muestras de aceptación contenido del tutorial planes de muestreo

TUTORIAL 2
MUESTRAS DE ACEPTACIÓN
CONTENIDO DEL TUTORIAL
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PLANES DE MUESTREO
Ø Muestreo simple
Ø Muestreo doble
Ø Muestreo secuencial
CURVAS DE CARACTERÍSTICA OPERATIVA
RIESGO DEL CONSUMIDOR Y DEL PRODUCTOR
CALIDAD MEDIA DE SALIDA
RESUMEN
TÉRMINOS CLAVE
PROBLEMA RESUELTO
CUESTIONES PARA DESARROLLAR
PROBLEMAS
En el suplemento del Capítulo 6, Control estadístico de procesos, se hizo una introducción
breve al tema de las muestras de aceptación. El muestreo de aceptación es un tipo de test
que implica tomar muestras aleatorias de “lotes” de productos acabados, medirlos y
compararlos con estándares predeterminados. En este tutorial, ampliamos nuestra introducción
al muestreo de aceptación con una explicación de los planes de muestreo, la elaboración de
una curva de característica operativa (OC) y una calidad media de salida.
PLANES DE MUESTREO
Un “lote” de artículos puede ser inspeccionado de diversas maneras, a saber, muestreo simple,
doble o secuencial.
MUESTREO SIMPLE
Dos valores especifican el plan de muestreo simple: el número de elementos que compondrá la
muestra (n) y el número de defectos aceptado que se ha especificado previamente (c). Si en la
muestra no existen más defectos que el número aceptado, c, entonces se acepta todo el lote.
Si existen más de c defectos, se rechaza todo el lote o se somete a una inspección del 100%.
MUESTREO DOBLE
A menudo un lote de productos es tan bueno o tan malo que se puede determinar una
conclusión sobre su calidad tomando una muestra más pequeña que la que habríamos
utilizado en un plan de muestreo simple. Si el número de defectos en esta pequeña muestra
(de tamaño n1) es inferior o igual a un determinado límite inferior (c 1), el lote puede ser
aceptado. Si el número de defectos excede un determinado límite superior (c 2), el lote puede
ser rechazado. Pero si el número de defectos en la muestra n1 se sitúa entre c 1 y c 2, se toma
una segunda muestra (de tamaño n2 ). Los resultados acumulados determinan cuándo aceptar
o rechazar el lote. Este concepto se llama muestreo dobles.
MUESTREO SECUENCIAL
El muestreo múltiple es una extensión del muestreo doble, con pequeñas muestras tomadas
secuencialmente hasta que se tenga clara la decisión a tomar. Cuando las unidades son
seleccionadas aleatoriamente de un lote y comprobadas una a una, registrando el número
acumulado de piezas inspeccionadas y de defectos encontrados, este proceso se denomina
muestreo secuencial.
Si el número acumulado de defectos excede de un límite superior especificado para
esta muestra, todo el lote será rechazado. O, si el número acumulado de defectos es inferior o
igual a un límite inferior, el lote será aceptado. Pero si el número de defectos se encuentra
entre los dos límites, se continúan tomando muestras del lote. Es posible que en algunos
planes de muestreo secuenciales se lleguen a inspeccionar todas y cada una de las piezas del
lote antes de tomar una decisión.
La selección del mejor plan de muestreo (simple, doble, o secuencial) depende del tipo
de productos que vayan a ser inspeccionados y del nivel de calidad esperado. Por ejemplo, un
lote de productos de baja calidad puede ser identificado más deprisa y de forma más barata
con un muestreo secuenciale. Esto significa que la inspección, que puede ser costosa e incluso
destructiva, puede acabar antes. Por otro lado, hay muchos casos donde el muestreo simple es
más fácil y menos complejo de llevar a cabo por los trabajadores, aunque el tamaño de las
muestras pueda ser superior al utilizado en otros planes de muestreo.
CURVAS DE CARACTERÍSTICA OPERATIVA (OC)
La curva de característica operativa (OC) describe la capacidad de un plan de aceptación
para discriminar entre lotes buenos y malos. Una curva pertenece a un plan específico, esto es,
a la combinación de n (tamaño de la muestra) y c (nivel de aceptación). Esta curva muestra la
probabilidad de que el plan acepte lotes de diferentes niveles de calidad.
Figura T2.1 (a) Plan de inspección con discriminación perfecta. (b) Curvas OC para dos niveles
diferentes de aceptación de defectos (c = 1, c = 4) y con el mismo tamaño de la muestra (n =
100). (c) Curvas OC para dos tamaños de muestra diferentes (n = 25, n = 100), pero con el
mismo porcentaje de aceptación (4%). Tamaños de muestra mayores implican mejor
discriminación.
Naturalmente, se preferirá un plan de muestreo y una curva OC altamente
discriminantes. Si todo el pedido de piezas tiene un inaceptable alto nivel de defectos, se
espera que la muestra refleje este hecho con una probabilidad muy alta (preferiblemente de
100 por cien) de que el pedido sea rechazado.
La Figura T2.1(a) muestra un plan de discriminación perfecta para una empresa que
quiere rechazar todos los lotes con más de un 2,5% defectuosos. Desafortunadamente, la
única manera de asegurar el 100% de aceptación de los buenos lotes y el 0% de aceptación de
lotes malos es llevar a cabo una inspección total, lo que a menudo resulta muy costoso.
La Figura T2.1(b) muestra que ninguna curva OC será en realidad como la de la Figura
T2.1(a); y, por tanto, no será lo suficientemente discriminante como para asegurar una
inspección 100% libre de error. La Figura T2.1(b) indica que para el mismo tamaño de la
muestra (n =100 en este caso), un valor más pequeño de c (defectos aceptables) provoca una
curva con mayor pendiente que otra con un valor de c más elevado. Por lo tanto, una manera
de incrementar la probabilidad de aceptar sólo buenos lotes y rechazar sólo malos lotes con un
muestreo aleatorio es la de fijar niveles de aceptación muy ajustados.
Una segunda vía de desarrollar una curva OC con mayor pendiente, y por tanto mejor,
es incrementar el tamaño de la muestra. La Figura T2.1(c) muestra que incluso cuando el nivel
de aceptación es el mismo, en proporción al tamaño de la muestra, un valor de n incrementará
la verosimilitud de la precisión de la medida de calidad de los lotes. En esta figura ambas
curvas utilizan un mismo ratio de defectos del 4% (igual a 4/100 = 1/25). Sin embargo, si coge
una regla y examina detalladamente la Figura T2.1(c), podrá ver que la curva OC para n =25, c
=1 rechaza más lotes buenos y acepta más lotes malos que el segundo plan. He aquí algunos
valores para ilustrar este punto.
En otras palabras, la probabilidad de aceptar un lote más que satisfactorio (uno con el
1% de defectos) es del 99% para n =100, pero sólo del 97% para n =25. De la misma manera,
la posibilidad de aceptar un lote “malo” (uno con el 5% de defectos) es sólo del 44 % para n
1
=100, mientras que utlizando la muestra de tamaño menor pasa a ser del 64% .
Evidentemente, si no fuese por el coste de inspección, todas las empresas optarían por
tamaños muestrales elevados.
RIESGO DEL CONSUMIDOR Y DEL PRODUCTOR
En el muestreo de aceptación están involucradas dos partes: el productor del producto y el
consumidor del producto. En la especificación de un plan de muestreo, cada parte quiere evitar
los costosos errores en la aceptación o rechazo de los lotes. El productor quiere evitar el error
de tener un buen lote rechazado (riesgo del productor) porque generalmente tendrá que acabar
reemplazando el lote. Recíprocamente, el cliente o consumidor quiere evitar el error de aceptar
un lote malo porque los defectos de un lote aceptado son generalmente responsabilidad del
consumidor (riesgo del consumidor). La curva OC muestra las características de un plan de
muestreo determinado, incluyendo los riesgos de tomar decisiones erróneas.
Para ayudarle a entender la teoría que sustenta el uso de los planes de muestreo,
vamos a ayudarle a ver como se construye estadísticamente una curva OC.
1
Aún a riesgo de ser repetitivos, el muestreo siempre comporta el peligro de llevarnos a conclusiones
erróneas. Supongamos que en este ejemplo la población total es de 1.000 chips de los que en realidad sólo
30 (o 3%) son defectuosos. Esto significa que deberíamos aceptar el pedido, dado que el porcentaje es del
4%. Pero ante una muestra aleatoria de n =50 chips, podemos concluir y aceptar el lote (que estaría bien)
o también puede pasar que encontremos 30 defectuosos en la muestra. Si ocurriera esto último, nos
llevaría a pensar de manera errónea que el 60% del lote es defectuoso, y, por tanto, el lote sería
rechazado.
En una muestra de atributos, donde se determina si los productos son buenos o malos,
se emplea normalmente una distribución binomial para construir la curva OC. La ecuación
binomial es:
donde n= número de artículos de una muestra (denominados pruebas).
p=probabilidad de que un x (defecto) ocurra en una prueba cualquiera.
P(x)=probabilidad de exactamente x resultados en n pruebas.
Cuando el tamaño de la muestra (n) es grande y el porcentaje de defectos (p ) es bajo, la
distribución de Poisson puede utilizarse como aproximación a la fórmula de la binomial. Este
hecho es bastante útil, pues los cálculos con la binomial pueden resultar ciertamente
complejos, y porque las tablas con valores de probabilidad acumulados de la ley de Poisson
son fácilmente disponibles. Nuestra tabla de Poisson aparece en el Apéndice II.
En la aproximación de Poisson de la distribución binomial, la media de la binomial que
es np, se utiliza como media de Poisson, que es λ, esto es:
λ = np
(T2.2)
EJEMPLO T1
Un pedido de 2.000 baterías portátiles para computadores personales va a ser inspeccionado
por un importador de Malasia. El productor coreano y el importador han establecido un plan de
muestreo donde el riesgo de α está limitado al 5%, con un nivel de calidad aceptable (AQL) del
2% de defectos, y el riesgo de β fijado al 10%, con un LTPD de 7% de defectos. Queremos
construir la curva OC para el plan de tamaño de la muestra n = 120 y un nivel de aceptación de
c menor o igual a 3 defectuosos. Ambas empresas desean saber si este plan satisfará sus
requisitos de calidad y riesgo.
Para resolver el problema, utilizaremos la tabla de acumulados de Poisson del Apéndice II del
libro, cuyas columnas están dispuestas en términos del nivel de aceptación, c =3. Las filas de la
tabla son λ (=np), que representa el número de defectuosos que esperaríamos encontrar en
cada muestra.
Variando el porcentaje de defectos (p) desde 0,01 (1%) hasta 0,08 (8%) y manteniendo el
tamaño de muestra (n) en 120, podemos calcular la probabilidad de aceptación del lote para
cada porcentaje escogido. Los valores de P (aceptación) calculados en la tabla siguiente se
representan después gráficamente, dando la curva OC de la Figura T2.2.
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FIGURA T2.2 CURVA OC DEL EJEMPLO T1
Volvamos al tema de si esta curva OC satisface los requisitos de calidad y riesgo del
consumidor y del productor de baterías. Para un AQL del 2% (p= 0,02) de defectos, la P
(aceptación) del lote es del 0,779, esto conlleva a un riesgo α= 1 – 0,779 = 0,221, es decir, del
22,1% que excede considerablemente el nivel del 5% deseado por el productor. El riesgo β de
0,032, esto es, del 3,2%, está bien por debajo del 10% perseguido por el consumidor. Parece
ser que son necesarios nuevos cálculos con una muestra más grande si el valor deber ser
reducido.
En el ejemplo T1, hemos fijado los valores de n y c para un plan de muestreo, y después
hemos calculado los riesgos de α y β para ver si coincidían con los niveles deseados. A
menudo, las empresas, en lugar de esto, desarrollan una curva OC con los valores fijados y el
AQL deseado y luego van sustituyendo los valores de c y n hasta que la curva cumple LTPD y
β.
CALIDAD MEDIA DE SALIDA
En la mayoría de planes de muestreo, cuando se rechaza un lote, el lote entero se inspecciona
y todos los artículos defectuosos son reemplazados. El uso de esta técnica de reemplazo
mejora la calidad media de salida expresada en términos de porcentaje de defectuosos. De
hecho, dado (1) un plan cualquiera de muestreo que reemplaza todos los defectuosos
encontrados y (2) el porcentaje real de defectuosos del lote, es posible determinar la calidad
media de salida (AOQ) expresada en porcentaje de defectuosos. La ecuación de AOQ es:
donde Pd = porcentaje real de defectuosos del lote
Pa= probabilidad de aceptar el lote
N = número de artículos del lote
n = número de artículos de la muestra
EJEMPLO T2
El porcentaje de defectos del lote que llega del Ejemplo T1 es del 3%. La curva OC muestra
que la probabilidad de aceptación es 0, 515. Dado un lote de 2.000 y una muestra de 120,
¿cuál es la calidad media de salida expresada en porcentaje de defectuosos?
De esta manera, un plan de muestreo de aceptación cambia la calidad de los lotes en
porcentaje de defectuosos del 3% al 1,5% en promedio. El muestreo de aceptación incrementa
de forma significativa la calidad de los lotes inspeccionados.
En muchos casos no conocemos el valor de Pa; debemos determinarlo a partir de un
plan de muestreo determinado. El hecho de que raramente conozcamos el porcentaje de
defectos real presenta un problema adicional. En la mayoría de los casos se suponen
diferentes porcentajes de defectos, y después se calcula la calidad media de salida para cada
valor.
EJEMPLO T3
Para ilustrar las relaciones de AOQ utilizaremos los datos obtenidos de la curva OC del
Ejemplo T1. El tamaño del lote en aquel caso era de N= 2.000 y el tamaño de la muestra n=
120. Asumimos que cada batería defectuosa detectada durante la inspección es reemplazada
por una sin defectos. Una vez hecho esto, tomamos la fórmula AOQ anterior y las
probabilidades de aceptación del Ejemplo T1, y desarrollamos los siguientes datos:
Estos valores los dibujamos en la gráfica de la Figura T2.3, en la que aparece la calidad media
de salida en función de la calidad media de los lotes de entrada.
¿Se ha percatado cómo cambia el AOQ para diferentes porcentajes de defectuosos?
Cuando el porcentaje de defectuosos de los lotes de entrantes es muy alto o muy bajo, el
porcentaje de defectuosos del lote saliente es bajo. Para un porcentaje de entrada del 1% el
AOQ es del 0,009, y para un 8% de entrada el AOQ es del 0,001. Para niveles moderados del
porcentaje de defectusos en los lotes recibidos, el AOQ es mayor: el AOQ para un 2-3% es del
0,015. Es decir, el AOQ es bajo para valores pequeños del porcentaje de defectuosos
entrantes. Cuando el porcentaje de defectuosos de los lotes recibidos aumenta, el AOQ
aumenta hasta un valor. A partir de ahí, para mayores porcentajes de defectuosos de entrada,
el AOQ disminuye.
El valor máximo en la curva AOQ corresponde al porcentaje medio de defectuosos de
salida más elevado o a la calidad media más baja del plan de muestreo. Se le llama el límite de
la calidad media de salida (AOQL). En la Figura T2.3, el AOQL está justamente por encima del
1,5%, lo que significa que el 94,8% de las baterías son buenas, cuando la calidad de entrada
está entre el dos y el 3%.
El muestreo de aceptación es útil para tener una percepción inmediata de los lotes que se
reciben. Cuando las partes defectuosas se reemplazan con partes buenas, el muestreo de
aceptación ayuda a incrementar la calidad de los lotes, reduciendo el porcentaje de defectos de
salida.
RESUMEN
El muestreo de aceptación es la herramienta estadística más importante del control de calidad.
Los planes de muestreo y las curvas de característica operativa (OC) posibilitan el muestreo de
aceptación y proporcionan a los directivos herramientas para evaluar la calidad de una tanda
de producción o de un pedido.
TÉRMINOS CLAVE
Muestreo de aceptación (p.T2-2)
Muestreo simple (p.T2-2)
Muestreo doble (p. T2-.2)
Muestreo secuencial (p.T2-2)
Curva de característica operativa (OC) (p.T2-2)
Calidad media de salida (AOQ) (p.T2-6)
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema resuelto T2.1
En un plan de muestreo de aceptación desarrollado para lotes que contienen 1.000 unidades,
el tamaño de la muestra, n, es de 85 y c es 3. El porcentaje de defectos de los lotes de entrada
es del 2% y la probabilidad de aceptación, obtenida de una curva OC, es 0,64.
¿Cuál es la calidad media de salida?
Solución
CUESTIONES PARA DESARROLLAR
1.
2.
3.
4.
Explique la diferencia entre muestreo simple, doble y secuencial.
Defina AQL y LTPD.
¿Qué es la “calidad media de salida”?
¿Qué es AOQL?
PROBLEMAS∗
T2.1 De un lote de 6.000 peluches que hablan se escogen aleatoriamente 80, siendo
aceptado todo el lote si hay c = 2 defectos. Construya una curva OC para este
plan de muestreo.
T2.2 Un lote de 200 lámparas de mesa acaba de llegar al almacén de Lighting,Inc. Se
inspeccionan muestras aleatorias de n = 5 lámparas. Si más de una lámpara es
∗
Nota:
significa que el problema se puede resolver con el programa POM para Windows;
que el problema se puede resolver con el programa Excel OM; y
resolver con el programa POM para Windows y/o con Excel OM.
significa
significa que el problema se puede
defectuosa, se rechaza todo el lote. Haga una curva OC para este plan de
muestreo.
T2.3 Construya una curva AOQ para el problema T2.2.
T2.4 Cada semana, Melissa Bryant Ltd. recibe un lote de 1.000 relojes Swiss para su
cadena de tiendas de la Costa Este. Bryant y el fabricante Swiss han acordado el
siguiente plan de muestreo: α= 5%, β= 10%, AQL= 1%, LTPD= 5%. Construya
una curva OC para el plan de muestreo con n= 100 y c = 2. ¿Satisface este plan
los requisitos del fabricante y del consumidor?
T2.5 La empresa de Kristi Conlin en Waco (Texas) ha diseñado una curva OC que
muestra una probabilidad de 2/3 de aceptar lotes con un porcentaje real de
defectos del 2%. Se producen lotes de 1.000 unidades cada vez y se extraen al
azar 100 unidades como muestra. ¿Cuál es el nivel medio de calidad de salida?