comprender, más que recordar, es dominar las

COLOMBIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
COORDINACIÓN PEDAGÓGICA Y EDITORIAL
Mary Luz Isaza Ramos
ASESORÍA PEDAGÓGICA Y DIDÁCTICA
Edith Figueredo de Urrego
Ciencias Naturales y Educación Ambiental:
(Biología, Física, Química, Educación Ambiental)
Cecilia Casasbuenas Santamaría
Matemáticas
ADAPTACIONES Y/O PRODUCCIONES NACIONALES MATERIAL IMPRESO
Edith Figueredo de Urrego
Ana María Cárdenas Navas
Biología y Educación Ambiental
Cecilia Casasbuenas Santamaría
Virginia Cifuentes de Buriticá
Matemáticas
Patricia Arbeláez Figueroa
Educación en Tecnología
Eucaris Olaya
Educación Ética y en Valores Humanos
Alejandro Castro Barón
Español
Mariela Salgado Arango
Alba Irene Sáchica
Historia Universal
Antonio Rivera Serrano
Javier Ramos Reyes
Geografía Universal
Edith Figueredo de Urrego
Alexander Aristizábal Fúquene
César Herreño Fierro
Augusto César Caballero
Adiela Garrido de Pinzón
Física, Química y Ambiente
Betty Valencia Montoya
Enoc Valentín González Palacio
Laureano Gómez Ávila
Educación Física
Edith Figueredo de Urrego
Mary Luz Isaza Ramos
Horizontes de Telesecundaria
Mary Luz Isaza Ramos
Edith Figueredo de Urrego
Perspectivas del Camino Recorrido
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA - MÉXICO
COORDINACIÓN GENERAL PARA LA
MODERNIZACIÓN DE LA EDUCACIÓN
UNIDAD DE TELESECUNDARIA
COORDINACIÓN
GENERAL
Guillermo Kelley Salinas
Jorge Velasco Ocampo
ASESORES DE
TELESECUNDARIA
PARA COLOMBIA
Pedro Olvera Durán
COLABORADORES
ESPAÑOL
María de Jesús Barboza Morán, María Carolina
Aguayo Roussell, Ana Alarcón Márquez, María
Concepción Leyva Castillo, Rosalía Mendizábal
Izquierdo, Pedro Olvera Durán, Isabel Rentería
González, Teresita del Niño Jesús Ugalde García,
Carlos Valdés Ortíz.
MATEMÁTICAS
Miguel Aquino Zárate, Luis Bedolla Moreno, Martín
Enciso Pérez, Arturo Eduardo Echeverría Pérez,
Jossefina Fernández Araiza, Esperanza Issa
González, Héctor Ignacio Martínez Sánchez, Alma
Rosa Pérez Vargas, Mauricio Rosales Avalos,
Gabriela Vázquez Tirado, Laurentino Velázquez
Durán.
HISTORIA UNIVERSAL
Francisco García Mikel, Ivonne Boyer Gómez,
Gisela Leticia Galicia, Víctor Hugo Gutiérrez Cruz,
Sixto Adelfo Mendoza Cardoso, Alejandro Rojas
Vázquez.
GEOGRAFÍA GENERAL
Rosa María Moreschi Oviedo, Alicia Ledezma
Carbajal, Ma. Esther Encizo Pérez, Mary Frances
Rodríguez Van Gort, Hugo Vázquez Hernández,
Laura Udaeta Collás, Joel Antonio Colunga Castro,
Eduardo Domínguez Herrera, Alma Rosa María
Gutiérrez Alcalá, Lilia López Vega, Víctor López
Solano, Ma. Teresa Aranda Pérez.
BIOLOGÍA
Evangelina Vázquez Herrera, César Minor Juárez,
Leticia Estrada Ortuño, José Luis Hernández
Sarabia, Lilia Mata Hernández, Griselda Moreno
Arcuri, Sara Miriam Godrillo Villatoro, Emigdio
Jiménez López, Joel Loera Pérez, Fernando
Rodríguez Gallardo, Alicia Rojas Leal.
INTRODUCCIÓN A LA
FÍSICA Y QUÍMICA
Ricardo León Cabrera, Ma. del Rosario Calderón
Ramírez, Ma. del Pilar Cuevas Vargas, Maricela
Rodríguez Aguilar, Joaquín Arturo Melgarejo
García, María Elena Gómez Caravantes, Félix
Murillo Dávila, Rebeca Ofelia Pineda Sotelo, César
Minor Juárez, José Luis Hernández Sarabia, Ana
María Rojas Bribiesca, Virginia Rosas González.
EDUCACIÓN FÍSICA
María Alejandra Navarro Garza, Pedro Cabrera
Rico, Rosalinda Hernández Carmona, Fernando
Peña Soto, Delfina Serrano García, María del
Rocío Zárate Castro, Arturo Antonio Zepeda
Simancas.
PERSPECTIVAS DEL
CAMINO RECORRIDO
Rafael Menéndez Ramos, Carlos Valdés Ortíz,
Carolina Aguayo Roussell, Ma. de Jesús Barbosa
Morán, Ana Alarcón Márquez.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA - MÉXICO
COORDINACIÓN GENERAL PARA LA
MODERNIZACIÓN DE LA EDUCACIÓN
UNIDAD DE TELESECUNDARIA
ASESORÍA DE CONTENIDOS
ESPAÑOL
María Esther Valdés Vda. de Zamora
MATEMÁTICAS
Eloísa Beristáin Márquez
INTRODUCCIÓN A LA
FÍSICA Y QUÍMICA
Benjamín Ayluardo López,
Luis Fernando Peraza Castro
BIOLOGÍA
Rosario Leticia Cortés Ríos
QUÍMICA
Luis Fernando Peraza Castro
EDUCACIÓN FÍSICA
José Alfredo Rutz Machorro
CORRECCIÓN DE
ESTILO Y CUIDADO
EDITORIAL
Alejandro Torrecillas González, Marta Eugenia
López Ortíz, María de los Angeles Andonegui
Cuenca, Lucrecia Rojo Martínez, Javier Díaz
Perucho, Esperanza Hernández Huerta, Maricela
Torres Martínez, Jorge Issa González
DIBUJO
Jaime R. Sánchez Guzmán, Juan Sebastián
Nájera Balcázar, Araceli Comparán Velázquez,
José Antonio Fernández Merlos, Maritza Morillas
Medina, Faustino Patiño Gutiérrez, Ignacio Ponce
Sánchez, Aníbal Angel Zárate, Gerardo Rivera M. y
Benjamín Galván Zúñiga.
ACUERDO DE COOPERACIÓN MINISTERIO
DE EDUCACIÓN DE COLOMBIA Y LA SECRETARÍA
DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE MÉXICO
Colombia ha desarrollado importantes cambios cualitativos en los últimos años como espacios
generadores de aprendizaje en los alumnos. En este marco el Ministerio de Educación de
Colombia firmó con la Secretaría de Educación Pública de México un ACUERDO DE
COOPERACIÓN EDUCATIVA, con el propósito de alcanzar mayores niveles de cooperación
en el ámbito educativo.
En el acuerdo, el Gobierno de México a través de la Secretaría de Educación Pública, ofrece
al Gobierno de Colombia el Modelo Pedagógico de TELESECUNDARIA, como una modalidad
educativa escolarizada apoyada en la televisión educativa como una estrategia básica de
aprendizaje a través de la Red Satelital Edusat.
El Ministerio de Educación de Colombia ha encontrado en el modelo de TELESECUNDARIA,
una alternativa para la ampliación de la cobertura de la Educación Básica Secundaria en el
área rural y una estrategia eficiente para el aprendizaje de los alumnos y las alumnas.
El programa se inicia en Colombia a través de una ETAPA PILOTO, en el marco del
PROYECTO DE EDUCACIÓN RURAL, por oferta desde el Ministerio de Educación de
Colombia en el año 2000, realizando las adaptaciones de los materiales impresos al contexto
colombiano, grabando directamente de la Red Satelital Edusat los programas de televisión
educativa, seleccionando los más apropiados a las secuencias curriculares de sexto a noveno
grado, organizando 41 experiencias educativas en los departamentos de Antioquia, Cauca,
Córdoba, Boyacá, Cundinamarca y Valle del Cauca, capacitando docentes del área rural y
atendiendo cerca de 1 200 alumnos en sexto grado. El pilotaje continuó en el año 2001 en
séptimo grado, 2002 en octavo grado, y en el año 2003 el pilotaje del grado noveno.
En la etapa de expansión del pilotaje se iniciaron por oferta en el presente año 50 nuevas
experiencias en el marco del Proyecto de Educación Rural. Otras nuevas experiencias se
desarrollaron con el apoyo de los Comités de Cafeteros, el FIP y la iniciativa de Gobiernos
Departamentales como el del departamento del Valle del Cauca que inició 120 nuevas
Telesecundarias en 23 municipios, mejorando los procesos de ampliación de cobertura con
calidad.
El Proyecto de Educación para el Sector Rural del Ministerio de Educación Nacional - PER,
inició acciones en los diez departamentos focalizados y en ocho de ellos: Cauca, Boyacá,
Huila, Antioquia, Córdoba, Cundinamarca, Bolívar y Norte de Santander se organizaron por
demanda 40 nuevas experiencias del programa de Telesecundaria a partir del año 2002.
Al presentar este material hoy a la comunidad educativa colombiana, queremos agradecer de
manera muy especial al Gobierno de México, a través de la Secretaría de Educación Pública
de México - SEP y del Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa - ILCE,
el apoyo técnico y la generosidad en la transmisión de los avances educativos y tecnológicos
al Ministerio de Educación de Colombia.
CONTENIDO
NÚCLEO BÁSICO 1 - HORIZONTES DE LAS MATEMÁTICAS
Sesiones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
¿Tanto se puede hacer?
¡Así se hace!
La base de las matemáticas
La columna más fuerte
La línea en las figuras y en
los cuerpos
Azares y certezas
Lo sé todo
Bueno... eso creía
iTambién con éste puedo!
iDemuestra que sabes!
Pág.
Conceptos Básicos
20
23
26
29
Las matemáticas actuales
Metodología de las matemáticas
Aritmética
Álgebra (iniciación)
31
33
34
37
39
41
Geometría
Estadística y probabilidad
Evaluación diagnóstica
Análisis de resultados
Proyecto personal
Evaluación personal
NÚCLEO BÁSICO 2 - ARITMÉTICA
11.
¿Qué tan grande o tan pequeño eres? 44
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Generaciones interminables
Siempre los mismos
Todo queda en familia
Desintegración familiar
Todos tienen algo en común
Radiografía de un número
Uno de tantos
Anatomía de un número
Resuélvelos tú mismo
50
54
57
61
64
68
72
74
77
Estimación del orden de magnitud
de un resultado
Múltiplos de un número natural
Divisores de un número natural
Números primos y compuestos
Factorización
Mínimo común múltiplo
Algoritmo del mcm
Máximo común divisor
Algoritmo del MCD
Problemas de mcm y MCD
11
MATEMÁTICAS
NÚCLEO BÁSICO 3 - INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Sesiones
Pág.
Conceptos Básicos
21.
22.
23.
24.
25.
Antes y después del cero
Sentidos opuestos
No es lo mismo → que
El cero es mayor que muchos
Resuélvelos tú mismo
80
83
90
95
99
26.
27.
28.
29.
En el mismo sentido
Sumando ganancias y pérdidas
¿Desaparece la sustracción?
Un teclado sin música
101
107
113
119
30.
31.
123
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Resuélvelos tú mismo
Comprender, más que recordar,
es dominar las matemáticas
Interpreta la agrupación
Cuál se resuelve primero
Otra forma de representación
Simplificación del lenguaje
Un sumando desconocido
Resuélvelos tú mismo
Los números enteros
Números y cantidades con sentido
Ubicación en la recta numérica
El orden entre los enteros
Problemas en que se requiere sumar
o restar enteros
Adición de enteros con el mismo signo
Adición de enteros con diferente signo
Sustracción de enteros
La adición y la sustracción en la
calculadora
Problemas de adición y sustracción
124
126
129
133
137
142
149
38.
39.
Un factor desconocido
Resuélvelos tú mismo
150
154
40.
Comprender, más que recordar,
es dominar las matemáticas
¡Demuestra que sabes!
Siempre positivos
¿Positivo o negativo?
Repartir pérdidas y ganancias
Resuélvelos tú mismo
Comprender, más que recordar,
es dominar las matemáticas
→
41.
42.
43.
44.
45.
46.
156
158
160
165
169
174
Repaso parcial
Demostración del aprendizaje dado
Producto de enteros
Ley de los signos
Cociente de enteros
Problemas con enteros
175
Evaluación parcial
12
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Repaso parcial
Los paréntesis y su uso
Jerarquía de operaciones
Literales
Escritura algebraica
Ecuaciones de la forma a + x = b y a – x = c
Problemas que se resuelven planteando
una ecuación
Ecuaciones de las forma ax = b y a ÷ x = c
Problemas que se resuelven planteando
una ecuación
NÚCLEO BÁSICO 4 - ÁLGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS
Sesiones
Pág.
Conceptos Básicos
Introducción al lenguaje algebraico
Variables y constantes
Lenguaje algebraico
Significado del lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
Producto de potencias
Cociente de potencias
Potencia de una potencia
Raíz de una potencia
Grado de un polinomio
Términos semejantes con coeficiente
entero
Términos semejantes con coeficiente
racional
Valor numérico de un polinomio
Tabulación de polinomios
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
Comunicación con símbolos
Conviene identificarlas
Un lenguaje diferente
Otra forma de comunicación
Uno o varios
Potencialmente hablando
Para hacernos más pequeños
Las superpotencias
Una raiz que no crece
El graduado
Algo se conserva
179
184
188
191
196
201
206
211
214
218
222
58.
Instinto de conservación
226
59.
60.
61.
230
233
62.
63.
64.
65.
66.
Valor constante
Uno depende de otro
Comprender, más que recordar,
es dominar las matemáticas
Una reunión peculiar
Sumar para restar
Surtido rico
Son de la misma especie
El grande se come al pequeño
67.
68.
69.
La unión hace la fuerza
Un “entre” parejo
Todo entre lo mismo
255
259
263
70.
71.
72.
Gran distribución
Entre dos grandes
Comprender, más que recordar, es
dominar las matemáticas
¡Demuestra que sabes!
Armando las piezas I
267
270
73.
74.
237
239
242
245
248
252
Adición de polinomios
Sustracción de polinomios
Operaciones combinadas
Producto de monomios
Producto de un monomio por
un polinomio
Producto de dos polinomios
Cociente de monomios
Cociente de un polinomio entre
un monomio
Cociente de dos polinomios I
Cociente de dos polinomios II
272
274
276
13
MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS
3 -2
-1
0
1
2
3
INTRODUCCIÓN
Has subido un escalón más en tu preparación. Seguramente que dedicación y esfuerzo te
han impulsado para llegar hasta aquí, tienes en tus manos una obra impresa que te servirá
de apoyo para que afirmes tus conocimientos a través del trabajo individual y colectivo.
Las situaciones problemáticas, cuestiones y ejercicios que se te plantean contribuirán a que
desarrolles tus habilidades intelectuales, y estés cada día mejor preparado para resolver y
formular problemas, lo mismo que para continuar tus estudios y desenvolverte con acierto en
la vida diaria.
Nuestra meta es colaborar a tu desarrollo integral para que en el futuro puedas llegar a tu
realización como ser humano y contribuir al mejoramiento de la calidad de vida de tu familia
y de tu comunidad.
Núcleo Básico 1
HORIZONTES DE LAS MATEMÁTICAS
ax+b = c
El propósito del primer núcleo del séptimo grado de matemáticas es hacer una reflexión
sobre la importancia de las matemáticas y sus aplicaciones. Conocer el tratamiento que se
le dará a la aritmética, a la introducción al álgebra, a la geometría y al manejo de la información y de la probabilidad. Conocer cuál será la metodología para el estudio de las matemáticas y cuáles son las actividades permanentes que deben realizarse.
Efectuar una evaluación diagnóstica y hacer un análisis para detectar deficiencias. Elaborar
tu proyecto personal.
19
MATEMÁTICAS
¿TANTO SE PUEDE HACER?
1
Las matemáticas actuales
Influencia de la matemática actual en la vida del hombre
Todo lo que existe en el universo funciona con gran precisión. Los conocimientos matemáticos nos ayudan a entender cómo funciona.
En esta sesión comprenderás la influencia que tienen las matemáticas en la vida del hombre.
Observa el video y analiza la idea principal, posteriormente comenta tus inquietudes con el grupo en general, en forma ordenada.
Con un compañero o compañera lee el siguiente texto:
LAS MATEMÁTICAS ACTUALES
El mundo se ha transformado debido a la gran influencia que las matemáticas han tenido en
la vida del hombre.
Los cambios vertiginosos que ha tenido la humanidad en los últimos 50 años se han reflejado en avances tecnológicos dentro de los cuales se puede identificar la televisión en colores,
los satélites artificiales, los aviones supersónicos, la computación, la telefonía celular, etcétera.
Estos avances son en buena medida resultado de la aplicación de las matemáticas, las
cuales han provocado un desarrollo constante en diversas áreas de la tecnología y la ciencia.
Las matemáticas actuales han dado lugar a cambios sustanciales en el desarrollo del ser
humano, ya que sin ellas no habría el progreso que se observa en los diversos sectores
económicos, tecnológicos, estéticos, etc.
Por ejemplo, el agua potable, desde que ha existido el hombre, ha sido el elemento fundamental para su subsistencia, pero requiere ser almacenada y transportada a los centros de
población, para lo cual es necesario construir, entre otros, presas, tuberías y canales para
riego.
El hombre necesita saber cuánta agua se requiere para cubrir las necesidades de la población y qué cantidad se debe cobrar por m3 durante un semestre, para poder cubrir las inversiones necesarias para el suministro.
20
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Estos problemas y otros se pueden resolver si se aplican correctamente las matemáticas.
Como se puede observar, la influencia de las matemáticas es grande, ya que se encuentra
presente en muchas actividades cotidianas por sencillas que parezcan.
Las matemáticas son el resultado de la actividad pensante de hombres y mujeres, y
están presentes en mucho de lo que hacemos y de lo que nos rodea.
METODOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS
Toda metodología tiene como finalidad señalar los procedimientos más adecuados para realizar un trabajo en forma eficaz.
La metodología propuesta para el área de matemáticas ya la has vivenciado en los grados
anteriores.
Esta metodología sirve para propiciar la reelaboración del conocimiento en sus diferentes
temas: aritmética, álgebra, geometría y medición, nociones de probabilidad y procesamiento
de información. Así como el desarrollo de habilidades intelectuales. Por ejemplo:
•
La imaginación espacial que implica, en primer lugar, la exploración del espacio
tridimensional y el desarrollo de las competencias básicas para desenvolverse en él: la
realización de una serie de actividades como el empleo de modelos geométricos para
representar problemas, para establecer relaciones entre figuras planas; para llegar a
generalizaciones y expresarlas mediante fórmulas que involucran medidas de longitud,
área y volumen.
•
La estimación de resultados proporciona elementos para detectar y corregir errores de
procedimientos o apreciar si la solución obtenida corresponde a lo esperado.
•
Las estrategias para resolver problemas involucran actividades que permiten establecer ciertas hipótesis en función de un problema y comprobarlas, solucionándolo.
Reflexiona sobre lo leído y comenta con un compañero(a) los siguientes aspectos:
1.
En las actividades productivas que realiza el ser humano, ¿se aplican las matemáticas? ¿Por qué?
2.
Explica tres ejemplos de actividades de tu comunidad en las cuales se aplican las
matemáticas.
Con tu compañero(a), comenta la siguiente pregunta. Después escribe en tu
cuaderno aquello que más te interesa.
21
MATEMÁTICAS
¿Qué influencias tienen las matemáticas en el desarrollo de tu comunidad?
El profesor preguntará a dos o tres integrantes de las parejas y los demás grupos participarán.
Continúa trabajando con tu compañero(a). Haz un dibujo como el de la ilustración, agrega un puente y una casa. Posteriormente responde las preguntas.
CARRETERA
RíO
CAMINO SIN TERMINAR
1.
Según tu punto de vista, ¿qué conocimientos se requieren para construir una carretera? Explica...
2.
¿Cómo contribuyen las matemáticas a la satisfacción de las necesidades del hombre?
Compara tus respuestas con las de otra pareja y, si tienes más aportaciones, coméntalas.
De manera individual, contesta en tu cuaderno las siguientes cuestiones:
1.
Escribe tres ejemplos de avances tecnológicos.
2.
¿Para asistir a la escuela aplicas las matemáticas? ¿Cómo?
3.
¿Cuándo se aplican las matemáticas en la cocina?
Comenta tus respuestas en sesión plenaria.
22
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
¡ASÍ SE HACE!
2
Metodología de las matemáticas
Tratamiento de las matemáticas en 7º grado
Tu experiencia como estudiante te ha permitido observar que cada materia tiene sus peculiaridades. Una de ellas es su metodología. ¿Qué es la metodología? ¿Para qué sirve?
Observa el video. En él encontrarás comentarios a las preguntas formuladas, así
como una propuesta de metodología de las matemáticas y de habilidades intelectuales que se pretenden desarrollar, además de las actividades que permanentemente deben realizarse.
Trabaja en equipo de tres personas y efectúa una lectura comentada del siguiente
texto:
METODOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS
1.
Se inicia con una situación problemática, eje del trabajo, que puede estar orientada
tanto a la construcción de conceptos como a la resolución de problemas.
2.
En este último caso, un vez comprendido el problema, se procede a la búsqueda del
resultado, en forma individual o en equipo.
a)
Según el significado del problema se escogen las operaciones pertinentes.
b)
Se visualiza un plan, proponiendo diversas formas de solución (flexibilidad del
pensamiento).
c)
Se hace una estimación del resultado.
3.
Se prueban las diversas formas de solución; se cambian las condiciones, usando los
mismos datos, pero modificando el contexto.
4.
Se presentan y se evalúan los procedimientos empleados, resaltando sus alcances y
limitaciones. (Aquí surge la necesidad de introducir nuevos conocimientos.)
5.
Se entabla una discusión grupal para disipar dudas y resaltar dificultades cuando:
6.
a)
Los conocimientos previos no son suficientes y/o
b)
La estrategia de solución no da resultado.
Se construye un modelo de solución.
23
MATEMÁTICAS
7.
Se verifica el modelo de solución, formulando preguntas y analizando los casos en los
que funciona y en los que no funciona.
8.
Una vez solucionado el problema, se puede partir del resultado y preguntar los datos
necesarios para obtener esa solución (reversibilidad del pensamiento).
9.
Para completar la comprensión del problema se presentan problemas similares en diferentes situaciones y se intenta generalizar los procedimientos de solución (memoria
generalizada o generalización).
Es importante el trabajo en equipo porque éste permite generar una comunicación intensa
en la que se aprende a argumentar, escuchar, tener orden y respeto por los demás integrantes.
Durante el desarrollo del proceso de aprendizaje es necesario efectuar actividades permanentes que permiten una mejor comprensión. Éstas son:
a)
Situaciones problemáticas para enriquecer los conocimientos anteriores y avanzar hacia la adquisición de otros nuevos que puedan ser útiles para enfrentar y resolver nuevos problemas.
b)
El cálculo mental, que permite obtener de manera rápida la solución de ejercicios y
problemas, además de abreviar tiempo y esfuerzo.
c)
El uso de la calculadora en forma inteligente, lo cual nos permite el ahorro de tiempo,
verificar resultados, encontrar nuevas relaciones entre números, comprobar un modelo
de solución, etcétera.
d)
El uso de los instrumentos de dibujo para representar gráficamente una situación con el
fin de tener una visión más clara de la misma, y elaborar diagramas, cuadros, etcétera.
Continúa trabajando en equipo y comenta con tus compañeros(as) los aspectos
señalados en esta propuesta de metodología para las matemáticas.
Compartan sus opiniones con las de otro equipo, discútanlas y enriquézcanlas con los aportes de todos.
Continúa trabajando con tu equipo y resuelve el siguiente problema:
La calculadora irremplazable
Un día compré una calculadora de bolsillo en $5 500, más tarde la vendí a un compañero en
$6 500. Poco después, al darme cuenta de que no conseguía otra calculadora igual, decidí
comprársela al mismo compañero, quien me la vendió en $7 500. Le sucedió lo mismo que
a mí, y después de que me suplicó, finalmente le vendí la calculadora en
$ 8 500.
24
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
¿Gané o perdí? ¿Cuánto gané o cuánto perdí?
Lee el problema nuevamente, subraya los datos y las preguntas del mismo.
Sin hacer ninguna operación, escribe una posible respuesta:
Plantea dos formas diferentes para resolver el problema.
Efectúa las operaciones de cada procedimiento y escribe el resultado obtenido en cada una
de ellas.
¿Cómo son los resultados obtenidos? ¿Qué opinas sobre esto?
Verifica nuevamente tus procedimientos:
¿Qué sucedió?
Si no resolviste el problema en forma concreta, esto es, utilizando papeles que simulen el
dinero, ¡inténtalo de esta forma!
¿Cuál fue el resultado obtenido?
Si los resultados que obtuviste en los tres procedimientos fueron diferentes, escribe cuál de
ellos es el correcto y por qué.
Comenta con otro equipo las respuestas obtenidas; complétalas o corrígelas.
Individualmente, resuelve el siguiente problema.
El gato en el pozo
Por cierta desgracia, un gato cayó en un pozo de 7.8 metros de profundidad. El gato logró
salir después de haber enfrentado varias dificultades, ya que los lados del pozo estaban
húmedos y resbaladizos. Por cada minuto de esfuerzo, el gato adelantaba 3 metros. Entonces quedaba demasiado cansado para esforzarse nuevamente y descansaba. Durante 1
minuto de descanso, el gato resbalaba 2 metros. ¿Cuánto tiempo le llevó al gato salir del
pozo?
Escribe tu estimación del resultado.
Plantea dos formas de resolver el problema. Una gráfica podría ayudarte.
Elige una de ellas y resuélvelo.
Compara tu resultado con el de otro compañero y completa si es necesario.
25
MATEMÁTICAS
LA BASE DE LAS MATEMÁTICAS
3
Aritmética
Tratamiento de los conocimientos aritméticos
Los conocimientos de aritmética son básicos en el desarrollo del pensamiento matemático y
en el aprendizaje de las matemáticas. ¿Qué debes aprender para lograr la comprensión de
otras ramas de las matemáticas?
Si observas atentamente el video, tendrás idea de lo que es fundamental en este
aspecto. Al finalizar, comenta con dos compañeros lo que consideres más importante.
Lee con dos compañeros(as) el texto:
ARITMÉTICA
Cuando una persona se introduce de manera formal en el estudio de las matemáticas, comienza su aprendizaje con la aritmética.
La aritmética es una rama de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de los números.
Esta palabra, precisamente, tiene su origen en el vocablo griego arithmos, que significa números.
En el séptimo grado, continúa el estudio de la aritmética. Por lo tanto, resulta conveniente
tener un avance del contenido del curso, así como de algunos aspectos importantes en que
el programa de estudio hace hincapié y de las actividades permanentes que se consideran
necesarias para lograr los objetivos que propone el citado programa.
Lo que se estudiará de aritmética en este curso es:
1.
La obtención del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor, a través de la
descomposición de los diversos números en sus factores primos.
2.
La equivalencia y el orden de las fracciones (positivas y negativas).
3.
Operaciones con fracciones y decimales (positivos y negativos).
4.
Potencias de diez (con exponente positivo y negativo), así como la notación científica.
5.
Estimación del orden de magnitud de un resultado (aproximación y redondeo).
6.
Números con signo (operaciones).
26
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Ahora bien, el conocimiento y manejo de las operaciones y los conceptos es importante
hacerlo a partir de la solución de diferentes problemas.
El objetivo de este curso es lograr un avance importante en la adquisición de diversas técnicas que facilitan la realización de operaciones con los diferentes números.
El manejo adecuado de los números con signo (positivo o negativo) servirá como antecedente para el estudio del álgebra.
También será útil manejar el uso de expresiones en las que se representa con un símbolo
una cantidad desconocida, pues será menos difícil el acercamiento a esa rama de las matemáticas.
Cabe aclarar que al hablar de expresiones simbólicas para representar cantidades desconocidas, se hace referencia a algo que ya ha sido utilizado antes:
5+x=8
x =9
2
3 • x = 24
x=4
3 6
Expresiones de este tipo serán un antecedente valioso para el estudio del álgebra en este
curso.
El programa señala que durante el desarrollo del curso se practicará constantemente el
cálculo mental y la estimación de resultados. Además se usará como valioso auxiliar la calculadora de bolsillo. El uso de dicho instrumento deberá ser racional y moderado.
El cálculo mental es aquel que se realiza sin escribir los números con que se está operando;
es muy útil porque ayuda a economizar tiempo y hace más ágil la obtención de resultados
cuando se opera con números de pocas cifras.
La estimación de resultados es importante cuando se trabaja para solucionar problemas,
porque desde un principio se estima entre qué cantidades estará la respuesta, y así se tiene
la posibilidad de encontrar la estrategia más adecuada para llegar al resultado buscado.
La calculadora de bolsillo es un recurso de gran utilidad. Su uso es recomendable en los
siguientes aspectos:
1.
Operaciones en que se manejan números con muchas cifras y/o punto decimal.
2.
Elaboración de tablas de cuadrados y cubos.
3.
Notación exponencial.
4.
Verificación de resultados.
5.
Comparación de decimales.
27
MATEMÁTICAS
Desde luego, la calculadora debe usarse una vez que se han dominado los algoritmos de las
operaciones.
Es muy importante insistir en que el séptimo grado tiene un gran contenido de álgebra y que
se trata de una rama de las matemáticas que estudia las cantidades de la manera más
general posible; por lo cual, para tener éxito en todo lo algebraico, es necesario poseer
conocimientos muy sólidos de aritmética.
Reúnete ahora con dos compañeros(as) para discutir las siguientes cuestiones.
1.
¿Qué se estudia en aritmética?
2.
La palabra aritmética tiene su origen en el vocablo arithmos, ¿qué significa esto?
Muestra tus respuestas a otro equipo, defiéndelas y, si te equivocas, corrige.
Con tus compañeros de grupo analiza la importancia de practicar el cálculo mental en el estudio de la aritmética y resume en tu cuaderno la conclusión a la que
hayas llegado.
Comenta tu resumen con otros grupos y enriquécelo con algo que te parezca importante del
resumen de los otros compañeros.
Con el mismo grupo lee y discute las siguientes cuestiones, antes de resolverlas.
1.
Presenten tres situaciones que requieran el uso de una fracción. En cada una de ellas
el significado de dicha fracción debe ser diferente.
2.
¿Cómo orientarían a un compañero para que comprenda que dos o tres fracciones son
equivalentes?
3.
Formulen dos problemas en cuya solución sea necesario realizar operaciones con fracciones.
4.
Al realizar operaciones, ¿les gusta más trabajar con fracciones o con expresiones decimales? ¿Por qué?
Comparen sus respuestas con las de otro grupo y coméntenlas. Tomen lo mejor de las
respuestas de sus compañeros, si lo consideran adecuado.
28
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
LA COLUMNA MÁS FUERTE
4
Álgebra (iniciación)
Pensamiento algebraico en la secundaria
Hay aspectos de las matemáticas cuyo estudio no has iniciado todavía sistemáticamente.
Una de esas ramas de las matemáticas se introduce en este grado. Su importancia es
enorme dentro del aprendizaje de las matemáticas.
Observa cuidadosamente el video. Conocerás algunas características notables
del álgebra. Después, intégrate a un equipo de trabajo e intercambia ideas respecto a lo observado.
Lee con otros compañeros(as) el texto:
ÁLGEBRA
Cuando se cursa el séptimo grado, ya se ha estudiado aritmética durante todos los años de
vida escolar anteriores.
Ahora se estudiará otra rama de las matemáticas, que se llama álgebra y que es considerada
como una generalización y extensión de la aritmética.
El conocimiento y uso de los números enteros (positivos y negativos), así como del lenguaje
simbólico que se emplea en la resolución de problemas para representar cantidades desconocidas, y el manejo de las fórmulas en geometría sirven como antecedente para introducirse
en el estudio del álgebra.
La palabra álgebra proviene del árabe; se origina en el vocablo alchebr, que significa reducción. Una forma de definir esta rama de las matemáticas es:
Álgebra es una parte de las matemáticas cuyos objetivos son simplificar y generalizar
las cuestiones relativas a los números.
Para lograr sus objetivos, el álgebra requiere de un lenguaje especial que se conoce como
lenguaje algebraico.
En el lenguaje algebraico se utilizan símbolos que generalmente son letras del alfabeto, a los
cuales se les da el nombre de literales y cuyo valor puede ser desconocido y/o variable,
según la situación de que se trate.
29
MATEMÁTICAS
Ejemplos:
1.
La edad de Pedro es el doble de la edad de Juan.
En el lenguaje algebraico, como no se conoce la edad de ninguno de los dos, se puede
representar cualquiera de las edades con una literal y la representación de la otra dependerá
de cuál se haya escogido como base para la representación simbólica.
Edad de Juan: x
Edad de Pedro (doble de la edad de Juan): 2x
O bien,
Edad de Pedro: x
Edad de Juan (mitad de la edad de Pedro): x
2
2.
Se han comprado dos prendas de vestir y se han pagado en total $450 000.
Como no se conoce el costo de cada prenda, se utiliza una literal para representar cada
precio. Entonces:
costo de una prenda: x
costo de la otra: y
Por lo tanto:
x + y = 450 000
El progreso que se logre en el aprendizaje del álgebra hará que cada vez se realice mejor el
planteo y solución de problemas. Lo cual requerirá que se empleen conocimientos adquiridos con anterioridad y tratará de hacer más accesible la comprensión de nuevos procedimientos.
El contenido de álgebra en el programa de séptimo grado de matemáticas es el siguiente:
1.
Iniciación al lenguaje algebraico.
2.
Monomios y polinomios.
3.
El plano cartesiano.
4.
Ecuaciones lineales de primer grado.
Es importante considerar que el álgebra ha sido, durante muchos años, uno de los temas
centrales de la enseñanza de las matemáticas en la secundaria.
Algo que se debe tomar en cuenta es que en el ciclo de secundaria y en el nivel de educación
media se cursarán materias como física, química, estadística, probabilidad, cálculo, etc., que
requieren en particular un uso adecuado y funcional del álgebra.
30
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Una deficiente preparación en esta área del conocimiento trae como consecuencia que muchos alumnos repitan algunas materias o incluso pierdan el año.
Sin embargo, los conocimientos de álgebra que se deben adquirir en la secundaria están al
alcance de cualquier alumno que se dedique con empeño y constancia al aprendizaje de
esta fascinante rama de las matemáticas.
Con base en la lectura anterior y con el mismo equipo de trabajo comenten cuáles conocimientos de los que ya tienen pueden considerarse como de iniciación al álgebra.
LA LÍNEA EN LAS FIGURAS Y EN LOS CUERPOS
5
Geometría
Tratamiento de los conceptos geométricos
Si observas a tu alrededor, podrás notar que los objetos tienen gran parecido con algunas
formas geométricas que ya has conceptualizado.
Observa el programa de video donde apreciarás que la geometría ha tenido un
papel muy importante a lo largo de la historia.
Comenta en grupo cómo ayuda la geometría a la solución de problemas cotidianos.
Lee el texto.
GEOMETRÍA
La geometría es de gran importancia para el estudio de las matemáticas, pues es la puerta
que facilita la construcción de modelos para ciertos conocimientos matemáticos porque desarrolla habilidades y competencias que enriquecen nuestra forma de actuar y pensar.
En este grado, se pretende que la geometría integre los conocimientos adquiridos de manera que su estudio no sea el de un tema más, sino una ayuda durante todo el año para que
entiendas y analices otros conocimientos.
Para ello, es importante que aprendas a observar todo cuanto te rodea y analices las semejanzas y diferencias que guardan las figuras y los objetos entre sí; esta observación será de
gran ayuda para que construyas conceptos, los modeles y, de esa forma, representes gráficamente situaciones reales. Avanzarás en el trazado de formas geométricas con la ayuda de
los instrumentos básicos, como son las escuadras, el compás y el transportador.
Asimismo, la observación y manipulación de figuras y cuerpos te será de gran utilidad para
entender sus propiedades y aplicarlas en situaciones similares, de modo tal que propicien la
resolución de problemas, no sólo de tu entorno, sino de lugares cercanos y lejanos. Por ello,
31
MATEMÁTICAS
es conveniente que relaciones las cosas que te rodean con las formas geométricas que
conoces, y resuelvas los problemas en el papel para trasladarlos, posteriormente, a situaciones palpables.
Así, cuando debas conocer la mejor forma de aprovechar un terreno, trazar canchas deportivas, conocer la capacidad de un estanque, etcétera, recordarás que resolviste problemas
teóricos y podrás relacionarlos con lo que en ese momento se te presente.
Temas como el Teorema de Pitágoras, el dibujo a escala y otros te ayudarán a descubrir
estrategias para la resolución de problemas.
Por otra parte, recordarás y aplicarás los conceptos y las fórmulas sobre perímetro, área y
volumen, que te serán de gran utilidad en la vida práctica.
Por lo tanto, debes recordar que la geometría no es solamente un aspecto más de las matemáticas, sino un artificio que te ayudará a comprender mejor algunos aspectos del saber
humano.
Ahora discute con tus compañeros(as) por qué es importante que la geometría sea objeto de
estudio.
Uno de los aspectos importantes de la geometría es la composición y descomposición de figuras. Copia en una hoja, con la ayuda de una escuadra, el siguiente
cuadro; recórtalo por las líneas punteadas.
De acuerdo con las indicaciones de tu profesor, intégrate en un equipo. Con tu equipo de
trabajo forma figuras, utilizando las siete fichas. Algunas de ellas podrían ser:
32
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
¡Ensaya y trata de hacerlas!
¿Pudiste? ¿No? Inténtalo nuevamente. ¿Sí? Felicitaciones.
Trabaja individualmente y pon en juego tu creatividad.
1.
Con regla y compás haz una composición geométrica.
2.
Imagina que debes decidir cómo construir una casa y te solicitan hacer un plano. ¡Hazlo!
3.
Se va a comprar el alambre para cercar un potrero de forma cuadrada. ¿Qué datos
serían necesarios para decidir la cantidad de alambre que debe comprarse?
4.
Dibuja dos círculos de tal manera que uno tenga el doble del diámetro del otro.
a) ¿Qué relación hay entre sus perímetros? b)¿Qué relación hay entre sus áreas?
AZARES Y CERTEZAS
6
Estadística y probabilidad
Tratamiento de la estadística y la probabilidad
La radio, la televisión y el periódico manejan una serie de informaciones que son o pueden
ser motivo de estudio para la estadística y la probabilidad. Por ejemplo, los resultados del
censo de población o del campeonato de fútbol, las predicciones climatológicas, etcétera.
Observa el programa de video en el cual se mostrará el cómo y el para qué del
estudio de la presentación y tratamiento de la información, así como de las nociones de probabilidad en este grado.
Lee cuidadosamente el texto Estadística y probabilidad e identifica en él los temas y propósitos del curso séptimo grado para estas dos ramas de las matemáticas.
33
MATEMÁTICAS
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Actualmente, los procedimientos utilizados en la teoría de la probabilidad, así como en la
estadística, han adquirido gran relevancia, pues son instrumentos muy útiles tanto en investigaciones científicas como en el estudio de fenómenos sociales, económicos, agrícolas, etc.
Aún en la vida cotidiana con frecuencia se aplican los principios de estas disciplinas.
La noción de probabilidad surge de considerar la diferencia esencial entre los fenómenos
deterministas y los azarosos, de modo que la comprensión de estos últimos se logra a través
de los resultados posibles en experimentos sencillos, con el propósito de orientar una acertada toma de decisiones.
En el tratamiento de estas dos disciplinas es importante considerar el entorno económico,
social y cultural, así como aprovechar la información que presentan la radio, la televisión, el
periódico, etc., mediante un análisis de esas situaciones.
Reúnete con un compañero y busquen en una revista, en un periódico, o en un
texto de la biblioteca información que esté presentada en una tabla o en una gráfica estadística. Analícenla y escriban algunas conclusiones que puedan obtenerse
con base en esa información.
Comparen su trabajo con el de otro equipo y discutan acerca de la importancia de las conclusiones obtenidas con base en la interpretación de la información.
LO SÉ TODO
7
Evaluación diagnóstica
Resolución de un cuestionario
Una vez que ya cursaste el 6º grado, es necesario saber qué tantos conocimientos asimilaste, debido a que varios de ellos sirven como base en este grado.
Es necesario que tengas en cuenta que en la medida en que más conceptos domines, más
se te facilitará la comprensión de los temas de este nuevo curso.
Observa el video, ya que en él se te orientará sobre la forma de resolver el cuestionario; posteriormente comenta ante el grupo cuál fue la idea principal del programa.
En forma individual, contestarás un cuestionario que debes fotocopiar, cuya única
finalidad es determinar el manejo de algunos temas vistos en el curso anterior. Es
importante que tanto tú como tu profesor sepan qué temas dominas y cuáles no,
para poder iniciar el séptimo grado.
34
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
EVALUACIÓN DIAGNóSTICA
Nombre del alumno:
Número de aciertos:
Recomendaciones:
Para resolver este cuestionario, lee atentamente cada enunciado y subraya la respuesta
correcta.
1.
En el número 586 027 398, ¿a qué orden pertenece el cero?
a) Unidades de millón
2.
b) Las circulares
c) 20 m2
b) 20 m
4.
La suma de 4 + 2 + 1 es:
3
5
2
a) 67
b) 67
c) 7
30
15
30
5.
Un número que no es divisor de 114 es:
a) 19
b) 12
b) 6.2832 cm2
c) 12.5664 cm2
En una sustracción, el sustraendo es 1 208 y la diferencia, 197, ¿cuál es el valor del
minuendo?
a) 1 405
8.
c) 2
Si el diámetro de un círculo mide 4 cm, ¿cuál es su área?
a) 50.2656 cm2
7.
c) Los histogramas
Si la base de un rectángulo mide 6 m y su altura 4 m, ¿cuál es su perímetro?
a) 24 m2
6.
c) Centenas de millar
Las gráficas en las cuales los datos se representan en forma de porcentajes son:
a) Las de barras
3.
b) Decenas de millar
b) 1 011
c) 1 101
¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, se obtenga un número par?
a) 1
4
b) 1
3
c) 1
2
35
MATEMÁTICAS
9.
Al simplificar a su mínima expresión 54 , se obtiene:
24
a) 21
b) 7
c) 9
12
2
4
10. De las fracciones decimales 0.0392, 0.0394 y 0.1, la mayor es:
a) 0.0392
b) 0.1
c) 0.0394
11. Al redondear a centésimos 3.09732, se obtiene:
a) 3.1
b) 3.09
c) 3.097
12. Si se necesitan 9 de cierta cantidad de pintura, la cantidad requerida es:
4
a) Menor de la que hay
c) Mayor de la que hay
b) Igual a la que hay
13. El producto de 3.02 × 0.26 es:
a) 0.7842
b) 0.7862
c) 0.7852
14. Las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades son:
a) m, kg, s
b) km, kg, s
c) m, g, s
15. Una persona compró las siguientes cantidades de tela: 3 m, 2 m y 7 m.
5
8
2
Si necesitaba comprar 5 m de tela, ¿cuánto le faltó?
a) 2 1 m
b) 2 3 m
c) 2 39 m
40
40
40
16. La fracción equivalente a 8 es:
9
a) 0.876
b) 0.8
c) 0.9
17. En un rectángulo cuya base mide 5 cm y tiene de altura 7 cm, se traza una diagonal,
¿cuál es el área de uno de los triángulos que se obtienen?
a) 12 cm2
b) 35 cm2
c) 17.5 cm2
36
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
18. El cociente de 4.2 ÷ 0.03 es:
a) 140
b) 14
c) 1.4
Compara el cociente con el dividendo, ¿qué puedes decir?
19. Si se les pregunta a diferentes personas en qué mes del año nacieron, ¿cuál es su
espacio muestral?
a) Febrero
b) Agosto
c) Los meses del año
20. La mamá de Juan compró un litro de leche; si ella tomó en el desayuno 2 l y su hijo 4 l ,
6
8
¿qué cantidad de leche tomaron entre los dos?
a) 5 l
b) 1 l
c) 1 l
6
6
2
21.
Una fracción común menor que 9 es:
4
b) 7
a) 8
3
2
c) 4
9
22. Al redondear a centenas el número 73 968 queda indicado como:
a)
7 300
b) 73 970
c) 74 000
Una vez que hayas terminado, intercambia tu trabajo con el de otro compañero para que él le
haga cuidadosamente y a lápiz algunas anotaciones. El profesor o la profesora recogen los
trabajos hasta la siguiente sesión, en la que se analizará el examen. El trabajo te será
devuelto al principio de la siguiente sesión.
BUENO... ESO CREÍA
8
Análisis de resultados
Determinación del nivel de conocimientos del sexto grado
El día de hoy analizarás los errores y aciertos que tuviste en la evaluación diagnóstica, pues
te ayudarán a conocer los aspectos en los que tienes deficiencias.
Observa el programa de video. Comenta en tu grupo cómo puede ayudarte la
revisión de tus conocimientos para iniciar los estudios de séptimo grado. Comenta, en grupo, las respuestas a las siguientes preguntas:
37
MATEMÁTICAS
1.
¿Has realizado anteriormente una prueba diagnóstica?
2.
¿En qué momento crees conveniente realizarla?
3.
¿Para qué crees que te pueda servir?
4.
Ahora toma tu evaluación diagnóstica:
a)
Marca cada respuesta con una paloma ( ✓ ) si es correcta, y con una equis (X)
los errores, de acuerdo con la clave que dará el profesor.
b)
Anota en la parte superior el número de aciertos.
c)
Escribe algunas recomendaciones que te guíen para la superación de los errores,
si los hubo.
De acuerdo con el siguiente cuadro, puedes ubicar algunos de los temas donde
tuviste éxito y también donde debes mejorar.
TEMA
NÚMERO DE LA PREGUNTA
Lectura y escritura de números
1
Múltiplos y divisores
5
Operaciones con racionales
4, 7, 13, 15, 18, 20
Simplificación y relación de orden entre fracciones
9, 10, 12, 16, 21
Sistemas de medidas
14
Redondeo
11, 22
Perímetro, área y volumen
3, 6, 17
Probabilidad y estadística
2, 8,19
Después de observar la tabla anterior, contesta las preguntas y coméntalas en el grupo.
1.
¿En qué temas tuviste más errores?
2.
¿Qué temas dominas según los resultados obtenidos?
3.
¿Crees necesario realizar un repaso individual de los temas que no dominas?
Observa la siguiente escala y, de acuerdo con el número de aciertos que hayas
tenido, determina tu calificación.
38
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
ESCALA ESTIMATIVA
22 – 21
20 – 18
17 – 15
14 – 12
11 – 0
EXCELENTE
MUY BIEN
BIEN
REGULAR
MAL
Si tu calificación fue muy bien o excelente, ¡felicidades! Si fue regular o bien, debes considerarlo para que realices un repaso de los temas en que hayas tenido problemas. Si fue mal,
tus conocimientos son muy deficientes y deberás hacer un análisis detallado de los resultados obtenidos.
Para ello, intégrate en un equipo de estudio e investiga en las fuentes de consulta cercanas
los conocimientos en que tengas fallas. ¡Suerte!
iTAMBIÉN CON ÉSTE PUEDO!
9
Proyecto personal
Elaboración de un proyecto personal
Todo proyecto requiere de esfuerzo y perseverancia para lograr los objetivos propuestos,
¡hay que vencer los obstáculos y no darse por vencido!
Observa con atención el video.
Contesta individualmente, en tu cuaderno, las siguientes preguntas, basándote en el programa.
1.
¿Cuál fue la idea principal del programa?
2.
¿Cuál es tu meta para el 7º grado de matemáticas?
Para lograr una mejor comprensión del proyecto que debes elaborar, lee cuidadosamente el texto:
PROYECTO PERSONAL
El ser humano siempre ha tenido la inquietud de propósitos para poder satisfacer necesidades físicas, económicas, políticas, profesionales o de otra índole. Así como tiene propósitos,
también busca la manera de realizarlos y que no queden como un “buen intento”.
Por lo tanto, es bueno fijarse metas que se puedan alcanzar a corto plazo con el objeto de
cumplir los propósitos.
39
MATEMÁTICAS
De lo anterior se deduce la necesidad de establecer un plan para alcanzar un objetivo determinado, lo que se convierte finalmente en un proyecto.
¿Qué es un proyecto?
Proyecto es la elaboración de un plan o de un programa de actividades que conduzcan a
alcanzar un objetivo.
Así pues, puede decirse que un proyecto personal para el séptimo grado de matemáticas
contendrá algunos de los siguientes elementos:
1.
El nombre del proyecto
2.
El objetivo
3.
El plan
4.
Las metas específicas
Ejemplo de un proyecto personal:
NOMBRE: “Mi proyecto para séptimo grado de matemáticas”.
OBJETIVO:
Comprender el significado de las operaciones y aprender a razonar para solucionar los problemas que se plantean en cada núcleo y en la vida cotidiana.
PLAN:
Asistir regularmente a las clases.
Seguir las indicaciones del libro de matemáticas.
Poner atención a los videos.
Leer atentamente los textos.
Atender las indicaciones del profesor.
Resolver los problemas propuestos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
METAS: Adquirir el mayor cúmulo de conocimientos matemáticos en beneficio propio y de
mi comunidad.
Finalmente, es importante considerar el hecho de que no siempre lo que se planea se cumple al cien por ciento, pero también es cierto que la perseverancia nos lleva al éxito.
En tu cuaderno escribe tu “proyecto” para el séptimo grado de matemáticas. Considera los aspectos enumerados.
1. Nombre
2. Objetivos
3. Plan
40
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
4. Metas
Comenta tu proyecto con tu profesor(a), él(ella) escogerá dos proyectos o los que considere
convenientes y les dará lectura. El grupo participará escuchando.
Haz en tu cuaderno una tabla como la siguiente para que anotes las calificaciones que obtengas en cada núcleo y el promedio correspondiente.
Esta actividad te ayudará a evaluar tu aprovechamiento después de cada núcleo, de esta
manera vigilarás si tu proyecto personal se está realizando.
Considera también que si la calificación no es satisfactoria, tendrás que esforzarte para
mejorarla.
Núcleo
Calificación
Promedio
Observaciones
1
2
3
4
5
6
7
8
Registra tus promedios después de cada núcleo, si notas que hay que mejorar tu calificación,
pregúntale a tu profesor(a) qué puedes hacer para ello, y él(ella) te orientará.
iDEMUESTRA QUE SABES!
10
Evaluación personal
Demostración del aprendizaje logrado
En esta sesión se pretende que tengas un conocimiento general de los contenidos de los
temas que se tratarán en este nuevo curso que vas a llevar.
Observa el programa de televisión, ya que en él se te dará información de los
contenidos del segundo curso. Posteriormente, efectúa comentarios al respecto.
En forma individual, resuelve el siguiente cuestionario. Fotocópialo.
41
MATEMÁTICAS
EVALUACIÓN DEL NÚCLEO
Alumno(a):
Número de aciertos:
Calificación:
Contesta cada una de las preguntas que se te hacen:
1.
¿En dónde se aplican las matemáticas?
2.
¿Qué conocimientos son básicos para el estudio de las matemáticas?
3.
Escribe con tus palabras lo que entiendes por un proyecto personal.
4.
En aritmética emplearás la calculadora, ¿anteriormente la has usado? ¿En dónde?
5.
¿Para qué crees que te sirve el efectuar operaciones mentalmente, aparte de ayudarte
a resolver rápidamente algunas operaciones y problemas?
6.
¿Por qué consideras que es necesario efectuar una evaluación diagnóstica al inicio de
cada curso?
7.
¿Qué temas de los que estudiaste en el curso anterior te parecieron más difíciles?
8.
¿De qué manera puedes vencer este obstáculo?
9.
Escribe los objetivos y las metas que te fijaste, y debes tratar de alcanzar, para aprovechar todos los conocimientos de este nuevo curso.
Una vez que termines tu evaluación, entrégala al profesor; él indicará la forma de revisarla.
42
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Núcleo Básico 2
ARITMÉTICA
El estudio de los números y sus relaciones no es para ti un conocimiento nuevo; sin embargo,
su análisis y aplicación a situaciones concretas te ayudará a profundizar en temas básicos
de las matemáticas y, así, comprender cuantitativamente el mundo que te rodea; establecer
las operaciones fundamentales con los números naturales, enteros y racionales, aplicándolas en diferentes contextos, no sólo de tu vida diaria sino del saber humano en general.
43
MATEMÁTICAS
¿QUÉ TAN GRANDE O TAN PEQUEÑO ERES?
11
Estimación del orden de magnitud de un resultado
Uso de la estimación del orden de magnitud
¿Te consideras un buen estimador? ¿Sabías que la estimación resulta una herramienta muy
poderosa y ha sido usada y reconocida en todo el mundo? En seguida verás qué es la
estimación en matemáticas.
RECUERDA. Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema:
¡De las 24 horas del día, Amalia dedica 1 a dormir, 1 a trabajar, 1 para transportarse,
3
16
4
1 a ver televisión y el resto a hacer ejercicio. ¿Cuántas horas dedica al ejercicio?
12
Observa el video y descubre las estrategias de los buenos estimadores y para
qué sirve la estimación.
Comenta con tus compañeros la idea central del programa.
Agrúpate en equipos de tres personas y efectúa una lectura comentada del texto:
ESTIMACIÓN DEL ORDEN DE MAGNITUD DE UN RESULTADO
Actualmente en muchas situaciones cotidianas resulta muy útil la estimación de resultados.
Por ejemplo, al efectuar compras es necesario hacer una estimación de lo que se va a pagar,
para saber si el dinero alcanza o para evitar un cobro indebido. En matemáticas resulta una
herramienta muy valiosa, ya que se puede prever el resultado aproximado de las operaciones aritméticas, o, si el cálculo estimado es cuidadoso, permite con frecuencia detectar
errores.
En primer lugar veamos cómo estimar el orden de magnitud de un número.
Para poder desarrollar habilidades y actitudes que nos permitan hacer estimaciones, es importante tener presente la estructura del Sistema de Numeración Decimal.
Obsérvese el siguiente cuadro y los números que en él aparecen.
44
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
MILLONES
Y sigue...
UNIDADES
MILLARES
DE
MILLÓN
UNIDADES
DE
MILLÓN
MILLARES
C
E
N
T
E
N
A
S
C
E
N
T
E
N
A
S
C
E
N
T
E
N
A
S
D
E
C
E
N
A
S
U
N
I
D
A
D
E
S
D
E
C
E
N
A
S
U
N
I
D
A
D
E
S
Períodos
SIMPLES
Clases
D
E
C
E
N
A
S
U
N
I
D
A
D
E
S
C
E
N
T
E
N
A
S
D
E
C
E
N
A
S
U
N
I Órdenes
D
A
D
E
S
7
8
4
9
5
5
3
6
El número 78 453 tiene una magnitud de quinto orden o un orden de magnitud en decenas
de millar.
El número 956 tiene una magnitud de tercer orden o un orden de magnitud en centenas.
El orden de magnitud de un número se relaciona con el número de cifras que lo componen. Este orden se enuncia con el número o nombre de ese orden.
4 312 tiene una magnitud de cuarto orden o un orden de magnitud en unidades de millar.
96 tiene una magnitud de segundo orden o un orden de magnitud en decenas.
Veamos ahora cómo estimar el orden de magnitud del resultado de las operaciones aritméticas básicas.
Adición
Obsérvense las siguientes adiciones cuya suma ha sido obtenida por aproximación.
426
+ 350
215
900
➔
Resultado
estimado ➔
32 652
+ 87 463
4 278
123 000
45
MATEMÁTICAS
En la primera adición el orden de magnitud de todos los sumandos es en centenas (tercer
orden) y la suma aproximada también tiene el mismo orden de magnitud; se sumaron centenas y la suma fue en centenas.
En la segunda adición los sumandos mayores tienen un orden de magnitud en decenas de
millar (quinto orden), pero la suma aproximada es en centenas de millar; tiene un orden de
magnitud mayor que el de los sumandos. Con estas adiciones se ejemplifica la forma de
obtener el orden de magnitud de la suma.
El orden de magnitud de la suma siempre es igual o mayor que el orden de magnitud del
sumando mayor.
Multiplicación
Véanse las siguientes multiplicaciones cuyos factores han sido redondeados para obtener
un producto aproximado.
a) 1 825
1 800
× 4
× 4
b)
625
× 29
7 200
600
×
30
18 000
Resultado
estimado
En la multiplicación se observa que el factor mayor (1 825) y el producto (7 200) tienen el
mismo orden de magnitud (cuatro cifras cada uno).
En la segunda multiplicación puede observarse que el producto (18 000) tiene mayor orden
de magnitud que el factor mayor (600).
Con la observación de estos dos productos se puede concluir que:
El orden de magnitud de un producto es igual o mayor (uno o más órdenes) que el orden de
magnitud del factor de mayor orden de magnitud.
Sustracción
Analícense las siguientes sustracciones cuya resta es aproximada:
46
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
a) 62 438
– 7 826
55 000
b) 138
– 94
40
En la primera sustracción se puede observar que la resta tiene el mismo orden de magnitud
que el minuendo (5 cifras cada uno).
En la segunda sustracción se observa que la resta (40) tiene un orden de magnitud menor
que el minuendo (138).
De lo anterior se tiene que:
El orden de magnitud de una resta es igual o menor que el orden de magnitud del
minuendo.
División
Obsérvense las siguientes divisiones cuyos términos han sido redondeados para obtener el
cociente aproximado:
a) 78 ÷ 4
80 4
00 20
b) 936 ÷ 26
900
00
30
30
En la primera división se puede observar que el cociente tiene un orden de magnitud igual al
del dividendo.
En la segunda división se observa que el cociente tiene un orden de magnitud menor que el
del dividendo, por lo que se tiene:
El orden de magnitud de un cociente es igual o menor que el orden de magnitud del
dividendo.
La estimación que se haga para el orden de magnitud del resultado en las operaciones
de adición y multiplicación deberá ser mayor o igual que el orden de magnitud del
sumando o factor de mayor valor. Y en las operaciones de sustracción y división el
orden de magnitud del resultado deberá ser igual o menor que el orden de magnitud
del minuendo o cociente.
La estimación del orden de magnitud de un resultado permite calcularlo aproximadamente,
en forma mental y rápida.
Continúa trabajando en equipo para discutir las respuestas a:
47
MATEMÁTICAS
1.
¿Por qué nuestro Sistema de Numeración está estructurado en clases?
2.
En la clase que llamamos Unidades Simples, ¿cuál es el orden de cada una de dichas
unidades?
3.
a) Escribe un número cuya magnitud sea de quinto orden y que en el lugar de las
unidades sueltas y en el de las centenas tenga la cifra 0.
b) Escribe un número en el que haya 36 decenas y solamente ésas.
c) Escribe tres números menores que 5 000 y mayores que 4 920.
4.
¿Qué relación puede existir entre el orden de magnitud de los sumandos y el de la
suma?
5.
¿Qué relación puede haber entre el orden de magnitud del cociente y el orden de
magnitud del dividendo (en los números naturales)?
Comenta tus respuestas con compañeros de otro equipo, en caso de dudas consulta la
lectura: Estimación del orden de magnitudes de un resultado.
Continúa con tu equipo y resuelve los siguientes ejercicios.
1.
Completa el siguiente cuadro:
Número
Número de cifras
Oden de magnitud
38 462 721
672 428
1 263 281
2.
Escribe en tu cuaderno las operaciones propuestas y haz una estimación del orden de
magnitud del resultado de cada una de ellas.
a) 48 + 367 + 2 458
b) 2 864 × 97
c) 684 ÷ 26
3.
Analiza el siguiente cuadro, fotocópialo o hazlo en tu cuaderno; complétalo y responde
las preguntas propuestas al final.
48
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Sistema de numeración bengalí
Bengala es una región de la India
Los números bengalíes siguen el mismo principio del sistema usado internacionalmente. Sin
embargo, los dígitos son diferentes y pueden confundirse algunas veces con numerales del
Sistema Internacional. En particular, el cuatro bengalí parece más bien el ocho del Sistema
Internacional; lo mismo que el siete bengalí, que se parece al nueve.
Tomado de un texto escolar de M. Brown.
a)
¿Cuál es la base del sistema de numeración bengalí?
b)
¿Cómo se representa en este sistema el 47 y el 74?
c)
¿Por qué se utiliza el cero?
d)
Representa en bengalí el 208 y el 4 507.
En forma individual, realiza en tu cuaderno lo que se te indica.
49
MATEMÁTICAS
1.
Considerando los números de cada rectángulo, encuentra el resultado aproximado de
cada una de las siguientes operaciones y escribe en tu cuaderno el orden de magnitud
que tienen.
a)
+
84 327
1 764
24 762
b)
7 8693
2 4365
–
Redondea los números que intervienen en cada operación para encontrar el resultado
aproximado y escribe el orden de magnitud del mismo.
c) 360 × 485 × 23 =
2.
d) 63 934 ÷ 69 =
Escribe tu opinión acerca de la utilidad de la estimación de resultados y anota dos
situaciones diferentes en donde se aplique.
¿Terminaste? Compara tus respuestas con la clave que se da. Detecta cuáles son tus
errores y corrígelos.
CLAVE
a) 109 000, sexto orden;
d) 900, tercer orden.
b) 50 000, quinto orden;
c) 4 000 000, séptimo orden;
GENERACIONES INTERMINABLES
12
Múltiplos de un número natural
Precisión del concepto de múltiplo de un número
Cuando el valor de un número es varias veces mayor que el de otro, esto no indica que valga
más, sino que su valor numérico es mayor y, si además es divisible entre el menor, al segundo se le conoce como múltiplo del primero.
Observa el video; procura no distraerte ya que en él hallarás información interesante.
Comenta con tus compañeros y tu profesor los aspectos del video que consideres más relevantes.
Para que comprendas mejor el tema, lee en grupo el texto:
50
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL
Dentro de las matemáticas pueden establecerse relaciones entre los números como la de
ser mayor, menor o igual que otro, o como las de ser múltiplo o ser divisor de otro u otros
números. Aquí se verán aquellas que tienen que ver con la situación multiplicativa y especialmente los conocimientos relacionados con múltiplos de un número natural.
•
Si se tienen los números 3,12 y 27, ¿qué relaciones puedes establecer entre ellos?
•
Las frases “12 es un múltiplo de 3” y “27 es un múltiplo de 3” ¿son verdaderas? Explica
tu respuesta.
De lo anterior se concluye que 12 y 27 son múltiplos de 3. Ya sabes que para hallar múltiplos
de un número se debe multiplicar el número dado por cualquier natural, incluyendo el cero,
puesto que este también es un número natural.
Así algunos múltiplos de siete son:
7
7
7
7
7
×
×
×
×
×
0=0
1=7
2 = 14
3 = 21
4 = 28
Como se observa, el siete se multiplicó por números naturales y los productos obtenidos son
los múltiplos de siete.
Con base en el ejemplo anterior, se tiene que:
1.
Todo número natural es múltiplo de sí mismo.
7 × 1 = 7, siete es múltiplo de siete, es decir, es múltiplo de sí mismo.
2.
Cualquier número natural es múltiplo de uno.
7 × 1 = 7, siete es múltiplo de uno, ya que es mayor y divisible exactamente.
3.
El único número natural que no es múltiplo de otro, sino únicamente de sí mismo es el
uno. Esto se debe a que el uno no es mayor ni divisible entre otro número natural
diferente de 1.
4.
Cero es múltiplo de cualquier número natural.
7 × 0 = 0, esto se debe a que 0 es un número natural. Es el único caso en que el
múltiplo es menor que el número.
51
MATEMÁTICAS
5.
La suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número.
Si se suman 0 + 7 + 14 + 21 + 28, la suma que se obtiene es 70; 70 cumple con las características de ser mayor que siete y además divisible exactamente entre él.
Con base en lo expuesto, se tiene:
Para hallar los múltiplos de un número, se multiplica el número dado por cualquier
número natural, y para determinar si un número es múltiplo de otro, exceptuando el
caso del cero, se realiza una división: si ésta es exacta, el segundo número es múltiplo
del primero. Asimismo, se debe tomar en cuenta que un número tiene un número infinito de múltiplos.
Ahora comenta y responde las siguientes preguntas:
1.
¿Qué entiendes por múltiplo de un número?
2.
¿Qué determina si un número es múltiplo de otro?
3.
¿Por qué el cero es un múltiplo de cualquier número?
Lee tus opiniones ante el grupo, escucha las de los demás y enriquécelas con lo que consideres importante.
Forma un equipo de trabajo y contesta las siguientes preguntas:
1.
¿Cómo se determinan algunos múltiplos de un número natural dado?
2.
¿Cuál es el quinto múltiplo de 9, 13 y 38?
3.
¿Cómo sabes que un número es múltiplo de otro?
Compara tus respuestas con las de otro equipo; de existir duda, consulta con tu profesor.
Continúa con tu equipo de trabajo para que contestes lo que se te pide en cada
caso.
1.
Con base en el siguiente esquema, di cuáles son los números que no son múltiplos de
25.
52
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
0
45
10
175
2
60
5
40
25
120
3
15
25
90
105
30
1
2.
Auxiliándote con la calculadora, escribe en tu cuaderno si se cumple o no cada una de
las expresiones que se dan a continuación y explica por qué.
a)
1 404 es múltiplo de 156
b)
104 128 es múltiplo de 32
c)
900 es múltiplo de 24
d)
6 570 es múltiplo de 18
e)
2 145 es múltiplo de 8
Compara tus respuestas con las de otros equipos; si existen errores, corrígelos.
En forma individual, contesta en tu cuaderno lo que se pide en cada caso.
1.
Si un número a es divisor de otro número b, ¿qué puedes decir de b con respecto al
número a?
2.
¿Por qué el número 1 no es múltiplo de cualquier otro número?
3.
¿De qué número son múltiplos 30, 40 y 50?
4.
En forma mental y con ayuda de la calculadora, halla cinco múltiplos mayores que 100,
de los siguientes números: 17, 9, 35 y 41.
5.
Si algunos de los múltiplos de un número son 84, 102, 136 y 153, ¿de qué número se
trata?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si tienes errores, corrígelos y consulta con tu profesor en caso de duda.
53
MATEMÁTICAS
SIEMPRE LOS MISMOS
13
Divisores de un número natural
Precisión del concepto de factor o divisor de un número
Si tienes $8 000, ¿Ios puedes repartir exactamente entre dos de tus amigos, entre cinco o
entre siete de ellos? Una manera de saber si es posible es por medio del manejo de los
criterios de divisibilidad, otra forma es saber si un número es divisor de otro. ¿Deseas saber
en qué consiste esto?
Observa el video, ya que en él hallarás información que te ayudará a encontrar los
divisores de cualquier número natural. Posteriormente, comenta con tus compañeros los aspectos que no hayas comprendido.
Lee el texto:
DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL
Como ya se vio, un múltiplo es un número se obtiene de multiplicar cierto número por otro
natural; ahora bien, un divisor es un número que divide exactamente a otro número.
Para determinar si un número es divisor de otro, se aplican los criterios de divisibilidad, que
fueron objeto de estudio en la G.A. sesión 2.30 del año anterior.
Ahora, para hallar todos los divisores de un cierto número se buscan las parejas de números
o factores que al multiplicarse den como resultado ese número; para ello, se aplica el método
de ensayo y error. Esto indica que se deben ir multiplicando factores de manera que se
obtenga el número buscado. Para esto, se debe tener en cuenta que un número tiene una
cantidad limitada de divisores.
Ejemplos:
1.
Hallar todos los divisores de 44.
44 × 1 = 44
22 × 2 = 44
11 × 4 = 44
4 × 11 = 44
2 × 22 = 44
1 × 44 = 44
2.
Una vez que ya se tienen las parejas de números o factores que dan como producto 44,
se toman éstos en forma ascendente o descendente, pues son los mismos; por lo tanto,
los divisores de 44 son: 44, 22, 11, 4, 2 y 1.
54
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
3.
Hallar todos los divisores de 96.
96 × 1 = 96
48 × 2 = 96
32 × 3 = 96
24 × 4 = 96
16 × 6 = 96
12 × 8 = 96
8 × 12 = 96
6 × 16 = 96
4 × 24 = 96
3 × 32 = 96
2 × 48 = 96
1 × 96 = 96
Como los factores son los mismos leídos en forma ascendente o descendente, los divisores
de 96 son: 96, 48, 32, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2 y 1.
Para determinar si un número es divisor de otro, se aplican los criterios de divisibilidad.
Para hallar los divisores de un número, se buscan todas las parejas de números o
factores que den como producto ese número.
Forma pareja para que discutan lo que provoca cada pregunta:
1.
¿En qué casos aplicarías los criterios de divisibilidad para determinar si un número es
divisor de otro?
2.
¿Cuál crees que sea el inconveniente de buscar parejas de números para encontrar
divisores de números mayores que 100?
3.
¿Por qué el número de divisores de un número se puede contar?
4.
¿Por qué el conjunto de divisores de un número también es el de sus factores?
Compara tus respuestas con las de otras parejas y lleguen a un consenso asesorados por su
profesor(a).
Sigue trabajando con tu compañero(a) para que resuelvas lo siguiente:
1.
Mentalmente, determina si se cumple lo que se anota a continuación, aplicando los
criterios de divisibilidad.
55
MATEMÁTICAS
a)
b)
2.
3 es divisor de 54
2 es divisor de 29
c)
d)
5 es divisor de 200
7 es divisor de 133
Con ayuda de la calculadora, determina si se cumple lo siguiente:
a)
b)
c)
18 es divisor de 4 230
32 es divisor de 2 000
84 es divisor de 46 032
Intercambia tu cuaderno con otra pareja para que compares tus respuestas; si existen errores, corrígelos.
En forma individual, contesta en tu cuaderno lo que se pide a continuación:
1.
Escribe todos los divisores del número que se indica en cada caso.
a) 40
2.
b) 16
c) 39
d) 24
En el siguiente esquema se dan cuatro de los cinco divisores de un número, encuentra
ese número.
2
14
1
7
Encuentra todas las parejas de números o factores que multiplicados den el número que se
tiene en cada caso y, posteriormente, escribe los divisores de cada número.
a) 20
b) 36
c) 51
Compara tus respuestas con las de otro compañero(a); en caso de tener errores, corrígelos
y, si tienes dudas, consulta con tu profesor(a).
CLAVE
2.
3.
1.
a) 1, 2, 4, 5, 8,10, 20, 40;
b) 1, 2, 4, 8, 16;
c) 1, 3, 13, 39.;
d) 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.
28
a) 4 × 5, 2 × 10, 20 × 1. 1, 2, 4, 5, 10, 20;
b) 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6, 36 × 1. 1, 2, 3, 4,
6, 9, 12, 18, 36;
c) 3 × 17, 1 × 51. 1, 3, 17, 51.
56
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
TODO QUEDA EN FAMILIA
14
Números primos y compuestos
Distinción entre números primos y compuestos
En esta sesión observarás cómo se diferencian los número primos de los números compuestos. Este tema ya lo estudiaste en grados anteriores.
RECUERDA. Con un(a) compañero(a) conversen y escriban aquello que saben acerca de
estos números.
En primaria utilizamos fichas o puntos para representar los números, hagan algo parecido
para obtener fácilmente el conjunto de los factores de algunos números.
Trabajen con fichas o semillas, también pueden dibujar en sus cuadernos. Ojalá representen
los números hasta el 25.
•
••
•••
1×1 1×2 1×3
{1};
{1,2};
{1,3};
••••
•••••
••••••
•••••••
••••••••
•••••••••
1×4
1×5
1×6
1×7
1×8
1×9
••
••
•••
•••
••••
••••
•••
•••
•••
2×2
2×3
2×4
3×3
{1,2,4};
(1,5};
{1,2,3,6};
{1,7};
{1,2,4,8};
{1,3,9}
Trata de convertir los arreglos lineales en rectangulares. Escribe el conjunto de los factores
o divisores.
1.
2.
3.
¿Cuáles números tienen dos y solamente dos factores o divisores diferentes?
¿Qué puedes decir del número uno?
¿Recuerdas qué nombre reciben los números que tienen solamente dos factores?
Observa en el video los rasgos particulares tanto de los números primos como de
los compuestos.
Intégrate a un equipo de trabajo y realiza una lectura comentada del texto:
57
MATEMÁTICAS
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
En ocasiones, al determinar los factores o divisores de uno o más números dados, se observa que algunos tienen varios divisores, otro tiene sólo uno y los demás, curiosamente, tienen
únicamente dos factores.
Ejemplos:
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6,12.
Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18.
El divisor de 1 es únicamente 1.
Los divisores de 2 son 1 y el mismo 2.
Los divisores de 5 son 1 y el mismo 5.
A los números que tienen dos divisores (el número 1 y a sí mismos) se les conoce como
números primos.
A los números que tienen más de dos divisores se les conoce como números compuestos.
Por lo que respecta al número 1, se dice que no es número primo ni tampoco número
compuesto, ya que tiene únicamente un divisor.
¿Qué podrías decir con respecto al número 2?
En el siglo III a.C., un griego llamado Eratóstenes ideó un método a través del cual se podían
localizar los números primos. Una vez que realizó la identificación de dichos números, su
tabla quedó como una criba, por lo que a este procedimiento se le conoce como Criba de
Eratóstenes, la cual consiste en colocar en una cuadrícula los números del 1 al 100 y aplicar
las siguientes reglas:
1.
Se tacha el número 1 porque no es un número primo ni número compuesto.
2.
Se tachan los múltiplos del 2, menos el 2.
Ejemplo:
X
1, 2, 3, X
4, 5, X
6, 7, X
8, 9 10,...,
X 100.
3.
Se tachan los múltiplos de 3, menos el 3.
Ejemplo:
58
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
1, 2, 3, 4, 5,X
6, 7, 8,X
9, 10,..., 100.
4.
Se tachan los múltiplos de 5, menos el 5.
Ejemplo:
X
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...,
X 100
5.
Se tachan los múltiplos de 7, menos el 7.
Ejemplo:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14, 15, 16, 17, 18,19, 20, X
21,..., 100
X
A continuación se muestra la tabla. En ella, los números que quedaron sin tachar son los
números primos en tanto que los números tachados son los números compuestos, excepto
el uno.
Por lo tanto, los números que han quedado sin tachar en esta tabla o Criba de Eratóstenes
son los números primos menores que 100, los cuales se presentan a continuación:
2, 3, 5, 7, 11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Con objeto de comprobar que sí son números primos, y que únicamente tienen dos divisores, se toman dos números cualesquiera que no estén tachados en la tabla y se hallan sus
divisores.
59
MATEMÁTICAS
Ejemplo:
83: el conjunto de sus divisores es {1,83}
43: el conjunto de sus divisores es {1,43}
Los números compuestos menores que 100 son aquellos números naturales que han sido
tachados en la tabla, con excepción del uno.
Con objeto de comprobar lo anterior, se toman de la tabla dos números (tachados) cualesquiera y se hallan sus divisores.
Ejemplo:
8: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 8}
20: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 5, 10 y 20}
Con tu mismo equipo de trabajo comenta lo leído y, posteriormente, resuelve las
siguientes cuestiones:
1.
¿Qué número natural es divisor tanto de un número primo como de un número compuesto?
2.
¿Habrá un número compuesto que tenga sólo dos divisores? ¿Por qué?
3.
Utilizando la técnica empleada en la Criba de Eratóstenes, encuentren los números
primos y compuestos de los números naturales que se dan a continuación:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Comparen sus resultados con los de otro grupo e inviten a su profesor(a) a la discusión.
A continuación, resolverás individualmente un cuestionario:
1.
¿Cuál es el único número primo que es par?
2.
Si un número natural tiene un solo divisor, ¿qué se puede decir de él?
3.
¿Puede existir un número primo con tres divisores? ¿Por qué?
4.
Si se tiene un cuadrado de 9 cm de lado, ¿el valor de su área utilizará un número primo
o uno compuesto? ¿Por qué?
60
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Compara tus resultado con los que tu profesor proporcione y corrige los errores.
CLAVE
1. 2; 2. El número uno. Porque sólo tiene un divisor; 3. No. Porque los números primos son
aquellos que tienen sólo dos divisores; 4. Compuesto. Pues resulta de multiplicar dos números
mayores que uno.
DESINTEGRACIÓN FAMILIAR
15
Factorización
Descomposición de un número en sus factores primos
Reflexiona lo siguiente.
En la multiplicación se trata de hallar el producto de los factores dados, pero ahora se tratará
de hallar los factores de un número dado. ¿Crees que sea muy difícil?
RECUERDA. ¿Por qué hemos dicho, desde años anteriores, que los divisores de un número
también son sus factores?
Observa el video y después realiza un breve comentario de su contenido con tus
compañeros de grupo.
Lee en equipo el texto:
FACTORIZACIÓN
En algunos cálculos matemáticos se hace necesario hallar los factores de un número; este
proceso se conoce como descomposición en factores o simplemente factorización de ese
número.
Ejemplo:
4 = 4 × 1= 2 × 2 × 1
8 = 4 × 2 = 2 × 2 × 2 ×1
12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3 × 1
En los ejemplos anteriores se puede observar que un número puede factorizarse de diversas maneras; sin embargo, existe una forma muy útil en la aritmética para factorizar un número por medio de factores primos, la cual lleva a una factorización única.
El procedimiento para ello consiste en lo siguiente.
61
MATEMÁTICAS
1.
Se escribe el número que se quiere factorizar y a su derecha se traza una línea vertical.
40
2.
Se aplican los criterios de divisibilidad, efectuando las divisiones entre primos sucesivos en orden creciente, esto es, de menor a mayor. Los cocientes se van escribiendo
en columnas debajo del primer dividendo.
cocientes
sucesivos
3.
 40
 20

 10
 5
 1






factores
primos
Cuando aparezca la unidad como cociente, se dice que la factorización de ese número
ha terminado.
40
20
10
5
1
4.
2
2
2
5
2
2
2
5
Obsérvese que los factores primos de 40 son 2, 2, 2 y 5, los cuales se representan
como un producto.
40 = 2 × 2 × 2 × 5
La factorización o descomposición de un número natural en factores primos se usa como
herramienta para cálculos posteriores, como son la obtención del mínimo común múltiplo y el
máximo común divisor, así como la resolución de operaciones con fracciones.
Con base en esta lectura, trabaja en equipo y en tu cuaderno las siguientes cuestiones.
Analiza estas factorizaciones:
40
20
4
2
1
2
5
2
2
40
20
10
5
1
2
2
2
5
¿Son correctas las tres? ¿Por qué?
62
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
40
8
4
2
1
5
2
2
2
¿Cuál de las tres factorizaciones obedece a las divisiones entre primos sucesivos en orden
creciente? ¿Por qué?
Compara tus respuestas con las de tu compañero más cercano; si existen diferencias, consulta con tu profesor.
Reúnete con un compañero y discute la utilidad de los diagramas que vienen a
continuación.
24
6
3
4
2
4
1
40
2
2
8
5
1
8
4
2
2
2
Escribe el producto de los factores primos de cada caso. Escoge libremente dos números,
que no sean primos y factorízalos utilizando el diagrama.
Compara tus resultados con los de otra pareja, si existen dudas, consulta con tu profesor.
Individualmente y en forma mental, resuelve los siguientes problemas.
1.
Se tiene un rectángulo cuya área es de 35 cm2. Indica sus dimensiones (largo y ancho)
de tal manera que sean números primos.
63
MATEMÁTICAS
2.
Se tiene un prisma cuadrangular cuyo volumen es de 105 cm3. Se desea saber las
medidas del ancho, largo y altura. Si los números de las medidas son números primos,
¿cuáles son sus dimensiones?
Compara tus respuestas con tu compañero más cercano; si no coinciden, consulta con tu
profesor.
CLAVE
1. ancho = 5 cm y largo = 7 cm; 2. ancho = 5 cm, largo = 3 cm, altura = 7 cm.
TODOS TIENEN ALGO EN COMÚN
16
Mínimo común múltiplo
Determinación del mcm de varios números
Una de las ideas relacionadas con la operación de multiplicar números naturales es la de
mínimo común múltiplo de varios números.
Dicha idea está en la base de muchos problemas de la economía, la ciencia y la tecnología,
en los que se busca encontrar un mínimo de diversas cantidades.
En el siguiente video apreciarás algunas ideas del mínimo común múltiplo (mcm)
¡Obsérvalo!
Lee en equipo el texto y, posteriormente, comenta ante el otro grupo la forma
como se obtiene el mínimo común múltiplo:
64
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Cuando se ordenan de menor a mayor los múltiplos de dos o más números, se observa que
algunos se repiten. A estos números que se repiten y que son comunes a los números dados, se les llama múltiplos comunes.
Ejemplo:
Obsérvense los primeros múltiplos de los números 4, 6 y 8.
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52...
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66...
Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88...
Los números encuadrados son algunos de los múltiplos comunes de los números 4, 6 y 8.
De ellos, hay uno que es de mucha utilidad para resolver una gran cantidad de situaciones
problemáticas: éste que es el menor de ellos, excepto el 0; recibe el nombre de mínimo
común múltiplo.
Aplicando lo anterior en el ejemplo mostrado, el mínimo común múltiplo de los números 4, 6
y 8 es el 24. Esta expresión se simboliza así:
mcm (4, 6, 8) = 24
Muchos problemas de interés práctico se resuelven utilizando esta sencilla idea. Obsérvese
la resolución del siguiente problema en el que se ejemplifica esa aplicación.
De la central de transportes de Bogotá salen buses cada tres horas rumbo a Cartagena;
otros salen cada 4 horas con dirección a Valledupar y otros más, cada 6 horas hacia Pasto.
Si a las 6 de la mañana de un día determinado coincide la salida de los buses, ¿después de
cuántas horas vuelve a coincidir la hora de salida de las tres líneas de buses?
Resolución
Es necesario encontrar el número de horas que tardan en salir los buses de cada línea y
encontrar las horas de salida comunes (los múltiplos comunes de los intervalos 3, 4 y 6,
exceptuando el cero, que en este caso carece de significado).
65
MATEMÁTICAS
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40...
Múltiplos de 6:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54...
Como en el problema se pide la hora de coincidencia inmediata después de la salida a las 6
horas, se selecciona entonces el menor de los múltiplos comunes, esto es, el 12.
Por lo que el mcm (3, 4, 6) = 12.
Esto indica que los horarios de las tres diferentes líneas vuelven a coincidir después de 12
horas a partir de las 6 de la mañana, esto es, a las 6 de la tarde.
Una manera de comprobar que 12 es el mínimo común múltiplo es ver si éste es divisible
entre 3, 4, y 6.
Con base en lo mostrado se tiene:
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes
a dichos números, que sea diferente de cero.
Sigue con tu equipo de trabajo y contesta lo que se pide en cada caso.
1.
Mentalmente, obtén el mcm en los siguientes ejercicios:
a) mcm (3, 5, 6)
2.
Con ayuda de la calculadora, determina el mcm para cada grupo de números:
a) mcm (8, 12, 15)
3.
b) mcm (4, 8, 10)
b) mcm (10, 12, 19)
¿Cuál debe ser la longitud mínima de una varilla de acero, de tal manera que pueda
partirse exactamente en pedazos de 8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud?
Compara tus resultados con otro compañero; en caso de existir dudas, consulta con tu profesor.
En forma individual, resuelve lo que se pide a continuación:
66
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
1.
En tu cuaderno escribe los primeros ocho múltiplos de los números que aparecen en la
columna de la izquierda; observa el primer renglón:
Números
Múltiplos
2
0
2
4
6
8
10
12
4
5
6
8
10
12
15
Con base en la tabla, completa en tu cuaderno las siguientes igualdades:
mcm (5, 10, 15) = ?
2.
mcm (2, 4, 5) = ?
mcm (4, 5, 10) = ?
Se informa que los vuelos a tres ciudades distintas se realizan con las siguientes frecuencias:
A la ciudad X, un vuelo cada ocho días.
A la ciudad Y, un vuelo cada doce días.
A la ciudad Z, un vuelo cada quince días.
Si se sabe que el 10 de marzo hubo vuelos hacia las tres ciudades, ¿qué tiempo debe
transcurrir para que coincidan nuevamente?
Compara con otro compañero o compañera tus resultados; en caso de que existan errores,
corrígelos.
CLAVE
1.
4:
5:
8:
10:
15:
0
0
0
0
0
4
5
8
10
15
8
10
16
20
30
12
15
24
30
45
16
20
32
40
60
20
25
40
50
75
67
MATEMÁTICAS
24
30
48
60
80
28
35
56
70
95
mcm (5,10,15) = 30
mcm (2, 4, 5) = 20
mcm (4, 5,10) = 20
2.120 días
RADIOGRAFÍA DE UN NÚMERO
17
Algoritmo del mcm
Conocimiento del algoritmo del mcm
En esta sesión vas a conocer el procedimiento para encontrar el mcm de dos o más números
mediante su descomposición en factores primos.
Observa el programa de televisión, después realiza un breve comentario con tus
compañeros de grupo acerca de la obtención del mcm; en caso de que existan
dudas, consulta con tu profesor.
RECUERDA. Resuelve mentalmente los ejercicios siguientes:
Encuentra el mcm de las siguientes parejas de números:
a) 2 y 3
b) 5 y 15
c) 2 y 5
d) 4 y 8
e) 4 y 7
f) 3 y 7
Para que estés en condiciones de discutir cómo hacer para encontrar el mcm de
más de dos números, lee en equipo el texto y contesta las siguientes cuestiones.
ALGORITMO DEL mcm
Un procedimiento sencillo para obtener el mcm de varios números es el de la factorización
simultánea, el cual se detalla a continuación:
Ejemplo: halla el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8.
1.
Se escriben los números 4, 6 y 8 y, a su derecha, se traza una línea vertical
4, 6, 8
2.
2
Aplicando los criterios de divisibilidad y factorizando en forma simultánea los números
4, 6 y 8, se tiene que el primer factor primo es 2, al efectuar mentalmente las divisiones:
4, 6, 8
2, 3, 4
2
68
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Aplicando el mismo criterio de divisibilidad, se ve que el 3 no es par, por lo tanto, se reescribe
en el siguiente renglón, junto con los cocientes de los otros números al ser divididos:
4, 6, 8
2 3 4
1 3 2
2
2
Se aplica otra vez el criterio de divisibilidad entre dos, pero obsérvese que nuevamente el 3
no es par, por lo tanto, se reescribe en el renglón de abajo, además de los cocientes respectivos:
4, 6, 8
2 3 4
1 3 2
3 1
2
2
2
Se aplica el criterio de divisibilidad para el último número que queda, 3, y se efectúa la
división, anotando en el siguiente renglón el cociente obtenido:
4, 6, 8
2 34
1 32
31
1
2
2
2
3
Su factorización termina cuando la unidad queda como residuo al final de la columna de
cada numero factorizado.
3.
El mcm de los números 4, 6, 8 es el producto de los factores primos, es decir:
2 × 2 × 2 × 3
4.
Finalmente, la representación será:
mcm (4, 6, 8) = 24
Los siguientes casos particulares para la obtención del mcm se presentan con tal frecuencia
que es conveniente tener reglas específicas.
Primer caso: dados dos números primos, el mcm de ellos es su producto.
69
MATEMÁTICAS
Ejemplo:
El mcm de los números primos 7 y 11 es su producto, 77.
mcm (7, 11) = 77
Esto se puede comprobar de la siguiente manera:
7, 11
1, 11
7
11
7 × 11 = 77
mcm (7, 11) = 77
Segundo caso: dados dos o más números diferentes de cero, si uno de ellos es divisible
entre los demás, tal número es el mínimo común múltiplo de ellos.
Ejemplo:
En los números 3, 4 y 12 se puede observar que este último se divide exactamente
entre 3 y 4. Por consiguiente, el mcm de ellos es el 12.
mcm (3, 4, 12) = 12
Esto se puede comprobar de la siguiente manera:
3, 4, 12
3 2 6
3 1 3
1 1
2
2
3
2 × 2 × 3 = 12
mcm (3, 4, 12) = 12
Con la aplicación del mcm se pueden resolver problemas como el siguiente:
En un almacén se van a colocar bolsas de azúcar en dos costales; en uno de ellos, bolsas de
12 kg y en el otro, sólo bolsas de 15 kg. Si se desea que los dos costales pesen lo mismo,
¿cuál es el peso mínimo que puede tener cada costal?
Este problema puede resolverse encontrando el mcm de 12 y 15; al obtenerlo, por medio de
la factorización simultánea, se tiene lo siguiente:
12, 15
6 15
3 15
1
5
1
2
2
3
5
2 × 2 × 3 × 5 = 60
70
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
mcm (12, 15) = 60
El peso mínimo que va a tener cada costal es 60 kg.
Esta no es la única aplicación del mcm; en algunos temas posteriores se verán otras.
Reúnete con una compañera o un compañero y, aplicando el procedimiento de
descomposición en factores primos, encuentra el mínimo común múltiplo de los
siguientes números:
a) (8, 32)
b) (20, 30, 50)
Compara tus respuestas con las de otra pareja y, en caso de que existan diferencias, consulta con tu profesor.
Reúnete con dos compañeros más y forma un equipo para resolver en tu cuaderno los siguientes problemas:
1.
En un almacén se van a colocar bolsas de arroz en dos costales; en uno de ellos,
bolsas de 4 kg y en el otro, bolsas de 5 kg; si se desea que los dos costales pesen lo
mismo, ¿cuál es el peso mínimo que puede tener cada costal?
2.
Martín cortó una pieza de tela en 16 partes iguales y Antonio cortó otra pieza de igual
medida en 20 partes iguales. Si en ambos casos no sobró tela y cada pieza de tela
mide un número entero de metros, ¿cuál es la menor longitud que tenían las piezas de
tela?
Intercambia con otro equipo los resultados obtenidos. En caso de que existan diferencias,
consulta con tu profesor.
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno:
1.
En una fábrica se van a formar paquetes de jabones para cajas de diferente presentación. Algunos paquetes se harán con jabones de 200 gramos y otros, de 450 gramos.
Se desea que los dos tipos de caja pesen lo mismo. ¿Cuál es el peso mínimo que
puede tener cada caja?
2.
¿Cuál debe ser la longitud mínima de una varilla de acero para que pueda partirse
exactamente en tramos de 8 cm, de 9 cm, o bien de 15 cm de longitud?
Intercambia tu cuaderno con el compañero más cercano; en caso de diferencia, consulta con
tu profesor.
71
MATEMÁTICAS
CLAVE
a) 1 800 gramos; b) 360 cm.
UNO DE TANTOS
18
Máximo común divisor
Establecimiento del MCD de varios números
En esta sesión observarás que un número puede ser divisor de dos o más números y que
ello te puede ayudar a resolver algunos problemas.
Observa el programa de video y comenta con tus compañeros qué entendiste por
máximo común divisor.
Reúnete con un compañero, lee el texto:
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Si se buscan los divisores de dos o más números, se observa que uno o varios coinciden en
todos ellos. Esos divisores comunes son de gran ayuda en la resolución de problemas cotidianos.
Obsérvese el siguiente problema:
Juan tiene $15 000 y Luis $20 000. Ambos desean cambiar sus billetes por monedas de la
misma denominación y de la mayor posible. ¿Cuál es el mayor valor que pueden tener las
monedas?
Para encontrar la mayor e igual denominación de las monedas se procede a buscar los
divisores de cada uno de esos números, teniendo en cuenta las monedas que circulan en
este momento (esta última condición debe actualizarse).
Divisores de $15 000 son 50, 100, 200, 500, 1 000
Divisores de $20 000 son 50, 100, 200, 500, 1 000
Se observa que el mayor de los divisores comunes (pensando en las denominaciones de las
monedas) es 1 000. El mayor valor de las monedas es 1 000.
Si se tratara de encontrar el MCD de 15 000 y 20 000, este será 5 000. ¿Por qué?
Máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número mayor que los divide
a todos exactamente.
72
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Para encontrar el MCD de dos o más números existen varios caminos. Algunos de ellos son
los siguientes:
1.
a) Se escriben los divisores de cada uno de los números.
b) Se localizan los divisores comunes.
c) Se selecciona el mayor de esos divisores.
2.
Cuando se busca el MCD de dos o más números cualesquiera, es fácil encontrarlos
observando si el menor de ellos divide a todos los demás.
Ejemplo:
Encontrar el MCD de 12, 4 y 8. ...
De los números anteriores el 4 es el más pequeño y divide exactamente al 12 y al 8, con lo
que se puede afirmar que:
MCD (12, 4, 8) = 4
3.
Si el número menor no divide a los otros números, entonces se procede a localizar los
divisores de ese número y dividir los otros entre cada uno de esos divisores. El mayor
de ellos que divida a todos es el máximo común divisor.
Ejemplo:
Encontrar el MCD de 8, 15 y 28.
Se puede ver que el 8 es el número menor y no divide a 15 ni a 28; entonces se buscan los
divisores de 8.
Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8.
El 1 es divisor de los tres números, ya que el 1 es divisor de todos los números.
El 2 es divisor de 8 y 28, pero no de 15.
El 4 es divisor de 8 y 28, pero no de 15.
El 8 es divisor de 8 pero no de 15 ni de 28.
Por lo tanto, el MCD de 8,15 y 28 es el 1.
MCD (8,15, 28) = 1
Como se puede observar, este procedimiento es sencillo y mentalmente podemos llegar al
resultado con facilidad.
73
MATEMÁTICAS
Con tu compañero de lectura discute las respuestas a las siguientes preguntas:
1.
¿A qué se le llama máximo común divisor
2.
¿Cuál de las formas para encontrar el MCD te parece más sencilla? ¿Por qué?
Comenta tus respuestas con el grupo y corrígelas si es necesario.
Reúnete en un equipo con dos compañeros y resuelve los ejercicios siguientes:
1.
Encuentra el MCD de los siguientes números, anotando en tu cuaderno el grupo de
divisores de cada uno de ellos.
a) MCD (12, 20, 32)
b) MCD (45, 15, 30)
2.
Mentalmente busca el MCD de los números que se indican; para ello localiza entre los
números el menor y resuelve los ejercicios:
a) MCD (12, 5, 24)
b) MCD (30, 20, 10)
c) MCD (20, 8, 12).
Compara tus ejercicios con los de otro equipo; corrige tus errores.
De manera individual, encuentra el MCD de los siguientes números con el método
que gustes.
a) MCD (9,12,18)
b) MCD (20, 50, 75)
Comenta con tu profesor tus resultados; si tus respuestas no son correctas, corrígelas.
CLAVE
a) 3; b) 5.
ANATOMÍA DE UN NÚMERO
19
Algoritmo del MCD
Conocimiento del algoritmo del MCD
En matemáticas existen procedimientos que nos permiten resolver problemas de manera
directa y sencilla. A continuación se presenta un procedimiento fácil para obtener el MCD.
Observa el programa de video. En él encontrarás información que te ayudará a
comprender el algoritmo para obtener el MCD.
Comenta con tus compañeros y tu profesor la manera de aplicar el algoritmo en situaciones
cotidianas.
74
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Con un compañero, realiza la lectura del texto.
ALGORITMO DEL MCD
Una vez que se ha establecido el concepto de MCD de dos o más números, se está en
posibilidad de utilizar un procedimiento más sencillo para obtenerlo.
Para tal efecto, obsérvese con atención el desarrollo del siguiente problema que se le presentó a un almacenista:
1.
El almacenista tenía 16 calculadoras de bolsillo de color negro, 24 azules y 28 rojas;
debía empacarlas de tal manera que en cada paquete hubiese igual número de calculadoras del mismo color.
¿Cuál es el máximo número de paquetes que se puede formar? ¿Cuál es el mayor número
de calculadoras del mismo color que puede ir en el mismo paquete?
Dado el problema se procederá a obtener el MCD por medio del siguiente procedimiento.
a)
Se factorizan simultáneamente los tres números hasta que se tenga un divisor común.
Ejemplo:
16
8
4
b)
24
12
6
28
14
7
2
2
Obsérvese que los números 4, 6 y 7 no tienen divisor común, con excepción del uno.
Por lo tanto, se detiene el proceso y puede manifestarse que el MCD de los números
16, 24 y 28 es el producto de los divisores comunes.
Por lo tanto:
MCD (16, 24, 28) = 2 × 2
El 4 indica el máximo número de paquetes que se pueden formar, de tal manera que cada
paquete contenga el mismo número de calculadoras del mismo color.
Ahora bien, se puede responder a la segunda pregunta si se considera lo siguiente:
El número máximo de calculadoras de cada color que se puede poner en 4 paquetes se
obtiene si se divide el total de calculadoras entre el número de paquetes.
Por lo tanto: 16 calculadoras negras = 4 calculadoras negras en cada paquete
4 paquetes
75
MATEMÁTICAS
24 calculadoras azules
= 6 calculadoras azules en cada paquete
4 paquetes
28 calculadoras rojas
= 7 calculadoras rojas en cada paquete
4 paquetes
Luego, se tiene que en cada paquete hay 17 calculadoras de las cuales cuatro son negras,
seis son azules y siete son rojas. Como se tienen cuatro paquetes, el total de calculadoras
empacadas es 68.
Como se pudo apreciar, es posible resolver problemas en forma sencilla si se aplica el algoritmo del MCD.
Con la finalidad de confirmar lo aprendido, véase el siguiente problema:
2.
Supóngase que se tienen 20 canicas de color rojo, 30 de color azul, 40 blancas y 50
verdes y se quieren poner en bolsas, de tal manera que haya igual número de canicas
del mismo color en cada paquete.
¿Cuál es el máximo número de bolsas que hay que llenar?
¿Cuál es el mayor número de canicas del mismo color que pueden ir en cada bolsa?
Para solucionar este problema, se halla el MCD de 20, 30, 40 y 50.
20
10
1
30
15
3
40
20
4
50
25
5
2
5
Luego:
MCD (20, 30, 40 y 50) = 2 × 5 = 10
Esto indica que se formarán 10 bolsas.
El máximo número de canicas de cada color que se puede poner en 10 bolsitas se obtiene
dividiendo el total de canicas de cada color entre el número de bolsas esto es:
20 canicas rojas = 2 canicas rojas en cada bolsa
10 bolsas
30 canicas azules = 3 canicas azules en cada bolsa
10 bolsas
76
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
40 canicas blancas
= 4 canicas blancas en cada bolsa
10 bolsas
50 canicas verdes
= 5 canicas verdes en cada bolsa
10 bolsas
Resulta entonces que en cada una de las diez bolsas habrá catorce canicas: dos rojas, tres
azules, cuatro blancas y cinco verdes.
Resulta sencillo resolver situaciones como las anteriores, utilizando la descomposición de
números en factores primos y la obtención del máximo común divisor.
El algoritmo para hallar el MCD de dos o más números es un procedimiento mediante el
cual se obtiene el mayor de los divisores comunes de dos o más números.
Comenta con tu compañero el procedimiento del MCD y expón tus dudas a tu profesor.
Individualmente, resuelve en tu cuaderno el problema siguiente, para lo cual tendrás que utilizar la calculadora.
Una compañía constructora compró tres terrenos con las siguientes dimensiones: 1 440 m2,
1 280 m2 y 800 m2, respectivamente; los desea fraccionar de tal manera que cada lote tenga
la misma extensión y que sean lo más grandes posible.
a)
¿Cuántos metros cuadrados tendrá cada lote?
b)
¿Cuántos lotes de igual medida y con la mayor extensión se obtendrán?
Compara tus resultados con los de la clave; si tienes errores, corrígelos.
CLAVE
a) 160 m2; b) 22 lotes.
RESUÉLVELOS TÚ MISMO
20
Problemas de mcm y MCD
Aplicación del concepto del mcm y del MCD en la
solución de problemas
¿Has pensado qué tipo de problemas se solucionan con la aplicación del mcm y el MCD?
Esta sesión te servirá para profundizar en ello.
77
MATEMÁTICAS
Observa el video. Comenta con tu grupo cómo resolvieron los problemas y si
conoces otras formas de llegar al resultado.
RECUERDA. Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:
¿Qué es el mcm de dos o más números? ¿Cómo puedes obtenerlo? ¿A qué se llama MCD
de dos o más números? ¿Cómo se obtiene?
Con tu compañero, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:
1.
Se tienen 48 litros de aceite y 64 litros de vinagre. Si se envasan en recipientes del
mismo tamaño, ¿de qué capacidad pueden ser los envases?
a) ¿Cuál es el mayor tamaño que puede tener el envase?
b) ¿Qué nombre recibe ese número con respecto a 48 y 64?
c) ¿Cómo obtuviste esos resultados?
2.
Un señor cobra tres cheques de $250 000, $500 000 y $300 000, respectivamente. Si
pide que le paguen los tres cheques con billetes de la misma denominación y de la
mayor posible, ¿de qué valor serán los billetes?
Compara los resultados que obtuviste con los otros compañeros. Si no son iguales, realiza
nuevamente el procedimiento y corrígelos.
Individualmente, resuelve los problemas siguientes en tu cuaderno:
1.
María compra 120 rosas y 80 claveles. Si desea hacer ramos de modo que cada uno
tenga la misma cantidad de flores del mismo tipo y de la mayor cantidad posible, ¿cuántas flores tendrá cada ramo y cuántos ramos saldrán en total?
2.
Tres buses salen el mismo día de una terminal de transporte. El primero regresa cada
seis días, el segundo cada cinco y el tercero cada tres. ¿Cuántos días pasarán para
encontrarse todos nuevamente?
Comenta con tu profesor los resultados obtenidos y compara tus resultados con los de la
clave. Si tienes errores, corrígelos.
CLAVE
1. 40 flores, 5 ramos ;
2. 30 días.
78
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Núcleo Básico 3
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Para la comprensión y el estudio de muchas situaciones problemáticas y la realización de
cálculos que conduzcan a solucionarlas, no es suficiente el empleo de los números naturales. Veamos algunos casos:
•
Recuerda que la sustracción entre números naturales estaba condicionada al hecho de
que el minuendo fuese mayor que el sustraendo.
•
Si utilizamos los números naturales para expresar las alturas de las montañas, ¿cuáles
utilizaríamos entonces para expresar las profundidades de los yacimientos de petróleo?
79
MATEMÁTICAS
•
¿Has observado cómo indica un termómetro las temperaturas? ¿Qué significa el cero
en los termómetros? ¿Cuál es la temperatura promedio en tu ciudad?
•
¿Cómo diferenciar el hecho de avanzar y el de retroceder en un mismo camino, con
respecto a un árbol que se tome como referencia?
•
¿Cómo distinguir ganancias y pérdidas mediante expresiones numéricas?
Los números enteros que se estudian en este núcleo facilitan y permiten desde las matemáticas representar y resolver tales situaciones.
El empleo de los enteros y la iniciación en el uso del lenguaje algebraico son fundamentales
para el desarrollo del pensamiento matemático y proporcionan herramientas potentes para
expresar y modelar situaciones de la vida cotidiana y de otras ciencias.
21
ANTES Y DESPUÉS DEL CERO
Los números enteros
(85-1) Representación de situaciones con sentidos opuestos
La idea de número natural es una de las más antiguas e importantes de las matemáticas. Sin
embargo, esta clase de números, como ya comentamos, son insuficientes para describir,
operar y, en último caso, registrar muchas situaciones que se dan regularmente.
Observa el video y amplía tu comprensión y tus conocimientos acerca de los
números.
Comenta con tus compañeros de grupo sobre los casos en que se requiera el empleo de los
números enteros.
Forma una pareja y realiza una lectura comentada del siguiente texto.
LOS NÚMEROS ENTEROS
Después de la creación de los números para contar, mujeres y hombres se encontraron
situaciones, como las ya comentadas, para las cuales resulta insuficiente la existencia de
números naturales. Por ello se creó una serie de números que permitiera modelar dichas
situaciones. A esta serie se le llama números enteros, la cual se elaboró con base en los
siguientes acuerdos:
80
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
1.
Para cada número diferente de 0, se propuso otro con el mismo símbolo, pero anteponiéndole un signo menos (–), que en este caso no representa una sustracción, sino el
sentido en que se avanza para llegar a él. A este número se le conoce como entero
negativo.
2.
El número 0 no da lugar a un entero ni negativo ni positivo, pero se le considera como
elemento de esta serie.
3.
Los números situados a la derecha del 0 se llamarán enteros positivos y los números
representados a la izquierda, enteros negativos.
En la recta puede observarse que para cada número a la derecha del 0 existe otro situado a
su izquierda y a la misma distancia de éste, precedido del signo menos (–).
A la unión de ambas series (la que está a la derecha del 0 y la que está a la izquierda,
incluyendo el 0) se le llama números enteros.
Así se puede decir que existen tres clases de números enteros: los enteros positivos, los
enteros negativos y el 0.
Enteros positivos
Números
enteros
Cero
Enteros negativos
Enteros positivos
Enteros negativos
































–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
81
MATEMÁTICAS
Continúa trabajando en pareja y completa en tu cuaderno el siguiente diagrama.
Números
Enteros
Enteros
Positivos
No pertenece a
los positivos ni
a los negativos
Compara con otra pareja tu diagrama y, si hubo errores, corrígelo.
Integra un equipo y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.
1.
Escribe frente a cada expresión otra que represente la situación opuesta.
Adelante
Subir
530 años antes de nuestra era.
Perder
Ir de Bogotá a Cartagena.
Girar una vez en el sentido de las manecillas del reloj.
Sumar 15 a una cantidad.
2.
Restar 24 a una cantidad.
Usa la recta numérica para describir hasta qué punto llegó el cangrejo después de
realizar los recorridos que abajo se indican. Para cada recorrido haz una recta.
El cangrejo siempre inicia cualquier recorrido en el cero.
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
82
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3 pasos a la derecha, 4 pasos a la izquierda, 2 pasos a la derecha.
5 pasos a la izquierda, 2 pasos a la derecha, 2 pasos a la izquierda.
2 pasos a la izquierda, 4 pasos a la izquierda, 6 pasos a la derecha.
Compara tu ejercicio con el de otro equipo y corrige si tuviste errores.
Individualmente, efectúa el siguiente ejercicio en tu cuaderno. Describe el recorrido que se realizaría en la recta numérica en cada caso; se supone que siempre se parte de 0. Observa el ejemplo.
a)
–5, 4, 3
Cinco lugares a la izquierda del cero, cuatro lugares hacia la
derecha y tres lugares más a la derecha.
b)
2, –6, –3
c) –1, 1, 0, –4
Intercambia tu cuaderno con un compañero y revisa su ejercicio de acuerdo con la clave.
Si tienes dudas, consulta con tu profesor.
CLAVE
b) Dos lugares a la derecha del cero, seis lugares a la izquierda, tres lugares más a la
izquierda; c) Un lugar a la izquierda del cero, uno a la derecha, no hay desplazamiento
y luego cuatro lugares a la izquierda.
SENTIDOS OPUESTOS
22
(86-1)
Números y cantidades con sentido
Descripción de situaciones que se representan con
números enteros
Sin duda conoces situaciones que tienen significados contrarios, por ejemplo: alto y bajo;
joven y viejo; limpio y sucio. Dentro de éstas también se marcan algunas en donde el significado opuesto entre una y otra depende de un punto de referencia, por ejemplo el hecho de
subir o bajar de un piso a otro en un edificio; la altura de una casa y la profundidad de sus
cimientos; los años que han transcurrido antes o después del inicio de nuestra era, etcétera.
Observa el video en el cual comprenderás cómo los números enteros facilitan
la representación de algunas situaciones con sentidos opuestos.
Reúnete con dos compañeros y efectúa una lectura comentada del texto siguiente:
83
MATEMÁTICAS
NÚMEROS Y CANTIDADES CON SENTIDO
En diversas situaciones, los números enteros tienen aplicación práctica, por ejemplo en la
representación de pérdidas y ganancias comerciales, en la medición de ángulos, en localizaciones con respecto al nivel del mar, en temperaturas, en coordenadas geográficas, etcétera.
Representación de pérdidas y ganancias con números enteros
En las transacciones comerciales la contabilidad de pérdidas y ganancias de un negocio es
de importancia fundamental. Lo mismo sucede en un hogar organizado cuando se requiere
llevar un control de los ingresos y los egresos.
Es tradicional asociar las ganancias de una transacción con números enteros positivos, las
pérdidas con enteros negativos y el 0 con aquellas transacciones en donde no hay ni pérdidas ni ganancias.
Por ejemplo, si en la contabilidad se anota una cantidad como $8 673 se está indicando que
en la transacción se ganó esa cantidad de dinero; por el contrario, si se anota como –$8 673,
la cantidad representa una pérdida.
Lo mismo se acostumbra hacer con respecto a los ingresos (enteros positivos), los egresos
(enteros negativos) y la falta de ingresos y egresos (cero).
En el comercio también se representan los enteros negativos con cifras de color rojo, por ello
cuando se tienen pérdidas se dice que se “está en rojo”.
Ángulos con sentido y números enteros
En geometría es útil considerar los ángulos como el resultado de la rotación de un rayo
apoyado en su origen. Recuerda que en primaria construiste este concepto con base en
giros de tu propio cuerpo y mediante su amplitud tomando como unidad la vuelta completa.
Rayo
El ángulo se forma cuando el rayo se mueve desde su posición inicial hasta su posición final
en la rotación.
•
Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas
del reloj, la medida del ángulo formado se expresa con números positivos.
• Si la rotación se da en el sentido de las manecillas del reloj, la
medida se representa con números negativos.
84
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
•
Cuando la posición inicial y la posición final coinciden por no haber una rotación (y de
hecho se tiene un solo rayo), se dice que se tiene un ángulo de cero grados.
Con estas convenciones se tienen ángulos positivos y negativos cuyas medidas se representan con números enteros.
–105º
Posición inicial
Longitudes y números enteros
Muchas longitudes (medidas de segmentos de rectas) se pueden expresar con números
enteros, de manera que permitan una descripción útil de algunas cantidades. En este apartado se muestra cómo los enteros pueden sustituir la descripción de alturas y profundidades
de la superficie terrestre en relación con “el nivel del mar”, o con cualquier otro punto de la
Tierra.
Así, al considerar el nivel del mar como cero, a las alturas se les atribuye una magnitud
positiva y a las profundidades, una negativa.
Con base en lo anterior, se afirma que el pico del monte está situado a 3 840 m y el submarino a –852 m.
3 840 m
0m
–852
85
MATEMÁTICAS
Temperaturas y números enteros
Las temperaturas se miden con el termómetro. Uno de los más usuales es el de mercurio,
cuya escala de medición está en grados centígrados.
–30 –20 –10 0
10 20 30 40 50 60 70
Los cero grados (0 °C) de la escala en el termómetro corresponden a la temperatura de
congelación del agua a nivel del mar, y los cien grados (100 °C) a la temperatura de ebullición
del agua, también a nivel del mar.
Así, en esta escala, se conviene en asociar a los números positivos con las temperaturas
mayores que 0 °C, y los negativos con las temperaturas menores de 0 °C.
En la escala del termómetro que se ilustra a continuación, se marcan las siguientes temperaturas notables:
–30 –20 –10 0
10 20 30 40 50 60 70
a)
La máxima temperatura ambiental en nuestro planeta fue de 58 °C y se registró en
Azizia, Libia (58 °C sobre cero), el 7 de septiembre de 1922.
b)
La temperatura ambiental mínima en un sitio habitado se registró en Verjoiansk, Siberia,
y fue de –67 °C (67 °C bajo cero).
c)
La temperatura normal de una persona es de 37 °C.
Coordenadas geográficas y números enteros. Conexión con Ciencias Sociales
La longitud y la latitud son las coordenadas más importantes para localizar cualquier punto
sobre la superficie terrestre, por ejemplo: una ciudad, un pueblo, un monte, etcétera.
Por otra parte, la latitud es la medida en grados que hay de un lugar cualquiera al Ecuador y
puede ser norte o sur. Las latitudes al norte se relacionan con los enteros positivos y las
latitudes al sur con los negativos.
La longitud también se mide en grados a partir del meridiano de Greenwich y puede ser
longitud este u oeste. La longitud este se relaciona con los enteros positivos y la oeste con
los negativos.
86
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
En el mapamundi se puede observar que la península de Yucatán (México) se localiza en el
punto –75° de longitud y tiene una latitud de 20° aproximadamente.
Esto es, se localiza al oeste del meridiano de Greenwich y al norte del Ecuador.
¿Cuáles son las coordenadas geográficas de Colombia?
Es importante señalar que en la mayoría de los casos la elección del cero como punto
de referencia de la unidad de medida y la asignación de números positivos o negativos
de las magnitudes tratadas es meramente convencional; pero una vez determinada
esa convención, los números enteros describen esas situaciones de manera única.
Continúa trabajando en equipo y comenta las reflexiones promovidas por las
siguientes preguntas:
1.
¿Por qué es importante fijar un punto de referencia para ordenar cantidades, situaciones o eventos?
87
MATEMÁTICAS
2.
Cuando se toman los números enteros para representar o para modelar situaciones,
eventos o cantidades, ¿cuál es el punto de referencia?
3.
En la representación de pérdidas y ganancias, ¿cómo se asocian a ellos los números
enteros?
4.
Dibuja dos ángulos de un cuarto de vuelta, pero generados por rotaciones de sentidos
opuestos.
Compartan sus reflexiones con las de otro equipo y traten de llegar a consensos.
Sigue trabajando con tus compañeros para resolver en tu cuaderno los ejercicios siguientes:
1.
En cada caso digan si la medida de cada ángulo debe expresarse con números positivos o con números negativos.
B
X
A
M
Y
N
2.
Contesta las preguntas que se hacen con base en la ilustración que se te presenta en
la siguiente página. Hazlo en tu cuaderno. Utiliza números enteros.
88
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
a)
¿A qué altura, aproximadamente, se encuentra el avión?
b)
¿A qué profundidad se localiza el submarino?
c)
¿A qué profundidad o altura se ubica el barco?
d)
¿A qué altura está la gaviota?
e)
¿A qué profundidad nada el pez?
f)
¿Sabes a qué altura, en metros sobre el nivel del mar, se encuentra tu población?
Anótala; si no sabes, investígala.
Compara tus respuestas con las de otro equipo y en caso de error corrige.
Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.
1.
Contesta las preguntas:
a)
En los registros comerciales, ¿cómo se representan las pérdidas?
b)
Si se dice que la medida de un ángulo es de –312°, ¿cómo es su sentido y por qué?
c)
La temperatura normal del cuerpo, ¿se anota con números positivos o negativos?
d)
Las temperaturas en el Polo Norte, ¿cómo son?, ¿qué tipos de números se utilizan
para representarlas?
89
MATEMÁTICAS
2.
Utiliza números enteros para representar las siguientes situaciones:
a)
Nadia tiene $8 000
b)
Pepe debe $500
c)
Lucio no perdió ni ganó en el negocio que cerró.
CLAVE
1. a) Con números negativos, con rojo, o entre paréntesis, b) Negativo, porque se da en el
sentido de las manecillas del reloj, c) Positivos, d) Frías o bajo cero, negativos, e) Comenta esta
respuesta con tus compañeros; 2. a) + $8 000, b) – $500, c) $0.
23
NO ES LO MISMO
QUE
Ubicación en la recta numérica
(87-1) Identificar y ubicar enteros en la recta numérica
RECUERDA. Utiliza números enteros para representar las siguientes fechas:
a)
El año 776 antes de nuestra era, iniciación de la era de las olimpiadas en Grecia.
b)
El año 2000, cuando Colombia obtuvo una medalla de oro en levantamiento de pesas
en las olimpiadas de Sydney 2000.
¿Sabías que los números enteros están colocados a la diestra y a la siniestra del cero?
Compara tus respuestas con las que se lancen a discusión.
Observa el programa de televisión, en él se mencionará la ubicación de los
números enteros con respecto al cero.
Atiende las indicaciones de tu profesor para efectuar con tu grupo una lectura
comentada del texto Ubicación en la recta numérica. Haz énfasis en los conceptos de simétrico y valor absoluto de un número.
UBICACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Hasta el momento se han utilizado los números enteros para describir diferentes situaciones
prácticas y para ello se recurrió a diversos esquemas, dibujos o ilustraciones.
90
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Sin embargo, todas esas ilustraciones se podrían sustituir por una gráfica en la que se representen únicamente los números enteros, sin que se señalen las cantidades a las que se
pueden asociar. Tal gráfica es la recta numérica, que ya se ha utilizado para representar
números naturales.
Recta numérica de los números naturales:
Obsérvese ahora la recta numérica de los números enteros:
La recta numérica de los números enteros es una ampliación de la recta de los números
naturales, en la que los números negativos se representan en sentido opuesto a los naturales, utilizando la unidad de medida ya definida.
Observa que –1 está a igual distancia del 0, que 1.
Para muchos problemas en los que se utilizan cantidades o números muy grandes (fechas
históricas, longitudes sobre o bajo el nivel del mar), es conveniente utilizar rectas numéricas
en las que las divisiones representan no una, sino un número mayor de unidades.
Enteros negativos
Enteros positivos
En esta recta numérica cada división representa 100 unidades.
91
MATEMÁTICAS
Como puede notarse, en la recta numérica de números enteros el punto de referencia es el
cero (0), los enteros positivos se encuentran a su derecha y los enteros negativos a su
izquierda.
Por lo tanto, para ubicar un número en la recta numérica debe considerarse su signo para
saber si se localizará a la derecha o a la izquierda del cero (0), en seguida a partir de éste se
cuenta el número de unidades que representa dicho número.
Ejemplo.
Ubicar en la recta el –5 y el 11.
Como –5 es negativo se localizará 5 unidades a la izquierda del 0, y como 11 es positivo se
ubicará 11 unidades a la derecha del 0.
En la recta numérica de números enteros, puedes ver que cada uno de los positivos y los
negativos que se generaron (sus opuestos) son simétricos con respecto al punto cero.
Por esta razón se dice que cada uno de ellos es simétrico del otro.
Enteros negativos
Números naturales
enteros positivos
<SIMÉTRICOS>
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
.
.
.
.
.
.
–1 000
1 000
.
.
.
.
Los números simétricos están a la misma distancia del cero, pero en sentidos opuestos.
92
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Por tal razón se dice también que sus valores absolutos son iguales.
En la recta numérica, se denomina valor absoluto a la distancia entre un punto numérico y el
cero, sin importar su sentido o signo.
Así, el valor absoluto de –8 es 8, el de +4 es 4, etcétera. Obsérvese la recta numérica:
Valor absoluto = 8
Valor absoluto = 6
El valor absoluto se indica encerrando el número dentro de dos líneas verticales, por ejemplo:
I 9 I = 9; se lee valor absoluto de 9 es igual a 9
I –18 I = 18; se lee valor absoluto de –18 es igual a 18.
Sin considerar la recta numérica puede decirse que el valor absoluto de un número (positivo
o negativo) es el mismo número sin considerar el signo.
Reúnete con dos compañeros y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:
¿Cuál es la diferencia entre una recta numérica de números naturales y otra de números
enteros? ¿Cuál es el punto que se toma siempre de referencia en la recta numérica para
ubicar los enteros positivos y los enteros negativos? ¿A qué números se les llama simétricos
y cómo es su valor absoluto? ¿Dónde están colocados los enteros negativos en la recta
numérica? ¿Dónde están colocados los enteros positivos en la recta numérica?
Compara tus respuestas con las de otro equipo y, en caso de error, corrige.
Continúa trabajando en equipo y resuelve los siguientes ejercicios:
Ubica y escribe en tu cuaderno el simétrico de cada uno de los puntos designados con letras que
se marcan sobre la recta numérica. Observa en el ejemplo, cómo el simétrico de A es –3.
93
MATEMÁTICAS
Encuentra el valor absoluto de los números que se proporcionan:
a)
I –386 I
b) I 4 782 I
c)
I 595 I
d) I –595 I
¿Por qué el valor absoluto de 595 y –595 es el mismo?
Compara tus respuestas con las de otro equipo y, en caso de error, corrige.
En forma individual, resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1.
Escribe el número entero que representan los puntos señalados con las letras A, B, C,
D, E. En esta recta cada división representa 10 unidades.
A=
2.
B=
C=
D=
E=
Considerando la recta anterior, escribe el simétrico de cada número y además el valor
absoluto de cada pareja de números:
a) –10
b) +20
c) +30
d) –40
e) –50
Al concluir, compara tus respuestas con las de la clave y, en caso de error, corrige.
CLAVE
1.
2.
A = 40, B = 25, C = 0, D = –25, E = –50;
a) 10, 10,
b) –20, 20,
c) –30, 30,
d) 40, 40,
e) 50, 50.
94
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
24
EL CERO ES MAYOR QUE MUCHOS
El orden entre los enteros
(88-1) Introducir la idea de >, < o = entre los enteros
RECUERDA. Observa la siguiente recta numérica y utiliza los números enteros para decir el
punto donde se localiza cada corredor literal.
0
20 m
40 m
60 m
Compara tus respuestas con las del profesor y si tienes errores corrígelos.
Todo tiene un orden en esta vida, también hay orden en los números enteros y éste nos
señala cuándo un número es mayor, menor o igual que otro.
Observa el video en donde afianzarás tus conocimientos para establecer una
relación de orden entre dos números enteros.
Reúnete con un compañero y efectúa una lectura comentada del texto siguiente:
EL ORDEN ENTRE LOS ENTEROS
Los números naturales son una serie ordenada. Esto significa que si se tienen dos números
naturales cualesquiera, siempre se puede indicar cuál de ellos es mayor, menor o igual que
el otro.
Ya construimos explicaciones para comparar dos números naturales; sin embargo hasta el
momento no se tiene para los enteros negativos una razón clara que permita establecer esa
relación entre dos de ellos o bien entre un entero negativo y otro positivo.
Para definir el orden entre dos números enteros vamos a ubicar algunos de ellos en la recta
numérica entera.
95
MATEMÁTICAS
¿Cuál es mayor –3 o 3? ¿Por qué?
¿Cuál es menor 3 u 8? ¿–3 o –7?
Veamos estos otros ejemplos:
8
–9
–7
6
0
>
3
<
4
> –10
> –6
> –10
porque
porque
porque
porque
porque
8
–9
–7
6
0
está a la derecha del
está a la izquierda del
está a la derecha del
está a la derecha del
está a la derecha del
3
4
–10
–6
–10
Dados dos números enteros cualesquiera representados en una recta numérica:
a) Es mayor el que está a la derecha.
b) Es menor el que está a la izquierda.
c) Son iguales si les corresponde el mismo punto.
Observando la recta numérica, discute con tu compañero(a) si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o no y den ejemplos que ilustren sus discusiones.
1.
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo o bien, cualquier entero negativo es menor que cualquier entero positivo. Ejemplo:
5 > –21
2.
–30 < 15
–30 < 40
Cualquier número entero negativo es menor que cero; o bien el cero es mayor que
cualquier entero negativo.
96
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
3.
Cualquier número entero negativo es mayor que otro entero negativo, si el primer número está a la derecha del segundo número; o bien, cualquier entero negativo es menor que otro entero negativo, si el primero está a la izquierda del segundo.
Al verificar cada una de las afirmaciones anteriores en la recta numérica entera se puede
observar que son ciertas.
Considerando el valor absoluto de los números negativos:
•
•
Si se tiene dos números negativos, ¿cuál es el mayor?
Entre dos números negativos, ¿cuál es el menor?
Ejemplos:
–5 > –10
porque
I –5 I < I –10 I
–240 < 50
porque
I –240 I > I –50 I
Como resultado de las reflexiones anteriores se puede concluir que:
Al relacionar por su orden dos números enteros se cumple una y exclusivamente una
de las siguientes tres posibilidades:
1. El primer número es mayor que el segundo.
2. El primer número es menor que el segundo.
3. El primer número es igual al segundo.
Estas tres posibilidades constituyen la propiedad de tricotomía del orden en los números enteros.
Otra propiedad importante del orden en los números naturales que se conserva para los
enteros es la propiedad de transitividad. Con ella se pueden hacer afirmaciones como las
siguientes:
Si –8 < –5
y
–5 < –3
entonces
–8 < –3
Si
y
0 > –2
entonces
9 > –2
9>0
Concluyendo, se puede decir también que:
Los números enteros son una serie ordenada. Ya que si se tienen dos números enteros
cualesquiera, siempre se puede establecer cuál de ellos es mayor, menor o igual que el
otro.
97
MATEMÁTICAS
Continúa trabajando con tu compañero(a) y completa los siguientes enunciados.
a)
¿Cómo utilizas la recta numérica para comparar números enteros?
b)
¿Es posible que un número entero negativo sea mayor que cero? ¡Explica!
c)
¿Cuántos enteros son mayores que –10? Represéntalos en una recta.
d)
¿Cuántos enteros son menores que –10? Represéntalos en una recta.
Continúa trabajando con tu compañero y resuelve en tu cuaderno los siguientes
ejercicios:
1.
Coloca el signo >, < o =, según corresponda entre cada pareja de enteros y explica el
porqué de esta relación.
–10 y –2;
2.
46 y 30;
–286 y 0.
Ordena de mayor a menor los siguientes enteros.
23,
3
–28 y 5;
–85,
0, –15, –7,
5, –3, 83.
Coloca el signo >, < o =, según corresponda y aplica la propiedad transitiva.
Ejemplo:
Como –3 > –9
y
–9
a)
Como
–7 ?
b)
Como
–20 ? 0
–6
>
–10, entonces –3
> –10
y
–6
?
y
0 ? 50,
–3,
entonces
?
entonces
?
Compara tus respuestas con las de otro equipo, en caso de diferencias averigua quién está
equivocado y si tienes errores corrige.
¿Has visto un caracolito? Te presentamos uno muy especial. Trabaja en tu
cuaderno.
1.
Un caracol se desplaza en el sentido indicado por la flecha, sobre una recta graduada:
98
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
El caracol avanza una unidad por hora. Al mediodía él está en el punto de abscisa +3.
¿Dónde se encontraría a las 11 a.m.?, ¿a las 9 a.m.?, ¿a las 8 a.m.?, ¿a las 6 a.m.? y ¿a las
5 a.m.? Indica las diferentes posiciones utilizando los números negativos.
2.
¡El mismo caracol, otro día!
Al medio día, el caracol, que se desplaza en el sentido indicado por la flecha, está en la
abscisa –3.
a)
¿Dónde se encontrará a las 13 horas?, ¿a las 15?, ¿a las 16?
b)
¿Dónde se encontraba a las 11 horas?, ¿a las 8?, ¿a las 9? y ¿a las 7?
3.
Coloca el signo >, < o =, según corresponda entre cada pareja de enteros.
a)
45
80
d) –45
–80
b)
172
90
e) –172
–90
c)
25
36
f) –25
–36
25
RESUÉLVELOS TÚ MISMO
Problemas en que se requiere sumar o restar enteros
(89-1) Estimación de resultados y cálculo mental
Cotidianamente se presentan situaciones en las que recurres a los cálculos matemáticos
para buscar su solución.
Observa el video y comenta con tu equipo cómo se resolvieron los problemas
propuestos.
Intégrate a un equipo de tres y haz una estimación del resultado de cada uno
de los siguientes problemas, empleando el cálculo mental.
1.
Una licuadora cuesta $67 500; si se han dado tres pagos de $7 500, ¿cuánto falta para
pagar?
99
MATEMÁTICAS
2.
Si Mercedes y sus dos hijas viajan de Cartagena a Barranquilla y el pasaje cuesta $13 000
¿cuánto deberá pagar por las tres en un viaje de ida y vuelta?
3.
Guille tiene 42 años. Si le sumamos la edad de Luis y le restamos 14 da por resultado
40, ¿cuál es la edad de Luis?
Comenta con otros equipos por qué en la estimación de resultados hay diferentes aproximaciones.
Ahora forma una pareja y mentalmente estima el resultado de cada uno de los
siguientes problemas y regístralos en tu cuaderno.
1.
Si la distancia entre Cartagena y Sincelejo por carretera es de 560 km y se llevan
recorridos 285 km, ¿cuántos kilómetros faltan por recorrer?
2.
Un empleado independiente recibe quincenalmente tres cheques: uno por $750 000,
otro por $245 000 y otro por $395 000. ¿Cuánto gana mensualmente?
3.
La tía de Lucía y Gabriel dijo que si la acompañaban al mercado les repartiría en partes
iguales el dinero que le sobrara. Si paga con un billete de $20 000 las compras de $14 500,
¿cuánto le sobró? ¿Cuánto le tocó a cada uno?
Compara con otra pareja y comenta tus resultados.
Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los siguientes problemas, y compara tus respuestas con las que se dan en la clave; cualquier aproximación al
resultado correcto es válido.
1.
Marie Curie nació en 1867; a los 31 años descubrió el elemento radiactivo Polonio,
cinco años después le otorgaron el Premio Nobel de Física; en 1911, le otorgaron por
segunda ocasión el Premio Nobel, ahora de Química, posteriormente muere en 1934.
a)
¿En qué año realizó su descubrimiento?
b)
¿Cuándo recibió el Nobel de Física?
c)
¿Qué edad tenía al obtener el Nobel de Química?
d)
¿A qué edad falleció?
2.
El dióxido de carbono (CO2) está compuesto de oxígeno (O2) y de carbono (C). Si en 44 g
de CO2 hay 32 g de O2, ¿cuántos gramos habrá de C?
3.
Se desean llenar cuatro cajas de huevos. A cada una le caben 360, pero a la primera le
faltan 20 para llenarse, a la segunda le faltan 13 más que a la primera, la tercera tiene
16 menos que la segunda y la cuarta tiene 10 más que la primera. ¿Cuántos huevos
tiene cada caja? ¿Cuántos huevos faltan en total para llenar las cuatro cajas?
100
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Se va a sembrar caña en una parcela de 8 000 m2, entre tres personas, de tal manera
que a una le corresponde sembrar 1 500 m2 y a otra 4 750 m2. ¿Cuántos m2 le corresponde sembrar a la tercera persona?
4.
CLAVE
1. a) 1989, b) 1903, c) 44 años, d) 67 años;
2. 12 g;
3. Primera caja 340 huevos, segunda caja 327 huevos, tercera caja 311 huevos, cuarta caja
350 huevos, faltan 112 huevos para llenar las cuatro cajas;
4. 1 750 m2.
26
(90-1)
EN EL MISMO SENTIDO
Adición de enteros con el mismo signo
Manejo de la adición de enteros
El sumar números enteros es muy sencillo, en las sesiones que vienen aprenderás cómo
solucionar problemas con esta operación, comprendiendo el significado de lo que realices.
RECUERDA. En la recta numérica, localiza los números siguientes, y anota la letra que
corresponde.
A8
B –5
C3
D –4
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay errores, corrige.
Observa el video, en donde verás la forma en que se suman los números enteros
con igual signo. Discute con tu grupo cómo se realizan los desplazamientos
positivos y negativos en la recta numérica.
Reúnete con un compañero y lee el siguiente texto.
101
MATEMÁTICAS
ADICIÓN DE ENTEROS CON EL MISMO SIGNO
Los cambios de temperatura de un lugar, la altura entre un terreno y otro, los años transcurridos
entre dos hechos son algunos ejemplos en donde se aplica la adición de números enteros.
Para definir la adición de números enteros se consideran los siguientes casos:
a)
b)
c)
d)
Adición de enteros positivos.
Adición de enteros negativos.
Adición de enteros positivos con enteros negativos.
Adición de enteros positivos o negativos con el número cero.
Para ilustrar la adición y algunas otras operaciones con números enteros, estos pueden ser
interpretados como desplazamientos sobre la recta numérica, considerando los
desplazamientos hacia la derecha como positivos y hacia la izquierda como negativos, los
cuales se indican con flechas.
Como el 0 no es ni positivo ni negativo, de hecho no representa desplazamiento alguno.
Por ejemplo, se puede pensar en el número entero 3 como un desplazamiento cualquiera de
3 unidades sobre la recta numérica. Algunas posibilidades se muestran a continuación.
Desplazamientos de 2 unidades hacia la izquierda pueden representarse con el entero
negativo –2 como se muestran a continuación:
Hechas estas consideraciones, se estudiará en seguida la adición de enteros en cada uno
de los casos señalados.
Adición de enteros positivos
Con los enteros positivos, como con los números naturales, la suma ya es conocida. Conviene,
sin embargo, ilustrarlo en la recta numérica.
102
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplo:
Sumar 4 + 5
a)
Se representa con una flecha el primer sumando, iniciando desde 0
b)
A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando, se inicia la
representación del segundo sumando.
c)
La suma o resultado es la distancia desde el 0 hasta el final del segundo
desplazamiento.
Por lo tanto: 4 + 5 = 9
Esta representación gráfica ilustra una forma de sumar dos números enteros positivos.
103
MATEMÁTICAS
Para sumar dos enteros positivos se suman los números en cuestión y el resultado es positivo.
Adición de enteros negativos
Para adicionar dos números enteros negativos, por ejemplo –6 y –4, se seguirá el mismo
procedimiento del ejemplo anterior.
(–6) + (–4) =
a)
Se representa con una flecha el primer número, iniciando desde 0.
b)
A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando se inicia la
representación del segundo sumando.
c)
La suma es el entero representado por el desplazamiento que va desde el 0 hasta
el final del segundo desplazamiento.
104
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Por consiguiente: (–6) + (–4) = –10. Obsérvese que el resultado es el simétrico de la suma
de los valores absolutos de los sumandos.
El ejemplo anterior ilustra cómo sumar números enteros negativos.
Veamos esta situación: Juan le debe a Luis $23 508 y a Esteban $37 160, ¿cuánto debe en
total? Utiliza los enteros.
Las deudas se pueden representar con enteros negativos, entonces:
(–23 508) + (–37 160) = –60 668
Juan tiene en total una deuda de $60 668.
Para sumar dos números enteros negativos:
a) Se suman los valores absolutos de los sumandos, y
b) El resultado o suma es el simétrico de la suma obtenida, esto es, siempre es un
entero negativo.
Con un compañero, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. Representa en la recta numérica las adiciones siguientes:
a)
5+4=
105
MATEMÁTICAS
b)
(–8) + (–5) =
c)
(–9) + (–6) =
Individualmente, resuelve en tu cuaderno los ejercicios siguientes:
1. Analiza la siguiente adición realizada en la recta numérica, y completa las cuestiones.
a)
La adición se inicia en el punto...
b)
El primer sumando es...
c)
El segundo sumando es...
d)
Por lo tanto, la suma es...
2. Realiza las siguientes operaciones:
a)
4+2=
b)
(–6) + (–5) =
c)
(–8) + (–10) =
d)
12 + 8 =
106
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Compara tus resultados con los de la clave. Si hay diferencias, verifica y corrige.
CLAVE
1.
2.
a) 0,
a) 6,
b) –7,
b) –11,
c) –6,
c) –18,
d) –13;
d) 20.
27
SUMANDO GANANCIAS Y PÉRDIDAS
Adición de enteros con diferente signo
(91-1) Manejo de la adición de enteros
No siempre los sumandos de una adición de enteros tienen signos iguales. Entonces los
problemas que los originan requieren nuevas comprensiones que te facilitarán encontrar el
resultado.
Vamos con el fútbol.
En los dos últimos partidos entre los equipos que van adelante en la clasificación, los Venados y los Chigüiros, los resultados fueron:
•
•
En el primer encuentro, los Venados ganaron 3 puntos, mientras que los Chigüiros
perdieron 2.
En el segundo, los Venados perdieron 1 punto y los Chigüiros ganaron 6.
¿Cuál es en estos dos encuentros el balance de cada equipo? Exprésalo utilizando los
números enteros.
Antes de estos dos últimos partidos, los Venados tenían 21 puntos y los Chigüiros 20.
¿Se modificó la clasificación?
RECUERDA. ¿A qué se le llama valor absoluto de un número?
Ve el video y haz anotaciones para comentarlas con el grupo.
Lee con un compañero el siguiente texto:
107
MATEMÁTICAS
ADICIÓN DE ENTEROS CON DIFERENTE SIGNO
A fin de comprender cómo sumar este tipo de números, como por ejemplo 5 y –2, se procederá de manera idéntica que en los casos anteriores.
a)
Se representa con una flecha el primer número, iniciando desde 0.
b)
A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando, se inicia la
representación del segundo sumando.
c)
La suma es el desplazamiento desde el 0 hasta el final del segundo desplazamiento.
3
–2
5
Por lo tanto: 5 + (–2) = 3
Obsérvese ahora otra adición de este tipo, por ejemplo (–6) + 4.
a)
Se representa con una flecha el primer sumando, iniciando desde 0.
108
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
b)
A partir de donde llega la flecha que representa al primer sumando, se inicia la
representación del segundo sumando.
4
–6
c)
La suma es el desplazamiento desde 0 hasta el final del segundo desplazamiento.
+4
–2
–6
Por lo tanto: (–6) + 4 = –2
En la representación de estos dos ejemplos se observa que la adición de un entero positivo
y un entero negativo puede tener resultado positivo o negativo, dependiendo de los números
considerados.
Sin embargo, obsérvese que en ambos casos las sumas pueden obtenerse considerando
primero los valores absolutos de los sumandos. Al mayor valor absoluto se le resta el menor
valor absoluto, y este resultado es positivo o negativo, si el sumando de mayor valor absoluto
es positivo o negativo.
Analiza estas otras adiciones:
a)
(–45 876) + 23 164 = –22 712, ya que
I –45 876 I – I 23 164 I = 45 876 – 23 164 = 22 712, y como
I –45 876 I > I 23 164 I el resultado obtenido es el simétrico de la resta; esto es
–22 712.
b)
164 312 + (–83 759) = 80 553, pues se tiene que:
I 164 312 I – I –83 759 I =164 312 – 83 759 = 80 553, y como
109
MATEMÁTICAS
I 164 312 I > I –83 759 I, el resultado obtenido en la recta numérica es el resultado requerido,
esto es, 80 553.
Discute con tu compañero(a) la siguiente conclusión:
Para sumar dos números enteros, uno positivo y uno negativo:
a)
b)
c)
d)
Se obtienen los valores absolutos de los sumandos.
Se resta al mayor valor absoluto obtenido del valor absoluto menor.
Si el sumando de mayor valor absoluto es positivo, el resultado es el obtenido de
la resta.
Si el sumando de mayor valor absoluto es negativo, la suma es el simétrico de la
resta obtenida.
Una adición muy importante se presenta cuando los sumandos tienen igual valor absoluto.
Tener $63 504 y deber esa misma cantidad. Una vez realizado el pago, ¿cuál es la situación
económica de la persona?
63 504 + (–63 504) = 0, ya que
I 63 504 I – I 63 504 I = 63 504 – 63 504 = 0.
La situación económica de la persona, con respecto al problema, es 0.
Analiza y justifica estas otras sumas:
(–56 108) + 56 108 = 0
(69 736) + (–69 736) = 0
Si los números enteros a sumar son simétricos, el resultado es 0.
Al realizar la adición de un número natural y el número 0 se observó que su suma siempre
era el mismo número natural.
¿Te parece que esta propiedad se conserva en los enteros?
¿Cuáles serían los resultados de estas sumas?:
a)
–356 + 0
b) 0 + (–1 564)
c) 0 + 0 =
110
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
La suma de un número entero y el número cero siempre es el número entero dado.
Reúnete en equipo, y realiza los siguientes ejercicios y problemas.
1.
2.
3.
Discutan oralmente las respuestas a las siguientes preguntas:
a)
¿En qué punto de la recta numérica se inicia la adición?
b)
¿Hacia dónde son los desplazamientos cuando el número es positivo?
c)
¿Hacia dónde son si el número es negativo?
Realiza en tu cuaderno las adiciones propuestas. Utiliza la recta numérica y anota el
resultado.
a)
12 + (–5) =
b)
(–8) + 7
c)
13 + 0 =
Halla las siguientes sumas:
(+5) + (+3) =
(–5) + (–3) =
(–5) + (+3) =
(+5) + (–3) =
111
MATEMÁTICAS
Verifica tus resultados con los de tus compañeros. Si hay errores, corrige.
Realiza individualmente, en tu cuaderno, los siguientes problemas:
1.
Variaciones en los precios y adición de números enteros.
Utilicemos los enteros positivos para representar aumentos en los precios, y los negativos
para indicar bajas en los mismos.
Así, +500 significa un aumento de $500; –500 es una baja de $500.
Completa:
a)
(+500) seguido de (+300) =
o
(+500) + (+300) =
b)
(–400) seguido de (–100) =
o
(–400) + (–100) =
c)
(–1 500) seguido de (+800) =
o
(–1 500) + (+800) =
d)
(+700) seguido de (–250) =
o
(+700) + (–250) =
e)
(–900) seguido de (+1 200) =
o
(–900) + (+1 200) =
2.
Escribe una pareja de números enteros cuya suma sea un entero positivo; en seguida
escribe otra cuya suma sea un entero negativo.
3.
Juega y evalúate
Dados con números positivos y negativos.
Se juega con dos dados: uno rojo para avanzar y otro verde para retroceder, es decir, en el
rojo considera los enteros positivos +1, +2, +3, +4, +5 y +6, y en el verde, los enteros negativos –1, –2, –3, –4, –5 y –6.
112
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Analiza los siguientes resultados:
Rojo
a)
b)
c)
Verde
•
En un primer lanzamiento resultó
+4
–2
•
En un segundo lanzamiento,
+6
–1
•
En un tercer lanzamiento,
+5
–3
¿Después del tercer lanzamiento, sobre cuál casilla se estará?
¿Cuál puede ser el resultado de un cuarto lanzamiento para llegar a la casilla de llegada?
¿Hay otras soluciones? ¿Cuáles?
Compara tus resultados con los de tus compañeros y solicita la ayuda de tu profesor(a).
Realiza tus adiciones nuevamente y, si son incorrectas, corrígelas.
28
(92-1)
¿DESAPARECE LA SUSTRACCIÓN?
Sustracción de enteros
Manejo de la sustracción de enteros
RECUERDA. La sustracción en los números naturales tenía sus restricciones, el minuendo
debía ser mayor que el sustraendo. Ahora que conoces los números enteros, ¿te parece que
sigue siendo válida esa condición?
Transforma sustracciones de naturales, en adición de enteros.
7–4=3
(+7) + (–4) = +3
12 – 7 = 5
(+12) + (–7) = +5
¿Cómo son los resultados de las sustracciones y los de las adiciones? Y si ahora tenemos:
7–9=?
(+7) + (–9) = –2
¡Se puede resolver!
5–8=?
12 – 20 = ?
38 – 52 = ?
113
MATEMÁTICAS
Para comprender el procedimiento de restar enteros, con los compañeros(as)
lee el texto que sigue:
SUSTRACCIÓN DE ENTEROS
En algunas situaciones de nuestra vida cotidiana, se requiere efectuar sustracciones donde
el sustraendo es mayor que el minuendo. Su solución es fácil y lógica gracias a los números
enteros que ayudan a resolverlas.
Obsérvense los siguientes ejemplos:
1.
Si tengo 5 cuadernos y en la escuela me piden 7, ¿cuántos me faltarán?
Este problema lo podemos interpretar como una sustracción, en donde el sustraendo (+7) es
mayor que el minuendo (+5).
(5) – (7) =
La solución puede obtenerse en forma sencilla si se emplea la recta numérica, como se
muestra a continuación:
a)
Represéntese el desplazamiento del minuendo.
b)
Represéntese el desplazamiento del sustraendo (+7) a partir de donde termina el desplazamiento del minuendo, pero en sentido contrario como si fuéramos a sumar el
opuesto de (+7) que es (–7).
c)
La línea que va del 0 al final del sustraendo es el resultado o diferencia; la línea punteada señala el resultado de la resta.
114
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
resta
De donde (5) – (7) =
2.
(8) – (–3) =
–2 ,
porque –2 + (7) = 5 o también + (5) + (–7) = –2
Recuerda que el opuesto de (–3) es (+3).
Se resuelve de la forma gráfica como sigue:
resta
Por lo tanto:
(8) – (–3) = 11 ,
porque
11 + (–3) = 8
Se debe recordar que el desplazamiento del sustraendo se inicia a partir de donde termina el
desplazamiento del minuendo, pero dirigido en sentido contrario, y que la línea que va del 0
al final del sustraendo es la resta o diferencia.
Si se observan nuevamente los ejercicios anteriores saltará a la vista que la sustracción de
enteros se convierte en una adición en la cual al minuendo se le suma el opuesto del
sustraendo.
3.
( –9) – (–4) =
115
MATEMÁTICAS
sustraendo
resta
Entonces (–9) – (–4)
4.
(–5) – (3)
=
–5 , porque
–5
+ (–4) = –9
=
resta
Entonces (–5) – (3) =
5.
–8 , porque –8
+ (3) = –5
( –3) – (–9) =
resta
Por lo tanto (–3) – (–9) =
6 , porque 6 + (–9) = –3
De acuerdo con los ejemplos anteriores, se puede deducir que para efectuar la sustracción
de dos números enteros cualesquiera:
116
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
La resta o diferencia de dos números enteros se obtiene sumando al minuendo el simétrico del sustraendo (el mismo número del sustraendo pero en sentido contrario).
Observa que no es que la sustracción desaparezca sino que se convierte en una adición de
enteros. Es como si el signo (–) que representa a la operación significara “sumar el
opuesto de”.
Así (–3) – (–9) significa
“a (–3) sumar el opuesto de (–9)”
(–3) + (–9) = + 6
Observa el video, toma apuntes acerca de aquello que te parezca importante
compartir y comentar con tus dos compañeros(as) de grupo.
Con tus dos compañeros de grupo contesta oralmente lo que se te pide a continuación.
1.
2.
a)
¿En (18) – (6) cuál es el signo del resultado? ¿Por qué?
b)
¿En (7) – (21) cuál es el signo del resultado? ¿Por qué?
c)
(5) – (–9) se puede escribir de otra forma. ¿Cuál? ¡Escríbela!
d)
¿De qué otra forma se puede escribir (–6) – (–2)? Representa la operación en
una recta numérica.
Completa los siguientes cuadros:
+3
+4
–5
+3
+1
+2
+1
+5
–4 –3 –2 –1 +
+1 +2 +3 +4
–5
–3 –2 –1
–2
+3
+1 +2 +3 +4
–1
–2
–1
–2
+2
–3
+2
+5
–4
–3
–4
117
MATEMÁTICAS
3.
Julio César y Augusto
Julio César nació en el año 110 a.C. y murió asesinado en el 44 a.C. Augusto nació en el 63 a.C.
Llegó a ser emperador a la edad de 36 años y muere en el año 14 d.C.
a)
Representa en una recta las fechas de nacimiento y muerte de los dos personajes.
b)
¿A qué edad murió Julio César?
c)
¿Cuántos años tenía Julio César cuando nació Augusto?
d)
¿Cuál era la edad de Augusto cuando murió Julio César?
e)
¿Cuántos años duró el reinado de Augusto?
Con un compañero(a) resuelve lo siguiente:
1. Completa el siguiente cuadro:
a
b
+9
+5
–15
–3
–9
+7
+8
–5
+5
–2
–4
+6
a–b
*Léase “a más el opuesto de b”.
118
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
a + op (b)*
Comparando la columna de a – b y la de a + op (b), ¿qué puedes concluir? Escribe el
resultado de tus observaciones.
2. Resuelve lo siguiente:
a)
(20) – (11) =
b)
(2) – (14) =
c)
(–15) – (10) =
d)
(–4) – (–8) =
e)
(–16) – (–3) =
f)
(13) – (–6) =
g)
(– 7) – (11) =
h)
(8) – (–19) =
3. Comprende el enunciado y haz lo pedido:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea –5.
Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea +7.
Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea –1.
Da dos enteros de signos opuestos cuya suma sea +4.
Da dos enteros de signos opuestos cuya suma sea –7.
Da dos enteros cuya suma sea cero.
CLAVE
2. a) 9,
b) –12,
d) 4,
c) –25,
e) –13,
f)19,
g) –18
h) 27.
Para la proxima sesión trae una calculadora de bolsillo.
29
UN TECLADO SIN MÚSICA
La adición y la sustracción en la calculadora
(93-1) Uso de la calculadora para resolver
La rapidez con que avanza la tecnología actualmente requiere que nuestra preparación sea
mayor en algunos de sus campos.
RECUERDA. Con un compañero(a) completa el siguiente cuadro:
a
–3
b
a–b
a+b
–9
+13
+6
–15
–18
–12
+20
+8
+7
+3
+3
119
MATEMÁTICAS
Compara tu resultado con el de tus compañeros. Si hay errores, corrige.
Observa el video en el que verás algunas de las teclas principales de la calculadora. Comenta con tus compañeros las ventajas que observas en su manejo
para el cálculo de resultados.
Lee con un compañero el siguiente texto:
LA ADICIÓN Y LA SUSTRACCIÓN EN LA CALCULADORA
Uno de los instrumentos de mayor importancia en la época actual para realizar cálculos y
operaciones de cierto grado de dificultad es la calculadora, pues ahorra tiempo en la realización de las operaciones haciendo la resolución de problemas más sencilla.
Para encontrar la suma de dos enteros positivos se utilizan dos teclas: +, =.
Obsérvese la adición siguiente:
45 + 83 =
Se realiza oprimiendo las teclas en el orden en que aparecen, esto es:
4
5
+
8
3
=
y el resultado aparecerá en la pantalla de la calculadora:
1
2
8
De manera análoga se realiza la sustracción. Aquí se emplearán las teclas –, =.
3
2
5
–
7
8
5
=
6
0
y el resultado aparece en la pantalla:
–
4
6
0
o bien
4
–
Si en la adición uno de los sumandos es negativo, se oprimen las teclas +, –, = en el orden
que aparecen:
2
5
+
–
y en seguida aparece el resultado:
120
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
7
8
=
–
5
3
Si la adición de enteros tiene más de dos sumandos se procede de la misma forma; esto es,
se oprimen las teclas +, – en el orden que se dan en la operación:
3
2
+
–
4
8
–
5
6
3
1
+
1
2
0
–
1
7
=
obteniendo el resultado:
Esta adición se puede realizar empleando las teclas M+, M– y MR. Observa lo siguiente:
a) La tecla M+ se emplea para almacenar los valores positivos.
b) La tecla M- se emplea para almacenar los valores negativos.
c) La tecla MR para obtener la suma o total.
Ejemplo:
Buscar la suma de:
48 + (–59) + 96 + (–258) + (–324) =
Para realizarla se suman los valores positivos, oprimiendo al final la letra
almacene los valores positivos:
4
8
+
9
6
M+ para que
M+
Apareciendo el resultado:
1
4
4
Ahora se suman los valores negativos oprimiendo al final
resultado de números negativos:
M–
para que almacene el
121
MATEMÁTICAS
5
9
+
2
5
8
+
6
4
1
3
2
4
M–
Obteniendo el resultado:
En seguida se oprime
MR
y se obtiene el resultado:
–
4
9
7
La calculadora es de gran ayuda cuando se quiere comprobar el resultado de operaciones o
cuando se requiere mayor rapidez en la resolución de un problema.
Reúnete con un compañero y propónganse adiciones y sustracciones para realizarlas en la calculadora.
Con el grupo en pleno organicen un concurso para trabajar con la calculadora.
Realiza con un compañero(a) las operaciones siguientes en la calculadora; sigue para ello los pasos que se señalan. Ten en la mano lápiz y papel para que
vayas anotando los resultados.
1.
(–45) + 89 + (–39) + 189 + (–79)
a)
Suma los valores positivos. Oprime M+. ¿Cuál es el resultado?
b)
Suma los valores negativos. Oprime la tecla M– (o INV M+). ¿Cuál es el resultado?
c)
Oprime MR. ¿Cuál es el resultado?
2.
8 924 + (–3 456) + 15 925 + (–7 424)
a)
Suma los valores positivos. Oprime M+. ¿Cuál es el resultado?
b)
Suma los valores negativos. Oprime M–. ¿Cuál es el resultado?
122
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
c)
Oprime MR. ¿Cuál es el resultado?
Compara tus resultados con otros compañeros. Si hay errores, corrígelos.
De manera individual, resuelve con tu calculadora las siguientes operaciones y
anota los resultados en tu cuaderno.
1.
4 927 + 13 472
2.
8 724 –15 926
3.
45 + (–96) + (–128) + 294
4.
98 + (–35) + (–108) + (–227) + 95
5.
124 + (–98) + (–326) + 1 396 + (–87)
Compara tus resultados con los de la clave. Si hay errores, realiza nuevamente las operaciones y corrige.
CLAVE
2. –7 202;
3. 115;
4. –177;
5. 1 009.
(94-1)
1. 18 399;
30
RESUÉLVELOS TÚ MISMO
Problemas de adición y sustracción
Aplicación de la adición y la sustracción
Sumar o restar, he ahí el problema. Recordarás la adición y sustracción de enteros, las
cuales aplicarás en la solución de problemas.
RECUERDA. Resuelve mentalmente los siguientes ejercicios:
a)
b)
c)
d)
(–25) + (+64) + (+25)
( + 3 709) + ( –408) + ( –3 709)
(–21) + (+58) + (+20)
(+7 881) + (+23) + (–7 882).
Observa el video y después comenta el tema principal con tus compañeros y tu
profesor(a).
123
MATEMÁTICAS
Coteja tus respuestas con otro compañero(a); si tus respuestas no son correctas, vuelve a
hacer las cuentas.
Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los siguientes ejercicios:
a)
Un comerciante invirtió $5 350 000 en mercancía. Al venderla obtuvo $9 480 000, ¿de
cuánto fue la pérdida o la ganancia? Anota al resultado el signo que le corresponda.
b)
A un tanque de 45 litros de agua se le extraen 17 litros, después se le introducen 11
litros y se le vuelven a extraer 21. Escribe la operación que representa esta situación y
anota cuántos litros de agua quedan en el tanque.
c)
Cinco niños jugaron con igual número de canicas cada uno y al terminar compararon
sus pérdidas y ganancias. Los resultados de 4 de ellos fueron: 18 canicas, –10 canicas, –8 canicas y 12 canicas. ¿El quinto niño ganó o perdió canicas? ¿Cuántas? Anota
el resultado con números enteros.
d)
Cierto día la temperatura a las 11 de la mañana fue de 15 °C. Durante las siguientes
cuatro horas la temperatura varió así: en la primera bajó 3 °C, en la segunda subió 1 °C,
en la tercera subió 4 °C y en la cuarta bajó 2 °C. ¿Cuál fue la temperatura a las 15
horas? Represéntalo gráficamente.
Compara tus resultados con los de la clave y corrige si hay errores en operaciones y resultados.
CLAVE
a) $4 130 000 (+);
+15 °C.
b) 45 – 17 + 11 – 21 = 18; en el tanque quedan 18 l ; c) –12; d)
31
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR
LAS MATEMÁTICAS
(95-1) Repaso parcial
Integración de los conocimientos adquiridos
En esta sesión pondrás a prueba lo que hasta ahora has aprendido del núcleo, resolviendo
ejercicios y problemas.
Atiende el video junto con tus compañeros de grupo y tu profesor. A su término,
coméntalo brevemente.
124
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Forma un equipo de trabajo y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1.
Compara cada pareja de números escribiendo entre ellos el signo >, < o =, según
corresponda.
( –15, –16);
2.
a)
3.
(11, 12);
(–1, 0);
(–9, 6);
Realiza las siguientes adiciones y sustracciones de enteros:
(–1 234) + (–5 432)
b) (–6 543) – (–7 825)
Escribe en el espacio correspondiente el número faltante.
a)
20 + (–
) = –80
c)
–
– (+23) = –145
4.
(12, –25)
b) +
+ (–35) = + 115
d)
– (–10) = 50
a) Encuentra dos números enteros que cumplan las siguientes igualdades:
x + y = –5
x – y = +25
b) Encuentra dos números enteros que cumplan:
x + y = –10
x – y = –2
Individualmente, resuelve los siguientes problemas:
1.
Un comerciante compró 12 kg de tomates especiales en $38 400; si al vender 6 kg ha
recuperado su inversión, la venta de los otros 6 kg es su utilidad. ¿Cuál es su utilidad?
2.
El precio de un televisor a plazos es de $750 000. Di de cuota inicial $250 000, he
pagado cuatro mensualidades de $125 000, ¿cuánto me falta pagar?
3.
Un depósito de agua tiene una capacidad de 1 259 l, de
aquí se reparten a 2 tanques 550 l y 435 l, respectivamente, ¿cuántos litros quedan en el depósito?
4.
Los mayas fueron uno de los pueblos americanos que
desarrolló una cultura muy avanzada. Se cree que sus
precursores llegaron a la península de Yucatán hacia el
año 2600 a.C., pero sólo hasta el año 650 a.C. desarrollaron una cultura propia y original. Después del año 900
d.C. fundaron varias ciudades en donde se encuentran
125
MATEMÁTICAS
bellos monumentos de su cultura, como Chichén Itzá y Mayapán. Por esa época las
guerras entre estas ciudades debilitaron a sus habitantes y por ello, a la llegada de los
españoles en 1527, sucumbieron fácilmente Aún hoy quedan algunos descendientes
de los mayas distribuidos en México, Guatemala y Honduras, que se dedican a la agricultura.
a)
b)
¿Cuánto tiempo duró el esplendor de la cultura Maya?
¿Cuánto tiempo trascurrió desde que llegaron los primeros precursores de los mayas a
la península de Yucatán hasta que desarrollan su propia cultura?
CLAVE
1. $38 400; 2. $0; 3. 265 l ; 4. a) 1 877 años, b) 1 950 años.
32
INTERPRETA LA AGRUPACIÓN
Los paréntesis y su uso
(96-1) Simplificación de expresiones con paréntesis
En muchas ocasiones es necesario y conveniente agrupar. Pero también se requiere interpretar correctamente una agrupación para poder simplificarla cuando se necesite. Esto ocurre en matemáticas con las operaciones. ¿Sabes simplificar expresiones con paréntesis?
RECUERDA. Algunos de éstos cálculos están equivocados
a)
b)
c)
d)
( +3) + ( +25) = + 28
( – 47) + ( –5) = – 42
( –7) + ( +9) = +16
( +3) + ( –5) = –2
Muestra tus resultados al compañero más próximo y comenten el porqué del error.
Observa el video en el que se enseña el uso de los paréntesis para indicar
operaciones y su interpretación para simplificar expresiones contenidas en ellos.
Al terminar, comenta con tus compañeros de fila lo que te haya parecido más
importante
Intégrate a una terna y realiza una lectura comentada del texto que sigue:
126
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
LOS PARÉNTESIS Y SU USO
En ocasiones es necesario manejar expresiones que parecen muy complicadas. Esto ocurre
debido a la forma en que están agrupadas diversas operaciones; es decir, cuando se requieran
varias operaciones sucesivas para llegar a una solución, hace falta emplear signos de
agrupación que indiquen las operaciones que se van a efectuar en primer lugar y las que se
van a realizar después. Esos signos de agrupación son los paréntesis. Los hay redondos ( )
y rectangulares [ ].
Por ejemplo:
(3 + 4) + 6
En este caso se está utilizando el paréntesis redondo y su función es la de indicar qué
operación se debe realizar primero. Es decir, se realiza la operación que está entre paréntesis
(3 + 4) y el número que resulte se suma con el que está fuera del paréntesis, como se ve a
continuación.
(3 + 4) + 6 = 7 + 6 = 13
Véanse otros ejemplos:
a)
2 + (6 + 4) = 2 + 10 = 12
b)
(3 + 5) – 1 = 8 – 1 = 7
c)
4 – (2 + 1) = 4 – 3 = 1
d)
(6 – 2) + 7 = 4 + 7 = 11
e)
7 – (8 – 5) = 7 – 3 = 4
Cuando se trata de la multiplicación, es muy común utilizar paréntesis para indicarla, ya que
el signo por ( × ) se puede confundir con la x (equis) que se utiliza con mucha frecuencia en
matemáticas para representar cantidades desconocidas. Lo mismo sucede con el punto decimal. Ve lo siguiente:
a)
4 (5 + 3) se interpreta como “cuatro por cinco más tres”, que se resuelve así:
4 (5 + 3) = 4 (8) = 32
b)
(2 + 6) (3 + 1) se interpreta como “dos más seis por tres más uno” y se efectúa así:
(2 + 6) (3 + 1) = (8) (4) = 32
En algunos casos se hace agrupación de agrupaciones, por lo que se requiere paréntesis
127
MATEMÁTICAS
rectangular [ ] y dentro de él se colocan los paréntesis redondos, como se ve en el siguiente
ejemplo.
6 [5 + (7 – 3) 4] =
Se debe considerar que cuando hay un signo de agrupación encerrado dentro de otro, debe
efectuarse primero la operación indicada en el interior, como se ve en seguida.
6 [5 + (7– 3) 4] = 6 [5 + 4 (4)] = 6 (5 + 16) = 6 (21) = 126
Trabaja en tu cuaderno los siguientes ejemplos:
(5 + 6 + 2) + 8 = 13 + 8 = 21
30 – (6 + 5 + 4) = 30 – 15 = 15
(9 – 3) + (8 – 4) = 6 + 4 = 10
28 + [90 – (7 – 2)] = 28 + (90 – 5) = 28 + 85 = 113
(140 – 4) – [12 + (8 – 7 + 2 )] = 136 – (12 + 3) = 136 – 15 = 121
(8 + 6) 2 = (14) 2 = 28
(25 + 40) + 5 = 65 + 5 = 13
[(7 + 5) + 3] + [(7 – 1) + 2] = (12 + 3) + (6 + 2) = 4 + 3 = 7
La correcta interpretación de la agrupación de las operaciones por medio de paréntesis permite
simplificar expresiones que indican una serie de cálculos.
Esta simplificación de expresiones con paréntesis tiene gran aplicación en el álgebra, que es
una parte de las matemáticas que se estudia en la secundaria.
Si alguna idea no es clara, coméntala con tu grupo y con tu profesor(a).
Con la misma terna analiza y comenta las siguientes cuestiones.
a)
¿Cuándo es necesario el uso de más de un signo de agrupación?
b)
Halla los siguientes resultados, compáralos y concluye en consecuencia.
(5 – 7) + 8 + ( 9 – 11)
5 – (7 + 8) + 9 – 11
128
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
(5 – 7) + (8 + 9 ) – 11
c)
Cuando hay un signo de agrupación encerrado en otro, ¿cómo debe procederse?
Comenta tus respuestas con un compañero de otra terna. Si tienes errores, corrígelos.
Continúa con la misma terna y simplifica cada una de las siguientes expresiones
con paréntesis. Trabaja en tu cuaderno.
a) (2 + 9) + 5 =
b) (8 + 9) – 6 =
c) [(11 × 6) – (3 – 2)] =
d) 2 (9 + 3) =
e) 3 [4 + (6 – 2) 5] =
f) [25 – (4 × 2)] – (5 –1) =
Muestra tu trabajo a los integrantes de otra terna. Si fallaste, corrige.
Individualmente, simplifica las siguientes expresiones con paréntesis.
a)
[(8 + 2) ÷ 5] + [(6 – 3) ÷ 3] =
d) (3 × 7 – [15 (8 ÷ 2)] =
b)
[( 7 + 5) 4] + (–7 – 3) =
e) 24 + [70 – (5 – 4)] =
c)
27 – (4 + 3 + 2) =
f) 6 [7 + (4 – 1) 3] =
Compara tus respuestas con las de la clave, y si es necesario corrige.
CLAVE
a) 3;
b) 38;
c) 18;
d) 2;
e) 93;
f) 96.
33
CUÁL SE RESUELVE PRIMERO
Jerarquía de operaciones
(97-1) Determinar la prioridad de las operaciones
Cuando se tienen problemas en donde necesitas utilizar operaciones combinadas como la
suma, la resta, la multiplicación etc., para su solución se requiere que jerarquices las operaciones para que obtengas el resultado correcto, ¿qué tanto sabes de esto?
RECUERDA. Colocando paréntesis se puede variar el resultado de combinar varias operaciones.
De la expresión 7 × 3 + 2 × 5 – 6 obtén tres resultados diferentes, colocando paréntesis para
cambiar la prioridad de las operaciones.
129
MATEMÁTICAS
Compara tu trabajo con el de otros compañeros.
Observa el video, en él se mostrará cómo se jerarquizan las operaciones fundamentales. Después comenta con tus compañeros lo que te haya parecido
más importante.
Lee el texto:
JERARQUÍA DE OPERACIONES
Una correcta solución al obtener el resultado de un problema en donde se combinan las
operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación)
requiere el establecimiento de un orden en dichas operaciones.
Ejemplo:
El sueldo diario de un obrero que trabajó de lunes a vienes es de $15 000. Gastó esa
semana en comida $24 000 y en pasajes $10 000, además cobró $25 000 que le adeudaban,
¿cuánto dinero le quedó esa semana?
La expresión 15 000 × 5 – 24 000 – 10 000 + 25 000 indica las operaciones que se necesitan
para obtener el resultado correcto.
¿Cómo se debe calcular el resultado de esta expresión para que responda a la pregunta del
problema? Hazlo en tu cuaderno.
Para evitar confusiones en el momento de realizar el cálculo de las operaciones, se debe
llevar un orden al operar.
1. Toda cifra debe estar agrupada con un signo.
2. Se debe potenciar y radicar en orden, de izquierda a derecha.
3. Hay que dividir o multiplicar en orden, de izquierda a derecha.
4. Debe sumarse o restarse en orden, de izquierda a derecha.
Ejemplo:
Efectuar 8 + 6 ÷ 2 – 3 × 2 – 2
a)
Se efectúa primero la división y la multiplicación, de izquierda a derecha.
b)
Se realizan luego las sumas y las restas, de izquierda a derecha y se tiene:
130
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Por lo tanto, la solución a la expresión es = 3.
Efectuar 5 (–7 + 3) – 14.
Cuando una expresión tiene operaciones indicadas
dentro de un paréntesis, se procede a resolverlo de la
siguiente forma:
1.
Se resuelven los elementos contenidos dentro
del paréntesis.
2.
Se resuelve la multiplicación.
3.
Se resuelve la resta.
5
(–7
5
+
3)
(–4)
–
14
–14
–20
–14
–34
En el caso de que existan dos o más paréntesis, entonces, se empieza de adentro hacia
afuera.
Ejemplo: 4[( 4 + 3 2 ) ÷ (7 + 4 )] + 6
131
MATEMÁTICAS
1. Se resuelven primero los paréntesis:
4
[( 4
4
[
32)
+
11
4
÷
(7
÷
+
11
4)]
+
]
(+ 1)
6
+
6
6
4
6
Así, la solución a la expresión 4[( 4 + 3 2 ) ÷ (7 + 4 )] + 6 es = + 10.
Se concluye, entonces, que en toda expresión matemática se deben jerarquizar las operaciones que involucra, para poder llegar al resultado correcto.
La jerarquización de las operaciones señaladas se indica mediante el uso de paréntesis en
las expresiones.
Con un compañero(a) resuelve la expresión matemática:
[(40 ÷ 4) – ( 14 ÷ 2)] + (8 ÷ 2)
Muestra tus resultados a tu profesor, corrige si hay errores.
Forma una terna y resuelve lo siguiente:
Escribe en el paréntesis la letra que corresponde al resultado correcto de las siguientes
operaciones:
(
) (8 × 3) ÷ (6 × 4)
a) 1
b) 16
(
) 54 ÷ 3 ÷ 2 × 3
a) 27
b) 3
(
) [(32 × 4) ÷ 6 – (4 × 2)]
a) –2
b) 4
(
) 22 +
a) 24
b) 13
9 +1 × 4÷2
132
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Compara tus resultados con los de otra terna; si tienes errores, corrígelos.
De forma individual resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. (6 × 3) + [4 – 3 × 2 + (4 ÷ 2)] =
2. 20 ÷ 5 × 3 + 2 ÷ 2 × 2 + 2 – 1 =
3. [(7 × 3) ÷ (3 × 22)] –
25 ÷ 5 =
Compara tus resultados con los de la clave, corrige si tienes errores.
CLAVE
1. 18;
2. 15;
3. 32.
34
OTRA FORMA DE REPRESENTACIÓN
Literales
(98-1) Iniciación al uso de las literales
¿Sabes qué quiere decir A = l 2 ¿Has utilizado esta fórmula? ¿Para qué? ¿Qué significa la
letra A? ¿y la l? En ocasiones para expresar generalidades o patrones comunes a la solución de algunos problemas —que pueden tener datos diferentes pero conservan un esquema similar para resolverlos—, no basta usar cifras, sino que se usan literales llamadas expresiones algebraicas; ¿las has utilizado?
Observa el video. Te enterarás qué son las literales y cómo se usan. Luego
comenta brevemente con dos compañeros lo que hayas entendido del tema.
Lee con un compañero(a) el texto Literales.
Escribe en tu cuaderno en qué casos has empleado las literales en tus estudios anteriores.
LITERALES
Las matemáticas tienen su propio lenguaje: el lenguaje matemático. Se trata de un lenguaje
técnico en el cual no solamente se utilizan cifras para representar los números, sino también se
usan una serie de símbolos, como los de las operaciones fundamentales ( +, –, × , ÷, an,
a ).
Con el objeto de que se puedan generalizar y crear modelos que permitan resolver problemas con datos diferentes pero con idéntico esquema de solución, para representar los números se emplean, además de las cifras insustituibles, otros símbolos que faciliten su interpretación.
133
MATEMÁTICAS
Para dar a entender lo que esto significa, considérese el siguiente ejemplo.
Se tiene un terreno de forma rectangular que mide 4 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuál es la
medida de su contorno?
En casos como éste, es conveniente auxiliarse de una figura que represente al terreno, en la
cual se anotan las medidas en los lugares correspondientes, como se observa en el esquema siguiente:
4m
3m
3m
4m
Se sabe que en un rectángulo los lados opuestos tienen la misma medida y se puede obtener la medida de su contorno (o perímetro) sumando las medidas de los cuatro lados.
Entonces se tiene:
Medida del contorno: 4 m + 4 m + 3 m + 3 m = 14 m
Sin embargo, existe una infinidad de rectángulos con medidas diferentes. Las operaciones
que aquí se han realizado solamente sirven para obtener la medida del contorno de un
rectángulo que mide 4 m de largo y 3 m de ancho. Es necesario conocer una forma general
de obtener la medida del contorno de cualquier rectángulo.
En primer lugar, hay que recordar que al contorno de cualquier figura geométrica se le llama
perímetro y se denota con la letra P; además, se utilizan otras letras del alfabeto para representar el largo y el ancho de la figura.
Por ejemplo:
a
b
b
a
Para hacerlo así, es necesario convenir en que: a representa cualquier número entero
—fraccionario o mixto— que será la medida del largo de un rectángulo cualquiera.
b representa cualquier número (entero, fraccionario o mixto) que es la medida del ancho de
un rectángulo cualquiera. Entonces se tiene que:
134
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
P = a +a +b +b
Pero hay que considerar que la suma a + a es parecida a “la adición concreta” de dos objetos
cualesquiera de la misma naturaleza. Por ejemplo:
1 zapato + 1 zapato = 2 zapatos
1 lápiz + 1 lápiz = 2 lápices
entonces:
a + a = 2a
y b + b = 2b
Por lo tanto: P = 2a + 2b, lo cual significa que el perímetro de un rectángulo se obtiene
sumando el doble del largo (2a) con el doble del ancho (2b), o sea:
P = 2a + 2b
De lo anterior se puede obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo, como se
muestra a continuación:
a)
Rectángulo
largo: 6 m
y
ancho: 2 m
P = 2a + 2b
Se sustituye a y b por las medidas del rectángulo.
P = 2 (6 m) + 2 (2 m) = 12 m + 4 m = 16 m
b)
Rectángulo
largo: 7 m
y
ancho: 4 m
P = 2a + 2b
Sustituyendo:
P = 2 (7 m) + 2 (4 m) = 14 m + 8 m = 22 m
La expresión P = 2a + 2b sirve para obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo,
siempre y cuando se conozca lo que éste mide de largo y de ancho. Por supuesto, es necesario
sustituir correctamente a y b con las medidas del largo y ancho del rectángulo, y realizar las
operaciones indicadas.
Cuando esto ocurre, una expresión como P = 2a + 2b , se considera como una fórmula o una
135
MATEMÁTICAS
expresión algebraica que se puede aplicar para la obtención del perímetro de cualquier
rectángulo.
En matemáticas, a las letras P, a, b se les llama literales y su función es representar en forma
general a cualquier número.
En las fórmulas:
A=l2
A = bh
v =d
t
A bh
2
A =r2
etcétera, cada literal
representa cualquier número (natural, decimal, fracción común, negativo, etcétera).
El uso de las literales y de expresiones algebraicas tiene innumerables aplicaciones en el
estudio de las matemáticas.
Con tu compañero(a) comenta los casos en los que hayas utilizado literales.
Forma un equipo de trabajo y resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones:
a)
Si a = 5, entonces:
2a =
b)
4a =
5a =
m2 =
(m) (m) (m) =
m3 =
(2w + x) =
w =
x
w=
w
Si m = 3, entonces:
(m) (m) =
c)
3a =
Si w = 2;
x = 3, entonces:
(w) (x) =
Muestra tus respuestas a un integrante de otro equipo. Si hay dudas, consulta con tu profesor. En caso de error, corrige.
Con el mismo equipo de trabajo, encuentra el valor de la velocidad (v), la distancia (d) o el tiempo (t), de acuerdo con las fórmulas y los valores asignados
a las literales.
Fórmula : v = d
t
d = 450 m ;
t=5s
v=
Fórmula : d = vt
v = 12 m/s;
t = 10 s
d=
Revisa tus respuestas con las de los integrantes de otro equipo. Si es necesario, corrige.
136
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
En forma individual, encuentra el área (A) de algunos triángulos, dados los
valores de la base (b) y la altura (h), así como la fórmula respectiva.
a)
Fórmula A =
b)
c)
(b )(h )
2
b = 3 cm
h = 8 cm
b=7m
h = 12 m
A=
b = 9 cm
h = 7 cm
A=
A=
Compara tus resultados con los de la clave. Si tienes errores, corrígelos.
CLAVE
a) 12 cm 2;
b) 42 m 2;
c) 31.5 cm 2.
35
SIMPLIFICACIÓN DEL LENGUAJE
Escritura algebraica
(99-1) Manejo del lenguaje simbólico
Las matemáticas se expresan en su propio lenguaje. Para dominarlo, es necesario aprender
a traducir del lenguaje común al lenguaje simbólico, propio de esta ciencia, lo cual se puede
realizar mediante el uso de las literales y razonando adecuadamente.
Observa los videos 99 y 100 en los cuales se mostrará cómo es posible escribir
en un lenguaje simbólico aquello que está expresado en un lenguaje común o
natural. Luego, participa en una lluvia de ideas con todo el grupo. También
observarás cómo tabular valores numéricos de una expresión algebraica.
RECUERDA. Escribe las siguientes frases usando literales y los símbolos de las operaciones implicadas.
La suma de dos números cualesquiera es 24.
Si al producto de dos números cualesquiera le resto 3, el resultado es igual a 32.
El cuadrado de la suma de dos números.
El cubo de la diferencia de dos números.
Participa en una lectura comentada del siguiente texto:
137
MATEMÁTICAS
ESCRITURA ALGEBRAICA
En la resolución de muchos problemas se requiere aprender a sustituir literales de una fórmula
por los datos del problema, realizando, después, las operaciones indicadas. Esto es muy
frecuente en geometría cuando se realiza el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. También ocurre en otras ramas de las matemáticas y con muchas ciencias; sin embargo, existen
muchos otros problemas para los cuales no hay una fórmula que conduzca a la solución.
Cuando esto ocurre, es necesario razonar y así encontrar un camino que sea adecuado para
resolverlos. Aquí se requiere traducir el enunciado del problema —que está dado en un
lenguaje común— al lenguaje propio de las matemáticas, que es un lenguaje simbólico.
El manejo del lenguaje simbólico, como es natural, se logra estudiando desde lo más elemental —aplicándolo siempre que sea posible— hasta adquirir seguridad después de haber
practicado con cierta intensidad. Consideremos los siguientes ejemplos:
Lenguaje común
Lenguaje simbólico
Un número cualquiera
a
La suma de dos números
a+b
El cuadrado de la suma de dos números
(a + b)2
La diferencia de dos números
m–n
El cuadrado de la diferencia de dos números
(m – n)2
El producto de dos números
cd (cuando se usan
literales, no se requiere
el signo para indicar la
multiplicación).
El cociente de dos números
a
c
El cubo de un número
w3
La raíz cuadrada de un número
c
El doble de un número
2x
El triple de un número
3y
La mitad de un número
a
2
138
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
La tercera parte de un número
z
3
Ahora se resolverán y tabularán problemas para ilustrar de manera sencilla la aplicación del
lenguaje simbólico.
1.
Héctor tiene cierta cantidad de dinero. Si recibe $200 000, la cantidad que tiene
Héctor se triplica. ¿Cuánto tiene originalmente Héctor?
Haciendo uso del lenguaje simbólico, se tiene:
Cantidad que posee Héctor: x
x + 200 000
Esa cantidad aumentada en $200 000:
La suma de esas dos cantidades es el triple de lo que tenía Héctor:
x + 200 000 = 3x
Cuando se tiene una suma de dos sumandos, entonces se obtiene uno de estos si de la
suma se resta el otro, por lo tanto:
3x – 200 000 = x
y
3x – x = 200 000
De estas dos expresiones, la que resulta útil para avanzar hacia la solución del problema es:
Si de 3x se quita una x, quedan dos, entonces:
2x = 200 000
Ahora si 2x equivale a $200 000, una x equivale a la mitad de 200 000, que es 100 000, o sea:
x = 100 000
Esto significa que la cantidad que tiene Héctor es $100 000
Esto es cierto porque $100 000 + $200 000 = $300 000 y 300 000 es el triple de
100 000, o sea, 3 veces 100 000
2.
(
)
La fórmula B + b h representa el área de una figura plana. ¿Cuál es esa figura?
2
Haz una representación de ella y ubica cada uno de los literales en el sitio correspondiente.
(
)
Tabular la fórmula A = B + b h , para los siguientes valores de B, b y h:
2
B = 8, b = 2, h = 3
B = 6, b = 3, h = 2
139
MATEMÁTICAS
B = 5, b = 4, h = 4;
B = 4, b = 3, h = 2;
(
)
Sustituyendo los valores en la fórmula A = B + b h se obtiene:
2
para B = 8, b = 2 y h = 3, A = 8 + 2 3 = 10 3 = 15
2
2
para B = 6, b = 3 y h = 2, A = 6 + 3 2 = 9 2 = 9
2
2
para B = 5, b = 4 y h = 4, A = 5 + 4 4 = 9 4 = 18
2
2
para B = 4, b = 3 y h = 2, A = 4 + 3 2 = 7 2 = 7
2
2
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
Tabulando estos valores, se tiene que:
B
8
6
5
4
b
2
3
4
3
h
3
2
4
2
15
9
18
7
(
)
A = B +b h
2
De esta forma, se pueden tabular los valores numéricos de cualquier expresión algebraica
cuando se asignan determinados valores a sus variables.
3.
Halla los valores numéricos de la expresión algebraica 2x –1 para los valores
x = 1, 2, 3, 4, 5.
Tabulando los valores de la variable x y los valores numéricos de la expresión 2x – 1, se
obtiene:
x
1
2
3
4
5
Valores de
la variable
2x – 1
1
3
5
7
9
Valores
numéricos
Si tienes alguna inquietud, coméntala con tu profesor(a).
140
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Con un compañero(a) relaciona las expresiones del lenguaje común, que están
en la columna izquierda con las de la derecha (expresadas en lenguaje
simbólico), colocando dentro de cada paréntesis el número que corresponda.
n
4
1.
La mitad de un número
(
)
2.
La suma de dos números
(
) a2
3.
El cuadrado de un número
(
)
4.
El cociente de dos números
(
) 2ª
5.
La raíz cuadrada de un número
(
)
6.
La cuarta parte de un número
(
)
(
) x+y
b
d
b
2
m
Muestra tus respuestas a un compañero de otra pareja, y si tienes errores, corrígelos.
Con la misma pareja traduce en tu cuaderno, del lenguaje común al lenguaje
simbólico, las siguientes expresiones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
La diferencia de los cuadrados de dos números.
El producto de dos números.
El triple de un número.
La tercera parte de un número.
El cubo de un número.
La suma de los cuadrados de dos números.
Muestra tus respuestas a los compañeros de otra pareja. Si fallaste, corrige.
1.
a)
c)
e)
g)
En forma individual, en tu cuaderno, expresa en lenguaje simbólico lo que
se te pide.
La suma de tres números.
La diferencia de dos números es 8.
Un número, más el doble de otro.
El doble de un número más el triple de otro.
b)
d)
f)
La suma de dos números es 27.
Un número, más 5.
Un número, menos 3.
2. En forma individual, tabula los valores numéricos de la expresión v = d .
t
141
MATEMÁTICAS
para los valores de d y t que se dan a continuación: d = 35; t = 2; d = 48;
t = 3; d = 43; t = 5; d = 37; t = 6,
Compara tus respuestas con las de la clave y corrige si tienes errores.
CLAVE
v =
d
t
2
t
35
d
6.1
8.6
16
17.5
6
5
3
37
43
48
2.
1.
a) b + c + d;
e) c + 2m;
b) m + n = 27;
f) y – 3;
c) x – y = 8;
g) 2a + 36.
d) a + 5;
Nota: las literales pueden ser diferentes a las de la clave, siempre y cuando la expresión sea
la que se pide.
36
(101-1)
UN SUMANDO DESCONOCIDO
Ecuaciones de la forma a + x = b y a – x = c
Obtención del valor de un sumando
En las matemáticas, la tendencia fundamental del álgebra es anotar de manera abreviada
las operaciones que deben efectuarse y sus resultados, de una forma simple y perfeccionada que haga claro, sencillo y rápido su manejo.
RECUERDA.
1.
2.
3.
4.
Si a un número se le suma su simétrico, ¿cuál es el resultado?
El inverso aditivo de un número, ¿cómo se obtiene?
¿Cómo representas la expresión: un número cualquiera disminuido en 4 unidades?
Calcula:
a = (–3) – [(–5) + (+3)] + [(+7) – (+11)]
b = (+22) – [(+38 ) – (–57) – (+14)]
c = 8 – (–8) + [(–3 ) – (+3)] – [(+1) – (–1)]
Compara tus respuestas con otro compañero cercano. En caso de duda, pregunta a tu
profesor(a).
142
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Lee con dos compañeros(as) el siguiente texto:
ECUACIONES DE LA FORMA a + x = b y a – x = c
Al ir a pagar la reparación de su carro le presentaron al señor Juan la siguiente cuenta que
estaba manchada de tinta. ¿Se podrá saber cuánto le cobraron de mano de obra al señor
Juan?
Con tus compañeros(as) de equipo resuelvan el problema.
TALLER AUTOMOTRIZ
“VELÁZQUEZ”
CUENTA DE GASTOS DE REPARACIÓN MODELO 5101
PROPIETARIO: Sr. Juan
Refacciones
$1 985 000
Mano de obra
Total
$2 400 000
Para saber el costo de mano de obra, se plantea la siguiente situación:
$1 985 000 +
= $2 400 000
¿Qué número sumado con $1 985 000 da como resultado $2 400 000?
Para contestar esta pregunta, se tiene que hacer una resta de la siguiente forma:
2 400 000 Total
– 1 985 000 Refacciones
415 000 Mano de obra
El número 415 000 sumado con $1 985 000, da como resultado $2 400 000. Por lo tanto, se
puede concluir que le cobraron $415 000 por mano de obra, porque
143
MATEMÁTICAS
$1 985 000 + $415 000 = $2 400 000
Las expresiones como 1 985 000 +
= 2 400 000 reciben el nombre de ecuaciones.
Una ecuación cualquiera, como por ejemplo 9 +
= 20, se puede escribir de la forma
9 + x = 20, en donde se utiliza una letra o variable que representa el número desconocido en
lugar del cuadro.
En las ecuaciones se distinguen dos partes importantes: todo lo que está a la izquierda del
signo = se llama primer miembro de la ecuación y lo que está en la parte derecha del signo
= se llama segundo miembro.
Obsérvese los ejemplos siguientes:
x
+
20
primer miembro
=
45
segundo miembro
28
primer miembro
=
x –
12
segundo miembro
Una ecuación es una igualdad que sólo se satisface para determinado o determinados valores de la variable o variables que en ella intervienen; es decir, cuando se sustituye la variable
o variables por esos valores, se obtiene el mismo valor numérico para los dos miembros de
la ecuación.
Una igualdad tiene varias propiedades, pero en esta sesión sólo se mencionarán las que
corresponden a este tema.
Para una mejor comprensión de ellos, dibujen una balanza de brazos iguales en equilibrio,
para simular una igualdad.
En sus cuadernos, vayan haciendo los cambios en los platillos de la balanza para ilustrar
cada una de las propiedades.
144
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
1.
Los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares.
Si a + b = c, entonces, c = a + b
2.
Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primero
es igual al tercero.
Si a = b y b = c, entonces, a = c
3.
Si dos igualdades tienen un miembro común, los otros dos miembros son iguales.
Si a + b = c
4.
y
c = d + f, entonces, a + b = d + f
Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o se les resta el mismo número, la
igualdad subsiste.
Si a = b, entonces, a + c = b + c
Si a = b, entonces, a – c = b – c
Con esta propiedad se puede resolver cualquier ecuación de la forma a + x = b y
a – x = c en donde a, b, y c son constantes y x es la variable o incógnita.
Ejemplos:
Vayan resolviendo en sus cuadernos cada una de las ecuaciones. Leer no es suficiente para
aprender matemáticas, es necesario practicar.
Considérese la ecuación x + 37 = 82, en donde x es la incógnita.
Buscamos obtener otra igualdad en la cual la x quede sola en uno de los miembros de la
ecuación. Entonces es necesario “anular” aquellos términos que “acompañan” la incógnita.
Para resolverla, primero se resta 37 a sus dos miembros y se tiene que:
x + (37 – 37) = 82 – 37
x + 0 = 82 – 37
x = 45
La solución de esta ecuación es 45. Para probar esto, se sustituye la x por el valor encontrado y se observa que efectivamente
145
MATEMÁTICAS
x + 37 = 82
45 + 37 = 82
82 = 82
De acuerdo con lo anterior, se puede concluir que para resolver cualquier ecuación de la
forma a + x = b, basta con aplicar el inverso aditivo de un número.
Recuérdese que el inverso aditivo de un número es aquel que sumado con el número original
da como resultado cero. Así –5 es inverso aditivo de +5, porque
+5–5=0
Obsérvense con mucha atención los siguientes ejemplos:
a)
x + 258 = 396; aplicando el inverso aditivo de 258, se tiene:
x + 258 – 258 = 396 – 258. Simplificando, resulta:
x = 38
Comprobación:
38 + 258 = 396
396 = 396
b)
x + 35 = 112; aplicando el inverso aditivo de 35, se tiene:
x + 35 – 35 = 112 – 35. Simplificando, resulta:
x = 77
Comprobación:
77 + 35 = 112
112 = 112
146
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
c)
x – 14 332 = 12 812; aplicando el inverso aditivo de –14 332, se tiene:
x – 14 332 + 14 332 = 12 812 + 14 332, simplificado, resulta:
x = 27 144
Comprobación:
27 144 – 14 332 = 12 812
12 812 = 12 812
d)
Si a un número se le resta 86, el resultado es 392. ¿Cuál es ese número?
Resolución:
Sea x el número que se busca, entonces: x – 86 = 392 es la ecuación correspondiente.
Aplicando el inverso aditivo, se tiene:
x – 86 + 86 = 392 + 86. Simplificando, resulta:
x = 478
Comprobación:
478 – 86 = 392, por lo tanto
392 = 392
El número es 478.
Comenten con otros grupos las inquietudes que les plantea este interesante tema.
Observa atentamente el video. En él afianzarás lo que sabes acerca de las
ecuaciones y cómo resolverlas.
Forma una pareja y comenta las respuestas a las preguntas siguientes:
1.
¿Cuáles son las dos partes que se distinguen en una ecuación?
2.
Transforma esta ecuación en otra más sencilla: a + x + 8 = 8 + 17 – 3
3.
Traduce mediante una ecuación el siguiente problema:
En una caja había 48 chocolatinas de las cuales se vendieron 36.
¿Cuántas chocolatinas quedan?
147
MATEMÁTICAS
4.
Inventa un problema que origine la siguiente ecuación: x – 8 = 43
Compara tus respuestas con las de otras parejas; en caso de duda, consulta con tu profesor(a).
Continúa con tu compañero(a) y resuelve en tu cuaderno las ecuaciones siguientes:
Ecuación:
Resultado:
Comprobación:
a)
x – 56 = 27
x=
b)
m – 125 = 448
m=
c)
z + 3.485 = 21.78
z=
d)
34.377 = x + 5.635
x=
e)
La suma de dos números es 476. Si uno de ellos es 389, ¿cuál es el otro número?
Compara tus resultados con los de otras parejas. Si tienes dudas, pregunta a tu profesor(a).
En forma individual, resuelve en tu cuaderno las ecuaciones siguientes:
1.
215 = a – 59
a=
2.
x + 2 458 = 2 494
x=
3.
x – 1.040 = 1.076
x=
4.
x – ( –25) = 84
x=
5.
(–36) + x = –15
x=
Consulta tus resultados con los de la clave. Si tienes errores, corrige.
CLAVE
1. a = 274;
2. x = 3;
3. x = 2.116;
4. x = 59;
5. x = 21.
148
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
37
RESUÉLVELOS TÚ MISMO
Problemas que se resuelven planteando una ecuación
(102-1) Aplicar la resolución de ecuaciones
Existen diferentes métodos para resolver problemas y cada persona puede emplear el que
sea de su agrado. De esta forma sólo se tiene que comprender el problema, definir datos e
incógnitas y establecer la ecuación o ecuaciones que deben resolverse para llegar a la solución.
RECUERDA. ¿Es 27 la solución de cada una de las siguientes ecuaciones? Compruébalo
en cada inciso y completa las expresiones poniendo sí o no en los espacios.
a)
x + 39 = 66
27
es solución porque 27 + 39
es igual a 66
b)
475 + g = 500
27
es solución porque 475 + 27
es igual a 500
c)
298 = 271 + c
27
es solución porque 271 + 27
es igual a 298
Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo; si te equivocaste corrige los
errores.
Observa con atención el video que te mostrará cómo plantear ecuaciones para
resolver problemas.
Forma una terna, resuelve y comprueba en tu cuaderno los problemas siguientes por medio de ecuaciones.
a)
b)
La suma de dos números es 47.65 si uno de ellos es 38.9, ¿cuál es el otro?
Si a un número se le resta 0.52, el resultado es 5.24, ¿cuál es el otro número?
Compara tus resultados con los de otras ternas. En caso de duda, pregunta a tu profesor(a).
En forma individual, resuelve en tu cuaderno los problemas siguientes por medio de ecuaciones.
1.
Antes de ponerse a dieta, una señora pesaba x kilogramos. Si en la dieta reduce 15 kg
y llega a pesar 56 kg, ¿cuál era su peso inicial?
2.
De un tanque lleno de agua se utilizan 210 litros. Si después de eso aún le quedan 420
litros, ¿cuál es la capacidad del tanque?
3.
Se calcula que una cosecha será de x toneladas de maíz. Si debido a una sequía sólo
se cosecharon 450 toneladas y se sabe que se perdieron 85, ¿cuánto maíz se habría
cosechado si no hubiese habido sequía?
149
MATEMÁTICAS
Compara tus respuestas con las de la clave para que verifiques si tienes errores. En caso de
duda, consulta con tu profesor.
CLAVE
2. 630 l ;
3. 535 toneladas.
(103-1)
1. 71 kg;
38
UN FACTOR DESCONOCIDO
Ecuaciones de las forma ax = b y a ÷ x = c
Obtención del valor de un factor
Muchos problemas se traducen al lenguaje matemático para buscar su solución y, al hacerlo,
se obtienen ecuaciones. Al plantear y resolver acertadamente la ecuación, queda solucionado el problema. De esto se desprende que el manejo adecuado de las ecuaciones es necesario.
RECUERDA. Resuelve mentalmente el siguiente problema, luego plantea en tu cuaderno la
ecuación correspondiente y resuélvela.
Sebastián tenía 82 canicas. Regaló algunas a su hermano y ahora tiene 53. ¿Cuántas canicas regaló?
Revisa tu solución con un compañero de otra fila y corrige si es necesario.
Observa el video. Luego comenta con el compañero más cercano lo que consideres interesante.
Integra una terna y realiza una lectura comentada del texto:
ECUACIONES DE LA FORMA ax = b y a ÷ x = c
Pedro estaba estudiando para un examen de Física. Al llegar al tema de la densidad, se
encuentra con este problema:
¿Cuál es el volumen de 81.9 g de aceite de olivo si su densidad es de 0.91?
En tus apuntes encuentra qué es densidad y la fórmula para obtenerla, cuando se conocen la masa (m) y el volumen (v) de un cuerpo.
150
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
d = m masa por unidad de volumen
v
Se tiene entonces:
d = 0.91
g
;
cm 3
m = 81.9 g ;
v=x
O sea:
0.91
g
81.9 g
=
3
x
cm
Las unidades en que se mide la masa y la densidad (g y
g
) por comodidad, no se
cm 3
manejan durante el procedimiento para resolver la ecuación, solamente se trabaja con los
números y al final se escribe la unidad correspondiente al resultado.
Esta expresión es una ecuación en la cual el primer miembro es 0.91 y el segundo es 81.9 .
x
La igualdad tiene la propiedad simétrica que dice: los dos miembros de una igualdad pueden
cambiar sus lugares, sin que ésta se altere. Así que se puede expresar como:
81.9 = 0.91
x
Como 81.9 = 0.91 es lo mismo que 81.9 ÷ x, la igualdad puede verse 81.9 ÷ x = 0.91
x
Se trata de una ecuación de la forma a ÷ x = c, donde a y c representan cantidades conocidas siendo x una cantidad desconocida. Es una división en la que se conoce el dividendo
(81.9) y el cociente (0.91), pero se desconoce el divisor (x).
81.9
dividendo
÷
x
divisor
=
0.91
cociente
En toda división, el dividendo es un producto de dos factores: el divisor y el cociente.
Por lo tanto:
El dividendo entre el divisor es igual al cociente.
D÷d=c
151
MATEMÁTICAS
Y el dividendo entre el cociente es igual al divisor
D÷c=d
Como en la ecuación se desconoce el divisor, al aplicar D ÷ c = d se tiene:
81.9 ÷ 0.91 = c
Por la propiedad simétrica de la igualdad x = 81.9 ÷ 0.91
Como 81.9 = 819 décimos, si cada 10 se divide en diez partes se tienen 8 190 centésimos,
mientras que 0.91 = 91 centésimos, entonces se puede dividir mediante el algoritmo de los
números naturales.
o también
8 190
91
0 000
90
90
91 8 190
000
x = 90
Lo cual se puede comprobar porque:
0.91 × 90 = 81.90 = 81.9
De acuerdo con esto, la solución del problema es 90 cm3.
Por otra parte, se aprecia que en una ecuación de la forma a ÷ x = c, la solución es:
x=a÷c
Por ejemplo, podríamos decir: “si en una división el dividendo es 28 y el cociente, 7, ¿cuál es
el divisor?”
28 ÷ x = 7
x = 28 ÷ 7
x=4
Comprobación:
4 × 7 = 28
Considérese ahora el siguiente problema:
¿Se han comprado 12 gallinas en $216 000. ¿Cuál es el precio de cada una?
152
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Aquí se entiende que 12 veces el precio de una gallina da como resultado $216 000. Por lo
tanto, el enunciado del problema se puede expresar como:
12x = $216 000, en donde x representa el precio que se desconoce.
La ecuación 12x = 216 000 tiene la forma ax = b, en donde a y b representan cantidades
conocidas, siendo x una cantidad desconocida.
12x = 216 000
Se trata de un producto de dos factores, en donde uno de ellos es desconocido. Como el
valor de uno de los factores se obtiene dividiendo al producto entre el otro factor, se tiene:
x = 216 000 ÷ 12
216 000 12
096
18 000
00
entonces x = 18 000
Al realizar 18 000 × 12 = 216 000, se comprueba que 18 000 es la solución.
O sea que el precio de cada gallina es de $18 000.
Y también se aprecia que la solución de una ecuación de la forma ax = b es:
x=b÷a
Por ejemplo:
42x = 126
x = 126 ÷ 42
x=3
Comprobación: 42 × 3 = 126
Las ecuaciones se aplican en la solución de muchos problemas. Por lo tanto es conveniente
lograr comprensión y soltura en el tratamiento de las mismas.
Con la misma terna, resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones.
a)
En la ecuación ax = b, ¿qué representan a y b?
b)
En la ecuación a ÷ x = c, ¿qué representa x?
c)
En la ecuación ax = b, ¿qué representa cada una de las literales?
153
MATEMÁTICAS
d)
La solución de la ecuación ax = b, ¿cuál es?
e)
La solución de la ecuación a ÷ x = c, ¿cuál es?
Muestra tus respuestas a un compañero de otra terna y, si tienes errores, corrígelos.
Continúa en terna y encuentra la solución de los siguientes problemas mediante el planteamiento de una ecuación.
a)
En una escuela se vendieron 1 285 estampillas de la Cruz Roja. Si se recaudaron
$1 542 000, ¿cuál es el valor de cada estampilla?
b)
El área de un terreno de forma rectangular es de 140 m2 y su altura es de 7 m, ¿cuánto
mide de base?
Revisa tu trabajo con los integrantes de otra terna. Corrige si es necesario.
En forma individual, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas mediante el planteamiento de las ecuaciones correspondientes.
a)
En un terreno de 3 250 m2 se han construido 13 casas. Si se destinó la misma cantidad
de terreno para todas las casas, ¿cuántos metros cuadrados se emplearon para cada
una?
b)
La producción de una fábrica de bombillos es de 87 000 al mes; si se distribuyen en 15
bodegas que tienen la misma capacidad, ¿cuántos bombillos se guardan al mes en
cada bodega? Compara tus resultados con los de la clave y, si se requiere, corrige.
b) 5 800 bombillos.
39
a) 250 m 2;
CLAVE
RESUÉLVELOS TÚ MISMO
Problemas que se resuelven planteando una ecuación
(104-1) Aplicar la resolución de ecuaciones
La representación simbólica de la relación que existe entre cantidades conocidas y desconocidas (de las que se habla al describir una situación problemática) representa dar un gran
paso hacia la solución del problema.
Observa el video y, cuando termine, intercambia ideas con dos compañeros en
relación con lo que te haya parecido más importante.
154
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Forma un equipo de trabajo y plantea en tu cuaderno una ecuación que represente el enunciado de cada uno de lo siguientes problemas.
a)
Un bus recorrió 980 km en 14 h, ¿cuál es su velocidad?
b)
Un comerciante ha vendido 28 cajas de aceite por $2 688 000, ¿a qué precio vendió
cada caja?
c)
En una construcción se han pegado 84 840 tabiques en 7 días. ¿Cuántos tabiques se
han colocado cada día?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros de otro equipo y, en caso de error,
corrige.
Con el mismo equipo de trabajo, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
Plantea la ecuación y verifica por medio de la calculadora de bolsillo.
a)
Un automóvil recorrió 1 800 km a una velocidad promedio de 150 km por hora, ¿cuántas horas duró el recorrido?
b)
El comité de acción social de una escuela mandó hacer 54 uniformes para los participantes en una tabla rítmica y pagó $1 990 000 en total. ¿Cuál fue el costo de cada
uniforme?
Revisa tus resultados con los de otro equipo. Los errores que encuentres, corrígelos.
Individualmente, resuelve y comprueba los siguientes problemas en tu cuaderno. Para cada uno de ellos plantea la ecuación que los represente en lenguaje
simbólico. Verifica las soluciones utilizando tu calculadora de bolsillo.
a)
Los padres de familia de una escuela primaria mandaron impermeabilizar los techos de
las aulas y pagaron $1 955 000. Si cada uno aportó $85 000, ¿cuántos padres de
familia cooperaron?
b)
En una ferretería hay un recipiente que contiene 151.4 l de aguarrás. Para ponerlo a la
venta, lo repartieron en 40 envases con igual capacidad, ¿qué cantidad de aguarrás
hay en cada envase?
c)
Las autoridades de una comunidad organizaron un concierto con motivo del inicio de la
Navidad. Asistieron 1 023 personas y se recaudaron $8 184 000, ¿cuál fue el costo de
la entrada?
Compara tus resultados con los de la clave. Si no coinciden, rectifica y corrige donde sea
necesario.
155
MATEMÁTICAS
Puedes usar tu calculadora para verificar.
CLAVE
a) 23 padres de familia;
b) 3.785 l ;
c) $8 000.
40
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR
LAS MATEMÁTICAS
(105-1) Repaso parcial
Integración de los conocimientos adquiridos
Afirmar los conocimientos es muy conveniente. Una forma de lograrlo es repasar los temas
estudiados con anterioridad, ya que al hacerlo se aprecian con mayor claridad algunos
aspectos que pueden impedir que el manejo y aplicación de los conceptos sea eficaz.
Observa el video, en el cual se presentarán algunos temas de este núcleo que
ya has visto. Al término del programa, intercambia ideas con el grupo en relación con los aspectos que más te interesan.
Forma una terna y resuelve los siguientes ejercicios.
1.
En las siguientes expresiones indica cuál es la operación que debe realizarse primero.
Escríbelas en tu cuaderno y halla sus resultados.
a)
11 + 6 × 52 – 3
b)
(4 + 7) + 3
c)
20 + [(60 – (5 – 3))]
d)
Simplifica la expresión (54 – 36) 11
e)
Sustituye el valor de las literales en las siguientes expresiones y encuentra las respuestas correspondientes.
m
1
2
–4
n
–3
5
1
m+n
m–n
Revisa tus respuestas con un compañero de otra terna. Si hay errores, corrígelos.
156
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Continúa en terna para que resuelvas y compruebes las siguientes ecuaciones
en tu cuaderno. Verifica las soluciones en tu calculadora.
f)
23 + x =138
g)
82 – x = 10.25
h)
14x = 9.8
i)
42 ÷ x = 1.5
Muestra tus resultados a los integrantes de otra terna y corrige lo que sea necesario.
Con un(a) compañero(a) realiza lo que se te pide. Trabaja en tu cuaderno.
1.
Traduce al lenguaje simbólico las siguientes expresiones del lenguaje común.
j)
El doble de un número, menos el triple de otro.
k)
La mitad de una cantidad, menos el cuadrado de otra.
l)
La edad de una persona es igual a la tercera parte de la edad de otra, menos 5 años.
m)
El cuadrado de un número más 8 es igual a 24.
n)
Un número más su mitad es igual a 13.5
2.
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, Para cada uno plantea la ecuación
correspondiente a su enunciado. Verifica la solución por escrito y con tu calculadora,.
o)
Un comerciante ganó $1 895 000.25 durante la primera semana de cierto mes. Al
terminar, sus ganancias habían ascendido a $6 230 726.75, ¿cuánto ganó después de
esa primera semana?
p)
En una escuela primaria se inscribieron 1 028 alumnos y durante el año se retiraron 87,
¿cuántos alumnos terminaron el curso?
q)
José compró un terreno en $28 250 000. Después de 9 años lo vendió en $113 000 000,
¿cuántas veces ha aumentado el valor original del terreno?
r)
Un grupo de 23 personas organizan una excursión, para lo cual alquilan un transporte
que les cobra $1 955 000 por el viaje, ¿Cuánto tiene que pagar cada persona?
Compara tus respuestas con los de la clave y corrige lo que sea necesario.
157
MATEMÁTICAS
m
1
2
–4
a) 52;
e)
y −5
l) x =
;
3
n) y +
m) c2 + 8 = 24;
i) x = 28;
h) x = 0.7;
g) x = 71.75;
f) x = 115;
r) $85 000
q) 4 veces;
p) 941 alumnos;
d) 198;
c) (5 – 3);
b) (4 + 7);
j) 2a – 3b;
m–n
4
–3
–5
m+n
–2
7
–3
n
–3
5
1
y
= 13.5 ;
2
41
m
k)
− n2;
2
o) $1 065.35;
CLAVE
¡DEMUESTRA QUE SABES!
Demostración del aprendizaje dado
(106-1) Evaluación personal de los avances logrados
En esta sesión podrás conocer lo que has asimilado respecto a los números con signo y los
temas de preálgebra.
Ten presente que en las evaluaciones de núcleo se trabaja simultáneamente con el video,
con el libro de matemáticas y con tu cuaderno; en este último deberás contestar las preguntas que se formulen.
Observa la información que presenta el video. Es importante para tu evaluación. Atiende atentamente las instrucciones para resolver la primera parte del
cuestionario.
I.
Haz este cuadrado en tu cuaderno y escribe en el recuadro de cada casilla el número
de la pregunta correspondiente.
–35
()
PARÉNTESIS
[]
LETRAS
ADICIÓN
0
<
31
ENTEROS
POSITIVOS
POTENCIA
Obtén con los números de los recuadros las 3 sumas horizontales, las 3 sumas verticales y
las 2 sumas diagonales. Si en todas obtienes 15, las respuestas de la primera parte son
correctas.
158
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
II. Escribe en tu cuaderno la frase completa y correcta que se produce en cada
uno de estos ejercicios.
1.
a)
c)
2.
a)
3.
a)
4.
a)
Se relacionan con las ganancias en una transacción comercial:
Enteros positivos
Enteros negativos
b) El cero
d) Las operaciones
Números que en la recta numérica se encuentran a la misma distancia del cero pero en
sentidos opuestos.
positivos
b) negativos
c) simétricos
d) naturales
Es una aproximación de la suma –507 con –890
300
b) –1 400
c) –300
d) 1 400
Es el perímetro de un cuadrado que mide por lado 5 cm.
25 cm
b) 16 cm
c) 9 cm
d) 20 cm
5.
Representa el triple de un número aumentado en 8 unidades.
a)
x +8
3
b) x + 8
3
c) 3x + 8
d) 3 (x + 8)
III. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla, ten presente que el área del rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura:
A = (b) (h)
a)
b)
c)
b
3
6
h
2
6
A
24
54
IV. Escribe en forma algebraica las siguientes expresiones.
d)
La suma de tres números
e)
El doble de un número
f)
El cociente de dos números
V. Efectúa las siguientes operaciones:
g)
(4 + 9) – (8 × 7 )=
159
MATEMÁTICAS
h)
4 + (9 – 8) × 7 =
i)
(4 + 9 – 8) × 7 =
j)
¿Cómo son los números y los signos de las operaciones?
k)
¿Cómo fueron los resultados de las tres operaciones?
l)
¿Por qué?
Espera las indicaciones de tu profesor para calificar.
42
SIEMPRE POSITIVOS
(22)
Producto de enteros
Multiplicación de enteros con igual signo
Multiplicar números positivos y negativos requiere de un cuidado especial; en esta sesión
conocerás los casos de multiplicación de números enteros donde el producto siempre es
positivo.
RECUERDA. Contesta las siguientes preguntas:
a)
¿Cuáles son los elementos de una multiplicación?
b)
¿Cuál es la diferencia entre el conjunto de los números naturales y el de los enteros?
c)
¿Qué relación puedes establecer entre estos dos conjuntos de números?
d)
¿Podrías decir que ya sabes cómo multiplicar dos enteros positivos?
En seguida, discute con tus compañeros de grupo y tu profesor sobre la idea principal del
programa.
Reúnete en equipo de tres compañeros y realiza una lectura comentada del
texto siguiente:
PRODUCTO DE ENTEROS
Dado que en la multiplicación de números enteros se manejan enteros positivos y enteros
negativos, se pueden presentar los casos siguientes:
1.
Los factores tienen el mismo signo.
2.
Los factores tienen signos diferentes.
160
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Para facilitar la comprensión de la multiplicación entre enteros y especialmente saber cuál es
el signo del producto, vamos a hacer las siguientes consideraciones.
•
•
Multiplicar por 2 o duplicar se simboliza +2x
Duplicar y cambiar de sentido se simboliza –2x
Hemos definido así dos operaciones: multiplicar por +2 y multiplicar por –2.
1.
Representemos en la recta numérica el procedimiento de aplicarle al entero +4 las dos
operaciones anteriormente definidas.
Trabaja simultáneamente en tu cuaderno, no te conformes con la mera lectura. Ya sabes que
para aprender es necesario practicar.
a)
(+2) × (+4), ¿cuál es el duplo de +4?
(+2) × ( +4) = +8.
b)
(–2) × (+4), ¿cuál crees que será el resultado.
(–2 ) × (+4) = –8.
2.
c)
El 4 se duplica.
El 4 se duplica y se invierte el sentido de la flecha.
Ahora veamos qué pasa cuando al entero (–4) le aplicamos las operaciones +2x
y –2x
(+2) × (–4), ¿cuál crees que será el resultado?
161
MATEMÁTICAS
(+2 ) × (–4) = –8.
a)
El –4 se duplica.
(–2) × (–4), ¿puedes dar el resultado y una explicación?
(–2) × (–4) = + 8. El –4 se duplica y se invierte el sentido de la flecha
Resumamos los cuatro casos:
Signos iguales
Signos diferentes
(+ 2) × ( +4) = +8
(+2) × (–4) = –8
(–2) × (–4) = +8
(–2) × (+4) = –8
¿Empiezas a elaborar alguna conclusión? ¡Escríbela!
3.
Resolvamos algunos problemas, utilizando los números enteros y sus operaciones.
a)
Si se considera el depósito en un banco como positivo, entonces, ¿cuál sería el estado
de cuenta de un señor que durante cinco días depositó $750 000.
Esta situación se resuelve con una multiplicación de números enteros, de donde:
(+ 5) (750 000) = 3 750 000
Observa que el uso de paréntesis evita utilizar el signo de la multiplicación ( × ).
Este producto también pudo haberse representado así:
(+5) 750 000
o también
5 × 750 000 o
+ 5 (750 000)
El estado de cuenta del señor después de los cinco días es de $3 750 000.
b)
Esta otra situación es bien especial: considerando un retiro bancario como negativo,
una persona retira del banco $500 000 diariamente durante seis días, ¿cuál era su
estado de cuenta antes de retirar estas cantidades?
162
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Nótese que hace retiros diarios (–$500 000) durante 6 días ya pasados (–6), entonces:
(–6)
Días pasados
c)
(–500 000) =
3 000 000
retiro
cantidad que tenía antes
Aplica la propiedad distributiva para resolver:
(–4) × [6 + (–5)]
(–4) × [6 + (–5)] = (–4) × 6 + ( –4) × (–5), operando en ambos miembros
(–4) ×
1
(-4)
1234567
1234567
1234567
= –24 +1234567
1234567
1234567
1234567
= –24 +1234567
1234567
¿Cuál número debe esconder la tarjeta para que se cumpla la igualdad?
Debe ser –20, porque:
(–4 ) = –24 + 20 entonces (–4) × (–5) = +20
Observa que 20 es el resultado de multiplicar los valores absolutos de (–4) y (–5):
I –4 I × I –5 I = 4 × 5 = 20
En resumen:
Para multiplicar dos enteros se multiplican sus valores absolutos. Si los números tienen igual signo, el resultado es positivo. Si tienen signos diferentes, el resultado es
negativo.
4.
¿Qué pasa cuando el 0 es factor?
En la multiplicación entre números naturales recuerda que el 0 es “un aniquilador” porque
anula al producto de los factores diferentes de él.
¿Crees que con los enteros puede pasar algo similar?
Veamos:
(0) × (–3)
0 × 5
(–5) × 0
5 × 0
Para todo número entero a, a × 0 es = 0
163
MATEMÁTICAS
Siguiendo con el mismo equipo de trabajo discute y resuelve los ejercicios que
a continuación se presentan:
1.
Representa en la recta numérica los siguientes productos:
(–3) × (2)
(–3) (–2)
3 × (–2 )
(2 × 5)
2.
Expresa a –16 de tal manera que:
−16 sea la suma de dos números enteros negativos.
−16 sea la suma de dos enteros de signos diferentes.
−16 sea la diferencia de dos números cuadrados.
−16 sea el producto de tres números enteros.
3.
Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
• Para lo que sea verdadero da un ejemplo.
• Para lo que sea falso da un contraejemplo, es decir, un ejemplo que muestre su
falsedad.
a)
El producto de un número por –1 es el opuesto de ese número.
b)
El producto de un número, diferente de 0, por su opuesto es negativo.
c)
El cuadrado de un número negativo es negativo.
d)
El cubo de un número negativo es negativo.
Compara tus respuestas con las de los demás equipos y corrige tus errores.
Haz en tu cuaderno los cuadros siguientes y en forma individual complétalos,
haciendo los cálculos mentalmente.
×
4
9
7
12
1
11
5
25
10
×
–5
–8
–1
–15
–2
–9
–4
–6
–20
Corrige los errores que hayas tenido, según los resultados que proporcione tu profesor.
164
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Observa con interés el video y discute con tus compañeros y con tu profesor en
qué aspectos se mejoró la comprensión de los conceptos propuestos en esta
sesión.
Encuentra, individualmente, los productos que se piden.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(26 ) (14) =
(–15) (–21) =
(–46) (–91) =
(80) (102) =
(–94) (–78) =
Un estanque se está desocupando a razón de 6 litros por hora.
a) Después de cinco horas, ¿cuántos litros menos tendrá el estanque?
b) Hace cuatro horas, ¿cómo estaba el contenido del estanque respecto al de ahora?
7.
La temperatura en París era –2 °C a las 8:00 a.m., en un día de otoño cuando la naturaleza
verde parece haberse secado (se empieza a dormir para despertarse en primavera). Al
anochecer la T.V. informó que hacía el triple de frío que en la mañana, ¿qué temperatura
marcaba el termómetro?
Comprueba tus resultados con la calculadora; si no coinciden, revisa tus procedimientos y la
clave.
CLAVE
1. 364;
2. 315;
3. 4 186;
6. a) 30 litros menos, b) 24 litros más;
4. 8 160;
7. –6 °C
5. 7 332;
43
¿POSITIVO O NEGATIVO?
(23)
Ley de los signos
Establecimiento de la ley de los signos
Ya viste cómo diversas situaciones nos llevan a multiplicar números enteros. ¿Qué se puede
aplicar de la multiplicación de números naturales? ¿Qué es diferente? ¿Cuál es la forma
más práctica de hacerlo? En esta sesión ampliarás las respuestas a estos interrogantes.
RECUERDA. Resuelve con un(a) compañero(a), mentalmente, las siguientes multiplicaciones:
(+4) (+3) =
(–5) (–4) =
–(3) ( 0) =
(–1) (–1) =
(+1) (+2) =
(0) (3) =
Intercambien sus resultados con los de otra pareja. Si hay diferencias, encuentren las explicaciones y corrijan donde sea necesario.
165
MATEMÁTICAS
Lee en silencio el texto:
LEY DE LOS SIGNOS
En la multiplicación de números enteros, se emplean las mismas tablas de multiplicar que se
usan para los números naturales. Pero ya vimos que debe establecerse también si el producto es positivo o negativo. Ejemplo:
Un empleado pierde $2 500 cada vez que tiene un retardo en la hora de entrada a su trabajo.
Ha llegado tarde durante cuatro días en un mes. ¿Cuánto dinero ha perdido ese mes?
Una forma de obtener la respuesta es realizar una adición.
( –2 500) + (–2 500) + (–2 500) + (–2 500) = –10 000
Esta adición equivale a una multiplicación en la cual los factores son cuatro y –2 500, sin
importar el orden. Por lo tanto:
4 (–2 500) = –10 000
y
– 2 500 × 4 = –10 000
Se observa, como ya lo habíamos dicho, que si uno de los factores es positivo y el otro
negativo el producto es negativo.
Lo que hasta aquí se ha expresado con respecto de la multiplicación de enteros hace notorio
que hay dos casos diferentes.
1.
Cuando los factores tienen el mismo signo.
2.
Cuando los factores tienen diferente signo.
Repasemos estos casos, realizando los siguientes productos:
a)
Multiplicar
(+4) (+2)
b)
Multiplicar
(–3) (–2)
c)
Multiplicar
(–5) (+2)
d)
Multiplicar
(+3) (–4)
Hagamos una interpretación del significado de cada producto:
(+4)
(–3)
(–5)
(+3)
(+2)
(–2)
(+2)
(–4)
se puede pensar como: cuadruplicar +2
se puede pensar como: el opuesto de triplicar –2
se puede pensar como: el opuesto de quintuplicar +2
se puede pensar como: triplicar –4
166
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Así tendremos:
(+4) (+2) = +18
(–3) (–2) = +6
signos iguales,
el producto es positivo
(–5) (+2) = –10
(+3) (–4) = –12
signos diferentes,
el producto es negativo
En todos los casos el producto se obtuvo multiplicando los valores absolutos de los dos
enteros. Para determinar el signo se tiene en cuenta la denominada ley de los signos para
la multiplicación expresada en esta sencilla tabla.
(+)
(–)
(+)
(–)
(+)
(–)
(–)
(+)
=
=
=
=
+
+
–
–
Por último, cuando se tienen que multiplicar más de dos factores se obtiene el producto de
dos de ellos, dicho producto se multiplica por el siguiente y así hasta terminar.
(–2)
(–3)
(+5)
(–4)
=
–120
(–6)
(+30)
(–120)
Pepe me dijo que su profesor de álgebra le había
enseñado esto:
El amigo de mi amigo es mi amigo.
El enemigo de mi amigo es mi enemigo.
El amigo de mi enemigo es mi enemigo.
El enemigo de mi enemigo es mi amigo.
¡Esto sólo lo aplico con los números enteros!
Forma un grupo de tres integrantes y en tu cuaderno elabora una tabla de
multiplicar para los números enteros siguientes:
167
MATEMÁTICAS
×
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
Comenta tus anotaciones de la tabla con compañeros de otro grupo. Si hay diferencias,
discútelas. Si te falta tiempo, continúalo como trabajo extraclase. Si hay dudas, consulta con
tu profesor.
Observa el video, tratando de captar lo esencial; al terminar, participa en un
breve comentario general con todo el grupo.
Según lo presentado en el video, resuelve gráficamente las siguientes multiplicaciones; trabaja con el mismo grupo.
(–2) (–4) =
(–2) (+3) =
Compara tu trabajo con el de otra terna de compañeros(as).
¿Cómo les parece esta otra forma de representar gráficamente la multiplicación de números
enteros?
1. De manera individual, observa con atención las gráficas y anota en los espacios en blanco los factores y el producto que están representados en
cada una.
168
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
2. Encuentra mentalmente el valor de x que satisface la igualdad.
a)
d)
(x – 5) × 5 = –100
x +2 = 3
7
b) (x + 3) × (–5) = 10
e) x − 4 = 1
8
c) (x + 4) × 7 = 0
f) x + 8 = 17
3
Muestra tus respuestas al profesor. Si hay algún error, realiza la corrección correspondiente.
CLAVE
2. a) –15; b) –5; c) –4; d) 19; e) 12; f) 27.
44
REPARTIR PÉRDIDAS Y GANANCIAS
(24)
Cociente de enteros
Establecimiento de la ley de los signos en la división
Seguramente las operaciones básicas han resuelto muchos problemas de tu vida diaria. En
esta sesión la división de enteros te auxiliará a solucionar otras situaciones.
Ve el programa de televisión y observa la facilidad con la que puedes dividir
números enteros una vez que conoces la ley de los signos.
Con otro compañero, lee el texto que viene a continuación.
169
MATEMÁTICAS
COCIENTE DE ENTEROS
Cociente es el resultado de una división y ésta es una operación que está íntimamente
relacionada con la multiplicación.
Analícese el siguiente problema que muestra esa relación:
Una persona adquiere una deuda de $3 500 000 y el compromiso de cubrirla en siete pagos
iguales. ¿De qué cantidad deberá ser cada pago?
La deuda se presentará como una cantidad negativa, o sea, –3 500 000 y los siete pagos
como +7.
De manera que la situación se puede representar así:
(+7) (x) = –3 500 000, donde x es la cantidad que se desea conocer.
Esto es una multiplicación en la que se desconoce un factor, pero se tiene el otro factor y el
producto de ambos.
( +7)
factor
conocido
(x)
factor
desconocido
=
–3 500 000
producto
Para encontrar el factor desconocido se realiza una división donde el producto se convierte
en dividendo y el factor conocido, en divisor.
(–3 500 000) ÷ (+7) = x
De esta forma se sabe que los pagos serán de $500 000, pero esto representa una salida
por lo que el valor de x será de –500 000, porque:
–3 500 000 ÷ (+7) = –500 000
Dicho de otra forma, si siete es positivo y el producto de él con otro factor es negativo, por la
ley de los signos en la multiplicación se tiene que (+) (–) = –; así que el signo correspondiente
a la incógnita será negativo.
Por otra parte, si el problema se hubiese planteado como una deuda de $3 500 000, que se
cubrirá con pagos de 500 000, y se deseara saber cuántos pagos se tendrán que realizar,
entonces el procedimiento sería el siguiente:
(–500 000 ) (x) = –3 500 000, donde –500 000 y –3 500 000 son deudas y por eso se
representan como negativos.
De donde: (–3 500 000 ) ÷ (–500 000) = +7.
El valor de x es +7, o sea, serán siete pagos de $500 000 los que cubran la deuda
170
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
de $3 500 000. (Se considera positivo el siete, porque representa sólo una enumeración de eventos que se suceden.)
Relacionando la situación anterior con la ley de los signos en la multiplicación de enteros se
tiene: (–) (+) = –, así que el signo en el recuadro es el que corresponde a la incógnita.
Lo anterior muestra que la división es la operación inversa de la multiplicación:
Multiplicación
División
(–500 000 )
(x) = –3 500 000
factor
factor
conocido desconocido producto
(–3 5000 000) ÷ –500 000 = +7
dividendo
divisor
cociente
Al dividir números enteros, se presentan los siguientes casos:
a)
Que el dividendo y el divisor sean positivos.
(+4) ÷ (+2) = + 2, porque (+2) (+2) = +4
(+20) ÷ (+5) = + 4, porque (+5) (+4) = +20
b)
Que el dividendo y el divisor sean negativos.
(–10) ÷ (–2) = +5, porque (–2) (+5) = –10
(–15) ÷ (–5) = +3, porque (–5) (+3) = –15
c)
Que el dividendo sea positivo y el divisor sea negativo.
45 ÷ (–9) = –5, porque (–9) (–5) = + 45
18 ÷ (–2) = –9, porque (–2) (–9) = + 18
d)
Que el dividendo sea negativo y el divisor positivo.
(–36) ÷ (+6) = –6, porque (+ 6) (–6) = –36
(–81) + (+9) = –9, porque (+ 9) (–9) = –81
Por lo que se puede decir que:
(+)÷(+)=+
(–)÷(–)=+
(+)÷(–)=–
(–)÷(+)=–
Lo anterior se conoce como ley de los signos para la división de números enteros.
171
MATEMÁTICAS
Comenta con tu grupo la relación que hay entre esta ley y la ley de los signos de la multiplicación.
Resuelve con tu compañero los ejercicios siguientes:
1. Completa las siguientes expresiones, aplicando la ley de los signos en la división:
a)
Si ( + ) ( + ) = +, entonces + ÷ + =
b)
Si ( + ) ( – ) = –, entonces – ÷
c)
Si ( – ) ( + ) = –, entonces
d)
Si ( – ) ( – ) = +, entonces + ÷ – =
=–
÷–=+
En tu cuaderno, escribe y completa los siguientes enunciados:
a)
Al dividir un números positivo entre otro positivo el cociente será...
b)
Si se divide un número positivo entre uno negativo, el cociente tendrá signo...
c)
El cociente de un número negativo entre uno positivo tendrá signo...
d)
Si se divide un número negativo entre otro negativo el cociente será...
Consulta con tu profesor tus respuestas. Discute las diferencias que hayas tenido y corrige si
hay errores.
Con el mismo compañero, resuelve en tu cuaderno los ejercicios que están en
seguida.
1.
Encuentra mentalmente el factor desconocido en cada una de las siguientes multiplicaciones y anótalo en el paréntesis correspondiente.
a)
(–8 ) ( )
= –32
b) (
c)
(–12) ( )
= –72
d) (15) (
2.
) ( 9 ) = –18
) = –75
Efectúa las operaciones mentalmente, escribe el resultado y justifícalo.
a) (16) ÷ (2) =
e) (–81) ÷ (9) =
b) (32) ÷ (4) =
f) (63) ÷ (–3) =
172
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
c) (60) ÷ (3)=
g) (–30) ÷ (5) =
d) (81) ÷ (9) =
h) (56) ÷ (–7) =
¿Cómo encontraste el signo de las divisiones anteriores? Revisa tus resultados, comparándolos con los de otros compañeros. Si hay errores, corrígelos.
Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los ejercicios siguientes:
1. Realiza las divisiones siguientes mentalmente y escribe el cociente:
a)
(–36) ÷ (6) =
b) (–39 ÷ (–13) =
c)
(48) ÷ (–3) =
d) (63) ÷ (9) =
2. Resuelve el problema siguiente, teniendo en cuenta que puedes utilizar los números enteros.
Tres hermanos establecieron un negocio con participaciones iguales. Si contrajeron una deuda
de $42 735 000, ¿cuánto deberá pagar cada uno?
a)
¿Con qué signo se expresa la cantidad de personas que participaron? ¿Por qué?
b)
¿A qué cantidad asciende la deuda y qué signo lleva? ¿Por qué?
c)
¿Qué operación se debe realizar para encontrar el resultado?
d)
¿Qué signo tiene y por qué?
e)
¿Cuál es el resultado?
Compara tus resultados con los de la clave. Si no coinciden, realiza nuevamente los procedimientos.
CLAVE
1. a) –6, b) –16, c) 3, d) 7; 2. a) Positivo, porque es el conteo de personas,
b) $42 735, negativo, porque es una deuda, c) División, d) Negativo, porque
– ÷ + = –, e) –$14 245.
173
MATEMÁTICAS
45
(25)
RESUÉLVELOS TÚ MISMO
Problemas con enteros
Aplicación de las operaciones fundamentales con los enteros
Solucionar problemas es parte de nuestra vida diaria y nos ejercita en la labor de comprenderlos y analizarlos.
Observa con atención el video que te mostrará cómo solucionar problemas con
los números enteros.
RECUERDA. Contesta, individualmente y en forma breve, las siguientes preguntas:
a)
¿Qué signo corresponde a la suma de un entero positivo y uno negativo?
(–18) + 10
b)
20 + (–35)
el op (–7)
el op (+16)
el op (–9).
¿Qué signo corresponde al producto de dos números con igual signo?
(–3 ) (–5)
d)
(–20) + 35
¿Qué sucede con el signo de un número entero cuando lo antecede el signo negativo?
el op (+5)
c)
18 + (–10)
(–1) (–4)
(–6) (–1)
3 × 8
¿Qué signo corresponde al cociente de dos números con signo diferente?
(–18) ÷ 2
24 ÷ (–8)
(–45) ÷ 9
36 ÷ (–3)
Lee en voz alta tus respuestas y corrígelas si son erróneas.
Reúnete con un(a) compañero(a), según te indique tu profesor(a), y resuelve
en tu cuaderno los siguientes problemas:
a)
¿Qué número se tendrá que sumar a –67 para que el resultado sea –28. (Al finalizar
comprueba tu respuesta en la calculadora).
¿Su valor absoluto será mayor o menor que el de –67?
¿Se debe realizar una adición o una sustracción de valores absolutos?
¿Cuál es el número buscado?
b)
Si de un tanque de 60 l de diésel se consumen 24 l , después se le introducen 20 l y se
consumen 53, ¿cuántos litros de diésel quedaron en el tanque? (Resuélvelo mentalmente.)
174
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
c)
¿Qué número multiplicado por 12 da como producto 36?
¿Cómo se obtiene el factor desconocido, si se conoce uno y el producto de ambos?
¿Qué signo tiene el resultado?
¿Qué signo deberá tener el factor desconocido según la ley de los signos?
¿Cuál es el número solicitado?
d)
En el desierto de los Leones la temperatura registrada en un día presentó las siguientes variaciones: a las 9 horas fue de 10 °C, a las 15 horas subió 22 °C, hasta las 17
horas bajó 20 °C y hasta las 3 de la mañana bajó 25 °C más. ¿Cuál era la temperatura
a las 3 de la mañana? Anota el signo que corresponda al resultado.
e)
¿Cuál será el número que dividido entre –6 dé como cociente 138?
f)
En un negocio se registraron pérdidas de $854 830 en una semana, obtén el promedio
diario. (Considera los siete días).
¿Qué operación deberás realizar?
g)
¿Cómo representarías con números enteros las pérdidas?
Comprueba tu resultado en la calculadora.
Anota tus resultados en el pizarrón y comenta el procedimiento seguido para su obtención.
Si hay desacuerdo con tus compañeros, recurre a tu profesor(a).
46
(26)
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR
LAS MATEMÁTICAS
Evaluación parcial
Integración de los conocimientos adquiridos
En todo proceso de aprendizaje es importante hacer un alto para evaluar y reflexionar sobre
los temas que se han visto y recordar lo más relevante de cada uno de ellos.
Observa el video. En él se hace una remembranza de los temas aritméticos
tratados.
Comenta brevemente con tu profesor y tus compañeros lo más importante de cada tema.
175
MATEMÁTICAS
I. Con dos compañeros(as), contesta en tu cuaderno lo que se pide; en caso de
duda, consulta las lecturas pertinentes con tu profesor(a).
1.
¿Cómo se determina el orden de magnitud de un número?
2.
¿Cómo es el orden de magnitud del resultado de una adición en relación con el de los
sumandos?
3.
Escribe: ¿a qué se llama divisor de un número? Si el divisor es 17, ¿cuáles valores
puede tomar el residuo?
4.
¿Cómo obtienes los múltiplos de un número?
5.
¿Cuál es la diferencia entre los números primos y los números compuestos?
6.
¿Qué diferencia existe entre la factorización para encontrar el mcm y el MCD de dos o
más números?
7.
¿Cuáles son los cuatro casos que se manejan en la ley de los signos?
8.
Comenta con tus compañeros de grupo el procedimiento que empleas para obtener el
resultado de cada una de las operaciones con números enteros. En cada caso da
ejemplos que ilustren tus comentarios.
a)
Adición con sumandos de diferente signo
b)
Sustracción
c)
Multiplicación
d)
División
Compara tus respuestas con las de otro grupo, si hay diferencias, analiza tus resultados;
corrige si hay errores.
II. Continúa trabajando individualmente y resuelve los siguientes ejercicios:
1. Escribe el orden de magnitud de los siguientes números:
a)
4 978
b)
12 836
2.
Si se suman los números anteriores, ¿cuál será la estimación del orden de magnitud de
su resultado? (No hagas operaciones).
3.
Factoriza el número 90.
176
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
4.
Obtén el mcm y el MCD de los siguientes números: 120 y 80.
5.
Efectúa las siguientes operaciones:
a)
42 + (–8) – (+30) =
b) 8(–6) (–4)
c) −120 =
30
Compara tus respuestas con las de un compañero y corrige tus errores. Comenta las dificultades con tu profesor(a).
III. En forma individual, resuelve los siguientes problemas:
1.
Dos cintas de 50 m y 80 m de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la
mayor longitud posible.
a)
¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
b)
¿Cuántos pedazos se obtienen en total?
2.
Amalia tenía un saldo a favor de $500 000 en su cuenta bancaria; en seguida depositó
$180 000 y giró cheques por $400 000 y $350 000; al día siguiente depositó $290 000
¿Cuál es su nuevo saldo? ¿A favor o en números rojos?
3.
Una empresa comercial presenta ingresos diarios de $548 000 en promedio. ¿Qué
ingresos obtiene al cabo de 21 días de trabajo?
4.
¿QUIÉN SOY?
Si me multiplicas por –1 y me aumentas
en 1 000 el resultado es 999.
5.
¿Cuál es?
Escogí un número al cual le resté 12 y luego multipliqué el
resultado por –9. Obtuve 900, ¿cuál fue el número escogido?
Compara tus respuestas con las de otro compañero y esperen los comentarios de su profesor(a).
177
MATEMÁTICAS
Núcleo Básico 4
ÁLGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS
El hombre, en su infatigable deseo de investigación, descubre el número con el cual representa medidas de todo lo que le rodea. Sus estudios lo llevan a lograr su abstracción y con
ello logra la generalización de expresiones matemáticas.
Documentos antiguos muestran que los egipcios manejaban ecuaciones algebraicas en los
cálculos que realizaban. A los árabes se atribuye el desarrollo del álgebra y en su lengua las
palabras al gebr significan ecuación o restauración: transposición de términos negativos.
El álgebra es el pilar de ramas de la matemática como la geometría y la trigonometría, y su
uso se ha extendido a otras áreas de la ciencia.
En el desarrollo del presente núcleo se realiza un análisis de lo que son las expresiones
178
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
algebraicas, su identificación, sus características y aplicación práctica en la solución de problemas que impliquen una adecuada traducción de un lenguaje común a uno algebraico.
También se introduce al conocimiento de las operaciones como potencias de la misma base,
como un antecedente necesario en la reducción o agrupación de términos semejantes para
la resolución de operaciones con polinomios.
Estos conocimientos sirven y se aplican para expresar situaciones tales como buscar un
área, un perímetro, etcétera, o bien, para descubrir algunos sucesos o investigaciones que
beneficien al ser humano en su desarrollo.
47
COMUNICACIÓN CON SÍMBOLOS
Introducción al lenguaje algebraico
Análisis de expresiones algebraicas ya conocidas
Cada lenguaje tiene características muy especiales. Un lenguaje simbólico es práctico porque ayuda a simplificar y generalizar. Así es el lenguaje algebraico.
Si observas con interés el video, te iniciarás en el conocimiento de este lenguaje, además de introducirte en el panorama general del núcleo que comienza. Al
finalizar el programa, comenta con un compañero lo que más te haya llamado
la atención.
Lee:
INTRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO
El lenguaje es esencial para la comunicación. Un lenguaje de gran importancia para la ciencia es el de las matemáticas.
Dentro del lenguaje de las matemáticas, es muy importante el lenguaje algebraico.
El álgebra es una rama de las matemáticas que tiene entre sus principales objetivos
simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.
Cabe notar que 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son símbolos que representan números, pero con
estos no es posible generalizar.
Para iniciar el camino hacia la comprensión de este lenguaje, considérese lo siguiente:
◆
es un número natural.
Al hacer esta afirmación, debe entenderse que ◆ representa cualquier integrante de la serie
179
MATEMÁTICAS
de los números naturales (0, 1, 2, 3,...), que es infinita. Y a partir de ese momento, se puede
operar con él como se opera normalmente con esa clase de números.
Si se suma con él mismo, se tiene:
◆+◆
= 2◆
La expresión 2◆ es el doble de ◆.
Por lo tanto, 2◆ está representando el doble de cualquier número natural.
Con la expresión 2◆ se está generalizando la forma de representar el doble de un número
natural cualquiera.
Si se multiplica ◆ por sí mismo, es decir, ◆ × ◆ se obtiene ◆2 y como ◆ es cualquier número
natural, la expresión ◆2 representa el cuadrado de cualquier número natural. Puede pensarse también en dividir ◆ y en ese caso la expresión ◆ representa la mitad de cualquier
2
2
número natural.
Pueden considerarse dos símbolos diferentes, como ◆ y , para representar dos números
naturales diferentes cualesquiera, y entonces operar con ellos.
Así, ◆ + representa, de una manera general, la suma de dos números naturales cualesquiera.
De igual forma ◆ – está representando la diferencia de dos números naturales cualesquiera y, por ejemplo, (◆ + )2 será la representación del cuadrado de la suma de dos números naturales cualesquiera.
Esta representación simbólica permite apreciar que ◆ + y + ◆ representan la misma
suma y por lo tanto no es importante el orden de los sumandos.
Una generalización como ésta no se puede hacer usando cifras, ya que se haría referencia a
dos números en particular y aquí, en cambio, se alude a dos números cualesquiera, haciendo válida la apreciación para cualquier pareja de naturales que sea sumada.
Usualmente, el lenguaje algebraico no se maneja con cualquier clase de símbolos como ◆,
y otros que pudieran escogerse de manera arbitraria, sino que se ha convenido en utilizar
las letras del alfabeto (a, b, c, x, y, z) para la representación algebraica, la cual permite que el
citado lenguaje adquiera un carácter universal.
Y lo usual es decir, por ejemplo:
Si a es un número natural, entonces 2a representa el doble de cualquier número natural.
a 3 representa la tercera potencia (o el cubo de cualquier número natural).
180
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
a representa la quinta parte de un número natural.
5
Por supuesto que esta forma de representación por medio del lenguaje algebraico se utiliza
también para los números enteros, racionales, etc., con la condición de que se diga qué
números se están representando.
Un ejemplo claro de este lenguaje general son las expresiones o “fórmulas” para obtener
perímetros, áreas y volúmenes de las figuras geométricas.
Ejemplo:
Se tiene un terreno de forma rectangular que mide 8.5 m de largo y 3.7 m de ancho. ¿Cuál es
su área?
Es común auxiliarse con una figura.
3.7 m
8.5 m
Una forma de calcular el área es multiplicar largo por ancho. Si al largo se le llama base, al
ancho, altura, simbólicamente esto se puede expresar:
área = A,
base = b,
altura = h
de donde surge la expresión para el área: A = bh
Sustituyendo:
b = 8.5 m
h = 3.7 m
Por lo tanto: A = 8.5 m × 3.7 m = 31.45 m2
A = 31.45 m2
Lo importante es que A representa cualquier número que sea la medida de la superficie del
181
MATEMÁTICAS
rectángulo. Que b representa cualquier número que sea la medida del largo y h cualquier
número que sea la medida del ancho del rectángulo.
Precisamente el hecho de que se haga uso del lenguaje algebraico para expresar cómo se
obtiene el área del rectángulo, trae como consecuencia que la fórmula A = bh (donde b y h
son dos números cualesquiera) sirva para obtener el área de cualquier rectángulo, pues
basta sustituir las literales b y h con las medidas del rectángulo para obtener el producto.
Esta fórmula es una muestra de lo que se menciona en la definición de álgebra, como una
forma de simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.
Reúnete con un compañero para compartir reflexiones alrededor de las siguientes preguntas:
1.
¿Por qué la comunicación es esencial para nosotros los humanos?
2.
¿Cómo interpretar cuando se dice que las matemáticas son un lenguaje? ¿Puedes dar
ejemplos de las matemáticas como comunicación?
3.
¿Qué clase de lenguaje es el algebraico? ¿Cuáles crees que son las ventajas de este
lenguaje?
Comparte tus reflexiones con tus compañeros de clase.
Continúa trabajando con un(a) compañero(a).
La expresión A = bh te ha servido para encontrar el área de una figura muy conocida.
2
1.
2.
3.
4.
Dibuja en tu cuaderno un modelo de esta figura.
Coloca cada letra asociada a la dimensión que representa en la figura. ¿Qué representa b y qué, h?
Mide en la figura y encuentra los valores particulares de b y h, seguramente en centímetros.
Cuando reemplaces estos valores en la expresión A = bh y realices las operaciones
2
indicadas, qué magnitud de la figura que dibujaste habrás encontrado? ¿En qué unidades expresarás el A?
Discute las respuestas con tu compañero(a). Si hay errores, corrígelos.
Sigue trabajando con tu compañero(a). Vas a resolver el siguiente problema,
pero lo harás siguiendo paso a paso las indicaciones y respondiendo algunos
cuestionamientos.
182
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
En un jardín se ha formado un prado en forma de pentágono; mide 3 m por lado y 2 m de
apotema: ¿cuál es su área?
1.
Dibuja en tu cuaderno la figura y anota sus dimensiones en los lugares correspondientes.
2.
¿Cuál es la expresión o fórmula que te permite obtener el perímetro del pentágono, en
este caso regular.
3.
¿Cuál es la fórmula para obtener el área del pentágono?
4.
En la fórmula del perímetro, ¿qué número sustituye a l, para poder obtenerlo?
5.
En la fórmula del área, ¿qué número sustituye a p y qué número toma el lugar de a?
6.
Obtén la medida del perímetro y anótala.
7.
Aplica la fórmula y calcula el área. Anota las operaciones y el resultado.
8.
La fórmula A = P a ¿Es exclusiva para calcular el área de la figura del problema que
2
acabas de resolver? ¿Por qué?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Si hay diferencias y dudas consulta
con tu profesor.
Individualmente, lee con atención las siguientes cuestiones y contesta en forma breve lo que se te pide.
1.
En el lenguaje algebraico se emplean símbolos que no son números, ¿por qué?
2.
La expresión v = a 3 , ¿qué significa? ¿Quién puede ser v y quién a ?
3.
¿En qué nos ayuda el uso de literales (letras del alfabeto) para representar los números?
4.
Si m es un número natural, ¿a qué número natural representa?
5.
Si c es un número entero, ¿es positivo o negativo? ¿Por qué?
6.
Si x es un número decimal, ¿su valor es mayor o menor que la unidad? ¿Por qué?
El profesor designará a algunos estudiantes para que lean sus respuestas frente al grupo. Si
no hay acuerdo, pueden aclarar sus conceptos para conseguirlo.
183
MATEMÁTICAS
CONVIENE IDENTIFICARLAS
48
Variables y constantes
Conocimiento del concepto de variable y de constante
En esta sesión vamos a estudiar las características de los símbolos que se utilizan para
integrar las diferentes expresiones. Algunos símbolos cambian de valor y otros no. ¿Sabes
distinguirlos?
Para responder a esta pregunta, observa atentamente el video. Te dará mayores recursos para avanzar en tu aprendizaje. Luego, comenta con tus compañeros lo que hayas entendido.
Lee y analiza, con un(a) compañero(a) el siguiente texto:
VARIABLES Y CONSTANTES
En la vida diaria es común escuchar expresiones como “tiempos variables”, refiriéndose al
pronóstico del clima. Esto significa que puede cambiar de calor a frío o aun que puede llover
inesperadamente. También se habla de que la temperatura de un enfermo “se ha mantenido
constante durante las últimas 24 horas”, por ejemplo. Esto da idea de que la temperatura
corporal del paciente no ha variado durante ese lapso. En el mundo hay muchas cosas que
sufren variación y otras que permanecen constantes.
En matemáticas también se presenta esta situación.
Para entrar en este aspecto, considérese algo muy común pero que no por eso deja de ser
importante.
La fórmula para obtener el perímetro de un cuadrado puede expresarse como:
P = 4c, si se acepta que c representa la medida de un lado. Gráficamente se ve así.
c
c
c
c
184
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Se sabe que el perímetro del cuadrado es calculado sumando las medidas de sus cuatro
lados, o sea:
c + c + c + c = 4c
Pero 4c es también un producto, porque en lugar de tomar cuatro sumando iguales, se puede
multiplicar por 4 y entonces:
4 ( c ) = 4c
Por eso la fórmula se expresa:
P = 4c
Esta fórmula sirve para obtener el perímetro de cualquier cuadrado, porque siempre habrá
cuatro lados y se sumarán sus medidas o se multiplicará la medida de un lado por 4.
Ahora bien, si se analiza la fórmula con mayor detenimiento, se aprecia que cada vez que se
aplique a un cuadrado diferente, variará el valor de P y el de c, pero el 4 permanecerá
constante.
Ejemplos:
Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 3 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:
P = 4c
Sustituyendo:
P = (4) (3 m) P = 12 m
Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 7 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:
P = 4c
Sustituyendo: P = (4) (7 m)
P = 28 m
Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 1.3 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:
P = 4c
Sustituyendo: P = (4) (1.3 m) P = 5.2 m
Al observar los ejemplos, es notorio que c y P variaron de acuerdo con las dimensiones del
cuadrado, pero 4 no varió.
Es decir,
185
MATEMÁTICAS
c
(3 m)
(7 m)
(1.3 m)
(4)
(4)
(4)
=
=
=
P
12 m
28 m
5.2 m
En este caso, c y P son variables y 4 es constante.
Existen muchos símbolos en el lenguaje algebraico y es conveniente saber distinguirlos con
seguridad.
Para afirmar el concepto, se presentan otras expresiones algebraicas con el fin de identificar
las variables y las constantes que se encuentran en dichas expresiones.
A = πr 2
En esta fórmula, que permite encontrar el área de un círculo, las variables son r y A, porque
en círculos de tamaño diferente, la medida del radio será también diferente. Y al cambiar la
medida del radio, cambiará el área. En cambio, π y 2 son constantes para obtener el área de
cualquier círculo.
En la fórmula °C = 5 (°F –32), las variables son °C y °F, mientras que las constantes son
9
5 y 32.
9
En una expresión como x + 3 = y, si se le da un valor a x, se obtendrá un valor de y, como se
muestra a continuación.
x
0
2
4
6
x+3
0+3
2+3
4+3
6+3
y
3
5
7
9
Se aprecia claramente que los valores de x y y son variables y el valor 3 es constante.
De todo lo anterior, se concluye que:
Cuando un símbolo (generalmente una letra) representa a un valor que no está definido
específicamente, ese símbolo es una variable.
Y que:
186
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Un símbolo que representa un número, específicamente en alguna expresión algebraica,
es una constante.
Con tu compañero de trabajo, contesta:
1.
Si se aplica la fórmula A = bh para calcular el área de varios triángulos, ¿qué sím2
bolos de la fórmula cambian de valor?
2.
A esos elementos que cambian, ¿cómo se les llama?
3.
En la misma fórmula, ¿qué elementos no cambian de valor?
4.
¿Qué nombre se les da a los elementos que no cambian?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay errores, corrígelos.
Con el mismo equipo de trabajo, en tu cuaderno, calcula el valor de la variable
A, en la formula
A = Pa
2
P
3
5
7
9
a
4
8
12
16
A
Revisa tus respuestas con otro equipo. Si hay errores, rectifica y, si fallaste, corrige.
Continúa con tu equipo, para que obtengas los valores de c, sabiendo que
b – 4 = c y tomando en cuenta los valores asignados a b.
b
4
7
11
16
22
b–4
c
Con tus compañeros de equipo, compara tus respuestas. Si cometiste errores, corrige.
Individualmente observa las siguientes expresiones algebraicas y, en tu cuaderno, anota las variables y las constantes.
a) 3y = z – 4
variables:
constantes:
187
MATEMÁTICAS
b)
A = Dx
2
variables:
constantes:
c)
m −n
w +3
variables:
constantes:
d)
v =d
t
variables:
constantes:
e)
n = 3+ a
2
variables:
constantes:
Al terminar, puedes comparar tus respuestas con las de la clave que se te proporciona. Si te
equivocaste, corrige.
CLAVE
a) Variables: y, z, Constantes: 3, –4;
c) Variables: m, n, w, Constantes: 3;
e) Variables: n, a, Constantes: 3, 2.
b) Variables: A, D, x
d) Variables: v, d, t,
Constantes: 2;
Constantes: ninguna;
UN LENGUAJE DIFERENTE
49
Lenguaje algebraico
Traducción del lenguaje común al algebraico
Si puedes hablar de una misma cosa en diferentes idiomas, las cosas no cambian, la forma
de decirlas sí. Hoy descubrirás en el álgebra un lenguaje con el cual podrás hablar de las
cosas, “matemáticamente”.
Observa el video y descubrirás que existe una forma matemática de representar el mundo que te rodea. Después, comenta con tu grupo dónde has usado
anteriormente expresiones algebraicas.
Lee con un compañero o compañera:
LENGUAJE ALGEBRAICO
El planteamiento de problemas y su solución requiere un lenguaje simbólico que, de manera
general, muestre la idea del problema y permita una solución eficaz y razonada.
188
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Para llegar a ella es necesario utilizar un lenguaje matemático mediante el cual se señalen
tanto los datos conocidos como aquellos que se desean encontrar. Esas expresiones matemáticas forman el lenguaje algebraico y están formadas por números, letras y signos de
operación.
El álgebra, para representar cantidades conocidas, emplea números racionales.
Ejemplo:
2, 3 , –8, 6, 1 , etc.
3
4
Las letras o literales simbolizan valores conocidos y desconocidos.
Las primeras letras del alfabeto representan valores conocidos a, b, c, d,...
Las últimas letras del alfabeto representan valores desconocidos:...u, v, w, x, y, z.
Una misma letra tiene diferente valor si se diferencia por comillas o subíndices.
Ejemplo: a, a’, a”, a1, a2, etc.
Con estos criterios es posible representar algebraicamente expresiones verbales, como las
siguientes:
La edad de Miguel
x
El valor de un cuaderno más el de un lápiz
x+y
La diferencia entre lo que gana José y lo que gana Pedro es $32 000
x – y = 32 000
El costo de tres dulces de igual precio
x+x+x
El área de un rectángulo es igual a la multiplicación del valor de
la base por el de la altura
A = bh
El perímetro de un triángulo es 45 m
La mitad de un número cualquiera
El cociente del perímetro de un círculo entre su diámetro
a + b + c = 45
x
2
P
d
Para indicar el producto de dos o más números cualesquiera basta con anotar las literales en
secuencia.
El producto de dos números
ab
La mitad del producto de dos números, lo cual también
se puede definir como el semiproducto de dos números
ab
2
189
MATEMÁTICAS
ab
La raíz cuadrada del producto de dos números
El producto de tres números diferentes disminuido en cinco unidades.
xyz – 5
Algunas expresiones pueden simplificarse. Por ejemplo: x + x + x
expresa que el valor de x se suma tres veces. Esa expresión también se interpreta
como tres veces x : 3x
La expresión: a a a a
indica que a es factor cuatro veces, lo cual se puede expresar como una potencia: a 4
La interpretación algebraica de expresiones verbales y situaciones concretas hace más fácil
la resolución de un problema.
El lenguaje algebraico permite generalizar expresiones verbales y solucionar diversas situaciones.
Con otro compañero, escriban sus impresiones sobre lo que, para ustedes, significa el lenguaje algebraico, su utilidad en la comunicación de ideas matemáticas y algunos usos que
puedan hacer de él. Socialicen con otros compañeros.
Con tu mismo compañero, resuelve los siguientes ejercicios.
1.
Responde en tu cuaderno las preguntas siguientes:
a) ¿Qué símbolos se utilizan para representar las cantidades conocidas?
b) ¿Qué representan las letras?
c) ¿Con cuáles letras se ha acordado representar valores conocidos y con cuáles,
valores desconocidos?
2.
Haz en tu cuaderno las representaciones que indican cada paso, en el sentido de las
flechas.
Un número
cualquiera
➔
Ese mismo
número más la
mitad de otro
número
➔
La suma de esos ➔ La expresión anterior
números menos
menos 8 unidades
el doble de un
tercer número
190
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Compara tus resultados con los de otros compañeros, para aclarar dudas.
Individualmente, realiza los siguientes ejercicios.
Escribe en tu cuaderno la expresión algebraica equivalente:
a)
Dos helados del mismo precio valen $800.
b)
El costo de un lápiz y una pluma es $4 800.
c)
La diferencia de la edad de Luis menos la de Elsa es de 25 años.
d)
La mitad de un número menos el triple de otro.
e)
La raíz cuadrada de un número cualquiera.
f)
El doble de un número, más la raíz cuadrada de otro, menos el cubo de un tercer
número.
Compara tus resultados con los de la clave. Si hay diferencias, verifica tus procedimientos.
CLAVE
f) 2a + b − c 3
e)
x
d) x − 3 y
2
a) 2x = 800
b) x + y = 4 800
c) m – n = 25
OTRA FORMA DE COMUNICACIÓN
50
Significado del lenguaje algebraico
Traducción del significado del lenguaje algebraico al común
Aprender a traducir al lenguaje común el lenguaje algebraico nos va a permitir entender y
comprender mejor muchas situaciones que parecen ocultas.
Observa el video, en él encontrarás información que te ayudará a descifrar el
simbolismo algebraico.
Después comenta con tus compañeros de grupo y tu profesor la idea principal del programa.
191
MATEMÁTICAS
Posteriormente, con un compañero lee y analiza cuidadosamente para que
estés en posibilidades de discutir cuál es la operación que domina en una expresión algebraica.
SIGNIFICADO DEL LENGUAJE ALGEBRAICO
Las matemáticas son un lenguaje universal, o sea, que los símbolos son iguales aquí y en
cualquier parte del mundo.
El lenguaje algebraico permite usar expresiones con elementos indeterminados en situaciones como, por ejemplo, cuando una persona dice “x día de la semana”, se observa que usó
una letra del abecedario; cuando dice “x o y cosas”, se están empleando dos letras del abecedario.
En los problemas matemáticos se acostumbra sustituir los símbolos que representan números por letras.
Pero en matemáticas también hay ocasiones en que las letras y los signos se usan para
representar algunas operaciones, es decir, en que a través de estos símbolos se generaliza
un proceso.
Por ejemplo, para hallar el perímetro de un polígono regular se aplica la siguiente fórmula: P = nl, donde los símbolos indican que el perímetro del polígono se obtiene multiplicando el número de lados de dicha figura por la medida de uno de ellos.
Esta interpretación de la fórmula se conoce como traducción del lenguaje algebraico al lenguaje común.
En una fórmula aparece un conjunto de símbolos que expresan una o varias operaciones,
las cuales se mencionan de acuerdo con la importancia y el dominio que indica la expresión,
lo que se muestra en las siguientes expresiones.
Ejemplos de traducción del lenguaje algebraico al lenguaje común:
x
un número cualquiera.
x+y
la suma de dos números.
a–b
la diferencia de dos números.
ab
el producto de dos números.
a
b
el cociente de dos números.
192
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
a +b
2
la semisuma de dos números. (Aquí aparece una adición como dividendo, lo
cual implica que domina la división, de ahí el prefijo semi-.)
a −b
2
la semidiferencia de dos números. (Aquí domina la división.)
ab
3
la tercera parte de un producto. (Aquí domina la división.)
2d
el doble de un número.
4cd
el cuádruple de un producto.
x + 3;
un número aumentado en 3.
y – 5;
un número disminuido en 5.
a2
un número al cuadrado o el cuadrado de un número.
raíz cuadrada de un número.
x
En los ejemplos anteriores se observa que existen símbolos que están relacionados mediante un signo de operación.
¿Qué pasa cuando en una fórmula aparecen varias operaciones?
¿Cuál va antes y cuál, después?
En los ejemplos que están a continuación se darán algunos lineamientos generales.
a) x − 3
2
Aquí aparecen dos operaciones, un cociente y una diferencia, la operación que
domina es la diferencia, por lo tanto se leerá:
La mitad de un número menos tres unidades, o la diferencia de la mitad de un
número y tres unidades.
b) a + b
8
Aquí aparecen una suma y un cociente. La operación que domina es el cociente, por lo tanto se leerá:
La octava parte de la suma de dos números, o el cociente de la suma de dos
números entre ocho.
c)
y Aquí aparecen dos productos y un cociente.
(2 x )  
2
La operación que domina es el segundo producto, por lo tanto, se leerá: El doble
de un número por la mitad de otro.
193
MATEMÁTICAS
d) x 2
2
Aquí aparecen una potencia y un cociente, la operación que domina es el cociente, por lo tanto, se leerá:
La tercera parte del cuadrado de un número, o el cociente del cuadrado de un
número y tres.
e)
Aquí aparecen una raíz cuadrado, un producto y un cociente, la operación que
domina es la raíz, por lo tanto, se leerá:
2d
g
La raíz cuadrada del cociente del doble de un número y otro.
Es de gran importancia que aprendas a traducir el lenguaje algebraico al lenguaje común, ya
que esta forma te va a permitir comprender y entender los planteamientos de muchos problemas.
Con un compañero traduce del lenguaje algebraico al lenguaje común, y viceversa, según sea el caso. Escribe en tu cuaderno.
a)
y
b)
La diferencia de dos números.
c)
x +y
5
d)
El cociente del cubo de un número entre 4.
e)
2x + 6
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Continúa trabajando con tu compañero o compañera y relaciona la columna del
lenguaje algebraico con la columna del lenguaje común, colocando en cada
paréntesis la letra correcta. Hazlo en tu cuaderno.
a) 3 ab 3
( ) El cuadrado de la suma de dos
números.
b) − c
d
( ) El cociente de dos números.
c)
xy
( ) El doble de un número.
d)
x + 2x + 3x
( ) La diferencia de un número menos 7.
194
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
e)
a +b
2
( )
El cociente de la suma de dos números entre dos.
f)
y – 7
( )
El quíntuplo de un número.
( )
El triple de un número por el cubo de otro.
(
El producto de dos números.
g) 5c
h)
(a + b ) 2
i)
c +d
j) 2x
)
( )
La raíz cuadrada de la suma de dos números.
( )
La suma de un número más el doble, más el triple
del mismo número.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros, si tienes duda consulta con tu profesor.
Continúa trabajando, ahora, en forma individual, y traduce al lenguaje común
las expresiones algebraicas. Trabaja en tu cuaderno.
Lenguaje algebraico
a −b
a)
2
b)
x + 10
c)
ab + 2
d)
a2 + x 2
e)
a −b
2
Lenguaje común
CLAVE
a) La semidiferencia de dos números; b) La suma de un número más 10 unidades, c) El producto de dos números más dos unidades; d) El cuadrado de un número más el cuadrado de otro;
e) La raíz cuadrada de una semidiferencia de dos números.
195
MATEMÁTICAS
UNO O VARIOS
51
Expresiones algebraicas
Clasificación de expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas se utilizan en matemáticas con mucha frecuencia. A continuación se mostrará su clasificación.
Observa el video y reflexiona acerca de la importancia del manejo de las expre
siones algebraicas.
Comenta brevemente la idea principal del programa con tu profesor y tus compañeros.
Lee con un(a) compañero(a):
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas tienen una gran aplicación. Con ellas es posible resolver problemas en los que intervienen variables que representan números (naturales, enteros racionales), lo cual permite generalizar, tanto en lo que se refiere a las cantidades como a los
algoritmos de las operaciones que se realizan con ellas.
Cuando nos referimos a una expresión algebraica decimos:
Una expresión algebraica es aquella que está formada tanto por números como por letras con
sus exponentes y signos de operación.
Ejemplos:
–3y 2
a
2x
α
–y 2
x
–y 2
x
a+b+c
a ⋅b
b
a
a
a–b
c
b
a
196
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
b
–y 2
Según sus características, algunas expresiones algebraicas pueden llamarse:
1.
Monomio
2.
Binomio
3.
Trinomio
4.
Polinomio
La expresión algebraica más simple se conoce con el nombre de término o monomio, la cual
tiene los siguientes elementos:
a)
Coeficiente
b)
Variable(s)
c)
Exponente(s)
Ejemplos:
–5x 2 ;
a)
2x 3
El coeficiente es el factor numérico, que en los ejemplos anteriores está expresado por
–5 y 2.
Los coeficientes se escriben antes de las expresiones literales; x 2 y x 3 , respectivamente en
los ejemplos anteriores.
Cuando no se escribe el coeficiente, se sobreentiende que éste es igual a 1.
Ejemplo:
x 2 = 1x 2
Un coeficiente puede ser racional.
Ejemplo:
1x3
2
coeficiente racional
a)
La variable o variables están representadas por letras minúsculas del abecedario; en
los ejemplos, es x.
b)
El exponente es un número racional; en los ejemplos, son 2 y 3.
197
MATEMÁTICAS
En el siguiente cuadro se muestran los elementos de cada uno de los términos
–5
exponente
x2
variable
coeficiente
En el siguiente cuadro se muestran los elementos de cada uno de los términos de la columna
de la izquierda.
a)
b)
c)
d)
e)
Término
–2a3
–x 3 y 2
–ab 2
n
1
Coeficiente
–2
–1
–1
1
1
Variables
a
x, y
a, b
n
Exponentes
3
3, 2
1, 2
1
1
Cuando no se escribe el signo en el término, éste es considerado como positivo; también se
observa que si no se escribe el coeficiente o el exponente, éstos son considerados con un
valor de uno.
Las expresiones con dos o más términos se llaman polinomios.
Sin embargo, de manera particular, se da un nombre especial a las expresiones de dos y tres
términos, llamándoles respectivamente binomios y trinomios.
Un binomio es aquella expresión que está constituida por dos términos.
Ejemplos:
a) x 3 – 3x
b) 2x – y 3
c) a 2 = b 2
Un trinomio es aquella expresión algebraica que está formada por tres términos.
Ejemplos:
a) 3x 2 + 2x – 2
b) 2y + 3y 2 + 5
c) a + x + 1
Existe un caso muy especial cuando se tiene un término donde no aparece físicamente
variable alguna, se le identifica como término independiente.
198
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplo:
2x 3 + 3x – 1
término independiente
(no tiene variable)
En la expresión anterior, el término independiente es –1.
Estas expresiones se emplean cotidianamente y en muchas actividades del ser humano, así
como en todas las ciencias como son: física, química, biología...
Intégrate a un equipo y analiza los siguientes aspectos:
a)
¿Cuándo una expresión algebraica se puede caracterizar como un monomio? Escribe
ejemplos.
b)
¿Qué significa polinomio?
c)
Entonces, un binomio, ¿cuántos términos tiene?
d)
Y un trinomio, ¿cuántos términos tiene?
En equipo de trabajo, realiza las siguientes actividades:
1.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno.
Expresión
algebraica
2x – y 3
x 3 – 3y
3x – 5y 2 + 2
Coeficientes
x
y
Exponentes
x
y
Término
independiente
2.
Con base en la tabla contesta lo siguiente, en tu cuaderno:
a)
¿Existe término independiente en las tres expresiones? ¿Por qué?
b)
¿ Cuántas variables tiene cada expresión? ¿Cuáles?
199
MATEMÁTICAS
c)
¿Qué expresión tiene mayor número de términos? ¿Con qué nombre se le identifica?
3.
Escribe en tu cuaderno el número de términos de estas expresiones.
a
b
a)
b)
x +x +5
2 4 5
c)
x 2 + 3x
4.
Escribe un ejemplo de monomio.
5.
Escribe un ejemplo de trinomio.
Compara tus respuestas con las de tu grupo de trabajo y corrige en caso de existir errores.
En forma individual realiza lo que se te indica.
Relaciona las siguientes columnas en tu cuaderno, colocando la letra correspondiente en
cada paréntesis.
a)
Se representa con una letra
( ) Expresión algebraica
b)
Término que no contiene variables
( ) Coeficiente
c)
Es el factor numérico de un término algebraico
( ) Binomio
d)
Está formada tanto por números como por
literales con sus exponentes.
( ) Término independiente
( ) Variable
e)
Expresión que consta de dos términos
( ) Trinomio
Compara tus respuestas con las de otro compañero; si tienes dudas, manifiéstaselas a tu
profesor.
CLAVE
(d), (c), (e), (b), (a).
200
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
POTENCIALMENTE HABLANDO
52
Producto de potencias
Conocimiento del procedimiento para multiplicar
potencias de la misma base
Dentro de las matemáticas existen formas de abreviar algunas operaciones; una de ellas es
una adición con sumandos iguales, la cual se abrevia con una multiplicación, mientras que
una multiplicación de factores iguales se abrevia mediante el uso de una potencia.
Observa el video, ya que en él encontrarás información interesante que te permitirá comprender mejor el tema.
Con un compañero lee y analiza.
PRODUCTO DE POTENCIAS
Para entender bien el producto de potencias se deben tener en cuenta los siguientes conceptos:
Potencia: es el producto de varios factores iguales.
Base: es el número o variable que se repite como factor.
Exponente: es el número que indica cuántas veces se toma como factor la base.
La forma general de representar una potencia es:
a n , en donde a es un número racional y n un número natural.
De aquí se tiene que a es la base y n el exponente.
Una multiplicación de factores iguales se puede expresar como una potencia indicada de
una misma base.
Ejemplos
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 36
La base es 3, el exponente es 6; la forma de leer la potencia indicada de 36 es: 3 elevado a la
sexta potencia.
201
MATEMÁTICAS
m ⋅m ⋅m = m3
La base es m y el exponente es 3; la forma de leer la potencia indicada de m3 es:
Eme elevada al cubo o eme elevada a la tercera potencia.
(4x) (4x) (4x) (4x) (4x) = (4x)5
La base es 4x, el exponente es 5; la potencia indicada (4x)5 se lee: la quinta potencia del
cuádruple de un número.
Una potencia indicada se puede expresar mediante una descomposición de factores iguales.
Ejemplos:
73 = 7 × 7 × 7
(5b)4 = (5b) (5b) (5b) (5b)
c 8 = c ⋅c ⋅c ⋅c ⋅c ⋅c ⋅c ⋅c
Si una potencia se representa en forma general como an, en donde n es un número natural,
entonces se tienen los siguientes casos:
1.
a0 = 1. La justificación de esta igualdad se dará posteriormente; por el momento, esto
indica que cualquier número elevado a la potencia cero, siempre da como resultado la
unidad.
2.
a1 es = a. Esto indica que todo número elevado a la primera potencia siempre da por
resultado el mismo número.
Ejemplos:
(12d )0 = 1
181 = 18
e0 = 1
(13ƒ)1 = 13ƒ
Obsérvense los siguientes ejemplos: 52 × 54
Cada potencia indicada se descompone en sus factores.
52 = 5 × 5, dos factores
54 = 5 × 5 × 5 × 5, cuatro factores
202
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
La multiplicación de las potencias indicadas se expresa con todos los factores; se suman los
exponentes de ellos, conservando la misma base.
52 × 54 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56
2 factores
4 factores
Obsérvese que el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores,
esto es:
52 × 54 = 52+4 = 56
m3 ⋅ m8
Cada potencia indicada se descompone en sus factores.
m3 = m ⋅m ⋅m
m8 = m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m
La multiplicación de las potencias indicadas se expresa con todos sus factores; se suman
sus exponentes, conservando la misma base.
m 3 ⋅ m 8 = m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m = m 11
3 factores
8 factores
Obsérvese que el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores,
esto es:
m 3 × m 8 = m 3 + 8 = m 11
De lo anterior se tiene lo siguiente:
1.
Las potencias indicadas tienen la misma base, esto es, 5 y m.
2.
Cada una de las potencias indicadas se descompone en sus factores.
3.
Se suma el número de factores y la suma es el exponente que corresponde a cada
base.
Por lo tanto, se tiene que la forma general de representar un producto de potencias de la
misma base es:
a m × a n = a m +n en donde a, m y n son racionales.
203
MATEMÁTICAS
Ejemplos:
( )( ) ( )
2
3
2
2
3
5
= 2
3
2+5
()
= 2
3
7
( )( ) ( )
4
7
0
4
7
12
= 4
7
12
( 3a)4 (3a)9 = (3a)13
(z 9 ) (z 0 ) = z 9
(r) (r ) = r2
(7x)0 (7x)0 = 1
De lo anterior se concluye que:
El producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de
los exponentes.
En tu cuaderno contesta lo que se te pide:
1.
¿Qué entiendes por potencia?
2.
El exponente en una potencia, ¿qué indica?
3.
Si se tiene 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8, ¿qué potencia indicada se obtiene y por qué?
4.
Si la base de una potencia indicada es b 2 y su exponente es 1, ¿qué resultado se
obtiene y por qué?
5.
Explica qué sucede cuando se multiplican dos potencias de la misma base.
Lee tus respuestas ante el grupo, como lo indique tu profesor y, si es necesario, corrige.
Continúa con dos compañeros y resuelve lo que se te pide. Trabaja en tu cuaderno.
1.
¿Cómo se leen las siguientes potencias?
m2
73
910
204
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
¿Se puede efectuar la multiplicación de (m 7 ) (n 6 )? ¿Por qué
2.
3.
Explica la forma en que resolverías
( )( )
3x
8
8
3x
8
0
4.
En los ejercicios que se tienen a continuación observa bien cuál es la base en cada
potencia indicada; posteriormente, obtén el producto de esas potencias.
a)
(6b)0 (6b)9 =
b)
(8c 7 d 9 )3 (8c 7 d 9 )8 =
c)
(16x)3 (16x)0 (16x)4 =
Confronta tus respuestas con las de otros compañeros del grupo.
Trabaja en tu cuaderno y resuelve lo siguiente:
1. Escribe dentro del paréntesis las potencias indicadas que hacen falta para que se cumpla
la igualdad.
a) ( )2 ( ) = 343
b)
( )4 (
)3 = 128
c)
( )2 ( )2 = 81
2. Usa lápices de colores para que encierres con un círculo de un mismo color aquellas
potencias que se puedan multiplicar ( por ser de la misma base ), en el esquema siguiente:
85
b6
xy
c
a 8 b 7 c 2 38
n10
3x
a 8b 3
b8
201
5x 7 y 6
8y
4c 9
n0
12 x
4
c7
8z
83
m9
(7b)9
80
1022
205
MATEMÁTICAS
3.
Halla el producto de las siguientes potencias indicadas, basándote en las preguntas.
a)
(5m 2 n 5 )7 (5 m 2 n 5 )0
¿Cuál es la base de las potencias indicadas?
¿Cuál es el resultado?
b)
( )( )( )
4 x2
3
3
4 x2
3
2
4 x2
3
0
¿ Cuál es la base de las potencias indicadas?
¿Qué exponente tendrá el producto de las potencias indicadas?
El producto de las potencias indicadas es:
¿Te resultó fácil identificar la base en estos ejercicios? ¿Por qué?
Intercambia tu cuaderno con otro(a) compañero(a) y coteja los resultados con los de la clave,
en caso de existir dudas, consulta con tu profesor.
CLAVE
( )
b) 4 x 2 ; 5; 4 x 2
3
3
5
1. (7)2 (7) = 343; (2)4 (2)3 = 128; (3)2 (3)2 = 81;
2. 85, 83, 80, b 6 , b 8 ; n10, n 0 ; c, c 7 .;
3. a) 5 m 2 n 5 ; 1; (5 m 2 n 5 )7
PARA HACERNOS MAS PEQUEÑOS
53
Cociente de potencias
Aplicación de la división de potencias de la misma base
En esta sesión analizarás formas sencillas para hallar el cociente de potencias cuando las
bases son iguales.
Invita a un compañero para leer y analizar los siguientes desarrollos:
206
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
COCIENTE DE POTENCIAS
Vamos a analizar cómo proceder cuando se presenta una división de potencias de la misma
base.
Veamos un ejemplo:
x5
x3
Observamos:
x 5 es una potencia, x 3 es una potencia
Es un cociente de potencias donde las bases son iguales: x
¿Cómo se resolverá este ejercicio?
Recuérdese que en la potencia de un número el exponente nos indica las veces que se toma
la base como factor.
Por lo tanto, representando con factores cada una de las potencias, se tiene:
x5 = x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x
x ⋅x ⋅x
x3
Indicando los cocientes, uno a uno, se tiene:
x5 = x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x
x ⋅ x ⋅ x ⋅ 1⋅ 1
x3
Simplificando y considerando que todo número dividido entre sí mismo da la unidad, se
tiene:
x 5 = 1⋅ 1⋅ 1⋅ x ⋅ x = x 2
x3
Efectuando el producto:
x 5 = 1⋅ 1⋅ 1⋅ x ⋅ x
x3
¿Qué se concluye de esto?
Que cuando hay un cociente de potencias de la misma base, el resultado es una potencia
con la misma base y el exponente es la resta de los dos exponentes del cociente.
En nuestro caso tenemos, en forma directa:
x 5 = x 5−3 = x 2
x3
207
MATEMÁTICAS
Otros ejemplos:
a)
b 8 = b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b = b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b = 1⋅ 1⋅ 1⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b = 1b 5 = b 5
b ⋅b ⋅b
b ⋅ b ⋅ b ⋅ 1⋅ 1⋅ 1⋅ 1⋅ 1
b3
y, en forma más corta
b 8 = b 8−3 = b 5
b3
b)
a 4 = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a = 1⋅ 1⋅ 1⋅ a = a
a ⋅a ⋅a
1
a3
a 4 = a 4−3 = a1 = a
a3
¡Se puede obtener el resultado más rápido si sólo se restan los exponentes y se escribe la
misma base!
Para cualquier caso podemos generalizar:
a m = a m −n , donde m y n son racionales y a ≠ 0
an
¿Y qué ocurre cuando los exponentes de las potencias son iguales?
Por ejemplo:
x3
x3
Sabemos que,
x 3 = x ⋅ x ⋅ x = x ⋅ x ⋅ x = 1⋅ 1⋅ 1 = 1
x3 x ⋅x ⋅x x x x
Pero también se puede realizar aplicando la resta de los exponentes, ¡debe dar lo mismo!
x 3 = x 3−3 = x 0 = 1
x3
De manera general se puede afirmar que
a m = a m −m = a o = 1 donde a ≠ 0 .
am
208
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Aún tendríamos otros caso, ¿qué sucede si el exponente del dividendo es menor que el
exponente del divisor. Ejemplo:
x3
x5
Sabemos que:
x3 =
x ⋅x ⋅x
= 12
5
x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x x
x
Y, si se restan los exponentes
x 3 = x 3 − 5 = x −2
x5
Comparando los desarrollos anteriores se puede concluir que:
x 3 = x −2 = 1
x5
x2
Generalizando se puede afirmar que:
a − m = 1m siendo m un número racional y a ≠ 0
a
Observa el video, te ayudará a comprender mejor los desarrollos que acabas
de realizar. Ahora podrás comentar con tus compañeros acerca del contenido
del programa.
Invita a un compañero para resolver los siguientes ejercicios en sus cuadernos.
a)
¿Qué tienen de especial las potencias que intervienen en los cocientes que acabas de
estudiar?
¿Por qué para realizar esos cocientes de potencias se pueden restar los exponentes?
b)
c)
¿Cómo explicarías a alguien que no sepa, que cualquier número elevado a la potencia
0 es igual a 1.
¿Cómo explicarías a alguien que x-–3 es lo mismo que 13 ?
x
Con un compañero completa los siguientes ejercicios en tu cuaderno.
a)
m 7 = m 7− =
m3
209
MATEMÁTICAS
b)
b 2 = b 2−
b2
=b =
c)
y2
= y 2−
y4
=y
d)
x7 = x
x5
e)
c = c 1−
c5
f)
(a − b ) 3
= (a − b ) 3 −
3
(a − b )
g)
r3 =r
r2
h)
x 2y 2
= x 2 − y 2 − = xy
xy
−
−
=
=
=
c4
= (a − b )
=
Compara tus resultados con los de los otros compañeros, en caso de que existan diferencias
consulta con tu profesor.
Relaciona en tu cuaderno la columna de la izquierda con la columna de la
derecha, escribiendo en cada paréntesis el inciso correcto.
a)
x8 =
x7
(
)
x4
b)
x7 =
x8
(
)
x
c)
x =
x
(
)
x
y
d)
x 4y 2
=
xy 2
(
)
(c – d)
e)
(c − d ) 4
=
(c − d ) 3
(
)
x3
210
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
f)
a 3b 3 =
a 5b 5
(
)
g)
x =
y
(
) 1
h)
x5 =
x
(
) 1
x
1
a 2b 2
Compara tus respuestas con las de tus compañeros, en caso de que haya diferencias consulta con tu profesor.
En forma individual, resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones:
a)
a3 =
b3
¿Se podrá llevar a cabo este cociente de potencias? ¿Por qué?
b)
Un cociente de potencias solamente se llevará a cabo....
c)
ab =
ab
d)
x =
x2
e)
d6 =
d6
f)
y4
=
y
g)
(a = b ) 7
=
(a = b ) 2
h)
m4
m9
CLAVE
g) (a + b ) 5 ; h)
1
m5
3
1
a) a 3 . No, porque las bases no son iguales; b) Si las bases son iguales; c) 1; d) ; e) 1; f) y 3 ;
x
b
LAS SUPERPOTENCIAS
54
Potencia de una potencia
Comprensión del algoritmo respectivo
Analizar y comprender las cosas nos ayuda a la deducción de reglas o leyes y en su posterior
aplicación.
211
MATEMÁTICAS
Con un compañero analiza el siguiente texto y, posteriormente, comenta las
ideas principales.
POTENCIA DE UNA POTENCIA
Analiza las siguientes expresiones y sus significados.
73 = 7 × 7 × 7
b6 = b ⋅b ⋅b ⋅b ⋅b ⋅b
En las potencias se aprecia que el exponente indica el número de veces que la base se toma
como factor. Este principio también se aplica cuando una potencia se eleva a otra potencia.
Ejemplos:
1.
(52)3 , donde la base es 52 y el exponente de dicha base es 3, lo cual indica que aparecerá
3 veces la base como factor:
(52)3 = (52) (52) (52)
Ahora, se tiene una multiplicación de potencias indicadas con la misma base, y al resolver
se conserva la base y el exponente resulta de la suma de los exponentes de los factores.
(52) (52) (52) = 52+2+2 = 56
Por lo que: (52)3 = 56
Obsérvese que al multiplicar el exponente de la base (2) con el exponente de la potencia a la
que se eleva (3) el producto es 6, el cual coincide con el exponente de la potencia resultante
56.
(52)3 = 5(2)(3) = 56
Por lo que:
(52)3 = 56
2.
(m 3 )4, donde m 3 es la base y 4 el exponente o potencia de ella, y si se descompone en
sus factores:
(m 3 )4 = (m 3 ) (m 3 ) (m 3 ) (m 3 ) = m 3 +3+3+3 = m 1 2
Por lo que
(m 3 )4 = m12
212
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Este ejercicio también se puede efectuar multiplicando el exponente de la base (3) con el
exponente de la potencia a la que se eleva (4), su producto (12) es igual al exponente del
resultado.
Esto es:
(m 3 )4 = m ( 3 )(4) = m12
Por lo que (m 3 )4 = m12
Esto se lee “ eme al cubo elevado a la cuarta potencia es igual a eme a la décima segunda
potencia”.
En general, si a es un número racional diferente de cero y m y n son racionales, se tiene:
(a m ) n
= a m ⋅ a m ⋅ a m ⋅ a m ... a m con n factores
n sumandos
= a m +m +m ... +m = a (m )(n )
esto es:
(a m ) n
= a mn
Con base en lo expuesto se concluye:
La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
Observa, junto con tus compañeros, el video. Comenta en tu grupo los aportes
que pueden enriquecer la lectura efectuada anteriormente.
Invita a un(a) compañero(a) y anoten sus respuestas en sus cuadernos:
1.
En la expresión (c 7 )4
a)
¿Qué representa el número 7?
b)
¿Qué representa el número 4?
c)
La expresión (c 7 )4 , ¿qué operación representa?
d)
Expresa (c 7 )4 como un producto de factores iguales.
e)
Escribe el producto que se obtiene.
213
MATEMÁTICAS
f)
¿Cómo podrías encontrar el resultado de esta potencia más fácilmente?
2.
¿Cuál procedimiento te parece más sencillo y por qué?
Comenta tus respuestas con otros compañeros.
Trabaja con tu compañero y contesta lo que se pide en cada caso.
Explica los pasos que sigues para resolver (m n )
p
Compara tus respuestas con las que den otros compañeros. Si tienes dudas trata de aclararlas
con ellos.
En forma individual, resuelve en tu cuaderno las siguientes potencias:
(a 7 )3 =
(b 2 0)5 =
(c 8 )2 =
[(d 2 )3]2 =
[(e 3 )2]3 =
¿Pudiste resolver las dos últimas potencias? Sí o no.
En caso de ser afirmativa tu respuesta, ¿qué procedimiento usaste?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si hay diferencias, verifica con la
clave.
CLAVE
a 21; b 100; c 16; d 1 2 ; e 18.
UNA RAÍZ QUE NO CRECE
55
Raíz de una potencia
Manejo de la radicación de potencias
Si raíz es sinónimo de origen, ¿qué significa extraer raíz a una potencia?
Observa atentamente el video, que te explicará esta idea de sinonimia.
Comenta ante tus compañeros tu interpretación del concepto.
La siguiente lectura te llevará a comprender un proceso inverso al anterior sobre la potenciación.
214
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
RAÍZ DE UNA POTENCIA
La raíz consiste en buscar una cantidad que elevada a la potencia señalada por el índice del
radical dé como resultado el subradical. Así se tiene que:
9 = 3 , porque 32 = 9
3
64 = 4 , porque 43 = 64
Pero también podría ser una raíz negativa en el primer caso, pues al elevar al cuadrado –3 se
obtiene 9. Obsérvese que esto no se cumple para el segundo ejemplo, ya que (–4)3 da como
resultado –64.
De igual forma, cuando se trata de obtener la raíz de una expresión algebraica lo que se
pretende es conocer el término que elevado a la potencia señalada por el índice dé como
resultado el subradical.
Ejemplo:
x2 = x,
porque (x)2 = x ⋅ x = x 2
x 2 = −x ,
porque (–x)2 = –x × –x = x 2
3
y 6 = y 2,
porque (y 2 )3 = y 2 × y 2 × y 2 = y 6
3
y 6 = −y 2,
porque (–y 2 )3 = (–y 2 ) × (–y 2 ) × (–y 2 ) = –y 6
4
a8 = a2,
porque (a2)4 = a2 × a2 × a2 × a2 = a8
4
a 8 = −a 2 ,
porque (–a2)4 = (–a2) × (–a2) × (–a2) × ( –a2) = a8
Cuando se extrae raíz para cierta cantidad, ésta podrá ser positiva o negativa.
Una forma práctica para operar raíces de una potencia es representar la raíz mediante exponentes racionales.
Por ejemplo
3
8=
2
1
1
1
1+ 1
2
 1
porque  4 2  = 4 2 ⋅ 4 2 = 4 2 2 = 4 2 = 41
 
1
83,
1
1
1
3
 1
porque  8 3  = 8 3 ⋅ 8 3 ⋅ 8 3 = 8 3 = 81 = 8
 
4 = 42 ,
3
215
MATEMÁTICAS
En la notación racional de un radical, el índice del radical se escribe como el denominador del exponente:
n
1
a = an
Ejemplos:
a =
3
2
3
a2,
=y
3
y6
3
8 = 83,
4
9 = 94,
6
3
porque
3
3
6
 23 
a  = a 2 ⋅a 2 = a 2 = a 3
 
porque
6
6
6
18
 63 
y  = y 3 ⋅y 3 ⋅y 3 = y 3 = y 6
 
porque
1
1
1
3
 31 
3 ⋅83 ⋅83 = 83 = 8
8
8
=
 
 
porque
1
1
1
1
 41 
4
4
4
4
9
9
9
9
9
=
⋅
⋅
⋅
=9
 
 
3
=
y2
,
3
1
4
1
Así, para obtener la raíz de una potencia, la base se eleva a una potencia que resulta de
dividir el exponente de la potencia entre el índice de la raíz.
Por lo que podríamos enunciarlo de manera general así:
n
xm = x
m
n
n
mn
 m
porque  x n  = x n = x m


Con un(a) compañero(a) efectúa las siguientes operaciones, ve el ejemplo:
1.
2.
3.
4.
(–a)3 = (–a) (–a) (–a) = –a3
(–x)2 =
(–y)4 =
(–m)7 =
Contesta brevemente las siguientes preguntas:
a)
¿Qué sucede con las potencias de bases negativas cuando se elevan a un exponente
par?
b)
¿Qué sucede con las potencias de bases negativas cuando se elevan a un exponente
impar?
216
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
4=
¿Por qué puedes encontrar dos soluciones para este ejercicio?
4
81 =
¿Cuántas soluciones encuentras?
3
–8 =
¿Cuántas soluciones encuentras?
3
8=
¿Cuántas soluciones encuentras?
2.
Explica por qué las raíces cuyo índice es par tienen más de una solución.
b)
¿Encuentras una raíz de
–4 = ?
4
–16 = ?
–x 2 = ?
¿Tendrá solución cualquier raíz de un número negativo en el conjunto de números que conoces? Explica.
Expón al grupo tus respuestas, y, si hay divergencias, coméntalas para obtener una conclusión.
Individualmente, resuelve el siguiente ejercicio. Observa el ejemplo.
6
a)
x 6 = x 2 = x 3 , porque ( x 3 ) = x 6
b)
3
–m 4 =
c)
a4 =
d)
3
–n 2 =
f)
5
–m 8 =
e)
3
a9 =
g)
5
y 10 =
2
Compara tus resultados con los de otro compañero y, si tienes dudas, consulta con tu profesor.
5
g)
5
f)
3
e)
3
d)
y 10 = y
= y 2,
10
5
−m 8 = −m 5 ,
porque
porque
8
a 9 = a 3 = a 3,
porque
porque
2
40
 8
 m 5  = −m 5 = −m 8


(a 3 ) 3 = − a 9
6
 2
 −n 3  = n 3 = −n 2


3
a 4 = a 2 = a 2,
c)
−m 4 = −m 3 ,
b)
porque
4
3
= y 10
5
9
−n 2 = −n 3 ,
(y 2 )5
CLAVE
4
porque
(a 2 ) 2 = a 4
12
 4
 m 3  = −m 3 = −m 4


3
217
MATEMÁTICAS
EL GRADUADO
56
Grado de un polinomio
Ordenación de un polinomio
Todas las cosas que te rodean precisan de un orden para así organizar mejor tu vida. Los
polinomios necesitan también un orden que ayude a analizar y resolver problemas más eficazmente.
Lee con un compañero el siguiente texto:
GRADO DE UN POLINOMIO
Una expresión algebraica puede estar formada por uno o más términos que, de acuerdo con
sus exponentes, podrán ser de primero, segundo, tercero u otro grado.
Grado de un término y de un polinomio
Un término puede tener grado absoluto, para lo cual se suman los exponentes de sus
letras o literales así:
4x es de primer grado absoluto.
3x 2 y es de tercer grado absoluto, pues x y y tienen exponentes 2 y 1, y
2 + 1 = 3.
x 3 y 2 z es de sexto grado absoluto, pues x, y y z tienen exponentes 3, 2 y 1,
y 3 + 2 + 1 = 6.
Un término puede tener un grado con relación a una letra o literal: es el exponente de dicha
letra, así:
3s 2 y es de segundo grado con relación a s, pues su exponente es 2; y de primer grado con
relación a y, pues su exponente es 1.
5x 4 y 2 z es de cuarto grado con relación a x, pues su exponente es 4; de segundo grado con
relación a y, pues su exponente es 2; y de primer grado con relación a z, pues su exponente
es 1.
El grado de un polinomio con relación a una literal será el mayor exponente que tenga
dicha letra dentro del polinomio.
218
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplos:
5x 3 + 4x 2 – 6x es de tercer grado, pues x, su única literal, tiene como exponente mayor al 3.
6x 5 y + 4x 2 y 3 – 2xy 2 es de quinto grado con relación a x, pues el exponente mayor de esta
literal en los tres términos es 5. Es de tercer grado con relación a y, pues su exponente mayor
es 3.
Ordenación de polinomios
Para efectuar con mayor facilidad las operaciones con polinomios, es conveniente ordenarlos en forma creciente o decreciente con respecto a una letra.
Al ordenar un polinomio en forma creciente, se inicia anotando el término independiente, en
segundo lugar el término de menor grado con relación a la letra señalada, el tercer término
será el que tenga el exponente que siga de valor, y así sucesivamente, de izquierda a derecha.
Ejemplo:
El polinomio 8x + 4x 3 + 5 –7x 2 se ordena, en forma creciente, de esta manera:
5 + 8x – 7x 2 + 4x 3
El polinomio 8x 3 y 2 – 9x 2 y – 8xy 2 – 6x se ordena, en forma creciente con respecto a x, de
esta manera:
–6y – 8xy 2 + 9x 2 y + 8x 3 y 2
Para ordenar un polinomio en forma decreciente, se anota como primer término el que tenga
mayor exponente en relación con una letra determinada, el segundo término será aquel que
tenga el exponente que siga en valor, y así sucesivamente. Por último se anota el término
independiente.
Ejemplos:
El polinomio 8 + 8x 2 y 4 – 6x 3 y – 3xy 2 se ordena en forma decreciente con relación a x
–6x 3 y + 8x 2 y 4 – 3xy 2 + 8
y con relación a y:
8xy 4 – 3xy 2 – 6x 3 y + 8
219
MATEMÁTICAS
La forma más conveniente de ordenar un polinomio es la decreciente o descendente, pues
permite un mejor análisis de las expresiones y facilita la resolución de ecuaciones, temas
que se verán posteriormente.
Observa el video donde verás que los polinomios se gradúan de acuerdo con
sus exponentes. Después, comenta con tus compañeros los aspectos que han
hecho claridad a la lectura realizada.
Responde con tu compañero las siguientes preguntas, en tu cuaderno.
1.
¿Cómo se obtiene el grado absoluto de un término?
2.
¿Cómo se sabe el grado de un término en relación con una letra?
3.
¿Cómo se conoce el grado de un polinomio?
Discute tus respuestas con otros compañeros. Si tuviste errores, corrígelos.
Resuelve en equipo los ejercicios siguientes. Trabaja en tu cuaderno.
1.
¿Cuál es el grado de los términos siguientes?
6a3
x
2.
3y 6
Anota el grado que se pide de la siguiente expresión: 3a2b3c
grado absoluto
en relación con a
en relación con b
en relación con c
3.
Anota el grado de los polinomios siguientes:
4x 4 – 6x + 3x 3 –8
9x 6 y 5 + 6xy – 9 + 7xy 3
grado en relación con x
grado en relación con y
4.
Ordena los polinomios siguientes como se indica:
8x 4 – 6x + 9 – 3x 3
orden ascendente
220
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
orden descendente
3a 4 – 2a 2 + 9 – 6a
orden ascendente
orden descendente
3x 4 + 3xy 3 + 6x 2 y 2 + 9
orden ascendente con respecto de x
orden descendente con respecto de x
orden ascendente con respecto de y
orden descendente con respecto de y
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenta los problemas que tuviste en
tu equipo para resolver los ejercicios anteriores. Si hay errores, corrígelos.
Individualmente, resuelve los ejercicios siguientes:
1.
Tomando como base la expresión x4y, contesta:
a)
¿Cuál es su grado absoluto?
b)
¿Cómo lo localizaste?
c)
¿Cuál es el grado con respecto de x?
d)
¿Cuál es el grado con respecto de y?
e)
¿Cómo se localiza el grado de un término con respecto de una literal?
2.
Contesta las preguntas referentes al polinomio 8x 3 – 6xy 2 + 4x 2 y.
a)
¿Cuál es el grado con respecto de x?
b)
¿Cuál es el grado con respecto de y?
c)
¿Cómo obtuviste el grado con respecto de las literales?
3.
Ordena el siguiente polinomio en la forma que se indica.
9x 3 y – 4x 2 y 4 + 12 – 5x 4 y 3
a)
Orden ascendente con respecto de x
b)
Orden descendente con respecto de x
221
MATEMÁTICAS
c)
Orden ascendente con respecto de y
d)
Orden descendente con respecto de y
e)
¿Qué criterio seguiste para ordenar el polinomio anterior?
Intercambia tus ejercicios con otro compañero y revisa con la clave. Si hay divergencias,
acláralas con tus compañeros.
CLAVE
1. a) Quinto grado; b) Sumando los exponentes de las literales; c) Cuarto grado; d) Primer
grado; e) Identificando el exponente que tiene;
2. a) Tercer grado; b) Segundo grado; c) Identificando el mayor exponente de dicha letra;
3. a) 12 – 4x 2 y 4 + 9x 3 y – 5x 4 y 3 ; b) –5x 4 y 3 +9x 3 y – 4x 2 y 4 + 12;
c) 12 + 9x 3 y – 5x 4 y 3 – 4x 2 y 4 ; d) –4xy 4 – 5x 4 y 3 + 9xy + 12.
ALGO SE CONSERVA
57
Términos semejantes con coeficiente entero
Reducción de términos semejantes con coeficiente entero
Si reduces un papel a cenizas, no conserva ninguna cualidad original; pero si sólo reduces
su tamaño, no cambian sus características fundamentales. En álgebra también se pueden
hacer reducciones y conservarán la esencia de su origen.
Así verás en el video cómo al reducir términos semejantes no se afectan sus
“cualidades”.
Invita a un(a) compañero(a) para leer y analizar el siguiente texto:
TÉRMINOS SEMEJANTES CON COEFICIENTE ENTERO
Se realiza el inventario de una papelería y se dan los siguientes informes: en mostrador hay
123 cuadernos cuadriculados, 95 cuadernos rayados, 27 cajas de plumas de tinta negra, 34
cajas de plumas de tinta azul, 18 cajas de gomas para borrar, 16 cajas de lápices y 49 cajas
de sacapuntas; y, en bodega, se tienen 418 cuadernos cuadriculados, 649 cuadernos rayados, 43 cajas de plumas de tinta negra y 17 cajas de lápices; pero 15 cuadernos cuadriculados se mojaron, 11 cuadernos rayados tenían las hojas manchadas y 2 cajas de lápices se
rompieron (lo que significa una pérdida para la papelería).
Para tener una información más clara de la existencia de artículos, es conveniente reunir
toda la información. Así se tiene que:
222
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
a)
Cuadernos cuadriculados:
123 + 418 – 15 = 526
b)
Cuadernos rayados:
95 + 649 – 11 = 733
c)
Cajas de plumas de tinta negra:
27 + 43 = 70
d)
Cajas de plumas de tinta azul:
34
e)
Cajas de gomas de borrar:
18
f)
Cajas de lápices:
16 + 17 – 2 = 31
g)
Cajas de sacapuntas:
49
Para hacer este inventario se procedió así:
•
Se sumó el número de cuadernos de la misma clase y se restó el número de ellos
inservibles.
•
Los datos correspondientes a elementos de los cuales sólo hay un número en existencia permanece.
Si llamamos con una letra a cada uno de los artículos en existencia, podemos hacer una
convención así:
Cuadernos cuadriculados :
Cuadernos rayados:
Cajas de plumas de tinta negra:
Cajas de plumas de tinta azul:
Cajas de goma de borrar:
Cajas de lápices:
Cajas de sacapuntas:
c
r
n
a
b
l
s
Si alguien quisiera tener la suma del número de artículos de la papelería podría expresarlo
así:
123c + 418c – 15c + 95r + 649r – 11r + 27n + 43n + 34a + 18b + 16l + 17l –2l + 49s y si, luego,
se suman y se restan los artículos de la misma clase, se tendrá:
526c + 733r + 70n + 34a + 18b + 31l + 49s.
No podrían realizarse más sumas porque cada término representa la existencia de artículos
de la misma clase.
De igual manera procederemos para hacer más sencillas las expresiones polinómicas con
términos semejantes.
223
MATEMÁTICAS
Ejemplos:
4a2 y –6a2 son términos semejantes, pues las literales y sus exponentes son iguales, aunque
los coeficientes sean diferentes.
–2xy – 2x3 no son términos semejantes, pues aunque tengan el mismo coeficiente y la misma literal, el exponente es diferente.
Así, cuando se tienen términos semejantes, se pueden reducir conforme al siguiente señalamiento.
1.
Cuando los términos semejantes tienen un coeficiente de igual signo, éstos se suman y el resultado llevará el signo que ellos tenían, seguido de la parte literal:
7m + 8m = 15m;
2.
–9x –3x = 12x.
Cuando los términos semejantes tienen coeficiente con diferente signo, se restan los
valores absolutos y al resultado se le da el signo del sumando con mayor valor absoluto, seguido de la parte literal:
–3m 2 + 8m 2 = 5m 2 ;
3.
12xy –21xy = –9xy
Cuando los términos semejantes son más de dos y sus coeficientes tienen signo
diferente, se agrupan en uno los de signo positivo y en otro los de signo negativo,
después se reducen ambos términos conforme se señala en el punto anterior:
–4 a + 8 a – 9 a + 7 a = –13 a + 15 a = 2 a .
Cuando exista un término que no tenga semejante para reducirse, se conserva en la expresión resultante con el signo negativo o positivo que originalmente tenía.
De todo lo anterior, se puede concluir que:
Para reducir o agrupar términos semejantes con coeficiente entero, se realiza una adición algebraica de ellos y el resultado conserva la misma parte literal.
Reúnete con dos compañeros y contesta las preguntas, en tu cuaderno.
a)
¿Serán semejantes dos términos cuyas letras son las mismas, pero su orden es diferente? ¿Por qué?
b)
¿Qué hace que dos o más términos sean semejantes?
c)
¿Qué papel desempeñan los coeficientes en términos semejantes?
224
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Compara tus respuestas con las de tus compañeros; si hay divergencia, coméntala y obtén
una conclusión.
Copia en tu cuaderno y une con una línea los términos semejantes al que está
en el círculo.
−2 x 3 y 2
−3yx
+8 y 2 x
7y 2 x
−11x 3 y
11x 2 y
4x 2 y
xy 2
−5 x 2 x
9x 2 y 2
xy 2
−6 x 2 y
−9 y 2 x
Reduce o agrupa mentalmente los siguientes términos y escribe el resultado.
a) 4m 2 n – 6m 2 n – 3m 2 n =
b) 8ab + 3ab –7ab =
c) –3a2 + 7a2 + 2a2 –14a2 =
d) 2xy + 8xy + 11xy – 24xy =
e) –14x 3 + 8x 3 – 9x 3 – 6x 3 =
f) 23mn + 14mn –33mn =
g) –12y 2 – 30y 2 + 4y 2 =
h) ¿Qué parte de cada término usaste para realizar la reducción o agrupación?
i) ¿Qué hiciste con la parte literal?
j) Explica, en forma breve, el procedimiento realizado.
Comprueba los resultados de las operaciones con la calculadora.
CLAVE
a) –5m 2 n; b) 4ab; c) –8a 2 ; d) –3xy; e) –21x 3 ; f) 4mn; g) 38y 2 ;
h) El coeficiente; i) Se conserva; j) Para reducir términos semejantes con coeficiente entero, se
realiza una adición algebraica de ellos y el resultado conserva la misma parte literal.
225
MATEMÁTICAS
INSTINTO DE CONSERVACIÓN
58
Términos semejantes con coeficiente racional
Reducción de términos semejantes con coeficiente racional
Reducir términos algebraicos que sean semejantes requiere de un cuidado especial ; en
esta sesión conocerás la forma de reducir aquellos que lo sean, pero que además tengan
coeficiente racional.
Observa el video con atención. Posteriormente, comenta las dudas que tengas
ante el grupo.
Invita a un compañero para leer y analizar el siguiente texto:
TÉRMINOS SEMEJANTES CON COEFICIENTE RACIONAL
Si se tiene la siguiente expresión algebraica:
−4 x 2 + 0.4 x 3 + 0.3 x 2 − 7 x 3 + 8 x − 4
8
5
¿Qué términos son semejantes?, ¿cómo son sus coeficientes?, ¿se podrán agrupar o reducir los términos semejantes?
Las respuestas a estas preguntas se encuentran efectuando el siguiente análisis:
Los términos 0.4 x 3 y − 7 x 3 así como −4 x 2 y 0.3 x 2 son semejantes porque son como par
8
5
tes de x 3 o de x 2 .
Los coeficientes de estos términos están en forma de fracción común y decimal.
Por lo tanto, sí se pueden reducir términos semejantes, pero es necesario expresar los coeficientes en forma de fracción común o decimal.
Si los coeficientes se expresan como fracción decimal, se tiene:
− 4 = −0.8
− 7 = 0.875
5
8
Una vez que los coeficientes están expresados como fracciones decimales, se procede a
escribirlos en la expresión original.
226
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
–0.8 x 2 + 0.4 x 3 + 0.3 x 2 – 0.875 x 3 + 8 x – 4
Ya identificados los términos semejantes, se procede a reducir; el resultado conserva la
parte literal, y los términos no semejantes se conservan, ya que éstos no se reducen con
ningún otro término, en este caso 8x y –4.
Coeficientes de x 2: –0.8 + 0.3 = –0.5
Coeficientes de x3: 0.4 – 0.875 = – 0.475
Se ordenan los términos en forma decreciente.
–0.475x3 – 0.5x 2 + 8x – 4
Este es el resultado de reducir términos semejantes en una expresión algebraica.
Los coeficientes se expresan en forma de fracción común y se convierten aquellos que estén
como fracción decimal a común.
0.4 = 4
0.3 = 3
10
10
Los coeficientes se escriben en la expresión algebraica original.
− 4 x 2 + 4 x 3 + 3 x 2 − 7 x 3 + 8x − 4
5
10
10
8
Se subrayan de igual forma los términos semejantes.
− 4 x 2 + 4 x 3 + 3 x 2 − 7 x 3 + 8x − 4
5
10
10
8
Los términos semejantes se reducen mientras que los no semejantes se conservan, ya que
no se reducen con ningún otro término, estos son 8x y –4.
Coeficientes de x 2
1
− 4 + 3 = −8 + 3 = − 5 simplificando: −
2
5 10
10
10
Coeficientes de x3:
4 − 7 = 16 − 35 = − 19
10 8
40
40
227
MATEMÁTICAS
Se colocan los términos en orden decreciente.
− 19 x 3 − 1 x 2 + 8 x − 4
40
2
Es más recomendable emplear fracciones comunes, ya que hace el procedimiento más sencillo, pues al usar fracciones decimales se tendrá el inconveniente de que existirán fracciones decimales periódicas.
Con base en lo anterior, se tiene:
Para reducir términos semejantes con coeficiente racional, se deben convertir los coeficientes en fracción común y posteriormente se reducen dichos términos; con esto se
facilita el procedimiento de la reducción.
Forma un equipo de trabajo como lo indique el profesor, y contesta lo que se
pide a continuación:
1.
¿Cuándo dos o más términos algebraicos son semejantes?
2.
Al reducir términos algebraicos semejantes, ¿qué les sucede a los coeficientes y qué a
las letras?
3.
¿Cómo reducirías o agruparías los términos semejantes en una expresión algebraica
en donde algunos tienen coeficientes en forma de fracción común y otros en forma de
fracción decimal?
4.
En las siguientes expresiones algebraicas subraya los términos semejantes y luego
escribe por qué son semejantes.
−0.25m 7n 6 + 1 m 6n + 3.2m 6n 7
5
3 c 3d 6 + 0.26c 3d 2 + 4c 3d 2 − 2.2c 3d 6
7
7
Lee tus respuestas ante el grupo y, si no coinciden, consulta con tu profesor.
En forma individual, resuelve en tu cuaderno lo siguiente:
1.
Subraya de la misma forma los términos que sean semejantes en la expresión algebraica:
4 d 3e 2 + 3.5d 3e 4 − 3 d 4e 3 − 0.26d 3e 2 − 1 d 3 − 0.5
7
8
3
228
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
a)
Escribe por qué esos términos son semejantes.
b)
Expresa como fracción decimal el coeficiente del término semejante que aparece como
fracción común. ¿Qué dificultad se te presentó?
c)
Ahora, el coeficiente del término semejante que aparece como fracción decimal,
exprésalo como fracción común.
d)
¿Cuál de estas formas te pareció más sencilla? ¿Por qué?
e)
Convierte los coeficientes de la expresión algebraica en la forma que consideraste más
sencilla.
f)
Reduce los términos semejantes.
g)
¿Qué términos no son semejantes? ¿Por qué?
h)
Escribe la expresión algebraica que se obtiene después de realizar la reducción de
términos semejantes.
2.
Una vez que ya analizaste la forma de reducir términos semejantes, ahora, en las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes.
a)
3 p 6 − 0.22 p 3 − 3 p 6 + 4 p 3 + 2
5
7
− 3 a 7 b 6 + 0.9a 4 b 6 − 0.31a 7 b 6 − 9 a 7 b 6
5
7
b)
Intercambia tu cuaderno con otro compañero para que compares tus resultados; en caso de
que los resultados sean diferentes, consulta la clave.
CLAVE
b)
h)
322 d 3e 2 + 35 d 3e 4 − 3 d 4e 3 − 1 d 3 − 5 ; 2. a) 12 p 6 + p 3 + 2;
300
5
10
7
8
10
517 a 7 b 6 − 9 a 4 b 6
700
10
246
700
1. 4 d 3e 2 , −0.26d 3e 2 ; a) Porque tienen las mismas literales y los mismos exponentes.
3
b) 4 = 1.3333333... ; c) –0.26= −26 ; d) Queda abierta;
100
3
e) 4 , 35 , −3 , − −26 , − 5 , − 1 , 1.3333...,
3
10
7
100
10
8
3.5, –0.42857, –0.26, –0.125, –0.5; f) 322 d 3e 2 ; g) 3.5d 3e 4 , − 3 d 4e 3 , 1 d 3 , –0.5; Porque
8
300
7
no tienen las mismas literales y los mismos exponentes que los dos anteriores;
229
MATEMÁTICAS
VALOR CONSTANTE
59
Valor numérico de un polinomio
Obtención del valor numérico de un polinomio
¿Has oído hablar de que el valor de las monedas de cada país depende de la reserva en oro
que tienen sus bancos?
Así se podría decir que dicho valor es inconstante o variable.
Observa el video donde conocerás más casos de valores que son inconstantes por estar supeditados a ciertas variables.
Con un compañero lee y analiza el siguiente texto:
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
Un polinomio consta de dos o más términos y, a su vez, cada término podrá tener una o más
literales, las cuáles representan valores indeterminados. Pero, ¿qué sucede cuando a esa
literales se les otorga un valor?
Obsérvese:
Se tiene el polinomio –4x + 2y – 5m2 y se asignan arbitrariamente los valores:
x = 3; y = 8; m = –2
Para encontrar el valor numérico del polinomio es necesario conocer el valor numérico de
cada uno de los términos que lo forman.
Recuérdese que, cuando aparecen en un mismo término dos o más literales sin que entre
ellas haya un signo de + o –, se trata de una multiplicación y sucederá lo mismo con las
literales y su coeficiente.
De esta forma, se tiene que:
–4x = (–4) (3) ;
+2y = (+2) (8);
–4x = –12
+2y = +16
–5m2 = (–5) (–2)2; –5m2 = –20
Una vez determinado el valor de cada término del polinomio, se reducen todos hasta encontrar un solo valor que será el que corresponda a todo el polinomio, o sea:
230
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
–12 + 16 – 20 = –16
Por lo tanto, el valor numérico de –4x + 2y – 5m 2 = –16 cuando x = 3; y = 8; m = –2
Véanse otros casos.
Para el mismo polinomio –4x + 2y – 5m 2 , se le asignan los siguientes valores a las literales:
x = –8; y = 5; m = 1
Se determina el valor numérico de cada término:
–4x
= (–4)
+ 2y
= (+2) ( 5) ;
(–8) ;
–5m 2) = (–5) (1)2;
–4x = +32
+2y = +10
–5m2 = – 5
Ahora se reducen todos los valores numéricos hasta tener uno solo que será el que corresponda al polinomio,
+ 32 + 10 – 5 = 37
Por lo tanto, el valor numérico de –4x + 2y – 5m 2 = 37 cuando x = –8; y = 5; m = 1.
Obsérvese un ejemplo más para el mismo polinomio.
Los valores de las literales son:
x = − 1;
3
y = − 2;
5
m= 1
2
El valor numérico de cada término del polinomio es:
( )
−4 x = + 4
3
( )
+2 y = − 4
5
−4 x = ( −4 ) − 1 ;
3
+2 y = ( +2) − 2 ;
5
()
2
−5m 2 = ( −5) 1 ;
2
−5m 2 = − 5
4
231
MATEMÁTICAS
Al reducir los valores numéricos de todos los términos, se tiene:
+ 4 − 4 − 5 = 80 − 48 − 75 = 43
3 5 4
60
60
Así que el valor numérico del polinomio −4 x + 2 y − 5m 2 = − 43
60
El valor numérico de un polinomio depende del valor que se asigne a las literales que lo
forman, y, por tanto, del valor numérico que corresponde a sus términos.
Con un compañero, responde en tu cuaderno.
a)
¿Qué es un polinomio?
b)
¿Qué operación representan dos o más letras juntas o un número y una o más letras
juntas?
c)
¿Cómo se asignan los valores a las variables?
d)
¿De qué depende el valor de un polinomio?
Continúa con tu compañero, y anota el número (del 1 al 5) que le corresponda
a cada paso, según el orden en que se realizan; hazlo en tu cuaderno.
Asignar el valor numérico al polinomio
( )
Determinar el valor numérico de cada término
( )
Enunciar el polinomio
( )
Reducir los valores obtenidos
( )
Asignar el valor a las letras
( )
Lee en voz alta el orden asignado y, si tuviste errores, corrígelos.
Únete a otros compañeros y completa el siguiente cuadro en tu cuaderno; efectúa las operaciones mentalmente.
232
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Valor numérico de
–5m + 2n 2 – 3x +6y 3
139
m
n
x
y
8
–4
0
–3
–8
3
1
5
–1
7
–6
–4
2
–1
2
0
–5m +2n2 –3x +6y 3
–40
128
18
+3
–21
50
48
0
Cambia tu trabajo con un compañero de otro equipo y comprueba los resultados con la
calculadora. Si hubo errores, coméntalos con él.
Individualmente, resuelve el siguiente ejercicio en tu cuaderno y anota el resultado en el lugar que corresponda.
Dado el polinomio –4a 2b + 2a –3b + 5ab y los valores a = –1 , b = 1 anota lo que se te pide:
2
a) a 2 =
b) –4a 2 b =
c) +2a =
d) –3b =
e) +5ab =
f) –4a 2 b + 2a – 3b + 5ab =
g) ¿Consideras que el procedimiento anterior es el mejor, o existirá algún otro que también
sea conveniente? Explica.
CLAVE
()
e) +5ab = ( 5) ( −1) 1 = − 5 =
2
2
c) +2a = (2) (–1) = –2;
a) a 2 = (1)2 = 1;
f) –4a 2 b + 2ab – 3b + 5ab = –8
()
b) −4a 2 b = ( −4 ) ( −1) 2 1 = − 4 = −2 ;
2
2
d) −3b = ( −3) 1 = − 3 ;
2
2
()
UNO DEPENDE DE OTRO
60
Tabulación de polinomios
Elaboración de una tabla de valores
En matemáticas, cuando se desea representar con mayor interés una información relevante
dentro de un texto, podemos utilizar una tabla de valores; ésta concentra los elementos indispensables para continuar un determinado proceso, como podría ser graficar alguna expresión. ¿Te gustaría saber cómo elaborar una tabla de valores de una expresión algebraica?
233
MATEMÁTICAS
Realiza las actividades que a continuación se indican.
Observa atentamente el video; cuando termine, comenta con un compañero
cercano la idea principal expuesta.
Lee con atención.
TABULACIÓN DE POLINOMIOS
Como ya se ha dicho, el valor de un polinomio está determinado por los diferentes valores
que se asignan a las variables, ya que.
Si a = 1 entonces 3a + 5 = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8
Si a = 2 entonces 3a + 5 = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
Si a = 3 entonces 3a + 5 = 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14
Si a = 4 entonces 3a + 5 = 3(4) + 5 = 12 + 5 = 17
Esta información se puede colocar en una tabla:
a
1
2
3
4
3a + 5
8
11
14
17
Este cuadro representa la tabulación de la expresión 3a + 5, cuando su variable adquiere los
valores de 1 a 4.
Tabular un polinomio consiste en ordenar en una tabla sus valores numéricos de acuerdo con
los distintos valores que se aplican a las variables.
También es posible tabular expresiones con más de una variable y asignar valores a cada
una de ellas.
Ejemplo: Tabular la expresión 3x 2 – 2 y para los siguientes valores de x y y.
x = –5,
y = 2;
x = 2,
y = –3;
x = –3,
y = –4;
x = –1,
y=1
Cuando x = –5 y
y=2
234
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
3(–5)2 – 2(2) = 75 – 4 = 71
Cuando x = 2 y
y = –3
3(2)2 – 2(–3) = 12 + 6 = 18
Cuando x = –3
y
y = –4
3(–3)2 – 2(–4) = 27 + 8 = 35
Cuando x = –1 y
y=1
3(–1)2 – 2(1) = 3 – 2 = 1
x
–3
2
–3
–1
y
2
–3
–4
1
3x 2 – 2y
71
18
35
1
Es importante tener presente la tabulación de polinomios, para que posteriormente pueda
aplicarse este conocimiento con representaciones gráficas de expresiones algebraicas.
Reúnete con dos compañeros y, después de analizar las siguientes preguntas,
contéstalas.
1.
Además de una tabla de valores, ¿conoces otra forma de representar matemáticamente una información sobresaliente? ¿Cuál es?
2.
¿Qué necesitas para calcular el valor numérico de una expresión algebraica?
3.
¿Qué operaciones realizas para obtener todos los valores de un polinomio?
4.
¿Se puede tabular una expresión de distintas variables?
5.
Expresa con tus palabras el procedimiento para tabular un polinomio.
Compara tus respuestas con las de otro equipo; si no coinciden, consulta con tu profesor.
Trabaja con el compañero más cercano y elabora en tu cuaderno una tabla de
valores del polinomio 2x 2 + y, para los siguientes valores de x y y.
x = 1,
y = 2;
x = 4,
y = 3;
x = 2,
y = 5;
x = 5,
y=1
235
MATEMÁTICAS
x
y
2x 2 + y
Compara tus resultados con los que dé tu profesor; si tienes errores, revisa tus procedimientos.
Individualmente, resuelve los ejercicios siguientes:
1.
¿Recuerdas una expresión para calcular el área de un triángulo si conoces la base y la
altura? Escríbela.
A=
2.
Encuentra mentalmente los valores del área de un triángulo de base b y altura h, cuando tienen los valores siguientes:
b = 6,
b = 8,
b = 11,
b = 15,
3.
h = 3;
h = 5;
h = 4;
h = 6;
A=
A=
A=
A=
Completa, en tu cuaderno, la tabla con los valores de 2 x 2 y 3 − 3 x 7 y 8
5
b
h
3
5
A
11
15
El profesor elegirá algunos compañeros para completar la tabla en el tablero. Observa las
correcciones que haga el profesor y compara tus respuestas. En caso necesario, consulta la
clave.
h
3
5
4
6
A=
9
20
22
45
236
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
b
6
8
11
15
CLAVE
61
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR
LAS MATEMÁTICAS
Evaluación parcial de lo desarrollado
Integración de lo aprendido
En esta sesión se pretende que aclares y precises tus ideas con respecto de las bases del
álgebra, lo cual te facilitará su comprensión y estudio.
Observa con atención el video, ya que por medio de él podrás dar respuesta a
tus dudas.
Integra un equipo de trabajo como lo indique tu profesor, para responder los
siguientes cuestionamientos:
1.
En el lenguaje algebraico, ¿cómo se representan los números desconocidos?
2.
De la expresión algebraica 2 x 2 y 3 − 3 x 7 y 8 , contesta lo siguiente:
5
a)
¿Cuántos términos tiene? Entonces, ¿cómo se llama?
b)
¿Cuál es el coeficiente del segundo término?
c)
¿Cuáles son los exponentes de x en cada término?
d)
¿A x y y cómo se les llama?
e)
¿Cuál es el grado de dicha expresión con respecto a y ?
3.
Dada la expresión 3a 2b 5 + 8b 4 c 2 – a 8b 3 c 4 , ¿cuáles son las variables y cuáles, las constantes? Explícalo.
4.
En una potencia indicada, ¿qué representa la base y qué, el exponente?
5.
Si tienes una multiplicación de dos potencias indicadas con la misma base, ¿cómo
obtienes el producto de ellas?
6.
8
¿Cuál es la razón por la que el cociente que se obtiene de m15 es 17 ?
m
m
7.
Explica con tus palabras cómo extraer una raíz determinada de una potencia.
8.
¿Qué entiendes por grado de un polinomio con respecto de una letra?
237
MATEMÁTICAS
9.
¿Cuándo dos términos algebraicos son semejantes?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Aclara tus dudas.
Sigue con tu equipo de trabajo. Comenten y expliquen a qué se refiere cada
una de las siguientes expresiones.
(16 9 )(16 3 ) = 1612
x 2 − 2 xy 2 + y , si x = 3, y = 1
Entonces
x 2 − 2 xy 2 + y = 4
k 13 = k 5
k8
El triple del producto de dos
números, elevado al cubo
4x 2 y 9 − x 6 y 3 + 8y − 2x 5
el grado es 9 respecto de y
(x 7 )8
Término expresado
únicamente con
factores
Factor numérico de
una expresión
algebraica
= x 56
Símbolos que tienen
un valor específico
Indica el número de veces que se
toma la base como factor
3a 2 + 7a − 8a 2 + a − 5a 2 + 8a
En forma individual, resuelve los ejercicios que se dan a continuación:
1.
Escribe en el lenguaje usual cómo se lee la expresión 2x 2 – 1.
2.
Escribe el grado del siguiente polinomio con respecto de x y ordénalo en forma descendente.
−4 x 2 y 2 + 3 x 5 y 9 + 0.23x 7 y 8 − 3x 6 y 12 + 0.1x 9 y 12 − x 4 + 1
4
4
y 9 es:
3.
El resultado de
4.
Reduce los términos que sean semejantes en el siguiente polinomio y ordénalo con
respecto de y.
3 y 4 z 5 − 0.5 y 2 z 5 + 8 y 4 z 5 − 8 y 5 z 4 − 5 y 2 z 5
13
3
7
5.
En el polinomio –4x 3 y + 5x 2 y 2 – 2xy 3 – 2, si x = 2 y y = –1, ¿cuál es su valor numérico?
238
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Intercambia tu trabajo con otro compañero y compara las respuestas con la clave; si tienes
errores, corrígelos.
CLAVE
13
7
6
4
3. y 9 ; 4. − 8 y 5 z 4 + 59 y 4 z 5 − 13 y 2 z 5 ; 5. 54
2. EI grado es 9; 0.1x 9 y 12 + 0.23 x 7 y 8 − 3 x 6 y 12 + 3 x 5 y 9 − x 4 − 4 x 2 y 2 + 1
4
1. El doble del cuadrado de un número disminuido en una unidad.
UNA REUNIÓN PECULIAR
62
Adición de polinomios
Manejo de la adición de polinomios
¿Cómo realizar la adición de varios polinomios?
Observa con atención el video, donde se mostrará algo al respecto. Después
comenta brevemente con tus compañeros acerca del contenido.
Compara tus resultados con tu compañero más cercano; si existen diferencias, consulta con
tu profesor.
Lee con tus compañeros el siguiente texto para ampliar el conocimiento que
adquiriste con el video.
ADICIÓN DE POLINOMIOS
En una fábrica hay una máquina que produce botellas, algunas de las cuales resultan defectuosas. Cada botella sin defecto produce una ganancia de x pesos y cada botella defectuosa
produce una pérdida de y pesos. En el mes de abril, la máquina produjo 15 000 botellas sin
defecto y 400 defectuosas, durante el mes de mayo la producción fue de 12 500 sin defecto
y 300 defectuosas. ¿Cuál es la ganancia neta total obtenida durante los meses de abril y
mayo?
La ganancia neta obtenida cada mes es igual a la ganancia producida por las botellas sin
defecto menos las pérdidas obtenidas debido a las botellas defectuosas.
La ganancia por cada botella sin defecto se representa con la variable x y las pérdidas por
cada defectuosa con y.
Así la ganancia de cada mes se representa de la siguiente forma:
239
MATEMÁTICAS
Ganancia de abril
15 000x – 400y
Ganancia de mayo
12 500x – 300y
La ganancia total obtenida de abril y mayo es igual a la ganancia de abril más (+) la ganancia
de mayo.
Ganancia de abril y
mayo.
15 000x – 400y
+ 12 500x – 300y
27 500x – 700y
La operación que se utilizó para solucionar el problema es una adición de polinomios.
Para facilitar la adición de polinomios se colocan en forma vertical y se procura que los
términos semejantes coincidan en la misma columna.
En este ejemplo:
(3x 2 + 3x – 5) + (7x + x 2 ) + ( 8 – 4x + 6x 2 )
Se ordenan los polinomios en orden decreciente:
3x 2 + 3x – 5
x 2 + 7x
6x 2 – 4x + 8
Se efectúan las adiciones de los coeficientes y al resultado se le coloca la misma parte literal.
3x 2 + 3x – 5
x 2 + 7x
6x 2 – 4x + 8
10x2 + 6x + 3
Ahora contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Se puede sumar 4m + 6m? ¿Por qué?
b) 5a + 4b, ¿se pueden sumar? ¿Por qué?
Compara tus respuestas; si existen diferencias, consulta con tu profesor(a).
240
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Con un compañero, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:
a)
En un salto triple, Luis realizó las siguientes marcas: en la primera parte 3 m, en la
segunda 2 m, y en la tercera 1 m. ¿Qué distancia brincó en total?
b)
En un frutero hay 6 plátanos y 2 naranjas; si se agregan 3 plátanos y 8 naranjas, ¿cuántos
plátanos y naranjas tendremos en total? Representa plátanos con p y naranjas con n?
Compara tus resultados con los de otros compañeros; si existen diferencias, consulta con tu
profesor.
Busca un compañero y resuelve los ejercicios siguientes:
a)
3x + y
+ 2x
b)
6a + 4b
+a – b
c)
3ab + 4c
+ ab
5ab – c
Realiza las siguientes adiciones acomodando los sumandos verticalmente.
a)
(x + 2) + (2x + 3) =
b)
(5a2 + b) + (3a2 + 2b) + (a2 + b) =
c)
(5x 2 + 3x + 2) + (8x – 4) + (6x 2 + 10) =
Compara tus resultados con los de tus compañeros; si existen diferencias, consulta con tu
profesor.
Resuelve las siguientes cuestiones en forma individual:
a)
(–5x 2 + 3xy + 3) + (2x 2 – 8xy + 9) + (2xy – 6) =
b)
(4a – 2b) + (a – b) + (a + b + c) =
c)
(3x 2 + 5y) + (2y 2 + 9y) + (8y + 4x 2 ) =
Compara tus resultados con los que aparecen en la clave. Corrige en caso de que tengas
errores.
CLAVE
a) –3x 2 – 3xy + 6; b) 6a – 2b + c; c) 9x 2 + 22y.
241
MATEMÁTICAS
SUMAR PARA RESTAR
63
Sustracción de polinomios
Conocimiento de la sustracción de polinomios
Ya sabes sumar y restar monomios: esto lo hiciste agrupando términos semejantes. Ahora,
¿cómo se te ocurre que podrías restar polinomios?
Observa atentamente el video; posteriormente, participa con tu grupo, mediante una lluvia de ideas, para dar respuesta a la pregunta planteada anteriormente.
Lee y analiza cuidadosamente el siguiente texto y comenta con tu compañero
más cercano la idea principal de la lectura. Si tienes dudas, consulta con tu
profesor.
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Son muchas las operaciones necesarias para resolver situaciones problemáticas, por ejemplo, para comparar áreas de figuras.
Ejemplo: hallar la diferencia entre los perímetros de las siguientes figuras:
a+b
a–1
a –1
a –1
a –1
a –1
a+b
a –1
P1 = 4a + 2b – 2
P2 =
P1 – P2 =
Para encontrar la diferencia buscada es necesario conocer el sustraendo, el cual se obtiene
sumando a –1 cuatro veces P2 = 4a – 4.
Una vez que se tienen los dos perímetros, se plantea la sustracción de 4a + 2b – 2 menos
4a – 4. Ésta se indica encerrando en paréntesis el minuendo y el sustraendo y separándolos
con el signo menos.
242
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
(4a + 2b – 2) – (4a – 4) = 2b + 2
minuendo sustraendo
¿Cómo resolver una sustracción de polinomios?
En esta operación se aplican los conocimientos sobre la sustracción de números racionales,
donde la diferencia se encuentra sumando al minuendo el inverso aditivo del sustraendo.
El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando el signo de sus términos.
4a – 4; su inverso aditivo es –4a + 4
Se procede a sumar: (4a + 2b – 2) + (–4a + 4) = 2b + 2
El procedimiento para resolver una sustracción de polinomios consiste en sumar al polinomio
minuendo el inverso aditivo del polinomio sustraendo.
Después se reducen términos semejantes, si los hay.
Ejemplo:
(4x 2 y – 6x – 3) – ( –2x 2 y + x – 8) =
1.
Como el inverso aditivo del polinomio sustraendo es 2x 2 y –x + 8, la sustracción se
transforma en adición.
(4x 2 y – 6x – 3) + (2x 2 y – x + 8)
2.
Conmutando términos
4x 2 y + 2x 2 y – 6x – x – 3 + 8 =
3.
Reduciendo o agrupando términos semejantes, encontramos el polinomio diferencia.
4x 2 y + 2x 2 y – 6x – x – 3 + 8 = 6x 2 y – 7x + 5
—— ——
== ==
Una manera más cómoda de resolver una sustracción de polinomios es hacerla en forma
vertical.
Ejemplo:
(–3a3 + 2a2 + 5) – (6a3 – 4a2 + 1) =
243
MATEMÁTICAS
1.
Se transforma en adición, utilizando el inverso aditivo del sustraendo.
( –3a3 + 2a 2 + 5) + ( –6a3 + 4a 2 –1) =
2.
Se escribe el inverso del sustraendo debajo del minuendo, de tal manera que
correspondan los términos semejantes.
–3a3 + 2a 2 +5
+ –6a3 + 4a2 –1
3.
Se reducen términos semejantes.
–3a3 + 2a2 + 5
+ –6a3 + 4a 2 – 1
–9a3 + 6a2 + 4
Participa en un grupo de tres compañeros, intercambia ideas y escribe en tu
cuaderno las conclusiones respecto de:
a)
¿Cómo encuentras el inverso aditivo de un polinomio?
b)
¿De qué manera reduces términos semejantes?
c)
Escribe el procedimiento que te parezca más sencillo para resolver una sustracción de
polinomios
d)
Explica el caso particular que representa la sustracción siguiente:
(–4a 3b + a 2 – 2) – (4a 3b – a 2 + 2) =
Con la participación de tu profesor(a), los equipos leerán sus comentarios hasta llegar a
conclusiones de grupo. Corrige si tienes errores.
En forma individual, contesta lo que se te pide:
1.
Identifica los elementos de la sustracción.
(–4a2b + 2a – 1) – (2a2b – 6a)
Polinomio sustraendo:
Polinomio minuendo:
Inverso del polinomio sustraendo:
Polinomio diferencia:
244
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
2. Escribe dos polinomios cuya diferencia sea igual a cero.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros; corrige lo necesario.
Resuelve individualmente.
Se tienen dos terrenos, A y B, con las medidas que se indican.
1x
3
A
B
y
x
Considerando la figura anterior, escribe con los símbolos correspondientes lo que se plantea.
1.
Representa el perímetro de B.
2.
Representa el perímetro de A.
3.
Representa la operación B – A.
4.
¿Cuál es la diferencia entre A y B?
El profesor elegirá algunos compañeros para que muestren sus resultados; si son diferentes,
el profesor te auxiliará; en caso necesario, consulta la clave.
CLAVE
1.
4
x
+ 2x; 2. 2 x + 2y; 3. ( 4 x + 2y) – ( 2 x + 2y); 4. 2 x.
3
3
3
3
3
SURTIDO RICO
64
Operaciones combinadas
Resolución de adición y sustracción combinadas
Al concluir la sesión podrás notar qué sencillo es adquirir destreza en la realización de operaciones de adición y sustracción combinadas.
Observa en el video los aspectos que te llevarán a resolver estas operaciones
tan especiales.
245
MATEMÁTICAS
Después del programa, comenta con tu grupo de qué manera la información que te dieron te
servirá para realizar este tipo de operaciones.
Intégrate a un equipo y realiza la lectura siguiente.
OPERACIONES COMBINADAS
Para afirmar el conocimiento de adiciones y sustracciones de polinomios, se proponen ejercicios en los que después de obtener una suma, se tenga que restar otro polinomio o donde
el resultado de una sustracción se deba sumar a otro polinomio.
Ejemplos:
De x 3 – 9x 2 y + 7y 3 restar el polinomio que resulte de sumar:
x 3 + 8x 2 y – 3xy 2 + 2y 3 con – 6x 2 y + 2xy 2 – 4y 3
Cuando se tiene que resolver una operación de este tipo, se puede proceder así
1.
Se identifica el minuendo, que en este caso es:
x3 – 9x 2 y + 7y 3
2.
Se obtiene el sustraendo, sumando las expresiones dadas:
x 3 + 8x 2 y – 3xy 2 + 2y 3
– 6x 2 y + 2xy 2 – 4y 3
x 3 + 2x 2 y – xy 2 – 2y 3
3.
Una vez obtenida la suma, que será el sustraendo, se procede a restarla del minuendo,
o sea: (x 3 – 9x 2 y + 7y 3 ) – (x 3 + 2x 2 y –xy 2 – 2y 3 ). Se ordena en columnas, pero anotando el simétrico del sustraendo (inverso aditivo), para sumarlo con el minuendo.
x 3 – 9x 2 y
+ 7y 3
–x 3 – 2x 2 y + xy 2 + 2y 3
– 11x 2 y + xy 2 + 9y 3
246
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
La adquisición de práctica para realizar estas operaciones servirá de base para avanzar
gradualmente hacia la realización de cálculos más complicados en los que se opera con
expresiones algebraicas.
Continúa trabajando con tu equipo y en tu cuaderno resuelve los siguientes
ejercicios.
1.
Encuentra la suma de:
(9a2 – 7a + 8) + (–5a2 – 2a – 3)
2.
Realiza la siguiente operación:
(12x 2 – 6) – (– 8x 2 + 2x)
Al terminar, compara tus resultados con otro equipo y corrige tus errores.
Individualmente, realiza en tu cuaderno, completando los espacios en blanco,
las expresiones algebraicas que faltan e identifica el minuendo y el sustraendo.
Aplica el cálculo mental y, posteriormente, comprueba tus resultados con la calculadora,
operando los coeficientes de términos semejantes:
1.
De 9x 3 + 9x 2 – 4, sumado con 2x 3 + 2, restar –2x 3 – 2
+ 9x 2 – 4
2x 3
11x 3 + 9x 2
+2
2
2
11x 3
2.
–
13x 3 + 9x 2
De 8x 3 + 6x 2 – 4xy + 8 restar x 2 + 4xy – 2x y 2 + 4y 3 más 2xy – 4xy2 – 2y3
x 2 + 4xy – 2xy 2 + 4y 3
2xy – 4xy 2 – 2y 3
x2
– x2
6xy2 + 2y 3
6xy + 6xy 2 – 2y 3
8x 3 + 5x 2 – 10xy + 6xy 2 – 2y 3 + 8
Compara tus resultados con los que dé tu maestro y corrige en caso de error.
247
MATEMÁTICAS
Reflexiona sobre las siguientes cuestiones y anota tu conclusión.
1. ¿Qué aspecto, en la resolución de estas operaciones combinadas, te costó más trabajo?
¿Por qué?
2. ¿Qué crees que es lo más importante de tener en cuenta en este tipo de ejercicios?
CLAVE
sustraendo
minuendo
8x 3 + 5x 2 – 10xy + 6xy 2 – 2y 3 + 8
x 2 + 6xy – 6xy 2 + 2y 3
– x 2 – 6xy + 6xy 2 –2y 3
2xy – 4xy 2 – 2y 3
+ 9x 2
+8
sustraendo
minuendo
11x 3
4xy
8x 3 + 6x 2 –
x 2 + 4xy – 2xy 2 + 4y 3
13x 3 + 9x 2
2
+2
2x3
+ 9x 2 – 4
9x 3
2x 3
11x 3 + 9x 2
+
2
– 2
SON DE LA MISMA ESPECIE
65
Productos de monomios
Multiplicación de dos monomios
Cuando dices que dos o más seres son de la misma especie, ¿a qué te refieres?
Observa atentamente el video y deduce el porqué de señalar al producto de
monomios como de la “misma especie” que ellos.
Lee y analiza, en compañía de un(a) amigo(a) de tu clase, el siguiente texto:
PRODUCTO DE MONOMIOS
Cuando tienes que encontrar el producto de dos monomios, es necesario reflexionar sobre el
producto de potencias con igual base, o bien, sobre el producto de potencias con base
diferente; temas estos sobre los cuales ya conoces cómo proceder. Además has de tener
especial cuidado con sus signos.
248
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplos:
a)
(m 2 ) (–m 3 )
m 2 y –m 3 tienen igual base
m 2 es de signo + y –m 3 es de signo –
(m 2 ) (–m 3 ) =
–m 2 + 3 = –m 5
El resultado da un monomio de signo –, porque multiplicaste (+) × (–). Como las bases son
iguales, sumaste los exponentes.
b)
(–a 2 ) (–b 2 )
–a 2 y –b 2 tienen bases diferentes
–a 2 y –b 2 tienen signo negativo
(–a 2 ) (–b 2 ) = +a 2 b 2
Como a es diferente de b, el producto quedará indicado y la multiplicación de dos monomios
con signo (–) tendrá como producto un monomio positivo, o sea, (+).
Veamos con un ejemplo los pasos a seguir en la multiplicación de dos monomios:
(–6m) (2m2).
Primero: se multiplican los coeficientes, teniendo cuidado al multiplicar sus signos:
(–6) (2) = –12
Segundo: se multiplican las bases; si son iguales, puedes proceder sumando los exponentes;
si son diferentes, se deja expresada la multiplicación: (m) (m2) = m3.
Nota: es conveniente escribir las letras en orden alfabético.
Tercero: se coloca el producto literal en seguida del producto de los coeficientes: –12m3
Otros ejemplos:
(–9ab ) (–6a 2 bx 3 ):
a)
(–9) (–6) = +54; (ab) (a 2 bx 3 ) = a3b 2 x 3
Por lo tanto:
(–9ab) (–6a 2 bx 3 ) = 54a 3 b 2 x 3
249
MATEMÁTICAS
( 21 x y )( 62 x y )
( 21)( 62 ) = 122 ; (x y )(x y
2
b)
3
2
2
3
2
) = x 5y 3
Por lo tanto:
( 21 x y )( 62 x y ) = 122 x y
2
c)
3
2
5
3
= 1 x 5y 3
6
(2mn) (–xy):
(2) (–1) = –2;
(mn) (xy) = mnxy
Por lo tanto: (2mn) (–xy) = –2mnxy
d)
(–0.5b3) (1.2ab 2 ):
(–0.5) (1.2) = –0.60;
(b 3 ) (ab 2 ) = ab 5
Por lo tanto: (–0.5b 3 ) (1.2ab 2 ) = –0.60ab 5
Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:
a)
¿A qué se le llama monomio?
b)
¿Será monomio la expresión – 3 + y ? ¿Por qué?
c)
Que operación indica la expresión (5y) + (3m)?
Comenta ante el grupo tus respuestas u observaciones.
Trabaja con dos de tus compañeros.
a)
Escriban y expliquen cómo proceden para multiplicar dos o más monomios. Si tienen
dudas, comenten con su profesor.
b)
Cada uno de ustedes proponga una multiplicación de monomios para que sea realizada
por los otros dos compañeros. Tú deberías corregir la que has propuesto.
250
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Con los mismos dos compañeros resuelve las operaciones mentalmente y forma
la figura. Para ello, busca el punto que corresponda al resultado del inciso a);
en seguida, localiza el punto con el resultado de b) y únelo con a), y así
sucesivamente. Copia el cuadro en tu cuaderno.
a)
( −6 x ) ( −3x 2 )
b)
(2mn ) ( 3m 2n 3 )
c)
(7a ) ( −8ab )
d)
( −5xy 2 ) ( − 31 x 3 y )
e)
( 62 xy ) ( 41 a )
f)
( 64 m ) (− 51 m )
g)
(8m 3 3n 2o 2 ) ( −4 pq )
h)
( −2m 2n 3 ) ( −3m 2n )
i)
(5ab 2 ) ( 41 a 3b 2 )
j)
( 62 xy ) (− 75 xy )
k)
( 72 m ) (− 51 m n )
l)
( −6ay ) ( −5 y )
2
3
3
4
−56a 2b
18 x 2
6m 3n 4
−6m 2n 3
− 5 x 4y 3
3
5 x 4y 3
3
18 x 3
− 4 m7
30
2 axy
24
−32m 3n 2o 2 pq
14 x 2 y 2
30
30axy 2
2 m 5n 5
35
− 2 m 5n
35
− 14 x 2 y 2
30
5 a 4b 4
4
14 x 2 y 2
30
−6m 2n 2
6m 4n 4
Individualmente, resuelve los ejercicios siguientes:
a)
( 64 x ) ( 29 x )=
2
3
b)
( −8a 2b ) ( −8a 2b )=
251
MATEMÁTICAS
c)
(107 mn ) ( 65 mn ) =
d)
( −2x 2 y 3 ) ( −7a 2 x ) =
e)
(9abc 2 ) ( 23 a 3b 2 ) =
f)
(5x ) (5x ) =
Ahora, contesta brevemente las siguientes preguntas, en tu cuaderno.
g)
¿Cómo son los términos del inciso b)?
h)
¿De qué otra forma podrías escribir ese producto?
i)
¿Cómo son los términos del inciso f)?
j)
¿Se podrá escribir ese producto como el del caso anterior?
Compara tus respuestas con las de la clave y, si tienes dudas, pregunta a tu profesor.
CLAVE
a) 8 x 5 = 4 x 5 ;
b) 64a 4 b 2 ;
c) 35 m 2 n 2 = 7 m 2 n 2 ;
d) 14x 2 x 3 y 3 ;
60
54
27
12
e) 18 a 4 b 3c 4 = 6ab 3c 4 ; f) –25x 2 ; g) Iguales;
h) (–8a 2 b)2; i) Simétrlcos; j) No. Porque
3
la potencia es la expresión abreviada de una multiplicación de factores iguales, y éstos no lo son.
EL GRANDE SE COME AL PEQUEÑO
66
Producto de un polinomio por un monomio
Dominio de la multiplicación de un polinomio por un monomio
¿Has oído decir que el pez grande se come al pequeño? Pues, aunque en matemáticas no
se trata de peces, algo semejante sucede,
Reúnete con un compañero y realiza la lectura comentada del siguiente texto:
PRODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Como ya se dijo, un polinomio es una expresión algebraica formada por dos o más términos
(monomios) que se separan entre sí con signos más (+) o menos (–):
–4x + 2y – 3m;
5a2b – 2a3 + 8b – 6b 2
252
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Así que, cuando se desea multiplicar un polinomio con un monomio, se recurre a la propiedad distributiva de la multiplicación. Obsérvese el ejemplo:
(ab) (2ax – 3by + 4ab)
Se multiplica el monomio por cada término que forma parte del polinomio:
(ab) (2ax)
= 2a2bx
(ab) (–3by)
= –3ab2y
(ab) (+4ab) = 4a2b2
El resultado estará formado por la adición algebraica de todos ellos, es decir:
(ab) (2ax – 3by + 4ab) = 2a2bx – 3ab2y + 4a2b2
Nótese que deben tenerse en cuenta los signos de los coeficientes, y la forma de proceder
con los exponentes cuando la base era la misma y, cuando no lo era, se dejó expresada la
multiplicación; además de que las letras de cada término aparecen en estricto orden alfabético.
Asimismo, la multiplicación de un monomio por un polinomio también se puede representar
en forma vertical y el resultado que se obtenga será el mismo.
Ejemplos:
2ax –3by + 4ab
ab
2a2bx –3ab2y + 4a2b2
(–6ax) (–8mx + 4ay –2mn) = 48amx 2 –24a2xy + 12amnx; porque:
(–6ax) (–8mx) = +48amx 2
(–6ax (+4ay) = –24a2xy
(–6ax) (–2mn) = +12amnx
o también:
–8mx + 4ay – 2mn
– 6ax
48amx2 –24a2xy + 12amnx
De esto se puede concluir que, al multiplicar un polinomio por un monomio, el resultado es
253
MATEMÁTICAS
también un polinomio cuyos términos son el producto del monomio por cada término del
polinomio factor y, ya sea que la multiplicación se exprese en forma horizontal o en forma
vertical, el resultado será el mismo.
Trabaja con tu compañero.
Los productos indicados en a) y b) son pasos planteados por un estudiante, necesarios en
una multiplicación de un monomio por un polinomio.
a)
( 23 m ) ( 41 m ) =
2
b)
( 23 m ) ( 81 n ) =
3
c)
d)
¿Cuál es el monomio que multiplica? ¿Por qué lo reconoces?
Hay en los dos productos un factor que no se repite, ¿cómo conformarían ellos un
polinomio? Escríbelo.
e)
Enuncia la operación inicial.
Compara tus resultados con los de otros compañeros.
Observa el programa con atención y juega a la lotería con lo que se te expuso
en él y lo indicado en el aspecto de Aplicación de lo aprendido. Juega a la
lotería con tus compañeros, de acuerdo con las siguientes instrucciones:
Se presentarán multiplicaciones de monomios por polinomios. Tú tendrás que resolverlas
mentalmente y subrayar la opción correcta.
El que “cante” primero lotería será el ganador, siempre y cuando sus resultados sean correctos.
1. a)
2. a)
− 2 x 2 + x 2y
3
− 5 ab + 2 ab − 3 ab
16
2
2
b)
b)
− 2 x 3 + 4 x 2y
3
4
− 5 a 2 b + a 3 b − 3 ab 2
16
2
3. a) 8mn + 4m 2n 2
b)
4. a)
10 x 2 y + 35 x 4 y 2 + 15 x 4 y
b)
10 xy 2 + 35 x 2 y 3 + 15 xy 4
5. a)
a 2 b + ab 2 − 3ab
b)
−a 2 b − ab 2 + 3ab
6. a)
1x + 4 y
5
5
b)
8m 2 + 4m 3n 3
1 x + 4 xy
5
5
254
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Si tienes dudas, consulta con algún compañero o con tu profesor, pero sólo al finalizar todos
los puntos.
Individualmente, resuelve los ejercicios:
a)
( 51 a ) ( 62 a + 31 a
b)
( −6xy − 5x + 6 y 2 ) ( −2xy 2 ) =
c)
( 3mn + 4ab ) 1 mn =
d)
( 72 ) ( 53 d
2
2
)
− 2 a3 =
10
(3 )
2
)
+ 3 d 3 − 1d 3 =
8
5
Compara tus resultados con los de otros compañeros y, si existen discrepancias, consulta
con tu profesor.
CLAVE
d) 10 d + 6 d 2 − 2 d 3
21
56
35
a) 2 a 3 + 1 a 5 + 18 a 5 ;
30
15
3
b) 12x 2 y 3 + 10x 2 y 2 –12xy 4 ;
c) m 2 n 2 + 4 abmn
3
LA UNIÓN HACE LA FUERZA
67
Producto de dos polinomios
Obtención del producto de dos polinomios
Sumar esfuerzos cuando se tiene un problema, ayuda a resolverlo. Eso tú lo sabes, pero te
preguntarás: ¿qué tiene que ver esto con el producto de polinomios? Bueno, sólo tienes que
realizar las siguientes actividades para entenderlo.
Invita a un compañero de tu grupo para observar el video. Comenta con él
cómo se obtiene el producto de dos polinomios y dónde se puede aplicar esta
operación.
Lee el siguiente texto y comenta con tus compañeros de grupo los pasos
necesarios para obtener el producto de polinomios.
255
MATEMÁTICAS
PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS
Existen situaciones en las que es necesario encontrar el producto de dos polinomios. Uno de
estos casos es cuando se requiere hallar el área de un rectángulo; por ejemplo, en la figura
siguiente la base tiene un valor y + 2 y la altura, x + 5.
5
+
x
y
+
2
Para obtener su área se efectúa la multiplicación (x + 5) (y + 2). Recuérdese que, para
obtener el producto de un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno
de los términos del factor polinomio. Así, para hallar el producto de dos polinomios se multiplican
todos los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio,
y se agrupan términos semejantes, si los hay.
Véase el ejemplo:
(x + 5) (y + 2) = x (y + 2) + 5 (y + 2) = xy + 2x + 5y + 10
Gráficamente el área del rectángulo se representa así:
5
10
5y
+
2x
xy
x
y
+
2
Existe otra forma de realizar la multiplicación de dos polinomios y es anotarlos en forma
vertical, siguiendo un proceso parecido al de la multiplicación de números de varios dígitos.
Por ejemplo (– 6m + 4n) (5m – 8n) se anota así:
–6m + 4n
5m – 8 n
256
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Se multiplica cada uno de los términos del polinomio inferior por todos los términos del
polinomio superior, con la variante de que se comienza por el lado izquierdo a multiplicar y
anotar.
–6m + 4n
5m – 8 n
–30m 2 + 20mn
Los productos parciales siguientes se anotan de manera que los términos semejantes queden
en una misma columna, y se reducen éstos para obtener el producto final.
–6m + 4n
5m – 8 n
–30m 2 + 20mn
+ 48mn – 32n 2
–30m 2 + 68mn – 32n 2
En general, de cualquiera de las dos formas se puede obtener el producto de dos polinomios,
ya que en ellas se multiplican todos los términos del primer polinomio por cada uno de los
términos del segundo polinomio.
Analiza con tu compañero de trabajo lo aprendido en la lectura, para así contestar
las siguientes preguntas:
a)
¿Cómo se obtiene el producto de un monomio por un polinomio?
b)
¿Qué tiene en común el procedimiento anterior con el que se usa para la multiplicación
de dos polinomios?
c)
Al obtener los productos parciales, ¿cuál es el paso siguiente?
d)
¿Qué aplicación puedes ilustrar?
e)
Si se quiere usar el procedimiento vertical, ¿cómo se procede?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si tienes dudas, coméntalas con el
profesor.
257
MATEMÁTICAS
Forma un equipo de trabajo y contesta los ejercicios siguientes:
1.
En tu cuaderno, representa gráficamente el producto de (2x + 1) (5y + 4)
2.
Encuentra el producto multiplicando parcialmente, en tu cuaderno.
(− 24 t + 31) ( 21 t + 4) = ______ ( ___ + _____ ) + ______ ( ___ + _____ )
= ______ – ___ + _____ + _____
3.
Resuelve directamente las multiplicaciones que siguen:
( –5r + 1) (2r + 4) =
– 7m
3m
+
–
2n
5n
Compara tus respuestas con las de otro equipo, y si existen dudas, coméntalas con tu profesor.
Resuelve individualmente el problema, contestando las preguntas siguientes:
Encuentra el área de un rectángulo cuyas dimensiones son 1 a + 4 de base y 1 a + 2 de altura.
3
2
a)
Anota en lenguaje común las dimensiones anteriores.
Base:
Altura:
b)
En tu cuaderno, representa el rectángulo y sus dimensiones.
c)
¿Qué operación se debe efectuar para obtener el área?
d)
Encuentra el área, utilizando las dos formas de obtener el producto de dos polinomios.
Compara tus respuestas con la clave. Si tienes dudas, pregunta a tu profesor.
258
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
CLAVE
1a + 4
3
1a + 2
2
1a2 + 4 a
6
2
2a + 8
3
1
16 a + 8
2
a
+
6
6
1a + 4 1a + 2 = 1a 1a + 2 + 4 1a + 2 = 1a2 + 2 a + 4 a + 8 =
3
2
3 2
2
6
3
2
= 1 a 2 + 16 a + 8
6
6
(
d)
Multiplicación de polinomios
c)
)(
1 a
3
1a
2
(
)
+
) (
)
4
4 a
2
1 a2
6
8
2
a
3
+
2
a)
b)
Base: el tercio de un número más cuatro. Altura: la mitad de un número más dos.
UN “ENTRE” PAREJO
68
Cociente de monomios
Obtención del cociente de un monomio entre otro
La palabra monomio significa “un término”. Ahora verás cómo realizar una división entre
monomios, término a término; este conocimiento te ayudará a comprender las divisiones
algebraicas en general.
Observa el video y comenta con tus compañeros qué conocimientos del año
pasado te sirven para comprender este tema.
259
MATEMÁTICAS
Forma un equipo de trabajo y lee.
COCIENTE DE MONOMIOS
Ya sabes que la división es la operación inversa de la multiplicación. Ella nos permite saber
cuántas veces cabe una cantidad en otra. El número que se va a dividir es el dividendo, el
que divide es el divisor y el resultado es el cociente.
En álgebra se aplica también esta operación en diversos casos: división de monomios, cociente de un polinomio entre un monomio, y cociente de dos polinomios. Véanse los ejemplos
siguientes de monomio entre monomio y sus componentes.
dividendo − 4r 2 s = 2r
2r 2 s
divisor
cociente
(–16m 4 n 3 ) ÷ (–4m 2 n) = 4 m 2 n 2
dividendo divisor cociente
Para efectuar la división algebraica se necesita recordar conceptos de la división entre números enteros.
El cociente de dos números positivos es un número positivo.
El cociente de dos números negativos es un número positivo.
El cociente de dos números con diferente signo es un número negativo.
Para efectuar el cociente algebraico es necesario recordar el cociente de potencias y la
potencia cero. En general:
a m = a m −n
an
y
a0 = 1
Donde m y n son números racionales y m ≠ 0.
Cuando se divide algebraicamente se pueden presentar los siguientes casos:
1.
Que los términos tengan potencias de la misma base.
260
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Ejemplos:
4
− 14 x2 = −7 x 2
2x
( −14) ÷ 2 = −7
Primero se dividen los números enteros y por último las potencias de la misma base. Todo ello se hace mentalmente,
de ser posible.
(x 4 ) ÷ (x 2 ) = x 4−2 = x 2
8r 4 s 2 = −2s
− 4r 4 s
Nótese en este ejemplo que al aplicar el cociente de potencias se obtuvo r 0 s y se sabe que r 0 = 1, de donde se tiene
que: –2r 0 s = –2(1)s y el uno al multiplicarse por los otros
factores no se escribe.
12m 2 = 4 1 = 4
m m
3m 3
Aquí el exponente de la potencia del divisor es mayor que el
del dividendo, por ello se maneja como fracción la literal.
2.
Que en los términos se encuentren potencias con bases diferentes.
Cuando se da este caso no se pueden dividir las potencias, pues no son de la misma base;
recuérdese que éstas representan diferentes valores.
Ejemplos:
−7a = + 1.4 a = 1.4a
c
c
−5c
Obsérvese que cuando las potencias son diferentes se siguen presentando como cociente.
18 x 4 y
6x 3 y
=−
−3 xz
z
Se realiza la división de coeficientes y potencias de la misma base y se mantiene el cociente de potencias de distinta
base
Se puede comprobar una división, multiplicando el cociente por el divisor y el producto debe
coincidir con el dividendo, Ejemplo:
25r 3s 2 = −12.5r 2 s 2
2r
( −12.5r 2s 2 ) (2r ) = − 25r 3s 2
261
MATEMÁTICAS
Como se observa, este proceso es de utilidad para encontrar el dividendo cuando se conoce
el divisor y el cociente en una operación. Véase el ejemplo siguiente:
4x 3
= −7 xy
( −7 xy ) ( 4 x 3 ) = − 28 x 4 y
Nótese que el dividendo se obtiene del producto del cociente por el divisor.
Cuando en la división el componente faltante es el divisor, es necesario efectuar la división
del dividendo entre el cociente, por ejemplo:
48z 4 y 2
= −12 y
48z 4 y 2
=
−12 y
− 4z 4 y
En conclusión, para encontrar el cociente de un monomio entre otro monomio se siguen los
siguientes pasos:
Dividir los coeficientes con su signo y las potencias de la misma base, considerando
para ello el cociente de números enteros y el de potencias de la misma base.
Con tus compañeros de equipo y usando la siguiente división explica con tus
palabras cómo procedes para realizarla.
9x 3 y 2
−3 xy 2
Resuelve individualmente.
Encuentra los cocientes que siguen y comprueba los resultados, auxiliándote con la calculadora.
4 3 2
− 215r 2 s 2t
15r st
=
− 723abc =
−14 xy
(634m 4n ) ÷ (22m ) =
32 xy
−5 xyz
Compara tu trabajo con el de otro compañero; si encuentras incongruencias, consulta con tu
profesor.
262
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Resuelve individualmente los ejercicios que siguen:
1.
Encuentra los cocientes.
a)
125 p 5q 4
=
15 p 3
−360q 3
32r 2
b)
2. Halla el componente que falta en cada división.
a)
20m 4 n 2 = −4m 2n
b)
15 p
= −3
q
p
Coteja tus resultados con la clave; si tienes dudas, coméntalas con tu profesor.
CLAVE
1. a) 8.3 p 2 q 2 ;
b)
11.2q 3
;
r2
2.
a) –5m 2 n
b) –45q
TODO ENTRE LO MISMO
69
Cociente de un polinomio entre un monomio
Comprensión de la división de un polinomio entre un monomio
¿Has oído la frase célebre “divide y vencerás”? Ahora, en álgebra se puede enunciar como
“divide y reducirás”. Esto es porque al efectuar divisiones algebraicas se reducen coeficientes, literales y exponentes.
Observa el video ya que de él obtendrás información que te facilitará entender
la forma de dividir un polinomio entre un monomio.
Comenta ante el grupo aquellos aspectos que sean nuevos para ti.
Lee y analiza con un(a) compañero(a).
COCIENTE DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO
A través de un ejemplo y aplicando la división entre enteros y el cociente de potencias con la
misma base, podrás comprender cómo hallar el cociente de un polinomio entre un monomio.
Si se tiene:
(6x – 12x 2 + 13x) ÷ 3x
263
MATEMÁTICAS
Una forma sencilla de llevar a cabo esta división es expresándola en notación fraccionaria.
6 x 3 − 12 x 2 + 3 x
3x
Obsérvese que el polinomio es el dividendo y el monomio es el divisor, asimismo el monomio
es el divisor común a todos y a cada uno de los términos del polinomio, por lo que la división
se indica uno a uno, es decir, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el
monomio, por lo que esta expresión se puede representar así:
6 x 3 − 12 x 2 + 3 x
3x
3x
3x
Ya sabes cómo efectuar cada división:
6x 3 = 2x 2
3x
−12 x 2 = − 4 x
3x
+3 x = +1
3x
Así pues, el cociente final se representa con las expresiones obtenidas:
6 x 3 − 12 x 2 + 3 x = 2 x 2 − 4 x + 1
3x
Ahora, se verá un ejemplo en donde intervienen otras letras:
−15c 3d + 18c 2d 2 − 30cd 3 + 3d 4
3d 3
Primero se indican las divisiones entre monomios:
−15c 3d = −5c 3
3d 3
d2
+18c 2d 2 = 6c 2
d
3d 3
−30cd 3 = −10c
3d 3
+3d 4 = +d
3d 3
264
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Aquí se observa que la letra que no es común al divisor es c ; por lo que ésta permanece
intacta en el dividendo y sólo se reduce la letra común. También obsérvese que hay ocasiones en que la literal d, al aplicar el cociente de potencias con las mismas bases, aparece en
el dividendo y en el divisor.
El cociente se representa con las expresiones obtenidas.
−15c 3d + 18c 2d 2 − 30cd 3 + 3d 4 = −5c 3 + 6c 2 − 10c + d
d
3d 3
d2
Con base en los ejemplos mostrados, se tiene que:
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del
polinomio entre el monomio; los coeficientes deben tener en cuenta los signos y las
letras el cociente de potencias con la misma base.
Con tres de tus compañeros, contesta lo que se pide a continuación.
Si se tiene: (8m 9 n 2 – 10m 7 n 4 – 20am 5 n 6 + 12m 3 n 8 ) ÷ 2m 2
1.
¿De qué otra forma se puede expresar esta división?
2.
¿Cuál es el divisor?
3.
Al dividir los coeficientes, ¿qué obtienes?, ¿qué pasa con los signos?
4.
¿Qué letra de los términos del dividendo se puede reducir o simplificar con las del
divisor? ¿Por qué?
5.
A la letra que no se reduce, ¿qué le sucede?
6.
Explica brevemente el procedimiento que usarías para resolver una división de este
tipo.
Lee ante el grupo tus respuestas, y comenta tus procedimientos.
Continúa con tus compañeros y marca con un mismo color las expresiones
algebraicas de los círculos que dan como cociente el que se indica en el siguiente esquema. Hazlo en tu cuaderno.
265
MATEMÁTICAS
+12m 2
2m
+20mn 2
2m
+40m 3
20m
+6m 3
2m
−6mn 2
2m
+6m 2
2m
+12m 2
2m
3m 2 − 4mn + 10n 2
COCIENTE
En forma mental, obtén el cociente que se pide y luego escríbelo.
1.
2a 2 + b 3 =
2ab
2.
8 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 4
4x
Compara tus resultados con los de otro compañero; si tienes errores, corrígelos
En forma individual, obtén el cociente de las expresiones siguientes:
1.
(8m 9 n 2 –10m 7 n 4 –20m 5 n 6 + 12m 3 n 8 ) ÷ 2m 2
¿ Te pareció fácil la resolución?
2.
(x 4 – 5x 3 –10x 2 + 15x + 8) ÷ –5x
¿Se te presentó alguna dificultad? Explica cuál fue.
266
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Compara tus resultados con los de la clave. Si existen errores, corrígelos.
CLAVE
3
2. − x + x 2 + 2 x + 3 − 8
5
5x
1. 4m 7 n 2 – 5m 5 n 4 – 10m 3 n 6 + 6mn 8 ;
GRAN DISTRIBUCIÓN
70
Cociente de dos polinomios I
Conocimiento del algoritmo de la división de dos polinomios
En esta sesión, verás lo fácil que es dividir polinomios siguiendo algunos pasos.
Observa atentamente el video donde se señalan los pasos que se siguen para
dividir polinomios.
Con tus compañeros, realiza la lectura, analizando y aplicando lo que conoces
sobre división de números enteros.
COCIENTE DE DOS POLINOMIOS I
Al efectuar una división, lo que se busca es una expresión llamada cociente que multiplicada
por el divisor dé como producto el dividendo.
La división de polinomios resulta sencilla si se sigue un procedimiento análogo al que conoces para la división entre números enteros.
Ejemplo 1
Dividir:
1.
21x 2 − 32 + 4 x
4 + 3x
Se ordenan los polinomios del dividendo y del divisor en forma descendente. En relación con una letra determinada, en este caso, con respecto a x:
21x 2 + 4x – 32
2.
3x + 4
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primero del divisor:
267
MATEMÁTICAS
21x 2 = 7 x
3x
3.
El resultado se anota como cociente y se multiplica por el divisor cuyo producto se
anota debajo del dividendo:
21x 2 + 4x – 32
21x 2 + 28x
4.
3x + 4
7x
Se resta la expresión anotada, cambiando de signo los términos:
21x 2 + 4x – 32
–21x 2 – 28x
3x + 4
7x
– 24x – 32
5.
Se repite el proceso tomando el residuo como dividendo:
−24 x = −8
3x
Se anota como cociente y se efectúa la multiplicación:
21x 2 + 4x – 32
–21x 2 – 28x
3x + 4
7x – 8
– 24x – 32
– 24x – 32
Se resta el producto, cambiando de signo los términos anotados:
21x 2 + 4x – 32
–21x 2 – 28x
3x + 4
7x – 8
– 24x – 32
+ 24x + 32
0 + 0
268
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
6.
El proceso se continúa hasta que el residuo sea cero o de grado inferior que el divisor.
Si el residuo es cero como en el caso anterior, se dice que la división es exacta.
Para comprobar si el cociente obtenido es correcto, se le multiplica por el divisor y el resultado debe ser el dividendo.
7x – 8
3x + 4
21x 2 – 24x
+ 28x – 32
21x 2 +
4x – 32
Reúnete con un compañero y contesta las preguntas siguientes:
Para que resulten más fáciles, háganlo siguiendo paso a paso la división de:
4a 3 + 4a + 14a 2 entre 2 + 2a
1.
¿Cuál es el primer paso para efectuar la división de polinomios?
2.
¿Cómo se encuentra el primer término del cociente?
3.
¿Qué debe hacerse para restar al dividendo el producto del cociente y el divisor?
4.
¿Cómo se comprueba la división?
Lee tus respuestas ante el grupo y discute sobre las que no coincidan. Corrige si es necesario.
Realiza con tu compañero las divisiones siguientes. Comprueba el resultado,
haciendo la multiplicación en el lado derecho.
Dividir:
(25 + 6x 3 + 17x – 27x 2 ) ÷ (4 – x)
¿Tus resultados fueron correctos? ¡Felicidades! ¿Hubo incongruencias? Revisa tus procedimientos.
De manera individual, realiza en tu cuaderno la siguiente división, justificando
cada paso, como se muestra en el primer cuadro:
269
MATEMÁTICAS
( x 3 + 9 x + 8 + 6 x 2 ) ÷ ( x + 3)
x 3 + 6x 2 + 9x + 8
Ordenar en forma decreciente los
polinomios e indicar la división
x +3
a)
b)
Compara tus resultados con la clave adjunta. Si existen diferencias, haz nuevamente la
operación y corrígela.
CLAVE
x+3
x 2 + 3x
b) x 3 + 6x 2 + 9x – 8
3x 2 + 9 x
–3x 2 – 9x
0 –0
x+3
x2
a) x 3 + 6x 2 + 9x – 8
–x 3 – 3x 2
3x 2
Dividir el residuo entre el divisor y multiplicar el cociente por el divisor y restar el
producto al dividendo.
Dividir el primer término del dividendo entre el primero del divisor y encontrar el
producto para restarlo al dividendo.
ENTRE DOS GRANDES
71
Cociente de dos polinomios II
Ejercitación del algoritmo de la división de dos polinomios
¿Te has fijado qué haces cuando deseas dominar un juego o alguna actividad en la que
quieres ser mejor? Pues ahora se te da la oportunidad de hacer lo mismo con el tema que
viste en la sesión anterior.
270
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
Observa el video que te ayudará a resolver algunas dudas, o bien, te confirmará lo aprendido.
RECUERDA. Dados los siguientes pasos, discute, con un(a) compañero(a), cómo los enumeraras desde 1 hasta 6, según un orden que te permita resolver divisiones de polinomios.
Dividir el primer término del dividendo
entre el primero del divisor.
Tomar como dividendo el residuo y
repetir el proceso.
Ordenar los polinomios del dividendo y del divisor en forma descendente con respecto de una literal.
Restar la expresión anotada y
cambiar de signo los términos.
El cociente se multiplica por el divisor
y su producto se anota debajo del
dividendo.
Continuar el proceso hasta que el
residuo sea cero o un término de
grado inferior que el divisor
Intercambien con otra pareja sus resultados para discutirlos.
Forma un equipo y resuelve las siguientes operaciones en tu cuaderno.
–6x 2 + 3x + 18
15a 2 b 3 – 9ab
2x + 3
ab – 1
Presenta tus resultados en el tablero y, si hay dudas, exponlas al grupo o a tu profesor.
En forma individual, resuelve las divisiones y relaciona ambas columnas.
a)
x 2 – 7x + 6
b)
12x 2 – 7x – 12
c)
2x 3 + 5x 2 – x – 1
2x – 1
( )x+6
d)
8 x 2 y 2 – 4 xy + 6
2xy – 3
( ) x 2 + 3x + 1
x–1
( ) 4x + 3
3x – 4
( ) 4xy + 4
271
MATEMÁTICAS
Compara tus respuestas con las de la clave y, si tienes dudas, consulta con tu profesor.
CLAVE
(b), (d), (a), (c)
72
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES
DOMINAR LAS MATEMÁTICAS
El lenguaje algebraico en tu entorno
Integración de lo aprendido
“Estudiando lo pasado, se aprende lo nuevo”. De este proverbio japonés puede deducirse la
importancia que tiene todo lo que se ha aprendido para la construcción de nuevos conocimientos.
Observa atentamente el video, te recordará lo que estudiaste en este núcleo, y
así reafirmarás los cimientos para aprendizajes posteriores
De acuerdo con tu profesor, integra un equipo de trabajo y resuelve los ejercicios.
1.
Contesta en forma breve las preguntas siguientes.
a)
¿A qué se le llama variable?
b)
¿A qué se le llama constante?
c)
¿Qué es necesario hacer para obtener el producto de dos o más potencias de la
misma base?
d)
¿Cómo se obtiene el cociente de potencias con igual base?
e)
¿Cómo se determina el grado de un polinomio?
2.
Resuelve las operaciones siguientes:
a)
m 2n 3
c)
6a 2 b + 8a – 6ab – 4ab + 9a =
d)
1 m + 2 x − 0.5m + 2.1x =
2
4
e)
(5xy – 3x 2 + 5y) + (9x 2 a2 – 3a + 8xy) =
b)
x4
272
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
(2a 2 b –3ab) – (–6a 2 b –2ab 2 ) =
f)
g)
( 41 xy ) ( 62 x y )
h)
( 74 a + 23 b − 5ab ) (−ab
2
)=
i)
( 65 m + 24 n − 3m ) (6m
2
− 7n + 2) =
j)
(2xy – 8a) ÷ (2xy – 2) =
k)
(8a 2 ) ÷ (–2a) =
I)
(–5m + 10n + 15mn) ÷ (–5m) =
3
2
Compara tus resultados con otro equipo y corrige los errores.
En forma individual, resuelve los siguientes ejercicios:
a)
Expresa en lenguaje algebraico “el doble de un número menos el cuadrado del mismo”.
b)
En la expresión A = πr 2 , las variables son... y las constantes son...
c)
La expresión –b, según su número de términos se conoce con el nombre de:
d)
La expresión 4x + 2y –3 + 5a2 se conoce con el nombre de...
e)
El orden descendente de la expresión –6x 2 + 8 + 3x 3 – 2x es ...
f)
Al reducir la expresión 2m 2 – 3m + 5m 2 + 7m 2 – 8m + 9, queda...
Relaciona ambas columnas, en tu cuaderno:
1.
(3a 2b ) − ( 93 ab )
( )
–y 2 ; y 2
2.
(–7ab 2 ) (6ab + 4a – 5b)
( )
y2
3.
(8x 2 y – 24x 2 y 3 – xy) ÷ (xy)
( )
–7a2b2 – 2ab
4.
4
y8
( )
–9a3b 2
5.
(x 2 y)4
( )
x 9y 3
273
MATEMÁTICAS
6. (5a 2 b 2 + 2ab) – (3 a 2 b 2 – ab)
( )
–42a2b3 – 28a2b2 + 35ab 3
7. (10x 3 y 4 ) ÷ (–2x 2 y 2 )
( )
x 8y 4
8. 4ab – 6ab + 2a 2 b 2 – 9a 2 b 2
( )
–5xy 2
9. (x 4 y) (x 5 y 2 )
( )
8x – 24xy 2 – 1
10. y 6 ÷ y 3
( )
2x 2 b 2 ÷ 3ab
Compara tus resultados con la clave y corrige si tienes errores.
CLAVE
a)
f)
2x –x 2 ; b) variables A, r; constantes π , 2; c) monomio; d) polinomio; e) 3x 3 – 6x 2 – 2x + 8;
14m 2 – 11m + 9; Relación de columnas: 4, 10, 8, 1, 9, 2, 5, 7, 3, 6.
¡DEMUESTRA QUE SABES!
73
El álgebra y tú
Demostración de lo aprendido
“Pobre del estudiante que no aventaje al maestro”. Esta frase de Leonardo da Vinci te invita a
superarte cada día. Demuestra tú ahora que en este núcleo lograste superar las dificultades.
Observa con atención el video, te invitará a jugar para demostrar que sabes.
Sigue las instrucciones y usa la sopa de letras que aparece en seguida.
El ganador será quien encuentre primero las respuestas.
S
E
M
E
J
A
N
T
E
S
A
A
S
O
E
I
X
E
X
P
O
N
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C
G
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B
E
R
B
A
N
274
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
E
P
S
P
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L
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S
X
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E
C
O
E
E
I
C
I
E
N
T
E
S
Ahora, resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
a)
1x + 2y − 9 + 3x − 1y + 1 =
4
3
5 2
6
10
b)
Si a = 3 y b = 2, ¿cuál es el valor de –6a 2 b?
c)
Ordena en forma descendente la expresión –3x + 9x 3 – 2x 2 + 6
d)
En la expresión –2m 3 , encierra en un círculo el exponente; en un cuadro, el coeficiente y subraya la letra.
e)
De las siguientes expresiones, encierra en un cuadro las que sean términos semejan
tes de –2a 2 b 3 .
–ab 3
–a 2 b 3
–2a 2 b 3
2a 2 b 3
a 3b
f)
En la fórmula A = Pa , encierra en un círculo la constante.
b
g)
Dados los valores siguientes de las letras, encuentra el valor numérico del polinomio.
Haz el cuadro en tu cuaderno.
m
n
1
2
3
–1
–4
1
2
1
2
–3
2
1
2
0
h)
–2m + 3n 2
Dada la figura y los datos que contiene, escribe en tu cuaderno:
a
A
B
C
b
1a
5
1a
2
275
MATEMÁTICAS
Área de A =
Área de B =
Área de C =
Área de A + B + C =
Área de A + B =
Área de C – (A + B)=
Área de B – A =
Cuando hayas terminado, espera las indicaciones del profesor para organizar una plenaria y,
junto con tus compañeros, corregir el trabajo hecho.
ARMANDO LAS PIEZAS I
74
Panorámica de lo aprendido
Integración de los tres primeros núcleos
Arma las piezas de tus conocimientos para que tengas un panorama general
de lo que hasta ahora se ha visto en los tres núcleos. Observa el video.
Con dos de tus compañeros, resuelve en tu cuaderno lo que se te indica a
continuación.
I. Completa el siguiente diagrama con cinco actividades de tu comunidad donde se apliquen las matemáticas.
APLICACIÓN DE LAS
MATEMÁTICAS
276
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
II.
Completa el diagrama, en tu cuaderno, escribiendo en lenguaje algebraico o en leguaje
común, según corresponda.
Lenguaje común
Lenguaje algebraico
5m + 3n
2
El cuadrado de un número
más el doble del mismo
número
El doble del producto de dos
números, disminuido en cinco
unidades.
3x + 2 y − 9
III.
Completa el diagrama en tu cuaderno, y escribe el procedimiento que usas o la operación a la que se hace referencia.
Operaciones con
fracciones comunes
Procedimiento
Adición
Sustracción
Se multiplican los numeradores y los denominadores,
quedando los productos en el
mismo orden.
División
277
MATEMÁTICAS
IV.
Haz el dibujo y colorea los círculos que contengan un divisor de 12.
IV.
En esta ruleta hay múmeros primos y números compuestos, colorea en tu cuaderno,
con rojo, los primeros y con negro, los segundos. En seguida, defínelos como tú los
comprendas.
Números primos:
Números compuestos:
278
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS
VI.
Completa, escribiendo el signo o la expresión que haga falta; realiza las operaciones en
la línea recta (horizontal o vertical). Hazlo en tu cuaderno.
3a 2 b 2
9a 2 b 3
a 2b
×
–
3ab 2
ab
x
×
6a 2 b
18a 4 b 4
Compara tu trabajo con el de otro grupo y si tienes dudas o errores corrige con tus compañeros.
279
MATEMÁTICAS