Solución Tarea de Aproximaciones y errores de redondeo

Métodos numéricos y álgebra lineal
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Aproximaciones y errores de redondeo
Solución Tarea de Aproximaciones y errores de redondeo
1. Calcula el error absoluto y el error relativo si p = e y p * = 2.718 donde p * es el
valor calculado.
Solución:
valor real = e valor calculado = 2.718
Error absoluto :
valor calculado
E a = valor real − valor calculado
valor real
2.718
Ea =
= 2.718281828
E a = e − 2.718 = 2.81828459 × 10 − 4
e
Error relativo :
Ea =
Er =
error absoluto
valor verdadero
Er =
2.718281828
= 0.3678423998
e
Er =
valor real − valor calculado
Er =
valor real
e − 2.718281828
e
= 1.036 × 10 − 4
2. Determina el mayor intervalo en que debe de estar p * para aproximar p = e
con un error relativo a lo sumo de 10 −3 .
Solución:
Er =
valor real ± valor calculado
valor real
10 −3 =
π × 10
e± p
−3
*
e
= e ± p*
p * = e ± e × 10 −3
= 2.715563547
= 2.71100011
p * = [2.715563547, 2.72100011]
NGJ/v06
Unidad II
1
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Aproximaciones y errores de redondeo
1 3
3
(i) en forma exacata, (ii) mediante una
+ −
3 11 20
aritmética de truncamiento a tres cifras y (iii) con una aritmética de redondeo a
tres cifras. Calcula los errores relativos.
3. Realiza la operación:
1
3
Exacata
0.333333333
truncamiento
0.333
redondeo
0.334
Error
realtivo
0.001
truncamiento
exacto − truncado
3
11
0.27272727
0.273
0.273
0.002
3
20
0
1 3
3
+ −
3 11 20
0.45606061
0.456
0.457
0.0023235588
0
0.0020598
0.15
0.150
0.150
exacto
Error
relativo
redondeo
exacto − redondeado
0.002
0.001
exacto
4. Utilizando una aritmética de redondeo a tres cifras, calcula el error absoluto y el
error relativo con el valor exacto determinado a por los menos cinco cifras:
22
π−
7
1
17
Solución
22
π−
7
1
17
Valor exacto
-0.021496318
Redondeo a tres cifras
-0.022
Error relativo
0.023431104
exacto − redondeado
Truncado a tres cifras
-0.021
exacto
Error relativo
exacto − truncado
0.023088492
exacto
NGJ/v06
Unidad II
2
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1
con un valor de x cercano a noventa grados.
1 − senx
¿Cómo se puede evitar la resta de dos números casi iguales en el denominador?
Al hacer el cálculo en la calculadora o en la computadora, ¿muestra mensaje de
overflow?
Solución
1
En
la
calculadora:
= 9.433665734
porque
1 − sen(89.99999999999)
sen(89.9999999999 99) no es uno.
5. Evalúa la expresión
6. El error de propagación ∈ f se calcula ∈ f = f (a * ) − f (a) donde a * es el valor
calculado. Se desea evaluar la función f ( x) = e −5 x en el punto x = 1.0 , sin
embargo, si el valor de x se calculó en un paso previo con un pequeño error del
10% más ( x * = 1.01 ); determina el error de propagación ∈ f y compara los
resultados de f (1) vs. f (1.01) para después calcular los errores relativo y
absoluto.
Solución
f ( x) = e −5 x
f (1.0) = 6.737946999 × 10 −3
f (1.01) = 6.409333446 × 10 −3
∈ f = 6.409333446 × 10 −3 − 6.737946999 × 10 −3
= −3.286135528 × 10 −3
6.737946999 × 10 −3
= 1.051271096
6.409333446 × 10 −3
E a = 6.737946999 × 10 −3 − 6.409333446 × 10 −3 = 0.3317 × 10 −3
Ea =
Er =
Er
NGJ/v06
6.737946999 × 10 −3 − 6.409333446 × 10 −3
6.737946999 × 10 −3
porcentual = 4.88%
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= 0.0488
3
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7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando dos cifras decimales para
guardar los resultados intermedios y finales.
20.56 x + 21.2 y = 2.24
12.5 x + 14.236 y = 1.25
y determina el error cometido. La solución exacta (redondeada a cinco cifras) es
x = 0.174027559448 y y = −0.0650003466 7
Solución
20.56 x + 21.2 y = 2.24
12.5 x + 14.236 y = 1.25
x = 0.19
y = −0.08
para x
Ea =
Er =
0.174027559448
= 0.91
0.19
0.174027559448 − 0.19
0.174027559448
E r porcentual = 9%
NGJ/v06
= 0.09
para y
− 0.06500034667
Ea =
= 0.81
− 0.08
− 0.06500034667 + 0.08
Er =
= 0.23
− 0.06500034667
E r porcentual = 23%
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Aproximaciones y errores de redondeo
ln(e a ) − a
prob8
e ln a − a
prob9
prob8
doble presición
0.2 0.00025463
0.25 0.00036554
1 -0.00101873
1.25 -0.00098042
1.8 0.00086113
2.5 0.00055846
3.14159 0.00082595
0.008205 0.00129233
0
-3.44719E-07
0
0
0
0
0
-3.08811E-07
doble presición
-0.00049988
0
0
0
0
0
0.0021741
0.00042282
a −a
( a)
−a
prob11
prob10
prob11
doble presición
0.2
0.25
1
1.25
1.8
2.5
3.14159
0.008205
0
0
0
0
0
0
0
0
1.13523E-07
4.80274E-08
0
4.71295E-08
2.05126E-07
1.16643E-07
-2.81357E-07
-4.70779E-08
2
2
prob10
prob9
0
0
0
0
0
0
0
0
doble presición
-0.00095886
0
0
0.00123133
-0.00141668
0.00203405
0.00171817
-0.00020039
-8.88162E-08
0
0
-1.36653E-07
4.71295E-08
3.39434E-07
1.23963E-07
3.94846E-08
12. Lee los capítulos de la parte uno: Modelos, computadoras y análisis del error,
del libro de texto y contesta las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es la diferencia entre solución analítica y solución numérica?
La solución analítica establece un comportamiento, esto es, una función; la solución
numérica determina el valor de una condición.
b. ¿Cómo se emplean las leyes de la conservación para desarrollar modelos
matemáticos de los sistemas físicos?
Cambio = incremento - decremento
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Aproximaciones y errores de redondeo
c. Explica que es un diseño modular y un diseño top-down
Diseño modular: dividir una tarea en partes más accesibles: de particular a general.
Diseño top-dow: algoritmo que desarrolla de lo general a lo particular.
d. Define las reglas para la programación estructurada
La programación estructurada se basa en una metodología de desarrollo de programas
llamada refinamientos sucesivos: Se plantea una operación como un todo y se divide
en segmentos más sencillos o de menor complejidad. Una vez terminado todos los
segmentos del programa, se procede a unificar las aplicaciones realizadas por el pool
de programadores. Si se ha utilizado adecuadamente la programación estructurada,
esta integración debe ser sencilla y no presentar problemas al integrar la misma, y de
presentar algún problema, será rápidamente detectable para su corrección.
La representación grafica de la programación estructurada se realiza a través de
diagramas de flujo o flow chart, el cual representa el programa con sus entradas,
procesos y salidas.
e. Explica: cifra significativa, exactitud, presición.
Exactitud es capacidad para acercarse a la magnitud real y precisión es la capacidad
de realizar medidas similares. Cifra significativa es el valor que marca la precisión o
exactitud de un resultado.
f. ¿Cuál es la diferencia entre error relativo verdadero, error relativo
aceptable y error relativo aproximado?
El error relativo verdadero es la diferencia absoluta entre el valor real y el valor
calculado, el aceptable es el rango de error que se permite en un cálculo y el
aproximado es el error calculado en base a valores supuestos al no tener un valor real.
g. ¿Cómo, la representación de los números en la computadora, induce a
errores de redondeo en los cálculos?
Debido al tamaño de almacenaje de las variables.
h. ¿Cuál es la diferencia entre presición simple y presición extendida?
El doble de posiciones para cifras significativas
i. ¿Cuál es la relación que existe entre diferencias finitas divididas y las
derivadas?
Finitas es un cálculo numérico, derivadas es un modelo matemático.
j. ¿Por qué los errores se propagan al calcular las funciones?
Debido a que se redondea o se trunca la sucesión de cálculos que dependen de un
cálculo anterior.
k. ¿Qué es estabilidad y condición?
Estabilidad es un valor aceptable de una condición. Condición es un rango
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