Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad

PROYECTO INTERNO EN MATERIA DE CONTAMINACIÓN
Y DRENAJE AGRÍCOLA
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
RD-1403.1
Informe Final
Jiutepec, Morelos, Septiembre de 2014
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
DIRECTORIO
INSTITUTO MEXICANO DE TECNOLOGÍA DEL AGUA
M.I. VICTOR BOURGUETT ORTÍZ
DIRECTOR GENERAL
DR. NAHÚN HAMED GARCÍA VILLANUEVA
COORDINADOR DE RIEGO Y DRENAJE
DR. HEBER ELEAZAR SAUCEDO ROJAS
SUBCOORDINADOR DE CONTAMINACIÓN Y DRENAJE AGRÍCOLA, Y
JEFE DE PROYECTO
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
ÍNDICE
1. OBJETIVOS .........................................................................................................................................................1
2. ANTECEDENTES ................................................................................................................................................1
3. DESARROLLO DEL PROYECTO .......................................................................................................................1
3.1. TEORÍA CLÁSICA DE LA OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES .........................................................................................1
3.1.1. Introducción ..........................................................................................................................................1
3.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE OPTIMIZACIÓN ............................................................................................................1
3.2.1. Definición del problema .......................................................................................................................1
3.2.2. Conceptos de mínimo global y mínimo local ....................................................................................2
3.2.3. Clasificación de las funciones ............................................................................................................3
3.2.4. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de mínimo .............................................4
3.2.5. Estructura general de los métodos ....................................................................................................5
3.3. ALGORITMOS DE OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES..............................................................................................8
3.3.1. Introducción ..........................................................................................................................................8
3.3.2. Búsqueda Lineal ...................................................................................................................................9
3.3.3. Métodos de Mínimos Cuadrados ......................................................................................................13
3. 4. ALGORITMO Y CÓDIGO EN C++ PARA ESTIMACIÓN DE CARACTERÍSTICAS DEL SUELO Y GASTO DE RIEGO .........23
3.5. RESULTADOS .................................................................................................................................................35
3.5.1. Variaciones del Avance Primera Iteración .......................................................................................35
3.5.2. Variaciones del Avance Segunda Iteración .....................................................................................40
3.5.3. Variaciones del Avance Tercera Iteración .......................................................................................53
3.5.4. Variaciones del Avance Cuarta Iteración .........................................................................................63
3.5.5. Variaciones del Avance Quinta Iteración .........................................................................................73
3.5.6. Variaciones del Avance Sexta Iteración ...........................................................................................83
3.5.7. Variaciones del Avance Séptima Iteración ......................................................................................93
3.5.8. Suelo Franco Arenoso .......................................................................................................................98
3.5.9. Suelo Franco .....................................................................................................................................107
3.5.10. Suelo Arcilla ....................................................................................................................................125
3.6. ARTÍCULO.- CARACTERIZACIÓN HIDRODINÁMICA DE SUELOS EMPLEANDO LAS ECUACIONES DE SAINT-VENANT Y
GREEN Y AMPT ....................................................................................................................................................151
3.6.1. Introducción ......................................................................................................................................152
3.6.2. Flujo del agua sobre la superficie del suelo ..................................................................................152
3.6.3. Flujo del agua en el suelo ................................................................................................................153
3.6.4. Solución numérica............................................................................................................................154
3.6.5. Optimización de parámetros ...........................................................................................................155
4. CONCLUSIONES .............................................................................................................................................158
BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................................................159
ANEXOS ...............................................................................................................................................................159
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ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 1.- FUNCIÓN CON MÍNIMO GLOBAL Y MÍNIMO LOCAL ...........................................................................................3
FIGURA 2.- FUNCIÓN DE ROSENBROCK ........................................................................................................................7
FIGURA 3.-CURVAS DE NIVEL DE LA FUNCIÓN DE ROSENBROCK .....................................................................................8
FIGURA 4.- ESQUEMA DE LA IMPLEMENTACIÓN DEL LINE SEARCH .............................................................................13
FIGURA 5.- DIAGRAMA DE FLUJO DEL MÉTODO GAUSS-NEWTON ..................................................................................16
FIGURA 6.- DIAGRAMA DE FLUJO DEL MÉTODO LEVENBERG-MARQUARDT ....................................................................17
FIGURA 7.- DIAGRAMA DE FLUJO DEL MÉTODO BROYDEN-FLETCHER-GOLDFARB- SHANNO (BFGS) .............................21
FIGURA 8.- DIAGRAMA DE FLUJO DEL MÉTODO HÍBRIDO: LEVENBERG-MARQUARDT Y QUASI-NEWTON ...........................22
FIGURA 9.- GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA PRIMERA ITERACIÓN ....................................................................................39
FIGURA 10.- GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA SEGUNDA ITERACIÓN .................................................................................52
FIGURA 11.- GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA TERCERA ITERACIÓN .................................................................................62
FIGURA 12.- GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA CUARTA ITERACIÓN ...................................................................................72
FIGURA 13.- GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA QUINTA ITERACIÓN ....................................................................................82
FIGURA 14.- GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA SEXTA ITERACIÓN......................................................................................92
FIGURA 15.- VALORES OBSERVADOS EN UNA PRUEBA DE AVANCE REPORTADA EN LA LITERATURA ..............................156
FIGURA 16.- RESULTADO DE LA PRIMERA ITERACIÓN DEL MÉTODO LEVENBERG-MARQUARDT .....................................156
FIGURA 17.- RESULTADO DE LA TERCERA ITERACIÓN DEL MÉTODO LEVENBERG-MARQUARDT.....................................157
FIGURA 18.- RESULTADO DE LA SÉPTIMA ITERACIÓN DEL MÉTODO LEVENBERG-MARQUARDT. R 2 0.997 .................157
FIGURA 19.- EVOLUCIÓN DEL ERROR CUADRÁTICO MEDIO DURANTE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO LEVENBERGMARQUARDT ...................................................................................................................................................158
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ÍNDICE DE CUADROS
CUADRO 1.- TABLA DE ITERACIONES ..........................................................................................................................35
CUADRO 2.- VALORES DE LA VARIACIÓN DEL AVANCE DE LA PRIMERA ITERACIÓN ..........................................................38
CUADRO 3.- VALORES DE LA VARIACIÓN DEL AVANCE DE LA SEGUNDA ITERACIÓN .........................................................51
CUADRO 4.- VALORES DE LA VARIACIÓN DEL AVANCE DE LA TERCERA ITERACIÓN .........................................................61
CUADRO 5.- VALORES DE LA VARIACIÓN DEL AVANCE DE LA CUARTA ITERACIÓN ...........................................................71
CUADRO 6.- VALORES DE LA VARIACIÓN DEL AVANCE DE LA QUINTA ITERACIÓN ............................................................81
CUADRO 7.- VALORES DE LA VARIACIÓN DEL AVANCE DE LA SEXTA ITERACIÓN..............................................................91
CUADRO 8.- VALORES DE LA VARIACIÓN DEL AVANCE DE LA SÉPTIMA ITERACIÓN ..........................................................97
CUADRO 9.- TABLA (Q, CUC) SUELO FRANCO ARENOSO .........................................................................................105
CUADRO 10.- TABLA (Q, CUC) SUELO FRANCO .......................................................................................................124
CUADRO 11.- TABLA (Q, CUC) SUELO ARCILLA .......................................................................................................150
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
1. Objetivos
Desarrollar un sistema computacional, basado en el empleo de las eciaciones de Saint-Venant y Gree y Ampt, para
diseñar y aplicar eficientemente el riego por gravedad.
2. Antecedentes
Se han generado diveras aproximaciones para modelar el riego por gravedad, entre ellas, el empleo de las ecuaciones
de Saint-Venant y Gree y Ampt muestra ventajas significativas respecto al tiempo de cómputo que se requiere para
obtener resultados aplicables a procesos de diseño del riego por gravedad en la práctica. Por esta razón, se hace
necesario disponer de un software que permita emplear las ecuaciones mencionadas para modelar el riego por gravedad
y realizar de forma automática la caracterización hidrodinámica del suelo a partir de datos de una prueba de avance.
3. Desarrollo del proyecto
Se desarrolló un software, codificado en lenguaje de programación C++, que permite aplicar la solución numérica del
acoplamiento de las ecuaciones de Saint-Venant y Gree y Ampt, para:
a)
Realizar el ajuste de las características hidrodinámicas del suelo denominadas conductividad hidráulica a
saturación y escala de presiones, a partir de los datos de una prueba de avance de riego, y
b)
Estimar el gasto óptimo de riego.
3.1. Teoría clásica de la optimización de funciones
3.1.1. Introducción
Este capítulo comienza presentando los conceptos básicos de optimización de funciones, los cuales sirven de soporte
para el resto del proyecto.
Posteriormente, se explican algunos algoritmos de optimización sin restricciones del tipo de Búsqueda Lineal mediante
interpolaciones polinómicas, como es el método de Mínimos Cuadrados, según Gauss-Newton, Levenberg-Marquardt, el
método Quasi- Newton y un método híbrido.
3.2. Conceptos básicos de optimización
3.2.1. Definición del problema
La optimización de funciones es una herramienta matemática cuyo objetivo es encontrar la mejor solución a un
problema matemático expresado, en la mayoría de los casos, mediante una ecuación. Esta mejor solución puede ser
un punto donde la función presente un máximo o un mínimo, según el problema dado. Sin embargo, ambos casos
son equivalentes, ya que encontrar el mínimo de una función f es lo mismo que encontrar el máximo de la función
f 1= −f. Por ello, a partir de este momento, se hablará de optimización como minimización de funciones sin pérdida de
generalidad.
Las variables de las que depende la función que define el problema, conocida como función objetivo, pueden estar
sujetas a unas restricciones, limitando así la zona de búsqueda de la solución. Este hecho, cambia la forma de
tratar el problema, distinguiéndose de este modo dos tipos de optimización, con y sin restricciones, para los cuales los
métodos a aplicar son distintos.
El problema de minimización de una función se define matemáticamente así:
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Donde
es el vector de las variables reales del problema
f : ℜn → ℜ
es la función objetivo.
Es importante remarcar que, además de encontrar el punto en el que la función objetivo toma el valor mínimo, interesa
hacerlo de manera rápida y con el menor coste computacional posible. Este coste computacional está totalmente
marcado por el coste de evaluar la función f, por lo que se interesará hallar el mínimo con el menor número posible de
evaluaciones de la función.
En este estudio se asume que la función f tiene derivadas primera y segunda y ambas son continuas (es decir, f es
de clase C2). Si alguna de dichas derivadas no fuese continua, las condiciones necesarias para que un punto sea
mínimo cambiarían drásticamente. Este tipo de problemas requiere un tratamiento diferente al que aquí se plantea.
Para mayor detalle, consultar [1].
3.2.2. Conceptos de mínimo global y mínimo local
Al valor de x que minimiza dicha función se le va a denominar a partir de aquí como x*. Normalmente, al abordar un
problema de minimización se suele pensar que dicho punto mínimo x* existe y es único. Sin embargo, aunque en
bastantes situaciones será así, estas condiciones tan favorables no tienen por qué darse siempre.
En primer lugar, conviene establecer la diferencia entre mínimo global y mínimo local. Veamos las definiciones de cada
uno de estos conceptos:
Definición: Sea una función f : ℜ
n
→ ℜ . Dicha función presenta un mínimo global en un punto x* si y solo si
Es decir, en todo el dominio de la función no hay ningún otro punto x en el que dicha función tome un valor menor.
Generalmente, al abordar un problema de minimización, se suele pensar que el punto obtenido como solución x*, es
el mínimo global de la función objetivo, es decir, el punto donde la función toma el menor valor. Pero esto no
siempre es así, ya que el método de optimización aplicado tiene una visión local, y no global, de la función,
obtenida a partir de los puntos que analiza. Por lo que el punto obtenido será el mínimo de la zona analizada, que no
tiene por qué ser el mínimo global de la función. Este mínimo recibe el nombre de mínimo local. Formalmente, estos
mínimos se definen de la siguiente manera:
Definición: Sea una función f : ℜ
n
→ ℜ . Dicha función presenta un mínimo local en un punto x * si y solo si
en un cierto entorno de x*
Es decir, si en el espacio n-dimensional de x se pueden definir regiones de las cuales sólo hay un punto mínimo,
cada uno de ellos será un mínimo local.
Un ejemplo en el que se ilustra estos dos tipos de mínimos puede ser la función
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Figura 1.- Función con mínimo global y mínimo local
A partir de estas definiciones, se deduce la dificultad de encontrar el mínimo global y, por lo tanto, garantizar que el
punto obtenido tras el proceso de optimización sea dicho mínimo, ya que el método aplicado puede quedar
atrapado en un mínimo local. Por ello, se necesita un mayor conocimiento de la función objetivo, muchas veces
difícil de conseguir, para identificar el mínimo global.
3.2.3. Clasificación de las funciones
Una posible clasificación de las funciones se puede realizar atendiendo al número de mínimos que representan en
la región bajo estudio. De este modo, se dice que una función es unimodal cuando tiene un solo mínimo local
en la región permitida. De manera análoga, la función es multimodal cuando hay varios mínimos locales en dicha
región.
Si la función a minimizar es multimodal, tras el proceso de optimización es bastante difícil garantizar que el punto
obtenido sea un mínimo global.
Otra forma de clasificar las funciones viene dada en función de sus derivadas parciales de primer y segundo orden
(en este caso, se supone que existen y son continuas, como se dijo anteriormente). De este modo, se tiene lo
siguiente:
Derivadas parciales de primer orden: Las derivadas parciales de primer orden forman el vector
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gradiente. El gradiente de una función en un punto x viene expresado por
Este vector indica la dirección de máxima variación.
De esta forma, se puede hablar de funciones crecientes o decrecientes. Cuando el gradiente es positivo, la función
es creciente en esa dirección. Análogamente, cuando el gradiente es negativo, la función es decreciente en dicha
dirección.
Derivadas parciales de segundo orden: Como se supone que la función bajo estudio presenta
derivadas segundas continuas, se puede definir la matriz de derivadas parciales de segundo orden o Matriz
Hessiana, la cual se define como:
Gracias a esta matriz, podemos hallar la curvatura de la función en un punto x a lo largo de una dirección definida
T
por s . Dicha curvatura viene dada por la expresión S G(x)s.
Si la curvatura que se acaba de hallar es positiva, indica que la derivada de la función en esa dirección es
creciente, o lo que es lo mismo, que la función es convexa. De manera que si dicha curvatura es negativa, la
derivada de la función es decreciente, es decir, la función es cóncava.
Como se puede intuir, estos conceptos van a ser de gran utilidad a la hora de describir lo que debe suceder en
un punto en el que la función toma un valor mínimo.
3.2.4. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de mínimo
Una vez explicados los conceptos, se procede a establecer las condiciones que se deben cumplir para que un cierto
punto sea el que minimice la función objetivo.
En primer lugar, se definen las Condiciones Necesarias de Primer y Segundo Orden, que cumple todo punto x* , el
cual es un mínimo local de una cierta función f . por el simple hecho de ser un mínimo local:
Sea una función f : ℜ → ℜ y un punto x ∈ ℜ .
Condición Necesaria de Primer Orden: La derivada direccional de f a lo largo de cualquier dirección s ,
evaluada en ese punto x*, será 0 (es decir, el punto x* es un extremo de la función f ). Matemáticamente se
puede expresar de la siguiente manera:
n
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n
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s T ∇f ( x*)= 0
∀s
O de manera equivalente:
∇f ( x *)= g* =
0
Condición Necesaria de Segundo Orden: La función nunca va a ser cóncava en ese punto, o lo que es lo
mismo, la curvatura de la función en dicho punto a lo largo de cualquier dirección es no negativa. Es
importante puntualizar que el hecho de estar en un mínimo local no implica que la función sea convexa,
sino que implica que la función no es cóncava. Se puede expresar matemáticamente de la manera
siguiente:
sT G * s ≥ 0
donde
∀s
G* = G ( x *) = ∇ f ( x *)
2
Esta condición necesaria es equivalente a decir que la matriz Hessiana en el punto mínimo, G*, es una matriz
semidefinida positiva.
Las condiciones necesarias las cumple todo punto que sea mínimo. Si ahora se realiza el análisis en sentido inverso,
se tienen las Condiciones Suficientes que implican que un punto cualquiera que las cumpla será un mínimo de la
función.
Condiciones Suficientes: Sea una función
siguientes condiciones matemáticas:
f : ℜn → ℜ .
Un punto x * es un mínimo local de
f
si cumple con las
∇f ( x *)= g* = 0
sT G * s > 0
∀s ≠ 0
3.2.5. Estructura general de los métodos
Los métodos para minimizar funciones cuando no están sometidas a ningún tipo de restricción son muchos y
muy variados, ya que las posibilidades para encontrar el mínimo de una función son muy amplias.
Sin embargo todos estos métodos tienen la misma estructura: partiendo de un punto Inicial x 0 , introducido por el
usuario, se van tomando sucesivas aproximaciones de la solución, basándose en información tanto del valor de la
(k )
función como del valor de alguna de sus derivadas. De esta forma, se obtiene una sucesión de puntos x
que
convergen en el mínimo de la función (donde el índice k indica el número de la iteración actual).
Este proceso iterativo finalizará cuando se cumple algún criterio de terminación previamente establecido por el
usuario. Hay muchas posibilidades en cuanto a criterios de terminación, pudiéndose utilizar la que más convenga en
cada caso.
Si se conoce el valor de la función en el punto óptimo x*, el criterio de que se aplica será el siguiente:
donde ftol es un valor introducido por el usuario.
Si, por el contrario, no se conoce el valor de la función en el punto óptimo, es posible definir hasta cuatro criterios de
terminación diferentes:
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Se parará si el gradiente de la función en el punto actual es suficientemente cercano a cero.
Matemáticamente, se puede expresar así:
Este criterio no se suele emplear en la práctica ya que es difícil determinar un umbral adecuado.
El algoritmo terminará cuando, entre dos iteraciones consecutivas, en cada eje se haya avanzado una
cantidad menor a una cierta tolerancia xtol. Dicha tolerancia puede ser distinta Para cada eje. Es decir:
El algoritmo finalizará si, entre dos iteraciones sucesivas, la distancia entre dos puntos x es menor que un
cierto umbral x tol , esta es la opción más usual. Es decir:
Se terminará la búsqueda cuando, entre dos iteraciones consecutivas, la diferencia entre los valores que
toma la función es menor que una cierta tolerancia ftol (definida por el usuario), es decir:
En la práctica, es muy común la utilización de varios de estos criterios a la vez. Además, se suele limitar el número de
evaluaciones de la función objetivo o el número de iteraciones, por si no se produce la convergencia.
Hasta aquí se ha presentado la estructura básica más común de los diferentes métodos de minimización. Sin
embargo, falta por explicar la forma en la que se puede medir la eficiencia de los mismos, la cual se basa en el
concepto de orden de convergencia de un algoritmo, que es una medida del grado de rapidez o lentitud con la que la
(k
sucesión de puntos x converge al punto óptimo x * en un entorno del mismo.
(k )
(k )
Partiendo de la definición del vector h = x − x*, podemos hablar de convergencia de orden p si
Hay varios casos particulares de gran interés:
Convergencia Lineal
Convergencia Cuadrática
Convergencia Superlineal
En la práctica, la existencia de convergencia y de un determinado orden de la misma no es garantía de un buen
comportamiento del algoritmo. Eso es debido a muchos factores, como por ejemplo:
Al estudiar teóricamente la convergencia de un algoritmo, no se tienen en cuenta los errores de redondeo del
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ordenador.
El orden de convergencia teórico se demuestra sólo para puntos cercanos al óptimo.
Para determinar dicho orden de convergencia, se hacen suposiciones sobre la función objetivo que pueden
no cumplirse en la práctica (como por ejemplo la convexidad).
Por esto, el mejor indicador del buen comportamiento de un algoritmo es la prueba experimental, realizada
normalmente con diversas funciones de test. Un ejemplo de estas funciones es la Función de Rosenbrock o
Función “banana”, cuya expresión, para n = 2 es la siguiente:
Esta función suele ser muy usada como función de prueba en optimización por su lenta convergencia para la mayoría
de los métodos. Su mínimo está en x = [1,1], donde f (x)=0.
Podemos ver la representación gráfica de la función de Rosenbrock en la siguiente imagen:
Figura 2.- Función de Rosenbrock
A continuación se muestran las curvas de nivel de la función de Rosenbrock:
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Figura 3.-Curvas de nivel de la función de Rosenbrock
3.3. Algoritmos de optimización sin restricciones
3.3.1. Introducción
Una vez situados en el problema, es interesante comprender los métodos más utilizados para minimizar funciones
cuando no están sometidas a ningún tipo de restricción.
Las posibilidades para encontrar el mínimo de una función son muy amplias, abarcando un enorme abanico de
métodos.
Sin embargo, esto depende de la información de la función y de las derivadas que utilice el método para aproximarse a
la solución. En base a esto, todos los métodos se pueden clasificar en los tres tipos siguientes:
Métodos de búsqueda directa: Estos métodos sólo evalúan la función objetivo. Son adecuados para
funciones con una alta no linealidad o con discontinuidades. Son un tipo de métodos muy robustos, pero
presentan una convergencia más lenta que los otros.
Métodos de Gradiente: Estos métodos utilizan el valor del gradiente de la función (primera derivada). Su
eficiencia es mucho mayor cuando el gradiente es continuo.
Métodos de orden superior: Estos métodos necesitan calcular derivadas de orden superior, La gran
desventaja de este método es el alto coste computacional que supone este cálculo (ya que exige
bastantes evaluaciones de la función objetivo). Sin embargo, en la mayoría de los casos, posee la ventaja de
tener rápida convergencia.
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Todos los algoritmos de minimización necesitan un punto de partida x 0, este punto lo debe proporcionar un usuario
con cierto conocimiento de la aplicación. Cuanto más cerca esté x 0 de la solución óptima menos tiempo necesitará el
algoritmo para converger y habrá menos riesgo de mínimos locales.
Se generan varios puntos hasta que se cumple el criterio de terminación, para generar un nuevo punto hay dos
estrategias posibles: Región de confianza y Búsqueda lineal.
En la estrategia de búsqueda lineal, se determina una dirección de avance d k y si se está en el punto x k , el nuevo
punto será x k +1 = x k + αd k
A la búsqueda de α se le llama búsqueda lineal (Line Search). Consiste en buscar el mínimo de una función
unidimensional g (α ):
En este caso hay que determinar a cada paso la dirección de avance.
En la estrategia de región de confianza, en cada iteración, se aproxima la función en el entorno de x k (punto origen)
por otra función más sencilla utilizando la Serie de Taylor, es decir:
Donde Δ es el radio de la región de confianza.
Se obtiene el mínimo de m k dentro de la región de confianza, si no decrece f suficientemente, se reduce Δ y se
k
vuelve a buscar el mínimo de m en la nueva región de confianza.
La diferencia entre estas dos estrategias está en cómo se selecciona la dirección y la distancia del nuevo paso:
En la búsqueda lineal primero se elige la dirección y luego la distancia.
En la región de confianza primero se elige la distancia y luego la dirección.
La estrategia de la búsqueda lineal es la utilizada en la mayoría de algoritmos clásicos, y la utilizada en este proyecto.
Tras explicar las características generales de los métodos para minimizar una función sin restricciones, se va a
explicar en qué consiste la búsqueda lineal.
3.3.2. Búsqueda Lineal
Las técnicas de búsqueda lineal realmente son procedimientos de optimización para una sola variable, y que se realiza
repetidamente en problemas de varias variables.
La elección de un método adecuado de búsqueda lineal es de gran importancia en un algoritmo de optimización ya
que es un procedimiento muy costoso.
En la búsqueda lineal se buscan dos cosas:
Acotación: determina un intervalo que acote los valores de α deseables.
Bisección o interpolación: determina un valor de α dentro del intervalo.
Se prueban unos cuantos valores de α y se para cuándo se satisfacen dos condiciones, llamadas Condiciones de
Wolfe, éstas son condición de suficiente descenso y condición de curvatura:
Condición de suficiente descenso →
Condición de curvatura
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→
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O también:
Condición de suficiente descenso →
Condición de curvatura →
donde 0 < c1 < c 2 < 1
La Condición de Curvatura se añade para evitar que se puedan tomar valores de α muy pequeños.
Como un punto puede satisfacer las condiciones de Wolfe sin estar muy próximo a un mínimo, se usan las
condiciones de Wolfe estrictas:
condición de suficiente descenso →
condición de curvatura →
O también:
condición de suficiente descenso →
condición de curvatura →
Con esto se evita que g ' (α ) este muy alejado de un mínimo.
Hay dos tipos de algoritmos de búsqueda lineal, los que no calculan derivadas y los que sí calculan derivadas
(interpolaciones polinómicas).
En este proyecto para hallar el mínimo a lo largo de la dirección de avance d se ha utilizado un método
polinómico que calcula derivadas, usando una combinación de interpolación cuadrática y cúbica
3.3.2.1. Interpolaciones polinómicas
Consiste en hacer aproximaciones polinómicas con la información de la función y las derivadas en los puntos por
los que se va pasando.
3.3.2.1.1. Interpolación cuadrática
Consiste en ajustar una función de una variable de la forma:
Un extremo de la función (mínimo o máximo) tiene lugar en
Para que haya un mínimo se tiene que cumplir que:
a es positivo (la segunda derivada es positiva).
b siempre es negativo.
Los coeficientes a y b se pueden obtener a partir de tres puntos conocidos, o el valor del gradiente en dos puntos.
Se pueden hacer simplificaciones si, por ejemplo, el primer punto se toma para α = 0.
Si se conoce el valor de g en tres puntos no equiespaciados:
α1 g(α1)
α2 g(α2)
α3 g(α3)
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Donde:
ij
= αi - α j
Para realizar interpolación, y asegurar que encontramos un mínimo, buscaremos tres puntos cercanos al mínimo.
Eso se garantiza si:
g (α2) < g (α1) y
g (α2) < g (α3)
Un caso muy frecuente es disponer de la siguiente información:
En este caso:
c = g (0)
b = g’ (0)
3.3.2.1.2. Interpolación cúbica
La interpolación cúbica resulta adecuada cuando se dispone de información del gradiente o de más de tres puntos.
Se ajusta una función de una variable de la forma:
g (α ) = a ⋅ α 3 + b ⋅ α 2 + c ⋅ α + d
Los extremos son las raíces de:
El mínimo debe cumplir que
g’’(α = 6 a α + 2b > 0
Se puede hallar una solución con la información de g en cuatro puntos, o con sólo el valor del gradiente en tres
puntos.
Si disponemos de la información de la función y el gradiente en dos puntos:
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Donde:
Un caso muy frecuente es disponer de la siguiente información:
En este caso:
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1.3.2.2. Implementación sencilla del Line Search
El siguiente viene a ser un esquema de la implementación del Line Search que se ha programado en el presente
proyecto:
Figura 4.- Esquema de la implementación del Line Search
3.3.3. Métodos de Mínimos Cuadrados
El problema de mínimos cuadrados consiste en encontrar el mínimo de una función que es una suma de cuadrados:
Si se trata de un problema de optimización de una red de microondas utilizamos la norma 2:
donde F es la respuesta de la red, S la respuesta ideal, ω los pesos, ψ puede ser la frecuencia o el tiempo y
.
Aunque se puede abordar la optimización con cualquier método, esta función objetivo presenta determinadas
características que pueden ser explotadas para aumentar la eficiencia.
En MATLAB lo implementa la función lsqnonli.
Para la descripción del método en este punto se necesitan fórmulas para las derivadas de la función, por lo que se
cumple:
La función es:
f ( x ) = K ( x )T K ( x )
T
∇ f ( x ) = 2J ( x ) K ( x )
La hessiana es: H ( x ) = 2 J ( x )T J ( x ) + 2Q( x )
El gradiente es:
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Revisión
Donde:
J(x) es la Jacobiana, que es una matriz de m x n de k(x) que contiene las derivadas primeras parciales de los
componentes de la función.
H(x) es la matriz Hessiana de f(x), que es una matriz que contiene las derivadas segundas parciales de los
componentes de la función.
Buscamos que el gradiente de f (x + Δx) sea cero:
Por tanto hay que resolver:
En cada iteración se hace una búsqueda lineal a lo largo de la dirección:
En este caso
La principal ventaja de este método se da cuando el mínimo de f(x) tiende a cero. Este caso:
Por tanto:
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3.3.3.1. Método Gauss-Newton
Este método es la base de los métodos que se describirán más adelante. Se basa en la implementación de las
primeras derivadas de la función.
El método Gauss-Newton se basa en una aproximación lineal de los componentes de f en la proximidad de x : Para
pequeñas
se tiene una serie de Taylor tal que:
Insertando esto en la definición de F se puede ver que:
(con f = f(x) y J = J(x)). El paso de Gauss-Newton hGN minimiza L(h), hGN arg Minh {L(h)}.
El gradiente y la Hessiana de L son:
Se puede observar que la matriz L´´(h) es independiente de h , simétrica y se define positiva si J tiene las columnas
linealmente independientes. Esto implica que L(h) tiene un único mínimo que se encuentra resolviendo en cada
iteración:
Donde se actualiza
usa α = 1 en todos los pasos.
en cada iteración y α se encuentra por Búsqueda Lineal. El método Gauss-Newton
La dirección Δx se usa en un proceso de LineSearch para asegurar que f (x) decrece.
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El diagrama de flujo de este método es el siguiente:
Figura 5.- Diagrama de flujo del método Gauss-Newton
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3.3.3.2. Método Levenberg-Marquardt
El método Levenberg-Marquardt es una variante del método Gauss-Newton, por lo que el paso hLM se define
modificando el paso del método Gauss-Newton en cada iteración de la siguiente manera:
Con
El diagrama de flujo del método Levenberg-Marquardt es el siguiente:
Figura 6.- Diagrama de flujo del método Levenberg-Marquardt
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3.3.3.2.1. Cálculo del parámetro de amortiguamiento
Usualmente se eligen valores iniciales grandes de λ, los cuales se disminuyen a medida que se aproxima al mínimo.
T
Los términos “grande” y “pequeño” deben ir relacionados con el tamaño de los elementos en J (x) J(x). Esta matriz es
simétrica y positiva, implicando que los valores propios de ( i) deben ser reales y no negativos; y los
ns
.
correspondientes vectores propios (vi) pueden ser elegidos como una base ortonormal de
La elección del parámetro λ influye tanto en la dirección de búsqueda como en el tamaño del paso. Por lo que si λ
tiende a cero, se tiene la misma dirección de avance que en el método de Gauss-Newton., y si λ tiende a ∞, Δx
tiende a un vector de ceros en la dirección de máxima pendiente. Esto asegura que para valores altos de λ
conseguiremos disminuir.
La solución para calcular el paso por el método de Levenberg-Marquardt puede escribirse de la forma:
Como consecuencia, es razonable relacionar el valor inicial de los valores propios. El máximo de los elementos de la
T
diagonal en el inicial J(x) J(x) tiene el mismo orden de magnitud que max (λi ), así que una simple estrategia para
elegir λ0 vendría dada por:
solución. Los valores de τ
donde un pequeño valor de τ sería usado si pensamos que x0 está próximo a la
-8
normalmente suelen estar en el intervalo [10 ,1]. En las
-3
simulaciones que he realizado he tomado un valor de τ de 10 ,
que es el valor estándar que suele tomarse.
A la hora de actualizar el parámetro λ, básicamente hay 2 tipos de estrategias: la primera está relacionada con la
solución para calcular el paso por el método de Levenberg-Marquardt que se acaba de describir. Se encuentra un valor
del paso mediante Line Search y se usa esta información para actualizar el valor de λ. Una búsqueda lineal puede
implicar bastantes evaluaciones extra de f(x) que no se acerquen a la solución.
El otro tipo de estrategias está basada en el hecho de que la variable λ influye tanto en la dirección d como en el paso
Δx, con lo cual se puede implementar el método sin necesidad de una búsqueda lineal explícita.
El método de Gauss-Newton está basado en el modelo obtenido de la expansión de Taylor de K(x):
Si f(x+ x)f(x), entonces, como xk+1 = xk + α d, se tiene:
α=1
Para α = 0
Para
xk+1 = xk +d.
xk+1 = xk , por lo que
aumenta.
Con esta estrategia se usaron los siguientes criterios de parada del algoritmo:
Por otra parte, lo que se busca es que λ disminuya cuando el punto x está cerca de la solución, lo cual se hará
suponiendo que cuando el paso es muy pequeño se puede dar por buena la aproximación siguiente:
La actualización de se controla mediante un “factor ganancia”:
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De la fórmula de Δx y la aproximación realizada en el modelo obtenido de la expansión de Taylor de K(x) se obtiene:
T
T
x ( x) como -( x) f’(x) son positivas, se garantiza que el denominador de G también lo es y como
elevado de G se puede disminuir el valor de λ para que en la siguiente
f(x) es decreciente, si se tiene un valor
iteración el
paso Levenberg-Marquardt se parezca al paso Gauss-Newton.
Como tanto x
Si G ≤ 0, entonces se incrementa λ con el fin de acercarse al método de máxima pendiente y reducir la longitud
del paso. Del mismo modo, si G es mayor que 0 pero muy pequeña, podría ser mejor utilizar un λ mayor al calcular
el paso en la siguiente iteración.
Tal y como propone Mardquardt en [12], muchas implementaciones de esta estrategia se realizan del siguiente modo:
o
o
Si G <G1, entonces =β
Si G >G2, entonces new=
o
Si G > 0, entonces x = x +
x
Donde 0 < G1 < G 2 y β, > 1.
Este método es muy sensible a pequeños cambios en los valores de estos parámetros, unos valores bastante
populares y utilizados en este proyecto son:
G1 = 0.25
G 2 = 0.75
β=2
γ =3
Finalmente se ha optado por una nueva estrategia basada en la propuesta de Mardquardt, pero que evita los saltos en
entre G1 y G2. Además, si G<0, al calcular pasos consecutivos se puede permitir que crezca más rápidamente:
o
Si G > 0 , entonces:
o
Si G ≤ 0 , entonces:
=
η y η=2η
Con η inizializada a β y siendo p un entero impar (se ha tomado p = 3).
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3.3.3.3. Método Quasi-Newton
Los métodos Quasi-Newton hallan la matriz Hessiana (H ) a partir de la evolución de f(x) y del gradiente, en vez de
numéricamente como se hace en el método Gauss-Newton, evitándose así un número excesivo de evaluaciones de la
función objetivo.
En este método, las expresiones de los gradientes se aproximan por diferencias finitas y la matriz origen, H(0) , utilizada
en la primera iteración, se suele tomar la matriz identidad, aunque también se puede usar cualquier matriz definida
positiva, esto asegura avanzar en sentido descendente.
La técnica más eficiente de actualización de H es la de Broyden-Fletcher-Goldfarb- Shanno (BFGS) que propone
aproximar la Hessiana en la siguiente iteración por la matriz definida positiva
Hk +1, cuya expresión es la siguiente:
donde:
-1
Como en esta expresión es necesario invertir dicha matriz H, se puede optar por aproximar H , esto es lo que
hace el Método de Davidon-Fletcher-Powell, y la expresión de dicha aproximación es la siguiente:
Experimentalmente se ha comprobado que la recurrencia de BFGS funciona mejor que la de DFP.
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El diagrama de flujo de este método con la actualización BFGS es el siguiente:
Figura 7.- Diagrama de flujo del método Broyden-Fletcher-Goldfarb- Shanno (BFGS)
La técnica de actualización de H defendida por Al-Baali y Fletcher propone aproximar la Hessiana en la siguiente
iteración por la expresión siguiente si se cumple que
:
Dónde:
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3.3.3.4. Método Híbrido: Levenberg-Marquardt y Quasi-Newton
Un método híbrido es una combinación de varias estrategias de optimización. La idea es utilizar en cada caso el
algoritmo más adecuado.
La mejor combinación de los algoritmos de optimización depende de la proximidad del punto inicial a los valores
óptimos, como se ha comentado. Así, por ejemplo, se puede empezar con un método robusto que no tenga una gran
dependencia con el punto inicial, como los métodos de búsqueda directa, y cuando el punto obtenido esté cerca
del mínimo, se conmuta a un algoritmo de gradiente para acelerar la convergencia.
Además de seleccionar los algoritmos a utilizar, hay que establecer mecanismos para conmutar de un tipo de
algoritmo a otro, los cuales se basan en fijar un número máximo de evaluaciones de la función objetivo o una
tolerancia para los parámetros o para la función de error. Con la estrategia de optimización híbrida se consigue
aumentar la robustez y la rapidez en la convergencia.
En este trabajo se presenta un método híbrido combinando el método Levenberg-Marquardt con el método QuasiNewton. Para empezar la iteración suponemos que el punto está lejos de la solución por lo que se empieza con
la robustez del método Levenberg-Marquardt. Si en tres pasos la representación indica que
entonces se
conmuta al método Quasi-Newton para mejorar la representación.
El siguiente diagrama de flujo es el del método híbrido:
Figura 8.- Diagrama de flujo del método híbrido: Levenberg-Marquardt y Quasi-Newton
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3. 4. Algoritmo y código en C++ Para Estimación de Características del Suelo
y Gasto de Riego
A continuación se presenta el algoritmo y código de una subrutina que permite aplicar el método de LevenbergMarquardt para un tipo de suelo específico, el cual puede aplicarse, de forma independiente, para otros tipos de suelo. El
algoritmo ha sido codificado en lenguaje de programación C++
void UNO::kshf()
{
double aux, ksini, hfini, posicion,dtheta;
long int i,j;
double a,b,c,a11,a12,a21,a22,b1,b2,maximojtj, amortiguamiento, deltaks, deltahf;
double controlecm,ECMact,ECMant;
double *Tinicial, *Xinicial, *Tksplus, *Xksplus, *Thfplus, *Xhfplus, *dfdks, *dfdhf, *simulado, *observado;
int contaLM;
double tol1, res1;
int
maxit, n;
double thetaS, thetacero;
double incrementoks, incrementohf;
// double C, S;
double OM, thetas33t, thetas33, psit, theta1500t, theta1500, theta33t, theta33, B, lambda, thetas;
//
double Ks, hf;
ifstream Lee;
ofstream Escribe;
Escribe.open("c:\\Acople\\ECMSVGA.txt",ios::trunc); Escribe.close();
//*****************asignacion de valores caracteristicos de la simulacion**************
longitud=10000.;
laminabruta=10.;
pendiente=0.002;
indicalong=0;
nivelesriego=30000;
nivalmac=100000;//asignacion inicial al nivel de tiempo en que termina el almacenamiento
nivelres=100000;//asignacion inicial al nivel de tiempo en que empieza la recesion
//discretizacion
dtini=5.; dt=dtini;
//impresion
niveltimp=50; dtimp=50;
//gasto minimo para la recesion
//Qminres=Qcab/10.;
//Qminres=.01;//arenas
Qminres=.05;//arcilla
thetaS=0.4685;
thetacero=0.2749;
incrementoks=.1;
incrementohf=.5;
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final=2;
//valores en la frontera*********************************
Q1=Qcab;
//valores iniciales de los parametros
posicion=2000.; //primer intervalo de registro del frente de avance
//valor inicial del los incrementos
ksplus=0.;
hfplus=0.;
//controlecm=0.;
ECMant=100000.;
contaLM=1;
gotoxy(1,2+contaLM);cout<<"ECM "<<"
"<<ksini*3600.<<" "<<"hf "<<hfini;
"<<10000.111111<<"
"<<"cecm
"<<5.111111<<"
"<<"Ks
do//DO GENERAL LM
{
//dimensionamiento e inicializacion de arreglos
dfdks=new double[6]; dfdhf=new double[6];
simulado=new double[6]; observado=new double[6];
for (i=1;i<=nnutod;i++){Tinicial[i]=0.; Xinicial[i]=0.; Tksplus[i]=0.; Xksplus[i]=0. ; Thfplus[i]=0.; Xhfplus[i]=0.;}
for (i=1;i<=6;i++){dfdks[i]=0.; dfdhf[i]=0.; simulado[i]=0.; observado[i];}
observado[1]=152.; observado[2]=421.; observado[3]=640.; observado[4]=980.; observado[5]=1400.;
//CALCULO DE LA PRIMERA CURVA DE AVANCE
Inicio();
Iniciosv();
nivelt=1;
do //primer do, calculo de la primera curva de avance
{
if (nivelt==1) tiem=dt;
if (nivelt>1) tiem+=dt;
contaco=1;
tol1=.001; maxit=500; contasv=1;
Avance(Ksv,Bsv);
if(nivelt>1) Choleskisv(incoest2);
//calculo de la lamina aplicada media
sumaL=0;
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n=1;
for(i=1;i<=nincot;i++)
{
if (i/2<i/2.)
{
sumaL+=(Rfin[n]+incoant[i]);
n++;
}
}
if(nivelt<=nivelesriego)laminaplicada=sumaL/nivelt;
if(nivelt>=nivelesriego)laminaplicada=sumaL/nivelesriego;
gotoxy(1,20);cout<<"
";
gotoxy(1,20);cout<<"Calculando la PRIMERA curva de avance
gotoxy(1,23);cout<<"
";
gotoxy(1,23);cout<<"Lamina aplicada..."<<" "<<laminaplicada<<"
";
"<<"lamina necesaria
"<<laminabruta;
if(nivelt==1)
{
res1=0.;
for (i=1;i<=ninco;i++)
{
if(incoest1[i]!=0.){
aux=fabs((incoest1[i]-incoest2[i])/incoest1[i]);
if (res1<aux) res1=aux;
}}
}else res1=0.;
if (nivelt==1) {for(i=1;i<=ninco;i++){incoest1[i]=(incoest1[i]+incoest2[i])/2.;}
}
if(contasv>maxit) break; contasv++;
}while(res1>tol1); //cierre tercer do, calculo de la primera curva de avance
if(nivelt==1) Y[2]=incoest2[2];
if(nivelt<nivelesriego)
{
if (nivelt>1)
{
avanza[1]=incoant[1]+incoest2[1];
avanza[2]=Q1+incoest2[2];
for (i=3;i<=nincot-1;i++){avanza[i]=incoant[i-2]+incoest2[i];}
avanza[nincot]=0.;
Y[nivelt+1]=2.*Y[nivelt]-Y[nivelt-1]+incoest2[nincot];//asigna un valor para la malla
//if(Y[nivelt+1]>longitud && indicalong<1){ nivelesriego=nivelt+1; indicalong=1;}
}
}
if(nivelt==nivelesriego)
{
avanza[1]=incoant[1]+incoest2[1];
avanza[2]=Q1+incoest2[2];
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for (i=3;i<=nincot;i++){avanza[i]=incoant[i]+incoest2[i];}
}
//Calculo de recargas con Green & Ampt
dtheta=thetaS-thetacero;
if (contaLM==1) {Ks=ksini; hf=hfini;}
if (contaLM>1) {Ks=ksplus; hf=hfplus;}
if(nivelt==1){Rfin[1]=Ks*dt+pow(pow(Ks*dt,2.)+pow(Rini[1],2.)+Ks*dt*Rini[1]+dt*Ks*dtheta*(2.*hf+avanza[1]+i
ncoant[1]),.5);}
if(nivelt>1)
{
Rfin[1]=Ks*dt+Rini[1]+dt*Ks*dtheta*(hf+avanza[1]+incoant[1])/Rini[1];
for(i=2;i<=nivelt-1;i++)
{
Rfin[i]=Ks*dt+Rini[i]+dt*Ks*dtheta*(hf+avanza[2*i-1]+incoant[2*i-1])/Rini[i];
}
}
resrec=0.;
for(i=1;i<=nivelt;i++)
{aux=fabs(Rfin[i]-Rfina[i]);
if(resrec<aux) resrec=aux;}
for(i=1;i<=nnutod;i++) Rfina[i]=Rfin[i];
contaco++; if(contaco>5) break;
limiteresrec=.001;
}while(resrec>limiteresrec); //cierre segundo do, calculo de la primera curva de avance
//asignacion de valores iniciales para el siguiente nivel de tiempo
if (nivelt==1){incoant[1]=incoest2[1];incoant[2]=incoest2[2];Y[2]=incoest2[2];}
if(nivelt>1)for (i=1;i<=nincot;i++){incoant[i]=avanza[i];}
for (i=1;i<=nivelt;i++){Rini[i]=Rfin[i];}
Archivar();
nivelt++;
gotoxy(1,22);cout<<"
"<<endl;
gotoxy(1,22);cout<<"Time "<<tiem<<" "<<"dt "<<dt<<" "<<"frente "<<Y[nivelt]<<endl;
}while (Y[nivelt-1]<=longitud);//cierre primer do, calculo de la primera curva de avance
//CALCULO DE LA SEGUNDA CURVA DE AVANCE
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Inicio();
Iniciosv();
nivelt=1;
do //primer do, calculo de la SEGUNDA curva de avance
{
if (nivelt==1) tiem=dt;
if (nivelt>1) tiem+=dt;
contaco=1;
do // segundo do, calculo de la SEGUNDA curva de avance
{
tol1=.001; maxit=500; contasv=1;
do // tercer do, calculo de la SEGUNDA curva de avance
{
Avance(Ksv,Bsv);
if(nivelt>1) Choleskisv(incoest2);
//calculo de la lamina aplicada media
sumaL=0;
n=1;
for(i=1;i<=nincot;i++)
{
if (i/2<i/2.)
{
sumaL+=(Rfin[n]+incoant[i]);
n++;
}
}
if(nivelt<=nivelesriego)laminaplicada=sumaL/nivelt;
if(nivelt>=nivelesriego)laminaplicada=sumaL/nivelesriego;
gotoxy(1,20);cout<<"
";
gotoxy(1,20);cout<<"Calculando la SEGUNDA curva de avance
gotoxy(1,23);cout<<"
";
gotoxy(1,23);cout<<"Lamina aplicada..."<<" "<<laminaplicada<<"
";
"<<"lamina necesaria
"<<laminabruta;
if(nivelt==1)
{
res1=0.;
for (i=1;i<=ninco;i++)
{
if(incoest1[i]!=0.){
aux=fabs((incoest1[i]-incoest2[i])/incoest1[i]);
if (res1<aux) res1=aux;
}}
}else res1=0.;
if (nivelt==1) {for(i=1;i<=ninco;i++){incoest1[i]=(incoest1[i]+incoest2[i])/2.;}
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}
if(contasv>maxit) break; contasv++;
}while(res1>tol1); //cierre tercer do, calculo de la SEGUNDA curva de avance
if(nivelt==1) Y[2]=incoest2[2];
if(nivelt<nivelesriego)
{
if (nivelt>1)
{
avanza[1]=incoant[1]+incoest2[1];
avanza[2]=Q1+incoest2[2];
for (i=3;i<=nincot-1;i++){avanza[i]=incoant[i-2]+incoest2[i];}
avanza[nincot]=0.;
Y[nivelt+1]=2.*Y[nivelt]-Y[nivelt-1]+incoest2[nincot];//asigna un valor para la malla
//if(Y[nivelt+1]>longitud && indicalong<1){ nivelesriego=nivelt+1; indicalong=1;}
}
}
if(nivelt==nivelesriego)
{
avanza[1]=incoant[1]+incoest2[1];
avanza[2]=Q1+incoest2[2];
for (i=3;i<=nincot;i++){avanza[i]=incoant[i]+incoest2[i];}
}
//Calculo de recargas con Green & Ampt
dtheta=thetaS-thetacero;
if (contaLM==1) {Ks=ksini*(1+incrementoks); hf=hfini;}
if (contaLM>1) {Ks=ksplus*(1+incrementoks); hf=hfplus;}
if(nivelt==1){Rfin[1]=Ks*dt+pow(pow(Ks*dt,2.)+pow(Rini[1],2.)+Ks*dt*Rini[1]+dt*Ks*dtheta*(2.*hf+avanza[1]+i
ncoant[1]),.5);}
if(nivelt>1)
{
Rfin[1]=Ks*dt+Rini[1]+dt*Ks*dtheta*(hf+avanza[1]+incoant[1])/Rini[1];
for(i=2;i<=nivelt-1;i++)
{
Rfin[i]=Ks*dt+Rini[i]+dt*Ks*dtheta*(hf+avanza[2*i-1]+incoant[2*i-1])/Rini[i];
}
}
resrec=0.;
for(i=1;i<=nivelt;i++)
{aux=fabs(Rfin[i]-Rfina[i]);
if(resrec<aux) resrec=aux;}
for(i=1;i<=nnutod;i++) Rfina[i]=Rfin[i];
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contaco++; if(contaco>5) break;
limiteresrec=.001;
}while(resrec>limiteresrec); //cierre segundo do, calculo de la SEGUNDA curva de avance
//asignacion de valores iniciales para el siguiente nivel de tiempo
if (nivelt==1){incoant[1]=incoest2[1];incoant[2]=incoest2[2];Y[2]=incoest2[2];}
if(nivelt>1)for (i=1;i<=nincot;i++){incoant[i]=avanza[i];}
for (i=1;i<=nivelt;i++){Rini[i]=Rfin[i];}
Tksplus[nivelt]=(tiem-dt);
Xksplus[nivelt]=Y[nivelt];
Archivar();
nivelt++;
gotoxy(1,22);cout<<"
"<<endl;
gotoxy(1,22);cout<<"Time "<<tiem<<" "<<"dt "<<dt<<" "<<"frente "<<Y[nivelt]<<endl;
}while (Y[nivelt-1]<=longitud);//cierre primer do, calculo de la SEGUNDA curva de avance
//CALCULO DE LA TERCERA CURVA DE AVANCE
Inicio();
Iniciosv();
nivelt=1;
do //primer do, calculo de la TERCERA curva de avance
{
if (nivelt==1) tiem=dt;
if (nivelt>1) tiem+=dt;
contaco=1;
do // segundo do, calculo de la TERCERA curva de avance
{
tol1=.001; maxit=500; contasv=1;
do // tercer do, calculo de la TERCERA curva de avance
{
Avance(Ksv,Bsv);
if(nivelt>1) Choleskisv(incoest2);
//calculo de la lamina aplicada media
sumaL=0;
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n=1;
for(i=1;i<=nincot;i++)
{
if (i/2<i/2.)
{
sumaL+=(Rfin[n]+incoant[i]);
n++;
}
}
if(nivelt<=nivelesriego)laminaplicada=sumaL/nivelt;
if(nivelt>=nivelesriego)laminaplicada=sumaL/nivelesriego;
gotoxy(1,20);cout<<"
";
gotoxy(1,20);cout<<"Calculando la TERCERA curva de avance
gotoxy(1,23);cout<<"
";
gotoxy(1,23);cout<<"Lamina aplicada..."<<" "<<laminaplicada<<"
";
"<<"lamina necesaria
"<<laminabruta;
if(nivelt==1)
{
res1=0.;
for (i=1;i<=ninco;i++)
{
if(incoest1[i]!=0.){
aux=fabs((incoest1[i]-incoest2[i])/incoest1[i]);
if (res1<aux) res1=aux;
}}
}else res1=0.;
if (nivelt==1) {for(i=1;i<=ninco;i++){incoest1[i]=(incoest1[i]+incoest2[i])/2.;}
}
if(contasv>maxit) break; contasv++;
}while(res1>tol1); //cierre tercer do, calculo de la TERCERA curva de avance
if(nivelt==1) Y[2]=incoest2[2];
if(nivelt<nivelesriego)
{
if (nivelt>1)
{
avanza[1]=incoant[1]+incoest2[1];
avanza[2]=Q1+incoest2[2];
for (i=3;i<=nincot-1;i++){avanza[i]=incoant[i-2]+incoest2[i];}
avanza[nincot]=0.;
Y[nivelt+1]=2.*Y[nivelt]-Y[nivelt-1]+incoest2[nincot];//asigna un valor para la malla
//if(Y[nivelt+1]>longitud && indicalong<1){ nivelesriego=nivelt+1; indicalong=1;}
}
}
if(nivelt==nivelesriego)
{
avanza[1]=incoant[1]+incoest2[1];
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avanza[2]=Q1+incoest2[2];
for (i=3;i<=nincot;i++){avanza[i]=incoant[i]+incoest2[i];}
}
//Calculo de recargas con Green & Ampt
dtheta=thetaS-thetacero;
if (contaLM==1) {Ks=ksini; hf=hfini*(1+incrementohf);}
if (contaLM>1) {Ks=ksplus; hf=hfplus*(1+incrementohf);}
if(nivelt==1){Rfin[1]=Ks*dt+pow(pow(Ks*dt,2.)+pow(Rini[1],2.)+Ks*dt*Rini[1]+dt*Ks*dtheta*(2.*hf+avanza[1]+i
ncoant[1]),.5);}
if(nivelt>1)
{
Rfin[1]=Ks*dt+Rini[1]+dt*Ks*dtheta*(hf+avanza[1]+incoant[1])/Rini[1];
for(i=2;i<=nivelt-1;i++)
{
Rfin[i]=Ks*dt+Rini[i]+dt*Ks*dtheta*(hf+avanza[2*i-1]+incoant[2*i-1])/Rini[i];
}
}
resrec=0.;
for(i=1;i<=nivelt;i++)
{aux=fabs(Rfin[i]-Rfina[i]);
if(resrec<aux) resrec=aux;}
for(i=1;i<=nnutod;i++) Rfina[i]=Rfin[i];
contaco++; if(contaco>5) break;
limiteresrec=.001;
}while(resrec>limiteresrec); //cierre segundo do, calculo de la SEGUNDA curva de avance
Archivar();
nivelt++;
gotoxy(1,22);cout<<"
"<<endl;
gotoxy(1,22);cout<<"Time "<<tiem<<" "<<"dt "<<dt<<" "<<"frente "<<Y[nivelt]<<endl;
}while (Y[nivelt-1]<=longitud);//cierre primer do, calculo de la TERCERA curva de avance
for (j=1;j<=5;j++)
{
for (i=1;i<=nivelesriego;i++)
{
if (Xinicial[i]>=posicion) {a=Tinicial[i-1]; break;}
México, 2014
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
}
for (i=1;i<=nivelesriego;i++)
{
if (Xksplus[i]>=posicion) {b=Tksplus[i-1]; break;}
}
for (i=1;i<=nivelesriego;i++)
{
if (Xhfplus[i]>=posicion) {c=Thfplus[i-1]; break;}
}
posicion+=2000.;
if (contaLM==1) {dfdks[j]=(b-a)/(incrementoks*ksini*3600.);}
if (contaLM>1) {dfdks[j]=(b-a)/(incrementoks*ksplus*3600.);}
if (contaLM==1) {dfdhf[j]=(c-a)/(incrementohf*hfini);}
if (contaLM>1) {dfdhf[j]=(c-a)/(incrementohf*hfplus);}
}
aux=0.;
for (j=1;j<=5;j++)
{
aux+=dfdhf[j]*dfdhf[j];
}
a11=aux;
aux=0.;
for (j=1;j<=5;j++)
{
aux+=dfdhf[j]*dfdks[j];
}
a12=aux;
aux=0.;
for (j=1;j<=5;j++)
{
aux+=dfdks[j]*dfdhf[j];
}
a21=aux;
aux=0.;
for (j=1;j<=5;j++)
{
México, 2014
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
aux+=dfdks[j]*dfdks[j];
}
a22=aux;
//termino independiente
aux=0.;
for (j=1;j<=5;j++)
{
aux+=dfdhf[j]*(observado[j]-simulado[j]);
}
b1=aux;
aux=0.;
for (j=1;j<=5;j++)
{
aux+=dfdks[j]*(observado[j]-simulado[j]);
}
b2=aux;
//maximo del producto de la matriz jacobiana transpuesta por la matriz jacobiana
aux=0.;
if(aux<a11)aux=a11;
if(aux<a12)aux=a12;
if(aux<a21)aux=a21;
if(aux<a22)aux=a22;
maximojtj=aux;
//Metodo LM
amortiguamiento=0.5;
//amortiguamiento=contaLM/100.;
//if(amortiguamiento>0.9) amortiguamiento=0.9;
a11+=amortiguamiento*maximojtj;
a22+=amortiguamiento*maximojtj;
deltaks=(b2-(a21*b1/a11))/(a22-(a21*a12/a11));
deltahf=(b1-a12*deltaks)/a11;
if(contaLM==1)
{
ksplus=ksini+deltaks/3600.;
hfplus=hfini+deltahf;
}
if(contaLM>1)
{
ksplus+=deltaks/3600.;
hfplus+=deltahf;
México, 2014
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
}
aux=0.;
for (j=1;j<=5;j++)
{
aux+=pow((observado[j]-simulado[j]),2.);
}
ECMact=pow(aux,.5);
controlecm=fabs((ECMact-ECMant)/ECMant);
//if(ECMact>ECMant) break;
ECMant=ECMact;
contaLM++;
gotoxy(1,2+contaLM);cout<<"ECM
"<<"
"<<(ksplus*3600.)<<" "<<"hf "<<hfplus;
"<<ECMact<<"
"<<"cecm
"<<controlecm<<"
"<<"Ks
Ks=ksplus;
hf=hfplus;
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5. Resultados
A continuación se muestra un resumen de los resultados que proporciona la aplicación del algoritmo LevenbergMarquardt al caso de la estimación de los parámetros de conductividad hidráulica a saturación y escala de presiones. En
las tablas solo se muestra el caso del inicio y final de la melga.
Cuadro 1.- Tabla de Iteraciones
Iteración
1
2
3
4
5
6
7
ECM
5,453.44
2,174.38
1,077.36
525.65
366.33
342.18
335.83
3.5.1. Variaciones del Avance Primera Iteración
Ks
hf
1
10
0
41.8133
76.0862
99.5402
116.205
134.485
153.437
171.685
189.247
206.581
223.703
240.527
257.07
273.39
289.506
305.426
321.163
336.734
352.149
367.418
382.551
397.556
412.44
427.21
441.872
456.431
470.892
485.26
499.539
513.733
527.845
541.88
555.839
569.725
583.543
597.292
610.977
624.599
638.161
651.664
665.109
678.499
691.836
705.12
718.354
731.538
744.674
757.763
770.807
783.806
9702.9
México, 2014
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
2502
1.1
10
0
41.6886
75.825
99.1418
115.712
133.911
152.765
170.903
188.357
205.584
222.595
239.305
255.733
271.936
287.934
303.734
319.349
334.796
350.087
365.231
380.236
395.112
409.867
424.505
439.034
453.46
467.786
482.018
496.16
510.216
524.189
538.083
551.901
565.645
579.318
592.923
606.463
619.938
633.352
646.706
660.002
673.242
686.428
699.56
712.64
725.67
738.651
751.585
764.471
777.312
9386.58
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
2502
1
10
0
41.8133
76.0862
99.5402
116.205
134.485
153.437
171.685
189.247
206.581
223.703
240.527
257.07
273.39
289.506
305.426
321.163
336.734
352.149
367.418
382.551
397.556
412.44
427.21
441.872
456.431
470.892
485.26
499.539
513.733
527.845
541.88
555.839
569.725
583.543
597.292
610.977
624.599
638.161
651.664
665.109
678.499
691.836
705.12
718.354
731.538
744.674
757.763
770.807
783.806
9702.9
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
2502
1
11
0
41.6912
75.8351
99.163
115.747
133.963
152.834
170.989
188.461
205.708
222.739
239.47
255.919
272.145
288.166
303.989
319.628
335.1
350.416
365.586
380.618
395.521
410.302
424.969
439.526
453.981
468.336
482.598
496.771
510.857
524.862
538.787
552.637
566.414
580.12
593.759
607.332
620.842
634.29
647.679
661.011
674.287
687.508
700.677
713.794
726.862
739.881
752.852
765.777
778.657
9516.98
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
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56
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74
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94
96
98
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Ks
hf
1
10
9707.97
9713.03
9718.09
9723.15
9728.21
9733.26
9738.32
9743.37
9748.42
9753.46
9758.51
9763.55
9768.59
9773.63
9778.66
9783.69
9788.73
9793.75
9798.78
9803.8
9808.83
9813.85
9818.86
9823.88
9828.89
9833.91
9838.91
9843.92
9848.93
9853.93
9858.93
9863.93
9868.92
9873.92
9878.91
9883.9
9888.89
9893.87
9898.86
9903.84
9908.82
9913.79
9918.77
9923.74
9928.71
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9938.65
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9948.57
9953.53
9958.49
9963.45
9968.4
9973.35
9978.3
9983.25
9988.2
9993.14
9998.08
10003
México, 2014
Ks
hf
2504
2506
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2536
2538
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2552
2554
2556
2558
2560
2562
2564
2566
2568
2570
2572
2574
2576
2578
2580
2582
2584
2586
2588
2590
2592
2594
2596
2598
2600
2602
2604
2606
2608
2610
2612
2614
2616
2618
2620
2622
1.1
10
9391.38
9396.18
9400.98
9405.77
9410.57
9415.36
9420.15
9424.93
9429.72
9434.5
9439.28
9444.06
9448.84
9453.61
9458.38
9463.15
9467.92
9472.69
9477.45
9482.21
9486.97
9491.73
9496.48
9501.23
9505.98
9510.73
9515.48
9520.22
9524.97
9529.71
9534.44
9539.18
9543.91
9548.64
9553.37
9558.1
9562.82
9567.55
9572.27
9576.99
9581.7
9586.42
9591.13
9595.84
9600.55
9605.26
9609.96
9614.66
9619.36
9624.06
9628.75
9633.45
9638.14
9642.83
9647.52
9652.2
9656.88
9661.57
9666.25
9670.92
9675.6
9680.27
9684.94
9689.61
9694.28
9698.94
9703.6
9708.26
9712.92
9717.58
9722.23
9726.88
9731.54
9736.18
9740.83
9745.47
9750.12
9754.76
9759.39
9764.03
Ks
hf
2504
2506
2508
2510
2512
2514
2516
2518
2520
2522
2524
2526
2528
2530
2532
2534
2536
2538
2540
2542
2544
2546
2548
2550
2552
2554
2556
2558
2560
2562
2564
2566
2568
2570
2572
2574
2576
2578
2580
2582
2584
2586
2588
2590
2592
2594
2596
2598
2600
2602
2604
2606
2608
2610
2612
2614
2616
2618
2620
2622
2624
2626
2628
2630
2632
2634
2636
2638
2640
2642
2644
2646
2648
2650
2652
2654
2656
2658
2660
2662
1
10
9707.97
9713.03
9718.09
9723.15
9728.21
9733.26
9738.32
9743.37
9748.42
9753.46
9758.51
9763.55
9768.59
9773.63
9778.66
9783.69
9788.73
9793.75
9798.78
9803.8
9808.83
9813.85
9818.86
9823.88
9828.89
9833.91
9838.91
9843.92
9848.93
9853.93
9858.93
9863.93
9868.92
9873.92
9878.91
9883.9
9888.89
9893.87
9898.86
9903.84
9908.82
9913.79
9918.77
9923.74
9928.71
9933.68
9938.65
9943.61
9948.57
9953.53
9958.49
9963.45
9968.4
9973.35
9978.3
9983.25
9988.2
9993.14
9998.08
10003
Ks
hf
2504
2506
2508
2510
2512
2514
2516
2518
2520
2522
2524
2526
2528
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2532
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2536
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2542
2544
2546
2548
2550
2552
2554
2556
2558
2560
2562
2564
2566
2568
2570
2572
2574
2576
2578
2580
2582
2584
2586
2588
2590
2592
2594
2596
2598
2600
2602
2604
2606
2608
2610
2612
2614
2616
2618
2620
2622
1
11
9521.92
9526.85
9531.79
9536.72
9541.64
9546.57
9551.49
9556.41
9561.33
9566.25
9571.16
9576.08
9580.99
9585.89
9590.8
9595.7
9600.61
9605.51
9610.4
9615.3
9620.19
9625.08
9629.97
9634.86
9639.74
9644.63
9649.51
9654.39
9659.26
9664.14
9669.01
9673.88
9678.75
9683.61
9688.48
9693.34
9698.2
9703.05
9707.91
9712.76
9717.61
9722.46
9727.31
9732.15
9737
9741.84
9746.68
9751.51
9756.35
9761.18
9766.01
9770.84
9775.66
9780.49
9785.31
9790.13
9794.95
9799.77
9804.58
9809.39
9814.2
9819.01
9823.81
9828.62
9833.42
9838.22
9843.02
9847.81
9852.6
9857.4
9862.19
9866.97
9871.76
9876.54
9881.32
9886.1
9890.88
9895.65
9900.43
9905.2
2504
2506
2508
2510
2512
2514
2516
2518
2520
2522
2524
2526
2528
2530
2532
2534
2536
2538
2540
2542
2544
2546
2548
2550
2552
2554
2556
2558
2560
2562
2564
2566
2568
2570
2572
2574
2576
2578
2580
2582
2584
2586
2588
2590
2592
2594
2596
2598
2600
2602
2604
2606
2608
2610
2612
2614
2616
2618
2620
2622
2624
2626
2628
2630
2632
2634
2636
2638
2640
2642
2644
2646
2648
2650
2652
2654
2656
2658
2660
2662
Página 36 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
hf
1
10
Ks
hf
1.1
10
9768.66
9773.3
9777.93
9782.55
9787.18
9791.8
9796.42
9801.04
9805.66
9810.28
9814.89
9819.5
9824.11
9828.72
9833.33
9837.93
9842.53
9847.13
9851.73
9856.33
9860.92
9865.51
9870.1
9874.69
9879.27
9883.86
9888.44
9893.02
9897.6
9902.17
9906.75
9911.32
9915.89
9920.46
9925.02
9929.59
9934.15
9938.71
9943.27
9947.82
9952.38
9956.93
9961.48
9966.03
9970.57
9975.12
9979.66
9984.2
9988.74
9993.28
9997.81
10002.3
México, 2014
Ks
hf
2664
2666
2668
2670
2672
2674
2676
2678
2680
2682
2684
2686
2688
2690
2692
2694
2696
2698
2700
2702
2704
2706
2708
2710
2712
2714
2716
2718
2720
2722
2724
2726
2728
2730
2732
2734
2736
2738
2740
2742
2744
2746
2748
2750
2752
2754
2756
2758
2760
2762
2764
2766
1
10
Ks
hf
1
11
9909.97
9914.73
9919.5
9924.26
9929.02
9933.78
9938.54
9943.29
9948.05
9952.8
9957.55
9962.29
9967.04
9971.78
9976.52
9981.26
9986
9990.73
9995.47
10000.2
2664
2666
2668
2670
2672
2674
2676
2678
2680
2682
2684
2686
2688
2690
2692
2694
2696
2698
2700
2702
Página 37 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.1.1. Tabla de valores
Cuadro 2.- Valores de la variación del avance de la primera iteración
df/dKs (20)
40
df/dKs (40)
200
df/dKs (60)
440
df/dKs (80)
840
df/dKs (100)
1440
METODO LEVENBERG MARQUARDT
valores iniciales
Ks = 1.0 hf = 10.0
Primera iteración
F=sim-obs
Simulado
df/dhf (20)
4
4
12
28
50
80
4
40
p1
=
4
12
28
50
80
-100
308
obs
408
df/dhf (40)
12
40
200
440
840
1440
12
200
p2
=
40
200
440
840
1440
-300
732
1032
90,000.00
df/dhf (60)
28
28
440
-800
1252
2052
640,000.00
df/dhf (80)
50
50
840
-2000
1876
3876
4,000,000.00
df/dhf (100)
80
80
1440
-5000
2620
7620
25,000,000.00
9,844
172,080
p1
=
526400
172,080
3,014,400
p2
=
9296000
p1
=
-206.9114471
526400
p2
=
14.89560835
9296000
-8,200.00
max JTJ
tau
lambda
México, 2014
0.5
29,740,000.00
ECM
5,453.44
r2
0.972010
GRAFICAS
0
0
0
0
20
308
20
408
hf
=
-196.9114471
40
732
40
1032
ks
=
15.89560835
60
1252
60
2052
80
1876
80
3876
100
2620
100
7620
3,014,400
tau puede estar entre 10-8 y 1
1507200
1,517,044
172,080
p1
=
526,400
172,080
4,521,600
p2
=
9,296,000
p1
=
0.11427982
p2
=
2.051560228
hf
=
10.11427982
ks
=
3.051560228
10,000.00
Página 38 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
9000
8000
7000
Tiempo (segundos)
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
20
40
60
80
100
120
Distancia (m)
Figura 9.- Gráfica de variación de la primera iteración
México, 2014
Página 39 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.2. Variaciones del Avance Segunda Iteración
Ks
hf
3.05
10.11
0
39.8894
72.1032
93.5473
108.854
125.936
143.419
160.053
176.041
191.806
207.302
222.458
237.318
251.935
266.324
280.494
294.461
308.243
321.851
335.294
348.584
361.728
374.735
387.611
400.364
412.998
425.519
437.933
450.243
462.453
474.568
486.592
498.526
510.375
522.142
533.828
545.437
556.971
568.432
579.823
591.144
602.399
613.588
624.715
635.779
646.783
657.728
668.615
679.447
690.223
700.945
711.615
722.233
732.801
743.319
753.789
764.211
774.586
784.916
795.2
805.44
815.636
825.789
835.901
845.971
856
865.989
875.938
885.849
895.721
905.556
915.353
925.113
934.837
944.526
954.179
9970.14
México, 2014
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
9434
3.20
10.11
0
39.7816
71.8872
93.2245
108.459
125.478
142.881
159.429
175.334
191.015
206.424
221.491
236.262
250.79
265.087
279.164
293.038
306.726
320.238
333.586
346.779
359.826
372.735
385.512
398.165
410.699
423.119
435.431
447.638
459.746
471.758
483.677
495.507
507.251
518.911
530.491
541.993
553.42
564.773
576.055
587.268
598.413
609.493
620.508
631.462
642.354
653.188
663.963
674.682
685.345
695.954
706.51
717.014
727.467
737.871
748.225
758.531
768.79
779.003
789.171
799.293
809.372
819.408
829.401
839.352
849.263
859.133
868.963
878.753
888.506
898.22
907.896
917.535
927.138
936.705
946.237
9626.91
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
9434
3.05
10.11
0
39.8894
72.1032
93.5473
108.854
125.936
143.419
160.053
176.041
191.806
207.302
222.458
237.318
251.935
266.324
280.494
294.461
308.243
321.851
335.294
348.584
361.728
374.735
387.611
400.364
412.998
425.519
437.933
450.243
462.453
474.568
486.592
498.526
510.375
522.142
533.828
545.437
556.971
568.432
579.823
591.144
602.399
613.588
624.715
635.779
646.783
657.728
668.615
679.447
690.223
700.945
711.615
722.233
732.801
743.319
753.789
764.211
774.586
784.916
795.2
805.44
815.636
825.789
835.901
845.971
856
865.989
875.938
885.849
895.721
905.556
915.353
925.113
934.837
944.526
954.179
9970.14
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
9434
3.05
10.62
0
39.7829
71.8937
93.2391
108.484
125.516
142.934
159.495
175.414
191.111
206.536
221.62
236.408
250.954
265.27
279.366
293.26
306.967
320.5
333.869
347.083
360.152
373.083
385.883
398.559
411.116
423.56
435.896
448.128
460.261
472.298
484.243
496.099
507.869
519.556
531.163
542.693
554.147
565.528
576.838
588.08
599.254
610.363
621.408
632.391
643.314
654.178
664.984
675.734
686.428
697.069
707.657
718.193
728.678
739.114
749.501
759.84
770.133
780.379
790.58
800.737
810.85
820.921
830.949
840.935
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10548
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
hf
3.05
10.11
Ks
hf
3.20
10.11
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9909.45
9909.92
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9918.3
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9925.71
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9927.56
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9932.64
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9942.75
9943.2
9943.66
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9945.04
9945.49
México, 2014
Ks
hf
3.05
10.11
Ks
hf
3.05
10.62
10556
10558
10560
10562
10564
10566
10568
10570
10572
10574
10576
10578
10580
10582
10584
10586
10588
10590
10592
10594
10596
10598
10600
10602
10604
10606
10608
10610
10612
10614
10616
10618
10620
10622
10624
10626
10628
10630
10632
10634
10636
10638
10640
10642
10644
10646
10648
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10654
10656
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10690
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10704
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10708
10710
10712
10714
Página 48 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
hf
3.05
10.11
Ks
hf
3.20
10.11
9945.95
9946.41
9946.87
9947.32
9947.78
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9965.96
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9979.03
9979.48
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9981.28
9981.73
México, 2014
Ks
hf
3.05
10.11
Ks
hf
3.05
10.62
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10718
10720
10722
10724
10726
10728
10730
10732
10734
10736
10738
10740
10742
10744
10746
10748
10750
10752
10754
10756
10758
10760
10762
10764
10766
10768
10770
10772
10774
10776
10778
10780
10782
10784
10786
10788
10790
10792
10794
10796
10798
10800
10802
10804
10806
10808
10810
10812
10814
10816
10818
10820
10822
10824
10826
10828
10830
10832
10834
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10840
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10844
10846
10848
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10852
10854
10856
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10860
10862
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10866
10868
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10872
10874
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
hf
3.05
10.11
Ks
hf
3.20
10.11
9982.17
9982.62
9983.07
9983.52
9983.97
9984.41
9984.86
9985.31
9985.76
9986.2
9986.65
9987.1
9987.55
9987.99
9988.44
9988.89
9989.33
9989.78
9990.23
9990.67
9991.12
9991.56
9992.01
9992.46
9992.9
9993.35
9993.79
9994.24
9994.68
9995.13
9995.57
9996.02
9996.46
9996.91
9997.35
9997.8
9998.24
9998.68
9999.13
9999.57
10000
México, 2014
Ks
hf
3.05
10.11
Ks
hf
3.05
10.62
10876
10878
10880
10882
10884
10886
10888
10890
10892
10894
10896
10898
10900
10902
10904
10906
10908
10910
10912
10914
10916
10918
10920
10922
10924
10926
10928
10930
10932
10934
10936
10938
10940
10942
10944
10946
10948
10950
10952
10954
10956
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.2.1. Tabla de valores
Cuadro 3.- Valores de la variación del avance de la segunda iteración
df/dKs (20)
52.43219469
df/dKs (40)
249.0529248
df/dKs (60)
852.0231637
df/dKs (80)
2674.041929
df/dKs (100)
9280.49846
Segunda iteración
F=sim-obs
Simulado
df/dhf (20)
7.909609129
7.909609129
43.50285021
114.6893324
272.8815149
628.8139257
7.909609129
52.43219469
p1
=
7.909609129
43.50285021
114.6893324
272.8815149
628.8139257
0
408
408
0.00
df/dhf (40)
43.50285021
52.43219469
249.0529248
852.0231637
2674.041929
9280.49846
43.50285021
249.0529248
p2
=
52.43219469
249.0529248
852.0231637
2674.041929
9280.49846
138
1170
1032
19,044.00
df/dhf (60)
114.6893324
114.6893324
852.0231637
420
2472
2052
176,400.00
df/dhf (80)
272.8815149
272.8815149
2674.041929
924
4800
3876
853,776.00
df/dhf (100)
628.8139257
628.8139257
9280.49846
1918
9538
7620
3,678,724.00
484,980
6,674,370
p1
=
-1512380.542
ECM
2,174.38
6,674,370
94,068,872
p2
=
-20663029.82
r2
0.999995
p1
=
-4.054010198
-1512380.542
0
p2
=
0.067981427
-20663029.82
0
obs
3,400.00
4,727,944.00
% red ECM
max JTJ
tau
lambda
México, 2014
0
0
0
0
20
408
20
408
hf
=
5.945989802
40
1170
40
1032
ks
=
1.067981427
60
2472
60
2052
80
4800
80
3876
100
9538
100
7620
94,068,872
0.5
60.1282149
GRAFICAS
tau puede estar entre 10 exp -8 y 1
47034435.94
47,519,416
6,674,370
p1
=
-1512380.542
6,674,370
141,103,308
p2
=
-20663029.82
p1
=
-0.011333692
p2
=
-0.14590292
hf
=
10.10294613
ks
=
2.905657309
Página 51 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
12000
10000
Tiempo (segundos)
8000
6000
4000
2000
0
0
20
40
60
80
100
120
Distancia (m)
Figura 10.- Gráfica de variación de la segunda iteración
México, 2014
Página 52 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.3. Variaciones del Avance Tercera Iteración
Ks
hf
2.91
10.10
0
39.9953
72.3148
93.8636
109.24
126.385
143.946
160.664
176.734
192.58
208.161
223.403
238.35
253.056
267.534
281.794
295.853
309.727
323.427
336.965
350.349
363.589
376.692
389.665
402.515
415.247
427.868
440.381
452.791
465.102
477.319
489.444
501.481
513.433
525.303
537.094
548.808
560.447
572.014
583.51
594.939
606.301
617.598
628.832
640.005
651.118
662.173
673.17
684.112
694.999
705.832
716.614
727.344
738.024
748.655
759.238
769.774
780.263
790.706
801.105
811.46
821.772
832.041
842.268
852.455
862.6
872.706
882.773
892.801
902.791
912.744
922.66
932.539
942.382
952.19
961.962
8871.31
México, 2014
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
5864
3.05
10.10
0
39.8915
72.1073
93.5535
108.861
125.944
143.429
160.065
176.054
191.82
207.317
222.474
237.336
251.955
266.345
280.516
294.485
308.268
321.877
335.323
348.614
361.759
374.768
387.646
400.4
413.035
425.558
437.973
450.285
462.497
474.614
486.638
498.575
510.425
522.193
533.881
545.492
557.027
568.49
579.882
591.205
602.461
613.653
624.78
635.846
646.852
657.798
668.688
679.52
690.298
701.022
711.694
722.314
732.883
743.403
753.874
764.298
774.675
785.006
795.292
805.533
815.731
825.886
835.999
846.071
856.102
866.093
876.044
885.956
895.83
905.666
915.465
925.227
934.952
944.643
954.297
8605.81
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
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100
102
104
106
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110
112
114
116
118
120
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126
128
130
132
134
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2.91
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3.5.3.1. Tabla de valores
Cuadro 4.- Valores de la variación del avance de la tercera iteración
df/dKs (20)
df/dKs (40)
df/dKs (60)
df/dKs (80)
df/dKs (100)
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2326.495963
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542.4160369
Tercera iteración
11.87772344
55.06499322
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247.7924695
106.8995109
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=
=
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p2
=
=
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=
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México, 2014
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=
=
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Página 61 de 165
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3876
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120
Distancia (m)
Figura 11.- Gráfica de variación de la tercera iteración
México, 2014
Página 62 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.4. Variaciones del Avance Cuarta Iteración
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México, 2014
Ks
hf
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Página 63 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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8500
8502
8504
8506
8508
8510
8512
8514
8516
8518
8520
8522
8524
8526
8528
8530
8532
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8536
8538
8540
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8544
8546
8548
8550
8552
8554
8556
8558
8560
8562
8564
8566
8568
8570
8572
8574
8576
8578
8580
8582
8584
8586
8588
8590
8592
8594
8596
8598
8600
8602
8604
8606
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8614
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8618
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8622
8624
8626
8628
8630
8632
Página 68 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
hf
2.82
10.10
Ks
hf
2.96
10.10
9937.02
9937.69
9938.36
9939.03
9939.7
9940.37
9941.04
9941.71
9942.38
9943.05
9943.71
9944.38
9945.05
9945.72
9946.38
9947.05
9947.72
9948.38
9949.05
9949.72
9950.38
9951.05
9951.72
9952.38
9953.05
9953.71
9954.38
9955.04
9955.71
9956.37
9957.04
9957.7
9958.36
9959.03
9959.69
9960.35
9961.02
9961.68
9962.34
9963.01
9963.67
9964.33
9964.99
9965.65
9966.32
9966.98
9967.64
9968.3
9968.96
9969.62
9970.28
9970.94
9971.6
9972.26
9972.92
9973.58
9974.24
9974.9
9975.56
9976.22
9976.88
9977.54
9978.19
9978.85
9979.51
9980.17
9980.83
9981.48
9982.14
9982.8
9983.45
9984.11
9984.77
9985.42
9986.08
9986.73
9987.39
9988.05
9988.7
9989.36
México, 2014
Ks
hf
2.82
10.10
Ks
hf
2.82
10.60
8634
8636
8638
8640
8642
8644
8646
8648
8650
8652
8654
8656
8658
8660
8662
8664
8666
8668
8670
8672
8674
8676
8678
8680
8682
8684
8686
8688
8690
8692
8694
8696
8698
8700
8702
8704
8706
8708
8710
8712
8714
8716
8718
8720
8722
8724
8726
8728
8730
8732
8734
8736
8738
8740
8742
8744
8746
8748
8750
8752
8754
8756
8758
8760
8762
8764
8766
8768
8770
8772
8774
8776
8778
8780
8782
8784
8786
8788
8790
8792
Página 69 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
hf
2.82
10.10
Ks
hf
2.96
10.10
9990.01
9990.67
9991.32
9991.97
9992.63
9993.28
9993.94
9994.59
9995.24
9995.9
9996.55
9997.2
9997.85
9998.51
9999.16
9999.81
México, 2014
Ks
hf
2.82
10.10
Ks
hf
2.82
10.60
8794
8796
8798
8800
8802
8804
8806
8808
8810
8812
8814
8816
8818
8820
8822
8824
Página 70 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.4.1. Tabla de valores
Cuadro 5.- Valores de la variación del avance de la cuarta iteración
df/dKs (20)
df/dKs (40)
df/dKs (60)
df/dKs (80)
df/dKs (100)
56.76394788
241.2467785
794.6952703
2242.175941
6669.763876
df/dhf (20)
df/dhf (40)
df/dhf (60)
df/dhf (80)
df/dhf (100)
7.924611892
35.66075351
103.0199546
225.8514389
483.4013254
Cuarta iteración
7.924611892
56.76394788
35.66075351
241.2467785
103.0199546
794.6952703
225.8514389
2242.175941
483.4013254
6669.763876
7.924611892
35.66075351
103.0199546
225.8514389
483.4013254
56.76394788
241.2467785
794.6952703
2242.175941
6669.763876
p1
p2
=
=
7.924611892
56.76394788
296,633
3,821,494
3,821,494
50,206,066
p1
p2
=
=
-240622.9155
-2820799.244
p1
p2
=
=
-4.502299327
0.286513373
hf
ks
=
=
5.497700673
1.286513373
max JTJ
tau
lambda
25,399,666
3,821,494
México, 2014
50,206,066
0.5
25103032.92
tau puede estar entre 10 exp -8 y 1
3,821,494
75,309,099
p1
p2
=
=
-240622.9155
-2820799.244
p1
p2
=
=
-0.003867529
-0.037260033
hf
ks
=
=
10.09126408
2.781430456
35.66075351
241.2467785
103.0199546
794.6952703
-240622.9155
-2820799.244
225.8514389
2242.175941
0
0
483.4013254
6669.763876
F=sim-obs
-12
82
232
382
264
948.00
0
20
40
60
80
100
Simulado
396
1114
2284
4258
7884
obs
408
1032
2052
3876
7620
ECM
r2
% red ECM
GRAFICAS
0
0
396
20
1114
40
2284
60
4258
80
7884
100
Página 71 de 165
144.00
6,724.00
53,824.00
145,924.00
69,696.00
276,312.00
525.65
0.999262
51.20923405
0
408
1032
2052
3876
7620
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
9000
8000
7000
Tiempo (segundos)
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
20
40
60
80
100
120
Distancia (m)
Figura 12.- Gráfica de variación de la cuarta iteración
México, 2014
Página 72 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.5. Variaciones del Avance Quinta Iteración
Ks
hf
2.78
10.09
0
40.0655
72.5206
94.1713
109.61
126.82
144.457
161.256
177.403
193.328
208.99
224.315
239.345
254.135
268.699
283.045
297.191
311.153
324.942
338.57
352.044
365.375
378.57
391.636
404.579
417.406
430.121
442.729
455.235
467.643
479.957
492.18
504.315
516.366
528.336
540.226
552.04
563.781
575.449
587.047
598.578
610.043
621.444
632.782
644.059
655.277
666.436
677.539
688.587
699.581
710.521
721.41
732.248
743.036
753.775
764.467
775.112
785.71
796.264
806.773
817.238
827.661
838.041
848.38
858.678
868.936
879.155
889.334
899.475
909.579
919.645
929.675
939.668
949.626
959.549
969.437
979.29
México, 2014
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
2.92
10.09
0
39.9899
72.3039
93.8472
109.22
126.361
143.918
160.632
176.697
192.539
208.115
223.352
238.295
252.996
267.469
281.724
295.777
309.646
323.342
336.874
350.253
363.487
376.585
389.553
402.397
415.124
427.739
440.246
452.651
464.956
477.167
489.287
501.318
513.264
525.129
536.913
548.621
560.255
571.815
583.306
594.728
606.084
617.375
628.603
639.77
650.877
661.925
672.917
683.852
694.733
705.56
716.335
727.059
737.733
748.357
758.934
769.463
779.945
790.382
800.775
811.123
821.428
831.691
841.911
852.091
862.23
872.329
882.389
892.411
902.394
912.34
922.249
932.121
941.957
951.758
961.524
971.255
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
2.78
10.09
0
40.0655
72.5206
94.1713
109.61
126.82
144.457
161.256
177.403
193.328
208.99
224.315
239.345
254.135
268.699
283.045
297.191
311.153
324.942
338.57
352.044
365.375
378.57
391.636
404.579
417.406
430.121
442.729
455.235
467.643
479.957
492.18
504.315
516.366
528.336
540.226
552.04
563.781
575.449
587.047
598.578
610.043
621.444
632.782
644.059
655.277
666.436
677.539
688.587
699.581
710.521
721.41
732.248
743.036
753.775
764.467
775.112
785.71
796.264
806.773
817.238
827.661
838.041
848.38
858.678
868.936
879.155
889.334
899.475
909.579
919.645
929.675
939.668
949.626
959.549
969.437
979.29
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
2.78
10.60
0
39.9932
72.3143
93.8675
109.252
126.408
143.978
160.707
176.788
192.647
208.24
223.495
238.456
253.176
267.669
281.944
296.018
309.908
323.625
337.179
350.581
363.838
376.959
389.951
402.819
415.571
428.21
440.743
453.173
465.505
477.742
489.888
501.947
513.921
525.813
537.626
549.362
561.024
572.614
584.134
595.586
606.972
618.293
629.552
640.75
651.888
662.968
673.991
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8460
8462
8464
8466
8468
8470
8472
8474
8476
8478
8480
8482
8484
8486
8488
8490
8492
8494
8496
8498
8500
8502
8504
8506
8508
8510
8512
8514
8516
8518
8520
8522
8524
8526
8528
8530
8532
Página 80 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.5.1. Tabla de valores
Cuadro 6.- Valores de la variación del avance de la quinta iteración
df/dKs (20)
df/dKs (40)
df/dKs (60)
df/dKs (80)
df/dKs (100)
57.52435754
230.0974301
776.5788268
2200.306676
6413.965865
df/dhf (20)
df/dhf (40)
df/dhf (60)
df/dhf (80)
df/dhf (100)
7.92764904
35.67442068
99.095613
221.9741731
475.6589424
Quinta iteración
7.92764904
57.52435754
35.67442068
230.0974301
99.095613
776.5788268
221.9741731
2200.306676
475.6589424
6413.965865
7.92764904
35.67442068
99.095613
221.9741731
475.6589424
57.52435754
230.0974301
776.5788268
2200.306676
6413.965865
p1
p2
=
=
7.92764904
57.52435754
286,679
3,624,892
3,624,892
46,639,636
p1
p2
=
=
-97692.41912
-952200.6903
p1
p2
=
=
-4.786787673
0.351619081
hf
ks
=
=
5.213212327
1.351619081
max JTJ
tau
lambda
23,606,497
3,624,892
México, 2014
46,639,636
0.5
23319818.07
tau puede estar entre 10 exp -8 y 1
3,624,892
69,959,454
p1
p2
=
=
-97692.41912
-952200.6903
p1
p2
=
=
-0.002064802
-0.013503765
hf
ks
=
=
10.08919928
2.767926691
35.67442068
230.0974301
99.095613
776.5788268
-97692.41912
-952200.6903
221.9741731
2200.306676
0
-1.62981E-09
475.6589424
6413.965865
F=sim-obs
-14
72
202
296
20
576.00
0
20
40
60
80
100
Simulado
394
1104
2254
4172
7640
obs
408
1032
2052
3876
7620
ECM
r2
% red ECM
GRAFICAS
0
0
394
20
1104
40
2254
60
4172
80
7640
100
196.00
5,184.00
40,804.00
87,616.00
400.00
134,200.00
366.33
0.998997
30.30904999
Página 81 de 165
0
408
1032
2052
3876
7620
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
9000
8000
7000
Tiempo (segundos)
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
20
40
60
80
100
120
Distancia (m)
Figura 13.- Gráfica de variación de la quinta iteración
México, 2014
Página 82 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.6. Variaciones del Avance Sexta Iteración
Ks
hf
2.768
10.089
0
40.0744
72.5392
94.1993
109.645
126.86
144.504
161.311
177.465
193.397
209.066
224.399
239.437
254.236
268.807
283.162
297.316
311.286
325.084
338.719
352.203
365.542
378.746
391.82
404.772
417.608
430.332
442.949
455.464
467.881
480.204
492.436
504.581
516.641
528.62
540.52
552.343
564.093
575.771
587.379
598.919
610.394
621.804
633.152
644.439
655.667
666.836
677.949
689.007
700.01
710.961
721.86
732.708
743.506
754.256
764.958
775.613
786.221
796.785
807.305
817.78
828.213
838.604
848.954
859.262
869.531
879.76
889.95
900.102
910.216
920.293
930.334
940.338
950.307
960.24
970.139
980.004
México, 2014
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
2.906
10.089
0
40.0006
72.3254
93.8792
109.259
126.407
143.971
160.693
176.767
192.617
208.202
223.448
238.399
253.109
267.592
281.856
295.919
309.797
323.502
337.043
350.432
363.676
376.783
389.761
402.615
415.352
427.977
440.494
452.909
465.225
477.446
489.576
501.618
513.575
525.449
537.245
548.963
560.607
572.179
583.68
595.113
606.48
617.782
629.021
640.199
651.317
662.376
673.379
684.325
695.217
706.056
716.842
727.578
738.263
748.899
759.487
770.027
780.522
790.97
801.374
811.734
822.051
832.325
842.558
852.749
862.9
873.011
883.083
893.117
903.112
913.07
922.99
932.875
942.723
952.536
962.314
972.058
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
2.768
10.089
0
40.0744
72.5392
94.1993
109.645
126.86
144.504
161.311
177.465
193.397
209.066
224.399
239.437
254.236
268.807
283.162
297.316
311.286
325.084
338.719
352.203
365.542
378.746
391.82
404.772
417.608
430.332
442.949
455.464
467.881
480.204
492.436
504.581
516.641
528.62
540.52
552.343
564.093
575.771
587.379
598.919
610.394
621.804
633.152
644.439
655.667
666.836
677.949
689.007
700.01
710.961
721.86
732.708
743.506
754.256
764.958
775.613
786.221
796.785
807.305
817.78
828.213
838.604
848.954
859.262
869.531
879.76
889.95
900.102
910.216
920.293
930.334
940.338
950.307
960.24
970.139
980.004
Ks
hf
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
2.768
10.594
0
40.0039
72.3356
93.8992
109.29
126.452
144.031
160.768
176.857
192.724
208.325
223.589
238.559
253.287
267.789
282.073
296.156
310.055
323.781
337.345
350.755
364.022
377.152
390.154
403.032
415.793
428.442
440.985
453.425
465.766
478.013
490.17
502.238
514.222
526.124
537.948
549.694
561.366
572.967
584.497
595.96
607.356
618.688
629.958
641.166
652.315
663.405
674.439
685.417
696.341
707.212
718.031
728.799
739.517
750.186
760.808
771.382
781.91
792.393
802.832
813.226
823.578
833.888
844.156
854.383
864.57
874.717
884.826
894.896
904.928
914.923
924.881
934.803
944.689
954.54
964.356
974.138
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
Página 83 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
hf
2.768
10.089
9912.31
9913.19
9914.07
9914.95
9915.82
9916.7
9917.58
9918.46
9919.33
9920.21
9921.09
9921.96
9922.84
9923.71
9924.59
9925.46
9926.34
9927.21
9928.09
9928.96
9929.84
9930.71
9931.58
9932.45
9933.33
9934.2
9935.07
9935.94
9936.81
9937.69
9938.56
9939.43
9940.3
9941.17
9942.04
9942.91
9943.78
9944.64
9945.51
9946.38
9947.25
9948.12
9948.99
9949.85
9950.72
9951.59
9952.45
9953.32
9954.19
9955.05
9955.92
9956.78
9957.65
9958.51
9959.38
9960.24
9961.1
9961.97
9962.83
9963.69
9964.56
9965.42
9966.28
9967.14
9968
9968.87
9969.73
9970.59
9971.45
9972.31
9973.17
9974.03
9974.89
9975.75
9976.61
9977.46
9978.32
9979.18
9980.04
9980.9
México, 2014
Ks
hf
7368
7370
7372
7374
7376
7378
7380
7382
7384
7386
7388
7390
7392
7394
7396
7398
7400
7402
7404
7406
7408
7410
7412
7414
7416
7418
7420
7422
7424
7426
7428
7430
7432
7434
7436
7438
7440
7442
7444
7446
7448
7450
7452
7454
7456
7458
7460
7462
7464
7466
7468
7470
7472
7474
7476
7478
7480
7482
7484
7486
7488
7490
7492
7494
7496
7498
7500
7502
7504
7506
7508
7510
7512
7514
7516
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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8400
8402
8404
8406
8408
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8412
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8416
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.6.1. Tabla de valores
Cuadro 7.- Valores de la variación del avance de la sexta iteración
df/dKs (20)
df/dKs (40)
df/dKs (60)
df/dKs (80)
df/dKs (100)
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2167.687468
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df/dhf (20)
df/dhf (40)
df/dhf (60)
df/dhf (80)
df/dhf (100)
7.92927147
35.68172162
99.11589338
222.0196012
463.862381
Sexta iteración
7.92927147
43.35374936
35.68172162
245.6712464
99.11589338
765.9162386
222.0196012
2167.687468
463.862381
6242.939907
7.92927147
35.68172162
99.11589338
222.0196012
463.862381
43.35374936
245.6712464
765.9162386
2167.687468
6242.939907
p1
p2
=
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7.92927147
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=
=
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=
=
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México, 2014
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=
=
-58097.77206
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p1
p2
=
=
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=
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7620
Página 91 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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120
Distancia (m)
Figura 14.- Gráfica de variación de la sexta iteración
México, 2014
Página 92 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.7. Variaciones del Avance Séptima Iteración
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México, 2014
Ks
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Página 93 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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Ks
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7522
7524
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9944
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9983.46
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9985.17
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9986.87
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7480
7482
7484
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7492
7494
7496
7498
7500
7502
7504
7506
7508
7510
7512
7514
7516
7518
7520
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7524
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7552
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7562
7564
7566
7568
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7572
7574
7576
7578
7580
7582
7584
7586
7588
7590
7592
7594
7596
7598
7600
7602
7604
7606
7608
7610
7612
7614
7616
7618
Página 94 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
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10.088
Ks
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México, 2014
Ks
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7634
7636
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7652
7654
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7658
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7662
7664
7666
7668
7670
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7674
7676
7678
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7682
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7686
7688
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7692
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7702
7704
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7708
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7716
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7724
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7732
7734
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7622
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Ks
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9991.22
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9992.82
9993.62
9994.42
9995.22
9996.02
9996.81
9997.61
9998.41
9999.21
10000
México, 2014
Ks
hf
2.761
10.088
Ks
hf
2.761
10.289
7780
7782
7784
7786
7788
7790
7792
7794
7796
7798
7800
7802
7804
7806
7808
7810
7812
7814
7816
7818
7820
7822
7824
7826
7828
7830
7832
7834
7836
7838
7840
7842
7844
7846
7848
7850
7852
7854
7856
7858
7860
Página 96 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.7.1. Tabla de valores
Cuadro 8.- Valores de la variación del avance de la séptima iteración
df/dKs (20)
df/dKs (40)
df/dKs (60)
df/dKs (80)
df/dKs (100)
36.21289662
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796.6837256
2136.5609
5975.127942
df/dhf (20)
df/dhf (40)
df/dhf (60)
df/dhf (80)
df/dhf (100)
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39.65260468
99.13151169
218.0893257
456.0049538
Séptima iteración
9.913151169
36.21289662
39.65260468
253.4902763
99.13151169
796.6837256
218.0893257
2136.5609
456.0049538
5975.127942
9.913151169
39.65260468
99.13151169
218.0893257
456.0049538
36.21289662
253.4902763
796.6837256
2136.5609
5975.127942
p1
p2
=
=
9.913151169
36.21289662
267,001
3,280,036
3,280,036
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p1
p2
=
=
-35707.17051
-173604.6264
p1
p2
=
=
-4.972046291
0.393847742
hf
ks
=
=
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1.393847742
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tau
lambda
20,750,661
3,280,036
México, 2014
40,967,320
0.5
20483660.03
tau puede estar entre 10 exp -8 y 1
3,280,036
61,450,980
p1
p2
=
=
-35707.17051
-173604.6264
p1
p2
=
=
-0.001285056
-0.0027565
hf
ks
=
=
10.08632466
2.758690646
39.65260468
253.4902763
99.13151169
796.6837256
-35707.17051
-173604.6264
218.0893257
2136.5609
9.45874E-11
2.79397E-09
456.0049538
5975.127942
F=sim-obs
-14
66
186
256
-90
404.00
0
20
40
60
80
100
Simulado
394
1098
2238
4132
7530
obs
408
1032
2052
3876
7620
ECM
r2
% red ECM
GRAFICAS
0
0
394
20
1098
40
2238
60
4132
80
7530
100
196.00
4,356.00
34,596.00
65,536.00
8,100.00
112,784.00
335.83
0.998873
1.853465142
Página 97 de 165
0
408
1032
2052
3876
7620
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.8. Suelo Franco Arenoso
3.5.8.1. Primera Iteración
X
t
0
159.534
293.019
383.124
449.114
520.953
595.132
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736.921
806.123
874.621
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1008.84
1074.78
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1204.68
1268.7
1332.16
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1457.53
1519.5
1581.02
1642.12
1702.82
1763.13
1823.07
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2000.8
2059.39
2117.67
2175.66
2233.35
2290.75
2347.88
2404.75
2461.35
2517.69
2573.79
2629.64
2685.25
2740.62
2795.77
2850.69
2905.38
2959.86
3014.13
3068.18
3122.03
3175.67
3229.11
México, 2014
h
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
225
230
235
240
245
250
0
1.16436
1.44589
1.58632
1.67906
1.74546
1.79518
1.83344
1.86349
1.88748
1.90695
1.92296
1.93628
1.94748
1.95699
1.96513
1.97213
1.97821
1.98351
1.98815
1.99224
1.99586
1.99907
2.00194
2.0045
2.00681
2.00888
2.01076
2.01246
2.01401
2.01542
2.01672
2.0179
2.019
2.02001
2.02094
2.02181
2.02261
2.02337
2.02407
2.02473
2.02535
2.02593
2.02648
2.027
2.0275
2.02796
2.02841
2.02883
2.02924
2.02962
I
0
0.112126
0.179152
0.22312
0.259395
0.291227
0.320033
0.346594
0.371399
0.394778
0.416969
0.438148
0.458453
0.477991
0.49685
0.515103
0.532808
0.550018
0.566775
0.583117
0.599076
0.614681
0.629957
0.644926
0.659607
0.67402
0.688179
0.7021
0.715796
0.729278
0.742558
0.755645
0.76855
0.78128
0.793843
0.806248
0.8185
0.830605
0.842571
0.854403
0.866104
0.877682
0.889139
0.900481
0.911711
0.922833
0.933851
0.944768
0.955587
0.966312
0.976945
X
t
3282.36
3335.4
3388.26
3440.93
3493.41
3545.7
3597.82
3649.75
3701.51
3753.09
3804.49
3855.73
3906.79
3957.69
4008.43
4059
4109.4
4159.65
4209.74
4259.67
4309.45
4359.07
4408.54
4457.86
4507.03
4556.05
4604.93
4653.66
4702.24
4750.69
4798.99
4847.15
4895.18
4943.06
4990.81
5038.43
5085.91
5133.26
5180.47
5227.56
5274.51
5321.34
5368.04
5414.61
5461.06
5507.38
5553.58
5599.65
5645.6
5691.43
5737.15
255
260
265
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275
280
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290
295
300
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310
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320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
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0
México, 2014
t
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1425
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I
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4.04171
4.04171
Cuadro 9.- Tabla (Q, CUC) Suelo Franco Arenoso
Q
CUC
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17
0.918077
Página 105 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.9. Suelo Franco
3.5.9.1. Primera Iteración
X
0
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México, 2014
t
h
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Página 107 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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4.4
Página 123 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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4.85408
Cuadro 10.- Tabla (Q, CUC) Suelo Franco
Q
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0.932481
Página 124 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.5.10. Suelo Arcilla
3.5.10.1. Primera Iteración
X
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México, 2014
t
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1220
1225
1230
1235
1240
1245
1250
1255
1260
1265
1270
1275
1280
1285
1290
1295
1300
1305
1310
1315
h
2.03556
2.03562
2.03568
2.03573
2.03579
2.03585
2.03591
2.03596
2.03602
2.03608
2.03613
2.03619
2.03624
2.0363
2.03635
2.0364
2.03646
2.03651
2.03656
2.03661
2.03667
2.03672
2.03677
2.03682
2.03687
2.03692
2.03697
2.03702
2.03707
2.03712
2.03717
2.03721
2.03726
2.03731
2.03736
2.03741
2.03745
2.0375
2.03755
2.03759
2.03764
2.03768
2.03773
2.03777
2.03782
2.03786
2.03791
2.03795
2.03799
I
3.97007
3.97991
3.98973
3.99953
4.00931
4.01908
4.02882
4.03854
4.04825
4.05794
4.0676
4.07725
4.08688
4.0965
4.10609
4.11567
4.12523
4.13477
4.14429
4.1538
4.16329
4.17276
4.18222
4.19165
4.20107
4.21048
4.21986
4.22923
4.23859
4.24792
4.25725
4.26655
4.27584
4.28511
4.29437
4.30361
4.31283
4.32204
4.33124
4.34041
4.34958
4.35872
4.36786
4.37697
4.38608
4.39516
4.40424
4.41329
4.42234
Página 148 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
X
8499.01
8519.78
8540.52
8561.23
8581.89
8602.52
8623.11
8643.66
8664.17
8684.65
8705.09
8725.49
8745.86
8766.19
8786.49
8806.75
8826.97
8847.16
8867.31
8887.43
8907.51
8927.55
8947.57
8967.54
8987.49
9007.39
9027.27
9047.11
9066.91
9086.69
9106.42
9126.13
9145.8
9165.44
9185.04
9204.62
9224.15
9243.66
9263.14
9282.58
9301.99
9321.36
9340.71
9360.02
9379.31
9398.56
9417.77
9436.96
9456.12
México, 2014
t
1320
1325
1330
1335
1340
1345
1350
1355
1360
1365
1370
1375
1380
1385
1390
1395
1400
1405
1410
1415
1420
1425
1430
1435
1440
1445
1450
1455
1460
1465
1470
1475
1480
1485
1490
1495
1500
1505
1510
1515
1520
1525
1530
1535
1540
1545
1550
1555
1560
h
2.03804
2.03808
2.03812
2.03817
2.03821
2.03825
2.03829
2.03833
2.03837
2.03842
2.03846
2.0385
2.03854
2.03858
2.03862
2.03866
2.0387
2.03874
2.03878
2.03882
2.03885
2.03889
2.03893
2.03897
2.03901
2.03905
2.03908
2.03912
2.03916
2.03919
2.03923
2.03927
2.0393
2.03934
2.03938
2.03941
2.03945
2.03948
2.03952
2.03955
2.03959
2.03962
2.03966
2.03969
2.03973
2.03976
2.0398
2.03983
2.03986
I
4.43137
4.44038
4.44938
4.45836
4.46733
4.47629
4.48523
4.49416
4.50308
4.51198
4.52086
4.52974
4.5386
4.54744
4.55628
4.5651
4.5739
4.58269
4.59147
4.60024
4.60899
4.61773
4.62646
4.63517
4.64387
4.65256
4.66124
4.6699
4.67855
4.68719
4.69582
4.70443
4.71303
4.72162
4.7302
4.73876
4.74732
4.75586
4.76438
4.7729
4.78141
4.7899
4.79838
4.80685
4.81531
4.82376
4.83219
4.84062
4.84903
X
9475.24
9494.34
9513.4
9532.43
9551.44
9570.41
9589.35
9608.26
9627.14
9645.99
9664.81
9683.61
9702.37
9721.1
9739.8
9758.48
9777.12
9795.74
9814.33
9832.88
9851.41
9869.91
9888.39
9906.83
9925.25
9943.63
9961.99
9980.33
9998.63
10016.9
10035.2
0
t
1565
1570
1575
1580
1585
1590
1595
1600
1605
1610
1615
1620
1625
1630
1635
1640
1645
1650
1655
1660
1665
1670
1675
1680
1685
1690
1695
1700
1705
1710
1715
1715
h
2.0399
2.03993
2.03996
2.04
2.04003
2.04006
2.04009
2.04013
2.04016
2.04019
2.04022
2.04025
2.04029
2.04032
2.04035
2.04038
2.04041
2.04044
2.04047
2.0405
2.04053
2.04056
2.04059
2.04062
2.04065
2.04068
2.04071
2.04074
2.04077
2.0408
2.04083
2.04083
I
4.85743
4.86582
4.8742
4.88257
4.89093
4.89927
4.90761
4.91593
4.92425
4.93255
4.94084
4.94912
4.95739
4.96565
4.9739
4.98214
4.99037
4.99858
5.00679
5.01499
5.02317
5.03135
5.03952
5.04767
5.05582
5.06395
5.07208
5.0802
5.0883
5.0964
5.10448
5.10448
Página 149 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Cuadro 11.- Tabla (Q, CUC) Suelo Arcilla
Q
8.12182
8.62182
9.12182
9.62182
10.1218
10.6218
11.1218
11.6218
12.1218
12.6218
13.1218
13.6218
14.1218
14.6218
15.1218
México, 2014
CUC
0.706129
0.717513
0.728529
0.739386
0.749661
0.75931
0.779277
0.822226
0.859643
0.891537
0.918296
0.936302
0.938191
0.935197
0.928204
Página 150 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.6. Artículo.- Caracterización hidrodinámica de suelos
ecuaciones de saint-venant y green y ampt
1
2
Heber Saucedo , Manuel Zavala , Carlos Fuentes
empleando las
3
RESUMEN
Se presenta un método para la caracterización hidrodinámica de los suelos basado en el empleo de las ecuaciones de
Saint-Venant para describir el flujo del agua sobre el suelo y la ecuación de Green y Ampt para representar el flujo del
agua en el suelo. La estimación de los parámetros hidrodinámicos de conductividad hidráulica a saturación y presión en
el frente de humedad, se realiza aplicando el método Levenberg-Marquardt. El modelo así obtenido, se permite el ajuste
de los parámetros hidrodinámicos a partir de pruebas de avance registradas en campo y de la textura del suelo.
Palabras clave: ecuaciones de Saint-Venant, ecuación de Green y Ampt, método Levenberg-Marquardt.
BORDER IRRIGATION DESIGN BASED ON THE SAINT-VENANT AND GREEN & AMPT EQUATIONS
ABSTRACT
A method for hydrodynamic soil characterization based on the use of the Saint-Venant and Green and Ampt equations
has been developed. The Saint-Venant equations are used to describe the flow of water over the soil, the Green and
Ampt equation is used to represent the flow of water in the soil. The optimization of the hydrodynamic parameters
saturated hydraulic conductivity and pressure in the moisture front, was made using the Levenberg-Marquardt method.
The developed model permit the optimization of the hydrodynamic parameters from advance front data and soil texture.
Key words: Saint-Venant equations, Green & Ampt equation, Levenberg-Marquardt method.
1
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. Paseo Cuauhnáhuac 8532, Progreso, Jiutepec, Morelos. C.P. 62550. Tel.
01 (777)3293600.
2
Universidad Autónoma de Zacatecas. Av. Ramón López Velarde # 801 Centro, Zacatecas, Zac. C.P. 98000 - Tel. (492)
92 3 94 07.
3
Universidad Autónoma de Querétaro. Centro Universitario, Cerro de las Campanas s/n C.P. 76010, Santiago de
Querétaro, Qro. México.
México, 2014
Página 151 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.6.1. Introducción
El objetivo del diseño de riego por melgas es conseguir la aplicación de una lámina de riego requerida por el cultivo de la
manera más uniforme posible, conservando una eficiencia de aplicación alta. El diseño del riego consiste en determinar
el gasto de aporte y el tiempo durante el cual se aplica dicho gasto en la cabecera de la melga para lograr la mayor
uniformidad posible; es decir, en determinar el gasto óptimo para una longitud de melga específica y una caracterización
hidrodinámica del suelo dada. Para realizar dicha caracterización hidrodinámica puede utilizarse por ejemplo,
información de una prueba de avance de riego, a partir de la cual se realiza el procedimiento de ajuste u optimización de
los parámetros buscando minimizar el error obtenido entre las observaciones realizadas y las obtenidas mediante el
modelo empleado para la simulación de la fase de avance del riego por gravedad.
El objetivo del presente estudio fue desarrollar un modelo que permita realizar de forma automática la optimización de
los parámetros de conductividad hidráulica a saturación del suelo y de la presión en el frente de humedecimiento,
empleando una forma precisa de modelar el flujo del agua a superficie libre, para lo cual se hace uso de las ecuaciones
de Saint-Venant, mientras que para la descripción del flujo del agua en el suelo, se utiliza la ecuación de Green y Ampt,
la cual es una forma sencilla de modelar el fenómeno manteniendo bases físico-matemáticas en la representación.
3.6.2. Flujo del agua sobre la superficie del suelo
El flujo del agua con una superficie libre es modelado con las ecuaciones de Saint-Venant, que resultan de la aplicación
de las leyes de conservación de masa y cantidad de movimiento. En una melga la relación entre su ancho y el tirante de
agua permite considerar las ecuaciones correspondientes al escurrimiento sobre una superficie de ancho infinito
(Woolhiser, 1975). La ecuación de continuidad se escribe como:
h
t
q
x
I
t
(1)
0
la ecuación de momentum se escribe en la forma recomendada por Saucedo et al. (2005):
1 q
h t
2q q
h2 x
g
q2
h3
h
x
g( J Jo )
q I
h2 t
(2)
0
q(x, t) U(x, t)h(x, t) es el gasto por unidad de ancho de melga L2T 1 , x es la coordenada espacial en la
dirección principal del movimiento del agua en la melga L ; t es el tiempo T ; U es la velocidad media; h el tirante de
1
1
J
V
I / t es el flujo
agua L ; o es la pendiente topográfica de la melga LL ; J la pendiente de fricción LL ; I
donde
de infiltración LT
1
, es decir el volumen de agua infiltrado en la unidad de tiempo por unidad de ancho y por unidad de
longitud de la melga, I es la lámina infiltrada L ; g es la aceleración gravitacional LT
1
2
; el parámetro adimensional
1 UIx / U , donde U Ix es la proyección en la dirección del movimiento de la velocidad de salida
, siendo
de la masa de agua debido a la infiltración.
La relación entre las variables hidráulicas q y h con la pendiente de fricción, denominada ley de resistencia hidráulica, es
adoptada de acuerdo con Fuentes et al. (2004) haciendo uso de una ley potencial de resistencia:
México, 2014
Página 152 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
q
donde
h 3gJ
k
d
(3)
2
2
1
es el coeficiente de viscosidad cinemática del agua [ L T ] y k es un factor adimensional, d es un parámetro
12 d 1
adimensional que varía entre
en función del tipo de flujo, los valores extremos
corresponden respectivamente al régimen de Chézy y al flujo laminar de Poiseuille.
d 12 y d 1
Para establecer las condiciones inicial y de frontera que deben sujetar a las ecuaciones de Saint-Venant para modelar el
riego por melgas se tiene en cuenta una melga cerrada, para evitar la pérdida de masa fuera del dominio de riego. Para
la fase de avance se tiene:
q x,0
0
y
q 0, t
qo ,
h x,0
0
q xf , t
0
(4)
y
h xf , t
0
(5)
x t es la posición del frente de onda para el tiempo t y q o el gasto de aporte en la entrada de la melga. Para
donde f
la fase de almacenamiento:
q(0, t) q o ,
q(L, t) 0
donde L es la longitud de la melga y
q(0, t) 0,
(6)
q o el gasto de aporte en la cabecera de la melga. Para la fase de consumo:
q(L, t) 0
(7)
Para cerrar el sistema es necesario conocer la forma en que evoluciona en el tiempo la lámina infiltrada en toda posición
sobre la melga, es decir la ley de infiltración.
3.6.3. Flujo del agua en el suelo
El modelo de Green y Ampt (1911) se establece a partir de la ecuación de continuidad y la ley de Darcy con las
siguientes hipótesis: a) el perfil de humedad inicial en una columna de suelo es uniforme
o
, b) la presión del agua
h 0 , donde h es el tirante de agua, c) existe un frente de
en la superficie del suelo es hidrostática:
hf 0 , donde h f es la succión en el frente
humedecimiento bien definido caracterizado por una presión negativa:
de humedecimiento y d) la región entre la superficie del suelo y el frente de humedecimiento está completamente
K
K
K
s , donde
s y
s es la conductividad hidráulica a saturación, es decir, el valor de
saturada (flujo en pistón):
la conductividad hidráulica de la ley de Darcy correspondiente al contenido volumétrico de agua a saturación. La
ecuación diferencial ordinaria resultante es la siguiente:
VI
dI
dt
Ks 1
(h f
h)
I
(8)
s
o es la capacidad de almacenamiento, I es el volumen infiltrado acumulado por unidad de superficie
donde
de suelo o lámina infiltrada.
México, 2014
Página 153 de 165
“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.6.4. Solución numérica
Para el cálculo del gasto óptimo, se hace uso de un modelo numérico para las cuatro fases del riego por melgas
desarrollado por Saucedo et al. (2011). La forma discreta de la ecuación de continuidad para la fase de avance se
escribe como:
q
(1
)q j t ( x 
x j ) (h 
qr
(1
)q m t ( x r
h
(1
)h r
I
h j (1
)h m
I j (1
I  ) (1
x m ) (h r
(1
)I r ( x r
)( h j I j )
I r ) (1
)( h m
Im )
x )
)I m ( x m
xj)
0
(9)
para las fases de almacenamiento, consumo y recesión se tiene:
q  (1
)q j t
q r (1
)q m t
h  (1
)h r
I  (1
)I r ( x r
xl )
h j (1
)h m
I j (1
)I m ( x m x j ) 0
(10)
La ecuación de momentum guarda la misma forma discreta para las cuatro fases del riego:
2 q h( q r
gh 3
q ) t
2
h (x r
x ) qr
q 2 (h r
h ) t
)q 
q m (1
(1
3
g t h (x r
x ) Jr
(1
)J 
t q h( x r
x ) Ir
(1
)I 
En las ecuaciones (9) a (11)
)q j
Jo
I m (1
)I j
0
t es el paso de tiempo,
(11)
y
son factores de peso en espacio y tiempo. El cálculo de
los coeficientes se realiza con base en los valores pertenecientes al nivel de tiempo anterior:
h (1
qr ,
qr
)h m
q
(1
)q m
qj
,
hj
hr ,
(Saucedo et al., 2005). Se introducen las variables pequeñas (Strelkoff y Katopodes, 1977):
q  , tales que, para las celdas interiores se tiene: h h j h , hr h m hr , q  q j q  y
h y
q m qr . Se sustituyen en las formas discretas de las ecuaciones de continuidad y momentum y se obtiene un
sistema de ecuaciones algebraicas cuya solución permite avanzar en el tiempo los valores de las variables hidráulicas.
El detalle de las entradas al sistema matricial puede consultarse en Saucedo (2003) y Saucedo et al. (2011).
La ecuación de Green y Ampt (ecuación 8) se resuelve numéricamente usando un método de diferencias finitas, el
procedimiento se encuentra bien documentado en la literatura y puede consultarse por ejemplo en Burden y Faires
(1985).
t 1.0 s
Se ha utilizado un paso de tiempo constante
para el acoplamiento de las ecuaciones de Saint-Venant y
Green y Ampt. La discretización utilizada para la solución de la forma completa de las ecuaciones de Saint-Venant
guarda semejanza con las reportadas en la literatura: Katopodes y Strelkoff (1977):
(1988):
t max
México, 2014
1 s , Playán et al. (1994)
t min
t min
5 s , Akanbi y Katopodes
2.12 s .
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
3.6.5. Optimización de parámetros
K
h
Para realizar la estimación de los parámetros hidrodinámicos s y f , a partir de los datos registrados durante una
prueba de avance, puede utilizarse el método Levenberg-Marquardt, en el cual el valor estimado de los parámetros en
una iteración dada se calcula teniendo en cuenta una expresión de la forma:
J(p)T J(p)
J(p)T K(p)
I p
(12)
J( p) es la matriz Jacobiana relacionada con las variaciones de la función de posición del frente de avance
x f (t) respecto a cada uno de los parámetros a optimizar ( K s y h f ), I es la matriz identidad, K( p) es el vector de
donde
xf
diferencias entre las posiciones del frente de avance observadas en campo y aquellas obtenidas con el método
Levenberg-Marquardt en la iteración anterior.
se denomina parámetro de amortiguación y es importante en la
convergencia del método, su valor puede determinarse, por ejemplo, con alguno de los procedimiento sugeridos por
Griva et al. (2009).
La matriz Jacobiana
J( p)
xf1
K s1
xf 2
h f1
xf1
K s2
xf 2
hf2


xf1
K sn
xf 2
h fn
J( p) se calcula como:
(13)
en esta ecuación, i 1,2,...,n es el número de puntos que se registraron durante la prueba de avance, los cuales se
recomienda sean a lo más diez, para reducir el esfuerzo de cómputo. La función de posición del frente de avance
xf
x f (t) es resultado de la aplicación del acoplamiento numérico interno de las ecuaciones de Saint-Venant y Green y
x x f (t) calculada para dos
Ampt. La estimación de las derivadas se realiza numéricamente, a partir de la función f
valores cercanos de los parámetros a optimizar.
A manera de ejemplo, se toma el caso de una prueba de avance reportada en la literatura, registrada en el suelo franco
de Montencillo por Fuentes (1992), se dispone de la siguiente información: gasto unitario
qo
0.0032 m3 / s / m ,
0.002 m / m , longitud de la melga L 100 m , parámetros para la ley de resistencia d 1 y
2 , valor inicial del contenido volumétrico de agua
k 1 / 54 , parámetro en la ecuación de cantidad de movimiento
0.2749 cm3 / cm3 . Los parámetros s , r , m y
o
de las características hidrodinámicas fueron determinados a
pendiente topográfica
Jo
partir de la curva granulométrica del suelo franco de Montecillo, siguiendo la metodología sugerida por Fuentes (1992),
3
3
3
3
0.4865 cm / cm , r 0.0 cm / cm , m 0.1258 , n
resulta: s
muestra la gráfica de los valores registrados del frente de avance.
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2.2878 y
11.0 . En la figura14, se
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Figura 15.- Valores observados en una prueba de avance reportada en la literatura
En las figuras 15 a la 17 se muestra la aproximación que se tiene para las iteraciones primera, tercera y séptima de la
aplicación del método Levenberg-Marquardt. En la ilustración cinco se muestra la evolución del error cuadrático medio
32.7 cm
K
1.8 cm / h
conforme avanzan las iteraciones del método. Los valores de los parámetros d
y s
fueron
obtenidos mediante la aplicación del procedimiento de optimización para reproducir describir datos de una prueba de
riego efectuada en el experimento mencionado.
Figura 16.- Resultado de la primera iteración del método Levenberg-Marquardt
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Figura 17.- Resultado de la tercera iteración del método Levenberg-Marquardt
Figura 18.- Resultado de la séptima iteración del método Levenberg-Marquardt. R 2
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0.997
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
Figura 19.- Evolución del error cuadrático medio durante la aplicación del método Levenberg-Marquardt
Puede apreciarse que el número de iteraciones para lograr la convergencia es relativamente bajo, pero debe tenerse en
cuenta que el mayor esfuerzo de cómputo se destina a la estimación de la matriz Jacobiana que aparece en las
ecuaciones 12 y 13
4. Conclusiones
Se desarrolló un método para la caracterización hidrodinámica del suelo basado en el empleo de las ecuaciones de
Saint-Venant para describir el flujo del agua sobre el suelo y la ecuación de Green y Ampt para representar el flujo del
agua en el suelo. La estimación de los parámetros hidrodinámicos de conductividad hidráulica a saturación y presión en
el frente de humedad, se realiza aplicando el método Levenberg-Marquardt. El modelo así obtenido, permite el ajuste de
los parámetros hidrodinámicos a partir de pruebas de avance registradas en campo y de la textura del suelo.
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“Diseño y Aplicación de Riego por Gravedad”
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Mahmood y V. Yevjevich, Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado, USA, vol II: 485-508.
Anexos
Disco compacto con informe en formato digital PDF.
Disco compacto con software de diseño de riego por gravedad.
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