gestión académica

CÓDIGO: PA-01-01
GESTIÓN ACADÉMICA
VERSIÓN: 1.0
PLAN DE ASIGNATURA
GUÍA DIDÁCTICA
I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
FECHA: 13-10-2011
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
Nombres y Apellidos del Estudiante:
PÁGINA: 1 de 7
Docente: Esp. Blanca Rozo
Grado:9º
Periodo: 3º
Duración: 10 HORAS GUIA 2
Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas
ESTÁNDAR: Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.
Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Propone y resuelve problemas de aplicación relacionados con sucesiones, series,
progresiones aritméticas y geométricas.
EJE(S) TEMÁTICO(S): 1: SUCESIONES*DEFINICIÓN
2: SERIES
*DEFINICIÓN *PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
*SUMA DE LOS N–TÉRMINOS EN UNA SUCESIÓN
3: PROGRESIONES
*PROGRESIONES ARITMÉTICAS *PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
*PROBLEMAS DE
APLICACIÓN DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
ORIENTACIONES
1)Observación del trabajo individual y grupal, tanto en el aula como fuera de ella.
2) Entrega del cuaderno de trabajo para su corrección.
3) Valoración de la presentación de los informes escritos.
4) Pruebas escritas de evaluación del área pudiendo incluirse en ellas alguna cuestión relacionada con los contenidos
trabajados en el cuaderno.
EXPLORACIÓN
CONCEPTUALIZACIÓN
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Definición
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado
de infinitos números reales a 1, a2, a3, a4, a5,..., an,...
Cada uno de los números reales se llama término de la
sucesión.
Dada una sucesión { an }, se llama serie a la sucesión que
forman los siguientes términos: a1, a1+ a2, a1+ a2+ a3,
a1+ a2+ a3+ a4, …
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11,
13,... es una sucesión de números reales. Al término:
an = 3 + 2(n-1) se le llama término general.
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SUCESIONES Y SERIES
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"alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí,
siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
EN ORDEN
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los
términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer
muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y
1s. El conjunto sería sólo {0,1}
LA REGLA
Consideremos la sucesión de término general
an = 3n + 2;
5, 8, 11, 14, 17, 20,...
Observamos que cada término de la sucesión es igual que
el anterior más 3. Se dice que la sucesión an es una
progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la
progresión.
SUCESIONES RECURRENTES O RECURSIVAS.
Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se
definen en función de los anteriores (definición inductiva
o recursiva).
RECUERDA:Un ejemplo de sucesión
recurrente es la SUCESIÓN DE
FIBONACCI, dada por
s1 = 1, s2 = 1, sn+2 = sn+1+sn (n " N),
cuyos primeros términos son
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, . . .
Los dos primeros términos son unos y los
demás se obtienen sumando los dos términos
anteriores.
Las sucesiones definidas por recurrencia
aparecen con frecuencia en cálculos con
ordenadores:
FINITA O INFINITA
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una
sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números
impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde
vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en
order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre
Una sucesión que se forma por la suma de los términos de
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el
valor de cada término.
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en
forma de ecuación, así: xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos
escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
EJEMPLO
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su
posición. La regla es xn = n2
DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN:
Por el término general
an= 2n-1
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
SERIES
Una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa
"súmalos todos":
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Esto significa "suma los cuatro primeros
términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo
{3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24
progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera
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una sucesión recibe el nombre de serie.
En la sucesión [an ] = { 1, 3, 5, … , 2 n - 1, …} es
posible obtener las sumas parciales
{ Sn} = { S1 ,S2, S3,…}= {a1 , a1 + a2, a1 +a2 +a3, …},
definidas como
S1 = a 1 = 1
S2 = a 1 + a 2 = 1 + 3 = 4
.
.
Sn = a1 + a2 + a3 + an = 1 +3 +5 + … + 2n -1 = n2
denotada como ∑
, se llama Serie Infinita
EJEMPLOS
En una serie geométrica cada término se obtiene
multiplicando el anterior por una constante, llamada
razón r. En este ejemplo, r = 1/2:
PÁGINA: 3 de 7
de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de
la progresión. La fórmula del término general de una
progresión aritmética es:
an = a1 + (n - 1) · d
Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término
inicial de una progresión aritmética es y la diferencia
común es , entonces el término -ésimo de la sucesión
viene dada por
, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se
toma como el cero.
n = 1, 2, 3,... si el término
inicial se toma como el primero.
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = - 5 n + 1 3
CONSULTAR LAS PROPIEDADES DE LA
SUMATORIA DE SERIES
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de
la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d = -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = - 5 n + 1 3
PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Las p r o gr e si o n es a ri t m é t i c as son s u ce s i o n es de
números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es I N T E R P O L A C IÓ N D E T É R M I N O S E N U N A
P R O G R E S IÓ N A R I TM É T I C A
igual al anterior más un número fijo llamado diferencia
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos
que se representa por d . Ejemplo
números, es construir una progresión aritmética que tenga
por extremos los números dados.
8, 3, -2, -7, -12, ...
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar
3 - 8 = -5
m.
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
El ejemplo {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o
progresión aritmética), porque la diferencia entre un
término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos
términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos
términos.
La regla es xn = 5n-2
CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL O
TERMINO ENÉSIMO
El término general de una progresión aritmética es aquel
en el que se obtiene cualquier término sumándole la
diferencia al término anterior. El término de una
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
La progresión pedida es:
8,
3, -2, -7 ,
-12.
Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales
entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según
(III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3
Los términos a interpolar serán
.
,
Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:
2, 5, 8, 11, 14
,y
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SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA
PROGRESIÓN ARITMÉTICA .
Suma de los dos términos extremos, y suma de los
términos equidistantes de aquéllos
más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en
cinco segundos.
er
Sea la progresión aritmética de diferencia d :
La suma de los siete primeros términos de la progresión
aritmética de término general an = 5n
Se comprueba que la suma de los términos primero y
último es igual a la suma de dos términos equidistantes a
éstos, e igual al doble del término central.
La suma de los términos en un segmento inicial de una
sucesión aritmética se conoce a veces como serie
aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas.
La suma de los n primeros valores de una sucesión finita
viene dada por la fórmula:
donde
es el primer término y
el último
Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros
múltiplos de 5? El resultado es inmediato:
1.- Si conocemos el 1 término.
n-1
an = a1 · r
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n
2 .-Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término
de la progresión.
an = ak · rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn-4
an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n
Sumar los veinte primeros términos de la progresión:
-5, 4, 13, 22, 31, 40
solución:
S20 = (a1 + a20).d/2
La diferencia es d = 9
a20 = -5 + (20 - 1).9
a20 = -5 + 19·9 = 166
S20 = (-5 + 116).20/2 = 1610
Dada la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar
los términos comprendidos entre a24 y a36.
solución:
La diferencia es d = -5.
a24 = 8 + 23.(-5) = -107
a36 = 8 + 35.(-5) = -167
Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos. La suma pedida es
S13 = [(-120) + (-116)].13/2 = -1781
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada
término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija
r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
an = a1 · rn-1
an = ak · rn-k
1.- Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn - 1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n
a4= 24, k=4 y r=2.
2.-Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término
de la progresión.
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an = ak · rn-k
an = a4 · rn-4
an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n
La regla es xn = 4 × 2-n
Una progresión geométrica está constituida por una
secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se
obtiene multiplicando el anterior por una constante
denominada razón o factor de la progresión. Se suele
reservar el término progresión cuando la secuencia tiene
una cantidad finita de términos mientras que se usa
sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si
bien, esta distinción no es estricta.
Así,
es una progresión geométrica con
razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
Siendo
el término en cuestión,
la razón:
el primer término y
TÉRMINO GENERAL.
Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1,
a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2
a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
Sean
términos de una progresión
geométrica de razón .
Entonces se cumple que:
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra
progresión
Ejemplos:

En una sucesión geométrica cada término se calcula
multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada
dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en
un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total
encontramos el siguiente número de la sucesión.

¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6,
12,...?
La razón se obtiene dividiendo un término por el
anterior: r = 6 : 3 = 2.
¿Cuál es el quinto término de una progresión
geométrica en la que a1 = 2 y r = 3?
Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6,
18, 54, 162,...) multiplicando cada término por 3.
También se puede obtener directamente: a5 = a1 · r 5
-1
= a1 · r 4 → a5 = 2 · 3 4 = 2 · 81 = 162
SUMA DE LOS PRIMEROS N TÉRMINOS DE UNA
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos
de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera
rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la
igualdad por la razón de la progresión r.
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una
progresión geométrica por la razón se obtiene el término
siguiente de esa progresión,
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Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de
una progresión geométrica cuando se conoce el primer y
el último término de la misma. Si se quiere simplificar la
fórmula, se puede expresar el término general de la
progresión an como
Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo
siguiente:
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Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar
m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3,
6, 12, 24 ,
48.
El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º
es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8
primeros términos.
a 1 = 3;
a 8 = 384;
con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
384 = 3 · r8-1 ;
r7 = 128;
r7 = 27;
S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos
consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber
el primer término a sumar y la razón de la progresión.
INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS EN UNA
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos
números, es construir una progresión geométrica que
tenga por extremos los números dados.
r= 2.
Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por
el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente.
Cuánto ha pagado por los libros.
a1= 1
r= 2;
n = 20;
S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .
ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
GLOSARIO: Buscar el vocabulario desconocido y
escribirlo en el cuaderno.
CONSULTAR LAS PROPIEDADES DE LA
SUMATORIA DE SERIES
Ejercicios de progresiones aritméticas
1)El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el
sexto es 16. Escribir la progresión.
2)Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.
3)Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
4)El primer término de una progresión aritmética es -1, y el
décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los
quince primeros términos.
5)Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
6)Hallar la suma de los quince primeros números acabados
7)Hallar la suma de los quince primeros números pares
mayores que 5.
8)Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo
que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.
9)El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm.
Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo
forman una progresión aritmética.
10)Calcula tres números en progresión aritmética, que
suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.
Ejercicios de progresiones geométricas
1 . - El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º
es 48. Escribir la progresión.
2 . - El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º
es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8.
6 . - Calcular el producto de los primeros 5 términos de la
progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
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en 5.
SOCIALIZACIÓN
4) Retroalimentación de procesos
5) Evaluación escrita.
3) Corrección de los talleres
1) Puesta en común del trabajo realizado en grupo e
individual.
2) Revisión y corrección de posibles dificultades.
3) Corrección de los talleres
COMPROMISO
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
1 ) Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
1
2)
4)
3)
5)
6)
7)
8)
1 1 . - Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.
1 2 . - Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
1 3 . - Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
1 4 . - Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
1 5 . - El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8
primeros términos.
1 6 . - El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión.
1 7 . - Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
1 8 . - Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º.
ELABORÓ
REVISÓ
NOMBRES
Esp.Blanca Rozo Blanco
LIC,YAIRA LICETH
RINCON
CARGO
Docentes de Área
Jefe de Área
DD
08
MM
08
AAAA
2012
DD
APROBÓ
MM
Coordinador Académico
AAAA
DD
MM
AAAA