Divisibilidad. Capítulo 2..fm - Mosaicos

Divisibilidad.
1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.
De acuerdo a las propiedades ya vistas de los divisores, sabemos que:
• todo natural no nulo es divisor de sí mismo
• 1 es divisor de todo número natural.
Ahora: el natural 1 tiene como único divisor al 1, y el cero tiene como divisor a cualquier natural distinto de él.
Cualquier natural distinto de cero y de uno, tiene al menos dos divisores distintos.
Algunos naturales (como el 3), tienen sólo dos divisores distintos (1 y 3).
En cambio otros (como el 6) tienen más de dos divisores distintos (1, 2, 3 y 6).
Definición: Sea p un natural distinto de cero y de uno, p es primo si p tiene sólo dos divisores distintos (1 y p).
Observa que:
• 2 es el único número primo par.
• Los números naturales 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son números primos.
• A partir de números primos dados, al calcular su producto aumentado en 1 se tienen:
2×3+1=7
2 × 3 × 5 + 1 = 31
2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211
2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509
Los cuatro primeros resultados son números primos, mientras que el último no lo es.
Definición: Un natural distinto de cero y de uno se llama compuesto, si no es primo.
Ejemplos: Los números naturales 4, 6, 8, 9 y 10 son números compuestos. Así como 558, 690, 692 y 30031.
Teorema
El menor divisor distinto de 1 de un número compuesto es primo.
Demostración:
Sea a un natural compuesto. El conjunto X formado por todos los divisores de a distintos de 1 no es vacío, puesto
que a pertenece a él (a⏐a). Por lo tanto, X tiene mínimo p.
Supongamos, por reducción al absurdo que p fuera compuesto. En tal caso, p tendría algún divisor q distinto de 1
y distinto de p. Como p es el máximo divisor de p, y q ≠ p, entonces q < p.
Tenemos entonces que: q⏐p y p⏐a, de donde q⏐a.
Resulta así que q es un divisor de a menor que p, que es el menor divisor de a, obteniéndose una contradicción.
Concluimos que p debe ser primo.
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
1
Divisibilidad.
CRIBA DE ERATÓSTENES
(Wikipedia)
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural
dado N.
Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 1 y N y se van tachando los números que no
son primos. Cuando se encuentra un número natural que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se
procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como
primo es mayor que N.
Toma N = 140 y procede de la siguiente manera:
• Tacha la celda del 1 (que no es un número primo).
• Parte del primo 2, y contando de dos en dos tacha los restantes múltiplos de 2: 4, 6, 8, …
• A partir de 3, primer número después del 2 que quedó sin tachar, contando de tres en tres, tacha los restantes
múltiplos de 3: 6 (ya tachado), 9, …
• Ahora es el 5 el primer número no tachado después del 3. A partir del 5 …
• Procediendo de manera análoga se suprimen los múltiplos de 7 excepto 7.
• Luego de la operación anterior, el primer número no tachado después del 7 es el 11 y el primer múltiplo de
11 que no ha sido tachado es 11× 11 = 121. Fin del procedimiento.
Los números no tachados en la tabla (Criba de Eratóstenes), son los números primos menores que 140.
Tacha del cuadro todos los números que no sean primos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
140
1 . Con la ayuda de la criba de Eratóstenes, determina los
4 . a) Verifica que 173 es primo.
números primos comprendidos entre 1 y 150.
b) Determina todos los pares (x; y) de naturales tales que
x2 – y2 = 173.
c) p es un número primo mayor que 2.
Determina todos los pares (x; y) de naturales tales que:
x2 – y2 = p.
2 . En cada caso, di si los números son primos:
a) 251
b) 341
c) 1 023.
3 . Un natural inferior a 150 no es divisible entre ninguno
de los seis primeros primos.
¿Es dicho número un número primo?
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
2
Divisibilidad.
2. CURIOSIDAD DE LOS PRIMOS.
Números Primos menores que 1000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311
313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397
401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479
487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577
587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757
761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857
859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953
967 971 977 983 991 997
1 . a) Verifica que los siguientes números no son primos:
6!+2 = 722, 6!+3 = 723, 6!+4 = 724, 6!+5 = 725, 6!+6 = 726
b) Investiga por qué esto es así.
c) ¿Puedes calcular el número de números primos que están
comprendidos entre 301!+2 y 301!+301?
d) ¿Puedes encontrar un millón de números compuestos consecutivos?
2 . Verifica que:
a) n! – 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30.
Entre las muchas cuestiones en las que están
implicados los números primos, una de las más
interesantes concierne a su distribución entre
los números naturales.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
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Si hay un patrón, no es nada claro. Por supuesto, todos los números primos mayores que 2
son impares, pero esto no es de mucha ayuda.
Hay unas cuantas lagunas entre los números
primos: no hay ninguno del 24 al 28 ni del 90
al 96 y entre 887 y 907 hay una laguna de veinte números compuestos consecutivos.
Por otra parte, algunos números primos están
solamente separados dos unidades, por ejemplo, 5 y 7 ó 881 y 883. Estos números primos
contiguos, que tienen la forma de p y p+2, se
llaman números primos gemelos.
¿Existen lagunas más largas entre los números
primos?
b) n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37.
Teorema:
Existe una infinidad de números primos.
Demostración, por reducción al absurdo:
Supongamos que el conjunto de los números primos es finito, y llamemos p al mayor de ellos. Ahora consideremos el natural n = 2×3×5× . . .×p + 1
El número n resulta así mayor que p. Si n fuera primo, esto sería contradictorio. Si n es compuesto, debe admitir
algún divisor primo menor que él. Pero 2 no es divisor de n, ya que n = 2×(3×5× . . . ×p) + 1. Ocurre lo mismo con
3, 5, ..., p. Esto es contradictorio, ya que supusimos que no hay números primos mayores que p.
Por muchos que elijamos, siempre llegaremos a la conclusión de que hay alguno más, es decir, sólo vale la afirmación de que hay infinitos primos.
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
3
Divisibilidad.
3. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.
Consideremos un número compuesto, por ejemplo el 6, se puede expresar como el producto de 2 y 3, que son
números primos. El producto 2×3 es la descomposición de 6 en producto de factores primos, o simplemente en
factores primos.
Definición.
α
α
α
Dado el natural n, compuesto, decimos que p 1 1 p 2 2 …p mm es una descomposición
en factores primos (DFP) de n si se puede escribir: n =
α1 α2
αm
p 1 p 2 …p m
DISPOSICIÓN
siendo p1, p2, …,
pm números primos y α1, α 2, …, α m naturales no nulos.
Para expresar un número como producto de factores primos, por ejemplo 90, se determina el menor divisor primo (en el ejemplo:2) luego el menor divisor primo (en el ejemplo: 3) del cociente
(en el ejemplo: 45 ) y así sucesivamente hasta obtener un cociente igual a 1.
PRÁCTICA
90
2
45
3
15
3
5
5
EJERCICIO: Descompone los números 441; 1173 y 4836 en producto de factores primos.
1
Teorema (De factorización única)
Todo natural n distinto de 0 y de 1, o es primo, o tiene una única descomposición en producto de
factores primos.
Demostración:
Si n es primo no hay nada más que demostrar.
Supongamos que n no sea primo: tendrá un divisor primo a, entonces se puede escribir n = a×n′. (1)
Si n′ es primo entonces el teorema está demostrado, pues n consta de los dos factores primos a y n′. Si es
compuesto, tendrá un divisor primo b (eventualmente a) y podremos escribir n′= bn′′. Sustituyendo en la igualdad
(1) se tiene:
n = a×b×n′′, y quedará descompuesto el número n en un producto de factores todos primos.
Continuando el razonamiento, como los cocientes sucesivos van decreciendo, se llegará necesariamente a un cociente primo, y quedará descompuesto el número n en un producto de factores todos primos.
Veamos ahora la unicidad: La descomposición de un número compuesto en factores primos es única.
Aclaración: sin tener en cuenta los cambios de orden de los factores.
En efecto:
Procedamos por reducción al absurdo, suponiendo que un número compuesto n admite dos descomposiciones:
n = p1p2 ... pj = q1q2 ... qh siendo j >1 y h > 1.
El número primo p1 es divisor del producto q1q2... qh, por lo tanto debe ser divisor de alguno de los factores de
dicho producto. Llamemos q1 a ese factor.
Como p1 y q1 son primos y p1⏐q1, deberá ser p1 = q1
Cancelando dichos factores obtenemos: p2 ... pj = q2 ... qh, y repitiendo el razonamiento el número primo p2 es
divisor del producto q2... qh, por lo tanto debe ser divisor de alguno de los factores de dicho producto. Llamemos
q2 a ese factor.
Como p2 y q2 son primos y p2⏐q2, deberá ser p2 = q2.
Suprimiendo p2 y q2 procedemos análogamente con los factores primos p3 y su correspondiente q3 .
Así se van suprimiendo todos los p y los q, que aparecen como parejas de números iguales, lo que demuestra que,
salvo el orden de los factores, las dos descomposiciones son únicas.
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
4
Divisibilidad.
1 . En cada caso, sin utilizar la calculadora, descompone 4 . En cada caso, decide mentalmente si b es un divisores
el número dado en producto de factores primos.
a) 1 080
b) 1 309
c) 63×37;
2
2
2
2
d) 36 ×38
e) (2×3 ×17) ×(25×24)2.
2 . En cada caso, decide mentalmente si b es un divisores
de a.
a) a = 34×5×112
y
b = 3×112×7;
y
b = 23×112;
b) a = 25×72×112
4
2
3
3
c) a = 7 ×11 ×13 y b = 7 ×11×134.
de a.
a) a = 34×5×112
b) a = 25×72×112
c) a = 74×112×133
y
y
y
b = 3×112×7;
b = 23×112;
b = 73×11×134.
5 . Sin utilizar la calculadora;
a = 24×35×5×72×11;
b = 23×32×7×11.
3 . En cada caso, sin utilizar la calculadora, descompone a) Demuestra que a es divisible entre b.
el número dado en producto de factores primos.
b) ¿Cuál es el cociente en la división euclidiana de a entre
a) 1 080
b) 1 309
c) 63×37;
b?
d) 362×382 e) (2×32×17)2×(25×24)2.
Comentario:
4. NÚMERO DE DIVISORES NATURALES DE UN NATURAL.
Teorema
Si n es un número natural mayor o igual a 2 cuya factorización en producto de factores primos es
α α
α
β β
β
de la forma: n = p 1 1 p 2 2 …p k k , entonces los divisores de n son los naturales de la forma; p 1 1 p 2 2 …p k k
con 0 ≤ β i ≤ α i para todo i tal que 1 ≤ i ≤ k .
Demostración:
β β
β
• Supongamos que d es un natural de la forma p 1 1 p 2 2 …p k k con 0 ≤ β i ≤ α i para todo i tal que 1 ≤ i ≤ k .
Si para todo i tal que 1 ≤ i ≤ k , se anota γ i = α i – β i , los γi son naturales.
α
α
α
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
γ
Y se tiene p 1 1 p 2 2 …p k k = p 1 1 p 2 2 …p k k × p 11 p 22 …p kk , es decir n = d× p 11 p 22 …p kk lo que prueba que d es un divisor
de n.
• Demostremos ahora que todo divisor de n es de esa forma.
Si d es uno de ellos, existe un natural d′ tal que n = d×d′.
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
5
Divisibilidad.
Ejemplo:
Para determinar todos los divisores naturales de 60, utilicemos la descomposición en producto de factores primos.
β
β2
β
60 = 22×3×5. Los divisores de 60 son de la forma 2 1 × 3 × 5 3 donde β1 puede tomar los valores 0; 1 y 2 y β2 y β3 pueden tomar los valores 0 y1. Para
determinar todos los casos posibles hagamos un diagrama de árbol.
O 30
O
20
O 31
O 30
O 60
O 21
O 3
1
O 30
O 22
O 31
O 50
20×30×50 = 1
O 51
20×30×51 = 5
O 50
20×31×50 = 3
O 51
20×31×51 = 15
O 50
21×30×50 = 2
O 51
21×30×51 = 10
O 50
21×31×50 = 6
O 51
21×31×51 = 30
O 50
22×30×50 = 4
O 51
22×30×51 = 20
O 50
22×31×50 = 12
O 51
22×31×51 = 60
La importancia del número de divisores:
¡60 tiene 12 divisores!
El 100 a pesar de ser mayor que 60 tiene solo 9
divisores. ¿será por esta
razón que la hora está dividida en 60 minutos?
Del mismo modo, 12 tiene 6 divisores mientras
que 10 tiene solo 4. El día
se divide en…
Otro ejemplo, el conjunto de los divisores naturales de 1125=32×53.
Cada divisor de 1125 tendrá la forma: 3α 5β con 0 ≤ α ≤2 y 0 ≤ β ≤3.
Para α = 0 y β = 0 resulta 30×50=1
Para α = 1 y β = 0 resulta 3×50=3
Si escribimos: S = (30+31+32)(50+51+52+53) y aplicamos la propiedad distributiva, cada sumando de S coincide
con cada divisor de 1125.
Entonces, como el primer factor tiene 3 (α+1) sumandos y el segundo 4 (β+1), el número de divisores naturales
de 1125 será 3 × 4 =12 ((α+1)(β+1)).
Si generalizamos este razonamiento, tenemos que:
Teorema.
Si n = aαbβ...hλ entonces el número de divisores de n es: μ = (α+1)(β+1)...(λ+1)
1 . Escribe 3 números que tengan solamente 3 divisores.
Completa: los números que tienen exactamente 3 divisores son…
Indica el número de divisores de: 77 y 39.
2 . Si un número es el producto de dos números primos distintos ¿cuántos divisores tiene?
Indica el número de divisores de: 8 y 27.¿Todos los números que tienen 4 divisores son el producto de dos números primos distintos?
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6
Divisibilidad.
Teorema.
Todo número compuesto n admite un divisor primo cuyo cuadrado no supera a n.
Demostración:
Sea n un número compuesto. Por el teorema de factorización única, n se puede escribir como un producto de factores primos. Sea p el menor primo de la descomposición. Demostraremos que p2 ≤ n
Como p es un factor de la descomposición de n, se cumple que p⏐n. Entonces: n = pq, con q natural mayor que 1.
Resulta que q también es divisor de n, y como p es el menor divisor (distinto de 1) de n, debe ser: q ≥ p
Multiplicando ambos miembros de esta desigualdad por p tenemos: pq ≥ p2
Y como pq = n llegamos finalmente a: n ≥ p2, como queríamos demostrar.
La validez de este teorema asegura el siguiente resultado:
• Si n no admite ningún divisor primo p con p2 ≤ n, entonces n es primo.
Así que, para saber si un número es primo, podemos dividirlo entre todos los primos cuyo cuadrado no lo superen.
Si no es divisible entre ninguno de ellos, concluiremos que es primo.
• Para decidir si un número n es primo, lo dividimos sucesivamente por cada uno de los primos p menores
que él. Si se obtiene un cociente entero menor o igual que p, sin haber obtenido antes un cociente exacto,
concluimos que n es primo.
Por ejemplo, si queremos saber si el número 191 es primo, tenemos que:
Al dividir entre 17 y obtener un cociente menor que 17, y no haber encontrado antes (dividiendo entre 2, 3, 5, 7,
11, 13) ningún cociente exacto, concluimos que 191 es primo.
3 . a) Descompone 1050 en producto de factores primos.
6 . Hallar el número de divisores de 1800.
b) Con la ayuda de un diagrama de árbol, deduce el número de divisores de 1050.
7 . Sea n = 2α×5β tal que: 5n tiene 16 divisores y
4 . Determina el número de divisores:
3n tiene 24 divisores. Hallar n.
a) de 3600; b) de 21 168.
8 . Hallar a y b naturales, sabiendo que: MCD(a;
5 . Determina los naturales que posean 6 divisores y cuya descom- b) = 18, a tiene 21 divisores y b tiene 10 divisores.
posición en producto de factores primos sólo tengan como factores
primos a 3 y 5.
CÁLCULO DEL MCD(A,B) Y DEL MCM(A,B) USANDO LA FACTORIZACIÓN
A partir de la descomposición de un natural n en producto de factores primos, surge lo siguiente:
• Si s⏐n, entonces todos los números primos de la descomposición de s están en la descomposición de n, cada uno con exponente menor o igual que el que tiene en la factorización de n.
• Si k = n· , los factores primos de la descomposición de n lo son también de la descomposicón de
k, cada uno con exponente menor o igual que el que tiene en la factorización de k.
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7
Divisibilidad.
PARA EL MCD:
PARA EL MCM:
Efectuamos la descomposición en factores primos de a y de b
Multiplicamos todos los factores primos que son comunes a las descomposiciones de a y de b, eligiendo cada
uno de ellos con el menor exponente con que aparezca.
El resultado de dicha multiplicación es el máximo
común divisor de a y b
Multiplicamos todos los factores primos que aparecen en
la descomposición de a y todos los que aparecen en la de
b, eligiendo los factores comunes con el mayor exponente
con que aparezcan. Si un factor aparece en ambas
descomposiciones con igual exponente, se deja el mismo.
Ejemplo: MCD(378; 90)
Ejemplo: mcm(378; 90)
descomponemos en factores primos:
378
2
189
3
63
3
21
3
7
7
90
2
378 = 2×33×7
45
3
y
15
3
90 = 2×32×5
5
5
1
1
MCD(378; 90) = 2×32 = 18
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mcm(378; 90) = 2×33×5×7 = 1890
8
Divisibilidad.
5. EJERCICIOS RESUELTOS:
Solución:
a) Descomponemos los tres números en producto de
1 El máximo común divisor de dos naturales no nu- factores primos.
los es 36. El mayor de dichos números es 180.
525
3
315
3
735
3
Halla los posibles valores del otro natural.
Solución:
Sean a y b tales que MCD(a; b) = 36, y
supongamos a > b. Es decir, será a = 180
Efectuaremos la descomposición en factores primos de 180.
Resulta: 180 = 22×32×5
Si MCD(180; b) = 36, como 36 = 22×32, b
debe contener a 22×32 en su descomposición, y no puede contener a 5. Como 5 es el
primo que sigue al 3, entonces debe ser
·
b = 36 ( b < 180 ) .
180
2
90
2
45
3
15
3
5
5
1
245
5
175
5
105
3
49
7
35
5
35
5
7
7
7
7
7
7
1
735 = 3×5×72
1
525 = 3×52×7
1
315 = 32×5×7
Así que MCD(735; 525; 315) = 3×5×7 = 105
Análogamente para b) y c).
3 Determina en N el conjunto de los divisores de 30.
Solución:
Efectuamos la descomposición de 30 en
factores primos:
30
2
15
3
2
5
5
Halla el máximo común divisor de los números
Tenemos: 30 = 2×3×5
1
siguientes:
Según lo visto antes, el número de divisores
a) 735, 525 y 315;
de 30 es: 2×2×2=8 (dado que los tres factob) 840, 1890, 5250 y 10290;
res primos de la descomposición tienen exponente 1).
c) 8330, 5575 y 210.
Tendremos entonces los siguientes divisores:
1; 2; 3; 5; 2×3 = 6; 2×5 = 10; 3×5 = 15 y 30
1 . Coloca una cifra en 4 . LA NIÑA DE LOS OJOS AZULES.
el lugar de * para que los
números obtenidos sean
múltiplo de 2 pero no de
4.
a) 32*6; b) 643*; c) 27*4.
2 . Coloca una cifra en
el lugar de * para que los
números obtenidos sean
múltiplo de 3 pero no de
9.
a) 42*5; b) 348*; c) 7*32.
Un amigo le propone a su computadora un problema, donde hay que averiguar las edades de
tres personas. Se desarrolla el siguiente diálogo:
- «Tengo tres hijas, cuyas edades multiplicadas dan 36».
La computadora dice: «Preciso más datos».
- «La suma de sus edades es igual al número de ventanas de este edificio».
La computadora dice: «Conozco ese número pero necesito más datos».
Finalmente el amigo aclara: - «Mi hija menor tiene ojos azules».
Ahora sí, la computadora indica las edades de las tres hijas. ¿Podrías tú resolver este problema?
5 . LA EDAD DEL CAPITÁN.
3 . Coloca cifras en el El capitán le dice a su hija: «El camarote nº 1 lo ocupa el Sr. Vidal y sus dos hijos. El producto
lugar de * y • para que:
a) 3**2 sea divisible entre
6.
b) 24*• sea divisible entre
45.
de sus tres edades es 2450 y la suma de las tres edades es igual a cuatro veces la tuya. ¿Puedes
hallar las edades de los tres pasajeros?»
Luego de un instante la hija le responde: «No, me falta un dato.»
El capitán le agrega entonces: «Soy mayor que el Sr. Vidal.»
La hija del capitán deduce entonces las tres respuestas.
¿Cuál es la edad del capitán? ¿Cuál es la edad de su hija? ¿Cuál es la edad del Sr. Vidal?
¿Cuáles son las edades de los hijos del Sr. Vidal?
Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010
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Divisibilidad.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
Divisibilidad por 2.
Un natural es divisible por 2 si termina en 0; 2; 4; 6 u 8.
Divisibilidad por 3.
Un natural es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un
múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4.
Un natural es divisible por 4 si el número formado por sus
últimas dos cifras es múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5.
Un natural es divisible por 5 si termina en 0 o 5.
Divisibilidad por 9.
Un natural es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un
múltiplo de 9.
Divisibilidad por 11.
Un natural es divisible por 11, cuando lo sea la diferencia
entre las sumas formadas por las cifras de lugar par y las de
lugar impar.
6. LA DIVISIÓN ENTERA EN Z.
La división entera se generaliza a los números enteros. Se obtiene el siguiente resultado.
Si a y b son dos enteros y b ≠ 0, entonces existe un único entero q y un único entero no negativo r,
tales que:
a = b×q + r y 0 ≤ r < b .
Este resultado se deduce de considerar la división de a entre b , como se ve en los siguientes ejemplos.
• Si a = 37, b = –11
• Si a = –37, b = 11
• Si a = –37, b = –11
37
–11
–37
11
–37
4
–3
7
–4
7
de 37 = 11×3 + 4, se tiene que:
37 = (–11)×(–3) + 4.
–11
4
como en el caso anterior, se
de 37 = 11×3 + 4, se tiene que
obtiene:
–37 = –(11×3) – 4 = 11×(–3) – 4.
–37 = (–11)×4 + 7
Para obtener un resto no negativo y estrictamente
menor a 11, –37 = 11×(–3) –11 + 11– 4, es decir,
–37 = 11×(–4) + 7
q = –3, r = 4, r < – 11
q = –4, r = 7, r < 11
q = 4, r = 7, r < – 11
De manera similar que en N, todo entero m se puede escribir en la forma bq + r con b entero y r = 0 o … r = b – 1.
En definitiva, para efectuar la división euclidiana entre dos enteros cualesquiera, se efectúa antes la de sus valores
absolutos, luego se ajustan los signos del cociente y el resto para que todo marche bien.
Observaciones:
Para determinar el conjunto de los divisores negativos de un natural a, es suficiente agregar todos los elementos
opuestos de D(a).
Así los divisores en Z de 6 son {–6; –3; –2; –1; 1; 2; 3; 6}.
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