gráficas. funciones y estadística

¿Recuerdas qué es…?
Magnitud
Es todo aquello que podemos
medir. Toda magnitud tiene
su propia unidad de medida.
Son magnitudes el tiempo, la
distancia, la temperatura…
El conjunto de números
enteros
El conjunto de los números
enteros está formado por
los números naturales y sus
opuestos. Se representan de la
siguiente forma:
Z = {…,–5,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,5,…}
La representación en la recta de
los números enteros:
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
A la izquierda,
los números enteros negativos
A la derecha, los
números enteros
positivos
13
GRÁFICAS. FUNCIONES
Y ESTADÍSTICA
Si lees un periódico, ya sea deportivo o de
información general, verás que muchas
noticias van acompañadas de gráficos. En
ellos se representan datos relacionados
con el tema que aparece en la noticia.
Los gráficos permiten resumir una
información de manera sencilla y facilitan la
comprensión de la misma.
Por ejemplo, recuerda las gráficas que nos
informan sobre el recorrido de una etapa
del Tour de Francia, las variaciones de la
clasificación de los equipos a lo largo de
la temporada de fútbol, los gráficos que
representan el número de votos que tienen
los diferentes partidos políticos en época de
elecciones, los resultados obtenidos en una
encuesta realizada sobre los programas de
televisión más vistos, etc.
Hay muchos casos semejantes de gráficos
que vemos e interpretamos, pero no
sabemos qué tratamiento han tenido
previamente esos datos antes de quedar
reflejados en ese tipo de representación.
Los objetivos de esta Unidad son:
• Aprender a realizar e interpretar gráficas a
partir de una tabla de datos.
• Conocer los conceptos básicos de
estadística, sus parámetros principales
y el tratamiento de datos.
13
1
EJES DE COORDENADAS Y REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE PUNTOS
Seguro que en más de una ocasión has visto o incluso has llegado a jugar a
hundir barcos del jugador contrario acertando su posición, que se indica con
dos coordenadas.
Hasta ahora hemos representado siempre puntos sobre una recta y quedaban ordenados tanto los números enteros como los decimales.
–5
Y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
–1
–2
(–2, –2)
–3
–4
(2, 2)
(0, 0)
1 2 3 4 X
–2
–1
0
1
2
3
4
5
Se utilizan dos ejes colocados perpendicularmente: uno horizontal y otro
vertical.
• Al eje horizontal se le denomina «eje X» o eje de abscisas.
• Al eje vertical se le denomina «eje Y» o eje de ordenadas.
Estos dos ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro partes iguales
que llamamos cuadrantes y en ellos se representan los puntos.
1.er cuadrante
valor x: positivo
valor y: positivo
X
3.er cuadrante
valor x: negativo
valor y: negativo
–3
Para estudiar muchos fenómenos necesitamos representar puntos sobre un
plano, no sobre una recta. Y para ello se utilizan los ejes de coordenadas o
ejes cartesianos.
Y
2.º cuadrante
valor x: negativo
valor y: positivo
–4
4.º cuadrante
valor x: positivo
valor y: negativo
WEB
http://descartes.cnice.mecd.
es/3_eso/Coordenadas_
cartesianas/Coordenadas_
cartesianas.htm
Se explican las coordenadas
cartesianas y en la página
siguiente la representación de
puntos en el plano.
Todos los puntos que se representan vienen dados mediante un valor de x y otro
de y. Fíjate bien en el siguiente ejemplo:
Para definir la posición de cualquier
punto en cualquier cuadrante, se ha de
definir la «coordenada en x» o abscisa
y la «coordenada en y» u ordenada. Se
expresan entre paréntesis separadas por
una coma. Primero se escribe la abscisa
y luego la ordenada. El punto que definen se nombra con una letra mayúscula. Por ejemplo, A(1, 2), B(–3, 1), C(–2, –4),
D(2, –2).
Y
4
3
2
A(–3, 1)
1
B(1, 2)
–4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
C(–2, –4)
–4
1 2 3 4 X
D(2, –2)
En los ejes de coordenadas se representan puntos del plano. Los puntos
se nombran con una letra mayúscula y vienen definidos por dos números
escritos entre paréntesis y separados por una coma. El primer número representa la coordenada en x y el segundo la coordenada en y.
Ejercicios
1 Representa los siguientes puntos en los ejes
de coordenadas:
A(–3, 2), B(6, 2), C(4, –3), D(–2, 1), E(7, 3)
2 Indica las coordenadas cartesianas
de los siguientes
puntos:
F
Y
D
A
X
C
B
E
230
2
TABLA DE VALORES Y GRÁFICAS
Los puntos que se representan en los ejes de coordenadas pueden corresponder a datos de una determinada situación que se quiere estudiar. Estos
datos se recogen primero en una tabla que llamamos tabla de valores.
Ejemplo 1
Para celebrar una fiesta, decides comprar caramelos. En la tienda más cercana los venden por kilos y lees el siguiente cartel:
«2 € el kilo de caramelos».
Automáticamente, piensas que la cantidad a pagar dependerá
de los kilos que compres: si compro 1 kilo pagaré 2 €, si compro
2 kilos pagaré 4 €, si compro 3 kilos pagaré 6 €. En este ejemplo
se relaciona la cantidad de kilos con la cantidad de euros que
tienes que pagar.
Advertencia
Como coordenada en x
se sitúan los kilos y como
coordenada en y se sitúan los
euros.
Así se crea una tabla de valores:
Cantidad de kilos
1
2
3
4
5
Euros a pagar
2
4
6
8
10
Con la tabla se obtiene parejas de números que podemos utilizar como coordenadas de puntos del plano y con ellos se va a representar la situación
mediante una gráfica.
Y
C(3, 6)
Se trazan los ejes de coordenadas y se sitúan
los puntos.
A(1, 2)
B(2, 4)
C(3, 6)
B(2, 4)
A(1, 2)
WEB
X
Así, la gráfica asociada a esta situación es una
línea porque a cada cantidad de caramelos le
corresponde un precio.
Para realizar la gráfica se siguen los siguientes pasos:
1. Se ordenan en una tabla los datos a representar.
2. Se trazan los ejes de coordenadas y se dibujan los puntos.
http://descartes.cnice.mec.
es/1y2_eso/Interpretacion_de_
graficas/Graficas.htm
En esta página se estudian
las gráficas de las funciones,
pero primero se calcula una
tabla de valores que se puede
comprobar si está bien en la
escena donde se representa la
gráfica.
Ejercicios
3 Indica si las siguientes magnitudes se podrán
relacionar o no mediante una gráfica:
a) Kilos de manzanas que compro y dinero que
voy a pagar.
b) Asistentes a una fiesta y dinero que se recauda.
c) A una velocidad constante, metros que se recorrerán en un intervalo de tiempo.
d) Horas al día que invierto viendo la televisión y
la cantidad de días lluviosos.
4 Realiza la tabla de valores que relacionen la
altitud a la que se encuentra un alpinista en función del tiempo, si asciende a una velocidad de
300 metros por hora y ha partido desde una altitud de 1 400 metros.
5 Un ciclista lleva una velocidad de 2 metros
por segundo. Realiza una tabla y una gráfica donde se relacionen el tiempo transcurrido y los metros recorridos.
231
13
3
LECTURA E INTERPRETACIÓN
DE GRÁFICAS
Las gráficas son representaciones que relacionan entre sí dos magnitudes con
el objetivo de aportar información sobre cómo varía una magnitud en función
de otra. Por eso, cuando se examina o interpreta una gráfica, lo primero que
debe hacerse es observar cuáles son las magnitudes que relaciona.
Fíjate en la siguiente gráfica:
40
G(7, 40)
distancia (m)
C(3, 30)
30
D(4, 30)
F(6, 30)
20
B(2, 20)
10
0
H(8, 40)
E(5, 20)
A(1, 10)
0
1
2
3
4
5
6
7
8 tiempo (min)
La gráfica relaciona el tiempo transcurrido de un cuerpo en movimiento y la
distancia que les separa del punto de partida. Como ves, tiempo y distancia
son las magnitudes representadas en los ejes de coordenadas. La primera
viene dada en minutos y la segunda en metros.
a) En los tres primeros minutos se aleja 30 m.
b) En el siguiente minuto (entre el minuto 3 y 4) está parado, ya que el tiempo
avanza pero no hay incremento de distancia.
WEB
http://descartes.cnice.mec.
es/1y2_eso/Interpretacion_de_
graficas/Graficas.htm
Se construyen gráficas a partir
de una tabla de valores y del
enunciado de un problema,
pero también se interpretan
mediante preguntas otras
gráficas ya elaboradas.
c) En el siguiente minuto retrocede los 10 m, volviendo a estar a la misma
distancia del punto de partida que en el minuto 2.
d) En los dos siguientes minutos (el sexto y el séptimo) avanza 20 m: de la
posición 20 m a la posición 40 m.
e) Durante el octavo minuto ha permanecido parado.
Para interpretar gráficas, hemos de saber primero qué magnitud está representada en cada eje para comprender cómo varía una magnitud en función de
otra.
Ejercicios
6 Relaciona cada situación con una de las gráficas:
a) Frenado de un coche.
b) Coste de una llamada por segundos.
c) Un recorrido con tres paradas de avituallamiento.
d) Cambios de temperatura de un líquido a lo largo del tiempo hasta que se enfría del todo.
A
232
B
C
D
7 La siguiente gráfica representa el movimiento de un cuerpo. Interprétala y responde a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto tiempo ha estado andando?
b) ¿Cuánto ha recorrido?
c) ¿Ha hecho alguna parada?
d) ¿Qué más observas?
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
distancia (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 tiempo (min)
4
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Como hemos visto, las gráficas relacionan dos magnitudes que dependen
una de otra. Si una varía, la otra también varía en función de aquella.
Para la fiesta del colegio te preguntas cuánto dinero has de llevar. La respuesta es clara: «en función de lo que vayas a consumir». El anuncio de la
fiesta decía lo siguiente:
Entonces, se debe calcular y hacer una tabla:
Cantidad consumiciones/bocadillos
1
2
3
…
Cantidad euros
2
4
6
…
FIESTA DEL COLEGIO
EL VIERNES A LAS
19:00 HORAS
ENTRADA LIBRE
BOCADILLOS : 2 €
REFRESCOS: 2 €
Fíjate que la cantidad de euros varía en función de los bocadillos y refrescos
que compras. En este caso se relacionan consumiciones y euros. Se observa
que si la primera aumenta, la segunda también, es decir, están relacionadas.
Siempre que se relacionan dos magnitudes, una es independiente porque le
vamos dando los valores que se quiera, y la otra es dependiente porque varía
en función de los valores que se dan a la primera.
Así, a la primera se le llamará variable independiente y se representa sobre
el eje X y a la segunda se le llama variable dependiente y se representa sobre el
eje Y.
Función es una relación entre dos variables, de manera que a cada valor
de la variable independiente le corresponde, como máximo, un valor de
la variable dependiente.
Para que una relación entre dos magnitudes sea una función se debe cumplir que a cada valor de la variable independiente se le asocia, como mucho,
uno de la variable dependiente.
Cuando se relacionan dos magnitudes, una será la variable independiente, que varía sin depender de nada, y la otra será la variable dependiente,
que varía en función de la variable independiente.
— Variable independiente: se representa en el eje X.
— Variable dependiente: se representa en el eje Y.
Ejercicios
8 En los siguientes casos, indica cuál será la
variable independiente y cuál la dependiente:
a) Tiempo que está un vehículo a velocidad constante y recorrido que realiza.
b) Tiempo de calentamiento de un litro de agua y
grados centígrados que alcanza.
c) Consumo de energía eléctrica de un hogar y la
cantidad a pagar.
d) Cantidad de kilos que compras y euros a pagar.
9 Quieres invitar a tus amigos al cine, pero no
sabes cuántos van a ir. Si sabes que cada entrada
cuesta 4 €, realiza la tabla y la gráfica en función
del número de amigos que vayan.
10 Copia en tu cuaderno y completa:
Dos magnitudes están relacionadas cuando una
_____________ la otra también varía en __________
de la anterior. A la que varía sin depender de nada
se le llama ___________________ y a la que varía dependiendo de la anterior se le llama ___________
233
13
ESTUDIOS Y ELEMENTOS ESTADÍSTICOS:
POBLACIÓN, MUESTRA E INDIVIDUO
5
El Instituto Nacional de Estadística ha realizado un estudio sobre el número
de horas al día que se ve la televisión en los hogares españoles. Los resultados
finales quedan reflejados en la gráfica del margen.
Población (%)
No ven la TV
Ven la TV menos de 1 hora al día
Ven la TV entre 1 y 3 horas al día
Ven la TV más de 3 horas al día
50%
40%
35%
30%
30%
25%
20%
10%
Es una gráfica estadística y nos da información
sobre una población.
Los datos recogidos en la gráfica se dan en
porcentajes y hacen referencia a los miembros de una población, pero ¿realmente crees
que para conseguir la información necesaria
se han entrevistado o encuestado a todas y
cada una de las personas de una población?
Obviamente, no.
Los datos se recogen de una serie de encuestas que sólo se realizan a un grupo reducido y
representativo de la misma, ya que preguntar
a todos sería demasiado caro y llevaría mucho
tiempo. A este grupo reducido y significativo
de la población se le llama muestra.
10%
0%
La población se compone de individuos. Si el estudio estadístico que se quiere
realizar trata de obtener datos sobre el número de televisores que hay en cada
hogar de España, la población serían los hogares españoles. Si se quiere estudiar el índice de natalidad de los animales en cautividad, la población estaría
formada por los animales que están en cautividad en los zoológicos.
Posteriormente, la información que se deduce de los datos obtenidos de la
muestra se extrapola a toda la población, es decir, se generaliza para el total
de individuos de la población.
Ten en cuenta
La muestra elegida para un
estudio estadístico debe ser
significativa. Por ejemplo, si
se estudia a qué dedican su
tiempo de ocio los alumnos de
ESO, no se deben elegir sólo
alumnos de 1.º de ESO, sino
de todos los niveles y a partes
iguales, chicos y chicas.
Población: grupo de elementos sobre los que se realiza una investigación.
Muestra: parte seleccionada de una población de donde se recogen datos significativos.
Individuo: todos y cada uno de los componentes de una población.
Para realizar un estudio estadístico sobre una población se elige una
muestra de la misma, compuesta por una selección de individuos representativos para el estudio.
Ejercicios
11 En estos estudios estadísticos, indica cuál sería la población y qué muestra elegirías en
cada caso para que sea representativa:
a) Las aficiones de los jóvenes entre 15 y 20 años.
b) Consumo en familias de un producto de limpieza nuevo.
c) Paro social entre hombres y mujeres de 25 a 35 años.
d) Nota media de todos los alumnos de 1.º de ESO de un instituto.
234
6
TABLAS ESTADÍSTICAS
Como has visto hasta ahora, en las gráficas estadísticas los datos se indican
normalmente en porcentajes. Para ello se realiza primero una tabla estadística.
Se quiere realizar un estudio sobre las notas obtenidas en un examen de
Matemáticas y se dispone de una lista de alumnos y su calificación. Para crear
la tabla estadística se observa que los valores que toma la variable son: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Se elige una muestra (N) de 33 individuos. Se cuenta
ahora cuántos alumnos han sacado cada calificación y a ese valor se le llama
frecuencia absoluta, que se representa por fi.
En la siguiente columna relacionamos la frecuencia absoluta con el número
total de individuos de la muestra. El dato obtenido se llama frecuencia relativa
y se representa por Fi.
Fíjate en esta tabla y saca conclusiones:
Nota Frecuencia absoluta fi
0
2
1
1
2
0
3
3
4
5
5
7
6
4
7
5
8
3
9
1
10
2
N = 33
Frecuencia relativa Fi = fi / N
2 / 33 = 0,06
1 / 33 = 0,03
0 / 33 = 0
3 / 33 = 0,09
5 / 33 = 0,15
7 / 33 = 0,21
4 / 33 = 0,12
5 / 33 = 0,15
3 / 33 = 0,09
1 / 33 = 0,03
2 / 33 = 0,06
TOTAL = 1
% m Fi · 100
6%
3%
0%
9%
15%
21%
12%
15%
9%
3%
6%
TOTAL = 100%
Cualquier tabla estadística recogerá por columnas los siguientes datos:
• Columna de la variable a estudiar: Se colocan los diferentes valores que
puede tener la variable. En este caso las notas del 0 al 10.
• Frecuencia absoluta (fi ): En esta columna se indica las veces que se repite ese
dato de la variable o la frecuencia de aparición de cada uno de los valores
de la variable. Si sumamos todas las frecuencias absolutas obtenemos el
tamaño muestral (N). En este ejemplo son 33 alumnos.
• Frecuencia relativa (Fi ): Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de individuos de la muestra (N). La suma de todas las frecuencias
relativas es 1.
• Columna de %: Se calculan los porcentajes de aparición de cada valor de
la variable multiplicando la frecuencia relativa por 100. Sumando todos los
porcentajes se obtiene el 100%.
Vocabulario
f i y F i son notaciones para
las frecuencias absolutas y
relativas, respectivamente.
La «i» que aparece en cada
expresión se llama subíndice e
indica lo siguiente en nuestro
ejemplo:
f1 es la frecuencia de la
calificación 0.
f 2 es la frecuencia de la
calificación 1.
…
f 9 es la frecuencia de la
calificación 8.
WEB
http://descartes.cnice.
mec.es/m_Estadistica_y_
probabilidad/12_Hijos/hijos.htm
Se hace un recuento y luego se
dibuja el diagrama de barras.
WEB
http://descartes.cnice.mec.es/
m_Estadistica_y_probabilidad/
color_preferido/index.htm
En este caso también se
construye un diagrama de
sectores.
Ejercicios
12 Define y explica con tus propias palabras
de qué columnas se componen las tablas estadísticas.
13 Se visitaron diferentes familias y se anotó el
número de hijos en cada una de ellas. Realiza una
tabla estadística, sabiendo que el resultado del
análisis fue el siguiente:
2, 1, 0, 3, 4, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 3, 0, 3, 1, 5
235
13
7
10%
Bellas Artes
Folisofía
Derecho
Biología
Psicología
Economía
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS.
REPRESENTACIÓN DE LA
INFORMACIÓN
Una tabla estadística nos aporta información, pero hay que representarla
mediante gráficos estadísticos para que se pueda interpretar. A continuación
verás dos tipos de gráficas muy utilizadas en Esta10%
dística para representar la información:
15%
30%
25%
Gráficos de sectores. Fíjate en el siguiente ejemplo sobre las opciones de carreras de una clase de
2.º de Bachillerato.
En un círculo se representa cada valor del porcentaje en un sector proporcional del mismo sabiendo
que 360° se corresponde al 100%.
10%
Diagrama de barras. El mismo ejemplo se puede representar mediante un
diagrama de barras.
35%
30%
30%
25%
25%
20%
15%
10%
15%
10%
10%
10%
Bellas Artes
Filosofía
Derecho
Biología
Psicología
Economía
5%
0%
En este ejemplo, en el eje «Y» se colocan los valores numéricos y en el eje «X»
las distintas opciones de la variable.
WEB
http://www.juntadeandalucia.
es/averroes/recursos_
informaticos/proyectos2003/
matematicas_red/index.html
Situando en el lugar que
se indica los valores y las
frecuencias, dibuja el diagrama
de barras.
Toda la información recogida en una tabla estadística se representa mediante un gráfico estadístico.
— Gráfico de sectores: se asigna a cada frecuencia absoluta un sector circular proporcional a ese valor. El 100% total se corresponde con 360°.
— Diagrama de barras: se representa mediante barras el porcentaje o la
frecuencia absoluta de cada una.
Ejercicios
14 En una clase, las notas obtenidas en un examen de Matemáticas son las siguientes:
10, 4, 3, 2, 7, 7, 8, 9, 9, 3, 4, 6, 5, 5, 9
Con estos datos, realiza la tabla estadística y su
representación gráfica.
15 Los litros de agua recogidos por metro cuadrado en Vigo a causa de las lluvias en el año 2005 se
reparten entre los 12 meses de la siguiente manera:
Enero: 15%
Abril: 22%
Julio: 1%
Octubre: 5%
Febrero: 12%
Mayo: 3%
Agosto: 1%
Noviembre: 7%
Marzo: 20%
Junio: 1%
Septiembre: 2%
Diciembre: 11%
Representa los datos mediante un diagrama de
barras.
236
8
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS.
MEDIA ARITMÉTICA Y MODA
Ejemplo 2
A lo largo del curso, tus notas de los exámenes de Lengua han sido las siguientes:
5
7,5
8,5
7
7
7
Si la nota final es la media de tus calificaciones de todo el curso, ¿qué nota te van a poner en
Lengua?
Para calcular la nota media del curso, siempre y cuando todos los exámenes tengan el mismo
valor sobre la nota final, se suman todas las notas obtenidas y se divide entre el número total
de exámenes que has tenido.
5 + 7,5 + 8,5 + 7 + 7 + 7
= 7 Nota media.
6
Ejemplo 3
Cada día, al ir al colegio, empleas un tiempo, pero no todos los días tardas lo mismo. Quieres
saber cuál es la media de los tiempos empleados en los últimos cuatro días. Para ello te cronometras durante 4 días y los datos obtenidos los apuntas para que no se te olviden:
1.º día: 4 minutos
2.º día: 3 minutos
3.º día: 4 minutos
Para calcular el tiempo que empleas por término medio,
se suman todos los minutos y el resultado se divide entre 4
(número de días que cronometras):
4.º día: 5 minutos
4+3+4+5
16
=
= 4 Tiempo medio.
4
4
En ambos casos hemos calculado la media de una serie de valores. La media
es un parámetro estadístico.
Otro parámetro estadístico es la moda. La moda es el valor de la variable que
más se repite, es decir, el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Volviendo a los ejemplos anteriores:
• Ejemplo A: La moda, es decir, la nota que más se repite es el 7.
• Ejemplo B: La moda, es decir el tiempo que más se repite es 4 minutos.
Los parámetros estadísticos más importantes son:
— Media: es el parámetro estadístico que indica el valor medio de varios
valores.
— Moda: es el parámetro estadístico que indica qué valor tiene mayor
frecuencia absoluta.
CD
En la pestaña Documentación/
Unidad 13/Test de
autoevaluación, encontrarás
varios test interactivos, para
repasar la unidad.
CD
En la pestaña Actividades/
Ejercicios modo examen/
Unidad 13, encontrarás varios
ejercicios para repasar la
unidad.
Ejercicios
16 Un nadador que quiere superar su récord,
realiza los siguientes tiempos en los 100 metros
(los datos están expresados en minutos):
1,5
2
1,5
1,85
1,15
¿Cuál es la media y cuál es la moda?
1,35
17 Se ha entrevistado a 15 familias sobre el número de televisores que hay en el hogar y se han
obtenido estos datos:
• 1 televisor:
3 familias
• 2 televisores:
10 familias
• 3 televisores:
2 familias
Basándote en estos datos, ¿cuál es la moda?
237
13
NOMBRE SECCIÓN
EJERCICIOS
RESUELTOS
1 Análisis gráfico del movimiento de un coche.
Vamos a realizar un análisis sobre la velocidad de un coche. Para ello realizaremos una tabla que relacione dos magnitudes: el tiempo y el espacio
recorrido.
A velocidad constante, cuanto más tiempo
estemos conduciendo, más espacio se recorrerá.
Variable independiente (x): tiempo
Variable dependiente (y): espacio
Pasos:
a) Datos recogidos:
1.er minuto: 200 metros
2.º minuto: 400 metros
3.er minuto: 600 metros
b) Los datos se llevan a una tabla:
Tiempo (min) x
Espacio (m) y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000
c) Se hallan los puntos:
(1, 200) (2, 400) (3, 600) (4, 800) (5, 1 000)
CD
En la pestaña Documentación/
Unidad 13/Animaciones,
encontrarás una animación
para ayudarte a entender las
gráficas.
(6, 1 200) (7, 1 400) (8, 1 600) (9, 1 800) (10, 2 000)
d) Se representan los puntos en los ejes de coordenadas.
Los puntos se unen entre sí, porque se podía haber calculado el espacio
recorrido en 1,5 minutos, en 2,3 minutos…, y se obtienen otros puntos de
la función.
y = espacio (metros)
2000
2000
1800
1800
1600
1600
1400
1 400
1200
1 200
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
0
238
200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x = tiempo (minutos)
2 Se ha hecho un estudio sobre la cantidad de horas que ven la televisión al día los jóvenes de 15 años, y después de entrevistar a una
pequeña muestra, los datos obtenidos fueron los siguientes:
2, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 4, 3, 2
Representa los datos en un diagrama de barras y calcula la tabla estadística, la moda y la media.
Pasos:
45%
a) Con los datos obtenidos, realizamos la TABLA ESTADÍSTICA:
40%
Horas que se ve la TV al día
0
1
2
3
4
5
fi
1
1
5
2
2
1
Fi = fi / N
0,08
0,08
0,416
0,16
0,16
0,08
% (Fi · 100)
8%
8%
41,6%
16%
16%
8%
35%
30%
25%
20%
16% 16%
15%
10%
8% 8%
8%
5%
N = 12 Número total de individuos de la muestra
0%
Moda: 2 horas de TV (41,6% de la población)
Media =
41,6%
2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 30
=
= 2,5 horas/día
12
12
3 Diagrama de sectores: Vamos a representar mediante diagrama
de sectores las opciones de carrera de 60 alumnos. Se han recogido los
siguientes datos: 10 alumnos Bellas Artes, 5 Derecho, 7 Medicina, 20
Periodismo, 10 Farmacia, 8 Turismo. Primero tenemos que calcular sobre
la muestra de 60 alumnos que porcentaje del total corresponde a cada
opción. Configuramos la tabla estadística:
Opciones
Bellas Artes
Derecho
Medicina
Periodismo
Farmacia
Turismo
fi
10
5
7
20
10
8
Fi = fi / N
0,16
0,08
0,11
0,33
0,16
0,13
% (Fi · 100)
16%
8%
11%
33%
16%
13%
Bellas Artes
Derecho
Medicina
Periodismo
Farmacia
Turismo
En el diagrama tenemos que asignar de 360°, que es el 100%, diferentes sectores proporcionales a cada uno de los porcentajes. En este caso nuestro
total son 360°, por lo que los valores obtenidos al realizar fi /N los tenemos
que multiplicar por 360, de forma que obtenemos el valor (en ángulo o en
grados) que se corresponde con cada opción y que será el que represente la
porción del sector correspondiente:
Bellas Artes: 16% m 0,16 × 360° = 57,6°; Derecho: 8% m 0,08 × 360° = 28,8°;
Medicina: 11% m 0,11 × 360° = 39,6°; Periodismo: 33% m 0,33 × 360° = 120°;
Farmacia: 16% m 0,16 × 360° = 57,6°; Turismo: 13% m 0,13 × 360° = 46,8°
239
13
NOMBRE SECCIÓN
EJERCICIOS
PROPUESTOS
Ejes y representación
1
Define ejes de coordenadas y punto cartesiano.
2
Dibuja los siguientes puntos en unos ejes cartesianos:
A(1, 3)
B(–2, 4)
C(7, 2)
3
Identifica los
puntos siguientes e
indica las coordenadas de cada uno de
ellos:
D(–10, 1)
8
Quieres comprar barras de pan que cuestan
0,75 €. Haz una tabla que indique cuánto tendrás que
pagar en función de cuántas barras compres hasta un
máximo de 5 barras.
E(2, –9)
y
B
I
7
En un contenedor que tiene 100 litros de agua
se ha quedado el grifo abierto y se pierden 10 litros de
agua por minuto. Realiza la tabla donde se refleje esa
pérdida de agua por minuto y luego represéntalo gráficamente. ¿Qué observas?
9
Vas a invitar a tus amigos al cine. Sabiendo que
sois un total de 15 amigos y que el cine cuesta 4,5 €, realiza la tabla y la gráfica en función de la cantidad posible
de amigos que vayan.
F
A
x
E
Lectura de gráficas
G
C
10
H
11
Interpreta el siguiente gráfico del calentamiento
de agua desde estado sólido hasta estado gaseoso.
D
4
Representa en los ejes de coordenadas las siguientes situaciones:
a) Un punto en el primer cuadrante.
b) Dos puntos que sean simétricos entre el segundo y el
tercer cuadrante.
c) Un punto en el tercer cuadrante donde la coordenada de «x» duplique en valor absoluto a la coordenada
de «y».
Tablas de valores y gráficas
5
Copia en tu cuaderno y completa sabiendo que
la velocidad es constante. Realiza la gráfica asociada.
Tiempo (horas)
1
2
Espacio recorrido (km) 150
3
4
5
6
7
600
6
Copia en tu cuaderno y completa la tabla. Realiza la gráfica asociada.
Kilogramos que compro 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Euros a pagar
0 1,5 3
¿Cuánto cuesta medio kilo?
¿Cuánto cuesta un kilo?
240
¿Cuánto costarán 10 kilos?
¿Qué significa interpretar una gráfica?
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
–5
–10
–15
–20
y = temperatura (°C)
x = tiempo (minutos)
12
Fíjate en el siguiente gráfico, que representa el
movimiento de un coche. Interprétalo y responde a las
siguientes preguntas:
70
60
50
40
30
20
10
0
y = velocidad (m/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
x = tiempo (minutos)
a) En qué intervalos la velocidad es constante.
b) En qué intervalos hay aceleración.
c) En qué intervalos está frenando.
d) ¿Tiene en algún momento velocidad cero?
13
Relaciona una gráfica con el enunciado más
apropiado:
a) Número de asistentes a un concierto y dinero que se
recauda.
b) Frenado de un coche hasta alcanzar velocidad cero.
c) Un caminante que va a velocidad constante.
Haz una tabla de lo que puedes gastar, que estará en
función de las consumiciones que compres. Recuerda
que consumas lo que consumas, siempre vas a pagar
la entrada.
(Recuerda: Cero consumiciones: pagarás solo 3 €. Una consumición: pagarás 5 €.)
18
Señala cuáles son las magnitudes que se relacionan y di cuál es la variable «x» y cuál es la variable «y».
a) Tiempo que está encendida una bombilla y medida
del contador.
I
II
b) Altura a la que vuela un avión y temperatura exterior.
III
14
¿Cuál de estas dos tablas representa mayor velocidad, la correspondiente a la tabla «A» o a la tabla «B»?
Razona la respuesta.
Tabla A
Tiempo (horas)
1 2 3 4 5 6 7 8
Espacio (km)
19
De los siguientes supuestos, di en qué caso las
variables se relacionan y en cuáles no:
a) Temperatura exterior y cantidad de estrellas visibles.
b) Utilización de un bolígrafo y tinta restante.
75 150 225 300 375 450 525 600
c) Tiempo de ciclo de una lavadora y agua consumida.
Tabla B
Tiempo (horas)
1
2
3
d) Tiempo de ejercicio físico realizado y calorías consumidas.
Espacio (km)
25
50
75 100 125 150 175 200
4
5
6
7
8
Concepto de función
15
Señala cuáles son las magnitudes que se relacionan y di cuál es la variable independiente y cuál es la
variable dependiente:
e) Velocidad de un coche y temperatura interior del
coche.
20
En un supermercado, compres lo que compres,
siempre te cobran la bolsa 0,5 €. Realiza la tabla de lo que
vas a pagar en función de los kilogramos de manzanas
que compres, sabiendo que hoy están de oferta a 1,5 €/kg.
a) Tiempo de consumo de agua de un bidón y volumen
que queda.
Población, muestra
b) Tiempo que se calienta un metal y temperatura que
alcanza.
21
¿Qué es un estudio estadístico? Pon un ejemplo
y define qué es una tabla estadística.
16
Define con tus propias palabras y pon un
ejemplo:
a) Magnitud.
b) Eje de ordenadas
c) Variable dependiente.
d) Variable independiente.
e) Función.
22
¿Qué diferencia hay entre población, muestra e
individuo?
17
ponía:
b) Dos clases de 4.º de la ESO de tu instituto o colegio.
He ido a una fiesta donde había un cartel que
ENTRADA 3€ Y CONSUMICIONES 2€
23
Quieres estudiar la estatura media de jóvenes
entre 14 y 16 años de tu ciudad. ¿Qué muestra te parece
más adecuada? Razona la respuesta.
a) Una muestra de 15 chicas pertenecientes a un club de
baloncesto.
c) Coger al azar a 50 personas de una sala de juegos.
d) Los 30 chicos de un equipo de natación de tu
ciudad.
241
13
NOMBRE SECCIÓN
EJERCICIOS
PROPUESTOS
24
Indica cuál será la población, la muestra y los
individuos para los siguientes estudios estadísticos:
b) Realiza la representación gráfica.
c) ¿Cuál es la moda y cuál es la media?
a) Índice de mortalidad en España.
b) Calorías medias consumidas por día en niños entre 8
y 10 años.
c) Consumo medio de agua por familia, en familias numerosas de Madrid.
30
A la salida de un colegio, se ha consultado por
el número de horas dedicadas a la tareas domésticas:
1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0, 1
a) Realiza la tabla estadística.
b) Realiza la representación gráfica.
Tablas estadísticas
c) ¿Cuál es la moda y cuál es la media?
25
Para escoger al delegado de una clase, se ha
votado entre los voluntarios a serlo, y el resultado es el
siguiente:
Gráficos estadísticos
Ana:
3
Laura:
8
31
Interpreta el siguiente gráfico estadístico y explica cómo se obtiene:
Juan:
4
Rocío:
0
Preferencias alimentarias de los jóvenes en España
Pedro:
5
Isabel:
6
Luisa:
7
Álvaro:
4
Realiza la tabla estadística y el diagrama de barras.
5%
30%
25%
arroz
pasta
garbanzo
pizza
espinacas
26
En una encuesta sobre el número de idiomas
que habla una persona, el resultado fue el siguiente:
1, 1, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 1
a) Realiza la tabla estadística.
10%
30%
b) Realiza la representación gráfica.
c) ¿Cuál es la moda y cuál es la media?
27
En una clase, las notas de un examen de Ciencias
Naturales son las siguientes:
7, 8, 9, 2, 9, 3, 5, 5, 3, 10, 10, 4, 9, 5, 2, 5, 5, 4, 9, 7
Realiza la tabla estadística, el diagrama de barras e indica
cuál es la moda y cuál es la media.
32
¿Por qué muestra optarías para el siguiente estudio? ¿Qué pasos llevarías a cabo en el estudio total?
«Los alumnos de 17 años, ¿escuchan o no música mientras estudian? En caso afirmativo, preferencias musicales
a la hora de estudiar».
33
Interpreta la siguiente representación gráfica:
% de días lluviosos en Madrid
28
Se ha encuestado a un grupo de trabajadores
sobre las horas de trabajo a la semana y se han obtenido
los siguientes resultados:
25%
20%
30, 35, 40, 45, 40, 32, 35, 40, 35, 40
Realiza la tabla estadística, el diagrama de barras e indica
cuál es la moda y cuál es la media.
242
15%
20% 20%
15% 15%
10%
29
En una encuesta sobre el número de cafés que
toma una persona al día, el resultado fue el siguiente:
5%
2, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3
0%
a) Realiza la tabla estadística.
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
7% 7% 7%
5%
1% 1% 1% 1%
¿Cómo crees que se ha realizado el estudio?
Parámetros
a) ¿Cuál es la moda y cuál es la media?
34
Define los parámetros estadísticos moda y media y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
35
Asocia la moda correspondiente a cada uno de
los casos:
2, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 2
20
20, 25, 22, 22, 21, 20, 20
2
5, 7, 2, 5, 5, 7, 9,
5
36
En esta secuencia de datos, ¿cuál es la media y
cuál es la moda?
15, 15, 20, 25, 10, 15, 20, 10, 15, 15
37
En un grupo de 10 personas se ha medido la
altura de cada una de ellas, siendo el resultado el siguiente:
1,80; 1,74; 1,82; 1,60; 1,50; 1,72; 1,50; 1,75; 1,65; 1,50
Calcula la altura media en este grupo.
38
¿Cuál es la moda entre los deportes preferidos
de los padres?
Deportes preferidos de los padres
5%
15%
20%
Natación
Fútbol
Baloncesto
Tenis
b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagrama de barras.
41
Representa los datos de la encuesta del ejercicio
anterior mediante diagrama de sectores.
42
Imagina un estudio estadístico y represéntalo
mediante un diagrama de barras.
43
A las encargadas de
un comedor infantil se les ha
consultado la frecuencia al
mes de los siguientes alimentos:
Nota: El mes se considera de
22 días lectivos.
a) ¿Cuál es la moda?
Lentejas
Garbanzos
Macarrones
Espagueti
Vainas
Coliflor
Sopas
4
3
3
2
3
2
5
b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagrama de barras.
44
De cien encuestados en un concesionario, se
les ha consultado sobre las preferencias que exigen de
serie en un coche:
Aire acondicionado
Elevalunas eléctrico
Radio MP3
Llantas de aleación
Pintura metalizada
Airbags
Tapicería de cuero
Teléfono
28
15
17
12
3
18
2
5
a) ¿Cuál es la moda?
60%
39
En la siguiente secuencia de datos, ¿cuál es la
media y cuál es la moda?
2,5; 3; 3; 1; 2,5; 4; 3; 1; 4; 4,5; 4,5
40
En una tienda de electrodomésticos, se ha consultado a los clientes por el número de averías que han
sufrido con sus electrodomésticos en un año, obteniéndose los siguientes resultados:
7, 4, 1, 0, 5, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 3
b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagrama de barras.
45
Tras el mes de agosto, en una agencia de turismo
han confeccionado la siguiente tabla sobre los destinos
más solicitados de los clientes:
a) ¿Cuál es la moda?
Playa
Montaña
Balnearios
Cultural
Nieve
Variado
37%
23%
11%
18%
2%
7%
b) Realiza el diagrama de barras y el diagrama de sectores.
243
13
PARA REPASAR
EN GRUPO
Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos
de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
CONCEPTO
DEFINICIÓN
Ejes de
coordenadas
Son dos ejes, uno horizontal (eje X o eje de abscisas) y otro vertical
(eje Y o de ordenadas) colocados perpendicularmente, llamando al
punto de corte origen de coordenadas.
Puntos del plano
Vienen dados por dos coordenadas expresadas entre paréntesis: (x, y).
Tabla de valores
Tabla donde queda expresada la relación de los valores de la primera
magnitud llamada x y los de la segunda magnitud llamada y.
Función
Cuando se relacionan 2 magnitudes, una será la variable
independiente, que varía sin depender de nada, y la otra será
la variable dependiente, que varía en función de la variable
independiente.
– Variable independiente: se representa en el eje X.
– Variable dependiente: se representa en el eje Y.
Una función es una relación entre dos variables de manera que
a cada valor de la variable independiente le corresponde, como
máximo, un valor de la variable dependiente.
Estadística
Rama de las Matemáticas mediante la cual se obtienen datos sobre
una población para analizarlos e interpretarlos.
Población,
muestra e
individuo
Población: Grupo de elementos sobre los que se realiza una
investigación.
Muestra: Parte seleccionada de una población de donde se recogen
datos significativos.
Individuo: todos y cada uno de los componentes de la población.
Tablas
estadísticas
Frecuencia absoluta (fi): Recoge las veces que aparece cada uno de
los valores que puede tener la variable estudiada. La suma de todas
las frecuencias absolutas se representa por N, que significa a la vez el
número total de individuos de la muestra o tamaño muestral.
Frecuencia relativa (Fi): Es la división entre la frecuencia absoluta y N.
Porcentaje (%): Se halla multiplicando la frecuencia relativa por 100.
Media
Es la suma de todos los valores de la variable contados tantas veces
como se repiten, dividida entre el tamaño muestral.
Moda
Es el valor más repetido de la variable estudiada.
Población (%)
Diagrama de barras:
No ven la TV
Ven la TV menos de 1 hora al día
Ven la TV entre 1 y 3 horas al día
Ven la TV más de 3 horas al día
50%
40%
35%
30%
30%
25%
20%
Representaciones
estadísticas
gráficas
244
10%
10%
0%
10%
Diagrama de sectores:
Bellas Artes
Filosofía
Derecho
Biología
Psicología
Economía
10%
15%
30%
25%
10%
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y DESAFÍOS
HUNDIMIENDO DEL BARCO PIRATA
Para llevar a cabo este juego se necesita un
mínimo de dos jugadores. Cada jugador realiza una plantilla como la del margen donde en
cinco de los cuadros coloca un barco.
¡Recuerda que tu contrincante no puede ver
dónde colocas la flota!
Una vez realizada la cuadrícula y colocados los
barcos, ¡empieza la batalla! Comienza cualquiera de los dos, mencionando una coordenada,
por ejemplo: (A, 3).
1
2
3
4
5
6
7
A
B
C
D
E
F
G
Si resulta que el contrario ha colocado un barco en esa posición: ¡hundido!
Tendrás otra oportunidad, pero si no ha colocado ningún barco en esa posición: ¡agua! Entonces será el turno del otro jugador. El ganador será el que
hunda primero los barcos del contrario. ¡Ánimo y a ganar!
LAS MATEMÁTICAS SON…
¿Cuál es la palabra clave…? Pon en este eje de coordenadas los puntos de
la tabla y asígnales la letra que les corresponde. Luego lee de izquierda a
derecha.
I m (–4, 6); V m (–3, 0); R m (0, 0); S m (10, –10); E m (6, 3); U m (–6, 3);
L m (3, –7); S m (1, 3); N m (–5, 3); E m (–2, 2); A m (2, 4)
DESAFÍO MATEMÁTICO
¡Vamos a simular que somos periodistas!
Haced en clase grupos de cuatro personas y organizad un pequeño estudio
sobre las horas que dedican cada día a la lectura los jóvenes entre 15 y 18
años. Además os habéis propuesto analizar si estadísticamente hay relación
entre la afición de los padres lectores y la afición de los jóvenes.
Aquí proponemos unas pautas a seguir:
• Tener claro cuál es la población.
• Escoger una muestra de la población (recuerda que ha de ser una muestra
representativa).
• Tendrás que realizar una encuesta para informarte si cada individuo lee o
no. En caso afirmativo, preguntar cuántas horas lee al día, e independientemente de la respuesta inicial, preguntar por la afición de los padres y
madres por la lectura.
• Ordenar los datos obtenidos en una tabla estadística.
• Hallar los parámetros estadísticos.
• Para finalizar, haced un pequeño informe sobre las conclusiones obtenidas.
¡Ánimo, periodistas!
245