MATEMÁTICA FINANCIERA Colección de problemas

MATEMÁTICA FINANCIERA
Colección de problemas
Licenciatura en Ciencias Actuariales y Financieras (1er curso)
Curso 2005-2006
Prof. Félix J. López Iturriaga
PROBLEMA 1
Comprobar si la expresión C 2 − C1 (1 − d ⋅ p )
t1 −t 2
p
=0
constituye una equivalencia
financiera cuando C1, C2, t1, t2 > 0 y 0 <d,p<1
PROBLEMA 2
Comprobar si la expresión
C2 - C1 [1- d(t 2 − t1)] = 0
−1
constituye una equivalencia
financiera cuando C1, C2, t1, t2, d> 0
PROBLEMA 3
(Junio 1999)
Compruebe
expresión
si
la
(t − t )
C2 = (C1 + X )(1 + i )
2
1
−X
constituye
una
equivalencia financiera cuando se impone la condición de que el parámetro i tome
siempre un valor positivo.
PROBLEMA 4
(Febrero 1999)
t −t 2
Analice si la expresión
1
⎛ 1⎞
1
C 2 C1⎜⎝ i ⎟⎠
= 0 verifica las propiedades de la
equivalencia financiera cuando se impone la condición de i > 0
PROBLEMA 5
(
Comprobar si la expresión f (t1 , t 2 ) = 1 - dp
)
t1− t 2
p
es un factor financiero si 0<d,p<1
PROBLEMA 6
[ (
Comprobar si la expresión f (t1 , t 2 ) = 1- d t 2
− t )]
−1
1
es un factor financiero cuando
0<d<1
PROBLEMA 7
Establezca las condiciones necesarias para poder utilizar las siguientes expresiones
como leyes financieras, indicando el sistema a que corresponden y explicitando el
precio financiero estricto asociado a cada una
a)
f (t1 , t 2 ) = e k ( t − t )
b)
f (t 1 , t 2 ) = e k ( t − t ) + k ( t − t )
c)
f (t1 , t 2 ) = (1 + k )
2
1
2
1
2
2
2
1
t 2( t 2 − t1)
PROBLEMA 8
Dada
la
equivalencia
financiera
(100,1)~(110,2),
halle
el
factor
financiero
correspondiente y aplíquelo a las equivalencias (100,1)~(C2,5) y (100,10)~(C2,14)
bajo las siguientes hipótesis:
a) Ley estacionaria
b) Sistema financiero dinámico de primer grado. En este caso, calcule el diferimento
máximo que mantiene la positividad del precio ρ(t) en las siguientes situaciones:
– Si B=1’02
– Si B=0’9. ¿Son financieramente aceptables estos resultados?
– Si B=0’95. ¿Son financieramente aceptables estos resultados?
PROBLEMA 9
(Septiembre 1999)
Sea la equivalencia financiera (80,0)~(110,4). Bajo la hipótesis de un sistema
financiero dinámico de primer grado en el que el segundo parámetro del sistema es
un 10% inferior al primero
a) Halle el factor financiero correspondiente
b) Determine la cuantía C que verifica la equivalencia (50,1)~(C,3)
c) Calcule la cuantía C del capital financiero que verifica la equivalencia
(80,0)~(C,23) y justifique el resultado
PROBLEMA 10 (Junio 1999)
Dada la equivalencia (20,0)∼(30,2)
a) Halle el capital financiero que verifica la equivalencia (25,1)∼(C,4) si dichas
equivalencias se rigen por el mismo factor financiero.
b) Responda a la misma cuestión si, a la equivalencia inicial, se añadiese
(60,1)∼(90,5).
c) Determine si existe algún límite temporal para la aplicación de este último sistema
financiero.
PROBLEMA 11
Sabiendo que las equivalencias (1,0)~(2’0100618,4) y (1,2)~(2’9697768,6) están
regidas por la misma ley financiera
a) Indique la forma del factor financiero correspondiente y explique las razones por
las que se elige un grado de dinamismo determinado.
Plantee el precio
financiero asociado.
b) Revise los resultados del apartado anterior si la equivalencia (2,4)~(8’775412,8)
estuviera regida por el mismo factor financiero que las anteriores equivalencias.
Repita los cálculos para la equivalencia (2,4)~(16’537547,8)
PROBLEMA 12 (Septiembre 1999)
Dada la ley financiera definida por el factor
t
f (t , t ) = ⎡(1 − i )
⎢⎣
1
2
1+ 2
2
t
+ i (1 − i)
t1 + t 2 ⎤
2
t 2 −t 1
⎥⎦
a) Indique a qué tipo de sistema financiero pertenece dicha ley
b) Si i=8% calcule el precio financiero estricto total en los momentos t= 1, 2 y 3 y
justifique la relación existente entre ellos.
PROBLEMA 13
Un empresario pacta una con una entidad financiera una operación regida por las
siguientes condiciones: la entidad financiera entregará 2 millones de u.m. en el
momento del la firma del contrato, 2 millones más al final del primer año, otro millón
transcurridos dos años y 3 millones adicionales al final del tercer año, cancelándose
totalmente la operación un año después de la última entrega. Si se utiliza un factor
financiero dado por la expresión f (t1 , t 2 ) = (1 + 0'1) 2
t −t1
a) ¿Cuál es la cuantía necesaria al cabo de 4 años para cancelar el préstamo?
b) ¿En qué diferimiento es preciso situar una cuantía de 8 millones de u.m. para que
sea equivalente al conjunto de capitales dado?
c) Obtenga la expresión general para el cálculo del diferimiento medio de un
conjunto de capitales para el factor financiero utilizado y constate la validez de la
expresión comprobando el resultado del apartado anterior.
PROBLEMA 14 (Junio 1999)
(
Dado el factor financiero f ( t 1 , t 2) = 1+ i
)( t − t )
2
1
a) Calcule el vencimiento medio del conjunto de capitales financieros {(1.000,1),
(2.000,3), (4.000,5), (8.000,7)} si i=6%.
b) Obtenga una expresión general del vencimiento medio de un conjunto de n
capitales financieros.
PROBLEMA 15
Dada la equivalencia (1.000,0)~(1.321’9,3), calcule el precio total, el tanto efectivo, el
tanto nominal y el precio instantáneo medio (supuesto constante).
PROBLEMA 16
Una empresa dispone de dos modalidades de pago, al contado y aplazado. Para un
determinado pedido, las cuantías correspondientes a cada modalidad son de 4.000
u.m. al contado y 4.200 u.m. si el pago se aplaza tres meses.
a) Halle los correspondientes tantos de interés y de descuento, efectivos y
nominales, asociados a la operación.
b) Halle los precios estrictos nominal y efectivo
c) Si el comprador de este pedido puede disponer de financiación externa utilizando
el factor financiero f (t1 , t 2) = (1 + i ⋅ p )
t 2 −t1
p
con p=1 e i=20%, determine qué opción
de las que se contemplan a continuación resulta más interesante desde el punto
de vista financiero y repita los cálculos si el parámetro i se incrementara hasta el
30%.
- Pago al contado utilizando financiación externa durante 3 meses
- Acogerse a la financiación facilitada por la empresa proveedora.
PROBLEMA 17
Se dispone de una cuantía de 10.000 u.m., pudiéndose colocar en tres empleos
distintos. Si el criterio de decisión es el precio instantáneo unitario medio, ¿cuál de
las tres opciones le parece preferible?
a) Imposición durante 3 años en una cuenta regida por un factor financiero
f (t1 , t 2) = (1 + i ⋅ p )
t 2 −t1
p
siendo p=1/2 e i=8%
b) Colocación durante 2 años del 30% de la cuantía en un fondo que devenga unos
rendimientos
derivados
f ( t1 , t 2) = [1−i(t 2 − t1)]
−1
de
la
aplicación
del
factor
financiero
siendo i=8% y del restante 70% en un fondo regido por
la función f (t1 , t 2) = (1 + i ⋅ p )
t 2 −t1
p
con p=1/4 e i=8%
c) Descuento por 10.000 u.m. de un efecto de nominal de 12.000 u.m. con
vencimiento dentro de 27 meses.
PROBLEMA 18
Un inversor realiza un préstamo de 1.000 u.m. en régimen de interés simple vencido
por el que, al cabo de 6 meses, obtiene 1.040 u.m. ¿Qué cantidad deberá prestar, en
régimen de interés simple anticipado con el mismo tipo de interés de la operación
anterior, si desea recuperar 530 u.m. al cabo de tres meses? ¿Cómo se verían
modificados los resultados si los regímenes financieros operasen al contrario?
PROBLEMA 19 (Septiembre 1999)
Un inversor dispone de 3.000 u.m. durante dos años y medio. De las cuatro opciones
que se le plantean, ¿cuál considera Vd. más apropiada? (Aplíquese, si procede,
tanto el convenio lineal como el exponencial):
− Financiar en régimen de descuento compuesto anual con un tipo de descuento
nominal anual del 6’5% un efecto con un nominal de 3.500 u.m. y vencimiento
dentro de 30 meses.
− Suscribir por valor de 3.000 u.m. una emisión de deuda que proporciona
semestralmente un pago de intereses del 4% de la cantidad suscrita. Esos
intereses se depositan en una cuenta corriente que devenga un interés anual
del 3’5% en régimen de capitalización simple, si bien la cuenta posee una
franquicia de 100 u.m.
− Ingresar todo el dinero del que dispone en una libreta que, en régimen de
interés compuesto capitalizable trimestralmente, ofrece un rendimiento
equivalente al que proporcionaría un tipo de interés nominal anual capitalizable
semestralmente del 3’011%
− Adquirir un producto financiero que, aunque se rige por la ley de capitalización
compuesta con fraccionamiento bimestral, ofrece un rendimiento equivalente al
descuento compuesto fraccionable cuatrimestralmente con un tipo de
descuento nominal anual del 2%.
PROBLEMA 20
Un inversor dispone de un millón de u.m. y puede elegir entre las siguientes
opciones:
a) Compra de obligaciones de 1.000 u.m. de nominal, emitidas a la par y
amortizables dentro de dos años al 110%, con pago anual de un cupón del 7’5%.
b) Invertir esta cantidad en la suscripción de deuda que, durante dos años y medio,
proporciona un interés nominal anual del 8’5%, pagadero por semestres. Los
intereses devengados se traspasarán a una cuenta que proporciona un interés
anual del 4% en régimen de interés compuesto.
c) Financiar el descuento de un efecto comercial de nominal de 1.100.000 u.m. con
vencimiento dentro de 18 meses, aplicándose el régimen de descuento
compuesto con un tipo de descuento nominal anual del 7% y periodo de
descuento semestral.
Sabiendo que las disponibilidades no invertidas en el primer y en el último apartado
se colocan en una cuenta corriente en régimen de interés compuesto capitalizable
anualmente al 2% nominal anual, calcule qué opción proporciona un mayor capital
final equivalente transcurridos dos años y medio, aplicando, si fuera preciso, tanto el
convenio lineal como el convenio exponencial.
PROBLEMA 21
Un inversor tiene la oportunidad de realizar una inversión que requiere unos
desembolsos de 10.000, 5.000 y 5.000 u.m. respectivamente al comienzo de los tres
primeros años. Para financiar esas inversiones ha conseguido tres préstamos en las
fechas anteriormente citadas. El primer crédito asciende a 12.000 u.m, el segundo a
4.000 y el tercero a la cuantía necesaria para financiar la deuda pendiente. Con la
anterior información, conteste a las siguientes preguntas:
a) Importe del último préstamo, si las cantidades no utilizadas se depositan en una
cuenta que devenga un interés del 4% anual capitalizable trimestralmente en
régimen de interés compuesto.
b) Plantee la ecuación que permite calcular el precio financiero estricto unitario
medio (supuesto constante) de la financiación, sabiendo que los préstamos
deben cancelarse al cabo de 5 años del inicio de la inversión con los intereses
correspondientes en régimen de interés compuesto con los siguientes tipos de
interés:
-
Para el primer crédito, 9% anual capitalizable cuatrimestralmente
-
Para el segundo crédito, 5% semestral efectivo
-
Para el tercer préstamo, el precio total aplazado es igual a la cuarta parte de
la cuantía del crédito.
c) Con la información del apartado anterior, plantee la ecuación que permita obtener
el precio de la financiación en función de la inversión realizada, expresado dicho
precio como tanto nominal anual.
d) Calcule el tanto efectivo, el tanto nominal y los precios financieros estrictos medio
y total del último préstamo.
PROBLEMA 22
Dada una imposición de 10.000 u.m. con 5 años de duración realizada en una cuenta
de ahorro que devenga los siguiente tipos de interés para cada período: 10% anual
durante el primer año, 11% anual capitalizable semestralmente durante el segundo
año, 6% efectivo semestral durante el tercer año y 12% anual capitalizable
trimestralmente durante el cuarto y quinto año.
a) Plantee el sistema de leyes financieras que define la anterior operación,
calculando los parámetros y el precio estricto asociado a cada una de ellas y
represente gráficamente los precios financieros bajo las siguientes hipótesis:
-
Si las leyes financieras se ajustan a un régimen estacionario.
-
Si las leyes financieras son leyes dinámicas lineales. En este caso, en el
momento
inicial
se
aplica
un
interés
del
9%
anual
capitalizable
semestralmente y los precios a los que se ha hecho referencia anteriormente
se asignan al punto central de cada intervalo.
b) Calcule el saldo de la cuenta transcurrido el plazo de cinco años, comprobando la
validez de las interpretaciones del apartado anterior.
PROBLEMA 23
¿Cuál de las siguientes operaciones proporciona un mayor rendimiento en términos
TAE?
− Una imposición de 750 u.m. en una cuenta corriente durante 18 meses por la que
la entidad financiera nos regala, en el momento de la imposición, un objeto
valorado en el mercado en 75 u.m., pero cuyo precio de coste para la entidad es
de 60 u.m.
− Descontar por 600 u.m. un efecto comercial a 90 días con un nominal de 611’5
u.m.
− Un depósito de 500 u.m. en una cuenta corriente con intereses capitalizables
semestralmente a un tipo de interés nominal anual del 7’5%.
− Descontar, en régimen de descuento compuesto de frecuencia trimestral (tipo de
descuento nominal anual de 6’5%), por 450 u.m. un activo financiero que vence
dentro de dos años.
PROBLEMA 24
Un inversor deposita 2.000 u.m. en una cuenta financiera que ofrece un 7% anual
capitalizable cuatrimestralmente. Calcule el capital acumulado al cabo de 2 años y la
TAE de la operación en los siguientes supuestos
a) En el caso de que la operación se ajuste al enunciado anterior.
b) Si la cuenta tiene una comisión de apertura del 0’7%.
c) Si la comisión de apertura es del 0’7% y el valor mínimo de la comisión es de
15 u.m.
d) Si por cada año de permanencia se regala un 1’5% del capital inicial.
e) Si, además de lo anterior, por cada año de permanencia se regalan 5 días de
intereses.
f)
Si, además de lo anterior, las primeras 400 u.m. no tienen remuneración de
intereses.
PROBLEMA 25
Con fecha 1 de enero, a un inversor se le plantean tres opciones
–
Ingresar 1.100 u.m. en una supercuenta que, al cabo de 5 años, le devolverá
1.610’51 u.m. En el momento de hacer la imposición, el banco le regala una
maleta valorada en 50 u.m. y un exprimidor eléctrico del mismo precio, si bien,
dado que el banco ha adquirido elevadas cantidades de ambos objetos, el precio
de coste para la entidad financiera es de 40 y 35 u.m. respectivamente.
–
Adquirir por 1.137 u.m. un bono que, con valor residual nulo, le proporcionará 300
u.m. al final de cada uno de los próximos 5 años.
–
Realizar un préstamo a fondo perdido de 2.000 u.m. a un empresario que se ha
comprometido a reembolsarle 128’3 u.m. al final de los meses de marzo, junio,
septiembre y diciembre de los próximos cinco años.
Utilizando como criterio de decisión la TAE, ¿qué opción le parece más apropiada?
¿Cuál sería su consejo si los ingresos derivados de la inversión se reintegrasen a
una cuenta corriente que genera unos intereses del 6% capitalizables anualmente?
Repita los cálculos si el tipo de interés pasara a valer 10% y 12%, utilizando, si
resultase preciso, el convenio exponencial.
PROBLEMA 26
A un inversor le ofrecen tres posibles operaciones:
a) Depositar 1.000 u.m. al 8% nominal anual durante 2 años en régimen de
interés compuesto vencido.
b) Ingresar 600 u.m. en una cuenta corriente, lo que le daría derecho a retirar 335
u.m. al final de cada uno de los próximos dos años.
c) Realizar una compra en el mercado de futuros en los siguientes términos: a
cambio de un desembolso actual de 750 u.m., al término de cada uno de los
próximos 6 cuatrimestres obtendrá la octava parte del capital que habría
acumulado si hubiese invertido durante un año las 750 u.m. al 18’6541% anual
capitalizable trimestralmente.
¿Cuál de las inversiones le parece más rentable? ¿Mantendría Vd. su consejo si la
evolución de los tipos de interés fuese descendente, de modo que la reinversión de
los excedentes se hiciese al 2% anual? ¿y si fuese 15%? Utilícese, si procede, el
convenio exponencial.
PROBLEMA 27
Los impositores de una entidad financiera reunidos en asamblea el día 1 de febrero
han expresado sus opiniones sobre la rentabilidad de los depósitos. En concreto, sus
expectativas tienden tendencia a la baja y creen que, a pesar de que el tipo de
interés efectivo del mes de febrero es 6’2%, este tipo descenderá hasta el 6% en el
mes de marzo. Asimismo, creen que la evolución previsible de los tipos de interés en
los meses posteriores será de 5’75% en abril, 5’5% en mayo, 5’3% en junio, 5’15%
en julio, 5% en agosto, 5% en septiembre, 4’8% en octubre, 4’5% en noviembre,
4’2% en diciembre, 4’35% en enero del próximo año y 4’45% en febrero. Ante esta
información, el equipo directivo de la entidad ha decidido lanzar al mercado al
comienzo de febrero cuatro nuevos productos financieros consistentes en una
imposición fija con interés vencido que puede tener una duración de 3, 6, 9 ó 12
meses.
a) Calcule cuál debe ser el interés efectivo de los nuevos productos para que
satisfagan las expectativas de los inversores.
b) Indique cómo se verían modificados los resultados si los impositores mostraran
incertidumbre sobre el futuro y cuantificasen esta preferencia por la liquidez
exigiendo un 0’1% adicional por cada mes transcurrido desde el presente.
PROBLEMA 28 (Febrero 2000)
Suponga que los tipos de interés anuales esperados para los próximos 6 años son,
respectivamente, 7%, 6%, 5%, 3'75%, 2’5% y 1'25%. Si los inversores muestran una
preferencia por la liquidez que se concreta en una prima del 4% durante el segundo
año, reduciéndose dicha prima por mitades por cada año que transcurre,
a) Calcule los tipos de interés nominales anuales para operaciones a 2, 3, 4, 5 y
6 años.
b) Explique por qué la curva de tipos de interés puede adoptar en la realidad la
forma obtenida en el apartado anterior.
PROBLEMA 29 (Junio 1999)
Dado un tipo de interés del 7%, calcule la duración de las siguientes operaciones
financieras:
a) Emisión de un título cupón cero con amortización dentro de 30 meses por valor
de 2.035 u.m.
b) Emisión por dos años y medio de un título con nominal de 1.500 u.m., pago
semestral de intereses por valor de 100 u.m. y amortización del nominal al final
de la vida de la operación.
c) Emisión por 1.500 u.m. de un título que proporciona la final de cada uno de los
dos próximos años 950 u.m.
PROBLEMA 30
Un inversor que cuenta con 2.000.000 u.m. dispone de cuatro formas posibles de
emplear sus recursos:
a) Suscribir una emisión de títulos cupón cero por la que, al cabo de 3 años,
percibirá 2.415.900 u.m.
b) Realizar un ingreso en una entidad financiera que se compromete a entregarle
trimestralmente un interés efectivo del 1’64% durante los próximos tres años y
reembolsarle el principal al final de ese periodo.
c) Adquirir obligaciones de una empresa, consistentes en la percepción de 790.833
u.m. al final de cada uno de los tres próximos años.
d) Acudir a una subasta de títulos a tres años en régimen de descuento compuesto
del 6’1% anual capitalizable anualmente y pagadero por anticipado.
Si el tipo de interés es el 5%, indique cuál de las alternativas resulta más
aconsejable. ¿Se alcanzaría la misma conclusión en el caso de que el tipo de interés
se incrementase hasta el 6% o disminuyera hasta el 3%? Justifíquelo mediante el
análisis de duración.
PROBLEMA 31
Un inversor se encuentra ante la posibilidad de adquirir un bono de deuda con
vencimiento dentro de tres años y nominal de 10.000 u.m. Dicho bono ofrece
cupones anuales de 1.000 u.m. y una TIR del 10%. No obstante, la empresa emisora
de la deuda le ha realizado otro ofrecimiento, consistente en un bono con el mismo
nominal, si bien la amortización del principal se hará por mitades al final del segundo
y tercer año. Este bono devenga unos intereses del 10% y el tipo de interés con el
que el mercado valora esta emisión es igualmente del 10%
a) En caso de que se prevea una evolución a la baja en el tipo de interés para el
futuro ¿cuál de las dos opciones aconsejaría Vd. al inversor?
b) ¿Mantendría Vd. su consejo en el caso de que el cupón de los bonos fuese del
20% anual?
c) Indique el valor aproximado de los bonos si la TIR disminuyera hasta el 8% y el
valor de los cupones se mantuviera en los niveles del primer apartado.
PROBLEMA 32 (Septiembre 1999)
Sea un bono que proporciona los siguientes cobros {(10,1), (20,2), (30,3), (40,4),
(150,5)} y valorado en 192'43 u.m. cuando i = 6'5%
a) Obtenga una expresión del valor aproximado del bono para distintos tipos de
interés y aplíquela a los valores de i = 3, 4, 5 y 6%.
b) ¿Son igualmente exactas las anteriores previsiones? Justifique su respuesta
PROBLEMA 33
Sean dos títulos de deuda. El primero de ellos tiene un nominal de 2.500 u.m., una
TIR del 8% y da derecho a un cupón anual del 6% durante los próximos cinco años,
al término de los cuales se recupera el nominal. El segundo bono tiene un nominal de
4.000 u.m. y una TIR del 6%, proporcionando un cupón del 10% el primer año,
reduciéndose dicho cupón en un 1% por cada año que transcurre y amortizándose al
cabo de 8 años. Calcule cuál sería el valor de ambos títulos si sus TIR
experimentaran sendos incrementos del 2% y justifique adecuadamente los
resultados.
PROBLEMA 34 (Junio 1999)
Sean dos inversiones financieras A y B con el siguiente perfil financiero:
Título A: {(670,1), (250,2), (125,3), (50,4), (200,5), (1000,6)}, TIR: 6'891%, valor
actual: 1.800 u.m.
Título B: {(200,1), (200,2), (200,3), (2400,4)}, TIR: 15'527%, valor actual: 1800 u.m.
Si los tipos de descuento de ambos títulos aumentaran en un 2%, ¿cuál de los dos
bonos piensa Vd. que resultaría más afectado? Justifique su respuesta
PROBLEMA 35
Una cartera se encuentra integrada por tres títulos. El primero de ellos tiene un
nominal de 1.000 u.m., una TIR del 8% y ofrece un interés del 6% semestralmente
durante los próximos cuatro años, al término de los cuales se amortiza. El segundo
título, de nominal 2.500 u.m., es un bono cupón cero con interés anticipado, cuya TIR
es del 6% y al que le quedan tres años de vida. El tercer título, de nominal 2.000
u.m., proporciona unos intereses de 50, 100, 200 y 400 u.m. al término de los
próximos 4 años respectivamente y tiene una TIR del 15%. Sabiendo que la cartera
se halla formada por dos títulos del segundo tipo y uno de cada una de las otras
clases, calcule el valor actual de la cartera y su convexidad, tanto como suma de sus
integrantes como de forma aislada.
PROBLEMA 36
Un título de renta fija con una vida de tres años tiene un valor en el mercado de 270
u.m., una duración de 1'9 años y un coeficiente K de convexidad de 4'2045.
a) Establezca una relación funcional entre el valor del tercer cupón y la tasa interna
de rendimiento del título.
b) Si la TIR del título tomase un valor de 5'65%, calcule el valor de los cupones de
cada año.
PROBLEMA 37
En un mercado financiero en el que el tipo de interés es del 5%, existe un título que
proporciona unos cobros de 200, 500, 2.000 y 4.000 u.m. al final de cada uno de los
próximos cuatro años. A partir de la duración corregida y los indicadores de
convexidad, efectúe una previsión del posible valor del título si el tipo de interés
pasara a valer 8% y 10% y compare esos resultados con los que se obtendrían si
únicamente se tuviera en cuenta la duración corregida.
PROBLEMA 38 (Junio 1999)
Un inversor dispone actualmente de 3.860 u.m. y sabe que, dentro de tres años,
deberá hacer frente a un pago del que, si bien desconoce su cuantía exacta, supone
que se encontrará alrededor de 5.130 u.m. Si el tipo de interés es actualmente del
10%, pero hay fundados indicios de que se va a modificar en un futuro próximo,
¿cuál de las siguientes inversiones le parece a Vd. más adecuada? Justifique su
respuesta y pruebe su validez cuando el tipo de interés toma valores del 7 y 13%
a) Realizar una inversión cupón cero que, dentro de 10 años, le proporcionará
10.000 u.m.
b) Adquirir un bono con el siguiente perfil financiero {(175,1), (1500,2), (1000,3),
(2500,4)}
c) Efectuar una inversión cupón cero que, dentro de un año, le proporcionará 4.245
u.m.
PROBLEMA 39 (Junio 2000)
D. Julio es un inversor al que se le plantean dos formas alternativas de invertir las
1.770 u.m. que tiene ahorradas. Por una parte, un banco le ofrece constituir un
depósito a plazo fijo por el que, dentro de cuatro años, recibirá 2.150 u.m. Por otra
parte, tiene la posibilidad de invertir en títulos de una empresa eléctrica que, al final
de cada uno de los próximos cuatro años, le proporcionarán 150, 400, 650 y 850 u.m.
respectivamente. D. Julio está sopesando cuidadosamente su decisión puesto que,
dentro de 3 años, se le va a entregar una vivienda por la que deberá desembolsar
2.040 u.m. Sabe asimismo que, aunque el tipo de interés anual es actualmente del
5%, se da por seguro que se modificará, pudiendo pasar a valer 3% u 8%. Con estos
datos, si las dos inversiones son incompatibles, determine qué opción es más
adecuada y justifique su decisión.
PROBLEMA 40
Del balance de situación de una entidad financiera se han extraído los siguientes
datos. Se sabe que su activo, valorado en 10.000 u.m. se encuentra formado
íntegramente por un crédito concedido a cinco años por el que obtiene 3.000 u.m. al
final de cada uno de los ejercicios. El pasivo, por su parte, está compuesto por la
emisión de dos tipos de obligaciones. La primera de ellas, valorada en 2.000 u.m.,
exige unos pagos trimestrales constantes durante los próximos dos años y su TIR es
del 17’33%. La segunda clase de obligaciones tiene una vida de seis años con pago
anual de cupones constantes, su TIR es del 5’73% y su valor en balance asciende a
5.000 u.m.
Con los datos que anteceden se le pide que haga predicciones sobre la posible
evolución del valor de las acciones de la entidad financiera y de su ratio de
capitalización en función del tipo de interés de sus operaciones de activo.
Compruebe la validez de esas predicciones para valores del tipo de interés de 16%,
20%, 30%, 15% y 10% respectivamente.
PROBLEMA 41 (Junio 1999)
A un inversor poseedor de 100 u.m. se le plantean dos posibles inversiones, ambas
tipo cupón cero. La primera tiene una duración de dos años, al término de los cuales
le proporciona 114,49 u.m., mientras que la segunda presenta una duración de 8
años, ofreciéndole al final de ese periodo 171’8186 u.m. Si el horizonte de
planificación individual del inversor es de 4 años y ha estimado que la probabilidad
de que el tipo de interés aumente hasta 10% es de 0’75, mientras que la probabilidad
de que se mantenga en el nivel actual de 7% es de 0’25, muestre que la gestión
activa de la cartera es más apropiada que la gestión pasiva si está dispuesto a
asumir cierto riesgo.
PROBLEMA 42 (Junio 2000)
En un mercado en el que el tipo de interés es del 6% anual, doña Sofía dispone
actualmente de 300 u.m. y desea asegurarse ese rendimiento durante los próximos
tres años. Sin embargo, las noticias que circulan por el mercado dan por seguro que
el tipo de interés disminuirá hasta el 5% o aumentará hasta el 8% con probabilidades
del 0’75 y 0’25 respectivamente. Si doña Sofía puede suscribir dos títulos (ambos
cupón cero) que le proporcionan 318 y 401’5 u.m. al cabo de 1 y 5 años
respectivamente, diseñe la operación óptima que permita a esta inversora protegerse
del riesgo de tipo de interés combinando ambos títulos y la operación que le permita
aprovecharse de las variaciones del tipo de interés.
PROBLEMA 43 (Septiembre 2001)
En un mercado en el que el tipo de interés anual es del 5%, hay fundados indicios
para esperar una disminución hasta el 3% con una probabilidad de 0’75 y un
aumento hasta el 7’5% con una probabilidad de 0’25. Considere un título A, cuya
duración es de 1’388 y que proporciona unos cobros de 90 y 60 u.m. al final de cada
uno de los próximos dos años y un título B, cupón cero, que proporciona 200 u.m. al
cabo de 7 años. Suponga que Dña. Petra ha recibido un préstamo a tres años y
desea invertir los recursos obtenidos en ambos títulos conjuntamente. Dña. Petra ha
practicado desde muy joven deportes de aventura y está dispuesta a asumir un cierto
riesgo de tipos de interés, si bien no está dispuesta a que la varianza del valor de su
cartera supere en modo alguno las 12 unidades. A la vista de los anteriores datos,
determine
a) La composición de una cartera que le permita aumentar el valor de su cartera.
b) El valor esperado de dicha cartera al término del horizonte de planificación
individual.
PROBLEMA 44
A una subasta de Letras del Tesoro a 540 días concurren las siguientes ofertas
competitivas: 12 millones de euros al 97'1%, 105 millones al 96'8%, 210 millones al
96'2%, 78 millones al 95% y 20 millones al 94'5%. Sabiendo que las ofertas no
competitivas ascienden a 70 millones y que el Tesoro ha decidido emitir Letras por
un nominal total de 475 millones
a) Calcule el ingreso del Tesoro por la emisión de Letras.
b) Determine cuál es la rentabilidad del inversor marginal y la rentabilidad del tramo
no competitivo.
PROBLEMA 45 (Septiembre 2001)
En una subasta de Letras del Tesoro a 180 días se presentan las siguientes ofertas
en el tramo competitivo: 27’2 millones de euros al 98%, 97’5 millones al 97’8%, 180’4
millones al 97’6%, 215’6 millones al 97’5%, 150’4 millones al 97’2%, 30 millones al
97% y 48’4 millones al 96’85%. Si la oferta del tramo no competitivo asciende a 10
millones de euros y la DGTPF decide emitir Letras por valor de 700 millones, calcule
la cantidad que ingresará el Tesoro y el interés nominal anual que percibirán cada
uno de los oferentes. Suponga que la posición presentada al 97% está formada por
tres inversores que ha solicitado, respectivamente, 12.360.000, 11.250.000 y
6.390.000 euros, ¿cómo se distribuirá dicho tramo?
PROBLEMA 46 (Junio 1999)
Un inversor dispone de 2.500 euros durante un año y 9 meses. De las tres opciones
que se le plantean, ¿cuál considera Vd. más apropiada? (Aplíquese, si procede,
tanto el convenio lineal como el exponencial):
− Financiar en régimen de descuento compuesto, con un tipo de descuento nominal
anual fraccionable trimestralmente del 3'25%, un efecto que tiene un nominal de
2.400 euros y vence dentro de 15 meses. La cantidad sobrante se puede
depositar en una cuenta corriente con un rendimiento del 2% anual y régimen de
capitalización de interés simple vencido.
− Ingresar todo el dinero del que dispone en una libreta que, en régimen de interés
compuesto capitalizable semestralmente, ofrece un rendimiento nominal anual del
4'5%.
− Suscribir el tramo no competitivo de una emisión de Letras del Tesoro a 180 días.
La rentabilidad de esa emisión es del 5'75%. La cantidad sobrante se puede
depositar en la cuenta corriente del primer apartado.
PROBLEMA 47
Un inversor que dispone de 970 euros cuenta con tres posibles proyectos
financieros:
a) Adquirir una Letra del Tesoro a 180 días y mantenerla hasta su vencimiento. El
precio de dicha letra se fija sabiendo que el interés nominal anual que
proporciona es 7’46%.
b) Formalizar una operación repo consistente en adquirir una letra en las
condiciones anteriores y venderla al cabo de veinte días. El producto de la venta
y la cantidad no invertida se pueden depositar en una cuenta corriente que ofrece
el 7’2% de interés para depósitos superiores a 4 meses y el 6’8% para ingresos
que se mantienen durante periodos inferiores a ese plazo.
c) Formalizar una operación repo consistente en adquirir una Letra del Tesoro al
96’7% de su nominal y comprometerse a venderla al cabo de 130 días,
disponiendo de la cuenta corriente en las condiciones anteriores.
Si tomamos como aproximación a los tipos de interés de mercado el rendimiento de
la cuenta corriente aumentado en un 0’7%, determine cuál es la opción más rentable
utilizando para el cálculo de la rentabilidad el procedimiento que le parezca más
exacto.
PROBLEMA 48
En un mercado de capitales en el que los tipos de interés anuales vigentes son de
7’75% para operaciones a menos de tres meses y de 8’25% para operaciones a un
plazo superior al trimestre, una entidad financiera ofrece a sus clientes la oportunidad
de invertir en Letras del Tesoro a las que les quedan 55 días de vida. Dichas Letras
fueron adquiridas por el banco hace 25 días con un interés nominal del 8’2%. Con el
fin de reducir el riesgo de la operación, la entidad ofrece a los clientes que se
interesen por la operación la posibilidad de realizar una operación repo,
comprometiéndose el banco a adquirir las Letras dentro de 20 días, si bien en este
caso les carga en cuenta una comisión consistente en modificar el rendimiento de la
operación en un 0’4%. Calcule el precio de suscripción de las Letras, el precio de
adquisición de las Letras por los clientes del banco, el valor de recompra de las
Letras y la rentabilidad que obtienen los inversores en los 20 días de cada repo.
PROBLEMA 49 (Febrero 2001)
En una subasta de Letras del Tesoro a 520 días, Dña. Matilde ha adquirido una Letra
a un tipo de interés del 8’3%. Realmente, su intención no es poseer el título hasta su
vencimiento, pues tiene pensado realizar una operación repo dentro de ciento
ochenta días, comprometiéndose a recomprar la Letra doscientos diez días después
de su venta. Actualmente el tipo de interés anual para operaciones a 180 días es el
8% y el tipo anual para operaciones a 390 días es el 9%. Si el tipo de interés
marginal de la última subasta de Letras del Tesoro previa a la operación repo fue del
8’15% calcule:
a) Los precios de adquisición y de venta de la Letra.
b) El precio de recompra de la Letra.
c) La rentabilidad obtenida por Dña. Matilde durante los trescientos noventa días
de la operación. Utilice el procedimiento que considere más exacto.
PROBLEMA 50 (Junio 1999)
Un agente posee 100 u.m., aunque no se le entregarán hasta dentro de 3 meses. No
obstante, en el plazo de un mes ha de efectuar un pago por esa cantidad. Los tipos
de interés a distintos vencimientos se recogen en la tabla que a continuación se
detalla, si bien ha de hacerse constar que hay un riesgo de que el valor de dichos
tipos se vea alterado.
Tomador
Prestamista
Tomador
Prestamista
1 mes (30 días)
5'6%
5'8%
6 meses (181 días)
6'2%
6'5%
2 meses (59 días)
5'7%
5'9%
8 meses (243 días)
6'4%
6'8%
3 meses (90 días)
5'7%
5'9%
12 meses (365 días)
7%
7'5%
a) A la vista de la estructura temporal de los tipos de interés ¿qué consejo daría Vd.
al inversor? ¿Cuál sería el rendimiento de la operación?
b) Suponga ahora que, en lugar de la situación anterior, el agente ha percibido en
préstamo 100 u.m. durante 8 meses y ha invertido esa cantidad en títulos que
vencen dentro de 2 meses. ¿Cuál sería su consejo en ese caso y qué precio
tendría la operación?
PROBLEMA 51
Un inversor ha realizado una serie de operaciones cuyo resultado ha sido la obtención
de 300.000 u.m., aunque no percibirá esa cantidad hasta dentro de dos meses. Dado
que no necesita con urgencia los recursos financieros, se plantea la posibilidad de,
una vez recibidas las 300.000 u.m., invertirlas durante siete meses. No obstante, los
tipos de interés resultan notablemente volátiles, por lo que al inversor le gustaría
protegerse contra esa variabilidad y asegurarse en el momento presente una
rentabilidad cierta. Si la estructura temporal de los tipos de interés es la que se detalla
a continuación, conteste a las siguientes preguntas
Tomador
Prestamista
Tomador
Prestamista
1 mes (30 días)
10’5%
10’75%
6 meses (182 días)
11%
11’25%
2 meses (61 días)
10’6%
10’85%
9 meses (274 días)
11’3%
11’55%
3 meses (91 días)
10’7%
10’95%
12 meses (365 días)
11’6%
11’85%
a) ¿Qué riesgo afecta a este inversor y cómo puede protegerse de dicho riesgo?
b) A la vista de la estructura temporal de los tipos de interés, ¿qué rendimiento
garantizaría durante los siete meses a las 300.000 u.m.?
c) ¿Qué pasaría si el tipo a siete meses al final del segundo mes fuese 12’5%? ¿y si
fuese 10’5%? Compare ambos rendimientos y justifique el resultado.
PROBLEMA 52
La empresa A es más conocida en los mercados financieros que la empresa B y por
esa razón puede obtener financiación en ellos a un menor coste, tanto a un tipo de
interés fijo como a uno variable. Si los posibles tipos de interés que debería soportar A
son 8% (tipo fijo) y Euribor (tipo variable), mientras que los tipos de interés a los que
debería hacer frente B son 11% y Euribor+1’5% respectivamente, diseñe una
operación swap de forma que A se vea beneficiada en el doble que B.
PROBLEMA 53
Un banco ha concedido un crédito de 10 millones de u.m. a un tipo de interés del 9%
y, para financiar esa operación, obtiene fondos del mercado interbancario a un tipo de
interés del Euribor+0’25%.
a) ¿En qué condiciones del mercado aconsejaría Vd. al banco realizar un swap?
b) Si el swap consistiera en intercambiar un rendimiento del 10% a cambio de percibir
un rendimiento del Euribor+0’75% sobre un millón de u.m., calcule cómo afectará
la operación a los flujos de caja anuales. Supóngase un tipo Euribor del 9’5%
c) Compruebe la validez de la cobertura de riesgo de tipo de interés obtenida
mediante el swap suponiendo que el tipo Euribor puede tomar un valor de 8% y
10’5%.
PROBLEMA 54
D. Gabriel ha contraído un crédito de 10.000 u.m. a un tipo de interés nominal del 6’5%
con amortización del principal al final de la operación, al que le quedan aún cuatro
años. En la actualidad, D. Gabriel combina expectativas al alza y a la baja, pues cree
que el Euribor va a experimentar la siguiente evolución: 4’75% a 1 año, 5’25% a 2
años, 5’75% a 3 años y 5’5% a 4 años.
¿Cuál sería el precio de una operación swap consistente en intercambiar los pagos
fijos por pagos variables al tipo Euribor con una prima del 1%, si se considera que el
tipo de descuento ajustado al riesgo de la operación es del 7%?
PROBLEMA 55 (Septiembre 1999)
Tauro S.A. es una empresa dedicada a las operaciones de importación y exportación.
Su dilatada trayectoria en ese mercado le ha proporcionado una sólida reputación, que
se traduce en la obtención de financiación en condiciones más ventajosas que otras
empresas de su sector. Así, si Tauro decidiese endeudarse a coste fijo, sus
prestamistas estarían dispuestos a concederle un crédito al 4%, mientras que, si
optase por el interés variable, el tipo de interés de la operación sería el tipo Euribor.
Aries S.A., otra empresa de comercio internacional, no disfruta de las mismas
facilidades que Tauro, siendo las condiciones exigidas por los prestamistas de un 8% y
Euribor + 2’5% en el caso de operaciones a tipo fijo y variable respectivamente.
Con los anteriores datos, diseñe una operación swap en la que Tauro salga
beneficiada cuatro veces más que Aries e indique el coste efectivo del endeudamiento
para cada una de las empresas.
PROBLEMA 56
D. Antonio ha obtenido un crédito a cuatro años por un nominal de 250.000 u.m. y
pagos anuales a un tipo de interés variable del EURIBOR más una prima del 0’4%. La
devolución del principal se hace a partes iguales cada año En el momento en que
solicitó el préstamo los tipos de interés presentaban una evolución a la baja, pero
actualmente la tendencia se ha modificado y es probable que los tipos de interés
aumenten su valor. Tratando de protegerse de ese riesgo, D. Antonio ha comprado un
contrato cap que limita el tipo de interés acreedor a un 6’5% y le exige una prima de
0’25%. Con estos datos, calcule
a) El nivel de activación del cap
b) Calcule la TAE de la operación con y sin cap para valores del EURIBOR del 4 y
7%.
PROBLEMA 57
Una empresa ha emitido deuda por valor de 1.500.000 u.m. con un tipo de interés del
Euribor+1%. Para prevenir futuras oscilaciones del tipo de interés ha decidido adquirir
un collar prestatario con unos límites, para el coste efectivo de la deuda, del 12% y el
8%. Si los costes e ingresos del collar ascienden al 0’75% y 0’25% respectivamente
del nominal, determine
a) Los niveles de activación del collar.
b) Si el Euribor tomase un valor de 6’25%, 7’5% y 11%, cuál sería el pago de
intereses y el flujo neto proporcionado por el collar.
c) Represente gráficamente la relación entre Euribor y coste de la financiación con y
sin collar.
PROBLEMA 58
Se desea formar una cartera con dos títulos de renta variable A y B. La rentabilidad de
ambos títulos es una variable aleatoria y se sabe que sus valores esperados son,
respectivamente, 12% y 10%. La desviación típica de la rentabilidad, por su parte, vale
5% y 3%. Si el coeficiente de correlación lineal entre la rentabilidad de ambos títulos
es –0’3
a) Calcule la rentabilidad esperada y el riesgo de una cartera formada por el título
A en una proporción del 100%, 70%, 50%, 30% y 0%. Compare esos
resultados con los que se obtendrían en caso de que el coeficiente de
correlación lineal tomara un valor de 0’3.
b) Determine la composición de la cartera que minimiza el riesgo.
c) Identifique la cartera óptima si el mapa de curvas de indiferencia del inversor es
tangente a la frontera eficiente en un punto en el que se verifica que
d σ2p
d Ep
= 0'05 .
PROBLEMA 59
En un mercado de capitales existen dos títulos de renta variable, Asia y África. Asia es
un título con poco riesgo, con rentabilidad esperada del 6% y cuya desviación típica de
la rentabilidad vale 2
5 %, mientras que África ofrece una rentabilidad esperada del
10% y una desviación típica del 6%. También puede distribuir su presupuesto de
capital en fracciones positivas de ambos títulos, si bien ha de precisarse que ambos
títulos presentan un coeficiente de correlación de
5 /3. Si la función de utilidad del
inversor viene definida por la expresión Ui = Ei -2σi - 3’716474σi + 1 = constante,
2
calcule:
a) La máxima rentabilidad que podría obtener este inversor.
b) La utilidad asociada a esa rentabilidad
c) La máxima utilidad que podría obtener.
d) La rentabilidad asociada a esa utilidad.
e) La composición de la cartera en este último caso.
PROBLEMA 60
Un mercado formado exclusivamente por dos títulos puede presentar 4 estados
equiprobables: muy alcista, alcista, moderado y bajista. En cada uno de esos estados
las rentabilidades que se esperan de los títulos serán respectivamente 11%, 9%, 7% y
-3% para el título A y 15%, 9%, 8% y -4% para el título B. Con esos datos se le pide
que:
a) Calcule la rentabilidad esperada y el riesgo (medido como desviación típica de la
rentabilidad) de una cartera integrada por ambos títulos a partes iguales.
b) Si se admite la posibilidad de invertir negativamente, con un límite igual al del
presupuesto inicial de capital, calcule la rentabilidad esperada y el riesgo de las
carteras formadas por la máxima inversión en cada uno de los títulos.
c) Determine la composición de la cartera de menor riesgo cuando cabe realizar
operaciones de inversión negativa sin límites.
d) Repita el último apartado si los títulos siguen presentando los cuatro rendimientos
posibles, pero no se hallan asociados a ningún estado y si el rendimiento de B
cambiase, de modo que fuese -4% y 15% en el primer y cuarto estado
respectivamente.
PROBLEMA 61
(Septiembre 1999)
En un mercado de capitales cotizan dos títulos de renta variable definidos por los
siguientes parámetros: EA=7% y σA= 4%; EB=12% y σB=6%. Si el coeficiente de
correlación lineal entre sus rentabilidades es -0’75
a) Calcule la rentabilidad de la cartera de menor riesgo que se pueda formar
combinando los títulos A y B.
b) Determine la composición de la cartera que optimiza la utilidad del inversor, si sus
curvas de utilidad responden a la expresión U = σ2i - 0’5 Ei2+8Ei = constante
PROBLEMA 62
Sean los títulos A, B y C los únicos existentes en un mercado. Si la rentabilidad
esperada y el riesgo de cada uno de ellos vienen dados por los valores EA=5%,
σA=2%, EB=8%, σB=6%, EC=12%, σC=9% y sus coeficientes de correlación lineal son,
respectivamente, ρAB=0, ρAC= - 0’5 y ρBC= 0’5,
a) Formule el programa cuadrático paramétrico que optimiza las combinaciones de
los tres títulos y calcule la composición óptima de la cartera cuando se desea
obtener una rentabilidad EP del 5, 7, 9, 11, 13 y 15%.
b) Compare los resultados con los que se obtendrían combinando únicamente dos
títulos.
PROBLEMA 63
En un mercado de renta variable cotizan 4 títulos cuyas rentabilidades, desviaciones
típicas y coeficientes de correlación se proporcionan a continuación
EA= 5%
EB= 6%
EC=8%
ED=11%
ρAB= 0’75
ρAC= -0’5
ρAD= -0’2
σA= 5%
σB= 6%
σC=12% σD=11%
ρBC= 0’75
ρBD= -0,4166 ρCD=- 0’2
Con estos datos
a) Calcule la función que determina la frontera eficiente.
b) Determine en qué proporción se combinarán los títulos si deseásemos obtener una
rentabilidad del 5 y 11%.
c) Si la función de utilidad de un inversor viene dada por la expresión σP2 – 0’3962 Ep2
+ 0’05 EP = constante, calcule la composición de la cartera que maximiza su
utilidad
PROBLEMA 64 (Junio 1999)
En un mercado de capitales existen tres títulos A, B y C de renta variable cuyas
distribuciones de rentabilidad y riesgo se ofrecen a continuación: EA=10% y σA= 2%;
EB=14% y σB=4%; EC=20% y σC=7%. Si los coeficientes de correlación lineal entre
ellos son : ρAB=1 y ρAC= -1, obtenga la expresión de la frontera eficiente de Markowitz
PROBLEMA 65 (Junio 1999)
En un mercado en el que existen tres estados posibles equiprobables -crisis,
estabilidad y expansión- cotizan los títulos de renta variable A, B y C cuyas
rentabilidades se ofrecen a continuación (en porcentaje):
A
B
C
Expansión
15
12
14
Estabilidad
8
9
5
Crisis
4
3
2
a) Obtenga una expresión que relacione el riesgo y la rentabilidad de las carteras
eficientes obtenidas a partir de dichos títulos.
b) Si un inversor dispone de 100 u.m. y desea invertirlas en la cartera de menor
riesgo, indique qué proporción deberá invertir en cada título (y su sentido
económico), cuál será la rentabilidad obtenida y el riesgo soportado.
PROBLEMA 66 (Junio 1999)
En un mercado de capitales existen tres únicas carteras de renta variable, sin que sea
posible realizar combinaciones de ellas, definidas por los siguientes parámetros:
EA=9% y σA= 8%; EB=13% y σB=10%; EC=15% y σC=12%. Asimismo, existe un activo
libre de riesgo con una rentabilidad del 5%. Con esos datos:
a) Identifique la cartera de mercado y obtenga una expresión de la rentabilidad de
las carteras mixtas en función de su riesgo.
b) Si un inversor posee 100.000 pts. y su función de utilidad responde a la
ecuación Ui = Ei-4σ2i+5σi = constante, determine cuál será la composición de la
cartera que maximiza su utilidad.
PROBLEMA 67 (Junio 2000)
En un mercado cotizan cuatro títulos de renta variable (A, B, C y D) que se pueden
combinar entre sí y cuyas rentabilidades esperadas, desviaciones típicas y
coeficientes de correlación se proporcionan a continuación
EA= 8%
EB= 12%
EC=15%
ED=17%
σA= 3%
σB= 4%
σC= 8%
σD= 7%
ρAB= 0’75
ρAC= 0’8
ρAD= -2/3
ρBC= 0’75 ρBD= -0’5
ρCD= -0’25
a) Si un inversor desease obtener una rentabilidad del 15%, ¿cuál sería el riesgo
mínimo que debería soportar?
b) ¿Cuál sería la composición de su cartera?
c) Si se dispone además de la posibilidad de prestar y de pedir prestado a un interés
del 5% ¿cuál es el riesgo mínimo para lograr una rentabilidad del 15%?
d) ¿ Cuál sería la composición de la cartera en este caso?
e) Si este inversor posee una función de utilidad de la forma Ui = σ2 - E2 + 0’45E ± k,
determine la composición óptima de su cartera.
PROBLEMA 68
En un mercado de renta variable cotizan 3 títulos cuyas rentabilidades, desviaciones
típicas y coeficientes de correlación se proporcionan a continuación
EA= 8%
EB= 12% EC=13%
σA= 2%
σB= 4%
ρAB= -0’75
ρAC= 0’8 ρBC= -0’75
σC=5%
Si en dicho mercado también existe la posibilidad de prestar y endeudarse a una tasa
del 3%,
a) Determine la composición de la cartera de mercado, así como su rentabilidad y el
nivel de riesgo anejo.
b) Si un inversor posee una función de utilidad definida por la expresión Ui = σ2 0’04E2 + 0’00778E ± k y unas disponibilidades de 50.000 u.m., calcule las
cantidades invertidas en cada uno de los títulos existentes.
f)
Si un inversor posee una función de utilidad definida por la expresión Ui = σ2 0’031E2 + 0’002E ± k y unas disponibilidades de 50.000 u.m., calcule las
cantidades invertidas en cada uno de los títulos existentes y justifique las
diferencias con el apartado anterior.
PROBLEMA 69
Dados los siguientes 12 títulos, cuyas rentabilidades esperadas y riesgos vienen
indicados a continuación,
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
E
8
10
9
9’5
11
12
13
14
13’5
15
17
20
σ
2
3
2’5
2’5
4
4
5
6
6’5
6
7
10
a) Indique cuáles son eficientes
b) Si todas las carteras eficientes están perfecta y positivamente correlacionadas y se
cumplen las hipótesis de la teoría del mercado de capitales, escriba las ecuaciones
de la SML y la CML para una rentabilidad libre de riesgo del 6%.
c) Si un inversor desea formar una cartera asumiendo un riesgo σ del 5%, ¿qué
rentabilidad máxima obtendría y cuál sería la composición de su cartera? Repita
los cálculos para un riesgo del 10%
d) Determine qué rentabilidad cabría esperar de un título cuya desviación típica de la
rentabilidad es del 4% y tiene un coeficiente de correlación con la cartera K de -0’2.
e) Se sabe que el riesgo sistemático de una cartera Q es el 40% de la varianza de su
rendimiento. Si βQ es 1’1, calcule el coeficiente de correlación de su rentabilidad y
la rentabilidad de la cartera de mercado.
f)
Especifique la composición de una cartera con el mismo riesgo que Q y una mayor
rentabilidad.
PROBLEMA 70
En un mercado de capitales donde existe la posibilidad de prestar y de endeudarse al
1’5%, cotizan cinco títulos (A, B, C, D y E) de renta variable cuyas rentabilidades
esperadas y matriz de varianzas-covarianzas se muestran a continuación.
⎛ 4% ⎞
⎜
⎟
⎜ 6% ⎟
R= ⎜ 9% ⎟
⎜
⎟
⎜13% ⎟
⎜18% ⎟
⎝
⎠
⎛ 0'0004 − 0'0004 0'0008 − 0'0012 0 ⎞
⎜
⎟
0 ⎟
⎜ − 0'0004 0'0009 − 0'0009 0'0011
M= ⎜ 0'0008 − 0'0009 0'0025
− 0'003
0 ⎟
⎜
⎟
− 0'003
0'0049
0 ⎟
⎜ − 0'0012 0'0011
⎜
0
0
0
0
0'01⎟⎠
⎝
a) Calcule la composición de la cartera de mercado
b) ¿Qué proporción de su presupuesto prestará un inversor que presenta una función
de utilidad definida por la isocuanta Ui = σ2 – 2’385E2 + 0’1E ± k?
c) Determine la fórmula de la CML
d) Si un título tiene un coeficiente β de 1’25, indique la rentabilidad de equilibrio que ha
de proporcionar
PROBLEMA 71
Tras haber seguido el rendimiento de un título en el mercado de capitales durante
cinco años y haberlo comparado con la rentabilidad del índice general del mercado, se
han obtenido los siguientes valores:
Ri
0,07 0,0675
0,085 -0,005 0,075
RM 0,05 0,0575 0,0725 0,015
a)
0,07
Si un activo libre de riesgo proporciona una rentabilidad del 3%, ¿considera Vd.
que la rentabilidad de dicho título es la apropiada?
b)
Indique qué proporción del riesgo total del título podría eliminarse
PROBLEMA 72
En un mercado de capitales cotizan cinco títulos financieros que, al cabo del año,
proporcionan los dividendos y alcanzan los precios recogidos en la siguiente tabla,
donde también se indica el coeficiente β de cada uno de ellos
A
B
C
D
E
Dividendo 150
135
930
1210
100
Precio
2000
2500
8450
3210
525
0,5
0,3
1
3,5
2,25
Beta
Si un inversor posee tres ejemplares de los títulos A y B, uno del título C, dos del título
D y cinco del título E, y sabiendo que la rentabilidad de la cartera de mercado es del
10% y la del activo libre de riesgo del 5%
a)
Determine la rentabilidad efectiva y la rentabilidad de equilibrio de su cartera
b)
Suponga que el mercado ha recuperado el equilibrio y este inversor adquiere un
nuevo título valorado en 3270 u.m., con un coeficiente β de 1’5 y que proporciona
una rentabilidad del 11%. Calcule la nueva rentabilidad efectiva y de equilibrio.
PROBLEMA 73
(Junio 2000)
Sea una cartera formada por dos títulos A (cada uno de ellos valorado en 1.600 u.m.), tres
títulos B (a 800 u.m. cada uno) y un título C (con un valor de mercado de 4.600 u.m.).
Suponga que el coeficiente β de cada título es 1’2, 0’75 y 2’45 respectivamente, la
rentabilidad esperada de la cartera de mercado 10%, la desviación típica de la misma 2’5%
y la rentabilidad libre de riesgo 5%
a) Si nuestra cartera proporciona una rentabilidad del 16%, determine si se halla
sobrevalorada o infravalorada.
b) Si la desviación típica de la cartera vale 5%, calcule qué proporción total del riesgo de la
cartera se podría eliminar mediante una adecuada diversificación.
PROBLEMA 74
En un mercado de renta variable cotizan tres títulos (Aries, Libra y Tauro) compatibles
entre sí, cuyas rentabilidades esperadas y matriz de varianzas-covarianzas se
muestran a continuación.
⎛ 7% ⎞
⎜
⎟
R= ⎜10% ⎟
⎜15% ⎟
⎝
⎠
⎛ 0'0016 0'00192 − 0'0024 ⎞
⎜
⎟
M= ⎜ 0'00192
0'0036 − 0'0024 ⎟
⎜ − 0'0024 − 0'0024 0'0064 ⎟
⎝
⎠
En este mercado existe también la posibilidad de prestar a un tipo de interés del 2% y
de endeudarse a un tipo de interés del 6’5%. Con los datos que anteceden calcule la
expresión de la relación óptima entre rentabilidad y riesgo para cualquier nivel de
riesgo o de rentabilidad.
PROBLEMA 75
Dada la serie de precios del título A y del título B, calcule las medias móviles de orden
3 y 5, los momentos de orden 3 y 5 y el oscilador RSI con datos de las cuatro últimas
sesiones
Sesión
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Título A 1400 1410 1450
1415
1445
1455
1465
1475
1485
1500
1530
1470
1470
1455
1460
Título B 1250 1260 1255
1240
1250
1300
1270
1265
1250
1260
1270
1255
1250
1260
1255