Las funciones trigonométricas y

INSTIT UTO TECNICO MARIA INMACULADA
AREA: Matemáticas
ASIGNAT URA: Matemática
Midiendo la altura de un edificio
GRADO: 10º
TEMA: Las funciones trigonométricas y sus aplicaciones I
INDICADORES DE LOGRO: * Identifico las aplicaciones de las funciones trigonométricas. * Reconozco y aplico las
funciones trigonométricas. * Analizo los alcances de la trigonometría en la solución de problemas.
INFORMACION
TRIGONOMETRIA
La palabra Trigonometría procede de las voces griegas tri-gonon- metron, que signif ica “medida de tres
ángulos”. El objetivo prioritario de esta rama de las Matemáticas es el estudio de las medidas de los
ángulos y lados de los triángulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los
campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la
distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas
en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos
y como se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una
cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayosx, las ondas sonoras, entre otros.
Astronomía
Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción
de eclipses, confección de calendarios, ...
Artillería
¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una catapulta o con un cañón?
Cartograf ía
Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.
Construcciones
Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se
excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.
Navegación
Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...
Para hallar la altura, H, de un edificio se miden
la distancia desde el punto de observación a la
base del edif icio, D, y el ángulo θ (theta) que se
muestra en el dibujo. El cociente entre la altura
H y la distancia D es igual a la tangente de θ
(H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la
tangente de θ por la distancia D (H = Dtgθ). El
ángulo se puede medir con exactitud utilizando
unteodolito (instrumento destinado a ubicar un
objeto a cierta distancia mediante la medida de
ángulos con respecto al horizonte y con respecto
a los puntos cardinales). Pero también se puede
hacer uno con un transportador de ángulos,
cilindro hueco (podria ser la parte que recubre
un lapicero) y una plomada (hecha con algun
peso que colgaremos de un hilo). Se sujeta la
plomada en el origen del transportador; luego
fijamos el cilindro a lo largo de la base del
transportador y se apunta con la base de éste
hacia el tejado del edif icio. El ángulo buscado es
90º menos el formado por el hilo de la plomada.
Construye un teodolito casero como el que se mencionó anteriormente y prueba a medir ángulos de
diversos objetos que observes.
Las semirrectas r y s son los lados de ambos
ángulos y O el vértice.
Línea de visión
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado.
Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando
éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de
depresión.
Tracemos una
Para entrar de lleno en el mundo de la trigonometría es necesario abordar dos temas fundamentales
para su completo entendimiento como lo son: LOS ÁNGULOS Y LOS TRIÁNGULOS.
ÁNGULOS
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas, r y s, con un origen común O.
circunferencia con centro en O y radio arbitrario.
Se determinan dos puntos, A y B, sobre r y s,
respectivamente.
A partir del punto A se puede llegar al B
siguiendo la circunferencia de dos maneras.
Fijaremos el siguiente convenio: si el recorrido
se hace en forma contraria al seguido por las
agujas de un reloj, diremos que el ángulo está
orientado positivamente. En caso contrario,
diremos que está orientado negativamente.
Existen varias formas de medir ángulos, que dependen del valor que se le asigne a un ángulo completo
o giro. Los más comunes son el sistema sexagesimal y el radián o radianes.
Sistema sexagesimal
Un grado se xagesimal es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia,
mediante sectores circulares iguales. De esta forma, una circunferencia abarca un ángulo de 360º. El
ángulo definido por media circunferencia se llama llano, y medirá 180º. La mitad de un llano se llama
recto y mide 90º.
El número π se define como la relación entre el
perímetro y el diámetro de una circunferencia,
por lo tanto el perímetro dividido por π es igual
al diámetro (es decir a dos veces el radio). El
ángulo de una circunferencia completa tiene
sobre su perímetro 2π arcos de esas
características (de longitud igual al radio).
Entonces, el ángulo de una circunferencia
completa equivale a 2π radianes.
Transformaciones entre gra dos y radianes
y viceversa
Los ángulos menores que un ángulo recto se llaman agudos y los mayores obtusos.
Dos ángulos son complementarios si suman un recto, y suplementarios cuando suman un llano. Por
ejemplo, los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios.
De igual forma, un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (1º = 60’), y
cada minuto, a su vez, se divide en otras 60 partes iguales, que se llaman segundos (1’ = 60’’).
Por último, el tamaño de los ángulos no depende de la longitud de sus lados, sino de su mayor o menor
abertura.
Para convertir de grados a radianes o viceversa,
partimos de que 180o equivalen a π radianes;
luego planteamos una regla de tres y
resolvemos.
Ejemplo A: Convertir 38o a radianes.
Ra dianes
Un radián equivale al ángulo definido por el arco de una circunferencia, siendo la longitud de ese arco
igual al radio.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que
la x va arriba, en la posición de los radianes.
Despejamos x y simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora.
Ejemplo B: Convertir 2.4 radianes a grados.
En un triángulo rectángulo, los ángulos
generalmente se expresan con letras
mayúsculas o letras del alfabeto griego ( alfa,
beta); el ángulo recto se expresa con la letra A
mayúscula o con la intercepción de dos rectas
que unen los lados que forman dicho ángulo, y
los ángulos agudos se expresan con las letras B,
C, alfa, beta.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora.
TRIÁNGULOS
Un triángulo es una figura geométrica que consta de les lados y tres angulos.
En el siguiente cuadro encontraras cómo se clasifican segán lus lados y segán sus ángulos:
El lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa (a) y los restantes lados catetos (b,
c). Al cateto que esté frente al ángulo agudo que
estemos utilizando se llama cateto opuesto y al
que forma uno de sus lados cateto adyacente.
Los lados se representan con las mismas letras
que sus ángulos opuestos, pero en minúsculas.
Es sumamente importante identif icar cada uno
de los elementos del triangulo ya que ello es
imprescindible para poder hacer uso de las
funciones trigonométricas.
En todo triángulo rectángulo existen dos
relaciones fundamentales:
1. Re lación e ntre los lados. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Esta relación se conoce con el nombre de TEOREMA DE PITÁGORAS.
2. Re lación e ntre los ángulos. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º y para
un triangulo rectángulo los dos ángulos agudos suman un recto.
NO HACE FALTA IR A LA LUNA PARA MEDIR
QUE TAN LEJOS ESTA
1) Estimación de la dista ncia Tie rra-Luna
Demustra lo que haz aprendido resolviendo los ejercicios que se plantean a continuación:
- En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 12 cm y uno de sus cateto mide 8. ¿cuánto mide el
otro cateto?
- La suma de dos ángulos internos de un triángulo suman 140º. ¿Cuant o mide el tercer ángulo?
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto sus
ángulos. Existen seis, tres directas y tres inversas:
Es importante destacar que cuando se usan las funciones trigonométricas es estrictamente necesario
identif icar el argumento de dicha función que no es más que el ángulo que se está utilizando, por lo
tanto la función trigonométrica siempre debe ir acompañada del ángulo a utilizar.
Por ejemplo, las razones trigonométricas del ángulo B en el siguiente triángulo son:
TU TAMBIÉN PUEDES MEDIR LA DISTANCIA DE
LA TIERRA AL SOL
2) Estimación de la distancia Tie rra-Sol
Aristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas veces era mayor la
distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos la Luna en cuarto creciente
las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º. Aristarco midió el ángulo que formaba la
tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87º.
Reflexiones
“Me lo contaron y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo
hice y lo aprendí” Confucio
"Los matemáticos no estudian los objetos, sino
las relaciones entre los objetos, por lo tanto les
es indiferente reemplazar estos objetos por
otros con tal de que no cambien las relaciones".
Henri Poincaré.
Medir la altura de un arbol sin subirse a el
De esta forma:
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la
Luna. Si sustituimos el valor (T -L) comentado anteriormente, obtenemos una distancia solar de
7344920 Km.
Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error al medir el ángulo
cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50'. Esta pequeña diferencia en la medida del ángulo se
tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separación Tierra-Sol
Con mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km. Como
recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA).
El radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra,
contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.
Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un
valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km.
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna. Se ha
podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media hasta la superficie lunar es de
384403 km)
¡Pues si! Ya no hace falta subirse al arbol para
medir su altura, porque gracias a la
trigonometría podemos hacerlo con tan sólo
tener la medida de la distancia que nos separa
del arbol (D), la altura desde donde se mide el
ángulo (A) y el ángulo α. Y así al usar la fórmula
de la altura (H). H=(Dxtg α) + A ; y listo, allí lo
tienes
Problemas de cálculo de distancias
desconocidas
La trigonometría se utiliza para calcular
distancias desconocidas, midiendo ángulos
(con un aparato que se llama teodolito) y
distancias conocidas.
Cálculo de alturas
Medir la altura de un edificio desde el suelo
La altura del edificio h es el segmento CD.
Nos situamos en el punto B y medimos el ángulo de elevación
El ángulo de elevación está formado por los lados BC y BD, en nuestro caso vale 45°.
Nos situamos en el punto A alejandonos 30 m del punto B . Medimos su ángulo de elevación formado por
los lados AC y AD, en nuestro caso 30°.
Hacemos un dibujo de las medidas tomadas y calculamos h y x.
Al trazar la altura de la torre se origina dos
triángulos rectángulos.
Si llamamos x a la distancia de uno de los
observadores al pie de la torre, la distancia del
otro debe ser 126 - x.
Utilizamos las tangentes en ambos triángulos
rectángulos, ya que tienen en conún un cateto
que es la altura de la torre.
Planteamos el sistema de ecuaciones y
resolvemos.
Ejemplos
1. Juán y Pedro ven desde las puertas de sus casa una torre, bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia
entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.
Hacemos un dibujo con los datos.
3. Desde dos puntos A y B separados 800 m ,
observamos un globo con ángulos de
elevación de 30° y 75° respectivamente. Hallar
la altura a la que se encuentra el globo.
Solución:
h = 399,9 m
4. Desde la torre de control de un aeropuerto
se establece comunicación con un avión que
va a aterrizar. En ese momento el avión se
encuentra a una altura de 1200 m y el ángulo
de observación desde la torre es de 30º. A que
distancia está el avión del pie de la torre si esta
mide 40 m de altura.
Solución:
2340,3 m
5. Para calcular la altura de la torre Eiffel, nos
situamos a 74 m de la base de la torre. Si
observamos la torre con un ángulo de
elevación de 75º. ¿Cuánto mide la torre?
Problemas con soluciones
Solución:
1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
6. Desde lo alto de una torre de 40 m de
altura, se ven las almenas de otra torre
separada 20 m bajo un ángulo de 70º. ¿Cuál
es la altura de la torre vecina?
a) Datos: Â = 90°
a=5
b) Datos: Â = 90°
c = 15
Solución:
b=3
b = 8 B = 28°
a) B = 53,13° C = 36,87° c = 4
b) C = 62°
a = 17
2. Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm .
Solución:
h = 276 m
radio =13,1 m apotema = 12,1 m
Solución:
h = 90,95 m