Formulario de Matemáticas 5

Distancia entre dos puntos
Identidades trigonométricas
1
1
d = (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
senα =
cosα =
cscα
secα
División de un segmento dada una razón r
1
senα
tan α =
tan α =
x + rx2
y + ry 2
cot α
cosα
xr = 1
yr = 1
cosα
1+ r
1+ r
cot α =
sen 2α + cos 2 α = 1
sen
α
Pendiente de una recta
1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α
y 2 − y1
m=
Ángulos notables π = 180°
x2 − x1
=
sen30° 12 =
cos 30° 23
Área de un triángulo, Ángulo entre 2 rectas =
sen60° 23 =
cos 60° 12
x1 y1
m2 − m1
1
sen45°= cos 45°= 12= 22
A = x2 y 2 tan(α ) =
2
1 + (m1 )(m2 )
Funciones logarítmicas y exponenciales
x3 y 3
log b a = x ∋ b x = a
Punto medio de un segmento
log b ( A ⋅ B ) = log b A + log b B
x1 + x2
y1 + y 2
x PM =
y PM =
 A
2
2
log b   = log b A − log b B
B
Distancia de un punto a una recta
Ax1 + By1 + C
log b A n = n ⋅ log b A
d=
A2 + B 2
log b b x = x b logb x = x
Condición para paralelismo
Ecuaciones de la recta
PROF. JESÚS CALIXTO
m1 = m2
-forma general Ax + By + C = 0
Condición para perpendicularidad
-forma ordinaria y = mx + b
1
m2 = −
-forma punto pendiente ( y − y1 ) = m( x − x1 )
m1
2
2
( )
Baricentro de un triángulo
x + x + x3
y + y 2 + y3
xb = 1 2
yb = 1
3
3
α = ángulo de inclinación
m = tan α = pendiente
b = ordenada al origen
Si y = asen(bx + c) , o bien y = a cos(bx + c) , donde a y b son números Reales distintos a cero entonces:
(1) la amplitud es |a| y el periodo es
2π
b
; (2) se pueden calcular el desplazamiento de fase y el intervalo que
contiene exactamente un ciclo resolviendo las dos ecuaciones siguientes:
bx + c = 0
y bx + c = 2π
Mediana: Segmento de recta que parte desde el vértice
de un triángulo al punto medio de su lado opuesto.
Mediatriz: Recta que parte a el lado de un triángulo por
su punto medio y forma 90°.
Bisectriz: Segmento de recta que parte el ángulo interior
de un triángulo en dos ángulos iguales.
Altura: Recta que parte desde un vértice del triángulo
hacia el lado opuesto o su prolongación formando 90°.
Punto de intersección de las:
MedianasBaricentro
BisectricesIncentro
MediatricesCircuncentro
AlturasOrtocentro
Ecuación General de Segundo Grado
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Discriminante = B 2 − 4 AC
Discriminante = 0
Parábola
Discriminante < 0
Elipse PROF. JESÚS CALIXTO
Discriminante > 0
Hipérbola
Ecuación general de las cónicas
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
A = C = 0  Recta.
A ≠ C y A ó C =0  Parábola.
A = C con signos iguales Circunferencia.
A ≠ C con signos iguales  Elipse.
A y C tienen signos contrarios  Hipérbola.
Circunferencia: Es el lugar geométrico de todos los puntos tales
que su distancia a un punto fijo llamado centro siempre es la misma.
A esa distancia se le llama radio.
Parábola: Es el lugar geométrico de todos los puntos tales que su
distancia a una recta llamada directriz siempre es la misma distancia
a un punto fijo llamado foco.
Elipse: Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven de
tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados
focos siempre es constante y mayor que la distancia entre los focos.
Hipérbola: Es el lugar geométrico de todos los puntos que se
mueven de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante y
menor que la distancia entre los focos.
CIRCUNFERENCIA
ELIPSE
Ecuación con radio r y con:
centro en (0,0):
Horizontal con centro en el origen:
x2 + y2 = r 2
Vertical con centro en el origen:
centro en (h, k):
(x − h )2 + ( y − k )2 = r 2
Ec. General
Horizontal con centro en (h, k):
(x − h )2 + ( y − k )2
=1
Vertical con centro en (h, k):
(x − h )2 + ( y − k )2
=1
x2+y2+Dx+Ey+F=0
PARÁBOLA
Vertical hacia arriba con vértice en el origen:
x 2 = 4 py
Vertical hacia abajo con vértice en el origen:
Horizontal hacia la derecha con vértice en el
origen:
Horizontal hacia la izquierda con vértice en
el origen:
x 2 = −4 py
a2
b2
b2
a2
V y V’
F y F’
C
y 2 = 4 px
y 2 = −4 px
Vertical hacia abajo con vértice en (h, k):
(x − h )2 = 4 p( y − k )
(x − h )2 = −4 p( y − k )
Horizontal hacia la derecha con vértice en
(h, k):
( y − k )2 = 4 p(x − h )
Horizontal hacia la izquierda con vértice en
(h, k):
( y − k )2 = −4 p(x − h )
Vertical hacia arriba con vértice en (h, k):
x2 y2
+
=1
a2 b2
x2 y2
+
=1
b2 a2
excentricidad:
c
a
vértices
focos
centro
eje mayor = 2a
V 'V
a = CV = CV '
eje menor = 2b
B' B
b = CB = CB '
eje focal = 2c
F'F
c = CF = CF '
Lado recto
LL '
2
2
2
a =b +c
2b 2
Lado Recto: LR =
a
HIPÉRBOLA
Asíntotas
Lado recto: LR = |4p|
PROF. JESÚS CALIXTO
p = distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz
Horizontal con centro en
(0, 0) y en (h, k) respectivamente:
Vertical con centro en
(0, 0) y en (h, k) respectivamente:
2
2
x
y
− 2 = 1;
2
a
b
2
y
x2
−
= 1;
a2 b2
(x − h )
2
(y − k )
2
=1
a
b2
( y − k )2 − (x − h )2 = 1
a2
b2
2
−
y = ± ba x
y − k =± ba ( x − h)
L
C
eje de la hipérbola
coordenadas del centro
eje focal = 2c
F'F
eje transverso = 2a
V 'V
B' B eje conjugado = 2b
F ' P y PF radios vectores
c2 = a2 + b2
excentricidad: c
a
Lado recto: LR= 2b 2
a