Unidad 7

En la política es como en las matemáticas: todo lo que no esté totalmente correcto, está mal.
Edward Kennedy
Unidad 7
Ec uaciones de segundo grado con
una inc ógnita
Parte I
Objetivos:
incógnita.
ÁLGEBRA
Introducción
E
n esta unidad iniciaremos el estudio de las ecuaciones cuadráticas, también llamadas
ecuaciones de segundo grado, las cuales son de gran importancia puesto que son la
representación analítica de curvas tan importantes como son la circunferencia, parábola,
elipse e hipérbola (cónicas)
U na ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que después de
haberse simplificado al máximo puede tomar la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números
reales con la única restricción de que a 0; x es la variable de la ecuación, a es el coeficiente de x2,
b es el coeficiente de x y c es el término independiente.
L a forma ax2 + bx + c = 0 se conoce como la forma estándar.
Observa que a debe ser diferente de cero porque de lo contrario la expresión ax2 + bx + c
se convertiría en la expresión bx+ c y perdería su naturaleza de cuadrática.
Recuerda que el grado de una ecuación con una variable lo determina el mayor de sus
exponentes, siempre y cuando el coeficiente de este término no sea cero.
Términos en una ecuación cuadrática
ax2 +
término cuadrático
bx
+
término lineal
c
= 0
término independiente
Ejemplos:
1. x5 – 2x + 3 = 0 es una ecuación de quinto grado, porque 5 es el mayor de sus exponentes
y el coeficiente de x5 es 1 (no cero).
2. –6 + 3x3 – 2x2 = x3 – 7x + 2x3 + 9x2 – 5 es una ecuación cuadrática, ya que al simplificarla
y escribirla en la forma estándar obtenemos –11x2 + 7x – 1 = 0 ó 11x2 – 7x + 1 = 0.
Con estas dos últimas expresiones tenemos un buen pretexto para tocar el tema de:
247
Unidad 7
7.1.1. Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Para determinar si dos ecuaciones cuadráticas, Ec. (1) y Ec. (2), son equivalentes, es conveniente
escribirlas en su forma estándar, y si existe una constante k tal que k Ec. (1) = Ec. (2), entonces decimos
que la Ec. (1) es equivalente a la Ec. (2). De hecho esta característica es suficiente para asegurar que
dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones.
Ejemplos:
3. L a ecuación –11x2 + 7x – 1 = 0 es equivalente a la ecuación 11x2 – 7x + 1 = 0 porque
si multiplicamos la primera por la constante k= –1 obtenemos la segunda.
1 2
x 1
3 3
Ec. (2). Para probarlo primero escribiremos cada ecuación en su forma estándar. Ec. (1): – 3x2 +
2
14
4
x
0 . Si multiplicamos la Ec. (1) por la constante k
7x + 2 = 0 y Ec. (2): 2 x 2
3
3
3
obtenemos la Ec. 2). Esta constante es el resultado de encontrar un valor tal que el coeficiente de
x2 en la ecuación (1), multiplicado por k, obtengamos el coeficiente de x2 de la ecuación (2):
2
k
–3 k = 2
3
Por lo tanto, las ecuaciones son equivalentes.
4. Laecuación 8x – 3x2 + 5 = x + 3 Ec. (1) esequivalente alaecuación 4 x
2 x2
Si al asignarle un valor
a la variable x de una ecuación cuadrática
que un númer o
ax2 + bx + c = 0 se satisface la igualdad, entonces se dice que es una
sea solución de
solución, una raíz o un cero de la ecuación.
una ecuación
El conjunto solución de una ecuación cuadrática tiene como elementos a
de segundo
todas sus raíces, como se vio en la unidad 2 de este libro.
gr ado?
Ejemplos:
5. x= –2 es una raíz de la ecuación 3x2 + 4x – 4 = 0 porque si sustituimos
la variable x por este valor obtenemos: 3(–2) 2 + 4(–2) – 4 = 12 – 8 – 4 = 0; es decir, se satisface la
igualdad.
Sin embargo, si hacemos x = –1, obtenemos 3(–1) 2 + 4(–1) – 4 = 3 – 4 – 4 = – 5 0.
Vemos que –1 no satisface la ecuación y entonces concluimos que –1 no es una de sus raíces.
2
y sustituimos este valor en la ecuación, obtenemos:
Ahora observa que si hacemos x
3
2
4 8 12
2
2
4
4
3
0
3 3 3
3
3
2
2
también se satisface la igualdad, lo que significa que
es otra raíz de
¿Cuánt as
3
3
r aíces tiene
la ecuación.
una ecuación
Una ecuación de segundo grado en una variable tiene únicamente dos raíces,
cuadr ática?
y en general estos valores pueden ser distintos, pero no necesariamente.
D educiremos esta aseveración un poco más adelante.
248
ÁLGEBRA
Ejercicio 1
En los ejercicios 1 y 2 escribe cada ecuación en la forma estándar y determina si es una ecuación
cuadrática en una variable.
1. 7 x 5 6 x 2 x 3 7 x 2
2. 6 x
1 2
x
6
1
4
1 2
x
3
x
3
x
1 2
x
2
3
En los ejercicios 3 y 4 determina si los pares de ecuaciones son equivalentes o no. En caso
afirmativo, da explícitamente la constante que establece la equivalencia.
3. 10x2 – 12x + 6 = 0
y
4. 14x + 168x2 – 84 = 7
1 2
x
6
y
1
1
x
5
10
0
–24x2 – 2x + 11 = 0
En los ejercicios 5 y 6 determina si el valor dado es una raíz de la ecuación.
5. x
6. x
5
, 3x2 – x – 10 = 0
3
3
, 6x2 – 13x + 6 = 0
2
Tipos de ecuaciones cuadráticas
Observa que en la definición de una ecuación cuadrática el único coeficiente que no puede
tomar valores arbitrarios es el de la x2. Si consideramos una ecuación cuadrática en su forma estándar,
digamos ax2 + bx + c = 0, la restricción consiste en prohibir que a = 0. De esta manera tenemos
que existen ecuaciones cuadráticas de 3 tipos:
ax 2
bx
c 0 con b y c 0
ax
2
bx
0
ax
2
c 0
con b 0 y c 0 en todosloscasos a 0
con c 0 y b 0
Una ecuación de segundo grado en una variable se llama ecuación completa si es equivalente
a una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde b y c 0.
En caso contrario recibe el nombre de ecuación incompleta.
Recuerda que en todos los casos a 0
249
Unidad 7
Ejemplos:
6.
1 2
x
4
7.
x2
5x 2
5
4
0 es una ecuación cuadrática completa.
0 es una ecuación incompleta, porque al no tener término lineal (bx ) cae en
el caso b = 0.
3 x 0 es una ecuación incompleta, porque al no tener término independiente (c),
8. 6 x 2
o si el término independiente es cero, cae en el caso c = 0.
7.2. Ecuaciones incompletas
7.2.1. Solución de la ecuación de tipo ax2+c =0
El método para resolver una ecuación de este tipo es análogo al que se estudió para resolver
las ecuaciones lineales con una variable, ya que consiste básicamente en:
1. D espejar x2.
2. Extraer la raíz cuadrada en ambos miembros.
Empecemos por recordar qué significa que un número a sea raíz cuadrada de un número b.
Para ello consideremos algunos casos particulares: 5 es una raíz cuadrada de 25, porque 52 = 25, de
la misma manera –5 es una raíz cuadrada de 25 porque (–5) 2 = 25; 7 y –7 son las raíces cuadradas
de 49 porque 72 = (–7) 2 = 49.
Observación. Con respecto a la notación recordarás que en caso de raíces cuadradas reales,
se refiere a la raíz positiva. Por
es decir, raíces cuadradas de números no negativos, el símbolo
ejemplo, 144 es 12, porque el símbolo de radical desecha a la raíz negativa, es decir, no toma en
cuenta al –12. Por esta razón, cuando queramos escribir simbólicamente las dos raíces cuadradas de un
número debemos anteponer al radical el símbolo ± . Veamos un ejemplo:
64 8, 8; 64 8
y
64 8.
D espués de estas observaciones estamos listos para resolver ecuaciones incompletas
cuadráticas. Retomemos el tipo de ecuación ax2 + c = 0. Para generalizar el método de solución
empezaremos por resolver algunos casos particulares.
Ejemplos:
9. 4x2 – 100 = 0
250
ÁLGEBRA
100
x2
4x2 = 100
4
x2 = 25
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros:
x
25
5
2
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 4x – 100 = 0 son x = 5 y x = –5
Comprobación:
a) Sea x = 5, entonces 4(5)2 – 100 = 100 – 100 = 0. Tenemos que 5 es una raíz de la ecuación.
b) Sea x = –5 entonces 4(–5) 2 – 100 = 100 – 100 = 0. Tenemos que –5 es la otra raíz de la
ecuación.
D espejando x2 obtenemos:
10. –3x2 + 57 = 0
D espejando x2 obtenemos:
–3x2 = –57
x2
57
= 19
3
x
19
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros:
2
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación –3x + 57 = 0 son x = 19 y x = – 19
Comprobación:
a) Sea x = 19 , entonces –3( 19 ) 2 + 57 = –3(19) + 57 = 0. Tenemos que 19 es una
raíz de la ecuación.
b) Sea x = – 19 entonces –3(– 19 ) 2 + 57 = –3(19) + 57 = 0. Tenemos que – 19 es la
otra raíz de la ecuación.
11. El área de un cuadrado está dada en cm2 y tiene la siguiente característica: si se le restan
100 cm2 el resultado es igual a 44 cm2 . ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
A la longitud en centímetros del lado del cuadrado la llamamos
x
El área del cuadrado es:
x2
Si al área del cuadrado se le restan 100 cm2
el resultado es 44 cm2:
x2 – 100 = 44 Ec. a resolver.
D espejando x2:
x2 = 100 + 44 = 144
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados:
x
144
12
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x = 12 y x = –12, pero como x representa
la longitud del lado de un cuadrado x = –12 se desecha.
En consecuencia, el lado del cuadrado mide 12 cm.
251
Unidad 7
Ejercicio 2
En los ejercicios del 1 al 4 resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1. 8x2 – 12 = 20
2.
5 x2
3
2
29
12
3. El cuadrado de la edad de Ana por 5 más 15 es igual a 60. ¿Cuántos años tiene Ana?
4. Considerando únicamente las cantidades, es decir, haciendo caso omiso de las unidades, se sabe que:
el lado de un cuadrado y el lado de un triángulo equilátero son iguales. Si se multiplica la longitud
del lado del cuadrado por la longitud del lado del triángulo, el resultado es igual a la cantidad del
perímetro del cuadrado menos el cuádruple de la longitud del lado del triángulo más 81. ¿Cuáles son
las dimensiones del cuadrado y cuáles son las dimensiones del triángulo?
7.2.2. Solución de la ecuación de tipo ax 2+ bx = 0
Empecemos con algunos casos particulares.
Ejemplos:
15. Resolver 2x 2+ 2x= 0
Observa que en una ecuación de este tipo los términos del primer miembro tienen a la variable
x como factor común. Aprovecharemos esta característica para encontrar sus raíces.
Factorizando el primer miembro obtenemos:
2 x(x + 1)= 0
Sabemos que si el producto de dos expresiones como 2x (x + 1) es igual a cero, entonces
una de ellas es cero o bien ambas son cero, por lo tanto:
2 x(x + 1) = 0
2x = 0
D espejando x en cada caso, obtenemos:
ó
x+ 1= 0
x= 0
ó
x = –1
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación 2x2 + 2x = 0 son x = 0 y x = –1. Comprueba este
resultado.
3 2
x 2x 0
4
Factorizando el primer miembro obtenemos:
16. Resolver
252
x(
3
x
4
2)
0
ÁLGEBRA
L o que implica que:
–x= 0 ó
D espejando x en cada caso:
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación
x= 0 ó
3 2
x
4
2x
0 son x = 0 y x
3
x
4
2
x
8
3
0
8
.
3
17. El doble del cuadrado de un número equivale al cuádruple del número. H allar el número.
Al número lo llamamos:
x
El doble del cuadrado del número equivale a su cuádruple: 2 x2 = 4x Ec. a resolver.
Escribiendo en la forma estándar:
2 x2 – 4x = 0
Factorizando el primer miembro:
2 x(x – 2) = 0
L o que implica que:
2x = 0 ó x – 2 = 0
D espejando en cada caso obtenemos:
x= 0
ó
x= 2
Por lo tanto, el problema tiene dos soluciones, el número puede ser x = 0 ó x = 2.
Comprueba este resultado.
Generalizando, tenemos que el método para resolver la ecuación incompleta de la forma
ax 2 + bx = 0 es:
Factorizando el primer miembro obtenemos:
x(ax+ b) = 0
L o que implica:
x= 0
(I )
ó ax + b = 0
b
D espejando x, recuerda que a 0:
x= 0 ó x
a
Observa que una ecuación del tipo ax2 + bx = 0 siempre tiene como soluciones números
b
reales que son: x = 0 y x
a
El cero siempre es solución de la ecuación ax2 + bx = 0.
Ejercicio 3
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1.
2 2
x
3
6x
0
2.
5 2
x
4
7
x
2
0
253
Unidad 7
3.
2x
2 2 x2
0
Resuelve los siguientes problemas:
7
del cuadrado de la cantidad de dinero de Juan es lo mismo que si se toma el séptuple
4
de la cantidad de su dinero. Si Juan tiene su dinero en pesos mexicanos, ¿a cuánto equivale su capital?
4. Si se toman
5. Pedro es 3 años menor que M ónica y la suma de los cuadrados de ambas edades es 9. H allar la
edad de M ónica.
7.3. Ecuaciones completas
H asta ahora sólo hemos estudiado los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas
incompletas. En esta sección veremos varias formas de resolver una ecuación cuadrática de la forma
ax 2 + bx + c = 0, es decir, una ecuación cuadrática completa.
7.3.1. Solución de una ecuación cuadrática por factorización
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas en los cuales es posible
factorizar el primer miembro de la forma estándar, es decir, en los que ax 2 + bx + c se puede
descomponer como el producto de dos factores de la forma ( px+ q) y (rx+ s), en donde p, q, r y s
son números enteros.
Si tienes dificultades con la factorización de expresiones de la forma ax 2 + bx + c, te
recomendamos reforzar tus conocimientos con ayuda de la unidad 2 de este libro.
18. Resolver 2x2 + 5x – 12 = 0
Factorizando el primer miembro, obtenemos:
(ambos factores se igualan a cero)
L o que implica que:
(2x – 3)(x + 4) = 0
2x – 3 = 0 ó x + 4 = 0
3
D espejando x en cada ecuación lineal:
x=
ó x = –4
2
3
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 2x2 + 5x – 12 = 0 son x =
y
2
3
x = –4. Comprueba este resultado. Las soluciones están dadas por S = { , –4} .
2
254
ÁLGEBRA
19. Resolver 30x 2 – 4x – 2 = 0
¿T odas las
ecuaciones
cuadr áticas
pueden
r esolver se por
el método de
factor ización?
Factorizando el primer miembro, obtenemos:
( 5 x + 1)(6x – 2) = 0
L o que implica que:
5 x + 1 = 0 ó 6x – 2 = 0
D espejando x en cada ecuación lineal:
1
1
ó x=
5
3
Por lo tanto, las raíces (o soluciones) de la ecuación 30x2 – 4 x – 2 = 0 son x =
1
x=
.
3
1 1
, }.
Comprueba este resultado. El conjunto solución está dado por S = {
5 3
x=
1
y
5
20. Considera la ecuación x2 – x + 5 = 0 .
Para factorizar buscamos dos números enteros tales que al multiplicarlos se obtenga 5 y
al sumarlos sea –1. Según lo visto en la unidad 2. L a siguiente tabla muestra todos los pares de
números enteros cuyo producto es 5.
Posibles números
Producto
Suma
1, 5
(1)(5) = 5
1+ 5= 6
–1, –5
(–1)(–5) = 5
–1 – 5 = –6
En ninguno de los casos las suma es –1. Por lo tanto, la expresión x2–x+ 5 no es factorizable
(en los enteros) y, en consecuencia, la ecuación x2 – x + 5 = 0 no puede resolverse por el método
de factorización.
21. Resolver 49x2 – 14x + 1 = 0.
(7x – 1)(7x – 1) = (7x – 1) 2 = 0
7x – 1 = 0
1
D espejando x:
x=
7
Como los dos factores son iguales, las raíces de la ecuación 49x2 – 14x + 1 = 0 son iguales;
1
específicamente son iguales a x = . Comprueba este resultado. El conjunto solución está dado por
7
Factorizando el primer miembro obtenemos:
L o que implica que:
255
Unidad 7
1 1
1
, } , esto con la finalidad de indicar que
es dos veces raíz y también para indicar que
7 7
7
la ecuación original es 49x2 – 14x + 1 = 0 y no 7x – 1 = 0.
Generalizando, podemos decir:
Si en una ecuaci ón cuadr át ica de la for ma ax2 + bx + c = 0 la
S= {
¿L as r aíces de
una ecuación
cuadr ática
siempr e son
difer entes?
expresión ax2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto, entonces las dos
raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son iguales.
Se dice que una ecuación con estas características tiene una raíz doble o de
multiplicidad dos.
Por otra parte, si la raíz de una ecuación cuadrática no se repite, entonces se
dice que la raíz es de multiplicidad uno.
22. Resolver 121x2 – 66x + 9 = 0
Factorizando el primer miembro, obtenemos:
(11x – 3)(11x – 3) = (11x – 3) 2 = 0
L o que implica que:
11 x – 3= 0
3
D espejando x:
x=
11
2
La expresión 121x – 66x + 9 = 0 es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto, la ecuación
3
121x2 – 66x + 9 = 0 tiene una raíz de multiplicidad 2 que es x =
. Comprueba este resultado.
11
3 3
,
}.
L as soluciones están dadas por S = {
11 11
23. Si a un número se le suman 6 unidades y se eleva al cuadrado, el resultado es igual al
triple del cuadrado del número menos el doble del número. ¿Cuál es el número?
Al número original lo llamamos:
x
El número más 6 unidades es:
x+ 6
El cuadrado del número más 6 unidades es:
(x + 6) 2
El triple del cuadrado del número menos su doble es:
3x2 – 2x
El cuadrado del número más 6 unidades es igual al triple del cuadrado del número menos
el doble del número:
D esarrollando el binomio del primer miembro:
(x + 6) 2 = 3x2 – 2x Ec. a resolver.
x2 + 12x + 36 = 3 x2 – 2x
Reduciendo términos semejantes:
–2x2 + 14x + 36 = 0
D ividiendo entre –2:
x2 – 7x – 18 = 0
Factorizando el primer miembro:
(x – 9)(x + 2) = 0
L o que implica que:
x –9= 0
D espejando x en cada ecuación lineal:
x= 9
ó
ó
x+ 2= 0
x = –2
Por lo tanto, existen dos números que satisfacen las características deseadas: 9 y –2. Comprueba
este resultado. Las raíces son de multiplicidad uno.
256
ÁLGEBRA
Generalizando, podemos decir que si una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se puede
descomponer como el producto de dos factores de la forma ( px+ q) y (r x+ s), en donde p, q, r y s
son enteros, entonces su solución se reduce a la solución de dos ecuaciones lineales:
ax2 + bx + c = ( px + q)(rx + s) = 0, lo cual implica que (px + q) = 0 ó (rx + s) = 0.
s
q
ó x
, que son las soluciones
D espejando x en cada ecuación lineal obtenemos x
r
p
de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Observa que como pr = a 0, entonces queda garantizado que p 0 y q 0 , por lo que
siempre será posible despejar x en cada una de las ecuaciones lineales que forman la factorización
de la ecuación cuadrática.
Ejercicio 4
En los ejercicios del 1 al 3 resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización
e indica si sus raíces son de multiplicidad 1 ó 2.
1. 24x2 + 52x – 20 = 0
2. 169 x 2 – 26 x = –1
3. 10 x2 + 10 = 29 x
4. La suma de un número más el doble de otro es –1 y la diferencia de sus cuadrados es 21. Si se
sabe que los números son enteros, halla los números.
5. En una caja con un solo nivel hay 180 manzanas distribuidas en un cierto número de filas. El
número de manzanas en cada fila es 11 más que el número de filas. ¿Cuántas filas hay y cuántas
manzanas hay en cada una?
257
Unidad 7
7.3.2. Solución de una ecuación cuadrática completando el trinomio
cuadrado perfecto
D e todos los trinomios de la forma ax2 + bx + c, en donde a, b y c son todos números
enteros diferentes de cero, el más sencillo de factorizar es "el trinomio cuadrado perfecto", es decir,
un trinomio cuya factorización es de la forma ( px + q) 2, con p y q números enteros.
Cuando se tiene una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx = c, con a y b enteros
diferentes de cero, siempre es posible encontrar un d (número entero) tal que ax 2+ bx+ d sea un
trinomio cuadrado perfecto. Encontrar este d es lo que se conoce como completar el trinomio
cuadrado perfecto.
Empezaremos con un tipo particular de ecuación cuadrática, la que tiene a 1 como coeficiente
de x : (a= 1). Su forma general es: x2 + bx = c.
2
Veamos algunos ejemplos.
Consideraremos una ecuación de la forma x2 + bx = c Ec. (I ). Observa que seguimos con
el caso particular de a = 1.
El cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal es:
1
b
2
2
b2
4
Sumando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal en ambos miembros de la
Ec. (I) obtenemos:
b2
b2
x 2 bx
c
4
4
Factorizando el primer miembro:
x
b
2
2
c
b2
4
b2
es un trinomio cuadrado perfecto.
4
Resumimos todo este procedimiento en el siguiente recuadro:
Por lo tanto, x 2
bx
Para completar el cuadrado en una ecuación de la forma x2+ bx= c, se suma en ambos
miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal.
Simbólicamente:
b2
b2
x 2 bx
c
4
4
En los siguientes ejemplos completaremos el trinomio cuadrado perfecto del primer miembro
para resolver la ecuación.
258
ÁLGEBRA
Ejemplos:
24. Resolver x2 + 18x = –65.
18
2
2
2
x + 18x + 9 = 16
Completando el trinomio cuadrado perfecto, obtenemos: x 2
18 x
2
65
Factorizando el primer miembro:
(x + 9) 2 = 16
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
x+ 9= ± 4
D espejando x:
x = ± 4 – 9 = –5, –13
18
2
2
Por lo tanto, las raíces de la ecuación x2 + 18 x = –65 son –5 y –13. Comprueba este resultado.
H emos visto que, independientemente del tipo de raíces que arroje una ecuación cuadrática
de la forma x2 + bx = c, la aplicación del método de completar el trinomio cuadrado perfecto no
cambia. Veamos ahora qué sucede si aplicamos este método para resolver una ecuación cuadrática
con coeficiente principal (el coeficiente de la x2) diferente de 1.
Ejemplos:
26. Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto la ecuación
2
3x – 9x = 5 Ec. (I ).
Como ya estudiamos la forma como se aplica el método en ecuaciones del tipo x2 + bx = c,
resulta natural proceder como sigue:
Tomando como factor el coeficiente de x2 en el primer miembro de la ecuación Ec. (I )
obtenemos: 3(x2 – 3x) = 5.
Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:
x2
3
también
afecta a
1
3
2
3x
1
2
2
5 3
3
2
1
2
3
2
3 x2
3x
3
2
2
47
4
259
Unidad 7
x2
D ividiendo ambos miembros entre 3:
3
x
2
3
x
2
Factorizando el primer miembro:
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
D espejando x:
x
Racionalizando:
x
Por lo tanto, las raíces de la ecuación 3x2 – 9x = 5 son: 9
este resultado.
3
2
3x
2
3
2
47
12
47
12
47
12
47
2 3
47
2 3
9
141
6
2
141
6
9
141 Comprueba
.
6
y
Recuerda que:
1
Extraer la mitad a un número es equivalente a multiplicarlo por .
2
1
M itad de a = ( )a.
2
27. Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto la ecuación
9x2 – 17x – 2 = 0 Ec. (I ).
Escribiendo la Ec. (I ) en la forma ax2 + bx = c, obtenemos: 9 x2 – 17x = 2.
Tomando como factor el coeficiente de x 2 en el primer miembro obtenemos:
17
x
9
9 x2
2
Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:
9
también
afecta a
1
17
2
9
x
2
17
x
9
1
2
17
9
2 9
1
2
17
9
2
361
36
2
2
9 x
D ividiendo ambos miembros por 9:
260
2
2
17
x
9
x2
17
18
17
x
9
17
18
2
361
324
ÁLGEBRA
2
17
361
18
324
17
361
19
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
x
18
18
324
17 19
x
D espejando x:
18 18
1
2
Por lo tanto, las raíces de la ecuación 9x – 17x – 2 = 0 son 2 y
. Comprueba este
9
resultado.
x
Factorizando el primer miembro:
28. Cierto número de amigos compraron una computadora que costó 3 500 dólares. L a
cantidad de dinero que paga cada persona excede en 493 al número de amigos. Si se sabe que todos
pagaron la misma cantidad, ¿cuántos amigos son?
Resolver por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.
Al número de amigos lo llamamos:
x
A la cantidad de dinero que paga cada uno la llamamos:
y
L a computadora costó 3 500 dls:
x y = 3 500 Ec. (I )
El dinero que paga cada uno excede en 493 dls al número de amigos:
y = x + 493 Ec. (II )
Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I I) en la Ec. (I):
x(x + 493) = 3 500
x2 + 493 x = 3 500 Ec. a resolver.
Completando el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro:
2
493
2
3 500
x 493 x
2
x
Factorizando el primer miembro:
2
493 x
x
2
493
2
493
2
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
x
D espejando x:
x
2
493
2
2
257 049
4
257 049
4
493
2
493
2
257 049
4
507
2
507
2
261
Unidad 7
Por lo tanto, las raíces de la ecuación x2 + 493x = 3 500 son 7 y –500. Como en el
problema x representa al número de amigos, la raíz negativa se desecha. En consecuencia, tenemos
que el número de amigos es 7. Comprueba este resultado.
Ejercicio 5
Resuelve por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto las ecuaciones de los ejercicios
del 1 al 4.
1. x2 – 8x – 33 = 0
2. x2 + 5x = 15
3. 4x2 – 18x = 1
4. En un número de dos cifras se sabe que el dígito de las unidades es igual al cuadrado del dígito
de las decenas y que la suma de los dos dígitos es 12. ¿Cuál es el número?
5. Si se compra cierta cantidad de libros el costo total será de $378.00; si se compraran 3 libros
menos y se gastara la misma cantidad, el costo de cada libro aumentaría $3.00. ¿Cuántos libros se
compraron y cuánto cuesta cada uno?
7.3.3. Deducción de la fórmula para resolver la ecuación general
de segundo grado
Consideremos la ecuación cuadrática completa de la forma ax2 + bx + c = 0 y apliquemos
el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.
Restando c en ambos miembros obtenemos: ax2 + bx = –c.
Tomando como factor el coeficiente de x2 en el primer miembro obtenemos:
a( x 2
b
x)
a
c
Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis:
a x
262
2
b
x
a
1
2
b
a
2
c a
1
2
b
a
2
ÁLGEBRA
D ividiendo ambos miembros entre a:
x
Factorizando el primer miembro:
x
1
2
2
b
2a
2
b
2a
x
b
x
a
2
b2
2
b
a
c
a
c
a
1
2
b
a
2
b2
4 a2
4 ac
4 a2
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
b
2a
x
D espejando x:
b
2a
x
b
x
b2
b2
4 ac
4 a2
4 ac
2a
b2 4 ac
2a
b2 4 ac
2a
L o que hemos obtenido es la fórmula para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de
la forma ax2 + bx + c = 0.
Fórmula para resolver la ecuación general de segundo grado
L a ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 tiene como raíces a:
x
b
b2 4 ac
(7.1)
2a
Ejemplos:
29. Aplica la fórmula (7.1) para resolver la ecuación 187x2 – 57 = –158x
Escribiendo la ecuación en su forma estándar obtenemos: 187x2 + 158x – 57 = 0
D eterminando los valores de a, b y c en la fórmula (7.1): a= 187, b= 158, c= –57
Aplicando la fórmula (7.1):
158
x
158
24 964
(158) 2 4(187)( 57)
2(187)
42 636
374
158
67 600
374
158 260
374
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 187x2 + 158x – 57 = 0 es S =
3
,
11
19
.
17
Comprueba este resultado.
263
Unidad 7
Comprueba este resultado.
Todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver, ya que sus raíces pueden ser números
reales o números complejos. U n número complejo es aquel que se forma de la suma de un
número real con un número imaginario y su forma general es p + qi, donde p y q son números
1, la unidad de los números imaginarios. Observa que en un número complejo
reales e i =
si p = 0, se tiene 0 + qi, un número imaginario puro, y por otro lado si q = 0 se tiene p +
0i un numero real. U na forma de obtener los números complejos es resultado de resolver una
ecuación general de segundo grado ax2 + bx + c = 0 con la fórmula general, siempre y cuando
su discriminante b2 – 4ac sea negativo. Veamos un ejemplo.
Ejercicio 6
Aplica la fórmula 7.1 para resolver las ecuaciones de los siguientes ejercicios:
1. x2 – 26x – 120 = 0
2.
3 x2
2x 1
0
D etermina si cada problema tiene solución. En caso afirmativo resuélvelo.
3. Se tiene un número de dos cifras tal que la suma del dígito de las unidades más el dígito de las
decenas es 11 y la suma de sus cuadrados es 101. ¿Cuál es el número?
4. Se han comprado dos rollos de alambre de diferente tipo que juntos contienen 40 m. El metro
de cada rollo costó una cantidad igual, en pesos, que el número de metros que contiene el rollo. Si
un rollo costó el cuádruple del otro, ¿cuál es la longitud de cada uno?
Caso práctico de aplicación
Cierto piloto conversaba sobre sus experiencias de vuelo y aseguraba que volando a una
velocidad de 250 km/h le tomaba 30 minutos más recorrer una distancia de 150 km en contra del
viento que a favor. Un segundo piloto lo rebatía asegurando que el primero alardeaba. ¿Cuál de
los dos pilotos tiene razón?
264
ÁLGEBRA
A la velocidad del viento en kilómetros por hora la llamamos:
v
Al tiempo que tarda en recorrer 150 km a favor del viento lo llamamos:
t
km
h
km
(250 – v)
h
L a velocidad a favor del viento es:
(250 + v)
L a velocidad en contra del viento es:
El tiempo que tarda en recorrer 150 km a favor del viento está dado por:
distancia
150
t
Ec. (I )
velocidad 250 v
t(250 + v) = 150
Ec. (I’)
L e toma 30 minutos (0.5 h) más recorrer una distancia de 150 km en contra del viento:
150
250 v
t .5
(250 – v)(t + .5) = 150 Ec. (II )
I gualando la Ec. (I’) con la Ec. (I I): t(250 + v) = (250 – v)(t + .5)
2vt + .5v – 125 = 0 Ec. (II I)
150
.5v 125
Sustituyendo el valor de t de la Ec. (I) en Ec. (III ) tenemos: 2 v
250 v
0
Multiplicando ambos miembros por 250 + v: 2v(150) + .5v(250 + v) – 125(250 + v) = 0
v2 + 600v – 62 500 = 0 Ec. a resolver.
Aplicando la fórmula 7.1:
v
600
360 000 ( 4)( 62 500)
2
300 10 1525
km
km
90.5
. En consecuencia,
Por lo tanto, la velocidad del viento es 300 10 1525
h
h
el segundo piloto tenía razón; tal parece que el primer piloto exageró un poco su historia.
265
Unidad 7
Ejercicios resueltos
1. Si el doble de un número se eleva al cuadrado el resultado es 256. H allar el número.
Al número lo llamamos:
x
El doble del número se eleva al cuadrado y el resultado es 256: (2x) 2 = 256
4x2 = 256 Ec. a resolver.
x2 = 64
x= ±8
D ividiendo entre 4 ambos miembros para despejar x2:
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son 8 y –8. Como el problema no tiene restricciones,
existen dos números con las características requeridas: 8 y –8. Comprueba este resultado.
7
3
x 2
x
2
2
3 2 3
x
x 0
Escribiendo la ecuación en la forma estándar:
2
2
2
ambos miembros obtenemos: x2 – x = 0
M ultiplicando por
3
Factorizando el primer miembro:
x(x – 1) = 0
2. Resolver x
L o que implica que:
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación x
x= 0 ó x= 1
3
x
2
7
x es: S = { 0, 1} .
2
2
3. Si al triple del cuadrado de un número se le resta el doble del número, el resultado es cero. H allar
el número.
Al número lo llamamos:
Si al triple del cuadrado del número se le resta
x
el doble del número, el resultado es cero:
3 x 2 – 2 x = 0 Ec. a resolver.
Factorizando:
x(3 x – 2) = 0
2
x= 0 ó x=
3
2
2
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 3x – 2 x = 0 es S = { 0, } . En consecuencia,
3
el problema tiene dos soluciones, es decir, existen dos números que satisfacen las condiciones requeridas:
2
0 y .
3
L o cual implica que:
266
ÁLGEBRA
4. Encontrar el valor de dos números cuyo producto es –864 y su suma es 5.
Al primer número lo llamamos:
x
Al segundo número lo llamamos:
y
L a suma de los dos números es 5:
x + y= 5
El producto de los números es –864:
y= 5 – x
Ec.(I )
xy = –864
Ec. (II )
Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I ) en la Ec. (I I):
x(5 – x)= –864
2
x – 5 x–864= 0
D eterminando los valores de a, b y c de la fórmula 7.1:
a = 1, b = –5 y c = –864
x
Aplicando la fórmula 7.1:
5
3 481
2
( 5)2 4( 864)
2
5
5 59
2
2
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación x – 5x – 864 = 0 son: 32 y –27, lo que significa
que si x = 32, el otro número es: y = 5 – 32 = –27, y si x = –27, el otro número es y = 5 + 27 =
32. En consecuencia, el único par de números que satisface las condiciones requeridas es –27 y 32.
Comprueba este resultado.
5. Resolver por factorización la ecuación 14x(x – 2) = 20 – x.
Escribiendo la ecuación en la forma estándar:
14x2 – 27x – 20 = 0
Factorizando el primer miembro:
(2x – 5)(7x + 4) = 0
5
4
L o que implica que:
x=
ó x=
2
7
4 . Comprueba este
Por lo tanto, las raíces de la ecuación 14x(x – 2) = 20 – x son: 5 y
2
7
resultado.
6. En una cava (llena) de forma rectangular se tienen 187 botellas de vino. El número de botellas
en cada columna es 6 unidades menor que el número de columnas que hay. ¿Cuántas botellas hay
en cada columna?
Al número de botellas en cada columna lo llamamos:
Al número de columnas lo llamamos:
x
y
El número de botellas en cada columna es 6 unidades menor
que el número de columnas que hay:
x+ 6= y
Ec. (I)
La cava tiene forma rectangular y tiene 187 botellas; como el número de botellas por columna
es x y el número de columnas en la cava es y, tenemos que:
xy = 187
Ec. (I I )
267
Unidad 7
Sustituyendo el valor de y de la Ec. (I ) en la Ec. (I I):
x(x + 6) = 187
x2 + 6x = 187 Ec. a resolver.
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
x2 + 6x + 32 = 187 + 32
Factorizando el primer miembro:
(x + 3) 2 = 196
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
x 3
196
D espejando x:
x = – 3 ± 14
14
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación x2 + 6x = 187 son 11 y –17. Como x representa
en el problema el número de botellas en cada columna, no puede ser negativa. En consecuencia, el
número de botellas que hay en cada columna es 11. Comprueba este resultado.
7. H allar 3 enteros consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor es igual a la mitad
del intermedio.
Al menor de los números lo llamamos:
x
Entonces los números intermedio y mayor son respectivamente:
x+ 1 y x+ 2
x
El cociente del mayor entre el menor es igual a la mitad del intermedio:
x
x
M ultiplicando por x ambos miembros:
2
2
1
( x 1)
2
1
( x 1) x
2
x2 – x – 4 = 0 Ec. a resolver.
D eterminando el valor de a, b y c para aplicar la fórmula 7.1: a = 1, b = –1 y c = –4.
x
Aplicando la fórmula 7.1:
1
1
1 4( 4)
2
17
2
1
17 1
17
Por lo tanto, las raíces de la ecuación x2 – x – 4 = 0 son:
,
. Como ninguna
2
2
de las raíces es un número entero, el problema no tiene solución.
268
ÁLGEBRA
Ejercicios propuestos
1. El precio de un automóvil usado fue 8 veces lo que costó arreglarle su tapicería. Si la suma de los
cuadrados del costo del automóvil más el costo de la tapicería fue de $158 184 000.00, ¿cuánto
costó el automóvil y cuánto costó arreglar su tapicería?
2. Patricia es 7 años mayor que M anuel y la suma de los cuadrados de ambas edades es 2 405.
H allar la edad de cada uno.
3. Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 6 x2 + 8x – 8 = 0
b) 5x2 – 2x – 7 = 0
c) 121x2 + 169 – 286x = 0
4. Cierto número de personas reunieron la cantidad $14 000.00 para apoyar una causa. Todas
aportaron la misma cantidad, y ésta excede en 535 al número de personas. Si se sabe que todos
pagaron la misma cantidad, ¿cuántas personas son y cuánto aportó cada una?
5. Resuelve por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto cada una de las siguientes
ecuaciones:
a) 2 x(x – 1) = 3 – 6x2
5 2
(x
b) x 2 ( x 2) 2
2
2 x)
6. Si se compra cierta cantidad de libretas el costo total será de $1 200; si se compraran 5 libretas
menos y se gasta la misma cantidad, el costo de cada libreta aumentaría $1.00. ¿Cuántas libretas
se compraron y cuánto cuesta cada una?
269
Unidad 7
7. Aplica la fórmula 7.1 para resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
5 2
x 7 0
a)
4
8. Retomando el problema del "caso práctico", supón que los datos del primer piloto son los
km
le toma 20 minutos más recorrer una distancia de
siguientes: si vuela a una velocidad de 260
h
150 km en contra del viento que a favor. ¿Cuál es la velocidad del viento?
270
ÁLGEBRA
Autoevaluación
1. Aplica el método de factorización para indicar el tipo de raíces de la siguiente ecuación cuadrática:
7x2 – 19x + 10 = 0.
a) Enteras.
b) I maginarias puras.
c) Racionales.
d) I rracionales.
e) N o tiene solución.
2. Aplica el método de completar el trinomio cuadrado perfecto para indicar el tipo de raíces de la
siguiente ecuación cuadrática: 3x2 – 2x – 7 = 0.
a) Complejas.
b) I maginarias puras.
c) Racionales.
d) I rracionales.
e) Enteras.
3. Aplica la fórmula 7.1 para indicar el tipo de raíces de la siguiente ecuación cuadrática:
2
5 x2
x
87 0 .
7
a) Enteras.
b) Complejas.
c) Racionales.
d) I rracionales.
e) N o tiene solución.
4. L a diferencia de dos números es 19 y su suma multiplicada por el número mayor es 60. H allar
los números.
a) 21 y 2
b) 35 y 16
c) 18 y –1
d) N o tiene solución.
e) –7 y 12
271
Unidad 7
5. La longitud (en metros) de un trozo de tela en forma rectangular es 3 veces su ancho. Si
1
3
su longitud se disminuye metro y su ancho se aumenta en 1 metro, el área aumenta en metros
2
4
cuadrados, ¿cuáles son las dimensiones de la tela?
1
a) Ancho
m y largo 1 12 m.
2
b) Ancho 1 m y largo 3 m.
3
m y largo 2 14 m.
c) Ancho
4
d) Ancho 4 m y largo 12 m.
e) N o tiene solución.
272
ÁLGEBRA
Respuestas a los ejercicios
Ej. 1
1. x2 + 7x – 7 = 0, sí es una ecuación cuadrática.
13
0 , no es una ecuación cuadrática.
2. 7 x
4
1
.
3. Sí. k
60
4. N o son equivalentes.
5
, no es solución o raíz.
5. x
3
3
, sí es solución o raíz.
6. x
2
Ej. 2
1. x = ± 2
1
2
3. 3 años.
2. x
4. L ado del cuadrado = lado del triángulo = 9 unidades.
Ej. 3
1. x = 9, 0
14
, 0
5
1
,0
3. x =
2
4. $4.00
2. x =
5. 3 años.
Ej. 4
1.
1
y
3
5
, ambas multiplicidad 1.
2
273
Unidad 7
1
, multiplicidad 2.
13
2
5
3.
, ambas de multiplicidad 1.
y
5
2
4. 2 y –5
2.
5. 9 filas. Cada fila contiene 20 manzanas.
Ej. 5
1. 11 y –3
2.
5
85
2
9
85
3.
4
4. 39
5. Se compraron 21 libros y cada libro cuesta $18.00.
Ej. 6
1. 30
y
–4
2 4 3
6
6 12 3
6
2 3
3. L as soluciones de la ecuación son 1 y 10. El problema no tiene solución ya que los
2.
2
dígitos son números menores o iguales que 9.
4. L a longitud de un rollo es
80
40
m y la del otro
m.
3
3
Ejercicios propuestos
1. Costo del automóvil $12 480.00, costo de la tapicería $1 560.00.
2. M anuel tiene 31 años y Patricia 38 años.
3.
2
y –2
3
7
b)
y –1
5
13
(multiplicidad 2).
c)
11
a)
274
ÁLGEBRA
4. 25 personas. Cada una aportó $560.00.
5.
3
1
y
4
2
9
41
b)
5
a)
6. Se compraron 80 libretas y cada una costó $15.00.
7.
a)
2 35
5
8. L a velocidad del viento es: 10 2 701 450 km/h. Aproximadamente 69.71 km.
Autoevaluación
1. c)
2. d)
3. b)
4. e)
5. a)
275