Propuesta de tema de investigación

Unidad Azcapotzalco
División de Ciencias Básicas e Ingeniería
“Métodos heurísticos aplicados al despacho
económico con funciones de costo no convexas y
zonas muertas de unidades térmicas”
Tesis que para obtener el grado de
Maestro en Ciencias de la Computación
Presenta:
Benjamín Carpio Flores
Asesor:
Dr. Javier Ramírez Rodríguez
Departamento de Sistemas
UAM Azcapotzalco
México, Octubre-2007
Dedicatorias
A mi niña Alma Teresa, tus sonrisas son mi mayor felicidad.
A mi esposa Alma, gracias por tu amor y consejos.
A mis padres, Justino, Epi y Tomasa , por sus sacrificios, amor y enseñanzas.
A mis hermanos Tino, Hugo, Jaz, David y Tomi, ya no me quieran tanto☺.
A Dios, por los regalos que me ha dado.
Agradecimientos:
A mi asesor, Ing. Javier Ramírez Rodríguez. Gracias por su amistad y dedicación.
A todos mis profesores de la UAM, por el tiempo y conocimiento brindados.
Al MC Anselmo Sánchez Sánchez, por la disposición y atención a mis dudas.
INDICE
Pág.
Lista de tablas y figuras …………………………………………………………
i
Nomenclatura ……………………………………………………………………
iv
Resumen ………………………………………………………………………….
v
Abstract…………………………………………………………………………...
vii
Introducción ……………………………………………………………………..
viii
Antecedentes ……………………………………………………………………..
xiii
Justificación ……………………………………………………………………...
xvii
Objetivos …………………………………………………………………………
xix
Contenido de la tesis……………………………………………………………..
xx
CAPÍTULO 1. DESPACHO ECONÓMICO.
1.1 Introducción………………………………………………………….
1
1.2 Despacho Económico Sin Pérdidas………………………………….
1
1.3 Otros problemas de Despacho Económico………………………….
4
1.4 Técnicas clásicas de solución………………………………………...
5
1.5 Casos de Estudio……………………………………………………...
6
1.5.1 Caso de estudio 1, 7 Us (función de costo no convexa de un PIE y
zona muerta) ………………………………………………………………...
1.5.2 Caso de estudio 2, 36 Us (problema de mayor tamaño) ………………….
6
10
1.5.3 Caso de estudio 3, 3 Us (funciones no convexas en las tres unidades
que consideran puntos de válvula) ………………………………………..
12
CAPÍTULO 2. MÉTODOS HEURÍSTICOS.
2.1 Introducción …………………………………………………………
14
2.2 Algoritmos Genéticos ………………………………………………..
14
2.3 Búsqueda local ……………………………………………………….
16
2.4 Algoritmo de Recocido Simulado …………………………………..
18
2.5 GRASP ……………………………………………………………….
19
2.6 Satisfacción de Restricciones ………………………………………..
22
2.7 Algoritmos Híbridos …………………………………………………
23
CAPÍTULO 3. IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORTIMO GENÉTICO.
3.1 Introducción …………………………………………………………
24
3.2 Descripción del programa …………………………………………..
25
3.3 Población inicial y codificación ……………………………………..
26
3.3.1 Codificación …………………………………………………………………
3.3.2 Representación de los límites de potencia del generador ………………...
3.3.3 Decodificación ……………………………………………………………….
3.3.4 Codificación de la zona muerta ……………………………………………
26
27
27
27
3.4 Evaluación ……………………………………………………………
29
3.4.1 Aptitud de los individuos …………………………………………………...
3.4.2 Funciones de costo …………………………………………………………..
29
29
3.5 Selección ……………………………………………………………...
31
3.5.1 Selección por torneo ………………………………………………………...
31
3.6 Nuevas Generaciones ………………………………………………..
31
3.6.1 Mutación y Cruza …………………………………………………………...
3.6.1.1 Zona muerta ………………………………………………………...
31
34
3.7 Ajuste de parámetros particulares del AG al problema de DE …..
34
3.7.1 Tamaño de la población …………………………………………………….
3.7.2 Elitismo ……………………………………………………………………...
3.7.3 Factor de penalización por incumplimiento del balance de potencia …...
35
37
38
3.8 Resumen de resultados del AG (DE con funciones convexas) ……
42
3.9 Algoritmo Genético Híbrido ……………………………………….
43
3.9.1 Población inicial a partir de algoritmo de SR ……………………………..
3.9.2 Población inicial a partir de fc_GRASP …………………………………..
3.9.3 Adición de búsqueda local al AG …………………………………………..
43
45
46
3.10 Resumen de resultados del AGH (DE con funciones convexas) ...
51
CAPÍTULO 4. IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO DE RECOCIDO
SIMULADO.
4.1 Introducción …………………………………………………………
52
4.2 Descripción del programa …………………………………………..
53
4.3 Solución inicial ……………………………………………………….
53
4.3.1 Zona muerta ………………………………………………………………...
53
4.4 Vecindades …………………………………………………………...
54
4.4.1 Zona muerta ………………………………………………………………...
55
4.5 Ajuste de los parámetros de ARS …………………………………..
55
4.5.1 Temperatura ………………………………………………………………...
4.5.2 Ajuste de k0 en la búsqueda local ………………………………………….
56
59
4.6 Resumen de resultados del ARS (DE con funciones convexas) ......
60
CAPÍTULO 5. IMPLEMENTACIÓN DEL GRASP.
5.1 Introducción ………………………………………………………...
61
5.2 Descripción del programa ………………………………………….
62
5.3 Fase Constructora …………………………………………………..
62
5.4 Fase de Búsqueda Local …………………………………………….
68
5.5 Zona muerta ………………………………………………………...
68
5.6 Ajuste de parámetros, Nitr, α ……………………………………...
68
5.7 Resumen de resultados del GRASP (DE con funciones convexas)
74
CAPÍTULO 6. RESULTADOS FINALES.
6.1 Introducción …………………………………………………………
75
6.2 Resultados para el caso de estudio 1, 7 unidades …………………
76
6.3 Resultados para el caso de estudio 2, 36 unidades ………………..
86
6.4 Resultados para el caso de estudio 3, 3 unidades …………………
87
CONCLUSIONES ……………………………………………………………….
89
REFERENCIAS …………………………………………………………………
91
APENDICE I Solución analítica al caso de estudio 1 (7 Us) por el método
del lagrangiano.
APENDICE II Código fuente de los programas en lenguaje C
Lista de tablas y figuras
Tablas
Tabla 1.1 Limites de potencia y coeficientes abc de las unidades del caso 1.
Tabla 1.2 Solución óptima del caso 1 con funciones de costo de segundo grado convexas.
Tabla 1.3 Datos de las 36 unidades del caso 2.
Tabla 1.4 Solución óptima del caso 2 con funciones de costo de segundo grado convexas
Tabla 1.5 Datos de las 3 unidades del caso 3.
Tabla 1.6 Solución óptima del caso 3.
Tabla 2.1 Algoritmo Genético simple.
Tabla 2.2 Algoritmo de búsqueda local.
Tabla 2.3 Algoritmo de Recocido Simulado.
Tabla 2.4 Algoritmo GRASP simple.
Tabla 2.5 Algoritmo de fase de construcción del GRASP basado en valor.
Tabla 2.6 Algoritmo de fase de construcción del GRASP basado en cardinalidad.
Tabla 2.7 Algoritmo de búsqueda local del GRASP.
Tabla 3.1 Estructura de datos generador.
Tabla 3.2 Límites de potencia usados en la decodificación del valor entero Pcod según el valor de
bit_zm.
Tabla 3.3 Factores de escalamiento de aptitud para cada caso de estudio.
Tabla 3.4 Tipos de funciones de costo de los casos de estudio.
Tabla 3.5 Unidades de los coeficientes abcef de la función general de costo.
Tabla 3.6 Tabla de costos del PIE CC Mexicali.
Tabla 3.7 Parámetros utilizados por defecto para el AG.
Tabla 3.8 Parámetros a determinar para el AG.
Tabla 3.9 Resultados del AG para distintos valores del FP_IBP y solución óptima del caso 1.
Tabla 3.10 Ajustes del FP_IBP y número de generaciones para cada caso de estudio.
Tabla 3.11Resultados del AG para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Tabla 3.12 Datos para el ejemplo de SR.
Tabla 3.13 Algoritmo para crear una solución factible por SR.
Tabla 3.14 Soluciones creadas con a) SR b) fc_GRASP.
Tabla 3.15 Comparativo del costo de las soluciones creadas por SR y fc_GRASP.
Tabla 3.16 Algoritmo Genético Híbrido (AGH).
Tabla 3.17 Generaciones iniciales n del AGH para cada caso de estudio.
Tabla 3.18 Comparativo de aptitudes después de 75 y 150 generaciones, para el AG con diferentes
tipos de población inicial, caso 1.
Tabla 3.19 Ajuste del parámetro k0 para el caso 1 (7 U’s).
Tabla 3.20 Ajuste del parámetro k0 para el caso 2 (36 U’s).
Tabla 3.21 Ajuste del parámetro k0 para el caso 3 (3 U’s).
Tabla 3.22Resultados del AGH para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Tabla 4.1 Datos del ejemplo para el cálculo de una solución vecina.
Tabla 4.2 Rangos permisibles de movimiento a partir de la solución inicial del ejemplo 4.1.
Tabla 4.3 Parámetros utilizados por defecto para el ARS.
Tabla 4.4 Criterio de Metrópolis para aceptación de una solución.
Tabla 4.5 Máxima diferencia en costo mdc para el caso 1 con funciones convexas.
Tabla 4.6 Valores de mdc y criterios de paro para los casos de estudio 1,2 y 3.
Tabla 4.7 Resultados para diferentes valores de T. Resaltados los valores de referencia para el
cálculo de los porcentajes. El valor mínimo y el valor promedio son de diez pruebas.
Tabla 4.8 Parámetros del ARS para cada caso de estudio.
i
Tabla 4.9 Ajuste de la búsqueda local a través del parámetro k0 para caso 1 (7 U’s).
Tabla 4.10 Ajuste de la búsqueda local a través del parámetro k0 para caso 2 (36 U’s).
Tabla 4.11 Ajuste de la búsqueda local a través de parámetro k0 para caso 3 (3 U’s).
Tabla 4.12 Resultados del ARS para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Tabla 5.1 Algoritmo general GRASP para el DE.
Tabla 5.2 Algoritmo GRASP (fase constructora) para el DE.
Tabla 5.3 Datos del ejemplo 5.1. Aplicación del GRASP.
Tabla 5.4 Resultados del GRASP al caso 1, con k0 = 100 y distintos valores de alfa (0.0, 1.0 y 0.5).
Tabla 5.5 Resultados del GRASP al caso 1, con diferentes combinaciones de N_itr y k0.
Tabla 5.6 Ajuste de k0 para el caso 1 (7 U’s).
Tabla 5.7 Resultados del GRASP para el DE del caso 2, con diferentes combinaciones de N_itr y
k0.
Tabla 5.8 Ajuste de k0 para el caso 2 (36 U’s).
Tabla 5.9 Resultados del GRASP para el DE del caso 3, con diferentes combinaciones de N_itr y
k0.
Tabla 5.10 Ajuste de k0 para el caso 3 (3 U’s).
Tabla 5.11 Parámetros del GRASP determinados para cada caso de estudio.
Tabla 5.12 Resultados del GRASP para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Tabla 6.1 Ajustes de los parámetros de las heurísticas, caso 1 (7 U’s).
Tabla 6.2 Caso 1. Aplicación del AG. Número de generaciones = 300, FP_IBP = 2500, probabilidad
de cruza = 0.8, probabilidad de mutación = 0.01. a) todas las unidades con funciones de costo
convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y zona muerta.
Tabla 6.3 Caso 1. Aplicación del AGH. Número de generaciones = 75, K0 = 500, FP_IBP = 2500,
probabilidad de cruza = 0.8, probabilidad de mutación = 0.01. a) todas las unidades con funciones
de costo convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y zona muerta.
Tabla 6.4 Caso 1. Aplicación del Algoritmo de Recocido Simulado. T= 500 000, k0 = 50, a) todas
las unidades con funciones de costo convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y
zona muerta.
Tabla 6.5 Caso 1. Aplicación del GRASP. Nitr = 300, k0 = 400, a) todas las unidades con funciones
de costo convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y zona muerta.
Tabla 6.6 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 1 con funciones de costo
convexas.
Tabla 6.7 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 1, con zona muerta y
función de costo no convexa para unidad 7.
Tabla 6.8 Resultados del ARS con zona muerta y función no convexa en U7, k0 = 100.
Tabla 6.9 Evaluación de funciones de costo, caso 1 (7Us) sin zona muerta. Demanda = 870 MW
Tabla 6.10 Resultados de las heurísticas para el caso 1. U7 con función de costo real. Demanda =
870 MW.
Tabla 6.11 Evaluación de funciones de costo, caso 1 (7Us). Demanda = 700 MW.
Tabla 6.12 Resultados de las heurísticas para el caso 1. U7 con función de costo real. Demanda =
700 MW.
Tabla 6.13 Evaluación de funciones de costo, caso 1 (7 Us). Demanda = 1 050 MW.
Tabla 6.14 Resultados de las heurísticas para el caso 1. U7 con función de costo real. Demanda =
1 050 MW.
Tabla 6.15 Ajustes de los parámetros de las heurísticas, caso 2 (36 U’s).
Tabla 6.16 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 2 con funciones de costo
convexas.
Tabla 6.17 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 2, con zona muerta y
función no convexa para la unidad 36.
Tabla 6.18 Ajustes de los parámetros de las heurísticas, caso 3 (3 U’s).
Tabla 6.19 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 3 (3 Us).
Tabla 6.20 Resultados del DE para el caso 3 (3 Us).
ii
Figuras
Figura a) Semana típica de verano del Sistema Interconectado Nacional en México.
Figura b) Curva de entrada-salida de la U3 de la central Mérida II.
Figura c) Curva de consumo específico o régimen térmico de U3 Mérida tg.
Figura d) Modelado del punto de válvula en unidades térmicas.
Figura e) Planta de ciclo combinado.
Figura f) Curva de entrada-salida de un ciclo combinado.
Figura g) Curva de consumo específico basada en tres puntos del PIE CC Mexicali.
Figura 2.1 Funciones de costo o curvas de entrada-salida de las unidades del caso 1.
Figura 2.2 Régimen térmico en $/MWh del CC Mexicali (U7).
Figura 2.3 Costos incrementales de las unidades del caso 1.
Figura 2.4 Costos incrementales de los dos modelos utilizados para la unidad 7.
Figura 2.5 Costos incrementales de las unidades del caso 2.
Figura 2.6 Funciones de a) costo y b) costos incrementales de las unidades del caso 3.
Figura 3.1 Cadena, individuo o cromosoma.
Figura 3.2 Subcadena de 11 bits.
Figura 3.3 Representación de diferentes valores de potencia a través del bit_zm para una unidad
con zona muerta.
Figura 3.4 Cruza de 2 individuos a nivel de bits, con pcruza = 14.
Figura 3.5 Modificación del valor de potencia por operador de cruza, pcruza = 16.
Figura 3.6 Operador de cruza a nivel de unidades con dos puntos de cruza, pcruza1 = 2, pcruza2=5.
Figura 3.7 Operador de mutación modificó bit 23 en una cadena de longitud 33.
Figura 3.8 a) aptitud mejor individuo b) aptitud promedio de cada generación c) balance de
potencia BP, para poblaciones de 40 y 100 individuos, caso 1.
Figura 3.9 a) aptitud mejor individuo b) aptitud promedio de cada generación c) balance de
potencia BP, para poblaciones de 40 y 100 individuos, caso 2.
Figura 3.10 Comparación de la convergencia del AG con y sin elitismo, a) aptitud del mejor
individuo, b) BP, caso 1.
Figura 3.11 Comparación de la convergencia del AG con y sin elitismo, caso 2.
Figura 3.12 Curvas de las unidades con mayor costo incremental del caso1.
Figura 3.13 Convergencia en aptitud y en BP del AG, con valores de FP_IBP de 2000, 2500 y
3000, caso 1.
Figura 3.14 Curvas de las unidades con mayor costo incremental del caso 2.
Figura 3.15. Convergencia en aptitud y en BP del AG aplicado al caso 2, con distintos valores de
FP_IBP.
Figura 3.16. Convergencia en aptitud y en BP del AG aplicado al caso 3, con distintos valores de
FP_IBP.
Figura 3.17 Convergencia del AGH con diferentes poblaciones iniciales, caso 1.
Figura 3.18 Desempeño del AG con población inicial de soluciones factibles y no factibles para el
caso 3 (DEPV de 3 unidades).
Fig. 4.1 Evaluación de la función de Boltzman con valores de T referidos a la mdc del caso 1.
Fig. 4.2 Desempeño del ARS para diferentes valores de T, caso 1 (7 U’s).
Fig. 4.3 Desempeño del ARS para diferentes valores de T, caso 2 (36 U’s).
Fig. 4.4 Desempeño del ARS para diferentes valores de T, caso 3 (3 U’s).
Figura 5.1 Costo de las soluciones mejoradas de cada iteración, fase de construcción con α=0.5,
caso 1 (7 U’s).
Figura 5.2 Costo de las soluciones mejoradas de cada iteración, fase de construcción con α=1,
caso 1 (7 U’s).
Figura 5.3 Costo de las soluciones mejoradas de cada iteración, fase de construcción con α=0,
caso 1 (7 U’s).
Figura 6.1 Punto de operación de la unidad 7 (306 MW), caso 1 con 870 MW de demanda.
Figura 6.2 Funciones de costo del caso 3 (3 Us).
iii
Nomenclatura
AG
AGH
ARS
ASR
BP
CC
CENACE
DE
DEPV
F
FP_IBP
GRASP
K0
kcal
kWh
MWh
Nitr
PDE
PIE
Pmin
Pmax
T
tam_pob
Us
V
tg
Algoritmo Genético
Algoritmo Genético Híbrido
Algoritmo de Recocido Simulado
Algoritmo de Satisfacción de Restricciones
Balance de Potencia
Ciclo Combinado
Centro Nacional de Control de Energía
Despacho Económico
DE con Punto de Válvula
Función de costo
Factor de Penalización por Incumplimiento de Balance de Potencia
“Greedy Randomized Adaptive Search Procedure”
Parámetro de ajuste de la intensidad de la búsqueda local
kilocaloría
Kilowatt-hora
Megawatt-hora
Número de iteraciones del GRASP
Problema de despacho económico
Productor Independiente de Energía
Potencia mínima
Potencia máxima
Temperatura
Tamaño de la población
Unidades
Vapor
Turbogás
iv
Resumen
En México, el Centro Nacional de Control de Energía (CENACE) de la Comisión
Federal de Electricidad (CFE) realiza diariamente el despacho económico de
generación. El problema de despacho económico (PDE) consiste en determinar la
potencia que cada unidad generadora debe suministrar para cubrir la demanda
pronosticada de un Sistema Eléctrico de Potencia al menor costo posible. La
función de costo que se utiliza para la optimización del PDE es la curva de
entrada-salida de las unidades térmicas y representa la cantidad o costo de
combustible que la unidad consume por hora para la potencia generada. Para
simplificar el problema, esta relación se representa por una función de segundo
grado, convexa y continua, y entonces se utilizan técnicas de programación lineal
para optimizar el problema.
En realidad, las funciones de costo de las unidades térmicas son discontinuas y no
convexas debido al cierre y apertura de válvulas en el sistema de la caldera para
el control de la potencia del generador eléctrico. Por otra parte, funciones no
convexas son derivadas de los modelos contractuales de algunos Productores
Independientes de Energía, quienes adicionalmente declaran zonas muertas o
prohibidas en las transiciones por las diferentes configuraciones del ciclo
combinado.
En este trabajo se muestra la aplicación de cuatro métodos heurísticos al PDE,
donde se consideran funciones de costo no convexas y zonas muertas de
unidades térmicas, para evaluar los costos de las simplificaciones que se realizan
por las restricciones que impone el método clásico de solución. Los métodos
heurísticos utilizados son el Algoritmo Genético (AG), Algoritmo Genético Hibrido
(AGH), Algoritmo de Recocido Simulado (ARS) y el GRASP (greedy randomized
adaptive search procedure).
Se describen los ajustes de parámetros y procedimientos particulares al PDE,
como son el factor de penalización por incumplimiento del balance de potencia
FP_IBP (AG), parámetro de temperatura T (ARS), función miope (GRASP), el
algoritmo de generación de vecindades para la búsqueda local (ARS, AGH,
GRASP) y el algoritmo de satisfacción de restricciones para generar soluciones
factibles (ARS, AGH). Para los algoritmos genéticos, la zona muerta zm es
restringida desde la propia codificación, agregando un bit adicional bit_zm a la
subcadena que representa a cada unidad. Para el GRASP y ARS, la zm se evita
desde la generación aleatoria de la solución inicial.
Los resultados muestran que con la evaluación de las funciones no convexas, a
través de métodos heurísticos, se obtiene un mejor despacho de generación, con
excepción del AG que requirió ser mejorado (AGH). En la comparación de los
desempeños, el GRASP presentó la mejor calidad en las soluciones referidas a
v
costo y a variabilidad. Cualquier mejora en el despacho de generación resulta en
ahorros importantes si consideramos los costos de producción por combustibles y
costos variables que se tienen en el Sistema Interconectado Nacional que, por
ejemplo, en el año 2006 totalizaron 86 mil millones de pesos.
Palabras clave: Despacho Económico, Métodos Heurísticos, Algoritmo Genético, Algoritmo de
Recocido Simulado, GRASP.
vi
Abstract
In Mexico, the National Energy Control Center (CENACE) accomplishes the diary
Economic Dispatch of generation (ED). The ED problem consists in determining
the electric power outputs of thermal units to supply the forecast load on the
system at minimum operating cost. In the traditional ED problem, convex quadratic
functions are used to approximately represent the variable operation costs, which
mostly depend on fuel. Then, the DE problem can be optimized using
mathematical programming such as linear programming techniques.
In fact, fuel cost functions of thermal units are discontinuous and non-convex due
to the closing and opening of valves in the steam boiler system. Besides, nonconvex functions are derived from the contractual models of some Independent
Energy Generators, which additionally declare dead or prohibited zones in the
transitions by the different configurations from the combined cycle technology.
In this work, the application of four heuristic methods to the ED problem is
presented, where non-convex cost functions and dead zones of thermal units are
considered to evaluate the costs of the simplifications that are made by the
restrictions that the classic method of solution imposes. The used heuristic
methods are Genetic Algorithm (AG), Hybrid Genetic Algorithm (AGH), Simulated
Annealing Algorithm (ARS) and the GRASP (greedy randomized adaptive search
procedure).
Adjustments of parameters and procedures particular to the PDE are described,
such as power misbalance penalty factor (AG), temperature parameter T (ARS),
myopic function (GRASP), the neighborhood algorithm for local search (ARS,
AGH, GRASP) and the constraint satisfaction algorithm to generate feasible
solutions (ARS, AGH). For the genetic algorithms, the dead zone zm is restricted
from the own codification, having added an additional bit bit_zm to the sub-chain
that represents each unit. For GRASP and ARS, the dead zone is avoided from the
random generation of the initial solution.
The results show that the fact of evaluating the non-convex functions with the
heuristic methods approaches a better generation dispatch, with exception of the
AG that required to be improved (AGH). In the comparison of the performances,
the GRASP presented the best quality in the solutions referred to cost and
variability. Any improvement in the generation dispatch is in important savings, if
we considered the operating variable costs in the Interconnected National System
of México that totalized, for example in year 2006, 86 billion pesos,.
Keywords: Economic Dispatch, GRASP, Simulated Annealing, Genetic Algorithm, Heuristic
methods.
vii
Introducción
El patrón de demanda de energía eléctrica de los consumidores es completamente
irregular, con tendencias de mayor demanda por las tardes y noches que por las
madrugadas. También los patrones son diferentes para los días de descanso y
para días festivos. En la figura a) se muestra la demanda de energía de una
semana típica del Sistema Interconectado Nacional de México, normalizada
respecto a la demanda máxima anual.
1.0
Demanda en pu
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
1
5
9
13
17
horas
Sábado
Domingo
21
Lun-Vie
Figura a) Semana típica de verano del Sistema Interconectado Nacional en México.
Con estos comportamientos irregulares de las demandas, algunas unidades de
generación deben entrar y salir del sistema, mientras que otras sólo necesitan
cambiar su aportación en potencia siguiendo el perfil de la demanda. Al problema
de decidir qué unidades deben participar para cubrir la demanda se llama
Asignación de Unidades y al problema de asignar el nivel de potencia de cada
generador en cada hora, se le conoce como Despacho de Generación.
El Despacho Económico de generación (DE) consiste en determinar la potencia
eléctrica que debe suministrar cada generador térmico para satisfacer la demanda
de energía pronosticada al menor costo posible. Para ello se consideran
principalmente los costos de generación termoeléctrica, que son variables debido
a que las unidades generadoras convierten combustible en energía eléctrica con
diferentes eficiencias.
La función de costo que se utiliza para la optimización del problema de DE (PDE)
es la curva de entrada-salida de cada unidad térmica. Esta curva representa la
cantidad o el costo de combustible que una unidad consume por hora para la
potencia a la que la unidad está generando. Esta relación se representa
generalmente por un polinomio de segundo grado. Los datos de esta curva se
viii
obtienen de pruebas de consumo específico de las unidades o por cálculos de
diseño. La figura b) muestra una curva de entrada-salida de una unidad turbogas
de la central termoeléctrica Mérida II en México.
100,000
90,000
$/ h
80,000
70,000
60,000
50,000
40,000
30,000
5
10
15
20
25
30
35
40
MW
Figura b) Curva de entrada-salida de la U3 de la central Mérida II.
La curva de consumo específico o de régimen térmico representa el costo por
megawatt-hora (MWh) que tiene la unidad para una determinada potencia de
salida. Este tipo de curva muestra la eficiencia de la unidad térmica. Obsérvese en
la figura c que para valores mínimos de generación los costos por MWh son altos
y la máxima eficiencia se presenta aproximadamente al 85% de la potencia
máxima. La eficiencia máxima de esta unidad se alcanza cuando opera a 31 MW.
La curva de régimen térmico se determina durante el periodo de pruebas de un
generador nuevo o después de un mantenimiento mayor y se construye
generalmente a partir de por lo menos tres puntos de operación, que
corresponden al 50%, 75% y 100% de la potencia máxima.
6,500
6,000
5,500
$/MWh
5,000
4,500
4,000
3,500
3,000
2,500
2,000
5
10
15
20
25
30
35
40
MW
Figura c) Curva de consumo específico o régimen térmico de U3 Mérida tg.
En realidad las funciones de costo de las unidades térmicas son discontinuas,
debido a que presentan brincos por el cierre y apertura de válvulas que se
ix
realizan en el sistema de la caldera para el control de la potencia del generador
[12]. A este efecto se le conoce como punto de válvula y las curvas
representativas son no convexas, como se aprecia en la figura d.
8,000
7,000
$/h
6,000
5,000
U1
4,000
U2
3,000
U3
2,000
1,000
0
50
150
250
350
450
550
650
MW
Figura d) Modelado del punto de válvula en unidades térmicas.
Otro tipo de discontinuidades los presentan las unidades tipo ciclo combinado.
Este tipo de centrales están formadas por varias unidades turbogás donde los
vapores a la salida de sus turbinas son reutilizados a través de un recuperador de
calor que alimenta a la caldera de una unidad de vapor, ver figura e.
Figura e) Planta de ciclo combinado.
Las curvas de entrada-salida y consumo específico de la unidad de ciclo
combinado se obtienen para cada combinación de turbinas de gas con la unidad
de vapor, lo cuál es útil cuando una o más unidades turbogás no están disponibles
por falla o mantenimiento. En la figura f se muestran curvas características de
entrada-salida de un ciclo combinado.
x
Figura f) Curva de entrada-salida de un ciclo combinado
En el caso de las plantas de ciclo combinado de CFE, para el DE sólo se utiliza la
curva correspondiente a la configuración disponible y generalmente corresponde
al ciclo completo. Esto no sucede para algunos Productores Independientes de
Energía (PIE´s), quienes son empresas particulares a quienes se les permite la
generación de energía eléctrica para venta exclusiva a CFE. Estos permisionarios
declararon un rango de operación que incluye el paso por todas las
configuraciones posibles. Las funciones de costo que se derivan de su régimen
térmico contractual corresponden a una curva no convexa en el primer rango de
operación y a una curva convexa en el rango complementario. Además, estos
PIE´s han declarado zonas prohibidas de operación conocidas como “zonas
muertas” por las dificultades técnicas y altos costos de parar o arrancar una
unidad turbogás en las transiciones de cada configuración.
Una de las metodologías más utilizadas en la solución del PDE es conocida como
la técnica del Lagrangiano, que lo reduce a un problema de programación lineal
donde las restricciones son incorporadas a la función objetivo a través de
multiplicadores de Lagrange, uno por cada restricción; luego se aplica el método
simplex para minimizar la función objetivo. Sin embargo, esta técnica requiere de
estricta convexidad de la función objetivo y no se puede aplicar para evaluar
funciones de costo no convexas ni discontinuidades. Por lo tanto, se deben buscar
otras metodologías que permitan considerar estas situaciones operativas
especiales y así poder evaluar el impacto de las simplificaciones que se realizan.
Los métodos heurísticos son herramientas eficientes de búsqueda de soluciones a
problemas complejos para los cuales no existe un algoritmo que los resuelva, o a
problemas con dominios tan grandes que no existe un algoritmo eficiente de
solución. Las reglas y operaciones matemáticas que definen el funcionamiento de
los métodos heurísticos son fáciles de entender e implementar. Entre los métodos
heurísticos más populares utilizados para problemas de optimización se
xi
encuentran el Algoritmo Genético (AG) y el Algoritmo de Recocido Simulado
(ARS).
El AG toma los conceptos de la teoría de la evolución de Darwin para crear
nuevos individuos (soluciones) a través de operadores de cruza y mutación, que
van sobreviviendo de generación en generación por su mejor aptitud. La base
teórica de estos algoritmos fue introducida por su creador John Holland en 1975 y
es conocida como teoría de los esquemas [3].
El ARS imita un proceso de recocido en metalurgia, una técnica que incluye
calentar y luego enfriar controladamente un material para aumentar el tamaño de
sus cristales y reducir sus defectos. El calor causa que los átomos se salgan de
sus posiciones iniciales (un mínimo local de energía) y se muevan de forma
aleatoria. El enfriamiento lento les da mayores probabilidades de encontrar
configuraciones con menor energía que la inicial. En la analogía con el método de
optimización, las soluciones corresponden a estados del sistema físico. El costo
de la solución corresponde a la energía del estado. Se introduce un parámetro de
control que corresponde a la temperatura. Si se baja la temperatura lo
suficientemente lento se puede alcanzar el equilibrio térmico en cada nivel de
temperatura. Esto se hace mediante la generación de varias transiciones en cada
temperatura.
xii
Antecedentes
En el problema del despacho económico, las restricciones impuestas por los
métodos matemáticos clásicos en las curvas de costo de las unidades
generadoras han impedido la utilización de mejores modelos de las funciones de
costo de las unidades térmicas que permitan reducciones adicionales en los
costos de generación. Si se considera el costo total de generación de un sistema
de potencia real, resulta evidente que evitar cualquier restricción en el modelado
de las funciones de costo se traducirá en un ahorro significativo.
Los métodos heurísticos son utilizados como herramientas de optimización que, a
diferencia de los métodos matemáticos clásicos, no imponen restricciones en el
modelado de los elementos implícitos en el problema, ya que tienen la habilidad
de adaptarse a las no-linealidades y discontinuidades comúnmente encontradas
en los sistemas físicos, además muestran buenas características de
funcionamiento en problemas con espacio de solución multimodal.
El AG ha mostrado buenos resultados en problemas de DE donde los métodos
clásicos de solución no tienen aplicación. Un problema típico es el DE con punto
de válvula, en donde se utiliza una mejor aproximación de las curvas de entradasalida de las unidades térmicas al considerar curvas no convexas. Los resultados
de los métodos heurísticos se han comparado con los de las técnicas de solución
clásicas en los casos donde estas últimas tienen aplicación, para revisar la
proximidad de sus soluciones.
F. Li [5], por ejemplo, prueba la robustez del AG sobre cuatro problemas de DE y
compara su desempeño contra tres técnicas clásicas de solución, que son la tabla
de mérito, la lambda iterativa y la técnica del gradiente. El sistema es de sólo tres
unidades y aumenta la complejidad de cada problema con la consideración de
pérdidas de transmisión y puntos de válvula.
•
•
•
•
Para el problema más sencillo, que es el caso sin pérdidas y funciones
convexas de segundo grado, todas las técnicas ofrecen solución y la del
AG es superior en 0.006% respecto a la del método exacto de la lambda
iterativa.
Para el segundo caso, donde se consideran pérdidas de transmisión, el
costo de la solución del AG es superior en 0.6%.
El tercer caso considera puntos de válvula y la solución del AG es superior
en 3.7% sobre el método de la tabla de mérito (los otros métodos no tienen
aplicación en este caso).
Finalmente, para el caso más complejo donde se consideran puntos de
válvula y pérdidas de transmisión, el AG es el único que ofrece solución.
xiii
El AG también ha sido utilizado para problemas de despacho con restricciones de
tipo no lineal, por ejemplo, restricciones ambientales [11]. Las emisiones de
dióxido de azufre y óxidos de nitrógeno son representadas por funciones de
segundo grado en función de la potencia de salida de cada generador. Estas
restricciones son incorporadas a la función objetivo mediante un factor de
penalización.
El AG tiene muchos parámetros de control que deben ser ajustados, uno de ellos
es el tamaño de la población. David Goldberg, un estudiante de John Holland,
determinó que el tamaño óptimo para una codificación binaria de longitud n estaba
en función exponencial de n, aunque posteriormente sugirió que un valor
adecuado era de 100 individuos. Otros resultados empíricos sugieren poblaciones
de 30 individuos [9].
Olachea A. [7] analiza la aplicación del AG al PDE con diferentes restricciones (sin
pérdidas, con punto de válvula y con restricción de flujo máximo en líneas) en un
sistema de tres máquinas y para uno de gran escala (17 unidades), que era un
sistema aislado del Sistema Eléctrico Nacional. Olachea reporta una gran variedad
de pruebas para diferentes parámetros del AG, coincidiendo sus ajustes con
algunos ya ampliamente recomendados en la literatura. Estos son algunos
resultados que obtuvo:
•
•
•
•
•
•
•
utilizar poblaciones iniciales lo más grande posible para obtener una rápida
convergencia debido a que se explota con mayor eficacia el recurso de
búsqueda en paralelo. Obtiene sus mejores resultados con poblaciones de
100 individuos
menores desviaciones de potencia utilizando puntos de cruza uniforme,
respecto al punto de cruza en un solo punto
probabilidades de cruza alta (0.8) y de mutación bajas (0.1)
uso de elitismo (conservar al mejor individuo de cada generación)
las funciones de evaluación estructuradas en forma de sumatorias facilitan
el proceso de sintonización del algoritmo
conveniencia del uso de factores de prioridad y penalización en la función
de evaluación cuando se incluyen restricciones adicionales
utilizar una función de evaluación de tipo exponencial para el caso del DE
con punto de válvula.
También compara los resultados codificando por una parte, las potencias de los
generadores y por otra, valores de costo incremental λ, siguiendo el criterio de que
el óptimo se logra cuando todas las unidades operan a un mismo valor de λ. En
ambos casos logra convergencia con un número similar de iteraciones y
desviaciones de costo del mismo orden.
xiv
El desempeño de las heurísticas también ha sido mejorado mediante la hibridación
para tratar de compensar algunas deficiencias. Por ejemplo, se sabe que los AG’s
son imperfectos en cuanto a la exactitud de la solución encontrada, y las mejoras
siguen en general dos líneas:
•
•
La primera es mejorar los procedimientos genéticos: la representación o
codificación de los individuos, el tamaño y calidad de la población inicial,
diferentes funciones de evaluación, operadores genéticos avanzados y
auto-adaptables, y selección óptima de los parámetros del algoritmo.
La segunda línea va en el sentido de usar híbridos, combinando el AG con
técnicas de búsqueda local para acelerar el proceso y mejorar la calidad de
la solución.
Como ejemplo de esta segunda línea de mejora, F. Li et al [6] proponen un
algoritmo genético híbrido (AGH) usando el AG combinado con la técnica del
gradiente para el PDE. Comentan que el AG balancea la exploración y explotación
del espacio de búsqueda, lo que significa que un incremento en la exactitud de la
solución sólo se logra sacrificando la rapidez de convergencia y viceversa. No es
posible que ambas cosas se mejoren al mismo tiempo. El AGH propuesto consta
de un AG encargado de dirigir la búsqueda hacia regiones prometedoras, y de la
técnica del gradiente de primer orden para hacer el trabajo fino. La efectividad de
su algoritmo fue probada en un sistema real de 25 unidades generadoras. En sus
resultados, el AGH presenta una mejora en costo del 0.36% respecto al AG para
tiempos iguales de ejecución; y una mejora en tiempo de ejecución del 52.9% para
costos iguales de generación.
Ongsakul W. [8] utilizó métodos basados en tablas de mérito para el despacho de
unidades tipo ciclo combinado, para resolver una limitación del programa de
despacho económico en tiempo real de la compañía Electricity Generating
Authority of Thailand. Esta aplicación sólo consideraba funciones de costo
incremental monótonas crecientes y los modelos que se querían utilizar eran
funciones lineales decrecientes y de tipo escalón (correspondientes a curvas de
entrada-salida de segundo y primer orden, respectivamente).
El autor utilizó los costos incrementales de las unidades generando a su máxima
potencia como criterio para despachar los ciclos combinados y obtuvo mejores
resultados que los obtenidos con el método de Newton. Las desviaciones
promedio fueron del 0.43 % respecto de la solución óptima.
El caso de estudio referido estaba formado por 4 ciclos combinados con curvas de
costos incrementales lineales decrecientes y 1 ciclo combinado con curva de costo
incremental de tipo escalera decreciente. Sin embargo, el autor no comenta nada
acerca de las variaciones derivadas de utilizar modelos aproximados (curvas de
costo incremental lineales y de escalera decrecientes).
xv
El AG es el método heurístico más popular aplicado al PDE. Los últimos trabajos
se han enfocado más a resolver el problema de asignación de unidades, en donde
el PDE implícito se resuelve con las técnicas clásicas de solución que consideran
funciones de costo convexas de segundo grado.
xvi
Justificación
Con la reciente modificación en México a la Ley del Servicio Público de Energía
Eléctrica1, se ha permitido la generación de energía eléctrica por particulares. Uno
de los permisos es el de producción independiente de energía eléctrica, que
autoriza a los Productores Independientes de Energía (PIE) la generación para
venta exclusiva a la Comisión Federal de Electricidad (CFE). A la fecha, operan 21
PIE’s en distintas zonas del país y utilizan la tecnología de ciclo combinado. Los
PIE’s actualizan periódicamente al CENACE el régimen térmico para su
participación en el despacho de generación, y es referido a los consumos
específicos en kcal/kWh de al menos tres puntos de operación. En algunos
permisionarios, como es el caso del PIE CC Mexicali, los primeros dos puntos dan
origen a una curva de entrada-salida no convexa, (ver figura g). Adicionalmente,
este permisionario tiene una zona muerta de 260 a 320 MW, que es un rango de
operación donde no se desea operar debido a las dificultades técnicas y altos
costos que implica desplazarse en ese rango de operación, pues se debe arrancar
o parar una unidad turbogás.
.
zona muerta
1,880
kcal / kWh
1,860
1,840
1,820
1,800
1,780
25
50
100
% Capacidad
Figura g) Curva de consumo específico basada en tres puntos del PIE CC Mexicali.
Las funciones de costo de las plantas térmicas de CFE, incluyendo los ciclos
combinados, son representadas con curvas convexas de segundo grado, como lo
exige la aplicación que se utiliza para ejecutar el Despacho de Económico de
Generación. Los modelos con regiones no convexas que proporcionan algunos
PIE’s, son ajustados a una curva convexa de segundo orden y cuando los
1
Diario Oficial de la Federación, 27 diciembre de 1993
xvii
resultados del despacho indican una operación del PIE en una zona muerta, éstos
trasladan su punto de operación al límite más cercano de la zona muerta.
Es necesario contar con una herramienta que permita la evaluación de las
regiones no convexas y las zonas muertas que se presentan en las unidades
térmicas, ya que no es posible hacerlo con los métodos clásicos de solución. Se
utiliza el problema de DE sin pérdidas de transmisión con la única finalidad de
poder comparar los resultados de las heurísticas con la solución de un método
clásico.
En este trabajo de tesis, se muestra la aplicación de heurísticas aplicadas a la
solución del problema de DE sin pérdidas, considerando las funciones de costo no
convexas y las zonas muertas de unidades térmicas para evaluar el costo de las
consideraciones que se realizan por las restricciones que impone el método
clásico de solución.
xviii
Objetivos
Objetivo General:
Aplicar métodos heurísticos al problema de despacho económico sin pérdidas,
considerando las funciones de costo no convexas y zonas muertas de unidades
térmicas.
Objetivos particulares:
- Resolver el problema planteado con los métodos heurísticos siguientes:
Algoritmo Genético, Algoritmo Genético Hibrido, Algoritmo de Recocido Simulado
y GRASP.
- Determinar los mejores ajustes de los parámetros de cada heurística.
- Comparar el desempeño de los cuatro métodos heurísticos utilizados
- Evaluar el efecto en los costos de operación del despacho económico al
considerar las zonas muertas y las curvas no convexas de las unidades
térmicas.
xix
Contenido de la tesis
En el capítulo primero se describen los métodos heurísticos que se aplican al
PDE. Se explican de forma general los algoritmos utilizados para resolver el
problema: el AG, AGH, ARS y GRASP. Se describen también la técnica de
satisfacción de restricciones (SR) para generar soluciones iniciales factibles y la
creación de vecindades para la búsqueda local utilizadas en los algoritmos. Se
mencionan los valores típicos recomendados en la literatura de los parámetros de
cada heurística.
En el capítulo segundo se describe el problema de DE, su formulación
matemática, y la técnica de solución clásica. Se describen también otros
problemas de DE según el tipo de restricción. Al final del capítulo se muestran los
casos de estudio con los que se probarán los métodos heurísticos.
En los capítulos 3, 4 y 5 se presenta la implementación de los métodos heurísticos
al problema de DE. Los valores típicos de los parámetros generales de cada
método heurístico son utilizados, como son las probabilidades de cruza y de
mutación para el AG, o el coeficiente de enfriamiento alfa del ARS y el coeficiente
de miopía alfa del GRASP. Se ajustan solamente aquellos parámetros que son
particulares del PDE. Los ajustes de estos parámetros se hacen sobre problemas
para los cuáles se puede obtener la solución analítica, para
utilizarlos
posteriormente en los problemas con funciones de costo no convexas y zonas
muertas.
En el capítulo 6 se muestran los resultados comparativos de cada heurística,
referidos a tiempos de ejecución, mejores soluciones obtenidas, variabilidad de
resultados y porcentajes de error respecto a la mejor solución encontrada. De
acuerdo con estos resultados, se comentan las conclusiones sobre la aplicación
de las heurísticas utilizadas.
Finalmente se muestran las conclusiones de este trabajo y dos apéndices. El
primer apéndice muestra paso a paso obtención de la solución al caso de estudio
1 con funciones de costo convexas de segundo grado mediante la técnica del
lagrangiano. El segundo apéndice contiene el código fuente de los programas
elaborados para cada método heurístico.
xx
Capítulo 1. Despacho Económico
1.1 Introducción
El problema de DE se puede hacer tan sencillo o complicado como se quiera. Pero
en general, el problema tiene que ser dividido para el análisis de restricciones que
dan origen a diferentes problemas de DE. Las diferentes soluciones son iteradas
hasta que no se viola ninguna restricción.
En este capítulo se describe el problema de DE sin pérdidas, que es ampliamente
utilizado para mostrar la naturaleza y un buen entendimiento del problema. Este
problema es relativamente fácil de resolver, cuando se hacen consideraciones
adicionales como utilizar funciones de costo convexas de segundo orden, que lo
convierte en un problema de programación lineal. La única dificultad mayor,
viéndolo de esta forma, sería con el número de unidades del sistema a tratar, pero
aún así, con los recursos de cómputo y programas de software actuales, no
representan más dificultades que el de tener que esperar unos minutos para su
solución.
En el capítulo se describen brevemente algunos otros problemas de DE con el
único fin de mostrar las restricciones más estudiadas y al final se presentan los
sistemas utilizados como casos de estudio.
1.2 Despacho Económico sin pérdidas
El problema más sencillo de despacho es que se plantea para un sólo intervalo de
tiempo donde la demanda es constante y generalmente se asume que las curvas
de entrada-salida son suaves y convexas, las cuales pueden ser representadas
por funciones lineales o cuadráticas. Un caso simple es el DE sin pérdidas de
1
transmisión, en donde las únicas restricciones son el balance de potencia (BP) y
los límites de potencia de cada generador. La formulación [1] es la siguiente :
minimizar :
n
∑ F (Pi)
i =1
i
sujeto a:
n
∑ P = demanda
i =1
i
Pmini ≤ Pi ≤ Pmaxi
Donde:
n: número de unidades generadoras
Fi : Función de costo del generador i
Pi : Potencia del generador i
Pmini : Potencia mínima que puede suministrar el generador i
Pmaxi : Potencia máxima que puede suministrar el generador i
Se utilizan multiplicadores de Lagrange para incorporar a la función objetivo las
restricciones de igualdad (balance generación-demanda).
Función lagrangeana:
n
⎛ n
⎞
L( P, λ ) = ∑ Fi ( Pi ) + λ ⎜ ∑ Pi − demanda ⎟
i =1
⎝ i =1
⎠
Luego, la condición necesaria para el mínimo es cuando el gradiente de la función
lagrangeana es cero:
∂L dFi
=
+ λ = 0; i = 1,..., n
∂Pi dPi
n
∂L
= ∑ Pi − demanda = 0;
∂λ i =1
dFi
, se le conoce como costo incremental del generador i, y
dPi
representa el incremento de costo debido a un incremento en la potencia
generada. Se observa de las condiciones de optimalidad, que para lograr el
óptimo, todas las unidades deben operar a un mismo costo incremental λ.
Al término λ = -
2
El problema consiste en la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas, el
cual se puede resolver por el método simplex o con el método de Newton, según
sea el grado de las funciones de costo de los generadores.
Si al resolver el sistema de ecuaciones se encuentran valores de potencia que
violan los límites de los generadores, es necesario aplicar algún criterio para
decidir cuál generador se fija en su límite máximo, o cuál en su límite mínimo. Para
esto se aplican las condiciones de optimalidad de Kuhn-Tucker:
dFi
=λ
dPi
para
P min i < Pi < P maxi
dFi
≤λ
dPi
para
Pi = P maxi
dFi
≥λ
dPi
para
Pi = P min i
donde es el costo incremental del sistema, obtenido de la solución del sistema de
ecuaciones. Se sigue entonces el siguiente procedimiento:
1.- Fijar a los generadores fuera de límites en su límite alcanzado.
2.- Solucionar nuevamente el sistema de ecuaciones.
3.- Calcular los costos incrementales λi para los generadores del paso 1.
4.- Verificar las condiciones de optimalidad
5.- Para los generadores que cumplen con las condiciones de optimalidad, fijar sus
generaciones en el límite; mientras que los que no cumplen deben integrarse
en un nuevo conjunto de generadores para realizar un nuevo despacho.
6.- Ejecutar un nuevo despacho (solucionar nuevamente el sistema de
ecuaciones).
7.- Verificar límites. Si todos los generadores cumplen con los límites, entonces
termina el problema; de lo contrario, regresar al paso 1.
Otra forma de considerar los límites de generación es agregando nuevos
multiplicadores de Lagrange a la función objetivo, dos por cada unidad. La función
Lagrangeana es ahora:
n
n
⎛ n
⎞ n
L( P, λ ) = ∑ Fi ( Pi ) + λ ⎜ ∑ Pi − demanda ⎟ + ∑ µimax ( Pi − Pi max ) + ∑ µimin ( Pi − Pi min )
i =1
i =1
⎝ i =1
⎠ i =1
3
∂L dFi
=
+ λ + µimax + µimin = 0; i = 1,..., n
∂Pi dPi
n
∂L
= ∑ Pi − demanda = 0;
∂λ i =1
Como se observa, la cantidad de términos es considerable al incorporar los límites
operativos de las unidades, lo cuál requiere de más recursos de cómputo.
1.3 Otros problemas de Despacho Económico
Respecto a la exactitud deseada y relevancia del problema considerado se han
derivado otros problemas de DE, como por ejemplo:
1.- DE con punto de válvula.- el cual considera la no linealidad de las funciones de
costo, con el fin de tener mayores ahorros en el costo. En unidades térmicas
grandes, los niveles de potencia se van escalando a través de la apertura de
válvulas, en forma escalonada, lo cual origina que la función de costo pueda ser
no convexa y con discontinuidades.
2.- DE dinámico.- su objetivo es satisfacer la demanda de energía entre las
unidades asignadas, pero tomando en cuenta la demanda actual y futura
pronosticada, minimizando costos dentro de un periodo corto de tiempo, y
tomando en consideración restricciones como rampas de carga y reserva rodante.
3.- DE con consideraciones Ambientales.- su objetivo es satisfacer la demanda de
energía entre las unidades asignadas minimizando costos por uso de
combustibles y las emisiones de contaminantes que generan las unidades de
generación.
4.- Flujos óptimos.- el objetivo es minimizar el costo sujeto a restricciones de
seguridad, y las potencias activa y reactiva de cada generador se sujetan a los
niveles seguros de voltaje y ángulos de fase en los buses del sistema.
4
1.4 Técnicas clásicas de solución
Convencionalmente, se aplican diferentes técnicas para atacar los diferentes tipos
de problemas del despacho. Sin embargo, cualquier cambio en la formulación del
problema, puede requerir una alteración parcial o el reemplazo total de la técnica
utilizada. El tiempo y esfuerzo que se requiere para adecuar la técnica son
inadecuados para muchas aplicaciones prácticas.
Algunas de las técnicas utilizadas para solucionar los problemas de DE son la
tabla de mérito, el método de la lambda iterativa, la programación dinámica y el
método de gradiente. Todas ellas utilizan reglas deterministas transitorias para
obtener estrategias de solución.
1.- Tabla de mérito. La idea es que la unidad más eficiente opere a su máxima
capacidad, luego la segunda más eficiente, y así sucesivamente hasta satisfacer
la demanda de energía. Este método es muy simple y eficiente, pero no permite
considerar un gran número de restricciones y da resultados costosos.
2.- Método de la lambda iterativa. Está basado en el principio de costos
incrementales iguales. Se empieza por un valor de λ inicial y se termina hasta que
las potencias de las unidades se ajustan a la demanda. Este método requiere
estricta convexidad y continuidad de las funciones objetivo.
3.- Programación Dinámica. Es una técnica matemática útil en la toma de una
serie de decisiones interrelacionadas. Proporciona un procedimiento sistemático
para determinar la combinación óptima de decisiones. Sin embargo, en la práctica
el espacio de búsqueda es tan grande que simplemente no es posible completarla.
4.- Técnica del gradiente. Es un método iterativo muy eficiente cuando se parte de
una buena solución inicial, ya que busca óptimos locales.
En contraste a las técnicas convencionales, los Algoritmos Genéticos han exhibido
robustez en la habilidad para encontrar óptimos globales en la solución de los
problemas de DE de diferente complejidad. La mayor atracción de estos
algoritmos es que son computacionalmente simples, pero bastante poderosos en
la búsqueda de óptimos globales. En el caso del problema de DE, estos algoritmos
permiten utilizar de igual manera funciones de costo lineal o no lineales, de ahí
que sean una buena opción para resolver el DEPV.
5
1.5 Casos de Estudio.
Se utilizaron tres casos de estudio para evaluar el desempeño de los métodos
heurísticos aplicados al DE. El primer caso está formado por 7 unidades y se
analiza la función de costo no convexa del CC Mexicali y la zona muerta. El caso 3
está formado por 3 unidades y se utilizó para analizar funciones de costo no
convexas que consideran los puntos de válvula de las unidades. El caso 2 consta
de 36 unidades y se utilizó para probar el desempeño de los métodos heurísticas
con un problema de mayor dimensión.
1.5.1 Caso de estudio 1, 7 Us (función de costo no convexa de un PIE y zona
muerta).
Estas unidades fueron tomadas del sistema aislado de Baja California. En este
sistema la unidad 7 corresponde a un PIE y se modela de dos formas. La primera
corresponde al modelo actual que se utiliza en CENACE y que es un ajuste a una
función de costo de segundo orden a partir de los tres puntos del régimen térmico
que proporciona el PIE (ver figura 1.2). El segundo modelo utiliza una función de
costo no convexa para el primer rango (122 a 245 MW) y una curva convexa para
el rango complementario (245 a 489 MW). Además, se considera la zona muerta
donde no opera el PIE (de 160 a 320 MW).
La tabla 1.1 muestra las potencias máximas y mínimas de cada unidad, el tipo de
tecnología y los coeficientes abc de las curvas de entrada-salida que, como ya se
ha explicado, son de segundo orden convexas.
Tabla 1.1 Límites de potencia y coeficientes abc de la unidades del caso 1.
Coeficientes de la function de
costo F
Pmin
central
tipo
[MW]
Pmax
[MW]
a
2
[$/MWh ]
b
c
[$/MWh]
[$]
Presidente Juárez
U1 vapor
40
160
1.2800
368.0
22770
Presidente Juárez
U2 ciclo combinado
62
248
0.5635
158.5
33830
Presidente Juárez
U3 ciclo combinado
62
248
0.5635
158.5
33830
Ciprés
U4 turbogás
7
27
24.9200
1154.0
13330
Mexicali
U5 turbogás
turbogás
U6
7
26
19.4500
1204.0
16680
8
30
21.1600
1190.0
16660
122
489
0.0291
467.7
6957
Tijuana
CC Mexicali
1)
U7 ciclo combinado
Total
308
1,228
1) Coeficientes abc de la curva ajustada a los tres puntos del régimen térmico
6
La figura 1.1 muestra las curvas de entrada-salida o funciones de costo F de las 7
unidades. La curva F7a es la función ajustada de segundo orden convexa del PIE
CC Mexicali. La curva F7b es la función de costo no convexa.
250,000
200,000
$/h
150,000
100,000
50,000
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
MW
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7 a
F7 b
Figura 1.1 Funciones de costo o curvas de entrada-salida de las unidades del caso 1.
Curva de regimen termico (Heat Rate)
CC Mexicali
[$/MWh]
122
494.5
245
500.1
489
480.9
505
500
495
$ / MWh
MW
490
485
480
475
50
75
100
% Capacidad
Figura 1.2 Régimen térmico en $/MWh del CC Mexicali (U7).
7
500
La función de costo incremental es la derivada de la función de costo y cada punto
representa el costo de generar el siguiente megawatt. El criterio de optimalidad del
PDE establece el óptimo cuando todas las unidades operan a un mismo costo
incremental. Algunas unidades no son coordinables porque su rango de potencia
tiene costos incrementales que están por encima (son más caras) o por debajo
(son más baratas) de las demás unidades. La figura 1.3 muestra los CI’s de las 7
unidades. Las unidades 4, 5 y 6 no son coordinables con las demás unidades.
2,500
2,000
$/MWh
1,500
1,000
500
0
0
100
200
300
400
500
MW
CI 1
CI 2
CI 3
CI 4
CI 5
CI 6
CI 7a
Figura 1.3 Costos incrementales de las unidades del caso 1.
En la figura 1.4 se observa la diferencia entre los costos incrementales de los dos
modelos utilizados para la unidad 7. La curva CI 7a es la misma de la figura 1.3,
sólo que la pendiente se ve más grande por la escala utilizada. La zona muerta de
la unidad 7 es de 160 a 320 MW.
8
zona muerta
505
500
$/MWh
495
490
CI 7a
485
CI 7b
480
475
470
0
100
200
300
400
500
MW
Figura 1.4 Costos incrementales de los dos modelos utilizados para la unidad 7.
Demanda: 870 MW
Solución analítica con funciones de segundo grado convexas y sin zona
muerta.
La solución óptima se muestra en la tabla 1.2. Las funciones de costo de todas las
unidades son curvas de segundo grado convexas, sin zona muerta para la unidad
7.
Tabla 1.2 Solución óptima del caso 1 con funciones de costo de segundo grado convexas.
Solución analítica
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
demanda [MW]:
870.0
45.9
248.0
248.0
7.0
7.0
8.0
306.1
costo óptimo [$]: 487,018 42,358 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 152,845
La solución analítica se obtuvo con la técnica del lagrangiano. El desarrollo
completo se explica en el ANEXO 1.
9
1.5.2 Caso de estudio 2, 36 Us (problema de mayor tamaño).
Estas unidades fueron tomadas del Sistema Interconectado Nacional. Se omiten
los nombres por brevedad simplemente. La tabla 1.3 contiene los datos de las 36
unidades. Todas son unidades de vapor con funciones de costo de segundo grado
convexas.
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
U11
U12
U13
U14
U15
U16
U17
U18
U19
U20
U21
U22
U23
U24
U25
U26
U27
U28
U29
U30
U31
U32
U33
U34
U35
U36
Tabla 1.3 Datos de las 36 unidades del caso 2.
Pmin
Pmax
a
b
c
[$/MWh]
[$/h]
[MW]
[MW]
[$/MW2h]
220
300
0.037132
201.24
3550.7
220
300
0.041288
199.26
3948.2
260
350
0.026299
224.54
3423.0
260
350
0.027610
226.70
3593.7
225
350
0.105430
188.96
13722.0
225
350
0.106470
196.73
13857.0
225
350
0.101950
202.09
13270.0
225
350
0.069689
225.86
9070.4
225
350
0.079484
219.15
10345.0
225
350
0.077196
221.33
10048.0
140
227
0.162280
348.18
9483.9
180
240
0.504030
186.40
33471.0
122
184
0.676600
233.93
25139.0
150
225
0.248010
381.11
13352.0
225
350
0.156080
408.54
20314.0
225
350
0.155620
411.79
20254.0
55
70
1.438000
127.75
23277.0
90
122
0.427510
347.77
13513.0
90
129
0.335730
367.52
13534.0
50
62
1.608000
131.94
22128.0
64
138
0.880550
115.52
44688.0
50
63
2.061700
45.90
27971.0
249
498
0.272490
291.24
44357.0
518
1036
0.118610
261.78
135260.0
125
250
0.341910
341.77
22705.0
291.3
500
0.000096
522.55
25.7
470
580
0.032259
485.21
11531.0
124
247.5
0.540800
226.62
35198.0
600
983
0.019976
464.50
20509.0
162
489
0.025944
480.16
6591.4
160
258
0.543030
173.30
38405.0
280
449
0.025059
446.95
2881.2
242
484
0.264990
203.06
65955.0
350
495
0.007721
465.96
2010.1
248
495
0.005007
476.31
1303.3
120
252.4
0.384100
283.63
25998.0
10
En la fig. 1.5 se muestran las curvas de costo incremental de las 36 unidades.
600
CI23
550
500
CI30
CI14
CI19
$/MWh
450
CI18
CI13
400
350 CI20
CI26
CI25 CI16
CI27
CI15
CI36
CI35
CI34
CI32
CI33
CI11 CI12
CI29
CI24
CI28
CI31
CI17
300
CI22
CI8
CI7
250
CI21
CI1
200
50
150
CI10
CI9
CI6
CI5
CI4
CI3
CI2
250
350
450
550
650
750
850
950
MW
CI1
CI2
CI3
CI4
CI5
CI6
CI7
CI8
CI9
CI10
CI11
CI12
CI13
CI14
CI15
CI16
CI17
CI18
CI19
CI20
CI27
CI28
CI29
CI30
CI21
CI22
CI23
CI24
CI25
CI26
CI31
CI32
CI33
CI34
CI35
CI36
Figura 1.5 Costos incrementales de las unidades del caso 2.
Demanda: 10 500 MW
Zona muerta: no
Solución analítica para funciones de segundo grado convexas y sin zona
muerta.
Esta solución se encontró usando la función “solver” de Excel 2003 de Microsoft.
11
Tabla 1.4 Solución óptima del caso 2 con funciones de costo de segundo grado convexas.
Potencia Costo
Potencia Costo
Unidad
Unidad
[MW]
[$]
[MW]
[$]
1
300
67,265
19
129
66,531
2
300
67,442
20
62
36,489
3
350
85,234
21
138
77,399
4
350
86,321
22
63
39,046
5
350
92,773
23
332
170,993
6
350
95,755
24
886
460,539
7
350
96,490
25
191
100,270
8
350
96,658
26
291
152,253
9
350
96,784
27
470
246,706
10
350
96,970
28
227
114,482
11
227
96,883
29
600
306,400
12
240
107,239
30
162
85,058
13
176
87,265
31
258
119,263
14
183
91,570
32
449
208,614
15
225
120,137
33
484
226,312
16
225
120,785
34
396
187,822
17
70
39,266
35
248
119,736
18
122
62,304
36
245
118,696
demanda
10,500
MW
costo
4,443,749
$
Funciones de costo no convexas, zonas muertas y punto de válvula.
Para observar el desempeño con diferentes tipos de funciones de costo y zona
muerta. Incluye 33 unidades del caso 2, una de las cuáles se modela con una
función de costo no convexa y zona muerta; 3 unidades del caso 3, que modelan
los puntos de válvula.
1.5.3 Caso de estudio 3, 3 Us (evaluación de puntos de válvula).
Este caso se tomó de Walters [13] y consta de 3 unidades con funciones de costo
que modelan los puntos de válvula. La tabla 2.5 contiene los datos de las 3
unidades. La función de costo de cada unidad térmica es de la forma:
F = aP2 + bP + c + e sen(f * (Pmin-P))
Tabla 1.5 Datos de las 3 unidades del caso 3.
Pmin
Pmax
[MW]
a
2
[MW]
[$/MW h]
b
c
e
f
[$/MWh]
[$/h]
[$/h]
U1
100
700
0.001570
7.92
571.0
300
0.0315
U2
100
400
0.001940
7.85
310.0
200
0.042
U3
50
200
0.004820
7.97
78.0
150
0.073
12
En la figura 1.6 se grafican las funciones de costo y las curvas de costo
incremental.
8,000
24
7,000
20
5,000
U1
4,000
U2
3,000
U3
$/ M W h
$/h
6,000
2,000
U1
16
U2
12
U3
8
1,000
4
0
50
150
250
350
450
550
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
650
MW
MW
a)
b)
Figura 1.6 Funciones de a) costo y b) costos incrementales de las unidades del caso 3.
Demanda: 850 MW
La tabla 1.6 presenta la mejor solución encontrada por Walters y según reporta,
coincide con la solución óptima obtenida por el método de programación dinámica.
Tabla 1.6 Solución óptima del caso 3.
P1
P2
P3
demanda Costo
[MW]
[MW]
[MW]
[MW]
[$]
300.0
400.0
150.0
850.0 8,237.6
13
Capítulo 2. Métodos Heurísticos
2.1 Introducción
El término heurística proviene del griego heuriskein que significa encontrar o
descubrir. De acuerdo con ANSI/IEEE Std 100-1984 (Standard Dictionary of
Electrical and Electronics Terms), una heurística se refiere a aquellos métodos o
algoritmos exploratorios para la resolución de problemas en los que las soluciones
se descubren por la evaluación del progreso logrado en la búsqueda de un
resultado final. Se trata de métodos en los que, aunque la exploración se realiza
de manera algorítmica, el progreso se logra por la evaluación puramente empírica
del resultado. Se gana eficacia, sobre todo en términos de eficiencia
computacional, a costa de la precisión.
Las técnicas heurísticas son usadas en problemas en los que la complejidad de la
solución algorítmica disponible es función exponencial de algún parámetro;
cuando el valor de éste crece, el problema se vuelve rápidamente inabordable.
Las técnicas heurísticas no aseguran soluciones óptimas sino solamente
soluciones válidas, aproximadas, y frecuentemente no es posible justificar en
términos estrictamente lógicos la validez del resultado.
En este capítulo se hace una breve descripción de los métodos heurísticos que se
implementaron para el PDE (AG, AGH, ARS, GRASP) , y de métodos heurísticos
que sirvieron de soporte para la implementación del AGH, como son la búsqueda
en vecindades y un algoritmo de satisfacción de restricciones.
2.2 Algoritmo Genético
Un AG puede considerarse un algoritmo de búsqueda probabilística inteligente
que puede aplicarse a varios problemas de optimización combinatoria. Las bases
14
teóricas de los algoritmos genéticos fueron desarrolladas por John Holland en los
años setenta; la idea está basada en el proceso evolutivo de los organismos
biológicos en la naturaleza, donde las poblaciones evolucionan de acuerdo a los
principios de la selección natural en que sobreviven y se reproducen los más
aptos.
Los algoritmos genéticos intentan imitar matemáticamente algunos procesos
adaptativos del fenómeno biológico, considerando una población inicial de
individuos y aplicando operadores genéticos en cada reproducción. Con dichos
operadores se define un mecanismo de búsqueda sin necesidad de imponer
restricciones matemáticas adicionales. En términos de optimización, cada
individuo de una población es codificado en una cadena o cromosoma que
representa una posible solución de un problema dado.
La aptitud de un individuo es evaluado con respecto a una función objetivo
propuesta. A los individuos mejor adaptados, o mejores soluciones, se les permite
reproducirse intercambiando algunos elementos de su información genética en un
proceso de cruce con otros individuos también muy aptos, lo cuál produce nuevas
soluciones que comparten algunas características tomadas de sus padres.
Frecuentemente se aplica la mutación después del cruce, alterando algunos genes
en las cadenas con el fin dar mayor variedad en las soluciones.
Los descendientes pueden reemplazar a la población total (enfoque generacional),
o reemplazar a los individuos menos aptos (enfoque de estado uniforme). Este
ciclo de evaluación-selección-reproducción se repite hasta encontrar una solución
satisfactoria.
Un AG simple se puede resumir en la siguiente tabla:
Tabla 2.1 Algoritmo Genético simple.
inicio
Representar adecuadamente las soluciones del Problema
Generar población inicial con individuos o soluciones del Problema
Definir una función de aptitud de los individuos de la población
do while (NO se haya satisfecho el criterio de parada)
Elegir pares de individuos como padres
Cruzar con probabilidad Pc a los padres elegidos para obtener dos hijos
Reemplazar los padres elegidos, por sus hijos
Mutar con probabilidad Pm algunas características de cada individuo
Evaluar la aptitud de los individuos de la población
Seleccionar individuos que sobreviven en la siguiente generación
enddo
fin
15
Los algoritmos genéticos manejan simultáneamente un conjunto de soluciones
(individuos) en cada etapa (la generación). Las características de cada solución
deben ser codificadas adecuadamente (el cromosoma) de forma que al combinar
dos soluciones para producir una nueva solución, parte de estas características
(los genes) se transmitan a ésta.
Los parámetros del AG han sido ampliamente estudiados y se recomiendan
valores altos para la probabilidad de cruza Pc, siendo un valor típico 0.8. La
probabilidad de mutación Pm se recomienda sea de valor muy bajo y un valor
típico es de 0.001. En otros trabajos se reportan algoritmos genéticos modificados
o refinados con operadores especiales de cruza [2] y probabilidades de cruza y
mutación que se van adaptando al nivel de progreso en la solución. Respecto al
tamaño de la población, resultados empíricos de varios autores sugieren
poblaciones tan pequeñas como 30 individuos. Un trabajo experimental de J.T.
Alander sugiere valores entre n y 2n [9], siendo n el tamaño de la cadena o string
que representa a un individuo. A. Olachea [7] trabajó con poblaciones de 40 y 100
individuos y sugirió este último valor para los problemas de DE que estudió. Para
un mayor análisis de los parámetros generales del AG se puede consultar [3].
2.3 Búsqueda local
La búsqueda local se basa en el método de optimización más antiguo, que es el
de prueba y error. La idea es tan simple y natural que sorprende como puede
ofrecer tan buenos resultados para problemas difíciles de optimización
combinatoria. El algoritmo general se puede describir como sigue: dada una
instancia (F,c) de un problema de optimización, dónde F es un conjunto de
soluciones factibles y c es la función de costo, se escoge una vecindad N: F 2F
, donde se busca un punto t ∈ F de mejora a través de la subrutina:
⎧a lg ún s ∈ N (t ) con c( s ) < c(t ) si tal s existe
mejorar (t ) = ⎨
" no"
si no
⎩
Tabla 2.2 Algoritmo de búsqueda local.
procedure búsqueda local
begin
t:= un punto de inicio en F;
while mejorar(t) ≠ ‘no’ do
t:= mejorar(t);
return t
end
16
El seudocódigo se muestra en la tabla 2.2, se inicia a partir de una solución inicial
factible t∈ F y usa la subrutina mejorar para buscar una mejor solución en su
vecindad. Mientras ésta exista, se adopta como la mejor solución y se repite la
búsqueda en la vecindad de la nueva solución. El algoritmo termina cuando se
haya encontrado el óptimo local [9].
Para aplicarlo a un problema en particular se deben hacer algunas selecciones.
Primero que nada, se debe obtener una solución inicial factible. Es recomendable,
en muchas ocasiones, correr el algoritmo a partir de distintos puntos de inicio y
entonces escoger el mejor resultado. En tales casos, se debe decidir cuántas
soluciones iniciales utilizar y cómo deben estar distribuidas.
Luego, se debe definir una buena vecindad y tener un método de búsqueda dentro
de esa vecindad para el problema en particular. Esta selección se tiene que hacer
prácticamente de manera intuitiva, ya que existe poco respaldo teórico para
obtener una guía general. Respecto al tamaño de la vecindad, se debe evaluar la
conveniencia de utilizar una de gran tamaño que podría proporcionar un mejor
óptimo local, pero que requeriría de más tiempo de búsqueda. La otra alternativa
es la de tener una vecindad pequeña, pero con la posibilidad de obtener más
soluciones en un tiempo similar.
Vecindades
Dado un punto o solución factible f∈ F en un problema particular, es útil en
muchos casos definir un conjunto de vecindades N(f) de puntos que son
“cercanos” en alguna forma a f.
Definición.
Dado un problema de optimización con instancias (F,c), una vecindad es un
mapeo N : F
2F, definido para cada instancia. Si F = Rn, el conjunto de puntos
dentro de una distancia euclidiana x, define una vecindad de forma muy natural.
En muchos problemas de optimización combinatoria, la selección de N puede
depender críticamente de la estructura de F [9].
17
2.4 Algoritmo de Recocido Simulado
El concepto de recocido simulado en optimización combinatoria fue introducido por
Kirkpatrick, Gellat y Vecchi en 1983 y en forma independiente por C erný en 1985.
Usando una analogía entre estos problemas y el recocido de sólidos que es un
proceso físico en el cual un sólido se funde y después se enfría lentamente con el
fin de obtener estructuras de cristal perfectas las cuales pueden modelarse como
un estado de mínima energía. La idea es resolver problemas de optimización
combinatoria por un proceso análogo.
Sea s la solución actual y N(s) una vecindad de s que contiene soluciones
alternativas. Se selecciona de forma aleatoria s’ ∈ N(s) y se calcula la diferencia
D = f(s’) – f(s), donde f(s) es el valor de la función objetivo en s. Si D < 0, entonces
s’ se selecciona como la nueva solución, lo que quiere decir que soluciones
mejores se aceptan siempre. Si D > 0 y e-D/cT > r, donde r es un número aleatorio
generado de una distribución uniforme, entonces s’ se acepta como nueva
solución, lo que significa que también pueden aceptarse soluciones peores que la
actual. T es un parámetro de control llamado temperatura y c es la constante de
Boltzman (1.38054x10-3). Como ya se dijo, la temperatura se hace descender
lentamente, mediante una constante de enfriamientoα, durante el proceso de
búsqueda de tal manera que la probabilidad de aceptar peores soluciones decrece
constantemente. En cada temperatura el proceso continúa hasta que se cumple el
criterio de parada.
Tabla 2.3 Algoritmo de Recocido Simulado.
Inicio
inicializa (sini, T, K0)
k 0
s
sini
do while (T> temperatura mínima (criterio de paro)
for k=1 to K0 do
genera s’ ∈ N(s))
if f(s’) < f(s) then s s’
else
genera_aleatorio n en [0,1]
if (exp((f(s) – f(s’))/ c T) > n) then s s’
end if
end for
T
α T , α∈ (0,1)
end do
fin
18
2.5 GRASP (greedy randomized adaptive search procedures)
GRASP es un método iterativo multi-arranque diseñado para resolver problemas
difíciles de optimización combinatoria. Una característica importante de GRASP es
la facilidad para implementarse. En su forma más simple sólo hay que determinar
el número de iteraciones y el tamaño de la lista de candidatos. Cada iteración
consiste de dos fases: una de construcción, en la cuál se produce una solución
factible buena, y una de mejora, que es una búsqueda local en la que se examinan
vecindades de la solución producida en la fase anterior. La mejor solución
encontrada en cada fase se va almacenando hasta concluir el proceso con un
criterio de terminación.
Se muestra a continuación el seudocódigo de un GRASP básico [9].
Tabla 2.4 Algoritmo GRASP simple.
procedure GRASP (f(.), g(.), imax)
Require: imáx
f* ← ∞
for i ≤ imáx do
construct(g(.), α,x)
x ← GreedyRandomized()
x ← local_search(x)
if f(x) < f* then
f* ← f(x)
x* ← x
end if
end for
return x*
Fase de construcción
En esta fase se construye en forma iterativa una solución factible, se incorpora un
elemento a la vez. En cada iteración, la elección del siguiente elemento se
determina ordenando a todos los candidatos de una lista C con respecto a una
función glotona o miope g:C ⇒ R. Esta función mide el beneficio local de
seleccionar cada elemento. La heurística es adaptativa porque los beneficios
asociados con cada elemento son actualizados en cada iteración de la fase de
construcción para reflejar los cambios resultantes por la selección del elemento
previo. La componente probabilística del GRASP es caracterizado por elegir de
19
forma aleatoria uno de los mejores candidatos en la lista, y no necesariamente al
mejor de ellos. La lista de los mejores candidatos es llamada lista restringida de
candidatos (RCL, restricted candidate list). Esta técnica de selección permite
obtener diferentes soluciones en cada iteración del GRASP. La tabla 2.5 muestra
un algoritmo para la fase de construcción.
Tabla 2.5 Algoritmo de fase de construcción del GRASP basado en valor.
procedure construct(g(.), α, x)
x = 0;
Inicializar lista de candidatos C;
while C ≠ 0 do
s = mín{ g(t) | t ∈ C };
f- = máx{ g(t) | t ∈ C };
RCL = { s ∈ C | g(s) ≤ s + α( f- – s) };
Selección aleatoria de s de la RCL;
x = x ∪ {s};
actualizar la lista de candidatos C;
end while
end construct;
El parámetro alfa controla el grado de miopía y aleatoriedad en el algoritmo. Un
valor de α = 0 corresponde a un procedimiento de construcción puramente miope,
mientras que con α = 1, uno aleatorio. Aunque los algoritmos miopes pueden
producir buenas soluciones razonables, su principal desventaja como generador
de soluciones iniciales para búsquedas locales es su falta de diversidad. Aplicando
repetidamente un algoritmo miope, una sola o muy pocas soluciones pueden
generarse. Un algoritmo totalmente aleatorio produce una gran cantidad de
soluciones diversas, pero la calidad de éstas es generalmente muy pobre, y al
usarlas como soluciones iniciales para búsquedas locales, generalmente
conducen a una convergencia muy lenta. Así entonces, para beneficiarse de la
convergencia rápida del algoritmo miope y la gran diversidad de soluciones del
algoritmo aleatorio, se recomienda usar valores de α estrictamente contenido
dentro del rango [0,1]
El algoritmo de construcción de la tabla 2.5 utiliza una RCL basada en el valor,
donde los elementos que la forman cumplen con un valor de la función miope
dentro de un rango dado. En la tabla 2.6 se muestra un algoritmo de construcción
con RCL basada en cardinalidad [10], donde la lista está formada por un número
fijo de elementos con las mejores evaluaciones de la función miope.
20
Tabla 2.6 Algoritmo de fase de construcción del GRASP basado en cardinalidad.
Procedure Construcción-C
Require: k, E, c(.)
x←0
C←E
Calcular costo miope c(e), ∀ e ∈ C
while C ≠ 0 do
RCL ← { k elementos e ∈ C con el menor c(e) }
Seleccionar un elemento s de RCL al azar
x ← x ∪ {s}
Actualizar el conjunto candidato C
Calcular el costo miope c(e), ∀ e ∈ C
end while
return x
Existen diferentes variantes del algoritmo de construcción (construcción aleatoria
después miope, construcción con perturbaciones, RCL basada en valores con
sesgo) que pueden ser revisadas en [10].
Fase de búsqueda Local
Las soluciones generadas en la fase de construcción del GRASP no garantizan
ser localmente óptimas respecto a definiciones simples de vecindades. Por lo cuál
es benéfico aplicar una búsqueda local para intentar mejorar cada solución
construida. Un algoritmo de búsqueda local explora repetidamente la vecindad de
una solución en busca de una mejor solución. Cuando no se encuentra una
solución que mejora la actual, se dice que la solución es localmente óptima. La
clave de éxito de los algoritmos de búsqueda local depende de una elección
apropiada de la estructura de vecindades, de técnicas eficientes de búsqueda en
vecindades y de la solución inicial. En la tabla 2.7 se muestra un algoritmo sencillo
de búsqueda local para el GRASP [10].
Tabla 2.7 Algoritmo de búsqueda local del GRASP.
Procedure BúsquedaLocal
Require : x0, N(.), f(.)
x ← x0
while x no es localmente óptimo con respecto a N(x) do
Sea y ∈ N(x) | f(y) < f(x)
x←y
end while
return x
21
2.6 Satisfacción de Restricciones
La programación de restricciones puede dividirse en dos ramas claramente
diferenciadas: la satisfacción de restricciones y la resolución de restricciones.
Ambas comparten la misma terminología pero sus orígenes y técnicas de
resolución son diferentes. Un problema de satisfacción de restricciones (PSR) está
definido por un conjunto de variables X1, X2,…, Xn, y un conjunto de restricciones
r1, r2,…,rm. Cada variable Xi tiene un dominio Di de posibles valores. Cada
restricción ri comprende algún subconjunto de variables y especifica las
combinaciones de valores permisibles para cada subconjunto. Dependiendo si los
dominios de las variables son discretos o continuos, finitos o infinitos, se pueden
distinguir distintos tipos de PSRs.
Un estado del problema está definido por una asignación de valores a algunas o a
todas las variables, {Xi=vi, Xj = vj,…}. Una asignación que no viola ninguna
restricción se llama consistente o asignación válida. Una asignación completa es
una en la que cada variable es mencionada; una solución a un PSR es una
asignación completa que satisface a todas las restricciones.
La resolución de un PSR consta de dos fases:
i. Modelar el problema como uno de satisfacción de restricciones. La
modelación expresa el problema mediante un conjunto de variables, dominios
y restricciones del PSR.
ii. Procesar el problema de satisfacción de restricciones resultante, para lo que
hay dos formas.
1. Técnicas de consistencia. Son técnicas de resolución de PSR basadas
en la eliminación de valores inconsistentes de los dominios de las
variables.
2. Algoritmos de búsqueda. Se basan en la exploración sistemática del
espacio de soluciones hasta encontrar una solución, o probar que no
existe alguna.
Las técnicas de consistencia o inferenciales permite deducir información del
problema, niveles de consistencia, valores posibles de variables, dominios
mínimos, etc., aunque en general se combinan con las técnicas de búsqueda, ya
que reducen el espacio de soluciones y los algoritmos de búsqueda exploran dicho
espacio resultante.
Una forma de hacer mejor uso de las restricciones durante la búsqueda se llama
inspección hacia delante. Siempre que una variable X es asignada, el proceso de
inspección hacia delante mira a cada variable Y no asignada que está conectada a
X por una restricción y borra del dominio de Y cualquier valor que es inconsistente
para el valor escogido para X.
22
El conjunto formado por todas las posibles asignaciones de un PSR, también
conocido como espacio de estados, se representa mediante un árbol de
búsqueda. En cada nivel se asigna un valor a una variable, y los sucesores de un
nodo son todos los valores de la variable asociada a este nivel. Cada camino del
nodo raíz a un nodo terminal representa una asignación completa. Los algoritmos
se diferencian en cómo recorren el árbol de búsqueda a la hora de encontrar
soluciones: búsqueda
hacia atrás, salta hacia atrás, salta hacia atrás directo a conflicto, etc.
2.7 Algoritmos Híbridos
En algunos casos, la efectividad de un algoritmo puede ser mejorada al
combinarlo con otro algoritmo, a lo que se le conoce como hibridación y se puede
aplicar de diferentes maneras. Por ejemplo, para el AG se puede aplicar una
heurística específica para crear la población inicial de tal manera que cada
individuo sea una solución factible. El AG se puede combinar con algoritmos de
búsqueda local para mejorar la calidad de la solución.
Los algoritmos híbridos consisten en la combinación de algoritmos, ya sea que
formen parte de otro algoritmo o que sirvan para mejorar la entrada o salida de un
algoritmo principal. Esto con el fin de mejorar el desempeño del algoritmo y la
calidad de la solución. Sin embargo, esto requiere de un conocimiento más
específico del problema. A veces estas modificaciones rompen con los
paradigmas de cada algoritmo. Por ejemplo, Reeves [10 ] comenta que el
incorporar heurísticas específicas al AG rompe con una de sus principales
ventajas, que es la de encontrar soluciones para cualquier tipo de problema, sin
tener un conocimiento detallado de éste y su funcionamiento depende de una
adecuada codificación del problema. Sin embargo, concluye que esto es preferible
si se desea una buena solución para un problema en específico, más que la
evaluación del desempeño del AG para diferentes problemas.
En el caso de recocido simulado, las combinaciones son en el sentido de mejorar
la solución a la entrada o a la salida del algoritmo. Cuando se proporciona una
buena solución al ARS en lugar de una solución generada de forma aleatoria, se
recomienda empezar el algoritmo a temperaturas bajas, para no correr el riesgo
de destruir la solución en las primeras etapas. El problema pudiera ser que la
solución encontrada sea un mínimo local.
23
Capítulo 3.
IMPLEMENTACIÓN
DEL
ALGORITMO
GENÉTICO
3.1 Introducción
El AG es quizá el método heurístico más utilizado para el PDE debido a su fácil
representación en código binario. Para resolver el PDE, algunos autores hacen
uso de un algoritmo de reparación de soluciones que se aplica a cada nueva
generación. Esto debido a que aún cuando la población inicial esté conformada
por soluciones factibles, los operadores de cruza y mutación se encargan de que
las nuevas combinaciones de potencias resultantes no cumplan con el balance de
potencia BP.
Sin embargo, el AG no requiere más que una apropiada codificación y el
establecimiento adecuado de la función objetivo. No se requiere conocer más del
problema en cuestión. Basta con generar números aleatorios para conformar los
individuos de la población inicial y poner en marcha el AG para encontrar una
solución.
En el desarrollo del capítulo se muestra la implementación de un AG al problema
de DE. Se utiliza una codificación binaria para representar el nivel de potencia de
cada generador. Un cromosoma está formado por las potencias codificadas de las
unidades.
24
3.2 Descripción del programa
El programa principal Despacho_AG que implementa el AG tiene 4 módulos:
- Pob_ini: Crea la población inicial de forma aleatoria.
- Evaluación: Evalúa la función objetivo.
- Selección: Selecciona por "torneo" a los mejores individuos de acuerdo a su
evaluación
- Hijos. Implementa los operadores de cruza y mutación y que aplicados a los
individuos seleccionados por el módulo de selección, dan paso a una nueva
población.
La estructura de datos utilizada en el programa para representar una unidad
generadora es la siguiente:
Tabla 3.1 Estructura de datos generador.
struct generador {
float coef_a;
float coef_b;
float coef_c;
float coef_e;
float coef_f;
float Pmin;
float Pmax;
int L;
bool hay_zm;
float ini_zm;
float fin_zm; }
Las primeras 5 variables de la estructura de datos generador corresponden a los
coeficientes abcef de la función general de costo F, que es de la forma:
F = aP2 + bP + c + e sen(f * (Pmin-P))
Esta es la función general que modela los puntos de válvula. Si los coeficientes e y
f son cero, entonces la función de costo no modela el punto de válvula y se
transforma en una función de segundo grado.
Pmín y Pmáx son variables de punto flotante que almacenan los límites de
potencia de la unidad.
L es una variable de tipo entero que almacena el tamaño de la subcadena que
representa a una unidad.
hay_zm es una variable de tipo booleana que toma el valor 1 si está definida una
zona muerta o 0 sino lo está.
25
ini_zm y fin_zm son variables de punto flotante que almacenan las potencias de
inicio y fin de la zona muerta. Si hay_zm = 0, entonces estas variables deben ser
iguales al valor de Pmín.
3.3 Población inicial y codificación
La población inicial se crea a través del módulo Pob_ini.
Módulo Pob_ini.
Crea la población inicial de forma aleatoria.
Entrada:
número de unidades: Us
tamaño de la población: tam_pob
límites de potencia de generadores: Pmini, Pmaxi
1 ≤ i ≤ Us
longitud de subcadena: Li
Salida:
población de tam_pob individuos. Cada individuo tiene Us enteros
generados de forma aleatoria. Las soluciones no son factibles.
3.3.1 Codificación.
Los individuos o cromosomas se representaron por una cadena binaria. Cada
cadena binaria está formada por subcadenas de 2 bytes (fig. 3.1) que representan
la potencia de una unidad. El problema del DE no requiere mucha precisión en el
nivel de generación asignado, normalmente se utilizan cifras enteras tanto para las
potencias como para la demanda pronosticada. Sin embargo, si se quiere usar
una precisión de 1 decimal, con 2 bytes se puede disponer de un rango de 216/10
= 6553.6, suficiente para representar la potencia de una unidad generadora (en
México las unidades de la CN Laguna Verde son las de mayor potencia: 682.4
MW c/u)
7
6
5
4
3
2
1
0
7
6
5
4
3
2
1
0
U1
7
6
5
4
3
2
1
0
7
6
5
4
3
2
1
0
U2
7
6
5
4
3
2
1
0
.
.
.
s
u b c
2
b y
t
e s
7
6
4
2
1
5
3
a d e
n a
0
UUs
Figura 3.1 Cadena, individuo o cromosoma.
26
3.3.2 Representación de los límites de potencia del generador.
La representación de los límites de potencia está en función del rango de
operación de la unidad y la precisión que se desea utilizar. Por ejemplo, si el
rango de operación de la unidad es de 35 a 210 MW y se desea una precisión de
un decimal, entonces se requiere de al menos (210-35)*10 = 1750 números
diferentes, lo cuál se logra con 11 bits:
210 < 1750 < 211
211=2048
210=1024
Para esta unidad sólo se utilizarían 11 de los 16 bits, y la longitud L de la
subcadena es 11:
entero de 2 bytes
7
6
5
4
3
2
1
0
7
6
5
4
3
2
1
0
sin uso
Figura 3.2 Subcadena de 11 bits.
3.3.3 Decodificación.
Para convertir una subcadena binaria (bL-1,..., b3, b2, b1, b0) al valor entero
correspondiente, se utiliza la siguiente ecuación:
⎛ L −1
⎞
(bt −1 ...b1b0 ) 2 = ⎜ ∑ bk ⋅10 k ⎟ = valor entero;
⎝ k =0
⎠10
k = 0,..., L − 1
El valor entero representa un valor de potencia entre los límites de generación
especificados, que se decodifica con la siguiente ecuación:
Pi = P min i +
valor entero ( P max i − P min i )
2 Li − 1
3.3.4 Codificación de la zona muerta.
La zona muerta es un rango de operación donde no se puede operar una unidad
por razones técnicas y/o económicas. Estas regiones se pueden restringir desde la
27
propia codificación o mediante la penalización de aquellas soluciones que incluyan
la operación en zona muerta. Para tomar en cuenta la zona muerta desde la
codificación de la potencia, se agregó un bit adicional bit_zm a la subcadena para
indicar la operación arriba (bit_zm = 1) o debajo (bit_zm = 0) de la zona muerta.
Cuando la unidad opera arriba de la zona muerta, el valor entero codificado
aumenta en 2L unidades.
Cuando se decodifica el valor entero, se debe revisar si la unidad opera en zona
muerta (variable hay_zm de la estructura de datos generador).
Los límites de potencia que se usan en la expresión para decodificar el valor
entero según el valor de bit_zm, son como se muestran en la tabla 3.2.
Tabla 3.2 Límites de potencia usados en la decodificación del valor entero Pcod según el valor de
bit_zm.
Expresión para decodificar valor entero
Pcod
bit_zm Pmín Pmáx
1
Pzmfin
Pmáx
0
Pmín
Pzmini
Pi = P min i +
Pcod ( P max i − P min i )
2 Li − 1
Por ejemplo, para representar el rango de 122 a 489 se requieren 12 bits, L=12.
La figura 3.7 muestra los valores extremos de la codificación de una unidad con
zona muerta definida en el rango ini_zm = 260, fin_zm = 320 MW; y con límites de
potencia Pmín=122 MW y Pmáx= 489 MW.
(decimal) (entero)
P
Pcod
[MW]
8191
489.0
bit
zm
15
15
260.0
4095
320.0
4096
122.0
0
15
15
14
14
14
14
13
13
13
13
12
11 10
1
1
12
11 10
0
1
1
1
12
11 10
1
0
0
12
11 10
0
0
0
9
1
8
1
9
1
8
1
9
0
7
8
6
7
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
1
1
0
2
0
0
1
1
0
3
0
1
1
1
0
4
0
2
1
1
0
5
0
3
1
1
0
6
0
4
1
1
0
7
0
5
1
1
0
8
0
6
1
1
0
9
0
7
1
0
0
1
0
0
0
Figura 3.3 Representación de diferentes valores de potencia a través del bit_zm para una unidad
con zona muerta.
28
3.4 Evaluación
Este módulo calcula la aptitud de cada individuo.
Entrada:
Tamaño de la población: tam_pob
Archivo con tam_pob individuos
Coeficientes de funciones de costo: coeficientes aibicieifi, modelo de 3 puntos (MW,
kcal/MWh) de PIE.
Factores de penalización por incumplimiento de BP: FP_IBP
Incio y fin de zona muerta: ini_zmi, fin_zmi
1 ≤ i ≤ Us
Salida: Archivo con aptitudes de los individuos de la población
Para evaluar la función es necesario decodificar cada uno de los valores enteros
de cada individuo.
3.4.1 Aptitud de los individuos
La función objetivo del problema de DE fue utilizada directamente para evaluar la
aptitud de los individuos:
n
⎛ n
⎞
aptitud = ∑ Fi ( Pi ) + FP _ IBP⎜ ∑ Pi − demanda ⎟ + P _ ZM
i =1
⎝ i=1
⎠
n
P _ ZM = 0.1∑ Fi ( Pi )
i =1
La función objetivo incluye los costos de generación de cada unidad, la
penalización por incumplimiento de balance de potencia FP_IBP y la penalización
por operar en zona muerta P_ZM.
Se utilizaron divisores para escalar la aptitud de los individuos de tal forma que
quedara representada con 3 dígitos. El FP_IBP también fue atenuado con el
mismo divisor en los algoritmos, pero en los resultados se hace referencia a su
valor original para no causar confusión.
Tabla 3.3 Factores de escalamiento de aptitud para cada caso de estudio.
divisor
caso 1
1000
caso 2
10000
caso 3
10
29
3.4.2 Función de costo.
En los casos de estudio se evalúan 3 tipos de funciones de costo:
Tabla 3.4 Tipos de funciones de costo de los casos de estudio.
Tipo función de costo
Descripción
Convexa de segundo grado
Funciones de costo clásicas, coeficientes abc
No convexa de segundo grado
Modelo especial de PIE.
No convexa: de segundo grado + senoidal
Para modelar punto de válvula
Para los dos primeros casos se evalúa directamente la función de costo. Los
coeficientes abcef tienen las unidades apropiadas para obtener el costo en $/h. El
DE se realiza para un periodo determinado y en los casos de estudio es de 1h.
Tabla 3.5 Unidades de los coeficientes abcef de la función general de costo.
a
b
c
e
f
[$/MW2h]
[$/MWh]
[$/h]
[$/h]
adimensional
Para el tercer tipo, el PIE proporciona 3 puntos de operación de una curva de
consumo específico o régimen térmico, con unidades kcal / kWh. Los precios de
los combustibles se actualizan diariamente. Los valores en $/MWh mostrados en
la fig. 2.2 fueron convertidos con un precio de 267.4 $/gcal. Para obtener el costo
de valores de potencia entre estos tres puntos, se utilizó el método de
interpolación lineal. La tabla 3.6 muestra en negrita los tres puntos proporcionados
por el PIE, y los demás son costos interpolados para diferentes puntos de
operación.
Tabla 3.6 Tabla de costos del PIE CC Mexicali.
Potencia Consumo específico
costo
[kcal /
[MW]
kWh]
[$/MWh]
[$/h]
49
1,837.0
491
24,020
98
1,845.3
493
48,257
495
60,456
122
1,849.4
147
1,853.5
496
72,710
196
1,861.8
498
97,380
500 122,266
245
1,870.1
260
1,865.5
499 129,700
293
1,855.7
496 145,592
320
1,847.9
494 158,124
342
1,841.4
492 168,543
367
1,834.2
490 179,878
391
1,827.0
489 191,119
440
1,812.7
485 213,319
481 235,143
489
1,798.3
30
3.5 Selección
Este módulo selecciona por torneo a los mejores individuos de acuerdo con su
aptitud.
Entrada:
Archivo con aptitudes de los individuos de la población.
Tamaño de la población: tam_pob
Salida: Archivo con individuos seleccionados por torneo.
3.5.1 Selección por torneo
Se escogen a los ganadores de una competencia entre dos individuos
seleccionados aleatoriamente. El ganador es el que tenga una evaluación menor
(cuando el problema es de maximizar, el ganador es el que tiene una evaluación
mayor). El individuo más apto es seleccionado tantas veces como haya sido
puesto a competir (aleatoriamente), y el que tiene la peor evaluación mayor nunca
pasa a la siguiente generación. Este tipo de selección es muy fácil de implementar
y tiene la ventaja sobre otros métodos porque no necesita ordenar a los individuos.
3.6 Nuevas generaciones.
El módulo Hijos implementa los operadores de cruza y mutación, que aplicados a
los individuos seleccionados por el módulo de selección dan paso a una nueva
generación.
Entrada:
Archivo con tam_pob individuos seleccionados
Probabilidad de cruza: Pc
Probabilidad de mutación: Pm.
Longitud de subcadena: Li
1 ≤ i ≤ Us
Salida: Archivo con tam_pob individuos de una nueva generación
3.6.1 Mutación y cruza.
Se utilizó una probabilidad de cruza Pc= 0.8 y una probabilidad de mutación
Pm=0.01 durante todo el proceso evolutivo. Se pueden usar uno o dos puntos de
cruza pcruza y su valor se elige de forma aleatoria para cada par de padres. Un par
de padres genera un par de hijos. Los padres se leen de forma secuencial de un
archivo y se cruzan con una probabilidad Pc. Después cada bit del cromosoma es
31
revisado con el operador de mutación. En la figura 3.4 se muestra la operación de
cruza a nivel de bits con un punto de cruza pcruza = 14 en una cadena de 33 bits
que representa a 3 unidades. El valor de pcruza se escoge entre 1 y 33.
Padre 1
7
6
Padre 2
5
4
3
2
1
0
7
6
5
4
3
2
1
0
Pcod
7
6
5
4
3
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1570 U1
1
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
1 0 7 6 5 4 3 2
1 0 Pcod
1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1895 U2
12
13
14
15
16
17
18
2
1
0
7
6
5
4
19 20
3
2
23 24 25 26 27 28 29 30
1
0
Pcod
6
6
5
4
3
7
6
5
4
3
7
6
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
1
0
7
6
5
4
3
2
1
0
Pcod
562
Pcod
12
13
14
15
16
17
18
2
1
0
7
6
5
4
19 20
3
2
21 22
1
0
31 32 33
23 24 25 26 27 28 29 30
Pcod
361
31 32 33
Hijo 2
5
4
3
2
1
6
0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
1
0
7
6
5
4
3
2
1
0
Pcod
7
6
5
4
3
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1570 U1
7
1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1794
865 U3
Hijo 1
7
7
21 22
0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1
2
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0
5
5
4
4
3
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
14
15
16
17
18
2
1
0
7
6
5
4
19 20
3
2
23 24 25 26 27 28 29 30
7
6
5
4
3
21 22
1
0
0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1
Pcod
562
2
1
2
1 0 7 6 5 4 3 2
1 0 Pcod
1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1794 U2
12
0
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0
Pcod
7
6
5
4
3
361 U3
31 32 33
1
2
0
3
7
4
6
5
5
6
4
7
3
8
2
9
1
10
11
2
1 0 7 6 5 4 3 2
1 0 Pcod
1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1895
12
13
14
15
16
17
18
2
1
0
7
6
5
4
19 20
21 22
0
Pcod
0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1
865
3
23 24 25 26 27 28 29 30
2
1
31 32 33
Figura 3.4 Cruza de 2 individuos a nivel de bits, con pcruza = 14.
En el ejemplo anterior, con el operador de cruza se intercambiaron las unidades 2
y 3 de los padres a los hijos, pero ninguna unidad modificó su valor debido a que
el punto de cruza cayó en un punto en donde los bits más significativos de las
unidades 2 son iguales. Con pcruza = 16, los bits más significativos de las unidades
2 en los padres ya no son iguales y el valor codificado de las unidades 2 en los
hijos son diferentes, como se observa en la figura 3.5.
7
6
5
4
3
2
1 0 7 6 5 4 3 2
1 0 Pcod
1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1858 U2
12
13
14
15
16
17
18
19 20
21 22
7
6
5
4
3
2
1 0 7 6 5 4 3 2
1 0 Pcod
1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1831
12
13
14
15
16
17
18
19 20
21 22
Figura 3.5 Modificación del valor de potencia por operador de cruza, pcruza = 16.
Se implementó también un operador de cruza a nivel de unidades y se refiere al
intercambio de los valores de potencia asignados a las unidades. En este caso, no
es necesario el proceso de codificación-decodificación. En la figura 3.6 se muestra
un ejemplo de este operador con dos puntos de cruza. Se muestran los valores
32
decodificados para revisar el valor de potencia que suministran, pero como se dijo
antes, no es necesaria la decodificación de los valores enteros. En este caso los
puntos de cruza se escogen de forma aleatoria entre 1 y el número total de
unidades. Varios puntos de cruza son recomendados cuando el tamaño de la
cadena es grande.
Total
P1
P2
P3
803.7 134.1 226.6 174.7
P4
Padres
Total
13.9 225.2
803.7
P5
21.5
P6
7.7
P7
P1
P2
P3
70.6 235.9 113.2
P4
P5
P6
21.0
21.3
27.9 313.9
P7
P4
P5
Hijos
Total
P1
P2
P3
755.2 134.1 226.6 113.2
P4
P5
P6
21.0
21.3
13.9 225.2
Total
852.2
P7
P1
P2
P3
70.6 235.9 174.7
21.5
P6
7.7
P7
27.9 313.9
Figura 3.6 Operador de cruza a nivel de unidades con dos puntos de cruza, pcruza1 = 2, pcruza2=5
Se observa como se pierde la factibilidad de la solución con el operador de cruza.
La demanda que cubrían los padres era de 803.7 unidades y los hijos ya no
cumplen con ese valor de demanda. Se puede agregar un algoritmo reparador de
la solución que aumente o disminuya la potencia de una o varias unidades para
cumplir con el BP. Sin embargo, se mostrará más adelante que el AG va
mejorando el BP en cada generación.
El operador de mutación revisa bit a bit todo el cromosoma y con una probabilidad
muy baja cambia el valor de alguno de ellos. Aún así, si la cadena es larga, la
probabilidad de que exista un cambio en algún bit es alta. En la figura 3.7 se
muestra como cambia el valor del hijo 1 por el operador de mutación que tuvo
efecto en el bit 23 y cambió el valor de potencia de la unidad 3 de 159 a 254.
Hijo1, Mutación en el bit 23 del cromosoma
Hijo 2, sin mutación
hijo 1
hijo 2
15 14 13 12
11 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 0 1570
15
14 13 12
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 P1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
antes
15 14 13 12
11 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 0
antes
15 14 13 12
11 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1 0
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
antes
730
635
antes
8
7
6
5
4
3
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
169
1858
15
14 13 12
0
562
10
11
11 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
83
83
0
1831
1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 P2
307
12 13 14 15 16
17 18 19 20
307
1385
1
antes
21 22
antes
15
14 13 12
1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 P3
P1+P2+P3 =
9
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 P1
169
1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 P2
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
11 10
11 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
304
304
0
865
0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 P3
254
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
P1+P2+P3 =
159
antes
593
593
antes
Figura. 3.7 Operador de mutación modificó bit 23 en una cadena de longitud 33.
33
205
205
3.6.1.1 Zona muerta
Con el operador de cruza a nivel de bits, las zonas de operación por arriba o por
debajo de la zona muerta se pueden modificar de los padres a los hijos cuando el
punto de cruza es tal que divide al padre justo en el bit_zm, y si además el bit_zm
de la unidad del otro padre es de valor opuesto.
Con el operador de cruza a nivel de unidades, cada unidad conserva su zona de
operación.
El operador de mutación también opera en el bit_zm para cambiar la zona de
operación en una unidad con zona muerta. De esta forma se proporciona más
variedad en las soluciones para la siguiente generación.
3.7 Ajuste de los parámetros particulares del AG al PDE
Los parámetros utilizados por defecto, en todos los casos de DE que se plantean,
son los de la tabla 3.7.
Tabla 3.7 Parámetros utilizados por defecto para el AG.
Parámetro
valor
Probabilidad de cruza (Pc)
0.80
Probabilidad de mutación (Pm)
0.01
Punto de cruza:
2 puntos aleatorios
Método de selección:
Por torneo
Tamaño de la población (tam_pob)
40 , 100
Como se explicó en el marco teórico, los valores anteriores han mostrado buenos
resultados en muchos problemas y son ampliamente utilizados. No es el propósito
de ésta tesis un análisis exhaustivo de todos los parámetros del AG, y sólo se
detallan aquellos parámetros que son particulares del problema del DE. Para el
caso del tamaño de la población, se realizaron pruebas para valores de 40 y 100
individuos. Los parámetros de la tabla 3.8 son los particulares al PDE que se va a
resolver.
Tabla 3.8 Parámetros a determinar para el AG
Parámetro
Factor de penalización por incumplimiento del balance de potencia (FP_IBP)
Factor de penalización por zona muerta (FP_ZM)
Las gráficas, en general, fueron generadas con cinco valores de semillas
aleatorias diferentes (100, 200, 300, 400 y 500). Cada curva es el promedio de
estas cinco pruebas.
34
3.7.1 Tamaño de la población.
1,000
590
950
580
900
570
850
700
150
140
130
120
110
90
100
núm . generaciones
núm . generaciones
Pob 40
80
0
150
140
130
120
110
90
100
80
70
60
50
40
30
500
20
550
490
0
600
500
70
650
510
60
520
750
50
530
800
40
540
30
550
20
560
10
aptitud promedio
600
10
ap titud del mejor individu o
Al incrementar el tamaño de la población, se evalúan en paralelo un mayor
número de individuos en el espacio de solución y es más probable encontrar
mejores soluciones; sin embargo, éste no debe ser muy grande porque el proceso
sería semejante a una búsqueda aleatoria. La figura 3.8 muestra la convergencia
del AG aplicado al caso 1, con poblaciones de 40 y 100 individuos. Los resultados
fueron ligeramente mejores con 100 individuos. Después de 150 generaciones, la
aptitud del mejor individuo mejoró en 0.86% y la aptitud promedio de cada
generación sólo lo hizo en 0.8%. Respecto al BP la convergencia fue muy similar.
Pob 40
Pob 100
a)
Pob 100
b)
Balance de Potencia, BP [MW]
50
40
30
20
10
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
0
10
0
núm . generaciones
c)
Pob 40
Pob 100
Figura 3.8 a) aptitud mejor individuo b) aptitud promedio de cada generación c) balance de
potencia BP, para poblaciones de 40 y 100 individuos, caso 1. FP_IBP = 2 500
35
El efecto del tamaño de la población para el caso 2 de 36 unidades se muestra en
la figura 3.9. La aptitud del mejor individuo mejoró sólo un 0.12%; la aptitud
promedio de cada generación mejoró en promedio 0.1 % y la convergencia del BP
fue muy similar. Se utilizó un FP_IBP = 563.
470
465
aptitud promedio
455
450
460
455
450
300
250
100
200
0
300
250
150
100
50
0
200
núm . generaciones
núm . generaciones
Pob 40
150
445
445
50
aptitud del mejor individuo
460
Pob 40
Pob 100
a)
Pob 100
b)
Balance de potencia, BP [MW]
150
100
50
300
250
200
150
100
50
0
0
núm . generaciones
c)
Pob 40
Pob 100
Figura 3.9 a) aptitud mejor individuo b) aptitud promedio de cada generación c) balance de
potencia BP, para poblaciones de 40 y 100 individuos, caso 2.
Al incrementar el tamaño de la población en un 150 % se observan mejorías muy
pequeñas en el desempeño del AG mientras que se incrementa en la misma
proporción el número de operaciones. Debido a esto será utilizado el tamaño de
población de 40 individuos para las pruebas finales del AG, cuyos mejores
resultados serán comparables con las heurísticas que se presentan en los
capítulos 4 y 5.
36
3.7.2 Elitismo
El elitismo consiste en conservar al mejor individuo generado durante todo el
proceso del AG. En cada generación se escoge al individuo con mejor aptitud y se
pasa automáticamente a la siguiente generación, sin ningún cambio. De esta
forma se evita que un individuo con excelente aptitud, producido en las primeras
generaciones, se pierda por las operaciones de cruza y mutación subsecuentes.
En la figura 3.10 se muestra el desempeño promedio de 5 pruebas del AG con y
sin elitismo, aplicado al caso de estudio 1 de 7 unidades, con semillas de 100 a
500 y FP_IBP = 2500. Después de 500 generaciones, se obtuvo una mejora de
1.03% en la aptitud del mejor individuo.
50
Balance de Potencia, BP [MW]
610
590
570
550
530
510
490
45
40
35
30
25
20
15
10
5
núm . generaciones
sin elitismo
500
400
300
200
0
500
400
300
200
100
0
0
100
aptitud del mejor individuo
630
núm . generaciones
sin elitismo
con elitismo
a)
con elitismo
b)
Figura 3.10 Comparación de la convergencia del AG con y sin elitismo, a) aptitud del mejor
individuo, b) balance de potencia, caso 1.
Puede parecer extraño que la curva de aptitud del mejor individuo del caso “sin
elitismo” esté por debajo del caso “con elitismo” en algunas zonas. La explicación
es porque los individuos de sus poblaciones son diferentes. Cuando no se usó
elitismo, se generaron mejores individuos en algunas generaciones. Aunque se
usaron las mismas semillas aleatorias, es muy probable que desde la primera
generación las poblaciones de ambos casos hayan sido distintas en al menos un
individuo. Se dice que es muy probable porque la probabilidad de cruza es alta
(0.8) y la probabilidad de mutación es muy baja (0.01) y no se descarta el hecho
de que el individuo más apto haya pasado a la siguiente generación sin cambios,
por no haber sido afectado por los operadores generacionales. La población de la
primera generación pudo haber sido la misma en ambos casos, pero lo más
probable es que en algún punto de las primeras generaciones, las poblaciones de
los dos casos fueron diferentes en al menos un individuo.
La figura 3.11 corresponde a la aplicación del AG al caso 2. Se usó elitismo y un
FP_IBP=563. La mejora al final de 500 generaciones fue de 0.43% respecto al
mejor individuo obtenido con el AG sin elitismo. La mejora más notable fue en el
BP.
37
120
Balance de Potencia, BP [MW]
455
450
445
100
80
60
40
20
núm . generaciones
sin elitismo
500
400
300
200
0
500
400
300
200
100
0
0
100
aptitud del mejor individuo
460
núm . generaciones
con elitismo
sin elitismo
con elitismo
Figura 3.11 Comparación de la convergencia del AG con y sin elitismo, caso 2.
Para el caso 2, que es un problema mucho más grande respecto al caso 1, se
observó la dificultad en la convergencia en BP, y el uso de elitismo hizo que la
solución final fuera factible.
Por último, se observa en las gráficas anteriores la rápida convergencia que se
tuvo en las primeras generaciones, después de las cuales el AG perdió
efectividad. Se vislumbra entonces la posibilidad de utilizar un algoritmo de
búsqueda local para mejorar la solución después de la generación número 75 para
el caso 1, y después de la generación 150 para el caso 2.
3.7.3 Factor de penalización por incumplimiento del balance de potencia
(FP_IBP).
El factor de penalización FP_IBP castiga a las soluciones que no cumplen con el
BP, modificando en forma negativa su aptitud. Este factor debe ser ajustado
adecuadamente para cada instancia del problema. Valores pequeños hacen que la
solución converja a un costo menor al óptimo a expensas de un BP negativo, lo
cuál significa que la suma de las potencias asignadas sea menor a la demanda.
Por el contrario, valores grandes de FP_IBP conducen a soluciones que cumplen
con el BP, pero resultan en costos superiores al óptimo. En la tabla 3.9 se
muestran los resultados de tres valores del FP_IBP aplicados al caso 1. Se
escogieron algunos valores extremos para acentuar el resultado final.
Tabla 3.9 Resultados del AG para distintos valores del FP_IBP y solución óptima del caso 1.
solución AG
Demanda
FP_IBP
[MW]
308.3
869.8
870.0
870.0
100
1000
10000
P1
[MW]
P2
[MW]
P3
[MW]
P4
[MW]
P5
[MW]
P6
[MW ]
40.0
85.2
52.4
62.0
200.8
143.1
62.3
235.3
243.7
7.0
7.0
13.8
7.0
7.4
10.1
8.0
8.1
14.7
45.9
248.0
248.0
7.0
7.0
8.0
38
b)
a) Cos to de
Penalización
operación [$]
por IBP
122.0
271,920
56,173
326.1
493,582
155
392.1
518,069
-424
P7
[MW]
306.1
487,018
Aptitud
(a+b)
328,093
493,737
517,645
error
costo
[%]
-44.2
1.3
6.3
solución óptima
error en
BP [%]
-64.57
-0.02
0.00
Con un valor pequeño de FP_IBP (100) se obtuvo un menor costo de operación
respecto al óptimo, pero el error en BP fue grande y no se cubrió ni la mitad de la
demanda. Con un FP_IBP grande (10000) no hubo error en BP, pero el costo fue
6.3% superior al óptimo. Un valor de FP_IBP de 1000 proporcionó mejores
resultados, tanto en costo como en BP.
Los valores más adecuados se obtuvieron bajo el siguiente razonamiento: un error
de 1 MW en el BP debe ser comparable con el costo más grande que tiene una
unidad al aumentar o disminuir esa misma potencia unitaria, para que el error sea
debidamente penalizado. El costo por aumentar o disminuir un MW en cada
unidad a partir de un punto de operación se denomina costo incremental CI y se
obtiene de derivar la función de costo F.
Por ejemplo, supóngase que se tienen 50 unidades baratas operando con un CI=
1 $/MW, y una unidad cara operando con CI = 50 $/MW. Resulta en el mismo
costo que las 50 unidades aumenten 1 MW, con un total de 50 MW de
incremento, que si lo hace en 1 MW la unidad cara. La penalización por una
diferencia de 1 MW en el BP debe ser similar al costo de aumentar 1 MW en la
unidad con CI más alto. Entonces el valor de FP_IBP puede establecerse en un
valor similar al CI más alto de todas las unidades.
2,750
(27, 2500)
2,500
$/MWh
2,250
2,000
1,750
1,500
1,250
0
5
10
15
20
25
30
35
40
MW
CI 4
CI 5
CI 6
Figura 3.12 Curvas de las unidades con mayor costo incremental del caso1.
En la fig. 3.12 se muestra el costo incremental más alto (2500 $/MWh) de las
unidades del caso 1 y corresponde a la unidad 4 en su límite de potencia de 27
MW. En la figura 3.13 se muestra el desempeño del AG con valores de FP_IBP de
2000, 2500 y 3000. Los resultados para los dos primeros valores fueron muy
similares y se podrían utilizar indistintamente.
39
10
Balance de potencia, BP [MW]
555
545
535
525
515
505
8
5
3
2500
300
250
200
150
0
300
250
150
100
50
0
200
núm . generaciones
núm . generaciones
2000
100
0
495
50
aptitud del mejor individuo
565
2000
3000
2500
3000
Figura 3.13 Convergencia en aptitud y en BP del AG, con valores de FP_IBP de 2000, 2500 y
3000, caso 1.
Para el caso 2, el costo incremental más alto es de 563 $/MWh y corresponde a la
unidad 23, en su límite de potencia de 498 MW, ver fig. 3.14. En la figura 3.15 se
muestra el desempeño del AG con valores de FP_IBP cercanos a 563. Se
obtuvieron mejores aptitudes con FP_IBP = 500, pero también se tuvo la peor
curva en cuanto a BP. La curva correspondiente a FP_IBP = 563 presentó el mejor
balance entre aptitud y BP.
580
(498, 563)
560
CI23
540
CI26
$/MWh
520
CI16
500
CI27
CI25
480
460
440
420
400
50
150
250
350
450
550
650
MW
CI16
CI23
CI25
CI26
CI27
Figura 3.14 Curvas de las unidades con mayor costo incremental del caso 2.
40
200
Balance de Po tencia, BP [MW]
458
456
454
452
450
448
446
160
120
80
40
núm . generaciones
500
563
500
400
300
200
0
500
400
300
200
100
0
0
100
aptitud del mejor individuo
460
núm . generaciones
500
700
563
700
Figura 3.15. Convergencia en aptitud y en BP del AG aplicado al caso 2, con distintos valores de
FP_IBP.
Para el caso 3 (DEPV) se revisaron los costos incrementales y el más alto fue de
20.6 $/MW, correspondiente a la unidad 3 a una potencia de 179 MW. Se hicieron
pruebas con valores de FP_IBP de 15, 20 y 25 usando elitismo. En la figura 3.16
se muestran la convergencia en aptitud y BP. El mejor valor de FP_IBP fue el de
25, ya que da una buena convergencia tanto en BP como en aptitud. Los valores
superiores como 30 y 50 dan buena convergencia en cuanto a costo, pero no
sucede igual en cuanto a BP.
30
8600
15
20
8500
25
8400
Balance de Potencia, BP [MW]
8300
25
20
15
20
15
25
10
5
núm . generaciones
500
400
300
200
0
500
400
300
200
100
0
0
100
aptit ud mejor individuo
8700
núm. generaciones
Figura 3.16. Convergencia en aptitud y en BP del AG aplicado al caso 3, con distintos valores de
FP_IBP.
Los mejores valores de FP_IBP que se determinaron para cada caso se muestran
en la tabla 3.10.
Tabla 3.10 Ajustes del FP_IBP y número de generaciones para cada caso de estudio.
FP_IBP
2 500
563
25
Caso 1
Caso 2
Caso 3
41
Generaciones
300
500
400
3.8 Resumen de resultados del AG (DE con funciones convexas).
La tabla 3.11 muestra los resultados de la aplicación del AG a cada uno de los
casos de estudio, donde se utilizaron los siguientes parámetros: tamaño de la
población = 40, elitismo, 2 puntos de cruza aleatorio, probabilidad de cruza = 0.8,
probabilidad de mutación = 0.01, selección por torneo.
Tabla 3.11Resultados del AG para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Caso 2
Caso 3
(36 unidades)
(3 unidades con pv)
Caso1
(7 unidades)
Generaciones =
Generaciones = 400
Generaciones = 300
500
8 241.1
Costo mínimo
490,719
4,449,024
8 500.2
Costo máximo
503,999
4,455,664
8 327.4
Costo promedio
496,491
4,452,219
89.4
desv. Est.
3,915
2,454
0.085
%error 1)
0.76
0.16
1.133
%error_prom 1)
1.95
0.23
0.26
tiempo usuario
0.45
3.1
1) Respecto al costo de la solución optima.
42
3.9 ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO
El AGH se integra con el AG y con algunas heurísticas que son agregadas a la
entrada y salida del AG con la intención de mejorar la rapidez de convergencia y la
calidad de la solución final. Estas heurísticas son:
-
Algoritmo de Satisfacción de Restricciones (SR) para crear población
inicial
Algoritmo de fase de construcción del GRASP (fc_GRASP) para crear
población inicial
Algoritmo de BL para mejorar la calidad de la solución y la rapidez de
convergencia.
La población inicial con soluciones no factibles da una mayor diversidad en los
valores que puede tomar cada unidad, aunque no se cumpla en lo más mínimo
con el BP. Se ha visto que el AG reduce rápidamente el error en BP, pero luego
emplea demasiadas iteraciones para llegar a un valor aceptable. En este capítulo
se revisa el efecto de iniciar el AG con poblaciones iniciales factibles creadas a
partir de algoritmos de SR y fc_GRASP. Con el algoritmo de SR se asegura que
las soluciones creadas cumplan con el BP, pero no se tiene en cuenta el costo de
estas soluciones. Con fc_GRASP las soluciones cumplen con el BP y además se
toma en cuenta el costos de generación a través de una función miope.
3.9.1 Población inicial factible a partir de un algoritmo de satisfacción de
restricciones.
Como valores posibles de potencia para una unidad se consideran, en un
principio, sus límites de potencia (dominio inicial). Pero aplicando SR se modifica
este dominio inicial al verificar que el valor de potencia, asignado de forma
aleatoria, permita seleccionar valores posteriores a las demás unidades. En el
PDE las unidades participantes han sido seleccionadas previamente y deben
despacharse con algún valor de potencia, por lo menos en su límite mínimo de
potencia. Para entender mejor porque se deben restringir los valores de potencia
en el proceso de asignación aleatoria de potencia, se muestra el siguiente
ejemplo:
Tabla 3.12 Datos para el ejemplo de SR.
Pmín
Pmáx demanda
U1
35
210
400
U2
130
325
U3
125
315
43
Según los datos de la tabla 3.12, no es posible elegir un valor de potencia de 150
para la primera unidad, ya que la mínima potencia que podrían suministrar las
otras 2 unidades sería de 255, dando un total de 455 y no se cumpliría con la
demanda de 400. En la tabla 3.13 se muestra el algoritmo de SR que permite
generar soluciones factibles.
Tabla 3.13 Algoritmo para crear una solución factible por SR.
1. inicio
2. dr ← dem
3. i=1
4. Haz
5. NDi = nuevo_dominio (i, dr)
6. Pi ← aleat(NDi)
7. dr ← dr - Pi
8.
i ←i+1
9. hasta i=n
10. Pn ← dr
11. fin
Nuevo_dominio(i, dr)
inicio
NPmaxi ← dr - Suma(Pmink), k>i
NPmini ← dr - Suma(Pmaxk), k>i
fin
si NP max i < P max i
⎧ NP max i
NP max i = ⎨
caso
⎩ P max i otro
5a
5b
5c
5d
⎧ NP min i
NP min i = ⎨
⎩ P min i
si
NP min i > P min i
otro
caso
dem - demanda
n - número de unidades
Pi - potencia asignada a la unidad i, 1 <= i < n
Di - dominio de la unidad i, determinado por los límites de potencia de cada unidad, Di = [Pmini,
Pmaxi], 1 <= i < n
dr - demanda restante
NDi – Nuevo dominio de la unidad i por SR, NDi = [NPmini, NPmaxi], 1 <= i < n
Siguiendo este algoritmo se tiene que (2) se asigna a dr el valor de la demanda,
dr= 400. (3,5) Se calcula el nuevo dominio de la unidad 1. (5b) se obtiene el valor
máximo NPmax que se puede asignar a la unidad 1:
NPmax1 = dr – Pmin2 - Pmin3 = 400 – 130 – 125 = 145
44
(5c) el valor mínimo NPmin1 se determina como sigue:
NPmin1 = dr – Pmax2 - Pmax3 = 400 – 325 – 315 = - 240
Como el valor NPmin1 es menor que el límite de potencia Pmin1, entonces este
límite no se modifica, y los nuevos límites para la U1 son:
Pmin1 ≤ P1 ≤ NPmax1
o sea, 35 ≤ P1 ≤ 145
(ND1)
(6) ahora se puede escoger un valor permisible de potencia P1, entre 145 y 240
MW. (7) Se modifica el valor de la demanda restante dr = 400 – P1, y se repite el
proceso para las siguientes unidades. (10) Finalmente, a la última unidad U3, se
le asigna el valor de la demanda que falta por cubrir P = dr = Demanda – P1 – P2.
De esta forma, se escoge un valor aleatorio para cada unidad que permite elegir
valores de potencia para las unidades restantes.
3.9.2 Población inicial generada por fase de construcción del GRASP
La fase de construcción del GRASP ofrece la ventaja de que en la formación de
las soluciones factibles se considera también el costo de generación a través de
una función miope, que revisa la conveniencia inmediata de agregar un elemento
a la solución. El funcionamiento a detalle de este algoritmo se explica en el
capítulo 5. La tabla 3.14 muestra poblaciones de 10 individuos creados por SR y
fc_GRASP para el caso 1. En la tabla 3.15 se muestra un resumen de estos datos.
El costo promedio de las soluciones creadas por el fc_GRASP resultó mejor en un
2.1% respecto el costo promedio de las soluciones del SR, pero la mejor solución
del fc_GRASP lo fue en un 6.7%. Cuando se usa elitismo en el AG, esta mejora
resulta de mayor importancia.
MW
870
870
870
870
870
870
870
870
870
870
Tabla 3.14 Soluciones creadas con a) SR b) fc_GRASP.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7 aptitud costo [$]
528 527,547
129
231
190
20
7
15
277
551 550,350
118
75
228
15
15
17
401
581 580,221
113
141
109
14
26
26
441
550 549,613
132
202
138
24
15
11
347
563 562,983
128
187
139
10
25
25
357
567 566,697
148
193
96
19
24
12
379
552 551,113
149
70
210
13
16
12
399
563 562,258
124
169
88
16
25
11
437
538 537,407
73
190
134
11
8
26
428
607 606,271
141
212
65
22
25
29
375
560 559,446
promedio
a)
45
MW
870
870
870
870
870
870
870
870
870
870
P1
P2
P3
79
158
143
160
158
141
50
40
102
136
231
225
242
207
168
204
138
216
136
150
138
192
181
248
240
214
191
189
188
225
P4
P5
7
27
27
27
11
10
21
8
21
18
7
23
24
26
24
24
12
7
11
15
P6
P7
14
394
22
223
19
235
30
174
11
258
9
268
23
436
8
401
20
390
30
296
promedio
aptitud costo [$]
509 508,108
579 578,255
572 571,061
595 594,139
541 540,568
531 530,107
548 547,794
495 494,590
549 548,069
566 564,824
549 547,752
b)
Tabla 3.15 Comparativo del costo de las soluciones creadas por SR y fc_GRASP. Caso 1 (7 Us).
SR
fc_GRASP
[$]
[$]
% mejora
527,547
494,590
6.7
minimo
606,271
594,139
2.0
máximo
559,446
547,752
2.1
promedio
3.9.3 Adición de Búsqueda local al AG
El AG se encarga de dirigir la búsqueda hacia zonas prometedoras donde el
algoritmo de BL agiliza la convergencia hacia una solución de mejor calidad. El
algoritmo de BL se basa en la generación de vecindades que se describió en la
sección 2.3.
Después de un número de generaciones iniciales (AGini) el AG ha reducido de
forma notable la aptitud de los individuos, entonces se busca una solución con
error pequeño en BP, según la precisión que se requiera. En caso de no encontrar
un individuo en la población que cumpla con este criterio, se activa el AG para
producir una generación más, hasta cumplir con el criterio de BP. El error en BP
es asignado a una de las unidades Usel con capacidad suficiente. En la tabla 3.16
se muestra el seudocódigo del AGH.
46
Tabla 3.16 Algoritmo Genético Híbrido (AGH).
BEGIN AGH
Generar población inicial
n = AGini
DO
FOR i = 1 TO n DO
Evaluar población
Seleccionar padres para nueva población
Cruzar padres para generar hijos
Mutar hijos (se tiene una nueva población)
END FOR
Buscar individuo con menor DP
n=1
WHILE (DP > 0.1)
PUsel
PUsel + DP
Algoritmo de BL
END AGH
En la tabla 3.17 se muestran los valores de AGini para cada caso de estudio a
partir del cuál se puede empezar la búsqueda local. Estos valores se obtuvieron
de las gráficas 3.10, 3.11 y 3.16. Para el caso 2 de 36 unidades se observa que el
desempeño del AG respecto a la aptitud de las soluciones disminuye a partir de la
generación 150; respecto al BP, se estabiliza hasta la generación 450. Por eso
para este caso se probaron valores de 150, 300 y 500 para el AGini.
Tabla 3.17 Generaciones iniciales n del AGH para cada caso de estudio.
AGini
caso 1
75
caso 2
150, 300, 500
caso 3
150
La figura 3.17 muestra el desempeño del AGH aplicado al caso 1 con poblaciones
iniciales generadas aleatoriamente, con el algoritmo SR y con el fc_GRASP.. Las
gráficas muestran el promedio de 5 pruebas, no se usó elitismo para poder
observar la mejora de los individuos en cada generación. Después de la
generación 75 se muestran las soluciones finales aplicando BL, con k0
(vecindades generadas) = 100.
47
9.0
545
Balance d e potencia, BP [MW]
535
525
515
505
495
485
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
núm . generaciones
no factibles
factibles (SR)
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
0
75
BL
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
10
0
0.0
10
aptitud del mejor individuo
555
núm . ge neraciones
no factibles
factibles (fc_grasp)
factibles (SR)
factibles (fc_grasp)
Figura 3.17 Convergencia del AGH con diferentes poblaciones iniciales, caso 1.
Se observa en las gráficas anteriores que con el algoritmo de BL las soluciones
del AGH son independientes de la calidad de los individuos de la población inicial.
También se observa que el desempeño del AG fue menor cuando se utilizaron
soluciones de buena calidad al inicio, porque el porcentaje de mejora fue mucho
menor que cuando se utilizaron soluciones no factibles. La tabla 3.18 registra los
porcentajes de mejora de la aptitud de los individuos al inicio y después de 75 y
150 generaciones.
Las soluciones proporcionadas por el fc_GRASP fueron de tan buena calidad que
el AG difícilmente las pudo mejorar, después de 150 generaciones la mejora del
mejor individuo fue de sólo 0.1%. Sin embargo, el trabajo del AG se puede
observar si se revisan las aptitudes promedio de cada generación, en este caso se
tuvo un 5.5% de mejora. Se puede decir que la secuencias (fc_GRASP + AG +
BL) da resultados similares a una secuencia (fc_GRASP + BL = GRASP).
El AG tuvo el mejor desempeño cuando se utilizó en su forma más simple, sin la
adición de operaciones que depuren las soluciones aleatorias para asegurar la
factibilidad. Los porcentajes de mejoría fueron de 8.5% para el mejor individuo y
de 38.6% para toda la generación.
Tabla 3.18 Comparativo de aptitudes después de 75 y 150 generaciones, para el AG con diferentes
tipos de población inicial, caso 1.
Mejor individuo
Soluciones factibles
por SR
Soluciones factibles
por fc_GRASP
Soluciones no factibles
aptitud
inicial
a) aptitud
después de
75
generaciones
b) aptitud
después de
150
generaciones
a) mejora
aptitud [%]
b) mejora
aptitud [%]
521
510
503
1.9
3.4
498
547
499
500
498
500
-0.2
8.5
0.1
8.6
48
Promedio generación
Soluciones factibles
por SR
Soluciones factibles
por fc_GRASP
Soluciones no factibles
aptitud
inicial
a) aptitud
después de
75
generaciones
b) aptitud
después de
150
generaciones
a) mejora
aptitud [%]
b) mejora
aptitud [%]
557
541
531
2.8
4.7
553
522
523
5.7
5.5
847
520
520
38.6
38.6
La figura 3.18 muestra el desempeño del AG (sin BL) para el caso 3 con población
inicial factible y no factible. El resultado fue similar a lo observado para el caso 1:
no hay dependencia en la convergencia por la calidad de las soluciones de la
población inicial, por lo tanto se usará el AGH en su forma simple, con población
inicial compuesta por soluciones no factibles, generadas de forma aleatoria.
aptitud d el mejor individuo
8,700
8,600
8,500
8,400
8,300
987
929
871
813
755
697
639
581
523
465
407
349
291
233
175
117
1
59
8,200
generaciones
factibles
no factibles
Figura 3.18 Desempeño del AG con población inicial de soluciones factibles y no factibles para el
caso 3 (DEPV de 3 unidades).
La intensidad de la búsqueda local se controla con el parámetro k0. Se hicieron
pruebas con diferentes valores de este parámetro para obtener un valor mínimo
aceptable para los casos 1, 2 y 3. En la tabla 3.19, 3.20 y 3.21 se muestran los
resultados de estas pruebas. Para el caso 1 los mejores resultados se obtuvieron
con k0=500.
Tabla 3.19 Ajuste del parámetro k0 para el caso 1 (7 U’s).
AGini= 75, k0=
100
200
300
400
500
750
Costo mínimo
487,101.360 487,030.999 487,027.493 487,027.493 487,027.493 487,027.493
Costo máximo
Costo
promedio
desv. Est.
%error 1)
%error prom 1)
tiempo usuario
490,405
487,717
487,166
487,105
487,073
487,290
488,052
1,195
0.017
0.21
0.09
487,182
213
0.003
0.03
0.11
487,079
45
0.002
0.01
0.11
487,064
20
0.002
0.01
0.11
487,061
15
0.002
0.01
0.09
487,086
73
0.002
0.01
0.09
1) Respecto al costo de la solución óptima
49
Para el caso 2 se probaron diferentes valores de AGini debido a que en las
pruebas del AG se alcanzó el máximo desempeño en aptitud a partir de la
generación 150, pero fue un poco inestable en cuanto a BP, estabilizándose hasta
la generación 450. Los mejores resultados se obtuvieron con AGini = 500 y k0=
750. Aunque con k0 = 500 se tuvieron resultados similares a k0=500, se prefirió el
primero por la mejor combinación del costo promedio y la desviación estándar de
los resultados.
Tabla 3.20 Ajuste del parámetro k0 para el caso 2 (36 U’s).
AGini =
k0 =
150
300
500
750
500
750
500
750
500
750
500
750
Costo mínimo
4,448,120
4,446,023
4,445,094
4,444,916
4,443,826
4,443,442
4,443,979
4,443,751
Costo máximo
Costo
promedio
4,455,488
4,454,994
4,452,809
4,452,706
4,447,857
4,447,401
4,452,644
4,452,312
4,451,212
4,450,385
4,448,034
4,447,578
4,446,233
4,445,964
4,446,640
4,446,053
desv. Est.
2,042
2,358
2,446
2,413
1,240
1,284
2,809
2,476
%error 1)
0.137
0.090
0.069
0.065
0.040
0.032
0.044
0.039
%error prom 1)
0.21
0.19
0.14
0.12
0.09
0.09
0.10
0.09
tiempo usuario
1.12
1.03
2.06
2.13
3.37
3.19
4.76
4.75
1) Respecto al costo de la solución óptima
Los mejores resultados para el caso 3 fueron con k0=500, según se observa en la
tabla 3.21 por la mejor combinación de menor costo promedio y desviación
estándar.
Tabla 3.21 Ajuste del parámetro k0 para el caso 3 (3 U’s).
k0 =
Costo mínimo
100
8,234.4
200
8,234.4
300
8,234.4
400
8,234.3
500
8,234.1
Costo máximo
Costo
promedio
8,356.0
8,356.0
8,355.6
8,252.3
8,252.3
8,265.6
8,256.7
8,253.3
8,240.4
8,239.6
35.8
0.004
36.2
0.004
36.7
0.004
7.0
0.002
7.3
0.000
0.38
0.28
0.23
0.08
0.07
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
desv. Est.
%error 1)
%error prom
1)
tiempo
usuario
1) Respecto al costo de la mejor solución encontrada
La tabla 3.22 muestra los resultados de la aplicación del AGH a cada uno de los
casos de estudio, donde se utilizaron los siguientes parámetros: tamaño de la
población = 40, elitismo, dos puntos de cruza aleatorio, probabilidad de cruza =
0.8, probabilidad de mutación = 0.01, selección por torneo y los valores de AGini y
k0 obtenidos en párrafos anteriores.
50
3.10 Resumen de resultados del AGH (DE con funciones convexas).
Tabla 3.22 Resultados del AGH para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Caso1
Caso 2
Caso 3
(7 unidades)
(36 unidades)
(3 unidades con pv)
AGini = 75, k0 = 500
AGini = 500, k0 = 750
AGini = 150, k0 = 500
8, 234
Costo mínimo
487, 027
4, 443, 442
8, 252
Costo máximo
487, 073
4, 447, 401
8, 240
Costo promedio
487, 061
4, 445, 964
7.3
desv. Est.
15.2
1, 284.2
0.00
%error
0.002
0.03
0.07
%error_prom
0.01
0.09
0.10
tiempo usuario
0.11
3.2
51
Capítulo 4.
IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO DE
RECOCIDO SIMULADO
4.1 Introducción
El ARS es un algoritmo de búsqueda de la mejor solución y se basa en la analogía
del comportamiento de sistemas termodinámicos simples. En el ARS, la
aceptación de soluciones está gobernada por un parámetro denominado
“Temperatura''. Las soluciones que mejoran el costo actual siempre son aceptadas
y aquellas que lo empeoran también pueden ser aceptadas con cierta
probabilidad, que será alta al inicio de la búsqueda. A medida que la búsqueda
progresa la temperatura disminuye y la probabilidad de aceptación de soluciones
peores también disminuye. Hacia el final de la ejecución sólo las mejores
soluciones son aceptadas.
La implementación de este algoritmo es muy sencilla, prácticamente sólo se debe
trabajar con el algoritmo que genera la solución inicial factible, que debe cumplir
con el BP y con el hecho de que las potencias asignadas a los generadores deben
estar dentro de sus límites operativos. Para la consideración de zonas muertas, el
algoritmo generador de soluciones factibles y el algoritmo de búsqueda en
vecindades deberán desechar los números aleatorios que estén en la región
prohibida. Las funciones no convexas y las funciones discontinuas no tienen
ninguna consideración especial, basta con la implementación de una función que
evalué cada solución generada.
52
El programa de recocido simulado aplicado al PDE consta de tres módulos, el
primero despacho_RS es el programa principal con la secuencia propia del ARS,
el segundo sol_ini, genera la solución inicial y el tercero, vecindades, implementa
la búsqueda local.
4.2 Descripción del programa
Entrada:
Solución inicial (P10, P20, …, Pn0)
Número de unidades, Us
Unidades que operan en zona muerta Uzmi
Rango de zona muerta, ini_zm, fin_zm
Límites de potencia, Pmini, Pmaxi,
Demanda
Salida: solución mejorada (P1s, P2s, …, Pns)
Despacho_RS es el programa principal y utiliza los módulos sol_ini y vecindades
para implementar el ARS.
Módulos:
- Despacho_RS: Implementa el ARS, integrado los módulos anteriores.
- Sol_ini: Genera solución inicial factible S0 = P10 + P20 +… Pn0 = Demanda
- Vecindades: Genera soluciones vecinas.
4.3 Solución inicial
Módulo Sol_ini.
Entrada: Us, Uzmi, zona_muertai, Pmini, Pmaxi, Demanda 1 ≤ i ≤ Us
Salida: Solución inicial S0 = P10 + P20 + P30 = Demanda
El algoritmo utilizado es el de SR que se describió en la sección 3.7.1.
4.3.1 Zona muerta
Antes de asignar las potencias de cada unidad, se decide en forma aleatoria si la
unidad con zona muerta operará abajo o arriba de esta zona. La decisión es
simple, se genera un valor aleatorio entre 0 y 1. Si el valor está entre 0 y 0.5,
entonces la unidad opera por debajo de la zona muerta y se modifica
temporalmente su potencia máxima Pmax, igualándose al inicio de la zona muerta,
Pmax = Pzmini, En caso contrario, la unidad opera arriba de la zona muerta y el
parámetro que se redefine temporalmente es la potencia mínima: Pmin = Pzmfin.
53
4.4 Vecindades
Módulo busqueda_local.
Entrada: Us, Uzmi, zona_muertai, Pmini, Pmaxi, Demanda 1 ≤ i ≤ Us
Salida: Solución vecina Sv = P1v + P2v +…+ PUsv = Demanda
Las vecindades a una solución dada, se determinan al incrementar o disminuir la
potencia de una unidad seleccionada aleatoriamente. El movimiento hacia arriba o
hacia abajo también es aleatorio:
sube si x ≥ 0.5
baja si x < 0.5
x es una variable aleatoria entre 0 y 1.
La cantidad de MW que se mueve la unidad es aleatoria y está limitada por las
potencias máximas y mínimas de las unidades. El movimiento de la unidad
seleccionada en forma aleatoria debe ser cubierto por las demás unidades de tal
manera que no se modifique el valor de demanda suministrado. El movimiento de
todas las unidades es aleatorio a excepción de la última unidad, la cuál tendrá que
absorber la diferencia que falte por cubrir.
Tabla 4.1 Datos del ejemplo para el cálculo de una solución vecina.
Ejemplo 4.1:
P1
P2
P3
Pmin
35
130
125
Pmax
210
325
315
Demanda = 400
Solución inicial:
P1= 40
P2= 160
P3=200
Movimiento seleccionado: subir (aleatorio)
Unidad seleccionada: 2 (aleatorio)
Los rangos permisibles de movimiento para cada unidad se muestran en la tabla 4.2.
54
Tabla 4.2 Rangos permisibles de movimiento a partir de la solución inicial del ejemplo 4.1.
P1
P2
P3
baja (máx)
5
30
75
sube (máx)
170
165
115
MW a mover: 25 (aleatorio)
Para P1 se selecciona un número aleatorio entre 0 y 5 (rango permisible hacia abajo),
digamos 3,
P1= 40-3= 37
demanda restante : 25-3=22
La demanda restante es proporcionado por la unidad 3:
P3=200-22= 178
P2=160+25= 185
El movimiento es exitoso porque se cumple con la demanda y con los rangos disponibles
de potencia de cada unidad.
solución inicial: (40, 160,200)
solución vecina: (37,178,185)
Cuando un movimiento no es permisible porque rebasa los límites de potencia, entonces
es no exitoso y se sigue un proceso aleatorio de movimientos que sean permisibles para
encontrar la vecindad.
4.4.1 Zona muerta
Cuando existe zona muerta en una unidad, la solución vecina respeta la zona de
operación de la unidad en la solución actual, arriba o debajo de la zona muerta.
4.4 Ajuste de los parámetros de ARS
Los parámetros de control del ARS son:
T: temperatura
k0: número de aceptaciones por cada nivel de T
criterio de paro (un valor suficientemente bajo de T)
alfa: factor de disminución de temperatura
55
Los parámetros utilizados por defecto son los de la tabla 4.3.
Tabla 4.3 Parámetros utilizados por defecto para el ARS.
Parámetro
valor
Criterio de paro
T = 10
Factor
de
disminución
por
0.9, 0.95
temperatura, alfa
4.5.1 Temperatura
El criterio de Metrópolis del ARS utiliza la función de distribución de Boltzman para
aceptar una nueva solución. La tabla 4.4 muestra los elementos de la función.
Tabla 4.4 Criterio de Metrópolis para aceptación de una solución.
si
( F (i ) − F ( j )
r< e T
se acepta la solución j, que tiene un costo mayor al de la solución actual i
Fc(i): Función de costo de la mejor solución
Fc(j): Función de costo de la solución actual
r es un número aleatorio en el intervalo [0,1]
El valor de T debe ser tal que el término exponencial pueda se comparable con r
cuyo rango es [0, 1]. El valor tendiente a 1 se obtiene cuando las funciones de
costo de las soluciones comparadas son iguales. El valor 0 se obtiene cuando T
∞. Una buena opción es establecer el valor de T de acuerdo con la máxima
diferencia en costo mdc dentro del espacio de soluciones. Este valor se obtiene de
la diferencia en costo de las unidades operando a potencia máxima y mínima. La
tabla 4.5 muestra la máxima diferencia en costo mdc para el caso 1 de 7 unidades.
Tabla 4.5 Máxima diferencia en costo mdc para el caso 1 con funciones convexas.
Pmáx [MW]
Pmín [MW]
U1
160
40
U2
248
62
U3
248
62
U4
27
7
U5
26
7
U6
30
8
U7
489
122
mdc:
F [$]
767,816
271,858
495,958
En la figura 4.1 se muestra la evaluación de la función de Boltzman para valores
de T referidos a la mdc del caso 1. Con T= mdc/4 se cubre la mayor parte del
rango [0,1] y la posibilidad de que se acepten soluciones con grandes diferencias
en costo es menor respecto a las otras asignaciones de T. Una solución con una
diferencia de 300 mil pesos, respecto al costo de la solución actual, sería aceptada
con una probabilidad de 0.1 con T= mdc/4, y con una probabilidad de 0.74 con
T=mdc*2. El número total de vecindades que se generan depende sólo de la
temperatura inicial T, si el factor de disminución de temperatura alfa, el número de
aceptaciones k0 y el criterio de paro son fijos. Al disminuir T, se revisa un número
56
menor de soluciones, además de tener menos variedad en ellas. Por lo tanto, se
debe buscar un balance adecuado con el valor de T que permita variedad en las
soluciones y generar un número suficiente de soluciones.
1.0
0.9
0.8
0.7
T= mdc*2
0.6
T= mdc
0.5
T= mdc/2
0.4
T= mdc/4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
diferencia en costo [miles $]
Figura 4.1 Evaluación de la función de Boltzman con valores de T referidos a la mdc del caso 1
Se hicieron pruebas con diferentes asignaciones de T para los casos 1,2 y 3. Los
valores de mdc fueron ajustados a cifras cerradas para su mejor presentación. En
la tabla 4.6 se muestran los ajustes de mdc y los valores utilizados para cada
caso. También se muestran los criterios de paro utilizados y que se refieren a un
valor de temperatura de 10 unidades, que se consideró adecuado para el caso 1.
Se utilizó un divisor de costo para su mejor presentación en las gráficas. Los
valores afectados por el divisor de costo aparecen subrayados.
Tabla 4.6 Valores de mdc y criterios de paro para los casos de estudio 1,2 y 3.
caso 1
caso 2
caso 3
Costo máximo
767,816
5,478,376
12,521
Costo mínimo
271,858
3,450,115
2,972
mdc
500,000
2,000,000
10,000
divisor costo
1,000
10,000
100
mdc
500
200
100
mdc *2
1000
400
500
mdc /2
250
100
50
mdc / 4
125
50
25
criterio de paro, T>
10/1000) 10/10000)
10/10)
En las figuras 4.2, 4.3 y 4.4 se muestra el desempeño del ARS aplicado a los
casos 1,2 y 3, con los valores de T de la tabla 4.6. En las primeras fases de
enfriamiento se explora un espacio de solución más amplio, donde se permiten
57
peores soluciones con mayor probabilidad. En las últimas fases casi no se
permiten soluciones de calidad inferior a la solución en curso.
605
585
costo
565
545
525
505
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
485
núm ero solución aceptada
T=mdc/4
T=mdc/2
T=mdc*2
T=mdc
Fig. 4.2 Desempeño del ARS para diferentes valores de T, caso 1 (7 U’s).
465
463
461
costo
459
457
455
453
451
449
11000
9000
10000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
447
núm ero solución aceptada
T=mdc*2
T=mdc
T=mdc/2
T=mdc/4
Fig. 4.3 Desempeño del ARS para diferentes valores de T, caso 2 (36 U’s).
880
870
costo
860
850
840
830
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
820
núm ero solución aceptada
T=mdc*2
T=mdc
T=mdc/2
T=mdc/4
Fig. 4.4 Desempeño del ARS para diferentes valores de T, caso 3 (3 U’s).
58
Tabla 4.7 Resultados para diferentes valores de T. Resaltados los valores de referencia para el
cálculo de los porcentajes. El valor mínimo y el valor promedio son de 10 pruebas.
%
% mejora
desv.
soluciones incremento
T
mínimo
promedio
(mínimo)
Est.
soluciones
caso1
mdc*2
487.024
487.063
0.020
11000
22.2
0.000
10300
14.4
mdc
487.024
487.036
0.015
mdc/2
487.028
487.042
0.018
9700
7.8
0.001
0.000
mdc/4
487.024
487.047
0.020
9000
caso 2
mdc*2
446.477
447.243
0.390
25200
19.4
0.050
mdc
447.104
447.510
0.355
23800
12.8
0.191
447.288
0.566
22500
6.6
mdc/2
446.252
0.041
mdc/4
446.433
446.859
0.326
21100
caso 3
mdc*2
823.430
824.585
0.680
5100
64.5
0.002
824.335
0.911
4400
41.9
mdc
823.412
3800
22.6
0.098
mdc/2
824.215
824.690
0.609
0.754
0.004
mdc/4
823.447
824.039
3100
En la tabla 4.7 se muestran los resultados de diez pruebas usando diferentes
valores de T, referidos al mdc. Para el caso 1 parece indiferente el uso de
cualquiera de los valores propuestos de T, respecto de la solución final. Aunque se
observan pequeñas ventajas al utilizar T=mdc (500) por tener menor variabilidad
en los costos. Para los casos 2 y 3 el costo mínimo, el mejor promedio y la
desviación estándar más pequeña no coinciden para un mismo valor de T. Sin
embargo, es deseable escoger el valor de T donde se tenga la mejor combinación
de costo promedio y variabilidad. Así que para el caso 2 se utilizará T=mdc/4 (50)
y para el caso 3, T=mdc/4 (25).
En la tabla 4.8 se resumen los parámetros del ARS para cada caso de estudio.
Tabla 4.8 Parámetros del ARS para cada caso de estudio.
T
T
alfa
mdc
= 500 000
caso 1 (7 U’s)
500
0.90
mdc / 4 = 500 000
caso 2 (36 U’s)
50
0.95
mdc
/
4
=
2
500
caso 3 (3 U’s)
25
0.90
4.5.2 Ajuste de k0 en la búsqueda local.
Las tablas 4.9, 4.10 y 4.11 muestran los resultados de las pruebas realizadas
para diferentes valores de k0. Se destacan en negrita los valores de k0 con los
mejores resultados, referentes a el mejor costo promedio y su menor desviación
estándar.
59
% mejora
(promedio)
0.006
0.001
0.002
0.086
0.146
0.096
0.066
0.036
0.079
Tabla 4.9 Ajuste de la búsqueda local a través del parámetro k0 para caso 1 (7 U’s).
k0
Costo mínimo
Costo máximo
Costo
promedio
desv. Est.
%error 1)
%error prom 2)
tiempo usuario
25
487,022.3
487,072.4
50
487,026.2
487,082
75
487,022.2
487,101.5
100
487,024.7
487,077
200
487,027.2
487,095.0
487,050.6
21.8
0.001
0.007
0.01
487,044.3
18.2
0.002
0.005
0.03
487,055.3
27.1
0.001
0.008
0.05
487,047.1
20.5
0.001
0.006
0.12
487,060.0
22.9
0.002
0.009
0.14
Tabla 4.10 Ajuste de la búsqueda local a través del parámetro k0 para caso 2 (36 U’s).
k0
100
200
500
600
700
800
Costo mínimo
4,461,458
4,458,141
4,456,795
4,455,173
4,456,227
4,456,305
Costo máximo
Costo
promedio
desv. Est.
4,473,159
4,463,719
4,459,826
4,459,448
4,461,707
4,458,577
4,466,278
3,916
4,461,620
1,620
4,458,160
899
4,457,871
1,252
4,458,139
1,644
4,457,151
780
%error
%error
prom
0.44
0.36
0.33
0.30
0.32
0.32
0.55
0.5
0.44
1.0
0.36
2.5
0.36
3.0
0.36
3.5
0.34
4.0
tiempo usuario
Tabla 4.11 Ajuste de la búsqueda local a través de parámetro k0 para caso 3 (3 U’s).
k0 =
Costo mínimo
Costo máximo
Costo
promedio
desv. Est.
%error 1)
%error prom 1)
tiempo usuario
50
8,234.6
8,286.1
100
8,234.1
8,257.0
150
8,234.1
8,275.4
200
8,234.3
8,250.4
8,250.2
18.0
0.006
0.20
0.00
8,243.7
6.9
0.001
0.12
0.01
8,247.2
12.8
0.000
0.16
0.02
8,242.3
3.9
0.003
0.10
0.03
4.6 Resumen de resultados del ARS (DE con funciones convexas).
Finalmente, la tabla 4.12 muestra una tabla resumen con los resultados para cada
caso de acuerdo con el valor elegido de k0.
Tabla 4.12 Resultados del ARS para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Caso1
Caso 2
Caso 3
(7 U’s)
(36 U’s)
(3 U’s con pv)
T= 500 000, k0 = 50
T= 500 000, k0 = 800
T= 2 500, k0 = 200
Costo mínimo
487,026.2
4,456,305
8,234.3
Costo máximo
487,082
4,458,577
8,250.4
Costo promedio
487,044.3
4,457,151
8,242.3
desv. Est.
18.2
780
3.9
%error
0.002
0.32
0.003
%error_prom
0.10
0.005
0.34
tiempo usuario
0.03
4.0
0.03
60
Capítulo 5.
IMPLEMENTACIÓN DEL GRASP
5.1 Introducción
La implementación del GRASP para el DE queda muy natural, debido a que la
fase constructora guía la forma de construir una solución factible, y asegura que
ésta pueda tener diversidad en cada ejecución. La fase de búsqueda local fue
prácticamente tomada del ARS.
El método GRASP consta de una fase constructora y una fase de búsqueda local.
La fase constructora crea una solución factible, que es mejorada por el algoritmo
de búsqueda local y la mejor solución es guardada dentro del proceso iterativo. El
algoritmo utilizado se muestra en la tabla 5.1.
Tabla 5.1 Algoritmo general GRASP para el DE.
f* ← ∞
for i ≤ imáx do
fase constructora(g(.), α,x)
x ← búsqueda local(x)
if f(x) < f* then
f* ← f(x)
x* ← x
end if
end for
regresar x*
donde
imáx es el número máximo de iteraciones.
g(.) es la función miope que evalúa la incorporación de cada elemento
x es el conjunto solución, que contiene las potencias asignadas a las N unidades
f(x) es el costo de la solución x
f* es el costo de la mejor solución encontrada
x* es la mejor solución encontrada
α es un factor [0,1], que establece el grado de aleatoriedad o miopes del algoritmo
61
5.2 Descripción del programa
El programa despacho_grasp es el programa principal y utiliza los módulos de la
fase de construcción y el de búsqueda local.
Entrada:
Número de iteraciones, Nitr
Número de unidades, Us
Unidades que operan en zona muerta, Uzmi
Rango de zona muerta, ini_zm, fin_zm
Límites de potencia, Pmini, Pmaxi
Demanda
Factor de aleatoriedad-miopía, α
0≤α≤1
Salida: solución (P1s, P2s, …, PUss), P1s + P2s+ …+ PUss = demanda
5.3 Fase constructora
Entrada:
Datos de unidades, Us, Uzmi, ini_zm, fin_zm, Pmini, Pmaxi
Demanda
Número de vecindades k0
Salida: Una solución factible x ∈P
P representa el espacio de soluciones factibles
La solución en la fase constructora se genera bajo el siguiente algoritmo:
Tabla 5.2 Algoritmo GRASP (fase constructora) para el DE.
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
inicio
x = {};
dem_resto ← Demanda
Inicializar lista de candidatos C
mientras |C| ≠ 1 do
calcula Nuevos límites NPmini, NPmaxi | i∈ C
pi ← aleatorio(NPmini, NPmaxi) | i ∈ C
calcula fmiope(pi) | i ∈ C
f ← mín{ fmiope(pi) | i ∈ C }
f+ ← máx{ fmiope(pi) | i ∈ C }
RCL ← { p ∈ C | fmiope(pi) ≤ f + α( f+ – f) }
62
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
selección aleatoria de p de RCL
x ← x ∪ {p}
C ← C – {p}
dem_resto ← dem_resto – p
end mientras
p {C} ← dem_resto
fin
Donde
Demanda: es la demanda que deben cubrir todas las unidades
C: lista de candidatos
RCL: lista restrictiva de candidatos
x: conjunto solución
pi: elemento i de la solución factible
p {c} : ultimo elemento en la lista de candidatos
Descripción del algoritmo.
El algoritmo forma una solución factible x = {p1, p2, … pi, …,pn}. Al principio, el
conjunto solución x está vacío (1), la variable dem_resto inicia con el valor de
demanda que deben cubrir las N unidades y reduce su valor conforme se asignan
potencias a cada elemento de la solución. La lista de candidatos inicial C está
integrada por todas las unidades C = { U1, U2, …, Ui, …, Un}. Posteriormente, a cada
unidad se le asigna una potencia aleatoria (6) dentro de los dominios restringidos,
calculados (5) por un algoritmo de satisfacción de restricciones.
La aplicación de este algoritmo permite asignar valores a una unidad para que
luego, en etapas posteriores, sea posible la asignación de potencias a las
unidades restantes. La función miope (7) es la función de costo de generación que
evalúa a cada generador de acuerdo con su potencia asignada de forma aleatoria.
La lista restrictiva RCL contendrá a las unidades con menor costo que estén
dentro del rango determinado en 10. El elemento que se agrega a la solución se
escoge, de forma aleatoria, de la lista RCL (11). Luego se actualizan el conjunto
solución (12), la lista de candidatos (13) y la demanda por cubrir (14). En cada
ciclo se agrega un elemento a la solución hasta que la lista de candidatos
contenga un sólo elemento. A esta última unidad se le asigna la demanda restante
dem_resto.
Ejemplo 5.1 A continuación, se aplica el algoritmo GRASP para el caso de estudio
2, de 7 unidades térmicas, para encontrar una solución factible.
63
Tabla 5.3 Datos del ejemplo 5.1. Aplicación del GRASP.
demanda
Pmax [MW]
Pmin [MW]
coef. A
coef. B
coef. C
804 MW
U1
U2
160
248
40
62
1.28
368.0
22770
0.56
158.5
33830
U3
248
62
U4
27
7
U5
26
7
U6
30
8
U7
489
122
0.56
158.5
33830
24.92
1154
13330
19.45
1204
16680
21.16
1190
16660
0.029
467.7
6957
Una solución factible es cualquier asignación de potencias a las N unidades, que
cumpla con el BP y con los límites de generación de cada una de ellas. El costo de
generación total no es precisamente el más barato.
Aplicación del algoritmo de la fase constructora:
1. x = {}
2. dem_resto = 804
3. se inicializa conjunto C, C = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7}
4. |C| = 7
5. Nuevos límites
NPmáx
NPmín
U1
160
40
U2
248
62
U3
248
62
U4
27
7
U5
26
7
U6
30
8
U7
489
122
Los nuevos límites NPmin, NPmax, son iguales a los originales, esto quiere decir
que cualquier asignación de potencias dentro de los límites originales, hace posible
una asignación de potencias de las demás unidades para cubrir la demanda.
6, 7. fmiope(P) = (coef. a (P)2 + coef. b (P) + coef. c) / P [$/ MW]
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P aleat
[MW]
130
95
247
9
26
24
247
fmiope
[$/MW]
710
568
435
2,859
2,351
2,392
503
8, 9
f-=
f+=
En RCL
fmiope(P) ≤
1,647
435
2,859
10. Se observa como el valor de α determina el grado de miopía o aleatoriedad, ya que un valor de
α=0, hará al algoritmo totalmente dependiente de la evaluación de la función miope, y se la RCL
estará integrada solamente por el elemento con la mejor evaluación. Por otra parte con α=1, se
permite que integren a la RCL, todos los elementos de C.
RCL = {
P1
130
P2
95
P3
247
64
P7
247
}
11 Se selecciona de forma aleatoria un elemento de RCL, digamos el elemento 2
12, 13, 14. x= {(P2 = 95)}, C = {P1, P3, P4, P5, P6, P7}, dem-resto = 804 – 95 = 709
Siguiente ciclo, |C| = 6
5. Nuevos límites
NPmáx
NPmín
U1
160
40
U2
U3
248
62
U4
27
7
U5
26
7
U6
30
8
U7
489
218
El límite inferior de U7 ha sido modificado. Una asignación de potencia inferior a
218 para U7, no permitiría cubrir la demanda restante de 709, aún asignando a U1,
U3, U4, U5, U6 con sus valores máximos
6, 7.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P aleat
[MW]
104
64
20
21
16
295
fmiope
[$/MW]
720
723
2,319
2,407
2,570
500
8, 9, 10.
f-=
f+=
RCL = {
En RCL
fmiope(P) ≤
1,535
500
2,570
P1
104
P3
64
P7
295
11 Se selecciona de forma aleatoria un elemento de RCL, digamos el elemento 1
12. x= {(P2 = 95), (P1 = 104)}
13. C = {P3, P4, P5, P6, P7}
14. dem_resto = 709 – 104 = 605
Siguiente ciclo, |C| = 5
5. Nuevos límites
U1
NPmáx
NPmín
U2
U3
248
62
U4
27
7
6, 7.
P aleat
[MW]
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
99
19
24
15
287
fmiope
[$/MW]
556
2,329
2,366
2,618
500
65
U5
26
7
U6
30
8
U7
489
274
}
8, 9, 10.
f-=
f+=
En RCL
fmiope(P) ≤
1,559
500
2,618
RCL = {
P3
99
P7
287
}
11 Se selecciona de forma aleatoria un elemento de RCL, digamos el elemento 1
12. x= {(P2 = 95), (P1 = 104), (P3 = 99)}
13. C = {P4, P5, P6, P7}
14. dem_resto = 605 – 99 = 506
Siguiente ciclo, |C| = 4
5. Nuevos límites
U1
U2
U3
U4
27
7
NPmáx
NPmín
U5
26
7
U6
30
8
U7
484
423
6, 7.
P aleat
[MW]
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
21
19
27
471
fmiope
[$/MW]
2,312
2,451
2,378
496
8, 9, 10.
f-=
f+=
En RCL
fmiope(P) ≤
1,474
496
2,451
RCL = {
P7
471
11 Se selecciona de forma aleatoria un elemento de RCL, no queda más opción que 1
12. x= {(P2 = 95), (P1 = 104), (P3 = 99), (P7 = 471)}
13. C = {P4, P5, P6}
14. dem_resto = 506 – 471 = 35
Siguiente ciclo, |C| = 3
5. Nuevos límites
U1
U2
U3
U4
20
7
NPmáx
NPmín
66
U5
20
7
U6
21
8
U7
}
6, 7.
P aleat
[MW]
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
20
9
19
fmiope
[$/MW]
2,319
3,232
2,469
8, 9, 10.
f-=
f+=
En RCL
fmiope(P) ≤
2,776
2,319
3,232
RCL = {
P4
20
}
P6
19
11 Se selecciona de forma aleatoria un elemento de RCL, sea el elemento 2
12. x= {(P2 = 95), (P1 = 104), (P3 = 99), (P7 = 471), (P6 = 19)}
13. C = {P4, P5}
14. dem_resto = 35 – 19 = 16
Siguiente ciclo, |C| = 2
5. Nuevos límites
U1
U2
U3
U4
9
7
NPmáx
NPmín
U5
9
7
U6
U7
6, 7.
P aleat
[MW]
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
8
9
fmiope
[$/MW]
3,020
3,232
8, 9, 10.
f-=
f+=
En RCL
fmiope(P) ≤
3,126
3,020
3,232
RCL = {
P4
8
}
11 Se selecciona de forma aleatoria un elemento de RCL, sólo hay una opción, elemento 1
67
12. x= {(P2 = 95), (P1 = 104), (P3 = 99), (P7 = 471), (P6 = 19), (P4 = 8)}
13. C = {P5}
14. dem_resto = 16 – 8 = 8
Se detiene el ciclo, |C| = 1
16. P5 = 8
FIN
Solución:
x = {104, 95, 99, 8, 8, 19, 471}
costo de la solución: 516 138.
costo solución óptima: 487 018.
desviación: 6%
5.4 Fase búsqueda local
Entrada: solución factible, x = (P1o, P2o, …, PUso)
Salida: solución mejorada, s = (P1s, P2s, …, PUss)
El algoritmo utilizado es el mismo que se utilizó en para el ARS, y se describe en
la sección 4.3. EL parámetro k0 determina cuantas soluciones vecinas se generan.
5.5 Zona muerta
En la solución inicial (fase constructora) y en la generación de vecindades (BL), se
decide de forma aleatoria y antes de asignar las potencias a cada unidad, en que
zona operarán las unidades con zona muerta. Si en la solución inicial la unidad
opera arriba de la zona muerta, en la búsqueda local se buscan soluciones arriba
de la zona muerta también.
5.6 Ajuste de parámetros, Nitr, α
El algoritmo GRASP es de los algoritmos más sencillos en cuanto a parámetros de
control. Una vez definidos los algoritmos de las fases constructora y de búsqueda
local, basta con ajustar el número de iteraciones (N_itr) y el grado de aletoriedadmiopía de la fase constructora (α). Como se describió anteriormente, un valor de
α= 1, permite escoger de forma aleatoria cualquier elemento candidato para formar
parte de la solución. Con α= 0, se escoge al mejor elemento evaluado por una
función miope para ser agregado a la solución. Un término medio de α= 0.5,
permite formar una lista restringida de candidatos integrada por los mejores
elementos, de donde se elege, de forma aleatoria, al siguiente elemento que
68
formara parte de la solución. Con N_itr= 5000 y un número de vecinos k0= 100 que
genera la fase de búsqueda local, se revisan 5x105 soluciones, que es una cifra
pequeña si se compara con el espacio de solución del caso de estudio 1 de 7
unidades, que es de 1.27 x 1014.
La tabla 5.4 muestra los resultados del programa GRASP aplicado al caso 1,
usando valores extremos y un valor intermedio para α. Se hicieron 10 pruebas
para cada valor de α.
Tabla 5.4 Resultados del GRASP al caso 1, con k0 = 100 y distintos valores de α (0.0, 1.0 y 0.5).
Numero de iteraciones= 5000
α =0.5
α=0.0
487,022
487,025
0.001
0.001
487,023
487,025
0.001
0.001
mejor solución
iteración promedio
α =0.5
α =0.0
mejores tres soluciones
α=0.5
costo mejor solucion
costo promedio
error mejor solución [%]
error costo promedio [%]
1873
3338
α =0.0
α = 1.0
487,023
487,026
0.001
0.002
solución
óptima
487,018
α = 1.0
2873
α = 1.0
iteración mín*
1498
1556
1333
iteración máx
3580
3732
3763
El desempeño de este algoritmo para el caso de estudio 1 de 7 unidades fue
excelente. El error de la mejor solución fue muy pequeño para los tres valores de
α utilizados. Se prefirió un valor de α= 0.5 porque la mejor solución se encontró,
en promedio, en un número de iteraciones menor (1873), y también encontró a las
tres mejores soluciones en un rango menor (1498 a 3580).
En las figuras 5.1 a 5.3 se muestra el desempeño del algoritmo GRASP. Se
observó que cuando α= 0, las variaciones en el costo de las soluciones mejoradas
es menor porque no se permite elegir a elementos que aumenten el costo de la
solución. Con alfa = 1.0, la elección de los elementos que se incorporan a la
solución es totalmente aleatorio y la solución es generalmente más costosa. Por
eso se observaron soluciones con costos más altos que con α= 0.0. Con α= 0.5 se
balancea la aleatoriedad y miopía en la generación de las soluciones.
69
α = 0.5
515
510
505
500
495
490
1500
1250
1000
750
500
250
485
0
costo mejor solución
520
iteración
Figura 5.1 Costo de las soluciones de cada iteración, fase de construcción con α=0.5, caso 1 (7
U’s).
α = 1.0
515
510
505
500
495
490
1500
1250
1000
750
500
250
485
0
costo mejor solución
520
iteración
Figura 5.2 Costo de las soluciones de cada iteración, fase de construcción con α=1, caso 1 (7 U’s).
α = 0.0
515
510
505
500
495
490
1500
1250
1000
750
500
250
485
0
costo mejor solución
520
iteración
Figura 5.3 Costo de las soluciones mejoradas de cada iteración, fase de construcción con α=0,
caso 1 (7 U’s).
70
Se probaron otras combinaciones de N_itr y k0 con el fin de tener una referencia
mínima de estos valores. En las columnas a y b de la tabla 5.5b se muestran
mejores resultados con la intensificación de la búsqueda local a la vez que se
redujo el número de iteraciones, conservando así el número total de soluciones
generadas. La mejor solución en la columna b se encontró en promedio en la
iteración 329, lo cuál nos indica que no es necesario generar tantas como 500
soluciones iniciales. Por lo tanto se realizaron pruebas con N_itr = 400 y
N_itr=300, y se probaron diferentes valores de k0 en la búsqueda local. Los
resultados mostrados en las columnas f y g muestran un deterioro en la calidad de
las soluciones. Los mejores resultados se obtuvieron con Nitr = 500 y Nitr = 300.
Tabla 5.5 Resultados del GRASP al caso 1, con diferentes combinaciones de N_itr y k0.
a
b
c
d
e
f
g
5000
100
500
1000
400
750
300
500
300
400
300
300
200
400
487,022
487,025
1.90
0.001
0.001
487,018
487,020
1.06
0.000
0.000
487,019
487,021
1.39
0.000
0.001
1873
329
175
162
147
144
162
1498
3580
220
427
90
305
91
227
75
216
73
226
57
162
N_itr
k0
costo mejor solucion
costo promedio
desv. Est.
error mejor solución [%]
error costo promedio [%]
mejor solución
iteración promedio
solución
óptima
487,019 487,019 487,018 487,020
487,021 487,021 487,022 487,022
1.65
0.96
2.96
1.98
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.001
0.001
0.001
487,018
mejores tres soluciones
iteración mín*
iteración máx
En la tabla 5.6 se muestran los resultados para un ajuste mas detallado de k0 con
los mejores valores de Nitr de la tabla 5.5. Aunque el mejor caso se observa con
Nitr=500 y k0 = 500, se prefirió la combinación Nitr=300 y k0 = 400 porque emplea
la mitad del tiempo con resultados muy similares.
Tabla 5.6 Ajuste de k0 para el caso 1 (7 U’s).
Nitr
k0 =
500
500
500
300
300
300
Costo mínimo
1000
750
500
500
400
300
487,018.4 487,018.7 487,018.5 487,018.5 487,019.4 487,019.4
Costo máximo
Costo promedio
487,022.3 487,022.7 487,021.1 487,023.6 487,022.2 487,025.2
487,020.1 487,020.0 487,020.2 487,020.8 487,020.7 487,022.2
desv. Est.
%error 1)
%error prom 1)
tiempo usuario
1.3
0.000
0.000
3.85
1.2
0.000
0.000
2.88
0.7
0.000
0.000
1.88
71
1.4
0.000
0.001
1.13
1.0
0.000
0.001
0.89
1.7
0.000
0.001
0.66
Para el caso 2 de 36 unidades se utilizó un valor de α= 0.5. Las pruebas
realizadas consideraron 5 combinaciones diferentes de los parámetros N_itr y k0.
Recuérdese que con N_itr se ajusta el número de soluciones factibles que genera
la fase de construcción, y con k0 se controla la cantidad de vecindades que se
revisan en la búsqueda local. Las combinaciones de N_itr y k0 consideradas dan
como máximo la generación de 2x106 soluciones en las dos fases del GRASP. El
espacio de solución es de 1.76x1073, así que el número de soluciones revisadas
es insignificante. Reduciendo el valor de N_itr se pretendió generar un menor
número de soluciones y hacer más intensa la búsqueda local para mejorar la
calidad de la solución final. En la tabla 5.7 se muestran los resultados de aplicar el
GRASP al DE del caso de estudio 2. Se observa el mejor desempeño del GRASP
con Nitr=1000 donde la mejor solución tuvo un error de 0.05% y el costo promedio
de 0.09% respecto de la solución óptima.
Tabla 5.7 Resultados del GRASP para el DE del caso 2, con diferentes combinaciones de N_itr y
k0.
N_itr
k0
5000
100
500 000
soluciones
costo mejor solucion
costo promedio
error mejor solución [%]
error costo promedio [%]
2500
200
500 000
1250
400
500 000
4,449,397 4,446,597 4,447,128
4,451,485 4,449,132 4,448,376
0.17
0.10
0.11
0.21
0.16
0.14
mejor solución
iteración *
500
2000
1 000 000
1000
1000
1 000 000
4,445,020
4,445,910
0.07
0.09
4,444,244
4,446,048
0.05
0.09
2930
1303
700
260
440
1866
3968
590
1807
306
995
132
344
287
726
solución
óptima
4,442,037
mejores tres soluciones
iteración mín *
iteración máx*
promedio de las10 pruebas
Los resultados para Nitr= 1000 y k0 = 1000 muestran que, en promedio, la mejor
solución se obtuvo en las primeras 500 iteraciones, por lo que se utilizaron valores
semejantes de Nitr para hacer un mejor ajuste del parámetro k0 respecto al tiempo
de ejecución, ver tabla 5.8. La mejor solución se obtuvo con k0 = 1000, y valores
grandes de Nitr. Si no se tienen limitantes de tiempo, se pueden utilizar valores tan
grandes como se desee, pero las mejoras en la calidad de la solución son
mínimas. La combinación Nitr = 500 y k0 = 1000 proporciona casi los mismos
resultados que la combinación de valores más grande (Nitr=800 y k0 = 1000) en un
tiempo de 60% menos. Para este caso, en donde los tiempos de ejecución son
significativos, se usó regresión lineal para poder estimar los tiempos de ejecución
respecto del número de soluciones generadas por el grasp (Ts = Nitr x k0) : t =
0.1427 Ts + 2.461x 10 -5.
Tabla 5.8 Ajuste de k0 para el caso 2 (36 U’s).
72
Nitr
k0
800
600
500
1000
750
500
1000
750
500
1000
750
500
Costo mínimo
4,444,245
4,445,224
4,445,971
4,444,245
4,445,224
4,445,971
4,444,245
4,446,688
4,447,301
Costo máximo
Costo
promedio
4,447,653
4,448,801
4,449,765
4,448,312
4,448,801
4,450,183
4,448,312
4,449,563
4,449,564
4,446,193
4,447,183
4,448,036
4,446,259
4,447,226
4,448,448
4,446,539
4,447,686
4,448,719
1,126
1,031
1,009
1,235
1,035
1,207
1,115
994
972
0.05
0.07
0.09
0.05
0.07
0.09
0.05
0.10
0.12
0.094
0.116
0.135
0.095
0.117
0.144
0.101
0.127
0.150
19.8
15.0
10.0
14.9
11.2
7.5
12.4
9.4
6.3
desv. Est.
%error
%error prom
tiempo
Por último, en las tablas 5.9 y 5.10 se muestran los resultados para el caso 3. Los
ajustes de de N_itr y k0 del caso 1 son muy grandes para este caso y se probaron
valores más bajos. Con N_itr = 100 y k0=100 fue suficiente para obtener buenas
soluciones.
Tabla 5.9 Resultados del GRASP para el DE del caso 3, con diferentes combinaciones de N_itr y
k0.
N_itr
1250
700
100
k0
400
400
100
Mejor
Solución
soluciones GRASP/espacio
solución [%]
2.2
1.2
0.04
costo mejor solucion
8,234.07
8,234.07
8,234.10
costo promedio
8,234.07
8,234.07
8,234.11
error mejor solución [%]
0.00
0.00
0.00
error costo promedio [%]
0.00
0.00
0.00
658
497
40
313
723
143
562
34
71
mejor solución
iteración *
rango mejores tres soluciones
mín*
máx*
Tabla 5.10 Ajuste de k0 para el caso 3 (3 U’s).
Nitr
k0 =
Costo mínimo
Costo máximo
Costo promedio
desv. Est.
%error 1)
%error prom 1)
tiempo usuario
100
100
8,234.078
8,234.2
8,234.1
0.02
0.000
0.000
0.04
73
80
125
8,234.072
8,234.2
8,234.1
0.04
0.00
0.000
0.04
125
80
8,234.085
8,234.3
8,234.1
0.06
0.000
0.001
0.04
8,234.07
En la tabla 5.11 se resumen los mejores ajustes de los parámetros del GRASP
para cada caso de estudio.
Tabla 5.11 Parámetros del GRASP determinados para cada caso de estudio.
alfa
N_itr
k0
caso 1
300
400
0.5
caso 2
500
1000
0.5
caso 3
100
100
0.5
5.7 Resumen de resultados del GRASP (DE con funciones convexas).
En la tabla 5.12 se muestra un resumen de los resultados para cada caso de
estudio, donde se usaron los ajustes obtenidos para Nitr y k0 y funciones de costo
convexas.
Tabla 5.12 Resultados del GRASP para los casos de estudio 1, 2 y 3 (con funciones de costo
convexas).
Caso1
Caso 2
Caso 3
(7 U’s)
(36 U’s)
(3 U’s con pv)
Nitr= 300, k0 =
Nitr= 500, k0 = 1000
Nitr= 100, k0 = 100
400
Costo mínimo
4,444,245
8,234.1
487,019.4
Costo máximo
4,448,312
8,234.2
487,022.2
Costo promedio
4,446,539
8,234.1
487,020.7
desv. Est.
1115.1
0.02
1.0
%error
0.050
0.000
0.000
%error_prom
0.101
0.000
0.001
tiempo usuario
12.38
0.04
0.89
74
Capítulo 6.
RESULTADOS FINALES
6.1 Introducción.
En este capítulo se muestran los resultados finales de la aplicación de cada
heurística a cada caso de estudio. Primeramente se presenta una tabla resumen
con los ajustes de los parámetros obtenidos en las secciones anteriores. Las
tablas de resultados se obtuvieron a partir de diez pruebas donde se utilizaron
semillas aleatorias fijas con valores de 100, 200, 300, … , 900 y 1000.
Con el fin de ser breve en la exposición de resultados, sólo se presenta el detalle
de los valores de potencia de las unidades para el caso 1 (de 7 U’s) y para los
demás casos sólo se presentan tablas con estadísticas de las 10 pruebas
realizadas. Para cada caso se muestran resultados del DE con funciones de costo
convexas y con funciones de costo no convexas y zona muerta.
Se muestran también los resultados comparativos de los casos 1 y 3 al utilizar
funciones de costo ajustadas, de segundo grado convexas, y las funciones reales
no convexas. No se considera la zona muerta con el propósito de evaluar
solamente los costos adicionales que se tienen por utilizar las curvas ajustadas de
segundo grado. Para el caso 2 de 36 unidades, se muestran resultados con la
combinación de funciones de costo: 32 unidades con funciones de costo convexas
de segundo grado, 3 unidades con punto de válvula y una unidad con el modelo
del PIE CC Mexicali.
75
6.2. Resultados para el caso de estudio, 7 U’s.
Los ajustes de los parámetros de cada heurística que se obtuvieron en las
secciones anteriores se resumen en la tabla 6.1.
Tabla 6.1 Ajustes de los parámetros de las heurísticas, caso 1 (7 U’s).
AG
AGH
ARS
GRASP
Generaciones
300
75
-
Nitr
-
-
300
FP_IBP
2 500
2 500
K0
500
50
400
alfa
0.9
0.5
Temperatura
500 000
-
Detalle de resultados del AG.
Los resultados del AG tuvieron mucha variabilidad y en ninguna prueba se obtuvo
la asignación de potencia de la solución óptima para el caso de funciones de costo
convexas (ver tabla 6.2a). Aún en la prueba 9, que es la de menor costo, los
valores de potencia despachados a las unidades 1, 2, 3 y 7 son muy diferentes.
El valor de potencia de la unidad 7 en la solución óptima es de 306.1 MW, que en
la realidad no sería tomado como punto de operación por estar dentro de la zona
muerta (260 a 320 MW). La unidad 7 sería operada en 320 MW que es el límite
más cercano fuera de la zona muerta y la diferencia en el BP sería de 13.9 MW.
Esta diferencia tendría que ser contrarestado por las demás unidades. Esto indica
que habría que resolver otro problema de DE, en donde se determinaría la forma
más económica de reducir esos 13.9 MW entre las 6 unidades restantes. En la
tabla 6.2b se observa el cumplimiento de la restricción de la zona muerta de la
unidad 7 en todas las pruebas, ya que fue tratada desde la codificación.
El costo más barato fue el de la prueba 1 ($487,876) y es más caro que cuando no
se considera la restricción de la zona muerta ($487,018), aunque hay que resaltar
que las funciones de costo con que se evaluó la unidad 7 son distintas.
El AG implementado no tiene un algoritmo de reparación de soluciones, por lo que
la aptitud difiere de la función de costo total por el escalamiento (1000) y la
penalización por el incumplimiento del balance de potencia.
76
Tabla 6.2 Caso 1. Aplicación del AG. Número de generaciones = 300, FP_IBP = 2500, probabilidad
de cruza = 0.8, probabilidad de mutación = 0.01. a) todas las unidades con funciones de costo
convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y zona muerta.
MW
$
Pt
P1
P2
P3
1
870.0
90.6
248.0
155.0
7.2 7.0 8.1
P4
P5
P6
354.2
P7
499,190
Ft
P_IBP Aptitud
0.0
499.2
2
870.0
103.7
224.7
155.0
8.4 7.2 8.1
362.8
503,874
0.1
504.0
3
870.0
81.2
201.5
201.5
7.3 7.7 8.0
362.8
496,544
0.1
496.6
4
870.0
64.9
177.9
194.2
7.0 7.0 8.0
411.0
498,094
0.0
498.1
5
870.0
98.3
224.7
230.6
7.0 7.0 8.0
294.4
492,941
0.0
493.0
6
869.9
73.1
148.0
224.6
7.0 7.0 8.0
402.4
500,050
0.0
500.1
7
870.0
66.8
212.2
195.7
7.0 7.0 8.0
373.3
494,168
0.0
494.2
8
870.0
65.9
230.3
178.2
7.0 7.0 8.0
373.7
494,742
0.0
494.8
9
870.0
74.3
224.3
227.6
7.0 7.0 8.0
321.8
490,697
0.0
490.7
10
869.9
95.0
200.8
236.3
7.0 7.0 8.0
315.9
494,257
0.0
494.3
248.0 7.0 7.0 8.0
306.1
487,018
0.0
487.0
1)
870.0
45.9 248.0
1) solución óptima
a)
MW
$
Pt
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
1
870.0
59.4
221.7
236.4
7.0
7.0
8.0
330.5
487,876
0.0
487.9
2
870.0
60.6
108.4
223.7
7.0
7.0
8.0
455.2
501,272
0.0
501.3
3
870.0
54.9
155.0
248.0
7.5 12.7 8.5
383.3
500,944
0.0
501.0
4
870.0
56.7
227.6
201.5
7.2
7.0
8.0
362.0
489,671
0.0
489.7
5
870.0
67.6
153.5
206.6
7.0
7.0
8.0
420.3
496,182
0.0
496.2
6
870.0
50.7
192.0
152.0
7.0
7.0
8.1
453.2
496,270
0.0
496.3
7
870.0
122.5
203.0
201.2
7.0
7.0
8.0
321.2
499,795
0.0
499.8
8
870.0
47.0
213.1
241.5
7.0
7.0
8.1
346.4
487,842
0.0
487.8
9
870.0
53.3
208.1
186.9
7.0
7.0
8.0
399.7
491,619
0.0
491.6
10
870.0
112.2
207.0
198.6
7.0
7.0
8.0
330.2
497,617
0.0
497.6
b)
77
Ft
FP_IBP aptitud
Detalle de resultados del AGH.
A diferencia del AG, con el AGH los resultados son más homogéneos. Los valores
de potencia de cada unidad en todas las pruebas son muy similares y por lo tanto
también los costos totales. Cuando se considera la zona muerta (tabla 6,3b) se
observa que la unidad 7 es llevada al límite inferior de su zona muerta e incluso el
costo de generación es inferior al mostrado en la tabla 6.3a para la solución
óptima. Esto es debido a que han sido evaluadas con diferentes funciones de
costo.
Tabla 6.3 Caso 1. Aplicación del AG Híbrido. AGini = 75, K0 = 500, FP_IBP = 2500, probabilidad de
cruza = 0.8, probabilidad de mutación = 0.01. a) todas las unidades con funciones de costo
convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y zona muerta.
MW
Pt
P1
P2
P3
$
P4
P5
P6
P7
Ft
1
870.0
40.0
247.9
247.9
7.0 7.0 8.0
312.1
487,070
2
870.0
41.1
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
310.9
487,050
3
870.0
40.0
247.9
247.9
7.0 7.0 8.0
312.2
487,073
4
870.0
40.0
247.9
247.9
7.0 7.0 8.0
312.2
487,073
5
870.0
43.7
247.9
248.0
7.0 7.0 8.0
308.3
487,027
6
870.0
40.0
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
312.1
487,069
7
870.0
40.0
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
312.1
487,067
8
870.0
40.0
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
312.1
487,068
9
870.0
41.7
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
310.4
487,044
10
870.0
40.0
247.9
248.0
7.0 7.0 8.0
312.1
487,068
1)
870.0 45.9 248.0
1) solución óptima
248.0 7.0 7.0 8.0
306.1
487,018
a)
MW
Pt
$
P1
P2
P3
1
870.0
40.0
243.9
244.1
7.0 7.0 8.0
P4
P5
P6
320.0
P7
486,003
Ft
2
870.0
40.0
243.8
244.2
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
3
870.0
40.0
242.9
245.1
7.0 7.0 8.0
320.0
486,004
4
870.0
40.0
242.4
245.6
7.0 7.0 8.0
320.0
486,006
5
870.0
40.0
242.8
245.2
7.0 7.0 8.0
320.0
486,004
6
870.0
40.0
243.5
244.4
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
7
870.0
40.0
244.5
243.4
7.0 7.0 8.0
320.0
486,010
8
870.0
40.0
243.7
244.3
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
9
870.0
40.0
247.6
240.4
7.0 7.0 8.0
320.0
486,018
10
870.0
40.0
241.4
246.6
7.0 7.0 8.0
320.0
486,014
b)
78
Detalle de resultados del ARS.
Los resultados del ARS fueron muy similares al AGH cuando se usaron funciones
convexas. La variabilidad en el costo total fue de 19 contra 15 del AGH. En este
algoritmo las soluciones generadas son factibles y no hay penalización por
incumplimiento de BP.
Cuando se utilizó la función no convexa en la unidad 7, la mitad de las soluciones
llevaron a la unidad 7 a una operación en el límite inferior y la otra mitad al límite
superior de la zona muerta, siendo estos últimos de menor costo. Los resultados
del AGH fueron en general mejores que los del ARS, ya que en todos ellos la
unidad 7 se asignó en el límite superior de la zona muerta.
Tabla 6.4 Caso 1. Aplicación del Algoritmo de Recocido Simulado. T= 500 000, k0 = 50, a) todas
las unidades con funciones de costo convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y
zona muerta.
MW
Pt
P1
P2
P3
$
P4
P5
P6
P7
Ft
1
870.0
43.8
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
308.2
487,043
2
870.0
42.9
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
309.2
487,036
3
870.0
44.3
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
307.8
487,025
4
870.0
40.0
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
312.1
487,069
5
870.0
42.0
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
310.0
487,047
6
870.0
42.5
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
309.5
487,041
7
870.0
47.0
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
305.2
487,029
8
870.0
40.0
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
312.0
487,082
9
870.0
43.2
247.9
248.0
7.0 7.0 8.0
308.9
487,032
10
870.0
47.5
1)
247.9
247.9 7.0 7.0 8.0
304.6
487.030
870.0 45.9 248.0
1) solución óptima
248.0 7.0 7.0 8.0
306.1
487,018
a)
MW
Pt
$
P1
P2
P3
1
870.0
40.0
240.1
247.9
7.0 7.0 8.0
P4
P5
P6
320.0
P7
486,020
Ft
2
870.0
92.0
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
260.0
488,993
3
870.0
40.0
247.8
240.2
7.0 7.0 8.0
320.0
486,031
4
870.0
92.2
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
259.9
489,011
5
870.0
40.0
245.0
243.0
7.0 7.0 8.0
320.0
486,025
6
870.0
40.0
248.0
240.0
7.0 7.0 8.0
320.0
486,029
7
870.0
40.0
242.9
245.1
7.0 7.0 8.0
320.0
486,004
8
870.0
92.1
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
260.0
488,999
9
870.0
92.2
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
259.9
489,014
10
870.0
92.2
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
259.9
489,018
b)
79
Detalle de resultados del GRASP.
Los resultados del GRASP mostraron poca variabilidad (desv. est. = 1) y es que, a
diferencia de los algoritmos AG y ARS, éste no da opción de aceptar peores
soluciones. Véase en la tabla 6.5 la homogeneidad de los resultados en todas las
pruebas. El inconveniente es que es el GRASP requiere de mayor tiempo de
ejecución. Los tiempos de ejecución de cada algoritmo se muestran en la siguiente
sección.
Tabla 6.5 Caso 1. Aplicación del GRASP. Nitr = 300, k0 = 400, a) todas las unidades con
funciones de costo convexas, b) unidad 7 con función de costo no convexa y zona muerta.
MW
Pt
P1
P2
P3
$
P4
P5
P6
P7
Ft
1
870.0
44.8
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
307.3
487,022
2
870.0
45.4
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
306.6
487,020
3
870.0
44.9
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
307.1
487,020
4
870.0
46.3
247.9
248.0
7.0 7.0 8.0
305.8
487,022
5
870.0
46.2
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
305.9
487,020
6
870.0
45.3
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
306.7
487,020
7
870.0
45.2
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
306.9
487,022
8
870.0
46.1
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
305.9
487,019
9
870.0
45.2
248.0
248.0
7.0 7.0 8.0
306.8
487,021
10
870.0
46.5
248.0
247.9
7.0 7.0 8.0
305.6
487,022
1)
870.0 45.9 248.0
1) solución óptima
248.0 7.0 7.0 8.0
306.1
487,018
a)
MW
Pt
P1
P2
P3
$
P4
P5
P6
P7
Ft
1
870.0
40.0
244.0
244.0
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
2
870.0
40.0
243.9
244.1
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
3
870.0
40.0
243.9
244.1
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
4
870.0
40.0
244.0
244.0
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
5
870.0
40.0
243.9
244.1
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
6
870.0
40.0
243.9
244.1
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
7
870.0
40.0
244.0
244.0
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
8
870.0
40.0
244.0
244.0
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
9
870.0
40.0
243.9
244.1
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
10
870.0
40.0
243.8
244.2
7.0 7.0 8.0
320.0
486,003
b)
RESUMEN CASO 1, 7 U’s.
En los resultados del AG las soluciones tienen mucha variabilidad (3,915) y el
error promedio con respecto al costo de la solución óptima (487,018) fue de
1.95%.
80
En la tabla 6.6 se observa que la calidad de las soluciones es buena para el AG y
excelente para los algoritmos AGH, ARS y GRASP. El algoritmo más estable es el
GRASP con una desviación estándar de 1, aunque requirió más de 10 veces el
tiempo reportado para el AGH y el ARS. Como ya se ha comentado, el AG mejora
rápidamente las soluciones iniciales, pero la calidad de la solución final es pobre y
muy variable. Las estadísticas del AG que se muestran son muy similares desde la
generación número 100, pero se muestra el resultado de 300 generaciones para
mostrar que la calidad de la solución ya no mejora significativamente. El algoritmo
que mejor se desempeñó fue el ARS, por la calidad de sus soluciones en un
menor tiempo de ejecución.
Tabla 6.6 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 1 con funciones de costo
convexas.
AG
AGH
ARS
GRASP
Generaciones =300
AGini = 75
T = 500 000
Nitr=300
k0=500
k0=50
K0=400
Costo mínimo
490,719
487,027
487,025
487,019
Costo máximo
Costo
promedio
503, 999
487,073
487,082
487,022
496,491
487,061
487,043
487,021
3,915
15
19
1
%error 1)
0.76
0.002
0.001
0.000
%error prom 2)
1.95
0.01
0.01
0.00
tiempo usuario
0.45
0.09
0.03
0.89
desv. Est.
1
2
costo mínimo respecto al costo de la solución óptima
costo promedio respecto al costo de la solución óptima
Los resultados para el caso 1 cuando se considera la zona muerta y la función no
convexa en la U7 se muestran en la tabla 6.7.
Tabla 6.7 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 1, con zona muerta y
función de costo no convexa para unidad 7.
AG
AGH
ARS
GRASP
Generaciones=300
AGini=75
T = 500 000
Nitr=300
k0=500
k0=50
k0=400
Costo mínimo
487,843
486,003
486,004
486,003
Costo máximo
Costo
promedio
501,288
486,018
489,018
486,003
494,925
486,007
487,514
486,003
desv. Est.
5 271.2
5.2
1 573
0.03
0.379
0.000
0.000
1.84
0.00
0.31
0.44
0.09
0.05
%error
1
%error prom
2
tiempo usuario
1
costo mínimo respecto al mejor costo obtenido (GRASP)
2
costo promedio respecto al mejor costo obtenido (GRASP)
81
1.52
En este caso, la solución óptima no es conocida, por las restricciones impuestas a
la unidad 7. Las mejores soluciones las proporcionó nuevamente el GRASP y las
soluciones en todas las pruebas fueron prácticamente las mismas. El AGH mostró
ahora mejor desempeño que el ARS y aún cuando se incrementó k0 para que en
cuestión de tiempo de ejecución fuera comparable con el AGH, los resultados no
mejoraron, ver tabla 6.8.
Tabla 6.8 Resultados del ARS con zona muerta y función no convexa en U7, k0 = 100.
ARS
T = 500 000
k0=100
Costo mínimo
486,016
489,022
487,516
1,572
Costo máximo
Costo promedio
desv. est.
%error
1
0.003
2
%error prom
tiempo usuario
0.31
0.14
Se comparó el DE con los dos tipos de funciones, convexa y no convexa, para la
unidad 7 del PIE CC Mexicali. A la primera se hará referencia como la función de
costo ajustada y a la segunda, como la función de costo real, pues es la que
proporciona el permisionario para la facturación de la energía entregada. Los
resultados en la tabla 6.9(1) son los que se obtienen con el método simplex,
utilizando funciones de costo de segundo grado convexas; en 6.9(2) se evalúa a la
unidad 7 con la función de costo real; en 6.9(3), la mejor solución obtenida de los
cuatro métodos heurísticos, que la proporcionó el GRASP.
Tabla 6.9 Evaluación de funciones de costo, caso 1 (7Us) sin zona muerta. Demanda = 870 MW
potencia
Pt
P1
P2
P3
P4
Costo
P5
P6
P7
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
total
1
870.0 45.9 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 306.1 42,358 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 152,845 487,018
2
870.0 45.9 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 306.1 42,358 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 151,601 485,774
3
870.0 40.1 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 311.9 39,569 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 154,347 485,732
1) solución óptima, U7 evaluada con función de costo ajustada de segundo grado convexa.
2) solución óptima, U7 evaluada con función de costo no convexa.
3) mejor solución GRASP, usando función de costo no convexa para U7.
82
La tabla 6.10 muestra la comparación de resultados de las heurísticas. Con
excepción del AG, todas las heurísticas obtuvieron costos menores a los obtenidos
con el simplex, tanto en costo mínimo como en costo promedio.
Tabla 6.10 Resultados de las heurísticas para el caso 1. U7 con función de costo real. Demanda = 870 MW.
AG
AGH
RS
GRASP
AGini=75
T = 500 000
Nitr=300
SIMPLEX
1
demanda 870
300
generaciones
487,830
k0=500
485,733
k0=50
485,734
k0=400
485,732
Costo máximo
499,938
485,806
Costo promedio
494,006
485,745
desv. Est.
4,216
23
2
%error
0.42
-0.01
2
%error prom
1.69
-0.01
1
costo de la unidad 7 evaluado con función real, no
convexa
485,744
485,739
4
-0.01
-0.01
485,732
485,732
0
-0.01
-0.01
Costo mínimo
2
485,774
respecto de la solución del simplex
La mejor solución que se obtuvo con el GRASP en diez pruebas tuvo un costo
total de 485 732, que es menor en $42 al que se obtendría indirectamente con el
simplex 6.9 (2). Tomando en cuenta que los métodos heurísticos no garantizan la
obtención de una solución óptima, se puede decir que para una demanda de 870
el DE que se obtuvo utilizando la función ajustada tuvo un error de al menos $42 y
representa el 0.01% del costo total de generación. La diferencia en costo de la U7
evaluada con los dos tipos de funciones es de $1 244 (6.9 1,2) y, como se aprecia
en la figura 6.1, en este punto de operación de 306 MW, ambas funciones son
muy cercanas.
Función de costo
301500
251500
$/h
201500
real
151500
ajustada
101500
51500
306
1500
120
160
200
240
280
320
360
400
440
480
MW
Figura 6.1 Punto de operación de la unidad 7 (306 MW), caso 1 con 870 MW de demanda.
83
Se resolvió el DE con otros valores de demanda para exponer los resultados
cuando la U7 opera en regiones donde las curvas están más alejadas, por ejemplo
de 122 A 160 MW ó de 420 a 489 MW. En la tabla 6.10 se muestran los resultados
para una demanda de 700 MW en donde el despacho de la U7, con la función de
costo ajustada, es de 139.9 MW. La diferencia en costo de las dos curvas es de $3
660 (tabla 6.11 1,2). Los resultados del GRASP, utilizando la función real de costo
para la U7, la despachan en 130.3 MW. Entonces el error por usar la función de
costo ajustada fue de al menos $125 (0.03%).
Tabla 6.11 Evaluación de funciones de costo, caso 1 (7Us). Demanda = 700 MW.
potencia
Pt
P1
P2
P3
P4
Costo
P5
P6
P7
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
total
1
700.0 42.1 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 139.9 40,542 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 72,946 405,304
2
700.0 42.1 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 139.9 40,542 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 69,286 401,644
3
700.0 51.7 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 130.3 45,220 107,796 107,792 22,629 26,061 27,534 64,486 401,518
1) solución óptima, U7 evaluada con función de costo ajustada
2) solución óptima, U7 evaluada con función de costo real
3) mejor solución GRASP, usando función de costo real en la U7
La tabla 6.12 muestra la comparación de resultados de las heurísticas. De igual
manera, se obtienen mejores costos con las heurísticas, con excepción del AG.
Tabla 6.12 Resultados de las heurísticas para el caso 1. U7 con función de costo real. Demanda = 700 MW.
AG
AGH
RS
GRASP
300
AGini=75
T = 500 000
Nitr=300
generaciones
k0=500
k0=50
k0=400
SIMPLEX
1
demanda 700
Costo mínimo
402,072
401,582
401,526
401,518
Costo máximo
Costo promedio
416,216
409,245
401,773
401,663
401,614
401,557
401,526
401,522
29
-0.03
-0.02
2
-0.03
-0.03
desv. Est.
5,187
2
%error
0.11
2
%error prom
1.89
1
costo de la unidad 7 evaluado con función real, no
convexa
2
61
-0.02
0.00
401,644
respecto de la solución SIMPLEX
En la tabla 6.13 se muestran los resultados para una demanda de 1 050 MW. El
despacho de la U7 con la función de costo ajustada es de 482.1 MW y la
diferencia en costo de las dos curvas es de $7 089 (6.13 1,2). Al compararse con
84
los resultados del GRASP, la U7 se despacha en 489.0 MW y el error por usar la
función de costo ajustada fue de al menos $302 (0.05%).
Tabla 6.13 Evaluación de funciones de costo, caso 1 (7 Us). Demanda = 1 050 MW.
potencia
Pt
P1
P2
P3
Costo
P4
P5
P6
P7
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
total
1
1050.0 49.9 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 482.1 44,319 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 239,195 575,330
2
1050.0 49.9 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 482.1 44,319 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 232,106 568,241
3
1050.0 43.0 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 489.0 40,971 107,791 107,792 22,629 26,061 27,534 235,161 567,939
1) solución óptima, U7 evaluada con función de costo ajustada
2) solución óptima, U7 evaluada con función de costo real
3) mejor solución GRASP, usando función de costo real en la U7
La tabla 6.14 muestra la comparación de resultados de las heurísticas. De igual
manera, se obtienen mejores costos con las heurísticas, con excepción del AG y el
AGH en el costo promedio.
Tabla 6.14 Resultados de las heurísticas para el caso 1. U7 con función de costo real. Demanda = 1 050 MW.
AG
AGH
RS
GRASP
300
AGini=75
T = 500 000
Nitr=300
generaciones
k0=500
k0=50
k0=400
SIMPLEX
1
demanda 1 050
Costo mínimo
570,777
567,942
567,941
567,939
Costo máximo
Costo promedio
584,783
578,826
567,963
567,949
568,112
567,966
567,941
567,940
52
-0.05
-0.05
1
-0.05
-0.05
desv. Est.
4,380
2
%error
0.45
2
%error prom
1.86
1
costo de la unidad 7 evaluado con función real, no
convexa
2
respecto de la solución SIMPLEX
85
6
-0.05
-0.05
568,241
6.3 Resultados para el caso de estudio 2, 36 Unidades.
Los ajustes de los parámetros de cada heurística se resumen en la tabla 6.15.
Tabla 6.15 Ajustes de los parámetros de las heurísticas, caso 2 (36 U’s).
AG
AGH
ARS
FP_IBP
563
563
Generaciones
500
500
-
Nitr
-
-
500
GRASP
K0
750
800
1000
alfa
Temperatura
500 000
0.95
0.5
-
RESUMEN CASO 2, 36 U’s.
La tabla 6.16 muestra el mejor desempeño del AGH al tener el menor costo y el
mejor costo promedio con una variabilidad aceptable respecto a las demás
heurísticas. El GRASP presentó resultados similares al AGH pero con un tiempo
que es cuatro veces superior.
Tabla 6.16 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 2 con funciones de costo convexas.
AG
Generaciones=500
Costo mínimo
4,449,024
AGH
AGini=500
k0= 750
4,443,442
Costo máximo
Costo
promedio
4,455,664
4,447,401
4,458,577
4,448,312
4,452,219
4,445,964
4,457,366
4,446,539
2,454
1,284.2
719
1,115
0.16
0.03
0.32
0.05
0.23
0.09
0.35
0.10
3.1
3.2
4.0
12.4
desv. Est.
1
%error
%error prom
1
tiempo usuario
1
ARS
T=500 000
k0= 800
4,456,305
GRASP
Nitr=500
k0= 1000
4,444,245
respecto al costo de la solución óptima
En la tabla 6.17 se observa que la variabilidad de las soluciones se incrementa
para las heurísticas AG, AGH y ARS. Esto es porque al considerar la zona muerta
de la unidad 36, las soluciones presentan brincos en la potencia de la unidad 36,
alrededor de los límites de la zona muerta.
Tabla 6.17 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 2, con zona muerta y función no
convexa para la unidad 36.
AG
Generaciones=500
Costo mínimo
3,850,923
AGH
AGini=500
k0=750
3,843,912
ARS
T=500 000
k0=800
3,850,720
GRASP
Nitr=500
k0=1000
3,845,360
Costo máximo
3,863,661
3,853,344
3,870,634
3,847,561
Costo promedio
3,856,027
3,848,348
3,857,610
3,846,342
desv. Est.
4,725
3,860
7,593
831
%error
1
%error_prom
0.14
0.28
-0.04
0.08
0.14
0.32
0.000
0.03
tiempo usuario
3.1
3.3
4.1
16.4
1
1
respecto al mejor costo obtenido (AGH)
86
6.4 Resultados para el caso de estudio 3, 3 Unidades.
Los ajustes de los parámetros de cada heurística para el caso 3 se resumen en la
tabla 6.18.
Tabla 6.18 Ajustes de los parámetros de las heurísticas, caso 3 (3 U’s).
AG
AGH
ARS
Generaciones
400
150
-
Nitr
-
-
100
GRASP
FP_IBP
25
25
k0
500
200
100
Alfa
0.9
0.5
Temperatura
2 500
-
RESUMEN CASO 3, 3 U’s.
La tabla 6.19 muestra el desempeño de las heurísticas para el caso 3. En este
caso todas las heurísticas proporcionaron soluciones bastante aceptables,
destacando el ARS por la calidad de las soluciones en cuanto a variabilidad y
tiempo de ejecución.
Tabla 6.19 Resumen de la aplicación de los métodos heurísticos al caso 3 (3 Us).
AG
AGH
ARS
GRASP
mdc/4
Gen =400
AG = 150
T =2 500
Nitr=100
k0=500
k0=200
k0=100
Costo mínimo
8,241.1
8,234.2
8,234.1
Costo máximo
8,500.2
8,254.1
8,252.0
8,234.08
8,234.2
Costo promedio
8,327.4
8,241.7
8,241.81
8,234.11
desv. Est.
89.4
7.4
5.1
0.02
%error 1)
0.085
0.001
0.000
0.000
%error prom 1)
1.133
0.093
0.094
0.000
tiempo usuario
0.26
0.10
0.03
0.04
1
respecto al mejor costo obtenido (GRASP)
La figura 6.2 muestra las funciones de costo que se analizan en este caso. Se
recuerda que las funciones en color más grueso representan un comportamiento
más aproximado del costo del combustible por la apertura y cierre de válvulas en
el control de potencia de la unidad. Los métodos heurísticos pueden evaluar este
tipo de funciones en el problema de DE y los resultados comparativos con las
soluciones del método clásico que utiliza las funciones de segundo grado se
muestran en la tabla 6.20.
87
8,000
7,000
6,000
$/h
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0
50
150
250
350
450
550
650
MW
U1
U2
U3
Figura 6.2 Funciones de costo del caso 3 (3 Us).
Tabla 6.20 Resultados del DE para el caso 3 (3 Us).
potencia [MW]
Costo [$]
U2
U3
U1
U2
U3
1
850.0 392.1
Pt
U1
335.4
122.5
3,984
3,250
1,252
8,486 diferencia [$]
total
2
850.0 300.3
400.0
149.7
3,087
3,767
1,380
8,234
252
error [%]
3.1
1) solución óptima, con funciones de costo de segundo grado convexas
2) mejor solución GRASP, con funciones de costo que consideran los puntos de válvula
En este caso el empleo de las heurísticas para evaluar el punto de válvula de las
unidades térmicas muestra un mejor despacho con un ahorro del 3.1% en el costo
total de generación
88
CONCLUSIONES
Al comparar los desempeños de las heurísticas utilizadas, el GRASP presentó la
mejor calidad en las soluciones en cuanto a costo y a variabilidad; aunque requirió
de mayor tiempo de ejecución para las instancias de 7 y 36 unidades.
Al reducir el tiempo de ejecución del GRASP a los tiempos en los que el AGH y el
ARS dieron buenos resultados, el GRASP mostró desventajas porque las
soluciones fueron de menor calidad. Por otra parte, aumentando los tiempos de
ejecución del AGH y el ARS a los tiempos del GRASP, éste continuó siendo
mejor, pues los otros ya no mejoraron la calidad de sus soluciones.
Sin embargo, los resultados que se obtuvieron para la solución del DE fueron
bastante satisfactorios y
las cuatro heurísticas presentadas mostraron
consistencia en la obtención de buenos soluciones con la consideración de
funciones de costo no convexas y las discontinuidades que representan las zonas
muertas.
La mejor solución del GRASP para el caso de 7 unidades, evidenció la ventaja de
evaluar la función no convexa al obtener menores costos en el despacho, del
orden de 0.01% al 0.05%, dependiendo de la separación de las curvas analizadas
en el punto de operación de la unidad.
Para el caso de 3 unidades, donde se evaluó el punto de válvula, la mejor solución
del GRASP resultó en un costo de generación menor en un 3.1%. Las ventajas del
GRASP son evidentes en este problema y aunque los tiempos de ejecución son
superiores a los de las demás heurísticas, éstos no son de consideración para su
aplicación.
Sin embargo, la adición de restricciones es una desventaja para este algoritmo, al
igual que lo es para el ARS, por la dificultad de crear una solución inicial. Es más
fácil para el AG considerar más restricciones debido a que sólo es necesario
incorporar factores de penalización a la función objetivo y además se tiene la
posibilidad de poder considerarlas desde la codificación, aunque esto último
requiere de mayor habilidad.
Por otra parte, se carece en el CENACE de modelos que consideren los puntos de
válvula, u otro tipo de curvas más aproximadas que se obtendrían de medir el
régimen térmico en un mayor número de puntos y que actualmente se limitan a la
medición de tres puntos, que son los suficientes para ajustar una función de
segundo grado.
89
Actualmente, no se han explorado nuevos modelos por las limitaciones que
impone el programa computacional que obtiene el despacho económico. La
incorporación de métodos heurísticos a las rutinas de solución del despacho
económico permitiría utilizar cualquier tipo de curva o serie de puntos que mejor
modelaran el régimen térmico de las unidades, con el fin de lograr reducciones,
por mínimas que sean, en el despacho de generación.
Cualquier mejora en el despacho de generación resulta en ahorros importantes si
consideramos los costos de producción por combustibles y costos variables que
se tienen en el Sistema Interconectado Nacional, que por ejemplo en el año 2006,
totalizaron 86 mil millones de pesos. Una disminución mínima del costo de
generación, por ejemplo del 0.01 por ciento representa ahorros de 8.6 millones de
pesos anuales.
La disminución en el costo de generación que se puede obtener al utilizar métodos
heurísticos para considerar curvas de cualquier tipo, como las aquí tratadas,
dependerá del mayor número de unidades que las consideren y de la diferencia
entre las curvas en los modelos utilizados.
Para el caso de 7 unidades, se evaluó la restricción en una de siete unidades. En
el Sistema Interconectado Nacional, existen diez PIE’s que utilizan curvas no
convexas en su régimen térmico, dentro de un promedio de 250 unidades
despachadas económicamente.
Como se comentó al inicio de este trabajo, el despacho económico es un
subproblema del problema de asignación de unidades. El despacho económico es
un problema puntual, donde el espacio de tiempo es generalmente de una hora.
En el problema de asignación de unidades se amplía el horizonte de tiempo y se
incorporan un mayor número de restricciones que acoplan al despacho actual con
los despachos de horas anteriores, por ejemplo tiempos mínimos de arranque y
paro, rampas de carga, disponibilidad de combustibles, etc. La metodología actual
utiliza la programación lineal para resolver el PDE y programación dinámica para
el de asignación de unidades.
Para trabajos futuros se recomienda la incorporación de métodos heurísticos al
programa computacional que resuelve el despacho económico, o incluso para
resolver el problema de asignación de unidades, pues para estos trabajos existen
un gran número de trabajos publicados que han mostrado excelentes resultados.
90
REFERENCIAS
[1] Aboytes, F., Guerrero, J.J.: Despacho económico, flujos óptimos y control de
generación. Curso de Capacitación en Sistemas de Potencia, CENACE.
México, D.F., 2001.
[2] Cai, X., Lo, K.: Unit Commitment by a genetic algorithm. Nonlinear Analysis,
Theory, Methods & Applications, Vol. 30, No. 7, pp. 4289-4299, 1997.
[3] Goldberg, D. E., Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machina
Learning, The University of Alabama, Adison-Wesley publishing Company,
1989
[4] Gutiérrez A. M. A. “La técnica de Recocido Simulado y sus aplicaciones”, Tesis
para obtener el grado de Doctor en Ingeniería. UNAM, México, 1991
[5] Li, F.: A comparison of genetic algorithms with conventional techniques on a
spectrum of power economic dispatch problems. Expert Systems with
Applications 15, 133-142, 1998.
[6] Li, F., Morgan, R., Williams, D.: Hybrid genetic to ramping rate constrained
dynamic economic dispatch. Electric Power Systems Research 43, 97-103,
1997.
[7] Olachea, A.: Aplicación de la técnica de algoritmos genéticos al problema de
despacho económico. Tesis para obtener el grado de MC en Ing. Eléctrica.
Universidad Autónoma de Nuevo León, 2003.
[8] Ongsakul, W.: Real-time economic dispatch using merit order loading for linear
decreasing and staircase incremental cost functions. Electric Power Systems
Research 51, 167-173, 1999.
[9] Reeves, R.: Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems. Edited
by Colin R. Reeves, Mc Graw Hill, 1995
[10] Resende, M.: Greedy Randomized adaptive search procedure (GRASP),
AT&T Labs Research Technical Report: 98.41.1. December 22, 1998.
91
[11] Sudhakaran, M., Slochanal, S.M.R., Sreeram, R., Chandrasekhar, N.:
Application of refined genetic algorithm to combined economic and emission
dispatch. IE (I) Journal-EL. Vol. 85, September 2004.
[12] Wood & Wollenberg: Power generation operation and control. Ed. John Wiley
and Sons Inc.,1984.
[13] Walters, D., Sheble, G.: Genetic algorithm solution of economic dispatch with
valve point loading. IIE Transactions on Power Systems, Vol. 8, No. 3, 1993
[14] Barr,S. R., Golden, L. B., Kelly, J. P., Resende, M., Stewart, W.: Designing
and Reporting on Computational Heuristic Methods. Journal of Heuristics, I: 932, 1995.
92
APENDICE I
Solución analítica al caso
de estudio 1 (7 Us) por el
método del lagrangiano.
APENDICE I. Solución analítica al caso de estudio 1 (7 Us) por el
método del lagrangiano.
La formulación del problema de DE sin pérdidas es la siguiente:
minimizar :
n
∑ F (Pi)
i =1
i
sujeto a:
n
∑ P = demanda
i =1
i
Pmini ≤ Pi ≤ Pmaxi
Donde:
n: número de unidades generadoras
Fi : Función de costo del generador i
Pi : Potencia del generador i
Pmini : Potencia mínima que puede suministrar el generador i
Pmaxi : Potencia máxima que puede suministrar el generador i
Se utiliza un multiplicador de Lagrange para incorporar a la función objetivo la
restriccion de igualdad (balance generación-demanda).
Función lagrangeana:
⎛ n
⎞
L( P, λ ) = ∑ Fi ( Pi ) + λ ⎜ ∑ Pi − demanda ⎟
i =1
⎝ i =1
⎠
n
El mínimo de la función se obtiene a partir del gradiente, dando lugar a las
siguientes condiciones de optimalidad:
∂L dFi
=
+ λ = 0; i = 1,..., n
∂Pi dPi
n
∂L
= ∑ Pi − demanda = 0;
∂λ i =1
Datos del caso de estudio:
AI-1
Demanda: 804 MW
coeficientes
Pmin
central
tipo
[MW]
Pmax
a
b
[MW]
[$/MWh ]
2
P
P
[$/MWh]
c
[$]
Presidente Juárez
U1 vapor convencional
40
160
1.28000
368.0
22770
Presidente Juárez
U2 ciclo combinado
62
248
0.56350
158.5
33830
Presidente Juárez
U3 ciclo combinado
62
248
0.56350
158.5
33830
Ciprés
U4 turbogás
7
27
24.92000
1154.0
13330
Mexicali
U5 turbogás
turbogás
U6
7
26
19.45000
1204.0
16680
8
30
21.16000
1190.0
16660
122
489
0.02908
467.7
6957
308
1,228
Tijuana
CC Mexicali
1)
U7 ciclo combinado
Total
1) Coeficientes abc de la curva ajustada a los tres puntos del consumo específico proporcionado por el Productor Independiente
Sustituyendo los coeficientes abc en las ecuaciones de optimalidad:
d (1.28P1 + 368P1 + 22770)
+ λ = 0;
dP1
2
d (0.5635P2 + 158.5P2 + 33830)
+ λ = 0;
dP2
2
d (0.5635P3 + 158.5 P3 + 33830)
+ λ = 0;
dP3
2
d (24.92 P4 + 1154 P4 + 13330)
+ λ = 0;
dP4
2
d (19.45P5 + 1204P5 + 16680)
+ λ = 0;
dP5
2
d (21.16 P6 + 1190 P6 + 16660)
+ λ = 0;
dP6
2
d (0.0291P7 + 467.7 P7 + 6957)
+ λ = 0;
dP7
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 = 804
2
AI-2
Estas derivadas generan el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Ap=B
Matriz
p
Matriz A
Matriz
B
λ
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
2.560
0
0
0
0
0
0
1
P1
-368
0
1.127
0
0
0
0
0
1
P2
-158.5
0
0
1.127
0
0
0
0
1
P3
-158.5
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
=
0
0
0
49.840
0
0
0
1
P4
0
0
0
0
38.900
0
0
1
P5
-1154
0
0
0
0
0
42.320
0
1
P6
-1190
0
0
0
0
0
0
0.058
1
P7
-467.7
1
1
1
1
1
1
1
0
λ
804
B
p
-1204
p = A -1 B
P
P
A -1
P
P
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
λ
0.3828
-0.0178
-0.0178
-0.0004
-0.0005
-0.0005
-0.3457
0.0201
-368
44.3
-0.0178
0.8468
-0.0405
-0.0009
-0.0012
-0.0011
-0.7853
0.0457
-158.5
286.5
-0.0178
-0.0405
0.8468
-0.0009
-0.0012
-0.0011
-0.7853
0.0457
-158.5
-0.0004
-0.0009
-0.0009
0.0200
0.0000
0.0000
-0.0178
0.0010
-1154
-0.0005
-0.0012
-0.0012
0.0000
0.0257
0.0000
-0.0228
0.0013
-1204
-0.0005
-0.0011
-0.0011
0.0000
0.0000
0.0236
-0.0209
0.0012
-0.3457
-0.7853
-0.7853
-0.0178
-0.0228
-0.0209
1.9776
0.0201
0.0457
0.0457
0.0010
0.0013
0.0012
0.8850
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
revisión límites
min
160
Sup
62
248
286.5
Sup
62
248
-13.5
Inf
7
27
-18.6
Inf
7
26
-1190
-16.7
Inf
8
30
0.8850
-467.7
235.5
122
489
-0.0515
804
-481.4
=
El resultado muestra que se han violado los límites de potencia de 5 unidades
generadoras. Para encontrar una solución, se sustituyen los valores fuera de límite
por los límites que violaron, mínimo o máximo, y se resuelve nuevamente el
sistema de ecuaciones.
Ap=B
Matriz
p
Matriz A
U1
B
B
U2
B
B
U3
B
B
U4
B
B
U5
B
B
U6
B
B
U7
B
B
Matriz
B
λ
2.560
0
0
0
0
0
0
1
P1
-368
0
1.127
0
0
0
0
0
1
P2
-158.5
0
0
1.127
0
0
0
0
1
P3
-158.5
0
0
0
49.840
0
0
0
1
P4
0
0
0
0
38.900
0
0
1
P5
0
0
0
0
0
42.320
0
1
P6
-1190
0
0
0
0
0
0
0.058
1
P7
-467.7
1
1
1
1
1
1
1
0
λ
804
AI-3
max
40
=
-1154
-1204
A -1
P
U1
P
B
p
revisión límites
λ
U2
U3
U4
U5
U6
0.3819
-0.0222
-0.0222
-0.0222
-0.0222
-0.0222
-0.3819
0.0222
-368
44.4
40
160
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
-248
248.0
62
248
0.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
-248
248.0
62
248
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
-7
7.0
7
27
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
-7
7.0
7
26
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
U7
B
B
min
=
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
-8
8.0
-0.3819
-0.9778
-0.9778
-0.9778
-0.9778
-0.9778
0.3819
0.9778
-467.7
241.6
0.0222
0.0569
0.0569
0.0569
0.0569
0.0569
0.9778
-0.0569
804
-481.7
8
30
122
489
El costo incremental del sistema es λ=481.7. Se calculan los costos incrementales
de las unidades fuera de límites y se revisan las condiciones de optimalidad de
Kuhn-Tucker:
dFi
=λ
dPi
para
P min i < Pi < P maxi
dFi
≤λ
dPi
para
Pi = P maxi
dFi
≥λ
dPi
para
Pi = P min i
P2 = Pmax2
P3 = Pmax3
P4 = Pmin4
P5 = Pmin5
P6 = Pmin6
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
λ2 = 1.127 (248) + 158.5 = 438.0
λ3 = 1.127 (248) + 158.5 = 438.0
λ4 = 49.84 (7) + 1 154.0 = 1 502.9
λ5 = 38.90 (7) + 1 204.0 = 1 476.3
λ6 = 42.32 (8) + 1 190.0 = 1 528.6
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
λ2 < λ
λ3 < λ
λ4 > λ
λ5 > λ
λ6 > λ
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
cumple
cumple
cumple
cumple
cumple
La solución encontrada cumple con todos los límites de potencia, con las
condiciones de optimalidad de Kuhn-Tucker y con el BP. En la Tabla 6.1 se
muestra la evaluación del costo de esta solución óptima.
Fc(P) = aP 2 + bP + c
P1
P2
P3 P4 P5 P6
P7 Σ (P1..P7)
44.4 248.0 248.0 7.0 7.0 8.0 241.6
804.0
Costo
Fc(P1) Fc(P2) Fc(P3) Fc(P4) Fc(P5) Fc(P6) Fc(P7)
Σ (Fc)
41,649 107,796 107,796 22,629 26,061 27,534 121,635 455,099
Costo real
Fcr(7) R=Σ (Fcr)
120,767 454,231
Tabla 6.1 Solución analítica, con funciones de costo cuadráticas; y evaluación con la función de costo real de la U7.
AI-4
max
APENDICE II.
Código fuente de los
programas en
lenguaje C.
Programas Principales
Algoritmo Genético. “AG2.c”.
#include "ag.h"
int main(int argc,char **argv)
{
short poblacion_ini[Tam_pob][Us], ganador[Tam_pob],nueva_poblacion[Tam_pob][Us];
real aptitudes[Tam_pob][2];
real P_cruza,P_mutacion;
int i,j,k, semilla;
Unidad unidades []= {
{ 1.28, 368.0, 22770.0, 0.0, 0.0, 40.0, 160.0, 11, 0, 40.0, 40.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 24.92, 1154.0,13330.0, 0.0, 0.0, 7.0, 27.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 19.45, 1204.0,16680.0, 0.0, 0.0, 7.0, 26.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 21.16, 1190.0,16660.0, 0.0, 0.0, 8.0, 30.0, 8, 0, 8.0, 8.0},
{ 0.02908, 467.7,6957.0, 0.0, 0.0, 122.0, 489.0, 12, 0,260.0, 320.0}
};
real modelo_cc[][5]= {
{0.04528,489.0,-0.07852, 519.3, 245.0}
};
P_cruza = 0.8;
P_mutacion=0.01;
if (argc > 1)
{semilla = strtoul(argv[1],NULL,10);
srand(semilla);}
else
{
srand(time(NULL));}
pob_ini2(poblacion_ini, unidades, Tam_pob, AG);
evaluacion2(poblacion_ini, aptitudes, unidades, modelo_cc);
for (i=1; i<=300; i++)
{
selec_torneo2(poblacion_ini, aptitudes, ganador);
hijos2(poblacion_ini,ganador,nueva_poblacion,unidades,P_cruza, P_mutacion);
evaluacion2(nueva_poblacion, aptitudes, unidades, modelo_cc);
for (j=0; j<Tam_pob;j++)
{ for (k=0; k< Us; k++)
{ poblacion_ini[j][k]=nueva_poblacion[j][k];
nueva_poblacion[j][k]=0;}
}
}
for (j=0; j<Tam_pob;j++)
{for (k=0; k< Us; k++)
printf("%d ",poblacion_ini[j][k]);
printf("\n");}
salir();
return (0);
}
Algoritmo Genético Híbrido (AGH). “AGH.c”.
#include "ag.h"
AII-1
int main(int argc,char **argv)
{
short poblacion_ini[Tam_pob][Us], ganador[Tam_pob],nueva_poblacion[Tam_pob][Us];
real aptitudes[Tam_pob][2];
real P_cruza, P_mutacion,*P_sol,costo;
int i,j,k,lineas,veces,iteraciones,iteraciones_ini;
int semilla;
short estado;
Unidad unidades []= {
{ 1.28, 368.0, 22770.0, 0.0, 0.0, 40.0, 160.0, 11, 0, 40.0, 40.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 24.92, 1154.0,13330.0, 0.0, 0.0, 7.0, 27.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 19.45, 1204.0,16680.0, 0.0, 0.0, 7.0, 26.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 21.16, 1190.0,16660.0, 0.0, 0.0, 8.0, 30.0, 8, 0, 8.0, 8.0},
{ 0.02908, 467.7,6957.0, 0.0, 0.0, 122.0, 489.0, 12, 0,260.0, 320.0}
};
real modelo_cc[][5]= {
{0.04528,489.0,-0.07852, 519.3, 245.0}
};
P_cruza=0.8;
P_mutacion=0.01;
estado=0;
despedidas();
if (argc > 1)
{semilla = strtoul(argv[1],NULL,10);
srand(semilla);}
else
{
srand(time(NULL));}
P_sol=crea_vector_real(Us);
iteraciones_ini=75;
iteraciones=iteraciones_ini;
veces=-1;
pob_ini2(poblacion_ini, unidades, Tam_pob, AG);
evaluacion2(poblacion_ini, aptitudes, unidades, modelo_cc);
do
{
for (i=1; i<=iteraciones; i++)
{
selec_torneo2(poblacion_ini, aptitudes, ganador);
hijos2(poblacion_ini,ganador,nueva_poblacion,unidades,P_cruza, P_mutacion);
evaluacion2(nueva_poblacion, aptitudes, unidades, modelo_cc);
for (j=0; j<Tam_pob;j++)
{ for (k=0; k< Us; k++)
{ poblacion_ini[j][k]=nueva_poblacion[j][k];
nueva_poblacion[j][k]=0;}
}
}
estado=busqueda_local(poblacion_ini, aptitudes, unidades, modelo_cc,P_sol);
iteraciones=1;
veces++;
} while(estado==0);
for (i=0;i<Us;i++)
printf("P%d: %f\n",i,P_sol[i]);
printf(" %u generaciones\n",iteraciones_ini+veces*iteraciones);
salir();
return (0);
}
Algoritmo de Recocido Simulado (ARS). “sa.c”.
#include "ag.h"
int main(int argc,char **argv)
{
AII-2
Unidad unidades []= {
{ 1.28, 368.0, 22770.0, 0.0, 0.0, 40.0, 160.0, 11, 0, 40.0, 40.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 24.92, 1154.0,13330.0, 0.0, 0.0, 7.0, 27.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 19.45, 1204.0,16680.0, 0.0, 0.0, 7.0, 26.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 21.16, 1190.0,16660.0, 0.0, 0.0, 8.0, 30.0, 8, 0, 8.0, 8.0},
{ 0.02908, 467.7,6957.0, 0.0, 0.0, 122.0, 489.0, 12, 0,260.0, 320.0}
};
real modelo_cc[][5]= {
{0.04528,489.0,-0.07852, 519.3, 245.0}
};
int i,j,k,desplazamiento, U_selec,tam,Pi_cod[Us];
real adonde,*vecino,costo_mejor, costo_vecino, Pmin_aux[Us], Pmax_aux[Us], P[Us];
int sol_mej, semilla;
real Tot_pot_min, *fitness, movimiento_max, dif_costo,max_baja,max_sube,alfa_RS;
double aleatorio, T,boltzman;
char sol_ini[60];
FILE *desc_r;
if (argc > 1)
{semilla = strtoul(argv[1],NULL,10);
srand(semilla);}
else
{
srand(time(NULL));}
strcpy(sol_ini,"/home/benjamin/tesis/bin/sol_ini.dat");
pob_ini(sol_ini, unidades, 1, RS);
/*pob_ini_fc(sol_ini, unidades, modelo_cc, 1, RS);/*arreglar para que escriba reales*/
if ((desc_r=fopen(sol_ini,"r"))==NULL)
abort();
for (j=0;j<Us;j++){
/*fscanf(desc_r,"%u", &Pi_cod[j]);
P[j]=decodifica(Pi_cod[j], &unidades[j]);}*/
fscanf(desc_r,"%f", &P[j]);}
i=0;
sol_mej=0;
T=500.0; /*mdc=500 Para caso 7 unidades, divisor 1000*/
/*T=50;/*mdc/4=50 para caso 36 unidades, divisor 10000;*/
/*T=50; /*mdc=25,50 divisor 10 para caso 3 Us Punto valvula*/
alfa_RS=0.9;/*0.95 para caso 36 Us; 0.9 para 7u y 3u*/
vecino=crea_vector_real(Us);
U_selec=rand_int(0,Us-1);
for (i=0; i< Us;i++){
Pmin_aux[i] = unidades[i].Pmin;
Pmax_aux[i] = unidades[i].Pmax;
if (unidades[i].hay_zm){/* si tiene zona muerta, decide en que region operara */
if (P[i]>unidades[i].ini_zm) /*arriba zona muerta */
Pmin_aux[i] = unidades[i].fin_zm;
else /*abajo zona muerta */
Pmax_aux[i]=unidades[i].ini_zm;
}
}
costo_mejor=costo_tot(P, unidades,modelo_cc);
adonde=baja;
U_selec=rand_int(0,Us-1);
movimiento_max=(P[U_selec]-Pmin_aux[U_selec]);
k=0;
while (T>10.0/pot_uni)
{
while (k<K0)/*K0: nùmero de iteraciones o transiciones generadas por el algoritmo de generacion)*/
{
vecino=vecindad(P,Pmin_aux,Pmax_aux,movimiento_max,U_selec,adonde);/*solucion vecina*/
costo_vecino=costo_tot(vecino, unidades,modelo_cc);
dif_costo=costo_mejor-costo_vecino;
if (dif_costo>0.0)
{
AII-3
copia_vector_real(P,vecino,Us);
costo_mejor=costo_vecino;
sol_mej++;}
else
{
aleatorio=(double)rand_real();
boltzman=exp(1.0*(double)dif_costo/T);
if (aleatorio< boltzman){
copia_vector_real(P,vecino,Us);
costo_mejor=costo_vecino;}
}
/*printf("%f\n",costo_mejor);*/
k=k+1;
U_selec=rand_int(0,Us-1);
if (rand_real()>0.5)
{adonde=sube;
movimiento_max=(Pmax_aux[U_selec]-P[U_selec]);}
else
{adonde=baja;
movimiento_max=(P[U_selec]-Pmin_aux[U_selec]);}
}
T=alfa_RS*T;
k=0;
}
printf("# soluciones vecinas mejores: %u\n",sol_mej);
for (i=0;i<Us;i++)
printf("P%d: %f\n",i,P[i]);
corta_vector_real(vecino);
return(0);
}
Algoritmo GRASP . grasp.c
#include "ag.h"
int main(int argc,char **argv)
{
int Nmax_itr,mejores,i, semilla;
real *Psol, *Pmejor,Pmin_aux[Us], Pmax_aux[Us];
real fcosto_mejor, fcosto;
Unidad unidades []= {
{ 1.28, 368.0, 22770.0, 0.0, 0.0, 40.0, 160.0, 11, 0, 40.0, 40.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 0.5635, 158.5,33830.0, 0.0, 0.0, 62.0, 248.0, 11, 0, 62.0, 62.0},
{ 24.92, 1154.0,13330.0, 0.0, 0.0, 7.0, 27.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 19.45, 1204.0,16680.0, 0.0, 0.0, 7.0, 26.0, 8, 0, 7.0, 7.0},
{ 21.16, 1190.0,16660.0, 0.0, 0.0, 8.0, 30.0, 8, 0, 8.0, 8.0},
{ 0.02908, 467.7,6957.0, 0.0, 0.0, 122.0, 489.0, 12, 0,260.0, 320.0}
};
real modelo_cc[][5]= {
{0.04528,489.0,-0.07852, 519.3, 245.0}
};
Nmax_itr=300;
mejores=0;
fcosto_mejor=9999999.;
Psol=crea_vector_real(Us);
Pmejor=crea_vector_real(Us);
if (argc > 1)
{semilla = strtoul(argv[1],NULL,10);
srand(semilla);}
else
{
srand(time(NULL));}
for (i=0;i<=Nmax_itr;i++){
fase_constructora(unidades, modelo_cc, Psol, Pmin_aux, Pmax_aux);
fase_BL(unidades, modelo_cc, Psol, Pmin_aux, Pmax_aux);
AII-4
fcosto=costo_tot(Psol, unidades, modelo_cc);
/*printf("%f\n",fcosto);*/
if (fcosto<fcosto_mejor){
fcosto_mejor=fcosto;
copia_vector_real(Pmejor,Psol,Us);
mejores++;
}
}
for (i=0;i<Us;i++)
printf("V%d: %f\n",i,Pmejor[i]);
printf("# soluciones mejores: %u\n",mejores);
corta_vector_real(Psol);
corta_vector_real(Pmejor);
salir();
return (0);
}
Algoritmo de búsqueda local . “BL.c”.
#include "ag.h"
/*Busca mejor solucion del AG y hace una busqueda en sus vecindades */
short busqueda_local(short poblacion[][Us],real evaluaciones[][2],Unidad *unidades,real modelo_cc[][5], real *P_sol)
{
int i,k, U_selec,*indices;
real *P,adonde,*vecino, costo_mejor, costo_vecino, Pmin_aux[Us], Pmax_aux[Us];
short sol_mej,mejor;
real movimiento_max, dif_costo,dp[Tam_pob];
indices=crea_vector_int(Tam_pob);
P=crea_vector_real(Us);
for (i=0;i<Tam_pob;i++)
{ dp[i]= evaluaciones[i][1];
indices[i]=i; }
ordena(indices,dp,1,Tam_pob);/*ordena dp, indices guarda las posiciones originales;*/
/*mejor=0;
while ((mejor<Tam_pob)&&(dp[mejor]>=0.1)) {
mejor++;}*/
if (dp[0]>=0.1)
return(0);
else
{
/*printf("Encontre uno\n");*/
for (i=0;i<Us;i++)
{ P[i]=decodifica(poblacion[indices[0]][i],&unidades[i]);
/*printf("V%d: %f\n",i,P[i]);*/}
k=0;
sol_mej=0;
vecino=crea_vector_real(Us);
for (i=0; i< Us;i++){
Pmin_aux[i] = unidades[i].Pmin;
Pmax_aux[i] = unidades[i].Pmax;
if (unidades[i].hay_zm){/* si tiene zona muerta, decide en que region operara */
if (P[i]>unidades[i].ini_zm) /*arriba zona muerta */
Pmin_aux[i] = unidades[i].fin_zm;
else /*abajo zona muerta */
Pmax_aux[i]=unidades[i].ini_zm;
}
}
costo_mejor=costo_tot(P, unidades,modelo_cc);
adonde=baja;
U_selec=rand_int(0,Us-1);
movimiento_max=(P[U_selec]-Pmin_aux[U_selec]);
P[Us-1]=P[Us-1]+ DP_NA(P);
while (k<K0)/*K0: numero de transiciones del algoritmo de generacion)*/
AII-5
{
vecino=vecindad(P,Pmin_aux,Pmax_aux,movimiento_max,U_selec,adonde);/*solucion vecina*/
costo_vecino=costo_tot(vecino, unidades,modelo_cc);
dif_costo=costo_mejor-costo_vecino;
if (dif_costo>0.0){
copia_vector_real(P,vecino,Us);
costo_mejor=costo_vecino;
/*for (i=0;i<Us;i++)
printf("V%d: %f\n",i,vecino[i]);
printf("costoV: %f\n",costo_vecino);*/
sol_mej++;}
k=k+1;
U_selec=rand_int(0,Us-1);
if (rand_real()>0.5)
{adonde=sube;
movimiento_max=(Pmax_aux[U_selec]-P[U_selec]);} /*max_sube*/
else
{adonde=baja;
movimiento_max=(P[U_selec]-Pmin_aux[U_selec]);} /*max_baja*/
}
copia_vector_real(P_sol,P,Us);
/*printf("# soluciones vecinas mejores: %u\n",sol_mej);*/
/*corta_vector_real(vecino);
corta_vector_real(P);
corta_vector_short(indices);*/
return(1);
}
}
“pob_ini_nf2.c”.
/************************************************************************************
* Programa pob_ini_nf2: Genera aleatoriamente una poblacion inicial con soluciones *
* no factibles. Cada cromosoma consta de N enteros cortos, que representan la
*
* potencia de cada unidad generadora
*
************************************************************************************/
#include "ag.h"
void pob_ini2(short poblacion[][Us], Unidad *unidades, int Total,bool algortimo)
{
short i,j;
for (j=0;j<Total;j++) {
for (i=0;i<Us;i++) {
poblacion[j][i] = (short)rand_int(0,(int)pow(2.0,unidades[i].L)-1);
if (unidades[i].hay_zm){/* si tiene zona muerta, decide en que region operara */
if (rand_real()>0.5) /*arriba zona muerta */
poblacion[j][i] = poblacion[j][i]+ (short)pow(2.0,unidades[i].L);
}
}
}
}
“pob_ini_fc.c”.
/************************************************************************************
* Programa pob_ini_fc: Genera poblacion inicial con soluciones factibles a partir *
* de la fase constructora del GRASP
*
************************************************************************************/
#include "ag.h"
void pob_ini_fc(char *archivo, Unidad *unidades, real modelo_cc[][5], int Total, bool algoritmo_G)
{
short i,j;
AII-6
short P_cod;
FILE *desc;
real P_sol[Us],Pmin_aux[Us], Pmax_aux[Us];
desc=fopen(archivo,"w");
for (j=0;j<Total;j++)
{
fase_constructora(unidades, modelo_cc, P_sol, Pmin_aux, Pmax_aux);
for (i=0;i<Us;i++)
{
if (!algoritmo_G)
{fprintf(desc,"%f ",P_sol[i]);}
else
{P_cod = codifica(P_sol[i], &unidades[i]);
fprintf(desc,"%u ",P_cod);}
}
fprintf(desc,"\n");
}
fclose(desc);
}
“pob_ini.c”.
/************************************************************************************
* Programa pob_ini: Genera poblacion inicial con soluciones factibles por algoritmo *
* de satisfaccion de restricciones.
*
************************************************************************************/
#include "ag.h"
void nuevos_limites(int , real *, real *, real *, real *, real);
void pob_ini(char *archivo, Unidad *unidades, int Total, bool algoritmo)
{
short i,j;
short P_cod;
FILE *desc;
real dr,P_real,NPmin,NPmax;
real Paux_min [Us], Paux_max[Us];
desc=fopen(archivo,"w");
for (j=0;j<Total;j++)
{
dr= Demanda;
for (i=0; i< Us;i++){
Paux_min[i] = unidades[i].Pmin;
Paux_max[i] = unidades[i].Pmax;
if (unidades[i].hay_zm){/* si tiene zona muerta, decide en que region operara */
if (rand_real()>0.5) /*arriba zona muerta */
Paux_min[i] = unidades[i].fin_zm;
else /*abajo zona muerta */
Paux_max[i]=unidades[i].ini_zm;
}
}
for (i=0;i<Us-1;i++)
{
nuevos_limites(i, Paux_min, Paux_max, &NPmin, &NPmax, dr);
P_real = NPmin+rand_real()*(NPmax-NPmin);
if (algoritmo)
{P_cod = codifica(P_real, &unidades[i]);
fprintf(desc,"%u ",P_cod);}
else
{fprintf(desc,"%f ",P_real);}
dr = dr-P_real;
}
if (algoritmo)
{P_cod = codifica(dr, &unidades[i]);
fprintf(desc,"%u ",P_cod);}
else
{fprintf(desc,"%f ",dr);}
AII-7
fprintf(desc,"\n");
}
fclose(desc);
}
/* Calcula los nuevos limites de una unidad, de acuerdo con las asignaciones de potencia */
void nuevos_limites(int unidad, real *Pmin,real *Pmax, real *NLmin,real *NLmax ,real dem)
{
real suma_min, suma_max;
int j;
suma_min= 0.0;
suma_max= 0.0;
for (j=unidad+1; j< Us;j++)
{
suma_min = suma_min + Pmin[j];
suma_max = suma_max + Pmax[j];
}
*NLmax = dem - suma_min;
*NLmin = dem - suma_max;
if (*NLmax>Pmax[unidad])
*NLmax=Pmax[unidad];
if (*NLmin<Pmin[unidad])
*NLmin=Pmin[unidad];
}
“evaluacion2.c”.
#include "ag.h"
void evaluacion2(short poblacion[][Us], real aptitudes[][2], Unidad *unidades, real modelo_cc[][5])
{
int i,j;
int Pi_cod;
real P_ini[Us], fc[Tam_pob], desbalance[Tam_pob];
real fct, fitness, mejor_fitness,suma_fitness,desbalance_mf,PF_zm[Tam_pob];
bool u_zm[]= {0,0,0,0,0,0,1};
/*bool u_zm[]= {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};*/
/* cuando se codifica zona muerta, poner u_zm en ceros y unidades.hay_zm = 1 en U's con zm */
/* cuando se trata por penalizacion, poner u_zm=1 y unidades.hay_zm = 0 en U's con zm */
for (i=0;i<Tam_pob;i++)
{
PF_zm[i]=0.0;
for (j=0;j<Us;j++)
{
P_ini[j]=decodifica((short)poblacion[i][j], &unidades[j]);
if (u_zm[j]){
if ((P_ini[j] > unidades[j].ini_zm) && (P_ini[j] < unidades[j].fin_zm))
PF_zm[i]=0.1;
}
}
fc[i]=costo_tot(P_ini, unidades, modelo_cc);
desbalance[i]=DP(P_ini);
}
mejor_fitness=9999999999.;
suma_fitness=0.;
for (i=0;i<Tam_pob;i++)
{
fitness=fc[i]+PF*desbalance[i]+PF_zm[i]*fc[i];
if (fitness<mejor_fitness) {
mejor_fitness=fitness;
desbalance_mf=desbalance[i];}
suma_fitness=suma_fitness+fitness;
aptitudes[i][0]=fitness;
aptitudes[i][1]=desbalance[i];
}
AII-8
printf("%f %f %f\n",mejor_fitness, suma_fitness/(real)Tam_pob,desbalance_mf);
}
“selec_torneo2.c”.
/*******************************************************************************
* Crea una poblacion de padres para la siguiente generacion.
*
* Escoge de forma aleatoria a 2 individuos de la poblacion y selecciona al de *
* mejor aptitud
*
*******************************************************************************/
#include "ag.h"
void selec_torneo2(short poblacion[][Us], real aptitudes[][2], short *ganador)
{
int *indices, tam, competidor1, competidor2,torneos;
real fitness[Tam_pob];
int i,j;
indices=crea_vector_int(Tam_pob); /* guarda la posicion original de los individuos */
torneos=Tam_pob;
for (i=0;i<Tam_pob;i++) /*lee aptitudes e inicializa indices*/
{
fitness[i]=aptitudes[i][0];
indices[i]=i;}
/*elitismo*/
if (elitismo)
torneos=torneos-1;
/*elige aleatoriamente elementos a competir y selecciona a los ganadores*/
for (i=0;i<torneos;i++)/* -1 por elitismo */
{ competidor1=rand_int(0,Tam_pob-1);
competidor2=rand_int(0,Tam_pob-1);
if (fitness[competidor1]<fitness[competidor2])
ganador[i]=competidor1;
else
ganador[i]= competidor2;
}
/*Elitismo, escribe al final al mejor individuo*/
if (elitismo)
{
ordena(indices,fitness,1,Tam_pob);
ganador[i]=indices[0];
}
}
“hijos2.c”.
/****************************************************************************************
* Crea a la siguiente generacion a partir de la poblacion de padres. A esta les aplica *
* los operadores de cruza y mutacion
*
*****************************************************************************************
#include "ag.h"
void hijos2(short poblacion[][Us],short ganador[], short nueva_poblacion[][Us], Unidad *unidades, real Pcruza, real Pmuta)
{
int i,j,tot_hijos,long_cadena;
short **ap_pob, **ap_nuevapob;
long_cadena=0;
/*for (i=0;i<Us;i++)
long_cadena= long_cadena+unidades[i].L+unidades[i].hay_zm;*/
tot_hijos=Tam_pob;
/*elitismo*/
if (elitismo)
AII-9
tot_hijos=tot_hijos-2;
for (i=0;i<tot_hijos;i=i+2)
{
cruza_1(&poblacion[ganador[i]][0], &poblacion[ganador[i+1]][0], &nueva_poblacion[i][0], &nueva_poblacion[i+1][0],
Pcruza);
for (j=0;j<Us;j++)
{
nueva_poblacion[i][j] = mutacion(nueva_poblacion[i][j],unidades[j].L,unidades[j].hay_zm,Pmuta);
nueva_poblacion[i+1][j] = mutacion(nueva_poblacion[i+1][j],unidades[j].L,unidades[j].hay_zm,Pmuta);
}
}
/*ELITISMO, pasan a la siguiente generacion 2 ultimos individuos, el ultimo es el mejor individuo*/
if (elitismo){
for (i=0;i<Us;i++){
nueva_poblacion[tot_hijos][i]=poblacion[ganador[tot_hijos]][i];
nueva_poblacion[tot_hijos+1][i]=poblacion[ganador[tot_hijos+1]][i];}
}
}
Encabezados
“ag.h”
/******************************************************************************
* Contiene los encabezados de los procedimientos, tipos de datos, *
* definicion de valores de parametros
*
******************************************************************************/
/* headers requeridos */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <math.h>
#include <fcntl.h>
#include "aleatorio.h"
#include "salir.h"
/*Parametros generales*/
#define Demanda 700.0
#define Us 7
#define Nterm 6
#define Ncc 1
#define AG 1
#define RS 0
#define pot_uni 1000.0 /*RS: 1000 7u*/ /*10000.0 36u*/ /* 100.0 para 3u pv*/
/*Parametros AG */
#define Tam_pob 40 /*numero par*/
#define PF 2.500 /*7u (2.5), 36u (.0563), 25 (3upv) */
#define elitismo 1
/*Parametros BL*/
#define K0 500
#define sube 1.0
#define baja -1.0
/*Parametros GRASP*/
#define alfa 0.5
struct generador {
real coef_a;
real coef_b;
real coef_c;
real coef_e;
real coef_f;
real Pmin;
real Pmax;
int L;
AII-10
bool hay_zm;
real ini_zm;
real fin_zm;
/*bool es_CC;*/
};
struct RT_CC {
real puntos [10][2];
};
typedef struct generador Unidad;
typedef struct RT_CC Reg_term_CC;
/* Prototipos de las funciones */
void pob_ini(char *, Unidad *, int, bool);
void pob_ini2(short [Tam_pob][Us], Unidad *, int, bool);
void pob_ini_fc(char *, Unidad *, real [][5], int ,bool );
void evaluacion(char *, char *, Unidad *, real [][5]);
void evaluacion2(short [Tam_pob][Us], real [Tam_pob][2], Unidad *, real [][5]);
void selec_torneo(char *, char *, char *);
void selec_torneo2(short [][Us], real [][2], short *);
void hijos(char *, char *, Unidad *, real , real );
void hijos2(short [][Us],short *, short [][Us], Unidad *, real, real);
short busqueda_local(short [][Us],real [][2],Unidad *,real [][5], real *);
real *vecindad(real *,real *, real *,real , int , real );
void fase_constructora(const Unidad *, real [][5], real *, real *, real *);
void fase_BL(const Unidad *, real [][5], real *, real *, real *);
void ruleta(int *, real *,int *);
void error1(void);
void errorn(void);
void error_opcion(void);
int cuad(int);
short complemento(short);
short vector_bits_a_short(short *,int);
short *short_a_vector_bits(short,int);
short mutacion(short, int, bool, real);
void cruza(short *, short *, short *, short *, const Unidad *, int , real );
void cruza_1(short *, short *, short *, short *, real );
void copia_normal(short *, short *, short *, short *, int , int );
void copia_cruzado(short *, short *, short *, short *, int , int );
real decodifica(short , const Unidad *);
short codifica(real , const Unidad *);
real fx(real *,real [][3]);
void f_recta(real ,real ,real ,real , real *, real *);
real DP(real *);
real DP_NA(real *);
real costo_tot(real *, const Unidad *, real [][5]);
int subir(real *, int , real , real *, real *, short *);
int bajar(real *, int , real , real *, real *, short *);
real fitnessK(real *,const Unidad *, real [][5]);
void estandariza(real *);
int particion_vector(int *, real *, short, short);
void ordena(int *, real *, int , int);
void N_lim(real *, real *, real *, real * , real ,int *, int );
Utilerias
“Util.c”
#include "ag.h"
/********** Calcula el cuadrado de un numero entero **************/
int cuad(int x)
{
return (x^2);
AII-11
}
real fx(real *P,real modelo_term[][3])
{
real Fct;
int i;
Fct= 0;
for (i=0;i<Nterm;i++)
{
Fct=Fct+modelo_term[i][0]*P[i]*P[i]+modelo_term[i][1]*P[i]+modelo_term[i][2];
}
return (Fct);
}
real DP(real *P)
{
int i;
real suma_P, desbalance;
suma_P=0;
for (i=0;i<Us;i++)
{
suma_P=suma_P+P[i];
}
desbalance=absol(Demanda-suma_P);
return (desbalance);
}
real DP_NA(real *P)
{
int i;
real suma_P, desbalance;
suma_P=0;
for (i=0;i<Us;i++)
{
suma_P=suma_P+P[i];
}
desbalance=Demanda-suma_P;
return (desbalance);
}
void f_recta(real x1,real y1,real x2,real y2, real *m, real *b)
{
*m = (y2-y1)/(x2-x1);
*b = y1-*m*x1;
}
real costo_tot(real *P, const Unidad *unidades, real modelo_cc[][5])
{
/*El arreglo model_cc tiene los parametros de las 2 rectas m,b, y el punto P2 */
/* P2 es el punto donde cambia la pendiente o punto comun a las dos rectas)*/
/* modelo_cc[i,j] = {m1,b1,m2,b2,P2}*/
real costo_cc,costo_term,costo;
int i;
costo_cc=0.;
costo_term= 0.;
costo=0.;
for (i=0;i< Nterm;i++)
{
/*costo_term=costo_term+(unidades[i].coef_a*P[i]*P[i]+unidades[i].coef_b*P[i]+unidades[i].coef_c)/pot_uni;*/
costo_term=costo_term+(unidades[i].coef_a*P[i]*P[i]+unidades[i].coef_b*P[i]+unidades[i].coef_c+absol(unidades[i].coef_e*si
n(unidades[i].coef_f*(unidades[i].Pmin-P[i]))))/pot_uni;
}
AII-12
for (i=0;i < Ncc; i++)
{
if (P[Nterm+i]<=modelo_cc[i][4]) /*P > P2*/
costo_cc= costo_cc+(P[Nterm+i]*(modelo_cc[i][0]*P[Nterm+i]+modelo_cc[i][1]))/pot_uni; /* P(m1 P + b1) */
else
costo_cc= costo_cc+(P[Nterm+i]*(modelo_cc[i][2]*P[Nterm+i]+modelo_cc[i][3]))/pot_uni; /* P(m2 P + b2) */
}
costo=costo_term+costo_cc;
return costo;
}
int subir(real *Pot, int U, real cantidad, real *max_baja, real *max_sube,short *idx)
{
int i;
real desp_x,x;
/*if (cantidad>max_sube[U])
x=max_sube[U];
else
x=cantidad;*/
x=cantidad;
if (x>0.1)
{
desp_x=rand_real() * x;
x=desp_x;
/*printf("U%d sube:%f MW\n",U,desp_x);*/
Pot[idx[0]]=Pot[idx[0]]+sube*desp_x;
for (i=1;i<Us-1;i++) {
desp_x=rand_real() * x;
if (desp_x>max_baja[idx[i]])
desp_x=max_baja[idx[i]];
Pot[idx[i]]=Pot[idx[i]]+baja*desp_x;
x=x-desp_x;
if (x<0.01)
break;
}
if (x>max_baja[idx[Us-1]])
return 0;
else
{ Pot[idx[Us-1]]=Pot[idx[Us-1]]+baja*x;
return 1;}
}
return 0;
}
int bajar(real *Pot, int U, real cantidad, real *max_baja, real *max_sube, short *idx)
{
int i;
real desp_x, x;
/*if (cantidad>max_baja[U])
x=max_baja[U];
else*/
x=cantidad;
if (x>0.01) /*basta conque x<>0), se supone que no puede tomar valores negativos)*/
{
desp_x=rand_real() * x;
x=desp_x;
/*printf("U%d baja:%f MW\n",U,desp_x);*/
Pot[idx[0]]=Pot[idx[0]]+baja*desp_x;
for (i=1;i<Us-1;i++){
desp_x=rand_real() * x;
if (desp_x>max_sube[idx[i]])
desp_x=max_sube[idx[i]];
Pot[idx[i]]=Pot[idx[i]]+sube*desp_x;
x=x-desp_x;
if (x<0.01)
break;
}
AII-13
if (x>max_sube[idx[Us-1]])
return 0;
else
{Pot[idx[Us-1]]=Pot[idx[Us-1]]+sube*x;
return 1;}
}
return 0;
}
real fitnessK(real *P_sol,const Unidad *unidades, real modelo_cc[][5])
{
real fitness,costo_FPK;
int i;
real suma_P;
fitness= 0.;
suma_P=0;
for (i=1;i<=Us;i++)
{
suma_P=suma_P+P_sol[i];
}
costo_FPK=absol(PF*(suma_P-Demanda)); /*PF factor de penalizacion K*/
fitness=costo_tot(P_sol,unidades,modelo_cc)+costo_FPK;
return (fitness);
}
real *vecindad(real *Psol,real *Pmin, real *Pmax,real tam_mov, int U_selec, real adonde)
{
int i,exito,contador;
real *P, *incr_max,*decr_max;
short *indice ;
P=crea_vector_real(Us);
incr_max=crea_vector_real(Us);
decr_max=crea_vector_real(Us);
copia_vector_real(P,Psol,Us);
indice=crea_vector_short(Us);
contador=0;
do {
for (i=0;i<Us;i++)
{
indice[i]=i;
incr_max[i]=Pmax[i]-P[i];
decr_max[i]=P[i]-Pmin[i];
}
indice[0]=U_selec;
indice[U_selec]=0;
if (adonde==sube)
exito=subir(P, U_selec, tam_mov, decr_max, incr_max, indice);
else
exito=bajar(P, U_selec, tam_mov, decr_max, incr_max, indice);
if (exito==0)
{copia_vector_real(P,Psol,Us);
contador++;}
}while ((exito==0) && (contador<10));
corta_vector_short(indice);
corta_vector_real(incr_max);
corta_vector_real(decr_max);
return (P);
}
void ruleta(int *indices, real *fitness, int *lista_seleccion)
{
int i,j;
real ref_aleat, *fitness_acum, suma, min, max;
/*fitness normalizado y acumulado */
AII-14
fitness_acum=crea_vector_real(Tam_pob);
min=min_vector(fitness,Tam_pob);
max=max_vector(fitness,Tam_pob);
/*Seleccion por jerarquìa, habilitar si fitness bajo es mejor y deshabilitar (a) */
/*for (i=0;i<Tam_pob;i++)
fitness_acum[i]=min+((max-min)*(real)(Tam_pob-i))/(real)(Tam_pob-1);*/
copia_vector_real(fitness_acum,fitness,Tam_pob); /* (a) */
suma=suma_vector(fitness_acum,Tam_pob);
for (i=0;i<Tam_pob;i++)
fitness_acum[i]=fitness_acum[i]/suma;
for (i=1;i<Tam_pob;i++)
fitness_acum[i]=fitness_acum[i]+fitness_acum[i-1];
/*seleccion por ruleta*/
srand( (int)suma );
for (j=0;j<Tam_pob;j++)
{
ref_aleat=rand_real();
if (j==0)
printf("random: %f\n",ref_aleat);
for (i=0;i<Tam_pob;i++)
{
if (fitness_acum[i]>ref_aleat)
{ lista_seleccion[j]=indices[i];
break;}
}
}
corta_vector_real(fitness_acum);
}
short complemento(short bit)
{
if (bit==0)
return 1;
else
return 0;
}
/* convierte un vector de bits en un numero entero*/
short vector_bits_a_short(short *bits, int l)
{
int i;
short numero;
numero=bits[l-1];
for(i=l-2;i>=0;i--)
{ numero=numero<<1;
numero=numero|bits[i];
}
return (numero);
}
/* guarda cada bit de un entero corto en un vector*/
short *short_a_vector_bits(short numero, int l_subcadena)
{
int i;
short *bits;
bits=crea_vector_short(l_subcadena);
for (i=0;i<l_subcadena;i++)
{
bits[i]=numero&1;
numero=numero>>1;
}
return (bits);
}
short mutacion(short cromosoma, int l_subcadena, bool hay_zm,real P_mutacion)
AII-15
{
short aux,*bits;
int i;
short prueba;
/*l_subcadena no incluye bit de zona muerta */
bits=short_a_vector_bits(cromosoma, l_subcadena+hay_zm);/*tambien puede mutar bit_zm*/
for(i=0;i<l_subcadena;i++){
if (rand_real()<P_mutacion)
bits[i]=complemento(bits[i]);}
aux=vector_bits_a_short(bits,l_subcadena+hay_zm);
corta_vector_short(bits);
return aux;
}
/* cruza 2 individuos para generar 2 hijos; punto_cruza:aleatorio*/
/* el punto de cruza es a nivel de bits de la cadena completa*/
/* */
void cruza(short *P1, short *P2, short *h1, short *h2, const Unidad *unidades, int l_tot, real Pcruza)
{
short *upper, *lower, copiador_alto, copiador_bajo;
int i, punto_cruza, unidad, modulo,bits;
real aleatorio;
unidad=-1;
bits=0;
aleatorio=rand_real();
if (aleatorio<Pcruza)
{
punto_cruza=rand_int(1,l_tot);
do
{
unidad = unidad + 1;
bits=bits+unidades[unidad].L+unidades[unidad].hay_zm;
}while (bits<punto_cruza);
modulo=bits-punto_cruza;
/*crea copiadores de bits de acuerdo a punto de cruza*/
upper=crea_vector_short(unidades[unidad].L+unidades[unidad].hay_zm);
lower=crea_vector_short(unidades[unidad].L+unidades[unidad].hay_zm);
for (i=0;i<modulo;i++){
upper[i]=0;
lower[i]=1;}
for (i=modulo;i<(unidades[unidad].L+unidades[unidad].hay_zm);i++){
upper[i]=1;
lower[i]=0;}
copiador_alto=vector_bits_a_short(upper,unidades[unidad].L+unidades[unidad].hay_zm);
copiador_bajo=vector_bits_a_short(lower,unidades[unidad].L+unidades[unidad].hay_zm);
for (i=0;i<unidad;i++) /*unidad-1*/
{h1[i]=P1[i];
h2[i]=P2[i];}
h1[unidad]=P1[unidad]&copiador_alto|P2[unidad]&copiador_bajo;
h2[unidad]=P2[unidad]&copiador_alto|P1[unidad]&copiador_bajo;
for (i=unidad+1;i<Us;i++)/*unidad*/
{h1[i]=P2[i];
h2[i]=P1[i];}
corta_vector_short(upper);
corta_vector_short(lower);
}
else
{
copia_vector_short(h1,P1,Us);
copia_vector_short(h2,P2,Us);
}
}
/* cruza 2 individuos para generar 2 hijos; 2 puntos de cruza aleatorios*/
/* se combinan unidades */ /* zona muerta se pasa de padre a hijo */
void cruza_1(short *P1, short *P2, short *h1, short *h2, real Pcruza)
{
real aleatorio;
int pc_1, pc_2, aux;
AII-16
aleatorio=rand_real();
if (aleatorio<Pcruza)
{
pc_1=rand_int(0,Us-1);
pc_2=rand_int(0,Us-1);
if (pc_2<pc_1){
aux=pc_1;
pc_1=pc_2;
pc_2=aux;}
copia_normal(P1, P2, h1, h2, 0, pc_1);
copia_cruzado(P1, P2, h1, h2, pc_1+1, pc_2);
copia_normal(P1, P2, h1, h2, pc_2+1, Us-1);
}
else
{
copia_vector_short(h1,P1,Us);
copia_vector_short(h2,P2,Us);
}
}
void copia_normal(short *P1, short *P2, short *h1, short *h2, int desde, int hasta)
{
int i;
for (i=desde;i<=hasta;i++){
h1[i]=P1[i];
h2[i]=P2[i];}
}
void copia_cruzado(short *P1, short *P2, short *h1, short *h2, int desde, int hasta)
{
int i;
for (i=desde;i<=hasta;i++){
h1[i]=P2[i];
h2[i]=P1[i];}
}
/****decodifica: decodifica valor entero corto a valor real de Potencia **************/
real decodifica(short x, const Unidad *unidades)
{
real valor, Pmin_aux, Pmax_aux;
short suma, bit_1;
suma=0;
Pmin_aux= unidades->Pmin;
Pmax_aux= unidades->Pmax;
bit_1 = (short)(pow(2.0,(double)unidades->L));
if (unidades->hay_zm) {/*revisa si hay zona muerta*/
if (x >= bit_1){
Pmin_aux = unidades->fin_zm;/* arriba zona muerta */
suma =bit_1;}
else
{Pmax_aux = unidades->ini_zm;} /* valor abajo de zona muerta */
}
x=x-suma;
valor=Pmin_aux+((real)x*(Pmax_aux-Pmin_aux))/((pow(2.0,(double)unidades->L)-1.0));
return (valor);
}
/****codifica: codifica valor real de Potencia a entero corto **************/
short codifica(real valor, const Unidad *unidades)
{
short x,suma;
real Pmin_aux, Pmax_aux;
suma=0;
Pmin_aux= unidades->Pmin;
AII-17
Pmax_aux= unidades->Pmax;
if (unidades->hay_zm) {/*revisa si hay zona muerta*/
if (valor >= unidades->fin_zm){
Pmin_aux = unidades->fin_zm;
suma =(short)(pow(2.0,(double)unidades->L));}/*indicara zona muerta */
else
{Pmax_aux = unidades->ini_zm;}
}
x = (short)((valor-Pmin_aux)*(pow(2.0,(double)unidades->L)-1.0)/(Pmax_aux-Pmin_aux));
x= x+suma;/* si hay zona muerta, pone bit L en 1, con el valor de suma */
return (x);
}
void estandariza(real *fi)
{
int i,negativo;
real suma, suma_abs, promedio_abs, min_abs;
/* l=long_vector(fi);*/
negativo=0; /*falso */
/* verifica si hay un numero negativo*/
for (i=0;i<Tam_pob;i++)
{
if (fi[i]<0.0)
{ negativo=1; /*verdadero*/
break;
}
}
/*estandariza el vector si hay valores negativos */
if (negativo==1)
{
suma_abs=suma_abs_vector(fi,Tam_pob);
promedio_abs=suma_abs/(real)Tam_pob;
min_abs=minimo_abs_vector(fi,Tam_pob);
for (i=0;i<Tam_pob;i++)
fi[i]=fi[i]+promedio_abs+min_abs;
}
}
int particion_vector(int *subindices,real *subvector, short pos_ini, short pos_fin)
{
short i, menores , mayores, tam, val_ind, *aux_ind ;
short pos_pivote;
real *vector_aux, val_pivote;
menores=0;
mayores=0;
tam=pos_fin-pos_ini+1;/* indice de subvector: 0..tam*/
vector_aux=crea_vector_real(tam);
aux_ind=crea_vector_short(tam);/** añadido*/
pos_pivote=pos_ini-1;/*-1 porque indice del vector comienza en 0 */
val_pivote=subvector[pos_pivote]; /* se toma como pivote al primer elemento */
val_ind=subindices[pos_pivote];/** añadido*/
for (i=pos_ini;i<pos_fin;i++)
{
if (subvector[i]<val_pivote)
{
vector_aux[menores]=subvector[i];
aux_ind[menores] =subindices[i];/** añadido*/
menores++;
}
else
{
vector_aux[pos_fin-pos_ini-mayores]=subvector[i];
aux_ind[pos_fin-pos_ini-mayores]=subindices[i];/** añadido*/
AII-18
mayores++;
}
}
/* se copia vector_aux en subvector con particion de acuerdo a pivote*/
pos_pivote=pos_ini+menores;
vector_aux[menores]=val_pivote;
aux_ind[menores]=val_ind;/** añadido*/
for (i=pos_ini-1;i<pos_fin;i++)
{subvector[i]=vector_aux[i-pos_ini+1];
subindices[i]=aux_ind[i-pos_ini+1];/** añadido*/}
corta_vector_real(vector_aux);
corta_vector_short(aux_ind);
return pos_pivote;
}
void ordena(int *indices, real *vector, int pos_ini, int pos_fin)
{
int pivote;
if (pos_fin>pos_ini)
{
pivote=particion_vector(indices,vector, pos_ini, pos_fin);
ordena(indices,vector, pos_ini, pivote-1);
ordena(indices,vector, pivote+1, pos_fin);
}
}
void N_lim(real *Lmin, real *Lmax, real *NLmin, real *NLmax , real dem,int *Id, int n)
{
real suma_min, suma_max;
int i,j;
suma_min= 0.0;
suma_max= 0.0;
for (i=0; i<n; i++)
{
suma_min = suma_min + Lmin[Id[i]];
suma_max = suma_max + Lmax[Id[i]];
}
for (j=0; j< n;j++)
{
NLmax[Id[j]]= dem - suma_min + Lmin[Id[j]];
NLmin[Id[j]]= dem - suma_max + Lmax[Id[j]];
if (NLmax[Id[j]] > Lmax[Id[j]])
NLmax[Id[j]] = Lmax[Id[j]];
if (NLmin[Id[j]] < Lmin[Id[j]])
NLmin[Id[j]] = Lmin[Id[j]];
}
}
void fase_constructora(const Unidad *unidades,real modelo_cc[][5],real *Psol, real *Paux_min, real *Paux_max)
{
int *C,*RCL;
int N,tam_RCL,i,j,k,Pos_RCL_selec;
real *Paleat,*fmiope,*NLmax,*NLmin;
/*real Paux_min [Us], Paux_max[Us]; */
real smin,smax, criterioRCL,dem_resto;
C=crea_vector_int(Us);
RCL=crea_vector_int(Us);
NLmax=crea_vector_real(Us);
NLmin=crea_vector_real(Us);
Paleat=crea_vector_real(Us);
fmiope=crea_vector_real(Us);
N=Us;
dem_resto=Demanda;
AII-19
/*Inicializa conjunto candidato C*/
for (i=0;i<N;i++)
C[i]=i;
for (i=0; i< Us;i++){
Paux_min[i] = unidades[i].Pmin;
Paux_max[i] = unidades[i].Pmax;
if (unidades[i].hay_zm){/* si tiene zona muerta, decide en que region operara */
if (rand_real()>0.5) /*arriba zona muerta */
Paux_min[i] = unidades[i].fin_zm;
else /*abajo zona muerta */
Paux_max[i]=unidades[i].ini_zm;
}
}
for (k=0;k<Us-1;k++) {/*forma solucion, elemento por elemento*/
smin=9999999.9;
smax=0;
j=0;
N_lim(Paux_min, Paux_max, NLmin, NLmax , dem_resto, C, N);
for (i=0;i<N;i++) {/*Potencia aleatoria a conjunto C y funcion miope */
Paleat[C[i]]=rr2(NLmin[C[i]],NLmax[C[i]]);
fmiope[C[i]]=(unidades[C[i]].coef_a*Paleat[C[i]]*Paleat[C[i]]+unidades[C[i]].coef_b*Paleat[C[i]]+unidades[C[i]].coef_c+absol(u
nidades[C[i]].coef_e*sin(unidades[C[i]].coef_f*(unidades[C[i]].Pmin-Paleat[C[i]]))))/Paleat[C[i]];
if (fmiope[C[i]]<smin)
smin=fmiope[C[i]];
if (fmiope[C[i]]>smax)
smax=fmiope[C[i]];
}
criterioRCL=smin+alfa*(smax-smin);
for (i=0;i<N;i++) {/*Crea conjunto RCL Restricted Candidate List*/
if (fmiope[C[i]]<=criterioRCL) {
RCL[j]=C[i];
j++;}
}
tam_RCL=j;
Pos_RCL_selec=rand_int(0,tam_RCL-1);/* seleccion aleatoria de RCL */
Psol[RCL[Pos_RCL_selec]]=Paleat[RCL[Pos_RCL_selec]];
dem_resto=dem_resto-Paleat[RCL[Pos_RCL_selec]];
elimina_int_vector(C ,RCL[Pos_RCL_selec],&N);/*actualiza conjunto candidato C */
inicia_vector_int(RCL,tam_RCL); /*inicializa conjunto RCL */
}
Psol[C[0]]=dem_resto;/* potencia asignada a ultimo elemento de conjunto C */
}
void fase_BL(const Unidad *unidades, real modelo_cc[][5], real *P, real *Pmin_aux, real *Pmax_aux)
{
real adonde,*vecino, costo_mejor, costo_vecino;
int i,k, U_selec;
short sol_mej;
real Tot_pot_min, Tot_pot_max,movimiento_max, dif_costo,max_baja,max_sube;
k=0;
sol_mej=0;
vecino=crea_vector_real(Us);
/* Tot_pot_min=0;
Tot_pot_max=0;
for (i=0; i< Us; i++){
Tot_pot_min=Tot_pot_min + unidades[i].Pmin;
Tot_pot_max=Tot_pot_max + unidades[i].Pmax;}
max_baja=Demanda-Tot_pot_min;
max_sube=Tot_pot_max-Demanda;*/
costo_mejor=costo_tot(P, unidades,modelo_cc);
adonde=baja;
U_selec=rand_int(0,Us-1);
movimiento_max=(P[U_selec]-Pmin_aux[U_selec]);
while (k<K0)/*K0: numero de iteraciones max del algoritmo de generacion)*/
{
vecino=vecindad(P,Pmin_aux,Pmax_aux,movimiento_max,U_selec,adonde);/*solucion vecina*/
costo_vecino=costo_tot(vecino, unidades,modelo_cc);
AII-20
dif_costo=costo_mejor-costo_vecino;
if (dif_costo>0.0){
copia_vector_real(P,vecino,Us);
costo_mejor=costo_vecino;
sol_mej++;}
k=k+1;
U_selec=rand_int(0,Us-1);
if (rand_real()>0.5)
{adonde=sube;
movimiento_max=(Pmax_aux[U_selec]-P[U_selec]);} /*max_sube*/
else
{adonde=baja;
movimiento_max=(P[U_selec]-Pmin_aux[U_selec]);} /*max_baja*/
}
/* copia_vector_real(P_sol,P,Us);/* No es necesario, revisar al unificar con busqueda_local */
/* printf("# soluciones vecinas mejores: %u\n",sol_mej);*/
corta_vector_real(vecino);
}
/************** Rutinas de manejo de errores.**********************/
void error1(void)
{
perror("\a Faltan argumentos \n");
abortar();
}
void errorn(void)
{
perror("\a Demasiados argumentos \n");
abortar();
}
void error_opcion(void)
{
perror("\a Opción invalida\n");
abortar();
}
Archivos de descripción
“make_AG”
#************************************************************************
#* Compila el programa de Algortimo Genetico con poblacion inicial
#* de soluciones no factibles generadas de forma aleatoria
*
#************************************************************************
*
COMPILADOR=gcc
FUENTE= $(HOME)/tesis/fuente/util/util.c $(HOME)/tesis/fuente/pob_ini/pob_ini_nf2.c
$(HOME)/tesis/fuente/evaluacion/evaluacion2.c $(HOME)/tesis/fuente/seleccion/selec_torneo2.c
$(HOME)/tesis/fuente/hijos/hijos2.c AG2.c
OBJS=$(FUENTE:.c=.o)
HEADER= ag.h
LIB=GA
PROG=AG2
CC: $(OBJS)
$(COMPILADOR) $(OBJS) -L$(HOME)/tesis/lib -l$(LIB) -lm -o $(HOME)/tesis/bin/$(PROG)
@- echo "Compilación terminada"
LIMPIA:
@- rm -f $(OBJS)
@- echo "Borrado de objetos terminado"
AII-21
BORRA:
@- rm -f $(OBJS) $(PROG)
@- echo "Borrado de archivos terminado"
.c.o:
$(COMPILADOR) -g -I$(HOME)/tesis/fuente/incl/ -c $*.c -o $*.o
$(OBJS): $(HOME)/tesis/fuente/incl/$(HEADER) $(HOME)/tesis/lib/lib$(LIB).a
“make_AGH”
#*********************************************************************************
#* Compila el programa de Algoritmo Genetico Hibrido con poblacion inicial
#* de soluciones no factibles generadas de forma aleatoria.
*
#*********************************************************************************
*
COMPILADOR=gcc
FUENTE= $(HOME)/tesis/fuente/util/util.c $(HOME)/tesis/fuente/pob_ini/pob_ini_nf2.c
$(HOME)/tesis/fuente/evaluacion/evaluacion2.c $(HOME)/tesis/fuente/seleccion/selec_torneo2.c
$(HOME)/tesis/fuente/hijos/hijos2.c $(HOME)/tesis/fuente/BL/busqueda_local.c AGH.c
OBJS=$(FUENTE:.c=.o)
HEADER= ag.h
LIB=GA
PROG=AGH
CC: $(OBJS)
$(COMPILADOR) $(OBJS) -L$(HOME)/tesis/lib -l$(LIB) -lm -o $(HOME)/tesis/bin/$(PROG)
@- echo "Compilación terminada"
LIMPIA:
@- rm -f $(OBJS)
@- echo "Borrado de objetos terminado"
BORRA:
@- rm -f $(OBJS) $(PROG)
@- echo "Borrado de archivos terminado"
.c.o:
$(COMPILADOR) -g -I$(HOME)/tesis/fuente/incl/ -c $*.c -o $*.o
$(OBJS): $(HOME)/tesis/fuente/incl/$(HEADER) $(HOME)/tesis/lib/lib$(LIB).a
“make_AGH_FC”
#*********************************************************************************
#* Compila el programa de Algoritmo Genetico Hibrido con poblacion inicial
#* de soluciones factibles generadas por fase constructora del GRASP
#*********************************************************************************
*
*
COMPILADOR=gcc
FUENTE= $(HOME)/tesis/fuente/util/util.c $(HOME)/tesis/fuente/pob_ini/pob_ini_fc.c
$(HOME)/tesis/fuente/evaluacion/evaluacion.c $(HOME)/tesis/fuente/seleccion/selec_torneo.c
$(HOME)/tesis/fuente/hijos/hijos.c $(HOME)/tesis/fuente/BL/busqueda_local.c AGH.c
OBJS=$(FUENTE:.c=.o)
HEADER= ag.h
LIB=GA
PROG=AGH_FCgrasp
CC: $(OBJS)
$(COMPILADOR) $(OBJS) -L$(HOME)/tesis/lib -l$(LIB) -lm -o $(HOME)/tesis/bin/$(PROG)
@- echo "Compilación terminada"
LIMPIA:
@- rm -f $(OBJS)
@- echo "Borrado de objetos terminado"
BORRA:
AII-22
@- rm -f $(OBJS) $(PROG)
@- echo "Borrado de archivos terminado"
.c.o:
$(COMPILADOR) -g -I$(HOME)/tesis/fuente/incl/ -c $*.c -o $*.o
$(OBJS): $(HOME)/tesis/fuente/incl/$(HEADER) $(HOME)/tesis/lib/lib$(LIB).a
“make_AGH_SR”
#************************************************************************
#* Compila el programa de Algortimo Genetico con poblacion inicial
#* de soluciones factibles generadas por algoritmo SR
*
#************************************************************************
*
COMPILADOR=gcc
FUENTE= $(HOME)/tesis/fuente/util/util.c $(HOME)/tesis/fuente/pob_ini/pob_ini.c
$(HOME)/tesis/fuente/evaluacion/evaluacion.c $(HOME)/tesis/fuente/seleccion/selec_torneo.c
$(HOME)/tesis/fuente/hijos/hijos.c $(HOME)/tesis/fuente/BL/busqueda_local.c AGH.c
OBJS=$(FUENTE:.c=.o)
HEADER= ag.h
LIB=GA
PROG=AGH_SR
CC: $(OBJS)
$(COMPILADOR) $(OBJS) -L$(HOME)/tesis/lib -l$(LIB) -lm -o $(HOME)/tesis/bin/$(PROG)
@- echo "Compilación terminada"
LIMPIA:
@- rm -f $(OBJS)
@- echo "Borrado de objetos terminado"
BORRA:
@- rm -f $(OBJS) $(PROG)
@- echo "Borrado de archivos terminado"
.c.o:
$(COMPILADOR) -g -I$(HOME)/tesis/fuente/incl/ -c $*.c -o $*.o
$(OBJS): $(HOME)/tesis/fuente/incl/$(HEADER) $(HOME)/tesis/lib/lib$(LIB).a
“make_RS”
#************************************************************************
#* Compila el programa de Recocido Simulado
*
#************************************************************************
COMPILADOR=gcc
FUENTE= $(HOME)/tesis/fuente/util/util.c $(HOME)/tesis/fuente/pob_ini/pob_ini.c sa.c
OBJS=$(FUENTE:.c=.o)
HEADER= ag.h
LIB=GA
PROG=RS
CC: $(OBJS)
$(COMPILADOR) $(OBJS) -L$(HOME)/tesis/lib -l$(LIB) -lm -o $(HOME)/tesis/bin/$(PROG)
@- echo "Compilación terminada"
LIMPIA:
@- rm -f $(OBJS)
@- echo "Borrado de objetos terminado"
BORRA:
@- rm -f $(OBJS) $(PROG)
@- echo "Borrado de archivos terminado"
.c.o:
$(COMPILADOR) -g -I$(HOME)/tesis/fuente/incl/ -c $*.c -o $*.o
AII-23
$(OBJS): $(HOME)/tesis/fuente/incl/$(HEADER) $(HOME)/tesis/lib/lib$(LIB).a
“make_GRASP”
#************************************************************************
#* Compila el programa GRASP
*
#************************************************************************
COMPILADOR=gcc
FUENTE= $(HOME)/tesis/fuente/util/util.c grasp.c
OBJS=$(FUENTE:.c=.o)
HEADER= ag.h
LIB=GA
PROG=grasp
CC: $(OBJS)
$(COMPILADOR) $(OBJS) -L$(HOME)/tesis/lib -l$(LIB) -lm -o $(PROG)
@- echo "Compilación terminada"
LIMPIA:
@- rm -f $(OBJS)
@- echo "Borrado de objetos terminado"
BORRA:
@- rm -f $(OBJS) $(PROG)
@- echo "Borrado de archivos terminado"
.c.o:
$(COMPILADOR) -g -I$(HOME)/tesis/fuente/incl/ -c $*.c -o $*.o
$(OBJS): $(HOME)/tesis/fuente/incl/$(HEADER) $(HOME)/tesis/lib/lib$(LIB).a
Nota: Los archivos evaluacion.c, selec_torneo.c, hijos.c (no incluídos) son similares a los archivos
evaluacion2.c, selec_torneo2.c, hijos2.c, respectivamente, con la diferencia que los primeros
escriben los datos de salida en un archivo.
AII-24