Por 75

LA FAMILIA
BERNOULLI
Por
HOWARD
EVES
Segmn el decir general,
un matematico
sobresaliente
milias no poseen
pasados,
contramos
BIRKHOFF
y parientes
tambien citar a los d
a finales
(padre e hija),quie-
el caso de la familia
dos hermanos
BERNOUILLI
BERNOULLI
(1667-1748), quienes
cas cuando empezaron
se dedicaron
cuenta de laasombrosa
cas en la Universidad
con los
y JUAN BERNO-
a las matemati-
matematicos
que se
del calculo
de problemas.
voca-
y la
Desde 1687
ocupo la catedra de Matemati-
de Basilea.
(I) Traduccion del articulo «The
H.Eves,U.de Maine,
marzo de 1966.
empieza
sus anteriores
potencia
a una gran diversidad
Jacobo
no
los trabajos de LEIBNIZ
abandonando
ciones. Fueron unos de los primeros
hasta su muerte,
sucesivas
(1654-1705)
a aparecer
en el ACTA ERUDITORUM,
aplicaron
raros. Es,
notables.
de la familia
JACOBO
en
suiza BERNOUI-
en tres generaeiones
menos de ocho matematicos
dieron
del siglo XVIII
Pero estos casos son relativamente
La historia
en-
el oeaso de la epoea matematiea
LLI, la eual produjo
ULLI
de Norte-America
a TEON e HIPATIA
pues, sorprendente
famo
(padre e hijo) y a los dos
(padre e hija),
durante
de
a esta regla general.
(padre e hijo). Podemos
nes vivieron
eontemporaneos
en los Estados Unidos
y, por supuesto,
entre los ante-
ningUn otro matematico
hay excepciones
a los dos LEHMER
dos CASSINI
Grecia.
Asi, buscando
no encontramos
so. Sin embargo,
Por ejemplo,
aurque la mayoria de las fa-
ninguno.
descendientes
ISAAC NEWTON
un familia posee a 10 mas
aparecido
En 1697 Juan fue proBernouilli Family»de
en <The Math. Teacher>
75
fesor en la universidad
de Groninga
la muertede
en
Basilea,
su hermano
y ocupe, despues
de
1705, la catedra de este en
catedra que desempene
durante
el resto de su
vida activa. Los dos hermanos,
a veces
rivales,
nian un intercambio
casi incesante
mante-
de ideas con Leibniz
y entre ellosmismos.
Entre
las contribuciones
matematicas,
encontramos
,das polares;
la obtenci6n,
sianas
naria,
tanto en coordenadas
carte-
de la formula que da el radio
de una curva plana;
incluyendo
a las
el primer uso de las coordena-
como en polares,
de curvatura
de Jacobo Bernoulli
cuerdas
el estudio de la cate-
de densidad
bajo la accion de una fuerza
variable
central;
y cuerdas
e1 estudio
de otras
curvas planas
de grade superior;
1a isocrona
sea 1a curva a 10 largo de 1a cua1 cae un
0
cuerpo provisto
resulto
tangente
de una ve10cidad
ser una parabola
vertical),
ma una vari11a
el descubrimiento
vertical
semicubica
uniforme
(que
con una cuspide de
1a determinacion
elastica
de
de 1a forma que t£
fija en uno de sus extremos
y
con un peso en el otro, 1a forma que toma una lamina
rectangular
fijando
dos aristas
opuestas
horizontalemnte
y cargada
con un liquido pesado;
y 1a forma de una vela rectangular
del viento.
Propuso
las figuras
isoperimetricas
das de naturaleza
tam bien y discutio
76
e1 problema
(trayectorias
en e1 ca1culo
tam,bien uno de los primeros
fue pub1icado
a 1a acoi6n
planas
postumamente
mate-
de variaciones.Fue
en estudiar
el ARS CONJECTANDI,
de
cerra-
fijo que inclu-
y fue as! uno de los primeros
que trabajaron
matematica;
sometida
dada y con perimetro
yen un area maxima)
maticos
a la misma altura
1a probabilidad
su libro sobre ese tema,
en 1713.
Hay muchas cosas en matematica
que llevan ahora el
nombre de Jacobo
Bernoulli.
£i~~E~E~~i§~
~~~E~~~£~ ~~~2~11!
y el
bre ecuaciones
la
en estadistica
la ~~~§::~i§~2:~ ;§!:;En2~n~
y 'Georia de probabilidades;
que todo estudiante
Entre ellas encontramos
encuentra
en un curso elemental
diferenciales;
los
~i2!!!2:!:;
_~!!En2~.U!, importantes
so-
~~~~E~~y los £81i~2-
en teoria de nume ros , y
1~_1~~~i!!!~~~~_2:~_~!!En2~11!que se estudia en primer cu£
so de calculo. En la solucion dada por Jacobo
Bernoul-
li al problema
en el AC
TA ERUDITORUM
palabra
de la curva isocrona, publicada
en 1690, encontramos
CC.
~ntegral
»
por primera ves la
.
.
con el m~smo sent~do que hoy le d~
mos en Calculo. Leibniz habia llamado g~l~~l~!!!~~~§::~2rius
al calculo integral;
ulli
acordaron
Jacobo
llamarlo g~l~~l~!!!i~~~~£eli!!!.
Bernoulli
estaba impresionado
como la espiral equiangular
formaciones
en 1696 Leibniz y Juan Berno-
se produce bajo varias
y pidio, como ARQUlMEDES,
espiral sobre au tumba,
por la manera
tran~
que se grabase
con la siguiente
una
inscripci6n:~~-
2:~~ ~~~~~~ E~!!!~E~2(Volvere a surgir; igual aunque cambi~
do).
La contribucion
de Juan Bernoulli
a las matematicas
es aun mas prolifica
que la de su hermano Jacobo. Aunque
celoso y antipatico,
fue uno de los maestros renombrados
de su tiempo. Enriquecio
el calculo y su influencia
aceptar en La Europa Continental
hizo
el poderio de esta nu~
va ciencia. Fueron sus aportes a este tema los que el
marques
de L'Hospital
(1661-1704),
bajo un curiosa acuer
do cornercial con Juan, reunion en 1696 en el primer
tex-
to de calculo. Esta es la razon por la cual e1 familiar
me~odo para calcular
conocerse,
posteriores
1a indeterminacion
incorrectamente,
0/0, llego
a
en los textos de C~1culo
como l~_E~~l~_2:!!_~~g~~Ei~~l.
77
Juan Bernoulli
incluyendo
escribio'
fenomenos
terminacion
sobre una gran variedad
opticos
de las trayectorias
curvasjrectificaci6n
otros temas.Una
de la braquistocona,es
de areas utili
exponencial
cloide es tambi:n
na,o sea determinar
pequena
fu~ tratado
la soluci6n
arco de una cicloide
ade
tambitn por Jacobo.La
ci-
al problema
de la tautocro-
una curva a 10 largo de la cual una
se mueve en tal forma que llega a un
punta dado de la curva en el mismo intervalo
sea cual fuere el punto inicial
al parte
ralidad
la particula.Este
anteriormente
y aplicado
problema,tratado
con mas gen~
y Lagrange,habia
por Huygens(1673)
por el primero
de tiempo,
de la curva desde el cu-
por Juan Bernoulli,Euler
resuelto
determi-
puntos de un campo gravi-
curva resulto'serel
problema
decir,la
mas rapido de una part1cu-
la pesada que se mueve entredos
partlcula
de
de sus obras m's notables -es su contribu-
cion al problema
cUad~.Este
),la d~
a familias
analitica,calculo
nacion de la curva de descenso
tacionaljla
ortogonales
de curvasy cuadraturas
zando seriesjtrigonometria
de temas,
(reflexion,refracci6n
sid.
y Newton
en la construccion
(1687)
de relojes
de p~ndulo.
Juan Bernoulli
Daniel
(1700-1782)
ron todos renombre
tuvo tres hijos,Nicolas
y Juan (1712-1790),
como matematicos
posibilidades
tem~tico
llamado
muchas,fue
Petetersburgo,donde
se propuso
mo
78
de San
murio ahogado
sobre las curvas,las
y las probabilidades.Un
en San Petersburgo,llego
en el
en el campo ma-
a la Academia
desafortunadamente
ocho meses despues.Escribio
nes diferenciales
los cuales tuvie
y cientlficos
sigl0 XVIII.Nicolas,cuyas
eran
(1695-1726)
ecuaci~
problema
que
a ser conocido
co-
1e_~eEe~2je_~~_§e~_~~~~~E~E62
. El problema
es el
y
siguiente:si
A recibe un centavo
mer lanzamiento
de la moneda,dos
en el;segundo,cuatro
etc,
<!
cent~vos
cuAl serA La esperanza
demuestra
al salir cara en el pri-
que la esperanza
centavos
si sale cara
si sale cara en e1 tercero
de A? .La teoria
matemAtica
de A es infinita,lo
cual par~
ce paradojico.
La paradoja
de San Petersburgo
mane Daniel,quien
Daniel
volvi6
sucedio
a Basilea
fu~ estudiada
a NicolAs
por su her-
es San Petersburgo.
7 anos despues.Fue
el mAs famo
so de los hijos de JuAn y dedi co la mayor parte de sus
energlas
al estudio
de las probabilidades,la
la fisica y en especial
lidades formulo
el concepto
HYDRODINAMICA,de
drodinamica
flsica
brantes
de esperanza
1783,introdujo
cinetica
Gano diez veces
Juan (hijo),el
de los gases,estudie
el premio
la Universidad
MatemAtica
mio de la Academia
incursiones
sucesor
interesaba
Francesa.
Francesa
p~
de MatemAticas
en
de su padre en es
en la
el pre-
en tres ocasiones.
Bernoulli
en MatemAticas •.
Este NicolAs
extensamente
derecho
particularmente
en el siglo XVIII
de JuAn y de Jacobo,quien
ticas en Padua,la
parciales.
del calor y de la luz.Recib10
otro NicolAs
1759),sobrino
en hacer
diferenciales
anos como profesor
1743.Se
de
las cuerdas vi-
de la Academia
de Basilea,como
te puesto,desde
(1687-
10gr6 renombre
o cupe la cAtedra
de MatemA-
misma que habf a ocupado Galileo.
sobre Geometrla,ecuaciones
ciales, series y probabilidades.Mas
Derecho
de lahi-
m£s joven de los tres,estudio
ro paso sus ultimos
cribio
el principio
y fue uno de los primeros
Hubo
moral y en su
sobre las mareas,establecio
en el campo de lasececuaciones
teor1a
las probabi
que lleva su nombre en todos los textos
elemental.Escribio
la teorla
astronomla
la HidrodinAmica.En
Es-
diferen-
tarde enselio L6gica
Y
•
79
Juan Bernoulli
Jacobo.
(hijo) tuvo tres hijos Juan,Daniel
Juan como su padre estudi6
narse hacia las Matem~ticas.Cuando
Derecho para luego tor
apenastenia
llamado por la Academia
de Berlin para ensenar
bi6 sobre Astronomia,la
doctrina
currentes
estudi
0
temAticas
y las ecuaciones
Derecho,pero
de azar,los
son
80
de los Bernoulli
Cristobal(1782-1863)
alli.Escrire-
tambien
luego lleg6 a ser profesor
de Ma-
obras estan muy relacio-
nadas con las de su tio y profesor
Descendientes
19 anos fu~
decimales
indeterminadas.Jacobo
en San Petersburgo.Sus
y
Daniel Bernoulli.
aunque de menor importancia
y Juan Gustavo
(1811-1863).