Formas Cuadráticas

Grado en Administración y Dirección de Empresas
Matemáticas I
UniversidaddeValladolid
Curso 2010-2011
RELACIÓN DE PROBLEMAS
Departamento de
Economía Aplicada
Tema 3: Formas Cuadráticas
1. Decida cuáles de las siguientes aplicaciones son formas cuadráticas:
(a) Q(x, y, z) = x2 + 2(y + z).
(b) Q(x, y, z) = (x + y + z)2 + 3x.
(c) Q(x, y, z) = xy + xz + 5.
(d) Q(x, y, z) = x(y + z) + z(x + y).
2. Clasifique las siguientes formas cuadráticas:
(a) Q(x, y) = 2x2 − 8y 2 + 5xy.
(b) Q(x, y) = 2x2 + 6y 2 + 3xy.
(c) Q(x, y, z) = y 2 + 2xy + 4xz − 2yz.
(d) Q(x, y, z) = −x2 − 5y 2 − 6z 2 + 2xy + 4yz.
(e) Q(x, y, z) = 2x2 + 3y 2 .
(f) Q(x, y, z) = x2 + 2z 2 + 4xz.
(g) Q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy.
3. Clasifique las formas cuadráticas dadas por las matrices:



−1 1 1 0
1 1 0

  1 −2 −3 0

 1 −1 2 , 
 1 −3 −5 0

0 2 1
0 0 0 −1



.


4. Clasifique, según los valores de los parámetros, las siguientes formas cuadráticas:
(a) Q(x, y, z) = x2 + y 2 + 5z 2 + 2αxy − 2xz + 4yz.
(b) Q(x, y, z) = α(x2 + y 2 ) + z 2 + 4xy + 2yz.
(c) Q(x, y, z) = x2 + αy 2 + βz 2 + 2xy.
5. Clasifique las siguientes formas cuadráticas con restricciones:
(a) Q(x, y, z) = −x2 − y 2 + 4yz, restringida a
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}.
(b) Q(x, y, z) = x2 − 2xy − 2yz − z 2 , restringida a
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y = 0}.
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(c) Q(x, y, z) = x2 + 2y 2 + z 2 − 2xy + yz, restringida a
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0, −x + z = 0}.
(d) Q(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 2xy + 4xz, restringida a
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y + z = 0, y − 2z = 0}.
(e) Q(x, y, z, t) = x2 − y 2 − t2 + 2xz + 3zt, restringida a
V = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y − t = 0, y − z + 2t = 0}.
6. Sea Q la forma cuadrática de R3 definida por Q(x, y, z) = y 2 − xy − xz − yz.
(a) Clasifique Q.
(b) Clasifique Q restringida a V = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = αz}, según los valores de α ∈ R.
7. Si Q : Rn −→ R es una forma cuadrática y los vectores ū, v̄ ∈ Rn son tales que {ū, v̄} es un
sistema ligado, demuestre que Q(ū)Q(v̄) ≥ 0.
8. Demuestre que para cualesquiera x, y, z ∈ R se verifica x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + xz + yz.
9. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z) = (x − y)2 + z 2 definida en R3 , encuentre, si es posible,
subconjuntos A, B y C de R3 tales que Q|A sea semidefinida positiva, Q|B definida positiva
y Q|C indefinida.
10. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z) = 4x2 + ay 2 + az 2 + 8xz + 3yz :
(a) Clasifique Q.
(b) Para a < 0 encuentre dos vectores tales que Q(x̄1 ) < 0 y Q(x̄2 ) > 0. ¿Se pueden encontrar
dos vectores verificando las condiciones anteriores si a = 7? ¿Y si a = 2? Razone las
respuestas.
11. Sea Q la forma cuadrática de R3 definida por Q(x, y, z) = x2 + 2axy + 2ayz + 4y 2 .
(a) Clasifique Q en función de los valores del parámetro a.
(b) Clasifique Q |V donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0}.
12. Los economistas de una empresa suponen que la producción P se ajusta a la ecuación P (L, K) =
L2 +K 2 −2LK, siendo L y K el número de trabajadores y máquinas, respectivamente. Además
se sabe que cada máquina necesita dos trabajadores. Compruebe que, bajo este supuesto, se
garantiza la producción.
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13. Clasifique las siguientes formas cuadráticas:
(a) Q(x, y) = 2x2 + 3y 2 + 3xy.
Sol.: D+ .
(b) Q(x, y, z) = x2 + 3y 2 + 7z 2 + 2xy + yz + 4xz.
Sol.: D+ .
(c) Q(x, y, z) = −2x2 − y 2 − z 2 + 2xy + 2xz.
Sol.: SD− .
(d) Q(x, y, z) = 5x2 + y 2 + 9z 2 + 4xy + 12xz + 6yz.
Sol.: SD+ .
(e) Q(x, y, z) = 4x2 − 2xy + 3z 2 + 2yz − y 2 .
Sol.: I.
(f) Q(x, y, z) = 2y 2 + 2yz.
Sol.: I.
14. Clasifique, según los valores de los parámetros, las siguientes formas cuadráticas:
(a) Q(x, y, z) = x2 + 4y 2 + 5z 2 + 2αxy + 2xz + 4yz.
Sol.:
• Si α = −6/5 o α = 2, SD+ .
• Si −6/5 < α < 2, D+ .
• En el resto de los casos es I.
(b) Q(x, y, z) = βx2 + αy 2 + β(z 2 + 2xz).
Sol.:
• Si α = 0 y β = 0, SD+ y SD− .
• Si α ≥ 0, β ≥ 0 y (α, β) 6= (0, 0), SD+ .
• Si α ≤ 0, β ≤ 0 y (α, β) 6= (0, 0), SD− .
• En el resto de los casos es I.
15. Clasifique las siguientes formas cuadráticas con restricciones:
√
(a) Q(x, y) = 2x2 + 2 2xy + y 2 , restringida a
√
V = {(x, y) ∈ R2 | x − 2y = 0}.
Sol.: D+ .
(b) Q(x, y, z) = 2x2 + y 2 − 4xy + 2yz, restringida a
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y + z = 0}.
Sol.: I.
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(c) Q(x, y, z) = x2 + 4y 2 + 5z 2 + 2xy − 2xz + 2yz, restringida a
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 0, 2x − 3y + z = 0}.
Sol.: D+ .
(d) Q(x, y, z) = −x2 − 5y 2 − 6z 2 + 2xy + 4xz, restringida a
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2z = 0, 2y + z = 0}.
Sol.: D− .
16. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z) = α(x2 + z 2 ) + 2y 2 + 4xy :
(a) Clasifique Q|V donde V = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y}.
Sol.:
• Si α < −6, D− .
• Si α = −6, SD− .
• Si −6 < α < 0, I.
• Si α = 0, SD+ .
• Si α > 0, D+ .
(b) Clasifique Q para α = 2.
Sol.: D+ .
17. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z, t) = x2 + y 2 + z 2 + t2 + 2ayt + 2axz :
(a) Clasifique Q|V donde V = {(x, y, z, t) ∈ R4 | y − z = 0, t = 0}.
√
√
Sol.: • Si a = − 2 o a = 2, SD+ .
√
√
• Si − 2 < a < 2, D+ .
• En el resto de los casos es I.
(b) Clasifique Q para a = 3.
Sol.: I.
18. Sea Q la forma cuadrática de R3 definida por Q(x, y, z) = 2ax2 + y 2 + z 2 + 4axz.
(a) Clasifique Q en función de los valores de a ∈ R.
Sol.:
• Si a = 0 o a = 1/2, SD+ .
• Si 0 < a < 1/2, D+ .
• En el resto de los casos es I.
(b) Para a = −1 encuentre un conjunto S1 tal que Q|S1 sea definida positiva y un conjunto
S2 tal que Q|S2 sea definida negativa.
Sol.:
• S1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0}.
• S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0}.
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