Curso de Algebra y Trigonometria

UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE
UNIDAD CULIACAN
CURSO DE
ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRIA
PARA INGENIERÍA
Ing. Luis Antonio Achoy Bustamante
Ing. José Antonio Castro Inzunza
JUNIO DE 2012
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ÍNDICE
INDICE
PRESENTACIÓN
UNIDAD I LOS NÙMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPOENETES
ACTIVIDAD 1 NUMEROS NATURALES Y ENTEROS
ACTIVIDAD 2 NUMEROS RACIONALES
ACTIVIDAD 3 NUMEROS IRRACIONALES
ACTIVIDAD 4 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES
ACTIVIDAD 5 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
ACTIVIDAD 6 DE LA ARITMETICA AL ALGEBRA
ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES
UNIDAD II OPERACIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y
FACTORIZACIÓN
ACTIVIDAD 9
ACTIVIDAD 10
ACTIVIDAD 11
ACTIVIDAD 12
ACTIVIDAD 13
ACTIVIDAD 14
ACTIVIDAD 15
ACTIVIDAD 16
ACTIVIDAD 17
ACTIVIDAD 18
Página:
1
2
5
6
8
10
12
14
16
18
20
22
EXPERSIONES ALGEBRAICAS
PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PRODUCTOS NOTABLES
BINOMIO DE NEWTON
PRODUCTOS DE BINOMIOS
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
FACTORIZACION DE TRINOMIOS
FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS,
SUMAS Y DIFERENCIASD DE CUBOS
ACTIVIDAD 19 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
23
26
28
29
31
32
34
37
39
42
UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES
ACTIVIDAD 20 EXPRESIONES RACIONALES
ACTIVIDAD 21 MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES
ACTIVIDAD 22 SUMA DE FRACCIONES Y FRACCIONES COMPLEJAS
ACTIVIDAD 23 SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES IRRACIONALES
ACTIVIDAD 24 SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES
ACTIVIDAD 25 PRODUCTOS Y DIVISIONES DE EXPRESIONES RADICALES
ACTIVIDAD 26 OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACION
ACTIVIDAD 27 LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
ACTIVIDAD 28 OPERACIONES EN EL CALCULO
MISCELANEA DE EJERCICIOS
UNIDAD IV TRIGONOMETRIA
ACTIVIDAD 29 ANGULOS Y SUS MEDIDAS
ACTIVIDAD 30 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
ACTIVIDAD 31 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
ACTIVIDAD 32 LEY DE SENOS
ACTIVIDAD 33 LEY DE COSENOS
ACTIVIDAD 34 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
45
46
49
51
54
57
58
60
62
66
69
73
74
76
79
80
81
83
BIBLIOGRAFÍA
85
1
44
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
PRESENTACIÓN
La enseñanza basada en competencias establece que hay que dotar al alumno de un
conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes que le permitan su realización y desarrollo en
el ámbito personal como profesional. Dentro de las competencias básicas se encuentran las
competencias matemáticas, las cuales se relacionan con el desarrollo de habilidades para usar
diferentes tipos de pensamiento matemático, como son el lógico, espacial, el de representación
por medio de modelos, fórmulas, gráficos, que tienen aplicación universal para la explicar y
describir la realidad.
En definitiva, la competencia Matemática supone: aplicar aquellas destrezas y actitudes que
permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse
y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas e
integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar una mejor
respuesta a las situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad. Se deben desarrollar las
siguientes competencias básicas:
Organización, comprensión e interpretación la información.
Identificación de los elementos matemáticos que se presentan en una situación
real.
Aplicación de técnicas adecuadas de selección, ordenación y representación de
los datos.
Utilización de procedimientos matemáticos que permitan su análisis y la
extracción de conclusiones.
Expresión matemática oral y escrita.
Uso del vocabulario y los símbolos matemáticos básicos.
Utilización de formas adecuadas de representación según el propósito y la
naturaleza de la situación.
Expresión correcta de los resultados obtenidos al resolver problemas.
Justificación de resultados con argumentos y expresiones de base matemática.
Capacidad para seguir una demostración sencilla de un resultado matemático,
identificando las ideas fundamentales y enjuiciando la lógica y validez de las
argumentaciones e informaciones.
Planteamiento y resolución de problemas.
Reconocimiento y planteamiento de situaciones reales susceptibles de ser
formuladas en términos matemáticos.
Traducción a esquemas o estructuras matemáticas.
Valoración de distintas vías para resolver problemas.
Selección de los datos y estrategias apropiadas para resolver un problema.
Utilización con precisión de procedimientos de cálculo (exacto, aproximado,
mental, con calculadora, …), fórmulas y algoritmos.
Expresión correcta de los resultados y su interpretación en términos de la
situación inicial.
Uso de medios tecnológicos en el tratamiento de la información.
2
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
El Álgebra es una de las ramas más importante de la Matemática, permite el manejo de
expresiones en forma general, permite simplificarlas y transformarlas en otras formas
equivalentes más simples, por este motivo se deben desarrollar las habilidades algebraicas por
medio del entendimiento y practica de sus principios fúndateles.
El presente curso consta de una serie de actividades donde se desarrollan los
conceptos fundamentales y se proponen ejercicios los cuales deben ser resueltos para adquirir
la habilidad en el manejo de expresiones algebraicas, las cuales son la base para el
entendimiento de otras áreas como el Cálculo, Estadística, Investigación de Operaciones,
matemáticas financieras.
Una de las preguntas que nos hacemos con cierta frecuencia es ¿QUÉ ES LA
MATEMÁTICA? Podríamos decir que la Matemática es una expresión de la mente
humana, que refleja la voluntad activa, la razón contemplativa y el deseo de una
perfección estética. Sus elementos básicos son: Lógica e intuición, análisis y
construcción, generalidad y particularidad. Sin duda alguna, todo el desarrollo
matemático ha tenido sus raíces psicológicas en necesidades más o menos prácticas,
mediante un largo proceso de abstracción.
La historia de las Matemáticas comienza en Oriente, donde hacia el año 2 000
a. C. los babilonios poseían ya una gran cantidad de conocimientos que podrían ser
clasificados como Álgebra Elemental. Pero como ciencia en sentido moderno, donde
aparece más tarde es en Grecia entre los Siglos V y IV a. C. donde se origina un
desarrollo axiomático-deductivo, con Eudoxio y culmina con los elementos de Euclides,
concepción que actualmente se conserva.
Durante casi 2000 años el peso de la tradición geométrica de los griegos
retrasó la inevitable evolución del concepto de número y del desarrollo del Cálculo
Algebraico, después de un periodo de preparación lenta, la Matemática comenzó su
vigorosa evolución en el Siglo XVII, con la Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial
e Integral. En este proceso hubo grandes aportaciones de personajes, tales como
Vieta, Descartes, Newton, Leibnitz, Euler, Gauss y muchos otros.
Los conocimientos matemáticos fueron construidos de una manera progresiva,
donde han sido pulidos hasta llegar al grado de desarrollo actual. Las Matemáticas, son
la llave para la comprensión del mundo físico; nos dan el poder sobre la naturaleza y le
han dado al hombre la convicción de que se puede seguir profundizando en los
secretos de la misma.
Además, las Matemáticas, han permitido a los pintores, pintar en forma
realista, así como la comprensión de los sonidos musicales, el análisis de tales sonidos
fueron la base para la construcción del teléfono, fonógrafo, la radio e instrumentos de
grabación y reproducción. Las Matemáticas cada vez son más importantes para la
investigación biológica y médica, el desarrollo de la electrónica, la computación y otras
ciencias, también juega un papel importante en la planificación de la economía, la
dirección de la producción, el diagnóstico y tratamiento de enfermedades, el estudio
del rendimiento de los atletas, invadiendo así, todos los campos del saber de la
humanidad.
3
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Actualmente los estudiantes tienen la idea de que se les enseñan las
Matemáticas para fastidiarlos y causarles problemas. Este enfoque ha causado un
bajo nivel de aprovechamiento de la materia por lo que se aprenden los contenidos en
forma memorizada y los procedimientos en forma mecanizada, sin tener un claro
entendimiento de los mismos o la forma de utilizarlos en la vida diaria o en su
profesión.
Es necesario que los estudiantes tengan una participación activa en la
construcción del conocimiento matemático, no ser simples repetidores, la enseñanza
constructiva no es fácil, pero no hay caminos fáciles, para disfrutar la vista de lo alto
de una montaña hay que escalarla, en las Matemáticas no hay teleféricos, los cables se
rompen en la mente de los jóvenes, el arte de enseñar reside en la habilidad para la
utilización de los procesos de descubrimiento, con esto se puede estimular y
desarrollar el poder creativo de los estudiantes y de darles el placer del
descubrimiento.
La Ciencia está más activa que nunca, cada vez más se usa a las Matemáticas
para presentar y predecir los fenómenos que ocurren en la naturaleza, por esta razón
es necesario que los nuevos profesionistas tengan un conocimiento más amplio para
poder entender los modelos matemáticos y formular nuevos, además de que son un
lenguaje universal.
El aprendizaje de las Matemáticas requiere de un esfuerzo significativo por
parte de los alumnos, el desarrollo de las habilidades y la adquisición de conocimientos
matemáticos es gradual y solo es posible a través de la constancia en el estudio.
También el aprendizaje de las Matemáticas en la escuela está fundamentado en tres
elementos básicos:
• El reconocido valor de los conocimientos matemáticos para la
solución de problemas que enfrenta nuestra sociedad.
• La potencialidad del aprendizaje de las matemáticas para el
desarrollo del pensamiento.
• La contribución de las matemáticas al desarrollo de la conciencia
y educación de las nuevas generaciones.
¡NO TEMAS IR DESPACIO, TEME NO AVANZAR !
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
UNIDAD I
LOS NUMEROS REALES
Y
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 1
NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
OBJETIVO.- Realizar operaciones con números naturales y enteros.
Los números reales están formado por los números que se pueden escribir en notación
decimal, para estudiar sus propiedades y operaciones, se dividen en:
Números naturales: Son los números que se usan para contar y se representan:
1,2,3,4, …
Números enteros: Se forman de los naturales, sus inversos aditivos y el cero
… , 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4, …
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
SUMA
a) Si los números tiene el mismo signo se suman sus valores y al resultado se les asigna el
signo de los números.
3 4 7
2 5
7
b) Si los números tienen diferentes signos, se restan sus valores y al resultado se le
asigna el signo del número mayor.
6 4 2
6 4
2
PRODUCTO:
a) El producto de dos números enteros del mismo signo da como resultado un número
entero positivo.
3 4
12
4
2
8
b) El Producto de dos números enteros de diferente signo da como resultado un número
entero de signo negativo.
5 2
10
3
5
15
Para indicar operaciones más complicadas es necesario usar símbolos de agrupamiento,
en estos casos debemos respetar la jerarquía de las operaciones, por ejemplo la operación
5 + 3(4 + 6) , primero se realiza la suma dentro de los paréntesis 5 + 3(10) , enseguida la
multiplicación 5 + 30 y por último la suma, el resultado final es 35 , esto lo representamos:
5 + 3(4 + 6) = 5 + 3(10) = 5 + 30 = 35
En el siguiente ejemplo observa el orden en que se realizaron las operaciones
4 − 2{4 − 3[8 − 2(3 − 5)] } = 4 − 2{4 − 3[8 − 2(− 2)] } = 4 − 2{4 − 3[8 + 4]} = 4 − 2{4 − 3[12]} = 4 − 2{4 − 36}
= 4 − 2{− 32} = 4 + 64 = 68
Otra operación importantes es la potencia, la cual es una simplificación de la
multiplicación, esta se presenta cuando una cantidad se multiplica por si mimo varias veces,
4
por ejemplo si multiplicamos (3)(3)(3)(3) lo podemos escribir como 3 , una potencia tiene dos
elementos, la base que en este caso es el número 3 y el exponente que indica el número de
veces que se toma la base como factor, en general una potencia se puede escribir como:
a n = ( a )( a )( a )....( a ) = aaa....a
Al estudiar los números enteros se encontró que cualquier entero positivo se puede
expresar como el producto de números primos, a esto se le conoce como “El principio
Fundamental de la Aritmética”. Los números primos los tienen la característica que sólo se
pueden dividir exactamente entre ellos mismos y la unidad, algunos de estos números son los
siguientes:
6
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ..
El proceso para factorizar un número en factores primos se realiza
consecutivamente el número en factores primos, bajo el siguiente esquema:
dividiendo
Por ejemplo el número 48 lo podemos expresar en números primos de la siguiente manera
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
48=(24)(3)
Ejercicios:
1.- Realiza las operaciones siguientes:
a).-
8 + 6(3 − 6) =
b).- −2[3 − (3 + 4)] =
c).-
−{3(3 − 2) + 4(−3 − 6)} =
d).-
4 − 3 3 − 3(3 − 6) 2 =
e).-
3 3 + 6[2 − (− 2 − 3)] 2 =
{
}
{
}
f).-
[− 2 − 4(3 − (3 − 6)] + [5 + 2(− 3 + 4(2 − 1)] =
g).-
[(3 − 4)
3
+ 3(3 − 5) 2
]=
2
2.- Descomponer en factores primos los siguientes números usando el principio
fundamental de la aritmética.
a).- 192
b).- 525
c).- 1500
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 2
NUMEROS RACIONALES
OBJETIVO.- Simplificar y realizar operaciones con números fraccionarios.
Estos números se originan por la división de dos enteros, por ejemplo al dividir 4/2=2,
el cual es un entero, pero si hacemos la división:
2
= 0.66666 ....
3
El resultado no es un entero, es posible desarrollar operaciones con estos números sin
expresarlos en su forma decimal, a estos se les conoce como fracciones. Una característica de
estos números es que al realizar la división sus decimales presentan periodicidad.
Los números racionales se definen como el cociente de dos números enteros , donde
0, se representan por la letra
De acuerdo a esta definición los números enteros son racionales, por ejemplo el número
2
2 lo podemos escribir como 1 .
Otro concepto importante es el de fracciones equivalentes, las cuales tienen la
propiedad de que su valor numérico es el mismo, si consideramos las fracciones:
3
6
3 6
= 0.75
= 0.75
entonces
=
4
8
4 8
Las fracciones equivalentes se obtienen al multiplicar o dividir el numerador o denominador por
el mismo número, excepto el cero.
OPERACIONES
Para sumar fracciones deben tener el mismo denominador, las fracciones
3
y
5
6
se pueden
5
3 6 9
+ = , observe que solo se suman los numeradores y queda el mismo
5 5 5
denominador. Si las fracciones tiene diferente denominador, se deben llevar a un denominador
común, esto lo podemos hacer usando el principio de las fracciones equivalentes. Si queremos
3 2
9 10 19
+ las transformamos en las fracciones equivalentes:
+
=
sumar las fracciones:
5 3
15 15 15
Observe que el común denominador es el producto de los denominadores, en algunos
casos el común denominador se puede obtener por observación, este tiene la propiedad de
2 5
+
poderse dividirse entre cada denominado. Por ejemplo, la operación
, el común
3 12
denominador pueden ser los números 12,24,36,… utilizando cualquiera de ellos debemos
obtener el mismo resultado, por facilidad se utiliza el Mínimo común denominador.. Para
obtener el MCD se dividen los denominadores entre factores primos y el MCD es el producto
de los factores:
3
7
4
+
+
Sumar
al descomponer cada denominador en factores primos se obtiene:
15 60 45
15
60
45 5
3
12
9
3
1
4
3
3
4
1
4
1
El MCD=(5)(3)(3)(4)=180
sumar directamente:
8
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
3
7
4 3(12 ) + 7 (3) + 4( 4) 36 + 21 + 16 73
+
+
=
=
=
15 60 45
180
180
180
Realizando la suma
PRODUCTO
El producto entre fracciones se realiza multiplicando los numeradores y
denominadores, las reglas de los signos para los enteros también se aplican para los racionales.
3
15
 4  2  (4)(2) 8
 1  3 
 3  5 
 2   2  2  4
a)    =
=
b)   −  = −
c)  −   = −
d ) (2)  =    =
20
4
 3  5  (3)(5) 15
 4  5 
 2  2 
 5   1  5  5
Se observa que el resultado anterior se puede obtener multiplicando el numerador de la
primera fracción por el denominador de la segunda se obtiene el numerador de la fracción
resultante y al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda se
obtiene el denominador del resultado:
3
4 = 15
2
8
5
1.- Realiza las operaciones siguientes:
a).-
2 5 1
+ −
=
4 3 12
b).-
3
5
7
−
+
=
64 28 32
2
c).-
d).-
2+
2 2 
+3 =
3  5 
4 2
2  1 
+  − 5 + 1 −   =
5 5
3  5 
2
e).-
3 
2

 2 +  3 −  =
2 
5

3
5 =
2
2−
3
3+
f).-
9
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 3
NUMEROS IRRACIONALES
OBJETIVO.- Realizar operaciones con números irracionales.
Son aquellos que no se pueden escribir como una fracción, las raíces de números que no
son exactas son irracionales 2 , 3 5 así como el valor de pi
3.1416 …, la característica
principal es que los decimales no son periódicos, se representan por .
Los números con radical se pueden sumar si tienen el mismo orden de su radical y el mismo
subradical, por ejemplo:
2 3 + 4 3 = (2 + 4) 3
5 − 3 3 5 = −2 3 5
Para multiplicación solo es necesario que tengan el mismo orden del radical:
3
2 6 = 12
4 3 3 = 3 12
En la división se tiene la misma característica anterior:
3
6
3
=
6
= 2
3
Para algunas multiplicaciones de números irracionales es necesario utilizar una
propiedad llamada distributiva, por ejemplo, consideremos el producto:
(2)(1 + 2 3 ) = 2(1) + 2(2 2 ) = 2 + 4 2
Al realizar la operación se observa que el número 2 se multiplica por cada número
dentro del paréntesis, esto lo podemos generalizar para cualquier número:
a(b + c) = ab + ac
Esta propiedad es una de las más importantes para el desarrollo del álgebra. Usando
esta propiedad es posible desarrollar los productos:
(2 + 3 )(−3 + 3 5 ) = (2 + 3 )(−3) + (2 + 3 )(3 5 )
= −6 − 3 3 + 6 5 + 3 15
En este ejercicio no es posible simplificar, puesto que hay radicales del mismo tipo.
Es posible simplificar los radicales expresando el subradical en dos factores, de tal
manera que uno de ello tenga la raíz exacta, consideremos el radical
escribir
12 , este lo podemos
(4)(3) = 4 3 = 2 3 , para números más grandes se usa el principio fundamental de la
aritmética. Simplifiquemos 128 = 64 2 = 8 2 .
Otra operación importante con los radicales es la racionalización, la cual consiste en
quitar el radical o radicales del numerador o denominador de un cociente donde hay radicales.
2
Supongamos que se quiere racionalizar el denominador del número
, para esto se multiplica
2
el numerador y denominador por
2 , la operación es:
2
2
⋅
2
2
=
2 2
4
10
=
2 2
= 2
2
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicos:
1.- Simplifica los siguientes radicales:
a).-
32 =
b).-
720 =
c).-
3
54 =
2.- Realizas las operaciones indicadas:
a).-
80 + 45 − 5 =
b).-
3
c).-
d).-
(
(2
)
3+2 =
2+ 5
160
75
)
2
=
=
3.- Racionalizar el denominador
5
a).=
3
b).-
c).-
3
6
2
2
=
=
Si reunimos a todos los números que hemos tratado en un solo conjunto formaremos el
conjunto llamado NÚMEROS REALES, los cuales tienen la característica de poderse expresar
mediante una notación decimal.
Así tenemos el siguiente esquema:
Enteros Z
Racionales
Fracciones
Números reales
Irracionales
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 4
PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
OBJETIVO.- Aplicar las propiedades de campo para desarrollar una operación.
Al estudiar las operaciones con los números se pueden obtener propiedades básicas a las cuales
se les conoce como propiedades de campo de los números reales, que son:
Sean a, b, c números reales:
1.- Existe un elemento identidad en la suma y multiplicación:
a+0=a
a(1) = a
2.- Existe un inverso multiplicativo y aditivo para cada número (excepto el cero en la
multiplicación)
1
a  = 1
a + (−a ) = 0
a
3.- Propiedad Asociativa:
abc = (ab)c = a (bc)
a + b + c = ( a + b) + c = a + (b + c)
4.- Propiedad conmutativa:
a+b =b+a
ab = ba
5.- Propiedad Distributiva:
a(b + c) = ab + ac
6.- Propiedad de cerradura:
a + b es un número real y ab es un número real
El buen manejo y entendimiento de las propiedades de campo de los números reales es
requisito indispensable para poder desarrollar el álgebra. En las operaciones anteriores
aparecen literales y números, a estas se les llama expresiones algebraicas
A continuación se muestran algunas operaciones donde se utilizan las propiedades de
campo de los números reales.
Ejemplo: Multiplicar 2(a + 1) usemos la propiedad distributiva:
2( a + 1) = 2a + 2(1) = 2a + 2 usando la propiedad del elemneto identidad
Ejemplo: Multiplicar (2a + 3)(3a + 4)
(2a + 3)(3a + 4) = (2a + 3)(3a) + (2a + 3)(4)
propiedad distributiva
= (2a)(3a) + (3)(3a) + (2a)(4) + (3)(4)
propiedad distributiva
= 6a + 9a + 8a + 12
propiedad asociatia
2
= 6a + 17a + 12
2
Multiplicar (3a + 1)(3a − 1)
(3a + 1)(3a − 1) = (3a + 1)(3a) + (3a + 1)(−1)
= (3a)(3a + 1) + (−1)(3a + 1)
propiedad distributiva
propiedad conmutativa
= (3a)(3a ) + (3a )(1) + (−1)(3a ) + (−1)(1)
propiedad distributiva
= 9a + 3a + (−3a ) + (−1)
Elemento identidad
= 9a − 1
inverso aditivo
2
2
12
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicio.- realizar las siguientes operaciones, indicando la propiedad de campo
utilizada
a).- 3(2 + a ) =
b).- ( x + 1)( x + 2) =
c).- (a + 3) 2 =
d).- (2 x + 3)(3x − 2) =
e).-
(a + 1) 3 =
g) ( x 2 + 1)(3 x − 2) =
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 5
PROPIEDADES DE LA IGULADAD
OBJETIVO. - Aplicar las propiedades de la igualdad para resolver ecuaciones de primer grado.
El signo igual se usa en aritmética para indicar el resultado de una operación:
4+3=7
4(5-2(3+1)) = 4(5-2(4)) = 4(-3) =-2
Es decir lo usamos en la lectura de expresiones matemáticas siempre de izquierda a
derecha, o también para relacionar procesos que nos el mismo resultado:
(4)(3)=(2+2)(3)=(5-1)+(6-3)
En todos los casos anteriores los supuestos que establecen son siempre verdaderos,
pero en el caso de que en las expresiones existan literales, el sentido del signo igual es
diferente, por ejemplo:
a +5= 7
Esta igualdad no se cumple para cualquier valor de a , se observa que solo el número 2 la
hace verdadera, en este sentido el signo igual indica restricción, en este caso se le llama una
ecuación, tomemos ahora el siguiente ejemplo:
( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Esta igualdad se cumple para cualquier valor de a y b.
Si a = 2 y
b=3
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2(2)(3) + 32
5 2 = 4 + 12 + 9
25 = 25
El signo igual relaciona dos expresiones que numéricamente son iguales, pero están
escritas de forma diferente. Se dice que las expresiones son equivalentes (en este caso fue
una identidad). En álgebra el signo igual en estas expresiones debe verse en forma
bidireccional, es decir, debemos verlo actuar tanto de izquierda a derecha, como de derecha a
izquierda.
Otro uso de signo igual es para relacionar valores de una variable con los valores de
otra, esto da origen al concepto de función, si tenemos la expresión:
y = 2x + 5
Nos dice que al valor de la variable y le corresponde el valor que impone la variable x :
Si x = 2
y = 2( 2) + 5 = 4 + 5 = 9
Si x = 1
y = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7
1
Si x =
y = 2( 1 2 ) + 5 = 1 + 5 = 6
2
Como vez el signo igual tiene varias interpretaciones que es importante distinguirlas
claramente.
Podemos mencionar que la igualdad tiene las siguientes propiedades.
Reflexiva
a=a
Simetrica
a=b
Transitiva
Aditiva
Si a = b y b = c
Si a = b entonces
entonces
a=c
a+c =b+c
Multiplica tiva
Si a = b entonces
ac = bc
14
entonces
b=a
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad son de suma
importancia para un manejo de las propiedades algebraicas.
Determinar el valor de a de la siguiente expresión:
2a + 4 = 10
Para obtener el valor de a debemos aplicar las propiedades de la igualdad y las
propiedades de campo:
2a + 4 − 4 = 10 − 4
Propiedad aditiva
2a + 0 = 6
Inverso aditivo
2a = 6
Elemento identidad
2a 6
=
Propiedad multiplica tiva
2
2
a=3
Elemento identidad
Podemos decir que una cantidad pasa de un miembro a otro efectuando la operación
contraria pues existen propiedades de las operaciones que permiten hacerlo así, es decir, si
está sumando se pasa restando, si está multiplicando se pasa dividiendo y viceversa, a esto se
le conoce como TRANSPOSICION DE TERMINOS. Hay que tener mucho cuidado al aplicar
estos atajos, puesto que su aplicación incorrecta puede conducir a errores, resolvamos el
ejemplo anterior usando transposición de términos:
2x + 8 = 16
Pasamos el 8 restando al segundo miembro
2x = 16 -8
2x = 8
Pasamos dividiendo el 2 al segundo miembro
y luego reducimos 8/2 a 4
x=4
Ejercicio.
1.- Calcular el valor de la incógnita usando las propiedades de la igualdad
a) 4 x + 6 = 15
b) 3b − 5 = 8b + 3
c)
1
2
a+ a=a+2
3
5
 2 x − 1   1 - 2x 
e) 3
 + 4
 = 1 - 3x
 3   2 
2.- Despejar la literal que se indica en cada fórmula:
a)
!"
b) %
&
c)
-)
.
'()
*
#$
+,
despejar $
despejar
despejar /
15
d)
x −1 5 x − 2
+ =
+5
4
3
7
f)
2 x + 3 = 5x
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 6
DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA
OBJETIVO.- Plantear y resolver problemas que dan origen a ecuaciones de primer grado.
Es de primordial importancia, contar con una buena base en Álgebra para los cursos
avanzados de Matemáticas. También es útil en problemas de la Industria, los Negocios, la
Estadística y muchas otras. El Algebra se ha desarrollado a partir de la generalización de las
reglas y operaciones de la Aritmética. Las siguientes operaciones con números:
4+7, (37)(681), 79 – 22,
40 / 5
Se pueden representar de manera general si se introducen símbolos o letras para
denotar números arbitrarios obteniendo “Expresiones Algebraicas”, en las cuales aparecen
números y letras realizando diferentes operaciones, las operaciones anteriores se pueden
representar con símbolos:
a+b, cd, x – y,
x/a
Este lenguaje del Algebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para
abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas y segundo, es un modo adecuado de
generalizar muchas expresiones específicas.
Algunas fórmulas usadas en la ciencia y en la industria nos pueden ayudar a ilustrar la
generalidad del Algebra. Por ejemplo si un avión vuela a razón constante de 300 mph (millas por
hora) durante 2 horas, entonces la distancia recorrida es
(300)(2) o 600 millas
Si la velocidad es de 250 mph y el tiempo transcurrido es de 3 horas, entonces la
distancia recorrida es de
(250)(3) o 750 millas
Si ahora introducimos símbolos y denotamos con 0 la velocidad, $ el tiempo transcurrido
y d la distancia recorrida, entonces se puede representar 1 0$, a estas expresiones se les
conoce como fórmulas.
Otro tipo de expresiones que se obtienen son los procesos de simbolización de
problemas son las ecuaciones de primer grado, en la cuales existen una o más cantidades
desconocidas las cuales se representan por una literal, consideremos la siguiente situación.
La suma de las edades de Pedro y Juan suman 75 años, pero Pedro es mayor 15 años que
Juan, ¿Cuáles son las edades de cada una?
En este caso la solución la podríamos obtener por prueba y error, usando un
procedimiento matemático el planteamiento es el siguiente:
Edad de Pedro + Edad de Juan = 75
Edad de Pedro= Edad de Juan + 15
Se tomamos la edad de Juan = x, entonces Edad de Pedro = x + 15
Sustituyendo en la suma de las edades:
x + 15 + x = 75
Resolviendo la ecuación se x= 30, entonces la edad de Juan es 30 años y la de Pedro es
45 años.
16
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Una persona tiene dos tipo de café, uno nacional que cuesta $ 120 el kilogramo y otro
importado que tiene un costo de $ 180 el kilogramo, quiere forma una mezcla la cual la pueda
vender a $150 el kilogramo, determine cuantos kilogramos de cada café debe utilizar:
Se debe cumplir que:
Cantidad de café nacional + Cantidad de café importado=100
En cuanto a los ingresos se tiene:
Ingresos por la venta del café nacional + Ingresos por el café importado = 100(160)
Si consideramos Cantidad de café nacional = x , entonces Cantidad de café importado= 100-x
Sustituyendo en la segunda condición:
120 x + 180 (100-x)=16000
Despejando se obtiene que x= 33.33 kg de café nacional, por lo tanto 100-x= 66.37 kg de café
importado.
Ejercicios:
1.- Determine tres números enteros positivos consecutivos cuya suma sea 93.
2.- Una persona pagó por un par de zapatos $760. La tienda tenía una oferta de descuento del
15%. ¿Cuál era el precio original de los zapatos?
3.- El Depto. de recursos humanos de Kuroda le informa a uno de sus empleado que su sueldo se
incrementará un 4.85%. Si recibirá $6250 mensuales. ¿Cuál era su salario anterior?
4.- Una persona quiere invertir $15000, tiene dos opciones: la primera una cuenta que le paga
el 8% de interés anual y la otra que le paga el 12% de interés anual. Al final de un año quiere
reunir $1700 por concepto de intereses, ¿Cuánto debe invertir en cada cuenta?
5.- Se tiene un terreno cuyo perímetro es de 500m, si se sabe que el largo es 25% más grande
que el ancho, ¿Cuales son las dimensiones del terreno?
6.- Una persona tiene $120 en monedas de $5 y de $2, si hay tres veces más monedas de $2
que las de $5, ¿Cuantas monedas hay de cada denominación?
17
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 7
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
OBJETIVO.- Realizar operaciones usando las propiedades de los exponentes.
Una potencia con exponente entero positivo, indica el número de veces que una cantidad
se toma como factor, por ejemplo a 3 = aaa , se pueden obtener propiedades generales para
realizar operaciones con los exponentes de potencias, el valor de / se llama base y 2
expoenente.
Sean a, b números reales y m, n números enteros positivos
1. − a m a n = a m + n
2. −
am
= a m−n
an
a≠0
3. − (a m ) n = a mn
4. − a 0 = 1
a≠0
5. − (ab) = a b
m
m m
m
am
a
6. −   = m b ≠ 0
b
b
Si se tienen exponentes negativos se utiliza la propiedad:
1
a −n = n
a
Ejemplos.- Se aplican las propiedades de los exponentes para simplificar las siguientes
expresiones sin exponentes negativos.
a ) ( x 6 )( x 3 ) = x 9
b) ( a 2b − 3 ) − 2 = a − 4b 6 =
c) (8 x) − 2 =
d)
e) (3 x 2 y )(4 xy 3 ) = 12 x 3 y 4
b6
a4
1
1
=
(8 x) 2 64 x 2
1
1
=
a −1 + b −1 1 + 1
a b
f) (b 2 ) − 3 = b − 6 =
 2x 2 
g)  − 3 
y 
1
b6
−2
= (2 x 2 y 3 ) − 2 =
3
1
1
=
(2 x 2 y 3 ) 2 4 x 4 y 6
3
3
24 6
 6 0 x 6 y   x 6 x 2 yy   x 8 y 2 
 =
 = x y
h)  − 2 −1  = 



27
 3x y   3   3 
18
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicio:
1.-Usando las propiedades de los exponentes simplifique cada expresión sin exponente negativo
(suponga que las cantidades en el denominador son diferentes de cero).
a).-
(2x3 y 2 )(3xy3 ) =
b).-
c). - (2a 2b 3 ) 2 (3ab) =
(32 y3 x)(3 yx3 ) =
d). - (4 xy ) 0 =
e). -
16a 2 x 3
=
8ax 3
f). -
3xy 3
=
6 −2 x −1 y −2
g). -
( a + b) 2
=
( a + b) − 2
 3−1 y 2 a 0 
h). -  2 −2 3  =
3 y a 
3
2
 −3 4  −3 
x y
j). -  −5 −1   =
 2 x y  


2
 4 x 2 y −1  3xy −2 
i). -  −1 2  2 −1  =
 x y  x y 
19
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 8
EXPONENTES RACIONALES
OBJETIVO.- Realizar operaciones usando exponentes fraccionarios.
En las operaciones anteriores solo se trabajaron exponentes enteros positivos, en
general el exponente puede ser un número real, a continuación trataremos los exponentes
racionales. Ya se estudiaron los números irracionales algunos de los cuales los podemos
representar por medio de un radical, por ejemplo 2 y definimos que la raíz de un número es
otro número que al elevarlo al orden del radical da como resultado el subradical, por ejemplo.
4 =2
puesto que 2 2 = 4
2 en este caso debemos encontrar un númro que elevado al caudrado se 2
Si recordamos las propiedades de los exponentes
entonces es válida la siguiente operación:
( a n ) m = a nm ,
*
tenemos 3√25
1
2
1
2
 1
( 2)
2=
puesto que  2 2  = 2 2 = 2 2 = 21 = 2
 
 
Que es el resultado que buscábamos. Se concluye que cualquier radical lo podemos
transformar a una potencia con exponente racional:
1
22
1
Sea
n
a , con a >0 si n es par, entonces
n
a = a n siempre y cuando n sea diferente de
cero.
Ejemplos.- escribir los siguientes radicales con exponente racional
1
1
x = x2
1
a
=
1
1
a2
3
=a
−
1
2
1
3 = 33
5
− 5 = (−5) 5
1
4
a + b = ( a + b) 4
( a + b) ≥ 0
Si el subradical es una potencia se razona de la misma manera, por ejemplo
5
a 3 lo
5
 3
podemos escribir como a puesto que  a 5  = a 3 , en forma más general podemos decir que:
 
 
3
5
m
Sea
n
a m , con a m ≥ 0 si n es par, entonces
n
a m = a n , con n ≠ 0
Estos exponentes racionales cumplen con todas las propiedades de los exponentes
enteros, para su buen manejo es necesario recordar las operaciones con los números
racionales, hagamos algunos ejemplos:
1
a)3 2
1
+ 32
 1
= 2 3 2 
 
 
1 1
7
 1  1 
+
b)  a 3  a 4  = a 3 4 = a 12
  
  
1
21
2
 −2  3
− ⋅
−
1
d)  b 5  = b 5 3 = b 15 = 2




b 15
20
2
c)
x3
1
x2
2 1
−
2
= x3
1
= x6
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicios:
1.- Usando las propiedades de los exponentes simplifique cada expresión, de tal manera que en
el resultado no aparezcan exponentes negativos:
1
2
a) x 2 ( x 3 + 2 x 3 ) =
1
2
1
b) a 3  2a 3 − a 3  =




1
2

− 2
c)  2 x 2 y 3  =




 1
d)  4 x 4 




1
e)
4x 3 y
2x
−2
−
2
1
5
1
y5
 1
 2x 3  =




=
2
 1 1
 2x n y m 


 =
f) 
2
 1 n −m 
 x y 
4

21
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
UNIDAD II
OPERACIONES CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y
FACTORIZACIÓN
22
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 9
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
OBJETIVO.- Clasificar y realizar operaciones con expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica está formada por la suma, diferencia o cociente de números
y literales elevadas a diferentes potencias, por ejemplo:
1
2x
x+ y
6ab 2 + 3ab
xy + 2 + w
−
2 x 2 + 3x − 1
x− y x+ y
y
En los ejemplos anteriores las expresiones las podemos dividir en expresiones más
pequeñas llamadas términos, por ejemplo 5 x 2 + 3 x tiene dos términos 5x 2 y 3 x , esto tiene por
objeto hacer una clasificación de las expresiones de acuerdo al número de términos, por
ejemplo:
10 x 2 + 50 x
Tiene dos términos
2ab + 3b a + 5
Tiene tres términos
2
2
a +b a −5
+
Tiene dos términos o cuatro
2
3
El concepto de término es relativo y depende del sentido que se le dé a la expresión.
A las expresiones que involucran sumas y restas de términos que son productos de
números o variables elevadas a exponentes enteros les llamaremos MULTINOMIOS, por
ejemplo:
6a 2b 3 + 7 ab 2
x 2 + 3 xy + 5
x 3 + 3x 2 + x − 6
En particular si existe una sola variable, le llamaremos POLINOMIOS, la expresión
x +3x +x-6 es un polinomio con respecto a x, otros ejemplos:
3
2
6 x 4 + 3x 2 − 6
− 2 x 2 + 3x − 3
x 2 + bx + c
De lo anterior podemos decir que un término está formado por el producto de un
coeficiente numérico y variables elevadas a diferentes potencias positivas.
Los Multinomios se pueden clasificar de acuerdo a su número de términos o a su grado,
el segundo se obtiene como la suma de los exponentes de la parte literal de cada término, el
grado del multinomio será el mayor de los términos.
Multinomio
Tipo
grado
2 x 2 + 3x + 6
Trinomio
2
ab x + cx
Binomio
4
Monomio
6
2
3 2
- 5 xy z
2
8
Monomio
0
Como los términos involucrados en los multinomios son números reales, las propiedades
de estos son aplicables para las operaciones algebraicas.
Uno de los objetivos básicos del álgebra es la simplificación de las expresiones
algebraicas, es decir, llevarlas a una forma donde se use la menor cantidad posible de términos
y operaciones, así como realizar las operaciones básicas con estas expresiones.
23
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
La simplificación se basa en el concepto de agrupación de términos semejantes, los
cuales tienen la característica de tener la misma parte literal elevada a los mismos exponentes,
por ejemplo:
Términos semejantes
5x 2 y ,
ab
,
−4ax 2 ,
− 2x 2 y
3ab
− ax 2
Hagamos algunos ejemplos:
1.- Simplificar las siguientes expresiones
6x2y+ 3x2+ 2x2y-3x2 = 6x2y+ 2x2y + 3x2-3x2 = (6+2)x2y+(3-3)x2
= 8x2+0(x2)=8x2
Podemos omitir algunos pasos para simplificar las operaciones, se observa que al
agrupar sólo se suman los coeficientes de los términos y podemos marcar los términos
semejantes para no cambiarlos de lugar:
6 x 2 y + 3x 2 + 2 x 2 y − 3 x 2 = 8 x 2
−−−−−
−−−−−−
En conclusión al sumar o restar dos o más expresiones algebraicas debemos agrupar
los términos semejantes, (en el caso de la resta debemos cambiar de signo al sustraendo),
algunos ejemplos:
Sumar 6x2 + 3x + 5 a 8x2 - 5x + 6
(6x2 + 3x+5)+(8x2-5x+6)= 6x2+ 3x+ 5 + 8x2-5x+6 = 14x2-2x+11
Restar
5xz + 3x2z a 8xz-4x2z-10
(8xz-4x2z-10)-(5xz + 3x2z) = 8xz-4x2z-10-5xz-3x2z = 3xz-7x2z-10
Sumar
2 2
2
1
x y + 3ab 3 a
− x 2 y − ab 3 + 3
3
5
5
2 2
2
1
2
2
1
( x y + 3ab 3 ) + (− x 2 y − ab 3 + 3) = x 2 y + 3ab 3 − x 2 y − ab 3 + 3
3
5
5
3
5
5
4 2
14 3
=
x y + ab + 3
15
5
Ejercicios.
1.-Indicar en los siguientes ejercicios el tipo y grado de los multinomios:
a).- x3-6x ____
b).- -3cb3z2 ____
c).-
a 3b3-6 a 2bc4+8 a b____
2.- Sumar los Multinomios siguientes
a).-
3x2+2x-5 y -2x2+5
b).- -8x3+2x2-1 y 5x3+x-5
24
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
c).- -7c2b2-3cb+2 y 4c2b2 + 8cb-5
d).- 3xnym +8xn y -6xnym-6xn
2.- Restar los polinomios siguientes:
a).- -2x2+ 3x-4 de 6x2-4x+1
b).- 8x3+ 4x-5 de -9x3+ x2+9
c).- 4 a 4b-6 a b4+2 de 2 a 4b+ a b4-7
d).- 8x2nyn+5xn de -9xn-3x2n-5
4.- Realizar las operaciones indicadas
a).- (b2+3b-4)+(b3-b2-b+4)
b).- 3(x3+4x4-2)-2(x4-x3-x+1)
c)- 2(5c4b2-7c2b4+3)-3(2c2b2+cb-7)-4(-c2b2-cb-6)
25
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 10
PRODUCTOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
OBJETIVO.- Realizar productos con expresiones algebraicas.
Para multiplicar expresiones algebraicas se utiliza la propiedad distributiva. Por
ejemplo al multiplicar 2x2+ 3x +6 por 2x-x2
.
(2x+ x2)(2x2+ 3x +6) Si tomamos a 2x-x2 como un número, podemos distribuir entre los
términos de 2x2+3x+6
= (2x-x2)(2x2)+(2x-x2)(3x)+(2x-x2)(6)
Aplicamos de nuevo la propiedad
distributiva
2
2
2
2
2
= (2x)(2x )+(-x (2x )+(2x)(3x)+(-x )(3x)+(2x)(6)+(-x )(6)
= 4x3-2x4+ 6x2-3x3+ 12x-6x2
Agrupamos términos semejantes
= x3-2x4+ 12x
Multiplicar
1
1
2
a )( a + b 2 )
3
3
3
1
1
1
2
2
= (ab + a )( a ) + (ab 2 + a )( b 2 )
3
3
3
3
1
1
1
2
2 1
2 2 2
= (ab )( a ) + ( a )( a ) + ( ab )( b ) + ( a )( b 2 )
3
3
3
3
3
3
1 2 2 1 2 2 4 2 2
= a b + a + ab + ab
no hay terminos semejantes
3
9
3
9
(ab 3 +
La operación anterior se puede simplificar si multiplicamos cada término de la primera
expresión por cada término de la segunda:
(2x-x2)( 2x2+ 3x+6)=4x3+ 6x2+ 12x-2x4-3x3-6x = x3-2x4+ 12x
La operación anterior la podemos realizar en la siguiente forma.
2x2+3x+6
-x2+2x
4x3+6x2+12x
-2x4-3x3-6x2
-2x4+ x3
+12x
26
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicio
1.- Realizar los productos indicados:
a).-(-6x2y3)(-3x4y) =
b).- (5b2c)(-7b3c3) =
c).- -6x2y(2xy-8x3)=
d).-(5xy+3)(2xy-7)=
e).- (7x+2y)(7x-2y)=
f).- (6x-7y+2)(2x-3y)=
g).- (3 a -7b)(4 a 2-2 a b+7b2)=
h).- (4x+5y)(8x2+xy-3y2)=
i).- {(x-2y)+5} {(x-2y)-5}=
j).- (xn-yn)(xn+yn)=
k).- (x2-3xy+ 2y2)(2x2+ 4xy-3y2) =
27
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 11
DIVISIONES DE MULTINOMIOS
OBJETIVO.- Aplicar el algoritmo de la división entre Multinomios.
Para dividir dos expresiones dos Multinomios se aplica el siguiente algoritmo:
1.
2.
3.
4.
- Ordenar las expresiones en forma descendente.
- Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
- Multiplicar el resultado por los términos del divisor y restar el producto al dividendo.
- Determinar si el grado del primer término del residuo es menor al grado del primer
término del divisor, si lo es, se termina el proceso, si no lo es, se repite el paso 2 en
adelante.
EJEMPLOS
Dividir x2-x3+1 entre x-2
Ordenamos los polinomios -x3+x2+0x+1 y x-2 , en el lugar que ocupa la potencia x se
deja un espacio:
− x2 − x − 2
x − 2 − x3 + x 2 + 0 x + 1
+ x3 − 2 x 2
− x2 + 0x + 1
+ x2 − 2x
− 2x + 1
+ 2x − 4
-3
El resultado se escribe
− x3 + x 2 +1
−3
= −x 2 − x − +
x−2
x−2
Realiza las siguientes divisiones
a).- (2x2+5xy-3y2)/(2x-y)
b).- (x5-x4-2x3+4x2-15x+5)/(x2-5)
c).- (6c3+5bc2+4b2c+b3)/(b+3c)
d).- (y5-y4+y2+3y+2)/(y2+y+1)
28
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 12
PRODUCTOS NOTABLES
OBJETIVO.- Desarrollar binomios usando las reglas de los productos notables.
En la búsqueda de racionalizar el trabajo algebraico, es posible encontrar reglas que
nos permitan hacer algunas operaciones sin necesidad de desarrollar todo el proceso, esto
principalmente en el producto y división, en el presente sección se estudiarán algunas de estas
reglas. Como los productos notables y factorización son dos procesos esencialmente inversos,
iniciaremos con los productos notables.
Una de las operaciones básicas que se pueden desarrollar como una regla es la potencia
de binomios, el primer caso es un binomio al cuadrado, la regla la obtenemos a partir de la
propiedad distributiva:
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a (a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
2
2
2
Omitiendo los pasos intermedios tenemos que ( a + b) = a + 2ab + b , traduciendo
literalmente tenemos la regla:
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble
producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Al resultado de elevar un binomio al cuadrado se le denomina trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos:
Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado usando la regla.
( a +3)2 = a 2+2( a )(3)+32 = a 2+6 a +9
(2b-1)2 =(2b)2+2(2b)(-1)+(-1)2 =4b2-4b+1
(x2+5)2 =(x2)2+2(x2)(5)+52 = x4+10x2+25
(3xy2+2y)2 =(3xy2)2+2(3xy2)(2y)+(2y)2= 9x2y4+ 12xy3+ 4y2
(b2n+ 5n)2 =b4 n + 2b2n5 n +52n
2
2
1
8
1
 1 
1 
 x + 4  =  x  + 2 x (4) + 4 2 = x 2 + x + 16
3
3
3
9
3

  
 
2
1 

 x − x =
2 

(( x − 1) + ( y +
2
( x ) + 2( x ) − 12 x  +  − 12 x  = x − x
2 ) ) = ( x − 1) + 2( x − 1)( y + 2 ) + ( y +
2
2
2
2
2
2
x+
2 )2
1
2
5
 1
 1
 1  1   1 
 a 3 + a 2  =  a 3  + 2 a 3  a 2  +  a 2  = a 3 + 2a 6 + a

  
    

  
    
29
1 2
x
4
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicios:
1.- Desarrolla cada expresión usando la regla del binomio al cuadrado:
a).- (c-3)2
b).- (3-b)2
c).- (5 a +6)2
d).- (x2+y2)2
e).- (6 a b2+3b a )2
f).- (xm+yn)2
g).- (2n+1+2n)2
h).- ( 13 cb+b2)2
1

i). -  y 2 − 3 y 
4

2
j). -
3
1 2
k). -  x + 
y
2
5 
3
m). -  x 3 − x 
3 
5
( 3x + 3)
2
l). - (x + ( y − 1) )2
(
2
n). - 3 + 2
)
2
De la misma forma podemos obtener una regla para elevar un binomio al cubo:
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Ejercicios.1.- Desarrollar los binomios al cubo, usando la regla:
a).- (x + 2) 3 =
b).- (2 x − 5) 3 =
c).- ( x 2 + 2 x) 3 =
d).- (a 2 b + 13 a ) 3 =
2.- Realizar las operaciones y simplificar
a).- (2 x + 1) + 2( x + 1) =
3
2
b).- ( x + 2) − ( x − 2) =
2
3
3
d).- ( x + h) + ( x + h) − ( x − h) − ( x − h) =
3
2
3
2
30
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 13
BINOMIO DE NEWTON
OBJETIVO.- Aplicar la fórmula de Newton para desarrollar un binomio a diferentes potencias.
Esta fórmula permite desarrollar un binomio a una potencia positiva, su forma es la
siguiente:
(a + b )n = a n + na n −1b + n(n − 1) a n − 2b 2 + n(n − 1)(n − 2) a n − 3b3 + ... + n(n − 1)(n − 2) ⋅ ⋅(n − k + 1) a n − k b k + .. + b n
2!
3!
k!
La operación k ! se le conoce como el factorial de un número, y se calcula:
k! = k (k − 1)(k − 2)(k − 3) ⋅ ⋅ ⋅1
ejemplo
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120
Al desarrollar el binomio ( x + 2) usando la fórmula del binomio de Newton se obtiene:
5( 4) 3 2 5( 4)(3) 2 3 5( 4)(3)( 2)
5( 4)(3)( 2)(1)
( x + 2) 5 = x 5 + 5 x 4 ( 2) +
x ( 2) +
x ( 2) +
x ( 2) 4 +
( 2) 5
2!
3!
4!
5!
5
= x 5 + 10 x 4 + 40 x 3 + 80 x 2 + 80 x + 32
Una forma de obtener los coeficientes del desarrollo de Newton es usar el triangulo de pascal
1
2 1
1
3 3 1
1
4 6
4 1
1
5
10 10 5
1
1
Por ejemplo "
2
6
"6
4 "7 2
6 " * 2*
4 " 27
26
"6
8" 7
1.- Desarrolla los siguientes binomios usando la fórmula de Newton:
a).- ( x + h) 4 =
b).- (x − 3) 5 =
c).- (2 x + 1) 6 =
31
24" *
32"
16
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 14
PRODUCTOS DE BINOMIOS
OBJETIVO.- Multiplicar binomios usando la regla correspondiente.
Al multiplicar dos binomios usamos la propiedad distributiva, por ejemplo:
(x+3)(x+2)=x(x+2)+3(x+2)=x2+ 2x +3x+ 6= x2+ 5x+6
(2x+5)(3x-2)=2x(3x-2)+5(3x-2)=6x2-4x+15x-10=6x2+11x-10
(x+y)(x-y)=x(x-y)+y(x-y)=x2-xy+xy-y2=x2-y2
Para algunos productos se pueden establecer reglas que permiten realizarlos más
rápidamente. Al primer producto se le denomina producto de binomios con un término común,
una condición que se pide es que el coeficiente de los términos comunes sea uno, por ejemplo:
(b+5)(b+6)=b(b+6)+5(b+6)=b2+6b+5b+30=b2+11b+30
(c-3)(c+4)=c(c+4)-3(c+4)=c2+4c-3c-12=c2+c-12
(x-5)(x-3)=x(x-3)-5(x-3)=x2-3x-5x+15=x2-8x+15
De los ejemplos se puede observar que el coeficiente del término central del trinomio,
es la suma de los términos no comunes y el tercer miembro es el producto de éstos, si lo
hacemos en general:
( x + a )( x + b) = x ( x + b) + a ( x + b) = x 2 + xb + ax + ab = x 2 + (a + b) x + ab
Lo anterior corrobora nuestra afirmación, hagamos unos ejemplos:
(x+8)(x-3)=x2+(8-3)x+(8)(-3)=x2+5x-24
(y-3)(y-2)=y2-5x+6
(x2+5)(x2+2)=x4+7x2+10
(ab + 7)(ab + 3) = a 2b 2 + 10ab + 21
En el segundo caso no es mucho lo que se puede simplificar, a lo sumo algunas
operaciones.
(2x+6)(3x-2)=2x(3x-2)+6(3x-2)=6x2-4x+18x-12=6x2+14x-12
(y+5)(3y+4)=y(3y+4)+5(3y+4)=3y2+4y+15y+20=3y2+19y+20
La operación anterior la podemos hacer bajo el siguiente esquema:
4y
15y
(y +5 ) · ( 3y + 4)=3y2 +19 y + 20
3y2
20
En forma general:
(ax + b)(cx + d ) = acx 2 + (ad + bc ) x + bd
La utilidad de la expresión anterior es más que nada en la factorización.
Ejemplos:
(4x+7)(5x-6)=20x+ 11x-42
(2b-8)(4b-6)=8b2-34b+48
(3x-2y)(2x+ y)=6x2 -y-2y2
32
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Otra operación muy común es el producto de dos binomios conjugados, los cuales tienen
la característica de solo diferir en un signo, por ejemplo:
(x+y)(x-y)
(-3b+6)(3b+6)
(x2y2-b2)(x2y2+ b2)
Desarrollemos estos productos tratando de encontrar una regla:
(x+y)(x-y)=x(x-y)+y(x-y)=x2- xy + yx-y2= x2-y2
(-3b+6)(3b+6)=-3b(3b+6)+6(3b+6)=-9b2-18b+18b+36=-9b2+36
(x2y2-b2)(x2y2+ b2)=x2y2(x2y2+ b2)-b2(x2y2+ b2)=x4y4+ b2x2y2-b2x2y2-b4= x4y4-b4
Se concluye que al multiplicar dos binomios conjugados se obtiene como resultado el
término del mismo sigo elevado al cuadrado menos el término de signo diferente elevado al
cuadrado, hagámoslo en forma general:
( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2
A este resultado se la conoce como una diferencia de cuadrados.
Ejemplos:
(2x+y)(2x-y)=(2x)2-y2=4x2-y2
(c2+b2)(-c2+b2)=-c4+b4=b4-c4
(-x2-y2)(x2-y2)=-x4+y4 =y4-x4
(b2n-yn)(b2n+yn)= b4n-y2n
Ejercicios.1.- Realiza los siguientes productos usando la regla:
a).- (x+7)(x-10)
e).- (xy-10)(2xy+10)
b).- (2x+1)(2x-3)
f).- (4x-2y)(x-y)
c).- (y2-8)(y2+5)
g).- (yn+7)(yn-8)
d).- (3x+9)(2x-5)
h).- ( a b+c)(6 a b-c)
2.- Realiza los siguientes productos entre binomios:
a).- (x+5)(x-5)
b).-(y-10)(y+10)
c).- (2c+6)(-2c+6)
d).- (-3y2+5)(-3y2-5)
e).- {(x+y)-c}{(x+y)+c}
f).- (x2y6-16x)(16x+x2y6)
g).- (bx+1-yx)(bx+1+yx)
h.-) (6x-2+5)(6x-2-5)
33
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 15
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN
OBJETIVO.- Factorizar una expresión determinando un factor común.
La factorización es el proceso de descomponer una expresión matemática como el
producto de factores, todas las expresiones se pueden factorizar. El primer tipo de
factorización es por factor común.
Por ejemplo:
8c3b2+16c2b
Factorizando cada término, el factor común está formado por los factores repetidos
en cada término:
2·2·2cccbb + 2·2·2·2ccb =2·2·2ccb(cb+2) =23c2b(cb+2 =8c2b(cb+2)
Se puede obtener el segundo factor dividiendo la expresión original entre el factor
común:
8c 3b 2 + 16c 2 b
=
8c 3b 2
+
16c 2 b
= cb + 2
8c 2 b
8c 2 b
8c 2 b
Factorizar 10x2y+6xy2+8xyz
Factorizando cada término:
5·2xxy+3·2xyy+2·2·2xzy =2xy(5x+3y+4z)
Podemos observar que el factor común tiene las siguientes características:
1. -Contiene los factores comunes de los coeficientes numéricos (en el caso de números
enteros se expresan en factores primos y se toman los de menor exponente)
2.- Aparecen las letras comunes a todos los términos elevadas al menor exponente.
3.- El segundo factor se puede obtener al dividir la expresión original entre el factor común.
Ejemplos:
Factorizar: -6x3y2+ 12x3y6-4x2y2
Por simple inspección tenemos que el factor común es 2x2y2, para obtener la segunda
expresión dividimos cada término entre el factor común.
-6x3y2+ 12x3y6-4x2y2= 2x2y(-3xy+ 6xy4-2)
Factorizar:
720b6c5+ 180b4c3-300b4c2
Expresamos cada coeficiente en factores primos
720 2
360 2
180 2
90 2
45 5
9 3
3 3
1
720=24·32·4
180
90
45
9
3
1
2
2
5
3
3
300
150
75
15
3
1
180=22·32·5
34
2
2
5
5
3
300=22·52·3
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Factor común de los coeficientes: 22·3·5=60
Factorizar:
x2 y
3
xy
+
4z
8z
numerador y denominador:
2
−
xy 2
12 xz
x2 y
60b4c2(12b2c3+ 3c-5)
en este ejemplo podemos tomar los el factor común del
+
xy
−
xy 2
xy  x
1
y 
=
+
− 

12 xz 4 z  z 2 2 z 3x 
4 z 3 8z 2
En algunos casos es necesario factorizar alguna cantidad que no se encuentra en todos los
términos, por ejemplos:
Factorizar c 2 de la siguiente expresión c 2 + v 2 , tomamos como factor c 2 , por lo
 v2
tanto la factorizac ión es c 2 1 + 2
 c


 , para demostrar que el resultado es correcto se


efectua el producto y se obtiene c 2 + v 2
b
c

Facoriza a de la expresión ax 2 + bx + c el reusltado es a x 2 + x + 
a
a

Este tipo de factorizaciones son importantes en la solución de ecuaciones cuadráticas.
1.- Factorizar cada expresión:
a).- 16+24
2
4
b).- x + x 2
3
9
c).- -bc2+b2c
d).- 7x3y-3xy2+2xy
e).-
4 3 2
7
1
b c d + bcd − b 4 c 3 d 3
3
2
3
2a 2 x
b
8b 2
2.- Factorizar de cada expresión la cantidad que se te indique:
f). -
ax 2
+
a) 2 x 2 − 6 x + 4
factor x 2
b) ax + b
factor x
c) 4 x 2 + 3 x − 2
factor 4
d) abx + 3a + 2b factor ab
e) 5 x 4 + 3 x
factor 5 x 3
35
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Existen otras expresiones que se pueden factorizar por medio de factor común, por
ejemplo:
cx+by+cy+bx
No existe un factor común a todos los términos, pero si observamos el primero y
cuarto tienen en común x y el segundo y tercero y, podemos agruparlos y factorizar:
cx+bx+cy+by =x(b+c)+y(b+c)
Tenemos un factor común que no es un monomio, sino un binomio, usando la propiedad
distributiva.
(b+c)(x+y)
A este tipo de factorización se le conoce por agrupamiento.
Factorizar:
2cx+bx+2cy2+by2
Los dos primeros términos tienen como factor x y los restantes y2.
2cx+bx+2cy2+by2 = x(2c+b)+y2(2c+b) = (2c+b)(x+y2)
Ejercicios.1.- Factorizar cada expresión.
a).- 4tc+2bc-4tb-4b2
b).- 3x+2-12x2-8
c).- x4+2x2+tx3+2tx
d).- em+1+bem+e+b
e).- x2+bxy+cx+xy+by2+cy
36
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 16
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
OBJETIVO.- Identificar un trinomio cuadrado perfecto y factorizarlo como un binomio al
cuadrado.
A continuación trataremos como factorizar un trinomio cuadrado perfecto, para esto
primero debemos saber cómo identificarlo como tal, por ejemplo el trinomio:
x2+ 4x +4
Si hacemos el proceso inverso, los términos de los extremos deben provenir del
cuadrado de dos números, en este caso de x y 2, el termino central debe ser el doble del
producto de estos, 2(x)(2)=4x, por tanto si es un trinomio cuadrado perfecto, su factorización
es simplemente un binomio al cuadrado cuyos términos son x y 2:
x2+ 4x+4=(x + 2)2
2
Otro ejemplo 4b -12b+9
Debemos buscar dos números cuyos cuadrados sean respectivamente 4b2 y 9, estos
son 2b y 3, ahora debemos probar que el doble de su productos es el término central
2(2b)(3)=12b , no coincide puesto que debe ser -12b, para que se cumpla podemos hacer
negativo cualquiera de los números: 2(-2b)(3)=-12b o 2(2b)(-3)=-12b, la factorización es:
4b2-12b+9=(-2b+3)2
o
4b2-12b+9=(2b-3)2
Podemos concluir los siguientes pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:
1.- Identificar que se trate de un trinomio cuadrado perfecto, para esto se buscan
números cuyos cuadrados sean los términos de los extremos y el doble producto el término
central.
2.- Formar el binomio al cuadrado, si el término central es negativo se le asigna un signo
negativo a cualquiera de los dos términos del binomio.
Ejemplos: factorizar los siguientes trinomios:
a) x2-10x+25
Los números que elevados al cuadrado dan
los extremos son x y 5, como 2(x)(5)=10x
si es un trinomio cuadrado perfecto:
x2-10x+25=(x-5)2
El proceso anterior se puede simplificar bajo el siguiente esquema
b)
9b2 +12bc + 4c2= (3b+2c)2
3b
2c
2(3b)(2c)=12bc
37
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
c) x4-6x3+9x2
Primero factorizamos por factor común:
x2(x2- 6x+ 9)=x2(x-3)2
x
3
2(x)(3)=6x
Con un poca de práctica la verificación se puede hacer mentalmente.
d) x2n+2xnyn+1+y2n+2= (xn+yn+1)2
(
e) x 2 + 2 2 x + 2 = x + 2
f)
g)
)
2
1 2 1
1 1
1
x + x+ =  x+ 
9
3
4 3
2
1 1
a + 2a 2 b 3
2
+ b3
2
1
 1
= a 2 + b3 




2
Ejercicios.1.- Factorizar cada trinomio:
a) x2-4x+4
b) m2-8m+16
c) x4+2x2+4
d) b3-2b2+b
e) c2m+2cm+1
f)x2-2x-3
g)(x+2)2+10(x+2)+25
h)
1 4 2 1 3
1
x y − x y + x2
16
6
9
i) 4 x 2 + 4 3 x + 3
38
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 17
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
OBJETIVO.- Factorizar o descomponer trinomios como un producto de dos binomios.
Ahora trataremos los trinomios donde el coeficiente del primer término es uno y se
puede escribir como x2+cx+d.
Recordemos que estos provienen del producto de dos binomios de la forma ( x + a)( x + b)
de tal manera que:
( x + a )( x + b) = ( x + a ) x + ( x + a )b = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + ( a + b) x + ab
Entonces debe cumplirse que c= a +b y d= a b es decir, debemos buscar dos números
cuyo producto sea d y su suma sea c, por ejemplo:
x2+ 3x+2
Los únicos números que multiplicados su resultado es 2, son (2)(1) y (-2)(-1) y sumados
3 son los primeros (2+1)=3, la factorización es:
x2+ 3x+2=(x +1)(x +2)
Factoricemos x2-x-2
Los factores de -2 son (-1)(2) ó (1)(-2) de estos, el segundo cumple que su suma es el
término central -2+1=-1, por lo tanto:
x2-x-2=(x-2)(x +1)
Otro ejemplo: x2-3x+2 los factores del número 2 son (-2)(-1) y (2)(1), los primeros
cumplen que su suma es -3:
x2-3x+2=(x-2)(x-1)
El proceso es por tanteos y lo podemos resumir :
1.- Buscar los posibles factores del tercer término
2.- Determinar cuáles de los factores anteriores su suma es el coeficiente del término
central.
3.- Formar el producto de los binomios.
En cuanto al signo de los factores podemos concluir:
1.- Si el segundo y tercer término son positivos, los factores son positivos.
2.- Si son de diferente signo o negativos ambos, los factores tiene signo diferente.
3.- Si el segundo es negativo y el tercero positivo, ambos factores son negativos.
Ejemplos:
a) x2+10x+16
Los factores del 16 son:(16)(1), (8)(2), (4)(4)
como el segundo y tercer término son positivos, los factores deben ser positivos
y son 8x2
39
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
2
b) x -x-6
x2+10x+16=(x+8)(x+2)
Los factores son (6)(1)y(3)(2),como el segundo y tercer término son negativos, los
factores deben tener diferente signo, tomamos
-3 y 2 puesto que -3+2=-1
2
x -x-6=(x-3)(x+2)
Existen otros ejemplos que se pueden ajustar a este caso, como x4+6x2+8 y
x2+8bx+12b2 , en el primero podemos hacer c=x2, entonces el trinomio tomaría la forma
c2+6c+8 que factorizado es (c+2)(c+4), sustituyendo c=x2 el resultado es (x2+2)(x2+4), para
hacer este cambio la raíz cuadrada del primer término debe aparecer como la parte literal del
segundo.
Ejemplo: factorizar y6+4y3-21 es resultado es (y3+7)(y3-3).
En el segundo caso x2+8bx+12b2 se puede resolver por analogía, si observamos la raíz
cuadrado de la parte literal del primero y tercer término aparecen como producto en el
término central, entonces solo buscamos dos números que multiplicados sean 12 y sumados 8,
estos son 6 y 2, la factorización es:
x2+8bx+12b2=(x+2b)(x+6b)
Factorizar x6-2x3b2-8b4 el resultado es (x3+2b2)(x3-4b2)
El caso más general es donde el coeficiente del primer término del trinomio sea
diferente de uno, estos trinomios son de la forma ex2+fx+d y deben provenir del producto de
dos binomios de la forma (ax + b)(cx + d ) :
( ax + b)(cx + d ) = acx 2 + ( ad + bc ) x + bd = ex 2 + fx + g
Se debe cumplir que : e= a c , f= a d+bc , g=bd
Esto significa que debemos buscar los factores de e y g , y combinarlos adecuadamente
para obtener f.
Factorizar 6x2-7x-5
Los factores de 6 son (6)(1)y(8)(2), los
factores de 5 son (5)(1)
Probamos combinaciones hasta obtener -7, como el tercer término del trinomio es
negativo los factores del 5 deben tener diferente signo:
(6x+5)(x-1)=6x2-x-5
(3x-5)(2x+1)=6x2-7x-5
no cumplen
si cumplen
Factorizar 4x2+ 9x-9
Factores de 4, (4)(1) y (2)(2)
Factores de 9, (9)(1) y (3)(3)
Con un poco de ingenio podemos darnos cuenta que la factorización es:
4x2+ 9x-9=(4x-3)(x+3)
40
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicios.1.- Factorizar cada trinomio:
a).- x2-8x+15
b).- y2-y-30
c).- c2+5c-14
d).- 2x2-4x-6
e).- 3x2-15x+18
f).- 6b2+b-1
g).- x4+3x2-18
h).- 30z2-34z+8
i).- 9x2-15x-24
j).- 12c2+50c+48
k).- 4x2n+14xn+6
l).-16b2x+64bx+60
m).- x2+30x+224
n).- x2+3x-504
ñ).- bx3+6bx2-7bx
o).- 5b2-3bc-2c2
p).-12x2+5xy-2y2
q).- x2+30x+200
41
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 18
FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE
CUBOS
OBJETIVO.- Factorizar expresiones donde se tienen diferencias de cuadrados, sumas y
diferencias de cubos
Otro tipo de factorización es la de una diferencia de cuadrados la cual da como
resultado el producto de dos binomios conjugados, cuyos términos son la raíz cuadrado de los
términos de la diferencia de cuadrados, por ejemplo:
x2-64 = (x+8)(x-8)
y4-100=(y2+10)(y2-10)
b2x4-y6= (bx2-y3)(bx2+y3)
x2n-y2n=(xn+yn)(xn-yn)
(
)(
x2 − 2 = x + 2 x − 2
( x + 1) 2 −
)
9 
3
= ( x + 1) − 
4 
2
( x + 3) 2 − 4 = [( x + 3) − 2][( x + 3) + 2]

( x + 1) +

3
2 
2

 

1
1
1

 x +  − 3 =  x +  + 3   x +  − 3 
2
2
2





 

Las cuatro últimas factorizaciones son de suma importancia en la solución de
ecuaciones cuadráticas.
Ejercicios.1.- Factorice cada expresión:
a).- b2-16
b).- 4c2-36
c).- 36x2-64
d).- (x-y)2-81
e).- x2y6-16x2
f).- c2m-b4m
2
1

g). -  x −  − 3
2

Una
diferencia
h). - ( x + 5 )2 − 9
de
cubos
se
puede
factorizar
usando
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) este resultado se obtiene al realizar la división
resultado es a 2 + ab + b 2 .
Ejemplos:
x3-8=x3-(2)3=(x-2)(x2+2x+4)
42
la
identidad
a − b3
cuyo
a−b
3
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
c6-b9=(c2)3-(b3)3=(c2-b3)(c4+c2b3+b6)
x3y6-b12=(xy2)3-(b4)3=(xy2-b4)(x2y4+b4xy2+b8)
x3 − 5 = ( x − 3 5 )( x2 + x3 5 + 3 25)
Una suma de cubos se factoriza con la identidad a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 ) .
El trinomio a 2- a b+b2 no se puede factorizar.
Ejemplos:
x3+8=x3+(2)3=(x+2)(x2-2x+4)
b6+c9=(b2)3+(c3)3=(b2+c3)(b4-b2c3+c6)
8x3b6+1=(2xb2+1)(4x2b4-2xb2+1)
x3 + 3 = ( x + 3 3 )( x 2 − x3 3 + 3 9 )
Ejercicios.1.- Factorice las siguientes expresiones
a) b6+27
d)
1 1 6
−
x
8 64
b) c12-x6
e) x3nb6n+1
43
c) x3y9+64
f)(x+6)3+(1+x)3
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 19
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
OBJETIVO.-Poner en práctica la identificación y solución de diferentes tipos de expresiones
algebraicas. Donde los productos notables y las factorizaciones son operaciones inversas.
No hay que perder de vista que las regles son tan solo vías más practicas, en algunas ocasiones,
para obtener un resultado. Pero estas pueden olvidarse o confundirse fácilmente lo que puede
ocasionar una aplicación incorrecta de las mismas. Lo más recomendable aprenderse una regla a
través de la realización repetida de las operaciones algebraicas correspondientes y hacer uso
de las reglas solo cuando se está seguro de que el resultado es correcto.
1.- Desarrolla cada expresión usando las reglas de los productos notables:
a).- (x+5)(x-3)
b).-(2x+3)2
e).-(y-6)3
d).- (3b+4)(2b-6)
e).-(x2+6)(x2-6)
f).-(6t3-2t)2
g).- (2x+3x)(2x-3x)(22x-32x)
h).-(cm-4m)3
i).-(d3c2-c3)2
j).- (8x2+y3)(6x2+4y3)
k).-(x2m - b3n)(x2m + b3n)
l).-(ex-e-x)2
2.- Factoriza cada una de las siguientes expresiones:
a) 3 a 3b+6 a 2b2+3 a 2b3
b) 6x2-9x-6
c) 16x6-9x2
d) x2-x-6
e) c3b6+c9
f)x3+3x2y+2xy2
g) 9x2+3x-30
h) 27x6-216b6
y) x4+7x2+16
j) c4+4c2b+4b2
k) 6x+1-6x+2
l) cx+bx+5c+5b
m) e2x-e4x
n)(x+y)3-27
ñ) c2+c + 1/4
o)6w8+17w4+12
p) x16 + 1
r) 5ru+10vr+2ut+4vt
s) x4+25
t)
u) 3x3+2x2-12x-8
v) 22m+2m+n+1+22n
w)4z+3-4z+2
x) 2x2+7x-15+x4+5x3
44
a 3- a 2b+ a b2-b3
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
UNIDAD III
EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES
45
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 20
EXPRESIONES RACIONALES
OBJETIVO.-Simplificar expresiones numéricas y algebraicas, racionales.
Los números racionales están formados por el cociente de dos números enteros, por
ejemplo:
1/3
-4/5
6/7 -5/9
En general estos números se pueden expresar como
a
con b ≠ 0 , ahora, si
b
consideramos el numerador y denominador son multinomios o polinomios, entonces tendremos
una expresión racional, por ejemplo:
2
x+5
x 2 + 5x − 2
a 2b 2 − a 2
x
x−3
x−4
2a 2
En todos los casos anteriores el denominador debe ser diferente de cero; a
continuación se desarrollan métodos para simplificar y realizar operaciones con expresiones
racionales.
En primer lugar se tratará la simplificación de expresiones racionales, para esto
recordemos que un número racional se puede simplificar expresando el numerador y
81
denominador en factores primos, por ejemplo la fracción
se puede simplificar:
54
81 (3)(3)(3)(3)  3  3  3  3   3 
3
=
=      =  (1)(1)(1) =
54 (2)(3)(3)(3)  2  3  3  3   2 
2
Lo anterior también se puede hacer cancelando los factores comunes, recordando que al hacer
esto se multiplica por la unidad:
81 (3)(3/ )(3/ )(3/ ) 3
=
=
54 ( 2)(3/ )(3/ )(3/ ) 2
Cuando se tienen expresiones racionales podemos proceder de la misma manera, es
decir expresar el numerador y denominador en factores y cancelar los comunes. Ejemplo:
4x2
, Expresamos el numerador y denominador en factores
Simplificar
6x 3
( 2)(2) x 2
(3)( 2) x 2 x
Cancelamos factores comunes:
(2)( 2/ ) x/ 2
(3)( 2/ ) x/ x
2
x −4
x 2 + 2x
=
2
3x
2
Simplificar
el numerador es una diferencia de cuadrados y en el denominador
podemos factorizar por factor común:
( x + 2)( x − 2) x − 2
=
x ( x + 2)
x
Se elimino el factor común en el numerador y denominador x + 2 .
Un error muy común es tratar de cancelar antes de expresar en factores:
46
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
x/ 2 − 4
−4
2
=
=−
2
x
x/ + 2 x 2 x
Una manera de comprobar si tenemos un error es sustituir un valor en la variable, como
los resultados son equivalentes excepto para x=-2* , el resultado de la operación deben
coincidir, tomemos x=3:
x2 − 4
32 − 4
5 1
=
=
=
2
2
x + 2 x 3 + 2(3) 15 3
−
2
2
=−
x
3
Como se observa los resultas no coinciden
Para simplificar expresiones racionales hay que tener muy buen manejo de la factorización,
hagamos otros ejemplos:
Simplificar
x 2 + 5x + 6
x2 + 2x − 3
factorizando el numerador y denominador como producto de dos
binomios:
( x + 3)( x + 2) x + 2
=
( x + 3)( x − 1) x − 1
x3 − 8
en este caso el numerador es una diferencia de cubos y el denominador una
x2 − 4
diferencia de cuadrados:
Simplificar
( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x 2 + 2 x + 4
=
( x + 2)( x − 2)
x−2
x 2 + xy − 2 x − 2 y
factorizando el numerador por agrupamiento
−x+2
x ( x + y ) − 2( x + y ) ( x + y )( x − 2)
=
−x+2
−x+2
Aparentemente no podemos cancelar ningún factor, si observamos la expresión del
denominador solo tiene cambiados los signos, para cambiarle de signo la anteponemos un signo
negativo:
( x + y )( x − 2)
= −( x + y )
− ( x − 2)
Simplificar
*
En la expresión original x=-2 hace que el denominador sea cero, pero en el resultado simplificado para este
valor si existe la expresión.
47
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicios.1.- Simplificar cada una de las siguientes expresiones racionales
a)
b)
c)
d)
e)
8x 2 y 3
2 xy 4
4x 2 + 8x
2x
x 2 − 3x + 2
x2 + x − 2
2x 2 + x −1
2x 2 + 5x − 3
3 x 2 − 11x + 6
3x 2 + 4 x − 4
ax + 2bx − 2by − ay
f)
2ax − ay + 4bx − 2by
g)
h)
i)
x3 + y3
x2 − y2
a 2 + ab + b 2
a3 − b3
( 2 x − 5) x − 3
x 2 − 4x + 3
x −3
j)
(2 x − 5) x − 3
( x + 2)( x + 3)
k)
x( x + 2) + ( x + 3) x + 2
l)
k 3 −1
2k 2 + 2k − 4
m) − ( x 2 − 9) −1 (6 x − 2)
n)
( x − y ) −3
( y − x) −5
(a − b)(b − c)(a − c)
ñ)
(b − a )(c − b)(c − a )
48
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 21
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
OBJETIVO.- Realizar operaciones con fracciones y simplificación de resultados.
Al multiplicar dos números racionales, se multiplica el numerador y denominador de
cada expresión, por ejemplo:
3
 2  3  6
=
   =
5
4
20
10
  
En el caso de expresiones racionales se proceda de la misma manera:
x 2 − 9 x 2 + 7 x + 10 ( x 2 − 9)( x 2 + 7 x + 10)
⋅
=
x+5
x−3
( x + 5)( x − 3)
Para simplificar se procede de la misma manera que en la sección anterior, factorizando
cada expresión para cancelar factores comunes:
( x + 3)( x − 3)( x + 5)( x + 2)
= ( x + 3)( x + 2)
( x + 5)( x − 3)
En general para multiplicar expresiones racionales se factoriza el numerador y
denominador en cada expresión y enseguida se cancelan factores comunes:
x 2 − x − 6 x 2 − 9 ( x + 2)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) ( x − 3) 2
⋅
=
⋅
=
x( x + 3)
x+2
x
x 2 + 3x x + 2
1.- Realiza cada uno de los siguientes productos
2
3a b 5a 3b 2
⋅
=
2ab 2 3a 2b3
b) (2a 2 )(3b) −1 (15b 3 )(2a) − 2 =
a)
−1
24m 6 n  9n 4 
 =
⋅
c)
18m3  2m 
d)
a − 2b a + 3b
⋅
=
2a + 6b 3a − 6b
e)
y 2 + 6 y − 16
( y − 2) −1 =
2
y − 64
f)
x 2 + 3x x + 1
⋅
=
x2 + 2x − 3 x
g)
6x2 − 5x + 1 x2 + 5x + 6
⋅
=
3 x 2 − 10 x + 3 2 x 2 + 3 x − 2
h)
x 2 + xy − 6 y 2 x 2 − 2 xy − 3 y 2 x + y
⋅
⋅
x 2 − 2 xy − 3 y 2 x 2 − 3xy + 2 y 2 x + 3 y
49
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Para dividir expresiones racionales se usa el mismo criterio que para los números racionales:
2
3 = 2 ÷ 5 = 2 ⋅ 7 = 14
5 3 7 3 5 15
7
Se observa que la división la podemos transformar en una multiplicación, simplemente
tomando el reciproco de divisor, en las expresiones racionales el procedimiento es el mismo:
x3 − 27
x2 − 3x
Factorizando cada expresión:
÷
x 2 + 3x + 9 x 3 − 27
x
= 2
⋅ 2
x
x − 3 x x + 3x + 9
( x − 3)( x 2 + 3 x + 9)
x
⋅ 2
=1
x( x − 3)
x + 3x + 9
Otro ejemplo:

x + y  x 2 + xy + 2 x + 2 y
x +1
÷
⋅ 2
2
x + 2 y 
x+2
x + 3 xy + 2 y 
Primero efectuamos la operación entre paréntesis:
 x+ y
x + y  ( x + 2)( x + y)
x +1
x +1
x + y x + 2y x + y
÷
⋅
÷
=
⋅
=
=
x + 2y 
x+2
( x + y)( x + 2 y)  x + 2 y x + 2 y x + 2 y x + 1
x +1
1.- Realiza las operaciones siguientes
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5a
a2
÷
=
2
3
7 a 2 x 2 14a 3 x
÷
=
3ax 2
9ax 3
x3 − 8
x
÷
=
x2 − 4 x3 + 8
x2 − 9
÷ ( 2 x − 6) =
x+4
2 z − 14
6z3
÷
=
z 2 − 2 z − 35 z 2 − 25
x 2 + 3x
x
÷
=
x2 + 2x − 3 x + 1
a 2 + ab − 6b 2 4a 2 − 4ab + b 2
a+b
⋅ 2
÷
=
2
2
2
2a − b
a + 4ab + 3b 2a − 5ab + 2b
( 2 x − 1) x − 1 ( x − 3) x + 2
÷
=
4( x − 1) x − 3 (2 x − 1) x − 3
50
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 22
SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS
OBJETIVO.-Efectuar operaciones de suma y su aplicación en la simplificación de fracciones
complejas.
Al sumar números racionales es necesario primero obtener el mínimo común denominador, el
cual es el resultado de la factorización de cada denominador en sus factores primos y se toman
los factores diferentes elevados a la potencia mayor:
4
3
1
+
+
75 100 36
Factorizando cada denominador en factores primos:
75 3
100 2
36 2
25 5
50 2
18 2
5 5
25 5
9 3
1
5 5
3 3
1
1
75=3(52)
100=(22)(52)
36=(22)(32)
El M.C.D. es (32)(22)(52)=900 , usemos el algoritmo para la suma de racionales:
5
3
1 12( 4) + 9(3) + 25(1) 48 + 27 + 25 100 1
+
+
=
=
=
=
75 100 36
900
900
900 9
En el caso de expresiones racionales el procedimiento es análogo, es decir cada
denominador se expresa en factores y se toman los factores diferentes elevados a la potencia
mayor, por ejemplo:
2
5
+
x 2 3x3
Los denominadores están expresados en factores, el M.C.D. es 3x3, ahora dividimos el
M.C.D. entre cada denominador y el resultado se multiplica por su numerador correspondiente:
2
5
x( 2) + 1(5) 2 x + 5
+ 3 =
=
2
x
3x
3x3
3x3
Enseguida se simplifica la expresión resultante, en este ejemplo no es posible.
Ejemplo:
x2
+
x+2
factorizamos cada denominador:
2 x − 18 x x + 4 x + 3
x2
x+2
la primera expresión podemos simplificarla
+
2
2 x( x − 9) ( x + 1)( x + 3)
3
2
x
x+2
x( x + 1) + ( x + 2)(2)( x + 3) x 2 + x + 2 x 2 + 10 x + 12
3x 2 + 11x + 12
+
=
=
=
2( x + 3)( x − 3) ( x + 1)( x + 3)
2( x + 3)( x − 3)( x + 1)
2( x + 3)( x − 3)( x + 1)
2( x + 3)( x − 3)( x + 1)
La expresión resultante no se puede simplificar.
x−3
x
2
Otro ejemplo
factorizando cada
+ 2
− 2
2
x + 10 x + 25 x + 7 x + 10 x − 25
x−3
x
2
( x − 3)( x + 2)( x − 5) + x( x + 5) 2 − 2( x + 5)( x + 2)
+
−
=
( x + 5) 2 ( x + 2)( x + 5) ( x + 5)( x − 5)
( x + 5) 2 ( x + 2)( x − 5)
La simplificación se deja al lector.
51
denominador:
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
1.- Efectúa las operaciones indicadas, simplificando a su mínima expresión el resultado:
2x
3y
5z
+
−
3 yz 5 xz 7 xy
2 1 2r − 3t
−
−
3t 2r
12rs
1
3
1
+
−
2 4a 2 a
2n + 1 2 − 3n
1
−
+ 2
3n
4n
2n
2
3t + 1 +
3t − 1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
r−s
r − 2s
−
3r + 6s 4r + 8s
g)
5
8
3
+
−
x − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3
h)
3s
6
−
s 2 + 1 2s − 1
x
x
x +1
+
−
2 x − 1 2x − 2
m+n
m−n
j) 2
−
m + 4mn + 4n 2 2n + m
i) −
k)
l)
1 3 − 2x
1
+
+
x 1 − 2x 2x2 − x
10
5
2
− 2
− 2
2
2
3 x − 4 xy + y
6 x − 5 xy + y
2 x − 3 xy + y 2
2
Por último estudiaremos las expresiones racionales complejas, en las cuales tenemos
expresiones racionales en el numerador y denominador, para simplificarlas recordemos como se
trabaja con las fracciones complejas:
4
2+
5
3 1
−
2 4
Primero reducimos el numerador y denominador a una fracción:
10 + 4 14
5 = 5 = 56 = 2 6
25
6 −1
5
25
4
4
52
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
En las expresiones racionales complejas se trabaja de la misma manera:
1
x+ 2
x
2 1
+
x x2
Expresando el numerador y denominador como una sola fracción:
x3 + 1
2 3
3
x 2 = x ( x + 1) = x + 1
2 x + 1 x 2 (2 x + 1) 2 x + 1
x2
Si existen mayor número de fracciones, se reduce primero las más alejadas de la división
principal:
3
3
3
3
3
3( x + 1)
=
=
=
=
=
2
2
2x
x + 1 + 2 x 3x + 1
3x + 1
1+
1+
1+
x +1
1
x
+
1
x
+
1
x
+
1
1+
x
x
1.- Simplifica cada una de las siguientes fracciones compuestas
3
x
a)
1
2+
x
b)
1
x
+
5
c)
11
x−7+
x+5
a b
−
b
a
d)
1 1
+
a b
1−
2−
3−
x +3+
5
+
x
e) + 1
x
+
x +1
1+
g)
a−
2x
x+3
7
x+3
f)
4
x2
4 4
−
x x2
b
a
a+b
b
1+
a−b
1−
1
1+
1
x −1
h)
1
1
1−
x +1
53
a
−1
b
a
2
−2+
b
b
1+
a
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 23
SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES CON RADICALES
OBJETIVO.- Simplificar diferentes tipos de expresiones con radicales .
En las expresiones con radicales podemos tener por ejemplo:
3x
6x - 2
El objetivo de esta sección es desarrollar métodos que nos permitan simplificar y
realizar operaciones con expresiones de este tipo. Primero trataremos como simplificarlas,
recordemos que un radical se puede escribir como un exponente racional:
3
x
x2 + 6
x3 + 6 x − 3
a =a
1
4
2
1
a =a n
Este resultado lo podemos utilizar para establecer las siguientes propiedades:
n
n
ab = ( ab)
n
a a
= 
b b
mn
a = (a
1
1
n
n
=a
=
a
b
1
1
n) m
1
1
1
1
nb n
n
=
n
=a
1
= n a n b − − − −(1)
n
a
n
b
mn
− − − − − − − − ( 2)
= m n a − − − − − −(3)
Las cuales son una aplicación de las propiedades de los exponentes enteros, ahora la
pregunte es ¿Cómo podemos utilizar las propiedades anteriores para simplificar una expresión
racional? ,consideremos el siguiente ejemplo
2
que es a , si tenemos
a 4 , tenemos que a 4 tiene raíz cuadrada exacta
a 5 , no tiene raíz exacta, pero podemos expresarla en dos factores de
tal manera que uno tenga raíz exacta
a 5 = a 4 a aplicamos la propiedad (1) y obtenemos
a 4 a = a 4 a = a 2 a , en general este procedimiento lo podemos aplicar en cualquier
radical.
Simplificar
tengan raíz exacta:
3
a 4 b 5 descomponiendo en factores de tal manera que algunos de ellos
a 3 ab3b 2 = a 3b 3ab 2 = a 3b 3 ab 2 = ab ab 2
Si existen coeficiente numéricos enteros, se descomponen en factores primos y se toman
3
3
3
3
tantos factores como el orden del radical, simplificar
3
3
32x 4 y 5 descomponemos el número 32
en sus factores primos se obtiene 28 :
Tenemos entonces
Simplificar
3
32x 4 y 5 = 3 25 x 4 y 5 = 3 23 x3 y 3 (22 xy2 ) = 2xy
3
4 xy2
2800a3by2 factorizando en factores primos tenemos que 2800=24527
2800a3by2 = 24527a3by2 = 2452 a 2 y 2 (7ab) = 225ay 7ab = 20ay 7ab
Simplificar
3
− 8( x + y)4 lo podemos escribir en factores de la siguiente forma:
3
− 8( x + y)3 = 3 (−2)3 ( x + y)3 ( x + y) = −2( x + y)
3
x+ y
Si tenemos un Multinomios en el radical, debemos tratar de expresarlo en factores,
buscando que tengan raíz exacta para extráelos del radica:
54
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
a 3b 2 − 4a 2b 2 factorizando usando factor común:
Simplificar
a3b2 − 4a 2b2 = a 2b2 (a − 4) = ab a − 4
x 2 + 2 x + 4 la expresión es un trinomio cuadrado perfecto:
Simplificar
x 2 + 2 x + 4 = ( x + 2) 2 = x + 2
En algunos casos se hacen factorizaciones especiales, con el fin de escribir la
expresión de una manera equivalente y poder interpretarla mejor, en la teoría de la Relatividad
aparece la expresión:
m0 c
m=
c2 − v2
2
Se puede factorizar c en el denominador para cancelarla con la del numerador:
m0 c
m0 c
m0
m=
=
=
2
2
 v 
v
v2
1− 2
c 2 1 − 2  c 1 − 2
c
c
 c 
Esta expresión nos dice que la masa de un cuerpo aumenta conforme aumenta su
velocidad y que la velocidad limite es la velocidad de la luz c (300000 Km/s).
A continuación trataremos expresiones irracionales que contengan expresiones
racionales, para simplificarlas se utiliza la segunda propiedad.
8a 3 x
el radical lo aplicamos sobre el numerador y denominador
9 y3
Simplificar
8a 3 x
9y
Simplificar
3
3
=
8a 3 x
9y
3
=
4a 2 ( 2 x )
2
9 y ( y)
=
2a 2 x
3y y
=
2a
3y
2x
y
54x 6 y
75a 4
3
54 x 6 y
75a 4
=3
33 x 6 (2 y )
53 a 3 ( a )
=
3x 2
5x
3
2y
a
Los ejemplos anteriores son los más comunes, pero existen otros donde se debe hacer
un trabajo algebraico previo antes de simplificar, por ejemplo:
Simplificar
1
1
+ 2
2
a
b
b2 + a2
a 2b 2
a −2 + b −2 primero aplicamos la propiedad de los exponentes
2
sumando las fracciones, el M.C.D. es a b
aplicando la propiedad de los radicales
a −n =
1
an
2
b2 + a2
=
b2 + a 2
ab
a 2b 2
Un error muy común es aplicar las propiedades de los radicales a una suma
b 2 + a 2 = b 2 + a 2 = b + a , esta operación en general es incorrecta. Como te habrás dado
cuenta en la operación anterior es necesario utilizar varios conocimientos para llegar al
resultado, en realidad las operaciones algebraicas requieren una integración de los
conocimientos, esto se adquiere con la práctica y teniendo una visión clara de lo que podemos
hacer para simplificar una expresión.
55
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
6x 2
x2
+ 2
y
4y
Simplificar
6x 2
x2
+ 2 =
y
4y
procediendo de la misma manera que en el ejemplo anterior:
24 x 2 y + x 2
=
4y2
x 2 (24 y + 1)
=
4y2
x 2 24 y + 1
4y2
=
x 24 y + 1
2y
Otro operación es la simplificación de un radical dentro de otro radical, por ejemplo
3
7 9
para esta operación usamos la tercera propiedad de los radicales:
192 x y
192 x 7 y 9 = 6 192 x 7 y 9 = 6 64 x 6 y 6 (3 xy 3 ) = 2 xy
3
3 xy 3
6
En algunas ocasiones es posible reducir el orden de un radical, por ejemplo en el radical
6
8x3 y 3 no podemos extraer ningún factor, si lo escribimos
6
(2 3 ) x 3 y 3
se observa que los
exponentes tienen un factor común, usando las propiedades de los exponentes y radicales
3
6
1
( 2 xy) 3 = (2 xy) 6 = (2 xy) 2 = 2 xy , lo anterior solo se puede hacer si los exponentes tienen un
factor común y que el orden del radical sea múltiplo de este.
1.- Simplificar cada uno de los siguientes radicales:
a)
18
b)
108
d)
4
3125
4 2
5x y
f)
3
2a 9b 3
243a 0b 7
h)
5
486 x 7 y11
2a
9b 2
j)
6 x3
8 y9
l)
m) 5
486 x 6 y 9
32a 7
n)
( x + y )( x 2 − y 2 )
ñ)
( x 2 + 4 x + 3)(3 x 2 + 2 x − 1)
o)
a 2nb5n
a 3n b 4 n
q)
c)
3
e)
g)
4
i)
k)
p)
r)
3
3
3 3
363
5a 5
16b 6
4
2 x3
81a12
3
x6
64 x 6 y 5
2.- Reduzca el orden de los siguientes radicales s, simplifandolos lo más posible
a)
6
4
b)
9
64
c)
10
32 x 6
d)
8
25 x12 y 6
e)
4
( x − 1) 216
f)
10
56
243(2 x + 5) 5
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 24
SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES
OBJETIVO.- Realizar sumas con expresiones radicales, aplicando propiedades de las
operaciones y simplificar los resultados.
Ahora trataremos la suma de radicales, para esto recordemos el concepto de radicales
comunes, los cuales tienen el mismo orden y el mismo subradical:
2 3 ,
3
xy ,
5 xy
3
( x + y) 2
, − 23 ( x + y ) 3
Para sumar se procede de la misma manera que en los términos semejantes, sumar
2 3 + 5 3 usamos la propiedad distributiva:
2 3 + 5 3 = (2 + 3) 3 = 5 3
2 3 xy + 5 3 xy − 4 3 xy = 3
Hagamos otros ejemplos:
3
xy
8 + 18 − 50 aparentemente no hay radicales comunes, simplifiquemos los
Ejemplo
4(2) + 9(2) − 25(2) = 2 2 + 3 2 − 5 2 = 0
radicales
Los radicales son comunes y el resultado es cero.
Al sumar radicales debemos llevarlos a la mínima expresión para determinar si hay radicales
comunes.
3
Ejemplo
x7 y + 3 8x7 y + 5 3 xy podemos simplificar los dos primeros radicales:
x 6 ( xy ) + 3 8 x 6 ( xy ) + 5 3 xy = x 2 3 xy + 2 x 2 3 xy + 5 3 xy = ( x 2 + 2 x 2 + 5)3 xy
3
= (3 x 2 + 5)3 xy
3
Ejemplo
3
2560x6 y3 − 3 135x6 y3 + 3 192xy3 − 3 24xy3 simplificando cada radical
83 (5) x 6 y 3 − 3 33 (5) x 6 y 3 + 3 43 (3) xy 3 − 3 23 (3) xy 3
= 8x2 y
3
5 − 3x 2 y
3
5 + 4y
3
3x − 2 y
2
= (8 x y − 3x y )
3
5 + (4 y − 2 y )
= 5x y
5 + 2y
3
3x
2
2
3
3
3
3x
3x
1.- Efectúe las siguientes adiciones y sustracciones con radicales.
a)
c)
3
b)
6 − 24 − 150 + 216
2 − 3 54 + 3 250
d)
2a 3b 5 + 8a 5b − 50a 7 b 3
3 xy + 4 9 x 2 y 2 + 6 27 x 3 y 3
e)
g)
2 − 8 + 50
3
f)
p 2q 4 − 3 p 4q5 + 3 8 p5q − 3 8 p7 q 2
57
32h 3
+
9k
5
k 1 50h
+
+
h 3 k
4h
25h
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 25
PRODUCTO Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES
OBJETIVO.- Efectuar operaciones con expresiones radicales y simplificación de resultados.
Al multiplicar radicales del mismo orden se usa la propiedad (1) en sentido inverso, enseguida el
resultado se simplifica:
2 xy 8xy2 = (2xy)(8xy2 ) = 16x 2 y3 = 4 xy y
Se observa que se uso la propiedad en los sentidos.
Ejemplo
3
4 x 2 y 3 3xy4 procediendo de la misma manera
3
4x 2 y
3
3xy4 = 3 12x3 y 5 = xy 3 12 y 2
2xy 4xy2 + 8x2 y al multiplicar se usa la propiedad distributiva
Ejemplo
2 xy 4 xy 2 + 8 xy 2 = 2 xy(4 xy 2 + 8 x 2 y ) = 8 x 2 y 3 + 16 x 3 y 2 = 4 x 2 y 2 (2 y + 2 x)
= 2 xy 2 y + 2 x
Ejemplo
3
3 3 9
x2 x
3
multiplicamos las dos fracciones
3
x
3
2
9 3 3 9 3 27 3
=
⋅ =
=
x
x2 x
x3 x
1.- Realiza las siguientes operaciones:
a)
2x 8x
b)
6
32 x
x
c)
3
x + 2 x2 − 4
d)
e)
f)
54 x 2 3 2 x 2
4
24 x 3 y 2 4 12 x 2 y 3
2 x − 1 ( 2 x − 1)( x − 2)
58
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Para dividir radicales del mismo orden se usa la propiedad número (2) , de la misma manera que
en la multiplicación y el resultado se lleva a la mínima expresión:
6 xy 2
3 xy
3
Ejemplo
3x 2 y 3
escribimos la operación con un solo radical
3
27 x y
x2 − x − 6
Ejemplo
6 xy 2
= 2 xy
3 xy
3
3 2
3
=
x2 − x − 6
( x − 3)( x + 2)
=
=
2
( x + 2)( x + 5)
x + 7 x + 10
=
x + 7 x + 10
2
x−3
x+5
1.- Realiza las siguientes operaciones
3x 3 y
a)
18 xy 2
3
b)
c)
36ab 2
4
12 xb3
4
75 x 3b
50a − 4 y 5
d)
e)
243a 2b 4
3
3ay − 2
( x + y) x − y
x2 − y2
7 x 2 z 3 yz 3
f)
42 xz 2
3
g)
3
3 2
27 x y
=3
y
9x
escribimos en un solo radical y factorizamos cada expresión:
x 2 + 7 x + 10
x2 − x − 6
3x 2 y 3
a+b
(c + d )(c − d ) 2
2
 6 x 3 yz   2 xy 5 z 3 

 

 

h) 
8x 7 y 3 z 5
3
59
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 26
OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACIÓN
OBJETIVO.- Realizar diferentes tipos de operaciones con expresiones radicales y aplicar el
proceso de racionalización.
Ahora podemos realizar operaciones que involucren varias propiedades a la vez:
2 xy 5 xy
2 xy 2
=
10 x 2 y 2
2 xy 2
=
10 x 2 y 2
= 5x
2 xy 2
Ejemplo (2 + x ) 2 usamos los productos notables
(2 + x ) 2 = 22 + 2(2)( x ) + ( x ) 2 = 4 + 4 x + x
Ejemplo ( x + y )(3 x + 2 y ) multiplicamos usando la propiedad distributiva
( x + y )(3 x + 2 y ) = ( x )(3 x ) + ( x )(2 y ) + ( y )(3 x ) + ( y )(2 y )
= 3 x 2 + 2 xy + 3 xy + 2 y 2 = 3 x + 5 xy + 2 y
Ejemplo ( x + h − x )( x + h + x ) tenemos el producto de binomios conjugados
( x + h − x )( x + h + x ) = ( x + h ) 2 − ( x ) 2 = x + h − x = h
Ejemplo
(3 x + h − 3 x )(3 ( x + h) 2 + 3 x( x + h) + x 2 )
3
multiplicamos
usando
la
propiedad
distributiva:
(3 x + h − 3 x )(3 ( x + h) 2 + 3 x( x + h) + 3 x 2 ) =
3
( x + h) 3 + 3 x ( x + h) 2 + 3 x 2 ( x + h) − 3 x ( x + h) 2 − 3 x 2 ( x + h) 2 − 3 x 3
= x+h−x=h
Las dos operaciones anteriores son utilizadas en cálculo
1.- Efectúe las operaciones siguientes reduciendo el resultado a su mínima expresión
( )
b) ( x + 2 y )
c) (2 + x ) (2 − x )
d) ( a + b ) (a + ab + b )
e) (a − a + 2a ) (a + a −
a) 1 + 2
2
2
2a
)
Por último trataremos otra operación con expresiones racionales, la racionalización, esta
consiste en que por algún procedimiento algebraico quitar el radical o radicales del numerador
o denominador de una expresión racional, supongamos que se quiere quitar el radical de ala
1
expresión
, para esto multiplicamos el numerador y denominador por a
a
1
a
⋅
a
a
Al hacer esto se multiplica por la unidad, por lo que no se altera el valor de la expresión,
usando las propiedades de los radicales:
60
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
a
a
x
Ejemplo
2
a
a
=
para racionalizar tenemos que multiplicar por
2x
x
2x
2x
2x
=
x 2x
=
2
2 x el numerador y denominador
x 2x
2x
=
2x
2
4x
En general este procedimiento se realiza multiplicando numerador y denominador por un radical
de tal manera que el radical resultante tenga raíz exacta
3
Ejemplo
3
4x 2 y
xy
racionalizar el numerador, en este ejemplo tenemos que multiplicar por
42 xy2
3
4x2 y
3
xy
3
4 2 xy 2
2
4 xy
2
43 x 3 y 3
3
=
xy
3
16 xy
2
4 xy
=
xy
3
16 xy
=
2
4
3
16 xy 2
En el numerador y denominador de la expresión pueden aparecer binomios o trinomios
que contengan radicales, por ejemplo:
x +6
x −3
Para racionalizar el denominador se multiplica por su conjugado para formar una
diferencia de cuadrados:
x +6
x −3
⋅
x +3
x +3
=
( x + 6)( x + 3)
( x) − 3
2
2
h
Ejemplo: Racionalizar el denominador de
x+h − x
=
x + 9 x + 18
x−9
multiplicamos por el conjugado del
denominador:
h
x+h − x
⋅
x+h + x
x+h + x
=
h( x + h + x )
( x + h )2 − ( x )2
=
h( x + h + x ) h( x + h + x )
=
= x+h + x
x+h−x
h
1.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones
x
a)
3x
1
c)
3
e)
b)
4 xy
2
3+ 3
3 −1
d)
f)
2x
2 x3
3
7 +1
1
x+2 +2
61
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 27
LA ECUACIÒN DE SEGUNDO GRADO
OBJETIVO.- Conocer la forma general de una ecuación de segundo grado y sus métodos de
solución, identificando los tipos de raíces.
Una ecuación del tipo ax + bx + c = 0 , en la cual a, b, y c son constantes arbitrarias y
a ≠ 0 , se llama ecuación de segundo grado.
Existen tres métodos de solución para las ecuaciones de segundo grado: El de
factorización, Completando cuadrados y Aplicando la Fórmula General.
El primer método se aplica en trinomios que se pueden factorizar como el producto de
dos binomios, a partir de los factores se obtienen las raíces de la ecuación, es decir, los
valores de la variable que la satisfacen.
2
Ejemplo: Resuelva factorizando la ecuación : x 2 − 2 x − 3 = 0.
Como la ecuación ya tiene los términos en el lado izquierdo, nos concretamos a
factorizar dicho miembro ( x − 3)( x + 1) = 0 . Si se iguala con cero cada factor, entonces tenemos:
x−3 = 0
x +1 = 0 .
y
Lo que nos lleva a que x1 = 3
y
x2 = −1 . Estos valores con las raíces de la ecuación
original y a su vez, son la solución. Podemos concluir que una ecuación de segundo grado tendrá
como solución siempre a dos valores de su variable.
Para comprobar la solución, basta con sustituir cada uno de ellos en la ecuación
planteada y ésta se convertirá en una identidad.
Ejemplo: Resolver la ecuación 4 x 2 − 49 = 0 .(ecuación simple o incompleta).
Su factorización es (2 x + 7)(2 x − 7) = 0 Por lo que 2 x + 7 = 0
raíces x1 = −
7
2
y
x2 =
y
2 x − 7 = 0 generan las
7
.
2
Ejercicios:
1.- Factorice las siguientes ecuaciones de segundo grado:
1) x 2 − 2 x = 8 = 0
2) 10 x 2 + 21x + 9 = 0
3) 30x 2 − x − 20 = 0
4) 6 x 2 + 4 x = 0
5) 4x 2 − 9 = 9 x
6) 3x 2 + 12 = 0
Ya se vio en los Productos Notables que el resultado de elevar al cuadrado un binomio,
es un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo ( x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 , la cual es una forma del
trinomio cuadrático general. En el se observa que primer término es x, que el segundo término
contiene la primera potencia de x y que el último término es positivo e igual al cuadrado de la
mitad del coeficiente de x. Dado un trinomio como éste, puede factorizársele fácilmente. Por
ejemplo x 2 − 6 x + 9 , es un cuadrado perfecto, ya que el primer término es
62
x 2 , el segundo
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
término contiene sólo la primera potencia de x el tercer término, 9, es igual al cuadrado de la
6
mitad del coeficiente de x , o sea = 3.
2
Con lo anterior se puede formar un trinomio cuadrado perfecto al sumarle a ambos
- *
miembros de la igualdad la cantidad & *+ lo cual se usa para resolver una ecuación cuadrática,
analicemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Resolver la ecuación 4 x 2 = 4 x + 11 .
Trasponiendo términos: 4 x 2 − 4 x = 11 .
Dividiendo por 4 cada miembro: x 2 − x =
11
.
4
1
1
11
1
Se suma [ (−1)]2 en ambos miembros: x 2 − x + ( − ) 2 = + (− ) 2 .
2
2
4
2
1 11 1
2
Por lo tanto: x − x + = +
4 4 4
1
1
Que es lo mismo que: x 2 − x + = 3
por lo tanto ( x − ) 2 = 3
4
2
1
Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro: x − = ± 3
2
1
1
Se producen las ecuaciones de primer grado: x − = 3
y
x− = − 3 .
2
2
1
1
x2 = − 3 + . Que son las dos raíces.
Al resolverlas, se obtiene: x1 = 3 +
y
2
2
Ejercicios:
I.- Resolver las ecuaciones de segundo grado siguientes, completando cuadrados:
1) x 2 − 2 x − 15 = 0
2) x 2 − 3 = − x
3) 4 x 2 + 4 x = 5
4) 6 x + 3 = 2 x 2
5) 9x 2 − 2 = 18 x
6) 1 + 12 x − 4 x 2 = 0
7) 3 x 2 = 9 x − 7
La fórmula general que permite resolver una ecuación de segundo grado, se deduce o se
obtiene a partir de la forma general ax 2 + bx + c = 0 , usando el método de completar cuadrados.
Trasponiendo términos: ax + bx
b
c
Dividiendo por a: x 2 + x = −
a
a
2
Sumando (
= −c
1b 2
b
b2
c
b2
) en cada miembro: x 2 + x + 2 = − + 2
a
a 4a
2a
4a
Simplificando: ( x +
b 2 b 2 − 4ac
) =
2a
4a 2
63
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: x +
Resolviendo para x: x = −
Por lo que: x =
b
=
2a
b 2 − 4ac
2a
b
b 2 − 4ac
±
2a
2a
− b ± b 2 − 4ac
. Esta expresión recibe el nombre de Fórmula General
2a
Cuyas raíces son: x1 = −
b
b 2 − 4ac
+
2a
2a
y
x2 = −
b
b 2 − 4ac
−
2a
2a
Para la aplicación de dicha fórmula es necesario identificar los valores de a, b y c. Esto
se logra una vez que se le da la forma
ax 2 + bx + c = 0.
Por ejemplo. Para resolver 6 x 2 = 12 + x. Lo primero que debemos hacer es trasponer
términos igualando con cero: 6 x 2 − x − 12 = 0 . De donde se obtiene a=6, b=-1 y c=-12.
Sustituyendo estos valores en la fórmula general:
− (−1) ± (−1) 2 − 4(6)(−12)
1± 17
1 ± 1 + 288
se tiene que x =
9 x=
12
2(6)
12
1 + 17 18 3
1 − 17 −16
4
Resolviendo para x: x1 =
y x2 =
=
=
=
= − . Que son las raíces
12
12 2
12
12
3
de la ecuación. En este caso, dos números racionales.
La naturaleza o el tipo de raíces que se obtienen al resolver una ecuación de segundo
x=
grado, depende directamente de la expresión
b 2 − 4ac , la cual recibe el nombre de
Discriminante.
En el siguiente cuadro, se sintetizan los casos:
VALOR DEL DISCRIMINANTE
b 2 − 4ac > o y cuadrado perfecto
Racionales y diferentes
b 2 − 4ac > 0 y no es cuadrado perfecto
Irracionales y diferentes
Si
b 2 − 4ac = 0
Racionales e iguales
Si
b 2 − 4ac < 0
Imaginarias y diferentes
Si
Si
TIPO DE RAICES
64
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicios:
1.- Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifique el tipo de raíces
que se obtendrán al resolverlas:
1) 9 x 2 − 24 x + 16 = 0.
2) 2 x 2 + 3 x − 20 = 0.
3) 3 x 2 − 2 x − 7 = 0.
4) 5 x 2 − 6 x + 8 = 0.
2.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado, usando la fórmula general:
1) x 2 = 2 x − 5
2) 4x 2 + 1 = 3 x
3) 3 + 6 x 2 − 7 x = 0
4) 9 x 2 + 12 x = −5
5) 2 x 2 + 10 x + 13 = 0
6) x 2 − ab − a 2 = bx
7) (a − b) x 2 = 2bx + 4a
9) sí las raíces de una ecuación son x1 = −3 y
8) a 2 x 2 + (ab − a ) x = 2 + 2b
x2 =
1
. ¿ Quién es la ecuación ? .
2
65
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 28
OPERACIONES EN EL CÁLCULO
OBJETIVO.- Aplicar los conocimientos adquiridos en todos los temas del álgebra, a situaciones
que se presentan en el desarrollo del cálculo.
En esta sección realizaremos operaciones donde se necesiten usar los conocimientos del
álgebra de manera integrada, esto con el objeto de prepararnos para los cursos de cálculo,
donde se requiere un buen manejo del álgebra en un sentido amplio e integrado.
Generalmente el problema que más se presenta es la simplificación de expresiones,
para realizar este proceso es necesario tener una visión amplia de las operaciones algebraicas
que podemos realizar para hacer la simplificación, así como el momento en que debemos
detenernos, puesto que en la búsqueda de una mayor simplificación podemos cometer errores.
Con los ejemplos que se presentan, no significa que se traten todas las posibilidades,
más bien es una introducción a este tipo de procesos, por último estos ejemplos presentan una
posibilidad para tener un mejor entendimiento y manejo de los procedimientos algebraicos.
( x + 2) 2 + 3( x + 2) − 8 en este ejemplo desarrollamos la expresión y
Ejemplo: Simplificar
simplificamos términos semejantes:
( x + 2) 2 + 3( x + 2) − 8 = x 2 + 4 x + 4 + 3 x + 6 − 8 = x 2 + 7 x − 4
Ejemplo: simplificar
( x + h) 2 + 5( x + h) − x 2 − 5 x
desarrollamos el numerador
h
( x + h) 2 + 5( x + h) − x 2 − 5 x x 2 + 2 xh + h 2 + 5 x + 5h − x 2 − 5 x 2 xh + h 2 + 5h
=
=
h
h
h
Factorizamos h en el numerador:
h ( 2 x + h + 5)
= 2x + h + 5
h
1
1
−
( x + h) 2 x 2
Ejemplo: Simplificar
el M.C.D. en el numerador en ( x + h ) 2 x 2
h
1
1
x 2 − ( x + h) 2
x 2 − x 2 − 2 xh − h 2
− 2 xh − h 2
−
( x + h) 2 x 2
( x + h) 2 x 2
( x + h) 2 x 2
( x + h) 2 x 2
=
=
=
h
h
h
h
2
− 2 xh − h
− 2x − h
h(−2 x − h)
=
=
=
2 2
2 2
h( x + h) x
h( x + h) x
( x + h) 2 x 2
1 2
−1
( x + 1) 2 (2 x 3 ) Primero pasamos los exponentes negativos
2
1
1
2x3
( x 2 + 1) 2 (2 x) +
el M.C.D. es 2( x 2 + 1) 2
1
2( x 2 + 1) 2
Ejemplo: simplificar ( x 2 + 1)
al denominador
=
2( x 2 + 1)
1
+ 1)
1
2( x 2 + 1)
1
2 (x2
1
2 (2 x) +
2 (2 x) +
2
2x3
=
2( x 2 + 1)(2 x) + 2 x 3
2( x 2 + 1)
1
2
66
=
4 x3 + 4 x + 2x3
2( x 2 + 1)
1
2
=
6 x3 + 4x
2( x 2 + 1)
1
=
2
3x3 + 2 x
( x 2 + 1)
1
2
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
1
−2
1

(2 x 3 + 5) 3 (3x 2 ) − x 3  (2 x 3 + 5) 3 (6 x 2 ) 
3

 quitamos el exponente negativo
Ejemplo: simplificar
2
1 
 3
3
(2 x + 5) 
2x5
1
(2 x 3 + 5) 3 (3x 2 ) −
del numerador:
( 2 x + 5)
3
2
(2 x 3 + 5)
2
(2 x 3 + 5) 3 (2 x 3 + 5) 3 (3x 2 ) − 2 x 5
(2 x 3 + 5)
(2 x 3 + 5)
2
3
3
el M.C.D. en el numerador es
(2 x 3 + 5)
2
3
3
1
2
2
(2 x 3 + 5)(3 x 2 ) − 2 x 5
(2 x 3 + 5)
=
(2 x 3 + 5)
3
[
2
2
3
6 x 5 + 15 x 2 − 2 x 5
=
( 2 x 3 + 5)
3
]
( 2 x 3 + 5)
2
2
[
Ejemplo: simplificar ( x 3 + 2) 3 2(1 − x 2 )(−2 x ) + (1 − x 2 ) 3( x 3 + 2) 2 (3 x 2 )
3
3
4 x 5 + 15 x 2
=
( 2 x 3 + 5)
( 2 x 3 + 5)
2
2
3
3
=
4 x 5 + 15 x 2
(2 x 3 + 5)
4
3
]
realizamos operaciones para quitar los corchetes:
− 4 x ( x 3 + 2) 3 (1 − x 2 ) + 9 x 2 (1 − x 2 ) 2 ( x 3 + 2) 2 factorizamos para simplificar la operación
[
x( x 3 + 2) 2 (1 − x 2 ) − 4( x 3 + 2) + 9 x(1 − x) 2
[
= x( x + 2) (1 − x ) − 4 x − 8 + 9 x − 9 x
3
2
2
3
2
]
]
= x( x + 2) (1 − x )(−13 x + 9 x − 8)
3
2
2
3
Este resultado lo podemos dejar hasta aquí puesto que al desarrollarlo no se
simplificaría más.
a) (2 x 2 − 3 x + 1)(4)(3 x + 2)3 (3) + (3 x + 2) 4 (4 x − 1)
b) (6 x − 5) 3 (2)( x 2 + 4)(2 x) + ( x 2 + 4) 2 (3)(6 x − 5) 2 (6)
1
−1
1
c) ( x 2 − 4) 2 (3)(2 x + 1) 2 ( 2) + (2 x + 1) 3 ( )( x 2 − 4) 2 ( 2 x)
2
1
−2
1


2
d) (3 x + 2) 3 ( 2)(4 x − 5)(4) + ( 4 x − 5)  (3 x + 2) 3 (3)
3
−4
−1
 1
e) ( x 2 + 9) 4  − ( x + 6) 3 + ( x + 6) 3 ( 4)( x 2 + 9) 2 (2 x)
 3
f)
(6 x + 1) 3 (27 x 2 + 2) − (9 x 3 + 2 x)(3)(6 x + 1) 2 (6)
(6 x + 1) 6
g)
( x 2 − 4) 4 (2 x) − x 2 (4)( x 2 − 1) 3 (2 x)
( x 2 − 1)8
1
h)
( x 2 + 4) 3 (3) − (3 x)( 13 )( x 2 + 4)
i)
(1 − x 2 ) 2 (2 x) − x 2 ( 1 2 )(1 − x 2 )
1 
 2
3
( x + 4) 
3 (2 x)
2
1
1

2 2
(1 − x ) 
−2
−1
2 ( −2 x )
2
67
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
2.- Realiza las siguientes operaciones
a)
( x + h ) 2 − 7 ( x + h) − ( x 2 − 7 x )
h
b)
( x + h) 3 + 4( x + h) − ( x 3 + 4 x)
h
1
( x + h)
h
3
c)
−
1
x3
1
1
−
2
x
+
2
h
+
3
2
x
+3
d)
h
68
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
MISCELANEA DE EJERCICIOS
El propósito de este último ejercicio es valorar los conocimientos adquiridos durante el
curso, realiza el ejercicio como una evaluación y a partir de los resultados tomes medidas para
corregir los puntos débiles.
1.- En la siguiente tabla coloca una x de acuerdo al tipo de sistema numérico al que
pertenece cada número u operación (puede pertenecer a más de uno):
Número
-3
Natural
Entero
racional
Irracional
Real
3
(1-2)3
2/3
12+ 2
4/2
6−2
3-3
1− 5
2.- Realiza las operaciones siguientes mencionando que tipo de número es el resultado
obtenido:
1. − 3 + 5 − 9 + 12 − 3 =
2. − 3(4 − 3) + 5(3 − 6) =
3. - 6 + 5[2 + 4(3 − 4)] =
5
1
4. − (4 − 3) 2 + (3 + ) =
3
4
4−5
6. −4=
3
1
5. - (2 − ) 2 − (3 + 5 − 1) =
3
1
−3
+5
−6
7. − 2
+ 4
=
3
3
9. -
2
2
8. - 2 + 2 − 3 + 4 2 =
1
+7
10. − 5
=
2 4
−
3 6
−
+3=
3 − 6 2

11. - 
− 6 =


4 − 5 4

3.- Realiza cada una de las siguientes operaciones indicando en cada paso la propiedad de los
números reales usada
a) (2 − 3)(−5)
b) 2a 2 (a + 1)
c) (2 − 2 )(5 + 2 )
(
d) 3 + 3
)
2
4.- Realiza las siguientes operaciones, sustituye el valor que toma la literal antes y después de
efectuar la operación, por ejemplo:
69
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
a) 4(b − 5)
tomando b = 2
b) (2a − 3)(a − 1)
c)
c
+ 2c
3
tomado a =
1
3
tomando c = 2
4 2
d) 8( − )
a a
tomando a = −
2
5
5.- Efectúe las operaciones y simplifique el resultado
a) (3a 2b) 2 (2ab 3 )
 23 32
a b
c) 
 a 2b





3

 2

i)  (a 3 b − 2 ) 3 


r −1 + s −1
(rs) −1
m)
3
ñ)
p)
r)
4
d)
6r 3 y 2
2r 5 y
2
1
4
 xy −1   x 3 y 2 


g) 

 ÷
 z   z 
k)
(3 x 2 y −3 ) −2
x−5 y
6
p 
e) (−2 p q )  2 
 4q 
2
b)
f) c
2
−4
3
1
3 c 2c 6
 − 64 x 3 
h)  6 9 
 z y 
− .1
j)
2
3
(3u 2 v 5 w − 4 )3
(2uv − 3 w 2 ) 4
l) (u + v) 3 (u + v) − 2
( x 4 y −1 ) 6
n)
3
8 x5 y 3 z 4
a 2b 3
c
o)
3
4x2 y 3 2x5 y 2
(−4a 3b 2 c) 2
q)
12 x 4 y

1  1

− 1
t t

s) ( x + x + 1) 2
2 5
3x y
6.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones
a)
1− x
b)
1+ x
7.- Efectúa las operaciones indicadas
70
1
a + a+2
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
a) (3 x 2 − 4 x 2 + x − 7) + ( x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 + 5)
b) (4 z 4 − 3 z 2 + 1) − z ( z 3 + 4 z 2 − 4)
c) ( x + 4)( x + 3) − (2 x − 1)( x − 5)
d) ( 4 x − 5)(2 x 2 + 3 x − 7)
e) (3 y 3 − 2 y 2 + y + 4)( y 2 − 3)
f) (3 x + 2)( x − 5)(5 x + 4)
g) ( a − b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 )
h)
i)
x 4 + 3x 2 + 6 x − 6
x2 + 2
9 p 4 − 6 p 2 q 4 + 5 p 3q 2
3 p 2q 2
8.- Realiza las siguientes operaciones
a) (3a − 5b)(2a + 7b)
b) (13a 2 + 4b)(13a 2 − 4b)
c) ( 4r 2 − 3s ) 2
1
d) (2a + b) 3
3
e) ( a + b + c ) 3
f) ( 2 x
1
2
+
1 2
)
5
g) (a 3 − a −3 ) 2
h) ( x −1 + xy 2 )( x −1 − xy 2 )
9.- Factorice cada una de las siguientes expresiones
71
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
a) 2 x 2 y + 8 xy 2
b) 28 x 2 + 4 x − 9
c) 8 x 3 + 64 y 3
d) x 4 − 8 x 3 + 16 x 2
e) 2wy + 3 yx − 8wz − 12 zx
f) x 2 − 5
g) 2c 3 − 12c 2 + 3c − 18
h) x 2 + 4 x + 4 − 16 y 2
i) x 2 +
2
1
x+
5
25
j) 9 y 4 − 64 x 8
16.- Simplifique las siguientes expresiones
a)
6x 2 − 7 x − 5
4x 2 + 4x + 1
b)
6 x 2 − 5x − 6 2 x 2 − 3x
÷
x+2
x2 − 4
c)
2
5
−
4 x − 5 10 x + 1
d)
7
3x
5
+
−
x + 2 ( x + 2) 2 x
e)
x + x−2
1 + x−2
f)
1
2
3
− 2
−
x x + x x+3
3
1
g) ( x 2 + 1) 2 (4)( x + 5) 3 + ( x + 5) 4 ( 3 2 )( x 2 + 1) 2 (2 x)
h)
(4 − x 2 )( 13 )(6 x + 1)
−2
3 (6) − (6 x
1
+ 1) 3 (−2 x)
(4 − x 2 ) 2
72
Curso de Algebra y Trigonometría
tría para Ingeniería.
UNIDAD IV
TRIGONOMETRIA
73
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 29
ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS.
OBJETIVO.- Definir ángulo y manejar las diferentes formas de expresar sus medidas.
Entre los egipcios y los chinos, más de un milenio antes de Jesucristo, pueden hallarse
los primeros albores de la Trigonometría; sin embargo, esta ciencia propiamente hace su
aparición con Hiparco, cerca de 150 años antes de nuestra era.
Este sabio justamente considerado como la máxima autoridad entre los astrónomos griegos y
el astrónomo más grande de la antigüedad. Conoció la fórmula Sen2x+Cos2x=1.
Etimológicamente, la palabra Trigonometría significa medida de los triángulos, es decir el
cálculo de alguno o algunos de sus elementos. Puede definirse de la siguiente manera: Es la
ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo, y aplica
dichas relaciones al cálculo de los elementos desconocidos en el triángulo.
Un ángulo es la abertura comprendida entre la posición inicial y la posición final de una
recta que ha girado alrededor de uno de sus puntos, permaneciendo siempre en el mismo plano.
lado terminal
+
lado inicial
Existen básicamente dos formas de expresar la medida de un ángulo: La primera
corresponde al sistema sexagesimal y la segunda al sistema cíclico.
En el sistema sexagesimal, el ángulo unidad es el ángulo de un grado, es decir, es el ángulo que
:
correspondes a ;<=
del perímetro de la circunferencia, de tal manera que un ángulo puede medir
ente 0º y 360º, asimismo se tiene que 1º=60’ (minutos) y que 1’=60’’ (segundos)
Mientras que en el sistema cíclico, el ángulo unidad, llamado unidad cíclica o unidad de medida
circular, es el ángulo central de una circunferencia cualquiera, cuyos lados interceptan un arco
de longitud igual a la del radio. De ahí el nombre de radiante o radián. En una circunferencia
tenemos que su perímetro es > 2 #, si se divide el perímetro entre el radio se tiene en
número de radianes en la circunferencia
GHI
?
A*B .-CD-E
360F entonces #/1
57.29. . K#/1LM
@
B
Lo cual se puede escribir 180º = π rad, esta equivalencia la podemos usar para hacer
conversiones de ángulos, por ejemplo, convertir 60º a radianes
#/1
60F
#/1
180F
3
7
Si se quiere transformar
#/1 a grados:
*
3
180F
#/1
270F
2
#/1
De acuerdo a lo anterior podemos expresar la circunferencia de la siguiente forma
74
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Ejercicio 1: Expresar en medida cíclica los siguientes ángulos:
a) 75°
b) 37.24°
c) 58° 25'
d) 71° 27' 56''
Ejercicio 2: Expresar en grados los ángulos dados en unidades cíclicas:
a).-
7
8
#/1
b).- 3.5 #/1
c).- 1.234 rad
Ejercicio 3: Hallar el número de grados de los siguientes ángulos dados en funciones de π
radianes:
a).- 3π/7
b).- 15π/8
c).- 51π/19
Ejercicio 4: Expresar en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:
a).- 59.25°
b).- 12.2358°
c).- 50.798°
Ejercicio 5: Expresar en función de π radianes los siguientes ángulos:
a).- 72°
b).- 330°
c).- 18°
75
d).- 22.5°
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 30
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
OBJETIVO.-Definir las funciones trigonométricas de diferentes ángulos, a partir de un
triángulo dado.
Las razones o funciones trigonométricas son expresiones matemáticas que contienen
razones entre los lados de un triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
A
c
b
C
a
B
En el triángulo dado, A B y C son los ángulos y a, b y c son los lados .Por lo cual las
funciones trigonométricas del ángulo B, son:
Seno es la razón del cateto opuesto al ángulo, a la hipotenusa:
cateto opuesto b
sen B =
=
hipotenusa
c
Coseno es la razón del cateto adyacente al ángulo, a la hipotenusa:
cateto adyacente a
cos B =
=
hipotenusa
c
Tangente es la razón del cateto opuesto al ángulo, al cateto adyacente.
cateto opuesto
b
tan B =
=
cateto adyacente a
Cotangente es la razón del cateto adyacente al ángulo, al cateto opuesto:
cateto adyacente a
cot B =
=
cateto opuesto
b
Secante es la razón de la hipotenusa, al cateto adyacente:
hipotenusa
c
sec B =
=
cateto adyacente a
Cosecante es la razón de la hipotenusa, al cateto opuesto:
hipotenusa
c
csc B =
=
cateto opuesto b
Otra relación entre los lados de un triangulo rectángulo la establece el teorema de Pitágoras,
*
el cual se escribe N * /*
. Los ángulos interiores de cualquier triángulo cumplen que su
suma es igual a 180ª
Si se conoce una función trigonométrica es posible obtener las otras, por ejemplo si
7
MO2 %
, obtener las funciones restantes par el ángulo A. Formando el triángulo:
8
c=5
a=3
b
A
76
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Usando el teorema de Pitágoras calculamos el lado b,
entonces:
6
7
8
cos %
tan %
sec %
csc %
8
6
6
√N *
/*
8
√25
cot %
7
9
√16
4
6
7
Ejercicio 1.-Dada una función trigonométrica de un ángulo, calcular el valor de las otras
funciones con los datos siguientes:
20
3
1) senB =
2) cos B =
29
10
3) csc B =
37
12
4) tan B =
17
9
5) cot B =
5
14
6) sec B = 10 .
Si se tiene el valor de la función trigonométrica es posible obtener el ángulo que le
corresponde, esta operación se representa si MO2 % W entonces % /#N MO2 W, generalmente
esta operación se realiza en una calculadora, por ejemplo si MO2 % 0.5 se tiene que %
/#N MO2 0.5 30F
Ejercicio:
1.- Determine el valor del ángulo que le corresponde a los valores de las funciones
trigonométricas del ejercicio anterior.
Para ángulos mayores de 90º, debemos considerar un círculo unitario en el cual "
Y MO2 X
cos X y
Se observa que los signos de las funciones trigonométricas corresponden a las coordenadas del
punto > ", Y ,
77
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Algunos valores de ángulos
78
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 31
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
OBJETIVO.- Aplicar las funciones trigonométricas para obtener elementos que se desconocen
en un triángulo rectángulo.
Resolver un triangulo rectángulo es obtener los elementos faltantes partiendo de que
se conocen algunos de ellos, dependiendo de los datos se pueden usar las funciones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
Consideremos que se tiene un triángulo donde a=10 y c=15, se debe calcular el valor de
b y los ángulos A y B, dibujando el triángulo
B
c=15
a=10
b
A
El lado b se calcula usando el teorema de Pitágoras
√N * /* √15*
de un ángulo se obtiene con una función trigonométrica, usando MO2 %
tanto %
/#N MO2 0.666
41.76F el valor del otro ángulo se calcula [
90F
10*
Z
GI
G8
%
√125 , el valor
0.666 por lo
48.24F
Ejercicios:
1.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos si se conoce la siguiente información:
a) a=12, b=10
b) a=25 B=35º
c) b=20 c=40
d) c=50 B=45º
2.- Resuelva los siguientes problemas:
a).- Una escalera de 9 m está apoyada contra una pared. ¿Qué altura alcanza si forma con el
o
suelo, un ángulo de 72 ?
b).- Un árbol de 17 m de altura proyecta una sombra de 25 m. ¿Cuál es el ángulo de elevación
del sol sobre el horizonte del lugar?
c).- El pie de una escalera de 10 m, apoyada contra una pared queda a 3 m de ésta.
¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?
79
Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 32
LEY DE SENOS
OBJETIVO.- Conocer el enunciado de la Ley de Senos y su aplicación en el cálculo de
elementos desconocidos de un triángulo.
Ahora analicemos expresiones trigonométricas más generales que el Teorema de Pitágoras, que
nos permiten conocer las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos.
La ley de senos establece que. "En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos
de los ángulos opuestos, o sea"
a
b
c
=
=
senA senB senC
B
c
a
A
C
b
Pueden presentarse diferentes casos:
1) Se conoce un lado y dos ángulos.
2) Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.
Ejemplo 1.- Si conocemos que a=23 , A=37° y
B=104°. Encontrar el valor del lado b.
a
b
c
a
b
De la expresión general
=
=
, tomaremos
=
senA senB senC
senA senB
Despejando
b=
asenB (23)(0.9980) 22.954
=
=
= 41.81
senA
0.5490
0.5490
Ejemplo 2.- Dados c=14 , b=17
y
C =35° .Calcular el ángulo B
b
c
=
, y despejando primero sen B
senB senC
bsenC 17( sen35°) 17(0.5735) 9.7507
obtenemos senB =
=
=
=
= 0.6964
c
14
14
14
Tomando de la expresión general solamente
Por lo tanto B=arc Sen (0.6964)=44.13°=44°7´
Ejercicio 1.- Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, en que se da:
a) a=12.30,
b) c=95,
c) b=81,
B=38°20´,
A=27°33´,
A=80° ,
C=77°10´
C=59°58´
B=2° 15´
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
ACTIVIDAD 33
LEY DE COSENOS.
OBJETIVO.- Conocer el enunciado de la ley de Cosenos, manejar su deducción y aplicarla a
situaciones de carácter práctico.
La ley de cosenos establece que En todo triángulo, el coseno de un ángulo es igual: a la
suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el cuadrado del lado opuesto,
dividido entre el doble producto de los lados que forman dicho ángulo.
Consideremos el siguiente triángulo:
B
c
a
A
C
b
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
a2 + b2 − c2
..........(1)
CosB =
CosC =
2bc
2ac
2ab
Simplificando las fórmulas anteriores podemos obtener nuevas expresiones:
CosA =
a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA b 2 = a 2 + c 2 − 2acCosB c 2 = a 2 + b 2 2abCosC ....(2)
Las expresiones anteriores se pueden generalizar de la siguiente manera:
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros lados, menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo 1.- Resolver el triángulo ABC, dados : a=31 m, b=42 m y c=53 m. Incógnitas A,B y C.
Primero podemos obtener el valor del ángulo A, usando la expresión CosA =
b2 + c2 − a 2
2bc
.
42 2 + 53 2 − 312 3612
=
= 0.8113 .
2(42)(53)
4452
−1
Por lo tanto: A = cos (0.8113) = 35.77° = 35°48´
Sustituyendo valores se obtiene
CosA =
El ángulo B se puede conocer de: CosB
=
a 2 + c 2 − b 2 312 + 53 2 − 42 2 2006
=
=
= 0.6104
2ac
2(31)(53)
3286
B = cos −1 (0.6104) = 52.38° = 52°22´
Para obtener el ángulo C, usemos el Teorema A+B+C=180° y despejemos
C=180°-(A+B)=180°-88.15°=91.85°
Para casos similares, se pueden utilizar las expresiones en (1).
Ejemplo 2.- Encontrar el valor del lado a, sabiendo que b=23, c=14 y A=46°.
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
Para este caso usaremos la expresión
a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA
a 2 = 232 + 14 2 − 2(23)(14)Cos(46°) = 529 + 196 - 644(0.7501) = 725 - 483.07 = 241.92
Extrayendo la raíz cuadrada obtenemos a = 241.92 = 15.5537
De manera similar se pueden usar las otras expresiones para los cuadrados de los lados.
Ejercicios:
1.- Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, en que se da:
a) a=4, b=5, c=6.
b) a=26.64, b=37.40 , c=50.22.
c) a=310, b=276, c=187
d) b=30.72, c=22.25, A=56° 28´
e) a=89, c=67, B=37°
f) a=76, b=90, C=23° 56´
2.- En la siguiente figura calcular la altura de la torre:
30ª
35ª
40m
3.- Calcular los ángulos A y B, así como la longitud de los cables c y d
c
d
20m
A
B
25 m
15 m
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ACTIVIDAD 34
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
OBJETIVO.-Definir que es una identidad trigonométrica y poner en práctica su demostración.
En trigonometría, además de las funciones trigonométricas se usan con mucha
frecuencia las identidades trigonométricas, las cuáles se pueden definir como una igualdad
entre expresiones que contienen funciones trigonométricas de un mismo ángulo, que se
verifica o se cumple para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. Algunas de las
identidades básicas más importantes son:
Tomando como base las identidades anteriores se pueden demostrar otras, para esto
hay que efectuar en el primer miembro todas las operaciones que sean necesarias, sin efectuar
cambio ninguno en el segundo, hasta que los dos miembros sean idénticos.
Por ejemplo: Comprobar la siguiente identidad (tan α + cot α ) sen α cos α = 1.
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
senα cos α
+
) senα cos α = 1
cos α senα
sen 2α + cos 2 α
senα cos α = 1
senα cos α
1
senα cos α = 1
senα cos α
1=1
I.- Comprobar las siguientes identidades trigonométricas:
(
1) cos 2α − sen 2α = 2 cos 2 α − 1
2) sen 2α = (1 + cos α )(1 − cosα ).
3) secα sen(90o − α ) = 1.
4) (1 + cot 2 α ) cos 2 α = cot 2 α .
5)
tan 2 α − sen 2α
cot 2 α − cos 2 α
= tan 6 α
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Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.
V.- BIBLIOGRAFIA.
1.- ALGEBRA.
Rees y Sparks
Editorial Reverté.
2.- PRECALCULO
James Stewart
Mc Gra-Hill
3.- ALGEBRA CON TRIGONOMETRIA
Swokowski
Grupo Editorial Iberoamérica.
4.- ALGEBRA UNIVERSITARIA
Gordon Fuller
CECSA.
5.- FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS BASICAS
Aponte
Adisson Wesley.
6.- TRIGONOMETRIA RECTILINEA
Agustín Anfossi
Editorial Progreso.
7.- TRIGONOMETRIA PLANA
Ayres
Serie Schaum.
8.- FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS
Silva y Lazo
9.- SOFTWARE
Derive
10.- CONSULTA DE PAGINAS DE INTERNE
Applets de Algebra y Trigonometría
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