Secciones 8−9

Introducción al Cálculo
CNM 107
Skywalker
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términos de la licencia de documentación libre GNU
Índice general
1. Lı́mites y continuidad
1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. El concepto de lı́mite de forma intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3. Definición formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4. Propiedades básicas de Lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5. Lı́mites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. Lı́mite de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.2. Teorema de estricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7. Lı́mites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.8.1. Continuidad de una función en un punto . . . . . . . . . . . . 46
1.8.2. Continuidad de una función en un intervalo . . . . . . . . . . 52
1.9. Lı́mites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
2
ÍNDICE GENERAL
CAPÍTULO
1
Lı́mites y continuidad
1.1.
Introducción
En matemáticas, el lı́mite de una función es un concepto que describe la tendencia de ésta, a medida que su variable dependiente se acerca a un determinado
valor. Después del trabajo con números reales y funciones estamos preparados para
introducir esta nueva e interesante idea. Una motivación para el estudio de lı́mites y sus generalidades es que este concepto se emplea en la definición de nociones
fundamentales en el cálculo como continuidad, derivación e integración.
El concepto formal de lı́mite de una función es algo complejo, por esta razón,
en este tema la intuición tiene un papel definitivo y procuraremos evitar en lo posible
las formalizaciones pues en este nivel éstas no aportan más claridad.
1.2.
El concepto de lı́mite de forma intuitiva
Inicialmente por medio de algunos ejemplos que ilustran diferentes situaciones
se introducirá la idea intuitiva de lı́mite. La idea fundamental en cada ejemplo es la
siguiente: considerando una función real definida en un intervalo (a, b) que contiene
un punto c. (la función puede estar o no definida en el punto c) Observamos lo que
sucede con la función cuando la variable x se aproxima al valor c.
1
2
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Ejemplos 1.2.1
1. Sea f (x) = x2 . ¿Qué le sucede a f (x) cuando el valor de x
se aproxima a 2? Para responder a esta pregunta se elabora una tabla de los
valores de f (x) para algunos x cercanos de 2
b
b
4
x
1
1,5
1,90
1,99
1,999
2
2,001
2,01
2,1
y = x2
1
2,25
3,61
3,9601
3,996001
??
4,004001
4,0401
4,41
b
3
b
2
1
-2
-1
b
1
2
Notemos que cuando el valor de x se acerca a 2, tanto por izquierda como por
derecha, f (x) está cerca a 4. En este punto, con base en la tabla y la gráfica,
no es difı́cil intuir a que valor se aproxima la función cuando la variable x
tiende a 2. Decimos que el lı́mite de x2 cuando x tiende a 2 es 4. Lo
anterior lo escribimos simbólicamente como
lı́m f (x) = lı́m x2 = 4.
x→2
x→2
O también
f (x) → 4 cuando x → 2,
en que la flecha → significa tiende a. Este ejemplo no tiene ningún obsáculo,
el siguiente, presenta un pequeño reto.
2
−4
. En este caso Dom(g) = R \ {2}, por lo tanto esta unción no
2. Sea g(x) = xx−2
está definida en x = 2. Sin embargo, es posible determinar cómo se comporta
g(x) cuando x está próximo a 2; para esto realizamos de nuevo una pequeña
tabla escogiendo algunos valores de x mayores que 2 y otros menores que 2.
Por ejemplo,
1.2. EL CONCEPTO DE LÍMITE DE FORMA INTUITIVA
x
1.90
1.95
1.97
1.99
2
2.01
2.03
2.05
2.10
3
2
−4
y = xx−2
3.90
3.95
3.97
3.99
????
4.01
4.03
4.05
4.10
de lo anterior se intuye que g(x) se acerca a 4 cuando x se acerca a 2, pero
no en x = 2, pues este punto no hace parte del dominio de g, por lo tanto
escribimos
x2 − 4
lı́m
=4
x→2 x − 2
y se lee el lḿite de g(x) =
x2 −4
x−2
cuando x tiende a 2 es igual a 4.
Un abordaje algebraico nos permite resolver esta situación. Observese que en
la fracción x2 − 4/x − 2 cuando x está próximo de 2, el numerador x2 − 4
está próximo de 0. De otra parte, el denominador x − 2 también está próximo
a 0. La identidad
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
permite escribir
x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
=
= x + 2.
x−2
x−2
Por tanto, el comportamiento de g(x) cerca de 2 (pero no en 2) es el mismo
comportamiento de x + 2 cerca de 2; dado que esta expresión no presenta
ninguna restricción para el valor x = 2, al igual que en el ejemplo anterior,
basta sólo sustituir por x = 2. Ası́,
lı́m x + 2 = 4
x→2
de esto se deduce que
x2 − 4
= 4.
x→2 x + 2
lı́m g(x) = lı́m
x→2
x
3. Sea f (x) = |x|
. En este caso la función no está definida en x = 0. Sin embargo,
una opción para examinar el comportamiento de f a medida que x se acerca
4
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
de 0 es observar la gráfica de f
y=
1
-1
x
|x|
1
-1
Vemos que cuando x se aproxima a 0 por la derecha (i.e., por valores positivos)
f (x) es siempre 1. Si x se aproxima por la izquierda de 0, f (x) es siempre −1.
Por lo tanto, f (x) no está próximo o no tiende a un número fijo cuando x se
aproxima a 0, en este caso
x
lı́m
x→0 |x|
no existe.
Observación 1.2.2
1. Observamos que en los ejemplos anteriores realizamos
las tablas considerando valores cercanos a 2, al tomar valores mayores nos
aproximamos por la derecha de 2 y al tomar valores menores nos aproximamos
por la izquierda.
2. Puede hablarse de el lı́mite de una función f (x) cuando x tiende a c, aún
cuando la función no este definida en c.
3. En base a lo presentado, la expresión lı́m f (x) = M significa que para valores
x→c
arbitrariamente próximos de c la función f asume valores arbitrariamente próximos de M.
Hasta ahora hemos hecho afirmaciones acerca del lı́mite de funciones acudiendo a
valores tabulados y a sus gráficas, no obstante, estas afirmaciones deberán ser demostradas mediante un procedimiento formal, para tal procedimiento en la siguiente
sección presentaremos la definición formal de lı́mite.
1.3.
Definición formal
Intuitivamente sabemos que dada una función real f definida alrededor (o
arbitráriamente cerca) del número c se cumple
lı́m f (x) = M,
x→c
donde M es un número real, si cuando x está muy cerca de c entonces f (x) estará cerca de M. A seguir presentamos la definición formal para esto.
5
1.3. DEFINICIÓN FORMAL
Definición 1.3.1 Sea f una función real definida en un intervalo A el cual contiene
al punto c. Diremos que el número real M es el lı́mite de f (x) cuando x tiende para
c y escribimos
lı́m f (x) = M
x→c
para significar lo siguiente: para cada número real ǫ > 0, es posible encontrar un
número real δ > 0 tal que para todo x ∈ A,
(1.1)
|f (x) − M| < ǫ siempre que 0 < |x − c| < δ.
Observación 1.3.2
1. La definición formal de lı́mite no exige que la función
esté definida en c. Además,
0 < |x − c| < δ ⇐⇒ −δ < x − c < δ ∧ x 6= c
⇐⇒ c − δ < x < c + δ ∧ x 6= c
⇐⇒ x ∈ (c − δ, c + δ) ∧ x 6= c
2. En la definición intervienen dos intervalos abiertos, uno alrededor de c (ver
ı́tem anterior) y otro alrededor de M, indicando lo próximo que debe estar x de
c para que f (x) esté cerca de M. Esto es, cuando x se aproxima a c los valores
de f (x) se aproximan arbitrariamente a M; o sea, para cualquier número real
ǫ > 0, existe otro real δ > 0 tal que si x ∈ (c − δ, c + δ) ∧ x 6= c (la distancia
entre x y c es mayor que cero y menor que δ), entonces f (x) ∈ (M − ǫ, M + ǫ)
(la distancia entre f (x) y M es menor que ǫ).
3. Con base a lo anterior, la implicación (1.1) puede escribirse
x ∈ (c − δ, c + δ) ∧ x 6= c =⇒ f (x) ∈ (M − ǫ, M + ǫ).
La siguiente figura ilustra gráficamente el significado de ǫ y δ en esta última
implicación.
M +ǫ
M
M −ǫ
c−δ c c+δ
6
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Ejemplos 1.3.3
1. Usando la definición del lı́mite de una función mostremos
lı́m 2x − 1 = 3.
x→2
Si ǫ > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que
(1.2)
0 < |x − 2| < δ =⇒ |2x − 1 − 3| < ǫ.
Para esto, consideremos inicialmente la desigualdad que aparece como consecuente en la implicación (1.2).
|2x − 1 − 3| < ǫ ⇐⇒ |2x − 4| < ǫ
⇐⇒ 2|x − 2| < ǫ
⇐⇒ |x − 2| <
ǫ
2
Comparando el antecedente de (1.2) con la desigualdad encima, concluimos
que basta escoger δ = ǫ/2 (obviamente cualquier otro valor menor funciona).
En efecto, dado ǫ > 0, sea δ = 2ǫ entonces
|x − 2| < δ ⇐⇒ |x − 2|, 2ǫ
=⇒ 2|x − 2| < ǫ
=⇒ |2x − 4| < ǫ
=⇒ |f (x) − 3| < ǫ
2. Usando la definición del lı́mite de una función mostremos que
x2 − 1
= −2.
x→−1 x + 1
lı́m
Si ǫ > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que
2
x − 1
− (−2) < ǫ.
(1.3)
0 < |x − (−1)| < δ =⇒ x+1
Para esto, consideremos inicialmente la desigualdad que aparece como consecuente en la implicación (1.3).
2
2
x − 1
x − 1
< ǫ ⇐⇒ <ǫ
−
(−2)
+
2
x+1
x+1
⇐⇒ |x + 1| < ǫ
7
1.3. DEFINICIÓN FORMAL
Comparando el antecedente de (1.3) con la desigualdad encima, concluimos
que basta escoger δ = ǫ (obviamente cualquier otro valor menor funciona). En
efecto, dado ǫ > 0, sea δ = ǫ entonces
|x − (−1)| < δ ⇐⇒ |x + 1| < ǫ
=⇒ |x − 1 + 2| < ǫ
(x − 1)(x + 1)
=⇒ − (−2) < ǫ
(x + 1)
2
x − 1
− (−2) < ǫ.
=⇒ x+1
3. Usando la definición del lı́mite de una función mostremos que para c > 0
√
√
lı́m x = c.
x→c
Si ǫ > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que
√
√
(1.4)
0 < |x − c| < δ =⇒ | x − c| < ǫ.
Racionalizando la expresión que aparece en la implicación (1.4)
(1.5)
√
| x−
√
√
√ √
√ ( x − c)( x + c) x − c = √
√
√
c| = x + √c x+ c
Además, si se tiene δ como en el antecedente de (1.4)
x−c √
√
|x − c|
|x − c|
δ
√ ≤ √
√ ≤ √
| x − c| = √
<√ .
x+ c
x+ c
c
c
√
Por lo tanto, dado ǫ > 0 basta escoger δ ≤ ǫ c. En efecto,
√
|x − c| < δ ⇐⇒ |x − c| < ǫ c
|x − c|
√
<ǫ
c
√
√
|x − c|
<ǫ
=⇒ | x − c| ≤ √
c
=⇒
4. Usando la definición formal de lı́mite de una función mostremos que para c 6= 0
lı́m
x→c
1
1
= .
x
c
8
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Dado ǫ > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que
1 1
(1.6)
0 < |x − c| < δ =⇒ − < ǫ
x c
Pero,
1 1 c − x
1 |x − c|
− =
x c cx = |x| |c| .
1
es problemático, máxime cuando x está cerca de cero,
Además, el factor |x|
para continuar necesitamos acotarlo. Para esto usamos la desigualdad
|x| ≥ |c| − |c − x| = |c| − |x − c|.
Si δ es como en el antecedente de (1.6) y tal que δ ≤ |c|/2 entonces |x − c| =
|c − x| < |c|
, de este modo se obtiene
2
|x| ≥ |c| − |x − c| ≥ |c| −
y por lo tanto
Ası́
|c|
|c|
= ,
2
2
2
1
≤ .
|x|
|c|
1 |x − c|
2 |x − c|
< ǫ ⇐⇒
<ǫ
|x| |c|
|c| |c|
|c|2
⇐⇒ |x − c| <
· ǫ.
2
O sea, es necesario que δ ≤
|c|2
ǫ
2
=
c2
ǫ.
2
Ası́, dado un ǫ > 0, basta escoger
|c| c2
, ǫ .
δ ≤ mı́n
2 2
n
o
|c| c2
En efecto, si ǫ > 0, escojamos δ ≤ mı́n 2 , 2 ǫ .
0 < |x − c| < δ ⇐⇒ |x − c| ≤
|c|
2
∧ |x − c| ≤
1
2
de la primera desigualdad, se obtiene que |x|
≤ |c|
, entonces
2
1 1
− = 1 |x − c| < 2 · c ǫ = ε.
x c |x| |c|
c2 2
c2
ǫ
2
Si c = 0 sabemos que la función f (x) = x1 presenta problemas, mostraremos
más adelante que el lı́mite no existe para este punto.
1.4. PROPIEDADES BÁSICAS DE LÍMITES
9
5. Usando la definición formal de lı́mite de una función mostremos que
lı́m 3 + 4x − x2 = 6.
x→3
Si ǫ > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que
0 < |x − 3| < δ =⇒ |(3 + 4x − x2 ) − 6| < ǫ.
(1.7)
Factorizando la expresión que parece en el consecuente de (1.7) se obtiene
(1.8)
|(3 + 4x − x2 ) − 6| < ǫ ⇐⇒ |x2 − 4x + 3| = |(x − 3)(x − 1)| < ǫ.
Si se tiene δ como en (1.7) y tal que δ ≤ 1/2, entonces
5
|x − 1| = |x − 3 + 2| ≤ |x − 3| + |2| ≤ δ + 2 ≤ .
2
Luego
|(x − 3)(x − 1)| = |x − 3||x − 1| < 5/2δ,
comparando la desigualdad anterior con (1.8), concluimos que basta escoger
δ ≤ mı́n{1/2, 2ǫ/5}. En efecto, dado ǫ > 0 sea δ ≤ mı́n{1/2, 52 ǫ}
2
0 < |x − 3| < δ ⇐⇒ |x − 3| < 1/2 ∧ |x − 3| ≤ ǫ
5
por otro lado,
(3 + 4x − x2 ) − 6 = |x − 3||x − 1| < 5 δ ≤ 5 · 2 ǫ = ǫ.
2
2 5
Observación 1.3.4 Consecuentemente de la definición de lı́mite se sigue que para
demostrar que una función f no tiene lı́mite en c, es decir, que
lı́m f (x) 6= M
x→c
para todo M ∈ R, es necesario demostrar que existe ǫ > 0 tal que dado cualquier
δ > 0, existe un x tal que
0 < |x − c| < δ ∧ |f (x) − M| ≥ ε.
1.4.
Propiedades básicas de Lı́mites
En esta sección se establecen las propieddes básicas de los lı́mites de funciones con el fin de emplearlas para el cálculo de éstos sin necesidad de recurrir a la
definición formal epsilon-delta presentada en la sección anterior.
10
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Teorema 1.4.1 (Unicidad del Lı́mite) El lı́mite de una función en un punto, si
existe, es único. Es decir
lı́m f (x) = M1 ∧ lı́m f (x) = M2 =⇒ M1 = M2
x→c
x→c
Demostración: Sean M1 y M2 lı́mites de f en c, entonces dado ǫ > 0, existen
δ1 , δ2 > 0, tales que
0 < |x − c| < δ1 , =⇒ |f (x) − M1 | < ǫ/2
0 < |x − c| < δ2 , =⇒ |f (x) − M2 | < ǫ/2
Escojamos δ ≤ mı́n{δ1 , δ2 } y sea x∗ tal que 0 < |x∗ − c| < δ, entonces
|f (x∗ ) − M1 | < ǫ/2 ∧ |f (x∗ ) − M2 | < ǫ/2
luego
0 ≤ |M1 − M2 | = |M1 − f (x∗ ) + f (x∗ ) − M2 |
≤ |M1 − f (x∗ )| + |f (x∗ ) − M2 |
<
ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ.
Ası́, 0 ≤ |L − M| < ǫ, como ǫ > 0 es arbitrario, es posible tomarlo tan pequeño
como se desee, por lo tanto |M1 − M2 | = 0 lo que prueba que M1 = M2 .
Teorema 1.4.2 Sea k una constante, f, g funciones reales. Suponiendo que existen
lı́m f (x), lı́m g(x). Entonces
x→c
x→c
1. lı́m k = k
x→c
2. lı́m x = c
x→c
3. lı́m f (x) ± g(x) = lı́m f (x) ± lı́m g(x)
x→c
x→c
x→c
4. lı́m kf (x) = k lı́m f (x)
x→c
x→c
5. lı́m f (x) · g(x) = lı́m f (x) · lı́m g(x)
x→c
x→c
x→c
lı́m f (x)
f (x)
x→c
=
, si lı́m g(x) 6= 0.
6. lı́m
x→c
x→c g(x)
lı́m g(x)
x→c
Demostración: Demostraremos algunos de los enunciados aplicando la definición
formal.
1.4. PROPIEDADES BÁSICAS DE LÍMITES
11
1. Sea ǫ > 0, veamos que existe δ > 0 tal que
0 < |x − c| < δ =⇒ |k − k| = 0 < ǫ,
para esto basta escoger δ = ǫ.
2. Sea ǫ > 0, veamos que existe δ > 0 tal que
0 < |x − c| < δ =⇒ |x − c| < ǫ,
para esto basta escoger de nuevo δ = ǫ.
3. Supongamos lı́m f (x) = L, lı́m g(x) = M. Tenemos que probar que
x→c
x→c
lı́m[f (x) + g(x)] = L + M,
x→c
esto es, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
0 < |x − c| < δ =⇒ |f (x) + g(x) − (L + M)| < ǫ.
En efecto, si ǫ > 0, por definición existen δ1 > 0, δ2 > 0 tales que
si 0 < |x − c| < δ1 , entonces |f (x) − L| < ǫ/2.
si 0 < |x − c| < δ2 , entonces |f (x) − M| < ǫ/2.
Sea δ = mı́n{δ1 , δ2 } y asumamos que 0 < |x − c| < δ. Como δ ≤ δ1 , δ ≤ δ2 , las
dos condiciones encima son satisfechas por lo tanto
|f (x) + g(x) − (L + M)| = |f (x) − L + g(x) − M|
≤ |f (x) − L| + |g(x) − M|
< ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ.
4. Supongamos lı́m f (x) = L. Dado ǫ > 0, veamos que existe δ > 0 tal que
x→c
0 < |x − c| < δ =⇒ |kf (x) − kL| < ǫ.
En efecto, si ǫ > 0, por definición existe δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ
entonces |f (x) − L| < ǫ/|k|, es decir
0 < |x − c| < δ =⇒ |k||f (x) − L| < ǫ.
12
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
5. Supongamos lı́m f (x) = L, lı́m g(x) = M. Tenemos que probar que
x→c
x→c
lı́m[f (x) · g(x)] = L · M.
x→c
Para esto inicialmente mostremos el caso en el que M = 0, es decir mostremos
que
lı́m[f (x) · g(x)] = L · M = L · 0 = 0.
x→c
Esto es, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
0 < |x − c| < δ =⇒ |f (x) · g(x) − 0| < ǫ.
En efecto, por definición con ǫ = 1 existe δ1 > 0 tal que 0 < |x − c| < δ1
entonces |f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L| < 1, o sea,
(1.9)
0 < |x − c| < δ1 =⇒ |f (x)| ≤ 1 + |L|.
Por otro lado, si ǫ > 0, de nuevo por definición existe δ2 > 0 tal que si
0 < |x − c| < δ2 entonces |g(x)| < ǫ/(1 + |L|). O sea,
(1.10)
0 < |x − c| < δ2 =⇒ |g(x)| ≤ ǫ/(1 + |L|).
Sea δ = mı́n{δ1 , δ2 }, entonces para cada x tal que 0 < |x − c| < δ se tienen
válidas las ecuaciones (1.9), (1.10), por lo tanto
|f (x)| ≤ 1 + |L|, |g(x)| ≤ ǫ/(1 + |L|).
Ası́, se tiene que
0 < |x − c| < δ =⇒ |f (x) · g(x)| < (1 + |L|) · ǫ/(1 + |L|) < ǫ.
Para mostrar el caso general basta escribir
f (x) · g(x) = [f (x) − L]g(x) + L[g(x) − M] + L · M
y aplicar los anterior junto con las propiedades 1 y 3. Por inducción, se muestra
lı́m[f1 (x) · f2 (x) · · · fn (x)] = M1 · M2 · · · Mn .
x→c
En que lı́m f1 (x) = M1 , · · · , lı́m fn (x) = Mn En particular, si lı́m f (x) = M,
x→c
entonces lı́m[f (x)]n = M n .
x→c
x→c
6. La prueba de esta propiedad es dejada como ejercicio.
x→c
13
1.4. PROPIEDADES BÁSICAS DE LÍMITES
Corolario 1.4.3
1. lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m[f (x) − L] = 0;
x→c
x→c
2. lı́m f (x) = L ⇐⇒ lı́m f (t + c) = L.
x→c
t→0
Demostración:
1. Como se debe mostrar una equivalencia, probemos cada implicación por separado. Inicialmente suponiendo que lı́m[f (x) − L] = 0, escribimos
x→c
f (x) = [f (x) − L] + L,
empleando el teorema anterior se tiene
lı́m f (x) = lı́m[f (x) − L] + L = lı́m[f (x) − L] + lı́m L = 0 + L = L.
x→c
x→c
x→c
x→c
Recı́procamente, si lı́m f (x) = L, entonces como L es una constante, se tiene
x→c
lı́m L = L, por lo tanto
x→c
lı́m[f (x) − L] = lı́m f (x) − lı́m L = L − L = 0.
x→c
x→c
x→c
2. Análogo al anterior mostremos las dos implicaciones por separado. Inicialmente
si lı́m f (t + c) = L. Por definición de lı́mite se tiene que dado ǫ > 0, existe un
t→0
δ > 0 tal que
0 < |t| < δ =⇒ |f (t + c) − L| < ǫ,
sustituyendo t por x − c en la implicación anterior se obtiene
0 < |x − c| < δ =⇒ |f (x) − L| < ǫ,
o de forma equivalente, lı́m f (x) = L. La afirmación recı́proca se muestra de
x→c
igual modo, en efecto, esta vez suponemos que lı́m f (x) = L, y aplicamos la
x→c
definición de lı́mite para obtener que dado ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que
0 < |x − c| < δ =⇒ |f (x) − L| < ǫ
de nuevo sustituimos x por t + a en la implicación anterior, lo que produce
0 < |t| < δ =⇒ |f (t + c) − L| < ǫ,
o de forma equivalente lı́m f (t + c) = L.
t→0
14
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Empleando las propiedades básicas para lı́mites es posible calcular algunos
ejemplos.
1. Para f (x) = axn se tiene que lı́m axn = acn .
Ejemplos 1.4.4
x→c
2. (Lı́mite de funciones polinomiales) Para el cálculo de lı́mites con funciones
polinomiales basta realizar una sustitución directa, a saber si
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
entonces se tiene que
lı́m an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0 = f (c).
x→c
En particular,
a) lı́m (2x + 1)2 = [lı́m (2x + 1)]2 = 52 = 25.
x→2
x→2
3
b) lı́m (7x + 7) = [ lı́m (7x + 7)]3 = 03 = 0.
x→−1
x→−1
c) lı́m x(x + 1) = [lı́m x · lı́m (x + 1)] = 3 · 4 = 12.
x→3
x→3
x→3
3. (Lı́mite de funciones racionales) Para toda función racional
f (x) =
am xm + am−1 xm−1 + · · · + a1 x + a0
p(x)
=
q(x)
bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0
cociente de polinomios. Cuando
q(c) = bn cn + bn−1 cn−1 + · · · + b1 c + b0 6= 0.
se tiene que
am xm + · · · + a1 x + a0
lı́mx→ c am xm + · · · + a1 x + a0
=
= f (c).
x→c bn xn + · · · + b1 x + b0
lı́mx→ c bn xn + · · · + b1 x + b0
lı́m
En particular,
lı́m (x2 + 1)
5
(x2 + 1)
x→2
=
= = 3.
a) lı́m
x→2 (2x − 3)
lı́m (2x − 3)
1
x→2
lı́m (4x − 5)
(4x − 5)
−5
x→0
b) lı́m
=
=
= −5.
x→0 (5x + 1)
lı́m (5x + 1)
1
x→0
15
1.4. PROPIEDADES BÁSICAS DE LÍMITES
√
lı́m x
2
1
x
= x→4
= = .
c) lı́m
x→4 x
lı́m x
4
2
√
x→4
4. Dada una función racional f (x) = p(x)/q(x), cuando q(c) = 0, entonces no
es tan simple decidir sobre la existencia de lı́m f (x). Sin embargo, las situax→c
ciones con las que nos deparamos en este nivel no requieren emplear criterios
demasiado sofisticados, bastará simplemente con algunas manipulaciones algebraicas.
x3 − x4
.
x→1 1 − x
En efecto, aplicando directamente el lı́mite de un cociente, se obtiene la
expresión indeterminada 0/0 la cual carece de sentido aritmético ya
que la división por 0 no está definida. Sin embargo se puede eliminar la
indeterminación con un poco de álgebra
a) Evaluar lı́m
x3 (1 − x)
x3 − x4
= lı́m
= lı́m x3 = 1
x→1
x→1
x→1 1 − x
1−x
lı́m
f (x + h) − f (x)
. En efecto,
h→0
h
b) Para la función f (x) = x2 evaluemos lı́m
(x + h)2 − x2
f (x + h) − f (x)
= lı́m
lı́m
h→0
h→0
h
h
(2xh + h2 )
= lı́m
h→0
h
h(2x + h)
= lı́m
h→0
h
= lı́m 2x + h
h→0
= 2x
c) Evaluar lı́m √
x→3
x−3
√ .
x− 3
16
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
De nuevo aplicando directamente el lı́mite de un cociente, se obtiene la
expresión indeterminada 0/0. Esta se puede eliminar racionalizando y
luego factorizando, ası́:.
√
√
(x − 3)( x + 3)
x−3
√ = lı́m √
√ √
√
lı́m √
x→3 ( x −
x→3
x− 3
3)( x + 3)
√
√
(x − 3)( x + 3)
√
= lı́m √
x→3 ( x)2 − ( 3)2
√
√
(x − 3)( x + 3)
= lı́m
x→3
x−3
√
√
√
= lı́m x + 3 = 2 3
x→3
1
1
1
− .
d) Evaluar lı́m
x→0 x 3 + x
3
En este caso no es posible aplicar directamente el lı́mite de un producto
pues la función 1/x no posee lı́mite en 0. Sin embargo se puede eliminar
esta dificultad, a saber:
1
1
−x
1
1 3 − (3 + x)
1
lı́m
= lı́m
= lı́m
−
x→0 x 3 + x
x→0 x
x→0 x 3(3 + x)
3
3(3 + x)
−1
x→0 3(3 + x)
= lı́m
= − 31
A partir de los ejemplos calculados en la sección anterior sabemos que
√
√
lı́m x = c.
x→c
De modo más general se tienen las siguientes propiedades, cuyas pruebas serán
presentadas más adelante.
Teorema 1.4.5
1. Si n es un número entero positivo, entonces
√
√
lı́m n x = n c,
x→c
cuando n es par suponga que c > 0.
2. Si n es un número entero positivo y lı́m f (x) = M, entonces
x→c
p
√
n
lı́m n f (x) = M ,
x→c
cuando n es par suponga que M > 0.
17
1.5. LÍMITES LATERALES
1. Evaluar lı́m
Ejemplos 1.4.6
√
h→0
lı́m
√
h→0
x+h−
h
√
x
=
=
=
=
2. Evaluar lı́m
x→4
r
3
√
x+h− x
. En efecto,
h
√
√ √
√
( x + h − x)( x + h + x)
√
lı́m
√
h→0
h( x + h + x)
h
lı́m √
√
h→0 h( x + h +
x)
1
√
√
lı́m ( x + h + x)
h→0
1
√
2 x
2x
−7x + 1
lı́m
x→4
r
3
2x
=
−7x + 1
=
r
2x
x→4 −7x + 1
q
3
lı́m
3
8
−27
= −
2
3
3x + 1
3. Evaluar lı́m √
x→4
x2 − 10
lı́m (3x + 1)
3x + 1
lı́m √
= x→4√ 2
x→4
lı́m x − 10
x2 − 10
x→4
lı́m 3x + lı́m 1
=
x→4
s
x→4
2
lı́m (x − 10)
x→4
3(4) + 1
= p
(4)2 − 10
13
= √
6
1.5.
Lı́mites laterales
Al estudiar el lı́mite de una función f en un punto c hemos analizado el comportamiento de ésta en los valores de x que pertenecen a un intervalo abierto que
18
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
contiene c. Es decir, valores de x mayores y menores que c. En ocasiones sólo es
posible e importante conocer el comportamiento de la función cuando la variable x
se encuentra cerca de c, pero por un lado concreto de dicho punto. De esta manera
surgen los lı́mites laterales. En lo que sigue presentaremos la definición intuitiva de
los lı́mites laterales y establecemos su relación con el lı́mite de una función en un
punto dado.
√
La función f (x) = x sólo está definina para valores de x ≥ 0, por lo tanto la
expresión
√
lı́m x
x→0
no tiene significado. Sin embargo, suponiendo
√ que se consideran valores de x sólo
positivos, puede lograrse que el valor de x esté tan cerca de 0 como se desee
tomando valores cercanos a 0 pero mayores. En este caso x se aproxima a 0 por la
derecha y se considera el lı́mite por la derecha, el cual se definirá en breve.
Recuerde la función f (x) =
x
.
|x|
Esta función no está definida en x = 0.
y=
1
-1
x
|x|
1
-1
Vemos que cuando x se aproxima a 0 por la derecha (i.e., por valores positivos) f (x)
es siempre 1. Por lo tanto, puede intuirse que el lı́mite de f a la derecha del 0 es
1. Igualmente, si x se aproxima por la izquierda de 0, f (x) es siempre −1. Por lo
tanto, puede intuirse que el lı́mite de f a la izquierda del 0 es −1.
Definición 1.5.1 Sea f una función real definida en un intervalo abierto el cual
contiene a c, con la posible excepción de c.
1. Al valor, si existe, al cual se aproxima f (x), cuando x se aproxima a c por
medio de valores estrictamente menores que c, lo llamamos el lı́mite de f (x)
cuando x tiende a c por la izquierda y lo denotamos por lı́m− f (x).
x→c
2. Al valor, si existe, al cual se aproxima f (x), cuando x se aproxima a c por
medio de valores estrictamente mayores que c, lo llamamos el lı́mite de f (x)
cuando x tiende a c por la derecha y lo denotamos por lı́m+ f (x).
x→c
Consecuentemente de la definición anterior se tiene que
√
x
x
= 1, lı́m−
= −1, lı́m+ x = 0.
lı́m+
x→0 |x|
x→0
x→0 |x|
19
1.5. LÍMITES LATERALES
La relación existente entre las nociones de lı́mite y lı́mites laterales de una
función es dada por el siguiente
Teorema 1.5.2 Sea f una función real definida en un intervalo abierto el cual
contiene al punto c, con la posible excepción de c.
lı́m f (x) = M ⇐⇒ lı́m− f (x) = lı́m+ f (x) = M.
x→c
x→c
x→c
Es decir, si tanto el lı́mite por la derecha como por la izquierda de f existen en
el punto c y son iguales, entonces existe el lı́mite de f y coincide con el valor común
de los lı́mites laterales. Pero si los lı́mites laterales no coinciden, entonces no existe
el lı́mite de f en c.
Ejemplos 1.5.3
1. Considere la función f cuya gráfica es:
1
-2
-1
1
2
-1
En este caso se observa que
lı́m f (x) = −1,
x→−1+
lı́m f (x) = 1.
x→−1−
Aun cuando los lı́mites laterales existen, no son iguales. Ası́ el lı́m f (x) no
x→−1
existe. A proposito, el hecho de que f (−1) = −1 es irrelevante en la determinación de la no existencia del lı́mite. Por otro lado,
lı́m f (x) = 1,
x→1+
lı́m f (x) = 1.
x→1−
Ası́, lı́m f (x) existe y es 1. A proposito, el hecho de que f (1) = −1 es irrelex→1
vante en la determinación de la existencia del lı́mite. Finalmente,
lı́m f (x) = 0,
x→0+
lı́m f (x) = −1.
x→0−
De nuevo, los lı́mites laterales existen y no son iguales. Ası́ el lı́m f (x) no
x→0
existe. A proposito, el hecho de que f no esté definida en 0 es irrelevante en
la determinación de la no existencia del lı́mite.
20
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
2. Consideremos la función definida por


x + 1;
f (x) = 0;


x − 1;
si x ≤ 0,
si 0 < x < 1,
si x ≥ 1.
En este caso se tiene
a) lı́m− f (x) = lı́m− x + 1 = 1
c) lı́m− f (x) = lı́m− 0 = 0
b) lı́m+ f (x) = lı́m+ 0 = 0
d) lı́m+ f (x) = lı́m+ x − 1 = 0
x→0
x→0
x→1
x→0
x→1
x→0
x→1
x→1
Por lo tanto, no existe el lı́mite de f cuando x tiende a 0 y lı́m f (x) = 0.
x→1
1
3. Consideremos la función f (x) = , usando la definición de lı́mites laterales
x
1
es posible mostrar que lı́m no existe. Para esto inicialmente se observa la
x→0 x
figura a seguir
1
-1
1
-1
La gráfica muestra que esta función presenta problemas cuando x está cerca
de cero, veamos que sucede con los lı́mites laterales tanto por derecha como
por izquierda. Para valores de x que se aproximan a cero por la izquierda,
la función es negativa y toma valores arbitrariamente pequeños, mientras que
para valores positivos cercanos a cero la función es positiva y toma valores
arbitrariamente grandes. Concluimos entonces que el lı́mite no existe. En el
ejemplo a seguir, se realizan cálculos similares a los necesarios para justificar
de manera formal la afirmación anterior. Los cuales son simples de imitar.
21
1.5. LÍMITES LATERALES
4. Recuerde la función f (x) = 1/x2 si x 6= 0 y f (0) = 0.
3
2
1
-2
-1
•
0
1
2
La gráfica muestra que f toma valores tan grandes como se quiera en los
puntos cercanos a cero, bien sea por la izquierda o por la derecha, de modo
que no tiene lı́mite a la izquierda ni lı́mite a la derecha del origen y por lo
tanto el lı́mite cuando x se aproxima a 0 no existe. Para demostrar con rigor
que no existe el anterior lı́mite, mostraremos que no existe el lı́mite lateral por
derecha. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que existe el lı́mite
por derecha, lı́m+ 1/x2 = M y supongamos que M > 0, escojamos ǫ = 1, existe
x→0
δ > 0 tal que para x 6= 0, 0 < x−0 < δ entonces |1/x2 −M| < 1, consideremos
el intervalo 0 < x < M1+2 en el cual tenemos que
f (x) = 1/x2 > (M + 2)2 > (M + 2),
luego 1/x2 − M > 2, lo cual es un absurdo debido a que |1/x2 − M| < 1.
Ası́ pues, cualquier intervalo del cero contiene puntos para los que 1/x2 no
cumple la desigualdad |1/x2 − M| < 1 para este ǫ escogido. Luego f no tiene
lı́mite a la derecha de cero.
5. Consideremos la función
(
3;
f (x) =
0;
si x 6= 0,
si x = 0.
Para concluir acerca de la existencia del lı́mite de f en 0. Note que esta función
toma el valor constante 3 para todo x, excepto en 0, donde tiene valor 0. Sin
embargo los lı́mites a la derecha y a la izquierda de cualquier punto c son 3,
por lo tanto el lı́mite cuando x tiende a c, existe y es igual a 3. Observemos
que el lı́mite de f en el punto 0 es 3, esto es lı́m f (x) = 3, siendo f (0) = 0.
x→0
22
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
6. Consideremos la función
f (x) =
2 − x, si x < 2
1 2
x,
si x ≥ 2
2
En este caso se tiene
a) lı́m− f (x) = lı́m− 2 − x = 0
x→2
x→2
1
b) lı́m+ f (x) = lı́m+ x2 = 2.
x→2 2
x→2
En consecuencia lı́m f (x) no existe.
x→2
7. Recuerde la función valor absoluto
|x| =
x,
−x,
x≥0
x<0
En este caso, lı́m+ |x| = lı́m+ x = 0 = lı́m− |x| = lı́m− −x, luego
x→0
x→0
x→0
x→0
lı́m |x| = 0.
x→0
Más general, para cada número real c,
(
lı́m x,
c>0
c,
x→c
(1.11)
lı́m |x| =
=
x→c
−c,
lı́m −x, c < 0
x→c
c>0
= |c|
c<0
8. Considere la función
f (x) =
1,
0,
En este caso, dado un número entero c,
x∈Z
x∈
/Z
lı́m f (x) = lı́m+ 0 = lı́m− f (x) = lı́m− 0 = 0
x→c+
x→c
x→c
x→c
En esta sección se introdujo la noción de lı́mite lateral de una función f (x), es decir
lı́mite cuando la variable x tiende a un número c bien sea por valores mayores o
menores que c. Al igual que la definición de lı́mite antes presentada, esta definición no involucra a f (a), incluso a puede no estar en el dominio de la función. La
existencia y similitud en sus valores de los lı́mites laterales para una función en un
punto a, garantiza la existencia del lı́mite en dicho punto, y viceversa la exsitencia
del lı́mite garantiza la existencia de los lı́mites laterales y la igualdad de sus valores;
1.5. LÍMITES LATERALES
23
sin embargo, en ocasiones encontramos funciones para los cuales los lı́mites laterales
existen pero no coinciden en sus valores, estos ejemplos, aunque poco interesantes
como proposito de estudio, ejemplifican situaciones reales y deben considerarse pues
muestran casos de la no existencia del lı́mite. Pese a lo simple e intuitivo de estas observaciones, nos reiteramos en éstas ya que es importante que el estudiantes
identifique todas las condiciones y posibles situaciones que se presentan al abordar
la noción de lı́mite, puesto que sobre esta noción se fundamentan otros importantes conceptos tratados en el cálculo como son la continuidad y la diferenciación de
funciones.
24
1.6.
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Lı́mite de funciones trigonométricas
En esta sección vamos a considerar y establecer la existencia de algunos lı́mites
de funciones trigonométricas, en particular el lı́mite
sen(t)
.
t→0
t
Para esto son necesarios algunos preliminares que desarrollamos a seguir.
lı́m
1.6.1.
Funciones trigonométricas
En el plano cartesiano, al rotar una semirecta sobre su origen se obtiene un
ángulo, la posición inicial de la semirecta se llama lado inicial del ángulo, la posición
de la semirecta después de efectuado el giro se llama lado terminal.
P
P
r
Q
O
O
s
θ
Q
En matemáticas generalmente los ángulos se miden en grados, por ejemplo 360
grados es la medida para un ángulo obtenido por una revolución completa. Otra
unidad común para medir los ángulos es el radián. Sea P OQ el ángulo que aparece
en la figura anterior. Para medir su tamaño en radianes, se realiza lo siguiente: Se
traza un cı́rculo con centro en O y radio r el cual es interceptado por el ángulo en
un arco de longitud s. El cociente s/r será la medida del ángulo, y se dice que el
ángulo mide s/r radianes. El radin como medidad de un ángulo, no depende del
tamaño del cı́rculo.
La longitud de una circunferencia de radio r es el número 2πr, en que π es un
número irracional cuyo valor aproximado es 3,14; por lo tanto, la medida en radianes
para un ángulo obtenido por una revolución completa es
2πr
s
=
= 2π,
r
r
es decir, la medida en radianes para un ángulo de 360 grados es 2π radianes. De
aquı́ que un ángulo obtenido por medio giro cuya medida en grados es 180 tenga
medida en radianes igual a π. Consecuentemente tenemos la siguiente observación.
1.6. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
25
Observación 1.6.1
1. Para convertir grados a radianes y viceversa empleamos
la siguente proporción:
Radianes
Grados
=
180
π
O sea, para pasar de grados a radianes multiplicamos la medida del ángulo en
π
; y para pasar de radianes a grados multiplicamos la medida del
grados por 180
ángulo en radianes por 180
. Por ejemplo para calcular la medida en radianes
π
de un ángulo de 45 grados
45
π
=
180
4
Igualmente, calculemos la medida en grados de un ángulo π/6 radianes
Radianes = π
Grados =
π 180
= 30
6 π
2. En el cı́rculo unitario, i.e., el cı́rculo cuyo radio es 1, la expresión θ = s/r
es θ = s/1 = s. En tal caso, la longitud del arco intersecado por el ángulo es
igual a la medida del ángulo en radianes.
θ
1
θ
Consecuentemente, para cada número real θ > 0 con la ayuda del cı́rculo
unitario es posible tener un ángulo cuya medida en radianes sea θ. A saber, se
ubica lo largo del eje x positivo el lado incial del ángulo deseado. Para dibujar
el segundo lado, se va alrededor del cı́rculo unitario en dirección contraria a la
de las manecillas del reloj un arco de longitud θ. Para el caso en el que θ < 0,
al dibujar el lado final, se va en el sentido de las manecillas del reloj un arco
de longitud |θ|.
Cuando un ángulo se presenta en la posición descrita encima, es decir, su
lado inicial sobre el eje positivo x, el lado terminal en cualquier cuadrante del
plano cartesiano y su vértice es el origen, decimos que el ángulo se encuentra
en posición estándar. En la siguiente figura se muestra un par de ángulos
en posición estándar, un cuya medida es mayor que 2π y otro cuya medida es
menor que 0.
26
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
θ negativo
θ mayor que 2π
θ
θ
En la siguiente figura se presentan los puntos sobre el cı́rculo unitario que pertenecen
al lado terminal de los ángulos positivos más comunes,
3 π4
5 π6
2 π3
•
π
2
•
120
•
90
135
•
150
210
225
•
π
240
54
•
4 π3
π
3
45
•
π
4
30
π 180
•
7 π6
60
•
•
π
6
0 0
•
360 2π
•
90
•
3 π2
330
• π
11
315
• π 6
300
• π 74
53
Definición 1.6.2 (Funciones Trigonométricas) Para cada número real θ, el seno y
el coseno de θ se definen como sigue: En el cı́rculo unitario trace en posición estadar
el ángulo de medida θ en radianes. Denote por P el punto de intersección del lado
final con el cı́rculo unitario.
1. La primera coordenada del punto P o la abscisa del punto P se llama el coseno
de θ y se denota por cos θ,
2. La segunda coordenada del punto P o la ordenada del punto P se llama el
seno de θ y se denota por sen θ.
27
1.6. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Un soporte gráfico de la definición presentada encima aparece en el siguiente diagrama, el cual es la base de la trigonometrı́a. Una buena familiaridad con éste, ayudará tanto al cálculo de algunos valores asumidos por las funciones trigonométricas,
como al entendimiento de las propiedades elementales satisfechas por éstas y que
presentaremos en breve.
• P cos θ, sen θ
sen θ
θ
cos θ
Ejemplos 1.6.3
•
(1, 0)
1. Para los ángulos π/2, −π/2 se tiene
(0, 1)
•
π
2
− π2
(0, −1)
cos π2 = 0, sen π2 = 1
•
cos − π2 = 0, sen − π2 = −1
Observese que los lados terminales de los ángulos en la figura anterior coincide
respectivamente con los lados terminales de los ángulos
π
π
π
±5 , ±9 , ±13 , . . .
2
2
2
Por lo tanto, tenemos las siguientes igualdades las cuales tienen su análogo
para los ángulos negativos, con valores 0 para la función coseno y −1 para la
28
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
función seno
cos 5
π
π
π
π
π
π
= cos 9 = cos 13 = 0, sen 5 = sen 9 = sen 13 = 1
2
2
2
2
2
2
2. Para los ángulos π, −π se tiene
(−1, 0)
•
π
(−1, 0)
•
−π
cos (−π) = −1, sen (−π) = 0
cos π = −1, sen π = 0
Como consecuencia de la observación (1.6.1) se tiene que el dominio de las
funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales. Además, si (x, y) es un
punto del cı́rculo unitario entonces,
|x| ≤ 1, |y| ≤ 1;
por lo tanto, la imagen de cada una de estas funciones es el intervalo cerrado [−1, 1],
es decir
−1 ≤ sen θ ≤ 1, −1 ≤ cos θ ≤ 1.
Algunas de las propiedades de las funciones seno y coseno pueden deducirse por
inspección de las siguientes figuras.
• (cos θ, sen θ)
θ
•
θ
−θ
• (cos (−θ) , sen (−θ))
θ + 2π
29
1.6. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En efecto, inspeccionando el cı́rculo unitario en la primera figura se puede concluir
que
cos θ = cos (−θ) , − sen θ = sen (−θ) ,
es decir, la función coseno es una función par y la función seno es una función impar.
Usando el teorema de Pitágoras se puede concluir que los números cos θ, sen θ se
relacionan por la identidad
cos2 θ + sen2 θ = 1.
(1.12)
Por otro lado, inspeccionando la segunda figura se concluye que, un cambio de 2π
en cualquier ángulo θ lleva al mismo punto sobre el cı́rculo unitario, luego
cos (θ + 2π) = cos θ, sen (θ + 2π) = sen θ.
Es decir, tanto la función seno como la función coseno se repiten a cada 2π radianes.
Ejemplos 1.6.4
1. Para el ángulo π/4
cos π4 = sen π4 , en efecto, estas son las
longitudes de los catetos del triángulo
rectángulo OP Q el cual es isósceles.
La identidad (1.12) implica
•P
O
1 = cos2
π
π
π
+ sen2 = 2 cos2
4
4
4
Q
Ası́,
cos2
π
1
=
4
2
Por lo tanto, cos π4 = sen π4 =
√1 .
2
Como consecuencia de la simetrı́a en el cı́rculo unitario, es posible obtener las
coordenadas de los puntos para los cuales el ángulo es igual a 3 π4 , 5 π4 , 7 π4 .
1 √1
√
− 2, 2
− √12 , − √12
•
•
•
•
√1 , √1
2
2
√1 , − √1
2
2
30
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
es decir,
cos 3 π4 = − √12 , sen 3 π4 =
√1
2
cos 5 π4 = − √12 , sen 5 π4 = − √12
cos 7 π4 =
√1 ,
2
sen 7 π4 = − √12
2. Para el ángulo π/3
•P
R
O
Q
El triángulo OP R es equilátero, por lo
tanto, el pie de cada altura está ubicado en el punto medio del respectivo
lado, es decir, Q, es el punto medio
del lado OR cuya longitud es 1, luego |OQ| = cos π3 = 21 . En que |OQ|
denota la longitud del segmento OQ.
Empleando (1.12) se obtiene
sen2
π
1
3
π
= 1 − cos2 = 1 − =
3
3
4
4
por lo tanto, sen π3 =
√
3
.
2
Por la simetrı́a del cı́rculo unitario se obtienen las coordenadas de los puntos
para los ángulos 2 π3 , 4 π3 , 5 π3 .
√ √ 3
1
1
−2, 2
, 3
2 2
•
•
es decir,
√ •
1
− 2 , − 23
•
√ 1
3
,
−
2
2
cos 2 π3 = − 21 , sen 2 π3 =
√
3
2
√
3
2
√
− 23
cos 4 π3 = − 21 , sen 4 π3 = −
cos 5 π3 = 21 ,
sen 5 π3 =
Finalizamos este breve repaso sobre trigonometrı́a elaborando las gráficas de
las funciones seno y coseno. Para esto es suficiente graficar ambas funciones sólo
31
1.6. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
para valores comprendidos en el intervalo [0, 2π], y después repetir dichas porciones
de gráfica en intervalos de longitud 2π a lo largo de eje x. Las siguientes gráficas son
de utilidad
(0, 1)
−
+
(cos θ, sen θ)
•
• (cos θ, sen θ)
θ
•
•
+
+
• (cos θ, sen θ)
(1, 0)
• +
−
(cos θ, sen θ)
−
− •
(cos θ, sen θ)
Como consecuencia de la gráfica anterior y los ejemplos calculados se tienen
las siguientes tablas
θ
0
cos θ
1
π
4
π
3
π
2
√1
2
1
2
0
θ
π
5 π4
3 π2
2π
cos θ
−1
− √12
θ varia de cos θ va de
cos θ es
π
0a 2
1a0
decreciente
π
0 a −1
decreciente
aπ
2
π a 3 π2
−1 a 0
creciente
π
3 2 a 2π
0a1
creciente
0
1
Con base a todos estos datos un bosquejo de la gráfica de la función coseno es:
1•
••
|
ππ
43
−1
•
•π
2
π
•
•
5 π4 3 π2
•
2π
32
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Repitiendo la porción de gráfica anterior, por intervalos de longitud 2π se tiene
1
−2π
−3 π2
π
− π2
0
cos θ
π
2
π
3 π2
2π
−1
Un procedimiento similar permite obtener la gráfica de la función sen θ
1
−2π
−3 π2
π
− π2
0
sen θ
π
2
π
3 π2
2π
−1
Observamos que las funciones seno y coseno no son inyectivas, sin embargo, al considerar la función coseno restringida al intervalo [0, π] ésta es inyectiva; igualmente
la función seno restringida al intervalo [−π/2, π/2] es inyectiva. Por lo tanto, estas
funciones son invertibles cuando son consideradas sobre dichos intervalos.
Definición 1.6.5 (Función Tangente) Dado un número real θ, tal que cos θ 6= 0, la
tangente de θ se define como
sen θ
tan θ =
cos θ
En la definición observamos que la función tangente es indefinida en los valores en
los cuales la función coseno se anula, es decir en θ = ±π/2, ±, 3π/2, ±5π/2 · · · . La
función tangente es impar
tan (−θ) =
sen (−θ)
− sen θ
sen θ
=
=−
= − tan θ
cos (−θ)
cos θ
cos θ
Su gráfica se presentará más adelante.
Ejemplos 1.6.6
1. tan
π
4
sen π4
=
= 1.
cos π4
1.6. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2. tan
π
3
33
√
sen π3
3/2 √
= 3.
=
π =
cos 3
1/2
Finalizamos este breve repaso sobre trigonometrı́a, listando algunas fórmulas
que son importante para el trabajo con funciones trigonométricas.
1. Fórmula para la suma y la resta de ángulos:
a) sen (α ± θ) = sen α cos θ ± cos α sen θ
b) cos (α ± θ) = cos α cos θ ∓ sen α sen θ
c) tan (α ± θ) =
tan α ± tan θ
1 ∓ tan α tan θ
2. Cofunciones:
b) cos
π
2
π
2
c) tan
π
2
a) sen
Ejemplos 1.6.7
− θ = cos θ
− θ = sen θ
cos θ
−θ =
sen θ
1. sen 2θ = sen (θ + θ) = sen θ cos θ + sen θ cos θ = 2 sen θ cos θ
2. cos 2θ = cos (θ + θ) = cos θ cos θ − sen θ sen θ = cos2 θ − sen2 θ
3. tan (2θ) = tan (θ + θ) =
1.6.2.
tan θ + tan θ
2 tan θ
=
1 − tan θ tan θ
1 − tan2 θ
Teorema de estricción
Teorema 1.6.8 Sean f, g y h funciones reales definidas en un intervalo abierto I
que contiene a c excepto posiblemente en el punto c y tales que:
1. f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ I,
2. lı́m f (x) = lı́m h(x) = M.
x→c
x→c
Entonces, lı́m g(x) = M.
x→c
34
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Demostración: Sea ǫ > 0, a fin de obtener el resultado deseado debemos mostrar
que existe un δ > 0 tal que
0 < |x − c| < δ =⇒ |g(x) − M| < ǫ.
Como lı́m f (x) = lı́m h(x) = M, existe un δ1 > 0 tal que
x→c
x→c
0 < |x − c| < δ1 =⇒ |f (x) − M| < ǫ
o de forma equivalente
(1.13)
0 < |x − c| < δ1 =⇒ M − ǫ < f (x) < M + ǫ.
Igualmente, existe un δ2 > 0 tal que
0 < |x − c| < δ2 =⇒ |h(x) − M| < ǫ
o de forma equivalente
(1.14)
0 < |x − c| < δ2 =⇒ M − ǫ < h(x) < M + ǫ.
Sea δ = mı́n{δ1 , δ2 }, como consecuencia de las ecuaciones (1.13), (1.14) se tiene que
0 < |x − c| < δ =⇒ M − ǫ < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < M + ǫ.
Por lo tanto,
0 < |x − c| < δ =⇒ M − ǫ < g(x) < M + ǫ
o de forma equivalente
0 < |x − c| < δ =⇒ |g(x) − M| < ǫ.
Una interpretación geométrica del teorema anterior es la siguiente:
h(x)
g(x)
M
c
f (x)
35
1.6. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Como aplicación del teorema anterior mostraremos la existencia del lı́mite
sen θ
θ→0
θ
lı́m
Para esto veamos que lı́m cos θ = 1. En efecto, observando la siguiente gráfica
θ→0
• (cos θ, sen θ)
θ
•
(1, 0)
θ
•
(1, 0)
• (cos θ, sen θ)
es posible concluir que a medida que θ se acerca al ángulo con medida 0 por medio
de ángulos con medida positiva, el valor de cos θ se aproxima a 1, igualmente, a
medida que θ se acerca al ángulo con medida 0 por medio de ángulos con medida
negativa, el valor de cos θ se aproxima a 1. Es decir,
lı́m cos θ = lı́m− cos θ = 1,
θ→0+
θ→0
por lo tanto
lı́m cos θ = 1
θ→0
Q
•
sen θ −
O
•
θ
•
P = cos θ
Tome 0 < θ < π2 . Con referencia a la figura: el área del sector circular de radio
cos θ y ángulo central θ es:
1
A1 (θ) = θ cos2 θ.
2
El área del triángulo OP Q es:
1
A2 (θ) = sen θ cos θ.
2
El área del sector circular de radio 1 y
ángulo central θ es:
1
A3 (θ) = θ.
2
36
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Además A1 (θ) < A2 (θ) < A3 (θ), al sustituir se tiene
1
1
1
θ cos2 θ < sen θ cos θ < θ
2
2
2
o equivalentemente (multiplicado por
(1.15)
cos θ <
2
θ cos θ
> 0)
1
sen θ
<
,
θ
cos θ
si 0 < θ <
Por otro lado, si − π2 < θ < 0, se tiene que 0 < −θ <
cos (−θ) <
π
2
π
.
2
y de (1.15),
1
sen (−θ)
<
−θ
cos (−θ)
Pero cos (−θ) = cos θ, sen (−θ) = − sen θ; de modo que lo anterior puede escribirse
como
1
π
sen θ
<
, si − < θ < 0
(1.16)
cos θ <
θ
cos θ
2
De (1.15) y (1.16) se concluye que
sen θ
1
π
π
<
, si − < θ <
∧ θ 6= 0
θ
cos θ
2
2
1
, como consecuencia de la desigualdad (1.17) y
Dado que lı́m cos θ = 1 = lı́m
θ→0
θ→0 cos θ
del teorema de estricción se tiene que
(1.17)
cos θ <
sen θ
= 1.
θ→0
θ
(1.18)
lı́m
Corolario 1.6.9
1. lı́m sen θ = sen 0 = 0
θ→0
1 − cos θ
=0
θ→0
θ
2. lı́m
Demostración:
1.
sen θ
·θ
( multiplicamos y dividimos por θ)
θ→0
θ
sen θ
· lı́m θ
( teorema (1.4.2))
= lı́m
θ→0
θ→0
θ
= 1·0
( igualdad (1.18))
= 0
lı́m sen θ = lı́m
θ→0
1.6. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
37
2.
(1 − cos θ) (1 + cos θ)
1 − cos θ
= lı́m
( mult y div por (1 + cos θ))
θ→0
θ→0
θ
θ (1 + cos θ)
1 − cos2 θ
= lı́m
( se multiplica )
θ→0 θ (1 + cos θ)
sen2 θ
= lı́m
( igualdad (1.12))
θ→0 θ (1 + cos θ)
sen θ
sen θ
· lı́m
( teorema (1.4.2))
= lı́m
θ→0 (1 + cos θ)
θ→0
θ
lı́m sen θ
θ→0
= 1·
( igualdad (1.18))
lı́m (1 + cos θ)
lı́m
θ→0
= 1·0
= 0
tan θ
. En efecto,
θ→0
θ
1. Calcular lı́m
Ejemplos 1.6.10
tan θ
1 sen θ
sen θ
1
= lı́m ·
= lı́m
· lı́m
=1
θ→0
θ→0 θ cos θ
θ→0
θ→0 cos θ
θ
θ
lı́m
θ2
. En efecto,
θ→0 sen θ
2. Calcular lı́m
θ2
0
θ
= lı́m sen θ =
θ→0 sen θ
θ→0
1
θ
lı́m
sen 3θ
. En efecto, multiplicando y dividiendo por 3 resulta
θ→0
2θ
3. Calcular lı́m
3 sen 3θ
3
sen 3θ
3
= lı́m
=
θ→0 2 3θ
2 θ→0 3θ
2
lı́m
cos θ − sen θ
. En efecto,
θ→π/4 1 − tan θ
4. Calcular lı́m
√
cos θ − sen θ
cos θ − sen θ
1
= lı́m
·
= lı́m cos θ = 1/ 2
θ→π/4 1 − tan θ
θ→π/4 cos θ − sen θ 1/ cos θ
θ→π/4
lı́m
38
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
θ
. En efecto,
θ→0
1 − cos θ
(1.19)
√
√
θ
θ 1 + cos θ
θ 1 + cos θ
√
lı́m √
= lı́m √
= lı́m √
θ→0+
1 − cos θ θ→0+ ( 1 − cos θ) · ( 1 + cos θ) θ→0+ 1 − cos2 θ
√
√
pero 1 − cos2 θ = sen2 θ = | sen θ|, dado que θ → 0+ se tiene que sen θ > 0,
consecuentemente | sen θ| = sen θ y la igualdad (1.19) se torna
√
√
√
θ
θ 1 + cos θ
1 + cos θ
1
lı́m+ √
= lı́m+
= lı́m+
=
= 1.
θ→0
θ→0
sen θ
sen θ/θ
1
1 − cos θ θ→0
5. Calcular lı́m+ √
1.7.
Lı́mites infinitos
En esta sección estudiaremos funciones cuyos valores crecen o decrecen arbitráriamente cuando la variable x se aproxima a un determinado valor c. Ejemplos
de este tipo de funciones ya han sido presentados, en 1.5.3.
Dada una función real racional f (x) = p(x)/q(x), el dominio de f es el conjunto
de los números reales en los cuales q(x) no se anula. En la gráfica de la función se
1
analiza el comportamiento cerca de estos puntos. Considere la función f (x) = x−1
cuya dominio es el conjunto R \ {1}. A continuación se calcularán algunos valores
de la función cuando x se aproxima de 1
x
f (x) = 1/x − 1
1,1
10
1,01
100
1,001
1000
1,0001
10000
1,00001
100000
x
f (x) = 1/x − 1
0,9
10
0,09
100
0,009
1000
0,0009
10000
0,00009
100000
Nótese que cuando la variable x se aproxima de 1 por la derecha (por valores mayores
que 1) el denominador x − 1 toma valores cercanos a 0, pero positivos, por esta
razón la función f (x) asume valores positivos y arbitráriamente grandes. Igualmente,
cuando la variable x se aproxima de 1 por la izquierda (por valores menores que 1)
el denominador x − 1 toma valores cercanos a 0, pero negativos, por esta razón la
función f (x) asume valores negativos y arbitráriamente pequeños. Debido a esto, es
posible escribir
1
1
lı́m+
= +∞, lı́m−
= −∞
x→1 x − 1
x→1 x − 1
39
1.7. LÍMITES INFINITOS
En el caso inicial se dice que f (x) crece sin lı́mite o tiende a infinito
cuando x se acerca a 1 por la derecha, en el segundo caso se dice que f (x) decrece
sin lı́mite o tiende a menos infinito cuando x se acerca a 1 por la izquierda.
Con base a esta información, es posible obtener la gráfica de f , mostrada a seguir.
2
1
-1
1
2
-1
-2
Otro ejemplo importante que fue presentado en el capı́tulo anterior es la función
f (x) = x12 . Cuya gráfica es
3
y=
2
1
x2
1
-2
-1
0
1
2
Nótese que cuando la variable x se aproxima de 0 por la derecha (por valores mayores
que 0) el denominador x2 toma valores positivos cercanos a 0, por esta razón la
función f (x) asume valores positivos y arbitráriamente grandes. Igualmente, cuando
la variable x se aproxima de 0 por la izquierda (por valores menores que 0) el
denominador x2 toma valores positivos cercanos a 0; por esta razón la función f (x)
asume valores positivos y arbitráriamente grandes. Debido a esto, es posible escribir
lı́m+
x→0
1
1
= +∞ = lı́m− 2
2
x→0 x
x
Estos ejemplos son un preámbulo suficiente para presentar la definición formal de
lı́mites infinitos.
40
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición 1.7.1 Sea f una función real definida en un intervalo abierto A el cual
contiene al punto c, excepto en c mismo.
1. Escribimos
lı́m f (x) = ∞
x→c
para significar lo siguiente: para cada número N > 0, es posible encontrar un
número real δ > 0 tal que para todo x ∈ A,
(1.20)
f (x) > N siempre que 0 < |x − c| < δ
La ecuación (1.20) quiere decir que a medida que la variable x se aproxima de
c, los valores de f (x) crecen sin lı́mite.
2. Escribimos
lı́m f (x) = −∞
x→c
para significar lo siguiente: para cada número N < 0, es posible encontrar un
número real δ > 0 tal que para todo x ∈ A,
(1.21)
f (x) < N siempre que 0 < |x − c| < δ
La ecuación (1.21) quiere decir que a medida que la variable x se aproxima de
c, los valores de f (x) decrece sin lı́mite.
Ejemplos 1.7.2
1. Usando la definición de lı́mites infinitos, demostrar que
lı́m−
x→2
1
= −∞.
x−2
Si N < 0, veamos que existe un δ > 0 tal que
0 < 2 − x < δ =⇒
1
< N.
x−2
Para encontrar tal δ, usamos la desigualdad
x − 2 < 0 y N < 0, luego
1
< N. Como x → 2− ,
x−2
1
< N ⇐⇒ 1 > (x − 2)N ⇐⇒ (x − 2) > 1/N ⇐⇒ 2 − x < −1/N,
x−2
de este modo, escogemos δ ≤ −1/N. En efecto, si N < 0, sea 0 < δ ≤ −1/N,
tal que si 0 < 2 − x < −1/N, entonces
−N(2 − x) < 1 ⇐⇒ N(x − 2) < 1 ⇐⇒ N >
Igualmente, es posible mostrar que lı́m+
x→2
1
= ∞.
x−2
1
.
x−2
41
1.7. LÍMITES INFINITOS
2. Calcular
lı́m+
√
x→2
x2 − 4
x−2
Dado que x → 2+ , x − 2 > 0; por lo tanto (x − 2) =
lı́m
√
x→2+
q
(x − 2)2 . Ası́
p
(x − 2) (x + 2)
q
lı́m+
x→2
(x − 2)2
√
√
x−2 x+2
√
= lı́m+ √
x→2
x−2 x−2
√
x+2
= lı́m+ √
x→2
x−2
x2 − 4
=
x−2
+
Para este último lı́mite se realiza el siguiente análisis,
√ dado √que x → 2 ,
entonces para x próximo y mayor que 2 se cumple 2 < x + 2 y x − 2 < x−2
por lo tanto valen las desigualdades
√
2
2
x+2
<√
<√
x−2
x−2
x−2
Usando el ejemplo anterior tenemos que lı́m+
x→2
2
= ∞, esto junto a las
x−2
desigualdades encima permite concluir que
√
2
x+2
= lı́m+ √
= ∞.
lı́m+ √
x→2
x − 2 x→2
x−2
En efecto, si N > 0, existe un δ > 0 tal que
√
x+2
2
2
0 < x − 2 < δ, =⇒ N <
<√
<√
.
x−2
x−2
x−2
3. Consideremos la función
f (x) =
x
.
(x − 1)(x + 1)
Empleando las técnicas para resolver desigualdades es simple mostrar
a) f (x) = 0, si x = 0;
b) f (x) > 0, si x ∈ (−1, 0] ∪ (1, ∞);
c) f (x) < 0, si x ∈ (−∞, −1) ∪ [0, 1).
42
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Vamos a observar que sucede con la función f cuando consideramos valores
a la recha de 1. Sabemos que en este caso la función es positiva, además si
1 < x < y, se tiene xy + 1 > 0 y además
1 < x < y =⇒ x(xy + 1) < y(xy + 1)
=⇒ x2 y + x < y 2x + y
=⇒ y(x2 − 1) < x(y 2 − 1)
x
y
< 2
=⇒ 2
y −1
x −1
=⇒ f (y) < f (x).
Por lo tanto la función es decreciente en el intervalo (1, ∞). Por otro lado, las
mismas desigualdades encima valen cuando se toma 0 < x < y < 1 ó −1 <
x < y < 0, luego en el intervalo (−1, 1) la función decrece, es positiva en
(−1, 0) y es negativa en (0, 1). Igualmente, las desigualdades anteriores son
válidas cuando x < y < −1, es decir la función es decreciente en (−∞, −1).
Con base a esta información podemos gráficar la función
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
y deducir
lı́m f (x) = ∞
x→1+
lı́m f (x) = −∞
x→1−
lı́m f (x) = ∞
x→−1+
lı́m f (x) = −∞
x→−1−
Un resultado importante sobre lı́mites infinitos es el siguiente
Teorema 1.7.3 Si n es cualquier entero positivo, entonces
43
1.7. LÍMITES INFINITOS
1
=∞
x→0 xn
(
∞
1
2. lı́m+ n =
x→0 x
−∞
1. lı́m+
si n es par ,
si n es impar
Demostración: En efecto, mostremos el primer inciso. Sea N > 0, debemos encontrar δ > 0 tal que
1
0 < x < δ =⇒ n > N
x
o de forma equivalente
1
0 < x < δ =⇒
> xn .
N
Como n > 0, se tiene se tiene
1
> xn ⇐⇒ x <
N
1
N
1/n
De este modo, la última implicación puede ser escrita como
0 < x < δ =⇒ x <
1
N
1/n
Por lo tanto el enunciado es cierto si tomamos δ =
.
1 1/n
.
N
Vimos en el capı́tulo anterior que la región correspondiente a los puntos del
plano para los cuales su primera componente es constante, es representada por una
recta paralela al eje y, más especı́ficamente, el conjunto {(a, y) : y ∈ r} gráficamente
se representa como
a
Esta recta es conformada por todos los
puntos del plano cuya primera coordenada es a, es decir, puntos que solucionan
la ecuación x = a en el plano; o sea, esta recta tiene por ecuación precisamente
x = a. Esta ecuación también tiene sentido en la recta, allı́ la solución es el número
a, en el plano su solución es el conjunto
de puntos graficados, o sea, al hablar de
una ecuación es importante determinar
en dónde se está planteando ésta.
44
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición 1.7.4 La recta x = a es una ası́ntota vertical de la gráfica de la
función f si se cumple alguna de las condiciones a seguir
1. lı́m+ f (x) = ±∞
x→a
2. lı́m− f (x) = ±∞
x→a
1. En los ejemplos presentados puede observarse que la recta
1
, igualmente la recta
x = 1 es una ası́ntota vertical para la función
x−1
1
x = 0 es una ası́ntota vertical para la función f (x) = 2 . En general, para
x
el caso de funciones racionales, los puntos donde la función que aparece en el
denominador se anulan, son los puntos en los cuales se presentan ası́ntotas
verticales.
Ejemplos 1.7.5
2. Para la función f (θ) = tan(θ) determinemos sus ası́ntotas verticales. Esta
función no está definida en los valores en los cuales la función coseno se
anula, es decir es en los multiplos de ± π2 . En estos puntos están precisamente
las ası́ntotas verticales.
π
2
•
π
2
(1, tan θ)
(1, 0)
θ
(1, 0)
θ
•
(1, tan θ)
Nótese en la figura anterior que para θ cercano de π2 pero menor, tan θ es positivo y toma valores arbitrariamente grandes. Igualmente, para θ en el segundo
cuadrante, es decir π2 < θ < π el valor de tan θ es negativo, además para
valores cercanos de π2 y mayores, tan θ toma valores arbitrariamente grandes.
Consecuentemente
lı́m tan θ = −∞,
+
θ→ π
2
lı́m tan θ = ∞
θ→ π2 −
De la figura anterior es posible concluir que a medida que theta varia de 0 a
π/2, la función tangente es creciente. Empleando esto junto con el hecho de
45
1.8. FUNCIONES CONTINUAS
que es un función impar, obtenemos la siguiente gráfica, en la que aparecen
trazadas las ası́ntotas verticales en ±π/2, ±3π/2
y = tan θ
1
−2π
−3 π2
− π2
3 π2
π
2
2π
−1
3. Cada una de las figura a seguir muestra un trozo de la gráfica de una función
para la cual la recta x = a es una ası́ntota vertical.
x=a
lı́m f (x) = ∞
x→a+
1.8.
x=a
lı́m f (x) = −∞
x→a+
x=a
lı́m f (x) = −∞
x→a−
x=a
lı́m f (x) = ∞
x→a−
Funciones continuas
Vamos a estudiar el concepto de continuidad , el cual aparece como hipótesis
fundamental en los principales teoremas del cálculo. La definición de este concepto
se realiza apoyados en el de lı́mite de funciones. Una intuición geométrica de función
46
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
real continua, es que su gráfica pueda ser dibujada en el plano cartesiano sin levantar
la mano, es decir, de un solo trazo. Por lo tanto, dicha gráfica no presenta interrupciones, en que por interupciones entendemos un hueco o un salto. Para comprender
estas ideas es conveniente observar el siguiente dibujo
2
La gráfica de la función se rompe en los
puntos x = −1, 1, 2. Dicha ruptura se
presenta bajo diferentes condiciones. En
x = −1, no exite el lı́mite pues
•
lı́m f (x) = 2 6= lı́m + f (x) = 1.
x→−1−
1
x→−1
En x = 1, lı́m− f (x) = lı́m+ f (x) = 1,
x→1
x→1
-2
-1
1
-1
2
pero este valor es diferente de f (1) = 2.
En x = 2,
lı́m f (x) = lı́m+ f (x) = 2,
-2
x→2−
x→2
pero la función no está definida en 2.
1.8.1.
Continuidad de una función en un punto
Al mirar con cuidado la gráfica anterior y los comentarios al respecto, es posible
deducir intuitivamente condiciones que permitirán definir la noción de función continua en un punto con mayor claridad y precisión. A saber, se requiere la existencia
del lı́mite en dicho punto y que tal lı́mite coincida con el valor de la función en el
mismo.
Definición 1.8.1 Una función real f es continua en x = a si y solamente, se
satisfacen las siguientes condiciones
1. f (a) existe;
2. lı́m f (x) existe;
x→a
3. lı́m f (x) = f (a)
x→a
Si una o más de estas tres condiciones no se cumple en el punto a, decimos que la
función f es discontinua en a.
47
1.8. FUNCIONES CONTINUAS
En la gráfica se tiene que la función es discontinua en x = −1, 1, 2 en el primer caso
no existe el lı́mite, en el segundo caso, el lı́mite existe en el punto x = 1 pero su valor
es diferente al de la función en tal punto, en el caso final, la función no está definida
en x = 2.
Observación 1.8.2
1. Las condiciones impuestas en la definición de continuidad en un punto pueden resumirse sólo en la siguiente: la función f es continua
en el punto a si, y solamente si, lı́m f (x) = f (a).
x→a
2. Para funciones definidas en intervalos del tipo (a, b) no se presenta dificultades
a la hora de considerar el lı́mite, ya que para cada c ∈ (a, b) hay puntos en tal
intervalo tanto a izquierda como a derecha de c y tan próximos de éste como
se desee. Sin embargo, para funciones definidas en intervalos del tipo [a, b) se
presentan dificultades en el punto a, puesto que no es posible aproximarse a
dicho punto por valores a su izquierda. Por lo tanto, al considerar la continuidad en este punto consideramos sólo el lı́mite a derecha de a; siendo ası́,
en la definición de continuidad en un punto, de ser posible puede escribirse
lı́m+ f (x) = f (a), o lı́m− f (x) = f (a) en lugar de lı́m f (x) = f (a). En estos
x→a
x→a
x→a
casos, se dice que la función f es continua a derecha o la función f es
continua a izquierda del punto x = a.
3. Suponiendo que una función f es discontinua en un punto x = a y que lı́m f (x)
x→a
existe. Entonces f (a) no existe, o bien f (a) 6= lı́m f (x). En este caso, se dice
x→a
que la discontinuidad es removible o evitable. Pues f puede redefinirse en
x = a de modo que su valor sea igual a lı́m f (x). Las discontinuidades que no
x→a
son removibles, se llaman discontinuidades esenciales.
1. En las siguientes figuras se pueden observar diversas situa-
Ejemplos 1.8.3
ciones.
•
•
-1
1
1
1
-1
1
En el caso inicial, en x = −1 hay una discontinuidad esencial, sin embargo, esta función es continua a la derecha de x = −1 pues lı́m + f (x) = 1 = f (−1).
x→−1
48
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
En el segundo caso, en x = 1 hay una discontinuidad removible, además la
función presenta discontinuidades a ambos lados de esta punto puesto que
lı́m+ f (x) = lı́m− f (x) = 1 6= 2 = f (1); sin embargo, para reparar esta six→1
x→1
tuación basta con redefinir f (1) = 1. En este caso la gráfica resultante es
•
1
-1
0
1
La demostración del siguiente resultado es consecuencia directa del teorema 1.4.2.
Teorema 1.8.4 Si f, g son funciones continuas en un punto a, entonces
1. f +g es continua en a. La suma de funciones continuas es una función continua
2. f −g es continua en a. La resta de funciones continuas es una función continua
3. f · g es continua en a. El producto de funciones continuas es una función
continua
4. f /g es continua en a, si g(a) 6= 0. El cociente de funciones continuas es una
función continua.
Observación 1.8.5 Observe las funciones
(
(
x x ∈ [−1, 1]
0 x ∈ [−1, 1]
f (x) =
g(x) =
0 x∈
/ [−1, 1]
x x∈
/ [−1, 1]
Para cada x ∈ R, (f + g) (x) = x. Por lo tanto, la función suma es una función
continua en cada número real pues
lı́m (f + g) (x) = lı́m x = c,
x→c
x→c
pero observe que tanto la función f , ası́ como la función g son discontinuas en los
puntos x = −1, 1, a saber
lı́m f (x) = lı́m+ 0 = 0 6= 1 = lı́m− f (x) = lı́m− x
x→1+
x→1
x→1
x→1
es decir no existe el lı́mite lı́m f (x). De forma análoga, no existe el lı́mite lı́m g(x).
x→1
x→1
Esto prueba la afirmación referente a las discontinuidades. O sea, si la suma de
dos funciones es una fucnión continua en un punto a, no necesariamente cada una
49
1.8. FUNCIONES CONTINUAS
de las funciones es continua en a; lo que afirma el resultado encima es que si dos
funciones son continuas en algún punto a, entonces su suma es una función continua
en a. Esto también ejemplifica la situación del teorema 1.4.2, el cual afirma que si
existen los lı́mites de dos funciones f, g en un punto a, entonces existe el lı́mite de
la suma f + g en dicho punto y su valor es la suma de los lı́mites. Sin embargo, la
existencia del lı́mite de la función f + g en algún punto a no garantiza la existencia
de los lı́mites para la función f ni para la función g en el punto a. Como sucedió en
este ejemploen x = 1.
Ejemplos 1.8.6 Con base a los ejemplos presentados en 1.3.3 y 1.4.4 se tiene
1. Para cada c ≥ 0 la función raı́z cuadrada es continua, en efecto hemos mostrado que
√
√
lı́m x = c.
x→c
Observese que en el punto c = 0 está en el dominio de la función, pero no hay
puntos a la izquierda de 0 que pertenezcan al dominio de la misma, por lo tanto,
para este punto estamos hablando de continuidad a derecha ya
√ que √sólo es
posible aproximarse de cero por valores positivos. Además, lı́m+ x = 0 = 0.
x→0
2. Para cada c 6= 0, la función f (x) = x1 es continua en c, en efecto hemos
mostrado que
1
1
lı́m = .
x→c x
c
3. Las funciones polinomiales son continuas en todo número. Puesto que para
cada número c se tiene que
lı́m an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0 .
x→c
Más general, toda función racional es continua en cada punto de su dominio.
4. Vimos que para cada número real c
(
lı́m x,
c>0
c,
x→c
lı́m |x| =
=
x→c
lı́m −x, c < 0
−c,
x→c
c>0
= |c|
c<0
Por lo tanto, la función valor absoluto es continua en cada número real.
5. En la sección de lı́mites de funciones trigonométricas vimos que
lı́m sen x = sen 0 = 0, lı́m cos x = cos 0 = 1,
x→0
x→0
50
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
es decir las funciones seno y coseno son continuas en x = 0, esto pede ser
extendido a cualquier número real, es decir, las funciones seno y coseno son
continuas en cada número real. O sea, para cada número real c vale
lı́m sen x = sen c, lı́m cos x = cos c.
x→c
x→c
En virtud del corolario 1.4.3, esto es equivalente a mostrar que
lı́m sen (t + c) = sen c, lı́m cos (t + c) = cos c.
t→0
t→0
En efecto, para mostrar esto empleamos las fórmulas para la suma y la resta
de ángulos,
sen (t + c) = sen t cos c + sen c cos t, cos (t + c) = cos t cos c − sen t sen c.
Calculando se obtiene
lı́m sen (t + c) = lı́m (sen t cos c + sen c cos t)
t→0
t→0
= lı́m sen t · lı́m cos c + lı́m cos t · lı́m sen c
t→0
t→0
t→0
t→0
= 0 · cos c + 1 · sen c
= sen c.
Del mismo modo, es mostrado que lı́m cos (t + c) = cos c.
t→0
6. Consecuentemente, la función tangente es continua en todos lo puntos de su
dominio.Pues es el cociente de funciones continuas.
A pesar de que la noción de función continua se presenta a partir de lı́mites, los
teoremas acerca de funciones continuas son de utilidad para calcular algunos lı́mites.
Para esto recordamos algunas nociones referentes a la composición de funciones.
Dadas funciones f, g, la función compuesta, denotada por f ◦ g, es definida por
(f ◦ g) (x) = f (g(x))
el dominio de f ◦g consiste de los elementos del dominio de la función g tales que g(x)
es un elemento del dominio de la función f . Empleando la noción de continuidad es
posible calcular lı́mites para funciones compuestas, más especı́ficamente se tiene
Teorema 1.8.7 Sean f, g funciones. Si f es continua en el punto b y lı́m g(x) = b,
x→a
entonces
lı́m (f ◦ g) (x) = lı́m f (g(x)) = f lı́m g(x) = f (b).
x→a
x→a
x→a
En otras palabra, este teorema lo que afirma es que las funciones continuas dejan
ingresar el lı́mite en sus argumetos.
51
1.8. FUNCIONES CONTINUAS
Demostración: La continuidad de la función f en b implica que lı́m f (x) = f (b).
x→b
Por tanto, dado ǫ > 0, es posible encontrar δ1 > 0, tal que
(1.22)
0 < |y − b| < δ1 =⇒ |f (y) − f (b)| < ǫ.
Como lı́m g(x) = b, para cada δ1 es posible encontrar un δ2 , tal que
x→a
(1.23)
0 < |x − a| < δ2 =⇒ |g(x) − b| < δ1 .
De este modo, si tomamos δ = δ2 , se tiene en virtud de (1.23) que si 0 < |x − a| < δ,
entonces |g(x) − b| < δ1 . Consecuentemente, de (1.22) (con g(x) en lugar de y)
resulta
|f (g(x)) − f (b)| < ǫ.
O sea, para cualquier ǫ > 0, es posible encontrar un δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (g(x)) − f (b)| < ǫ.
Esto muestra el resultado deseado.
Corolario 1.8.8 Como consecuencia del teorema anterior y de la continuidad de
la función x1 se tiene una prueba para el ı́tem 6 en el teorema 1.4.2. En efecto, si
1
h(x) = x1 entonces (h ◦ g) (x) = h (g(x)) = g(x)
. Por lo tanto
1
1
lı́m
= lı́m (h ◦ g) (x) = lı́m h (g(x)) = h lı́m g(x) =
x→c g(x)
x→c
x→c
x→c
lı́m g(x)
x→c
Finalmente el resulatdo se sigue de aplicar la propiedad del ı́tem 5, ası́
lı́m f (x)
1
1
f (x)
1
= lı́m f (x) ·
= lı́m f (x) · lı́m
= lı́m f (x) ·
= x→c
x→c g(x)
x→c
x→c g(x)
x→c
g(x) x→c
lı́m g(x)
lı́m g(x)
lı́m
x→c
x→c
Corolario 1.8.9 Como consecuencia del teorema anterior y de la continuidad de la
función raı́z cuadrada se tiene una prueba para el segundo ı́tem en el teorema 1.4.5
para el caso n = 2, es decir, si lı́m f (x) = L, entonces
x→a
q
p
√
lı́m f (x) = lı́m f (x) = L.
x→a
x→a
Una prueba de este resultado en el caso general, requiere inicialmente mostrar el
primer ı́tem del mismo teorema, es decir necesitamos probar la continuidad de la
función raı́z n-ésima. Esto será planteado en los ejercicios al final del capı́tulo, con
una serie de sugerencias para resolverlo.
52
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Corolario 1.8.10 Sean f, g funciones. Si la función g es continua en a y la función
f es continua en g(a), entonces la función compuesta f ◦ g es continua en a.
Demostración:
lı́m (f ◦ g) (x) = lı́m f (g(x)) = f lı́m g(x) = f (g(a)) .
x→a
x→a
Ejemplos 1.8.11
1. Si f (x) =
f ◦ g se define como
x→a
√
x, g(x) = 9−x2 , entonces la función compuesta
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (9 − x2 ) =
√
9 − x2 ,
su dominio es el conjunto
Dom(f ◦ g) = {x ∈ R : 0 ≤ 9 − x2 } = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 3}.
Esta función es continua en cada elemento de su dominio, ya que es la composición de funciones continuas en cada elemente del conjuntoanterior. En los
puntos 3, −3, tenemos continuidad a la izquierda y a la derecha respectivamente.
√
x2 − 1
, g(x) = |x|, entonces la función compuesta f ◦ g se define
2. Si f (x) = √
4−x
como
p
|x|2 − 1
f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (|x|) = p
,
4 − |x|
su dominio es el conjunto
Dom(f ◦ g) = {x ∈ R : 0 ≤ x2 − 1 ∧ 0 < 4 − |x|} = (−4, −1] ∪ [1, 4).
Esta función es continua en cada elemento de su dominio, ya que es la composición de funciones continuas en tal conjunto.
1.8.2.
Continuidad de una función en un intervalo
En la sección anterior se estableció la continuidad de una función en un punto
de su dominio. Este concepto puede extenderse de manera natural para todos los
puntos de su dominio. A saber, inicialmente se tiene la siguiente definición.
Definición 1.8.12 Sea f una función real cuyo dominio es un intervalo abierto, o
está constituido por intervalos abiertos. Entonces f es una función continua si es
continua en cada punto de su dominio.
53
1.8. FUNCIONES CONTINUAS
1
Ejemplos 1.8.13 La función √ está definida en el intervalo abierto A = (0, ∞).
x
Esta función es continua, puesto que es el cociente de dos funciones que son continuas en cada elemento de A.
Empleando los conceptos de continuidad a derecha e izquierda puede definirse
la noción de función continua en un intervalo cerrado o semi-abierto. La diferencia
de este caso con el de continuidad sobre un intervalo abierto es la presencia de los
extremos en los intervalos semi-abiertos y cerrados. Como ya comentamos antes,
para intervalos del tipo (a, b) no se presentan dificultades a la hora de considerar
el lı́mite de una función en cualquier punto de este intevalo; sin embargo, para
funciones definidas en intervalos del tipo [a, b) se presentan dificultades en el punto
a, puesto que no es posible aproximarse de dicho punto por valores a la izquierda
del mismo. Por lo tanto, al considerar la continuidad en este punto consideramos el
lı́mite a derecha de a. Más especı́ficamente se tiene la siguiente
Definición 1.8.14 Sea f una función real cuyo dominio es un intervalo cerrado
[a, b]. Entonces f es una función continua en el intervalo [a, b] si, y solamente si, es
una función continua en el intervalo abierto (a, b), a la derecha del punto a y a la
izquierda del punto b.
De igual orma se define la noción de continuidad para el caso de funciones definidas
en intervalos semi-abierto. Retomando los ejemplos anteriores se tiene
√
1. Para f (x) = 9 − x2 , el dominio es [−3, 3]; y vimos que la función es continua
en su dominio, a saber para c ∈ (−3, 3)
lı́m
x→c
lı́m +
√
x→−3
lı́m−
x→3
√
9 − x2 =
9 − x2 =
√
q
9 − x2 =
q
lı́m 9 − x2 =
x→c
lı́m + 9 − x2 =
x→−3
q
√
lı́m− 9 − x2 =
x→3
p
9 − c2 = f (c),
9 − (−3)2 = 0 = f (−3),
p
9 − (3)2 = 0 = f (3).
p
|x|2 − 1
2. Un análisis similar muestra que f (x) = p
, es una función continua en
4 − |x|
su dominio (−4, −1] ∪ [1, 4).
3. Considere la función definida en el intervalo cerrado [−3, 3] y dada por la
54
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
gráfica
•
•
-3
-2
1
-1
1
2
3
-1
Esta función no es continua en el intervalo cerrado [−3, 3], pues no es continua
en el intervalo abierto (−3, 3) ya que es discontinua en x = −1; además, no
es cotinua a la izquierda de x = 3, pues lı́m− f (x) = 1 6= 2 = f (3). Sin
x→3
embargo, f es continua sobre el intervalo semi-abierto [−3, −1) y no lo es en el
cerrado [−3, −1], ya que no es una función continua a la izquierda de x = −1.
Igualmente f es una función continua en el intervalo semi-abierto [−1, 3) y no
lo es en el cerrado [−1, 3] ya que no es continua a la izquierda de 3.
La importancia de la noción de continuidad de una función en un intervalo se
hará más evidente a medida que se avanza en el estudio del cálculo. Esta propiedad es una hipótesis en muchos de los teoremas esenciales del cálculo. A seguir
presentamos uno de éstos, el Teorema del valor intermedio.
Teorema 1.8.15 (Teorema del valor intermedio) Si f es una función continua en
el intervalo cerrado [a, b] y si f (a) 6= f (b), entonces f asume todos los valores
comprendidos entre f (a) y f (b), más especı́ficamente, para cada número k entre
f (a) y f (b) es posible encontrar un número c ∈ [a, b] tal que f (c) = k.
Una intuición geométrica es que el teorema anterior establece que cada recta
horizontal comprendida entre f (a) y f (b) corta al menos una vez la gráfica de la
función. La siguiente figura puede ser de utilidad para generar una idea intuitiva del
resultado anterior.
f (b)
f (b)
y=k
k
y=k
k
f (a)
f (a)
a
cb
a
b
55
1.8. FUNCIONES CONTINUAS
La figura anterior muestra los casos en que para el valor de k entre f (a) y f (b)
hay uno o varios posibles c entre a y b que asumen el valor de k por la función f . A
seguir observamos que la continuidad es una hipótesis fundamental en el teorema.
En efecto, considere la función definida por la gráfica
2
•
1
-1
1
2
La función es discontinua en el punto x = 1, además si tomamos k = 1,5 no hay
ningún c en el intevalo cerrado [−1, 2] cuya imagen por f sea k.
Como consecuencia del teorema del valor intermedio se tiene los siguientes
resultados.
Corolario 1.8.16 (Teorema del cero intermedio) Si f es una función continua en el
intervalo cerrado [a, b] y si f (a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces f es posible
encontrar un número c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
Demostración: La función f satisface las condiciones del teorema del valor intermedio, como f (a) y f (b) tienen signos contrarios, se tiene que k = 0 está entre estos
valores, por lo tanto, existe un c ∈ [a, b] tal que f (c) = k = 0.
Corolario 1.8.17 (Teorema del punto fijo) Si f es una función continua en el
intervalo cerrado [0, 1] y a valores en el mismo intervalo [0, 1], entonces existe un
c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c.
Demostración: Si f (0) = 0 ó f (1) = 1 no tenemos nada que demostrar. Si f (0) 6= 0
y f (1) 6= 1 consideramos la función g(x) = f (x) − x. Esta función es continua
pues f lo es y la aplicación x también lo es; por lo tanto g(0) = f (0) − 0 > 0,
además g(1) = f (1) − 1 < 0, por lo tanto g(0) y g(1) tienen signos opuestos, como
consecuencia del corolario anterior se tiene que existe un c ∈ [0, 1] tal que g(c) = 0,
pero g(c) = f (c) − c, luego f (c) = c.
Ejemplos 1.8.18
1. Sea f (x) = 2 + x − x2 . Esta función es continua en el
intervalo [0, 3], además f (0) = 2 y f (3) = −4, por lo tanto, el teorema del valor
intermedio garantiza que para cada valor k entre −4 y 2, existe un número
c ∈ [0, 3] tal que f (c) = k. De este modo, para k = 1 es posible determinar
56
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
el valor de c. A saber, se requiere resolver la ecuación f (c) = 2 + c − c2 = 1,
bajo la condición de que c ∈ [0, 3]. O de forma equivalente, c2 − c − 1 = 0, con
c ∈ [0, 3]. Empleando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo
grado se tiene que
p
√
−(−1) ± (−1)2 − 4(1)(−1)
1± 5
c=
=
2(1)
2
√
empleando la condición c ∈ [0, 3] determinamos que el valor es c = 1+2 5 .
Igualmente para k = 0, es posible determinar el valor de c, tal que f (c) = 0.
A saber, para esto se requiere resolver la ecuación f (c) = 2 + c − c2 = 0, bajo
la condición de que c ∈ [0, 3]. De nuevo empleando la fórmula general para
resolver ecuaciones de segundo grado se tiene que
(
p
√
−(1) ± (1)2 − 4(−1)(2)
−2
−1 ± 9
−1 ± 3
c=
=
=
=
2(1)
2
2
1
emplenado la condición c ∈ [0, 3] determinamos que el valor es c = 1.
2. La función f (x) = x3 − 6x + 3 es continua sobre toda la recta en particular lo
es en el intervalo cerrado [−5, 5]. Por otro lado, f (5) = 98 y f (−5) = −152.
Como consecuencia del teorema del cero intermedio sabemos que existe un
número c ∈ [−5, 5] tal que f (c) = 0, pero determinar este valor puede no ser
una tarea sencilla. Sin embargo, un análisis más detallado permite determinar
la ubicación más exacta para este valor y para todas las posibles soluciones
de la ecuación f (x) = 0. A saber, f (−5) = −152 < 0 y f (0) = 3 > 0, por
lo tanto el mismo teorema garantiza la exitencia de un valor c1 ∈ [−5, 0] tal
que f (c1 ) = 0. Igualmente, f (0) = 3 > 0 y f (1) = −2 < 0, por lo tanto
existe un número c2 ∈ [0, 1] tal que f (c2 ) = 0; finalmente f (1) = −2 < 0 y
f (5) = 98 > 0 luego existe un valor c3 ∈ [1, 5] tal que f (c3 ) = 0. Es decir, el
teorema del cero intermedio sirve para delimitar los posibles valores de c para
los cuales f (c) = 0 y no para calcular tales valores.
3. El teorema del punto fijo no es válido si el intervalo en cuestión no es cerrado.
En efecto, la función f (x) = x2 es claramente continua en el intervalo abierto
(0, 1), pero no hay ningún elemento c ∈ (0, 1) para el cual f (c) = c; en efecto,
esta igualdad equivale con 2c = c lo que implica que c = 0, pero 0 ∈
/ (0, 1).
1.9.
Lı́mites al infinito
En la sección (1.7) hemos estudiado el caso de los lı́mites infinitos de funciones.
Éstos son el resultado de un crecimiento o un decrecimiento arbitrario de los valores
57
1.9. LÍMITES AL INFINITO
asumidos por la función a medida que la variable independiente se aproxima a un
determinado valor. Pasamos ahora al estudio de los lı́mites en el infinito, la idea
ahora es conocer el comportamiento de los valores de f (x) cuando la variable x
toma valores positivos o negativos arbitráriamente grandes en valor absoluto. Esto
se escribe como x → ∞, x → −∞.
1
cuya dominio sabemos es el conjunto R \ {1}.
Considere la función f (x) = x−1
A continuación se calcularán algunos valores de la función cuando x asume valores
grandes en valor absoluto.
x
101
1001
10001
100001
1000001
f (x) = 1/x − 1
10−2 = 0,01
10−3 = 0, 001
10−4 = 0,0001
10−5 = 0,00001
10−6 = 0,00001
x
−99
−999
−9999
−99999
−999999
f (x) = 1/x − 1
−10−2 = −0,01
−10−3 = −0,001
−10−4 = −0,0001
−10−5 = −0,00001
−10−6 = −0,00001
Nótese que cuando la variables x asume valores positivos o negativos muy
grandes en valor absoluto, el denominador x − 1 asume valores positivos o negativos
grandes en valor absoluto, por esta razón el cociente asume valores arbitráriamente
pequeños. Debido a esto decimos que f (x) tiende a cero cuando x tiene a infinito
(resp. menos infinito) y es posible escribir
1
1
= 0 = lı́m
.
x→∞ x − 1
x→−∞ x − 1
lı́m
Sin más preámbulos presentamos la definición de lı́mites en el infinito.
Definición 1.9.1
1. Sea f una función real definida en un intervalo del tipo
(a, ∞). Escribimos
lı́m f (x) = M
x→∞
para significar lo siguiente: para cada número real ǫ > 0, es posible encontrar
un número real N > 0 tal que
x > N =⇒ |f (x) − M| < ǫ
La implicación encima quiere decir que a medida que la variable x crece los
valores de f (x) se aproximan de M.
2. Sea f una función real definida en un intervalo del tipo (−∞, a). Escribimos
lı́m f (x) = M
x→−∞
58
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
para significar lo siguiente: para cada número real ǫ > 0, es posible encontrar
un número real N < 0 tal que
x < N =⇒ |f (x) − M| < ǫ
La implicación encima quiere decir que a medida que la variable x decrece los
valores de f (x) se aproximan de M.
Gráficamente lı́m f (x) = M1 , lı́m f (x) = M2 se interpreta como
x→∞
x→−∞
y = M1
y = M2
Observación 1.9.2
1. Para el caso de lı́mites en el infinito también se tienen
resultados análogos a los que aparecen en el teorema 1.4.2. Más especı́ficamente se tiene: Si k es una constante, f, g funciones reales. Suponiendo que
lı́m f (x), lı́m g(x) son números reales. Entonces
x→∞
x→∞
a) lı́m k = k
x→∞
b) lı́m x = ∞
x→∞
c) lı́m f (x) ± g(x) = lı́m f (x) ± lı́m g(x)
x→∞
x→∞
x→∞
d) lı́m kf (x) = k lı́m f (x)
x→∞
x→∞
e) lı́m f (x) · g(x) = lı́m f (x) · lı́m g(x)
x→∞
x→∞
x→∞
lı́m f (x)
f (x)
= x→∞
, si lı́m g(x) 6= 0.
x→∞
x→∞ g(x)
lı́m g(x)
f) lı́m
x→∞
Las pruebas de estos enunciados son similares a las efectuadas en 1.4.2.
59
1.9. LÍMITES AL INFINITO
2. Los enunciados encima son igualmente válidos si se remplaza x → ∞ por
x → −∞.
1. Usando la definición de lı́mites al infinito, demostrar que
1
lı́m = 0.
x→∞ x
Si ǫ > 0, veamos que existe un N > 0 tal que
1
x > N =⇒ < ǫ.
x
1
Para encontrar tal N, usamos la desigualdad < ǫ. Como x → ∞, se tiene
x
|x| = x > 0, luego
1
1
< ǫ ⇐⇒ < x.
x
ǫ
De este modo es posible escoger 0 < N ≤ 1ǫ . En efecto, si N ≤ 1ǫ , dado x > N
se tiene que
1
1
<
≤ ǫ.
x
N
Un resultado más general es el siguiente, para cada número natural n > 0,
1
1
(1.24)
lı́m n = 0,
lı́m n = 0.
x→∞ x
x→−∞ x
Para la demostración de este hecho basta imitar lo encima realizado y escoger
1
N ≤ 1ǫ n .
Ejemplos 1.9.3
2. Como aplicación del inciso anterior se tiene el cálcuo de lı́mites en el infinito
para funciones racionales. Para
2x − 1
f (x) =
.
x+3
Determinemos lı́m f (x). Para aplicar el inciso anterior, se divide el numerax→∞
dor y el denominador entre x, obteniendos
2x − 1
=
x→∞ x + 3
lı́m
2−
x→∞ 1 +
lı́m
1
x
3
x
1
x
=
3
lı́m 1 + lı́m
x→∞
x→∞ x
2−0
=
1+0
= 2.
lı́m 2 − lı́m
x→∞
x→∞
60
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
3. Para
√
x2 + 1
x
calcular lı́m f (x), lı́m f (x). Para hacer esto, de nuevo se divide el numex→∞
x→−∞
√
√
rador y el denominador por x2 = |x|. Cuando x → ∞, |x| = x2 = x, se
tiene entonces
r
q
1
s
√
lı́m 1 + 2
1 + x12
1
x2 + 1
x→∞
x
lı́m
= lı́m
=
lı́m 1 + 2 = 1
=
x
x→∞
x→∞
x→∞
x
lı́m 1
x
x
f (x) =
x→∞
√
Análogamente, cuando x → −∞, |x| = x2 = −x, se tiene entonces
r
1
s
√
1+ 2
lı́m
2
x +1
1
x→−∞
x
=
=−
lı́m
lı́m 1 + 2 = −1
x→−∞
x→−∞
x
lı́m −1
x
x→−∞
4. Empleando la definición de lı́mites infinitos y lı́mites en el infinito, es simple
ver que para cada número natural n > 0
lı́m xn = ∞.
x→∞
En efecto, para combinar las dos definiciones, veamos que dado M > 0, es
posible encontrar un N > 0 tal que
x > N =⇒ |xn | > M.
A saber, como x → ∞, se tiene |x| = x > 0 luego
√
√
n
n
|xn | > M =⇒ |x| > M ⇐⇒ x > M ,
por lo tanto, para obterner el resultado basta escoger N =
en el que x → −∞, se tiene
(
∞ n par
lı́m xn =
x→−∞
−∞ n impar
√
n
M . Para el caso
En efecto, veamos el caso en que n = 2k es par, en esta situación vamos a
mostrar que lı́m xn = ∞, para esto combinando las definiciones de lı́mites
x→−∞
infinitos y lı́mites en el infinito se tiene que para cada M > 0, es posible
encontrar un N < 0 tal que
x < N =⇒ xn > M.
61
1.9. LÍMITES AL INFINITO
En efecto, dado M > 0, se tiene
xn > M
=⇒
⇐⇒
√
2k
x2k >
q
2
(xk )2
√
n
M
k1
>
√
n
M
√
1
⇐⇒ |xk | k > n M
√
⇐⇒ |x| > n M
√
√
⇐⇒ x > n M ∨ x < − n M .
√
Consecuentemente, para obtener el resultado basta tomar N = − n M .
Mostremos ahora el caso en que n = 2k +1 es impar, en esta situación vamos a
mostrar que lı́m xn = −∞, para esto combinando las definiciones de lı́mites
x→−∞
infinitos y lı́mites en el infinito se tiene que para cada M < 0, es posible
encontrar un N < 0 tal que
x < N =⇒ xn < M.
En efecto, dado M < 0, se tiene
xn < M
√
xn < n M
√
⇐⇒ x < n M .
=⇒
√
n
Consecuentemente, para obtener el resultado basta tomar N =
5. Para
√
n
M.
x2 − 1
x3 + x2 + 1
lı́m f (x). Dividiendo tanto el numerador como el denof (x) =
calcular lı́m f (x),
x→∞
x→−∞
minar por la mayor potencia de x que aparece en la expresión de f (x), es decir
por x3 se tiene
1
1
lı́m
− 3
1
x→∞ x
− x13
x2 − 1
0
x
x
= =0
= lı́m
=
lı́m 3
1
1
2
x→∞ 1 +
x→∞ x + x + 1
1
1
1
+ x3
x
lı́m 1 + + 3
x→∞
x x
Igualmente se muestra lı́m f (x) = 0.
x→−∞
62
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
6. Observando las gráficas de las funciones seno y coseno, se nota que estas
funciones están oscilando periódicamente entre −1 y 1, puede intuirse que
conforme la variable x crece o decrece arbitráriamente estas funciones no se
aproximan de un valor fijo. Es decir, no existen los lı́mites
lı́m sen x,
x→±∞
lı́m cos x.
x→±∞
Para ver esto, razonemos por reducción al absurdo, es decir supongamos que
lı́m sen x = M. Sea ǫ > 0, por definición es posible encontrar un número real
x→∞
N > 0 tal que
(1.25)
x > N =⇒ | sen x − M| < ǫ.
También es claro que existe un número entero n tal que 2πn > N, de (1.25)
se sigue que
| sen (2πn) − M| = |M| < ǫ ⇐⇒ −ǫ < M < ǫ,
dado que ǫ es un número cualquiera, se tiene que M = 0. Consecuentemente,
si tomamos ǫ = 1/2, es posible encontra un número real N > 0 tal que la
ecuación (1.25) puede escribirse como
1
x > N =⇒ | sen x| < .
2
Igualmente, existe un número entero m tal que (2n + 1) π2 > N, de (1.25) se
sigue que
π sen(2n + 1) = |1| < 1/2.
2
Lo que es un absurdo, por lo tanto no existe el lı́mite lı́m sen x. De forma
x→∞
análoga se muestra que no existe el lı́mite lı́m cos x.
x→∞
7. (Lı́mites en el infinito para funciones racionales) Sea
f (x) =
p(x)
am xm + am−1 xm−1 + · · · + a1 x + a0
=
q(x)
bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0
una función racional con, am , bn 6= 0, m y n enteros positivos. Entonces
a) Si m < n, es decir el grado del numerador es menor que el grado del
denominador. Entonces
p(x)
= 0.
x→∞ q(x)
lı́m f (x) = lı́m
x→∞
63
1.9. LÍMITES AL INFINITO
En efecto, si dividimos por xn como resultado se tiene
lı́m f (x) =
x→∞
=
=
=
=
am−1
a0
am
+ n−m−1 + · · · + n
n−m
x
x
lı́m x
bn−1
b0
x→∞
bn +
+···+ n
x
x
a
a
a0 m−1
m
+
+
·
·
·
+
lı́m
n
x→∞ xn−m
xn−m−1
x
bn−1
b0
lı́m bn +
+···+ n
x→∞
x
x
am−1
a0
am
+ lı́m n−m−1 + · · · + lı́m n
lı́m
x→∞ x
x→∞ x
x→∞ xn−m
b0
bn−1
+ · · · + lı́m n
lı́m bn + lı́m
x→∞ x
x→∞
x→∞ x
0
bn
0
b) Si m = n, es decir el grado del numerador es igual que el grado del
denominador. Entonces
p(x)
am
=
.
x→∞ q(x)
bn
lı́m f (x) = lı́m
x→∞
En efecto, si dividimos por xn como resultado se tiene
am−1
a0
+···+ n
x
x
lı́m f (x) = lı́m
bn−1
b0
x→∞
x→∞
bn +
+···+ n
x
x
a0 am−1
+···+ n
lı́m am +
x
x
= x→∞ bn−1
b0
lı́m bn +
+···+ n
x→∞
x
x
am
=
bn
am +
c) Si m > n, es decir el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador. Entonces
p(x)
= ∞.
x→∞ q(x)
lı́m f (x) = lı́m
x→∞
64
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
En efecto, si dividimos por xn como resultado se tiene
lı́m f (x) =
x→∞
lı́m
am xm−n + am−1 xm−1−n + · · · +
x→∞
bn +
bn−1
b0
+···+ n
x
x
a0
xn
a0 lı́m am xm−n + am−1 xm−1−n + · · · + n
x
= x→∞
b0
bn−1
+···+ n
lı́m bn +
x→∞
x
x
= ∞
8. Empleando el inciso anterior se puede calcular rápidamente los lı́mites en el
infinito para funciones racionales, a saber
a) lı́m
x→∞
dor.
7x − 1
= 0, el grado del numerador es menor que el del denominax2
2
1
2x3 + x2 + 1
= = , el grado del numerador es igual que el del
3
x→∞ 4x + x − 1
4
2
denominador.
b) lı́m
x4 + x3 + 1
= ∞, el grado del numerador es mayor que el del denoc) lı́m
x→∞ 2x2 + x − 1
minador.
Observación 1.9.4 La hipótesis exigida en la observación 1.9.2, con respecto a que
los lı́mites de f (x) y g(x) sean números reales, es esencial, ya que si esta condición
no se cumple, el teorema
√ no es válido; a saber para el caso de la suma considere
las funciones f (x) = x2 + 1, g(x) = x, en este caso se tiene lı́m f (x) = ∞,
x→∞
lı́m g(x) = ∞; sin embargo,
x→∞
lı́m (f (x) − g(x)) 6= lı́m f (x) − lı́m g(x) = ∞ − ∞.
x→∞
x→∞
x→∞
Inicialmente la expresión ∞ − ∞ es una indeterminación, además calculando
√
lı́m f (x) − g(x) = lı́m x2 + 1 − x
x→∞
x→∞
√
√
x2 + 1 − x
x2 + 1 + x
√
= lı́m
x→∞
x2 + 1 + x
1
= lı́m √
2
x→∞
x +1+x
= 0
65
1.9. LÍMITES AL INFINITO
Para el producto basta considerar f (x) =
lı́m f (x) = 0, lı́m g(x) = ∞; sin embargo,
x→∞
1
,
x
g(x) = x, en este caso se tiene
x→∞
lı́m f (x) · g(x) 6= lı́m f (x) · lı́m g(x) = 0 · ∞.
x→∞
x→∞
x→∞
Inicialmente la expresión 0 · ∞ es una indeterminación, además calculando
lı́m f (x) · g(x) = lı́m 1 = 1.
x→∞
x→∞
En la sección de lı́mites infinitos, como aplicación de éstos se definieron las
ası́ntotas verticales a la gráfica de una función, ahora como aplicación de los lı́mites
en el infinito se introducen las ası́ntotas horizontales.
Definición 1.9.5 La recta y = b es una ası́ntota horizontal a la gráfica de una
función f si se cumple alguna de las condiciones a seguir
1. lı́m f (x) = b, y para algún N > 0, si x > N, entonces f (x) 6= b;
x→∞
2. lı́m f (x) = b, y para algún N < 0, si x < N, entonces f (x) 6= b.
x→−∞
k
, la recta y = 0 es
x
una ası́ntota horizontal, a saber, hemos mostrado que lı́m f (x) = 0.
Ejemplos 1.9.6
1. Para cada función de la forma f (x) =
x→±∞
, la recta y = 1 es una ası́ntota horizontal, a
2. Para la función f (x) = x+1
x
saber, empleando las observaciones para el cálculo de lı́mites en el infinito
para funciones racionales se tiene que en este caso el grado del numerador es
igual al del denominador, por lo tanto el valor del lı́mite es el cociente de los
coeficientes principales, luego
x+1
= 1.
x→±∞
x
lı́m
3. Cada una de las figuras a seguir muestra un trozo de la gráfica de una función
para la cual la recta y = b es una ası́ntota horizontal.
lı́m f (x) = b
x→∞
y=b
lı́m f (x) = b
y=b
x→∞
66
CAPÍTULO 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
lı́m f (x) = b
lı́m f (x) = b
y=b
x→−∞
x→−∞
y=b
4. Toda función racional f (x) = p(x)
para la cual el denominador y el numerador
q(x)
tiene igual grado, presenta una ası́ntota horizontal. A saber, la recta horizantal
determinada por el cociente de los coeficientes principales.
x−1
, se tiene que la recta y = 1, es una ası́ntota
x+1
horizontal ya que lı́m f (x) = 1; además la recta x = −1 es una asintota
5. Para la función f (x) =
x→∞
horizontal pues
lı́m + f (x) = −∞ y
x→−1
lı́m f (x) = ∞. Los datos anteriores
x→−1−
permiten determinar geométricamente el comportamiento de la curva cerca de
las ası́ntotas y su gráfica. En efecto, con base a la información que ofrece la
ası́ntota vertical se tiene el bosquejo
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
por otro lado, referente a la ası́ntota horizontal observe que la función no corta
tal recta, es decir para cada número x ∈ R se tiene f (x) 6= 1, en efecto, si
existe x ∈ R con f (x) = 1, entonces
f (x) =
x−1
= 1 ⇐⇒ 2 = 0
x+1
lo cual es absurso. Para saber el comportamiento de la gráfica de la función,
referente a esta ası́ntota, necesitamos saber si la función está por encima o
por debajo de esta, más especı́ficamente, necesitamos saber dónde f (x) < 1?,
67
1.9. LÍMITES AL INFINITO
en efecto, para esto resolvemos la desigualdad
f (x) =
x−1
x−1
< 1 ⇐⇒
−1 <0
x+1
x+1
2
⇐⇒ −
<0
x+1
⇐⇒ x + 1 > 0
⇐⇒ x > −1
o sea, que para valores de x > −1, la función asume valores por debajo de
la ası́ntota y = 1 y para valores de x < −1 la función está por encima de la
ası́ntota y = 1. Esto permite terminar de elaborar la gráfica para f ,a saber
2
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4