UNIDAD DOS CONJUNTOS Y SISTEMAS

UNIDAD DOS
CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS
1.
CONJUNTOS.
1.1
Conceptos básicos
Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre y ambas nos conducen a los números.
Haciendo marcas, medían el tiempo y el conteo de bienes que poseían, así surgió la aritmética y fue hacía fines
del siglo XIX cuando George Cantor creó la teoría de los conjuntos, pero fue cerca de los años veinte del siglo
XX que Gottob frege hizo el desarrollo del enfoque moderno de la matemática y después Bertrand Russell
completó y desarrolló las aplicaciones de esta teoría.
Cantor
Fredge
Rusell
La idea de conjunto, es en sí intuitiva y muy antigua. Desde sus orígenes la sociedad humana ha tenido la idea
de agrupaciones o conjuntos: la familia, los clanes, las tribus fueron los primeros conjuntos.
Todos estamos acostumbrados a tratar con conjuntos; escribimos usando conjuntos de letras, efectuamos
operaciones de conteo y usando un conjunto de números, etc.
“Podemos considerar un conjunto como la colección de objetos o cosas que
tienen una o mas propiedades en común. Los objetos que forman un conjunto
se les llama elementos del conjunto”.
Generalmente los conjuntos se representan por letras mayúsculas y las minúsculas para sus elementos.
Un factor importante para la comprensión de cualquier texto es la correcta interpretación de los símbolos; por tal
razón se ofrece la lista de estos enseguida y su significado.
1.2
Simbología.
Símbolo
Significado
A, B, C,
Indican conjuntos.
a, b, c
Indican elementos.

Pertenece a....; es elemento de ....; está en....
{…}
Conjunto.
=
Es igual a; igual que.
/
Tal que, dado que.
………
U
así sucesivamente.
Conjunto universal.


Conjunto vacío.
Diferente de; es distinto a; no es igual a.
>
Mayor que.
<
Es menor que.
U
Unión con.

Intersección con.



Implifica que.....; entonces..
Si y solo si....; doble implicación, equivalente a.
Identico.

Por lo tanto.

Existe.

Para todo.
 (A)
Cardinalidad del conjunto A.
Si quieres negar simplemente se le cruza una linea a la afimaciòn
Un conjunto se puede expresar de dos formas:
a) Por extensión o forma implícita.
b) Por comprensión o forma explícita.
a)
Por extensión: A : {a, e, i, o, u}
Los elementos que contiene el conjunto A están explícitamente escritos, es decir, que todos los elementos
aparecen entre el signo de agrupación { }.
b) Por comprensión: B = {x /x es una vocal }
Como se puede ver, se da una condición para que podamos encontrar los elementos
que pertenecen al conjunto.
:
Espresa por comprenciòn
1) Por extensión. A = {MERCURIO, VENUS, TIERRA, MARTE}
2) Por extensión. B = {z - c = 3000, z = 10}
3) Dado el conjunto de números pares positivos menores que 11 expresar en:
a) Extensión:
b) Comprensión:
1.3
Concepto de pertenencia.
El concepto principal de la teoría de conjuntos es la pertenencia, supongamos que A es un conjunto y que x es
elemento de A, podemos expresarlo como:
x A
a
1.4
 V; donde V es el conjunto de las vocales.
Cardinalidad.
El número de elementos contenidos en un conjunto determina la cardinalidad del conjunto.
En: V = {a, e, i, o, u}. Su cardinalidad será 5, y la expresión #(V) = 5, se lee cardinalidad de V igual a 5.
En: P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La cardinalidad será 6 y se expresa como: #(P) = 6
1.4
Conjuntos equivalentes.
Si dos conjuntos poseen la misma cardinalidad, se dice que son conjuntos equivalentes, ya que tienen el
mismo número de elementos y se puede establecer entre ambos una correspondencia de uno a uno, así los
conjuntos:
A = {verde, azul, rojo} y B = {5, 4, 3 }
Son equivalentes, ya que se puede establecer que #( A)= 3 y #(B)= 3
1.5 Igualdad de los conjuntos.
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos, no importando el
orden, ni el número de elementos.
1)
Sean: A = {a, b, c, d}
y
B = {d, c, b, a}
. A = B; por tener los mismos elementos.
2)
Sean: C = {a, b, c, d} y D = {a, a, b, c, d, d, c, b} . C = D; por tener los mismos elementos, no importando
que se repitan.
3)
Otras definiciones de conjuntos
a) Conjunto unitario. Es aquel que está formado por un solo elemento.
A = {PERRO}
C = {a}
B = {1}
D = {x* x + 2 = 3}
b) Conjunto finito. Es cuando los elementos de un conjunto pueden enlistarse
del primero al ultimo
.
A = {a, e, i, o, u}
B = {x* x sea un animal}
C = {REPTILES} D = {x/x2 = 81}
c) Conjunto infinito. Cuando no pueden enlistarse todos y cada uno de los
elementos.
A = {x * x es un número natural}
B = {x* x 1 < x < 2}
C = {1, 2, 3, 4, 5, ...100, 101, ....}
D = {x* x es una estrella del universo}
d) Conjunto vacío. Es aquel que carece de elementos.
R= {x / x son perros con alas}
Podemos decir que todo conjunto contiene al conjunto vacío, es decir, que el
conjunto vacío es el subconjunto de todos los conjuntos.
e) Subconjunto. El conjunto A es un subconjunto de B si y sólo si,
cada elemento de A es también elemento de B.
Si, A = {a, b, c} y B = { a, b, c, d, e } entonces A B
f) Conjunto universal. Es aquel que contiene todos los elementos del tema de estudio, es decir todo conjunto
es subconjunto del conjunto universal.
Ejemplo: Tratándose de las letras: U= {todas las letras del alfabeto}
1.7
Operaciones entre conjuntos.
Los conjuntos se pueden combinar entre sí para obtener nuevas operaciones dentro de esas combinaciones,
merecen destacarse, la unión y la intersección de conjuntos.
Las operaciones con conjuntos se comportan de una manera muy semejante a las
operaciones con números corrientes, a continuación se definen las principales operaciones.
UNIÓN Si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, obtendremos un
tercer conjunto y la operación la llamaremos unión. La unión de dos conjuntos A y B se define cono el
conjunto compuesto por todos los elementos que están en A o B o en ambos.
Se denota por AU B.
Ejemplos:
1)
Sean: A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, a, c, b, e}
A U B = {a, b, c, d, e, 1, 2}
Lo que representado en el diagrama de Venn, queda como:
INTERSECCIÓN Si en lugar de reunir los conjuntos A y B buscamos los elementos comunes a ambos,
estaremos efectuando la intersección de los conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B se define
como el conjunto que contiene a todos los elementos que pertenecen a A y también pertenecen a B y se
denota por:
A∩B
Ejemplos:
1) Si A = {2, 4, 6, 8} y B = {6, 8, 10, 12}
A ∩ B = {6, 8}
Se adjunta el diagrama de Venn
COMPLEMENTO DE CONJUNTO.
Dado un conjunto A se define un nuevo conjunto llamado complemento de A, formado por todos los elementos
del conjunto universal que no pertenecen al conjunto A. El complemento de A, se representa como : A'= A.
Ejemplo
:
Si, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} y A = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 0}, se tiene:
A´ = { 2, 4, 6 }
Actividades
1)
a)
b)
c)
d)
e)
2)
a)
b)
c)
d)
e)
3)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Cuáles son los elementos de:
El conjunto de los dias de la semana
El conjunto de las estaciones del año
Los números impares menores de 11
Los números pares mayor que 10 y menor que 20
Los números primos menores de 15
Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
6 { 2, 4, 5, 6, 9 }
( )
y { o, p, q, x }
( )
( )
x { o, p, q, y }
Perú
{ países de Europa }
( )
( )
Amazonas { rios de América }
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?
A = { x / x es día de la semana}
B = { vocales de la palabra vals}
C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
D = { x / x es un habitante de la luna}
E = { x N / x < 15}
F={x Ny5<x<5}
G = { x N y x > 15}
H = { x N y x = x}
I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico}
J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú }
4) Sean A ={1,2,3,4};
Hallar a). A U B;
B ={2,4,6,8};
b). A U C;
c). B U C
C ={3,4,5,6}
d). B U B
5).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos
A= {e, x, i, t, o} y B= {t, r, i, u, n, f, o}?
6).- Representa la unión de los conjuntos A= {e, x, i, t, o} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
7).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a}
y
B= {t, r, i, u, n, f, o}
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Trabajo final
Del libro de Adrian Paenza Matemàticas estàs ahì, realiza una pequeña sìntesis
…....”un problema no trivial es dar una definición correcta de lo que es un conjunto. Si uno trata
de hacerlo (y lo invito a que pruebe), termina usando algún sinónimo: una colección, un
agrupamiento, un agregado, etcétera.
De todas formas, aceptemos la definición intuitiva de lo que es un conjunto, digamos, una
colección de objetos que distinguimos por alguna característica: todos los números enteros,
todos mis hermanos, los equipos que participaron en el último mundial de fútbol, las pizzas
grandes que comí en mi vida, etcétera.
En general, "los elementos" de un conjunto, son los “miembros", los "que pertenecen". Si uno
sigue con los ejemplos del párrafo anterior, los "números enteros" son los elementos del primer
conjunto, "mis hermanos" son los elementos del segundo, la lista de países que participaron del
último mundial serían los elementos del tercero, cada una de las pizzas que comí, son los
elementos del cuarto, etcétera.
Uno suele denominar o llamar un conjunto con una letra mayúscula (por ejemplo: A, B, X, N) y a
los elementos de cada conjunto, los pone "entre llaves":
A = {1,2,3,4,5}
B = {Argentina, Uruguay, Brasil, Chile, Cuba, Venezuela, México}
C = {Laura, Lorena, Máximo, Alejandro, Paula, Ignacio, Viviana, Sabina, Brenda, Miguel, Valentín}
N = {números naturales} = {1, 2, 3, 4, 5,..., 173, 174, 175...}
P = {números primos} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}
M = {{Néstor y Graciela}, {Pedro y Pablo}, {Timo y Betty}}
L = {{Números Pares}, {Números Impares}}
Algunos conjuntos son finitos, como A, B y C. Otros son infinitos, como N y P.
Algunos conjuntos tienen como elementos a otros conjuntos, como M, que tiene como
miembros a "parejas".
L, en cambio, tiene dos elementos, que son conjuntos a su vez. Es decir, los elementos de un
conjunto pueden ser conjuntos también.
Una vez hechas todas las presentaciones, quiero plantear lo que se preguntó Russell:
"¿Puede un conjunto tenerse a sí mismo como elemento?" Russell escribió: "me parece que hay
una clase de conjuntos que sí y otra clase que no". Y dio como ejemplo el conjunto de las
cucharitas de té. Obviamente, el conjunto de todas las cucharitas de té no es una cucharita, y
por lo tanto, no se contiene a sí mismo como elemento. De la misma forma, el conjunto de todas
las personas que habitan la Tierra no es una persona, y, por lo tanto, no es un elemento de sí
mismo.
Aunque parezca anti-intuitivo, Russell pensó también en conjuntos que sí se contienen a sí
mismos como elementos. Por ejemplo: el conjunto de todas las cosas que no son cucharitas de
té. Este conjunto es el que contiene cucharitas, sí, pero no de té, tenedores, jugadores de fútbol,
pelotas, almohadas, aviones de distinto tipo, etcétera. Todo, menos cucharitas de té.
Lo que queda claro es que este nuevo conjunto (el que consiste en todo lo que no sea una
cucharita de té) ¡no es una cucharita de té! Y por lo tanto, como no es una cucharita de té, tiene
que ser un elemento de sí mismo.
Otro ejemplo que dio Russell es el siguiente: llamemos A al conjunto de todos los conjuntos que
pueden describir sus miembros usando veinte palabras o menos. (En realidad, Russell lo planteó
en inglés, pero para este argumento, poco importa.)
Por ejemplo, el conjunto de "todos los libros de matemática", es un elemento de A, ya que se
usan sólo cinco palabras para describir los elementos de él. De la misma forma, "todos los
animales de la Patagonia" también es un elemento de A. Y el conjunto de "todas las sillas que
hay en Europa" es otro elemento de A.
Ahora bien, los invito a pensar lo siguiente: ¿pertenece A a sí mismo? Es decir: ¿es A un
elemento de sí mismo? Para que esto sea cierto, los elementos de A deberían poder ser
descriptos usando veinte palabras o menos. Y justamente, hemos definido a A como el conjunto
cuyos elementos son "conjuntos cuyos elementos puedan ser descriptos usando veinte
palabras o menos". De esta forma, A resulta un subconjunto de sí mismo.
A partir de este momento, entonces, podemos considerar dos clases de conjuntos: los que se
contienen a sí mismos como elementos y los que no.
Hasta acá, todo bien.
Pero Russell dio un paso más. Consideró R = "el conjunto de todos los conjuntos que no se
contienen a sí mismos como elementos" = {todos los conjuntos que no se contienen a si mismos
como elementos} (**)
Por ejemplo, R tiene como elementos al conjunto de "todas las capitales de países
sudamericanos", al conjunto de "todos mis hermanos", "todos los canguros de Australia",
etcétera. Y muchos más, obviamente.
Y por fin, la pregunta (del millón)
¿Es R un conjunto que se contiene a sí mismo como elemento?"
Analicemos las dos posibles respuestas.
1. Si la respuesta es sí, entonces R se contiene a sí mismo como elemento. O sea, R es un
elemento de R. Pero como se ve en (**), R no puede ser elemento de sí mismo, porque si lo
fuera, no podría ser un elemento de R. Luego, R no puede ser un elemento de sí mismo.
2. Si la respuesta es no, o sea, R no es un elemento de sí mismo, entonces R debería
pertenecer a R, ya que R está formado, justamente, por los conjuntos que no se contienen a
sí mismos como elementos.
Es la paradoja de Bertrand Russell.
Parece imposible decidir si el conjunto cuyos elementos son los conjuntos que no se contienen a
sí mismos como elementos pertenece o no pertenece al conjunto.
Luego de muchos años, los científicos dedicados a la investigación en lógica se pusieron de
acuerdo en establecer que cualquier conjunto que se tuviera a sí mismo como elemento no es un
conjunto, y de esa forma resolvieron (en apariencia) la discusión. En realidad, el problema quedó
escondido "debajo de la alfombra".
Conjunto de números Naturales
Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de
uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ... ...}
1. Cita tres ejemplos en cada uno de los casos en los que se usen los números naturales para contar, ordenar e
identificar.
2. Escribe tres números cardinales hasta el número 15, señala el lugar que ocupan atendiendo al orden y escribe
como se
leen.
3. Representa en la recta numérica los siguientes números: 4, 15, 7, 9, 2, 6. ¿Qué observas en la recta? ¿Dónde
está situado
el número mayor, y el menor? ¿Qué conclusiones sacamos al observar la recta?
4. Escribe los números que corresponden a cada uno de los puntos representados en esta recta:
5- Justifica las siguientes afirmaciones
a) Los números naturales son un conjunto formado por infinitos elementos
b) Los números naturales poseen primer elemento
c) Los números naturales no poseen último elemento
d) Se puede expresar como la suceciòn n+1 donde n es un numero natural
e) El cero podría considerarse fuera del conjunto de los números naturales
6- ¿Cual es el complemento de los números naturales?
7- Ubica en la recta los primeros diez elementos que son complementos a los naturales
Para investigar (grupal)
Vamos a investigar algunas particularidades e incluso sobre la historia de los números naturales, te guiaré en este
trabajo paso a paso, lee las preguntas, sigue las consignas y verás que facil resulta. Bueno....facil nó pero si más
sensillo.
En este caso particular seguiremos las huellas de los números naturales, pasando por pitágoras que es el más
emblemático de los matemáticos que trabajó con este conjunto un
* ¿Quién era Pitágoras?
* ¿Qué era la escuela pitagórica?
* ¿Qué relaciones numéricas encontraron?
* ¿Qué tipos de números encontraron, que relación se establecía?
* ¿Cómo se consideraba la número primo?
* ¿Es lo mismo un primo que un primo gemelo?
* ¿Qué es la tabla de Eratóstenes?
* ¿Quien era Eratóstenes?
* ¿Qué es la factorización?
* ¿Qué es una sucesión?
* ¿ Se puede considerar como suceciòn a los números primos? ¿ y a los pares?
*¿Por qué se considera la suceciòn de Fibonacci Tan importante?
* ¿De que manera se expresan?´
Te invito a conocer la webquest que te puede guiar en este trabajo http://prof-tambasco-mates.zxq.net/
Tambien puedes recurrir a los trabajos realizados el año pasado por los chicos de 1ª año en el blog
https://profmate.wordpress.com/esb-43-merlo/
Nùmeros Primos y compuestos
1234-
Define número primos
¿Còmo se obtienen?
Construye la tabla de Eratòstenes (con los primeros 100 nùmeros naturales)
Define número compuesto
Actividades
1. ¿Cuándo un número es múltiplo de otro? Escribe cinco múltiplos de cada uno de estos números: 3, 9, 32,
45, 100.
2. Escribe los siete primeros múltiplos de: 25, 40, 37, 102. ¿Podemos encontrar más múltiplos de estos
números? ¿Cuántos?
3. ¿Cuándo un número es divisor de otro? Escribe divisores de cada uno de estos números: 9, 5, 12, 100, 20.
4. Halla de forma intuitiva todos los divisores de estos números: 12, 30, 100, 36, 25, 17. ¿Cuántos divisores
hemos encontrado de cada número? ¿Podemos encontrar más?
5. Encuentra cuatro divisores de cada uno de estos números: 18, 45, 72.
6. Halla todos los divisores de cada uno de estos números y señala cuales son primos y compuestos: 23. 42,
47, 18, 19.
7. Halla los divisores comunes de cada grupo de números y luego escribe el mayor de ellos:
8.
a) 75 y 36 b) 42, 14 y 56 c) 63, 27 y 45
Halla múltiplos comunes de cada grupo de números y luego escribe el menor de ellos
a ) 25,100
b) 12,36
c) 6,9 y 15
9. Haciendo divisiones señala cuales de los siguiente números tienen a 8 como divisor: 73, 96, 352. Escribe
cada uno de los números señalados como producto de 8 por otro factor.
10. Escribe todos los números primos mayores de 30 y menores de 60.
11. . Señala cual de los siguientes números son primos y escribe los compuestos como producto de dos
números: 21, 23, 67,76, 53, 35.
12. Escribe tres números que sean producto de dos números primos. ¿Cuántos divisores tienen los números
encontrados?
13. Utiliza el método de las divisiones sucesivas para escribir cada uno de los siguientes números como
producto de sus factores primos: 108, 96, 216, 336.
14. Dados los números 35 y 60; 16,48,40:
a) Halla todos sus divisores.
b) Señala los divisores comunes.
c) ¿Cuál es el máximo común divisor?
15. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, por descomposición factorial de los siguientes
grupos de números:
a) 40 y 60
b) 35 y 90
c) 20, 50 y 120
16. ¿En qué cifra puede terminar un múltiplo de 3? Justifica la respuesta. Compruébalo con distintos números.
17. Investiga los criterios de divisibilidad
18. Realiza los siguientes cuadros poniendo SI o NO cumplen las reglas de divisibilidad. Justificando cada uno
tus respuestas
Un poco màs
1. El producto de tres números es 360.
a) ¿Cuáles pueden ser estos tres números?
b) ¿Podrías escribir todas las soluciones del problema?
2.
Comprueba que para saber si un número menor que 100 es primo, es suficiente con dividir por 2, 3, 5
y 7. ¿Por cuántos números como máximo tendrás que dividir para saber si es primo el número 497?
3. La suma de dos números es igual a 148. Si se divide el mayor por el menor, el cociente es igual a
cinco y el resto es 10. ¿Cuáles son esos números?
4. ¿El número 2.130 es múltiplo de 11? ¿Cambiando el orden de sus cifras, se puede conseguir un
número divisible por 11? ¿Cuántas soluciones encuentras?