Maths to rock the world! Investigando las matemáticas tras los efectos de la guitarra eléctrica David Morán Díaz 19 de Abril de 2013 ÍNDICE Introducción .................................................................................................................. 3 Trémolo ........................................................................................................................ 5 Vibrato .......................................................................................................................... 8 Distorsión ................................................................................................................... 13 Delay........................................................................................................................... 19 Echo ............................................................................................................................ 20 Chorus......................................................................................................................... 20 Flanger ........................................................................................................................ 21 Phaser ......................................................................................................................... 21 Conclusiones y opinión personal ................................................................................ 22 Bibliografía ................................................................................................................. 23 2 INTRODUCCIÓN Existen numerosos dispositivos que nos permiten añadir efectos al sonido de una guitarra. El funcionamiento de todos ellos es básicamente el de coger la señal proveniente de la guitarra y modificarla, cambiarla o añadirla nuevas señales para que suene distinta a la original. Esto permite a un artista crear un sonido propio y único o a cualquier aficionado poder imitar el sonido de su guitarrista favorito. Los efectos pueden ir desde una ecualización del sonido hasta sofisticadas distorsiones o arpegiadores que tocando una sola nota reproducen automáticamente el resto de notas de un acorde. Podemos encontrar estos efectos en muchos sitos. Los amplificadores para guitarra más básicos suelen incluir normalmente algún tipo de distorsión, y si nos vamos a amplificadores más sofisticados podemos llegar a tener una buena colección sin necesidad de ningún dispositivo adicional. También tenemos pequeños pedales de efectos individuales que podemos conectar unos a otros en cadena para combinarlos y activarlos o desactivarlos según nos convenga en cada momento. Existen también pedaleras multiefectos que nos permiten llevar un gran número de esos pedales individuales en un sólo dispositivo que ocupa poco espacio y nos provee de decenas de efectos y posibilidades adicionales, como añadir ritmos de batería o conectar el pedal por usb a un ordenador y grabar todo lo que toquemos. Incluso ya podemos enchufar nuestra guitarra al móvil y mediante una aplicación generar diversos efectos y grabarnos directamente en el móvil, sin necesidad de gastar mucho dinero ni ocupar espacio en casa. Y al igual que con el móvil, en el ordenador tenemos la misma posibilidad con el añadido de que tenemos mucha más potencia y capacidad de procesamiento para generarlos. A la hora de generar estos efectos tenemos dos opciones: hacerlo analógicamente con componentes electrónicos como resistencias, condensadores, transistores, etc; o hacerlo digitalmente o por software. Hasta no hace mucho tiempo el único modo de crearlos era de forma analógica, juntando un montón de componentes electrónicos que generaran el efecto pertinente y colocar algunos potenciómetros que permitieran controlar algunos parámetros del mismo. Los pedales individuales que comentaba anteriormente suelen ser analógicos (aunque ya hay algunos digitales que puedes programar), si quieres variar el efecto más allá de lo que te permite el propio pedal con los mandos o lo abres y cambias alguno de los componentes o te compras un pedal nuevo. Hoy en día podemos generar todos esos efectos de forma digital ya que tenemos disponibles dispositivos muy potentes en un espacio muy reducido, bien sea un procesador de ordenador convencional o un procesador digital de señales (en inglés DSP, Digital Signal Processor). Esto permite que con un solo dispositivo podamos implemetar prácticamente cualquier efecto y podamos de hacer modificaciones en el mismo sin tener que cambiar el hardware. Pero independientemente de cómo o con qué dispositivos generemos esos efectos, sería interesante saber la base matemática de los mismos, su esencia, cómo se representan con un lápiz y un papel en forma de números, letras y símbolos utilizando funciones o ecuaciones. En este trabajo voy a intentar contar esa matemática que hay por detrás de estos efectos y explicar cómo funcionan, así como algunas formas de llevarlos a cabo usando equipos digitales. Ondas 3 Empecemos por algo sencillo como un La, una simple nota. Al nivel más básico es un sonido, una onda que vibra a una determinada frecuencia, en el caso del La a 110Hz. Y podemos definir una onda con la siguiente función Y concretamente un La del siguiente modo Podemos representar esa función en una gráfica de Amplitud frente a Tiempo como sigue Ya tenemos lo más básico de un sonido, ¡una sencilla función dependiente del tiempo!. Bien, en esa función tenemos cuatro parámetros: - - - : Amplitud, nos da el valor de pico de la onda, es decir, la "altura" máxima que va a alcanzar, en el ejemplo la amplitud es 1. Para el caso del sonido se mide en Decibelios (dB). : Frecuencia, determina cuantas veces va a oscilar la onda en una unidad de tiempo, es decir, el número de veces que la onda va a subir a su valor máximo desde el origen, bajar a su valor mínimo y regresar al punto de origen (completar un ciclo). Se mide en Hercios (Hz). : Tiempo, determina la posición en el tiempo de la onda. Se mide en segundos (s). : Fase inicial, representa el punto de inicio de la onda, la altura inicial y si va a empezar subiendo o bajando en la gráfica. Puede ser un valor comprendido entre y (valores mayores o menores equivalen a alguno comprendido en ese rango). En este caso, empieza en 0 y sube. Se mide en Radianes (rad). Muchos de los efectos se basan en realizar algún tipo de alteración sobre uno o varios parámetros de esa función o combinar varias ecuaciones de forma que la onda resultante sea más compleja que la representada por una simple función sinusoidal. 4 Ahora quizá estés pensando si puede realmente ser tan sencillo, y así es. Dependiendo del efecto la cosa se complica un poco más (entran varias ondas en juego, por ejemplo), pero sigue siendo relativamente sencillo. Al menos la base matemática es así de sencilla, el cómo se generan después en la vida real es otra historia. Si podemos crear nosotros la onda sigue siendo trivial, al fin y al cabo podemos hacer lo que queramos con los parámetros. Pero si tenemos que modificar una onda que llega de algún sitio (como la señal de nuestra guitarra) la cosa se complica bastante, puesto que no tenemos ningún control sobre la misma y tendremos que modificarla por otros medios. De momento, y como es el objetivo de este trabajo, vamos a centrarnos en las matemáticas. Veamos cómo se generan algunos efectos sencillos. TRÉMOLO Este puede que sea el efecto más sencillo de entender. Consiste en variar la amplitud de un sonido a lo largo del tiempo, es decir, que el volumen del sonido vaya subiendo y bajando de forma regular, dando la sensación de que se aleja y se acerca. Esto también se conoce como Modulación de Amplitud (como la radio AM, Amplitude Modulation), y más concretamente para el trémolo se usa una Modulación de Amplitud de Baja Frecuencia (LAM Low frequency Amplitude Modulation). La razón de que sea de baja frecuencia es para que se pueda notar el efecto, puesto que si varía demasiado rápido el resultado será que escucharemos un sonido continuo en vez de notar como sube y baja. Vamos a ver cómo funciona el efecto gráficamente. Supongamos que tenemos un sonido de amplitud 1 1.1. Señal antes de aplicarle un trémolo El efecto de trémolo haría que nuestra señal tuviera este otro aspecto 5 1.2. Señal tras aplicarle un trémolo Que es el resultado de modular la señal en amplitud con otra onda, es decir, que introducimos una onda que va modificando la amplitud de nuestro sonido. Para el ejemplo anterior, la onda moduladora es la roja en el siguiente gráfico 1.3. Señal tras aplicarle un trémolo(azul) y la onda moduladora(rojo) Una imagen un poco más precisa y clara en la que modulamos una señal de 10Hz (azul) con una de 3Hz (rojo) 1.4. Señal tras aplicarle un trémolo(azul) y la onda moduladora(rojo Vamos a ver cómo se consigue esto matemáticamente. Tomemos la función genérica de una onda (omitiendo la Fase Inicial, suponemos que es 0) 6 Debemos variar la amplitud, así que vamos a sustituir el parámetro A por una función dependiente del tiempo La función - va a ser otra onda sinusoidal con los siguientes parámetros: : Profundidad (depth), el tamaño de la modulación, a más alto, más variará el volumen de la señal original. : Frecuencia de ratio, la velocidad a la que vamos a variar la señal o lo rápido que va a subir y bajar el volumen de ésta. Entonces tenemos la siguiente función A la que vamos a sumar para evitar que el valor de la señal sea superior a 1. En el caso de un sonido con amplitud distinta de 1 habría que sumar donde es la amplitud del sonido a modular. Con esto lo que estamos haciendo es que la amplitud máxima de nuestra onda moduladora coincida con la de la onda a modular. Entonces, sustituyendo en la primera función nos queda ¡Y ya tenemos la función de un trémolo! Podemos variar el efecto cambiando el tipo de onda moduladora, por ejemplo introduciendo una onda cuadrada o triangular en vez de una sinusoidal, con lo que conseguimos que el volumen varíe de forma distinta y crear un efecto diferente. 7 VIBRATO Este efecto se parece mucho al trémolo, con la diferencia de que en vez de variar la amplitud para dar la sensación de que este va y viene, vamos a variar su frecuencia, de modo que parece que vibra. En los instrumentos de cuerda (guitarra, violín, violonchelo...) se suele realizar moviendo rápidamente el dedo (además de la mano o el brazo entero) que está pulsando una cuerda, lo que varía ligeramente la vibración de esa cuerda y genera el efecto. Una pequeña imagen explicativa Esto, aplicado a nuestra onda consiste en hacer que la frecuencia ( ), varíe a lo largo del tiempo en vez de ser un valor constante. Vamos a ver cómo hacerlo. Volvamos a nuestra función básica (omitiremos la fase inicial asumiendo que es cero) Si la representamos en una gráfica frecuencia frente a tiempo nos queda algo como esto 2.1. Representación de la frecuencia en una onda a lo largo del tiempo donde vemos que la frecuencia es constante. El objetivo es hacer que esa gráfica quede más o menos como representa la siguiente línea roja, es decir, que la frecuencia varíe uniformemente a lo largo del tiempo y de este modo conseguir ese efecto de vibración 8 2.2. Frecuencia de una onda(azul) y la frecuencia tras aplicarle un vibrato a la onda(rojo) La siguiente imagen muestra el efecto en una onda de forma precisa 2.3. Una onda de 10Hz tras aplicarle un vibrato modulándola con una onda de 1Hz Se puede ver como unos ciclos están más juntos (vibran más rápido) y otros más separados (vibran más lento) y el patrón se va repitiendo a lo largo del tiempo de forma constante. Ahora tenemos que ver cómo lograr este efecto. Inicialmente podemos pensar en modificar exclusivamente la frecuencia de la onda inicial, de modo que nuestra original pasase a ser la función de otra onda Al igual que en el trémolo, la función siguientes parámetros: - - va a ser una onda sinusoidal con los : Profundidad (depth), el nivel de la modulación; a más alto, más rápido variará la frecuencia de la señal original. Este parámetro es la desviación de frecuencia (representado por ), pero lo llamaremos para dejarlo igual que en el trémolo y ser como normalmente se representa el parámetro en los pedales de efectos. : Frecuencia de ratio, la velocidad a la que vamos a variar la señal, es decir, cómo de rápido va a vibrar el sonido. 9 - : El valor de frecuencia del sonido a modular. Nos sirve para alinear esta nueva onda con la original y hacer que esta varía en su misma frecuencia en vez de alrededor de cero. Entonces nos queda la siguiente función para la onda moduladora Sustituyendo en la función básica de nuestra onda, la función para el vibrato queda como sigue La siguiente imagen muestra cómo queda una onda tras aplicarle el efecto con la función anterior y(t) = sin(2 · pi · [4.5 sin(2 · 1 · pi · t) + 10] · t) 2.4. Onda tras aplicarle la primera función de nuestro vibrato Como se puede ver, la frecuencia va creciendo a medida que pasa el tiempo en vez de variar regularmente como queríamos y además la onda hace algunas cosas extrañas que no esperábamos (en ciertos puntos cambia su amplitud). El principal problema es que estamos multiplicando nuestra onda moduladora por , con lo que a medida que pasa el tiempo la amplitud de la onda va creciendo y por tanto la profundidad del efecto va aumentando en vez de ser constante como deseábamos. Veamos el problema de otra forma. Consideremos que la fase de nuestra onda original (todo lo que está dentro de la función seno) es una función dependiente del tiempo , con lo que nuestra función se queda como sigue Entonces la fase de nuestra onda es una función constante, es decir, una recta. Si lo representamos gráficamente quedaría algo de este estilo 10 2.5. Gráfica fase frente a tiempo de una onda que es una recta de una determinada pendiente que depende de la frecuencia. Para frecuencias distintas, tendríamos rectas con distintas pendientes 2.6. Diferentes pendientes correspondientes a diferentes frecuencias para una gráfica como 2.5 Entonces, en nuestra función para el vibrato, al tener la onda moduladora multiplicada por el tiempo resulta que la gráfica nos queda de esta forma 2.7. Fase de la onda a lo largo del tiempo tras aplicar nuestra primera función de vibrato donde se puede ver que la amplitud va creciendo con el tiempo. Esto, evidentemente, se aleja de lo que buscábamos inicialmente, que era una variación constante a lo largo del tiempo, tal como se puede ver en la siguiente gráfica 11 2.8. Gráfica que se espera al aplicar una función de vibrato Para solucionarlo, en vez de modificar sólo la frecuencia de nuestra función de fase , vamos a modificar toda la función completa sumándole la onda moduladora (ésta vez sin puesto que la frecuencia original sí está en la función de la onda a modular) con lo que nos quedaría lo siguiente, Finalmente, sustituyendo en la función original: Ahora, si tomamos los mismos parámetros que en la primera función y se los aplicamos a esta segunda, el resultado es el siguiente y como se puede observar la frecuencia va variando uniformemente a lo largo del y(t) = sin(2 · pi · 10 · t + [4.5 · sin(2 · 1 · pi · t)] ) 2.9. Onda tras aplicarle la segunda fórmula de nuestro vibrato tiempo tal como buscábamos. Así que podemos definir matemáticamente el efecto de vibrato con esa última función, y vemos que para conseguir el mismo simplemente hay que sumar otra onda a la función que define la fase en la onda. De nuevo bastante sencillo, aunque hayamos tenido que trabajar un poco más hasta llegar a la solución correcta. 12 DISTORSIÓN Pasemos ahora al efecto más conocido de la guitarra eléctrica: la distorsión. Pero antes de entrar en materia es necesario contar un par de cosas. Cuando decimos distorsión, nos referimos a distorsión armónica, que consiste en añadir a la señal o sonido una serie de armónicos que no estaban presentes originalmente. ¿Y qué es un armónico? El armónico de un sonido es otro que se encuentra en su escala armónica, en otras palabras, que tiene una frecuencia que es múltiplo entero de la frecuencia fundamental (la frecuencia a la que vibra el sonido original). Para una frecuencia , sus armónicos son , , , etc. 3.1. Armónicos de una frecuencia f de 2Hz Estos armónicos (o sobretonos armónicos) son los que "nos suenan" bien y los que se consiguen normalmente al distorsionar una señal como veremos más adelante. Pero hay otro tipo de distorsión llamada distorsión de intermodulación que genera sobretonos inarmónicos o parciales, que tienen frecuencias que son múltiplos no enteros de la frecuencia fundamental, como , , , etc. Este tipo de distorsión y los inarmónicos que genera no son deseables puesto que nuestro oído los percibe como si estuvieran "fuera de lugar" o "no cuadrasen" bien. Pasemos a las distorsiones. Originalmente se distorsionaba el sonido de una guitarra cuando se intentaba que un amplificador reprodujera una señal de una amplitud mayor de la que podía soportar (overdrive), con lo que los picos de la señal se cortaban (clip en inglés) y esto hacía que sonara distorsionada. Por ejemplo, si el amplificador obtuviera una señal como la azul tras amplificar la original, pero sólo pudiese manejar señales que estuviesen dentro de los límites de las líneas rojas, los picos de la señal simplemente se recortarían y quedarían "aplanados". 13 3.2. Ejemplo de hard clipping en una señal Al hacer esto estamos introduciendo armónicos en la señal, vamos a ver por qué. Podemos conseguir el mismo efecto de recorte en una señal cualquiera si le sumamos una serie de armónicos con la amplitud adecuada. Por ejemplo, si tenemos estas tres señales 3.3. Señal de 8Hz y sus armónicos tercero (24Hz) y quinto (40Hz) 14 Y las sumamos entre sí, obtenemos el siguiente resultado 3.4. Señal resultante de sumar el tercer y quinto armónico que como se puede observar parece que le han cortado los picos, o que ha sufrido clipping. No es exacto, aún faltarían algunos armónicos de mayor frecuencia pero se aproxima bastante para demostrar que cuando cortamos una señal de ese modo, estamos añadiendo (sumando) armónicos a la misma de modo que los picos quedan "aplanados". Y ya han aparecido más matemáticas por aquí. Resulta que podemos distorsionar una señal realizando un par de sumas, en este caso sumando tres ondas sinusoidales, concretamente el tercer ( ) y quinto ( ) armónico de la señal de 8Hz del ejemplo ¡Entonces con unas sumas podemos hacer que nuestra guitarra suene tan cañera! Bueno en realidad no es tan sencillo, esto es sólo una explicación de cómo funciona la distorsión a un nivel muy simple y con un sonido que es un sólo tono. Vamos a ver entonces cómo se consiguen las distorsiones en el Mundo Real™. El método más común es el de clipping, recortar los picos de una señal por encima de un determinado umbral. Tenemos varias formas de hacer esto, está lo que se conoce como hard clipping y soft clipping. El hard clipping consiste en recortar la señal de forma brusca, todo lo que pase del umbral se recorta. El soft clipping es algo más amable ya que en vez de cortar los picos lo que hace es "rebajarlos", los deja redondeados en vez de planos. Esto se entiende muy bien con la siguiente imagen 15 3.5. Soft y hard clipping Además podemos recortar la señal de forma simétrica o asimétrica, de modo que recortemos igual la señal por arriba y por abajo o de forma distinta por cada lado. Normalmente si recortamos de forma asimétrica vamos a generar sonidos más complejos (con muchos armónicos distintos) que si recortamos de forma simétrica. Como curiosidad comentar que los amplificadores de válvulas recortan la señal de modo suave (soft clipping) y añaden más armónicos pares al sonido, mientras que los amplificadores basados en transistores realizan un recorte más brusco (hard clipping), lo que hace la onda más cuadrada y añade una gran cantidad de armónicos impares (recordar los armónicos impares de la imagen 3.3). A mucha gente le resulta más agradable la distorsión producida por los amplificadores de válvulas, lo que denota que los armónicos pares parecen resultar más agradables, pero esto es más una cuestión de gustos y normalmente en una distorsión nos vamos a encontrar mezclados tanto pares como impares. Veamos ahora cómo podemos definir de forma matemática una distorsión. La siguiente función realizaría un hard clipping sobre una señal de entrada Donde y son los valores a partir de los que cortaremos la señal. Como se puede ver no es demasiado complejo, simplemente establecemos un máximo y un mínimo para el valor de salida de la señal. Si el máximo y el mínimo son iguales, esto es , el clipping será simétrico, mientras que si son distintos será asimétrico (una parte de la señal quedaría más alta que la otra). Este umbral es lo que se controla con el mando de Ganancia (Gain en inglés) en un amplificador o pedal de efectos, controlamos el punto a partir del cual vamos a recortar la señal, si es bajo, más distorsión; si es alto, menos. Este es uno de los modos con los que se consiguen las distorsiones de forma digital hoy en día usando dispositivos digitales, programando una función de este estilo. Una de las primeras investigaciones para modelar amplificadores de válvulas de forma digital llevadas a cabo por Araya y Suyama en 1996 contemplaba la siguiente función como forma de distorsión donde es la salida de la función y esta está definida en [-1, 1]. El rango de respuesta de esta función, es decir, la salida que nos va a dar según la entrada que tengamos, se representa en esta imagen con una línea continua 16 3.6. Gráfica de respuesta para las funciones 3.2, 3.3 y 3.4 Como se puede ver se trata de un soft clipping simétrico y la función es bastante sencilla. Además, en 1998 Doidic et al. proponen la siguiente función a raíz de investigar sobre el mismo tema Donde devuelve -1 si o 1 si , es decir, devuelve el signo de (como se puede entender por nombre de la función). En el gráfico esta función aparece representada por una línea de puntos, y se trata de nuevo de un soft clipping simétrico que como se puede ver es un poco más suave que la . Además también definieron otra función como la siguiente donde tenemos un recorte asimétrico, con un soft clipping por debajo (la parte negativa de la señal) y un hard clipping por encima (parte positiva) con un umbral de 0.32 Como se puede ver es bastante más compleja que las dos anteriores y tiene una gráfica de respuesta más brusca donde se puede ver claramente el hard clipping en la parte positiva. La respuesta de frecuencia de estas dos últimas funciones, es decir, las frecuencias que añaden a la señal, se pueden ver en la siguiente imagen en las gráficas de la derecha, donde aparecen las frecuencias involucradas en la señal y su amplitud. 17 3.7. Espectro de frecuencias para las distorsiones de las funciones 3.3 (Eq. (2)) y 3.4 (Eq. (3)) Entonces la base matemática de una distorsión es simplemente una función que recorta la señal de alguno de los modos vistos anteriormente. Puede ser algo muy simple como la , que simplemente recorta la señal si sobrepasa un umbral, o algo bastante más elaborado como la donde encontramos un recorte asimétrico con una mezcla de soft y hard clipping. Una de las distorsiones más simple que podemos definir es una que nos devuelva una señal completamente cuadrada como la que devuelve esta función A este tipo de distorsiones que tienden a cuadrar mucho una onda se las conoce como Fuzz (que crean un sonido fuzzy, borroso) e introducen una cantidad enorme de armónicos haciendo que el sonidos suene muy sucio y además, al añadir tantos armónicos tienden a producir distorsión de intermodulación por lo que no suenan demasiado agradables. Pero a pesar de todo crean su propio estilo y a muchos guitarristas les gusta y son usados a menudo en la música. Finalmente, a la hora de definir una distorsión vamos a tener dos opciones: intentar imitar la señal de respuesta de un circuito analógico, creando una función que la aproxime y así poder reproducir digitalmente el efecto de un pedal determinado, para poder introducirlo en una pedalera digital multiefectos, por ejemplo; o crear y modelar una función de tal modo que podamos ir viendo que armónicos introduce y variar la misma hasta conseguir el juego de armónicos deseado, creando así una distorsión única y a nuestro gusto. 18 DELAY Este es un efecto muy sencillo, consiste en retrasar la señal que recibimos para que suene un periodo de tiempo más tarde del que debería. Si por ejemplo le añadimos a nuestra guitarra un delay de 1 segundo, tras tocar una cuerda tardará 1 segundo en sonar por el amplificador. Realizar esto de forma digital es realmente sencillo, pero antes hay que contar brevemente cómo se convierte una señal analógica a digital y viceversa (ADC, Analog Digital Conversion, y DAC, Digital Analog Conversion). Para convertir de analógico a digital lo que vamos a hacer es muestrear la señal de entrada, es decir guardar la amplitud que tiene en diversos intervalos de tiempo. Si por ejemplo, estamos muestreando a 44,1KHz, tomaremos 44.100 muestras por segundo, guardaremos la amplitud de la onda una vez cada segundos. 4.1. Muestreo de una señal analógica Después, todos esos puntos se vuelven a convertir en una señal analógica utilizando interpolación para rellenar los huecos que quedan entre las muestras tomadas (puesto que una señal es continua y no podemos guardar infinitos puntos) y de este modo recuperar la señal original. Normalmente en audio se usa un muestreo de 44.1KHz como el que nombrábamos antes, pero se pueden usar valores mucho mayores en función de la calidad que queramos conseguir, ya que evidentemente a mayor muestreo, mayor va a ocupar el sonido digitalizado. Tenemos entonces que vamos tomando una serie de muestras cada segundo, ¿cómo hacemos un delay? Muy sencillo, vamos leyendo muestras y en vez de reproducirlas de nuevo inmediatamente, las guardamos en un buffer el tiempo especificado por el delay y después las reproducimos. Podemos representar el efecto del siguiente modo: 4.2. Función de delay Hacer esto con un equipo analógico es realmente complejo, especialmente para tiempos largos (de más de 1 segundo, por ejemplo), pero como se puede ver, hacerlo de forma digital es prácticamente trivial (si disponemos de un buffer suficientemente grande). 19 ECHO Este es un efecto también muy sencillo. Consiste en duplicar la señal original, añadirle un pequeño retardo, atenuándola (disminuyendo su amplitud) para reducir su volumen y sumársela de nuevo a la señal original. De forma gráfica (el triángulo tras la función es un amplificador) 5.1. Función echo Podemos crear tantos ecos como queramos aumentando el tiempo de retardo y disminuyendo la amplitud de cada eco 5.2. Múltiples ecos CHORUS Consiste en crear el efecto de un coro de voces mezclando diferentes sonido con variaciones en el timbre y el tono (la frecuencia). Para lograrlo, separamos la señal del sonido en dos partes, añadimos un pequeño retardo (delay) y un vibrato a una de las partes dejando la otra sin alterar. Esto se traduce en, modificar una sola de las partes de la señal, por ejemplo, toda la parte de la señal que sea negativa, añadir un vibrato (que ya hemos visto como funciona), añadir un pequeño retardo y finalmente sumar ambas partes para reproducir el sonido resultante. 6.1. Efecto chorus 20 FLANGER Otro efecto basado en añadir un delay, pero en este caso variable. Se toma la señal de entrada, se duplica, se le añade un delay y se vuelve a sumar a la original. La peculiaridad del delay en este caso es que va aumentando y disminuyendo el tiempo de retardo creando un efecto doppler. La función va a ser igual que para el echo, solo que al delay le vamos a añadir una onda moduladora para, al igual que con la amplitud en el trémolo o la frecuencia en el vibrato, ésta module el tiempo de retardo que debe incluir en cada momento 7.1. Efecto Flanger La señal que va a modular el tiempo de retardo puede ser de diversos tipos (sinusoidal, triangular, cuadrada...) y debe ser también de baja frecuencia para poder notar el efecto. PHASER Por último, tenemos el efecto conocido como phaser, que suena a una mezcla entre un chorus y un flanger, ya que el sonido va como "ondulándose". Dividimos la señal de entrada, desfasamos una de las partes añadiendo un pequeño retardo variable y las sumamos de nuevo. 8.1. Efecto Phaser De nuevo, el tiempo de retardo del delay va a tener que estar modulado por otra onda para que vaya variando. 21 CONCLUSIONES Y OPINIÓN PERSONAL Hemos podido ver algunas de las matemáticas que se encuentran detrás varios efectos presentes en multitud de pedales y amplificadores para guitarra, y que estas matemáticas son bastante sencillas puesto que la mayoría se tratan de ondas que son relativamente simples a este nivel. Hemos visto también que parte lo que se aplica para un efecto como el trémolo o el vibrato sirve también para otros como un chorus o un flanger y que su modo de funcionamiento (o cómo se generan) es sencillo de entender y explicar. Personalmente me ha sorprendido ver que muchos efectos se pueden conseguir simplemente modificando los parámetros de una onda o con una función sencilla como las que he mostrado para las distorsiones. Me ha gustado especialmente descubrir que una distorsión consistía simplemente en añadir armónicos a una señal y cómo estos creaban el mismo efecto que al recortarla, así como ver la potencia que ofrece el procesamiento digital a la hora de generar efectos. Espero que te haya resultado interesante el trabajo y hayas podido pasar un buen rato leyéndolo. Las matemáticas están por todas partes y aquí no iban a ser una excepción, pero además en este caso son bastante sencillas. Si tienes más curiosidad sobre el tema y quieres investigar por tu cuenta puedes echarle un ojo a la información que dejo a continuación en la bibliografía, te dará un buen punto de partida para investigar más en profundidad el tema. 22 BIBLIOGRAFÍA - - - Jyri Pakarinen and David T. Yeh. A Review of Digital Techniques for Modeling Vacuum-Tube Guitar Amplifiers. 2009. Blackstone Appliances. Distortion 101. http://www.blackstoneappliances.com/dist101.html Ty Quinn . Lead Tone 1: Basics of guitar tone. http://www.tyquinn.com/2009/leadtone-part-1-basics/ Ty Quinn . Lead Tone 2: Core concepts for good tone. http://www.tyquinn.com/2009/lead-tone-part-2-core-concepts/ Ty Quinn . Lead Tone 3: Distortion. http://www.tyquinn.com/2009/lead-tone-part3-distortion/ Ed Doering. Vibrato Effect. http://cnx.org/content/m15496/latest/ Ed Doering. Tremolo Effect. http://cnx.org/content/m15497/latest/ Terre Haute. Digital Effects Processing. 2000. http://docs.happycoders.org/unsorted/ai/music/Microsoft%20Word%20%20group_31.pdf Alex Case. Mix Smart. http://proquest.safaribooksonline.com/book//9780240814858 Wikipedia. Effects unit. http://en.wikipedia.org/wiki/Guitar_effects Wikipedia. Movimiento armónico simple. http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple Oscar González. Desc9115 Lab Report 1 Vibrato. http://ses.library.usyd.edu.au/bitstream/2123/8221/2/lab%20report1%20VIBRATO. pdf Guitarextended. Simple Fuzz effect with Pure Data. http://guitarextended.wordpress.com/2011/12/28/simple-fuzz-effect-with-pure-data/ Physics 247. Physics Tutorial: Sound Wavs and Universal Wave Equation. http://www.physics247.com/physics-tutorial/sound-wave-equation.shtml Wolfram Alpha para realizar algunas gráficas y cálculos. 23