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Con
los siguientes ejemplos
aspectos relacionados con
su dominio
y
se pretende
funciones,
su recorrido;
simples, pero útiles,
y
hacer claridad
como son
presentar
de funciones que
sobre
sus gráficas,
algunos
ejemplos
no van de
Reales en
Real
asocie su
Reales.
Ejenplo
2
Considere
la función,
cuadrado,
lo que análiticamente
Como el cuadrado
todo
de un
número Real
representa su
conjunto de
cada número
ésto
es,
los números Reales
en este
caso al
y=f(x)=x2.
es Real,
le puede asociar
cuadrado,
le
se representa por
número siempre
x se
para cada uno de estos
de f,
que a
el
entonces a
un único
dominio de
Real que
f
es
el
(Dr=M) Los valores que toma y
valores de x corresponde
variar x
en K,
al
recorrido
"y" toma todos
los
valores reales no negativos o sea Rf = [0+<»).
Con algunos valores arbitrarios
correspondientes de Y
ubicar
en el
aproximada
función
plano xy
dados a x, se encuentran
por medio
unas
de f,
lo cual
parejas que
nos
nos dan
los
permite
una
idea
(no siempre muy b u e n a ) de cómo es la gráfica de
(fig
3.4)
209
la
x
f (x)
0
1
0
1
2
12.25
25
3.5
5
_1
2
1
4
-1
-3
1
9
Fig
3.4
Ejemplo 3
Con
í(jf)
se está
representando
corresponder
a valores de x en 1,
Para
sea un número Real
que y
decir el dominio de
aquellos valores de x
intervalo
los números
es necesario
la función
función que
que x 2 - l > 0 ,
ésta desigualdad
por tanto encima y
es
por
o sea
debajo del
( - 1 , 1 ) no debe existir gráfica de la función.
210
hace
y-/x2-l
estará formado solamente
que satisfacen
Df={x/x2-l>0}=(-M,-l]U[l,+m];
la
y^x2-1
La expresión
qué)
y
como
siempre es
>¡x*-l
toma
mayor o igual que'«cero (por
todos los
valores desde
0 hasta
infinito cuando x varía en ( - w , - 1 ] U [ 1 , + « ) entonces
Rf=[0,+w).
Haciendo
ejemplo
anterior y
las parejas resultantes en el plano
cartesiano,
una
representando
tabla
análoga
a
la del
se obtiene una aproximación de su gráfica (fig
3.5).
y=Jx2-1
• X
Ejemplo 4
-x+1
f(x) = x 2
5
De la
si x€(-oo,-2]
si 0<x<4
x>4
definición de
la función, resulta
evidente que
para
todo valor de x€(-2,0) no hay imagen por medio de f, mientras
que para valores de x
siempre
está
expresiones
en (-«,-2], [0,4] y
definida, a
diferentes,
pesar
por
de
que
(4,+«) l a
lo
función
esté mediante
tanto Df = ( , - 2 ] U [0 , 4 ]U ( 4 , +» ) =
211
(,-2]U[0,+w).
Observe que si x€(-®,-2],
la expresión que define a f(x) allí
o sea y=-x+1 está entre 3 y +», ya que si y=-x+l -» l-y=x<-2 3Sy.
Análogamente
cuando
0<x<4, 0 < x 2 = y < 1 6 ,
para x>4 y toma siempre el valor 5. Por
luego 0<y<16
y
tanto
Rr=[3,+«)U[0,16]U{5}=[0,+»).
En la
construcción del gráfico
en cuenta, en qué
cada una de
(fig
3.6) es necesario
intervalo está definida
la tres expresiones de que
la función
tener
mediante
consta:
Ejemplo 5
f(x)=[x];
-2<x<3. Donde
[x]
índica que a cada
número Real x
de le asocia el mayor entero menor o igual que x.
212
Observe
que según esta definición
se
[0.1]=[0,02]=[0.4]=[%]=[0.99]=[0]=0
tiene por ejemplo que:
y
en
general
si
xel
entonces:
Si 0Sx<l entonces
[x]=0
Si l<x<2 entonces
[x]=l
Si 2<x<3 entonces
[x]=2
Si nSx<n+l entonces
[x]=n
t-1.5]=[-1.2]=[-1.99]=[-2]=-2
-l<x<0 entonces
[x]=-l
-2<x<-l entonces
Por tanto
y así:
[x]=-2,
etc.
el D f = [ - 2 , 3 ] y Re={-2,-1,0,1,2,3}
puede apreciar
en
la figura
y su gráfico se
3.7
Y
•
f(*)-[x]
3
2
1
>
- 2
Fig
3.7
213
X
Ejemplo 1
La expresión
f(x,y)=5 representa una función de R 2
hace corresponder
a cada
solamente el número
Gráficamente
la
figura
está
representada
que tienen como tercera
siendo sus dos primeras
o sea el
el plano xy
Real 5, es
y su
recorrido
5.
función
puntos en el espacio
separado 5
(x,y), el número
su dominio será todo
decir, que
Reales
pareja
--> K, que
los
componente a 5
componentes cualquier par de números
plano que es
unidades de
por todos
él,
paralelo al
como se
plano xy
puede apreciar
y está
en
la
3.8
Fig 3.8
Ejemplo 7
La ecuación
interior)
de una esfera
con centro en el
en el espacio
origen y
214
(su
cascarón no su
radio a está
dada por
x2+y2+z2=a2
y al
despejar allí Z
obtiene
z-f(x,y) -y'a 2 -x 2 -y 2
primera
ecuación
esfera
la
en términos de
x e y
z-g(x,y) » - V a a - x a - y 2
y
corresponde al
cascarón
se
donde la
superior
de
la
y la segunda al inferior. Así, el cascarón superior de
esfera se
corresponder
puede considerar
a
puntos del
como una
plano xy
función, que
números Reales,
hace
de tal
forma que a una pareja (x,y) se le asocia el número Real, que
representa
la distancia del punto a la esfera. El dominio de
esta función está conformado por todas aquellas parejas en el
plano
esfera,
xy (o
sea un
E2)
subconjunto de
que están
bajo la
lo que corresponde al conjunto de valores de x y de y
que hacen
que la
cantidad
subradical a 2 - x 2 - y 2
sea mayor
o
igual que cero, es decir,
Dr={(x,y)/a2-x2
representa
la
y2>0}={(x,y)/x2+y2<a2},
de f es [0,a] que se
corresponde
distancia
3.9a)
gráficamente
la proyección de la esfera sobre el plano xy o sea
circunferencia x 2 + y 2 = a 2 y su
recorrido
que
a
todos
de la
En
forma
Evidentemente
la
(¿Por q u é ? ) (fig
Reales
análoga
y R«=[-a,0]
esfera completa
3.9c)
215
fig 3.9). El
que
la semiesfera a su
el
expresan
cascarón.
cascarón
es también otra función
D«={(x,y)/x2+y2^a2}
(ver
representa en el eje z y que
los números
base de
g(x,y) - ~ V a a - x a - y 2
interior
la
(Fig
inferior .
con
(ejercicio) (ver
no representa una
fig 3.9b)
función
C)
Fig 3.9
216
EJERCICIOS
1. Ilustre el concepto de función
con dos
situaciones
cotidianas y dos situaciones de la física, y dé sus
correspondientes dominios y recorridos
2. De las siguientes expresiones, diga cuáles son funciones y
cuáles son relaciones no funcionales,
recorrido y
represe'ntelas
gráficamente.
a) y2-x=0
b ) x-y-5=0
e) y=[x-2]
f ) y = [ x / 2 ] con -l<x<10
h) x 2 + y 2 + z 2 = 4
c ) y=0
i) y<x
halle su dominio, su
d ) x=6
g ) y=[3x] con -l<x<2
j ) {(x,y)/x<y)
k)
{(x,y)/y=6)
1 si x€Q
1) {<x,y)/y>0}
n)
m ) f(x)=
f(x)=[x]+l
-1 si X€I
o)
y-y/x
r)
y-/!*!
3. ¿Cuáles de
p)
y-y/x
s)
q)
y~4x
y» [y/x] -
las siguientes gráficas de la figura
corresponden
3.10
a funciones y cuáles a relaciones no
funcionales?. Hallar
sus dominios y
217
recorridos.
Fig 3.10
218
Hallar el dominio de las siguientes
)
y-/-*
1-x
d)
2+x
g)
y-
1+x 2
4+x 2
j)
fU,y)=x-y
m)
í(jc,y) = * 2 + y a
b)
y-yC^I
1-x2
X
e)
h)
k)
X-2
fU,y)-VFy
funciones:
C)
y=
o
y-,
i)
y-V=*
1)
1+X 2
f(x,y) ~xy
Si el gráfico de y = f ( x ) = x 2 es el que se observa en la
figura
3.11
y=x2
-4.
-2.
Fig 3.11
Cuál es el gráfico de:
a) y=f(x)-c
e) y=f(x-c)+d
b ) y=f(x)+c
f) y=f(cx)
c ) y-f(x-c )
g ) y-cf(x)
d ) y=f(x+c )
219
3.2
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
Al igual
que los
multiplicar
o
operaciones
dividir
entre
si f y g son
números,
y
las
el
funciones se
proceso
de
pueden
sumar,
efectuar
funciones se hace puntualmente,
estas
es decir,
funciones:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
<fg)(x)=f(x)g(x)
(f
_)(X)
=
g
f(x)
g(x)
De la construcción
que para
de
f+g, f-g, f*g y
calcularlas en
tanto f como
g en
un punto
f/g, resulta
x, es necesario
este punto, es decir,
x debe
evidente
calcular
pertenecer
tanto al dominio de f, como al dominio de g, luego el dominio
de estas funciones
de f y g,
debe ser
exceptuando
la intersección
lógicamente para el caso del
aquellos puntos donde el denominador
Dr+«=Dr n D a
Df-«=Df n
Ds
Df S =Df n D s
Df/«=(Df n
de los dominios
D«)-{x/g(x)=0}
221
se anula. Así
cociente,
En
la representación
necesario
gráfica de
tener en cuenta
estas nuevas
que su definición
punto; así por ejemplo, si se tienen
g(x)=x2,
la imágen que
funciones,
se
hizo punto a
las funciones
f(x)=x+l,
corresponde por ejemplo al punto
por medio de f+g, f-g, fg y f/g
es
x=2
será:
(f+g)(2)=f(2)+g(2)=(2+l)+4=7
(f-g)(2)=f(2)-g(2)=(2+l)-4=-l
< f g ) ( 2 ) = f ( 2 ) g ( 2 ) = (2+1)4=12
(f/g)(2)=f(2)/g(2)=(2+l)/4=3/4.
Procediendo
dominio,
en forma
se encuentran
análoga
con
todos
las parejas
de i 2
los
puntos
que conforman
gráf icas.
Ejemplo
1.
Sean f(x)=x+2 y g(x)=2x
entonces
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+2)+2x=3x+2
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x+2)-2x=-x+2
(fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)2x=2x 2 +2x
(f/g)(x)=f(x)/g(x)=(x+2)/2x.
Como Df=t y D a = I entonces: D r +
s
=Dr-
s
=Dfy
Las gráficas de estas funciones serán: (Fig
222
de su
Dr/«=l-{0}
3.12)
sus
240
EJERCICIOS
f(x)'Jx
1. Dada
.
g(x)-2x+l
, hallar:
a ) f(2+h).
b ) g(3-h).
e ) f(x2)
f) <f-g)(x) g ) (f/g)(x).
i) D f + g ,
2. Si
Df-g,
f(x)'y[xzl
Drg,
,
c ) (f+g)(x+h).
g(x) -2x , hallar:
(f-g)(x2)
d) g(a*)
e)
g(a2-1)
g)
h)
Df«,
(f+g)(2-h)
(f/g)(2-3h)
3. Dada
h ) (fg)(x).
Df/g.
b)
a)
d ) (f+g)(5)
(fg)(x+l)
f) (fg)(x+l)
Df/g.
í(x) —Vg
2 < * ) - ~ ,
X
h(x)
-V^
hallar:
a ) Dr, D«, Dh.
b ) D f + g + h , Dh/«,
D<f+«>/h.
d ) ( f+ g + h ) ( 3 ) , (f+ g+h)(-2).
4. Si se tienen
¿Cóino
las gráficas de las funciones f(x) y g(x).
construiría
las gráficas de f + g, f-g, fg, f/g?.
224
3.3 ESTUDIO DE ALGUNAS RELACIONES Y FUNCIONES.
A
continuación
relaciones
y
se
estudiarán
funciones
de
resaltando sus principales
3.3.1 LA LINEA
Es conocido
caso),
en forma
uso
frecuente
en
algunas
matemáticas
características.
RECTA
que dados
dos
puntos
P o = ( x o , y o ) y Pi=(xi,yi),
línea recta, que
recta?. De
individual
(En
éstos determinan
los contiene. ¿Cuál será
la figura
el plano
para
este
una única
la ecuación de esta
3.13.
Y
y.
P=(x ,y )
a
y -
x
y0
•
X
x - x0
Se puede concluir por semejanza de triángulos que:
225
Fig
3.13
y-y<¡ yi-y
— " T T 0 >
JÍ-JÍQ Jtj-JlQ
Ecuación
,
decir,
es
de la Recta,
A la expresión
1
se le llama La Pendiente
la cual como se puede
el
eje
de la
Recta,
observar en la figura 3.13 corresponde
ángulo de inclinación 0
positivo
llamada
dados dos puntos.
0
a la tangente del
, yx-y ,.
y-y0-(-f—±) 0 (x-x0)
X^-XQ
de
las
x
con
la
(ángulo que
recta
en
forma
sentido
antihorario).
v —v
Llamando m
ecuación
a esta
pendiente o
de la recta se
sea
m-—-—-
puede escribir
conocida como la ecuación de la recta
o m=Tan8,
la
como: y=ysj=m( X - X B ) ,
deda la pendiente y un
punto, y que simplificada se expresa como:
y=mx+b
siendo b = -mxe> + y 0 ,
que corresponde a la ordenada
corte de la recta con el eje y, puesto que
entonces
y=b. Esta
del punto de
en y=mx+b, si x=0
ecuación siempre representa
una
función
con dominio E.
Ejemplo 1
Hallar
la ecuación de la recta
e1 punto
que pasa por el origen
(5,-3).
226
y por
Sea
(X0,ye) = (0,0) y
luego
<xi.yi)=(5.-3)
la ecuación de la recta es
y
'
y-0«--§- (x-0)
9
es decir
yr» - 5—M* .
j
Ejenplo 2
Hallar
la ecuación de la recta que pasa por el origen y forma
un ángulo de 45° con el senieje positivo de las x.
(x0,ya)=(0,0);
m=Tan45°,
luego y-0=l(x-0);
227
es decir,
y=x.
EJERCICIOS
1. Hallar
la ecuación de la recta que pasa por:
a) (2,2),
(5,4)
b) (1,2), ( - 2 , 2 )
c) (4,0),
(5,4)
2. Mostrar que la ecuación de la recta que pasa por
puntos (a,0), (0, b), a*0, b*0, se puede escribir
x
y
— + Jr-"1 , llamada ecuación
o
ü
3. Verificar que la ecuación
la forma xCosa+ySena=d
recta,
siendo d,
ángulo que forma
Segmentaria
X
—
a
V
,
D
de la
los
como
recta.
se puede escribir
llamada Ecuación
normal
de la
la distancia del origen a la recta, a el
la perpendicular de la recta al origen
con el eje positivo de las x. (Indicación: Considere
figura 3.14 verifique que Cosa=d/a, Cos£=Sena=d/b y
reemplace en
de
x y
~r+~K=1 '
Y
228
la
Verificar que la ecuación de la recta y-y0=n(x-x0) se
puede escribir de la forma Ax+By+C=0.
ecuación
¿Representa
esta
siempre una recta?. Tome:
a) A=0.
b ) B=0.
c ) C=0.
d ) A=B=0.
Demostrar que dos rectas no verticales de pendiente mi y
«12 son
perpendiculares
la relación
cumplen
m2mi=-l.
¿Qué relación
paralelas?.
si y sólo si sus pendientes
existe entre
Ilustrar
las pendientes de dos
la respuesta con
rectas
ejemplos.
Hallar una ecuación de la recta que pasa por el punto dado
y sea a ) paralela
b ) perpendicular a la recta
i)
(2,1);
4x-2y=3
ii)
(2,5);
x=4
indicada:
iii) ( - 1 , 0 ) ; y=-3.
Verificar
si los 3 puntos dados son colineales,
si están sobre
a ) (0,-4),
b ) (0,4),
la misma recta, o si no lo son.
(2,0),
(3,2)
(7,-6), ( - 5 , 1 1 )
c ) ( - 2 , 1 ) , ( - 1 , 0 ) , (2,-2)
229
es decir
Considere
la figura 3.15 y halle:
1 y
(b,c)
(a,o)
(a,o)
Fig 3.15
a ) el punto de intersección de las medianas y sus
ecuac iones.
b ) el punto de intersección de la mediatriz y su
ecuación.
c ) el punto de intersección de las alturas y sus
ecuac iones.
d ) ¿Son colineales estos tres puntos?.
. Demostrar que la distancia entre el punto (xi,yi) y la
recta Ax+By+C=0
es:
¡ A?q+By 1 + C|
y/X^B5
Hallar
la distancia del punto
Hallar
la distancia entre
(2,3) a la recta
4x+3y=10
las rectas x+y=l y x+y=5
230
13. Determinar para que valor de a la recta
(a+2)x+(a2-9)y+3a2-8a+5=0
a ) Es paralela
al eje de las
abscisas.
b ) Es paralela al eje de las
c ) Pasa por el origen de
14. Demostrar que
ordenadas.
coordenadas.
la ecuación de la recta que pasa por
puntos (xi,yi) y (x2,y2>
los
puede escribirse en la forma
x y 1
sigu iente
Xi 1 -0
x3 y2 1
15. Se dan
las ecuaciones de los lados de un
5x+2y-7=0,
rectángulo
5x+2y-36=0 y la ecuación de una de sus
diagonales 3x+7y-10=0,
hallar
dos lados y de la otra
diagonal.
16. Hallar el ángulo entre
las
las ecuaciones de los otros
rectas
y-x
,
una fórmula general para hallar el ángulo entre
y halle
las
rectas y=mix y y=m2X.
17. Raye en una gráfica
la región o zona que corresponde
conjunto solución de las desigualdades
a ) y5x
b)ySx+l
d ) x+y<l,
-x-y<l, x-y<l
siguientes:
c)y5x+l, y^x, y=4
-x+y<l e) x+y<l, y>0, x>0.
231
al
3.3.2 LA CIRCUNFERENCIA
La circunferenca es un
distancia
a
un
circunferencia,
el radio de la
Así,
si
conjunto de puntos en
punto
fijo,
es siempre
llamado
el plano,
centro
igual a una constante
cuya
de
r,
la
llamada
circunferencia.
p=(x,y)
circunferencia con
es
un
centro
punto
cualquiera
en Q=(h,k)
y
sobre
radio
r
una
entonces
d(P, 0) -V ix-h)2 + (y-ic) a -r » es decir
(x-h)2 + (y-Jc) 2 = r 2
que se
centro
Como
llama, Ecuación
de la
circunferencia
de
radio
r
y
(h,k).
se
puede
corresponde
apeciar en
la
figura
3.16
a una relación que no es función.
y
Fig 3.16
232
esta
ecuación
Ejemplo 1
La ecuación de la circunferencia
con centro en el origen y
radio 5 es (x-0 ) 2 + ( y - 0 ) 2 = 5 2 ; es decir; x 2 + y 2 = 25.
Ejemplo 2
La ecuación de la
es ( x - l ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4
circunferencia
con centro
o x2+y2-2x-4y+5-4=0;
(1,2)
y radio 2
es decir
x2+y2-2x-
4y+1=0.
Ejemplo 3
Hallar
la ecuación de la circunfeencia que pasa por' el origen
y su centro coincide con el punto
Como
(6,-8).
la circunfeencia pasa por el origen y su centro es
(6,-8) se tiene que: (0-6 ) 2 + ( 0 + 8 ) 2 = r 2 ; 36+64 = r 2 ; 100 = r 2 ; r = 10
y así,
la ecuación pedida es (x-6) 2 +(y+8 ) 2 =100.
233
EJERCICIOS
1. Hallar
la ecuación de la circunferencia
con centro en
(4.0) y radio 5.
2. Hallar
la ecuación de
la circunferencia, que pasa por el
origen y tiene su centro en
3. Hallar
la ecuación de la recta
circunferencia
4. Hallar
(0,5).
(x-h)2+(y-k)2=r2
la ecuación de
tangente a la
en un punto
(xi,yi).
la circunferencia que tiene por
diámetro AB siendo A = ( 2 , 4 ) y B = ( 6 , 8 ) y encontrar
los
puntos de intersección de la recta y-x-2=0 con dicha
circunferencia..
5. Hallar
(1.1),
la ecuación de la circunferencia que pasa por
(1,-1) y ( - 1 , 1 ) .
6. La ecuación
(x-h) 2 +(y-k ) 2 = r 2 se puede escribir de la forma
x2+y2+Ax+By+C=0.
¿Representa esta ecuación siempre una
circunferencia? Haga un estudio detallado observando
ejemplo que sucede si A=0 ó B=0.
234
por
7. Cuáles de las ecuaciones siguientes
representan
circunferencias:
a) x2+y2-4x-2y+l=0
e) x2+y2-2x+8y+26=0
b) x2+y2-6x-4y+13=0
f) x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 5 = 0
c) x 2 + y 2 - x = 0
g)
x2+y2-2x-4y+10=0
d) x2+y2-y=0
B. Hallar
la ecuación
de
la
circunferencia
en (1,-1) y tangente a la recta
9. Hallar
con
centro
5x-12y+9=0.
la ecuación de la circunferencia que pasa por
los
puntos (3,1) y ( - 1 , 3 ) y su centro está situado en la recta
3x-y-2=0.
10. Hallar
la ecuación del diámetro de la
x 2 + y 2 + 4 x - 6 y - 1 7 = 0 que es
circunferencia
perpendicular
a
Ia
recta
5x+2y-13=0.
11. Determinar
las coordenadas de
de la recta 7x-y-t-12=0 y la
los puntos de
intersección
circunferencia
(x-2)2+(y-l)2=25.
12. Subrayar
en una gráfica el conjunto solución de
las
desigualdades:
a ) x 2 + y 2 < 1 y y>x
d)
b) x2+y2>l;
x2+(y-3)2>5.
235
x>l/2
c) (x-3)2+y2<4;
y>l
3 . 3 . 3 PARÁBOLA
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos en el plano
que equidistan de un punto
fija llamada Directriz.
fijo llamado Foco
y
de una recta
La ecuación que representa
los puntos
de una parábola, depende de la posición del foco (F)
directriz
y de la
(d). Inicialmente se deducirá esta ecuación para un
caso simple es el
cual el foco se encuentra
sobre el eje y,
la directriz es paralela al eje x y el punto
(0,0) pertenece
a la parábola como se puede apreciar en la figura
F=(o,p)
Q=<x,y>
<o,-p)
(x,-p)
3.17
Fig 3.17
Como (0,0) es un
al
punto de la parábola, entonces su distancia
foco debe ser igual
a su
distancia a la
tanto si la coordenada del foco
F es (0,p) (sobre el eje y),
la ecuación de la directriz es y=-p.
237
directriz, por
Sea Q = ( x , y ) un punto sobre
la parábola,
entonces de acuerdo a
su definición, d(F,Q )=d(Q,R), es decir:
J x 2 + (y-p) 2 = y + p x2+ (y-p) 2 = (y+p) 2 x2+y2-2py+p2=y2+2yp+p2 X2=4 py4py=x2.
dándole valores a x y obteniendo
y se
puede
apreciar
que su
los respectivos valores para
correspondiente gráfico
es (fig
3.18) .
V
Y
Fig 3.18
En forma análoga,
se puede deducir
238
la ecuación de la parábola
que
pasa
por
directriz
El
se
la
punto
llama
recta
parábola
el
origen
paralela
de
foco
sobre
y2=4px,
el
al
eje
y:
la p a r á b o l a
que
está
más
cerca
parábola
(el
( 0 , 0 ) en
Vértice
que
con
de
la
contiene
(eje
-y-
al
y
vértice
el
eje
y al
-x-
eje x
donde
foco
(p,0)
de
se
y
la
con
es
la
directriz.,
estos
casos) y
llama
Eje
respectivamente
en
de
la
estos
casos).
Observe
una
que
función,
este
mientras
y recorrido=[0,+m)
ecuación
y
con
de
una
vértice
necesario
último
que
para
conocer
un
el
en
p>0
parábola
en
tipo
de
Io
el
ó
con
punto
proceso
parábolas
caso
( - « , 0 ] para
eje
paralelo
lo e s ,
p<0.
al
(h,k) distinto
de
239
no
relacionar
corresponde
a
con
1
dominio
Para
eje
del
hallar
y o al
eje
origen,
puntos
en
la
x
es
dos
sistemas
se
de
coordenadas
conoce
coordenadas
xy
son
punto
su
Traslación
de
punto
un
¿Cuáles
referido
origen
Para
como
(x,y).
p
diferentes
en
a un
el
resolver
P
de
ejes
un
respecto
serán
las
nuevo
sistema
punto
este
con
sistema.
a un
Así,
sistema
coordenadas
al
observe
lo
que
si
las
rectangular
(x',y') del
coordenado
(h,k) respecto
interrogante
paralelos,
x'y'
sistema
la f i g u r a
que
mismo
tiene
original?.
3.20
Y
k
>r
i
i
P"=(x\y)
Y
P=(x,y)
k
0
k
Fig
Aquí: x=h+x'
Considere
directriz
y
y=k+y'
la
ecuación
de
esta
sistema
x'y'
paralelos
a
los
parábola
tiene
al
ó x'=x~h
eje
ejes
vértice
x en
un
en
este
origen
x,
vértice
y y'=y-k.
con
parábola
con
u
3.20
parábola
paralela
• x
=(h,k)
sistema
xy.
sistema,
Para
la
construiremos
un
con
y respectivamente.
En
este
240
origen
o'
con
hallar
y
el
en,
(h,k)#(0,0),
(h,k)
en
o'
en
y su
ejes
x'y'
sistema
la
directriz
es
paralela
al
(0,p) es
la c o o r d e n a d a
al
sistema
convierte
de
eje
por
tanto
del
original,
esta
buscada
del
foco
en
en
(fig
su
representa
paralela
una
una
al
eje
La e c u a c i ó n
de
Ejemplo
"y",
el
sistema
x'=x-h,
el
sistema
xy,
x'y'.
que
donde
es
donde
Trasladar
y'=y-k,
4p(y-k)=(x-h)2,
lo
la
que
ecuación
( h , p + k ) es
la
3.21).
ecuación
parábola
en
hacer
Fig
Análogamente
es 4 p y ' = ( x ' ) 2 ,
ecuación
foco
es
ecuación
la p a r á b o l a
coordenada
x'
con
y con
3.21
de
la
vertice
foco
en
4p(x-h)=(y-k)2
forma
en
(h,k),
con
el p u n t o
(h+p,k).
vértice
en
directriz
1
directriz
la
paralela
parábola
al
eje
con
x está
241
dada
por
(2,4)
y
4p(y-4)=(x-2)2.
con
Ejemplo
La
1
y=ax2+bx+c,
ecuación
abierta
Para
arriba
si
verificarlo
términos
en
x2
a>0
se
y x,
a#0,
siempre
ó abierta
completa
es
hacia
cuadrado
representa
abajo
si
una
parábola
a<0.
perfecto
utilizando
los
decir:
yax2+bx+c
-a (x2 + — x + — )
a
a
, 2 b
b2
b3
Cs
=a(x 2 + —x+-=—-•—=-—
+
—)
a
4a 2 4a 2 a
=a (x2 + — ) 2 +a
( — )
a
4a
a 4a 2
/ — Jb) va+ 4ac-Jb2
=a(x+
2a
4a
entonces
con
y- (
vértice
en
x y con
4
se
hacia
abre
,
4a
^
)«a(x+-^-)
(——,
2a
arriba
puesto
valor
x corresponde
el
mínimo
(para
),
con
directriz
indica
que
si
y si
Además,
de
corresponde
4a
lo q u e
que
que
2a
el
a<0,
vértice
el
máximo
a>0).
Ejemplo 3
Dada
y=2x2+4x+5
entonces
242
(p<0)
tiene
de
a>0,
se
a la
parábola
paralela
(p>0)
abre
abscisa
la p a r á b o l a
la
al
eje
parábola
hacia
dmQ
(para
abajo.
a
este
a<0) o
y=2(x2+2x+5/2)=2(x2+2x+l+3/2)=2(x+l)2+3,
es d e c i r ,
vértice
o sea
son
en
( - 1 , 3 ) , con
p=l/8,
lo q u e
Además
el
y=2x2+4x+5
representa
directriz
paralela
implica
y que
(-1,3+2)=(-1,5)
a=2>0).
(fig
la e c u a c i ó n
mínimo
que
está
se
y-3=2(x+l)2,
luego
una parábola
al
eje
las c o o r d e n a d a s
abierta
encuentra
hacia
en
su
x,
con
con
4p=J$
su
foco
de
arriba
(pues
vértice
(-1,3)
3.22)
Y
•
\\
1
\
\ c-l
'
5
)
/
y=2x 2 +4x+5
v—x
(1,3)
y
a
X«=- 1
Fig
3.22
Ejemplo 4
y2--6x;
En la p a r á b o l a
F=(-3/2,0) y
4p--6 -
la e c u a c i ó n
3.23).
de
su
--J.,
directriz
.
iuego
es
x=-p=3/2.
(Fig
Fig
3.23
*Y
y =-6x
2
"> X
F=(-3/2.0)
X = 3/2
243
Ejemplo
Hallar
1
la e c u a c i ó n
origen,
La
se
abre
ecuación
parábola,
luego
su
hacia
es d e
6
Analice
y
trace
la
parábola
arriba,
su
será
y pasa
ecuación,
»
x2«4
la g r á f i c a
que
9
9
( — — )y
28
tiene vértice
por
x2=4py.
la f o r m a
satisface
ecuación
Ejemplo
de
(-3,7)
decir,
— y
7
el
en
la
(-3,7).
Como
es
en
está
g»4p(7) - p » - ~
28
9y=7x2 .
o sea
y=2x2-6x+4.
de
y=2x a -6x+4=2 (x 2 -3x+2) =2 (x 2 -3x+ — - — + 2 )
4 4
=2 ( x 2 - 3 x + ) " + 4 =2 (x-i-) * - .1
2
2
2
4
entonces
y+-|« 2 ( x - ~ e s
Por
su
tanto
P-1/8,
2
es
decir
2
vértice
decir,
el
está
en
foco
-1 ( y + J L ) „ ( X _ J L ) 2 _
2
2
2
3
1
A
<b
(h, k) - ( — , - — )
está
en
F-(
A
la e c u a c i ó n
de
la d i r e c t r i z
es
244
A
1 1
5
y " "-j^--"—jf-
2
8
8
-1
. y c o m o 4p=*á
O
(Fig
ú
O
3.24).
y
Fig 3.24
245
EJERCICIOS
1. H a l l a r
las
coordenadas
la d i r e c t r i z
a) y2=2x
2.
Hallar
para
b ) y 2 =-x
la e c u a c i ó n
a ) Su
vértice
es
(3,0).
b ) Su
vértice
es
vértice
directriz
d ) Su
Hallar
Hacer
y
la e c u a c i ó n
de
parábolas.
c) y=4x2
d)
y=-3x2
la p a r á b o l a
tal
que:
está
en
el
origen
y
la c o o r d e n a d a
del
foco
está
en
el
origen
y
la c o o r d e n a d a
del
foco
está
en
el
origen
y
la
en
el
origen
y
la c o o r d e n a d a
de
la p a r á b o l a
ecuación
de
la
y+4=0.
está
del
foco
(0,-1/3).
la e c u a c i ó n
origen,
4.
foco
de
es
vértice
es
pasa
vértice,
(-5,0).
c ) Su
3.
las
del
eje
a
lo
por
(3,-1).
un
estudio
hallando,
vórtice,
largo
del
detallado
ecuaciones
coordenadas
de
del
eje de
de
con
vértice
las x,
la e c u a c i ó n
las d i r e c t r i c e s ,
foco
246
y
gráficos.
si
la
en
el
parábola
x=ay2+by+c,
coordenadas
a*0,
del
En
las
ecuaciones
de
(x-h)2=4p(y-k),
a) Las
b ) La
c) Las
d ) La
p>0;
coordenadas
ecuación
las p a r á b o l a s
del
del
eje
coordenadas
del
ecuación
Obtener
una
y directriz
Hallar
la
(y-k)2=4p(x-h) p>0.
vértice
foco
de
la p a r á b o l a
con v é r t i c e
en
(2,-3)
y=4.
cuya
el
foco,
ecuación
el v é r t i c e ,
el
cuya
euación
La
Ax2+Bx+Cy+D-0
la d i r e c t r i z
es
y
la g r á f i c a
de
y
la g r á f i c a
de
y2-8y=4x-8.
es
foco,
la p a r á b o l a
ecuación
Hallar.
directriz.
ecuación
el v é r t i c e ,
la p a r á b o l a
Hallar
de
trasladadas
la d i r e c t r i z
6x2+24x-8y+19=0.
¿Siempre
representa
una
parábola?.
. Hallar
la e c u a c i ó n
de
y=(x-2)2
en un
parábola
1. H a l l a r
el p u n t o
parábola
de
una
recta
sólo
intersección
x=y2.
247
que
corte
a
la
punto.
de
la r e c t a y = x - l
con
la
3.3.4 KLIPSE
Una
elipse
tales
que
llamados
es
el
la
suma
Focos
Para
hallar
que
los d o s
distancia
a sus
Si
su
constante
sus
(Fig
e s un
a la q u e
d ( P , F i ) + d ( P , F 2 ) = 2a
se
se
origen;
los p u n t o s
distancias
considera
encuentran
llamemos
3.25)
punto
se
de
a
dos
en
el
puntos
plano
fijos
constante.
ecuación
focos
del
geométrico
de
es u n a
coordenadas
P=(x,y)
lugar
por
3.25
sobre
la
y pasando
el
sobre
el
e j e x,
tanto
Fi=(c,0),
caso
a
en
igual
F2=(-c,0)
y
Fig
refiere
inicialmente
elipse,
llamando
la d e f i n i c i ó n ,
a
coordenadas:
248
se
2a
tiene:
a
la
J (x-c)2+y2+J (x+c)2 +y 2 =2a ~
\J (x-c) a +y J =2a-/(x+c) 2 +y 2 ~
(x-c) 2 +y a -4a 2 -4«v/(x+c) a +y a + (x+c) a +y a x 2 -2xc+c a +y 2 -4a 2 -4a^ (x+c) 2 +y a +x 2 +2xc+c 2 +y a - i
4a^ (x+c) 2 +y 2 =4cx+4a a «
(x+c) 2 +y 2 =cx+a a í 2 ((x+c) a +y a ) - (cx+a a ) 2 a a x 3 +2a a cx+a a c a +a a y a =c a x a +2a a cx+a 4 *a(aa-c2)+a2y2-a2(a2-ca) -
(Haciendo aa-c2-¿>2)
b a x a +a a y a =a a Jb a a2
que
se
conoce
como
la
¿>2
ecuación
de
la
elipse
en
forma
canónica.
Gráficamente,
eje
x,
pues
±a
representa
2
y-0 -
si
a
representa
cortes
los
los
de
eje
donde
se
de
2
- *xa "- a
« 2 -- x«±a
2
la m i s m a
A 2a se le llama Eje mayor de
al
cortes
encuentran
con
el
eje
elipse
sobre
el
eje
con
el
y análogamente
±b
y,
la elipse y a 2b El eje menor;
los
focos,
Eje
elipse-, a los puntos (±a,0), (0,±b) Vértices
punto
la e l i p s e
equidistante
(Fig 3.26)
249
de
los
principal
de
la
de la elipse y al
focos,
Centro
de
la
(0,-b)
i
Fig
En
forma
sobre
el
x2
y2
—
b2
d
o
a2
análoga
eje
n
d
(Ejercicio)
y,
e
se d e d u c e
a
igual
2a
(Fig
3.26
es
la e c u a c i ó n
distancia
el
eje
del
mayor
de
la e l i p s e
origen
y 2b
)
\
y está dada
es el
función
que
(¿Por
eje
por
menor
• x
(b,0)
-o) i
Fig
(O,-a)
igual
focos
3.27)
("b,0
Al
con
la c i r c u n f e r e n c i a ,
qué?).
Pero
si
la
en
elipse
la
no
elipse
3.27
representa
una
¿•Jl-l
se
b
2
considera
solamente
la
parte
sobre
250
el
eje
x o solamente
la
parte
bajo
función;
elipse
tomar
él,
despejando
esta
elipse
"y"
expresión
de
y
se
separado
obtiene
así,
solamente
por
puesto
con
de
la p a r t e
la e c u a c i ó n
que
signo
representa
de
la
Ym±—^aa-xa,
al
a
positivo
superior
una
o
negativo,
e inferior
de
la
parábola
es
3.28)
similar
al
posible
utilizando
con
paralelo
(h,k)#(0,0),
ellas
ésta
respectivamente
(Fig
forma
eje
una
analiticamente
representa
En
cada
las
al
tratamiento
traslaciones
eje
cuales
(x-h)\
a2
x o eje
están
hecho
hallar
251
centro
por:
U-A)2,
b2
la
ecuaciones
y y con
dadas
iy-k)2 _1
b2
con
(y-k)2
a2
de
en
elipses
un
punto
¿Cuáles
son
(Ejercicio
3)
las
coordenadas
(Fig
3.29)
de
sus
focos
y
vértices?.
+ X
( x - h )
2
+
K2
X
( y - k ) 2
—
,
=
a 2
Fig
(x - h)2
_
_
a
1
( y - k )
f
= 1
3.29
Ejenplo 1
9
4
y-0
y
x - 0 -» - ^ - - 1
4
vértices
-
x2
— - - 1 - x 2 - 9 - x-±3
9
Si
de
C2-a2-jba-9-4-5,
de los focos son
ya-4
la
y-±2
,
luego
elipse
son
-» o ± y ^
(±y^,0)
,
en
las c o o r d e n a d a s
(±3,0)
consecuencia
. (Fig 3.30)
252
las
y
de
los
(0,±2)
coordenadas
Y
¿ 0 .2)
'
^
(v¿,o)
c - v m )
ii
3
Fig
'
V
k.
nr,
y »
2
z
3.30
Ejenplo 2
Hallar
focos
una
ecuación
para
la
elipse
con
vértices
(±5,0)
y
(±3,0).
b2=a2-c2=25-9=16;
b2=16
entonces
25
y así
la e c u a c i ó n
es
16
Ejenplo 3
(v+4)a
(x-1)2
La
ecuación
longitud
el eje
focos
del
mayor
está
—132
eje
mayor
de
sobre
c2=(13)2-(12)2=25
la e l i p s e
al
*
foco
12 a
'
2a=26
la e l i p s e ,
la
recta
- c=±5,
es
t i e n e
y del
que
5, p o r
eje m e n o r
es d o n d e
y = -4
es d e c i r
en
( h , k ) = (1,-4),
2b=24,
que
la d i s t a n c i a
las
por
tanto
se e n c u e n t r a n
y puesto
tanto
253
c e n t r o
b2 =a2-c2
del
centro
coordenadas
de
los
-»
de
los
focos
son
Fi=(l+5,-4)=(6,-4)
y
3.31)
254
Fz=(5-1,-4)=(-4,-4).
(Fig
EJERCICIOS
1. H a l l a r
trace
las
coordenadas
la g r á f i c a ,
los v é r t i c e s ,
de
los
focos
y
para:
a)
b)
c) 4x2+y2=1
2.
de
Hallar
d)
x2+4y2=4
la e c u a c i ó n
condiciones
de
la e l i p s e
que
satisface
las
dadas:
a) Coordenadas
de
vértices
y focos
(±8,0 ) ,(±5,0 )
y
(0,±5),(0,±2)
respectivamente.
b) Coordenadas
de
vértices
focos
respectivamente.
c) Las
del
d ) Las
coordenadas
eje
menor
de
los v é r t i c e s
(0,±5) y
la
longitud
de
los v e r t i c e s
(0,±6) y pasa
de
los
3.
coordenadas
por
(3,2).
e ) Las
eje
coordenadas
mayor
focos
6.
255
(+1,0) y
la
longitud
del
3.
Para
la e c u a c i ó n
a ) El
4.
de
(x-h)a
=—+
aa
la e l i p s e
(y-k)2
"1
¿>a
hallar:
centro
b ) Las
coordenadas
de
los
focos
c) Las
coordenadas
de
los
vértices.
a) Las
coordenadas
de
los
focos
b ) Las
coordenadas
de
los
vértices
Hallar
c) Longitud
d ) Gráfica
y
eje
Para
las
y
menor
elipses:
-idilli + - L i l i l í - 1
16x2+9y2+64x-18y-71=0
5. H a l l a r
la e c u a c i ó n
condiciones
menor
en
que
satisface
las
de
los
focos
(1,3),(1,9)
longitud
del
(2,1);
coordenadas
de
los v é r t i c e s
eje
(2,6) y
respectivamente.
ecuación
siempre
la e l i p s e
8.
b ) Centro
(1,1)
de
dadas:
a) Coordenadas
6. L a
mayor
una
Ax2+By2+Cx+Dy+F=0,
elipse?.
¿Cuándo
A,B,C,D€l,
no?.
25| 6
¿representa
3.3.5 HIPÉRBOLA.
Una
hipérbola,
tales
que
distancias
el
a dos
Inioialmente
focos
se
es
se
el
absoluto
puntos
fijos
hallará
(Fig
de
valor
encuentran
y Fa=(-c,0).
conjunto
todos
de
la
llamados
la e c u a c i ó n
sobre
los p u n t o s
ele
eje
x,
diferencia
focos
en
con
en un
el
es
plano
de
sus
constante.
caso
en
coordenadas
que
los
Fi=(c,0)
3.32)
DfPi F4) < DfP) R>)
D(P> F¡) > 0(P,FÍ)
Fig 3.32
Si
P=(x,y)
constante
es un
a
la
punto
que
|d(P,Fi)-d(P,F2)|=2a,
se
es
sobre
la h i p é r b o l a
refiere
la
y si
definición
decir:
| ^ (x-c) 2 + (y-0)2->¡ (x+c) 2 + (y-0)21 -2a •
258
2a
es
la
entonces:
Procediendo
de
en
la e c u a c i ó n
forma
de
b2=c2-a2,
anterior
se
forma
Primero
que
es d e c i r ,
corta
al
en
"y"
a
x2
a
de
no
hay
x y
hizo
a
la
y2
b
que
de
la
( a , 0 )
es
en
la
deducción
ecuación:
y sustituyendo
— í2 ' - T T2 " 1 ;
la
se
llega
b>0
(a,0),
lo que
cuando
eje
se
o ecuación
(0,0) y vértice
y=± — }/xz-a2
donde
obtiene:
canonica
Despejando
a como
la e l i p s e
Llamando
en
análoga
la
en
la
ecuación
llamada
ecuación
h i p é r b o l a con
(Fig
centro
en
3.33).
x2
a
y3
b
se
obtiene
la g r á f i c a
cuando
x2-a2<0,
ecuación
— -2 - - ¿ —2 - 1
indica:
puntos
( x , y ) en
-a<x<a,
tercero
y segundo
que
para
que
cada
para
x>a
x=±a
o x<-a
la
gráfica
existen
dos
«
valores
de
"y",
por
tanto
una
función.
275
hipérbola
no
representa
una
La
recta
en
el
d(x)
Yi
m
x
~
sentido
entre
es u n a
de
el
igual
la
y
de
que
de
a «
hipérbola
tiende
Puesto
l.i
hipérbola
x tiende
la
la r e c t a
la c u r v a .
la
a2
la
distancia
y
el
a cero
que
b2
punto
sin q u e
se
esta distancia
es
a
b
a
a
{
x2-(x2-a2)
a
muy
(x,y)
( x , y i ) de
recta
a
La
a medida
punto
correspondiente
toquen
que
asíntota
cual
2
a
}
_ b
a'
a
2
i
x+yjx -a
evidentemente
tiende
x+v/x -a
a
cero
(x+v^i1)
ab
1
x+^x2-a2
a medida que
x se
hace
grande.
Análogamente,
Puede
d(x)
demostrarse
asíntota
de
esta
tiende
además
a cero
que
hipérbola.
cuando
también
la
x tiende
recta,
a
.
ym-—x
a
es
(Ejercicio).
X2
y2
(c,o)
Fig
260
3.33
Si
los
focos
de
la
hipérbola
el
eje
y,
están
ubicados
en
los
y í
(0,±c)
su
sobre
ecuación,
donde
origen;
( 0 , ± a ) son
gráfica
y asíntotas
se p u e d e
b2=c2-a2;
nuevamente
las
demostrar
coordenadas
se p u e d e n
apreciar
de
en
que
su
sus
puntos
2
x
-fr
2
2r " l
es
en
el
vértices,
su
b
a
centro
la f i g u r a
3.34.
V
Fig
La
ecuación
escribirse
de
como
la
hipérbola
con
(x—h)2 _ (y-k)2 _1
b2
261
centro
q
en
(h,k)#(0,0)
(y-k)2 _ (x-h)2
b2
3.34
puede
V
A
( x - h ) 2 _ (y-Jc)2
b
2
•
X
Y
A
4
s
^ ^/
\
/ /
/
(y-k)2
(x-h)2
a2
¿>2
(h,lc)
%
y
V
•
\
V
\
Fifí
Ejenplo
La
^•s.
\
S
3.35
1
ecuación
hacia
\N
los
lados,
Y2
y 2
4
9
en
=1 , r e p r e s e n t a
ella
a2=4
y b2=9,
262
una
por
hipérbola
tanto
a=±2
abierta
y
b=±3,
Además
focos
entonces
como
son
c2
sus
vértices
= a2
(±yT5,0)
+ b2
tienen
coordenadas
= 4 + 9 =
. Las
13,
(±2,0).
las c o o r d e n a d a s
ecuaciones
de
sus
de
los
asíntotas
son
(Fig.3.36)
(-VÍ3,Ó7
f W
;;
Fig
3.36
Ejenplo 2
Encuentre
una
hipérbola
cuyos
a=3,
entonces
ecuación
ecuación,
vértices
x2
entonces:
la e c u a c i ó n
buscada
los
son
y2
jb*" 1
25
es
y
focos
las
(±3,0) y que
c o m o
4
¿j*"1'
9
y
®sto
^-»1 .
9
263
c
pasa
e s
(5,2)
'a
asíntotas
por
solución
^
<j
'
de
una
(5,2).
de
p o r
esta
t a n
t°
c 2 -a 2 +¿> 2
Como
coordenadas
,
de
+
4
los
4
ü
entonces
focos
son
c ±
(±—^5,0)
45
4
y
y
como
así
a
= 3
3
£>* —
entonces
ym±
~2
s o n
ecuaciones
264
de
las
asíntotas
EJERCICIOS
1
Hallar
los
hipérbola
a)
vértices,
cuya
fr-r-
Hallar
una
b) Focos
c ) Foco
3.
Las
sus
4.
de
la
indica:
I r f -
ia
(0,0>,
1
hipérbola
vértice
(0,.t3),
(26,0)
un
y asíntota
de
la
< y -2f 2 - l
y
vértices
sus
c)
que
(3,
de
a2
5),
una
(±3,0),
en
las
hipérbola
asíntotas
la e c u a c i ó n
en
en
vértice
b
a) Centro
y gráfica
2x2
-x2=4
satisface
las
dadas
ecuaciones
Hallar
Hp
ecuación
en
a2
asíntotas
e) 4Y2 - 9X2=1
en
en
se
b)
condiciones
a) Centro
ecuación
1
d) y2-x2+10=0
2
focos,
rectas
con
(8,-5).
265
en
(5,0)
12Y»±5JÍ
centro
!
(h,k)
h a l l a r
son:
s u s
f o c o s >
gráficas
hipérbola
vértice
foco
(0,1)
b2
y
un
en
que
satisface:
( 7 , - 5 ) y un
foco
en
b) Centro
en
(2,4),
un
vértice
en
(2,5),
una
asíntota
1) y ( 1 , 5 ) ,
un
foco
en
(1,-2).
vértice
en
(5,3)
2y-x- 6=0
5
c) Vértires
en
d)
<5.
Focos
Hallar
a)
en
(1,
vp'ri í p p r ,
IXlDl
4
2),
focos,
- U l 2 )2
4
6
En
qué
y2»Rx
nasos
¿representa
Áy
asíntotas,
29
10-0
¡a e c u a c i ó n
una
gráficas
ml
b ) 4 y 2 9 x 2 + 16y t ) Rx
o) x2
( 5 , 4 ) y un
hipérbola
nx2íby2^x4dy+f-0
?.
266
de: