simulaciónTema5

SIMULACION DE SISTEMAS
Tema 5
Indice
z Concepto
de Simulacion
z Ecuaciones ODE y DAE
z Métodos Numéricos de Resolución
z Métodos Numéricos en MATLABSIMULINK
z Métodos Numéricos en MODELICA
z El entorno de simulación SIMULINK
z EL entorno de simulación MODELICA
Concepto de Simulación
z
La técnica de simulación comprende una extensa
colección de métodos y aplicaciones cuyo objetivo es
la reproducción del comportamiento real de un
sistema, usualmente sobre un computador digital
con software apropiado.
z
La simulación por computador estudia una amplia
variedad de modelos de sistemas reales aplicando
técnicas numéricas, creando un modelo
computerizado del sistema bajo estudio, con el fin de
ejecutar experimentos que permitan mejorar el
conocimiento del comportamiento del sistema bajo un
conjunto de condiciones de trabajo.
Concepto de Simulación
Concepto de Simulación
Pasos en estudio de simulación
Concepto de Simulación
z
Los sistemas en tiempo continuo habrán de ser
sometidos a un proceso de discretización que
transforme las ecuaciones diferenciales que los
gobiernan en ecuaciones discretas,
z
Para ello utilizan los métodos numéricos de
integración, cuyo objeto es la sustitución de las
derivadas de las variables del sistema por
expresiones aproximadas.
Ecuaciones ODE y DAE
z
Modelado de Sistemas
dinámicos conduce a
ecuaciones dinámicas de dos
tipos:
z
1. Ecuaciones ODE
dx
= f (x, t)
dt
x (0) = x0
en forma explicita, f no lineal en
general.
Motor de CC
Ecuaciones ODE y DAE
z
2. Ecuaciones DAE
Ground1
Circuito Eléctrico
dx
∂F
, entonces
= g (x, t)
dt
∂x
Capacitor1
En general si existe
C=C1
z
Ecuaciones ODE caso
particular de ecuaciones
DAE,
R=R2
Capacitor2
z
Resistor2
C=C2
en forma implicita, F no lineal
en general.
R=R1
x (0) = x0
SignalVoltag...
dx
, t) = 0
dt
Resistor1
F (x,
Ecuaciones ODE y DAE
z
Es habitual encontrar sistemas físicos definidos por
DAE’s.
Diferentes tipos de ecuaciones DAE:
I. DAE Implicita Lineal (Cuasi-Lineal)
z
II. DAE en forma de Perturbación Singular
z
z
Ecuaciones ODE y DAE
z
III. DAE Semiexplícita
caso particular de II con ε = 0.
z
IV. DAE Lineal
Ecuaciones ODE y DAE
z
Para el caso general
el indice diferencial es el numero de derivaciones requeridas
para obtener la solución en forma de ODE explicita
z
Para obtener
z&
es necesario derivar m veces la DAE.
Ecuaciones ODE y DAE
z
El indice diferencial indica la dificultad en la resolución de la
DAE.
z
Para el caso semiexplícito se puede también obtener la solución
en forma de ODE explicita en función del indice diferencial
z
1. Indice m = 0
Resolución directa de la DAE que es en realidad una ODE
Ecuaciones ODE y DAE
z
2. Indice m = 1
Derivando una vez
y en caso de que
sea regular
Ecuaciones ODE y DAE
z
2. Indice m = 2
Derivando dos veces, y en caso de
y en caso de que
sea regular
Ecuaciones ODE y DAE
z
Asociado a la transformación de DAE a ODE aparece el
establecimiento de condiciones iniciales
z
1. Indice m = 1
para x =x(0), y =y(0)
z
2. Indice m = 2
para x =x(0), y =y(0)
Métodos Numéricos de Resolución
z
Utilización de métodos numéricos para integración de sistemas
definidos por ODEs o DAEs.
z
Son métodos aproximativos debido a errores de discretización y
redondeo.
z
A. Métodos Numéricos para ODEs
Sistema descrito por
Se basan en una aproximación de f
Métodos Numéricos de Resolución
Métodos de Paso Múltiple y métodos de Paso Simple
(Runge-Kutta).
B. Metodos Numéricos para DAEs
Sistema descrito por
Se basan en una aproximación de F
Método DASSL de Paso Múltiple
Transformación a ODE
Métodos Numéricos de Resolución
z
Métodos Numéricos para ODE’s
z
El objetivo de los métodos numéricos de integración es obtener,
a partir de un sistema continuo expresado mediante el sistema
de ecuaciones diferenciales ODE de primer orden en espacio de
estado
dx
= f (x, t)
dt
una secuencia de valores del vector de estado x (t1 ), x (t 2 ),K , x (t i )
que aproximan la solución del sistema de ecuaciones anterior,
siendo el intervalo de integración h = ti − ti −1 y f no lineal en
general.
Métodos Numéricos de Resolución
z
Es común a todos estos métodos la resolución del sistema de
ecuaciones diferenciales por integración entre los puntos t i − r
y t i +1 según
x ( t i +1 )
t i +1
x ( ti − r )
ti − r
∫ dx = ∫ f (t )dt
x (t i +1 ) = x (t i − r ) +
t i +1
∫ f (t )dt
ti − r
z
En función de la aproximación de f en el intervalo de integración
surgen los diferentes métodos de integración.
Métodos Numéricos de Resolución
z
Los métodos de integración se clasifican en explícitos (forward) e
implícitos (backward), en función de la dependencia de x (ti +1 )
z
Ejemplo:
xi +1 − xi
= −λxi
h
xi +1 = (1 − λh) xi
estable λh < 1
Euler Explicito
dx
= −λx
dt
xi +1 − xi
= −λxi +1
h
1
xi +1 =
xi
1 + λh
estable ∀λh
Euler Implicito
Métodos Numéricos de Resolución
z
I) Métodos de Paso Simple o Runge-Kutta:
Métodos Numéricos de Resolución
z
II) Métodos de Paso Multiple:
z
EL valor de xi+1 se realiza en función de los valores de xi, xi-1,
….xi-p
z
El paso de integración h puede ser fijo o variable. En caso de
variabilidad se utilizará el error de integración estimado, como
diferencia en la evaluación de xi+1 con dos métodos diferentes.
Métodos Numéricos de Resolución
z
Métodos Numéricos para Sistemas Rígidos
z
Un sistema es rígido si la solución buscada varia lentamente en
presencia de otras soluciones cercanas que varían rápidamente
z
El método numérico a utilizar debe ajustar adecuadamente el paso de
integración.
z
Responden a la ecuación
z
siendo M singular.
Métodos Numéricos de Resolución
z
Ejemplo: Modelo de propagación de llama
Métodos Numéricos de Resolución
z
Métodos Numéricos para DAEs
Métodos Numéricos de Resolución
Métodos Numéricos en MATLABSIMULINK
z
Metodos Numericos MATLAB y SIMULINK para ODES
Métodos Numéricos en MATLABSIMULINK
• Metodos Numericos MATLAB y SIMULINK para DAEs
•Solo aplicable para sistemas DAEs de indice 1 del tipo
con M singular
Métodos Numéricos en MODELICA
Permite la resolución de ODEs y DAEs