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Las Reglas del Producto y el
Cociente
MATE 3031 – Cálculo 1
04/02/2014
JGRA
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Actividades 2.3
•
Referencia:
•
Asignación 2.3: Páginas 198-199; 23 y 29, Use GRAPH para graficar y
analizar las funciones 𝑓(𝑥) = 1/(1 + 𝑥 2 ) y la función 𝑓(𝑥) = 1/(1 +
𝑥 5 ):
–
–
–
–
–
•
(1) aproxime intervalos donde la función tiene derivada positiva y negativa.
(2) aproxime intervalos donde es continua
(3) aproxime valores de x en donde es discontinua, sino existe indíquelo
(4) aproxime valores de x en dónde NO es diferenciable, sino hay, indíquelo
(5) aproxime valor máximo o mínimo “locales” de la función, si existen. Además,
aproxime el valor de x o intervalo en donde esto ocurre.
Referencias del Web:
–
–
–
–
Prof. JGR Ahumada (Video) – Reglas del Producto y Cociente
Khan Academy – Regla del Producto y Regla del Cociente
Tutorials for the Calculus Phobe – Product Rule , Quotient Rule
Visual Calculus: Product Rule Tutorial. Luego, practique en Drill; Quotient Rule
Tutorial. Luego, practique en Drill. Para derivada de funciones trigonométricas
vea Tutorial y practique con drill 1 y drill 2.
– E-MathLab.com: Ejercicios de prática interactivos. Diferenciación básica, Regla
del Producto, Regla del Cociente.
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Cálculo 1 - MATE 3031
– Sección 3.2 Las reglas del producto y el cociente, Ver ejemplos 1 al 5
– Ejercicios de Práctica: Páginas 198-199: Impares 1 – 33
Regla del Producto
Cálculo 1 - MATE 3031
Si f(x)  u(x)  v(x) entonces,
dv
du
f ( x)  u  v
dx
dx
Otra manera de recorder esta formula:
(uv )  uv  vu 
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Ejemplo 1
• Calcule: d (2 x 3  5 x )
dx

uv 
 uv  vu 
Cálculo 1 - MATE 3031
• Solución:
d
d
3 d
x
x
3
3
x
( 2 x  5 )  2 x  (5 )  5  ( 2 x )
dx
dx
dx
 2 x 3  5 x ln 5  5 x  6 x 2
 2 x 2 5 x  x ln 5  3
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Ejemplo 2

uv 
 uv  vu 
x
x

(
x
)(
e
)

(
e
)(1)
f (x) 
 xe  e
x
x
x
f ' ' ( x)  (e )(1)  ( x  1)(e )
 e x  xex  e x
x
 e x ( x  2)
 e ( x  1)
x
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Cálculo 1 - MATE 3031
Ejemplo: Calcule 𝑓’ y 𝑓” de la función : f ( x)  xex
Ejemplo 3



d
d
2
( x  3)( x 2  5 x)
( x  3)( x  5 x) 
dx
dx

uv 
1
2

 uv  vu 
Cálculo 1 - MATE 3031
Calcule:
1
d
1  12
2
2
(uv )  ( x  3)( 2 x  5)  ( x  5 x)( x )
dx
2
3
1
1 32 5 12
2
2
 (2 x  5 x  6 x  15)  ( x  x )
2
2
5 32 15 12
5
15
 x  x  6 x  15  x x 
x  6 x  15
2
2
2
2
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Ejemplo 4
• Si 𝑢(1) = 2 , 𝑢’(1) = −7, 𝑣(1) = 7, 𝑣’ 1 = 2 ,
𝑑
(𝑢𝑣)|𝑥=1
𝑑𝑥
Cálculo 1 - MATE 3031
calcule
• Solución:

uv 
 u (1)v' (1)  v(1)u ' (1)
x 1
 (2)( 2)  7(7)  45
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Ejercicios #1
d
2 x
2 d
x
x d
(x e )  x
(e )  e
(x2 )
1.
dx
dx
dx
2.
d
[( x 2  2 x)2 x ]
dx
d x
x d
 ( x  2 x) (2 )  2
( x 2  2 x)
dx
dx
2
 ( x 2  2 x)2 x ln 2  2 x (2 x  2)

 2 x ( x 2  2 x) ln 2  (2 x  2)

d
(uv )
3. Si 𝑢(1) = 4, 𝑢’(1) = 5, 𝑣(1) = −7, 𝑣’(1) = −3. Calcule
dx
x 1
d
(uv )
 u (1)v' (1)  v(1)u ' (1)  (4)(3)  (7)(5)  47
dx
x 1
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Cálculo 1 - MATE 3031
 x 2 e x  2 xex  xex ( x  2)
Regla del Cociente
u ( x)
Si f(x) 
entonces,
v(x)
Cálculo 1 - MATE 3031
v( x)u ( x)  u ( x)v( x)
f ( x) 
2
v( x)
Otra manera de recorder esta formula:

 u  vu   uv
  
2
v
v
 
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Ejemplo 5

 u  vu   uv
  
v2
v
d
d
(5 x  3) (3 x  1)  (3 x  1)( 5 x  3)
dx
dx
f ( x) 
(5 x  3) 2

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(5 x  3)(3)  (3 x  1)(5)
(5 x  3) 2

15 x  9  15 x  5
(5 x  3) 2

14
(5 x  3) 2
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Cálculo 1 - MATE 3031
3x  1
Ejemplo: Calcule la derivada de: f ( x ) 
5x  3
Ejemplo 6

 u  vu   uv
  
v2
v
f ( x) 

(1  x 2 )
d x
d
(e )  (e x ) (1  x 2 )
dx
dx
2 2
(1  x )
e x (1  x 2 )  2 x

(1  x 2 ) 2
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
e x ( x 2  2 x  1)

(1  x 2 ) 2
JGRA
(1  x 2 )e x  2 xex

(1  x 2 ) 2
e x ( x  1) 2

(1  x 2 ) 2
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Cálculo 1 - MATE 3031
Ejemplo: Calcule la derivada de:
ex
f ( x) 
1 x2
Ejemplo 7
Cálculo 1 - MATE 3031
Ejemplo: Calcule la ecuación de la recta tangente a la
ex
gráfica de f ( x ) 
por el punto (1, e/2).
2
1 x
e x ( x  1) 2
f ' ( x) 
(1  x 2 ) 2
e (1) ((1)  1) 2
0
pendiente m  f ' (1) 
2 2
(1  (1) )
La ecuación de la recta tangente por el punto (1, e/2) es:
e
y   (0)( x  1)
2
e
y
2
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Ejemplo 8
Ejemplo: Use GRAPH para graficar la ecuación de la
recta tangente a la gráfica de
ex
f ( x) 
1 x2
por el
Cálculo 1 - MATE 3031
punto (1, e/2) y calcular la función derivada f’(x).
La ecuación de la
recta tangente por el
punto (1, e/2) es:
e
y
2
(e^x*ln(e)*(1+x^2)-2*e^x*x)/(1+x^2)^2
e x (1  x 2 )  2 xex
f ' x) 
(1  x 2 ) 2
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Ejercicio #2
Calcule:
( 4 x  3)( 2)  ( 2 x  1)( 4)

( 4 x  3) 2

2 x3
Cálculo 1 - MATE 3031
d  6x 


dx  2 x 3 
d  2x 1 
dx  4 x  3 
d x
d
(6 )  6 x
(2 x 3 )
dx
dx
2
2 x3
 
2 x 3  6 x ln 6  6 x  6 x 2

4x6
8x  6  8x  4

( 4 x  3) 2
2 x 2  6 x x ln 6  3

4x6
10

( 4 x  3) 2
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
 u  vu   uv
  
v2
v
6 x x ln 6  3

2x4
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