Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I - Aplicaciones de las

Aplicaciones
UG
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
José Luis Alonzo Velázquez
Universidad de Guanajuato
Sesión 47
José Luis Alonzo Velázquez
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I
Aplicaciones
Aplicaciones Biológicas
Aplicaciones a la Quı́mica
APLICACIONES
BIOLÓGICAS
José Luis Alonzo Velázquez
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I
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Aplicaciones a la Quı́mica
Crecimiento Biológico:
Un problema fundamental en la biologı́a es el crecimiento, sea este
el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una
planta o una población. La ecuación diferencial fundamental es:
dy
= ay
dt
cuya solución es
y = Ce at
Donde C es una constante arbitraria. De esto vemos que el
crecimiento ocurre si C > 0 mientras que el decaimiento (o
encogimiento) ocurre sı́ C < 0.
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Aplicaciones Biológicas
Aplicaciones a la Quı́mica
Problema: Crecimiento de Bacterias
Un cultivo al inicio tiene P0 cantidad de bacterias. En t = 1 se
determina que el número de bacterias es 32 P0 . Si la rapidez es
proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t,
determine el tiempo necesario para que se triplique el número de
bacterias.
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Aplicaciones a la Quı́mica
Solución:
Primero se resuelve la ecuación diferencial
dP
= kP
dt
.
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Aplicaciones Biológicas
Aplicaciones a la Quı́mica
Solución:
Primero se resuelve la ecuación diferencial
dP
= kP
dt
.
Se calcula el valor de la constante de integración evaluando en
t = 0.
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Aplicaciones Biológicas
Aplicaciones a la Quı́mica
Solución:
Primero se resuelve la ecuación diferencial
dP
= kP
dt
.
Se calcula el valor de la constante de integración evaluando en
t = 0.
Se calcula k evaluando la solución en t = 1.
José Luis Alonzo Velázquez
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Aplicaciones a la Quı́mica
Solución:
Primero se resuelve la ecuación diferencial
dP
= kP
dt
.
Se calcula el valor de la constante de integración evaluando en
t = 0.
Se calcula k evaluando la solución en t = 1.
Se resuelve la ecuación 3P0 = P0 e kt .
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Crecimiento Exponencial
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Aplicaciones a la Quı́mica
APLICACIONES
A LA
QUÍMICA
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Ejemplo:
Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua
salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta
conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por
minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
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Aplicaciones a la Quı́mica
Ejemplo:
Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua
salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta
conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por
minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
¿Cuanta sal está presente después de 10min?
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Aplicaciones a la Quı́mica
Ejemplo:
Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua
salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta
conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por
minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
¿Cuanta sal está presente después de 10min?
¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?
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Aplicaciones a la Quı́mica
Ejemplo:
Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua
salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta
conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por
minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
¿Cuanta sal está presente después de 10min?
¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?
Grafique la solución en [0,100].
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Aplicaciones a la Quı́mica
Formulación del modelo Matemático:
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos.
Luego dA
dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo
y esta dada por:
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Formulación del modelo Matemático:
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos.
Luego dA
dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo
y esta dada por:
dA
dt
= tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
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Formulación del modelo Matemático:
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos.
Luego dA
dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo
y esta dada por:
dA
dt
= tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos
que la cantidad de sal que entra por minuto es:
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Formulación del modelo Matemático:
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos.
Luego dA
dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo
y esta dada por:
dA
dt
= tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos
que la cantidad de sal que entra por minuto es:
2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se
gana sal.
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Aplicaciones a la Quı́mica
Como siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras
de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es
A libras por 10gal.
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Aplicaciones a la Quı́mica
Como siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras
de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es
A libras por 10gal.
La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.
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Aplicaciones a la Quı́mica
Como siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras
de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es
A libras por 10gal.
La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.
dA
de: dA
dt ,(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dt = 6 − A/5.
Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en
t = 0.
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Aplicaciones a la Quı́mica
Ası́, la formulación matemática completa es:
dA
dt
= 6 − A/5
A = 5 en t = 0.
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Solución:
Usando el método de separación de variables, tenemos:
(dA/30 − A) = (dt/5) o − ln(30 − A) = t/5 + c
Puesto que A = 5 en t = 0, c = −ln25.
Ası́,
−ln(30 − A) = t/5 − ln25 = ln[(30 − A)/25] = A = 30 − 25e
La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 − 25e 2 = 26.6lb.
Después de un tiempo largo, vemos que A = 30lb.
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Problema para clase, un punto a quien lo termine
Dos quı́micos, A y B, reaccionan para formar otro quı́mico C. Se
encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades
instantáneas de los quı́micos A y B presentes. La formación
requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sı́ 10lb. de A y 20lb. de B
están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ;
Encontrar la cantidad del quı́mico C en cualquier tiempo.
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Aplicaciones a la Quı́mica
Ecuaciones Diferenciales, Zill D.G. 6ed (1997).
Introducción a las ecuaciones diferenciales. Nueva editorial
interamericana S.A. de C.V. Shepley L. Ross (1983).
http://maxima.sourceforge.net/
http://www.singular.uni-kl.de/
http://www.r-project.org/
José Luis Alonzo Velázquez
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