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profesor particular, profesor de estadística, clases particulares, clases particulares de estadística
Combinatoria
Profesor de Estadística, Sevilla (España)
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La combinatoria cuenta los posibles elementos de un conjunto, teniendo especial
cuidado en no olvidar ningún elemento ni en contarlo más de una vez. Se resaltan
a continuación seis casos típicos:
Permutaciones de n elementos: dados n elementos distintos, el número de
secuencia ordenadas de éstos es
Pn = n·(n − 1) · · · 2 · 1 = n!
Permutaciones con repetición de n elementos, con ni repeticiones del iésimo elemento, i = 1, ..., k: dados n elementos, de los cuales hay sólo k diferentes
(n1 iguales, n2 iguales,...,nk iguales, con n1 + n2 + ... + nk = n), el número de
secuencias ordenadas de estos elementos es
P Rnn1 ,...,nk =
n!
n1 !· · · · ·nk !
Variaciones de n elementos tomados de m en m (con m ≤ n): dados n elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de m de ellos es
Vn,m =
n!
(n − m)!
Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m: dados n
elementos distintos, el número de selecciones ordenadas de m de ellos, pudiendo
ocurrir que un mismo elemento aparezca más de una vez en la selección, es
V Rn,m = nm
Combinaciones de n elementos tomados de m en m (con m ≤ n): dados n
elementos distintos, el número de maneras de seleccionar m de ellos (sin tener
presente el orden) viene dado por
1
Cn,m =
n!
=
m! · (n − m)!
� �
n
m
Combinaciones con repetición de n elementos tomados de m en m: dados
n elementos distintos, el número de selecciones de m de ellos, sin tener presente
el orden y pudiendo haber elementos repetidos en una selección, es
CRn,m =
�
n+m−1
m
�
Algunas propiedades de los números combinatorios son los siguientes:
1. Números combinatorios extremos:
� �
m
=1
0
� �
m
=1
m
2. Números combinatorios complementarios:
� � �
�
m
m
=
n
m−n
3. Suma de números combinatorios consecutivos:
� � �
� �
�
m
m
m+1
+
=
n
n+1
n+1
4. Suma de una fila completa de números combinatorios:
� � � � � �
�
� � �
n
n
n
n
n
+
+
+ ··· +
+
= 2n
0
1
2
n−1
n
2