculas, por ejemplo, A,B,C.
José Luis Quintero
5
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
3.2. Algunos eventos de intéres:
a. Evento complemento de A. Es un
subconjunto del espacio muestral que contiene
elemental.
contiene
solamente
Es
un
un
5.
Consideraciones
acerca de los eventos o sucesos:
• Las notaciones más comunes
para el evento complemento de A
los resultados que no están en el evento A.
b. Evento
Observación
evento
que
resultado
del
experimento aleatorio.
son A’, A c y A
• El evento seguro es el espacio
muestral S
que
• El evento imposible es el conjunto
vacio ∅
contiene más de un resultado del experimento
aleatorio.
• Todos los eventos elementales
son mutuamente excluyentes
d. Evento seguro. Es un evento que contiene
todos los resultados del experimento aleatorio.
• Todos los resultados posibles de
un
espacio
muestral
son
mutuamente excluyentes
e. Evento imposible. Es un evento que no
contiene ningún resultado del experimento
• Los eventos
mutuamente
disjuntos
c. Evento
compuesto.
Es
un
evento
aleatorio.
f. Eventos
mutuamente
disjuntos).
Son
excluyentes
eventos
de
(o
intersección
vacía, es decir, que no poseen elementos
comunes.
g. k eventos colectivamente exhaustivos.
Son los eventos A1 , A2 , …, Ak del espacio
A
y
Ac
excluyentes
son
o
• Los eventos A y
son
Ac
colectivamente exhaustivos
• Todo evento elemental tiene
cardinalidad uno
• El
evento
imposible
cardinalidad cero
tiene
• El evento complemento de A
tiene cardinalidad igual a NS − NA
muestral S tales que A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak = S .
Ejemplos:
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número
obtenido en la cara superior del dado, algunos eventos compuestos que se pueden definir
son:
A = {cara i / i par} = {2, 4, 6} , B = {cara i / i primo} = {2, 3,5}
• En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propósito de determinar el número
obtenido en la cara superior del dado, el evento complemento de A viene dado por
A c = {cara i / i impar} = {1, 3,5}
3.6. Diagramas de Venn. Son ilustraciones usadas en la teoría de conjuntos. Se usan para
mostrar gráficamente conjuntos, representando cada uno mediante un círculo o un óvalo. La
figura 1 muestra Diagramas de Venn que ilustran cuatro situaciones de eventos mutuamente
excluyentes y colectivamente exhaustivos.
José Luis Quintero
6
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Figura 1. Cuatro situaciones ilustradas usando Diagramas de Venn
4. EXPERIMENTOS ALEATORIOS DE INTERÉS
4.1. Experimento de Bernoulli. Es un experimento aleatorio que posee solo dos resultados
posibles.
4.2. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae
una pelota al azar y se tiene como propósito determinar su color.
4.3. Experimento Binomial. Es un experimento aleatorio que consiste en la repetición
sucesiva de n veces el Experimento de Bernoulli bajo las mismas condiciones.
4.4. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae
una pelota al azar, se anota su color y se devuelve a la caja. Este procedimiento se ejecuta n
veces. El propósito final es determinar la cantidad de pelotas negras registradas y por ende
la cantidad de pelotas verdes.
José Luis Quintero
7
Probabilidad y Estadística
4.5. Experimento
experimento
Introducción a la Probabilidad
Multinomial.
aleatorio
que
Es
consiste
un
en
la
Observación
6.
acerca
los
de
Consideraciones
experimentos
repetición sucesiva de n veces un experimento
aleatorio simple que tiene m resultados bajo
aleatorios de interés:
las mismas condiciones.
• Si se asume el Experimento de
4.6. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n
pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas rojas.
Se extrae una pelota al azar, se anota su color y
se devuelve. Este proceso se ejecuta n veces. El
propósito es hallar la cantidad de pelotas negras,
pelotas blancas y pelotas rojas registradas.
Bernoulli como un experimento
aleatorio simple, entonces los
Experimentos
Binomial,
Mutinomial,
Geométrico
Binomial Negativo pueden
y
ser
considerados como experimentos
compuestos con independencia
• En los Experimentos Binomial y
4.7. Experimento
Geométrico.
Es
un
experimento aleatorio que consiste en la
repetición
sucesiva
del
Experimento
de
Multinomial se sabe de antemano
la cantidad de veces que se
repetirá
el
Experimento
de
Bernoulli bajo las mismas condiciones hasta
que se determina la ocurrencia de un evento
Bernoulli mientras que en
Experimentos
Geométrico
(previamente definido como éxito) por primera
Binomial Negativo de orden r esto
vez.
no se sabe a priori ya que la
ocurrencia
del
evento
4.8. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal
tantas veces como sea necesario hasta que se
obtenga seis por primera vez. Luego de ocurrido
lo anterior se detiene el proceso.
previamente
definido
los
y
es
considerada aleatoria o fortuita
• El
Experimento
considerado
un
Binomial
es
Experimento
Multinomial donde m = 2
4.9. Experimento Binomial Negativo de Orden
r. Es un experimento aleatorio que consiste en
la repetición sucesiva de del Experimento de
Bernoulli bajo las mismas condiciones hasta
que se determina la ocurrencia de un evento
(previamente definido como éxito) por r-ésima
vez.
• El Experimento Geométrico es
considerado
un
Experimento
Binomial Negativo de orden 1
• El
propósito
del
experimento
aleatorio para los experimentos
Geométrico y Binomial Negativo
de orden r es determinar en que
4.10. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal
tantas veces como sea necesaria hasta que salga
seis por tercera vez. Luego de ocurrido lo
anterior se detiene el proceso.
intento se detiene el proceso
• En los experimentos Geométrico
y Binomial Negativo de orden r el
espacio
muestral
tiene
cardinalidad infinita
José Luis Quintero
8
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
4.11. Experimento Hipergeométrico. Es un
experimento aleatorio que consiste en la
repetición sucesiva de n veces el Experimento
Observación
7.
acerca
los
de
Consideraciones
experimentos
aleatorios de interés:
de Bernoulli bajo condiciones distintas.
• Los
4.12. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n
pelotas negras y v pelotas verdes. Se extrae una
muestra de k pelotas. El propósito es hallar la
cantidad de pelotas negras y de pelotas blancas
contenidas en la muestra de tamaño k.
repetición
sucesiva
de
n
veces
considerados como experimentos
compuestos sin independencia
• En
4.13. Experimento Multihipergeométrico. Es un
experimento aleatorio que consiste en la
un
experimento simple de m resultados posibles
bajo condiciones distintas.
4.14. Ejemplo ilustrativo. Se tiene una caja con n
pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas
rojas. Se extrae una muestra de k pelotas. El
Experimentos
Hipergeométrico
y
Multihipergeométrico pueden ser
los
Experimentos
Binomial,
Multinomial,
Geométrico
y
Binomial Negativo de orden r se
realiza un MUESTRO ALEATORIO
CON REPOSICIÓN
• En
los
Hipergeométrico
Experimentos
y
Multihipergeométrico
se
realiza
un MUESTREO ALEATORIO SIN
REPOSICIÓN
propósito es hallar la cantidad de pelotas negras,
de pelotas blancas y de pelotas rojas contenidas
en la muestra de tamaño k.
5. PROBABILIDAD
5.1. Definiciones (Probabilidad)
• Es una manera de cuantificar la incertidumbre que existe en un experimento aleatorio
• Medida numérica del chance de ocurrencia de un evento
• Es una relación matemática que asigna a cada resultado del experimento aleatorio un
número real que se encuentra en el intervalo [0,1]
5.2. Probabilidad (Versión frecuencias relativas).
Sea un experimento aleatorio que se va a repetir
n veces y sea nA el número de esas veces que
Observación
8.
Consideraciones
ocurre el evento A, entonces la probabilidad del
acerca de la probabilidad:
• La probabilidad de un evento A se
evento A es el límite cuando n tiende a infinito de
la frecuencia relativa de A.
denotará P(A)
• Posibilidad ≠ Probabilidad
José Luis Quintero
9
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
La probabilidad del evento A se define como
nA
.
n →∞ n
P(A) = lím fA = lím
n →∞
La ecuación anterior no es práctica para calcular la probabilidad de A. En su defecto, se usa
la ecuación
nA
, cuando n es grande.
n
Este enfoque se le conoce como probabilidad a posteriori.
P(A) ≈
5.3. Ejemplos ilustrat¡vos:
Ejemplo 1. Se lanza una moneda 2000 veces y se calcula la frecuencia relativa del evento A
definido como “sale cara”. La sucesión de resultados del experimento se refleja en la figura 2
Probabilidad de que salga cara
LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 1 SIMULACIÓN
1
0.8
0.6
0.4
0
200
400
600
800
1000
Intentos
1200
1400
1600
1800
2000
1600
1800
2000
Probabilidad de que salga cara
LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 4 SIMULACIONES
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
1000
Intentos
1200
1400
Figura 2. Experimento de la moneda usando la versión de frecuencias relativas
Ejemplo 2. Se lanza un dado 2000 veces y se calcula la frecuencia relativa del evento A
definido como “sale tres”. La sucesión de resultados del experimento se refleja en la figura 3
Probabilidad de que salga tres
LANZAMIENTO DE UN DADO - 1 SIMULACIÓN
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
200
400
600
800
1000
Intentos
1200
1400
1600
1800
2000
1600
1800
2000
Probabilidad de que salga tres
LANZAMIENTO DE UN DADO - 4 SIMULACIONES
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
200
400
600
800
1000
Intentos
1200
1400
Figura 3. Experimento del dado usando la versión de frecuencias relativas
José Luis Quintero
10
Probabilidad y Estadística
5.4. Probabilidad
Introducción a la Probabilidad
(Versión
clásica
–
Espacio
muestral
discreto
y
finito).
Sea
un
experimento aleatorio cuyo espacio muestral es
discreto y finito de cardinalidad NS y sea un
evento
A
con
cardinalidad
NA ,
entonces
se
conocerá como probabilidad del evento A a la
relación entre NA y NS dada por
P(A) =
5.5. Probabilidad
muestral
(Versión
NA
.
NS
9.
• Para establecer la definición
clásica no es necesario realizar el
experimento, sólo analizar los
posibles resultados
• Si A es un evento elemental,
P(A) = 1 / NS .
En
entonces
clásica
Sea
continuo).
Consideraciones
acerca de la probabilidad:
Observación
un
–
Espacio
experimento
aleatorio cuyo espacio muestral es continuo, sea
L S la longitud del espacio muestral y sea L A la
longitud del evento A, entonces se conocerá como
probabilidad del evento A a la relación entre L A y
consecuencia
los
eventos
elementales son equiprobables
• La longitud del espacio muestral
continuo debe ser finita
L S dada por
P(A) =
LA
.
LS
5.6. Axiomas de la probabilidad:
• Para cualquier evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
•
•
P(S) = 1
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An ) − P(∩ dos eventos) + P(∩ tres eventos) + ... +
(−1)n +1P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An )
Si n = 2 : P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 ) ⇒ P(A1 ∪ A2 ) ≤ P(A1 ) + P(A2 )
Si n = 3 :
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P(A1) + P(A2 ) + P(A3 ) − P(A1 ∩ A2 ) − P(A1 ∩ A3 ) − P(A2 ∩ A3 ) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3 )
• Si A1 , A2 , ..., An son eventos mutuamente excluyentes,
 n

P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An ) ⇒ P 
Ai  =


 i =1 
∪
•
P(A) + P(A) = 1
•
•
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) + P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = 1
n
∑ P(A )
i
i =1
P(∅) = 0
José Luis Quintero
11
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
6. PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1.
Coloque al lado la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa
respectivamente.
a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un
V
F
resultado del experimento aleatorio
b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las
V
F
c. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento
vacio es igual a cero
V
F
d. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad
V
F
e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables
V
F
probabilidades de un evento y su complemento es igual a uno
SOLUCIÓN.
a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un resultado
V
F
del experimento aleatorio
b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las probabilidades
V
F
c. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento
vacio es igual a cero
V
F
d. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad
V
F
e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables
V
F
de un evento y su complemento es igual a uno
PROBLEMA 2.
Encierre en un círculo la letra que usted considere corresponde a la respuesta correcta.
1. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 , se
puede afirmar que P(A ∩ B) :
a. 0
b. 0.19
c. 0.81
d. 1
2. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números
obtenidos sea mayor o igual a 10 es equivalente a
a. 1/12
b. 1/6
c. 5/36
d. 5/6
3. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se
expresa como:
a. A1 ∩ A2 ∩ A3
b. A1 ∪ A2 ∪ A3
c. A1 ∩ A2 ∩ A3
d. Ninguna de las anteriores
José Luis Quintero
12
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
4. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona al
azar”. Sean los sucesos:
M: “la persona es mujer”,
R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”.
A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona
sombreada representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra
representado en el diagrama
D1
a. D1
D2
b. D2
D3
c. D3
D4
d. D4
SOLUCIÓN.
1. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 , se puede
afirmar que P(A ∩ B) :
a. 0
b. 0.19
c. 0.81
d. 1
2. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números
obtenidos sea mayor o igual a 10 es equivalente a
a. 1/12
b. 1/6
c. 5/36
d. 5/6
3. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se expresa
como:
a. A1 ∩ A2 ∩ A3
b. A1 ∪ A2 ∪ A3
c. A1 ∩ A2 ∩ A3
d. Ninguna de las anteriores
4. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona al
azar”. Sean los sucesos:
M: “la persona es mujer”,
R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”.
A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona sombreada
representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra representado en el
diagrama
D1
a. D1
José Luis Quintero
D2
b. D2
D3
c. D3
D4
d. D4
13
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 3.
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 determine:
a. P(A)
b. P(B)
c. P(A ∪ B)
d. P(A ∩ B)
e. P(A ∩ B)
f. P(A ∩ B)
SOLUCIÓN.
a. P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0.37 = 0.63
b. P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0.44 = 0.56
c. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.37 + 0.44 = 0.81
d. P(A ∩ B) = 0
e. P(A ∩ B) = P(A) = 0.37
f.
P(A ∩ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0.81 = 0.19
PROBLEMA 4.
Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea
mayor o igual a 9?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado dos veces
Propósito: Determinar en cada lanzamiento el número obtenido en la cara superior del dado
Aquí se tiene un experimento compuesto que resulta de llevar a cabo dos veces el experimento
simple del lanzamiento de un dado. De modo que NS = 6 × 6 = 36 .
Por otro lado el evento A: La suma de los resultados es mayor o igual a 9, ocurre si sucede alguna
de las siguientes situaciones:
El resultado del dado 1 es 3 y el resultado del dado 2 es 6
El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado 2 es 5
El resultado del dado 1 es 4 y el resultado del dado 2 es 6
El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado 2 es 4
El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado 2 es 5
El resultado del dado 1 es 5 y el resultado del dado 2 es 6
El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 3
El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 4
El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 5
El resultado del dado 1 es 6 y el resultado del dado 2 es 6
Se puede apreciar entonces que NA = 10 . Por lo tanto
P(A) =
NA 10
5
=
=
NS
36 18
PROBLEMA 5.
Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un dardo.
Si el dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el
premio?
SOLUCIÓN.
José Luis Quintero
14
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dardo
Propósito: Determinar si cae o no en la zona circular
Aquí se tiene un experimento donde el espacio muestral es continuo. Para determinar su
cardinalidad se procede a calcular el área del cuadrado, de modo que NS = L2 . Por otro lado, si se
define el evento A: el dardo cae en la zona circular, su cardinalidad es NA = πR 2 . En tal sentido,
2
P(A) =
NA
πR 2
R 
= 2 = π 
NS
L
L 
PROBLEMA 6.
Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones:
administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de
empleados en cada división clasificados por sexo:
Mujer (M) Hombre (H)
Totales
Administración (A)
Operación de planta (O)
20
60
30
140
50
200
Ventas (V)
100
50
150
Totales
180
220
400
a. Si se elige aleatoriamente un empleado:
• ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
• ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas?
• ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración?
b. Determine las siguientes probabilidades: P(A ∪ M) , P(A ∪ M) y P(O ∩ H)
SOLUCIÓN.
a.
Si se elige aleatoriamente un empleado:
• ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
SOLUCIÓN.
180
9
P(M) =
=
400 20
• ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas?
SOLUCIÓN.
150 3
P(V) =
=
400 8
• ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración?
SOLUCIÓN.
30
3
P(H ∩ A) =
=
400 40
b. Determine las siguientes probabilidades:
• P(A ∪ M)
SOLUCIÓN.
P(A ∪ M) = P(A) + P(M) − P(A ∩ M) =
José Luis Quintero
50
180
20
210 21
+
−
=
=
400 400 400 400 40
15
Probabilidad y Estadística
•
Introducción a la Probabilidad
P(A ∪ M)
SOLUCIÓN.
P(A ∪ M) = P(A) + P(M) − P(A ∩ M) =
•
50
220
30
240 3
+
−
=
=
400 400 400 400 5
P(O ∩ H)
SOLUCIÓN.
140
7
P(O ∩ H) =
=
400 20
PROBLEMA 7.
De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades
cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los
pacientes tenían uno u otro de los padecimientos?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar un paciente de la clínica
Propósito: Determinar el padecimiento o los padecimientos que tiene (si lo tiene o los tiene)
Espacio muestral: Todos los pacientes de la clínica. Cardinalidad = 150
Eventos: A: Paciente tiene enfermedad cardíaca
B: Paciente tiene diabetes
90
50
30
110 11
.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) =
+
−
=
=
150 150 150 150 15
En consecuencia, el porcentaje de los pacientes que tenían uno u otro de los padecimientos es
11 × 100
% ≈ 73.33% .
15
PROBLEMA 8.
Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se
encontró que 100 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este
grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar,
a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español?
b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas?
SOLUCIÓN.
a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar una tarjeta de registro de un estudiante
Propósito: Determinar el idioma o los idiomas que aprende (en caso de aprenderlo)
Espacio muestral: Todas las tarjetas de registro de los estudiantes. Cardinalidad = 200
Eventos: F: Estudiante aprende francés.
E: Estudiante aprende español
100
80
60
120 3
P(F ∪ E) = P(F) + P(E) − P(F ∩ E) =
+
−
=
= .
200 200 200 200 5
b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas?
SOLUCIÓN.
P(F ∩ E) = 1 − P(F ∪ E) = 1 −
José Luis Quintero
3 2
= .
5 5
16
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 9.
Un dado tiene tres caras negras numeradas 1, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y
numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número
par o una cara blanca?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado con tres caras negras numeradas 1, 2 y 3 y tres
caras blancas numeradas 4, 5 y 6.
Propósitos:
Propósito 1. Determinar si en la cara superior del dado aparece un número par o un número impar
Propósito 2. Determinar el color de la cara superior del dado
Espacio muestral:
Referido al propósito 1: S1 = {par,impar} . Referido al propósito 2: S2 = {negro,blanco}
NS1 = 6, NPAR = 3, NIMPAR = 3 .
NS2 = 6, NNEGRO = 3, NBLANCO = 3
Eventos A: Cara con un número par
B: cara de color blanco
3 3 2 4 2
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = + − = =
6 6 6 6 3
PROBLEMA 10.
Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional a
k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos:
a. El resultado de arrojar el dado es un número par
b. El resultado es menor que 6
SOLUCIÓN.
a. El resultado de arrojar el dado es un número par.
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado
Propósito: Determinar el número ocurrido en la cara superior del dado
Espacio muestral: S = {Ai : i = 1,..., 6} , donde Ai : Aparece la cara i.
Evento de interés: P = A2 ∪ A 4 ∪ A6 : Aparece un número par. Entonces
P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 ⇒ k + 2k + ... + 6k = 1 ⇒ 21k = 1 ⇒ k =
1
21
De modo que: NS = 21 . NA1 = 1, NA2 = 2, NA3 = 3, NA4 = 4, NA5 = 5, NA6 = 6 .
Por lo tanto
P(P) = P(A2 ∪ A 4 ∪ A6 ) = P(A2 ) + P(A 4 ) + P(A 6 ) =
2
4
6
12 4
+
+
=
=
21 21 21 21 7
b. El resultado es menor que 6.
SOLUCIÓN.
Evento de interés: B = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A 4 ∪ A5 = S − A6 : El resultado es menor que seis.
El evento A6 es el evento complemento de B. Por lo tanto
P(B) = 1 − P(A 6 ) = 1 −
José Luis Quintero
6
15 5
=
=
21 21 7
17
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 11.
Suponga que A, B y C son eventos para los cuales se tiene:
P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 y P(A ∩ C) =
1
8
P(A) = P(B) = P(C) =
1
4
,
. Halle la probabilidad de que al menos uno de los
eventos, A, B o C ocurra.
SOLUCIÓN.
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
1 1 1
1
3 1 5
= + + −0− −0+0 = − =
4 4 4
8
4 8 8
PROBLEMA 12.
Se selecciona al azar una pelota de una caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules,
amarillas y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es 1/5 y la de seleccionar
una pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o
verde.
SOLUCIÓN:
Experimento aleatorio: Elegir al azar una pelota de una caja
Propósito: Determinar el color de la pelota seleccionada
Espacio muestral: S = {ROJO,BLANCO, AZUL, AMARILLO, VERDE}
Eventos de interés:
AM: La pelota seleccionada es amarilla
VE: La pelota seleccionada es verde
AZ: La pelota seleccionada es azul
BL: La pelota seleccionada es blanca
RO: La pelota seleccionada es roja
Se desea calcular P(AM ∪ AZ ∪ VE) . Como los eventos AM, AZ y VE son disjuntos o mutuamente
excluyentes, entonces P(AM ∪ AZ ∪ VE) = P(AZ) + P(AM) + P(VE) .
Por otro lado se sabe que los eventos AM, AZ, VE, BL y RO son colectivamente exhaustivos, de
modo que P(AZ) + P(AM) + P(VE) + P(BL) + P(RO) = 1 .
En consecuencia
P(AZ) + P(AM) + P(VE) = 1 − P(BL) − P(RO) = 1 −
2 1 2
− = .
5 5 5
PROBLEMA 13.
Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3 , P(A ∩ B) = 0.1 , P(A ∩ C) = 0.1 ,
P(B ∩ C) = 0, P(A ∪ C) = 0.7 . Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno de
dichos eventos.
SOLUCIÓN.
P(A) = P(A solamente ) + P(A ∩ B) + P(A ∩ C) ⇒ P(A solamente ) = P(A) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C)
= 0.4 − 0.1 − 0.1 = 0.2
P(B) = P(Bsolamente ) + P(B ∩ A) + P(B ∩ C) ⇒ P(Bsolamente ) = P(B) − P(B ∩ A) − P(B ∩ C)
= 0.3 − 0.1 − 0 = 0.2
P(A ∪ C) = P(A) + P(C) − P(A ∩ C) ⇒ P(C) = P(A ∪ C) + P(A ∩ C) − P(A) = 0.7 + 0.1 − 0.4 = 0.4
José Luis Quintero
18
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
P(C) = P(Csolamente ) + P(C ∩ A) + P(C ∩ B) ⇒ P(Csolamente ) = P(C) − P(C ∩ A) − P(C ∩ B)
= 0.4 − 0.1 − 0 = 0.3
P(A solamente ) + P(Bsolamente ) + P(Csolamente ) = 0.2 + 0.2 + 0.3 = 0.7
PROBLEMA 14.
Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se
identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos
por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los siguientes
resultados:
• Aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 %
• Aparatos que sólo tienen defectos mayores: 5 %
• Aparatos que sólo tienen defectos menores: 7 %
• Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores: 3 %
• Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores: 4 %
• Aparatos que sólo tienen defectos mayores y menores: 3 %
• Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: 1 %
a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos?
b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente.
¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?
SOLUCIÓN.
a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Inspección al azar de un aparato de televisión
Propósito: Determinar el tipo o tipos de defectos que posee (si los tiene)
Espacio muestral: Todos los aparatos del sitio objeto de la inspección
Evento de interés: B: Aparatos sin defectos
P(B) × 100% = 100% − (2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 3 + 7)% = 75%
b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente.
¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?
SOLUCIÓN.
Eventos de interés: C: Aparatos con defectos críticos M: Aparatos con defectos mayores
P(C ∪ M) × 100% = (2 + 3 + 5 + 4 + 1 + 3 + 7)% − 7% = 18%
PROBLEMA 15.
En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es
rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son mujeres
rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población son personas
rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule la
probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea
a. mujer no rubia y de ojos oscuros
b. hombre no rubio y de ojos oscuros
c. persona rubia o de ojos claros
José Luis Quintero
19
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
SOLUCIÓN.
a. mujer no rubia y de ojos oscuros
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar una persona de una determinada población
Propósitos:
Propósito 1. Determinar si la persona es hombre o mujer
Propósito 2. Determinar si la persona es o no es rubia
Propósito 3. Determinar si la persona tiene los ojos claros u oscuros
Espacio muestral:
Referido al propósito 1: S1 = {hombre, mujer} . Referido al propósito 2: S2 = {rubia,no rubia}
Referido al propósito 3: S3 = {ojos claros, ojos oscuros}
Eventos de interés:
M: la persona elegida es mujer
R: la persona elegida es rubia
C: la persona elegida tiene los ojos claros
P(M ∩ R ∩ C) = P(M) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) + P(M ∩ C ∩ R) =
60
10
20
5
35
−
−
+
=
= 0.35
100 100 100 100 100
b. hombre no rubio y de ojos oscuros
SOLUCIÓN.
P(M ∪ R ∪ C) = P(M) + P(R) + P(C) − P(M ∩ R) − P(M ∩ C) − P(C ∩ R) + P(M ∩ C ∩ R)
60
25
35
10
20
15
5
80
=
+
+
−
−
−
+
=
= 0.8
100 100 100 100 100 100 100 100
P(M ∩ R ∩ C) = 1 − P(M ∪ R ∪ C) = 1 − 0.8 = 0.2
c. persona rubia o de ojos claros
SOLUCIÓN.
P(R ∪ C) = P(R) + P(C) − P(R ∩ C) =
7.
9
25
35
15
45
+
−
=
= 0.45
100 100 100 100
PRINCIPIOS DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO
7.1. Combinatoria. Es el arte de contar los posibles elementos de un conjunto, teniendo
especial cuidado en no olvidar ningún elemento ni en contarlo más de una vez.
7.2. Principio aditivo. Sean k conjuntos A1 , A2 , …, Ak , con R1 , R2 , …, Rk elementos
distintos respectivamente. Si se desea escoger un único elemento, el número de formas
distintas será, empleando el principio aditivo,
k
Ra =
∑
Ri .
i =1
José Luis Quintero
20
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
7.3. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto
formado por 3 sillas distintas, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto
formado por 3 lápices distintos. Se desea seleccionar sólo uno de los elementos descritos
anteriormente. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden realizar?
Solución.
Aplicando el principio aditivo se tiene que
3
Ra =
∑
Ri = 3 + 2 + 3 = 8 .
i =1
Por lo tanto se pueden realizar 8 elecciones distintas.
Ejemplo 2. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto
formado por 3 sillas iguales, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto
formado por 2 lápices negros y uno blanco. Se desea seleccionar sólo uno de los elementos
descritos anteriormente. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden realizar?
Solución.
De la información se sabe que el conjunto S tiene 1 grupo, el conjunto M tiene 2 grupos
distintos y el conjunto L tiene 2 grupos distintos. Aplicando el principio aditivo se tiene que
3
Ra =
∑
Ri = 1 + 2 + 2 = 5 .
i =1
Por lo tanto se pueden realizar 5 elecciones distintas.
7.4. Principio multiplicativo. Sean k conjuntos A1 , A2 , …, Ak , con R1 , R2 , …, Rk
elementos distintos respectivamente. Si se desea escoger un elemento de cada uno de
los k conjuntos, el número de grupos distintos que se pueden formar será, empleando el
principio multiplicativo,
∏
k
Rm =
Ri .
i =1
7.5. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto
formado por 3 sillas distintas, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto
formado por 3 lápices distintos. Se desea seleccionar un elemento de cada conjunto descrito
anteriormente. ¿Cuántos grupos distintos pueden ser elegidos?
Solución.
Aplicando el principio multiplicativo se tiene que
∏
3
Rm =
Ri = 3 × 2 × 3 = 18 .
i =1
José Luis Quintero
21
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Por lo tanto se pueden elegir 18 grupos distintos.
Ejemplo 2. Se tienen 3 conjuntos de elementos denotados como sigue: S = conjunto
formado por 3 sillas iguales, M = conjunto formado por 2 mesas distintas, L = conjunto
formado por 2 lápices negros y uno blanco. Se desea seleccionar un elemento de cada
conjunto descrito anteriormente. ¿Cuántos grupos distintos pueden ser elegidos?
Solución.
De la información se sabe que el conjunto S tiene 1 grupo, el conjunto M tiene 2 grupos
distintos y el conjunto L tiene 2 grupos distintos. Aplicando el principio multiplicativo se tiene
∏
3
Rm =
Ri = 1 × 2 × 2 = 4 .
i =1
Por lo tanto se pueden elegir 4 grupos distintos.
8. PERMUTACIONES
8.1. Permutaciones de n elementos sin repetición. Sea A un conjunto con n elementos
claramente distintos. Si se desea colocar un elemento en cada una de las n posiciones, el
número de formas distintas define las permutaciones de n elementos. Esto es,
empleando el principio multiplicativo,
n −1
Pn =
∏
(n − i) = n! .
i=0
8.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de
cuatro cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Aplicando el principio multiplicativo se tiene que
∏
4
Rm =
Ri = 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 .
i =1
Por lo tanto se pueden construir 24 números de cuatro cifras distintas.
Ejemplo 2. Se tiene el número de 3 dígitos distintos dado por 123. ¿Cuántos números de
tres cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Aplicando el principio multiplicativo se tiene que
José Luis Quintero
22
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
∏
3
Rm =
Ri = 3 × 2 × 1 = 3! = 6 .
i =1
Por lo tanto se pueden construir 6 números de tres cifras distintas.
8.3. Permutaciones de n elementos con repetición. Dados n elementos, de los cuales hay
sólo k diferentes ( n1 iguales, n2 iguales, …, nk iguales, tal que n1 + n2 + ... + nk = n ), el
número de secuencias ordenadas de estos elementos es
n!
n!
.
= k
PRn,k =
n1 !.n2 !.⋯ .nk !
(ni )!
∏
i =1
8.4. Ejemplo ilustrativo. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos
números de ocho cifras se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2
veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que
8!
8.7.6.5
=
= 1680 .
PR 8,4 =
1!.2!.2!.3!
1
Por lo tanto se pueden construir 1680 números de ocho cifras distintas.
9. VARIACIONES
9.1. Variaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones. Sea A un conjunto
con n elementos claramente distintos. Si se desea colocar un elemento en cada una de
las r posiciones (r ≤ n) , el número de formas distintas como se puede realizar esto define
las variaciones de n elementos tomados de r en r. Esto es, empleando el principio
multiplicativo,
n −1
r −1
Vn,r =
∏
i=0
(n − i) =
∏
∏
(n − i)
i=0
n −1
=
n!
= n.(n − 1).(n − 2).....(n − (r − 1)) .
(n − r)!
(n − i)
i =r
José Luis Quintero
23
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
9.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de
dos cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Aplicando el principio multiplicativo se tiene que
4!
4!
V4,2 =
=
= 4 × 3 = 12 .
(4 − 2)! 2!
Por lo tanto se pueden construir 12 números de dos cifras distintas.
Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos números de dos
cifras distintas se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2
veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que
4!
4!
V4,2 =
=
= 4 × 3 = 12
(4 − 2)! 2!
Por lo tanto se pueden construir 12 números de dos cifras distintas.
9.3. Variaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones. Dados n
elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de r de ellos, pudiendo ocurrir
que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección es VRn,r = nr .
9.4. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de
dos cifras se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Aplicando el principio multiplicativo se tiene que VR 4,2 = 42 = 16 . Por lo tanto se pueden
construir 16 números de dos cifras.
Ejemplo 2. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos números de
seis cifras se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Aplicando el principio multiplicativo se tiene que VR 4,6 = 46 = 4096 . Por lo tanto se pueden
construir 4096 números de seis cifras.
Ejemplo 3. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos números de dos
cifras se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2
veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que
VR 4,2 = 42 = 16 . Por lo tanto se pueden construir 16 números de dos cifras.
José Luis Quintero
24
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
10. COMBINACIONES
10.1. Combinaciones de n elementos tomados de r en r sin repeticiones. Sea A un
conjunto con n elementos claramente distintos. Si se desea colocar un grupo de r
elementos (r ≤ n) , el número de formas distintas como se puede realizar esto define las
combinaciones de n elementos tomados de r en r. En tal sentido
n
n!
.
Cn,r =   =
r
!(n
− r)!
r
 
10.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos grupos de
dos números distintos se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
 4
4!
4!
C4,2 =   =
=
= 6.
2!(4
−
2)!
2!2!
2
 
Por lo tanto se pueden construir 6 grupos de dos números distintos.
Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado por 38988439. ¿Cuántos grupos de dos
números distintos se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número 4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2
veces. El número 9 aparece 2 veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que
 4
4!
4!
C4,2 =   =
=
= 6.
−
2!(4
2)!
2!2!
2
Por lo tanto se pueden construir 6 grupos de dos números distintos.
10.3. Combinaciones de n elementos tomados de r en r con repeticiones. Dados n
elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de r de ellos, sin tener
presente el orden y pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez
en la selección es
 n + r − 1
(n + r − 1)!
(n + r − 1)!
CRn,r = 
.
=
=
r !(n − 1)!
r

 r !(n + r − 1 − r)!
10.4. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Se tiene el número de 4 dígitos distintos dado por 3894. ¿Cuántos grupos de
dos números se pueden construir usando el número anterior?
Solución.
José Luis Quintero
25
Probabilidad y Estadística
 4 + 2 − 1  5 
5!
CR 4,2 = 
= 10 .
= =
2!3!
2
2

  
Introducción a la Probabilidad
Observación 10. Consideraciones
dos números.
acerca de las técnicas de conteo:
• Vn,n = Pn
•
Cn,n = 1
Ejemplo 2. Se tiene el número de 8 dígitos dado
•
Cn,1 = n
por 38988439. ¿Cuántos grupos de dos números
se pueden construir usando el número anterior?
• En las variaciones, importa la
posición de los elementos en las r
Por lo tanto se pueden construir 10 grupos de
Solución.
posiciones mientras que en las
Se identifican aquí 4 grupos distintos: El número
4 aparece 1 vez. El número 3 aparece 2 veces.
combinaciones no. Hay menos
combinaciones que variaciones
El número 9 aparece 2 veces. El número 8
• Si se toma una combinación y se
permutan todos los elementos del
grupo se hallan las variaciones de
aparece 3 veces. De modo que
 4 + 2 − 1  5 
5!
CR 4,2 = 
= 10 .
= =
2!3!
2
2

  
Por lo tanto se pueden construir 10 grupos de
dos números.
ese grupo. De modo que
Vn,r
n
n!
Cn,r =
=
= 
Pr
r !(n − r)!  r 
n!
n!
• PRn,2 =
=
= Cn,r
n1 !.n2 ! r !.(n − r)!
11. PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1.
Un club tiene 25 miembros y se debe elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es el número
total de formas posibles para ocupar estos cargos?
SOLUCIÓN.
Número de formas posibles para ocupar estos cargos:
25! 25 × 24 × 23!
V25,2 =
=
= 25 × 24 = 600
23!
23!
PROBLEMA 2.
Se tienen 6 libros distintos para colocar en una estantería. ¿De cuántas formas distintas se
pueden ordenar estos libros?
SOLUCIÓN.
Número de formas distintas en que se pueden ordenar estos libros:
V6,6 = P6 = 6! = 720
José Luis Quintero
26
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 3.
Un club tiene 20 miembros y se debe elegir un grupo de 8 personas para realizar una
actividad. ¿Cuántos grupos distintos se pueden hacer?
SOLUCIÓN.
Número de grupos distintos que se pueden hacer:
 20 
20!
C20,8 =   =
= 125970
8!
× 12!
8
 
PROBLEMA 4.
Se tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras.
Determine la cantidad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer:
a. si la extracción es de forma simultánea
b. si la extracción es de forma serial con reposición
c. con una pelota de cada color
d. con tres pelotas de igual color
SOLUCIÓN.
a. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma simultánea?
SOLUCIÓN.
 18 
18!
18 × 17 × 16
C18,3 =   =
=
= 816
6
 3  3!× 15!
b. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, si la extracción es de forma serial con
reposición?
SOLUCIÓN.
18 + 3 − 1   20 
20!
20 × 19 × 18
=
= 1140
CR18,3 = 
= =
3!
×
17!
6
3
3

  
c. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con una pelota de cada color?
SOLUCIÓN.
Aplicando principio multiplicativo se tiene que
∏
3
Nm =
Ni = 3 × 10 × 5 = 150
i =1
d. ¿Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con tres pelotas de igual color?
SOLUCIÓN.
 3  10   5 
3!
10!
5!
C3,3 + C10,3 + C5,3 =   +   +   =
+
+
= 1 + 120 + 10 = 131
 3   3   3  3!× 0! 3!× 7! 3!× 2!
PROBLEMA 5.
¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si
hombres y mujeres deben quedar alternados?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres
José Luis Quintero
27
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Propósito: Determinar el sexo de cada posición ocupada
Espacio muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar
Evento de interés: A: Se sientan tres hombres y cuatro mujeres de forma alternada
NS : Número de formas distintas en las que se pueden sentar las siete personas
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : NS = P7 = 7! = 5040
Cálculo de NA : Se quiere estudiar el caso donde se sientan de la forma MHMHMHM. Se escoge la
primera mujer de un grupo de 4 mujeres, luego un hombre de un grupo de 3 hombres, luego la
otra mujer de un grupo de 3 mujeres, luego otro hombre de un grupo de 2 hombres y asi
sucesivamente. Aplicando el principio multiplicativo: NA = 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = P3 × P4 = 144 .
Por lo tanto
P(A) =
NA
144
=
≈ 0.0286
NS 5040
PROBLEMA 6.
¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres si
los hombres se sientan juntos?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres
Propósito: Determinar el sexo de cada posición ocupada
Espacio muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar
Evento de interés: A: Se sientan 3 hombres y 4 mujeres donde todos los hombres están juntos
NS : Número de formas distintas en las que se pueden sentar las siete personas
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : NS = P7 = 7! = 5040
Cálculo de NA : El evento A se produce si sucede alguna de las secuencias que siguen:
HHHMMMM MHHHMMM MMHHHMM MMMHHHM MMMMHHH
En cualquier secuencia que ocurra se debe realizar el siguiente cálculo con un razonamiento
similar al del problema anterior: 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 144 .
Como se trata de 5 secuencias entonces NA = 144 × 5 = 720 . Otra manera de calcular NA viene
dada como NA = P3 × P5 . Finalmente
P(A) =
P × P5 1
NA
= 3
= ≈ 0.1429
NS
P7
7
PROBLEMA 7.
¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras
seguidas de 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar una placa de un automóvil compuesta por 3 letras seguidas
de 3 números
Propósito: Determinar las letras y los números que componen la placa
José Luis Quintero
28
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Espacio muestral: Todas las placas de 3 letras y 3 números que se pueden construir
Evento de interés: A: Las letras son distintas y los números son distintos
NS : Número de formas distintas en las que se puede escoger una placa
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : Aplicando principio multiplicativo (27 letras y 10 digitos),
NS = 27 × 27 × 27 × 10 × 10 × 10 = 19683000
Cálculo de NA : El evento A se produce si tomo una letra entre 27, luego otra en 26 y por último
una entre 25. Analogamente para los digitos, elijo uno de 10, luego otro de 9 y finalmente uno de
8. Aplicando el principio multiplicativo se tiene que
NA = 27 × 26 × 25 × 10 × 9 × 8 = 12636000 .
Finalmente
P(A) =
NA 12636000
=
≈ 0.64198
NS 19683000
PROBLEMA 8.
Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La selección
se realizará al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y
tres mujeres?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar un grupo de 5 personas de un universo de 17 personas
Propósito: Determinar el sexo de cada persona que conforma el grupo
Espacio muestral: Todos los grupos de 5 personas que se pueden formar
Evento de interés: A: El comité está formado por dos hombres y tres mujeres
NS : Número de grupos distintos que pueden conformar el comité
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : Se desean tomar grupos de 5 de un grupo de 17 elementos, de modo que,
17 
17!
17 × 16 × 15 × 14 × 13
=
= 6188
NS = C17,5 =   =
5× 4 × 3× 2 ×1
 5  5!12!
Cálculo de NA : El evento A se produce si dentro del comité se tiene un grupo de dos hombres
tomados del grupo de 7 y un grupo de 3 mujeres tomadas de un grupo 10. Por lo tanto
 7  10 
7! 10!
NA =     =
.
= 2520
 2   3  2!5! 3!7!
Finalmente
P(A) =
NA
2520
=
≈ 0.4072
NS
6188
PROBLEMA 9.
Se van a alinear al azar 6 pelotas negras y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2
pelotas blancas queden juntas?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar una alineación de las 8 pelotas
José Luis Quintero
29
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Propósito: Determinar el color de la pelota que ocupa una posición determinada
Espacio muestral: Todas las formas de alinear las 8 personas
Evento de interés: A: En las 8 pelotas alineadas las 2 pelotas blancas quedaron juntas
NS : Número de formas distintas en las que se pueden alinear las pelotas
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : Se desean alinear 8 pelotas, por lo tanto NS = P8 = 8! = 40320 .
Cálculo de NA : El evento A se produce si sucede alguna de las secuencias que siguen:
BBNNNNNN NBBNNNNN NNBBNNNN NNNBBNNN
NNNNBBNN NNNNNBBN NNNNNNBB
Por lo tanto NA = 7 × 2!× 6! = 10080 . Finalmente
P(A) =
NA
10080
=
= 0.25
NS
40320
PROBLEMA 10.
Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido
entre 100 y 999, incluyendo a ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido
tenga al menos un uno?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar un número de tres cifras entre 100 y 999
Propósito: Determinar los dígitos que comprenden al número elegido
Espacio muestral: Todas los números de tres cifras comprendidos entre 100 y 999
Evento de interés: A: El número escogido tiene al menos un uno
NS : Todos los números de tres cifras comprendidos entre 100 y 999
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : Se desea escoger un número de tres cifras, por lo tanto se tiene que
NS = 9 × 10 × 10 = 900 .
Cálculo de NA : El evento complemento de A (A) se define como: “el número escogido no tiene
ningún uno”. De modo que:
NA = NS − NA = 8 × 9 × 9 = 648 ⇒ NA = NS − NA = 900 − 648 = 252
Finalmente
P(A) =
NA
252
=
= 0.28
NS
900
PROBLEMA 11.
Sean una urna A que contiene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna B que contiene
3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se saca una pelota de cada urna, calcule la
probabilidad de que sean pelotas de igual color.
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar un grupo de dos pelotas, donde una pelota es escogida
aleatoriamente de la urna A y la otra pelota es escogida aleatoriamente de la urna B
Propósito: Determinar el color de cada pelota escogida
José Luis Quintero
30
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Espacio muestral: Todos los grupos de 2 pelotas que pueden ser elegidos
Evento de interés: IC: Se escogen dos pelotas de igual color
Cálculo de NS : Aplicando principio multiplicativo se tiene que NS = 12 × 12 = 144
Cálculo de NIC : Sean los eventos
BB: Se obtienen dos pelotas blancas, donde NBB = 5 × 3 = 15
RR: Se obtienen dos pelotas rojas, donde NRR = 4 × 4 = 16
NN: Se obtienen dos pelotas negras, donde NNN = 3 × 5 = 15
Se puede ver que IC = BB ∪ RR ∪ NN . Como los eventos son disjuntos se tiene que
NIC = NBB + NRR + NNN = 15 + 16 + 15 = 46
Por lo tanto
P(IC) =
46
144
PROBLEMA 12.
Se escogen al azar cinco resistencias en una caja que contiene 30 resistencias de las cuales 7
son defectuosas. Halle la probabilidad de que:
a. ninguna sea defectuosa
b. se escojan dos defectuosas
c. por lo menos una sea defectuosa
SOLUCIÓN.
a. ninguna sea defectuosa
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar cinco resistencias de una caja que tiene 30 resistencias
Propósito: Determinar las resistencias defectuosas del grupo elegido y las que no lo son
Espacio muestral: Todos los grupos de 5 resistencias que pueden ser elegidos
Evento de interés: A: Las cinco resistencias del grupo no son defectuosas
NS : Número de grupos de 5 resistencias que se pueden escoger
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las 30 que se encuentran en la
caja, por lo tanto se tiene que
 30 
30!
NS = C30,5 =   =
= 142506
5!
× 25!
5
 
Cálculo de NA : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias en buen estado de las 23 que
están en la caja, por lo tanto se tiene que
 23 
23!
NA = C23,5 =   =
= 33649
5!
× 18!
5
 
Finalmente
P(A) =
NA
33649
=
= 0.2361
NS 142506
b. se escojan dos defectuosas
SOLUCIÓN.
Evento de interés: A: El grupo tiene dos resistencias defectuosas y tres no defectuosas
José Luis Quintero
31
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
NS : Número de grupos de 5 resistencias que se pueden escoger
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las 30 que se encuentran en la
caja, por lo tanto se tiene que
 30 
30!
NS = C30,5 =   =
= 142506
5!
× 25!
5
 
Cálculo de NA : Se desea escoger un grupo de 5 resistencias de las cuales dos son defectuosas
y tres se encuentran en buen estado
 7   23 
7!
23!
7 × 6 23 × 22 × 21
NA = C7,2 × C23,3 =   ×   =
×
=
×
= 37191
2!
×
5!
3!
×
20!
2
6
2
3
   
Finalmente
P(A) =
NA
37191
=
= 0.2610
NS 142506
c. por lo menos una sea defectuosa
SOLUCIÓN.
Evento de interés: A: Por lo menos una resistencia del grupo es defectuosa
A se define como: “ninguna resistencia del grupo es defectuosa”. La probabilidad del evento
complemento ya fue calculada, de modo que P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0.2361 = 0.7639
PROBLEMA 13.
En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de
física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que
a. los libros de cada materia queden juntos
b. solo los libros de matemática queden juntos
c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos
SOLUCIÓN.
a. los libros de cada materia queden juntos
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar una forma de colocar los 12 libros en una estantería
Propósito: Determinar el tipo de libro que ocupa una determinada posición
Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden colocar los 12 libros en la estantería
Evento de interés: A: Los libros de cada materia quedan juntos
NS : Número de formas distintas en las que se pueden colocar los libros
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : NS = P12 = 12! . Cálculo de NA :
Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas
Los libros de física se pueden colocar de 6! formas distintas
Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas
Estos tres grupos se pueden colocar de 3! formas distintas
Por lo tanto NA = 4!× 6!× 2!× 3! . Finalmente
P(A) =
José Luis Quintero
NA
4!× 6!× 2!× 3!
1
=
=
NS
12!
2310
32
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
b. solo los libros de matemática queden juntos
SOLUCIÓN.
Evento de interés: A: Solo los libros de matemática quedan juntos
NS : Número de formas distintas en las que se pueden colocar los libros
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : NS = P12 = 12! . Cálculo de NA :
Los libros de matemática se pueden colocar de 4! formas distintas
Si se considera el grupo de libros de matemática como un solo libro entonces se tendrían 9
libros y se pueden disponer de 9! formas distintas
Por lo tanto NA = 9!× 4! . Finalmente
P(A) =
NA
9!× 4!
1
=
=
NS
12!
55
c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos
SOLUCIÓN.
Evento de interés: A: Los libros de química quedan juntos y en uno de los extremos
NS : Número de formas distintas en las que se pueden colocar los libros
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : NS = P12 = 12! . Cálculo de NA :
Los libros de química se pueden colocar de 2! formas distintas
Como se tienen 2 extremos entonces se tienen 2 formas distintas de que el grupo de libros de
química se pueda ubicar
Si se considera el grupo de libros de química como un solo libro entonces se tendrían 11 libros
pero uno de ellos ya tiene posición fija por lo tanto los otros libros tienen 10! formas distintas
de ubicación
Por lo tanto NA = 2 × 2!× 10! . Finalmente
P(A) =
NA
2 × 2!× 10!
1
=
=
NS
12!
33
PROBLEMA 14.
El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando
los dígitos del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de
forma aleatoria y sin repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados
b. El código es un número par
c. El código no debe tener ni 1 ni 4
d. El digito 3 no aparece en el código
e. El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código
SOLUCIÓN.
a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar un código de área de cinco digitos con dígitos del 1 al 5
sin repeticiones
José Luis Quintero
33
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Propósito: Determinar el número que ocupa cada posición
Espacio muestral: Todas las formas en que se pueden construir los códigos con las condiciones
antes mencionadas
Evento de interés: A: el código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente
ordenados. Por dígitos sucesivos se entienden tres posibles casos: que en el código aparezcan
los dígitos 1,2,3 o los dígitos 2,3,4 o los dígitos 3,4,5 en cualquier orden. Luego el número de
casos a favor sería: NA : 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 = 18
Por otro lado se tiene que el número total de formas como se escogen 3 dígitos de 5
disponibles viene dado por 5 × 4 × 3 = 60 , de modo que NS = 60 . Por lo tanto
NA 18
3
=
=
NS
60 10
P(A) =
b. El código es un número par
SOLUCIÓN.
Evento de interés: B: el código es un número par
Para que el código sea un número par debe terminar en 2 o en 4. Luego el número de casos a
favor sería: NB : 4 × 3 × 1 + 4 × 3 × 1 = 24 . Por lo tanto
NB
24 2
=
=
NS 60 5
P(B) =
c. El código no debe tener ni 1 ni 4
SOLUCIÓN.
Evento de interés: C: el código no debe tener ni 1 ni 4
Si el código no debe tener ni 1 ni 4 implica que tenga entonces 5, 2 y 3 en cualquier orden.
Luego el número de casos a favor sería: NC = 3! = 6 . Por lo tanto
NC
6
1
=
=
NS 60 10
P(C) =
d. El digito 3 no aparece en el código
SOLUCIÓN.
Evento de interés: D: El dígito 3 no aparece en el código. ND = 4 × 3 × 2 = 24 . Por lo tanto
P(D) =
ND 24 2
=
=
NS
60 5
e. El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código
SOLUCIÓN.
Evento de interés: E: El dígito 2 o 3 aparece al menos una vez en el código
Se tiene que NE = 60 − 3 × 2 × 1 = 54 . Por lo tanto
P(E) =
NE
54
9
=
=
NS 60 10
PROBLEMA 15. (PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS)
¿Cuál es la probabilidad de que entre r personas, al menos dos cumplan años el mismo día?
SOLUCIÓN.
Suposisión: Se trabajará con un año no bisiesto, es decir, de 365 días
Experimento aleatorio: Elegir al azar una persona
José Luis Quintero
34
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Propósito: Determinar el día del año en el cual la persona cumple años
Espacio muestral: Todas las formas de respuestas posibles considerando el universo de r personas
Evento de interés: A: al menos dos personas cumplen año el mismo día
Consideraciones de interés:
Si r < 2 , entonces la probabilidad buscada es igual a cero.
Si r > 365 , entonces la probabilidad buscada es igual a uno.
Por lo tanto se trabajara con 2 ≤ r ≤ 365 .
Como el espacio muestral S viene dado por el conjunto de todas las r-uplas de fechas posibles, se
tiene que NS = VR 365,r = (365)r .
Se define el evento complementario como A : ninguna persona cumple años el mismo día. En tal
sentido se tiene que
365!
NA = V365,r =
.
(365 − r)!
En consecuencia se tiene que
P(A) =
NA
NS
=
V365,r
VR 365,r
1 
2 
r − 1


=
= 1 −
1−
..... 1 −
=
365  
365 
365 
(365 − r)!.(365)r 

365!
r −1
∏
i =1
i 

 1 − 365 


Aplicando uno de los axiomas de la teoría de la probabilidad se tiene que
r −1
P(A) = 1 − P(A) = 1 −
∏
i =1
i 

1 − 365  .


Usando los resultados obtenidos, a modo de ilustración, se presentan las gráficas 4 y 5 para
2 ≤ r ≤ 365 y para 2 ≤ r ≤ 100 respectivamente.
Prob. de que 2 o más personas cumplan año el mismo dia
PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
Número de personas
300
350
400
Figura 4. Problema del cumpleaños considerando todos los r de interés
José Luis Quintero
35
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Prob. de que 2 o más personas cumplan año el mismo dia
PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
Número de personas
70
80
90
100
Figura 5. Problema del cumpleaños considerando todos los r de interés
PROBLEMA 16.
Cinco personas se suben en un ascensor en el piso 0 de un edificio de ocho plantas
(0,1,2,…,7,8). Cada persona selecciona el piso en donde se bajará, entre el 1 y el 8. Nadie
más se subirá. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:
a. Todas las personas se bajan antes del quinto piso
b. En ningún piso se baja más de una persona
c. En los pisos seis y siete no se baja nadie
SOLUCIÓN.
a. Todas las personas se bajan antes del quinto piso
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Elegir al azar cada piso donde debe bajarse cada una de las cinco
personas
Propósito: Determinar el número del piso donde se bajará cada persona
Espacio muestral: Todos las formas en que se pueden bajar las cinco personas
Evento de interés: A: Todas las personas se bajan antes del quinto piso
NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cinco personas
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Se tiene que NS = VR 8,5 = (8)5 y NA = VR 4,5 = (4)5 . Por lo tanto
5
P(A) =
NA (4)5  1 
1
=
=  =
5
NS (8)
32
2
b. En ningún piso se baja más de una persona
SOLUCIÓN.
Evento de interés: B: Todas las personas se bajan en pisos distintos
José Luis Quintero
36
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cinco personas
NB : Número de formas distintas en las que se produce el evento B
Se tiene que NS = VR 8,5 = (8)5 y
NB = V8,5 =
8!
.
3!
Por lo tanto
P(B) =
8!
NB
8!
7.3.5 105
= 3!5 =
=
=
NS (8)
3!(8)5 8.8.8 512
c. En los pisos seis y siete no se baja nadie
SOLUCIÓN.
Evento de interés: C: En los pisos seis y siete no se baja nadie
NS : Número de formas distintas en las que se pueden bajar las cinco personas
NC : Número de formas distintas en las que se produce el evento C
Se tiene que
NS = VR 8,5 = (8)5 y NC = VR 6,5 = (6)5 .
Por lo tanto
5
P(A) =
NA (6)5  3 
=
=
NS (8)5  4 
PROBLEMA 17. (PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA)
¿Cuál es la probabilidad de ganar en alguna de las modalidades en el sorteo del KINO
TÁCHIRA?
SOLUCIÓN.
Suposición: Se asumirá que el día del sorteo se vendieron todos los cartones
Experimento aleatorio: Elegir al azar un cartón de juego
Propósito: Determinar los números que se encuentran en el cartón
Espacio muestral: Todos los grupos de 25 números dispuestos de forma ascendente en un cartón
Evento de interés: A: Se obtiene el cartón que coincide en al menos 12 números con el grupo de
de 15 números ganadores. Se definen los eventos dados por
An : Se obtuvo una coincidencia de n números ganadores, con 5 ≤ n ≤ 15
Se puede ver que
A = A12 ∪ A13 ∪ A14 ∪ A15 .
Como los eventos anteriores son disjuntos, se tiene que
NA = NA + NA + NA + NA
12
13
14
15
.
La fórmula para obtener la probabilidad de que el cartón elegido tenga n de los 15 números
ganadores viene dada por
P(An ) =
NAn C15,n × C10,15 −n C15,n × C10,15 −n
=
=
, 5 ≤ n ≤ 15
NS
C25,15
3268760
De modo que
José Luis Quintero
37
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
P(A) = P(A12 ) + P(A13 ) + P(A14 ) + P(A15 )
=
=
=
NA12 NA13 NA14 NA15
+
+
+
NS
NS
NS
NS
C15,12 × C10,3
C25,15
+
C15,13 × C10,2
C25,15
+
C15,14 × C10,1
C25,15
+
C15,15 × C10,0
C25,15
54600
4725
150
1
59485
≈ 0.0182
+
+
+
=
3268760 3268760 3268760 3268760 3268760
En términos porcentuales se tiene un 1.82% de probabilidad de ganar el KINO TÁCHIRA en alguna
de sus modalidades. Usando los resultados obtenidos, se presenta la gráfica 6.
PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA
0.35
Probabilidaddeacierto
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5
6
7
8
9
10
11
12
Cantidad de números acertados
13
14
15
Figura 6. Problema del KINO TÁCHIRA
PROBLEMA 18.
Un estudiante debe someterse a un examen de admisión y para ello debe preparar 14 temas. El
examen tiene dos partes: un primer examen que será escrito y un segundo examen que será
oral. Para cada examen se debe escoger al azar un tema. El tema seleccionado para el examen
escrito ya no puede seleccionado para el examen oral. Calcule la probabilidad de los siguientes
eventos:
a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10
b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el
estudiante se sabe
c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito
SOLUCIÓN.
a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar
distinto para el examen oral
Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen
Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados
14!
Cálculo de Ns : Ns = V14,2 =
= 14 × 13 = 182
12!
José Luis Quintero
38
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Evento A: En los dos temas seleccionados azar siempre aparece el tema 2 y nunca el tema 10
Cálculo de NA : NA = 2 × C12,1 = 24 . Por lo tanto
P(A) =
NA
24
12
=
=
Ns
182 91
b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el
estudiante se sabe
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar
distinto para el examen oral
Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen
Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados
14!
= 14 × 13 = 182
Cálculo de Ns : Ns = V14,2 =
12!
Evento B: En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que
9!
el estudiante se sabe. Cálculo de NB : NB = NS − NB = 182 − V9,2 = 182 −
= 182 − 72 = 110 . Por
7!
lo tanto
N
110 55
P(B) = B =
=
Ns 182 91
c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Se escoge al azar un tema para el examen escrito y otro tema al azar
distinto para el examen oral
Propósito: Determinar los temas elegidos para cada examen
Espacio muestral S: Grupos con reordenamiento de 2 temas que pueden ser seleccionados
14!
Cálculo de Ns : Ns = V14,2 =
= 14 × 13 = 182
12!
Evento C: El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito. Cálculo de NC : NC = 13 .
Por lo tanto
P(C) =
NC
13
1
=
=
Ns 182 14
PROBLEMA 19.
En un centro comercial hay 5 cajeros automáticos de distintos bancos comerciales. Suponga
que en un momento determinado van 4 personas, una tras otra, a utilizar alguno de estos
cajeros. Igualmente suponga que cada una de las personas consigue los 5 cajeros
desocupados. Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos:
a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes
b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero
c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero
SOLUCIÓN.
a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes
SOLUCIÓN.
Sean
A: las cuatro personas utilizan cajeros diferentes
José Luis Quintero
39
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
NS : Número de formas distintas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros
NA : Número de formas distintas en las que se produce el evento A
Cálculo de NS : NS = VR5,4 = 54 = 625
Cálculo de NA : NA = V5,4 = 5! = 120
Por lo tanto
P(A) =
NA 120
24
=
=
NS
625 125
b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero
SOLUCIÓN.
Sean
B: sólo dos de estas personas utilizan el mismo cajero
NS : Número de formas distintas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros
NB : Número de formas distintas en las que se produce el evento B
Cálculo de NS : NS = VR5,4 = 54 = 625
Cálculo de NB : NB = 5 × V4,2 × C4,2 = 360
Por lo tanto
P(B) =
NB 360
72
=
=
NS 625 125
c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero
SOLUCIÓN.
Sean
C: las cuatro personas utilizan el mismo cajero
NS : Número de formas distintas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros
NC : Número de formas distintas en las que se produce el evento C
Cálculo de NS : NS = VR5,4 = 54 = 625
Cálculo de NC : NC = 5
Por lo tanto
P(C) =
9
12.
NC
5
1
=
=
NS
625 125
PROBABILIDAD CONDICIONAL
12.1. Definición (Probabilidad condicional). La probabilidad condicional de un evento A
condicionado a que ocurrió un evento B, es decir, P(A/B), se define como la relación
entre las probabilidades de la intersección de los eventos A y B y la probabilidad del
evento condicionante B. De modo que
P(A / B) =
José Luis Quintero
P(A ∩ B)
, P(B) ≠ 0 .
P(B)
40
Probabilidad y Estadística
12.2. Ejemplo
Introducción a la Probabilidad
ilustrativo.
Los
empleados
de
la
compañía Nuevo Horizonte se encuentran
separados en tres divisiones: administración,
operación de planta y ventas. La siguiente tabla
indica el número de empleados en cada división
clasificados por sexo:
Administración (A)
Operación de planta (O)
Ventas (V)
Totales
Mujer (M)
Hombre (H)
20
60
100
180
30
140
50
220
Totales
50
200
150
400
Determine las siguientes probabilidades:
Observación 11. Consideraciones
acerca
de
la
condicional:
• P(A / S) = P(A)
probabilidad
P(A)
≥ P(A)
P(B)
P(B)
• Si B ⊂ A , P(A / B) =
=1
P(B)
• Si A ∩ B = ∅ , P(A / B) = 0
P(A ∩ B) = P(B).P(A / B)
•
= P(A).P(B / A)
• Si A ⊂ B , P(A / B) =
a. P(A/M)
Solución.
P(A / M) =
P(A ∩ M)
=
P(M)
20
400
180
400
=
20
1
=
180 9
=
20 2
=
50 5
b. P(M/A)
Solución.
P(M / A) =
P(M ∩ A)
=
P(A)
P(H / V) =
P(H ∩ V)
=
P(V)
20
400
50
400
c. P(H/V)
Solución.
50
400
150
400
=
50
1
=
150 3
13. EVENTOS INDEPENDIENTES
9
13.1. Dos eventos independientes. Sean dos eventos A y B definidos en el espacio muestral S.
Si la probabilidad de la intersección de los dos eventos es igual al producto de sus
probabilidades, entonces esos dos eventos son independientes. En tal sentido,
P(A ∩ B) = P(A).P(B) .
13.2. N eventos independientes. Sean n eventos Ai , i = 1,...,n definidos en el espacio muestral
S. Estos eventos son independientes siempre y cuando ellos sean independientes tomados
dos a dos. En tal sentido,

P


José Luis Quintero
n
∩
i =1

Ai  = P(A1 ∩ ... ∩ An ) =


n
∏ P(A ) .
i
i =1
41
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
13.3. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Sean una urna A que contiene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna
B que contiene 3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se saca una pelota de cada urna,
calcule la probabilidad de que sean pelotas de igual color.
Solución.
Experimento aleatorio: Elegir al azar dos pelotas, donde una pelota es escogida
aleatoriamente de la urna A y la otra pelota es escogida aleatoriamente de la urna B
Propósito: Determinar el color de cada pelota escogida
Espacio muestral: Todos los grupos de 2 pelotas que pueden ser elegidos
Evento de interés: IC: Se escogen dos pelotas de igual color
Sean los eventos
B1: Se escoge una pelota blanca de la primera urna
B2: Se escoge una pelota blanca de la segunda urna
R1: Se escoge una pelota roja de la primera urna
R2: Se escoge una pelota roja de la segunda urna
N1: Se escoge una pelota negra de la primera urna
N2: Se escoge una pelota negra de la segunda urna
IC: Se escogen dos pelotas de igual color
Por lo tanto
P(IC) = P(B1 ∩ B2) + P(R1 ∩ R2) + P(N1 ∩ N2) =
5 3
4 4
3 5
46
.
+
.
+
.
=
12 12 12 12 12 12 144
Ejemplo 2. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equilibrada. A lanza de
primero y B lanza después, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga cara.
¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?
Solución.
Sean los eventos:
A: el jugador A gana , B: el jugador B gana
GAi : el jugador A gana en el intento i-ésimo
GBi : el jugador B gana en el intento i-ésimo
Ai : el jugador A obtiene cara en el intento i-ésimo
Bi : el jugador B obtiene cara en el intento i-ésimo
GAi = A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai . En consecuencia
P(GAi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai ) = P(A1 ).P(B1 ).⋯ .P(Ai −1 ).P(Bi −1 ).P(Ai )
2(i −1)
1
= 
2
2i −1
×
1 1
=
2  2 
GBi = A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai ∩ Bi . En consecuencia
P(GBi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ai ∩ Bi ) = P(A1 ).P(B1 ).⋯ .P(Ai −1 ).P(Bi −1 ).P(Ai ).P(Bi )
2(i −1) +1
1
= 
2
2i
×
1 1
=
2  2 
Entonces (ver figura 7)
José Luis Quintero
42
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
∞
P(A) =
∑
∑
∞
P(GAi ) =
i =1
∞
P(B) =
∑
∑
i =1
∞
P(GBi ) =
i =1
i =1
∞
2i −1
1
2
 
∑
∑
=2
i =1
∞
2i
1
 
2
=
i =1
i
2×
1
4 =
1−
 
i
1
4
1
4
=
1
2
3
4
=
=
1
4
3
4
=
4
1
=
12 3
1
1
4
  =
4 1−
1
4
4 2
=
6 3
Por otro lado
P(B) = 1 − P(A) = 1 −
2 1
=
3 3
PROBLEMA DE LOS DOS JUGADORES
0.5
Jugador A
Jugador B
Probabilidad de ganar en el intento i-ésimo
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Intento
Figura 7. Problema de los dos jugadores
14.
9
PROBABILIDAD TOTAL
14.1. Definición (Probabilidad total). Sea una partición del espacio muestral en un grupo
de eventos Bi , i = 1,...,n . La probabilidad total de un evento A se puede expresar como
la suma de las probabilidades de A intersectado con el evento Bi , i = 1,...,n . De modo
que
n
P(A) =
∑
i =1
José Luis Quintero
n
∑
P(A ∩ Bi ) =
P(Bi ).P(A / Bi ) .
i =1
43
Probabilidad y Estadística
14.2. Ejemplo
ilustrativo.
Introducción a la Probabilidad
Un
inversionista
está
pensando en comprar un número muy grande de
acciones de una compañía. La cotización de las
Observación
Bi , i = 1,...,n
12.
Los
deben
eventos
ser
acciones en la bolsa, durante los seis meses
mutuamente excluyentes.
anteriores, es de interés para el inversionista.
Con base en esta información, se observa que la cotización se relaciona con el Producto
Nacional Bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que las acciones aumenten su
valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su
valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si para los siguientes
seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el
mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que las acciones
aumenten su valor en los próximos seis meses.
Solución.
Sean los eventos
A: las acciones aumentan su valor en los próximos seis meses
PNB+: el PNB aumenta
PNB=: el PNB es el mismo
PNB-: el PNB disminuye
Entonces
P(A) = P(A ∩ PNB+) + P(A ∩ PNB =) + P(A ∩ PNB−)
= P(PNB+).P(A / PNB+) + P(PNB =).P(A / PNB =) + P(PNB−).P(A / PNB −)
= 0.4 × 0.8 + 0.3 × 0.2 + 0.3 × 0.1 = 0.32 + 0.06 + 0.03 = 0.41
15.
9
DIAGRAMA DE ÁRBOL
15.1. Definición (Diagrama de árbol). Es una herramienta gráfica que se utiliza para
determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
15.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Una universidad está formada por
Observación 13. Consideraciones
tres facultades: La primera facultad tiene el 50%
acerca de un diagrama de árbol:
de estudiantes, la segunda facultad posee el
25% de estudiantes y la tercera facultad alberga
• El número de elementos que
conforman el espacio muestral se
el otro 25% de estudiantes. Las mujeres están
pueden determinar construyendo
repartidas uniformemente, siendo 60% del total
en cada facultad.
un diagrama de árbol
• Se partirá asignando una rama
para cada uno de los resultados,
a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una
alumna de la primera facultad?
Solución.
José Luis Quintero
acompañado de su probabilidad
(rama de primera generación)
44
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Experimento aleatorio: Elegir al azar un
estudiante de la universidad
Propósito 1: Determinar la facultad donde
estudia
Propósito 2: Determinar el sexo de la persona
Referido al propósito 1:
S1 = {Facultad 1,Facultad 2,Facultad 3} .
Referido al propósito 2: S2 = {hombre, mujer}
Evento de interés:
A: Se selecciona una mujer de la facultad 1
Sean los eventos
F1: La persona seleccionada pertenece a la
primera facultad
M: La persona seleccionada es mujer
Bajo esta notación se solicita calcular
P(A) = P(M ∩ F1) = P(F1).P(M / F1)
= P(M).P(F1 / M)
La figura mostrada a continuación (figura 8)
representa el diagrama de árbol que ilustra la
Observación 14. Consideraciones
acerca de un diagrama de árbol:
• Al final de cada rama de primera
generación se coloca un nodo del
cual parten nuevas ramas (ramas
de segunda generación), de ser
necesario
• La suma de probabilidades de las
ramas de cada nodo es igual a 1
• Existe un principio sencillo de los
diagramas de árbol que hace que
éstos sean mucho más útiles para
los
cálculos
rápidos
de
probabilidad: se multiplican las
probabilidades si se trata de
ramas adyacentes (contiguas), o
bien se suman si se trata de
ramas separadas que emergen de
un mismo punto
situación planteada. La pregunta de interés
en este apartado aparece analizada en el
árbol presentado en la figura 9.
Figura 8. Diagrama de árbol para el problema de la universidad
José Luis Quintero
45
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Figura 9. Diagrama de árbol que ilustra el primer apartado
Lo anterior se puede escribir como P(M ∩ F1) = P(F1).P(M / F1) = 0.5 × 0.6 = 0.3 .
b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón?
Solución.
Evento de interés: B: Se selecciona un varón
Sean los eventos
F1: La persona seleccionada pertenece a la primera facultad
F2: La persona seleccionada pertenece a la segunda facultad
F3: La persona seleccionada pertenece a la tercera facultad
Bajo esta notación se solicita calcular
P(B) = P(B ∩ F1) + P(B ∩ F2) + P(B ∩ F3)
= P(F1).P(B / F1) + P(F2).P(B / F2) + P(F3).P(B / F3)
La pregunta de interés en este apartado aparece analizada en el árbol presentado en la
figura 10.
Figura 10. Diagrama de árbol que ilustra el segundo apartado
José Luis Quintero
46
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Lo representado anteriormente se puede escribir como:
P(B) = P(B ∩ F1) + P(B ∩ F2) + P(B ∩ F3)
= P(F1).P(B / F1) + P(F2).P(B / F2) + P(F3).P(B / F3)
= 0.5 × 0.4 + 0.25 × 0.4 + 0.25 × 0.4 = 0.4
Ejemplo 2. Se lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas
blancas como número de caras obtenidas y tantas negras como el número del lanzamiento
donde se obtiene sello por primera vez multiplicado por dos, si es que se obtiene. Se
extraen sin reposición dos bolas de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto
color?
Solución.
Eventos:
Ci : ocurrió cara en el lanzamiento i, i = 1, 2
Si : ocurrió sello en el lanzamiento i, i = 1, 2
Bi : se obtiene una bola blanca en la extracción i, i = 1, 2
Ni : se obtiene una bola negra en la extracción i, i = 1, 2
D: las dos bolas extraidas al final son de distinto color
Todos los escenarios posibles aparecen reflejados en el diagrama de árbol de la figura 11.
Los números entre paréntesis indican la probabilidad de ocurrencia del evento. La figura 12
representa las ramas del árbol que indican la ocurrencia del evento D en azul. Se tiene que
P(D) = P(C1 ∩ S2 ).P(B1 (C1 ∩ S2 ).P(N2 (C1 ∩ S2 ∩ B1 ) +
P(C1 ∩ S2 ).P(N1 (C1 ∩ S2 ).P(B2 (C1 ∩ S2 ∩ N1 ) +
P(S1 ∩ C2 ).P(B1 (S1 ∩ C2 ).P(N2 (S1 ∩ C2 ∩ B1 ) +
P(S1 ∩ C2 ).P(N1 (S1 ∩ C2 ).P(B2 (S1 ∩ C2 ∩ N1 )
=
José Luis Quintero
2 1  1  1 1 1 1  1  2 2  1 16
4
1 1
4 1 1
=
. .1 + . + .1 + .  = .  + + +  = .  +  = .
4  5
5 4 3
3 2  4  5 5 3 3  4  5 3  4 15 15
47
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Figura 11. Diagrama de árbol
José Luis Quintero
48
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Figura 12. Diagrama de árbol recortado mostrando los casos de interés
José Luis Quintero
49
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
16. TEOREMA DE BAYES
9
16.1. Definición (Teorema de Bayes). Sea una partición del espacio muestral en un grupo
de eventos Bi con i = 1,...,n . La probabilidad condicional de un evento Bi dado que
ocurrió un evento A se puede expresar como la probabilidad del evento A dado que
ocurrió ese elemento de la partición por la relación de las probabilidades entre Bi y A
respectivamente. En tal sentido
P(Bi / A) =
P(Bi ∩ A)
=
P(A)
P(Bi ).P(A / Bi )
n
∑ P(B ).P(A / B )
i
i
i =1
16.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Tres sucursales de una tienda tienen
8, 12 y 14 empleados de los cuales 4, 7 y 10 son
mujeres,
respectivamente.
Se
escoge
Observación 15. Consideraciones
acerca
de
condicional:
una
sucursal al azar y de ella se escoge a un
empleado. Si este empleado es una mujer, ¿cuál
evento
sucursal que tiene 12 empleados?
Solución.
sucursal
Propósito: Determinar la sucursal elegida
Elegir
al
azar
denomina
• El denominador en el término a la
derecha de la ecuación anterior
se denomina probabilidad total
Definición de eventos:
del evento A
M: “El empleado es una mujer”
S1: “La sucursal escogida es la 1”
S2: “La sucursal escogida es la 2”
1
3
se
a priori
un
empleado de una tienda
Propósito: Determinar el sexo de la persona
Se sabe que
P(S1) = P(S2) = P(S3) =
A
probabilidad a posteriori
• Las probabilidades del evento A
dado que ocurrió cada elemento
Bi se denominan probabilidades
Experimento aleatorio 1: Elegir al azar una
aleatorio:
probabilidad
• La probabilidad condicional de un
evento Bi dado que ocurrió el
es la probabilidad de que ella trabaje en la
Experimento
la
S3: “La sucursal escogida es la 3”
, P(M / S1) =
4
8
, P(M / S2) =
7
12
, P(M / S3) =
10
14
.
De modo que
P(M) = P(M ∩ S1) + P(M ∩ S2) + P(M ∩ S3) = P(S1).P(M / S1) + P(S2).P(M / S2) + P(S3).P(M / S3)
=
1 4
.
3 8
7
+ 13 . 12
+ 13 . 10
=
14
P(S2 / M) =
José Luis Quintero
1 1
.(
3 2
+
7
12
+ 57 ) =
1 42 + 49 + 60
.
3
84
=
1 151
.
3 84
P(M ∩ S2) P(S2).P(M / S2)
=
=
P(M)
P(M)
1. 7
3 12
1 . 151
3 84
=
84×7
12 ×151
=
49
151
50
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Ejemplo 2. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la
posibilidad de encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía
pretende perforar un pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de
0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la
experiencia, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I,
en un 20% de las de tipo II y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la
compañía descubre que hay petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se
corresponda con una formación del tipo III.
Solución.
Experimento aleatorio 1: Perforar en una formación geológica
Propósito: Determinar el tipo de formación geológica
Experimento aleatorio 2: Buscar petróleo
Propósito: Determinar si existe o no petróleo
Eventos:
P: “Se encuentra petróleo”
T1: “La formación es de tipo I”
T2: “La formación es de tipo II”
T3: “La formación es de tipo III”
P(T1) = 0.35
P(T2) = 0.40
P(T3) = 0.25 P(P/T1) = 0.4
P(P/T2) = 0.2
P(P/T3) = 0.4
Se pide calcular P(T3/P).
P(T3 ∩ P)
P(T3).P(P / T3)
=
P(T3 / P) =
P(P)
P(T1).P(P / T1) + P(T2).P(P / T2) + P(T3).P(P / T3)
0.25 × 0.40
0.25
=
=
0.35 × 0.40 + 0.40 × 0.20 + 0.25 × 0.40 0.35 + 0.20 + 0.25
0.25
=
= 0.3125
0.80
17.
9
EXPERIMENTO DE BERNOULLI
17.1. Definición (Experimento de Bernoulli). Es
un experimento aleatorio cuyo espacio
Observación 16. Consideraciones
muestral se puede expresar en términos de la
• La probabilidad de que ocurra el
evento se denota por p
ocurrencia o no de un determinado evento.
17.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Considere el experimento aleatorio
de tener un hijo. Sea el evento A: nació un hijo
acerca del Experimento de Bernoulli:
• La probabilidad de que no ocurra
el evento se denota por q = 1 − p
• El evento y su complemento
forman una partición del espacio
muestral
varón. Este experimento es un Experimento de
Bernoulli con parámetro p = 1 / 2
José Luis Quintero
51
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Ejemplo 2. Considere el experimento aleatorio
de extraer una pelota de una caja con R pelotas
rojas y V pelotas verdes. Sea el evento A: se
extrae
una
pelota
roja.
Este
experimento
aleatorio es un Experimento de Bernoulli con
parámetro
R
p=
R+V
Observación 17. Consideraciones
acerca del Experimento de Bernoulli:
• La probabilidad p es el parámetro
importante para conocer un
Experimento de Bernoulli
• El Experimento de Bernoulli se
denota por B(p)
• El cálculo de las probabilidades en
Ejemplo 3. Considere el experimento aleatorio
de lanzar un dado. Sea el evento A: ocurre un
un Experimento de Bernoulli se
número mayor que 4. Este experimento aleatorio
si el evento ocurre
 p
P B(p) = 
−
1
p
si
el evento no ocurre

es un Experimento de Bernoulli con parámetro
p =1/3
18.
9
hace de la forma
EXPERIMENTO BINOMIAL
18.1. Definición (Experimento Binomial). Es un
experimento aleatorio que consiste en la
Observación 18. Consideraciones
acerca del Experimento Binomial:
Bernoulli con parámetro p. En este conjunto
• El número de veces que ocurrió el
evento de interés (k veces) es
de n repeticiones se contabiliza el número de
incierto, por tanto, es un número
veces (denotado por k) que ocurrió el evento
aleatorio y se encuentra en el
intervalo [0,n]
repetición de n veces de un Experimento de
de interés.
• El
Experimento
Binomial
se
denota por Bi(n,p)
• El cálculo de las probabilidades en
18.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Una familia tiene ocho hijos. ¿Cuál
un Experimento Binomial se hace
es la probabilidad de que, exactamente, dos de
de la forma
n
P Bi(n,p) = k  =   (1 − p)n −k pk ,
k 
k = 0,1, 2,...,n
los hijos sean varones?
Solución.
Experimento aleatorio: Tener ocho hijos
Propósito: Determinar el sexo de cada uno
Evento: Dos de los hijos son varones
8 −2
8 
1
P Bi(8, 12 ) = 2 =   1 − 
2
2 
José Luis Quintero
2
8
8!  1 
28 22.7
7
1
 2  = 2!.6! .  2  = 8 = 8 = 64
2
2
 
 
52
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Ejemplo 2. Se lanzan al aire cuatro monedas perfectas simultáneamente. Calcule la
probabilidad de obtener
a. por lo menos dos caras
Solución.
Experimento aleatorio: Lanzar al aire cuatro monedas perfectas simultáneamente
Propósito: Determinar si la parte superior indica cara o sello
Sea el evento A: salen por lo menos dos caras. Entonces
P(A) = P Bi(4, 12 ) = 2  + P Bi(4, 12 ) = 3 + P Bi(4, 12 ) = 4
2
2
1
3
0
4
 4  1   1 
 4  1   1 
 4  1   1 
11
=      +      +      =
16
2  2   2 
3  2   2 
 4  2   2 
b. exactamente tres caras
Solución.
Sea el evento A: salen exactamente tres caras. Entonces
1
3
 4  1   1 
1
P(A) = P Bi(4, 12 ) = 3 =       =
4
3  2   2 
c. a lo sumo dos caras
Solución.
Sea el evento A: salen a lo sumo dos caras. Entonces
P(A) = P Bi(4, 12 ) = 0  + P Bi(4, 12 ) = 1 + P Bi(4, 12 ) = 2
4
0
3
1
2
2
 4  1   1 
 4  1   1 
 4  1   1 
11
=      +      +      =
2
2
2
2
2
2
16
0
1
2












 
 
 
d. exactamente una cara
Solución.
Sea el evento A: salen exactamente una cara. Entonces
3
1
 4  1   1 
1
P(A) = P Bi(4, 12 ) = 1 =       =
2
2
4
1    
19.
9
EXPERIMENTO MUTINOMIAL
19.1. Definición (Experimento Multinomial). Es
un experimento aleatorio que consiste en la
Observación 19. Consideraciones
acerca del Experimento Multinomial:
repetición de n veces de un experimento
aleatorio con m resultados posibles.
19.2. Ejemplo ilustrativo. Se lanza un dado normal
10 veces y se desea calcular la probabilidad de
• El Experimento Multinomial
denota por M(n,p1 ,p2 ,...,pm )
se
• Si m = 2 , se trata
Experimento Binomial
un
de
que salga la cara cuatro 3 veces, la cara seis 1
vez, la cara cinco 4 veces y la cara uno 2 veces.
José Luis Quintero
53
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Solución.
Experimento aleatorio: Lanzar un dado 10 veces
Propósito: Determinar la cara ocurrida en la
Observación 20. Consideraciones
acerca del Experimento Multinomial:
parte superior del dado
Sea el evento A: sale la cara cuatro 3 veces, la
cara seis 1 vez, la cara cinco 4 veces y la cara
uno 2 veces
P(A) = P M(10, 16 , 16 , 16 , 16 , 16 , 16 ) = (2, 0, 0, 3, 4,1)
2
0
0
3
4
• El cálculo de las probabilidades en
un Experimento Multinomial se
hace de la forma
P M(n,p1,p2 ,...,pm ) = (k1,k2 ,...,km ) =
n!
k k
p 1p 2 .⋯.pkmm ,
k1 !k2 !...km ! 1 2
1
10!
1 1 1 1 1 1
=
2!0!0!3!4!1!  6   6   6   6   6   6 
12600
=
60466176
20.
9
p1 + p2 + ... + pm = 1 ,
k1 + k2 + ... + km = n
EXPERIMENTO GEOMÉTRICO
20.1. Definición (Experimento Geométrico). Es un experimento aleatorio que consiste en
la repetición de un Experimento de Bernoulli con parámetro p. Esta repetición se realiza
hasta que ocurre el evento de interés por primera vez.
20.2. Ejemplos ilustrativos:
Ejemplo 1. Un estudiante tiene probabilidad de
0.4 de aprobar una asignatura. Si reprueba la
asignatura debe repetir el curso el siguiente
Observación 21. Consideraciones
acerca del Experimento Geométrico:
semestre hasta que lo apruebe. Si se considera
• El número de repeticiones hasta
conseguir que ocurra el evento de
interés es incierto, por tanto, es
que la probabilidad de aprobar el curso no
cambia semestre tras semestre, entonces se
tiene un Experimento Geométrico. Calcule las
probabilidades de aprobar la asignatura en la
primera, segunda y tercera oportunidad que la
un
número
aleatorio y
se
encuentra en el intervalo [1, ∞)
curse.
• El Experimento
denota por G(p)
Solución.
Probabilidad de aprobar la asignatura la primera
• Si
es
necesario
realizar
k
Experimentos de Bernoulli hasta
Geométrico
se
que ocurra el evento de interés,
vez que la curse:
1 −1
P G(0.4) = 1 = (1 − 0.4)
0.4 = 0.4
Probabilidad de aprobar la asignatura la segunda
el cálculo de las probabilidades en
un Experimento Geométrico se
vez que la curse:
hace de la forma
P G(0.4) = 2  = (1 − 0.4)2 −1 0.4 = 0.6 × 0.4 = 0.24
José Luis Quintero
P G(p) = k  = (1 − p)k −1p , k = 1, 2,...
54
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Probabilidad de aprobar la asignatura la tercera vez que la curse:
P G(0.4) = 3 = (1 − 0.4)3 −1 0.4 = 0.6 × 0.6 × 0.4 = 0.144
Ejemplo 2. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga
cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento?
Solución.
P G( 12 ) = k  = (1 − 12 )k −1 12 = ( 12 )k −1 12 = ( 12 )k , k = 1, 2,...
21.
9
EXPERIMENTO BINOMIAL NEGATIVO DE ORDEN R
21.1. Definición
(Experimento
Binomial
Observación 22. Consideraciones
Negativo de Orden r). Es un experimento
acerca del Experimento Binomial de
Orden r:
aleatorio que consiste en la repetición de un
Experimento de Bernoulli con parámetro p.
Esta repetición se realiza hasta que ocurre el
evento de interés por r-ésima vez.
• El Experimento Geométrico es un
Experimento Binomial Negativo
de
orden
1,
es
decir,
G(p)=BiN(p,1)
• El número de repeticiones hasta
conseguir que ocurra el evento de
21.2. Ejemplos ilustrativos:
interés es incierto, por tanto, es
Ejemplo 1. Un jugador lanza una moneda
equilibrada. El juego termina hasta que obtenga
cara por tercera vez. ¿Cuál es la probabilidad de
ganar en el k-ésimo intento?
Solución.
 k − 1
1 k −3 1 3
P BiN( 12 , 3) = k  = 
 (1 − 2 ) ( 2 )
 2 
un
número
aleatorio y
se
encuentra en el intervalo [r, ∞)
• El Experimento Binomial Negativo
de orden r se denota por BiN(p,r)
es
necesario
realizar
k
• Si
Experimentos de Bernoulli hasta
=
(k −1)!
( 1 )k − 3 ( 12 )3
2!(k − 3)! 2
que ocurra el evento de interés,
el cálculo de las probabilidades en
=
(k −1)(k − 2) 1 k
(2)
2
un
, k = 3, 4,...
la probabilidad de necesitar k intentos para
obtener la ocurrencia del evento de interés r
veces viene dada por la expresión
José Luis Quintero
1
r!
Binomial
Negativo de orden r se hace de la
forma
 k − 1
k −r r
P BiN(p,r) = k  = 
 (1 − p) p ,
r − 1
Ejemplo 2. Una manera equivalente de calcular
P BiN(p,r) = k  =
Experimento
k = r,r + 1,...
r −1
∏ (k − i)(1 − p)
k −r r
p , k = r,r + 1,...
i =1
55
Probabilidad y Estadística
22.
9
Introducción a la Probabilidad
EXPERIMENTO HIPERGEOMÉTRICO
22.1. Definición (Experimento Hipergeométrico). Experimento cuyas características se
describen a continuación: Sea un conjunto de N elementos divididos en dos grupos de
N1 elementos y N2 elementos respectivamente, con N1 + N2 = N . Se extrae
aleatoriamente una muestra de n elementos y se desea contabilizar la cantidad de
elementos n1 del grupo 1 y la cantidad de elementos n2 , con n1 + n2 = n presentes en la
muestra.
22.2. Ejemplo ilustrativo. En una caja se tienen 15
pelotas blancas y 5 pelotas negras. Se extraen 6
Observación 23. Consideraciones
pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la
acerca
muestra se encuentren 4 pelotas blancas y 2
negras?
Hipergeométrico:
Solución.
Experimento aleatorio: Extraer una muestra de 6
pelotas de la caja
Propósito: Determinar la cantidad de pelotas
blancas y la cantidad
presentes en la muestra
de
pelotas
del
Experimento
• El Experimento Hipergeométrico
se denota por HG(N,N1,N2 ,n)
• El cálculo de las probabilidades en
un Experimento Hipergeométrico
se hace de la forma
negras
P HG(N,N1,N2 ,n) = (n1,n2 ) =
Evento: la muestra contiene 4 pelotas blancas y
2 pelotas negras
Cálculo de la probabilidad solicitada:
 N1   N2 
  
 n1   n2 
N
 
n
N1 + N2 = N , n1 + n2 = n
 15   5 
  
4 2
455
≈ 0.3222
P HG(20,15,5, 6) = (4, 2) =     =
1292
 20 
 
6 
9
23.
EXPERIMENTO MULTIHIPERGEOMÉTRICO
23.1. Definición (Experimento Multihipergeométrico). Experimento cuyas características
se describen a continuación: Sea un conjunto de N elementos divididos en k grupos de
N1 , N2 , …,
Nk elementos respectivamente, con N1 + N2 + ... + Nk = N . Se extrae
aleatoriamente una muestra de n elementos y se desea contabilizar la cantidad de
elementos n1 , n2 , …, nk correspondientes a los grupos 1, 2, …, k respectivamente con
n1 + n2 + ... + nk = n presentes en la muestra.
José Luis Quintero
56
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
23.2. Ejemplo ilustrativo. En una caja se tienen 8
Observación 24. Consideraciones
del
Experimento
pelotas blancas, 7 pelotas negras y 5 pelotas
rojas. Se extraen 6 pelotas. ¿Cuál es la
acerca
probabilidad de que en la muestra se encuentren
Multihipergeométrico:
3 pelotas blancas, 2 negras y 1 roja?
Solución.
Experimento aleatorio: Extraer una muestra de 6
pelotas de la caja
Propósito: Determinar la cantidad de pelotas
blancas, negras y rojas presentes en la muestra
Evento: la muestra contiene 3 pelotas blancas, 2
pelotas negras y 1 pelota roja.
• El
Experimento
Multihipergeométrico se denota
por MHG(N,N1,N2 ,...,Nk ,n)
• Si
se trata de
k = 2,
Experimento Hipergeométrico
• El cálculo de las probabilidades en
un
Experimento
Multihipergeométrico es
P HG(N,N1,N2 ,...,Nk ,n) = (n1,n2 ,...,nk ) =
Cálculo de la probabilidad solicitada:
P MHG(20, 8, 7,5, 6) = (3,2,1) =
 N1   N2   Nk 
    ...  
 n1   n2   nk 
N
 
n
8 7  6 
   
 3   2   1  = 294 ≈ 0.182
1615
 20 
 
6
 
24.
9
un
N1 + N2 + ... + Nk = N , n1 + n2 + ... + nk = n
EXPERIMENTO DE POISSON
24.1. Definición (Experimento de Poisson). Sea un experimento Binomial con parámetros
n y p. Considere que el número de experimentos de Bernoulli es muy grande (n → ∞) , y
que la probabilidad del evento de interés es muy pequeña (p → 0) , pero son tales que
el producto np tiende a un valor finito, entonces el Experimento Binomial resultante se
puede expresar como un Experimento de Poisson.
24.2. Ejemplo ilustrativo. En una empresa se
revisan defectos de los productos terminados. La
probabilidad de hallar un defecto en un producto
es 0.001. Se revisan 4000 productos. ¿Cuál es la
probabilidad de hallar a lo sumo 6 defectuosos?
Solución.
6
P=
∑
k =0
 4000 
4000 − k
(0.001)k

 (1 − 0.001)
 k 
Observación 25. Consideraciones
acerca del Experimento de Poisson:
• El Experimento de Poisson se
denota por P(λ)
• El cálculo de las probabilidades se
hace de la forma
λk e−λ
P P(λ) = k  =
, k = 0,1,2,...
k!
Se puede ver que los cálculos para obtener p son muy engorrosos, por lo que se utiliza una
aproximación mediante un Experimento de Poisson con parámetro λ = 4 .
6
P≈
∑
k =0
José Luis Quintero
6
P P(4) = k  =
∑
k =0
4k e−4
= e−4
k!
6
∑
k =0
4k e−4
= 0.1144
k!
57
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
25. PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1.
Encierre en un círculo la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa
respectivamente.
a. Si dos eventos no vacíos son independientes,
entonces la probabilidad de la
V
F
b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B)
respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son
V
F
c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de
V
F
V
F
unión de ellos es la suma de sus probabilidades
tamaño tres sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es
X3 / (X + Y)3
d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la
probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k ≥ 1) es igual a
( 12 )k −1
SOLUCIÓN.
a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la unión
de ellos es la suma de sus probabilidades
V
F
b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B)
V
F
respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son
c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de
V
F
V
F
tamaño tres sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es
X3 / (X + Y)3
d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la
probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k ≥ 1) es igual a ( 12 )k −1
PROBLEMA 2.
Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en
cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes
operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté
funcionando es p. La configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el sistema
funcione es
a. F1
José Luis Quintero
b. F2
c. F3
d. F4
58
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
SOLUCIÓN.
Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada
una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes operan en
forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté funcionando es p. La
configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el sistema funcione es
a. F1
b. F2
c. F3
d. F4
PROBLEMA 3.
Pruebe que para cualesquiera dos eventos, A y B, P(A B) + P(A B) = 1 , con tal de que P(B) ≠ 0 .
SOLUCIÓN.
P(A B) + P(A B) =
P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(B)
+
=
=1
P(B)
P(B)
P(B)
PROBLEMA 4.
Pruebe que si P(B / A) = P(B / A) entonces A y B son independientes.
SOLUCIÓN.
P(B / A) = P(B / A) ⇒
P(A ∩ B) P(A ∩ B)
(1 − P(A))P(A ∩ B)
=
⇒
= P(A ∩ B)
P(A)
P(A)
P(A)
⇒
P(A ∩ B)
P(A ∩ B)
− P(A ∩ B) = P(A ∩ B) ⇒
= P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
P(A)
P(A)
⇒
P(A ∩ B)
= P(B) ⇒ P(A ∩ B) = P(A).P(B)
P(A)
PROBLEMA 5.
Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son A c y Bc .
SOLUCIÓN.
P(A c ∩ Bc ) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − P(A) − P(B) + P(A).P(B) = 1 − P(A) − P(B)(1 − P(A)) = (1 − P(A)).(1 − P(B))
= P(A c ).P(Bc )
José Luis Quintero
59
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 6.
Sean A y B eventos independientes, tales que con probabilidad 1/6 ocurren simultáneamente,
y con probabilidad 1/3 ninguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B).
SOLUCIÓN.
Información : P(A ∩ B) = P(A).P(B) =
1
6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ⇒
2
3
=
⇒
5
6
=
P(B) =
5 ± 25 − 4 × 6 ×1
12
Por lo tanto P(A) =
=
1
2
5 ±1
12
⇒ P1(B) =
, P(B) =
1
3
1
2
1 − P(A ∪ B) =
,
1
6P(B)
, P2 (B) =
2
3
=
2
3
1
6P(B)
2
+ P(B) −
1
6
2
⇒ 5P(B) = 1 + 6 P(B) ⇒ 6 P(B) − 5P(B) + 1 = 0
6P(B)
1
3
⇒ P(A ∪ B) =
+ P(B) − P(A).P(B) ⇒
2
1 + 6 P(B)
ó P(A) =
1
3
1
3
, P(B) =
1
2
.
PROBLEMA 7.
Los eventos A1 , A2 ,..., An son eventos independientes y p(A j ) = p , j = 1, 2,...,n . Halle el menor
n para el cual
 n

P
Ai  ≥ H ,


 i =1 
∪
donde H es un número fijo.
SOLUCIÓN.
 n

 n

P
Ai  = 1 − P 
Aic  = 1 −




 i =1 
 i =1

∪
∩
n
∏ P(A ) = 1 − (1 − p)
c
i
n
≥ H ⇒ (1 − p)n ≤ 1 − H ⇒ nln(1 − p) ≤ ln(1 − H)
i =1
PROBLEMA 8.
¿Cuál es el menor valor de n para el cual la probabilidad de obtener al menos un 6 en una
serie de n lanzamientos de un dado sea mayor que 34 ?
SOLUCIÓN.
Sea Ai : se obtiene un 6 en el i-ésimo lanzamiento. Se quiere determinar el menor n para el cual
 n
 3
P
Ai  > .

 4
 i =1 
∪
Como
 n

P
Ai  = 1 −


 i =1 
∪
n
∏
i =1
n
5
P(Aic ) = 1 −   ,
6
se quiere hallar el menor n para el cual
n
1
5
6 < 4
 
es decir
5
1
n.ln   < ln  
6
 
4
José Luis Quintero
60
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
con lo cual se obtiene n = 8 .
PROBLEMA 9.
Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > 0 y
P(A ∪ B ∪ C) = 4P(A) . Obtenga P(A), P(B) y P(C).
SOLUCIÓN.
P(A ∪ B ∪ C) = 4P(A)
= P(A) + P(B) + P(C) − P(A).P(B) − P(A).P(C) − P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C)
2
2
2
4P(A) = P(A) + 2P(A) + 4P(A) − 2 P(A) − 4 P(A) − 8 P(A) + 8 P(A)
3
2
3
2
3P(A) − 14 P(A) + 8 P(A) = 0 ⇒ P(A) 8 P(A) − 14.P(A) + 3 = 0


2
8 P(A) − 14.P(A) + 3 = 0 ⇒ P(A) =
1
4
Usando las relaciones dadas se tiene que P(A) =
1
4
, P(B) =
1
2
, P(C) = 1 .
PROBLEMA 10.
En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se realiza un MASR de tamaño tres.
¿Cuál es la probabilidad de que las tres pelotas sean rojas?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Escoger al azar tres pelotas de una caja
Propósito: Determinar el color de cada pelota
Sea el evento Ri : sale una pelota roja en el i-ésimo intento. De modo que
P(R1 ∩ R 2 ∩ R 3 ) = P(R1 ).P(R 2 / R1 ).P(R 3 / R1 ∩ R 2 ) =
R
R −1
R −2
.
.
R + A R + A −1 R + A −2
PROBLEMA 11.
En una caja hay 4 bombillos malos y 6 buenos. Se sacan 2 bombillos a la vez. ¿Cuál es la
probabilidad de que ambos bombillos resulten buenos?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Extracción al azar de dos bombillos de una caja
Propósito: Determinar si se encuentran o no funcionando
Sean los eventos B1 : el primer bombillo sale bueno B2 : el segundo bombillo sale bueno
Entonces
P(B1 ∩ B2 ) = P(B1 ).P(B2 / B1 ) =
6 5 30 1
. =
=
10 9 90 3
PROBLEMA 12.
Se tienen dos cajas con pelotas. En la caja 1 hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la
caja 2 hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. Se selecciona al azar una pelota de la caja 1 y
se coloca en la caja 2. Seguidamente se escoge una pelota de la caja 2. ¿Cuál es la
probabilidad de que esa pelota sea blanca?
José Luis Quintero
61
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Escoger al azar una pelota de la caja 1 y colocarla en la caja 2.
Posteriormente se escoge una pelota al azar de la caja 2
Propósito: Determinar el color de la última pelota escogida
Sean los eventos
B1 : se pasa una pelota blanca de la caja 1 a la caja 2
B2 : se pasa una pelota roja de la caja 1 a la caja 2
A: se selecciona una pelota blanca de la caja 2
Entonces
P(A) = P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B2 ) = P(B1 ).P(A / B1 ) + P(B2 ).P(A / B2 )
=
X
Z+1
Y
Z
+
.
.
X + Y Z + W +1 X + Y Z + W +1
PROBLEMA 13.
Una caja contiene 2000 transistores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja
contiene 500 transistores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contienen 1000
transistores cada una con un 10% de defectuosos. Se selecciona al azar una caja y de ella se
toma un transistor. ¿Cuál es la probabilidad de que ese transistor esté bueno?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Escoger al azar una caja y luego de esta caja tomar al azar un transistor
Propósito: Determinar el estado del transistor elegido
Sean los eventos
B: el transistor escogido es bueno
Ci : se escoge la caja i, i = 1,..., 4
B : el transistor escogido es defectuoso
Entonces
P(B) = 1 − P(B) = 1 − P(B ∩ C1 ) + P(B ∩ C2 ) + P(B ∩ C3 ) + P(B ∩ C4 )
= 1 − P(C1 ).P(B / C1 ) + P(C2 ).P(B / C2 ) + P(C3 ).P(B / C3 ) + P(C4 ).P(B / C4 )
= 1 − (0.25 × 0.05 + 0.25 × 0.40 + 0.25 × 0.10 + 0.25 × 0.10)
= 1 − 0.25 × (0.05 + 0.40 + 0.10 + 0.10) = 1 − 0.25 × 0.65 = 0.8375
PROBLEMA 14.
Se dispone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se lanza un dado perfecto y
se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis; si N es menor que 4 se
extraen 2 pelotas sin reposición, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición. ¿Cuál
es la probabilidad de que no se extraigan pelotas rojas?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Se lanza un dado y de acuerdo al resultado se extraen 2 pelotas con o sin
reposición de una caja
Propósito: Determinar el color de cada pelota extraida
Sean los eventos
A: se seleccionan dos pelotas amarillas
José Luis Quintero
62
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
N1 : se obtiene un número menor que 4 al lanzar el dado
N2 : se obtiene un número mayor o igual que 4 al lanzar el dado
P(A) = P(A ∩ N1 ) + P(A ∩ N2 ) = P(N1 ).P(A / N1 ) + P(N2 ).P(A / N2 )
1
A
A −1
1
A
A
1
A
A 
 A −1
×
×
+ ×
×
= ×
×
+
2 R + A R + A − 1 2 R + A R + A 2 R + A  R + A − 1 R + A 
=
PROBLEMA 15.
Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de primero, B lanza
después y por último C, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga un número
par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?
SOLUCIÓN.
Sean los eventos: A: el jugador A gana , B: el jugador B gana , C: el jugador C gana
GAi : el jugador A gana en el intento i-ésimo
GBi : el jugador B gana en el intento i-ésimo
GCi : el jugador C gana en el intento i-ésimo
Ai : el jugador A obtiene un número par en el intento i-ésimo
Bi : el jugador B obtiene un número par en el intento i-ésimo
Ci : el jugador C obtiene un número par en el intento i-ésimo
GAi = A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai . En consecuencia
P(GAi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai )
i −1
∏
= P(Ai ).
j =1
3(i −1)
1
P(A j ).P(B j ).P(C j ) =  
2
3i − 2
1 1
2 = 2
   
GBi = A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi . En consecuencia
P(GBi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi )
i −1
∏
= P(Ai ).P(Bi ).
j =1
3(i −1)
1
P(A j ).P(B j ).P(C j ) =  
2
3i −1
2
1
1
2 = 2
 
 
GCi = A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi ∩ Ci . En consecuencia
P(GCi ) = P(A1 ∩ B1 ∩ C1 ∩ ... ∩ Ai −1 ∩ Bi −1 ∩ Ci −1 ∩ Ai ∩ Bi ∩ Ci )
i −1
∏
= P(Ai ).P(Bi ).P(Ci )
j =1
3(i −1)
1
P(A j ).P(B j ).P(C j ) =  
2
3
3i
1
1
2 = 2
 
 
Entonces
∞
P(A) =
∑
∑
∞
P(GAi ) =
i =1
∞
P(B) =
∑
∑
i =1
∞
P(GBi ) =
i =1
i =1
∑
i =1
José Luis Quintero
∑
∑
∑ ∑
=4
∞
P(GCi ) =
i =1
∞
3i −1
1
2
 
∞
P(C) =
∞
3i − 2
1
2
 
i =1
=2
i =1
=
i =1
= 4.
1
8
1−
3i
1
2
 
∞
3i
1
2
 
3i
1
2
 
= 2.
1
8
1−
3i
1
2
 
1
8
=
1
8
1
8
1−
1
8
= 4.
= 2.
=
1 4
=
7 7
1 2
=
7 7
1
7
63
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 16.
N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La participación se hace en serie
hasta que el primero de ellos obtenga la ocurrencia del evento de interés definido previamente
que tiene probabilidad p (0 < p < 1) . ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los
jugadores?
SOLUCIÓN.
Sean los eventos:
Ji : el jugador i-ésimo gana , i = 1,...,N
GJik : el jugador i-ésimo gana en el intento k-ésimo
Jik : el jugador i-ésimo obtiene el evento de interés en el intento k-ésimo
Se tiene que
GJik = J11 ∩ J21 ∩ ... ∩ JN1 ∩ J12 ∩ J22 ∩ ... ∩ JN2 ∩ ... ∩ J1k −1 ∩ J2k −1 ∩ ... ∩ JNk −1 ∩ J1k ∩ J2k ∩ ... ∩ Jik .
En consecuencia
P(GJik ) = P(J11 ∩ J21 ∩ ... ∩ JN1 ∩ J12 ∩ J22 ∩ ... ∩ JN2 ∩ ... ∩ J1k −1 ∩ J2k −1 ∩ ... ∩ JNk −1 ∩ J1k ∩ J2k ∩ ... ∩ Jik )
= (1 − p)N(k −1)(1 − p)i−1p = (1 − p)N(k −1)+i−1p
Entonces
∞
P(Ji ) =
∑
∞
P(GJik ) =
k =1
∑
∞
N(k −1) + i −1
(1 − p)
i − N −1
p = p(1 − p)
k =1
= p(1 − p)i −N −1
PROBLEMA 17.
Sea S = {a,b, c, d, e} , con P(a) =
1 − (1 − p)N
, P(b) =
(1 − p)Nk
k =1
(1 − p)N
1
8
∑
1
16
A = {a, d, e} y B = {c, d, e} . Calcule P(B / A) .
=
p(1 − p)i −1
1 − (1 − p)N
, P(c) =
3
16
, i = 1,...,N
, P(d) =
5
16
, P(e) =
5
16
. Sean los eventos
SOLUCIÓN.
3
P(B / A) =
P(B ∩ A) P(B ∩ A)
16
=
=
2 − 5 −
1 − P(A) 1 − 16
P(A)
16
5
16
=
3
16
4
16
=
3
4
PROBLEMA 18.
Se tienen cinco cajas con cinco bolas cada una, distribuidas como sigue: la caja i tiene i bolas
blancas y 5-i bolas negras. Se selecciona una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de haber
sacado una bola de la caja i si ésta es de color negro?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Selección al azar de una bola de una caja
Propósito: Tras saber que la bola seleccionada es negra se desea saber de que caja se obtuvo
CAJA 1 (C1): Contiene 1 bola blanca (B) y 4 bolas negras (N)
CAJA 2 (C2): Contiene 2 bolas blancas(B) y 3 bolas negras (N)
CAJA 3 (C3): Contiene 3 bolas blancas (B) y 2 bolas negras (N)
CAJA 4 (C4): Contiene 4 bolas blancas (B) y 1 bolas negras (N)
José Luis Quintero
64
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
CAJA 5 (C5): Contiene 5 bolas blancas (B) y 0 bolas negras (N)
P(Ci / N) =
P(Ci ∩ N) P(Ci).P(N / Ci)
=
=
P(N)
P(N)
P(Ci).P(N / Ci)
=
5
∑ P(Ci).P(N / Ci) ∑
i =1
CAJA 1 (i=1):
4
10
=
CAJA 4 (i=4):
1
10
. CAJA 5 (i=5):
2
5
. CAJA 2 (i=2):
0
10
3
10
1 . 5 −i
5 5
5
1 . 5 −i
5 5
i =1
. CAJA 3 (i=3):
2
10
=
1
5
=
5 −i
5
5
5 −i
5
i =1
∑
=
5 −i
5
10
5
=
5 −i
10
.
= 0.
PROBLEMA 19.
Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de
encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un
pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para
los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el
petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y
en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo,
determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del tipo I.
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio 1: Perforar en una formación geológica
Propósito: Determinar el tipo de formación geológica
Experimento aleatorio 2: Buscar petróleo
Propósito: Determinar si hay o no petróleo
Eventos:
P: “Se encuentra petróleo”
T1: “La formación es de tipo I”
T2: “La formación es de tipo II”
T3: “La formación es de tipo III”
P(T1) = 0.35 P(T2) = 0.40 P(T3) = 0.25 P(P/T1) = 0.4 P(P/T2) = 0.2 P(P/T3) = 0.4
Se pide calcular P(T1/P).
P(T1 ∩ P)
P(T1).P(P / T1)
=
P(T1 / P) =
P(P)
P(T1).P(P / T1) + P(T2).P(P / T2) + P(T3).P(P / T3)
0.35 × 0.40
0.35
=
=
0.35 × 0.40 + 0.40 × 0.20 + 0.25 × 0.40 0.35 + 0.20 + 0.25
0.35
=
= 0.4375
0.80
PROBLEMA 20.
Un detector de mentiras muestra una señal positiva (señala una mentira) 10% de las veces
que alguien dice la verdad, y 95% de las veces que alguna persona miente. Si dos personas
son sospechosas de un crimen que se sabe ha cometido uno solo de ellos, y ambos dicen ser
inocentes, ¿cuál es la probabilidad de que una señal positiva del detector corresponda al
culpable?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Emisión de una señal de una máquina
José Luis Quintero
65
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
Propósito: Determinar el tipo de señal emitida
Eventos: S+ : “La señal es positiva”
I: “Es inocente”
C: “Es culpable”
P(S+/I) = 0.1;
P(S+/C) = 0.95;
P(I)=0.5;
P(C) = 0.5;
P(C/S+) = ?
P(C ∩ S+)
P(C ∩ S+)
P(C).P(S + /C)
P(C / S+) =
=
=
P(S+)
P(S + ∩I) + P(S + ∩C) P(I).P(S + /I) + P(C).P(S + /C)
=
1 .0.95
2
1 .0.1 + 1 .0.95
2
2
=
0.95
≈ 0.905
1.05
PROBLEMA 21.
Un estudiante responde una pregunta de un examen de múltiple escogencia que tiene cuatro
respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta a
la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si el estudiante adivina, la
probabilidad de que acierte es 0.25. Si el estudiante responde acertadamente la pregunta,
¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente supiera la respuesta?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio 1: Seleccionar al azar una pregunta
Propósito: Determinar si conozco o no su respuesta
Experimento aleatorio 2: Responder dicha pregunta
Propósito: Determinar si la respuesta es correcta o incorrecta
Eventos:
C: ”El estudiante conoce la respuesta”
A: “El estudiante adivina la respuesta”
B: “El estudiante acierta la respuesta”
Datos e incógnita: P(C) = 0.8 , P(A) = 0.2 , P(B / A) = 0.25 , P(B / C) = 1 , P(C / B) = ?
Aplicación del Teorema de Bayes:
P(C ∩ B)
P(C).P(B / C)
0.8 × 1
0.8
P(C / B) =
=
=
=
≈ 0.941
P(B)
P(A).P(B / A) + P(C).P(B / C) 0.2 × 0.25 + 0.8 × 1 0.85
PROBLEMA 22.
Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es 0.6.
Se sabe que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y
expuesta al virus contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada
tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos personas,
una vacunada y otra no, son capaces de realizar cierta tarea muy especializada en una
compañía. Suponga que estas personas no están en la misma localidad, no están en contacto
con las mismas personas ni pueden contagiarse entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que al
menos uno de ellos sufra la enfermedad?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Escoger una persona al azar
Propósito: Determinar si se encuentra sana o se encuentra enferma
Eventos:
E: Hubo exposición al virus que produce una enfermedad
José Luis Quintero
66
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
A: El empleado vacunado contrae la enfermedad
B: El empleado no vacunado contrae la enfermedad
Información suministrada: P(E) = 0.6 , P(A / E) = 0.2 , P(B / E) = 0.9
Se pide:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1 − P(Ac ∩ Bc ) = 1 − P(Ac ).P(Bc )
P(A c ) = P(A c ∩ Ec ) + P(A c ∩ E) = P(Ec ).P(A c / Ec ) + P(E).P(A c / E) = 0.4 × 1 + 0.6 × 0.8 = 0.88
P(Bc ) = P(Bc ∩ Ec ) + P(Bc ∩ E) = P(Ec ).P(Bc / Ec ) + P(E).P(Bc / E) = 0.4 × 1 + 0.6 × 0.1 = 0.46
De modo que
P(A ∪ B) = 1 − P(A c ).P(Bc ) = 1 − 0.88 × 0.46 = 1 − 0.4048 = 0.5952
PROBLEMA 23.
Sea una caja denominada “caja X” con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto
son artículos buenos y otra caja llamada “caja Y” con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El
lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y. El martes
en la mañana se elige un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que el lunes se
haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos artículos
obtenidos el martes son defectuosos es igual a 3/8. Determine la cantidad de artículos
defectuosos que originalmente tenía la caja X.
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Se escoge al azar un artículo de la caja X y otro de la caja Y
Propósito: Determinar el estado de cada artículo extraído
Definición de eventos de interés:
DX − Y : El lunes en la noche se pasó un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y
D1 : El primer artículo extraído el martes es defectuoso
D2 : El segundo artículo extraído el martes es defectuoso
P(DX − Y / (D1 ∩ D2 )) =
P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 )
P(D1 ∩ D2 )
n n −1 3
.
.
8 7 8
∩ D1 ) + P(DX − Y ).P(D1 / DX − Y ).P(D2 / (DX − Y ∩ D1 )
P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 ) = P(DX − Y ).P(D1 / DX − Y ).P(D2 / (DX − Y ∩ D1 ) =
P(D1 ∩ D2 ) = P(BX − Y ).P(D1 / BX − Y ).P(D2 / (BX − Y
=
P(DX − Y
8 −n n 2 n n−1 3
. . + .
.
8 7 8 8 7 8
n n −1 3
.
.
P(DX − Y ∩ D1 ∩ D2 )
8
7 8
=
/ (D1 ∩ D2 )) =
8 −n n 2 n n −1 3
P(D1 ∩ D2 )
. . + .
.
8 7 8 8 7 8
3n(n − 1)
3(n − 1)
3
=
=
=
2n(8 − n) + 3n(n − 1) 2(8 − n) + 3(n − 1) 8
⇒ 24(n − 1) = 6(8 − n) + 9(n − 1) ⇒ 24n − 24 = 48 − 6n + 9n − 9 ⇒ 21n = 63 ⇒ n = 3
José Luis Quintero
67
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 24.
Sean dos cajas numeradas 1 y 2. La caja 1 tiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarillas y la caja
2 tiene 8 pelotas rojas y 4 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene como
resultado un valor N, con N entre uno y seis. Si N es menor que 5 se extraen 2 pelotas sin
reposición de la caja 1, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición de la caja 2.
Halle la probabilidad de obtener a lo sumo 1 pelota roja.
SOLUCIÓN.
Sean los eventos
N5 − : El resultado obtenido en el dado es menor que 5
N5 + : El resultado obtenido en el dado es mayor o igual que 5
Ri : Se extrae una pelota roja en el i-ésimo intento , i = 1, 2
Ai : Se extrae una pelota amarilla en el i-ésimo intento , i = 1, 2
R : Se obtienen dos pelotas rojas
El diagrama de árbol correspondiente se visualiza en la figura 1. Por lo tanto
P(R) = 1 − P(R) = 1 − P(N5 − ).P(R1 / N5 − ).P(R 2 / (N5 − ∩ R1 )) − P(N5 + ).P(R1 / N5 + ).P(R 2 / (N5 + ∩ R1 ))
R: Se obtiene a lo sumo una pelota roja
=1−
4 7 6 2 8 8
7
4
190
.
.
.
− .
=1−
−
=
≈ 0.6397
6 12 11 6 12 12
33 27 297
Figura 1. Diagrama de árbol
José Luis Quintero
68
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
PROBLEMA 25.
De los eventos A, B, C y D se tiene la siguiente información:
• A y B son independientes, B y C son independientes y A y C son independientes
• De A, B y C pueden ocurrir a lo sumo 2 de ellos
• A ∪ B ∪ C y D son mutuamente excluyentes
• A, B y C ocurren cada uno con una probabilidad p (0 < p < 1)
• El evento D tiene una probabilidad de ocurrencia igual a 1/5
a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro
eventos anteriores sea máxima.
b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta
SOLUCIÓN.
a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro
eventos anteriores sea máxima.
SOLUCIÓN.
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
= p + p + p − p2 − p2 − p2 + 0 = 3p − 3p2
Por lo tanto
P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = P(A ∪ B ∪ C) + P(D) = 3p − 3p2 +
Para
que
1
5
la
probabilidad anterior sea máxima se tiene que
P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = f(p) = 3p − 3p2 +
f '(p) = 3 − 6p = 0 ⇒ p =
Lo que implica que si p =
1
2
1
5
1
2
⇒ f '(p) = 3 − 6p ⇒ f ''(p) = −6
⇒ f ''( 12 ) = −6 < 0
, entonces P(A ∪ B ∪ C ∪ D) es máxima y su valor es
3 1 15 + 4 19
+ =
=
4 5
20
20
b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta
SOLUCIÓN.
Como P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = 19
< 1 , se concluye que los eventos A, B, C y D no son colectivamente
20
exhaustivos.
PROBLEMA 26.
Considere una caja que contiene 2 pelotas rojas, 2 pelotas verdes y 2 pelotas blancas. Dos
jugadores A y B se turnan para extraer 2 pelotas de la caja con reposición. Gana aquel jugador
que en ese turno sea el único en extraer 2 pelotas de igual color; en cualquier otro caso,
ambos vuelven a intentarlo. Calcule la probabilidad de que el jugador A gane antes de su
tercer intento.
SOLUCIÓN.
Definición de eventos:
Ai : el jugador A extrae 2 pelotas de igual color en el intento i, i = 1,2,...
ARi : el jugador A extrae 2 pelotas rojas en el intento i, i = 1,2,...
AVi : el jugador A extrae 2 pelotas verdes en el intento i, i = 1, 2,...
José Luis Quintero
69
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
ABi : el jugador A extrae 2 pelotas blancas en el intento i, i = 1, 2,...
Bi : el jugador B extrae 2 pelotas de igual color en el intento i, i = 1, 2,...
GAi : el jugador A gana en el intento i, i = 1,2,...
A: el jugador A gana antes de su tercer intento
2
2
2
12 1
2
2
2
P(Ai ) = P(ARi ∪ AVi ∪ ABi ) =   +   +   =
= = P(Bi ) , i = 1, 2,...
6
6
6
36 3
 
 
 
1 2 2
;
P(GA1 ) = P(A1 ∩ B1 ) = . =
3 3 9
P(GA2 ) = P(((A1 ∩ B1 ) ∪ (A1 ∩ B1 )) ∩ (A2 ∩ B2 )) = P((A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 ) ∪ (A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 ))
3
3
10
1 2 1 2
= P(A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 ) + P(A1 ∩ B1 ∩ A2 ∩ B2 ) =   . + .   =
81
3 3 3 3
Por lo tanto
P(A) = P(GA1 ∪ GA2 ) = P(GA1 ) + P(GA2 ) =
2 10 18 + 10 28
+
=
=
9 81
81
81
PROBLEMA 27.
Se tienen tres monedas cargadas, donde se sabe que la primera tiene una probabilidad de 0.3
de obtenerse cara, la segunda una probabilidad de 0.4 de ocurrir sello y la tercera una
probabilidad de 0.4 de salir cara. Un jugador escoge al azar una de las monedas y la lanza dos
veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio 1: Escogencia al azar de una moneda
Propósito: Determinar cuál de las monedas fue escogida
Experimento aleatorio 2: Lanzamiento por primera vez de la moneda
Propósito: Determinar lo ocurrido en la parte superior de la moneda
Experimento aleatorio 3: Lanzamiento por segunda vez de la moneda
Propósito: Determinar lo ocurrido en la parte superior de la moneda
Definición de eventos:
Mi : se seleccionó la moneda i, i = 1, 2, 3
Ci : ocurrió cara en el primer lanzamiento i, i = 1, 2
Se pide:
P(C1 ∩ C2 ) = P(M1 ).P(C1 ∩ C2 / M1 ) + P(M2 ).P(C1 ∩ C2 / M2 ) + P(M3 ).P(C1 ∩ C2 / M3 )
=
José Luis Quintero
1
1
1
× (0.3)2 + × (0.6)2 + × (0.4)2 ≈ 0.203
3
3
3
70
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
26. PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Coloque al lado la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa
respectivamente.
a. Un evento es un subconjunto del espacio muestral que contiene sólo un
V
F
resultado del experimento aleatorio
b. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la suma de las
V
F
c. Uno de los axiomas de la probabilidad establece que la probabilidad del evento
vacio es igual a cero
V
F
d. El número de elementos de un conjunto determina su cardinalidad
V
F
e. Todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables
V
F
probabilidades de un evento y su complemento es igual a uno
2.
Marque con una X la respuesta que considere correcta.
a. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 , se
puede afirmar que P(A ∩ B) :
( )0
( ) 0.19
( ) 0.81
( )1
b. Se lanza un par de dados honestos. La probabilidad de que la suma de los dos números
obtenidos sea mayor o igual a 10 es equivalente a
( ) 1/12
( ) 1/6
( ) 5/36
( ) 5/6
c. Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. El evento “no ocurre ninguno” se
expresa como:
( ) A1 ∩ A2 ∩ A3
(
) A1 ∪ A2 ∪ A3
(
) A1 ∩ A2 ∩ A3
(
) Ninguna de las anteriores
d. Sea E el conjunto con todos los posibles resultados del experimento “elegir una persona
al azar”. Sean los sucesos:
M: “la persona es mujer”,
R: “la persona es rubia”, C: “la persona tiene ojos claros”.
A continuación se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona
sombreada representa un suceso. El suceso “hombres de ojos oscuros” se encuentra
representado en el diagrama
D1
(
3.
) D1
D2
(
) D2
D3
(
) D3
(
D4
) D4
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 determine:
a. P(A)
b. P(B)
c. P(A ∪ B)
José Luis Quintero
71
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
d. P(A ∩ B)
e. P(A ∩ B)
f.
P(A ∩ B)
4.
Sean A y B dos eventos cualesquiera de un espacio muestral. Emplee un diagrama de Venn
para demostrar que P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B).
5.
Sean A1 , A2 y A3 eventos de un espacio muestral. Dibuje mediante diagramas de Venn, los
siguientes eventos:
a. Los tres eventos ocurren
b. Ocurre sólo A1
c. Ocurren A1 y A2 pero no A3
d. Ocurre al menos uno de los tres eventos
e. No ocurre ninguno
f. Ocurren al menos dos
g. Ocurren a lo sumo dos
6.
Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones:
administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de
empleados en cada división clasificados por sexo:
Mujer (M) Hombre (H)
Totales
Administración (A)
20
30
50
Operación de planta (O)
60
140
200
Ventas (V)
100
50
150
Totales
180
220
400
a. Si se elige aleatoriamente un empleado:
• ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
• ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas?
• ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración?
b. Determine las siguientes probabilidades:
• P(A ∪ M)
7.
•
P(A ∪ M)
•
P(O ∩ H)
De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades
cardíacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los
pacientes tenían uno u otro de los padecimientos?
8.
Se examinaron las tarjetas de registro de 200 estudiantes en relación a ciertos idiomas. Se
encontró que 100 aprendian francés, 80 aprendian español y 60 ambos idiomas. Si de este
grupo de 200 estudiantes, se selecciona uno al azar,
José Luis Quintero
72
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
a. ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre aprendiendo francés o español?
b. ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre aprendiendo ninguno de los dos idiomas?
9.
Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea
mayor o igual a 9?
10. Se tiene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de radio R (2R<L). Se lanza un
dardo. Si el dardo cae en la zona circular se obtiene un premio. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener el premio?
11. Un dado tiene tres caras negras numeradas 1, 2 y 3; las otras tres caras son blancas y
numeradas 4, 5 y 6. Si se lanza este dado, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un
número par o una cara blanca?
12. Un dado está cargado de modo tal que la probabilidad de que salga la cara i es proporcional
a k. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos:
a. El resultado de arrojar el dado es un número par.
b. El resultado es menor que 6.
13. Se sabe de los eventos A, B y C lo siguiente: P(A) = P(B) = P(C) =
P(A ∩ C) =
1
8
1
4
, P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 y
. Halle la probabilidad de que al menos uno de los eventos, A, B o C ocurra.
14. Se está realizando la inspección final de aparatos de televisión después del ensamble. Se
identifican tres tipos de defectos como críticos, mayores y menores y una empresa de envíos
por correo los clasifica en: A, B y C, respectivamente. Se analizan los datos con los
siguientes resultados:
• Aparatos que sólo tienen defectos críticos: 2 %
• Aparatos que sólo tienen defectos mayores: 5 %
• Aparatos que sólo tienen defectos menores: 7 %
• Aparatos que sólo tienen defectos críticos y mayores: 3 %
• Aparatos que sólo tienen defectos críticos y menores: 4 %
• Aparatos que sólo tienen defectos mayores y menores: 3 %
• Aparatos que tienen los tres tipos de defectos: 1 %
a. ¿Qué porcentaje de los aparatos no tiene defectos?
b. Los aparatos con defectos críticos o mayores (o ambos) deben manufacturarse
nuevamente. ¿Qué porcentaje corresponde a esta categoría?
15. Se escoge al azar una pelota de 1 caja que contiene pelotas rojas, blancas, azules, amarillas
y verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es 1/5 y la de seleccionar una
pelota blanca es 2/5, calcule la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla o verde.
16. Sean A, B y C tres eventos tales que P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3 , P(A ∩ B) = 0.1 , P(A ∩ C) = 0.1 ,
P(B ∩ C) = 0, P(A ∪ C) = 0.7 . Obtenga la probabilidad de que ocurra exactamente solo uno
de dichos eventos.
José Luis Quintero
73
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
17. En una determinada población, el 60% de las personas son mujeres, el 25% de la gente es
rubia y el 35% de la gente tiene ojos claros. Por otro lado, el 10% de la población son
mujeres rubias, el 20% de la población son mujeres de ojos claros, el 15% de la población
son personas rubias y de ojos claros y el 5% de la población son mujeres rubias de ojos
claros. Calcule la probabilidad de que al elegir una persona al azar, esta sea
a. mujer no rubia y de ojos oscuros
b. hombre no rubio y de ojos oscuros
c. persona rubia o de ojos claros
18. Un club tiene 25 miembros y se debe elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es el
número total de formas posibles para ocupar estos cargos?
19. Se tienen 6 libros distintos para colocar en una estantería. ¿De cuántas formas distintas se
pueden ordenar estos libros?
20. Un club tiene 20 miembros y se debe elegir un grupo de 8 personas para realizar una
actividad. ¿Cuántos grupos distintos se pueden hacer?
21. Se tiene una caja con tres pelotas rojas, diez pelotas amarillas y cinco pelotas negras.
Determine la cantidad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer si
a. la extracción es de forma simultánea
b. la extracción es de forma serial con reposición
c. con una pelota de cada color
d. con tres pelotas de igual color
22. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?
23. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Determine el número de maneras
en las que puede hacerse si
a. los premios son diferentes y la persona no puede recibir más de un premio
b. los premios son iguales y la persona no puede recibir más de un premio
c. los premios son diferentes y la persona puede recibir más de un premio
d. los premios son iguales y la persona puede recibir más de un premio
24. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los
lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
25. Determine la cantidad de números de 4 dígitos que se pueden formar con las cifras 0,1,…,9
(no permitiendo que el primer dígito sea cero)
a. permitiendo repeticiones
b. sin repeticiones
c. si el último dígito ha de ser cero y no se permiten repeticiones
26. En un grupo de 10 amigos, determine todas las distribuciones de sus fechas de cumpleaños
que pueden darse al año.
José Luis Quintero
74
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
27. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres
si hombres y mujeres deben quedar alternados?
28. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan sentar en una fila tres hombres y cuatro mujeres
si los hombres se sientan juntos?
29. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una placa de un automóvil compuesta por 3 letras
seguidas de 3 números, las letras sean distintas y los números sean distintos?
30. Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La
selección se realizará al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos
hombres y tres mujeres?
31. Se van a alinear al azar 6 pelotas negras y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2
pelotas blancas queden juntas?
32. Sea el experimento aleatorio de seleccionar al azar un número de tres cifras comprendido
entre 100 y 999, incluyendo a ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido
tenga al menos un uno?
33. Se escogen al azar cinco resistencias en una caja que contiene 30 resistencias de las cuales 7
son defectuosas. Halle la probabilidad de que:
a. ninguna sea defectuosa
b. se escojan dos defectuosas
c. por lo menos una sea defectuosa
34. En una estantería se desean colocar 4 libros diferentes de matemática, 6 libros diferentes de
física y 2 libros diferentes de química. Calcule la probabilidad de que
a. los libros de cada materia queden juntos
b. solo los libros de matemática queden juntos
c. los libros de química queden juntos y en cualquiera de los extremos
35. El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando
los dígitos del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de
forma aleatoria y sin repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados
b. El código es un número par
c. El código no debe tener ni 1 ni 4
d. El número 3 no aparece en el código
e. El dígito 2 ó 3 aparece al menos una vez en el código
36. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras
puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
José Luis Quintero
75
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
37. A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3
físicos. Determine las formas en las que puede hacerse si
a. todos son elegibles
b. un físico en particular ha de estar en esa comisión
38. En la síntesis de proteínas hay una secuencia de tres nucleótidos sobre el ADN que decide
cuál es el aminoácido a incorporar. Existen cuatro tipos distintos de nucleótidos según la
base, que puede ser A (adenina), G (guanina), C (citosina) y T (timina). ¿Cuántas secuencias
distintas se podrán formar si se pueden repetir nucleótidos?
39. ¿Cuál es la probabilidad de que entre r personas al menos dos cumplan años el mismo día?
40. En el juego del KINO TÁCHIRA, calcule la probabilidad porcentual de lograr al menos 12
aciertos en un cartón participante.
41. Un estudiante debe someterse a un examen de admisión y para ello debe preparar 14 temas.
El examen tiene dos partes: un primer examen que será escrito y un segundo examen que
será oral. Para cada examen se debe escoger al azar un tema. El tema seleccionado para el
examen escrito ya no puede seleccionado para el examen oral. Calcule la probabilidad de los
siguientes eventos:
a. En los dos temas tomados al azar siempre aparece el tema 2 y nunca aparece el tema 10
b. En los dos temas tomados al azar siempre aparece al menos uno de los 5 temas que el
estudiante se sabe
c. El estudiante presentó el tema 1 en el examen escrito
42. En un centro comercial hay 5 cajeros automáticos de distintos bancos comerciales. Suponga
que en un momento determinado van 4 personas, una tras otra, a utilizar alguno de estos
cajeros. Igualmente suponga que cada una de las personas consigue los 5 cajeros
desocupados. Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos:
a. Las cuatro personas utilizan cajeros diferentes
b. Solo dos de estas personas utilizan el mismo cajero
c. Las cuatro personas utilizan el mismo cajero
43. Una caja contiene 10 bombillos, cuatro malos y seis buenos. Los bombillos se prueban de la
siguiente manera: se extraen al azar y se prueban sin reemplazarlos. Este proceso se repite
hasta localizar los cuatro en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad de que el último en mal
estado se identifique en la quinta prueba?, ¿Cuál es la probabilidad de que el último en mal
estado se identifique en la décima prueba?
44. Una máquina produce un total de 12000 tornillos cada día, de los cuales el 3% en promedio
es defectuoso. Encuentre la probabilidad de que de 600 tornillos tomados al azar, haya 12
defectuosos.
José Luis Quintero
76
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
45. Los empleados de la compañía Nuevo Horizonte se encuentran separados en tres divisiones:
administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de
empleados en cada división clasificados por sexo:
Mujer (M) Hombre (H)
Totales
Administración (A)
20
30
50
Operación de planta (O)
Ventas (V)
60
100
140
50
200
150
Totales
180
220
400
Determine las siguientes probabilidades:
a. P(A/M)
b. P(M/A)
c. P(H/V)
46. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equilibrada. A lanza de primero y B
lanza después, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga cara. ¿Cuál es la
probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?
47. Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de una
compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de
gran interés para el inversionista. Con base en esta información, se observa que la cotización
se relaciona con el Producto Nacional Bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que
las acciones aumenten su valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las
acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si
para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el
PNB aumenta, es el mismo y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que
las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses.
48. Una universidad está formada por tres facultades: La primera facultad tiene el 50% de
estudiantes, la segunda facultad posee el 25% de estudiantes y la tercera facultad alberga el
otro 25% de estudiantes. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo 60% del total
en cada facultad.
a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno varón?
49. Se lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas blancas como
número de caras obtenidas y tantas negras como el número del lanzamiento donde se
obtiene sello por primera vez multiplicado por dos, si es que se obtiene. Se extraen sin
reposición dos bolas de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
50. Tres sucursales de una tienda tienen 8, 12 y 14 empleados de los cuales 4, 7 y 10 son
mujeres, respectivamente. Se escoge una sucursal al azar y de ella se escoge a un
empleado. Si este empleado es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que ella trabaje en la
sucursal que tiene 12 empleados?
José Luis Quintero
77
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
51. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de
encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un
pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para
los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que
el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II
y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay
petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del
tipo III.
52. Pruebe que para cualesquiera dos eventos, A y B, P(A B) + P(A B) = 1 , con tal de que
P(B) ≠ 0 .
53. Pruebe que si P(B / A) = P(B / A) entonces A y B son independientes.
54. Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son A c y Bc .
55. Si A1 ,..., An son eventos independientes, demuestre que
 n

P
Ai  = 1 −


 i =1 
∪
56. Sean
A
y
B
eventos
n
∏ (1 − P(A )) .
i
i =1
independientes,
tales
que
con
probabilidad
1/6
ocurren
simultáneamente, y con probabilidad 1/3 ninguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B).
57. Los eventos A1 , A2 ,..., An son eventos independientes y p(A j ) = p , j = 1,2,...,n . Halle el
menor n para el cual
 n

P
Ai  ≥ H ,


 i =1 
∪
donde H es un número fijo.
58. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual la probabilidad de obtener al menos un 6 en una
serie de n lanzamientos de un dado sea mayor que 34 ?
59. Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > 0 y
P(A ∪ B ∪ C) = 4P(A) . Obtenga P(A), P(B) y P(C).
60. Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. ¿Cuál es la
probabilidad de este evento?, ¿cuál es la probabilidad de que en el undécimo lanzamiento el
resultado sea cruz?
61. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. Un aparato contiene
dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los
componentes.
José Luis Quintero
78
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
a. Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no, ¿cuáles son los posibles
resultados y sus respectivas probabilidades? (Puede suponerse independencia en la
operación entre los componentes.)
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?
62. En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se realiza un MSR de tamaño tres.
¿Cuál es la probabilidad de que las tres pelotas sean rojas?
63. En una caja hay 4 bombillos malos y 6 buenos. Se sacan 2 bombillos a la vez. ¿Cuál es la
probabilidad de que ambos bombillos resulten buenos?
64. Se lanza un par de dados balanceados. Calcule la probabilidad de que la suma sea 7, dado
que:
a. La suma es impar
b. La suma es mayor que 6
c. El resultado del primer dado fue impar
d. El resultado del segundo dado fue par
e. El resultado de al menos un dado fue impar
f. Los dos dados tuvieron el mismo resultado
g. Los dos dados tuvieron distintos resultados
h. La suma de los dados fue 13
65. Se tienen dos cajas con pelotas. En la caja 1 hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la
caja 2 hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. Se selecciona al azar una pelota de la caja 1
y se coloca en la caja 2. Seguidamente se escoge una pelota de la caja 2. ¿Cuál es la
probabilidad de que esa pelota sea blanca?
66. Una caja contiene 2000 transistores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja
contiene 500 transistores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contienen
1000 transistores cada una con un 10% de defectuosos. Se selecciona al azar una caja y de
ella se toma un transistor. ¿Cuál es la probabilidad de que ese transistor esté bueno?
67. Se dispone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se lanza un dado perfecto
y se obtiene como resultado un valor N, con N variable entre uno y seis; si N es menor que 4
se extraen 2 pelotas sin reposición, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición.
¿Cuál es la probabilidad de que no se extraigan pelotas rojas?
68. Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de primero, B lanza
después y por último C, y el ciclo se repite hasta que gana el primero que obtenga un
número par. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de los jugadores?
69. N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La participación se hace en
serie hasta que el primero de ellos obtenga la ocurrencia del evento de interés definido
previamente que tiene probabilidad p (0 < p < 1) . ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada
uno de los jugadores?
José Luis Quintero
79
Probabilidad y Estadística
70. Sea S = {a,b, c, d, e} , con P(a) =
Introducción a la Probabilidad
1
8
, P(b) =
1
16
, P(c) =
3
16
, P(d) =
5
16
, P(e) =
5
16
. Sean los eventos
A = {a, d, e} y B = {c, d, e} . Calcule P(B / A) .
71. Se tienen cinco cajas con cinco bolas cada una, distribuidas como sigue: la caja i tiene i bolas
blancas y 5-i bolas negras. Se selecciona una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de haber
sacado una bola de la caja i si ésta es de color negro?
72. Basándose en varios estudios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de
encontrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pretende perforar un
pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para
los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que
el petróleo se encuentra en un 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II
y en un 40% de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay
petróleo, determine la probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación del
tipo I.
73. Un detector de mentiras muestra una señal positiva (señala una mentira) 10% de las veces
que alguien dice la verdad, y 95% de las veces que alguna persona miente. Si dos personas
son sospechosas de un crimen que se sabe ha cometido uno solo de ellos, y ambos dicen ser
inocentes, ¿cuál es la probabilidad de que una señal positiva del detector corresponda al
culpable?
74. Un estudiante responde una pregunta de un examen de múltiple escogencia que tiene cuatro
respuestas posibles. Suponga que la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta
a la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que adivine es 0.2. Si el estudiante adivina, la
probabilidad de que acierte es 0.25. Si el estudiante responde acertadamente la pregunta,
¿cuál es la probabilidad de que el estudiante realmente supiera la respuesta?
75. Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es
0.6. Se sabe que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y
expuesta al virus contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada
tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos
personas, una vacunada y otra no, son capaces de realizar cierta tarea muy especializada en
una compañía. Suponga que estas personas no están en la misma localidad, no están en
contacto con las mismas personas ni pueden contagiarse entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de
que al menos uno de ellos sufra la enfermedad?
76. Una bolsa contiene cuatro metras blancas y dos negras, y una segunda bolsa contiene tres
de cada color. Se escoge una bolsa al azar y luego se selecciona una metra, también al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que la metra sea blanca?
77. Sea una caja denominada “caja X” con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto
son artículos buenos y otra caja llamada “caja Y” con 5 artículos buenos y 2 defectuosos. El
lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y.
José Luis Quintero
80
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
El martes en la mañana se elige un artículo de cada caja. Se sabe que la probabilidad de que
el lunes se haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos
artículos obtenidos el martes son defectuosos es igual a 3/8. Determine la cantidad de
artículos defectuosos que originalmente tenía la caja X.
78. Tres cajas contienen dos monedas cada una. En la primera, C1 , ambas son de oro; en la
segunda, C2 , ambas son de plata y en la tercera, C3 , una es de oro y otra es de plata. Se
escoge una caja al azar. Si la moneda es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que venga de la
caja que contiene dos monedas de oro?
79. Tres enfermedades distintas y excluyentes A, B y C producen el mismo conjunto de síntomas
H. Un estudio clínico muestra que las probabilidades de contraer las enfermedades son 0.01,
0.005 y 0.02 respectivamente. Además, la probabilidad de que el paciente desarrolle los
síntomas H para cada enfermedad son 0.90; 0.95 y 0.75 respectivamente. Si una persona
enferma tiene los síntomas H, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad A?
80. El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el
proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control,
se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se
encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra
que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control?
81. Se lanza una moneda con una probabilidad de 2 3 que el resultado sea cara. Si aparece una
cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres
verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y
dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja?
82. Se lanzan tres dados. Calcule la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes,
justificando en cada caso su respuesta:
a. En cada cara aparece el mismo número
b. En dos caras aparece el mismo número y en la otra un número distinto
c. En todas las caras aparecen números distintos
83. De entre 20 tanques de combustible fabricados para un transbordador especial, tres se
encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos?
84. Se arrojan simultáneamente 4 monedas.
a. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener?
b. ¿Cuántos casos hay en los que salgan 2 caras y 2 sellos?
85. Sean A y B eventos independientes tales que P(A) = 1 / 3 y P(A ∪ B) = 2 / 3 . Calcule P(B),
P(A / B) y P(B / A) .
José Luis Quintero
81
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
86. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos. Entre éstos, dos
tienen defectos. La agencia decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los
20 y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. ¿Cuál
es la probabilidad de aceptar el embarque?
87. Una urna contiene 10 bolas negras y 5 bolas rojas. Se extraen 3 bolas al azar, con
reposición.
a. Calcule la probabilidad de que sean 2 negras y 1 roja
b. Calcule la probabilidad de que sean las 3 negras
c. Repita los dos cálculos anteriores, suponiendo que la extracción es sin reposición
88. Las probabilidades de que un marido y su esposa estén vivos durante 20 años a partir de
ahora está dada por 0.8 y 0.9 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en 20 años
estén vivos
a. ambos
b. ninguno
c. al menos uno
89. Un estudiante no preparado responde a un parcial de 10 preguntas de verdadero-falso y
adivina todas las respuestas. Determine la probabilidad de que el estudiante apruebe el
parcial si se sabe que si se tienen más de 2 respuestas incorrectas se reprueba el examen.
90. Encierre en un círculo la letra V o F según considere que la proposición es verdadera o falsa
respectivamente.
a. Si dos eventos no vacíos son independientes, entonces la probabilidad de la
unión de ellos es la suma de sus probabilidades
V
F
b. Si A y B son eventos independientes no vacios, con probabilidades P(A) y P(B)
V
F
respectivamente, entonces los eventos complementarios A y B también lo son
c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realiza un muestreo de
V
F
V
F
tamaño tres sin reposición. La probabilidad de obtener tres pelotas blancas es
X3 / (X + Y)3
d. Si se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por primera vez, la
probabilidad de que esto ocurra en el k-ésimo intento (k ≥ 1) es igual a
( 12 )k −1
91. De los eventos A, B, C y D se tiene la siguiente información:
• A y B son independientes, B y C son independientes y A y C son independientes
• De A, B y C pueden ocurrir a lo sumo 2 de ellos
• A ∪ B ∪ C y D son mutuamente excluyentes
• A, B y C ocurren cada uno con una probabilidad p (0 < p < 1)
• El evento D tiene una probabilidad de ocurrencia igual a 1/5
a. Halle el valor de p para el cual la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro
eventos anteriores sea máxima.
b. ¿Son los eventos A, B, C y D colectivamente exhaustivos? Justifique su respuesta
José Luis Quintero
82
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
92. Un sistema contiene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en
cada una de las cuatro configuraciones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres componentes
operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, cualquiera de ellos, esté
funcionando es p. La configuración que proporciona la máxima probabilidad de que el
sistema funcione es
a. F1
b. F2
c. F3
d. F4
93. Sean dos cajas numeradas 1 y 2. La caja 1 tiene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarillas y la
caja 2 tiene 8 pelotas rojas y 4 pelotas amarillas. Se lanza un dado normal y se obtiene
como resultado un valor N, con N entre uno y seis. Si N es menor que 5 se extraen 2 pelotas
sin reposición de la caja 1, en caso contrario se extraen 2 pelotas con reposición de la caja 2.
Halle la probabilidad de obtener a lo sumo 1 pelota roja.
94. Considere una caja que contiene 2 pelotas rojas, 2 pelotas verdes y 2 pelotas blancas. Dos
jugadores A y B se turnan para extraer 2 pelotas de la caja con reposición. Gana aquel
jugador que en ese turno sea el único en extraer 2 pelotas de igual color; en cualquier otro
caso, ambos vuelven a intentarlo. Calcule la probabilidad de que el jugador A gane antes de
su tercer intento.
95. Se tienen tres monedas cargadas, donde se sabe que la primera tiene una probabilidad de
0.3 de obtenerse cara, la segunda una probabilidad de 0.4 de ocurrir sello y la tercera una
probabilidad de 0.4 de salir cara. Un jugador escoge al azar una de las monedas y la lanza
dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
96. Se lanza un dado normal 10 veces y se desea calcular la probabilidad de que salga la cara
cuatro 3 veces, la cara seis 1 vez, la cara cinco 4 veces y la cara uno 2 veces.
97. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara. ¿Cuál es
la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento?
98. Un jugador lanza una moneda equilibrada. El juego termina hasta que obtenga cara por
tercera vez. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el k-ésimo intento?
99. En una caja se tienen 15 pelotas blancas y 5 pelotas negras. Se extraen 6 pelotas. ¿Cuál es
la probabilidad de que en la muestra se encuentren 4 pelotas blancas y 2 negras?
100. En una caja se tienen 8 pelotas blancas, 7 pelotas negras y 5 pelotas rojas. Se extraen 6
pelotas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra se encuentren 3 pelotas blancas, 2
negras y 1 roja?
José Luis Quintero
83
Probabilidad y Estadística
Introducción a la Probabilidad
RESPUESTAS
[2] a. 0.19 b. 1/6 c. A1 ∩ A2 ∩ A3 d. D4
[1] a. F b. V c. V d. V e. F
[3] a. 0.63 b. 0.56 c. 0.81 d. 0 e. 0.37 f. 0.19
[6] a.
[11]
9
20
2
3
3
8
,
3
40
,
21
40
b.
4
7
[12] a.
,
3
,
5
5
7
b.
7
20
[7] 73.33%
5
8
[13]
[8] a.
3
5
2
5
b.
[14] a. 75% b. 18%
[9]
[15]
[10] π(RL )2
5
18
2
5
[16] 0.7
[17] a. 0.35 b. 0.2 c. 0.45 [18] 600 [19] 720 [20] 125970
[21] a. 816 b. 1140 c. 150 d. 131 [22] 5040 [23] a. 720 b. 120 c. 1000 d. 220
[24] 2880 [25] a. 9000 b. 4536 c. 504 [26] 36510 [27] 0.0286 [28] 0.1429
[29] 0.64128 [30] 0.4072 [31] 0.25 [32] 0.28
1
[33] a. 0.2361 b. 0.2610 c. 0.7639 [34] a. 2310
b.
3
10
[35] a.
r −1
[39] 1 −
c.
1
10
[47] 0.41

2
5
e.
9
10
[36] 120 20
i 
b.
72
125
1
125
c.
[63]
1
3
[67]
1 A
2 R+A
[71]
5 −i
,
10
[78]
2
3
[85]
1
2
[89]
7
128
1
4
, P(B) =
[64] a.
1
3
(R A+ A−1−1 +
A
)
R+A
1
2
1
6
[68]
1
6
d.
4
7
,
[82] a.
[86] 0.8053
1
36
[99] 0.3222
[96]
1575
7558272
[50]
2
7
,
f. 0 g.
1
7
[69]
5
12
c.
5
9
4
9
b.
[91] a.
1
33
b.
2
5
12
91
b.
1
5
55
91
[51] 0.3125
h. 0
p(1 − p)i −1
1 − (1 − p)N
[65]
c.
1
14
[56]
[62]
R
R+A
1
2
c.
45
,
91
b. No
[97] ( 12 )k , k = 1, 2,...
24
91
1
3
P(B) =
1
3
[58] 8
[66] 0.8375
3
4
[75] 0.5952
[77] 3
[84] a. 16 b. 6
[88] a. 0.72 b. 0.02 c. 0.98
[92] c
[98]
,
2
,
3
. R R+ A−1−1 . R R+ A− 2− 2
[70]
[83] a. 0.4912 b. 0.4211
8
27
1
2
(X + Y)Z + X
(X + Y)(Z + W +1)
, i = 1,...,N
[74] 0.941
[38] 64
[46] P(A) =
1
3
c.
[61] b. 0.99
[73] 0.905
b.
1
9
49
151
1
2
2
9
[87] a.
[90] a. F b. V c. F d. F
[95] 0.203
e.
[41] a.
[45] a.
[60] ( 12 )10 ,
[72] 0.4375
[79] 0.313
,
c.
2
5
4
15
[49]
, P(C) = 1
2
7
b.
i = 1,...,5
1
3
1
2
,
c.
[37] a. 350 b. 150
[40] 1.82%
2
105
[43]
[48] a. 0.3 b. 0.4
[59] P(A) =
,
d.
∏ 1 − 365  , 2 ≤ r ≤ 365
i =1
24
125
[42] a.
2
5
b.
1
55
[93]
190
297
(k −1)(k − 2) 1 k
(2) ,
2
[94]
28
81
k = 3, 4,...
[100] 0.182
José Luis Quintero
84
BIBLIOGRAFÍA
GENERAL
ROBABILIDADES (ITEL-30205)
Tema 1. Fundamentos de Estadística Descriptiva
Distribución defrecuencias y medidas de localización
[1]
CANAVOS, GEORGE. Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. Mc Graw Hill
(1995)
[2]
DEVORE, JAY. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Quinta edición.
Thomson Learning (2001)
[3]
DÍAZ, RAFAEL. Introducción a la Probabilidad y a los Procesos Estocásticos en Ingeniería.
Disponible en Módulo 7 Universidad Católica Andrés Bello (2011)
[4]
[5]
HINES, WILLIAM y MONTGOMERY, DOUGLAS. Probabilidad y Estadística para Ingeniería.
Tercera edición. CECSA (1999)
LÓPEZ, RAFAEL. Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estadística con tópicos de
Econometría. Quinta edición. Publicaciones UCAB (2009)
[6]
MARTÍNEZ, CIRO. Estadística y Muestreo. Ecoe Ediciones (2003)
[7]
MEYER, PAUL. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Addison-Wesley Iberoamericana
(1986)
[8]
[9]
MONTGOMERY, DOUGLAS y RUNGER, GEORGE. Probabilidad y Estadística aplicadas a la
Ingeniería. Mc Graw Hill (1998)
NIEVES, ANTONIO y DOMÍNGUEZ, FEDERICO. Probabilidad y Estadística para Ingeniería.
Un enfoque moderno. Mc Graw Hill (2010)
[10] ORTEGA, JOAQUIN y WSCHEBOR, MARIO. Introducción a la Probabilidad. Universidad
Nacional Abierta (1993)
[11] SPIEGEL, MURRAY; SCHILLER, JOHN y SRINIVASAN, ALU. Probabilidad y Estadística.
Segunda edición. Serie Schaum (2001)
[12] TRIOLA, MARIO. Probabilidad y Estadística. Novena edición. Pearson Addison Wesley
(2004)
[13] WACKERLY, DENNIS; MENDENHALL; WILLIAM y SCHEAFFER, RICHARD. Estadística
Matemática con Aplicaciones. Séptima edición. Cengage Learning Editores (2010)
[14] WALPOLE, RONALD; MYERS, RAYMOND; MYERS, SHARON y YE, KEYING. Probabilidad y
Estadística para Ingeniería y Ciencias. Onceava edición. Pearson (2012)
José Luis Quintero
José Luis Quintero
Ingeniero de Sistemas (I.U.P.F.A.N.) – Magister Scientiarum en
Investigación de Operaciones (U.C.V.) – Doctor en Ciencias de
la Computación: Área de interés: Cálculo Numérico y
Optimización (U.C.V.). Postdoctor en Ciencias Gerenciales
(U.N.E.F.A.). Actualmente se encuentra culminando el
Doctorado en Ingeniería: Área de interés: Estadística (U.S.B.).
Investigador y profesor de pregrado y postgrado de la Facultad
de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela. Profesor
de la Escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones de la
Universidad Católica Andrés Bello.
Introducción a la Probabilidad reúne en un solo material
los puntos de interés de este primer tema para el curso de
Probabilidades que forma parte del conjunto de asignaturas del
programa de estudios de Ingeniería de Telecomunicaciones.
Aspectos de interés como experimento aleatorio, teoría de
conjuntos, técnicas de conteo, probabilidad condicional y
experimentos notables forman parte del contenido del tema.
Se resuelven y proponen problemas a distintos niveles que
buscan ilustran con situaciones sencillas los aspectos teóricos
desarrollados en el tema. Determinados gráficos están
generados con el programa MATLAB.
El presente material se encuentra disponible para descargar
de forma gratuita del sitio web
http://www.joseluisquintero.com/