E3Jun10

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Ingeniero Industrial
Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2009/2010)
EXAMEN PRIMER CUATRIMESTRE: MECÁNICA. 28/Junio/2010
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJERCICIO 3
Duración: 40 minutos.
Valor: 2,5 puntos.
D IN ÁMICA DEL PUNTO MATERIAL .
En el plano vertical OXY (gravedad: g = −gı ), se halla una partı́cula P , de masa m, que se mueve sin rozamiento por el
interior de un aro hueco, fijo, de grosor prácticamente despreciable, radio R y centro en el origen de coordenadas O. Dicha
partı́cula está sujeta a uno de los extremos de un resorte ideal, de constante elástica k y longitud natural l0 = πR/2, el
cual se halla en el interior del aro y adopta por tanto la curvatura del mismo. El otro extremo del resorte se encuentra fijo
en el punto A de coordenadas cartesianas (xA = 0 , yA = −R ).
Utilizando la coordenada acimutal θ (definida en la figura) para describir la posición de la partı́cula, y la base polar {uρ , uθ }
para expresar las magnitudes vectoriales:
a) Desvincule la partı́cula (diagrama y expresión analı́tica de las fuerzas que actúan sobre ella). Nota: tenga en cuenta
que el resorte ejercerá su acción en dirección acimutal al haber adoptado la curvatura del aro.
b) Obtenga la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de la partı́cula (para ello, formule la 2a ley de Newton
en componentes acimutales). Aplicando en la ecuación obtenida la aproximación de ángulo pequeño sen(θ) ≈ θ,
¿qué inecuación debe satisfacer la constante elástica k para que el movimiento de la partı́cula sea armónico simple?
c) Deduzca razonadamente una integral primera del movimiento de la partı́cula (en función de θ y θ̇ ), y determine su
valor constante sabiendo que en el instante inicial la partı́cula se hallaba en reposo (θ̇(0) = 0) y en la posición dada
por θ(0) = θ0 .
SOLUCIÓN (sólo se corregirá, como máximo, una hoja adicional a la suministrada con este enunciado):
X
P ur
uq
k ,lo p R 2
m
q
Y
O
A
R
g
(Solución por detrás)
Solución-Apartado (a)
(Valor máximo : 0.8 puntos)
F
La partı́cula P se halla sometida a dos fuerzas activas: su peso
( mg ) y la fuerza elástica ( Fk ) que le ejerce el resorte en dirección acimutal. Por otra parte, el vı́nculo sin rozamiento al aro
hueco introduce sobre la partı́cula (principio de liberación) una
) de dirección radial. El diagrama
fuerza de reacción vincular ( φ
de fuerzas resultante es el mostrado en la figura, y las expresiones analı́ticas de las mismas en la base polar son:
k ,lo p R 2
P
mg
q
O
Y
⎧
mg = −mg cos(θ) uρ + mg sen(θ) uθ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
Fk = −k(l − l0 ) uθ = −kR θ uθ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ φ = φ uρ
Solución-Apartado (b)
X
Fk
A
R
diagrama
de fuerzas
(Valor máximo : 0.8 puntos)
Expresando la velocidad y la aceleración de la partı́cula P en componentes polares, y particularizando dichas expresiones para
la trayectoria ρ = R (cte) =⇒ ρ̇ = 0 = ρ̈ , se obtiene:
a = (ρ̈ − ρ θ̇2 ) uρ + (2ρ̇ θ̇ + ρ θ̈) uθ = −R θ̇2 uρ + R θ̈ uθ
v = ρ̇ uρ + ρ θ̇ uθ = R θ̇ uθ ;
Por otra parte, conforme a la segunda ley de Newton, se verifica la ecuación vectorial:
= ma
mg + Fk + φ
a partir de la cual, igualando componentes acimutales, se obtiene la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de la
partı́cula P :
mg sen(θ) − kR θ = mR θ̈
Aplicando sobre esta ecuación la aproximación de ángulo pequeño (sen(θ) ≈ θ), y dividiendo entre mR, se llega a:
g
k
−
θ=0
θ̈ +
m R
que coincidirá con la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple si el coeficiente de θ es positivo, es decir, si la
constante elástica k satisface la siguiente inecuación:
k
g
− > 0 =⇒
m R
Solución-Apartado (c)
k>
mg
R
(Valor máximo : 0.9 puntos)
) no realiza trabajo sobre la partı́cula porque es perpendicular en todo instante a su trayectoria.
La fuerza de reacción vincular ( φ
k ), que sı́ realizan trabajo sobre la partı́cula, son ambas fuerzas conservativas. Por tanto,
El peso ( mg ) y la fuerza elástica ( F
del teorema de conservación de la energı́a mecánica, se deduce que es integral primera del movimiento de la partı́cula su
energı́a mecánica ( E ), es decir, la suma de sus energı́as cinética ( T ), potencial gravitatoria ( Ug ) y potencial elástica ( Uk ).
Expresemos la energı́a mecánica en función de θ y θ̇ :
E(θ, θ̇) = T + Ug + Uk ==
1
1
mv 2 + mgx + k(l − l0 )2 =
2
2
1
2 2
2 mR θ̇
+ mgR cos(θ) + 12 kR2 θ2
donde los orı́genes de las energı́as potencial gravitatoria y potencial elástica se han tomado, respectivamente, en x = 0 y l = l0 .
Por último, el valor constante de la integral primera (energı́a mecánica) se puede determinar evaluando la expresión anterior para
las condiciones iniciales dadas (θ̇(0) = 0, θ(0) = θ0 ):
E = E(θ0 , 0) = mgR cos(θ0 ) + 12 kR2 θ02