π π π π π π

Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Aproximaciones y errores de redondeo
Solución de Hoja de trabajo de Aproximaciones y errores de redondeo
1. Calcula el error absoluto y el error relativo si p = π y p * = 22 7 donde p * es el
valor calculado.
Solución
22
valor real = π valor calculado =
7
Error absoluto :
valor calculado
Ea =
E a = valor real − valor calculado
valor real
22
E a = 7 = 1.00042499
Ea = π −
π
22
= 1.264489267 × 10 −3
7
Error relativo :
Er =
Er =
error absoluto
valor verdadero
1.00042499
π
Er =
valor real − valor calculado
valor real
π−
= 0.3184380058
Er =
π
22
7
= 4.024 × 10 − 4
2. Determina el mayor intervalo en que debe de estar p * para aproximar p = π
con un error relativo a lo sumo de 10 −4 .
Solución
valor real ± valor calculado
Er =
valor real
10
−4
=
π × 10
π ± p*
−4
π
= π ± p*
p * = π ± π × 10 − 4
= 3.141278494
= 3.141906813
p = [3.141278494, 3.141906813]
*
NGJ/v06
Unidad II
1
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Aproximaciones y errores de redondeo
1 3
3
(i) en forma exacta, (ii) mediante una
− +
3 11 20
aritmética de truncamiento a tres cifras y (iii) con una aritmética de redondeo a
tres cifras. Calcula los errores relativos.
Solución
3. Realiza la operación:
Exacata
truncamiento
redondeo
Error
realtivo
truncamiento
exacto − truncado
exacto
Error
relativo
redondeo
exacto − redondeado
1
3
0.333333333
0.333
0.334
3
11
0.27272727
0.272
0.273
1 3
3
− +
3 11 20
0.2106060606
0.211
0.211
0.00266667
3
20
0.15
0.150
0.150
0
0.001
0.002
0.001
0
0.0018705
0.0018705
exacto
4. Utilizando una aritmética de redondeo a tres cifras, calcula el error absoluto y el
error relativo con el valor exacto determinado a por los menos cinco cifras:
3
− 10π + 6e −
62
Solución
3
− 10π + 6e −
62
Valor exacto
-15.15462
Redondeo a tres cifras
-15.155
Error relativo
0.0000248992
exacto − redondeado
Truncado a tres cifras
-15.154
exacto
Error relativo
exacto − truncado
0.0000410873
exacto
NGJ/v06
Unidad II
2
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Aproximaciones y errores de redondeo
1
con un valor de x cercano a cero grados. ¿Cómo se
1 − cos x
puede evitar la resta de dos números casi iguales en el denominador? Al hacer
el cálculo en la calculadora o en la computadora, ¿muestra mensaje de
overflow?
Solución
1
En la calculadora:
marca error. Para evitar el overflow se
1 − cos(10 −10 )
requiere utilizar variables de mayor precisión.
5. Evalúa la expresión
6. El error de propagación ∈ f se calcula ∈ f = f (a * ) − f (a) donde a * es el valor
calculado. Se desea evaluar la función f ( x ) = e 5 x en el punto x = 1.0 , sin
embargo, si el valor de x se calculó en un paso previo con un pequeño error del
10% más ( x * = 1.01 ); determina el error de propagación ∈ f y compara los
resultados de f (1) vs. f (1.01) para después calcular los errores relativo y
absoluto.
Solución
f ( x) = e 5 x
f (1.0) = 148.4131591
f (1.01) = 156.0224645
∈ f = 156.0224645 − 148.4131591
= 7.609305384
148.4131591
= 0.95
Ea =
E a = 148.4131591 − 156.0224645 = −7.61
156.0224645
148.4131591 − 156.0224645
= 0.0513
Er =
148.4131591
E r porcentual = 5.13%
NGJ/v06
Unidad II
3
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Aproximaciones y errores de redondeo
7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando dos cifras decimales para
guardar los resultados intermedios y finales.
21.76 x + 24.34 y = 1.24
14.16 x + 15.84 y = 1.15
y determina el error cometido. La solución exacta (redondeada a cinco cifras) es
x = −347.89167 y y = 311 .0666667
Solución
21.76 x + 24.34 y = 1.24
14.16 x + 15.84 y = 1.15
x = −37.97
y = 34
para x
− 347.89167
Ea =
= 9.162
− 37.97
− 347.8916 − (−37.97)
Er =
= 0.89
− 347.89167
E r porcentual = 89%
NGJ/v06
para y
311.0666667
= 9.149
34
311.0666667 + 34
Er =
= 0.89
311.0666667
E r porcentual = 89%
Unidad II
Ea =
4