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Historia de la trigonometría
Breve revisión histórica de la trigonometría.
Algunas aplicaciones de la trigonometría en la antigüedad
Cuatro artículos interesantes que muestran distintas utilidades de la trigonometría.
• El tiro con catapulta.
• Cómo Eratóstenes midió el radio de la tierra.
• Midiendo distancias.
• El túnel de Samos.
Claudio Tolomeo
Breve historia de este matemático y astrónomo griego del siglo II d. de C.
Los cuerpos regulares y la astronomía
Se puede oír la forma de un tambor
La forma de un tambor le confiere un sonido especial. Y los sonidos se pueden
describir mediante funciones con muchos senos y cosenos.
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HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
Origen de la trigonometría
La astronomía de los matemáticos griegos antiguos (Pitágoras y sus primeros
seguidores), en los siglos VI , V y IV a. de C., consistió fundamentalmente en
descripciones y especulaciones aventuradas sobre los astros.
Más adelante, sin embargo, se fue poniendo de manifiesto que era necesario hacer
de la astronomía una ciencia más exacta, fundada en mediciones y en una
matemática apropiada, que permitiera predecir con precisión los eclipses y los
movimientos de los astros, para hacer los calendarios más exactos y la navegación más
segura. Así nació la trigonometría con Hiparco, un griego del siglo II a. de C.
Los tres matemáticos griegos a quienes más debe la astronomía antigua fueron
Hiparco, del siglo II a. de C., Menelao, del siglo I d. de C. y, sobre todo, Tolomeo
del siglo II d. de C., con quien la astronomía alcanza una de sus cumbres.
Tolomeo escribió un tratado que llamó Syntaxis Mathematica, es decir Colección
Matemática, que los matemáticos árabes apreciaron tanto que se referían a él como
La Gran Colección (Al Magesto), en griego, Megale Syntaxis.
Una gran parte de los teoremas de nuestra actual trigonometría eran perfectamente
conocidos y utilizados con destreza por Tolomeo.
Desarrollo
La trigonometría se ocupa, principalmente, de estudiar la relación entre lados y
ángulos de un triángulo, y surgió por razón de las necesidades de la astronomía, la
cartografía (construcción de mapas), la artillería, ...
La trigonometría, que necesitó para su desarrollo de elementos de aritmética (para
la configuración de tablas), álgebra (para establecer fórmulas que relacionan ángulos
y lados en un triángulo) y geometría, tuvo un florecimiento mucho más tardío que
la geometría.
Es curioso que la trigonometría esférica, es decir, la que estudia los triángulos de
lados curvilíneos que, similares a los de la ilustración, se forman sobre la superficie
de la esfera, se desarrollara antes que la trigonometría plana que hoy nos parece
mucho más elemental.
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Esto se debió al interés práctico más cercano de la esfera para cálculos astronómicos y
de navegación. Indios y árabes se dedicaron de forma primordial al estudio de este
aspecto y lo llevaron a cabo con notable éxito, de forma sistemática, hacia mediados del
siglo XIII.
Los protagonistas en Europa
La obra de los árabes llego a la Europa Occidental a través de España y, entre los
personajes importantes de este proceso, se encuentra Jabir de Sevilla, quien en el siglo
XI obtuvo importantes resultados sobre triángulos esféricos.
El astrónomo prusiano Johann Müller (Regiomontano) en el siglo XV, fue el primer
europeo en sistematizar los conocimientos trigonométricos. Más adelante, con el
desarrollo de la aritmética y el álgebra, su obra fue notablemente simplificada.
El teorema del coseno para la resolución de triángulos planos fue introducido por
Vieta en el siglo XVI.
Los logaritmos de Napier (o Neper) empezaron a hacer más fáciles los cálculos de la
trigonometría a comienzos del siglo XVII.
Se puede considerar que la trigonometría alcanza su punto culminante con la
aparición de las series de Fourier, a principios del siglo XIX , con las que la
trigonometría se une estrechamente al análisis, proporcionando un instrumento sin
precedentes para la exploración de las vibraciones y movimientos periódicos que por
todas partes aparecen en la naturaleza.
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ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA ANTIGÜEDAD
El tiro con catapulta
Tales de Mileto aprendió de los egipcios a medir la altura de un árbol de forma
similar a como tú lo has aprendido en este tema. No te hace falta subir a su copa y
echar una cinta métrica desde arriba; basta medir la longitud de su sombra en el
momento en que la altura de una estaca vertical clavada en el suelo es igual a la
longitud de su sombra. O de otra forma: basta medir la longitud s de la sombra del
árbol cuando la longitud de una estaca vertical es, por ejemplo, 4 veces la longitud
de su sombra. La altura del árbol es, entonces, 4s.
Un problema interesante con que Tales se encontró al volver a su ciudad de Mileto,
en la costa griega, consistía en averiguar la distancia a que está un barco enemigo
anclado frente a su costa. Si sabía la distancia, podría adivinar mejor con qué
catapulta (la de largo, mediano o corto alcance), podría darle una buena pedrada.
Tales debió acordarse de los egipcios y pensó que el problema era muy parecido al
de calcular la distancia desde la copa de un árbol al suelo (para el que poseía una
receta); era una distancia inaccesible lo que había que medir, pero ahora desde un
punto del mar a la costa.
— Si hubiera un sol debajo del agua que ofreciera una sombra... ¡Fantasías! Pero, ¿qué
falta me hace el Sol?—pensó—. La línea de luz desde el barco a mi ojo también es una
línea recta. Y puedo valerme del acantilado, que sé que mide 100 codos de altura sobre
el mar.
Tales se situó en la cornisa del acantilado y miró al barco. Sacó una vara por la cornisa
hasta que su punta coincidió, en la visual, con el barco. Midió la vara (10 codos),
midió la altura de sus ojos sobre la vara (5 codos) y se dijo: — ¡Eureka! La distancia
es de 200 codos. Con mi catapulta de alcance medio... ¡Diana!
5
10
100
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Cómo Eratóstenes midió el radio de la Tierra
Eratóstenes de Cirene, un griego del siglo III a. de C., calculó por vez primera el radio
de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía.
La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre un
mismo meridiano y se puede medir el ángulo a y la distancia l medida sobre el
arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, por una sencilla regla de tres:
A
l
α
S
l
longitud total merididano
=
= 2πR
o
a
360
360 o
De este modo: R =
l 360o
a 2π
Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo a y la distancia l.
Eratóstenes eligió como punto S una ciudad del sur de Egipto llamada antiguamente Siena (la moderna Aswan, donde se ha construido recientemente, un embalse del Nilo). Allí, había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano
que Siena, el Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que va1
lía
de la circunferencia.
50
Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidores
expresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría y
Siena era de 5 000 estadios, es decir, 926 km. Por tanto el radio de la Tierra debía ser:
R=
926 360o
= 7 372 km
360/50 2π
bastante aproximado a los 6 378 km que revelan las mediciones más modernas.
RAYO
DE SOL
α
ALEJANDRÍA
SIENA
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Midiendo distancias
A fin de realizar con precisión mapas topográficos para la construcción de carreteras,
túneles, etc... se utiliza, con preferencia, el método de las triangulaciones.
Se basa en el hecho de que si en un triángulo se conocen un lado y dos de sus angúlos,
o bien dos lados y uno de los ángulos, entonces, se pueden calcular fácilmente los
restantes elementos del triángulo.
Así, si se quiere calcular la distancia entre dos puntos A y B (por ejemplo los picos
inaccesibles de dos montañas), se puede proceder como sigue:
A
x
C
B
b
D
En el valle se señalan dos puntos C y D cuya distancia se pueda medir fácilmente
con cinta métrica u otro método cómodo. Desde C se miden los ángulos ACD y
ACB. Desde D se miden, también, los ángulos ADC y BDC. Ahora como en el
triángulo ADC se conocen b, ACD y ADC, se calcula la distancia AC. También,
como en el triángulo BCD se conocen b, BCD y BDC, se calcula la distancia BC.
Finalmente como en el triángulo ABC tenemos calculados BC y AC y hemos
medido el ángulo ACB, se puede calcular x.
El método de triangulación fue utilizado por los egipcios, griegos y otros pueblos de
la antigüedad, pero midiendo los ángulos de forma muy rudimentaria.
El túnel de Samos
Una de las construcciones más notables de los griegos antiguos fue el túnel de Samos,
en el que, indudablemente, emplearon la triangulación. Samos es la isla más oriental
del Mediterráneo.
El túnel fue realizado en el siglo VI a. de C. para llevar agua desde las fuentes del
monte Castro a la ciudad, situada a la otra ladera del monte; tenía unos dos metros
de diámetro, casi un kilómetro de longitud y se excavó partiendo simultáneamente
de los dos extremos, lo que suponía una planificación tecnológica sorprendente.
Aunque hubo un pequeño fallo de precisión y tuvieron que lograr la unión de los
dos túneles con una pequeña curva, la construcción del túnel supuso una verdadera
hazaña.
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CLAUDIO TOLOMEO
De la vida de unos cuantos de los hombres más famosos de la antigüedad no
conocemos casi nada. Uno de ellos es Claudio Tolomeo, el más grande de los
astrónomos griegos y que, al mismo tiempo, fue un importante matemático y
geógrafo. Todo lo que se sabe con certeza de él, es que realizó su obra más importante
en Alejandría, en la desembocadura del Nilo, centro cultural de la civilización
helenística en el siglo II d. de C.
Sin embargo, su obra más importante, Al Magesto, ejerció una influencia
preponderante en la astronomía por más de 15 siglos.
La astronomía de Tolomeo está fuertemente influida (como la de Apolonio y los
griegos más antiguos), por la suma veneración hacia la circunferencia y la esfera,
herencia de los pitagóricos. Los movimientos de los astros se explicaban mediante
combinaciones de movimientos circulares uniformes y, cuanto mayor era la exactitud
de las observaciones, más complicadas se hacían tales combinaciones de movimientos
circulares para poder encajar, en ellos, los movimientos reales observados. La
habilidad matemática de Tolomeo para lograrlo fue realmente impresionante.
Sólo a comienzos del siglo XVII, cuando las observaciones más exactas de Tycho Brahe
comenzaron a sugerir a Kepler la conveniencia de buscar otra explicación,
introduciendo órbitas elípticas, la cultura occidental comenzó a abandonar, con gran
pesar, la explicación a través de movimientos cirlulares de los antiguos.
La influencia de la obra geográfica de Tolomeo, Guía de Geografía, también fue muy
importante, aunque no tan acertada como la de su astronomía. La confianza de
Cristóbal Colón en poder encontrar un nuevo camino hacia las Indias (Asia
Oriental), estuvo basada en los cálculos falsos de Tolomeo, según los cuales Asia se
prolongaba hacia el este mucho más de lo que en realidad lo hace, con lo que
quedaría, según Tolomeo, mucho más cerca saliendo por el oeste.
Si Colón hubiera sabido lo lejos que estaba Asia por esta ruta, no se hubiera atrevido
nunca a salir allá. Es más, cuando se topó con el continente americano, y por mucho
tiempo, nadie pudo persuadirle de que aquello no era Asia.
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LOS CUERPOS REGULARES Y LA ASTRONOMÍA
La fe de Johannes Kepler
Johannes Kepler, nacido en Alemania en 1571 es el descubridor, por caminos
extraños, de las tres leyes fundamentales del movimiento de los planetas alrededor
del Sol.
Un día, en 1594, cuando se disponía a dar una clase en la ciudad austriaca de Graz,
se le ocurrió una extraña idea sobre el sistema planetario que se apoderó de él por
mucho tiempo. Los planetas conocidos en su tiempo eran 6. Los sólidos regulares
posibles, según sabían ya los griegos, eran 5. Kepler estaba fuertemente imbuido de
las ideas de Pitágoras. Aquello no podía ser casualidad. Tenía que haber alguna
conexión. Construyendo los sólidos regulares del tamaño adecuado se pueden
colocar todos concéntricos de tal forma que permitan introducir seis esferas
alternativamente inscritas y circunscritas a los sólidos regulares. ¡Aquí estaba la razón
profunda de que los planetas fueran 6 y no 15 ó 25! ¡En estas 6 esferas se movían los
planetas existentes alrededor del Sol! Además esto permitía estimar las distancias de
los planetas al Sol. Es curioso que, a pesar de la falsedad de la hipótesis de principio
(hay unos cuantos planetas más de los que Kepler conoció), las distancias calculadas
no le resultaron tan disparatadas como uno podría suponer.
Más adelante Kepler abandonaría su hipótesis ante la imposibilidad de ajustar
mediante círculos la órbita de Marte. Pero lo que no abandonó fue la convicción de
que las matemáticas andaban por medio de todo aquello. Esto le llevó a formular sus
tres leyes:
a) Los planetas recorren elipses, uno de cuyos focos es el Sol.
b) Las áreas barridas por el segmento que va del Sol a un mismo planeta en tiempos
iguales son iguales.
c) El cubo del semieje mayor de la elipse que un planeta cualquiera recorre dividido
por el cuadrado del tiempo que este planeta invierte en recorrerla resulta ser un
número independiente del planeta que se elija.
La fe profunda de Kepler en la inteligibilidad matemática del Universo produjo el
milagro del hallazgo de estas tres leyes. Ellas sirvieron a Newton más tarde para
convencer al mundo de la validez de su ley de gravitación universal, al deducir
matemáticamente las tres leyes de Kepler a partir de su ley sobre la gravedad.
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¿SE PUEDE OÍR LA FORMA DE UN TAMBOR?
Éste es el provocativo título de un famoso artículo escrito por un matemático polaco afincado en Estados Unidos, Mark Kac.
Los tambores, en general, se hacen con una membrana circular, pero supongamos
que, por un capricho, hemos construido uno cuya membrana tiene forma triangular, pentagonal u otra figura más extraña aún. Con sólo oír cómo suena ese tambor,
diseñado tan caprichosamente, ¿serémos capaces de decir qué forma tiene exactamente?
Sí, y el instrumento matemático adecuado para ello es el análisis armónico.
El sonido lleva consigo una cantidad
de información verdaderamente asombrosa, que se puede expresar mediante
una suma de senos y cosenos. A través
de ella la forma del tambor es calculable.
Si pensamos un poco en nuestro propio oído, tal vez esto no nos resulte
tan asombroso. Nuestro oído es un excelente analizador armónico, aunque no nos
proporcione un resultado en forma matemática. Con él, somos capaces de distinguir, en pocos segundos y a pesar de la contaminación y el ruido de nuestro teléfono, una voz conocida, entre miles.
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