DIBUJO TÉCNICO UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)

Curso 2011/12
CURSO PAU 25
DIBUJO TÉCNICO
UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)
ÍNDICE
Página:
1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS…………….. 2
2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES…………………………… 4
3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS……………………………………… 5
3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES………………………………………… 6
3.2 CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL………………………………………… 7
4. DIÁMETROS CONJUGADOS……………………………………………… 7
5. SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD 7…………………………………... 8
6. PROPUESTA DE EJERCICIOS …………………………………………... 8
UNIDAD DIDÁCTICA IX Geometría 2D (V)
UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ
Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona
1
Francisco Irles Mas.
Curso 2011/12
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1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.
Una vez conocido el origen tridimensional de las cónicas vamos a
estudiarlas con más profundidad pues son de muy amplia utilización en todos
los ámbitos técnicos. Basaremos su estudio desde el concepto de lugar
geométrico, ya enunciado en el teorema de Dandelin en la unidad anterior.
ELIPSE:
Curva cerrada y plana con dos
ejes de simetría perpendiculares entre sí
que se cortan en su punto medio O y
que se denomina centro de la elipse.
Eje real: es el eje mayor de la
elipse y se denomina por AA'. Su
longitud es 2a y contiene a los focos F y
F'.
Eje imaginario: es el eje menor de
la elipse. Se denomina por BB' y su
longitud es 2b.
Figura 1: Elementos característicos de la
elipse.
Distancia focal: distancia que separa los focos F y F'. Su longitud es 2c.
Radios vectores: son los segmentos FP y F’P que unen cada punto de la
elipse con los focos. La suma de los radios vectores en cada punto de la elipse
es 2a.
Circunferencia principal: es la circunferencia de diámetro 2a y que tiene
su centro en el punto O.
Circunferencias focales: son dos circunferencias
de centros F y F' respectivamente y radio 2a.
PARÁBOLA:
Curva abierta, plana y de una sola rama, con un
eje de simetría que contiene al foco y es perpendicular
a la directriz “d”.
Vértice: Es el punto “V” de intersección de la
curva con el eje. Es equidistante del foco y de la
directriz.
Figura 2: Elementos
característicos de la
parábola.
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Parámetro: longitud de la cuerda que pasa por el foco y es paralela a la
directriz.
Radios vectores: r y r’ definidos para todo punto P como segmento FP y
el que se define sobre la recta que pasa por P y es perpendicular a la directriz.
Ambos son iguales entre sí.
Circunferencia principal: en el caso de la parábola, la circunferencia
principal se transforma en una recta perpendicular al eje y que pasa por el
vértice. Es la tangente a la curva en el vértice.
Circunferencia focal: en la parábola, la circunferencia focal coincide con
la directriz, es una circunferencia de radio infinito.
Para comprender intuitivamente estos dos últimos conceptos, podemos
considerar la parábola como una elipse que tiene uno de sus focos en el
infinito. De ahí que las dos circunferencias mencionadas tengan radio infinito y
por tanto se hayan convertido en sendas rectas. Las propiedades de la
tangente en el vértice y de la directriz serán las mismas que las de la
circunferencia principal y focal respectivamente.
HIPÉRBOLA:
Curva abierta y plana de dos ramas con dos ejes de simetría
perpendiculares entre sí.
Eje real: denominado por AA' de
longitud 2a, que corresponde a la distancia
que separa los vértices de cada una de las
ramas de la curva.
Eje imaginario: también se denomina
eje no transverso. Es perpendicular al eje
real en su punto medio. Se denomina por BB'
y su longitud es 2b.
Distancia focal: es la distancia que
separa los dos focos F y F', y se denomina
por 2c. La semi-distancia focal y los dos
semiejes están en la relación a2 + b2 = c2.
Radios vectores: son los segmentos r
y r' que unen cada punto de la curva con los
focos.
Figura 3: Elementos característicos
de la hipérbola.
Circunferencia principal: es la de centro O y diámetro 2a.
Circunferencias focales: las de centros F y F' y radio 2a.
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Asíntotas: son las tangentes a la hipérbola en el infinito y son las rectas
que contienen el segmento “c”. La hipérbola es equilátera cuando las asíntotas
forman 45º con los ejes.
2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES.
ELIPSE:
Definidos los ejes de la elipse AA' y BB', podemos localizar los focos
trazando desde B o B' un arco de circunferencia de radio "a", que cortará al eje
mayor en los focos F y F', puesto que los extremos del eje menor pertenecen a
uno de los ejes de simetría tendrán sus radios vectores iguales entre sí.
Para
hallar
distintos
puntos de la curva, marcamos
sobre el eje mayor una serie de
puntos arbitrarios 1,2,3... El
punto P1 se obtiene mediante la
intersección de dos arcos de
circunferencia; el primero de ellos
tiene su centro en F y su radio es
1A. El segundo tiene su centro
en F' y su radio es 1A'. Con el
mismo trazado podemos obtener
el punto P'1 simétrico de P1 con
respecto al eje mayor.
Figura 4: Trazado de la elipse.
Los demás puntos de la curva se obtienen
de igual forma, sustituyendo 1 por 2, 3....
En todos ellos se cumple la condición que
define a la elipse como lugar geométrico; la
suma de radios vectores en cada punto es AA'.
PARÁBOLA:
Una vez definida la directriz y el foco,
localizamos sobre el eje el punto medio entre
ambos, que será el vértice de la curva.
A partir del vértice V, marcamos una serie
de puntos arbitrarios 1, 2, 3.... El punto P1 de la
curva estará sobre una paralela a la directriz
pasando por el punto 1, y a una distancia de F
igual a D1. En el mismo trazado se puede
localizar el punto P'1 simétrico de P1.
Figura 5: Trazado de la parábola.
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Los demás puntos de la curva se obtendrán de igual forma, sustituyendo
el punto 1 por 2, 3...
En todos ellos se cumple la condición de parábola como lugar
geométrico, dado que la distancia de
cada punto al foco es la misma que a
la directriz.
HIPÉRBOLA:
Como en los dos casos
anteriores marcamos los puntos
auxiliares 1,2,3... para poder hallar los
distintos puntos de la hipérbola como
intersección de dos arcos; el primero
de ellos será el de centro F' y radios
A'1, A'2, A'3.... El segundo arco será el
de centro F y radios A1, A2, A3....
La otra rama de la hipérbola se
realizará de igual forma, tomando los
puntos auxiliares 1', 2', 3'...
Figura 6: Trazado de la hipérbola.
3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS.
La tangente en un punto de la elipse es la bisectriz del ángulo que forma
un radio vector y la prolongación del otro. Para la hipérbola y la parábola, la
tangente es la bisectriz del ángulo que forman los dos radios vectores.
Figura 7: Tangente: Bisectriz de radios vectores.
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3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES.
En la elipse llamamos así a la circunferencia de centro uno de los focos
y de radio igual al eje mayor de la elipse, es el lugar geométrico de los
simétricos del otro foco con respecto a la tangente. Existen dos, una para cada
foco.
Esto mismo ocurre con la hipérbola, tomando siempre radio 2a y centro
los focos.
Para la parábola la circunferencia focal se confunde con la directriz ya
que 2a vale infinito.
Figura 8: Circunferencias focales
3.2 CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL.
ELIPSE:
La recta FF1 es perpendicular a la
tangente, podemos decir que los pies de
las perpendiculares trazadas desde el foco
a la tangente están situados sobre una
circunferencia de centro O y radio OA. A
esta circunferencia se le denomina
circunferencia principal y se puede definir
como el lugar geométrico de los pies de las
perpendiculares trazadas desde los focos a
las tangentes.
Figura 9: Circunferencia principal.
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PARÁBOLA:
En este caso la tangente en el vértice de la parábola es el lugar
geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las
tangentes. La tangente en el vértice de la parábola goza de las mismas
propiedades que la circunferencia principal en la elipse y en la hipérbola.
HIPÉRBOLA:
En este caso
el lugar geométrico
de los pies de las
perpendiculares
trazadas desde los
focos
a
las
tangentes de una
hipérbola es una
circunferencia
de
centro O y radio
OA,
llamada
circunferencia
principal.
Figura 10: Circunferencia principal, en la parábola y en la hipérbola.
4. DIÁMETROS CONJUGADOS.
Los diámetros conjugados son las rectas que pasan por el centro de una
cónica y están dispuestos de tal forma que cualquier cuerda paralela a uno de
ellos queda dividida en dos partes iguales por el otro.
Figura 11: Diámetros conjugados en una elipse y una hipérbola.
Son de gran aplicación dando construcciones específicas, además en
cualquier proyección cilíndrica ortogonal de una elipse nos encontramos que
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las proyecciones de los ejes principales son ejes conjugados de la elipse
proyección. Esto ocurre en el caso de las proyecciones diédricas.
5. SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD 7
15
A
O1
40
T2
15
O2
0
R3
T1
1/
Dadas
dos
rectas paralelas a
una distancia de
40 mm. y un punto
A sobre una de
ellas, obtén el
enlace
de
las
mismas mediante
una curva en “S”
que arranque de A
y que sus dos
arcos tengan un
radio de 15 mm.
Figura de ejercicio 1.
2/ Obtén el dibujo de la figura resolviendo los problemas de tangencias que se
te presenten.
R20
10
74
0
+1
36
100-20
Figura de ejercicio 2: ENUNCIADO.
R100
0
R1
O2
6. PROPUESTA DE EJERCICIOS
O1
R100
1/ Dibuja una elipse conocidos
los ejes principales: eje mayor
80 mm, el menor 50 mm.
Determina y nombra sus:
vértices (AA’BB’), focos (FF’), la
circunferencia principal y las
R3
6
Figura de ejercicio 2: SOLUCIÓN.
dos focales.
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2/ Dibuja una parábola sabiendo que la distancia que media de su vértice a su
foco es de 20 mm. Obtén su directriz. Traza sus dos tangentes que forman 45º
con su eje de simetría, obteniendo los dos puntos de tangencia.
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