EXAMEN DE ADMISION DE METODOS MATEMATICOS A =2i+j-k

EXAMEN DE ADMISION DE METODOS MATEMATICOS
DR, CRLANDO ZELAYA ANCJ3.L
Nombre
. Primavera
2005.
1. Encuentre un vector unitario perpendicular a 10s dos vectores:
A =2i+j-k
B
=
i-j-kk
2.Dados 10s vectores unitarios en coordenadas esfkricas (r, 0, cp) en fiinci6n de 10s
vectores unitarios cartesianos (i, j, k), encuentre las expresiones para 10s vectores (i, j,
k) en funcion de 10s vectores (r, 8, 9).
r = i sen0 coscp + j sene sencp + k cose
8 = i case coscp + j
case sencp - k sen0
cp=-isencp+j coscp
3. La onda "Diente de Sierra" es dada por f(x) = x, -n < x < n. Demuestre utilizando
series de Fourier que:
= -iy + jx. Con ayuda del Teorema de Stokes demuestre qtle el
integral alrededor de una curva continua dada en el plano cartesiano xy
4. Se tiene el vector t
-.
.
siendo A el area encerrada por la curva.
PrnIATTE:W
Examen de Nivel2005
DR. CIRL) FALCOW
1) a) Describa el concept0 de Equilibria termodinamico, enuncie
la ley cero de la termodinamica y explique su relacion con la
termornetria.
b) Ejemplifique describiendo un dispositivo termometrico.
2) a) En un diagrama P-V grafique un ciclo cerrado constituido
por una transformation consistente de 10s siguientes pasos:
i) Isobarico; ii) isometrica; iii) Isobarico y iv) isometrico.
b) LCual es el trabajo efectuado por este sistema si las
presiones maxima y minima son PAy Pg y 10s voliimenes son
VA y VB?
c) iCuBl es el carnbio de la energia interna?
3) Considere dos bloques del mismo tamaAo del mismo material,
uno a uno temperatura TAy el otro a TBy suponga que son
puestos en contact0 en un medio aislado.
l la temperatura final de cada bloque si el volumen
a) ~ C u aes
y la capacidad calorifica permanecen constantes durante el
procdso de termolizacion?
b) i C u a l es el carnbio en entropia?
c) ~Aurnentao disminuye? Demuestrelo, considere TAmayor
que TB
Examen d e Nivel: Electromagnetismo
Primavera 2005
1. Utililzando el teorema de Ganss, demuestre que la magnitud del campo el&trico debid" a ilna linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 ~
y clize su di~ecci6nes radial.
2 . Describa el campo elkctrico y la distribuci6n de carga clue corresponden a la siguiente
funcicin de potencial
-.
3. Obtenga las componentes del campo magnetic0 B que e s t j dcterminado por el potencia1 vectorial
don& 3 es un vector onitario en la direccidn Z, I es la magnitud de la corriente que
genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadas
cilindricas.
4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demtlestre la siguiente identidad
donde
y
2 son funciones vectoriales.
(b) El potencial vectorial
stante) 6 ,
esth dado por
2 de on dip010 magnetic0 con rnomento dipolar rnagdtico (con-
Utilizando el resnltado o b t e n i d t ~ , n ( a )dernuestre
,
que el campo magnktico respective esta
dado por
/
~
Examen d e Nivel: Electromagnetismo
Primavera 2005
1. Utililzando el teorema de Gauss, demuestre que la magnitud del campo e16ctrico debido a ona linea de carga infiiiita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 ~
y que su di~ecci6nes radial.
2. Describa el campo elQctricoy la distribuci6n de carga que corresponden a la siguiente
f~1nci6nde potencial
-t
3. Obterlga las componentes del campo magndtico B que estii determinado por el potellcia1 vectorial
donde 2 es un vector unitario en la direcci6n z, I es la magnitud de la corriente que
genera este caml>o, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadas
ci 1indricas.
\
4. (a) Utilizalldo propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguieiite identidad
donde 2 y
.
3 son funciones vectoriales.
(b) El potential vectorial
stante) 5 ,estA dado por
2 de un dip010 magn6tico con mornento dipolar magn6tico (con-
Ut,ilizmdo el resultado 6btnenidoren (a), demuestre que el campo magnktico respective est6
--.
*,.-.: ---<_,..
dado por
.
..-r.-.----"-?"-7CCbbbbb
,
'
/
~
MecAnica ClAsica
Cursos Proped6uticos de Verano 2006
Demuestre que la velocidad de escape de la Tierra para cualquier objet0 rnasivo estd dada por v, = d m = 11.2 Kmlseg, donde g =
9.8m/seg2 es la aceleraci6n debida a la fuerza gravitational terrestre y
RT = 6,371 Km es el radio promedio de la Tierra.
Una particula de masa m se dispara desde el origen de coordenadas
con una velocidad inicial fi0 en el tiempo t = 0. La resistencia del sire
act6a en direcci6n contraria a1 movimiento de manera que la ecuacibn
de movimiento de la particula estii dada por
es el vector unitario en la direcci6n vertical z y. y es una
don&
constante. Demuestre que la ecuaci6n de la trayectoria de la particula
est6 dada Dor
.
.
.
3. Un proyectil de masa rn es lanzado hacia arriba desde la superfikie.de
]a Tierra con una velocidhd inicial ii. ubicada en el plano z - t , con
una altura inicial h = 0 en t = 0. La posici6n del proyectil es cualquier
instante t e s t i dada por
donde Gr es el vector que describe la velocidad angular de rotaci6n de
la tierra. Demuestre que la trayectoria del proyectil a1 final del tiro
parab6lico se sale del plano inicial .x- x por l a cantidad
Examen de Nivel PropedCutico Terrnodinhmica
Primavera 2007
Maestro: Francisco Castro Romiin
NOMBRE:
I .- Definir equilibria termodiniimico,
2.- Definir el concept0 de calor.
3.- Un gas ideal ocupa un volumen de 100 cm3 a 300 K y a una presi6n de I00 Pa. Deterrninar el
n\imero de moles de gas en el recipiente (El valor de la constante de 10s gases R= 8-31~ ~ ~
K-I).
4.- Se utilizan 2 Kcal para calentar 600 g de una sustancia desconocida de 300 K a 325 K, i c u 6 l
es el calor especifico de la sustancia?
5.- Se compjme un gas a presi6n constante de 0.8 atm de un volumen de 9 L a un vo1umen de 2
L. En el proceso se escapan del gas 400 J de energia calorifica.
a) iCu61 es el trabajo realizado por el gas?
l el cambio en la energia interna del gas?
b) i C ~ ies
Use la convenci6n de signos segiin la cual una expansi6n produce un trabajo negative, e
inversamente, una compresi6n produce un trabajo positivo.
6.- Una mLquina tCrmica realiza 200 J de trabajo en cada ciclo y tiene una eficiencia de 30%.
Para cada ciclo de operacibn,
a) ~ C u i n t ocalor se absorbe?
b) ~Cuiintocalor se libera?
7.- Un kilogram0 de agua a 273 K se coloca en contact0 con una fuente t6rmica x373.K. Cuando
el agua alcance 10s 373 K determine el cambio de entropia del universo. El calor especifico
del agua es 4190 J/kg°K.
8.- Considerando que la energia mterna U de un sistema hidrostiitico es funci6n de la temperatura
T y de la presi6n P, deducir la siguiente ecuacibn:
(4,.
= C,
- PVP; donde es el coeficiente de dilataci6n chbica.
1
-
I
Mexico, D. F., mayo 4, 2007
Examen de Mecanica Clasica I Verano 2007
Dr. Alfredo Cruz Orea
1 Obtengase la ecuacion de movimiento de una particula que cae
verticalmente bajo la influencia de la gravedad, con fuerzas d e
rozamiento que se deducen de la funcion de disipacion (potencial) 1/2
KV'. Integrese -tal ecuacion para obtener la velocidad en funcion del
tiempo y demuestrese que la velocidad maxima posible cuando se parte
del reposo es V, = mg / K
2 Emplear las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento de
una particula de masa m que baja por un plano inclinado liso, con un
angulo a de inclinacion.
3 Usar las ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador
armonico en una dimension (obtener la Hamiltoniana y ecuaciones de
Hamilton
Y m I.'..
)
A
d
Exanl~ende nivel de MRtodos Matembticos, Verano 2004
Depto. cle Fisica, CINVESTAV-IPN
Titular del curso: Dr. Daniel Olguin
Alumno:
R.csuclva I < s siguientes cucstiones.
1 . (a) Scan A y B tlos opcradores linealcs. demostrar que
i. ( A + B ) + = A + + B +
ii. (AB)+ = B + A f
~lonclcA+(B+)es cl operaclor adjunto de A(B).
(I,) Sca U 1111 operador unitario, mostrar que la acci6n de operaclor U sobrc totlo
vector a' c o n s e m la norma del vector.
2. Sea la ecuaci6n diferencial lineal
a) Definir y clasificar el concept0 de pu1lt.o singular de la ecuaci6n diferel~ci~l.
b) Se propone una soluci6n en serie de potencias a la ecuaci6n difere~lcialalrededor
del punto x = x,. Mostrar que si x, es un punto ordinario, la ecuaci6n illdicial
tiene las raices a = 0.1.
3. El conjunto u,&(z)= x", n = 0:1,2. ..., Nfor~nauna base clc un espacio n-dimensional, en el interval0 O 5 1- < m:
tomando conlo factor de peso el factor p ( z ) = exp [x'], aplicar el p r ~ c c c l i n ~dc
i~~~t~
ortononnalizaci6n de Gram-Schmidt para hallar 10s primeros 3 t6rminos de esta base.
encuentre la serie Fourier de esta funci6n.
Use este resutlado para mostrar que para el caso particular B = 0:
5. R.esuelva la siguiente integral
Mecjnica Cljsica
Cursos Propedduticos d e Primavera 2007
1. Dem11esl;r.eque la velocidad de escape de la Tierra para cualquier objeto masivo
est&dada por v, = 2/WT
=T
11.2 Kmlseg, donde g = 9.8/seg2 es la aceleraci6n debida
a la f ~ ~ e r gravitational
za
terrestre y RT = 6 , 3 7 1 K m es el radio promedio de la Tierra.
2. Una ~ a r t i c u l ade masa m se mueve en un plano bidimensional (x, y) ba,jo la accibn
de una energia potencial U ( x ,y) = ( r n / 2 ) d ( x 2- Y~). En el instante t = 0 est6 en la
posici6n (x,, 0), y tiene una velocidad inicial y(0) = 1 m l s e g , ~ ( 0=) 0; determine la
ecuaci6n de la trayectoria de la-particula como funci6n del tiempo.
3. Denpestre que para el movimiento de una particula en un campo central, las
ecuaciones de movimiento para las coordenadas polares
se reducen a la ecuaci6n de movirniento
donde u = l / r .
Utilizando el resultado del problema anterior, demuestre clue si una particula
describe una 6rbita circular bajo la influencia de. una fuerza central atractiva que siempre
esti dirigida hacia un punto del mismo circulo (suponga por simplicidad que este punto est j
localizado en el origen de coordenadas), entonces la fuerza que produce este movimiento
varia como el inverso de la quinta potencia de la magnitud de r .
4.
5. Un proyectil de niasa m es lmzado hacia arriba desde la superficie de la Tierra con
una velocidad inicial v', ubicada en el plano x - z , con una altura inicial h = 0 en t = 0La posici6n del proyectil es cualquier instante t estA dada por
wi,es el vector clue describe la velocidad angular de rotaci6n de la tierra. Demuestre
que la trayectoria del proyectil
la cantidad
ab final del tiro parab6lico se sale del plan0 inicial x -Z,
par
METODOS MATEMATTCOS
Examen de Admisi6n
Departarnento cle Fisica, C I N V E S W - I P N
Propedkuticos - Verano 2005
DR. S E Z I O mw m z Z o U E z
1. Utilizanclo rlotaciGri tensorial, verifiqlle las sigllierites identidades vect,oria.Ies
V x ( A X B) = ( B - V ) A - ( A . V ) B - B ( V . A ) + A ( V - B )
2. Dernuestre que el oprrador correspondiente a la conrponente z del momento angular
cujntico pl~edeexpresarse como
dorlde
4 denota el angulo acirrlutal de las coorderladas polares esfkricas.
3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o L x L = iL.Otros dos
vectores a y b corrrnutarl entre si y con L. Mwstre que (utiliaarido notaci6n ter~r;orial)
[a - L, b - L] = i ( a x b) - L
4.
(a) La matriz C resulta del producto matricial de A y B. Muestre que el determinante
dc C es equivalente a1 producto de 10s determiria.ntes de A y B:
ICl = IAllBl
(b) Muestre que
I A - ~=
J IAI-I
5. Encueritre el desarrollo de Fourier en el iritervalo (-n, n-) de
En cl limite n 4 oo, la expresi6ri resllltantx! concuerda con el desarrollo de F0llr.ier de
In Sllr1<:i6ndell,a tle Dirac: 6 ( 2 ) .
METODOS MATEMATICOS
Examen de Admisi6n
Departamento de Fisica, CINVESTAV-IPN
PropedGuticos - Primavera 2007
1. Utilizando notaci6n tensorial, verifique la siguiente identidad vectorial
V X(AxB)=(B.V)A-(A-V)B-B(V.A)+A(V-B)
2. Denluestre que el operador correspondiente a la componente z del momerlto angular
cuhntico puede expresarsc como
donde q5 denota el angulo acirnutal dc las coordenadas polares esfhricas.
3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o LxL= iL. Otros dos
vectort:s a y b conmutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)
4. Utilice el m6todo de Frobenius para ericontrar la soluci6n de la ecuaci611del oscilador
lineal (Sugerencia: Proponga una soluci6n del tipo y = C,"O=,
u ~ x " a,
~ ~#, 0)
5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0 (-7r, 7r) de una orida triangular representada por
x,
0 <x<n
x
-7r
<x<0
Exmen de nivel de M6todos Matemiiticos, Vera110 2004
Depto. de Fisica, CINVESTAV-IPN
Titular del curso: Dr. Daniel Olguin
R.csuclva las siguicntes cucstiones.
1. (a) Scan A y B cios operadores linealcs. de~nostrarque
i. ( A + B ) + = A + + B +
ii. (AB)+= B + A +
donclc A+(B') es el operaclor adjunto de A(B).
(11) Sca U un operador unitario, lnostrar clue la acci6n de operaclor U
vector a' conselva la llorlna del vcctor-
totlo
2. Sea la ecuaci6n diferencial lineal
a) Definir y clasificar el concept0 de pullto singular de la ecuaci6n diferencial.
b) Se propolle m a soluci6n en serie de potencias a la ecuaci6n diferencial alrededor
del punto x = x,. Mostrar que si xo es un punto ordinario, la ecuaci6n illdicial
tiene las raices a = 0.1.
3. El conjunto u,,(z) = x", n = 0, 1.2. ...,N.
forlna una base clc un espacio n-dimensional, en el interval0 0 5 < cxj:
tomando como factor de peso el factor p(x) = exp [zy1;aplicar cl p r ~ ~ c c i i m i clc
e~t~
ortonormalizaci6n de Gram-Schmidt para hallar 1- primeros 3 t6rniinos de esta be.
4. Considere la fi1nci6n
f(B)=0',
O<B<lr
encuentre la serie Fourier de esta funci6n.
Use este resutlado para mostrar que para el caso particular 9 = 0.
5. R.esuelva la siguiente integral
METODOS MATEMATICOS
Examen de Admisi6n
Departamento de Fisica, CINVESTAV-IPN
Propedeuticos - Primavera 2007
1. Utilizando notaci6n tensorial, verifique la sigiliente identidad vectorial
o x ( A x B) = ( B . V ) A - ( A - V ) B - B ( V - A ) + A ( V . B )
2. Demuestre que el operador correspondiente a la componente x del rnomerlto angular
cuhntico puede expresarse como
donde I$ denota el angulo acimutal de las coordenadas polares esfbricas.
3. El operador de nlo~nentoangular L satisface [L,, L,] = iL,, etc., o LxL= iL. Otros dos
vectores a y b conmutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)
4. Utilice el m6todo de Frobenius para ericontrar la solucibn de la ecuaci611del oscilador
lineal ( A g e r e n c i a : Proponga ilna solucibn del tipo y = CEOaizk'$ a" # 0)
5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0
(-T,
n) de una o ~ i d atriangular re-
presentada por
0 <x<n
x,
-x,
-
<x<o
METODOS MATEMATICOS
Examen de Admisi6n
Departamento de ~ i s i c aCINVESTAV-IPN
,
Propedkuticos - Verano 2005
Dl?. SERGIO TO!m
WQmZ
1. Utilizando notaci6n tensorial, verifique las siguientes identidades vectoriales
V X(AxB)
=
(B.V)A-(A.V)B-B(V-A)+A(V-B)
2. Demuestre que el operador correspondiente a la componente z del momento angular
cuAntico puede expresarse como
donde
4 denota el Angulo acimutal de las coordenadas polares esfericas.
3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,,etc., o L x L= iL.Otros dos
vectores a y b conrnutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)
[ a . L Jb - L] = i(a x b) - L
4. (a) La matriz C results del producto matricial de A y B. Muestre que el determinante
de C es equivalente a1 producto de 10s deterrninantes de A y B:
ICl = IAIIBI
(b) Muestre que
5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0 (-n,
T)
de
En el limite n, oo, la expresi6n resulta,ntdeconcuerda con el desarrollo de Four.ier de
la funci6n delta tle Dirac S(z).
Ex~~rnen
tle nivel de MCtodos Matemiiticos, Verano 2004
Depto. de Fisica, CINVESrl'hV-IPN
~ i t u l a ddel
r curso: Dr. Dariiel Olguin
Alurnno:
Rcsl~clvalas siguicntes cuestioncs.
1.
(a) Scan A y B dos opcradorcs lincales, clcniostrar qlle
i. ( A + B ) ' = A ' + B +
ii. (AB)+= B+A'
tlontle A+(Bf) cs cl opcrarlor aclsunto de A(B).
(b) Sca U 1111 operaclor unitario, mostrar clue I i i acci6n de opcri~tlorU sobrc todo
vector a' consei-va la norma clel vcctor.
2. Sea la ecuaci6n diferencial lineal
a) nefinir y clasifcar el concept0 de punto singular de la ecuaci6n diferencial.
Se propolie una soluci6n en serie de potencias a la ecuaci6n dif'erencial airededor
del punto x = x , . Mostrar que si x, es un punto ordinario, la ecnaci6n indicia]
tiene las raices a = 0 , l .
)1,
3. El conjunto u,,(x) = z", 71 = 0,1,2, ..., N ,
forrrla una bast dc UII cspacio n-dimcnsiorial, en el intervalo 0 < :I: < 00,
t,oinando colno factor tlc pcso el factor p ( r ) = exp [x2], aplicar cl procctlirnicrlto dc
ort,onor1nalizaci6n rle Gram-Schmidt para hallar 10s primeros 3 tknninos de asta base.
encrlentre la serie Fourier de csta funciSn.
Us(?estc ~ e s u t l a d opara rnostrar clue pars (:I caso particular
5. Rcsuclva la siguicntc integral
I)
= 0,
Examen de Nivel: Electromagnetismo
Primavera 2005
.
!flC,'UEZ A%EL
PE.mz ANrQN
1. Utililza~idoel teorema de Gauss, demuestre que rnagnitud del campo eldctrico dcbido a una linea de car'ga infinits con densidad de carga constante X es E ( T )= 2 X / T
y qLze su direcci6n es radial.
2. Describa cl campo el6ctrico y la distr'ibuci6n de carga qne corresponden a la siguiente
f~lncicirrde potencial
*
3. Obtenga las componcntes del campo magnktico B clue estii determinado por el potencia1 vectorial
doll& 2 es un vector ~ulitarioen la direcci6n z, I es la magnitud de la corriente que
genera, este canlpo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en c o o r d e n a d ~
cilindricas.
4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguiente identidad
9
v~(A~fi)=(d.v)A^-d(v.A^)+ii(~-~)-(B.v)~
donde
y
2 son funciones vectoriales.
(b) El potencial vectorial
stante) n3,, estii dado por
de un dipolo magnetic0 coil momento dipolar rnagn4tico (con-
Utilizando el resultado obtenidu,cli-(a), demuestre que el canlpo magnktico rcspcctivo cst&
dado por
1) a) Describa el concept0 de Equilibrio termodinamico, enuncie
la ley cero de la termodinamica y explique su relacion con la
termornetria.
b) Ejemplifique describiendo un dispositivo termometrico.
2) a) En un diagrama P-V grafique un ciclo cerrado constituido
por una transformacion consistente de 10s siguientes pasos:
i) Isobarico; ii) isometrics; iii) lsobarico y iv) isometrico.
b) ~ C u aes
l el trabajo efectuado por este sistema si las
presiones maxima y minima son PAy PBy 10s volumenes son
VAy VB?
c) ~ C u aes
l el cambio de la energia intema?
3) Considere dos bloques del mismo tamafio del mismo material,
uno a uno temperatura T A y el otro a Tg y suponga que son
puestos en contact0 en un medio aislado.
a) ~ C u aes
l la temperatura final de cada bloque si el volumen
y la capacidad calorifica permanecen constantes durante el
proceso de terrnolizacion?
b) ~ C u aes
l el carnbio en entropia?
c ) ~Aumentao disminuye? Demuestrelo, considere TAmayor
que TB.
Examerl de Nivel: Electromagnetismo
P r i m a v e r a 2005
33- ~UC;UELm 1 m PE,?EZ ANrX>N
1. Utililzalido el teorema de Gauss, dem~~estre
que la magnitud del campo eldctrico debido n una linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E ( r ) = 2 ~
y que su direcci6n es radial.
2. Describa el campo el6ctrico y la distribuci6n de carga clue corresponden a la siguiellte
funci6rl de potencial
-t
3. Obtenga las componentes del campo magndtico B que e s t j determinado por el potencia1 vectorial
don& 2 es un vector ~ ~ n i t a r ien
o la direcci6n z, I es la magnitud de la corrielite clue
genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadt~
cilindricas.
4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, dernuestre la siguiente identidad
I
donde
A y 2 son funciones vectoriales.
(b) El potencial vectorial
stsnte) 6,
e s t j dado por
A de iln dipolo magn6tico con nlomento dipolar magn6tico (con-
Utilizando el resultado obterlido,cii-(a), demuestre que el c a m p magn6tico res~>cctivo
est&
dado por
/
~
Examen de Nivel: Electromagnetismo
Primavera 2005
1. Utililzi~iidoel teorema de Gauss, demuestre clue la magnitud del campo elkctrico debido a tlna linea de c x g a infinita con densidad de carga constante X es E ( r ) = 2 X l r
y qlie s n direccihn es radial.
2. Describa el campo el6ctrico y la distribucihn de carga clue corresponden a la siguiente
funci6n de potencial
-.
3. Obtenga las componentes dcl campo magndtico B clue est&determinado por el potencia1 vectorial
don& 3 es un vector unitario en la dirccci6n z, I es la magnitud de la corriente que
genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en ~ o o r d e n a d ~
cilindricas.
4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, dernuestre la siguiente identidad
v x ( A X6)= ( Z - V ) A - ~ ( V . X ) + A ( V - B )- ( A . v ) ~
dnilde
y
son funcioncs vcctorialcs.
(b) El potencial vectorial
stante) 771, e s t j dado por
2 de un dipolo rnagn6tico con rnornento dipolar magnetic0 (con+
&XF'
A=-
r3
Utilizando el resul tado o b t e n i d ~ (a),
s ~ demuestre clue el campo rrlagnktico respectivo est&
dado pol.
Examen de Nivel: Electromagnetismo
Primavera 2005
1. Utililzaildo el teorema de Gauss, demuestre que la magnitud del campo eldctrico debid0 a una linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E(r) = 2 ~
y que su di.rc?cci611es radial.
2. Describa el campo el6ctl.ico y la distribuci6n de carga que correspoizden a la siguiente
funcicin de potencial
--t
3. Obtenga las componentes.de1 campo magn6tico B que estB determinado por el pqtencia1 vectorial
es un vector unitario en la direccibn z, I es la magnitud de la corriente que
don&
genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordenadas
cilindricas.
4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguiente identidad
v x ( A XB)=(S.v)A-B(v.X)+/i(vB ) - (A'.v)d
donde 2 y
2 son funciones vectoriales.
(b) El potencia1 vectorial
stallte) A, esth dado por
A de un dip010 magn6tico con momento dipolar magn4tico (con-
Utilizalldo el resultado o.btenidmtn (a), demuestre que el campo magnetic0 respective est&
dado por
1
~
MECANICACLASICA
Primavera 2005
0. Rosas-Ortiz (Prof.)
1.1. Se disparan dos balas de caii6n una contra otra; la una tiene el doble
de masa per0 avanza a la mitad de la velocidad de la otra. Digamos que
la clistancia que las separa inicialmente es L. Describa el movimiento del
sistema. Justifique su respuesta.
1.2. Explique por qu6 se dice que un objeto orbitando la Tierra e s t i en caida
libre.
1.3. Se sabe que la Luna orbita la Tierra a un radio de 3 . 8 10'
~ m. Determine
la masa de la Tierra
2. Considere una particula de masa m sometida a un potencial Coulombiano
v(r) =
K < 0. (a) Hay alguna cantidad fisica conservada? Cud(es)
es(son)? Por quh? (b) Grafique el potericial efectivo y describa el compor-
5;
tamiento de las posibles trayectorias de la particula en funci6n de la energia.
3. Determine las ecuaciones de Lagrange para un pe(;ldulo esfhrico. Cu5nta.s
primeras integrales hay?. Por quk?
4. C6mo calcularia la tensi6n de la cuerda que une las dos masas en una.
maquina de Atwood simple? Y la fuerza de fricci6n en un plano inclinado?
Examen de Nivel PropedCutico Termodinimica
Primavera 2007
Maestro: Francisco Castro Romin
NOMBRE:
1 .- Definir equilibrio termodinimico.
2.- Definir el concept0 de calor
3.- Un gas ideal ocupa un volumen de 100 cm3 a 300 K y a una presi6n de 100 Pa. Determinar el
nlimero de moles de gas en el recipiente (El valor de la constante de 10s gases R= 8.31 Jmol-'
K-'1.
4.- Se utilizan 2 Kcal para calentar 600 g de una sustancia desconocida de 300 K a 325
es el calor especifico de la sustancia?
K,~ c u r i l
5.- Se compr!me un gas a presi6n constante de 0.8 atm de un volumen de 9 L a un volumen de 2
L. En el proceso se escapan del gas 400 J de energia calorifica.
a) iCuhl es el trabajo realizado por el gas?
b) i ~ ~ resi lel carnbio en la energia interna del gas?
Use ia convenci6n de signos segdn la cual una expansi6n produce un trabajo negative, e
inversamente, una compresi6n produce un trabajo positivo.
6.- Una mAquina ttrmica realiza 200 J de trabajo en cada ciclo y tiene una eficiencia de 30%.
Para cada ciclo de operaci6n,
a) i C ~ i n t 0
calor se absorbe?
b) iCuinto calor se libera?
7.- Un kilogram0 de agua a 273 K se coloca en contact0 con una fuente tkrmica a 373.K. Cuando
el agua alcance 10s 373 K determine el cambio de entropia del universo. El calor especifico
del agua es 4190 J/kg°K.
8.- Considerando que la energia intelfna U de un sistema hidrosthtico es funci6n de la temperatura
T y de la presi6n P, deducir la siguiente ecuaci6n:
= C,
- PVP ; donde f3 es el coeficiente de dilatacion cfibica.
Depto. de Fisica, CINVESTAV-IPN
Examen de nivel electromagnetisrno:
curso propedeut ico, verano 2001
Titular del .cutso:
- . Dr. Daniel Olguin,
Auxiliar del curs+: M.en C: Juan Aguilar
Nombre aspirante:
Resuelva detalladamente. cada una
...- de las siguientes cuestiones:
. .
1. Dos glob& iguales llenos de helio, atados a un peso de 5 gramos, se
hallan en equilibrio, como se muestra en la figura. Si cada giobo tiene
carga Q, halle el valor de la carga en ues (Nota: utilice el sisterna de
unidades de su preferencia j comente).
Resuelva 3 problemas de la siguiente lista:
a) Establecer la lagrangiana de una particula de masa m que cae libremente en un
campo gravitacional uniforme.
b) Escribir las ecuaciones de Lagrange.
c) Resolver a) y b) en el caso en que el campo de fuerza gravitacional varie
inversamente con el cuadrado de la distancia desde un punto fijo 0,suponiendo que la
particula se mueve en una recta que pasa por 0.
2.- Muestre que la Lagrangiana
..
nos lleva a la forma relativista de la segunda ley de Newton de movimiento:
donde
F, =-- av
ax,
.
3. Dernostrar que la transfomadn
4'~asasas unitarias son colocadas en un sistema cartesiano de referencia en [as
dguientes posiciones rnt en (1.0.1) rn2 en (1.1.0) y m3 en (0.1.I).
a) Encuentra lamatriz m o p n t o de inercia.
b) Oiagonalite la matriz de inercia con el objeto de obtener k
x ejes principab.
-
METODOS MATEMATICOS
Examen de Admisi6n a1 Programa de Maestria
Departamento de Fisica, CINVESTAV-IPN
Propedkuticos - Primavera 2004
1. Encuhntrese la soluci6n de las siguientes ecuaciones diferenciales:
( 1 - x )2y r +xy. = 2 s
yl 5y' 6y = 3 em(-2s)
+
+
+ exp(3x)
2. Demuestre que el operador correspondiente a la componente a del momento anguIar
cuiintico puede expresarse como
donde
r$
denota el 5ngulo acimutal de las coordenadas polares esfgricas.
'
3. El operador de momento angular L satisface [L,, L,] = iL,,etc., o L x L= iL.Otros dos
vectores a y b conmutan entre si y con L. Muestre que (utilizando notaci6n tensorial)
4.
(a) La matriz C resulta del producto matricial de A y B. Muestre que el determinante
de C es equivalente a1 producto de 10s determinantes de A y B:
(b) Muestre que
5. Encuentre el desarrollo de Fourier en el interval0 (-K, r)de un rectificador represent.ado
Par
-9'
sin(wt),
0 <wt<x
- sin(wt) , -
< wt < 0
'
pbl) ficmbar la solucibn general para la ccuacidn de rnovimiento de un oscilador lineal ~nidimensionaldeconstante k, amortiguado por una f u e m bdx/dt y sometido e una hema externa F(t) = Fo sen cut. Encucnw
Jascondiciones iniciales para que dicho oscilador comience inmediatamente con un movimiento esacionho,
pb2) Una particula de m m MIy velocidad V1 a lo largo del eje Z choca elasticamente con o m de mass M,
que K cncuenm ur reposo. DespuCs del choque emergen con velocidades V', y V'2 ,y con dngu~os0,
e2 rcspectivamente.
a)Determinar las relaciones entre las energlas cintticas inicial y fmal en el centro de masas, con la energfa
cinttica inicial en el sistema de laboratorio.
b)Determinar la relacidn entre 10s hgulos de dispersidn de la partfcula 1 en el sis:ema dc jaborL!ofio
centro de masas. Analice 10s d o s MI, MZ y MI = MZ.
c)Determinar la ffacci6n de enegfa hicia1 que se bansfiere a la partlcula 2 como h c i d n del h g u l o de
dispersi6n de la misma. 'Para un h g u l o dado en que caso se obtiene la maxima energfa transferida?
Pb3lDonde se debe pegar en la bola de la figura para que la misma ruede sio deslizar?
G
cC
MecAnica ClAsica
Cursos Propediuticos de Verano 2006
1. Demuestre que la velocidad de escape de la Tierra para cualquier objet0 masivo estQ dada por v, = 4= 11.2 Kmlseg, donde g =
9.8m/seg2es la aceleraci6n debida a la fuerza gravitacional terrestre y
RT = 6,371 K m es el radio promedio de la Tierra.
2. Una particula de masa m se dispara desde el origen de coordenadas
con una velocidad inicial Po en el tiempo t = 0. La resistencia del sire
actfia en direcci6n contraria a1 movimiento de manera que la ecuaci6n
de movimiento de la particula estd dada por
-.
;t
1
mr = -mgk - myr
donde d es el vector unitario en la direcci6n vertical I y y es una
constante. Demuestre que la ecuaci6n de la trayectoria de la particula
estd dada por
33
t
-.
r ( t ) = (E+ --)(I + e - ~ ' )- 9 k
7
Y
.
3. Un proyectil de masa m es lanzado hacia arriba desde la superficie de
la Tierra con una velocidad inicial v", ubicada en el plano x - z , con
una altura inicial h = 0 en t = 0. La posici6n del proyectil es cualquier
instante t estd dada por
donde Gr es el vector que describe la velocidad angular de rotaci6n de
la tierra. Demuestre que la trayectoria del proyectil a1 final del tiro
parab6lico se sale del plano inicial x - z por la cantidad
Electromagnetism
( G . Gonzalez de la Cruz)
1. Two particles, each of mass m and having charges q and 2q, respectively, are
suspended by strings of length I from a common point. Find the angle B that each
string makes with the vertical.
Ans.
tan3 6/(1+ tan2 8) =q' /8n&,mg12
2. A spherical charge distribution has a charge density that is function only of r , the
distance from the center of the distribution. Determine the electric field if p=A/r
with A constant for O<r<R;p=Ofor r>R with the restriction that the electrostatic
potential p(m) =0.
Ans.
p = ( A / & , ) ( R - r / 2 ) for
r cR
p = ~ ~ ' / 2 ~for, r r > R
3. A charged particle of mass m and charge q moves in a uniform magnetic field B. Show
that the most general motion of the particle is a helix, the cross section of which is a circle
of radius R=mvdqB. Where v, is the component of the velocity pe~pendicularto B.
Departamento de Fisica CINVESTAV-IPN
Curso propedeutico de verano
Examen de diagnostic0 Electromagnetismo
Dr. Miguel Melendez Lira ([email protected])
1. Una esfera dielectrica con permeabilidad E, tiene una carga puntual Q
embebida en su centro. Encuentre el vector de campo electrico y el vector
de desplazamiento electrico en puntos dentro y fuera de la esfera. La
densidad de carga superficial y voiumetrica. Y demuestre la condition de
neutralidad de la esfera dielkctrica.
2. Cerca de una esfera conductora aterrizada se coloca una carga puntual Q.
i S e genera una fuerza entre la carga y la esfera?. Demuestre su respuesta.
3. Se tiene un solenoide con N espiras por el cual circula una corriente I. En el
centro del mismo se coloca una barra magnetica, con su longitud mayor
orientada a lo largo del eje del solenoide. La barra magnetica tiene una
magnetizacion M. Encuentre la ecuacion de movimiento de la barra.
E x a m e n de Nivel: Electromagnetismo
P r i m a v e r a 2005
1. Utililzando el teorema de Gauss, demuestre que la magnitud del campo elkctrico debid0 a una linea de carga infinita con densidad de carga constante X es E ( r ) = 2 ~
y que su direcci6n es radial.
2. Describa el campo elkctrico y la distribuci6n de carga que corresponden a la siguiente
funci6n de potencia1
-.
3. Obtenga las compoi~entes.delcampo magnktico B que estB deterrninado por el potellcia1 vectorial
-
I
A = -5-tnp2
C
don& 3 es un vector unitario en la direcci6n z, 1 es la magnitud de la corriente que
genera este campo, c es la velocidad de la luz y p es la coordenada radial en coordelladas
cilindricas.
,
4. (a) Utilizando propiedades de tensores caratesianos, demuestre la siguiente idelltidad
doilde
y
2 son funciones vectoriales.
2 de un dip010 magn6tico con momento dipolar magn6tico (con-
(b) EI potencid vectorial
stante) $, estii dado por
Utilizando el r e s ~ ~ l t a dobtenido
o
en (a), demuestre que el campo ma.gin6tico respective est&
dado por
__---.,.-,....:..---.
-..:
--.-4----*?-:7Fs~..&---
-\
i
,_.---
*...la
,.?
,
-,
B=
\,,
.->s
,-
,d'
3(A-fip-6
r3
.
I
i
,/
.
/
~
Mecjnica Cldsica
Cursos Propedhuticos de Primavera 2007
1. Demuestre que la velocidad de escape de la Tierra para cualquier objeto masivo
estd dada por t~,= d m = 11.2 Kmlseg, donde g = 9.8/seg2 es la aceleracibn &bida.
a la fuerza gravitacional terrestre y RT = 6,371Km es el radio promedio de la Tierra.
2. Una particula de masa m se mueve en un plano bidimensional (x, y) bajo la acci6n
de una energia potencial U ( x ,y). = (m/2)w2(x2- Y ~ ) .En el instante t = 0 estd en la
posici6n (z,, 0), y tiene una velocidad inicial y(0) = 1 mlseg, x(0) = ' O ; determine la
ecuaci6n de la trayectoria de la-particula como funci6n del tiempo.
3. Demuestre que para el movimiento de una particula en un campo central, l a
ec~zacionesde movimiento para las coordenadas polares
se reducen a la ecuaci6n de movirniento
donde u = l l r .
4. Utilizando el resultado del problema anterior, demuestre que si una particula
describe una 6rbita circizlar bajo la influencia de una filerza central atractiva que siempre
estd dirigida hacia un punto del mismo circulo (suponga por simplicidad que este punto est&
localizado en el origen de coordenadas), entonces la fuerza que produce este movimiento
varia como el inverso de la quinta potencia de la magnitud de r.
5. Un proyectil de masa m es lanzado hacia arriba desde la superficie de la Tierra con
una velocidad inicial v', ubicada en el plano x - z, con una altura inicial h = 0 en t = 0.
La posici6n del proyectil es cualquier inst ante t e s t j dada por
donde 4 es el vector que describe la velocidad angular de rotaci6n de la tierra. Demuestre
clue la trayectoria del proyectil &firi;dl del tiro parab6lico se sale del plano inicial x - z por
la cantidad
Dr. Jorge J. Castro
1. Un cmo pequeiio de masa m se puede mover sin ficci6n en un riel de
radio R. El carro se mueve bajo la influencia del riel, gravedad y un resorte
el cud tiene un extremo fijo en un pivote a una distancia R/2 arriba del
centro del riel. El resorte de constante k tiene su posicidn relajada cuando
el carro se encuentra en el tope del circulo.
a) Encuentre la enerda potencial del carro como fhcion de la posici6n
angular del c m o con respecto a1 centro del circulo y dibuje un diagrama de
energia potencial: V vs.0.
b) Cual es la energia cinttica minima que el carro debe tener en el tope para
que pueda dar la vueIta compfeta a1 riel.
2. Una particula de masa m se mueve bajo la accion de una herza central
cuyo potencial es V(r) = Kr4 ,K > 0.
a) para que energia y momento angular serh la 6rbit.a un cuculo de radio a
alrededor del origen7,
b) i C d 1 es el periodo de est6 movimiento circular?
c) Si la particula es ligeramente perturbada de su movimiento circular
iCUi1 sed el period0 de las oscilaciones pequefias alrededor de r = a?
Examen de nivel de l\/lktodos Matem,aticos?Verano 2004
Depto. de Fisica, CINVESTAV-IPN
Titular del curso: Dr. Daniel Olguin
Alumno:
R.csuclva las siguicntes cucstiones.
1. (a) Sean A y B tlos operadores linealcs, demostrar que
i. ( A + B ) + = A + + B +
ii. (AB)+= B+A+
donclc A+(B+)es cl operalor adjunto de A(B).
(11) Sca U un operador unitario, mostrar que la acci6n de operador U sobre totlo
vector a' collserva la liorlna del vector.
2. Sea la ecuaci6n diferencial lineal
a) Definir y clasificar el concept0 de pullto singular de la ecuaci6n diferencial.
b) Se propone una solucibn en serie de potencias a la ecuaci6n difereiicial alrededor
del punto x = x,. Mostrar que si X, es un punto ordinario, la ecuacidn ilidicial
tiene las raices a = 0.1.
*
3. El conjunto u,,(x) = z",n = 0,1,2. ...,N.
forma una base tle un espacio n-dimensional, en el interval0 0 5 3- < cxj:
toi~~ando
como factor de peso el factor p ( ~ )= exp [x2],aplicar cl proccdinliento d~
ortonormalizacidn de Gram-Schmidt para llallar 10s primeros 3 t6r1ninos de esta I>-=.
4. Considere la funcibn
encuentre la serie Fourier de esta funcidn.
Use este resutlado para mostrar que para el caso particular 0 = 0:
5. Resuelva la siguiente integral
Mexico, D. F., mayo 4, 2007
~xamen'de
Mecanica Clasica I Verano 2007
Dr. Alfredo Cruz Orea
I Obtengase la ecuacion de movimiento de una particula que cae
verticalmente bajo la influencia de la gravedad, con fuerzas de
rozamiento que se deducen de la funcion de disipacion (potencial) 1/2
KV'.
Integrese tal ecuacion para obtener la velocidad en funcion del
tiempo y demuestrese que la velocidad maxima posible cuando se parte
del reposo es =,V
,,
mg / K
2 Emplear las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento de
una particula de masa m que baja por un plano inclinado liso, con un
angulo oc de inclination.
3
Usar las ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador
armonico en una dimension (obtener la Hamiltoniana y ecuaciones de
Hamilton
yOt I.)=
)
EC
a.
1.- Paltiendo de la primera ley de la termodinhnica y de las definiciones de
C;
y C; (molares):
a) Demuestre que C;
-
[
c,:= P +
.
-
,.
J(::)p
b) En general, para gases, el lado derecho de la ecuacion del inciso a) es positive.
Interprete fisicamente el significado de dicha observation, explique.
c) Demuestre que para gases ideales C; - C: = R
2.- Diferencias entre un gas ideal y un gas real.
Escriba o deduzca la expresi6n para la energia intema de un gas ideal y uno real de
Van-der-Waals. Diga cuales son las diferencias y que significan.
3.-Si s*, es la entropia molar constante cerca del cero absoluto, cv*-capacidad calorifica,
N-n6mero-de-moles, V-volumen y T-Temperatura, que ecuaci6n describe la entropia de
un gas ideal monoat6mico:
4.- En funci6n de la energia libre de Gibbs y sus derivadas, defina:
a) Las transicionesde primer y segundo orden.
b) Que cantidades termodinhmicas son discontinuas en las transiciones de primer orden?
c) Que cantidades son discontinuas en las transiciones de segundo orden?
Mexico, D. F., mayo 4, 2007
~xarnen'de~ e c a n i c aClisica 1 Verano 2007
Dr. Alfredo Cruz Orea
I Obtengase la ecuacion de movimiento de una particula que cae
verticalmente bajo la influencia de la gravedad, con fuerzas de
rozamiento que se deducen de la funcion de disipacion (potencial) 1/2
K V ~ . Integrese tat ecuacion para obtener la velocidad en funcion del
tiempo y demuestrese que la velocidad maxima posible cuando se parte
del reposo es,,V
,
= mg / K
2
Emplear las ecuaciones de Lagrange para describir el movimiento de
una particula de masa m que baja por un plano inclinado liso, con un
angulo K de inclinacion.
3
Usar las ecuaciones de Hamilton para resolver el problema del oscilador
armonico en una dimension (obtener la Hamiltoniana y ecuaciones de
Hamilton
4..
P..
1
4.