Derivación Implícita

Derivación Implícita
Hipótesis
Dados m campos escalares en R n es decir cada campo con
n variables o sea
fi : » n → »
con fi ( X ) = ci ; ∀i = 1, 2,..., n
X → fi ( X )
Tal que F : » n → » m donde F ( X ) = ( f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f m ( X )) = (c1 , c2 ,..., cm ) = C
y debe verificar que en los alrededores de una vecindad con centro en X 0 .
con X = ( x1 , x2 ,..., xm , xm +1 , xm + 2 ,..., xn )
X B = ( x1 , x2 ,..., xm ) vector de variable básicas,
X L = ( xm +1 , xm + 2 ,..., xn ) vector de variable libres,
X = ( X B , X L ) donde F ( X ) = F ( X B , X L ) = C
i) F ( X 0 ) = C ⇔ ∀f i ( X 0 ) = ci
ii) ∀f i ( X ) continuos en los alrededores de una vecindad con centro en X 0 .
iii )
∂f i ( X )
existen y son continuas en los alrededores de una vecindad con centro en X 0 .
∂xi
iv) J X B F ( X 0 ) es regular.
Entonces
F : » n → » m donde F ( X ) = ( f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f m ( X )) = (c1 , c2 ,..., cm )
define implícitamente la función
H : » n−m → » m
XL → H(XL) = XB
tal que H ( X L ) = X B implica que J [ H ( X L ) ] = − J [ X B ] = − ( J X F ( X ) )
B
−1
(J
XL
)
F(X ) .
Ejercicios
1. Dado el sistema:
2
x1 x2 + x3 x4 − 3 x1 x5 − 5 = 0
2
x1 x2 x3 + x1 x4 x5 − x1 x2 + 14 = 0
Suponga que define las variables
Hallar
x4 , x5 como función de x1 , x2 , x3 .
∂ x 4 ∂ x5
,
y la matriz Jacobiana de la función H ( x1 , x2 , x3 ) = ( x 4 , x5 ) definida
∂ x2 ∂ x3
implícitamente por el sistema.
2. Sean
f1 , f 2 , g1 , g 2 : ℜ → ℜ
f1 (1) = f 2 (1) = g1 (1)
w2
= g 2 (1) = 1.
∫ f (t )dt − ∫ g (t )dt , ∫ f (t )dt − ∫ g (t )dt
1
u
1
x
2
u3
continuamente
Dada
la
tales
que
expresión
2
= 0,0 .
Demuestre
que
en
los
x2
alrededores del punto P(1,1,1,1) la expresión determina a
y si
diferenciables
y2
w4
y
funciones
H ( x, y ) = (u , v) halle JH (1,1) .
(u , w) como funciones de ( x, y )
Derivación de funciones inversas
Sea F:» n → » n Un campo vectorial diferenciable, F ( X ) = Y ,
en un abierto U ⊂ Dom( F ).
Donde det( J ( F ( X 0 ))) ≠ 0, para que exista F -1 , X = F −1 (Y )),
∀X ∈ U Entonces podemos afirmar:
i) F (U ) es abierto en » n
ii ) F -1 función inversa de F es diferenciable
iii ) J ( F -1 (Y )) = ( JF ( X ))-1
Ejercicios
1.
Sea F : » 2 → » 2 , definida por F ( x, y ) = ( x + y, xy ) = (u , v) demuestre
que en alguna vecindad de (2,1) F tiene inversa dada por F -1 (u , v) = ( x, y )
encuentre con un procedimiento detallado F -1 , encuentre J ( F -1 (3, 2))
2.
Sea g : » → » continiua donde g (0) = 1, considere
y
x2
F : » 2 → » 2 definida por F ( x, y ) = ( ∫ g (t )dt , ∫ g (t )dt )
x
y
Demuestre que F tiene inversa sobre alguna vecindad con centro en el origen
y encuentre en forma detallada J ( F -1 (0, 0))