Inecuaciones lineales y cuadráticas - Campus Virtual

Inecuaciones lineales y cuadráticas
0.1.
Inecuaciones lineales
Una inecuación lineal tiene la forma ax + b < 0 ó ax + b > 0 ó ax + b ≤ 0 ó
ax + b ≥ 0. El objetivo consiste en hallar el conjunto solución de la desigualdad,
es decir, hallar el conjunto de valores reales que hacen la desigualdad verdadera.
Esta solución en general será un intervalo.
Ejemplo 0.1 Las siguientes son desigualdades lineales:
2x + 3 ≤ −3(x + 2) − 1
x+2
≤ 2x + 3
−5
−3x + 2 ≤ x < 2x + 5
(x + 2)(x − 5) + 2 ≥ (x − 1)(x − 10)
Para solucionar desigualdades lineales, hay que tener en cuenta los tips dados en
las ecuaciones lineales. Su solución es análoga a solucionar ecuaciones, salvo que
el signo de la desigualdad cambia cuando se pasan a multiplicar ó dividir números
negativos.
2x − 3
5(3x + 2)
+1 <
− 2. Hacemos la eliminación de
2
3
2x − 3 1
los paréntesis y la suma de las fracciones de cada lado. Es decir,
+ <
2
1
15x + 10 2
2x − 3 + 2
15x + 10 2
− . Al sumar las fracciones queda
<
− . Al sumar
3
1
2
3
1
2x − 1
15x + 10 − 6 2x − 1
15x + 4
a la derecha,
<
y
<
. Como los denominado2
3
2
3
res son positivos se pasan a multiplicar a cada lado contrario 3(2x−1) < 2(15x+4).
Al eliminar paréntesis, 6x − 3 < 30x + 8. Al pasar la variable a un lado y números
al otro, queda 6x − 30x < 8 + 3. Al reunir términos semejantes, −24x < 11. Como
el factor que multiplica la x es −24 es negativo, lo pasamos a dividir y cambia el
11
11
y ası́, x > − . Esto nos muestra
sentido de la desigualdad y tenemos x >
−24
24
Ejemplo 0.2 Resolver
1
Inecuaciones
2
(
)
11
que el intervalo solución es − , ∞ .
24
Ejercicios 1 Con base en lo anterior, resuelve las siguientes desigualdades, y:
1. Expresa su solución en forma de desigualdad, intervalo y representa en la
recta.
2(x − 3) < 4
3 − 2x > −6
−3x + 2 ≤ x < 2x + 5
x+2
≤ 2x + 3
−5
2x + 3 ≤ −3(x + 2) − 1
(x + 2)(x − 5) ≥ (x − 1)(x − 10)
1
(x − 2) ≥ −2(x + 4)
2
2(x − 2) − 3 > 2x − 1
3(2 − 3x) > 4(1 − 4x)
9y + 1
≤ 2y − 1
4
3y − 1
5(y + 1)
<
−3
−2
3(2t − 2)
6t − 3
t
>
+
2
5
10
−(1 − x) ≥ −3x + 1
−20
2
< x<4
3
3
−7 < x − 2 < 1
−4 < −x ≤ 3
4x + 2
2≤
≤ 10
−3
1
6≤3− x<9
2
100 + x ≤ 41 − 6x ≤ 121 + x
2. Representa simbólicamente:
a) Tengo por lo menos 5 cuadernos.
b) Los costos deben ser máximo de $5,30 pesos por unidad.
c) Los ingresos deben ser mı́nimo de $5000000.
d) Debe existir utilidad en la empresa.
e) La utilidad debe superar los $1000 millones.
f) La utilidad debe oscilar entre $5000 y $30000.
g) El área de la caja debe estar entre 20 y 35 metros cuadrados.
h) La cantidad de pacientes debe superar los 2000.
i) El crecimiento de esta semana debe ser a lo más de 1500 bacterias.
j) Esta semana tuvimos pérdidas en la empresa.
k) El número de horas de trabajo x necesarias para fabricar un producto
1
no es mayor que 2 ni mayor que 4.
2
3. Resuelve los siguientes problemas:
Inecuaciones
3
a) Si 5 veces un número se disminuye en 4, el resultado es menor de 48.
¿Qué se concluye sobre el número?
b) Cada mes del año pasado, James ahorró mas de $50000 pesos pero
menos de $120000. Si A representa el ahorro total en el año, describa
A con el uso de las desigualdades.
c) Si 7 veces un número decrece su valor en 6, el resultado es menor que
50. ¿Qué se concluye acerca del número?
d) Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
1)
2)
3)
4)
0.2.
Si
Si
Si
Si
a < b entonces a − 16 < b − 16.
a < b entonces −a < −b.
0 < a entonces a < a + a.
1 < a entonces a1 < 1.
Desigualdades cuadráticas y solución
Una desigualdad cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c < 0 ó ax2 + bx + c > 0
ó ax2 + bx + c ≤ 0 ó ax2 + bx + c ≥ 0.
Ejemplo 0.3 Las siguientes son desigualdades cuadráticas:
−12x2 + 3x + 1 ≤ 0
(x + 4)(x − 3)
< (x + 1)(−x + 5)
3
2x(x + 2) − 1 ≥ 3x2 − 2x + 5
(x − 7)(x + 8) > (x − 1)(x − 10)
Para resolver una desigualdad cuadrática, es necesario que el término derecho o izquierdo de la desigualdad sea cero. ¿Recuerdas cuando tenı́as ecuaciones cuadráticas? Luego se procede a factorizar y queda lista la expresión para comenzar a
resolverla. A continuación describimos el método con el cual se podrá resolver
las ecuaciones cuadráticas, similar al procedimiento llevado a cabo para resolver
ecuaciones cuadráticas.
(a) Escribir la desigualdad en la forma básica. Esto obliga a eliminar paréntesis,
reunir términos semejantes y dejar hacer que uno de los términos de la
desigualdad sea cero. Por ejemplo, (x + 2)(−3x + 5) + 29 ≤ 2 + x. Para
poder resolverla, debemos eliminar paréntesis y pasar todo los términos a
un lado, quedando, −3x2 + 5x − 6x + 10 + 29 ≤ 2 + x. Al reunir términos
semejantes, −3x2 − x + 39 ≤ 2 + x. Al pasar todos los términos a un lado
queda −3x2 − x + 39 − 2 − x ≤ 0.
(b) Reemplazar el signo de desigualdad por un signo = y resolver la ecuación
cuadrática resultante. Las raı́ces dividen la recta numérica en intervalos.
Estos valores se denominan valores crı́ticos.
Inecuaciones
4
(c) En cada intervalo elegir un valor de prueba y determinar el signo que asume
cada factor en ese intervalo.
(d) Hallar el signo de la expresión resultante a través de los signos de cada factor.
(e) Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se incluyen los
extremos del intervalo. Para una desigualdad no estricta se incluyen los
extremos.
(f ) Expresar la solución en forma de intervalo.
Ejemplo 0.4 Hallar el conjunto solución de la desigualdad 9x2 + 30x > −25.
Dejamos a un lado cero, 9x2 +30x+25 > 0. Al factorizar queda (3x+5)(3x+5) =
(3x + 5)2 . Pero si observas, esta expresión está elevada al cuadrado, por lo que no
importa cual número real asuma la variable x, su resultado siempre será positivo.
Por lo tanto, el conjunto solución es R
Ejemplo 0.5 Hallar el conjunto solución de la desigualdad x2 ≥ −2x + 15. Dejamos a un lado cero, x2 + 2x − 15 ≥ 0. Al factorizar queda (x + 5)(x − 3) ≥ 0.
¿Cuántos factores tiene el término izquierdo de la desigualdad? Bueno, entonces
ubicamos en la recta numérica los valores crı́ticos, es decir, aquellos valores en
los cuales cada factor de la desigualdad se hace cero. Esto es, x = −5 y x = 3. Estos valores dividen la recta numérica en tres franjas, que son: (−∞, −5), (−5, 3)
y (3, ∞). Debemos hallar el signo de cada factor en cada franja, tomando como
referencia un valor de prueba. Veamos:
Intervalo
(−∞, −5) (−5, 3) (3, ∞)
Valor de prueba
-5
1
4
(x + 5)
+
+
(x − 3)
+
Signo de (x + 5)(x − 3)
+
+
El valor de prueba puede ser cualquiera, nosotros hemos tomado uno arbitrario
para determinar el signo del resultado. Si observas en la última lı́nea, esta muestra
el conjunto solución. Queremos determinar cuando (x+5)(x−3) es∪mayor o igual
que cero, por lo que el intervalo en donde es positivo es (−∞, −5) (3, ∞). Pero,
también indica la desigualdad inicial que puede ser cero, por
∪ lo que podemos incluir
los extremos, de tal forma que la solución es (−∞, −5] [3, ∞)
Ejercicios 2 Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
1. x2 + 2x − 15 > 0
4. 9x > 2x2 − 18
2. 3x2 − x − 2 < 0
5. x2 − 5x ≤ 0
3. 12x2 > 27x + 27
6. 3x2 − 27 ≥ 0
7. x2 + 6x ≤ −9
8. 4x2 + 7x ≤ 0
Inecuaciones
0.3.
5
Inecuaciones polinómicas y solución
Una desigualdad polinómica es una desigualdad cuyo grado es mayor que dos. El
de grado dos lo abordamos anteriormente, pero de grado 3 o mas lo trabajamos a
continuación. La forma como se resuelven las desigualdades polinómicas es análoga
a las cuadráticas, salvo que tenemos mas factores y ası́, mas valores crı́ticos por
ubicar en la recta. El procedimiento es el mismo. Se escoge un valor de prueba en
cada intervalo para determinar el signo de cada factor y finalmente, se determina
el signo de la expresión completa. Vemos un ejemplo en donde se emplea el método
y luego se proponen algunos ejercicios para que el estudiante resuelva.
Ejemplo 0.6 Hallar el conjunto solución de (x + 1)(x − 1)(2x + 3) > 0.
(−∞, − 32 ) (− 23 , −1) (−1, 1) (1, ∞)
-4
-1.2
0
3
+
+
+
+
+
+
+
+
∪
Esto nos muestra que el intervalo solución es (− 23 , −1) (1, ∞).
Intervalo
Valor de prueba
(x + 1)
(x − 1)
(2x + 3)
Signo de (x + 1)(x − 1)(2x + 3)
x−2
≤ 1. Para
x+3
proceder con la solución, se debe pasar a restar el 1, realizar la suma de fracciones
que queda y luego factorizar si es posible.
Ejemplo 0.7 Hallar el conjunto solución de la desigualdad
Ejercicios 3 Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
1. (x + 2)(x − 2)(x + 5) < 0
3. (x + 1)2 (x − 4)(x + 4) ≥ 0
2. x(x − 1)(x + 4) ≤ 0
4.
x(x + 1)(x − 2)
≥0
x(x − 4)
Elaborado por Jaime Andrés Castaño 2016-1
Universidad del Valle