Función lineal
La relación más simple entre dos medidas es la de una línea recta a través de la función
y = mx + b
y como x e y tienen un valor central e incertidumbre, la ecuación debe escribirse en la
siguiente forma
y = (yc + y) = m(xc + x) + b = mx + b
m y b son la pendiente y la ordenada al origen, respectivamente. Estos parámetros son
constantes, o sea, independientes de los valores de x e y.
Dado que x e y tienen incertidumbres asociadas, estas incertidumbres deben ser
representadas en las tablas y gráficas que muestran la relación existente entre ambas.
La figura 1 muestra una representación típica de medidas que se ajustan a una
representación lineal. Se observa la representación de los valores centrales y de las
incertidumbres para cada valor de x e y. Los valores centrales se encuentran justo en el
centro de las cruces y las barras de error dan cuenta de las incertidumbres de cada
medida, a lo largo de su eje respectivo.
Figura 1
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Construcción de un paralelogramo de incertidumbre
El problema ahora es asociar una recta a los puntos determinados experimentalmente.
Es claro que se puede establecer un sinnúmero de rectas que pasen a través de las
diferentes cruces. Se sugiere entonces el siguiente procedimiento para realizar la
asignación de una recta.
a) Trazo de la recta central
En primer lugar, hay que dibujar una recta que trate de unir la mayoría de los valores
centrales de la figura 1. La figura 2 muestra el aspecto de la gráfica después de este
primer paso.
b) Determinación de los parámetros de la recta central
Con dos puntos de la recta central (de preferencia tomados lo más alejados posibles para
tener menos incertidumbre en la determinación de la pendiente y la ordenada al origen)
se determinan sus parámetros mediante las ecuaciones
pendiente central = mc = (yII - yI)/(xII - xI)
ordenada al origen central = bc = yII -mcxII = yI –mcxI
Figura 2
Se observa que el trazo de esta recta trata de unir todos los valores centrales de x e y. En
la recta central se han señalado los puntos que se utilizan para el cálculo de la pendiente
y la ordenada al origen de la recta.
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c) Trazo de las rectas superior e inferior del paralelogramo de incertidumbre
El principal problema es que las incertidumbres de los puntos determinados
experimentalmente se traducen en incertidumbres en la recta central. Para ello, es
necesario ahora trazar dos rectas, paralelas a la central, que pasen por los puntos extremos
(de todos los intervalos graficados como barras de error), más alejados de la recta central.
Como son rectas paralelas a la central, sus pendientes son iguales a mc. En la figura 3 se
muestra el trazo de estas rectas, superior e inferior, con los puntos extremos tomados.
Estas rectas delimitan dos lados del paralelogramo de incertidumbre.
Las ordenadas al origen de las rectas superior e inferior son entonces
ordenada al origen superior = bsup = ysup – mcxsup
ordenada al origen inferior = binf = yinf – mcxinf
Figura 3
d) Trazo de los límites del paralelogramo de incertidumbre
En este paso, se trazan dos rectas verticales para encontrar los puntos extremos del
paralelogramo. Las ecuaciones de las rectas verticales son
vertical izquierda: (xi - xi)
vertical derecha: (xd + xd)
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Las intersecciones de estas verticales con las rectas superior e inferior definen los dos
puntos superiores
(supyI, supxI) , (supyII, supxII)
y los dos puntos inferiores
(infyI, infxI) , (infyII, infxII)
Figura 4
Así localizamos los cuatro vértices del paralelogramo de incertidumbre, por la
intersección de las verticales derecha e izquierda con las rectas superior e inferior.
e) Trazo de las diagonales del paralelogramo de incertidumbres
En este punto se trazan dos diagonales, la que une los puntos
(supyII, supxII) , (infyI, infxI)
que se llama pendiente superior, y la que une los puntos
(supyI, supxI) , (infyII, infxII)
que se llama pendiente inferior.
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f) Cálculo de las incertidumbres sobre la pendiente y sobre la ordenada al origen de la
recta central, a partir de los parámetros del paralelogramo de incertidumbre.
El objetivo final de la construcción del paralelogramo de incertidumbre, es la
determinación de la propagación de las incertidumbres de los pares de valores
determinados experimentalmente, sobre la pendiente y la ordenada al origen de la
recta central.
Figura 5
Las pendientes de las diagonales superior e inferior son:
pendiente superior = msup = (supyII - infyI)/(supxII - infxI)
pendiente inferior = minf = (supyI - infyII)/(supxI - infxII)
La incertidumbre de la pendiente central es:
(pendiente superior – pendiente inferior)/2
5
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