X/Y
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ESTADÍSTICA Tema 2: Variables Estadísticas Bidimensionales 1. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Los N elementos de la población son clasificados según dos caracteres X e Y, cuyas modalidades las notamos respectivamente por xi e yj donde i varía desde 1 hasta p y j varía desde 1 hasta q. nij Frecuencia absoluta: número de individuos de la población que presentan la modalidad xi de X y la modalidad yj de Y . Tabla de frecuencias absolutas de una variable bidimensional suma (X/Y) x1 x2 x3 … xp n·j y1 n11 n21 n31 … np1 n·1 y2 n12 n22 n32 … np2 n·2 y3 n13 n23 n33 … np3 n·3 … … … … … … … yq n1q n2q n3q … npq n·q suma ni· n1· n2· n3· … np· n··=N Nota: el primer subíndice indica el número de fila y el segundo subíndice indica el número de columna fij Frecuencia relativa: proporción de individuos de la población que presentan la modalidad xi de X y la modalidad yj de Y. Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el número de elementos de la población (N). Tabla de frecuencias relativas de una variable bidimensional suma (X/Y) x1 x2 x3 … xp f·j y1 f11 f21 f31 … fp1 f·1 y2 f12 f22 f32 … fp2 f·2 y3 f13 f23 f33 … fp3 f·3 … … … … … … … yq f1q f2q f3q … fpq f·q suma ni· f1· f2· f3· … fp· f··=1 2. DISTRIBUCIONES MARGINALES Estas distribuciones nos indican cómo se distribuye una variable independientemente de los valores que tome la otra. Distribución marginal de X: Distribución marginal de Y: X x1 x2 x3 … xp suma Y y1 y2 y3 … yq suma ni· n1· n2· n3· … np· n··=N n·j n·1 n·2 n·3 … n·q n··=N Existe una única distribución marginal de X y una única distribución marginal de Y. 6 ESTADÍSTICA Tema 2: Variables Estadísticas Bidimensionales 3. DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS Son distribuciones unidimensionales obtenidas a partir de las bidimensionales, manteniendo fijo un valor en una de las variables y considerando los valores que toma la otra con sus respectivas frecuencias Distribución de X condicionada al valor yj de Y: X|Y=yj x1 x2 x3 … xp suma Distribución de Y condicionada al valor xi de X: ni|j n1j n2j n3j … npj n·j nj|i ni1 ni2 ni3 … niq ni· Y|X=xi y1 y2 y3 … yq suma 4. COVARIANZA σ XY = Cov( X , Y ) = 1 N q p ∑∑ ( xi − x )( y j − y )nij = j =1 i =1 1 N q p ∑∑ x y n j =1 i =1 i j ij − xy 5. INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA - Las variables X e Y se dicen estadísticamente dependientes cuando la variación de una influye en la distribución de frecuencias de la otra. - Cuando las distribuciones condicionadas a cualquier valor de la otra variable sean iguales, diremos que las variables X e Y son estadísticamente independientes. Las variables son independientes si y solamente si ocurre que f ij = f i · f · j para cualquier pareja (i,j). - Cuando las variables son independientes la covarianza vale 0 (siempre). - Cuando la covarianza vale 0 las variables son incorreladas. 6. NUBE DE PUNTOS: Se representan las observaciones en unos ejes cartesianos. Para cada individuo se tiene un punto con coordenadas (xi,yj), que respresenta el valor observado en (X, Y). Y yj (xi, yj) Nota: como cada pareja (xi,yj) tiene una frecuencia nij la cual, en muchos casos, es diferente de la unidad, un punto puede ser la concentración de nij puntos. xi X 7 ESTADÍSTICA Tema 2: Variables Estadísticas Bidimensionales Algunos ejemplos: Y Y X X Y Y X X 7. RECTAS DE REGRESIÓN: COEFICIENTE de CORRELACIÓN LINEAL de PEARSON: r = σ XY σ XσY Valores: -1 0 Linealidad perfecta Y 1 No linealidad Linealidad perfecta Y X Y X Pendiente negativa Y X Pendiente positiva Y X X Y Representación inadecuada Representación adecuada Para que una recta represente bien a los puntos, debe existir linealidad y debemos utilizar un método que reduzca la distancia entre los puntos observados y la recta. X 8 ESTADÍSTICA Tema 2: Variables Estadísticas Bidimensionales Método de los mínimos cuadrados: se minimiza la suma de los residuos al cuadrado. Para predecir Y en función de X: Y = aX + b 1 2 min ∑ ( y j − (axi + b )) nij n i. j y = ax + b y j − (ax i + b ) a xi +b yj xi Y|X Variable dependiente: Y Variable independiente: X Recta de regresión: a= σ XY σ X2 X|Y Variable dependiente: X Variable independiente: Y Y = aX + b b= y− Recta de regresión: σ XY x σ X2 α= σ XY σ Y2 X = αY + β β =x− σ XY y σ Y2 Posición relativa de las rectas de regresión: Ambas rectas pasan por el punto ( x, y ) - Si las pendientes de las rectas no son iguales, las rectas se cortan en ese punto. - Si las pendientes de las rectas son iguales, las rectas son coincidentes. 8. BONDAD DE AJUSTE COEFICIENTE de DETERMINACIÓN: R = 1 − 2 Valores: 0 S rY2 σ Y2 1 Ajuste pésimo Ajuste perfecto Y Y X Y X X 9
