Circunferencia y Circulo

11
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
13
1. CIRCUNFERENCIA
Definición
Es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual
distancia de otro punto fijo llamado centro.
L1
M
d
U
Nani
O
i
B
rs
L2
d
d
e
Elementos de la circunferencia
L 1 = Tangente.
OC= Radio.
C
e
A
v
BC = Diámetro L2 = secante MN = Cuerda
Definiciones
Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto
cualquiera de esta. OC, OA , OB .
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
BC ,
MN .
Secante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos. L2 .
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. BC .
Tangente: Recta que toca la circunferencia en un punto único, L 1.
Arco: Es una parte de la circunferencia, AN .
2. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Estrategias metodológicas
1.
Aplique lluvia de ideas para establecer la diferencia entre circunferencia
y círculo.
2.
Construya una sopa de letras.
3.
Aplique el arte de enseñar con todo el cerebro.
4.
Tome un hilo de cualquier longitud, mídalo, construya con él una
circunferencia; determine el valor del diámetro. Divida la longitud de la
14
circunferencia entre la longitud del diámetro. ¿Que valor obtiene?.
Aplique la fórmula L = 2 p r. Compare el resultado con la longitud del
pabilo.
5.
L = 2pr p = 3,1416... L = Longitud de la circunferencia.
3. CÍRCULO
Definición.
Es el conjunto de puntos del plano que comprenden la circunferencia y
sus puntos interiores
B
M
N
O
A
Elementos del círculo
Sector Circular: Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco
limitado por estos. El sector circular AOV.
Segmento Circular: Es la parte del círculo comprendida entre una cuerda y su
arco. El segmento circular NMB.
Nota: El radio y el diámetro es el mismo de la circunferencia.
Área del c írculo A = p r2
Ejemplo. Hallar el área de un círculo generado en la experiencia
realizada para calcular el valor de ?.
4. ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA
Estrategia metodológica: Lluvia de ideas y actividades lúdicas
1. Ángulo central
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Definición: Es el ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y sus
lados son dos semi-rectas que determinan dos radios.
A
C
O
Definición : La medida de un ángulo central es el arco comprendido entre sus
lados < COM = Arco CM
Postulado de la adición de arcos
Sean A, B, C puntos de una circunferencia AC = AB + BC
C
B
A
2. Ángulo inscrito
Definición: Es el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus
lados son semi-rectas que determinan dos cuerdas.
S
T
Ángulo inscrito
R
16
Teorema
La medida del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad
del arco comprendido entre sus lados.
B
B
B
2
a
1
1 2
C
O
O
a’
b
Fig. 1
O
A
C
M
D
A
C
M
Fig. 3
A
M
Fig. 2
Hipótesis:
<ABC inscrito en la circunferencia de centro O
Tesis: <ABC =
ArcoAMC
2
Demostración:
Primer caso: Un lado pasa por el centro. Fig. 1
Se traza el radio OC y se forma el triángulo isósceles COB en el cual, se tiene:
1.- <a = <a1
¿Por qué?
2.- <a + <a1 = <b
Por ser el <b exterior al triángulo COB
3.- 2<a ? <b
Por sustitución de 1 en 2
4.- <a ? <b/2
Por inverso multiplicativo
5.- <b = Arco AMC Por ser ángulo central
6.- <a =
ArcoAMC
Por sustitución de 5 en 4
2
Segundo caso: El centro es interior al ángulo Fig. 2.
Se deja como ejercicio
Tercer caso: El centro es exterior al ángulo Fig. 3.
Se deja como ejercicio
3. Ángulo semi-inscrito
17
Definición: Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados
dos semi – rectas, una secante y una tangente. Ángulo ASV
S
A
Postulado: Los arcos comprendidos entre paralelas
V
son iguales.
Teorema
La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido
entre sus lados.
E
B
C
2
N
M
O
1
D
A
Hipótesis: <ABC semi-inscrito en la circunferencia de centro O.
Tesis: m <2 =
ArcoAMB
2
Demostración.
Se traza AD ¦ a BC.
1. Arco AMB = Arco DNB
Por postulado
2. m< 2 = m <1
Por alternos internos
3. m <1 =
ArcoDNB
2
4. m <1 =
ArcoAMB
2
5. Luego : m <2 =
ArcoAMB
2
Por inscrito
Por 1
Por 2
18
4. Ángulo exterior
A
R
F G
S
M
E
H
N
J
W
Q
R
B
P
T
Definición: Es un ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia y
sus lados pueden ser: Dos semi-rectas secantes, una semi-recta tangente y
otra secante, dos semi-rectas tangentes.
Teorema
La medida del ángulo exterior es igual a la semi-diferencia aritmética de
los arcos comprendidos entre sus lados.
Así la medida de: <JSR =
< TRB =
ArcoAWQ − ArcoHQ
arcoEP − arcoEF
< NAP =
2
2
arcoTB − arcoGM
2
5. Ángulo ex-inscrito
T
Ángulo Ex_ inscrito
V
E
F
Definición: e s un ángulo adyacente a un ángulo inscrito.
Teorema
19
La medida de un ángulo ex - inscrito es igual a la semi - suma de los
arcos que tienen su origen en el vértice y sus extremos en uno de sus lados y
en la prolongación del otro.
<a=
ArcoTVF + ArcoTE
2
6.Ángulo interior
Definición: su vértice es un punto del círculo y sus lados dos semirectas que
cortan la circunferencia.
Q
E
A
1
C
B
Teorema
La medida del ángulo interior es igual a la semi – suma de los arcos
comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones.
<1=
Arco( BC + QE )
2
5. RELACIONES MÉTRICAS ENTRE CUERDAS, SECANTES Y
TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA.
Teorema
Toda cuerda en una circunferencia es media proporcional entre el
diámetro que pasa por uno de sus extremos y su proyección sobre el mismo.
En la siguiente figura ,sean los segmentos: SU , SA , SL .
A
SU SA
=
SA SL
S
L
U
20
Ejemplo
Una cuerda de 20 cm en una circunferencia se une al diámetro por uno
de sus extremos, y su proyección sobre el diámetro es 12 cm. ¿Cuál es el radio
de la circunferencia?
Basta escribir la proporción geométrica y hallar el valor de la variable. En
la siguiente proporción, x, es el diámetro.
x
20cm
=
20cm 12cm
Teorema
Cuando dos cuerdas se cortan en un círculo el producto de los
segmentos de la primera es igual al producto de los segmentos de la segunda.
A
H
E
Hipótesis:
AF y TH cuerdas
T
Tesis: AE x EF = ET x EH
A
H
1
2
E
T 3
4
F
Demostración.
Construcción auxiliar: trazamos las cuerdas AH y TF
1. < 1 =
ArcoHF
2
Por ser ángulo inscrito
2. < 3 =
ArcoHF
2
Por ser ángulo inscrito
F
21
3. <1 = < 3
Por propiedad transitiva entre 1 y 2
4. < 2 =
ArcoAT
2
Por ser ángulo inscrito
5. < 4 =
ArcoAT
2
Por ser ángulo inscrito
6. < 2 = < 4 Por propiedad transitiva entre 4 y 5
7. ? AEH ~ ? TEF. Por 3 y 6. Por la tanto podemos establecer la siguiente
proporción geométrica.
8.
EH AE
=
EF ET
El lado opuesto del < 1 es al lado opuesto del <3. El lado
opuesto del < 2 es al lado opuesto del < 4.
9.
EH × ET = AE × EF
Por
propiedad
fundamental
de
la
proporción
geométrica.
Teorema
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos
secantes el primero por su segmento externo es igual al segundo por el suyo.
Hipótesis.
AF y AB Segmentos secantes a la circunferencia O.
Tesis.
AF × EA = AB × AH
Demostración
Construcción auxiliar: trazamos las cuerdas FH y EB , formándose los
triángulos, AHF y AEB.
A
1
H
E4 2
5
3
O
B
F
1. < 3 =
ArcoEH
2
Por ser ángulo inscrito
2. < 5 =
ArcoEH
2
Por ser ángulo inscrito
22
3. < 3 = < 5
Por propiedad transitiva entre 1 y 2
4. < 4 =
ArcoEHB + ArcoEF
2
Por ser ángulo ex – inscrito
5. < 2 =
ArcoHEF + ArcoHB
2
Por ser ángulo ex – inscrito
6. < 4 = < 2
Por
propiedad
transitiva
entre
4
y
5
( ArcoEHB + ArcoEF = ArcoHEF + ArcoHB )
7.- ? AHF ~ ? AEB
8.-
AH AF
=
EA AB
Por 3 y 6
El lado opuesto del < 3 es al lado opuesto del <5, y el lado
opuesto del < 2 es al lado opuesto del <4 (los lados opuestos de < 5 iguales
son proporcionales)
9.- AH × AB = EA × AF
Ejemplo
B
A
1 . Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
X
dos secantes los segmentos interior y exterior de uno
D
de ellas miden 14 cm y 7cm, respectiva mente. El
segmento interior de la segunda mide 19cm. ¿Cuánto
mide el segmento exterior?
C
E
AC × AB = AE × AD (1)
Datos
AC = 14 cm + 7cm
= 21 cm
AB = 7 cm
AD = x
AE = 19 cm + x
Sustituyendo esto valores en la igualdad (1) tenemos:
21x7 = (19 + x)x
147 = 19x + x2
Tenemos una ecuación de segundo grado, por lo tanto la igualamos a cero y
ordenamos.
0 = x2 + 19x - 147, lo mismo que 1x2 + 19x - 147 =0
23
a =1 b = 19 c= - 147
Aplico la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. x=
x=
x=
x1=
−b + b 2 − 4 ac
2a
− 19 + 19 2 − 4(1)( −147 )
2( 1)
− 19 + 361 + 588
2
19 + 30,8058
2
x1 = 5,9029218 cm
x2 =
− 19 − 30,8058
2
x2 =- 24,9 cm Descartado. ¿Por qué?
2 . Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. Los
segmentos interior y exterior de una de ellas miden 8 cm y 3 cm
respectivamente. El segmento exterior de la segunda mide 2 cm. ¿Cuánto mide
el segmento interior? R. 14,5 cm
3 . Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. Los
segmentos interior y exterior de una de ellas miden 4cm y 6 cm. El segmento
interior de la segunda mide 5cm. ¿Cuánto mide su segmento exterior? R.
5,63941 cm
Teorema
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan un segmento
tangente y un segmento secante, la tangente es media proporcional entre la
secante y su segmento externo.
A
AD AB
=
AB AC
Ejemplo:
C
D
B
24
1.-
Desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y
una secante los segmentos interiores y exteriores de la secante mide 22cm y
18cm. Cuanto mide el segmento AB.
Basta escribir una proporción geométric a en la cual el segmento AB (x)
ocupa los términos medios y los extremos, los segmentos AM y EA.
AM =22cm + 18cm =40cm
40 cm
X
=
X
18cm
X2=720cm2
X= 26,8328cm
Prueba
40
26,8328
=
26,8328
18
26,8328 x 26,8328 = 40 x 18
720 = 720 no colocamos unidades porque carece de sentido.
6. PROBLEMAS
1. Calcular el valor de los segmentos x, y.
B
x
C
5cm
A
y
D
18cm
E
10cm
F
2. Hallar el valor del ángulo 3, sabiendo que el ángulo 1 mide 120 0.
¿Qué nombre recibe el triángulo AEM ?
R/ < 3 = 80º
E
1
4
A
3
S
2
M
25
3. Una persona tiene terreno cuadrado de 20 m de lado. En cada esquina del
terreno hay un poste y un caballo atado por medio de una cuerda de 10 m de
lado. Qué área en m 2 tiene la parte del terreno por la cual no puede pasar el
caballo. R/85,84cm2
20m
10m
?
4. Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes. El
segmento interior de la primera mide 6cm, su segmento exterior mide 3cm y el
segmento interior de la segunda mide 5cm; ¿Cuánto mide su segmento
externo? R/ 3,26cm
5. Datos:
O = Centro de la circunferencia.
Arco AL = 100º
100º
U
↔
1
SL = diámetro
A
L
8
<8= 70º
< SOI = 100 0
O
2
x
Hallar:
S
I
1. < 1 , <2, <x
Arco LI
Arco AU
R/ 10º; 80º; 40º; 140º; 30º.
6. Una cuerda de 5cm, se une a un diámetro de 12cm. Calcular:
a.
Proyección de la cuerda sobre el diámetro.
b.
La parte del diámetro que no pertenece a la proyección.
c.
La distancia del extremo de la proyección al centro de la
circunferencia.
R/ 2,08 cm; 3,92 cm.
26
7. Desde el punto exterior a una circunferencia se trazan 2 secantes, los
segmentos interior y exterior de la 1 ra
secante mide 6cm y 9cm
respectivamente, el segmento exterior de la 2da mide 5cm, ¿Cuánto mide su
segmento interno? R/ 13cm.
8. Datos:
U
O = centro de la circunferencia
L
Arco LI = 50º
Arco SV = 80º
5
< 3 = 120º
Hallar:
2
3
A
O
4
I
Arco IV
< VLU
S
<2
V
<4
<5
R/ 50º; 140º; 140º; 60º; 40º.
7. Una cuerda de 4cm se une al diámetro por uno de sus extremos. La
proyección de la cuerda sobre el diámetro mide 3cm. Cuánto mide la parte
del diámetro que no pertenece a la proyección de tal cuerda sobre el diámetro
R/2,33cm
R
8. Datos
O = centro de la circunferencia
1
T
A
< 1= 45º
2
< 2 = 80º
6
O
Arco TS = Arco SK = 50º
Hallar:
Arco VS
Arco VK
< KTR
< VTK
R/ 130º; 80º; 140º; 40º.
V
K
S
27
9. Desde el punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes: el
segmento interior y exterior de la primera miden 4 cm y 3 cm
respectivamente; el segmento interior de la segunda mide 6 cm, cuánto mide
su segmento externo R/ 2,47cm
10. Hallar el valor de los segmentos x, y. R/ 2,25cm; 2,83 cm
B
5cm
C
4cm
A
3,781cm
x
D
E
y
F
11. Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos uno
tangente y el otro secante. El segmento tangente mide 18cm. Si el segmento
interno de la secante mide 15 cm. ¿Cuánto mide el externo?
12. Para el siguiente gráfico se conoce: arco EA = 100º Arco EC = 80º<6 =
30º,<3 = 120º El segmento AC, no pasa por el centro de la circunferencia
H
4
D
E
C
2
3
1
5
A
6
B
Hallar el valor de los ángulos 1, 4 y 5.
R. 150º; 20º; 50º
13. Dado el valor de los siguientes ángulos: Ángulo 1 = 20º; Ángulo 2 = 40º;
Ángulo 3 = 50º;
circunferencia.
Ángulo 5 = 30º Ángulo 6 = 150 0. O = No es el centro de la
28
Hallar el valor de los arcos: AE; AB;
DC.
H
1
D
E
C
4
6
5
2
A
3
B
15. Sean los segmentos: AS = 10 cms; US = 6 cms
El ángulo ASV = 45 0. El arco VL = 50 0. Arco AU = 60 0
−−
Calcular: UV ( Diámetro)
VL
ArcoS AFV, y UL
Longitud de la circunferencia
Área d el círculo
A
F
10 cm
6 cm
V
O
L
U
S
29
16. Para el siguiente gráfico se conoce: arco EA = 120º Arco BC= 100º <6 =
35º . <1 = 160º El segmento AC, no pasa por el centro de la circunferencia.
H
Hallar el valor de los ángulos 3, 4, 5
y el valor de los arcos restantes
4
E
D
C
1
2
3
5
A
6
B
17. Datos:
0 = centro de la circunferencia
−−
AN = Diámetro
M
−−
Y
NR = 15 cm
RS = 40 cm
Arco NS= 60 0
A
N
O
15 cm
Hallar: AN; Arco MYN
y
Ángulo ARS
40 cm
X
S
R