elastoplasticidad anisótropa de metales en grandes

Miguel Ángel Caminero Torija
ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA
DE METALES EN GRANDES
DEFORMACIONES
I.S.B.N. Ediciones de la UCLM
978-84-8427-772-9
Cuenca, 2010
ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA DE METALES EN
GRANDES DEFORMACIONES
Miguel Ángel Caminero Torija
TESIS DOCTORAL
8 de marzo de 2010
ii
Índice general
1 Introducción
1.1
1
Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Introducción a la plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Endurecimiento anisótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.3
Anisotropía elástica y anisotropía plástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.4
Grandes deformaciones elastoplásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.5
Evolución de las propiedades de anisotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2
El programa de elementos finitos DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3
Objetivos de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4
1.5
Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4.1
Elementos que alivian el bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4.2
Endurecimiento no lineal con efecto Bauschinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.4.3
Anisotropía elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2 Bloqueo Numérico: Formulaciones Mixtas
2.1
2.2
2.3
31
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Bloqueo volumétrico. Formulación u/p en DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2.1
Formulación mixta y requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2.2
Formulación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.2.3
Formulación mixta para presiones dependientes del jacobiano . . . . . . . . . . . .
44
2.2.4
Particularización a pequeñas deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2.5
Ejemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.2.6
El problema en implementaciones de modelos elastoplásticos anisótropos . . . . . .
49
Métodos mixtos basados en modos incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.3.1
Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BINC 8/9/12 . . . . . . .
50
2.3.2
Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BENH 8/9/9 . . . . . . .
64
2.3.3
Verificación de la convergencia de los elementos mixtos BINC 8/9/12 y BENH 8/9/9 67
3 Modelos avanzados de plasticidad. Endurecimiento anisótropo
73
3.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.2
Plasticidad de superficies múltiples con regla de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
iii
iv
ÍNDICE GENERAL
3.3
3.4
3.2.1
Energía elástica y energía de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.2.2
Principio de máxima disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.2.3
Descomposición / discretización de la energía de endurecimiento . . . . . . . . . .
80
3.2.4
Algoritmo de integración implícito utilizando la regla de Prager. Obtención del
parámetro de consistencia y linealización consistente . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.2.5
Simulaciones numéricas utilizando la regla de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.2.6
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Plasticidad de superficies múltiples con regla de Mróz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.3.1
La versión implícita de la regla de traslación de Mróz . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.3.2
Formulación del procedimiento iterativo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.3.3
Caso uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.3.4
Algoritmo de búsqueda de la superficie activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.3.5
Algoritmo para el cálculo del módulo elastoplástico tangente global . . . . . . . . .
98
3.3.6
Endurecimiento mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3.7
Simulaciones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.8
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Consistencia de la Plasticidad de Superficies Múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.1
3.5
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.2
Extensión multiaxial de una curva uniaxial tensión-deformación: Test bilineal . . . 105
3.4.3
Predicciones para los experimentos de Lamba y Sidebottom . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.4
‘Ratchetting’ multiaxial incontrolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4.5
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Plasticidad Cam-Clay de superficies múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5.1
Relaciones hiperelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.2
Funciones de plastificación y endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.3
Reglas de flujo y endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5.4
Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Observaciones experimentales preliminares
127
4.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2
Material de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3
Procedimiento experimental y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3.1
Dispositivos experimentales empleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.2
Resultados y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones
155
5.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2
Elastoplasticidad anisótropa computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2.1
Principio de máxima disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2.2
Algoritmo implícito de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.3
Ejemplos numéricos del modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
ÍNDICE GENERAL
v
6 Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Plasticidad isótropa en grandes deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Módulo elastoplástico tangente consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Plasticidad anisótropa en grandes deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Preproceso: Cálculo del estado de prueba (‘Trial state’) . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Llamada al modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones . .
6.3.3 Postproceso: Cálculo de tensores y actualización de variables . . . . . . . . . . . .
6.4 Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Energía elástica almacenada: hiperelasticidad ortótropa basada en medidas de deformación logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Tensores de transformación del espacio de deformaciones cuadrático al logarítmico
6.4.3 Algoritmo implícito de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Módulo elastoplástico tangente consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Verificación de la convergencia del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes
deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
184
188
190
193
193
194
194
194
7 Simulaciones numéricas en grandes
7.1 Isotropía Elástica . . . . . . . . . .
7.1.1 Isotropía Elastoplástica . .
7.1.2 Anisotropía Plástica . . . .
7.2 Anisotropía Elástica . . . . . . . .
7.2.1 Anisotropía Elástica . . . .
7.2.2 Anisotropía Elastoplástica .
211
212
212
215
218
218
221
deformaciones
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
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195
197
202
205
207
8 Conclusiones y desarrollos futuros
227
8.1 Conclusiones y aportaciones de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.2 Futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9 Apéndices
9.1 Bloqueo numérico en el MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Introducción y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Formulación de Hu-Washizu y de Hellinger-Reissner . . . . . . . . .
9.1.3 Bloqueo a cortante de elementos bidimensionales de 4 nudos . . . . .
9.1.4 El test de la parcela (patch test) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.5 Bloqueo volumétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Plasticidad Avanzada de Cam-Clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Algoritmo implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Obtención de las curvas de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Cálculo de los tensores SM y ṠM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Determinación de los parámetros de material . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Isotropía Elastoplástica : Ensayo de tracción de una barra cilíndrica
.
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233
233
233
238
243
244
246
249
249
255
260
261
263
263
vi
ÍNDICE GENERAL
9.5.2
9.5.3
9.5.4
Isotropía Elástica y Anisotropía Plástica: Estampado de una placa circular delgada 264
Anisotropía Elástica: El problema de la membrana de Cook . . . . . . . . . . . . . 266
Anisotropía Elastoplástica: Placa rectangular con agujero sometida a tracción . . . 267
Índice de figuras
1.1
Cambios de la posición atómica que acompañan al movimiento de una dislocación de cuña
a medida que ésta se mueve a lo largo de la red cristalina. Al final del proceso, se forma
un escalón sobre la superficie del cristal [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Criterio de plastificación de von Mises, representado en el espacio de tensiones principales. A la derecha, se muestra una curva tensión-deformación uniaxial, donde se detalla
la descomposición aditiva de deformaciones en elásticas y plásticas . . . . . . . . . . . . .
3
Tipos de endurecimiento habituales: (a) Endurecimiento isótropo (varía el tamaño de
la superficie de plastificación). (b) Endurecimiento cinemático (varía la posición de la
superficie de plastificación). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Textura inducida a una probeta de latón-α después de someterla a un ensayo de tracción.
Se puede observar la alineación de los granos en la dirección de carga, así como la aparición
de bandas de deslizamiento en el interior de los granos. Ensayos realizados en la UCLM [22].
5
Esquema de un proceso de laminado donde se aprecia la formación de una textura orientada
en la dirección de laminado (RD). El gráfico de la derecha muestra la evolución de la tensión
de plastificación según el ángulo α con la dirección de laminado (RD). . . . . . . . . . . .
6
Distribuciones de los módulos de elasticidad y de rigidez a torsión de dos materiales ordenados según una estructura cristalina cúbica centrada en las caras: Plutonio y Aluminio.
Figura parcialmente extraída de la referencia [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Valores aparentes de módulo de elasticidad, módulo de rigidez a cortante y coeficiente de
Poisson en un acero inoxidable en función de la orientación. Figura extraída de la referencia
[28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Variación del Módulo de Young (GPa) con la dirección de ensayo medido en chapas laminadas de cobre. Los datos experimentales han sido recogidos de los ensayos realizados por
Weerts en 1933 [29] y por Alers y Liu en 1967 [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Comparativa entre los valores suministrados por las distintas medidas de deformación.
Izquierda: en escala natural. Derecha: en escala logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.10 Curvas típicas obtenidas en un ensayo uniaxial para dos medidas de tensión y de deformación. El primer tramo es elástico, pero superados aproximadamente 335 MPa, el
comportamiento es plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
vii
viii
ÍNDICE DE FIGURAS
1.11 Simulación del ensayo a tracción de una probeta cilíndrica. Por simetría sólo es necesario modelar un cuarto de la misma. Izquierda: situación original. Derecha: probeta
deformada. Los colores representan las deformaciones plásticas (los valores más altos se
presentan en la zona de estricción. Figura extraída de la referencia [36]. . . . . . . . . . .
11
1.12 Simulación del ensayo de Taylor (impacto de un proyectil cilíndrico contra una pared
rígida). Izquierda: proyectil sin deformar (la mitad por simetría). Derecha: proyectil
deformado (se muestra completo). Figura extraída de la referencia [36]. . . . . . . . . . .
11
1.13 Proceso de estampado de un raíl en S. Izquierda: resultado experimental. Derecha: Simulación numérica del proceso de estampado. En ambos casos se pueden observar las ‘arrugas’
procedentes de la recuperación elástica tras el proceso de deformado. Figura extraída de
la referencia [37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.14 Efecto de la anisotropía plástica en procesos de conformado de metales. En la figura
se muestra el resultado de un proceso de embutición, donde aparecen las típicas ‘orejas’
debidas a la anisotropía plástica presente en el material. Figura extraída de la referencia
[38]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.15 Esquema del procedimiento experimental realizado en los ensayos de Kim y Yin de 1997
con el objeto de estudiar la evolución de la anisotropía plástica en chapas laminadas [41]
13
1.16 Resultados experimentales extraídos de la referencia [41] y parcialmente modificados. En
la figura superior se muestra los resultados para una chapa orientada un ángulo ψ de 30o
con respecto a la dirección de laminado, y pretensada posteriormente a distintos niveles de
deformación. Se observa el giro de la superficie de plastificación (curva roja). . . . . . . .
14
1.17 Evolución de la anisotropía plástica desde un punto de vista macroestructural (izquierda)
y microestructural (derecha). Izquierda: evolución de las superficies de fluencia ante deformaciones impuestas a 45o de la dirección de laminado. Derecha: evolución de la simetría
microestructural observada a través de las Figuras de Polos para las direcciones cristalográficas dadas por los índices de Miller {1,0,0}. Los valores de contorno se corresponden
con la intensidad de radiación. Los datos experimentales provienen de la Referencia [42].
El material es un acero dúctil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.18 Variación de las superficies de Hill para deformaciones secundarias cuyas direcciones principales no coinciden con las direcciones preferentes de anisotropía. Figura extraída de la
referencia [43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1
Condiciones de contorno en el medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2
Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de
9 nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.3. Se muestra la
distribución de tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ 2 )max = 0.4318
MPa y la flecha máxima es δ max = 1.6087 mm [45] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3
Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de
9 nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.499. Se muestra la
distribución de tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ 2 )max = 1.2796
MPa y la flecha máxima es δ max = 1.3098 mm [45] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
ÍNDICE DE FIGURAS
2.4
ix
Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de
9 nudos con 3 puntos de integración en presiones (formulación mixta) y un coeficiente de
Poisson de ν = 0.499. Se muestra la distribución de tensiones y la deformada. El valor
máximo de la tensión (σ2 )max = 0.3995 MPa y la flecha máxima es δ max = 1.35 mm [45]
40
2.5
Análisis elástico ortótropo lineal de un cilindro sometido a presión interna [44] . . . . . .
46
2.6
Distribución de presiones en un cilindro axisimétrico sometido a presión interna con formulación estándar (en la frontera aparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de
presión constante para g = 12 y (b) Contorno de presión para g ≈ 16 , donde se observa
bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.7
2.8
2.9
Distribución de presiones en el cilindro axisimétrico con formulación mixta (en la frontera
aparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de presión constante para g = 12 y
(b) Contorno de presión para g ≈ 16 . En este caso no hay bloqueo . . . . . . . . . . . . .
Descomposición de las funciones de forma estándar de un elemento 2D de cuatro nudos: h0
es la componente constante, h1 y h2 son las componentes lineales en ξ y η, respectivamente
y h3 es el modo hourglass en el caso bidimensional [150] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
52
h
Configuraciones implicadas en el cálculo del gradiente de deformaciones mejorado F =
GRADX [x] + F̃h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.10 Función de endurecimiento no lineal basada en la referencia [152] . . . . . . . . . . . . . .
68
2.11 Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones utilizando un elemento BINC8/9/12 y con prescripción de desplazamientos mediante el método de penalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de
von Mises, (c) Deformación plástica equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.12 Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones utilizando un elemento BENH8/9/9 y con prescripción de desplazamientos mediante
el método de penalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de von
Mises, (c) Deformación plástica equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.1
(a) Conjunto de superficies múltiples. (b) Curva uniaxial tensión-deformación y posición
de las superficies durante el proceso de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.2
Plasticidad de Superficies Múltiples. (a) Contacto de las superficies utilizando la regla de
Mróz: esta regla se basa únicamente en criterios geométricos (punto de tensión y punto de
contacto son coincidentes). (b) La regla de traslación explícita de Mróz. (’a’: superficie
activa, ’a+1’: superficie objetivo)(c)y (d) La regla de traslación implícita de Mróz, basada
en el concepto del estado de prueba σtr : (c) cuando la tensión de prueba está fuera de la
superficie objetivo, (d) cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo.
(e) La regla de traslación implícita de Prager (procedimiento iterativo): está regla está
basada en el principio de máxima disipación. Al final del proceso de convergencia, el
punto de contacto y el punto de tensión está definidos de forma independiente (no tiene
que coincidir necesariamente). El subíndice n indica el paso del procedimiento iterativo .
77
3.3
Ensayo uniaxial con un ciclo de carga. Historia de carga y resultados obtenidos . . . . . .
84
3.4
Ensayo uniaxial con varios ciclos de carga. Historia de carga y resultados obtenidos
. . .
85
3.5
Comportamiento multiaxial. Historia de carga de tensiones y resultados obtenidos . . . .
86
x
ÍNDICE DE FIGURAS
3.6
3.7
Historia temporal de la carga impuesta (izquierda). Malla utilizada y ubicación de los
resultados mostrados (derecha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tensiones en la sección central de la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
88
3.8
Plasticidad de superficies múltiples. (a) Contacto de las superfcies utilizando la regla de
Mróz. (b) La regla de traslación de Mróz explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.9 La regla de traslación implícita de Mróz: (a) cuando la tensión de prueba está fuera de la
superficie objetivo; (b) cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo . 90
3.10 Procedimiento iterativo. (a) Cálculo de la posición de la superficie activa, (b) cálculo de
las direcciones de endurecimiento de las superficies i = 1, ..., a . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.11 Comportamiento uniaxial de las reglas de traslación cinemáticas de Mróz y Prager sometidas a cargas aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.12 Comportamiento multiaxial de la plasticidad de superficies múltiples usando las reglas
de traslación de Mróz y Prager. Camino de deformación prescrito. Caminos de tensión
obtenidos con cada una de las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.13 Placa con agujero bajo una carga una carga proporcional externa. (a) Historia de desplazamientos prescrita, (b) Número máximo de superficies de endurecimiento utilizadas en las
simulaciones, (c) tensión efectiva en t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 Placo con agujero bajo una carga externa no proporcional. (a) Camino de desplazamientos
prescrito, (b) Número máximo de superficies utilizadas y (c) tensión efectiva en t = 0.12 .
3.15 Placa con agujero bajo cargas multiaxiales. Convergencia de los residuos de energía en
tres pasos de tiempo característicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.16 Consistencia del comportamiento multiaxial de los modelos de plasticidad de superficies
múltiples. (a) Curva bilineal tensión-deformación utilizada en las simulaciones. (b) Camino
de desplazamientos prescrito. (c) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación
de Prager para distinto número de superficies. (d) Predicciones obtenidas utilizando la
regla de traslación de Mróz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
104
105
106
3.17 Predicciones para los experimentos multiaxiales de Lamba y Sidebottom [112] utilizando
el modelo de superficies múltiples de la Referencia [13], basado en la regla de traslación
de Prager. (a) Camino de deformación prescrito. (b) Curva tensión cortante-deformación
cortante obtenida de las simulaciones. (c) Curva tensión axial-deformación axial obtenida
de las simulaciones. (d) Camino de tensión multiaxial obtenido de las simulaciones. . . . 109
3.18 Resultados de los experimentos multiaxiales de Lambda y Sidebottom de 1978. (a) Camino
de deformación cíclico no proporcional prescrito. (b) Comportamiento torsional experimental obtenido (tensión cortante-deformación cortante). (c) Comportamiento axial experimental (tensión axial-deformación axial). (d) Respuesta tensional experimental (tensión
cortante-tensión axial). Figuras extraídas de la referencia [112] . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.19 (a) Curva tensión-deformación, discretizada en 9 superficies.(b) Camino de carga prescrito 111
3.20 Predicciones de los caminos de deformación correspondientes a la curva tensión-deformación
y al camino de carga de la Figura 7. Se muestran los resultados correspondientes a 15 ciclos
de carga. (a) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación implícita de Mróz.
(c) Predicciones obtenidas utilizando la regla de Mróz. (b) y (d) detalles. . . . . . . . . . 112
3.21 Modelo de Cam-Clay superficies múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
ÍNDICE DE FIGURAS
xi
3.22 Endurecimiento de la superficie de consolidación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.23 Caso de no consolidación. Endurecimiento dentro de la superficie de endurecimiento. . . . 120
3.24 Comparación de las reglas de endurecimiento isótropa y cinemática en un modelo clásico
de von Mises (figura superior) y el modelo Cam-Clay propuesto . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.25 Función de endurecimiento H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.26 Resultados de la simulación ante un ciclo de carga no proporcional. La Figura (a) representa el camino de deformación volumétrica prescrito. Las Figuras (b) y (c) muestran la
influencia de la presión de consolidación pc y del número de superficies prescritos en el comportamiento de la solución obtenida. La Figura (d) representan un análisis de convergencia
en este tipo de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.27 Resultados de la simulación de un ciclo de carga no proporcional. Las Figura (a) y (b)
muestran la influencia del tamaño relativo entre superficies del modelo de superficies múltiples en la solución. Las Figura (c) muestra la influencia del parámetro de endurecimiento
a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.28 Resultados de la simulación ante varios ciclos de carga. La Figura (a) representa los ciclos
de carga prescritos. Las Figuras (b), (c) y (d) muestran el análisis de convergencia del
modelo ante cargas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1
Microestructura de Aluminio puro comercial laminado. Se observa la dirección preferente
del proceso de fabricación. Figura extraída de la referencia [166] . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2
Evolución de la microestructura de latón α con la deformación plástica. La Figura (a)
corresponde con el estado inicial de partida, la Figura (b) corresponde con una deformación
plástica del 20% en dirección vertical inducida por un proceso de laminación y la Figura
(c) corresponde con una deformación plástica del 50%. Se observa el direccionamiento que
presenta la microestructura por efecto del laminado [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3
Superposición de diferentes tipos de endurecimiento bajo deformaciones que no coinciden
con las direcciones preferentes de anisotropía: Endurecimiento cinemático (traslación de la
superficie), endurecimiento/reblandecimiento isótropo y rotación de la superficie. La figura
de la izquierda muestra la evolución de la superficie de fluencia para deformaciones impuestas según una de las direcciones preferentes. La figura de la derecha muestra la evolución
cuando las deformaciones impuestas no son según una de las direcciones preferentes. El
material es un acero al Cromo-Molibdeno-Vanadio. Figura extraída de la referencia [6]. . 129
4.4
Evolución de la superficie de plastificación ante cargas cíclicas proporcionales repetidas
impuestas en diferentes direcciones respecto a la principal. La ejecución del ensayo es
mediante tubos a tracción/compresión y cortante (ensayo tipo Taylor y Quinney). El material es acero 18G2A (según norma polaca). Las dos superficies mostradas en cada gráfica
se corresponden con deformaciones permanentes de muestreo del 0.001% y del 0.005%..
En la esquina superior izquierda se muestran las diferentes direcciones ensayadas, en la
esquina inferior izquierda se muestran los ciclos de tensión efectiva-deformación efectiva
para cada una de las direcciones ensayadas. En la parte derecha se muestran las superficies
de plastificación obtenidas, siendo la central la original. Figura adaptada de la referencia
[40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
xii
ÍNDICE DE FIGURAS
4.5
Evolución de la dirección principal X de anisotropía con deformaciones superpuestas en
direcciones diferentes a las de laminado. La Figura superior izquierda muestra un esquema
del ensayo. Las gráficas muestran la evolución del ángulo θ que forma la dirección principal
X con la de laminado (RD). Inicialmente θ = 0. El ángulo ψ es el que forma la dirección
de ensayo con la de laminado. Las tres gráficas se corresponden con ángulos ψ = 30o (a),
ψ = 45o (b) y ψ = 60o (c). Figura adaptada de la referencia [41] . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6
Evolución de las superficies de fluencia anisótropas con deformaciones superpuestas a un
ángulo de 30o con la dirección de laminado. Figura adaptada de la referencia [41] . . . . 132
4.7
Figuras de polos según la dirección cristalográfica {1, 1, 1} en aluminio puro comercial
(Al 99.5%) laminado obtenidas a partir de medidas con rayos X. Figura extraída de la
referencia [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.8
Chapa de aluminio en la configuración inicial. La geometría de la chapa es de dimensiones
2600 × 750 mm, con un espesor de 1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.9
Esquema del procedimiento operativo con las diferentes fases experimentales y geometría
de las probetas iniciales. En verde se muestra el pretensado inicial en la dirección de
laminado (RD). Los ejes en rojo determinan la dirección de los segundos pretensados,
concretamente, a diferentes ángulos θ respecto de la dirección de laminado y por último,
en azul y a un ángulo α respecto de la dirección del segundo pretensado, se obtienen las
probetas normalizadas donde se determina la tensión de fluencia σy . . . . . . . . . . . . . 139
4.10 Portico de ensayos, de la empresa Servosis, ubicado en E.T.S. de Caminos, Canales y
Puertos de Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.11 Máquina de ensayos triaxial, de la empresa MICROTEST, ubicada en la E.T.S. de Ingenieros Industriales de Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha . . . . . . . . . . 142
4.12 Videoextensómetro acoplado a la máquina de ensayos para la medida de la deformación. . 143
4.13 Curva característica Tensión-Deformación del material de partida en la dirección de laminado144
4.14 Determinación del límite elástico convencional al 0, 2 % de deformación plástica total. . . 145
4.15 Detalle procedimiento experimental fase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.16 Comparación de los resultados experimentales de anisotropía plástica con el modelo teórico
de Hill. Se presentan, en formato de barras de error, la desviación del modelo teórico
respecto de los resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.17 Esquema del procedimiento experimental de la segunda fase: primer pretensado en la
dirección de laminado a dos niveles de deformación plástica: 2% y 4%. . . . . . . . . . . . 146
4.18 Detalles del procedimiento experimental de la fase 2: (a) Montaje de la probeta inicial
para el pretensado inicial (fase 2), (b) Detalle del montaje de la probeta inicial , (c) y (d)
Detalles de las mordazas y acoplamientos de la fase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.19 Detalles geométricos de las mordazas de ensayo para las probetas en configuración inicial
148
4.20 Curvas fuerza-desplazamiento procedentes de los pretensados iniciales: (a) 11,5 toneladas
(2% de deformación plástica permanente) y (b) 13 toneladas (4% de deformación plástica
permanente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
ÍNDICE DE FIGURAS
xiii
4.21 Evolución de la tensión de fluencia σ y en las chapas de aluminio 5754 laminadas para
diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas a la dirección de laminado. Las deformaciones superpuestas corresponden con el 2% y 4% de deformación plástica en la dirección
de laminado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.22 Esquema del procedimiento experimental de la tercera fase: segundo pretensado a un ángulo θ (30o , 45o , 60o y 90o ) respecto de la dirección de laminado (RD) a diferentes niveles:
1%, 2%, 5% y 10%, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.23 Detalle de las probetas de la fase 3. En esta fase se lleva a cabo el segundo pretensado a
diferentes niveles de deformación plástica. Las deformaciones impuestas fueron 1%, 2%,
5% y 10%, para diferentes orientaciones θ (a 30o , 45o , 60o y 90o respecto de la dirección
de laminado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.24 Montaje experimental fase 3: a la izquierda, máquina de ensayos triaxial, a la derecha,
probeta secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.25 Esquema del procedimiento experimental de la cuarta fase: obtención de probetas normalizadas de 0o a180o con objeto de determinar la evolución del límite elástico con la
orientación respecto de la dirección de laminado (RD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.26 Detalles del montaje experimental de la cuarta fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.27 Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secundarios en la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimentales
con puntos y el ajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en línea
continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.28 Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secundarios a 45o de la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimentales con puntos y el ajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en
línea continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1
Tensión de fluencia en chapas laminadas de acero para diferentes ángulos α respecto
de la dirección de laminado y para diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas en
la dirección de laminado. Los puntos se corresponden con resultados experimentales,
mientras que las curvas son las funciones de Hill ajustadas, resultando unos valores de
f = 0.3613, g = 0.3535, y h = 0.4957 [41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2
Direcciones principales y aparentes en la determinación del tensor de constantes elásticas
5.3
Camino de deformación proporcional (a) y no proporcional (b) prescritos para el análisis
del modelo de elasto-plasticidad de Hill en pequeñas deformaciones . . . . . . . . . . . . . 170
5.4
Simulaciones numéricas del algoritmo de Hill en condiciones de isotropía. Camino de
tensión prescrito. (a) endurecimiento isótropo y (b) endurecimiento cinemático . . . . . . 171
5.5
Ejemplo numérico para verificar el algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas
deformaciones de la referencia [174]. Geometría, condiciones de contorno e historia de carga 172
5.6
Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones. Deformada y desplazamientos
nodales de la simulación de la Referencia [174] bajo la hipótesis de endurecimiento isótropo
θ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
159
xiv
ÍNDICE DE FIGURAS
5.7
Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En el
perímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en
mm. A la derecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías
del problema. Se han utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . 174
5.8
Estampado de una placa circular delgada bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones.
Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para tres desplazamientos
radiales distintos: (a) u = 2.5 mm, (b) u = 5 mm y (c) u = 7.5 mm. En la simulación se
han utilizado elementos mixtos tridimensionales BM IX 27/27/4. . . . . . . . . . . . . . 175
6.1
Descomposición multiplicativa de Lee del gradiente de deformación F en parte elástica Fe
y parte plástica Fp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2
Configuraciones en el proceso de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.3
Principales configuraciones utilizadas en la linealización del algoritmo en la iteración (i) . 192
6.4
Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones utilizando un elemento BRICK 8/8 deformado y con dos tipos de cargas: (a) prescripción de desplazamientos mediante el método de penalización y (b) prescripción de
fuerzas. De arriba a abajo: geometría y condiciones de contorno, deformación plástica
equivalente y tensión de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.1
Ensayo de tracción de una barra cilíndrica. Geometría y Condiciones de Contorno. A la
derecha se presenta un octavo del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema.
Se han utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.2
Ensayo de tracción de una barra circular. Modelo de elastoplasticidad anisótropa bajo
condiciones de isotropía elástica. Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para u = 14 mm: (a) Simulación utilizando elementos BRCK 27/27 en formulación
estándar, (b),(c) y (d): Análisis de convergencia de malla. En estas simulaciones se han
utilizando elementos BMIX 27/27/4 en formulación mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3
Ensayo de tracción de una barra circular. Condiciones de isotropía elastoplástica. Deformadas para u = 14 mm y distribución de tensión plástica equivalente. (a) Configuración
de referencia, (b) Estado final utilizando el modelo de elastoplasticidad anisótropa basado
en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de isotropía, (c) Estado final utilizando el modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica, basado en tensiones de Kirchhoff y (d)
Estado final utilizando el modelo de elastoplasticidad isótropa [36]
. . . . . . . . . . . . 215
7.4
Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En el
perímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en
mm. A la derecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías
del problema. Se han utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . 216
7.5
Estampado de una placa circular. Análisis de convergencia de malla. Distribución de
deformación plástica equivalente y deformada para u = 75 mm. Se ha utilizado el modelo
de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones bajo la hipótesis de isotropía
elástica, con elementos BM IX 27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
ÍNDICE DE FIGURAS
xv
7.6
Estampado de una placa circular para el caso A. Distribución de deformación plástica
equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm,
(b) u = 50 mm y (c) u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos: en
la parte derecha de la figura se representan los resultados del modelo de elastoplasticidad
anisótropa en grandes deformaciones, basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis
de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado el modelo de plasticidad
anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones de Kirchhoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales BM IX
27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.7
Estampado de una placa circular para el caso B. Distribución de deformación plástica
equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm,
(b) u = 50 mm y (c) u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos:
en la parte derecha de la Figura se representan los resultados utilizando el modelo de
elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, basado en tensiones de Mandel,
bajo la hipótesis de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado el modelo de
plasticidad anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones
de Kirchhoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales
BM IX 27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.8
Membrana de Cook. Geometría y condiciones de contorno. La membrana está empotrada
en el lado izquierdo. En el lado derecho se aplica una fuerza de valor Fy . Las dimensiones
están en mm. En la parte izquierda se presenta la discretización del modelo con elementos
tridimensionales BRICK 27/27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.9
Membrana de Cook. Deformada para una carga de Fy = 0.7 N en diferentes vistas. Se
han utilizando elementos BRCK 27/27 en formulación estándar. . . . . . . . . . . . . . . 222
7.10 Placa rectangular con agujero sometida a tracción. Configuración de referencia y discretización con malla gruesa utilizando elementos mixtos BEHN 8/9/9. En el caso de
isotropía, se ha discretizado un cuarto del modelo, debido a las simetrías del problema. . 222
7.11 Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GP a,
ν = 0.3, G = 26.92 GP a). Hipótesis de deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.12 Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plástica
equivalente para los ángulos θ = 0o , 10o , 30o , 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde
la esquina superior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos
BEHN 8/9/9. Hipótesis de deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.13 Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GP a,
ν = 0.3, G = 26.92 GP a). Hipótesis de tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.14 Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plástica
equivalente para los ángulos θ = 0o , 10o , 30o , 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde
la esquina superior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos
BEHN 8/9/9. Hipótesis de tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.1
Elemento viga de 2 nudos con 2 grados de libertad por nudo [45] . . . . . . . . . . . . . . 233
xvi
ÍNDICE DE FIGURAS
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
Elemento de cuatro nudos sometido a flexión. (a) elemento, (b) respuesta del elemento,
(c) respuesta deseable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modos incompatibles de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Test de la parcela para elementos de cuatro nudos, donde las cargas son fuerzas de valor
F , consistentes con el estado de tensiones uniforme σ x = σ c , σ y = τ xy = 0 [149] . . . . .
Malla de elementos triangulares de presión constante, en donde la incompresibilidad implica
desplazamientos nulos [49] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Malla de cuatro elementos, con los puntos de integración. (b),(c) y (d) Mecanismos
(’modos hourglass’) [149] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esquema del algoritmo de no-consolidación (dentro de la superficie de consolidación) . .
Esquema del algoritmo de consolidación (en la superficie de consolidación) . . . . . . . .
Condiciones iniciales. Puntos de tensión iniciales A y B en el plano p − q . . . . . . . . .
Análisis de convergencia para el estado inicial A bajo las cargas proporcionales ∆ v = 0.00
y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análisis de convergencia para el estado inicial A bajo las cargas proporcionales ∆ v = −0.05
y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆ v = 0.00
y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆ v =
−0.05 y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolución de la tensión de fluencia con la dirección respecto de la dirección de laminado
para el estado de partida y posteriormente pretensados al 3% y 6% de deformación plástica.
Datos extraídos de la referencia [41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
243
245
248
248
250
253
255
256
257
258
259
261
Índice de tablas
1.1
Comandos del preprocesador de DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2
Comandos @ del preprocesador de DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3
Comandos del postprocesador en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1
Parámetros del material. Elemento BENH 8/9/9. Anisotropía elastoplástica . . . . . . . .
71
2.2
Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para
el caso de prescripción de desplazamientos con los elementos BINC8/9/12 y BENH8/9/9 .
71
3.1
Valores típicos de convergencia en el caso uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.2
Valores típicos de convergencia en el caso multiaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.3
Valores típicos de convergencia para el caso de la viga biapoyada . . . . . . . . . . . . . .
87
3.4
Parámetros del material utilizados en las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.5
Parámtetros utilizados en las simulaciones de curvas de comportamiento bilineales . . . . 107
3.6
Parámetros utilizados en la simulación de una curva de comportamiento no lineal . . . . . 111
4.1
Composición química del material. Certificado de calidad del fabricante . . . . . . . . . . 135
4.2
Combinaciones de primer y segundo pretensados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3
Valores de los estimadores mínimos cuadráticos de los parámetros de anisotropía . . . . . 145
5.1
Esquema del algoritmo de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2
Algoritmo predictor del parámetro de consistencia inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3
Esquema del cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico . . . . . . . . . . . . . 178
5.4
Parámetros del material. Caso de isotropía elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5
Parámetros de control utilizados en las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.6
Convergencia del modelo de Hill con parámetros de isotropía para el caso de prescripción
de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.7
Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica. Ejemplo del artículo de Kojic
et al de 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.8
Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo en pequeñas deformaciones . . . . . 180
5.9
Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada 180
5.10 Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo para el caso de la placa circular delgada181
xvii
xviii
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
ÍNDICE DE TABLAS
Algoritmo de integración de tensiones para las formulaciones TL (Total Lagrangian) y UL
(Updated Lagrangian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Esquema del algoritmo
de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico en grandes deformaciones . . . . . .
Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para
el caso de prescripción de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
204
207
208
209
Simulaciones numéricas implementadas e hipótesis asociadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parámetros del material de la simulación de una barra cilíndrica sometida a tracción . . .
Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada
Propiedades del Material en la simulación de la membrana de Cook . . . . . . . . . . . . .
Propiedades del Material en la simulación de una placa rectangular con agujero sometida
a tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
213
217
218
Parámetros del material . . . . . . . . .
Parámetros del material de la simulación
Parámetros del material . . . . . . . . .
Propiedades del Material . . . . . . . . .
Parámetros del material . . . . . . . . .
Propiedades del Material . . . . . . . . .
264
264
266
267
267
269
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de una barra cilíndrica sometida a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
tracción
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
223
Agradecimientos
Quisiera expresar mi agradecimiento a mis Directores de Tesis: a D. Francisco Javier Montáns Leal por
la posibilidad ofrecida para realizar la presente Tesis, sus inestimables consejos y dedicación; y a D. Juan
José López Cela sin cuyo apoyo no hubiera sido posible la consecución de esta Tesis.
Por otro lado, quisiera mostrar mi agradecimiento a todas aquellas personas que, de una forma u
otra, han hecho posible el desarrollo de esta Tesis. Entre ellas se encuentran: D. Gonzalo Ruiz López
de la E.T.S. de Caminos, Canales y Puertos de Ciudad Real, por colaborar en el desarrollo de la parte
experimental de la Tesis y los técnicos de laboratorio Miguel Ángel Romero y Pedro Jiménez de los
Galanes entre otros.
Naturalmente, expreso mi mayor gratitud a mi familia por su apoyo incondicional en todo momento.
Por último, quisiera expresar mi agradecimiento a la Consejería de Educación y Ciencia de la Junta
de Comunidades de Castilla-La Mancha y al Fondo Social Europeo como entidades financiadoras de este
trabajo.
Ciudad Real, marzo 2010
Miguel Ángel Caminero Torija
xix
xx
Resumen
El modelado de la anisotropía presente en los materiales y su evolución con las deformaciones es de gran
interés en procesos de conformado de metales, de recuperación elástica y, en general, en procesos que
impliquen deformación plástica del material. Por ejemplo, las chapas procedentes de laminación en frío,
presentan una anisotropía inicial que tiene su origen en el proceso de fabricación. En etapas posteriores,
esta anisotropía inicial puede dar lugar a diferentes flujos de tensión respecto de la dirección de laminado
(‘Rolling Direction’), ocasionando imperfecciones en las piezas resultantes de los procesos de fabricación
(‘orejeado’ de los bordes, errores en la fuerza aplicada para obtener un desplazamiento determinado,
diferente recuperación elástica según la dirección, etc).
El objetivo de este trabajo es el desarrollo de modelos y algoritmos numéricos que simulen el comportamiento del material bajo estas condiciones en el contexto de programas de elementos finitos, dando
como resultado predicciones más precisas de los procesos de conformado y deformación plástica en general. Para lograr este objetivo se han desarrollado diversas tareas destinadas a mejorar las predicciones
en tres aspectos fundamentales.
El primer aspecto consiste en la mejora de la descripción del endurecimiento cinemático anisótropo en
pequeñas deformaciones, lo cual se ha realizado a través de modelos y algoritmos implícitos de superficies
múltiples. Ha sido estudiada la consistencia de este tipo de modelos tanto si están basados en una regla
implícita similar a la de Mróz o en la regla de Prager. Además se han simulado los ensayos de Lamba
y Sidebottom, obteniendo, en contra de la creencia general, muy buenas predicciones con la regla de
Prager. Dichos modelos podrían ser extendidos de forma relativamente fácil para considerar grandes
deformaciones a través de procedimientos en deformaciones logarítmicas, similares a los desarrollados en
esta tesis y detallados a continuación.
El segundo aspecto consiste en la descripción de la anisotropía elastoplástica inicial. Esto se ha
conseguido mediante el desarrollo de modelos y algoritmos para plasticidad anisótropa en grandes deformaciones, bien ignorando la posible anisotropía elástica, bien considerándola simultáneamente con la
anisotropía plástica. Para ello ha sido necesario desarrollar primero un nuevo algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones consistentemente linealizado y sin despreciar ningún término,
de tal forma que se conserve la convergencia cuadrática de los métodos de Newton. Este algoritmo en
pequeñas deformaciones ha servido para realizar la corrección plástica de dos algoritmos en grandes deformaciones. El primero de estos algoritmos es una variación del clásico algoritmo de Eterovic y Bathe
para incluir la posibilidad de plasticidad anisótropa con endurecimiento mixto. Este primer algoritmo
está restringido a casos de isotropía elástica. La isotropía elástica es una hipótesis bastante habitual
en plasticidad anisótropa y tiene la ventaja de que permite el uso de formulaciones mixtas u/p. El segundo algoritmo, más complejo y general, incluye la posibilidad de elasticidad anisótropa, plasticidad
anisótropa y endurecimiento mixto. Este algoritmo supone una contribución importante ya que está
basado en hipótesis comunmente aceptadas y utilizadas en elastoplasticidad isótropa: descomposición
multiplicativa del gradiente de deformaciones en parte elástica y parte plástica, descripción hiperelástica sencilla en función de deformaciones logarítmicas e integración exponencial que conserva el volumen.
Además, la estructura final del algoritmo es modular y relativamente sencilla, consistiendo en un pre- y un
postprocesador geométrico y una corrección plástica realizada en pequeñas deformaciones. El algoritmo
xxi
está consistentemente linealizado para conservar la convergencia cuadrática asintótica de los métodos de
Newton y la forma final que toma dicha linealización es similar al caso de isotropía elastoplástica implementado; consiste en el módulo tangente algorítmico de pequeñas deformaciones sobre el que se aplica
una transformación para convertirlo en el de grandes deformaciones. Todos estos modelos han sido implementados en un código propio de elementos finitos denominado DULCINEA, el cual tiene formulaciones
lagrangianas totales y actualizadas para grandes deformaciones.
Una de las tareas necesarias para poder realizar las simulaciones, ha sido el estudio e implementación
de diferentes elementos que no sufran el bloqueo volumétrico severo que se observa en formulaciones estándar basadas en desplazamientos. Este bloqueo se debe a la condición de quasi-incompresibilidad que
imponen los modelos de plasticidad desviadores y consiste en una respuesta exageradamente rígida de la
solución obtenida por el método de los elementos finitos estándar. Entre los elementos implementados
cabe destacar el basado en la formulación mixta u/p, que contiene una interpolación adicional de grados
de libertad de presión. Estos grados de libertad adicionales habitualmente son internos al elemento en
mecánica de sólidos. En este trabajo se ha desarrollado e implementado en DULCINEA una familia de elementos tridimensionales mixtos en grandes deformaciones que incluye el caso particular BMIX 27/27/4,
basado en la formulación u/p, constituido por 27 nudos, con 27 puntos de integración estándar y 4 grados
de libertad de presiones, y que pasa la condición Inf-Sup o de Babuška-Brezzi. Sin embargo, se ha observado que la formulación u/p presenta ciertas limitaciones bajo las hipótesis conjuntas de anisotropía
elástica y anisotropía plástica. Con objeto de subsanar estas limitaciones, se han implementado en DULCINEA otros elementos mixtos basados en modos incompatibles o deformaciones (gradientes) mejorados.
Estos elementos son el BINC 8/9/12 (elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración
y 12 modos adicionales) basado en el elemento mixto de Simó, Armero y Taylor de 1993, que presenta a
su vez modos de energía nula en problemas de compresión en grandes deformaciones, y el BENH 8/9/9
(elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 9 modos adicionales), basado en el
elemento mixto de Armero y Glaser de 1997, que soluciona algunos de los problemas anteriores.
Los procedimientos comentados no incluyen la actualización de las direcciones de anisotropía, para
las que en la actualidad todavía no existe un modelo constitutivo convincente. Por ello, el tercer aspecto
estudiado ha sido la evolución de dichas direcciones de anisotropía ante cargas no proporcionales. Como
trabajo previo en esta línea, se ha desarrollado un estudio experimental preliminar de la anisotropía
plástica presente en chapas laminadas en frío de la aleación de aluminio-magnesio 5754, ensayos basados
en los experimentos de Kim y Yin de 1997. La aleación seleccionada es de uso habitual en la industria
aeronáutica y de automoción. Los resultados experimentales obtenidos de anisotropía plástica se ajustan
a la función de fluencia anisótropa de Hill de 1948 y se observa una rotación de las direcciones principales
de la misma. Estos experimentos sirven de partida para el desarrollo futuro de un estudio experimental
exhaustivo de la evolución de la anisotropía elástica y plástica en metales laminados, a fin de obtener una
ecuación consitutiva macroscópica convincente.
xxii
Capítulo 1
Introducción
En este capítulo se introducen los conceptos fundamentales de la mecánica de los medios continuos
utilizados en el desarrollo de la presente tesis. En primer lugar, se lleva a cabo una breve introducción al
fenómeno de la plasticidad, resaltando la importancia de la anisotropía elástica y la anisotropía plástica,
así como la posterior evolución de ambas en metales laminados. Inherente al estudio de la evolución de
la anisotropía plástica, es la adopción de deformaciones finitas (o grandes deformaciones), que son de
especial relevancia en procesos de conformado de metales.
Posteriormente se realiza un estudio del estado del arte de la plasticidad computacional en grandes
deformaciones y de la evolución de la anistropía elastoplástica en metales, tanto desde el punto de vista
experimental como del modelado computacional de la misma.
Por último, se presentan los objetivos principales perseguidos en este trabajo y la descripción de la
estructura de la tesis.
1.1
1.1.1
Generalidades
Introducción a la plasticidad
Una gran cantidad de materiales y en especial la mayor parte de los metales, al sobrepasar cierto límite de
carga, sufren deformaciones permanentes una vez que las cargas actuantes desaparecen. Este fenómeno
se conoce como plasticidad y en el caso de los metales se produce, fundamentalmente y desde el punto de
vista atómico, por la rotura de enlaces entre los átomos más próximos y la regeneración de los mismos
con los nuevos vecinos; un gran número de átomos o moléculas se mueven unos respecto de otros, y al
eliminar la carga, no vuelven a sus posiciones originales. En materiales cristalinos, como los metales, la
deformación plástica tiene lugar mediante un proceso denominado deslizamiento de planos preferentes
de átomos sobre otros planos paralelos. En este proceso está involucrado también el movimiento de
dislocaciones. Las dislocaciones son defectos lineales o unidimensionales en torno a algunos átomos
desalineados de la estructura cristalina. Las dislocaciones hacen que no sea necesario un movimiento
simultáneo de todos los átomos en el plano, sino únicamente de aquellos átomos situados en la línea
de dislocación, haciendo que la tensión necesaria para provocar el deslizamiento sea varios órdenes de
magnitud inferior de la requerida para mover todos los átomos simultáneamente. El movimiento hace
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Escalón producido por
deslizamiento
Plano de
deslizamiento
Línea de
dislocación
a
b
c
Figura 1.1: Cambios de la posición atómica que acompañan al movimiento de una dislocación de cuña a
medida que ésta se mueve a lo largo de la red cristalina. Al final del proceso, se forma un escalón sobre
la superficie del cristal [1]
que la línea de dislocación se vaya trasladando, barriendo el plano de deslizamiento hasta que todos los
átomos del mismo se hayan movido. En la figura 1.1 se muestra un esquema de una dislocación de cuña
y el movimiento de la misma.
Experimentalmente, desde el punto de vista macroscópico o del medio continuo (‘fenomenológico’), la
aparición de dichas deformaciones permanentes se puede detectar en un ensayo a tracción simple. Una
idealización típica de la misma como curva bi-lineal se muestra en la parte derecha de la figura 1.2.
La tensión a partir de la cual se presentan dichas deformaciones permanentes, en el ensayo uniaxial, se
denomina tensión de plastificación o tensión de fluencia (σ y ). En el caso tridimensional, dicha tensión
de plastificación debe ser comparada con un valor invariante que sea función de las tensiones existentes
(el denominado criterio o superficie de plastificación). En el caso de materiales isótropos, como es bien
sabido, el más usado es el criterio de plastificación de von Mises1 . En la parte izquierda de la figura
1.2 se muestra la representación del criterio o superficie de plastificación de von Mises en el espacio de
las tensiones principales (representación de Haigh-Westergaard o en el plano π) conjuntamente con los
ingredientes típicos de la teoría de plasticidad clásica (regla de flujo, regla de endurecimiento, ...)
La tensión a la que se produce la plastificación del material, si se descarga y recarga nuevamente, varía
a medida que se va deformando el material como resultado de un fenómeno conocido como endurecimiento.
A veces también se denomina acritud, o bien endurecimiento por trabajo en frío. Desde el punto de vista
cristalino, el fenómeno de endurecimiento por deformación se explica en base a las interacciones de los
campos de deformación de las dislocaciones. La densidad de dislocaciones en un metal aumenta con
la deformación. En consecuencia, la distancia media entre dislocaciones disminuye y, por lo tanto, las
dislocaciones se posicionan mucho más juntas. El resultado neto es que el movimiento de una dislocación
es limitado debido a la presencia de otras dislocaciones. A medida que la densidad de dislocaciones
aumenta, la resistencia al movimiento de éstas debido a otras dislocaciones se hace más pronunciada.
Así, la tensión necesaria para deformar plásticamente el metal aumenta con el endurecimiento.
Desde el punto de vista macroscópico, existen dos formas habituales de modelar el endurecimiento
que no provocan cambios en la forma de la superficie teórica de plastificación: endurecimiento isótropo
1 Debido a Maxwell, von Mises, Hencky, Huber y Nadai (1913). Este criterio es el más realista para materiales policristalinos. Supone un refinamiento del criterio de Tresca (1864).
1.1. GENERALIDADES
3
Figura 1.2: Criterio de plastificación de von Mises, representado en el espacio de tensiones principales. A
la derecha, se muestra una curva tensión-deformación uniaxial, donde se detalla la descomposición aditiva
de deformaciones en elásticas y plásticas
(únicamente varía la tensión de comparación, y por lo tanto el “tamaño” de la superficie) y endurecimiento cinemático (únicamente varía la localización de la superficie de plastificación en el espacio de
tensiones principales). Estos dos tipos de endurecimiento se muestran en la figura 1.3. El segundo tipo
de endurecimiento recoge el conocido como efecto Bauschinger : si un metal deformado plásticamente
por tracción, se deforma después por compresión, el límite elástico obtenido por este nuevo esfuerzo de
compresión resulta menor que la tensión de plastificación en tracción [2]. También es habitual combinar
ambos tipos de endurecimiento (endurecimiento mixto) para dotar a los cálculos de más realismo.
1.1.2
Endurecimiento anisótropo
Cuando se modela el comportamiento plástico de los materiales, especialmente durante procesos cíclicos
de carga-descarga multiaxiales, las reglas clásicas de endurecimiento isótropo, cinemático o endurecimiento mixto son a menudo insuficientes [3], [4]. Esto es debido a que la mayor parte de los materiales
presentan comportamientos plásticos tensión-deformación no lineales y al mismo tiempo, en procesos
cíclicos carga-descarga, se conserva el comportamiento Masing (relación homólogica de dos entre la curva
de carga virgen y la de descarga), dando lugar al típico comportamiento histerético con ciclos cerrados [5],
[6], [7]. Las reglas de endurecimiento anteriores pueden predecir el comportamiento plástico monotónico
uniaxial, pero únicamente la regla de endurecimiento cinemático lineal conserva el comportamiento Masing, es decir, el modelo está restringido al uso de una curva monotónica tensión-deformación bilineal.
El comportamiento cíclico Masing es deseable, ya que es una buena aproximación del comportamiento
cíclico real de numerosos metales [6] y suelos [7].
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
s
(a)
s
(b)
Figura 1.3: Tipos de endurecimiento habituales: (a) Endurecimiento isótropo (varía el tamaño de la
superficie de plastificación). (b) Endurecimiento cinemático (varía la posición de la superficie de plastificación).
Se han desarrollado diversos modelos avanzados de endurecimiento, incluyendo endurecimiento anisótropo,
con el objetivo de mejorar el modelado del comportamiento cíclico plástico y su extensión multiaxial.
Entre ellos, hay que destacar especialmente dos familias de modelos. La primera es la plasticidad de
superficies múltiples o superficies anidadas, propuesta inicialmente por Mróz [8] e Iwan [9]. La segunda
es la plasticidad de superficie límite, propuesta originalmente por Dafalias y Popov [10]. La plasticidad
de superficies múltiples discretiza la curva tensión-deformación en varios tramos lineales y asigna cada
módulo de endurecimiento resultante de un tramo a una de las superficies de plastificación anidadas. Posteriormente, haciendo uso de la regla de traslación (o endurecimiento) apropiada, se extiende el campo
de endurecimiento para el caso de cargas multiaxiales. Ejemplos de este tipo de modelos los podemos
encontran en las referencias [11], [12], [13], [14], [15]. Por otro lado, la plasticidad de superficie límite
habitualmente hace uso de una expresión no lineal explícita de la función de endurecimiento (por ejemplo
del tipo Ramberg-Osgood). En esta expresiones, hay que calcular los parámetros de material necesarios
para el cálculo del módulo de endurecimiento y frecuentemente hay que resolver un problema de optimización para ajustar los parámetros del material a los datos experimentales [16]. Ejemplos de este tipo
de modelos los podemos encontrar en las referencias [16], [17], [18], [19], [20]. Los modelos basados en
la regla de endurecimiento cinemático de Armstrong-Frederick [21], se pueden considerar también como
modelos de superficie límite [6]. En los modelos de superficie límite clásicos, es necesario realizar ciertas
modificaciones en la formulación, con el objeto de conservar el comportamiento Masing para cualquier
nivel de tensión [18]. Estas modificaciones implican eliminar ciertas ventajas que ofrecen este tipo de
modelos.
La plasticidad de superficies múltiples tiene una ventaja muy importante desde el punto de vista del
usuario. El usuario simplemente tiene que prescribir pares de puntos tensión-deformación de la curva de
comportamiento del material. Los radios de las superficies y los módulos de endurecimiento asociados a
estas superficies se obtienen explícitamente en función de dichos puntos.
1.1. GENERALIDADES
5
Figura 1.4: Textura inducida a una probeta de latón-α después de someterla a un ensayo de tracción. Se
puede observar la alineación de los granos en la dirección de carga, así como la aparición de bandas de
deslizamiento en el interior de los granos. Ensayos realizados en la UCLM [22].
1.1.3
Comportamiento elástico anisótropo y criterios de fluencia anisótropos
Anisotropía plástica
Un efecto diferente, también presente en los metales deformados según direcciones preferentes, es la aparición de cambios en la forma de la superficie de plastificación; esto es, la tensión de plastificación varía
con la dirección en la que se ensaya el material. Este comportamiento es típico de metales laminados
(con fuertes deformaciones plásticas previas), pero también se presenta en materiales deformados considerablemente en cualquier proceso que actúe según unas direcciones preferentes determinadas. Cuando las
propiedades del material varían según la dirección en la que se ensaya el mismo se dice que el material es
anisótropo.
Desde el punto de vista microestructural, la anisotropía en metales se produce por la forma y orientación preferente de los granos, así como de la orientación de las correspondientes estructuras cristalinas.
La extensión y magnitud de los efectos anisótropos en materiales cristalinos son función de la simetría de
la estructura cristalina.
En la mayoría de los materiales policristalinos sin deformación previa, las orientaciones cristalográficas de los granos individuales son totalmente al azar. En estas circunstancias, aunque cada grano sea
anisótropo, el material compuesto por un conjunto de granos, se comporta de forma isótropa. En un metal
policristalino isótropo, las deformaciones plásticas provocan dislocaciones en las estructuras cristalinas de
los granos según unos planos y direcciones preferentes en función de las direcciones de carga del material.
Estas dislocaciones provocan asimismo la deformación y reorientación de los granos de formas determinadas, de modo que aparecen unas direcciones preferentes en la microestructura, lo que se denomina
habitualmente como textura. En la figura 1.4 se muestran la microestructura de un material inicialmente
isótropo macroscópicamente y posteriormente deformado según una dirección preferente. En dicha figura
se observa la textura inducida por las deformaciones plásticas.
La textura del material provoca que la mayor parte de las propiedades de éste, especialmente las
mecánicas, varíen con la dirección en la que se realiza el ensayo. Una de las propiedades mecánicas que
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.5: Esquema de un proceso de laminado donde se aprecia la formación de una textura orientada en
la dirección de laminado (RD). El gráfico de la derecha muestra la evolución de la tensión de plastificación
según el ángulo α con la dirección de laminado (RD).
presenta una variación importante, y ampliamente conocida, es la tensión de plastificación. Por ejemplo,
la diferencia entre las tensiones de plastificación en dos direcciones distintas puede alcanzar valores muy
superiores al 10%. Los tratamientos térmicos que producen la recristalización, pueden mejorar o empeorar
la situación, ya que a veces con la combinación de recristalizaciones y tratamientos mecánicos se produce
un direccionamiento de la estructura cristalina que hace que el resultado se parezca más a una estructura
monocristalina [23].
La variación de la tensión de plastificación con la dirección del ensayo es una forma fenomenológica
de representar la superficie de plastificación del material anisótropo. La figura 1.5 muestra dicha representación. En la parte izquierda de la figura se muestra el esquema de un proceso de laminado, donde se
representa la aparición de una textura orientada en la dirección de laminado (RD). La figura de la derecha
muestra la variación de la tensión de plastificación uniaxial en función del ángulo α con la dirección de
laminado.
El modelado numérico de la anisotropía plástica se lleva a cabo a través de una función que representa
el criterio de plastificación. Aunque existen multitud de criterios de plastificación para anisotropía, el más
utilizado en metales es el criterio de Hill de 1948 [24]. Mientras que el criterio de von Mises proporciona
el mismo peso a todas las componentes desviadoras (tensiones a las que se resta la presión), siendo
representado entonces por un círculo en el “espacio” de tensiones desviadoras, el criterio de Hill otorga
diferentes pesos a tres direcciones preferentes, denominados planos de simetría.
El estudio y cuantificación de la anisotropía plástica presente en los materiales es de gran importancia
en procesos de conformado de metales, tales como laminado, estampado, extrusión o embutición, ya que
son procesos de fabricación direccionales y pueden dar lugar a defectos en el producto terminado [25].
Anisotropía elástica
Otro tipo de anisotropía que se puede presentar en los materiales es la anisotropía elástica. Una de las
principales causas de la anisotropía elástica observada en materiales policristalinos es la propia anisotropía
elástica de los cristales. En la figura 1.6 se muestran las distribuciones de los módulos de elasticidad y de
rigidez a torsión de dos materiales (Plutonio y Aluminio) ordenados según una estructura cristalina cúbica
centrada en las caras (FCC). En la tabla figuran valores típicos de anisotropía para diversos materiales
1.1. GENERALIDADES
7
Valor de anisotropía
de Zener:
Módulo de Young
Módulo de torsión
Plutonio
Aluminio
Material
valor
Plutonio
7.03
aluminio
1.22
hierro
2.41
cobre
3.16
plomo
4.07
plata
2.88
wolframio
1.01
Circonio
0.90
Uranio
1.48
Figura 1.6: Distribuciones de los módulos de elasticidad y de rigidez a torsión de dos materiales ordenados
según una estructura cristalina cúbica centrada en las caras: Plutonio y Aluminio. Figura parcialmente
extraída de la referencia [27]
medidos según el valor de anisotropía Zener [26].
En chapas laminadas, desde el punto de vista de la mecánica de los medios continuos, la anisotropía
elástica implica diferentes constantes elásticas aparentes en diferentes direcciones. La figura 1.7 muestra
precisamente la variación de dichas constantes elásticas aparentes con la orientación de la probeta de
ensayo respecto a la dirección de laminado. En las figuras se muestran los valores aparentes de módulo
de elasticidad, módulo de rigidez a cortante y coeficiente de Poisson en un acero inoxidable en función
de la orientación. Los valores fueron obtenidos por tres métodos distintos: un analizador de resonancias,
test de impulsos y ensayos a tracción [28].
El estudio de la anisotropía elástica es especialmente importante en materiales compuestos, pero en
metales es bastante habitual despreciarla. No obstante, dicha anisotropía puede ser también relevante
no sólo cuantitativamente sino cualitativamente por su posible influencia en el comportamiento plástico,
por lo que debería ser tenida en cuenta. Una forma sencilla de tener en cuenta la anisotropía elástica
es suponer que las direcciones preferentes o planos de simetría de las propiedades elásticas coinciden con
los de la anisotropía plástica. Intuitivamente esta hipótesis se justifica porque ambas anisotropías están
relacionadas con la forma y orientación media de los granos. Entonces, resulta efectivo usar una función
similar a la del criterio de Hill para expresar los estados de deformación elástica equivalente.
La anisotropía elástica puede llegar a ser de especial relevancia en algunos metales. La figura 1.8
muestra un estudio experimental de la variación del módulo de Young con respecto a la dirección de
laminado para chapas de cobre laminadas en frío. En dicha figura se observa que la variación entre el
valor máximo y mínimo del módulo de Young está en torno a un 20%, que es una variación que puede
8
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.7: Valores aparentes de módulo de elasticidad, módulo de rigidez a cortante y coeficiente de
Poisson en un acero inoxidable en función de la orientación. Figura extraída de la referencia [28]
llegar a ser del mismo orden que la variación de la anisotropía plástica. Los resultados de los ensayos
experimentales de la figura 1.8 proceden de las referencias [29] y [?]. Existen también estudios de la
influencia de la temperatura y del porcentaje de elementos aleantes en la evolución de la anisotropía
elástica, donde queda nuevamente de manifiesto la importancia de la variación del Módulo de Young
con respecto a la dirección de laminado, situándose en torno al 18-20%, ver referencias [30], [31]. Sin
embargo, en plasticidad computacional es habitual considerar que el efecto de la anisotropía elástica es
significativamente menor que el efecto de la anisotropía plástica, como se pueden ver en las referencias
[32], [33], [34], [35]. En realidad, probablemente la verdadera motivación del uso de esta aproximación,
radica fundamentalmente en la simplicidad de los modelos y de sus algoritmos computacionales asociados.
1.1.4
Grandes deformaciones elastoplásticas
Inherente al modelado de la evolución de la anisotropía plástica es la existencia de grandes deformaciones
ya que la anisotropía es especialmente significativa para deformaciones superiores al 2% desde el estado
de isotropía de referencia.
La medida de deformación utilizable en los experimentos y en las formulaciones no es única. La más
habitual, sobre todo en pequeñas deformaciones, es la deformación ingenieril, pero la más intuitiva es la
logarítmica (también denominada natural o de Hencky), ya que si encogemos una barra a la mitad de su
longitud obtenemos la misma deformación en valor absoluto que si la alargamos al doble de su longitud,
véase figura 1.9. Puesto que existe multitud de medidas de deformación, también existen diferentes
relaciones entre ellas y las medidas de tensión.
Por otro lado, las medidas de tensión tampoco son únicas. Lo intuitivo es dividir la fuerza por el
área real (tensión de Cauchy), pero lo habitual es dividirla por el área inicial (tensión nominal o de
1.1. GENERALIDADES
9
145
Weerts (1933)
Alers and Liu (1967)
Módulo de Young (GPa)
140
135
130
125
120
115
110
105
0
20
40
60
Orientación (grados)
80
100
Figura 1.8: Variación del Módulo de Young (GPa) con la dirección de ensayo medido en chapas laminadas
de cobre. Los datos experimentales han sido recogidos de los ensayos realizados por Weerts en 1933 [29]
y por Alers y Liu en 1967 [30].
Figura 1.9: Comparativa entre los valores suministrados por las distintas medidas de deformación.
Izquierda: en escala natural. Derecha: en escala logarítmica.
10
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.10: Curvas típicas obtenidas en un ensayo uniaxial para dos medidas de tensión y de deformación.
El primer tramo es elástico, pero superados aproximadamente 335 MPa, el comportamiento es plástico
Piola-Kirchhoff), ya que es la conocida de antemano.
El resultado típico de un ensayo a tracción considerando dichas medidas se muestra en la figura 1.10.
La diferencia entre las curvas mostradas en la figura 1.10 se debe fundamentalmente a la estricción que
surge durante el ensayo a tracción. Este fenómeno de inestabilidad aparece debido a que las deformaciones
plásticas son isocóricas (conservan el volumen), por lo que un alargamiento en una dirección implica una
reducción equivalente de sección. Superado cierto nivel de tensiones, este fenómeno se localiza en una
parte pequeña de la probeta, y para reproducirlo en cálculos computacionales es necesario tener en cuenta
la hipótesis de grandes deformaciones. La figura 1.11 muestra una simulación computacional del ensayo
de tracción uniaxial de una probeta cilíndrica en grandes deformaciones. Se observa que, gracias a las
grandes deformaciones, se obtiene la estricción típica de la sección en la que se localizan las deformaciones
antes de la rotura.
Las grandes deformaciones elastoplásticas tienen lugar en multitud de situaciones. La figura 1.12
muestra la simulación del impacto de una bala cilíndrica en una pared rígida (conocido como ensayo de
impacto de Taylor, desarrollado durante la segunda guerra mundial). Este ensayo se utilizó frecuentemente
para medir propiedades dinámicas de materiales. Ambas simulaciones han sido extraídas de la referencia
[36]. Las grandes deformaciones elastoplásticas, unidas al hecho de la existencia de anisotropía, son de
gran relevancia en los procesos de conformado de metales por deformación plástica en frío, ver figuras
1.13 y 1.14.
1.1. GENERALIDADES
11
Figura 1.11: Simulación del ensayo a tracción de una probeta cilíndrica. Por simetría sólo es necesario
modelar un cuarto de la misma. Izquierda: situación original. Derecha: probeta deformada. Los colores
representan las deformaciones plásticas (los valores más altos se presentan en la zona de estricción. Figura
extraída de la referencia [36].
Figura 1.12: Simulación del ensayo de Taylor (impacto de un proyectil cilíndrico contra una pared rígida).
Izquierda: proyectil sin deformar (la mitad por simetría). Derecha: proyectil deformado (se muestra
completo). Figura extraída de la referencia [36].
12
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.13: Proceso de estampado de un raíl en S. Izquierda: resultado experimental. Derecha: Simulación numérica del proceso de estampado. En ambos casos se pueden observar las ‘arrugas’ procedentes
de la recuperación elástica tras el proceso de deformado. Figura extraída de la referencia [37].
Figura 1.14: Efecto de la anisotropía plástica en procesos de conformado de metales. En la figura
se muestra el resultado de un proceso de embutición, donde aparecen las típicas ‘orejas’ debidas a la
anisotropía plástica presente en el material. Figura extraída de la referencia [38].
1.1. GENERALIDADES
13
Figura 1.15: Esquema del procedimiento experimental realizado en los ensayos de Kim y Yin de 1997 con
el objeto de estudiar la evolución de la anisotropía plástica en chapas laminadas [41]
1.1.5
Evolución de las propiedades de anisotropía
Determinados procesos de fabricación, como el laminado, se caracterizan por ser procedimientos de fabricación direccionales, y como tales provocan unas direcciones preferentes en las chapas, que son las direcciones principales de anisotropía. Los posteriores procesos de conformado, también direccionales, pueden
provocar deformaciones principales según orientaciones diferentes a las de laminado. Estas deformaciones
superpuestas pueden ser incluso mucho mayores que las anteriores, y por lo tanto, cabe preguntarse cómo
evoluciona la anisotropía original; es decir, es necesario conocer si se mantiene la anisotropía inicial, si se
destruye o si se crea una nueva anisotropía en unas nuevas direcciones preferentes.
El giro de las direcciones principales de anisotropía se ha observado experimentalmente en diferentes
ensayos, por ejemplo, los resultados experimentales de las referencias [39] y [40] respectivamente. No
obstante, de forma cuantitativa, esa evolución sólo ha sido medida sistemáticamente en los experimentos
realizados por Kim y Yin en 1997 [41] , por lo que constituyen un hito en el estudio del fenómeno. Dada
su importancia para el entendimiento del objetivo final de la investigación en la que se enmarca esta
tesis, a continuación se describe brevemente el procedimiento experimental llevado a cabo. La figura 1.15
representa un esquema del procedimiento experimental seguido.
Para analizar la evolución de las direcciones de anisotropía, los autores tomaron chapas laminadas
según una dirección determinada. Sometieron dichas chapas a un pretensado primario adicional para
garantizar que la anisotropía quedaba suficientemente marcada. Posteriormente recortaron unas chapas
secundarias, formando un determinado ángulo ψ con la dirección de laminado. Escogieron tres ángulos ψ
: 30o , 45o y 60o . Cada uno de estos juegos de chapas fue sometido a diferentes niveles de deformación en
esta dirección secundaria. Los niveles de deformación escogidos fueron del 0 %, 1%, 2%, 5% y 10%. A cada
nivel de deformación le correspondió una determinada rotación de la dirección de anisotropía, lo cual se
refleja asimismo en la rotación de la superficie de plastificación. Para poder dibujar las distintas superficies
14
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.16: Resultados experimentales extraídos de la referencia [41] y parcialmente modificados. En
la figura superior se muestra los resultados para una chapa orientada un ángulo ψ de 30o con respecto a
la dirección de laminado, y pretensada posteriormente a distintos niveles de deformación. Se observa el
giro de la superficie de plastificación (curva roja).
de plastificación obtenidas, se llevó a cabo un tercer nivel de ensayos. De cada chapa resultante, volvieron
a recortar unas nuevas chapas formando diferentes ángulos α con la segunda dirección de estirado. Este
tercer juego de ensayos les permitió representar las tensiones de plastificación en función de la dirección,
simplemente llevando dichas probetas hasta la tensión de plastificación, obteniendo los resultados de la
figura 1.16, donde se muestran 5 curvas, una para cada nivel de deformación de las chapas secundarias.
Una primera conclusión que se obtuvo es que excepto para deformaciones de aproximadamente un
1%, donde parece haber un efecto transitorio, posteriormente la anisotropía prácticamente no cambiaba
en magnitud relativa: las curvas ajustadas a los ensayos proporcionaban parámetros normalizados de Hill
muy similares. En la misma figura 1.16 se puede observar que para diferentes niveles de deformación,
desde el 0% de la curva verde hasta el 10% de la curva azul, la superficie de plastificación va girando.
Dicho giro de las direcciones principales se puede calcular uniendo los máximos o los mínimos de las
diferentes curvas obtenidas para distintos niveles de deformación, la curva de color rojo.
Los valores de esta curva en rojo se pueden representar dibujando en las abscisas la deformación y en
las ordenadas el giro respecto a la inicial. Las curvas de la parte inferior muestran esta representación
para un ángulo de ensayo ψ de 30o y para un ángulo de ensayo ψ de 60o , respectivamente. Los valores
experimentales son los puntos en rojo. Una importante consecuencia de los ensayos mostrados en la
1.1. GENERALIDADES
15
Figura 1.17: Evolución de la anisotropía plástica desde un punto de vista macroestructural (izquierda)
y microestructural (derecha). Izquierda: evolución de las superficies de fluencia ante deformaciones
impuestas a 45o de la dirección de laminado. Derecha: evolución de la simetría microestructural observada
a través de las Figuras de Polos para las direcciones cristalográficas dadas por los índices de Miller
{1,0,0}. Los valores de contorno se corresponden con la intensidad de radiación. Los datos experimentales
provienen de la Referencia [42]. El material es un acero dúctil.
figura 1.16, es que el giro es en diferente dirección dependiendo del ángulo de ensayo ψ. Este hecho es
importante porque existen teorías que predicen que el giro siempre es en la misma dirección.
Desde el punto de vista microscópico, la figura 1.17 reproduce los resultados experimentales de la
referencia [42]. En ella se muestran conjuntamente las visiones microscópicas y macroscópicas. La parte
izquierda muestra la evolución de la superficie de Hill, donde se observa un endurecimiento isótropo. Se
puede observar que la proporción de anisotropía es parecida en todas las curvas experimentales. Además
las superficies han girado casi por completo para deformaciones de un 6 %. En la figura de la derecha
se muestran las representaciones de figuras de polos para los cristales de los granos del material. Estas
figuras son el resultado de una técnica basada en difracción de rayos X con objeto de medir el giro de los
ejes de simetría. Las direcciones se corresponden con las de los índices de Miller {1,0,0}.
Desgraciadamente aunque intuitivamente parece obvia la existencia de dicho giro y habiendo evidencias experimentales al respecto, existe controversia de cómo modelarlo de forma consistente con las leyes
de la mecánica de los medios continuos. Recientemente se ha encontrado una posible explicación termodinámica a dicho giro [43]. La anisotropía elástica provoca que las direcciones principales de tensión y las
de deformación no estén alineadas. Desde el punto de vista del material, la anisotropía provoca que la
energía de deformación dependa del ángulo entre tensiones y deformaciones, siendo mínima cuando éstas
están alineadas. En las teorías clásicas, los materiales tienden a almacenar la mínima energía posible,
por lo que durante las deformaciones posteriores tratarán de que tensiones y deformaciones estén alin-
16
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.18: Variación de las superficies de Hill para deformaciones secundarias cuyas direcciones principales no coinciden con las direcciones preferentes de anisotropía. Figura extraída de la referencia [43]
eadas. Estos conceptos se pueden formular matemáticamente y se obtienen las ecuaciones constitutivas
que relacionan los cambios de tensiones con los de deformaciones a través del primer y segundo principios
de la termodinámica. Las simulaciones de los experimentos de la referencia [41] con estas formulaciones
resultan prometedoras, tal y como se muestra en la figura 1.18, en la que se representa la evolución
de las superficies de Hill cuando se imponen deformaciones en direcciones distintas a las direcciones de
anisotropía iniciales [43].
1.2
El programa de elementos finitos DULCINEA
Los modelos computacionales y algoritmos numéricos desarrollados en este trabajo, se han implementado
en un código propio de elementos finitos denominado DULCINEA2 , programado en Fortran 90. En el
programa DULCINEA se realiza las etapas de preproceso y cálculo. La etapa de postproceso y visualización
c El programa
de resultados se llevan a cabo en un postprocesador implementado al efecto en MATLAB°.
DULCINEA permite una gran flexibilidad a la hora de incorporar nuevas subrutinas, ya sean nuevos
elementos, comportamientos de material o cualquier otro procemiento, integrándose fácilmente en la
estructura principal del programa. Asimismo, es especialmente útil para el investigador, ya que permite
un control exaustivo en todos los procedimientos de cálculo.
2 El nombre DULCINF A es un acrónimo, cuyo significado es: “Dynamic Updated/total Lagrangean Code for Incremental
¯
Nonlinear Finite Element Analysis”
1.2. EL PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS DULCINEA
17
El programa DULCINEA facilita la realización de análisis lineales y no lineales, tanto estáticos como
dinámicos. Se incorporan distintos tipos de métodos de resolución del sistema de ecuaciones (LU, Gradiente conjugado, LDU y Bi-CGSTAB) dependiendo de las características del problema (matrices simétricas/no simétricas, dimensión del sistema de ecuaciones,...). Para el caso no lineal, se incorpora el método
de Newton-Raphson, que es un método implícito que resuelve el sistema de ecuaciones de forma iterativa. Por otra parte, también se incorporan búsquedas lineales (’line searches’), cuyo objetivo es evitar
que el procedimiento iterativo sufra una divergencia catastrófica. Además, se ha implementado un procedimiento automático de subdivisión de paso de carga (’automatic time stepping’), que se activa en el
caso de divergencia de la solución. Se espera incoporar un control mixto fuerza-desplazamiento, como el
método de longitud de arco (’arc length’ ), como otra herramienta para evitar divergencia de la solución
En este código de elementos finitos, se pueden abordar análisis no lineales de diversa índole, ya sean no
linealidades del material (plasticidad, viscoplasticidad,..) o no linealidades geométricas (hiperelasticidad,
formulación en grandes deformaciones). Se espera incorporar elementos de contacto con el fin de enriquecer el tipo de problemas que se pueden analizar. En el programa están implementadas diversas subrutinas
de material, tanto de materiales elásticos lineales, como materiales hiperelásticos (Neo-Hookean, Ogden,
Mooney-Rivlin,...) o modelos de plasticidad J2 con endurecimiento mixto. Además, se incoporan las
hipótesis cinemáticas de pequeñas deformaciones o grandes deformaciones, ésta última implementada en
dos formulaciones lagrangianas: UL (Updated Lagrangean) y TL (Total Lagrangean). En la hipótesis de
grandes deformaciones, se incorporan definiciones de deformación materiales y espaciales (Deformación
de Green, Almansi o Hencky) y de tensión (Cauchy, Kirchhoff,...)
DULCINEA incorpora elementos bidimensionales, denominados QUAD, bajo las hipótesis de tensión
plana, deformación plana y formulación axisimétrica, así como elementos tridimensiones, denominados
BRCK. Estos elementos contemplan las opciones de un número variable de nudos (triángulos, elementos
lagrangianos de 4 nudos, elementos serendipitos de 8 nudos, elementos lagrangianos de 9 nudos) y de
puntos de integración. Por otro lado, se incorpora un elemento en formulación mixta (formulación
u/p) bidimensional denominado QMIX, que se utiliza en problemas de plasticidad o con alto grado
de incompresibilidad y que incluye los elementos QMIX 4/1 (elemento de 4 nudos de desplazamientos y
1 de presión), QMIX 9/3 y QMIX 9/9 entre otros, con un número variable de puntos de integración.
Desde el punto de vista del usuario, el preproceso se realiza a través de un archivo de entrada que está
compuesto por una serie de comandos ordenados secuencialmente. Este archivo de entrada permite cierta
flexibilidad a la hora de automatizar la definición e implementación de mallas de elementos, condiciones
de contorno o definición de cargas, ya que se pueden definir variables, bucles, condicionales y operaciones
básicas entre variables. La lista de los comandos del archivo de entrada se presentan en las tablas 1.1 y
1.2.
Los resultados obtenidos en DULCINEA (desplazamientos, tensiones, deformaciones, ...) se exportan
c que actúa como
en archivos de texto y se visualizan en un programa implementado en MATLAB°
postprocesador. Este postprocesador consta de un menú principal interactivo, implementado en formato
de ventanas, en el cual se tiene acceso a todas las tareas implementadas. Las funciones principales del
postprocesador se presentan en la Tabla 1.3.
Por otra parte, entre las funcionalidades del postprocesador, se pueden destacar: visualización de
elementos y su numeración, visualización de nodos y su numeración, visualización de condiciones de
contorno y cargas aplicadas, visualización de deformadas, distribución de tensiones y deformaciones
18
Comando
START
TITLE
ECHO
DIMEN1, DIMEN2
CONTROL
ANTYPE
LSOLVER
LSEARCH
ITSEQ1, ITSEQ2
RTSEQ1, RTSEQ2
NODE
NG1, NG2, NCOPY
LBC
BCN
LOADV
LTF
MATERIAL
EGROUP
EGDATA
ELEMENT
EGEN
STOREH
XYPLOT
DEBUGC, DVAR
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Función realizada
Comando de inicio. Definición de opciones y archivo de salida
Definición del nombre del problema
Gestión de la impresión de diversas opciones en el archivo de salida
Gestión del dimensionamiento de variables
Tareas de control (numeración nodos, matrices de masa,...)
Tipo de análisis (estático, dinámico, ...)
Gestión del método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Gestión del método de búsqueda lineal (’line search’)
Gestión de los pasos de cargas (ATS, ...) y visualización de variables por paso
Gestión de parámetros de la secuencia de tiempo y residuos
Definición de nodos
Generación de nodos
Definición de condiciones de contorno
Selección de nodo y condición de contorno asociada
Definición del vector de cargas
Definición de la función de tiempo
Definición del tipo y variables del material
Selección del tipo de elemento
Selección de opciones del tipo de elemento
Definición de elementos
Generación de elementos
Almacenamiento de variables
Visualización de variables
Depurador (’Debugger ’) interno del programa DULCINEA
Tabla 1.1: Comandos del preprocesador de DULCINEA
Comando
@PAR, nvar
@LOP, nlop
@SET, var1 == 1.
@SET, var2 == $var1 + 1.
@SET, var2 == $var1 * $var1
@SET, var2 == Sin $var1
@LST
@LST, $var1
@COM
@SIL
@FOR
@END
@EXT
@IFF, $var1 == $var2, var2 = 1
@PIF
@GET
@DIC
@PRA
Función realizada
Comando para reservar espacio de las variables de usuario nvar
Comando para reservar espacio del número de bucles anidados nlop
Comando para asignar a la variable var1 el valor 1
Añade 1 a la variable var1 y almacena el resultado en var2
Operación entre variables. Incluye +, -, *, /, ^
Operaciones: Sin, Cos, Tan, Acs, Asn, Atn, Log, Exp, Sqr
Imprime todas las variables
Imprime la variable var1
Imprime un comentario en la pantalla de ejecución
Cambia modo silencio/ modo echo para los comandos @
Bucle FOR
Finaliza bucle
Sale de un bucle
Condicional IF para ejecutar un grupo de comandos
Condicional IF para ejecutar el comando CMD
Imprime información de nodos, elementos, ...
Imprime diccionario (vector blanck_common)
Imprime una variable del diccionario
Tabla 1.2: Comandos @ del preprocesador de DULCINEA
1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS
Función del postprocesador
EXIT
KEYBOARD
NEW FIGURE
RE.READ NODES
SELECT DISPLACEMENTS
SELECT ELEMENT OUTPUT
PLOT
SELECT ELEMENT
SHRINK ELEMENT
DELETE
MOVIE
SEQUENCE
COLORMAP
SYMs
19
Tarea realizada
Salida del postprocesador
c
acceso a la ventana de comandos de MATLAB°
Creación de una nueva Figura
Recarga del archivo de nodos
Selección de desplazamientos (deformadas)
Selección de variables (tensiones, deformaciones,...)
Gestión de la visualización
Selección de elementos
Separación de elementos
Gestión del borrado
Creación de películas
Creación de secuencias
Gestión del mapa de colores
Simetrías y Reflexiones
Tabla 1.3: Comandos del postprocesador en MATLAB
plásticas (el usuario puede seleccionar la variable de interés que quiere visualizar o implementar una
función determinada), creación de simetrías y reflexiones de la malla de elementos inicial, cambio del
mapa de colores y creación de secuencias y videos.
Una de las tareas realizadas en este trabajo ha sido la revisión del programa DULCINEA y la ampliación de las funcionalidades del mismo, incorporando nuevos tipos de elementos (mejora del elemento en
formulación estándar BRCK, implementación del elemento en formulación mixta u/p en grandes deformaciones BMIX, implementación de los elementos mixtos basados en modos incompatibles en grandes deformaciones BINC y BENH, implementación de nuevos materiales (modelo de elastoplasticidad anisótropa
en pequeñas deformaciones y en grandes deformaciones, modelos de plasticidad de superficies múltiples
(tanto basados en la plasticidad clásica J2 como basados en modelos de plasticidad de suelos Cam-Clay).
Por otra parte, se ha mejorado el postprocesador implementado en MATLAB, incorporando la visualización de elementos tridimensionales y distribución de variables (’band plots’) para estos elementos
tridimensionales (distribuciones de tensiones, deformaciones, ...).
1.3
Objetivos de la tesis
El objetivo global de esta tesis es realizar un pequeño avance en la comprensión y el modelado, a través
del método de los elementos finitos, del fenómeno de anisotropía elastoplástica en grandes deformaciones.
Puesto que, como se ha visto, el fenómeno de anisotropía en metales tiene múltiples facetas (endurecimiento anisótropo, criterio de fluencia anisótropo y elasticidad anisótropa), se buscan tres objetivos
concretos:
a) Mejorar el modelado del endurecimiento anisótropo a través de formulaciones de superficies múltiples
b) Mejorar el modelado de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones
c) Realizar unos ensayos preliminares para el modelado de la evolución de las direcciones preferentes de
anisotropía
20
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
El primer objetivo había sido desarrollado parcialmente antes de la realización de esta tesis, por lo
que es una conclusión de trabajos previos. El segundo objetivo constituye el bloque principal de esta
tesis doctoral, al que se han dedicado los mayores esfuerzos. Finalmente, el tercer objetivo es la semilla
de trabajos futuros. Para conseguir realizar satisfactoriamente dichos objetivos, han sido necesarias las
siguientes tareas:
1) Desarrollo e implementación en DULCINEA de modelos de plasticidad de superficies múltiples, basados en las reglas de endurecimiento cinemáticas de Prager (regla asociativa) y Mróz (regla no
asociativa), con objeto de simular procesos cíclicos de carga y descarga que recojan los efectos
Bauschinger y Masing. Estos modelos se consideran modelos de plasticidad anisótropos, desde el
punto de vista del endurecimiento. Por último, se desarrolla un estudio de la consistencia de este
tipo de modelos y de sus reglas de endurecimiento asociadas
2) Desarrollo e implementación en DULCINEA de un modelo continuo para elastoplasticidad anisótropa
en grandes deformaciones, basado en los principios de la termodinámica, y de un algoritmo de
integración de tensiones totalmente implícito, para su posterior implementación en el método de
los elementos finitos. Además, debe considerarse tanto la anisotropía elástica como la plástica y
estar basado en los ingredientes utilizados de forma satisfactoria en la plasticidad de von Mises en
grandes deformaciones: descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones logarítmicas, función
de energía almacenada hiperelástica e integración mediante función exponencial. Para ello, en
primer lugar, se desarrolla un algoritmo computacional de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas
deformaciones basado en la función de fluencia de Hill [24]. En este procedimiento se incorpora
un nuevo módulo tangente consistente, dando lugar a ratios de convergencia cuadráticos propios
de estos esquemas iterativos. La extensión a la cinemática en grandes deformaciones, se reduce
entonces a la implementación de un preproceso y un postproceso a partir del algoritmo de pequeñas
deformaciones [36]. Dicha extensión, compleja matemáticamente, se ha realizado de tal forma que
el resultado sea fácilmente interpretable físicamente.
3) Implementación en DULCINEA de formulaciones mixtas u/p (interpolación separada de los grados
de libertad de desplazamiento y presión internos al elemento) en grandes deformaciones con objeto
de evitar bloqueo numérico debido a fenómenos de incompresibilidad. Para ello, se desarrolla e
implementa el elemento mixto tridimensional BMIX, en dos versiones: BMIX 8/8/1, elemento
tridimensional en formulación u/p de 8 nudos, con 8 puntos de integración de desplazamientos y
1 punto de integración de presión, y BMIX27/27/4, elemento tridimensional de 27 nodos, con 27
puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de integración de presión [44]. Este último
elemento cumple la condición Inf-Sup [45]. No obstante, bajo la hipótesis de anisotropía elástica
y anisotropía plástica, la formulación u/p presenta ciertas limitaciones. Una posible solución es la
utilización de métodos mixtos basados en modos incompatibles y deformaciones impuestas (‘mixed
assumed strain methods’), con la implementación de los elementos mixtos tridimensionales BINC
8/9/12 (denominado QM1/E12 en la referencia [46] ), basado en modos incompatibles y modos de
reloj de arena ’hourglass’, que consta de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 12 modos adicionales
y del BEHN 8/9/9, (denominado Q1/ET9 ) en la referencia [47]), que consta de 8 nudos, con 9
puntos de integración y 9 modos adicionales.
1.4. ESTADO DEL ARTE
21
4) Realización de simulaciones numéricas de los modelos computacionales anteriores, incorporando las
formulaciones mixtas descritas anteriormente, con objeto de verificar el comportamiento del modelo
ante distintas hipótesis y diversos casos de carga. Se compara el comportamiento del modelo de
elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, particularizado para el caso de isotropía
elástica y anisotropía plástica, con un modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica basado en
la Referencia [48] y utilizando el modelo computacional de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas
deformaciones basado en la función de fluencia de Hill. En ambos casos se utiliza la formulación
u/p con objeto de evitar bloqueo numérico debido a incompresibilidad. Por último, se presentan
otra serie de simulaciones numéricas con objeto de verificar la formulación y su implementación bajo
las hipótesis de anisotropía elástica y anisotropía plástica y, en este caso, utilizando formulación
mixta basada en modos incompatibles.
5) Estudio experimental inicial de la anisotropía plástica presente en chapas laminadas y su evolución, a
través de la medida de la tensión de plastificación en diferentes direcciones respecto de la dirección
de laminado. Este estudio es el punto de partida de un futuro análisis experimental más exhaustivo, donde se estudiarán de forma simultánea las anisotropías elásticas y plásticas, así como su
evolución posterior cuando se somete el material de partida a deformaciones plásticas relevantes
(grandes deformaciones) en diferentes direcciones respecto a la dirección de laminado. El material
seleccionado para desarrollar el estudio preliminar ha sido la aleación de aluminio-magnesio 5754,
debido a que presenta buenas propiedades mecánicas y su gran aplicabilidad en los campos de la
industria automovilística (carrocerías de automóvil), industria ferroviaria (vagones de ferrocarril),
fabricación de depósitos e industria alimentaria.
1.4
Estado del arte
En este apartado se realiza un breve estado de arte para cada uno de los elementos principales que
conforman esta tesis doctoral.
1.4.1
Elementos que alivian el bloqueo
La formulación estándar de elementos finitos, basada en desplazamientos, presenta ciertas carencias
cuando se aplica a problemas con un alto grado de incompresibilidad o bien, en plasticidad, donde el
proceso de deformación plástica es isocórico. El principal inconveniente en este tipo de problemas es el
bloqueo numérico de la solución (’mesh locking’), donde se obtiene una respuesta exageradamente rígida
de la solución obtenida por el método de los elementos finitos. En algunos casos, los desplazamientos
obtenidos son prácticamente nulos, mientras que los reales no son en absoluto despreciables. Es decir, en
estos casos, el método de los elementos finitos proporciona una solución errónea para mallas que deberían
ser suficientemente finas. Los tipos de bloqueo numérico más frecuentes en mecánica de sólidos son: el
bloqueo a cortante y el bloqueo volumétrico, véase por ejemplo los trabajos de Sussman y Bathe [44],
Hughes [49], Babuška y Suri [50], McNeal [51] y Gadala [52].
El problema de bloqueo a cortante se alivia, en principio, con una integración selectiva-reducida,
introducida por primera ver por Doherty, Wilson y Taylor en 1969 [53], y desarrolllada posteriormente
22
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
por McNeal [54], Malkus y Hughes [55], Hughes [56] y Belytschko [57],[58]. No obstante, la solución no
es conceptualmente buena, ya que supone integrar erróneamente un problema erróneamente aproximado
(’... two wrongs do make a right in California’, cita de G.Strang en 1973). Por otro lado, surge un
nuevo fenómeno: aparación de mecanismos de energía cero [59], la integración selectiva-reducida, no
soluciona el problema. Un posible solución al bloqueo en elementos bidimensionales, es el empleo de los
modos incompatibles de Wilson [60]. Estos modos se denominan incompatibles porque no conservan la
compatibilidad de desplazamientos entre elementos. Para un elemento regular, los modos incompatibles
pasan el test de la parcela, pero para una geometría arbitraria no. Taylor [61] introdujo una serie de
modificaciones en las funciones de forma incompatibles con el objeto de hacer cumplir el test de la parcela
para un elemento de forma arbitraria. Por otra parte, el bloqueo volumétrico tiene lugar en materiales
próximos al límite de incompresibilidad (materiales semideformables). En estos casos, se impone una
nueva restricción dada por la ecuación de incompresibilidad ∆ → 0.
La forma correcta de tratar el problema de bloqueo es el uso de interpolaciones correctas para cada
entidad física, independientes de las que se obtendrían de los procesos de derivación de interpolaciones
como en el problema continuo. Es decir, no se hacen cumplir las ecuaciones punto a punto, sino de
forma débil en el dominio. Esta es la esencia de las denominadas formulaciones mixtas o formulaciones
híbridas [45], [62]. Estas formulaciones se obtienen a partir de principios variacionales que utilizan como
variables, además de los desplazamientos, las deformaciones y/o las tensiones. Existen numerosas formulaciones mixtas de elementos finitos. Herrmann [63] desarrolló una formulación variacional mixta para
el caso de materiales isótropos incompresibles. Esta formulación fue una de las primeras en introducir
una interpolación separada de las variables que dan lugar al bloqueo volumétrico. Taylor et al [64] y Key
[65] desarrollaron distintas generalizaciones de la formulación de Herrmann para el caso de materiales
ortótropos incompresibles. La formulación de Key se puede aplicar también en análisis no lineales. Oden
et al [66] llevó a cabo el desarrollo de una formulación para el análisis no lineal de sólidos axisimétricos tipo goma. Nagtegaal et al [67] propusieron una formulación mixta para el análisis de problemas
elastoplásticos.
En los años 70, numerosas investigaciones en este campo concluyeron que existían diversas dificultades
en aplicar este tipo de formulaciones mixtas en varios tipos de elementos. Por ejemplo, se determinó que
elementos con el mismo orden de interpolación para desplazamientos y presiones no eran efectivos para
solucionar el bloqueo [68]. Los elementos de bajo orden también presentan dificultades. Por ejemplo, el
elemento triangular de deformación constante con interpolación separada de presión no se puede utilizar
en determinados análisis [69]. Además el elemento isoparamétrico de 4 nudos con presión constante
presenta bloqueo en ciertos problemas con mallas regulares.
Un estudio matemático más riguroso de estos problemas llevó a la derivación de la condición inf-sup
de forma independiente por Brezzi [70] y Babuška [71], [72] a principios de los 70. Fortin [73] reformuló la
condición de Babuška-Brezzi en una forma más abordable. Los anteriores investigadores junto con Oden
y Kikuchi [74] utilizaron la condición inf-sup para analizar diferentes elementos mixtos. Como resultado
de las investigaciones, llegaron a la conclusión de que el elemento isoparámetrico de 9 nudos con 3 grados
de libertad de presión pasaba esta condición y era óptimo para el análisis bidimensional.
Un caso particular es la formulación mixta propuesta por Sussman y Bathe en 1987 [44], [45], basada
de forma general en el funcional de Hu-Washizu y ,en particular, en el funcional de Hellinger-Reissner,
dando lugar a la conocida como formulación u/p, donde se interpola de forma separada los desplaza-
1.4. ESTADO DEL ARTE
23
mientos y las presiones internas del elemento. El tratamiento de materiales elastoplásticos anisótropos en
problemas incompresibles con formulaciones mixtas u/p presentan diversos problemas que se concretarán
posteriormente. Una posible solución es la implementación de un nuevo tipo de elemento mixto basado
en deformaciones impuestas y en modos incompatibles (’assumed enhanced strain methods’). Este tipo de
elementos se han utilizado en problemas de localización en plasticidad, como se puede ver en los trabajos
de Ortiz et al [75], Belytschko et al [76] y en una formulación variacional descrita en la referencia [77].
Simó y Rifai [78] desarrollaron una metodología para la construcción de elementos mixtos basados en deformaciones impuestas bajo la hipótesis cinemática de pequeñas deformaciones. Esta formulación incluye
el método clásico de los modos incompatibles, introducidos incialmente en la referencia [60] y descritos
en las referencias [79], [80], como un caso particular. Esta metodología permite el diseño sistemático de
elementos basados en deformaciones impuestas mejoradas que tienen un buen comportamiento, comparable con el elemento clásico BRCK de Wilson y otros elementos, como el QM6 de Taylor et al [80], [61]
o el elemento de un punto de integración de Kosloff y Frazier [81].
El artículo de Simó y Armero [82] presenta una formulación de elementos mixtos basados en deformaciones impuestas para problemas en dos y tres dimensiones en deformaciones finitas. Este trabajo supone
una extensión no lineal (grandes deformaciones) de la formulación inicialmente propuesta por Simó y
Rifai [78] para problemas infinitesimales, basada en el elemento QM6 de Taylor et al [61]. Los elementos
desarrollados en la referencia [82] (denominados Q1/E4, Q1/E5 y Q1/E9, correspondientes con los problemas de tensión plana, axisimetría y tres dimensiones, respectivamente) presentan modos de reloj de
arena (’hourglass’) en grandes deformaciones, especialmente en compresión, tal como recoge el artículo
de Simó, Armero y Taylor de 1993 [46]. En este artículo se presenta a su vez, una serie de modificaciones
y mejoras de la formulación desarrollada inicialmente por Simó y Armero [82]. En el mismo se presenta
el elemento mixto tridimensional QM1/E12, que solucionaba en principio los problemas de los elementos
anteriores. Sin embargo, los análisis llevados a cabo por Wriggers y Reese [83] detectaron modos de
energía cero (’hourglass’) en compresión bajo cierto nivel de deformación. Otros autores (Souza et al [84]
y Crisfield [85] entre otros) obtuvieron resultados similares.
Con objeto de solventar estas deficiencias, diversos autores han propuesto una serie de modificaciones
en la formulación, véasen las referencias [86], [85]. En el artículo de Armero y Glaser de 1997 [47] se
presenta una serie de modificaciones de la formulación original de Simó y Armero [82] que supone una
solución para la resolución de problemas de materiales elastoplástico anisótropos con un alto grado de
incompresibilidad, aunque no está libre totalmente de problemas (aparición de modos ’hourglass’ en
ciertos casos de análisis no lineales), véase la referencia [87].
1.4.2
Endurecimiento no lineal con efecto Bauschinger
Los materiales sometidos a deformaciones plásticas presentan frecuentemente curvas tensión-deformación
no lineales. Estas curvas exhiben módulos de endurecimiento no lineales, cuyas valores van cambiando
con la deformación plástica. Habitualmente el endurecimiento durante el proceso de plastificación, se
modela a través de endurecimiento isótropo, cinemático o endurecimiento mixto [45], [4]. Estos modelos
de endurecimiento son sencillos y se han implementado con ellos, de forma satisfactoria, algoritmos
implícitos robustos en códigos comerciales.
Sin embargo, estos modelos presentan ciertas limitaciones en el modelado del comportamiento plástico
24
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
en procesos cíclicos de carga-descarga. Únicamente el endurecimiento cinemático conserva el comportamiento Masing, dando lugar a una descripción precisa del efecto Bauschinger, efecto que tiene lugar
en numerosos materiales, ver las referencias [6], [88], [7], [89], [90], [19]. Sin embargo, el modelo está
restringido al uso de un endurecimiento constante, lo cual resulta con frecuencia ser una aproximación
demasiado somera.
Por ello, se han desarrollado numerosos tipos de modelos con objeto de mejorar el modelado del comportamiento plástico cíclico y su extensión multiaxial. Entre ellos, se pueden destacar: modelos multicapa
(‘overlay or sublayer models’, [91], [92], [93]), plasticidad de superficies anidadas o superficies múltiples
(‘nested surfaces plasticity’, [8], [9], [11], [12], [94], [13], [14], [95]), modelos de plasticidad de superficie
límite (‘bounding surface plasticity’ [10], [96], [97], [16], [98], [99], [17], [18]), reglas de endurecimiento no
lineal ([100], [101], [102], [103], [104], [105], [106], [107], [108]), basado en la regla de Armstrong-Frederick
([21]), teoría de plasticidad endocrónica ([109], [110]). Entre estos modelos, la plasticidad de superfcies
múltiples es una de las preferidas por los usuarios y, por lo tanto, está incluida en numerosos libros
de plasticidad, ver por ejemplo [6], [90], [89], [99], [91], [111], [15]. La razón de esta preferencia es la
facilidad para obtener los parámetros del material en este tipo de modelos: es suficiente con discretizar
la curva uniaxial monotónica tensión-deformación en varios tramos. En este sentido, este modelo hereda
el carácter intuitivo de la plasticidad multicapa original, pero permitiendo una extensión multiaxial sencilla. Esta familia de modelos recibe diferentes denominaciones en la literatura: plasticidad de superficies
anidadas, plasticidad de superficies múltiples, modelos de Mróz, modelos multicapa, plasticidad de superficies múltiples con endurecimiento cinemático, etc.
Esta familia de modelos se ha utilizado ampliamente en la simulación del comportamiento de diferentes
materiales, tales como metales ([6], [90], [99], [91], [111]) y suelos ([7], [89], [11], [12]), siendo los resultados
excelentes cuando la carga es proporcional o casi proporcional. Sin embargo, cuando la carga es no
proporcional, los resultados no son siempre tan buenos como los esperados ([13], [112], [113]).
En este sentido, el comportamiento multiaxial de la plasticidad de superficies múltiples depende, en
gran medida, de la regla de endurecimiento cinemático utilizada. Habitualmente se suele utilizar en este
tipo de modelos la regla de traslación propuesta originalmente por Mróz, aunque en la literatura existen
otras reglas de traslación ([13], [112], [114], [115], [116]).
1.4.3
Anisotropía elastoplástica
Una característica fundamental en el comportamiento de los metales es la aparición de deformaciones
permanentes (plásticas) cuando se sobrepasa el umbral del límite elástico, y la recuperación de las deformaciones elásticas cuando cesa la carga (“springback”). Esto ocurre tanto durante los procesos de
fabricación (estampado, laminado, etc.) como durante el servicio de los mismos (deformación permanente controlada, como por ejemplo durante un accidente de automóvil). Es fundamental poder realizar
simulaciones del comportamiento plástico de metales lo más realistas posibles y de forma computacionalmente económica, tanto durante el proceso de fabricación, para evitar defectos de forma o tolerancias
dimensionales inadecuadas, como durante el servicio de los mismos, para obtener el comportamiento
deseado.
Desde el punto de vista computacional, la elastoplasticidad en grandes deformaciones, en su forma
actual, surge a finales de los años 70 y principios de los 80. La introducción de los algoritmos para grandes
1.4. ESTADO DEL ARTE
25
deformaciones se deben a diversos autores, pero el artículo de Bathe, Ramm y Wilson [117] supone un
hito para la implementación eficiente de las no-linealidades geométricas y de la hiperelasticidad en el
marco del método de los elementos finitos (FEM).
Las primeras formulaciones elastoplásticas en grandes deformaciones estaban basadas en formulaciones
hipoelásticas, en las que las tensiones se relacionaban con las deformaciones de forma incremental, y éstas
últimas se obtienen a partir de la descomposición aditiva o de Green de las deformaciones en parte elástica
y plástica. Esta estructura se heredó de los algoritmos y formulaciones en pequeñas deformaciones.
En estas formulaciones es preciso el uso de las denominadas medidas objetivas para relacionar dichos
incrementos de forma que se garantizase la independencia del resultado ante posibles movimientos de
sólido rígido. La medida más usada en estos algoritmos es la de Jaumann. Procedimientos numéricos
basados en este tipo de formulaciones se pueden encontrar en la referencia [118]. El inconveniente de
este tipo de formulaciones es su complejidad y de difícil implementación debido a que la objetividad
debe ser conservada incluso de forma incremental. Por otro lado, el uso de formulaciones hipoelásticas
es termodinámicamente inconsistente, ya que los algoritmos pueden disipar energía durante ciclos de
deformación puramente elásticos (que se suponen conservativos), ver Referencias [3], [45].
A finales de los 80, Simó realizó una formulación de la plasticidad basada en la descomposición
multiplicativa [119], [120] para el denominado gradiente de deformaciones y la utilización de formulaciones
hiperelásticas3 [121].
Los procedimientos desarrollados incialmente por Simó, convenientemente linealizados para conservar
la convergencia cuadrática, podían ser utilizados únicamente con plasticidad clásica de von Mises y bajo
modelos de endurecimiento isótropo. La todavía compleja estructura del modelo hacía que no fuese
sencillo la extensión de los procedimientos para los casos, por ejemplo, de anisotropía, funciones de
fluencia de Tresca o el uso de endurecimiento cinemático. Es importante resaltar este último punto, ya
que en el comportamiento cíclico de metales el efecto Bauschinger es importante y suele modelarse a
través de endurecimiento cinemático lineal. Por otro lado, las relaciones entre tensiones y deformaciones
se basan en funciones hiperelásticas de las deformaciones principales de Almansi, obtenidas a partir de la
descomposición polar siniestra (o a izquierdas) de la parte elástica del gradiente de deformaciones. Dicha
relación no es en absoluto intuitiva, y las constantes que definen el comportamiento elástico deben ser
adaptadas convenientemente a partir de experimentos. No obstante, hasta ese momento el procedimiento
supuso un avance extraordinario en la plasticidad computacional, ya que era un algoritmo consistente
desde el punto de vista termodinámico y muy eficiente desde el punto de vista computacional.
En 1990 se produce un nuevo avance en la elastoplasticidad computacional en grandes deformaciones.
Investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts introdujeron una nueva metodología en la
formulación de la teoría de plasticidad en grandes deformaciones [122], [48]. Esta metodología está
basada en la utilización de la deformaciones logarítmicas o de Hencky y de la función exponencial de un
tensor. La integración
de
µ
¶ la ecuación diferencial escalar que se obtiene típicamente de las formulaciones
¢
¡
ẏ
elastoplásticas
= L da como resultado una exponencial y = CeLt , por lo que ésta parece ser la
y
más adecuada para la integración numérica, convenientemente generalizada para tensores. El uso de una
función exponencial hace que la teoría continua y la discreta queden íntimamente ligadas, por lo que
habitualmente se presentan de forma simultánea.
3 En
mecánica computacional, uno de los primeros usos de formulaciones hiperelásticas es el de la referencia [117]
26
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Las nuevas formulaciones están basadas en la utilización de expresiones de energía almacenada en
función de las deformaciones logarítmicas. Estas formulaciones representan de forma bastante exacta
las curvas de comportamiento de metales para las deformaciones elásticas moderadas que se presentan
en plasticidad de metales [123], [124]. El principal atractivo de las nuevas formulaciones consiste en la
eficaz y relativamente sencilla implementación de los algoritmos en grandes deformaciones a partir de los
algoritmos desarrollados para pequeñas deformaciones; la extensión a grandes deformaciones se limita a
un pre- y postprocesado de las medidas de tensión y deformación.
La primera contribución proporcionada por Weber y Anand [122] es aplicable únicamente en el caso
de endurecimiento isótropo, mientras que la segunda, porporcionada por Eterović y Bathe [48] es válida
para endurecimiento mixto. Esta última es, por lo tanto, el primer caso de endurecimiento anisótropo en
grandes deformaciones y puede considerarse como el inicio de la plasticidad anisótropa basada en medidas de deformación logarítmicas y en la descomposición de Lee. Posteriormente han surgido diferentes
formulaciones basadas en estas ideas [125], [126], especialmente desarrolladas en la configuración espacial,
que suele ser la preferida por los investigadores, aunque la configuración puede ser elegida libremente.
Una de las ventajas de utilizar la configuración “rotada” es que se eliminan las rotaciones de sólido rígido
y permite un proceso deductivo más sencillo. Los procedimientos basados en hiperelasticidad y medidas
logarítmicas han sido también aplicados de forma satisfactoria a la teoría de suelos basada en el concepto
de estado crítico [127].
Para conseguir obtener un algoritmo de plasticidad sencillo y eficiente, y además poder conservar
la convergencia cuadrática, Simó utilizó en 1992 las tensiones y deformaciones logarítmicas principales.
El uso de dichas medidas permite obtener el módulo elastoplástico consistente de forma simple a partir
del módulo elastoplástico en pequeñas deformaciones, aunque en este caso a partir de un algoritmo
desarrollado en el espacio de tensiones principales. El inconveniente de este algoritmo radica en la
hipótesis de que la dirección de flujo no varía durante el retorno radial , lo cual es cierto únicamente en
el caso de plasticidad isótropa de von Mises, por lo que la aplicación que realizó para plasticidad con
endurecimiento cinemático no es, al menos, convencional [36].
La extensión de estos algoritmos a plasticidad anisótropa es sencilla en el caso de que se conserve
la isotropía elástica [36], ya que en tal caso las tensiones y deformaciones conmutan, y la anisotropía
plástica únicamente implica un algoritmo adecuado en pequeñas deformaciones, donde además el módulo
elastoplástico tangente de pequeñas deformaciones se inserta directamente en el de grandes deformaciones
[36].
En plasticidad computacional es habitual considerar que el efecto de la anisotropía elástica es significativamente menor que el efecto de la anisotropía plástica [32], [33], [34], [35]. Esta hipótesis se realiza
incluso con formulaciones hipoelásticas. En formulaciones hiperelásticas, se utilizan frecuentemente funciones de elasticidad isótropas para la energía elástica almacenada con criterios de plasticidad anisótropos,
fundamentalemente porque simplifica notablemente la formulación e implementación.
Recientemente, han aparecido numerosas formulaciones para plasticidad anisótropa en grandes deformaciones, véanse por ejemplo los primeros trabajos al respecto de [128], [129], [130], [131], [33], [132], [90],
y los más recientes [133], [134], [135], [136], entre ellos. No obstante, debido a la dificultad inherente a la
anisotropía en grandes deformaciones, los autores han tenido que recurrir a formulaciones muy complejas
de difícil implementación en un programa de elementos finitos, sobre todo en el caso implícito ([132], [90],
[136]), o relajar alguno de los avances previos de la plasticidad isótropa, como el de la descomposición
1.4. ESTADO DEL ARTE
27
multiplicativa ([128], [130]), el de la anisotropía elástica ([131], [33]), el de la normalidad de la superficie
de plastificación ([129]); o simplemente han renunciado a la sencillez de las deformaciones logarítmicas y
la transformación exponencial, dando lugar a procedimientos criticables desde el punto de vista teórico;
véanse críticas en [137].
En la referencia [43] se presenta un algoritmo para plasticidad computacional anisótropo basado en
los mismos principios que actualmente se usan en las formulaciones de isotropía elástica: descomposición de Lee, medidas de deformación logarítmicas, función de energía almacenada anisótropa motivada
experimentalmente, integración mediante funciones exponenciales (que conservan la restricción de incompresibilidad), e inclusión del giro plástico (que no se incluye habitualmente en las formulaciones de
anisotropía elastoplástica, y que sin embargo entra en la ecuación de disipación).
El procedimiento de la referencia [43] ha proporcionado un algoritmo sumamente sencillo e intuitivo de
elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, cuya implementación en un programa de elementos
finitos resulta también sencilla, y para el que se pretende desarrollar un algoritmo implícito que permita
simulaciones verdaderamente estáticas y pasos de carga moderados.
Pero la aportación de la referencia [43] no se reduce a un algoritmo sencillo para plasticidad anisótropa
en grandes deformaciones. Una de las aportaciones de la teoría y del algoritmo es la capacidad del mismo
para simular la actualización de las direcciones de anisotropía, faceta que, desde el punto de vista del
medio continuo, en el contexto de simulaciones por elementos finitos, sólo ha sido abordada anteriormente
por [138], [33], (modelos como por ejemplo el de [139], entre otros, no se consideran, ya que por ejemplo
utilizan una cinemática aproximada y/o desprecian las deformaciones elásticas y/o son simples ajustes
de curvas experimentales).
La actualización de las direcciones de anisotropía suele ser despreciada en todas las simulaciones
tanto industriales como académicas, así como en las correspondientes formulaciones. Sin embargo, las
referencias [138], [33], recurren a la isotropía elástica y a una expresión fenomenológica (sin motivación)
para el giro plástico y la actualización de las direcciones de anisotropía, difícilmente justificable desde el
punto de vista termodinámico al no afectar ni la energía almacenada ni la disipada.
Precisamente, una de las observaciones fundamentales de [43], es que tanto el giro plástico como la
actualización de las direcciones de anisotropía entran en la ecuación de disipación a través del denominado
“giro disipativo”, conjugado de trabajo de la parte antisimétrica del tensor de tensiones de Mandel.
De hecho, el principio de máxima disipación proporciona una relación constitutiva clara para el giro
disipativo, aunque deja abierta la relación entre el giro plástico y la actualización de las direcciones
preferentes de anisotropía.
La actualización de las direcciones de anisotropía, aparte de intuitiva, ha sido observada repetidamente por diferentes autores, y es diferente dependiendo del material. El lector puede consultar, por
ejemplo, las referencias [40], [39], [140], [42], y muy especialmente [41], ya que contiene los únicos ensayos macroscópicos cuantitativos publicados hasta la fecha. En [41] se han observado realineamientos
casi completos de las direcciones de anisotropía en acero para deformaciones de un 5%-10%, y valores
importantes con un solo 2% (en el rango de pequeñas deformaciones).
Además, existe un fenómeno observado desde 1947, conocido como efecto Swift [141]: en barras cilíndricas sometidas a torsión simple, aparecen unas tensiones (o deformaciones) axiales que no concuerdan
con las teorías habituales de deformación plástica; un comportamiento que es diferente cuando se invierte
la tensión. Este efecto está relacionado con el desarrollo de una textura o anisotropía durante el proceso
28
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
de deformación [142], [143], y frecuentemente se relaciona con el giro plástico [144], [145]. En la reciente
referencia [146], el efecto se estudia desde la plasticidad de cristales.
Por todo lo anterior, resulta fundamental, en un modelo de elastoplasticidad realista, incluir la actualización de dichas direcciones preferentes. El modelo de la referencia [43] está preparado para ello,
dentro de un marco algorítmico relativamente sencillo y derivado del principio termodinámico de máxima
disipación. De hecho, en dicha referencia se han realizado simulaciones de los ensayos de la referencia [41],
y se han obtenido excelentes resultados, tanto cuantitativamente, como cualitativamente: se ha predicho correctamente el sentido de la rotación de las direcciones de anisotropía sin incluirlo en la ecuación
constitutiva, simplemente como una consecuencia de la búsqueda de la máxima disipación.
Sin embargo, en la referencia [43] existen dos relaciones que permanecen abiertas: la forma de dependencia explícita de la rotación de las direcciones de anisotropía del giro plástico macroscópico y la
forma exacta de la dependencia del giro plástico macroscópico del flujo plástico simétrico macroscópico.
En este trabajo, las relaciones han sido obtenidas mediante ecuaciones razonadas, pero que es necesario
corroborar (o corregir) de alguna forma.
Como paso previo a la implementación en un código implícito de Elementos Finitos, es necesario
desarrollar un algoritmo implícito del modelo sin giro plástico, lo cual no ha sido realizado hasta la fecha.
1.5
Estructura de la tesis
El presente trabajo de tesis se organiza en los capítulos que se exponen a continuación:
Capítulo 1 : Introducción
En este primer capítulo se han presentado los conceptos fundamentales necesarios para el estudio
del fenómeno de la anisotropía elastoplástica en metales y su modelado computacional. Posteriormente
se han descrito los objetivos principales de esta tesis y por último se ha llevado a cabo una revisión de los
conocimientos y antecedentes en el campo de la elastoplasticidad computacional en grandes deformaciones,
desde los puntos de vista experimental y computacional. Por último, se presenta en este apartado la
estructura de la tesis.
Capítulo 2: Bloqueo numérico: Formulaciones mixtas y formulaciones con modos incompatibles
En este capítulo se analizan un tipo de formulaciones en elementos finitos denominadas formulaciones mixtas [45], [49]. Estas formulaciones surgen debido a la falta de eficiencia de la formulación
estándar, basada en desplazamientos, aplicada a problemas incompresibles o con un alto grado de incompresibilidad, así como en plasticidad, donde el proceso de deformación plástica es isocórico. El principal
inconveniente en este tipo de simulaciones es el bloqueo numérico de la solución, más conocido como ‘mesh
locking’, que consiste en una respuesta exageradamente rígida de la solución obtenida por el método de
los elementos finitos. En algunos casos, los desplazamientos obtenidos son prácticamente nulos, mientras
que los reales pueden ser varios órdenes de magnitud superiores. Los tipos de bloqueo numérico más
frecuentes en mecánica de sólidos son el bloqueo a cortante (‘Shear locking’) y el bloqueo volumétrico.
En este capítulo se formula y describe la implementación en DULCINEA de dos posibles soluciones al
fenómeno del bloqueo numérico: la formulación u/p general en grandes deformaciones (y su particularización a pequeñas deformaciones ) [44], basada en la interpolación independiente de los grados de libertad
1.5. ESTRUCTURA DE LA TESIS
29
de presión y de los grados de libertad de desplazamientos, a partir del potencial de Hellinger-Reissner.
Esta formulación presenta ciertas limitaciones que se concretarán en problemas bajo las hipótesis de
anisotropía elástica y anisotropía plástica. En segundo lugar, y como solución a las desventajas de la
formulación anterior, se desarrollan e implementan elementos mixtos tridimensionales en grandes deformaciones basados en deformaciones impuestas y modos incompatibles (‘assumed strain mixed methods’).
Estos elementos son el BINC 8/9/12 (elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración
y 12 modos adicionales) basado en el elemento mixto de Simó, Armero y Taylor de 1993, que presenta a
su vez modos de energía nula en problemas de compresión en grandes deformaciones, y el BENH 8/9/9
(elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 9 modos adicionales), basado en el
elemento mixto de Armero y Glaser de 1997, que soluciona algunos de los problemas anteriores.
Capítulo 3: Modelos avanzados de plasticidad J2 con endurecimiento anisótropo en pequeñas deformaciones
En este capítulo se realiza una revisión del marco termodinámico de modelos de plasticidad
avanzada, en concreto, de modelos de plasticidad J2 de superficies múltiples usando las reglas de endurecimiento cinemático de Mróz (no asociativa) y de Prager (asociativa) [147], [148] y que permite el
desarrollo de algoritmos de integración de tensiones totalmente implícitos [13]. Estos modelos se utilizan
en la simulación de procesos cíclicos de carga y descarga, donde se recogen los efectos Bauschinger y
Masing, y son modelos de plasticidad anisótropos, ya que emplean reglas de endurecimiento anisótropas.
Se muestra el comportamiento del modelo ante cargas cíclicas y la robustez del algoritmo en análisis
complejos y se lleva a cabo un análisis de la consistencia de las formulaciones de plasticidad de superficies
múltiples. Por último, se comenta otra aplicación de los modelos de plasticidad de superficies múltiples:
modelos geotécnicos basados en la teoría del estado crítico [127].
Capítulo 4: Observaciones experimentales preliminares de la evolución de la ortotropía
plástica en metales laminados
En este capítulo se presentan las diferentes fases que configuran el estudio experimental preliminar
de la evolución de la anisotropía plástica en metales laminados. El capítulo se divide en tres apartados:
en el primer apartado se presentan diversos estudios experimentales sobre la evolución de la anisotropía
plástica en metales laminados. En el segundo apartado se muestra el material objeto de estudio y se
analiza desde el punto de vista mecánico. En el tercer apartado se plantea el procedimiento experimental
y los resultados experimentales más relevantes obtenidos durante el transcurso de esta Tesis.
Capítulo 5: Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones. Modelado computacional
En este capítulo se desarrolla un algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones, en el cual se incluye la anisotropía elástica. El modelo está basado en el criterio de Hill de [24]
y la anistropía elástica se define en función de un tensor de constantes elásticas equivalentes. En este
algoritmo se incorpora un nuevo módulo tangente consistente en el que, en contra de lo publicado en la
literatura, no se desprecian términos, dando lugar a ratios de convergencia cuadráticos. Finalmente, se
presentan una serie de simulaciones sencillas con objeto de verificar el funcionamiento y convergencia del
modelo.
Capítulo 6 : Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Modelado computacional
En este capítulo se introducen los conceptos fundamentales para desarrollo e implementación de
30
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
formulaciones de plasticidad en grandes deformaciones. En primer lugar, se presenta una formulación
de plasticidad isótropa en grandes deformaciones basadas en medidas logarítmicas para endurecimiento
mixto [48] con una linealización consistente [36]. Seguidamente se desarrolla la extensión del modelo
anterior bajo la hipótesis de anisotropía plástica y su implementación en DULCINEA.
Por último, se presenta la extensión del modelo de elastoplasticidad anisótropa del Capítulo 5 a
grandes deformaciones y su implementación en DULCINEA. El uso de la descomposición multiplicativa
de Lee, hiperelasticidad, deformaciones logarítmicas o de Hencky y el uso de un algoritmo de integración
exponencial, dan lugar a una extensión del algoritmo de pequeñas deformaciones a grandes deformaciones,
tanto para materiales isótropos [122], o, como en este caso, para materiales anisótropos La extensión a la
cinemática en grandes deformaciones, se reduce a la implementación de un preproceso y un postproceso
sobre el algoritmo de pequeñas deformaciones [36].
Capítulo 7: Simulaciones numéricas
En este capítulo se presentan una serie de simulaciones numéricas con objeto de verificar el
comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, que es el bloque
principal de esta Tesis. Para ello, se plantean cuatro problemas clásicos, cada uno de ellos con unas
características específicas, que sirven para comprobar y poner de manifiesto el buen funcionamiento y la
convergencia del modelo presentado. Los ejemplos numéricos que se han implementado son: Ensayo de
tracción de una barra cilíndrica, que es un ejemplo clásico en isotropía elastoplástica [130], [128], [126],
[131], utilizando elementos tridimensionales; el problema de la membrana de Cook [130], [132], donde
se lleva a cabo un análisis tridimensional con objeto de verificar el comportamiento del modelo bajo la
hipótesis de anisotropía elástica; Estampado de una placa circular delgada [130], [134] donde se investiga
la respuesta del modelo bajo las hipótesis de isotropía elástica y anisotropía plástica y, por último, el
problema de la placa circular con agujero central sometida a tracción [134] donde se analiza el modelo de
material bajo anisotropía elastoplástica (anisotropía elástica y anisotropía plástica).
Capítulo 8: Conclusiones y desarrollos futuros
Se concluye el documento con las principales contribuciones realizadas durante el desarrollo de
la Tesis Doctoral y se plantean diversas líneas futuras de investigación.
Capítulo 9: Apéndices
Apéndice 9.1: Bloqueo numérico en el MEF. Introducción y motivación
Apéndice 9.2: Modelo de plasticidad de superficie múltiples en mecánica de suelos.
Apéndice 9.3: Obtención de las curvas de Hill a partir de datos experimentales
Apéndice 9.4: Cálculo de los tensores SM y ṠM
Apéndice 9.5: Determinación de los parámetros de las simulaciones
Capítulo 2
Bloqueo numérico: Formulaciones
mixtas y Formulaciones con modos
incompatibles
Los elementos finitos estándar presentan con frecuencia problemas de bloqueo, donde se obtiene una respuesta exageradamente rígida de la solución obtenida por el método de los elementos finitos. En algunos
casos, los desplazamientos obtenidos son prácticamente nulos, mientras que los reales son incluso varios
órdenes de magnitud superiores. Es decir, en estos casos, el método de los elementos finitos proporciona
una solución errónea en diversas situaciones. Los tipos de bloqueo numérico habituales en mecánica de
sólidos son: Bloqueo a cortante y Bloqueo volumétrico. Este fenómeno tiene lugar en diversas situaciones
como flexión, incompresibilidad (o semideformabilidad en anisotropía), etc. El caso de plasticidad es
especialmente importante, ya que si el potencial de flujo plástico es desviador, las deformaciones plásticas
(que constituyen la mayor parte de las deformaciones totales) también son desviadoras, por lo que el
comportamiento es de quasi-incompresibilidad. La forma de resolver este problema, conocido desde los
años 70, es a través de integración selectiva-reducida y/o a través de formulaciones mixtas [45], [56]. En
este capítulo se presenta una formulación mixta basada en principios variacionales (Formulación de HuWashizu y de Hellinger-Reissner), denominada formulación u/p, que resuelve los problemas planteados
por la integración reducida, ver referencias [49], [45], [44], [149]. En este trabajo, se ha implementado
la formulación u/p, en su versión tridimensional en grandes deformaciones (que incluye, por supuesto,
el caso de pequeñas deformaciones), en el programa de elementos finitos DULCINEA, a través de la
familia de elementos mixtos denominados BMIX. El tratamiento de materiales elastoplásticos anisótropos en problemas incompresibles con formulaciones mixtas u/p presenta un importante inconveniente,
como se expondrá más adelante. La incorporación de una nueva familia de elementos mixtos basada
en deformaciones impuestas mejoradas y modos incompatibles (’assumed enhanced strain methods’) [78],
[82], [46] implementada en DULCINEA, supone una mejor alternativa para la resolución de problemas
de materiales elastoplásticos anisótropos en grandes deformaciones. Esta familia de elementos se ha implementado de dos formas, que se corresponden con dos formulaciones diferenciadas, que han dado lugar
a los elementos tipo BINC y BENH respectivamente.
31
32
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
El análisis del fenómeno de bloqueo no es el objetivo de este documento. No obstante, para el lector
interesado, en el Apéndice 9.1 se presenta una introducción al fenómeno del bloqueo numérico, donde se
exponen las causas de los diferentes tipos de bloqueo de la solución y se presentan distintas soluciones.
Entre ellas, cabe destacar, la integración selectiva-reducida, los modos incompatibles y formulación mixta.
En el siguiente apartado, con objeto de introducir la notación, se repasa brevemente la formulación
de elementos finitos, haciendo énfasis en el origen de los problemas de bloqueo.
2.1
Introducción
El problema de contorno básico (o formulación fuerte del problema) que hay que resolver en mecánica de
sólidos es el siguiente, ver figura 2.1:
Encontrar
u (x) , ε(u) y σ (ε)
(2.1)
donde u (x) son el vector de desplazamientos, ε(u) es el tensor de deformaciones infinitesimales y σ (ε)
es el tensor de tensiones, tal que se cumplan las siguientes ecuaciones:
• Ecuación de equilibrio en el elemento diferencial (“punto”)
∇·σ+b=0
(2.2)
• Ecuación de compatibilidad entre deformaciones y desplazamientos
ε = ∇s u
(2.3)
• Ecuación de comportamiento entre tensiones y deformaciones
σ = σ (ε)
(2.4)
En la figura 2.1, St es el contorno donde se especifican las condiciones de contorno naturales o de
Neumann (fuerzas) y Su es la parte del contorno donde se especifican las condiciones de contorno esenciales
o de Dirichlet (desplazamientos). Se cumple que S = St ∪ Su y φ = St ∩ Su . V es el volumen del sólido,
encerrado por S.
La potencia de las fuerzas actuantes sobre el sólido (exterior) se define como
Fuerzas de volumen :
Fuerzas en el contorno :
Z
Z
V
b · v dV
St
t · v dSt
(2.5)
donde t, v y b son el vector tracción, el vector de velocidades y las fuerzas de volumen respectivamente.
Aplicando la definición del vector tracción t = σ · n̂ (donde n̂ es el vector normal en el punto) y la
2.1. INTRODUCCIÓN
33
t(x)
V
b
F
St
Su
Figura 2.1: Condiciones de contorno en el medio
ecuación de equilibrio (2.2), nos queda la potencia mecánica como
P=
Z
St
(σ · n̂) · v dSt +
Z
V
(∇ · σ) · v dV
(2.6)
Aplicando el teorema de la divergencia a la primera integral y sabiendo que σ es un tensor simétrico, se
obtiene la potencia mecánica en descripción espacial como
P=
Z
V
σ : ∇v dV =
Z
σ : l dV =
V
Z
σ : d dV
(2.7)
V
donde l es el gradiente de velocidades espacial, definido como
l=d+w
(2.8)
siendo d y w la parte simétrica y antisimétrica del gradiente de velocidades espacial respectivamente, por
lo que σ : w = 0.
La potencia mecánica se puede escribir en descripción material como
P=
Z
σ : d dV =
V
Z
V
Z
³
´
−1
σ : F−T ȦF
dV =
V
Z
³
´
J F−1 σF−T : Ȧ dV =
S : Ȧ dV
(2.9)
V
donde F es el gradiente de deformaciones, J = det(F), S es el segundo tensor de tensiones de PiolaKirchhoff y Ȧ es la derivada del tensor de deformaciones de Green.
Por lo tanto, el principio de potencias virtuales (PPV) en descripción espacial se define como
δP =
Z
St
t · δv dSt +
Z
V
b · δv dV =
Z
σ : δd dV
V
(2.10)
34
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
donde δv son velocidades virtuales y
δd =
´
1³
T
∇x δv + (∇x δv)
2
(2.11)
o bien en descripción material como
δP =
Z
Z
t · δv dSt0 +
St0
V
0
b0 · δv dV 0 =
Z
S : Ȧ dV 0
(2.12)
0
V
Integrando las ecuaciones anteriores (2.10) y (2.12), se obtiene el principio de trabajos virtuales (PTV)
en descripción espacial
δW =
Z
St
Z
t · δu dSt +
V
b · δu dV =
Z
σ : δε dV
(2.13)
V
y descripción material respectivamente
δW =
Z
t · δu dSt0 +
St0
Z
V
0
b0 · δu dV 0 =
Z
S : A dV 0
V
(2.14)
0
En el caso elástico lineal en pequeñas deformaciones, la energía interna del sistema, incluyendo la
ecuación constitutiva σ = C : ε, se obtiene como
W
elas
=
Z
V
ÃZ
ζ=1
σ : ζε dζ
ζ=0
!
dV =
Z
V
1
ε : C : ε dV
2
(2.15)
y definiendo la energía complementaria como la energía total menos la energía elástica almacenada
ΠC =
X
i
Fi · u +
Z
V
b · u dV +
Z
St
t · u dSt − W elas
(2.16)
X
donde
Fi · u determina el trabajo de las fuerzas puntuales. Que ΠC sea máximo es lo mismo que
¡
¢
C
−Π sea mínimo. A Π (u, ε) =−ΠC (u, ε) se le suele denominar función o energía potencial y depende
de las acciones y de los esfuerzos internos. Por lo tanto, la energía potencial Π en el caso elástico lineal
queda de la forma
1
Π=
2
Z
V
ε : C : ε dV −
X
i
Fi · u −
Z
V
b · u dV −
Z
St
t · u dSt
(2.17)
La condición de que Π sea mínimo, conduce al principio de mínima energía potencial. Este principio
deriva de la hipótesis de que el continuo almacena la menor energía posible (lo cual evidentemente es
hipotético, pero frecuentemente sancionado con la práctica). La inclusión de W elas (energía elástica) en la
función potencial también implica que el sistema devolverá la energía elástica suministrada previamente
(lo cual tampoco tiene por qué ocurrir necesariamente). Cuando se acepta esta hipótesis como válida,
se suele decir que el sistema es conservativo (conserva la energía suministrada). El principio de mínima
energía potencial establece que la misma es una función estacionaria y que por tanto la variación de la
misma ∂Π ante una variación infinitesimal arbitraria en los desplazamientos ∂u (respuesta del sistema)
2.1. INTRODUCCIÓN
35
es nula, quedando como (formulación débil del problema)
∂Π = 0 = −
X
i
Fi · δu −
Z
b · δu dV −
V
Z
t̄·δu dSt +
St
Z
V
δε : C : ε dV
(2.18)
h
i
T
donde ∂ε = 12 ∇x ∂u + (∇x ∂u) . Nótese que es equivalente al Principio de Trabajos Virtuales (PTV)
y surge igualmente del principio de Potencias Virtuales (PPV). La existencia en el contorno de unas
deformaciones tales que no sólo equilibren las acciones como un conjunto, sino que lo hagan de forma
óptima (punto a punto), implica que el medio busca expontáneamente el punto de mayor entropía, de
mejor reparto de la energía almacenada.
Por otra parte, se discretizan las variables cinemáticas del problema (u (x) y ε (x)) utilizando las
mismas funciones de forma Ni (x) como
u (x) ' ũ (x) =
nudos
X
Ni (xi ) ûi = Nû
(2.19)
i=1
donde ûi son los desplazamientos nodales. Así mismo, se tiene (bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones)
nudos
nudos
X
X
∇s Ni (xi ) ûi =
Bi (x) ûi = Bû
(2.20)
ε (x) = ∇s u ' ε̃ (x) =
i=1
i=1
y aplicando la ecuación constitutiva nos queda
σ (x) = C : ε ' σ̃ (x) = Dε̃
(2.21)
u (x) ' ũ (x) = ū en Su
(2.22)
y por último
Por lo tanto, al utilizar la hipótesis de la aproximación de desplazamientos anterior, obligamos a las
deformaciones y a las tensiones a comportarse de una forma determinada. Este razonamiento es de gran
importancia para entender el fenómeno de bloqueo numérico.
De igual modo, para las variaciones se tiene
δu (x) ' δũ (x) =
nudos
X
Ni (xi ) δûi = Nδû
(2.23)
i=1
δε (x) = ∇s δu 'δε̃ (x) =
nudos
X
i=1
∇s Ni (xi ) δûi =
δσ (x) = C : δε ' δ σ̃ (x) = Dδε̃
nudos
X
Bi (x) δûi = Bδû
i=1
δu (x) ' δũ (x) = 0 en Su
El principio de mínima energía potencial en forma variacional queda como
∂Π = 0 =
Z
V
(δû)T BT D BûdV −
X
i
(δû)T FP
i −
Z
V
(δû)T NT bdV −
Z
(δû)T NT t dSt (2.24)
St
36
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
y puesto que δû son arbitrarios
0=
Z
V
BT D BûdV −
X
i
FP
i −
Z
V
NT bdV −
Z
NT t dSt
(2.25)
St
que es la formulación matricial del problema estático. Las variables independientes de este funcional son
nel
[
V i y V i ∩V j = φ para i 6= j, se puede escribir la ecuación
los desplazamientos û. Suponiendo que V =
i=1
anterior para el conjunto de los elementos que constituyen el volumen como
nel Z
X
i=1
Vi
BT D Bûei dV i
=
nel
X
Fi +
i=1
nel
X
Kei ûei
=
i=1
nel
X
nel Z
X
i=1
Fi +
i=1
nel
X
NT b dV i +
Vi
e
FV
i +
i=1
nel Z
X
i=1
nel
X
Sti
NT t dSti
(2.26)
FSi e
i=1
Ku = Fp + FV + FS
donde, en definitiva, tenemos que resolver la ecuación de equilibrio Ku = F. En formato de ensamblaje
se escribe como
nel
nel
nel
nel
´
^
^
^
^³
e
e
Ki
ûi =
Fi +
FVi e + FSi e
(2.27)
i=1
i=1
i=1
i=1
donde Kei es integrada mediante un número determinado de punto de integración en el elemento.
Como conclusión, se pueden extraer una serie de consideraciones importantes de todo lo planteado
anteriormente:
1. En las ecuaciones anteriores, se ha supuesto que las ecuaciones de comportamiento y de compatibilidad se cumplen exactamente en cada punto del dominio o, lo que es lo mismo, en cada punto de
integración. Y además se cumplen sobre la solución aproximada, interpolada según unas funciones
de forma arbitrariamente escogidas.
2. El principio variacional es un principio integral, no diferencial. Ello implica conceptualmente que
las ecuaciones se cumplen en el conjunto del dominio y no punto a punto. Forzar que todas las
ecuaciones implicadas (comportamiento y compatibilidad) han de cumplirse en los mismos puntos y
con la aproximación obtenida por la derivación de las particulares funciones de forma escogidas para
los desplazamientos es una restricción demasiado fuerte que, en ocasiones, provoca el denominado
fenómeno de bloqueo (el sistema está sobredimensionado).
2.2
Bloqueo volumétrico. Formulación u/p implementada en
DULCINEA
2.2.1
Formulación mixta y requisitos
La mejor forma de tratar tanto el bloqueo volumétrico como el bloqueo a cortante es mediante la formulación mixta, ya que en esta situación, el bloqueo se produce porque la presión está interpolada y
2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA
37
obtenida a partir de las funciones de interpolación utilizadas para los desplazamientos. En el caso límite
de incompresibilidad, las presiones vienen directamente proporcionadas por las ecuaciones de equilibrio
y son, por lo tanto, independientes de los desplazamientos. En casos de quasi-incompresibilidad, las
presiones deben tener su propia interpolación. Para que globalmente se cumplan las ecuaciones de compatibilidad, se puede formular el potencial de Hu-Washizu o Hellinger-Reissner, incluyendo la diferencia
entre la presión interpolada desde variables independientes y la presión obtenida de aplicar la ecuación
de comportamiento y compatibilidad a los desplazamientos:
ΠHR
Z
Z
Z
1
= −
ε : C : ε dV +
ε : C : ∇s u dV −
2 V
V
Z
X
Fi · u −
t · u dSt
−
i
V
b · u dV −
(2.28)
St
¢
¡
p
Para el caso de isotropía elástica lineal, usando ε = εD +
1, con C = K 1 ⊗ 1 + 2G I − 13 1 ⊗ 1 se
3K
obtiene
Z
Z
Z
1
1 p2
∗
D
D
D
ΠHR =
ε : C : ε dV −
pεv dV −
(2.29)
dV −
2 V
V 2K
V
Z
Z
X
b · u dV −
Fi · u −
t · u dSt
−
i
V
St
cuya variación, teniendo a p y a u como variables independientes, proporciona las ecuaciones
Z
V
Z
δεD : CD : εD dV −
pδεv dV
V
Z ³
´
p
+ εv δp dV
K
V
=
Z
V
b · δu dV −
X
i
Fi · δu −
Z
t·δu dSt
(2.30)
St
= 0
p
donde
es la dilatación obtenida de la variable p interpolada independientemente, y εv es la dilatación
K
obtenida de ∇s u, esto es, compatible punto a punto con la forma de los desplazamientos prescritos
p ' p̃ =
u = ũ =
nudos X
de presión
Nip (x) p̂i
i=1
nudos de
Xdesplaz.
i=1
Ni (x) ûi y ε ' ε̃ = ∇s ũ
Los grados de libertad de presión pueden ser de dos tipos: interiores al elemento (formulación u/p) o en
el contorno (en los nudos) del elemento (formulación u/p − c). Los primeros son muchos menos costosos
ya que al ser grados de libertad de cada elemento, pueden ser condensados y no añaden grados de libertad
globales adicionales. Los segundos, aunque más caros a nivel computacional, permiten distribuciones de
presión continuas y la imposición directa de la condición de contorno en presiones.
Las funciones de forma de los grados de libertad de presión pueden llegar a ser del mismo orden de las
de los desplazamientos (p.e. Q9/9), pero, en este caso, se recupera la formulaciónn estándar y el problema
de bloqueo. En general, el orden de las funciones de forma de presión suele ser de un grado menor que el
de las de desplazamientos. No todas las formulaciones están libres de problemas y producen convergencia
38
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Figura 2.2: Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de
9 nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.3. Se muestra la distribución de
tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ 2 )max = 0.4318 MPa y la flecha máxima es
δ max = 1.6087 mm [45]
óptima. De hecho, la selección del orden de interpolación para las presiones (y por lo tanto del número
de grados de libertad de presión del elemento) es de vital importancia. Existe un test, que se denomina
condición Inf-Sup (o de Babuška-Brezzi) [45]. Si un elemento pasa dicha condición, es óptimo; esto es,
no bloquea, no presenta modos de energía nula y conserva el grado de convergencia de la formulación
estándar. No obstante, dicha demostración analítica es extremadamente compleja y sólo se ha conseguido
realizar para algunos elementos. Existe la alternativa de la demostración numérica [73]. Por ejemplo, los
elementos u/p QM IX 9/9/3 (elemento 2D QMIX de 9 nudos, con 9 puntos de integración y 3 grados de
libertad de presiones) y BM IX 27/27/4 (elemento 3D BMIX de 27 nudos, con 27 puntos de integración
y 4 grados de libertad de presiones) son óptimos y pasan la condición Inf-Sup [44].
Una forma de comprobar la existencia del fenómeno de bloqueo es dibujar los contornos de tensiones
en los puntos de integración. Las figuras 2.2 y 2.3 muestran los resultados obtenidos en el análisis de
un voladizo sometido a una carga de presión, un ejemplo típico para mostrar el fenómeno de bloqueo y
realizado con el código comercial ADINA [45]. Se consideran condiciones de deformación plana y los casos
de coeficiente de Poisson ν = 0.3 y ν = 0.499 respectivamente. En estas simulaciones, se han utilizado
elementos de 9 nudos con 9 puntos de integración en formulación estándar. Como resultados, se muestran
las distribución de tensión principal máxima σ2 en los puntos de integración (sin extrapolar) y la flecha
máxima δ max . Se ha seleccionado como resultado la distribución de tensiones, ya que, en formulación
estándar, cuando el coefiente de Poisson está próximo a 0, 5, se obtienen distribuciones de tensiones poco
precisas y no continuas. La figura 2.2 muestra los resultados para ν = 0.3, donde la distribución de tensión
es uniforme entre elementos. Sin embargo, cuando ν = 0, 499, con la misma malla de elementos finitos,
no se obtienen distribuciones de tensiones continuas y suavizadas, ver figura 2.3. Se pueden apreciar
saltos de tensión importantes dentro de un mismo elemento. En este caso se produce bloqueo numérico.
La figura 2.4 muestra la distribución de tensiones en el caso de utilizar formulación u/p con elementos
Q9/9/3 (elementos mixtos de ADINA). El coeficiente de Poisson es ν = 0.499. Los resultados muestran
2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA
39
Figura 2.3: Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de 9
nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.499. Se muestra la distribución de
tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ 2 )max = 1.2796 MPa y la flecha máxima es
δ max = 1.3098 mm [45]
distribuciones de tensiones óptimas y no se degradan al utilizar coeficientes de Poisson próximos a 0, 5.
En 3D los elementos también pueden bloquear, ya que las deformaciones en uno de los ejes puede
estar restringido por diversos motivos (incluyendo el propio comportamiento del material), y en estos
casos el fenómeno de bloqueo también aparece.
La formulación que se presenta a continuación, se basa en la existencia de una función de energía o
potencial de la forma [45], [44]:
dW̄ =S̄ : dA
(2.31)
∂ W̄
donde S̄ =
es el segundo tensor de Piola-Kirchhoff y A es el tensor de deformaciones de Green∂A
Lagrange. Las variables que aparecen con una barra en la parte superior, indican que estas variables
provienen del campo de desplazamientos. Como consecuencia de la hipótesis planteada por la ecuación
(2.31), se obtiene el tensor de comportamiento
C̄ =
∂ S̄
∂ 2 W̄
=
∂A
∂A∂A
(2.32)
con las simetrías
C̄ijkl = C̄klij
(2.33)
Por lo tanto, la formulación u/p da lugar a tensores de comportamiento simétricos, como ocurría en
la formulación estándar. Utilizando la Ecuación (2.31), el principio de los trabajos virtuales se puede
escribir como
¶
µZ
Z
Z
∂ W̄
W̄ dV = R
(2.34)
δ W̄ dV = δ
δA dV =
V ∂A
V
V
donde R es el trabajo virtual exterior. Por otro lado, se utilizan funciones de interpolación para los
40
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Figura 2.4: Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de
9 nudos con 3 puntos de integración en presiones (formulación mixta) y un coeficiente de Poisson de
ν = 0.499. Se muestra la distribución de tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión
(σ2 )max = 0.3995 MPa y la flecha máxima es δ max = 1.35 mm [45]
desplazamientos y las presiones de forma independiente
p ' p̃ =
u = ũ =
nudos X
de presión
Nip (x) p̂i
(2.35)
i=1
nudos de
Xdesplaz.
i=1
Ni (x) ûi y ε ' ε̃ = ∇s ũ
La clave en la construcción de esta formulación, es la modificación, en una forma adecuada, del potencial
W̄ para incluir el efecto de la presión interpolada p̃. Por ello, al potencial W̄ se añade un potencial Q que
es función de los desplazamientos y de la presión interpolada p̃. Por lo tanto, el principio de los trabajos
virtuales queda
µZ
¶
δ
V
W dV
=R
(2.36)
donde W = W̄ + Q, considerando ahora como variables los desplazamientos interpolados y las presiones
interpoladas. Este nuevo potencial W debe satisfacer, además, tres requisitos físicos (ver referencia [44]):
1. La presión calculada a partir del potencial modificado W = W̄ + Q, debe ser igual a la presión
interpolada de forma independiente
2. La variación del potencial modificado respecto de una de las presiones debe generar una ecuación de
restricción que relacione la presión interpolada de forma independiente p̃ con la presión calculada
de los desplazamientos p̄
3. Si la presión calculada de los desplazamientos es igual que la presión interpolada de forma independiente, el potencial modificado debe ser igual al potencial inicial sin modificar. Esto asegura que la
formulación u/p incluye, como un caso especial, la formulación estándar en desplazamientos.
2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA
2.2.2
41
Formulación matricial
El tensor de Cauchy σ se calcula a partir del segundo tensor de Piola-Kirchhoff como
σ̄ = J −1 F · S̄ · FT
(2.37)
donde F es el tensor gradiente de deformaciones y J = det(F) es el jacobiano de F. Por lo tanto, la
presión hidrostática se calcula como
p̄ =
1
1
σ̄ : I = J −1 C : S
3
3
(2.38)
donde C es el tensor diestro de Green-Cauchy. En términos de potencial, se escribe como
p̄ =
1
∂ W̄
1
σ̄ : I = J −1 C :
3
3
∂A
Definiendo el operador 0 P como
p̄ =
0P
tal que
0P
(·) =
¡ ¢
W̄
(2.39)
(2.40)
1 −1
∂ (·)
J C:
3
∂A
(2.41)
y, utilizando el potencial W = W̄ + Q, donde se tienen en cuenta las presiones interpoladas, el requisito
(1) se escribe como
¡
¢
(2.42)
0 P W̄ + Q = p̃
Aplicando el requisito (2), se obtiene la siguiente relación
∙Z
∂
∂ p̂k
o bien
Z
V
V
¸
¡
¢
W̄ + Q dV δ p̂k = 0
¢
∂ ¡
W̄ + Q δ p̃ dV = 0
∂ p̃
(2.43)
(2.44)
Aplicando la ecuación (2.42) en la expresión anterior, nos queda
¢
∂ ¡
∂ ¡ −1 ¢
(p̃)
W̄ + Q =
0P
∂ p̃
∂ p̃
(2.45)
y simplificando se obtiene
∂
(Q) =
∂ p̃
0P
−1
(1)
(2.46)
Por lo tanto, la ecuación de restricción (2.45), se escribe de la forma
Z
V
Q dV =
Z
¡
0P
V
−1
¢
(p̃) δ p̃ dV = 0
(2.47)
42
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Esta ecuación de restricción debe relacionar las presiones p̄ y p̃, obtenidas de los desplazamientos y las
interpoladas, respectivamente. La restricción más sencilla es
Z
r (p̄ − p̃) δ p̃ dV = 0
V
(2.48)
donde r es una función de los desplazamientos y comparada con la ecuación anterior, se obtiene
0P
−1
(1) = r (p̄ − p̃)
(2.49)
y al ser 0 P −1 (·) un operador diferencial
1=
0P
(r) (p̄ − p̃) + r 0 P (p̄ − p̃)
(2.50)
La ecuación anterior sólo se cumple bajo las restricciones
r=
1
y 0 P (r) = 0
0 P (p̄)
(2.51)
Combinando las restricciones anteriores, se llega al resultado
0P
2
(p̄) = 0
(2.52)
donde 0 P 2 (·) = 0 P (0 P (·)). La ecuación (2.52) es una restricción que debe satisfacer cualquier material
que utiliza formulación u/p.
Sustituyendo los resultado anteriores en la ecuación (2.48), se obtiene la ecuación de restricción
Z
1
(p̄ − p̃) δ p̃ dV = 0
0 P (p̄)
(2.53)
1
1
(p̄ − p̃) dp̃ = −
(p̄ − p̃)2 = Q
P
(p̄)
2
P
(p̄)
0
0
(2.54)
V
Integrando la ecuación anterior queda
Z
p̃
Por lo tanto, un potencial que cumple los requisitos anteriores para materiales isótropos es
W = W̄ + Q = W̄−
1
2
(p̄ − p̃)
2 0 P (p̄)
(2.55)
donde p̄ es la presión procedente de los desplazamientos y p̃ es la presión interpolada. Utilizando el
potencial anterior, las ecuaciones de contorno de un elemento finito típico se pueden escribir como
"
Kuu
Kpu
Kup
Kpp
#" # " # " #
û
R
Fu
=
−
p̂
0
Fp
(2.56)
donde û y p̂ son los desplazamientos nodales y las presiones internas nodales respectivamente, R es el
2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA
43
vector de fuerzas nodales externas, Fu y Fp contienen las derivadas
Fu
=
Fp
=
¶
¸
∙Z µ
∂
1
2
W̄−
dV
(p̄ − p̃)
∂û V
2 0 P (p̄)
¶
¸
∙Z µ
∂
1
2
W̄−
dV
(p̄ − p̃)
∂p̂ V
2 0 P (p̄)
(2.57)
y los términos de la matriz de rigidez Kuu , Kup , Kpu , Kpp contienen las derivadas
Kuu
=
Kup
=
Kpp
=
∂Fu
∂û
∂Fu
∂Fp
=
= Kpu
∂p̂
∂û
∂Fp
∂p̂
(2.58)
Utilizando la regla de la cadena, nos queda
Fu
Fp
Kuu
Kup
Kpp
=
Z
ZV
S:
∂A
dV
∂û
(2.59)
∂ p̃
dV
∂p̂
V
µ
¶T
¶
Z µ
Z
∂A
∂2A
∂A
=
: Cuu :
S:
dV +
dV
∂û
∂û
∂û∂û
V
V
¶T
Z µ
∂ p̃
∂A
=
: Cup ⊗
dV
∂û
∂p̂
ZV
∂ p̃
∂ p̃
=
Cpp
⊗
dV
∂p̂
∂p̂
V
=
−Cpp (p̄ − p̃)
donde Cpp , Cup , Cuu , S, se definen como
Cpp = −
1
(p̄)
(2.60)
0P
y considerando un módulo de compresibilidad K constante, que se cumple bajo las hipótesis de isotropía
elastoplástica, o isotropía elástica con anisotropía plástica, o anisotropía elástica, se obtiene
Cpp
Cup
Cuu
1
1
=−
P
(p̄)
K
0
∂ p̄
= Cpp
∂A
∂ 2 p̄
∂ p̄
∂ p̄
= C̄ + Cpp
⊗
+ Cpp (p̄ − p̃)
∂A ∂A
∂A∂A
= −
S = S̄ + Cpp (p̄ − p̃)
∂ p̄
∂A
(2.61)
(2.62)
donde Cuu es el tensor de comportamiento modificado de cuarto orden y S es el segundo tensor de
Piola-Kirchhoff modificado.
44
2.2.3
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Formulación mixta para presiones dependientes del jacobiano
Se ha comentado que la formulación u/p sólo se puede usar con ciertas descripciones de materiales,
concretamente, en aquellas que cumplen la restricción 0 P 2 (p̄) = 0. Esta restricción se puede eliminar
para aquellos materiales en los que p̄ depende únicamente de J = det(F), siendo F el gradiente de
deformaciones, esto es p̄ = f (J)
R ¡
¢
En este caso, se toma como restricción la ecuación V 0 P −1 (p̃) δ p̃ dV = 0 donde
Z
V
¢
¡ −1
−f (p̄) + f −1 (p̃) δ p̃ dV = 0
(2.63)
y f −1 (p̄) corresponde con el jacobiano de p̄ y f −1 (p̃) con el jacobiano de p̃. Se puede demostrar, utilizando
d (·)
, que
0 P (·) = −
dJ
¢
d
d ¡ −1
−
−f (p̄) + f −1 (p̃) = −
(−J) = 1
(2.64)
dJ
dJ
Además, se puede demostrar que la ecuación de restricción es nula cuando se cumple que p̄ = p̃. Por lo
tanto, el potencial modificado Q, se calcula como
∂
(Q) = −f −1 (p̄) + f −1 (p̃)
∂ p̃
e integrando queda
Q = −p̃f −1 (p̄) +
Z
(2.65)
f −1 (p̃) dp̃ + c (p̄)
(2.66)
p̃
donde c (p̄) es la constante de integración. Aplicando 0 P (·) a Q se obtiene
0P
(Q) = p̃ − −
dc (p̄)
dJ
(2.67)
Aplicando la restricción (1), donde 0 P (Q) = p̃ − p̄, se tiene
dc (p̄)
= p̄
dJ
y, por lo tanto
c (p̄) = p̄f
Q = (p̄−p̃) f
−1
−1
(p̄) +
(p̄) −
Z
p̃
f
−1
Z
(2.68)
f −1 (p̄) dp̄
(2.69)
p̄
(p̃) dp̃ −
Z
f −1 (p̄) dp̄
(2.70)
p̄
donde Q =0 si p̄ = p̃.
Finalmente, el segundo tensor de Piola-Kirchhoff modificado S y el tensor de comportamiento modificado de cuarto orden Cuu se calculan como
S = S̄ + (p̄ − p̃)
Cuu = C̄ +
∂J
∂A
∂ p̄ ∂J
∂J
∂2J
⊗
+ (p̄ − p̃)
∂J ∂A ∂A
∂A∂A
(2.71)
(2.72)
2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA
45
donde
∂J
∂A
∂2J
∂A∂A
= JC−1
µ
¶
∂J
∂
=
∂A ∂A
(2.73)
donde C es el tensor diestro de Green-Cauchy y
Cpp
Cup
∂f −1 (p̃)
1
=
∂ p̃
K
∂J
= −
∂A
=
(2.74)
(2.75)
Esta nueva formulación u/p se reduce a la presentada inicialmente cuando
p̄ = −K (J − 1)
2.2.4
(2.76)
Particularización a pequeñas deformaciones
La particularización a pequeñas deformaciones es relativamente sencilla. Definamos el tensor de comportamiento en deformaciones infinitesimales como
C̄ =
∂ σ̄
∂ε
(2.77)
donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy y ε es el tensor de deformaciones infinitesimales. Las
expresiones anteriores quedan de la siguiente forma
Fu
Fp
=
=
Z
ZV
V
σ:
∂ε
dV
∂û
−Cpp (p̄ − p̃)
(2.78)
∂ p̃
dV
∂p̂
y
Kuu
Kup
Kpp
Z µ
¶T
∂ε
∂ε
: Cuu :
dV
∂û
∂û
V
Z
∂ p̃
∂ε
=
: Cup ⊗
dV
∂û
∂p̂
ZV
∂ p̃
∂ p̃
=
Cpp
⊗
dV
∂p̂
∂p̂
V
=
(2.79)
46
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
-5
x 10
z
z
q
4
r
3
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
2 ···Y··· ···Y··· ···Y··· ···Y··· ···Y··· ···Y··· Y
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Radio interno = 0.1 m
Radio externo = 0.2 m
Presión interna p
Deformación plana en z
1
0
·
·
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y
-1
Y: z fix
-2
r
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2 x 10
-4
Figura 2.5: Análisis elástico ortótropo lineal de un cilindro sometido a presión interna [44]
donde, considerando un módulo de compresibilidad constante K, se obtiene
Cpp
Cup
Cuu
σ
1
K
1 ∂ p̄
=
K ∂ε
1 ∂ p̄ ∂ p̄
1
∂ 2 p̄
= C̄ −
⊗
−
(p̄ − p̃)
K ∂ε ∂ε K
∂ε∂ε
∂ p̄
= σ̄ + Cpp (p̄ − p̃)
∂ε
= −
(2.80)
(2.81)
En este caso, la presión p̄ se calcula como
1
1
p̄ = − σ : I = − C̄ : ε
3
3
y nos queda
Cpp
Cup
Cuu
2.2.5
9
I : C̄ : I
I : C̄
= −3
I ¡: C̄ : I¢ ¡
¢
I : C̄ ⊗ I : C̄
= C̄ −
I : C̄ : I
= −
(2.82)
(2.83)
Ejemplo numérico
Como aplicación práctica de la formulación u/p en un material ortótropo, se plantea el problema bajo
la hipótesis de anisotropía elástica. Se analiza el caso de un cilindro modelado como un material elástico ortótropo lineal sometido a presión interna, ver figura 2.5 [44]. El problema se plantea de forma
2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA
47
axisimétrica y las constantes del material son
Er
ν rθ
Grz
= 106 g M P a, Eθ = 106 M P a, Ez = 106 M P a
0.25
0.25
=
, ν θz = 0.25, ν rz =
g
g
= 4 × 105 M P a
(2.84)
donde r, θ, y z son las coordenadas cilíndricas del problema y g es un parámetro que controla el grado
de ortotropía. Cuando g = 16 , el material se comporta como quasi-incompresible. La matriz de comportamiento C̄ de este problema, se escribe como
6
C̄ =
10
−
15
16 g
⎡ 15
2
16 g
⎢ 5
5 ⎣ 16 g
32
5
16 g
5
16 g
1
g − 16
1
1
4 g + 16
5
16 g
⎤
1 ⎥
+ 16
⎦
1
g − 16
1
4g
(2.85)
y la relación presión-deformación obtenida es
p̄ = −
1 106 g
[(15g + 10) err + 25eθθ + 25ezz ]
3 15g − 52
(2.86)
con el ‘módulo de compresibilidad K’ definido como
K=
1 106 g
(15g + 60)
9 15g − 52
(2.87)
1
El módulo de compresibilidad se hace infinito cuando g decrece hasta . Por lo tanto, la expresión
6
anterior de la presión queda como
p̄ = −∞
∙
1
err + eθθ + ezz
2
¸
(2.88)
con lo cual se tiene la ecuación de restricción
1
err + eθθ + ezz = 0
2
(2.89)
En este problema se presentan varias simulaciones de la distribución de presiones en el cilindro para
distintos valores de g. Se han realizado dos tipos de simulaciones: formulación estándar con elementos
QUAD 9/9, ver figura 2.6, y formulación mixta, con elementos QMIX 9/9/3, ver figura 2.7. En el caso de
1
valores de g ≈ , la formulación estándar no funciona correctamente y la solución bloquea, obteniéndose
6
soluciones más rígidas y distribuciones de presión no constantes (ver figura 2.6(b)) . Por otro lado, para
1
el caso de formulación mixta y con valores de g ≈ , se obtienen soluciones correctas y distribuciones de
6
presión constantes (ver figura 2.7(b))
48
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
x10
x109
x10-5
4
1.8
3
1.6
2
x10
4
3
3
2
1
1
1.2
0
0
-1
-1
0
1
-1
0.8
-2
-2
-2
0.6
1.1
1.2 1.3
1.4 1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
9
4
2
1.4
1
-5
-3
2 x10-4
1.1
1.2 1.3
1.4 1.5
(a)
1.6
1.7
1.8
1.9
2 x10
-4
(b)
Figura 2.6: Distribución de presiones en un cilindro axisimétrico sometido a presión interna con formulación estándar (en la frontera aparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de presión constante
para g = 12 y (b) Contorno de presión para g ≈ 16 , donde se observa bloqueo
x10
-5
x108
x10-5
x1012
20
4
18
16
3
4
1.5
3
1
2
0.5
14
2
12
10
1
8
0
1
0
0
-0.5
6
-1
4
2
-2
-1
-1
-2
0
1.1
1.2 1.3
1.4 1.5
(a)
1.6
1.7
1.8
1.9
2 x10
-4
-1.5
1.1
1.2 1.3
1.4 1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2 x10
-4
(b)
Figura 2.7: Distribución de presiones en el cilindro axisimétrico con formulación mixta (en la frontera
aparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de presión constante para g = 12 y (b) Contorno de
presión para g ≈ 16 . En este caso no hay bloqueo
2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA
2.2.6
49
El problema en implementaciones de modelos elastoplásticos anisótropos
Las expresiones del segundo tensor de Piola-Kirchhoff modificado S y del tensor de comportamiento modificado de cuarto orden Cuu son fácilmente derivables cuando el módulo de compresibilidad del material K
tiene un valor constante. En caso contrario, como ocurre bajo la hipótesis de elastoplasticidad anisótropa
o anisotropía elástica con isotropía plástica, hay que calcular la variación del parámetro Cpp = −1/ 0 P (p̄)
a través de su derivada, ya que este parámetro deja de ser constante. Las expresiones resultantes para los
parámetros Cpp , Cup , Cuu y S, en el caso de no tener un módulo de compresibilidad constante, quedan
de la forma
Cpp
Cup
1
0 P (p̄)
∂ 0 P (p̄)
1
∂ p̄
= −Cpp
− 2 (p̄ − p̃)
∂A Cpp
∂A
= −
(2.90)
∙
¸
∂ 2 p̄
∂ 0 P (p̄)
∂ p̄
∂ p̄
∂ p̄
∂ 0 P (p̄)
∂ p̄
2
(p̄ − p̃)
⊗
+ Cpp (p̄ − p̃)
+ Cpp
⊗
+
⊗
+
∂A ∂A
∂A∂A
∂A
∂A ∂A
∂A
2
∂ 0 P (p̄)
1 2
2 ∂ 0 P (p̄)
2 ∂ 0 P (p̄)
3
+Cpp
(p̄ − p̃)
(p̄ − p̃)
⊗
+ Cpp
∂A
∂A
2
∂A∂A
∂ p̄
1 2
∂
P
(p̄)
0
S = S̄ + Cpp (p̄ − p̃)
+ C (p̄ − p̃)2
∂A 2 pp
∂A
Cuu
= C̄ + Cpp
Por lo tanto, habría que calcular las derivadas
∂ 0 P (p̄)
∂ 2 0 P (p̄)
y
∂A
∂A∂A
(2.91)
respectivamente, lo que supone calcular derivadas del módulo tangente elastoplástico. Este problema
resulta sumamente complejo y difícilmente abordable en modelos avanzados.
Como solución a este problema, se propone la utilización de elementos mixtos basados en deformaciones impuestas mejoradas y modos incompatibles (assumed enhanced strain methods) [78], [82], [46].
En esta formulación, se prescribe un gradiente de deformaciones que es la suma de un gradiente de
£ ¤
deformaciones compatible GRADX ϕh más un gradiente de deformaciones adicional F̃h , de la forma
Fh = GRADX [x] + F̃h
(2.92)
donde la clave de la formulación es la definición de este gradiente de deformaciones adicional F̃h . Esta
formulación permite una extensión al caso no lineal del método de los modos incompatibles. Los detalles
de esta formulación se presentan en el siguiente apartado.
50
2.3
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Métodos mixtos basados en modos incompatibles y deformaciones impuestas (Assumed Strain Methods).
Imple-
mentación en DULCINEA
2.3.1
Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BINC 8/9/12
En este apartado se presenta brevemente el desarrollo teórico y la implementación en DULCINEA del elemento tridimensional mejorado en grandes deformaciones denominado BINC 8/9/12, es decir, elemento
tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración de deplazamientos y con 12 modos mejorados.
Este elemento se corresponde, con muy pequeñas variaciones, con el elemento QM1/E12 de la referencia
[46], donde, en el caso lineal, se incorpora el método de los modos incompatibles de Wilson, con integración modificada, como un caso particular. La versión implementada en el trabajo de la referencia [46],
presenta una serie de mejoras respecto a formulaciones anteriores (en pequeñas deformaciones [78] y la
extensión a deformaciones finitas [82]), con objeto de evitar bloqueo en el límite de incompresibilidad
para configuraciones deformadas.
Se define la interpolación isoparamétrica de la geometría de referencia X (ξ) y la geometría final x (ξ)
respectivamente como
X (ξ) =
nudos
X
N A (ξ) X̂eA
(2.93)
N A (ξ) x̂eA
(2.94)
A=1
x (ξ) =
nudos
X
A=1
donde X̂A son las coordenadas nodales de referencia y x̂A = X̂A + ûA son las coordenadas nodales finales,
con ûA como el incremento de desplazamientos. El gradiente de deformaciones se define
Fh = GRADX [x] =
nudos
X
A=1
donde
£
¤
∂xj
T
x̂A ⊗ GRADX NA = (∇X [x (ξ)]) =
ei ⊗ ej
∂Xi
∇X [x (ξ)] =
∂xi
ei ⊗ ej
∂Xj
(2.95)
(2.96)
que es la definición habitual del gradiente de deformación y la derivada de las funciones de forma en la
configuración de referencia queda
£
¤
£
¤
∂X (ξ)
GRADX NA = J (ξ)−T GRADξ NA con J (ξ) :=
∂ξ
(2.97)
£
¤
y GRADξ NA contiene las derivadas de las funciones de forma en la configuración isoparamétrica.
Por otra parte, el vector N (ξ), que contiene las funciones de forma isoparamétricas estándar para el
elemento tridimensional de 8 nudos, se define de la forma
£
¤T
N (ξ) := N 1 N 2 ... N 8
(2.98)
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
donde
N A :=
51
1
(1 + ξ 1 ξ) (1 + ξ 2 η) (1 + ξ 3 ζ)
8
(2.99)
y ξ = (ξ, η, ζ) son las coordenadas de los nodos de un cubo de dimensiones [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1].
No obstante, se va a utilizar la descomposición de la funciones de forma de Belytschko et al [150], ver
expresión (2.119). En el siguiente apartado se presentan los detalles de la descomposición de Belytschko
et al [150], particularizado para un elemento bidimensional de 4 nudos.
Descomposición de Belytschko et al de las funciones de forma.
La interpolación de las coordenadas geométricas x (ξ) en un elemento bidimensional de 4 nudos se calcula
como
⎡
⎤
N
(ξ)
1
"
#⎢
⎥
4
X
N2 (ξ)⎥
x1 x2 x3 x4 ⎢
⎢
⎥
x (ξ) =
Na (ξ) x̂a =
(2.100)
⎢N (ξ)⎥
y
y
y
y
1
2
3
4
3
⎣
⎦
a=1
N4 (ξ)
donde Na (ξ) son las funciones de forma estándar para el elemento bidimensional de cuatro nudos
Na (ξ) =
1
(1 + ξ a ξ) (1 + ηa η)
4
(2.101)
y xa son las coordenadas nodales.
La representación de la geometría x (ξ) y del campo de desplazamientos u (ξ) proporcionada por las
referencias [150], [151] es
x (ξ) = α0 h0 + α1 h1 + α2 h2 + α3 h3
(2.102)
u (ξ) = β0 h0 + β1 h1 + β2 h2 + β 3 h3
donde h0 es la constante unidad, h1 y h2 son funciones lineales de las coordenadas y h3 es el modo de
reloj de arena (modo ’hourglass’ ), ver figura 2.8
h0 = 1; h1 = ξ; h2 = η; h3 = ξη
(2.103)
Con esta representación, las funciones de forma son las mismas, pero se separan las partes lineales de las
no-lineales (modo ’hourglass’).
Los valores de αi = [αiξ , αiη ]T ya no tienen un significado físico tan directo como las coordenas o los
desplazamientos nodales. No obstante, se pueden obtener directamente resolviendo los siguientes sistemas
de ecuaciones lineales:
⎧
⎪
⎪
⎪ x1 = α0ξ + α1ξ (−1) + α2ξ (−1) + α3ξ (−1) (−1)
⎪
⎨ x = α + α (1) + α (−1) + α (1) (−1)
2
0ξ
1ξ
2ξ
3ξ
(2.104)
⎪ x3 = α0ξ + α1ξ (1) + α2ξ (1) + α3ξ (1) (1)
⎪
⎪
⎪
⎩ x = α + α (−1) + α (1) + α (−1) (1)
4
0ξ
1ξ
2ξ
3ξ
52
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
h
h
h
h
3
3
3
3
4
4
4
4
2
2
2
2
1
1
1
x
(h0)
1
x
(h1)
x
x
(h2)
(h3)
Figura 2.8: Descomposición de las funciones de forma estándar de un elemento 2D de cuatro nudos: h0
es la componente constante, h1 y h2 son las componentes lineales en ξ y η, respectivamente y h3 es el
modo hourglass en el caso bidimensional [150]
y
⎧
⎪
y1 = α0η + α1η (−1) + α2η (−1) + α3η (−1) (−1)
⎪
⎪
⎪
⎨ y = α + α (1) + α (−1) + α (1) (−1)
2
0η
1η
2η
3η
⎪
y3 = α0η + α1η (1) + α2η (1) + α3η (1) (1)
⎪
⎪
⎪
⎩ y = α + α (−1) + α (1) + α (−1) (1)
4
0η
1η
2η
3η
resultando
⎡ ⎤ ⎡
1
α0ξ
⎢ ⎥ ⎢ 41
⎢α1ξ ⎥ ⎢− 4
⎢ ⎥=⎢
⎢α ⎥ ⎢− 1
⎣ 2ξ ⎦ ⎣ 4
1
α3ξ
4
Por otro lado
⎡ ⎤ ⎡
1
β 0ξ
⎢ ⎥ ⎢ 41
⎢β 1ξ ⎥ ⎢− 4
⎢ ⎥=⎢
⎢β ⎥ ⎢− 1
⎣ 2ξ ⎦ ⎣ 4
1
β 3ξ
4
1
4
1
4
− 14
− 14
1
4
1
4
− 14
− 14
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
⎤⎡
⎤
1
x1
4
⎥⎢ ⎥
1⎥ ⎢ ⎥
− 4 ⎥ ⎢x2 ⎥
1 ⎥⎢ ⎥
4 ⎦ ⎣x3 ⎦
− 14
x4
⎤⎡
⎤
1
ux1
4
⎥⎢ ⎥
⎢ux2 ⎥
− 14 ⎥
⎥⎢ ⎥
⎥
1 ⎥⎢
4 ⎦ ⎣ux3 ⎦
− 14
ux4
⎡
⎤ ⎡
1
α0η
⎢
⎥ ⎢ 41
⎢α1η ⎥ ⎢− 4
⎥ ⎢
y ⎢
⎢α ⎥ = ⎢− 1
⎣ 2η ⎦ ⎣ 4
1
α3η
4
⎡ ⎤ ⎡
1
β 0η
⎢ ⎥ ⎢ 41
⎢β 1η ⎥ ⎢− 4
⎥ ⎢
y ⎢
⎢β ⎥ = ⎢− 1
⎣ 2η ⎦ ⎣ 4
1
β 3η
4
1
4
1
4
− 14
− 14
1
4
1
4
− 14
− 14
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
(2.105)
⎤⎡ ⎤
(2.106)
⎤
(2.107)
1
y1
4
⎥⎢ ⎥
1⎥ ⎢ ⎥
− 4 ⎥ ⎢y2 ⎥
1 ⎥⎢ ⎥
4 ⎦ ⎣y3 ⎦
− 14
y4
⎤⎡
1
uy1
4
⎥⎢ ⎥
⎢uy2 ⎥
− 14 ⎥
⎥⎢ ⎥
⎥
1 ⎥⎢
4 ⎦ ⎣uy3 ⎦
− 14
uy4
o también, denominando a las filas de las anteriores matrices
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
1
−1
−1
1
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
1 ⎢1⎥
⎥ ; b1 = 1 ⎢ 1 ⎥ ; b2 = 1 ⎢−1⎥ ; b3 = 1 ⎢−1⎥
b0 = ⎢
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
4 ⎣1⎦
4⎣ 1 ⎦
4⎣ 1 ⎦
4⎢
⎣1⎦
1
−1
1
−1
(2.108)
α0ξ = b0 x̂, α1ξ = b1 x̂, ..., α0η = b0 ŷ, ...
(2.109)
se obtiene
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
53
Para las tres primeras funciones (h0, h1, h2 ) únicamente es necesario un punto de integración para
obtener integración exacta, puesto que son lineales (integrarlas con 4 puntos sería entonces sobreintegrar);
para la segunda son necesarios cuatro puntos de integración para obtener la integración exacta en un
dominio normalizado.
La matriz jacobiana es
∂x
∂h1
∂h2
∂h3
∂h4
= α1 ⊗
+ α2 ⊗
+ α3 ⊗
+ α4 ⊗
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
#
"
#
"
#
"
h
i
h
i
h
i
α2ξ
α3ξ
α1ξ
=
1 0 +
0 1 +
η ξ
α1η
α2η
α3η
"
# "
#
α1ξ α2ξ
ηα3ξ ξα3ξ
=
+
α1η α2η
ηα3η ξα3η
J =
(2.110)
= Jo + Jh
donde Jo es la matriz jacobiana en el origen, la parte constante, y Jh es la parte variable que, únicamente
depende del modo hourglass. La inversa es
−1
J
=
=
Ã"
#!−1
α1ξ + ηα3ξ α2ξ + ξα3ξ
α1η + ηα3η α2η + ξα3η
#
"
1 −α2η − ξα3η α2ξ + ξα3ξ
J α1η + ηα3η −α1ξ − ηα3ξ
(2.111)
donde J = det J = α1η α2ξ − α1ξ α2η + ξα1η α3ξ − ξα1ξ α3η + ηα3η α2ξ . La inversa de la parte constante,
que coincide con la inversa en el origen, es
−1
J
|ξ=0 =
J−1
0
"
α2η
1
=
−α1η α2ξ + α1ξ α2η −α1η
−α2ξ
α1ξ
#
(2.112)
El gradiente de los desplazamientos es
∇u :=
donde
∂u
∂u ∂ξ
∂u −1
=
=
J
∂x
∂ξ ∂x
∂ξ
(2.113)
∂u
∂h1
∂h2
∂h3
∂h4
= β1 ⊗
+ β2 ⊗
+ β3 ⊗
+ β4 ⊗
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
# "
#
"
β 2ξ
ηβ 3ξ ξβ 3ξ
β
+
= 1ξ
β 1η β 2η
ηβ 3η ξβ 3η
∇ξ u :=
En el origen
"
#
"
#"
β 1ξ β 2ξ −1
α2η
1 β 1ξ β 2ξ
∇0 u =
J0 =
J0 β 1η β 2η −α1η
β 1η β 2η
"
#
α1ξ β 2ξ − β 1ξ α2ξ
1 −α1η β 2ξ + β 1ξ α2η
=
J0 −α1η β 2η + β 1η α2η −β 1η α2ξ + α1ξ β 2η
−α2ξ
α1ξ
#
(2.114)
(2.115)
54
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Las deformaciones infinitesimales en el origen ε0 = sym (∇0 u) son
⎛"
1 ⎝ −α1η β 2ξ + β 1ξ α2η
ε0 =
2J0
−α1η β 2η + β 1η α2η
#
"
α1ξ β 2ξ − β 1ξ α2ξ
−α1η β2ξ + β1ξ α2η
+
−β 1η α2ξ + α1ξ β 2η
−α1η β2η + β1η α2η
"
−2α1η β 2ξ + 2β 1ξ α2η
1
=
2J0 −α1η β 2η + β 1η α2η + α1ξ β 2ξ − β 1ξ α2ξ
α1ξ β2ξ − β1ξ α2ξ
−β1η α2ξ + α1ξ β2η
α1ξ β 2ξ − β 1ξ α2ξ − α1η β 2η + β 1η α2η
−2β 1η α2ξ + 2α1ξ β 2η
#
#T ⎞
⎠
independientes del modo hourglass.
En el resto del dominio
Ã"
β 1ξ
1
∇u =
J
β 1η
# "
β 2ξ
ηβ 3ξ
+
β 2η
ηβ 3η
ξβ 3ξ
ξβ 3η
#! "
−α2η − ξα3η
α1η + ηα3η
= ∇12 u + ∇3 u
α2ξ + ξα3ξ
−α1ξ − ηα3ξ
#
(2.116)
y
ε = sym (∇u) = sym (∇12 u) + sym (∇3 u)
(2.117)
donde buscamos sólo la dependencia del modo hourglass
"
1 ηβ 3ξ
∇3 u =
J ηβ 3η
ξβ 3ξ
ξβ 3η
#"
−α2η − ξα3η
α1η + ηα3η
α2ξ + ξα3ξ
−α1ξ − ηα3ξ
#
(2.118)
En el caso de que ξ = 0, tenemos ∇12 u =∇0 u. El término ∇12 u se evalúa mediante un único punto
de integración en el origen. El término ∇3 u se evalúa con cuatro puntos de integración.
Por otra parte, extendiendo el razonamiento anterior al caso tridimensional, se define la³ siguiente de´
P3
X
b
scomposición del vector de funciones de forma en una parte constante (b0 ), una parte lineal
i=1 i i ,
³P
´
4
j
donde i es la componente, y una parte no lineal
j=1 H (ξ) γ j de la forma [150], [151]
N (ξ) = b0 +
3
X
Xi bi +
i=1
4
X
j=1
Hj (ξ) γ j
(2.119)
donde Xi son las componentes de las coordenadas nodales y Hj (ξ) son las funciones de reloj de arena
(hourglass) bi- y trilineales, definidas como
H1 (ξ) := ξ 2 ξ 3 , H2 (ξ) := ξ 3 ξ 1 , H3 (ξ) := ξ 1 ξ 2 , H4 (ξ) := ξ 1 ξ 2 ξ 3
(2.120)
y γ j son los vectores de estabilización, ver referencia [151].
Los vectores constantes b0 , bi y γ j se calculan como
#
"
3
X
1
(18 · Yi ) bi
b0 =
18 −
8
i=1
(2.121)
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
h
donde Yi := Xi1
Xi2
... Xi8
iT
son las coordenadas de los nodos iniciales y
#
"
3
¢
1 j X¡ j
γj =
h · Yi bi
h −
8
i=1
con
bi = J−T
0
y
55
∂N
∂ξ i ξ=0
(2.122)
(2.123)
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
1
1
1
1
−1
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢1⎥
⎢−1⎥
⎢−1⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢−1⎥
⎢−1⎥
⎢1⎥
⎢−1⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎥
⎥
⎢1⎥
⎢
⎢
⎢
⎢ ⎥
⎥ , h1 := ⎢−1⎥ , h2 := ⎢ 1 ⎥ h3 := ⎢−1⎥ , h4 := ⎢ 1 ⎥
18 := ⎢
⎢1⎥
⎢−1⎥
⎢−1⎥
⎢1⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢−1⎥
⎢1⎥
⎢−1⎥
⎢−1⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢1⎥
⎢1⎥
⎢1⎥
⎢1⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
1
1
−1
−1
−1
(2.124)
^ X [·] := j0 J−T
GRADξ [·]
GRAD
j (ξ) 0
(2.125)
son los modos hourglass correspondientes a un elemento tridimensional de 8 nudos [151], y J0 = J (ξ)ξ=0
∂Xe (ξ)
es la matriz jacobiana J (ξ) :=
evaluada en ξ = 0.
∂ξ
Se definen las derivadas Cartesianas en la configuración inicial de referencia X respecto de la configuración isoparamétrica ξ como (ver figura 2.9)
donde j (ξ) := det [J (ξ)] y j0 := j (0) son los determinantes de las matrices jacobianas en el punto de
integración ξ y el determinante de la matriz jacobiana evaluada en ξ = 0, respectivamente. Con esta
definición se calcula el gradiente aproximado de las funciones hourglass en la configuración de referencia
como
£ ¤
£ j¤
^ X Hj := j0 J−T
(2.126)
GRAD
0 GRADξ H
j (ξ)
£ ¤
£ ¤
^ X Hj coincide con el gradiente estándar GRADX Hj definido como
donde el gradiente GRAD
£ ¤
£ ¤
GRADX Hj = J (ξ)−T GRADξ Hj
(2.127)
en configuraciones con elementos que presentan Jacobianos de referencia J (ξ) constantes. La expresión
(2.126) permite eliminar bloqueo numérico en problemas de incompresibilidad en elementos que presentan
configuraciones distorsionadas, es decir, con Jacobianos de referencia no constantes.
56
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Gradiente de deformación compatible GRADX [x]
Por lo tanto, teniendo en cuenta los resultados anteriores, las derivadas de las funciones de forma en la
configuración inicial de referencia se calculan como
4
£
¤
£
¤ X
£ j¤
γA
GRADX NA = GRAD0 NA +
j GRADX H
(2.128)
j=1
£
¤
£ j¤
donde GRAD0 NA es un término constante y γ A
es la contribución de los modos hourj GRADX H
glass. Además, el gradiente de deformaciones se calcula, teniendo en cuenta las consideraciones anteriores,
como
4
8
X
X
£ ¤
GRADX [x] = GRAD0 [x] +
βj ⊗ GRADX Hj , donde β j :=
γA
(2.129)
j x̂A
j=1
A=1
La expresión anterior consta de dos términos: un gradiente de deformación lineal constante evaluado
³
´
4
£ ¤
P
en ξ = 0 F0 = GRAD0 [x] = GRADX [x]ξ=0 y un término adicional no lineal
βj ⊗ GRADX Hj
j=1
que es la contribución de los modos reloj de arena (“hourglass”) (incorpora los modos incompatibles de
Wilson como caso particular), es decir, se utiliza como un punto de integración en términos lineales y
nueve puntos de integración para términos no lineales (modos hourglass e incompatibles). Por lo tanto, el
objetivo de esta formulación es la incorporación de un término adicional en la expresión (2.129) a través
de una formulación mixta, con el fin de eliminar el bloqueo numérico en problemas de incompresibilidad,
mejorar el comportamiento en problemas de localización y obtener buenos resultados a flexión en mallas
’gruesas’.
Diseño de elementos basados en gradiente de deformaciones impuestas (Assumed Strain
Elements)
El gradiente de deformaciones mejorado Fh se define de la forma
Fh = GRADX [x] + F̃h
(2.130)
donde GRADX [x] es el gradiente de deformación compatible y F̃h es el gradiente de deformaciones
adicional.
El gradiente de deformaciones F̃h tiene que cumplir tres condiciones para garantizar la estabilidad
del método:
1. la primera es que para un estado tensional constante, F̃h = 0 y se recupera la formulación estándar.
Esta condición garantiza que los elementos pasan el test de la parcela (“patch-test”).
2. La segunda condición es que los gradientes de deformación adicionales deben ser independientes de
los ya existentes, es decir, que δ F̃h ∈ E˜h no están contenidos en los gradientes de deformación de
£ ¤
las variaciones compatibles δϕh ∈ V h , es decir, GRADX V h ∩ Ẽ h = 0.
3. Adicionalmente, se tiene que cumplir una tercera condición: Los gradientes de deformación Ẽ h
h
deben ser invariantes, tales F̃h ∈ Ẽ h se tranforma como F̃h → QF̃ , donde Q es una matriz de
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
57
Configuración final (x)
Configuración inicial (X)
F(x)
W
f(W)
0
F0
0
x2
J0
F0J0
0
x1
Configuración isoparamétrica
Figura 2.9: Configuraciones implicadas en el cálculo del gradiente de deformaciones mejorado Fh =
GRADX [x] + F̃h
rotación. Por lo tanto, hay que seleccionar un gradiente de deformaciones adicional F̃h que cumpla
con estas condiciones.
El diseño del gradiente de deformaciones adicional F̃h se lleva a cabo en primer lugar, en el dominio isoparamétrico, ver figura 2.9, a través de la transformación F [ξ] ∈ I, donde I es el dominio
isoparamétrico. Posteriormente, con las transformaciones adecuadas, se obtiene F̃h , que transforma vectores del dominio Ω en vectores del dominio ϕh (Ω). El gradiente adicional F̃h debe satisfacer las tres
condiciones anteriores. Por lo tanto, la tranformación F [ξ] está sujeta a la restricción
Z
I
F [ξ] dI = 0
(2.131)
£ ¤
es decir, F [ξ] ∈
/ GRADX V h con lo que se cumple la segunda condición. El siguiente paso es transformar
F [ξ] definido en el dominio I a F̃ [ξ] definido en la configuración inicial Ω a través de la siguiente
transformación1
j0
(2.132)
F̃ [ξ] =
J0 F [ξ] J−1
0
j (ξ)
donde se cumple que
Z
Ω
F̃ [ξ] dΩ = 0 con dΩ=j (ξ) dI
(2.133)
Por último, queda transformar F̃ [ξ],definido en la configuración Ω, a F̃h [ξ] en la configuración final
ϕ (Ω) como
F̃h [ξ] = F0 F̃ [ξ] , donde F0 := GRADX [x]ξ=0 = GRAD0 [x]
(2.134)
h
tensor F̃ [ξ] actúa sobre vectores en Ω y devuelve vectores en Ω. Por ello, J−1
o “tira” a la configuración isoparamétrica
y Jo empuja el resultado de nuevo a la configuración material o de referencia.
1 El
58
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
y, finalmente
F̃h [ξ] =
j0
F0 J0 F [ξ] J−1
0
j (ξ)
(2.135)
Estas transformaciones garantizan el cumplimiento de las condiciones de estabilidad y objetividad anteriores.
El último paso es la determinación de F [ξ]. Para ello, se utilizan las funciones de forma incompatibles
de Wilson para el caso tridimensional, definidas como
Ñ1 :=
¢
¢
¢
1¡ 2
1¡ 2
1¡ 2
ξ 1 − 1 , Ñ2 :=
ξ 2 − 1 , Ñ3 :=
ξ3 − 1
2
2
2
(2.136)
lo que supone una generalización de los modos de Wilson en el caso no lineal. En este caso, se añade un
cuarto modo Ñ4 , definido como
Ñ4 := ξ 1 ξ 2 ξ 3
(2.137)
con objeto de prevenir bloqueo numérico, en el caso de incompresibilidad, para el elemento tridimensional
de Wilson, ver detalles en la referencia [46]. Bajo estas condiciones, F [ξ] se define como
F [ξ] =
3
X
i=1
h i ³
h i´
Γi ⊗ GRADξ Ñi + Γ4 · GRADξ Ñ4 I
⎤
⎤
⎤
⎡
⎡
⎡
Γ2x h
Γ3x h
Γ1x h
i
i
i
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
= ⎣Γ1y ⎦ ξ 1 0 0 + ⎣Γ2y ⎦ 0 ξ 2 0 + ⎣Γ3y ⎦ 0 0 ξ 3 + (Γ4x ξ 2 ξ 3 + Γ4y ξ 1 ξ 3 + Γ4z ξ 1 ξ 2 ) I
Γ1z
Γ2z
Γ3z
⎤
⎡
Γ1x ξ 1 Γ2x ξ 2 Γ3x ξ 3
⎥
⎢
= ⎣Γ1y ξ 1 Γ2y ξ 2 Γ3y ξ 3 ⎦ + (Γ4x ξ 2 ξ 3 + Γ4y ξ 1 ξ 3 + Γ4z ξ 1 ξ 2 ) I
Γ1z ξ 1 Γ2z ξ 2 Γ3z ξ 3
donde Γi son los grados de libertad adicionales (internos al elemento y condensables, que contienen 3
componentes (una por cada dirección del espacio)). Usando la tranformación definida en la ecuación
(2.135), la expresión anterior queda como
F̃h [ξ] =
3
X
i=1
h i ³
h i´
^ X Ñi + α4 · GRAD
^ X Ñ4 F0
αi ⊗ GRAD
(2.138)
^ X [·] viene definido en la ecuación 2.125. Esta expresión es más
donde αi = F0 J0 Γi , α4 = J0 Γ4 y GRAD
cómoda para esta formulación debido a la presencia de Ñ4 .
Por otra parte, se ha utilizado una regla de integración numérica modificada con objeto de integrar
de forma selectiva los términos constantes y lineales por una parte (con un punto de integración), y
los términos no lineales por la otra (con ocho puntos de integración), de forma que se utiliza una regla
de integración de 9 puntos de Gauss (en el caso tridimensional) o de 5 puntos de Gauss (en el caso
bidimensional). Los resultados numéricos obtenidos con esta regla de integración son similares a los
calculados con 27 puntos para el caso tridimensional o 9 puntos para el caso bidimensional [46]. La regla
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
59
de integración reducida queda de la forma
Z
I
f (ξ) dI =
8
X
p=1
¡ ¢
Wp f ξp + W0 f (ξ0 )
(2.139)
32
5
, Wp = para p = 1, ...8 y las coordenadas de los puntos de integración ξp en un cubo
9
9
r
3
de dimensiones [−β, β] × [−β, β] × [−β, β] son β =
. Por lo tanto, el coste computacional de esta
5
regla de integración modificada es sustancialmente inferior a la integración convencional con 27 puntos
de integración, obteniéndose resultados similares [46].
donde W0 =
A continuación se presentan las principales pasos en la implementación del elemento:
Derivadas de las funciones de forma y gradiente de deformaciones F = GRADX [x] + F̃
Definiendo NA (ξ), con A = 1, ...8, como las funciones de forma estándar y ÑJ (ξ), con J = 1, ...4,
como las funciones de forma incompatibles, en la configuración isoparamétrica, se tiene
£
¤
£ A¤
GRAD0 NA := J−T
, derivadas constantes
(2.140)
0 GRADξ N
ξ=0
h i
h
i
^ X ÑJ := j0 J−T
GRADξ ÑJ
GRAD
j (ξ) 0
4
h i´
³
£
¤
£
¤ X
£ ¤
^ X Ñ4 GRAD0 NA +
^ X Hj
GRADX NA := 1 + α4 · GRAD
γ j GRAD
j=1
donde γ j son los vectores de estabilización gamma y Hj son las funciones hourglass. Las derivadas de
las funciones de forma de la ecuación (2.140) son la transformación de las derivadas en la configuración
isoparamétrica I a la configuración Ω, quedando definidas en la configuración material o de referencia
X. La expresión del gradiente de deformaciones modificado F = GRADX [x] + F̃, utilizando la ecuación
(2.129), queda como
F=
8
X
A=1
3
h i
£
¤ X
^ X ÑJ
x̂A ⊗ GRADX NA +
αJ ⊗ GRAD
(2.141)
J=1
Finalmente, la tranformación de las derivadas de las funciones de forma a la configuración actual
ϕ (Ω) se define como
£
¤
£
¤
¯ 0 NA = F−T GRAD0 NA , con A = 1, ...8
∇
(2.142)
0
h i
£ J¤
˜ N = F−T GRAD
^ X ÑJ , con J = 1, ...3
∇
£
¤
£
¤
¯ NA = F−T GRADX NA , con A = 1, ...8
∇
En el caso de pequeñas deformaciones (deformaciones infinitesimales), el problema se debe reducir a
resolver un sistema lineal. No obstante, a la vista de la ecuaciones (2.140)
h yi (2.141), el sistema conserva
^ X Ñ4 , ya que no están totalmente
una no-linealidad en desplazamientos a través del término α4 · GRAD
desacoplados y no se anula. Con lo cual, bajo la hipótesis cinemática de pequeñas deformaciones que
es lineal, hay que resolver un problema no lineal. Este es uno de los inconvenientes detectados en esta
formulación.
60
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Implementación del elemento mixto basado en los modos incompatibles y deformaciones
impuestas
La implementación este elemento finito mixto se lleva a cabo de la forma habitual, obteniéndose el
sistema de ecuaciones
"
Kuα
Kαα
Kuu
Kαu
#" # " # " #
û
R
Fe
=
−
F̃e
α̂
0
(2.143)
donde la matriz K es la matriz de rigidez elemental, que consta de un término lineal o material Km y de
un término no lineal o geométrico Kg de la forma
"
Kuu
K=K +K =
Kαu
m
g
y los vectores de fuerzas internas
# "
Km
Kuα
uu
=
Kαα
Km
αu
# "
Kguu
Km
uα
+
m
Kαα
Kgαu
Kguα
Kgαα
#
(2.144)
⎡ 1⎤
Fe
⎢ ⎥
Fe =
⎣ ... ⎦
e=1
F8e
⎡ 1⎤
F̃e
⎢ ⎥
F̃e = ⎣ ... ⎦
F̃4e
nel
^
donde
FA
e =
F̃Je =
Z
Z
Ωe
Ωe
(2.145)
£
¤
B̄ NA τ dΩ, con A = 1, ...8
(2.146)
h i
B̃ ÑJ τ dΩ, con J = 1, ...4
En las expresiones anteriores, τ es el tensor de tensiones de Kirchhoff
a partir del gradiente
i
h evaluado
£
¤
de deformaciones F, definido en la expresión (2.141) y B̄ NA y B̃ ÑJ son las derivadas de las funh i
£
¤
¯ NA y ∇
˜ ÑJ ,
ciones de forma estándar y de los modos incompatibles, asociadas con las expresiones ∇
respectivamente, de la forma
⎡
N̄ A
⎢ 1
⎢ 0
⎢
£ A¤ ⎢
⎢ 0
B̄ N = ⎢ A
⎢N̄2
⎢
⎢ 0
⎣
N̄3A
0
N̄2A
0
N̄1A
N̄3A
0
⎤
⎡
Ñ J
0
⎥
⎢ 1
⎢ 0
0 ⎥
⎥
⎢
A⎥
£ J¤ ⎢
N̄3 ⎥
⎢ 0
B̃ N = ⎢ J
⎥
⎥
⎢Ñ2
0 ⎥
⎢
⎢ 0
A⎥
N̄2 ⎦
⎣
N̄1A A=1,...8
Ñ3J
0
Ñ2J
0
Ñ1J
Ñ3J
0
⎤
0
⎥
0 ⎥
⎥
Ñ3J ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
Ñ2J ⎥
⎦
Ñ1J J=1,...3
h i
£
¤
J
¯ NA
˜ ÑJ
donde N̄iA son las componentes de ∇
y
Ñ
son
las
componentes
de
∇
i
A=1,...8
(2.147)
J=1,...3
.
Por otra parte, la derivada de Ñ4 se define como
h i
h i
^ X Ñ4
B̃ Ñ4 := ε0 [ϕ] ⊗ GRAD
(2.148)
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
61
£ ¤
que difiere del resto de derivadas B̃ NJ con J = 1, ..3, debido a la particular definición del modo adicional
Ñ4 . En la expresión anterior, ε0 [x] corresponde con la parte simétrica del gradiente de deformaciones
constante en la configuración final, definido como
¯ 0 [x]) = sym(F−T GRAD0 [x])
ε0 [x] := sym(∇
(2.149)
donde GRAD0 [x] = J−T
0 GRADξ [x]ξ=0 = F0
Construcción de la matriz de rigidez Km y Kg
Definiendo el tensor de comportamiento, evaluado a partir del gradiente de deformaciones F definido
en la expresión (2.141) , como D en coordenadas espaciales, se obtienen las submatrices de rigidez
m
m
materiales Km
uu , Kuα , Kαα de la forma
Km,AB
uu
Km,AJ
uα
Km,IJ
αα
=
=
=
Z
ZΩe
Z
Ωe
Ωe
£
¡ £ A ¤¢T
¤
D B̄ NB dΩ
B̄ N
(2.150)
h i
¡ £ A ¤¢T
D B̃ ÑJ dΩ
B̄ N
h i
³ h i´T
D B̃ ÑJ dΩ
B̃ ÑI
con A = 1, ...8 y I, J = 1, ...4, donde Km,AB
es una matriz de 24 × 24 componentes, Km
uu
uα es una matriz
de 24 × 12 componentes y Km
es
una
matriz
de
12
×
12
componentes
de
la
forma
αα
⎡
Km
uu
⎢(24×24)
Km = ⎣ m
Kαu
(12×24)
Km
uα
⎤
(24×12)⎥
⎦
Km
αα
(12×12)
(2.151)
La particularización para el caso lineal de deformaciones infinitesimales es relativamente sencilla. En
este caso, la configuración inicial Ω y final ϕ (Ω) coinciden, lo que implica una serie de simplificaciones.
La primera es que F = F0 = I en la Ecuación (2.142), con I el tensor identidad de segundo orden. La
¯ 0 [x] por I y, por lo tanto, ε0 [x] = sym(∇
¯ 0 [x]). La tercera es que, en el caso de
segunda es reemplazar ∇
deformaciones infinitesimales, no existe la contribución no lineal Kg en la matriz de rigidez elemental.
La
h i
£ A¤
4
^
cuarta es que en la expresión GRADX N de la Ecuación (2.140), el término α4 · GRADX Ñ = 0 ⇒
£
¤
α4 = 0, ya que el resultado de la derivada GRADX NA tiene que ser lineal. Este resultado es una de
las modificaciones introducidas en la formulación original de la referencia [46]. Por último, la expresión
del tensor de deformación se define como
ε :=
¤
1£
F − FT − I
2
(2.152)
donde F es el gradiente de deformaciones definido en la Ecuación (2.141).
Por otra parte, las submatrices de rigidez geométricas para el caso no lineal (grandes deformaciones)
62
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Kguu , Kguα , Kgαα se obtienen, siguiendo la notación de la referencia [45], como
Kg,AB
uu
Kg,AJ
uα
=
=
Z
ZΩe
Ωe
Kg,IJ
αα
=
Z
Ωe
¡
£
¤¢T
£
¤
τ̃ B̄N L NB dΩ
B̄N L NA
(2.153)
h i
¡
£
¤¢T
τ̃ B̃N L ÑJ dΩ
B̄N L NA
³
h i´T
h i
τ̃ B̃NL ÑJ dΩ
B̃N L ÑI
con A = 1, ...8 y I, J = 1, ...3, donde Kg,AB
es una matriz de 24 × 24 componentes, Kg,AJ
es una matriz
uu
uα
g,IJ
de 24 × 9 componentes y Kαα es una matriz de 9 × 9 componentes, de la forma
⎡
⎢
⎢
⎢
g
K =⎢
⎢
⎢
⎣
£
¤
La matriz B̄N L NA se calcula como
Kg,AB
uu
(24×24)
¡ g,AJ ¢T
Kuα
(9×24)
¡ g,A4 ¢T
Kuα
(3×24)
B̄NL
y
B̄N L
Kg,A4
uα
(24×9)
(24×3)
Kg,IJ
αα
(9×9)
¡ g,J4 ¢T
Kαα
(3×9)
⎡
B̄NL
⎢
=⎣ 0
0
⎡ 1
N̄1
⎢ 1
= ⎣N̄2
N̄31
Kg,AJ
uα
0
B̄N L
0
0 0 N̄12
0 0 N̄22
0 0 N̄32
⎡ ⎤
0
⎢ ⎥
0 = ⎣0⎦
0
Kg,J4
αα
(9×3)
Kg,44
αα
(3×3)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.154)
⎤
0
⎥
0 ⎦
B̄N L
(2.155)
⎤
... N̄1A
⎥
... N̄2A ⎦
... N̄3A
(2.156)
(2.157)
£
¤
¯ NA
donde N̄iA son las componentes de ∇
y A es el número de nodos. Por otra parte, la matriz
A=1,...8
h i
B̃NL ÑI se calcula como
⎤
⎡
B̃NL
0
0
h i
⎥
⎢
B̃NL ÑI = ⎣ 0
(2.158)
B̃NL
0 ⎦
0
0
B̃N L
y
B̃N L
⎡ 1
Ñ1
⎢ 1
= ⎣Ñ2
Ñ31
0 0 Ñ11
0 0 Ñ21
0 0 Ñ31
⎤
... g1n
⎥
... g2n ⎦
... g3n
(2.159)
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
h i
˜ ÑJ
donde N̄iJ son las componentes de ∇
J=1,...3
⎡
τ 11
⎢
τb = ⎣τ 21
τ 31
. El tensor de tensiones τ̃ se define como
⎡
τb
⎢
τ̃ = ⎣ 0
0
donde τb es el tensor de tensiones de la forma
τ 12
τ 22
τ 32
63
0
τb
0
⎤
0
⎥
0⎦
τb
⎤
⎡
⎤
τ 13
0 0 0
⎥
⎢
⎥
τ 23 ⎦ y 0 = ⎣0 0 0⎦
0 0 0
τ 33
(2.160)
(2.161)
g,J4
El resto de términos de la matriz de rigidez geométrica Kg,A4
uα (matriz de 24 × 3 componentes) , Kαα
g,44
(matriz de 9 × 3 componentes) y Kαα (matriz de 3 × 3 componentes) se calculan como
Kg,A4
uα
Kg,J4
αα
Kg,44
αα
=
=
=
Z
h i
¡
£
££
¤¢¤
£
¤¤
¯ NA
¯ 0 [x] τ ∇
¯ 0 NA ⊗ GRAD
^ X Ñ4 dΩ, con A = 1, ...8 (2.162)
∇
+ τ∇
ZΩe h
ZΩe
Ωe
£
³
h i´i
h i
˜ ÑJ
¯ 0 [x] τ ∇
^ X Ñ4 dΩ, con J = 1, ...3
∇
⊗ GRAD
h i
h i
¤
¯ 0 [x] GRAD
¯ 0 [x] : τ ∇
^ X Ñ4 ⊗ GRAD
^ X Ñ4 dΩ
∇
Por último, se obtienen las matrices de rigidez elementales como la suma de la contribución lineal
(material) y no lineal (geométrica), de la forma.
Kuu
g
= Km
uu + Kuu
Km
αα
+
(2.163)
Kgαα
Kαα
=
Kuα
g
= Km
uα + Kuα
Los grados de libertad adicionales α̂ pertenecen únicamente a un elemento, es decir, son grados de
libertad internos al elemento, y, por lo tanto, pueden condensarse a partir del sistema de ecuaciones de
la expresión (2.143) de la forma
Kαu û + Kαα α̂ = −Fα =⇒ α̂ = − [Kαα ]−1 (Fα + Kαu û)
(2.164)
y posteriormente sustituirse en la primera ecuación , dando lugar a
¡
¢
−1
Kuu − Kuα K−1
αα Kαu û = R − Fu + Kuα Kαα Fα
|
{z
}
{z
}
|
[F]
[K]
que es la forma habitual del sitema de ecuaciones estándar.
(2.165)
64
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
2.3.2
Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BENH 8/9/9
Diversos estudios numéricos han revelado que el elemento BINC 8/9/12 presenta ciertas limitaciones en
análisis de compresibilidad, donde persiste la presencia de modos de energía cero (modos ’hourglass’), ver
referencias [85], [84], [83]. Por ello, se ha implementado en DULCINEA un nuevo elemento tridimensional
mejorado en grandes deformaciones, que corrige en parte estas limitaciones, denominado BENH 8/9/9, es
decir, elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración de deplazamientos y con 9 modos
mejorados. Este elemento se corresponde con el elemento Q1/ET9 de la Referencia [47]. No obstante, este
elemento presenta otra limitación: cuando se está bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones (problema
lineal ) hay que resolver un sistema de ecuaciones no lineales.
El punto de partida en esta formulación es nuevamente la definición de un gradiente de deformaciones
mejorado de la forma, ver referencia [47]
F = GRADX [x] + F̃
(2.166)
donde GRADX [x] es la parte compatible o conforme y F̃ es la parte mejorada adicional y no compatible
del gradiente de deformaciones F. La parte mejorada F̃ se calcula como
donde
F̃ =
F̃ = F0 F̃
(2.167)
j0 −T
F J−1
J
0
j 0
(2.168)
En la expresión anterior, J0 = J (ξ)ξ=0 es la matriz jacobiana evaluada en el origen y j = j (ξ) := det J (ξ),
j0 = j (ξ)ξ=0 . Por otra parte, F0 corresponde con el gradiente compatible evaludado en el origen y
F = F (ξ) definen las interpolaciones mejoradas en el dominio isoparamétrico de la forma
F (ξ) =
nX
enh
FI (ξ) ΓI
(2.169)
I=1
donde ΓI son los grados de libertad adicionales (I = 1, nenh ).
Por otra parte, se define
F̃I =
j0 −T I −1
F J0
J
j 0
(2.170)
con lo cual, la ecuación (2.167) se puede calcular como
F̃ =
n
enh
X
F̃I (ξ) ΓI
(2.171)
I=1
donde
F̃I (ξ) = F0 F̃I
(2.172)
Por último, queda por definir el gradiente mejorado F (ξ) correspondiente al elemento Q1/ET9 de la
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
65
forma
F (ξ) =
⎡
ξ
⎢
Γ1 ⎣0
0
⎡
0
⎢
+ Γ4 ⎣η
0
⎡
0
⎢
+ Γ7 ⎣0
ζ
⎤
⎡
0 0
0
⎢
⎥
0 0⎦ + Γ2 ⎣0
0 0
0
⎤
⎡
0 0
0
⎢
⎥
0 0⎦ + Γ5 ⎣0
0 0
0
⎤
⎡
0 0
0
⎢
⎥
0 0⎦ + Γ8 ⎣0
0 0
0
⎤
⎡
ξ 0
0
⎢
⎥
0 0⎦ + Γ3 ⎣0
0 0
0
⎤
⎡
0 0
0
⎢
⎥
η 0⎦ + Γ6 ⎣0
0 0
0
⎤
⎡
0 0
0
⎢
⎥
0 0⎦ + Γ9 ⎣0
ζ 0
0
⎤
0 ξ
⎥
0 0⎦ +
0 0
⎤
0 0
⎥
0 η⎦ +
(2.173)
0
0
⎤
0 0
⎥
0 0⎦
0 ζ
A continuación se presentan las principales pasos en la implementación del elemento tridimensional modificado utilizado en este trabajo:
Definición de las derivadas de las funciones de forma
Definiendo NA (ξ), con A = 1, ...8, como las funciones de forma estándar, se tiene
£
¤
£
¤
GRAD0 NA := GRADX NA ξ=0
(2.174)
£
¤
donde GRADX NA son las derivadas de las funciones de forma en la configuración de referencia definidas
como
£
¤
£
¤
GRADX NA = J−T (ξ) GRADξ NA
(2.175)
£ A¤
con GRADξ N como las derivadas de las funciones de forma en la configuración isoparamétrica. Por
otra parte se define la derivada de las funciones de forma modificada en la configuración de referencia
como
£
¤
£
¤
£
¤
GRADX NA = GRADX NA + F̃T GRAD0 NA
(2.176)
El nuevo gradiente modificado F queda definido
F = GRADX [x] + F̃ =
8
X
A=1
£
¤
x̂A ⊗ GRADX NA
(2.177)
Nuevamente con esta formulación cuando se particulariza al caso de pequeñas deformaciones (análisis
lineal), el sistema que hay que resolver es no lineal, véase las ecuaciones (2.176) y (2.177), respectivamente.
Finalmente, la tranformación de las derivadas de las funciones de forma a la configuración actual se
definen como
£
¤
£
¤
¯ NA = F−T GRADX NA
∇
£
¤
£
¤
∇0 NA = F−T
GRAD0 NA
0
(2.178)
66
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Cálculo de los vectores de fuerzas residuales
En este apartado se define el tensor de tensiones de Kirchhoff como
τ :=
∂W (F) T
F
∂F
(2.179)
donde W (F) es la función de energía almacenada en función del gradiente de deformaciones dado por la
expresión (2.166). En notación vectorial queda como
£
¤
τ̂ := τ 11 τ 22 τ 33 τ 12 τ 23 τ 13
(2.180)
El cálculo de los vectores de fuerzas internas y residuos se presenta a continuación:
R :=
nelem
V
e=1
re,enh
R
⎫
T
⎬
b
τ̂
dΩ
=
0
Ωh
e
R
⎭
:= − Ωh gT τ̂ dΩ = 0
fext −
R
e
R
e
e
donde fint
= Ωh bT τ̂ dΩ es el vector de fuerzas internas y f˜int
= Ωh gT τ̂ dΩ es el vector de fuerzas
e
e
internas adicional. Los operadores b y g contienen las derivadas de las funciones de forma compatibles y
adicionales en la configuración final respectivamente. El operador b se define como, ver ecuación (2.147)
⎡
N̄ A
⎢ 1
⎢ 0
⎢
⎢ 0
£ A¤
⎢
A
B̄ N = b = ⎢ A
⎢N̄2
⎢
⎢ 0
⎣
N̄3A
⎤
0
⎥
0 ⎥
⎥
N̄3A ⎥
⎥
⎥ para A = 1, nnode
0 ⎥
⎥
N̄2A ⎥
⎦
N̄1A
0
N̄2A
0
N̄1A
N̄3A
0
(2.181)
¤
£
¤
£
¯ NA . El operador g se define como
donde N̄1A N̄2A N̄3A = ∇
⎤
GI11
⎥
⎢
⎢ GI22 ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢ GI
¤
£ 1
⎥
⎢
g = g ... gnenh , donde gI = ⎢ I 33 I ⎥ para I = 1, nenh
⎢G12 + G21 ⎥
⎥
⎢
⎢GI + GI ⎥
⎣ 23
32 ⎦
GI13 + GI31
⎡
donde
⎡ I
G11
⎢ I
I
G = ⎣G21
GI31
GI12
GI22
GI32
⎤
GI13
⎥
GI23 ⎦ := F0 F̃I F−1
GI33
(2.182)
(2.183)
Construcción de la matriz de rigidez Km y Kg
La matriz de rigidez se divide en una parte material o lineal y en una parte geométrica o no lineal de
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
la forma
"
Kuu
Kαu
# "
m
Kuα
Kuu
=
m
Kαα
Kαu
# "
m
g
Kuα
Kuu
+
m
g
Kαα
Kαu
g
Kuα
g
Kαα
67
#
(2.184)
Las expresiones de la parte material se escriben como
=
Km,AB
uu
Z
Ωe
=
Km,AJ
uα
Km,IJ
=
αα
Z
Z
£ ¤T
£ A ¤T
d bB
dΩ∈ Rndim ×
b
Ωe
Ωe
ndim
, A, B = 1, nnode
(2.185)
£ A ¤T
d gJ dΩ∈ Rndim , A = 1, nnode J = 1, nenh
b
gI d gJ dΩ∈ R , I, J = 1, nenh
donde d es el tensor de comportamiento en configuración espacial. Por último, las expresiones de la parte
geométrica se escriben como
Kg,AB
uu
=
∙Z
Ωe
=
Kg,AJ
uα
Z
¸
£ A¤
£ B¤
¯
¯
∇ N · τ∇ N
dΩ I A, B = 1, nnode
Ωe
Kg,IJ
αα =
Z
I
Ωe
2.3.3
(2.186)
£
¤
£ ¤
£
¤
¯ NA + τ GJ T ∇0 NA dΩ, A = 1, nnode J = 1, nenh
GI τ ∇
GI τ : GJ dΩ, I, J = 1, nenh
Verificación de la convergencia de los elementos mixtos BINC 8/9/12
y BENH 8/9/9
En este apartado se presentan una serie de simulaciones numéricas con el objetivo de verificar el comportamiento y la convergencia de los elementos mixto BINC 8/9/12 y BENH8/9/9 respectivamente. En
particular se considera un comportamiento elastoplástico anisótropo en grandes deformaciones. Como
función de endurecimiento isótropo, se incluye una función de endurecimiento no lineal del tipo exponencial de la forma
h
i
p
kn+1 = σy + θH̄εpn+1 + (K∞ − K0 ) 1 − e−δεn+1
(2.187)
donde H̄ es el módulo de endurecimiento lineal efectivo, θ es un parámetro que nos determina el grado
de endurecimiento mixto (isótropo y cinemático), σ y es la tensión de fluencia y K∞ ≥ K0 > 0 y δ ≥ 0
son constantes del material, ver figura 2.10. Los parámetros del material que se han utilizado en las
simulaciones se presentan en la tabla 2.1, donde se ha incluido anisotropía elástica (módulos de elasticidad
E1 , E2 , E3 , coeficientes de Poisson ν 12 , ν 23 , ν 13 y módulos a cortante G12 , G23 , G13 ) y anisotropía plástica
(parámetros de Hill F, G, H, N, L, M ).
A continuación se muestran los resultados de las simulaciones numéricas implementadas. Se han
planteado dos problemas tridimensionales: un elemento BINC 8/9/12 deformado y un elemento BENH8/9/9
deformado, respectivamente. Se han prescrito desplazamiento mediante el método de penalización. La
tabla 2.2 representa la convergencia global del algoritmo para una iteración característica. En este caso
se verifica la convergencia cuadrática típica de este esquema iterativo.
68
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
k(e )
p
H
(Kinf + sy)
H
(K0 + sy)
ep
Figura 2.10: Función de endurecimiento no lineal basada en la referencia [152]
Las figuras 2.11 y 2.12 representan los resultados de tensión de von Mises y deformación plástica
equivalente para los elementos BINC 8/9/12 (figura 2.11) y BENH8/9/9 (figura 2.12) sometidos a desplazamientos prescritos.
Ejemplos más elaborados se muestran en el capítulo 7.
69
⇒ 0
.0
1
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
0.02
.0
1
2
y
⇒ 0.
01
⇒ 0
1.5
z
1
z
⇒1
y
(b)
3
2
0.5
1
*
0
0 *
1
u1 u2 u3
xa - ya - a
z - - a
* - - -
0.01
⇒
x
⇒ x
0.01
2
0
0.5
1
(a)
(c)
Figura 2.11: Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones
utilizando un elemento BINC8/9/12 y con prescripción de desplazamientos mediante el método de penalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de von Mises, (c) Deformación plástica
equivalente
70
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
(b)
(a)
(c)
Figura 2.12: Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones
utilizando un elemento BENH8/9/9 y con prescripción de desplazamientos mediante el método de penalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de von Mises, (c) Deformación plástica
equivalente
2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES
Anisotropía elástica
Límite elástico y endurecimiento
E1 (GP a)
74.00
σ y (GP a)
0.235
E2 (GP a)
74.00
K0 (GP a)
0.235
E3 (GP a)
89.36
K∞ (GP a)
0.235
υ 12
0, 3745
H̄ (GP a)
3.5
υ 23
0, 2025
υ 13
0, 2446
G12 (GP a)
G23 (GP a)
G13 (GP a)
40.38
40.38
40.38
71
Anisotropía plástica
1
F
0.033 × 2
σy
1
G
0.4983 × 2
σy
1
H
0.033 × 2
σy
1
N
2× 2
σy
1
L
2× 2
σy
1
M
2× 2
σy
Tabla 2.1: Parámetros del material. Elemento BENH 8/9/9. Anisotropía elastoplástica
Elemento BINC 8/9/12. Convergencia global. Prescripción de desplazamientos
Iteración global iteración norma relativa de fuerza norma relativa de energía
10
1
1.000E+00
1.000E+00
10
2
9.208E-02
6.423E-06
10
3
4.913E-04
1.828E-10
10
4
4.325E-06
1.417E-14
10
5
1.192E-13
1.076E-25
Elemento BENH 8/9/9. Convergencia global. Prescripción de desplazamientos
Iteración global iteración norma relativa de fuerza norma relativa de energía
10
1
1.000E+00
1.000E+00
10
2
3.078E-02
6.489E-04
10
3
3.816E-04
1.947E-08
10
4
3.677E-08
9.687E-14
10
5
1.656E-13
6.972E-27
Tabla 2.2: Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para el
caso de prescripción de desplazamientos con los elementos BINC8/9/12 y BENH8/9/9
72
CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS
Capítulo 3
Modelos avanzados de plasticidad J2
con endurecimiento anisótropo en
pequeñas deformaciones
En este capítulo se realiza una revisión del marco termodinámico de modelos de endurecimiento avanzados, en concreto, de modelos de plasticidad J2 de superficies múltiples usando la reglas de endurecimiento
cinemático de Mróz (no asociativa) y de Prager (asociativa) [147], [148] y que permite el desarrollo de algoritmos de integración de tensiones totalmente implícitos [13]. Estos modelos se utilizan en la simulación
de procesos cíclicos de carga y descarga, donde se recogen los efectos Bauschinger y Masing, siendo modelos de plasticidad anisótropos, ya que emplean descripciones de endurecimiento anisótropas. Se muestra
el comportamiento del modelo ante cargas cíclicas y la robustez del algoritmo en análisis complejos, y se
lleva a cabo un análisis de la consistencia de las formulaciones de plasticidad de superficies múltiples y de
sus reglas de endurecimiento cinemáticas asociadas [148]. El estudio e implementación de estos algoritmos sirve de base para el desarrollo posterior de algoritmos de plasticidad computacional más complejos,
que incluyen leyes de comportamiento anisótropas e hipótesis cinemáticas en grandes deformaciones y
desplazamientos. Finalmente, se presenta la implementación de los modelos de plasticidad de superficies
múltiples para materiales geotécnicos basados en la teoría del estado crítico (tipo Cam-Clay) [127].
3.1
Introducción
La mayor parte de los materiales dúctiles presentan un comportamiento plástico con un endurecimiento
no lineal relevante, el cual se traduce en curvas tensión-deformación significativamente no lineales [6]. En
particular, los suelos presentan de forma especialmente pronunciada este tipo de comportamiento [153].
Bajo cargas monotónicas, este endurecimiento no lineal puede ser modelado con formulaciones clásicas de
von Mises, mediante funciones explícitas de endurecimiento no-lineal (tipo Ramberg-Osgood) o mediante
funciones de endurecimiento lineales a tramos [3], [118].
Por otro lado, es también conocido que en el comportamiento cíclico, estos materiales presentan dos
fenómenos especialmente importantes [6] [153] [3]: el efecto Bauschinger [2] y el efecto Masing [5]. El
73
74CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
primero consiste en un reblandecimiento de la tensión de fluencia en la dirección contraria a la de la
carga. El segundo establece que la curva de descarga guarda una relación homológica de dos con la curva
de carga virgen, y por lo tanto, ante una nueva recarga, los ciclos cierran sobre el punto de descarga que
inició el ciclo.
La descripción computacional de estos ciclos para cargas multiaxiales es bastante complicada. En la
literatura existen varias formas de modelar dicho comportamiento, entre ellas está el uso de los modelos
de superficies múltiples (o superficies concéntricas), debidos inicialmente a Mróz [8] e Iwan [9] y el uso
de los modelos de superficie límite debidos a Dafalias y Popov [10], [20] y a Krieg [96]. Los modelos
de recuperación dinámica de la tensión de referencia (regla de Armstrong y Frederick) son básicamente
equivalentes a los segundos [6].
Sin embargo, los modelos anteriores no han tenido una implementación efectiva en programas comerciales (con formulación implícita) de elementos finitos, debido a las dificultades para establecer un
algoritmo implícito robusto con las formulaciones tradicionales basadas en la regla de Mróz.
Uno de los principales problemas de la regla de endurecimiento de Mróz es que no es una regla de endurecimiento asociativa, además de que está originalmente definida para algoritmos explícitos [12]. Ello
ha provocado que, tradicionalmente, los algoritmos de integración o son explícitos o implícitos del tipo
de planos de corte (semi-implícitos) [11]. No obstante, existe una definición de dicha regla para algoritmos totalmente implícitos basados en el retorno radial [154], pero desgraciadamente existe la restricción
de una relación de 2 entre los radios de las superficies para que la regla de endurecimiento esté bien
definida implícitamente. Aparte, la justificación de la regla sigue siendo dudosa, habida cuenta de que
no es asociativa (lo cual provoca también problemas computacionales) y que no responde a observación
experimental alguna.
Por otro lado, recientemente se ha propuesto un modelo de superficies múltiples basado en la regla de
endurecimiento de Prager [13]. Dicha regla es asociativa y da lugar a algoritmos notablemente robustos.
Además, la plasticidad clásica de von Mises resulta ser un caso particular del mismo. También está
disponible un algoritmo de tensión plana proyectada para el mismo [14] y dicha regla de endurecimiento
ha sido aplicada también a modelos de superficie límite [18].
Los modelos implementados en este capítulo se basan en pequeñas deformaciones, aunque la extensión a grandes deformaciones resultaría relativamente sencilla con los algoritmos de los capítulos 5 y 6,
respectivamente.
3.2
Plasticidad de superficies múltiples utilizando la regla de
traslación implícita de Prager
La plasticidad de superficies múltiples se basa en la extensión de la curva de endurecimiento uniaxial a
la realidad tridimensional a través de la asignación de módulos de endurecimiento distintos a superficies
distintas inicialmente concéntricas, ver figura 3.1. En el caso de plasticidad de von Mises, las superficies
se describen como
°
°
f i := °σ D − αi ° − ri
(3.1)
3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER
tensión uniaxial s
H
H
75
Hn
2
1
E
deformación uniaxial e
f
1
f
2
fn = ||sD - an|| - rn
(a)
(b)
Figura 3.1: (a) Conjunto de superficies múltiples. (b) Curva uniaxial tensión-deformación y posición de
las superficies durante el proceso de carga
donde σ D es la parte desviadora del tensor de tensiones, αi es el tensor de referencia (centro) de la
superficie i o ’back stress’, y ri es el radio de la misma en términos de norma tensorial. Dependiendo del
modelo, las diferentes superficies son consideradas superficies de fluencia (como en el modelo de Mróz) o
simplemente como superficies de endurecimiento. En el que nos ocupa, las superficies serán consideradas
únicamente superficies de endurecimiento, con la excepción de la interior que será la superficie de fluencia
clásica de von Mises
°
°
f 1 := °σ D − α1 ° − r1
(3.2)
En consecuencia, la diferencia fundamental y especialmente relevante del presente modelo con los originales de Mróz e Iwan es que la superficie de fluencia, y por lo tanto el dominio elástico está siempre
determinado por la misma función, mientras que el resto de las superficies son únicamente una herramienta para extender a la realidad tridimensional la función de endurecimiento uniaxial. Esta función
de endurecimiento uniaxial se discretiza en varios tramos, resultando en una función multilineal, con
tantos tramos como el usuario desee (pero con la obvia implicación de un mayor coste computacional a
medida que se utilicen más superficies). La condición inicial para las superficies es
ri > rj ; ∀ i > j
αi = αj ; ∀ i, j
(3.3)
(inicialmente)
(3.4)
La regla de traslación (endurecimiento) de las superficies es crucial para el comportamiento del modelo
y en la posibilidad del desarrollo de un algoritmo implícito. Habitualmente, se utiliza la regla de traslación
de Mróz, como se puede comprobar en las referencias [6], [19], [111]. Esta regla fue formulada en su origen
de forma explícita, en función de las tensiones de referencia en el paso n ya convergido. También se puede
76CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
encontrar la versión implícita de la regla de Mróz [147], [154]. La regla de traslación de Mróz se basa
únicamente en restricciones geométricas: cuando la superficie interior (superficie activa) contacta con la
exterior (superficie objetivo) no pueden sobrepasarse, es decir, únicamente entran en contacto en un punto
(punto de tensión) (ver figuras 3.2a y 3.2b). Recientemente, se ha desarrollado una regla de traslación
muy similar basada en esta idea, y de similar formulación continua, pero desarrollada de forma implícita
incremental y basada en el concepto de estado de prueba [147], [154]. (ver figuras 3.2c y 3.2d).
Otra posible regla de traslación utilizada en la plasticidad de superficies múltiples es la regla de
Prager (ver figura 3.2e). Esta regla es de tipo asociativo, es decir, está basada en el principio de máxima
disipación, y da lugar a algoritmos notablemente robustos y consistentes [148].
En definitiva, la plasticidad de superficies múltiples no está ligada necesariamente a una regla de
traslación explícita (la habitualmente usada de Mróz), y el comportamiento obtenido depende en gran
medida de la regla de traslación utilizada.
3.2.1
Energía elástica y energía de endurecimiento
Se asume la existencia de una función de energía elástica almacenada W, función de las deformaciones
elásticas εe
W = W (εe )
(3.5)
y su variación es
∂W (εe ) e
: ε̇
∂εe
(3.6)
∂W (εe )
∂εe
(3.7)
∂ 2 W (εe ) e
: ε̇
∂εe ∂εe
(3.8)
Ẇ =
donde se definen las tensiones como
σ :=
La variación de las tensiones es, por lo tanto
σ̇ =
donde se define el tensor de constantes elásticas como
C :=
∂ 2 W (εe )
∂εe ∂εe
(3.9)
es decir
ε̇e = C−1 : σ̇
(3.10)
De forma similar, se asume la existencia de una función de endurecimiento
H = H (ξ)
(3.11)
cuya variación es
Ḣ =
∂H (ξ)
: ξ̇
∂ξ
(3.12)
3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER
s
s
a
m
s
a
m
a
a+ 1
a
a+ 1
(a)
s
77
(b)
tr
t + Dt
2mDe
s t + Dt
c
2mDe
sct + Dt
st rt + Dt
a
a
st
t t + Dt
at
a+ 1
a
m t + Dt at
a
st
t t + Dt
at
(c)
Punto de contacto
st + Dt
tr
a+ 1
mat + Dt at
a
(d)
st + Dt
2mDe
a t + Dt
1
st
a2t + Dt
at 1 nt + Dt
a
m2t + Dt
2
t
(e)
Figura 3.2: Plasticidad de Superficies Múltiples. (a) Contacto de las superficies utilizando la regla de
Mróz: esta regla se basa únicamente en criterios geométricos (punto de tensión y punto de contacto
son coincidentes). (b) La regla de traslación explícita de Mróz. (’a’: superficie activa, ’a+1’: superficie
objetivo)(c)y (d) La regla de traslación implícita de Mróz, basada en el concepto del estado de prueba σ tr :
(c) cuando la tensión de prueba está fuera de la superficie objetivo, (d) cuando la tensión de prueba está
dentro de la superficie objetivo. (e) La regla de traslación implícita de Prager (procedimiento iterativo):
está regla está basada en el principio de máxima disipación. Al final del proceso de convergencia, el
punto de contacto y el punto de tensión está definidos de forma independiente (no tiene que coincidir
necesariamente). El subíndice n indica el paso del procedimiento iterativo
78CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
donde se define el siguiente tensor como tensión de referencia
∂H (ξ)
∂ξ
(3.13)
∂ 2 H (ξ)
: ξ̇
∂ξ ∂ξ
(3.14)
∂ 2 H (ξ)
∂ξ ∂ξ
(3.15)
ξ̇ = H−1 : α̇1
(3.16)
α1 :=
La variación de este tensor es
α̇1 :=
siendo
H :=
el tensor de endurecimiento. Por lo tanto
3.2.2
Principio de máxima disipación
La potencia mecánica producida por unas cargas de volumen b y unas cargas de superficie t en un
volumen V cuyo entorno es S se determina de la siguiente forma
P =
Z
V
b · v dV +
Z
S
t · v dS
(3.17)
donde v es la velocidad de cada punto del dominio. Puesto que por equilibrio
∇ · σ + b = 0 en V
y t = σ · n̂ en S
(3.18)
se obtiene en notación indicial
P =
Z
V
−σ ij,j vi dV +
Z
σ ij n̂j vi dS
(3.19)
S
y usando la regla de integración por partes (Teorema de Green generalizado)
−
Z
V
σij,j vi dV = −
Z
P =
Z
se obtiene
σ ij vi n̂j dS +
S
V
Z
σ ij vi,j dV
(3.20)
V
σ : ∇v dV
(3.21)
En pequeñas deformaciones ∇v = ε̇ + ω̇, donde ε̇ = sym (∇v) son las velocidades de deformación
infinitesimales y ω̇ = skw (∇v) son las velocidades de rotación infinitesimales. Puesto que ω̇ es un tensor
antisimétrico y σ es simétrico, σ : ω̇ = 0, y la potencia mecánica localizada (en un punto del dominio) es
P := σ : ε̇
(3.22)
3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER
79
Por otro lado, se define la variación mecánica (despreciando el efecto de la temperatura) de energía libre
como
ψ̇ := Ẇ + Ḣ
(3.23)
y la disipación se define como
es decir
D = σ : ε̇ −
D := P − ψ̇ ≥ 0
(3.24)
∂W (εe ) e ∂H (ξ)
: ε̇ −
: ξ̇ ≥ 0
∂εe
∂ξ
(3.25)
Como es habitual, se asume que el tensor de deformación infinitesimal se puede descomponer en una
parte elástica y en una parte plástica
(3.26)
ε̇ = ε̇e + ε̇p
por lo que
µ
¶
∂W
D = σ − e : ε̇e + σ : ε̇p − α̇1 : ξ̇ ≥ 0
∂ε
(3.27)
En el caso elástico, no se disipa energía alguna, por lo que se obtiene la expresión (3.7), ya anticipada, es
decir, ∂W/∂εe son las tensiones. En el caso plástico, se obtiene la desigualdad plástica reducida
Dp := σ : ε̇p − α̇1 : ξ̇ ≥ 0
(3.28)
¡
¢
Como se mencionó anteriormente, se asume la existencia de una única función de fluencia f 1 σ, α1 que
encierra el dominio elástico, donde las tensiones σ deben residir obligatoriamente.
El principio de mínima energía almacenada o máxima disipación establece que las tensiones y deformaciones son tales que la energía disipada es máxima dentro de la restricción proporcionada por el criterio
de fluencia. Para obtener las condiciones de máximo se construye el Lagrangiano correspondiente
La condición de mínimo es
¡
¢
L σ, α1 := Dp − γ̇f 1
(3.29)
⎧
∂f 1
∂L
⎪
p
⎪
⎪
⎨ ∂σ = 0 ⇒ ε̇ = γ̇ ∂σ
∇L = 0 ⇒
⎪
1
⎪
⎪
⎩ ∂L = 0 ⇒ ξ̇ = −γ̇ ∂f
∂α1
∂α1
(3.30)
con las condiciones de Kuhn-Tucker y de consistencia
γ̇ ≥ 0, f 1 ≤ 0,
γ̇f 1 = 0,
y
γ̇ f˙1 = 0
(3.31)
Las ecuaciones (3.30) constituyen las reglas de flujo y endurecimiento asociativas, de von Mises y Prager
respectivamente. Se puede observar que, hasta el momento, la teoría no se diferencia en absoluto de la
teoría clásica de plasticidad asociativa.
80CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
3.2.3
Descomposición / discretización de la energía de endurecimiento
La diferencia del modelo que nos ocupa con la plasticidad clásica de von Mises es la hipótesis de que
las variables internas se pueden descomponer aditivamente en un grupo de tensores de variables internas
como
n
X
i
ξ̇ =
(3.32)
ξ̇
i=1
y por lo tanto, la energía de endurecimiento se puede expresar como
à n
!
³ ´
X i
H ξ̇ = H
ξ̇
(3.33)
i=1
por lo que su variación es
n
Ḣ ≡
X ∂H i
∂H
: ξ̇
: ξ̇ =
∂ξ
∂ξi
i=1
Es decir
Ḣ ≡ α1 : ξ̇ =
n
X
αi : ξ̇
i
(3.34)
(3.35)
i=1
o usando (3.16)
Ḣ ≡ α1 : H−1 : α̇1 =
n
X
αi : H−1
: α̇i
i
(3.36)
i=1
donde, de forma similar, se han definido las tensiones de referencia de la superficie i y el tensor de
endurecimiento de la superficie i como
αi :=
∂H
∂ξi
y Hi :=
∂2H
∂ξ i ∂ξi
(3.37)
Separamos ahora, por conveniencia, la dirección de endurecimiento y su módulo como
° °
α̇1 =: °α̇1 ° n̂
° °
α̇i =: °α̇i ° m̂i con i > 1
(3.38)
(3.39)
La dirección n̂ viene dada por la regla de endurecimiento asociativa
n̂ =
∂f 1
∂σ
(3.40)
mientras que las direcciones m̂i pueden ser en principio arbitrarias, pero especifican el mapa tridimensional de endurecimiento. La regla considerada aquí es
m̂i =
αi−1 − αi
kαi−1 − αi k
(3.41)
3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER
81
Por otro lado, la regla asociativa para el endurecimiento es
ξ̇ = −γ̇
∂f 1
= γ̇n̂
∂α1
(3.42)
i
Puesto que en principio los ξ̇ pueden ser arbitrarios, dependiendo de las condiciones de carga, para
asegurar que esta regla de endurecimiento se cumple usando (3.32), se asume que
i
ξ̇ = γ̇ i n̂
(3.43)
El último ingrediente del modelo es la hipótesis sobre la forma del tensor complementario de endurecimiento asociado a cada superficie. Definiendo como
hxi :=
1
(x + |x|)
2
(3.44)
H−1
:=
i
1
hn̂ ⊗ n̂i
Hi
(3.45)
esta forma es
donde hn̂ ⊗ n̂i es un tensor de cuarto orden tal que
2
hn̂ ⊗ n̂i : m̂ = m̂ : hn̂ ⊗ n̂i = hn̂ : m̂i n̂ y m̂ : hn̂ ⊗ n̂i : m̂ = hn̂ : m̂i
(3.46)
De esta forma si Hi ≥ 0 entonces m̂ : H−1
: m̂ ≥0, y si (n̂ : m̂) ≤ 0 entonces m̂ : H−1
: m̂ = 0. La
i
i
i
participación ξ̇ de ξ̇ puede ser calculada como
i
ξ̇ =
Por lo tanto, por comparación
H−1
i
° i°
°α̇ ° ­
®
: α̇ =
n̂ : m̂i n̂ = γ̇ i n̂
Hi
(3.47)
° i°
°α̇ ° ­
®
γ̇ =
n̂ : m̂i
i
H
(3.48)
m̂i : α̇i = m̂i : α̇i−1 .
(3.50)
i
i
La condición de que las superficies no intersecten en el caso plástico se puede escribir matemáticamente
como
°¢
d ¡°
°αi−1 − αi ° = 0,
(3.49)
dt
es decir
Usando la ecuación (3.39), se obtiene la siguiente condición
Usando (3.51) repetidamente
° i ° ° i−1 ° ­ i−1
®
°α̇ ° = °α̇ ° m̂
: m̂i .
i
° i° ° 1° Y
­ j
®
°α̇ ° = °α̇ °
m̂ : m̂j−1
j=2
(3.51)
(3.52)
82CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
con m̂1 = n̂. Por tanto
⎛
⎞
n
i
X
Y
° °
­
®
­
®
1
ξ̇ =
γ̇ i n̂ = ⎝
ξ̇ =
n̂ : m̂i
m̂j : m̂j−1 ⎠ °α̇1 ° n̂
i
H
i=1
i=1
i=1
j=2
n
X
i
n
X
(3.53)
y por comparación con ξ̇ =H−1 : α̇1 = γ̇ n̂ se puede deducir
n
i
X
®Y
­ j
®
1 ­
1
i
−1
:= n̂ : H : n̂ =
n̂ : m̂
m̂ : m̂j−1 .
i
H
H̄
i=1
j=2
(3.54)
Usando la ecuación (3.45), H−1 se puede escribir como
H−1 =
n
X
H−1
: Mi!
i
(3.55)
i=1
donde Mi! es un tensor geométrico de proyección:
­
® ­
®
­
®
Mi! = m̂i ⊗ m̂i : m̂i−1 ⊗ m̂i−1 : ... : m̂2 ⊗ m̂2
(3.56)
Nótese que en el caso uniaxial se obtiene la relación pretendida
1/H̄ =
a
X
1/H i
(3.57)
i=1
donde a ≤ n es el número de superficies activas (en movimiento).
Finalmente, nótese asimismo que la única diferencia con la plasticidad clásica es la forma de determinación
del módulo de endurecimiento.
3.2.4
Algoritmo de integración implícito utilizando la regla de Prager. Obtención del parámetro de consistencia y linealización consistente
La obtención del parámetro de consistencia sigue los pasos habituales de la plasticidad clásica. Así, el
parámetro de consistencia se obtiene a partir de la condición de consistencia en el caso plástico
t+∆t
f≡
t+∆t
n̂ :
donde
t+∆t
¡t+∆t
σ−
t+∆t
n̂ =
σ−
kt+∆t σ −
t+∆t
¢
α1 − r1 = 0
α1
t+∆t α1 k
(3.58)
t+∆t
(3.59)
Esta condición se reduce a
t+∆t
°
°
f ≡ °t+∆t σ tr − t α1 ° − 2μ∆γ − H 1 ∆γ 1 − r1 = 0
(3.60)
3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER
donde
∆γ =
a
X
83
∆γ i
(3.61)
i=1
En el caso de que a = 1, se obtiene la expresión habitual del parámetro de consistencia
°t+∆t tr t 1 °
°
σ − α ° − r1
∆γ =
2μ + H 1
1
(3.62)
En el caso contrario, es necesario resolver una ecuación no lineal en el parámetro ∆γ 1 , que se obtiene
sustituyendo en (3.60) la expresión de los parámetros de consistencia de cada superficie
°t+∆t i t i °
°
α − α ° ­ t+∆t
n̂ :
∆γ =
Hi
i
donde
t+∆t
αi =
t+∆t
t+∆t
i
m̂
®
=
­ t+∆t
n̂ :
¡t+∆t
Hi
αi − t αi
¡
¢
αi−1 + ri−1 − ri t+∆t m̂i
¢®
(3.63)
(3.64)
El algoritmo puede reducirse a la búsqueda de solución de una ecuación escalar no-lineal en ∆γ 1 . Los
detalles del algoritmo pueden encontrarse en [13].
Por otro lado, es posible linealizar consistentemente tanto el algoritmo local (para la obtención de
los parámetros de consistencia ∆γ 1 y ∆γ) como el algoritmo global (para la obtención de las tensiones
σ en un punto de integración en un programa de elementos finitos). Estas linealizaciones consistentes
permiten obtener las velocidades de convergencia cuadráticas en la proximidad de la solución, típicas de
los métodos de Newton-Raphson. Los detalles de dichas linealizaciones consistentes, así como el diagrama
del algoritmo de integración, pueden ser encontrados, de forma similar, en la referencia [13].
3.2.5
Simulaciones numéricas utilizando la regla de Prager
En este apartado se muestran dos tipos de simulaciones. El primer tipo de simulación consiste en someter
un elemento tridimensional hexaédrico de ocho nudos con ocho puntos de integración de desplazamientos
y con formulación mixta u/p, sometido a diversos ciclos de carga en las direcciones de las aristas del
mismo. Las tensiones en el elemento son constantes, lo que se consigue a través de las restricciones de
desplazamiento impuestas. En estos ejemplos se pretende comparar el comportamiento del modelo a
nivel de punto de integración con el comportamiento predecido por otros modelos implementados en el
R
software de elementos finitos comercial ADINA°
El segundo tipo de simulación consiste en someter una viga apoyada en el centro (y modelada mediante
condiciones de simetría) a una historia de cargas en sus extremos (por lo tanto, el problema es equivalente
al de una viga biapoyada). Este tipo de ejemplos nos permite nuevamente comparar el comportamiento del
modelo y simultáneamente la robustez y convergencia del mismo para un problema mucho más complejo,
en el que intervienen multitud de puntos de integración y diversos caminos de tensión-deformación.
R
Los modelos implementados en ADINA°
y usados en las comparaciones son:
• Modelo elastoplástico clásico de von Mises con endurecimiento cinemático o isótropo respectivamente (BK, BI )
• Modelo clásico de plasticidad de von Mises multilineal con endurecimiento cinemático o isótropo.
84CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
εyy
Time
0.5
1
−0.02 −0.01
0
0.01
0.5
0.02
1000
500
0
0
PW
Mroz
−0.5
yy
0
1
σ
Prescribed Load (x1000)
Titulo
−500
−1
−1000
500
500
0
MK
MI
−500
−1000
−0.02 −0.01
BK
BI
εyy
0
0.01
0.02
−0.02 −0.01
σ
σ
0
yy
1000
yy
1000
−500
0
εyy
0.01
−1000
0.02
Figura 3.3: Ensayo uniaxial con un ciclo de carga. Historia de carga y resultados obtenidos
En este modelo la curva tensión-deformación se discretiza en varios tramos lineales de forma similar
al modelo que presentamos en este trabajo (MK, MI ).
• Modelo de plasticidad con regla de traslación de Mróz. Este modelo utiliza únicamente dos superficies, la superficie de fluencia y la superficie de contorno (“bounding surface”). La superficie de
contorno endurece según la regla de Prager una vez que es contactado por la de fluencia, mientras
que la superficie de fluencia endurece según la regla de Mróz (Mróz ).
• El modelo presentado en este apartado, según la regla de endurecimiento de Prager, implementado
a través de una subrutina de usuario (PW ).
Simulación a tensión constante
La simulación presentada en este apartado consiste en un elemento hexaédrico sometido a una tensión
cíclica uniaxial. El objetivo es verificar el comportamiento cíclico en diferentes niveles de tensión. Las
historias de carga y los ciclos resultantes se muestran en las figuras 3.3 y 3.4 respectivamente. Se puede
observar que el único modelo que representa correctamente el comportamiento Masing para una curva
arbitrariamente seleccionada es el presentado en este apartado PW . Los modelos de Mróz y BK también
representan adecuadamente el efecto Masing, pero están limitados al uso de 2 ó 3 tramos respectivamente
en la discretización de la curva tensión-deformación. Los valores típicos de convergencia se muestran en
la tabla 3.1
La segunda simulación muestra el comportamiento obtenido para el caso de acoplamiento en dos ejes.
ε
Time
0.5
0
1
yy
1
−0.02 −0.01
0
0.01
0.02
1000
0.5
500
0
0
PW
Mroz
−0.5
−500
−1
−1000
1000
1000
500
500
0
0
BK
BI
MK
MI
−500
−1000
−0.02 −0.01
0
ε
0.01
0.02
yy
−0.02 −0.01
σyy
σyy
85
σyy
Prescribed Load (x1000)
3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER
−500
0
ε
0.01
−1000
0.02
yy
Figura 3.4: Ensayo uniaxial con varios ciclos de carga. Historia de carga y resultados obtenidos
Iteración
1
2
Norma energética
0.12E − 03
0.35E − 29
Norma euclídea del residuo de fuerzas
0.50E + 01
0.24E − 11
Tabla 3.1: Valores típicos de convergencia en el caso uniaxial
86CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
yy
−1000 −500
400
0
500
1000
−10
−5
εyy
0
5
4
2
0
0
σ
zz
200
PW
Mroz
−200
εzz
σ
−2
−3
x 10
−4
−400
−3
x 10
−3
−3
x 10
x 10
6
2
4
εzz
1
2
0
εzz
3
0
−1
BK
BI
MK
MI
−2
−3
−6
−4
−2
εyy
0
2
4
−3
x 10
−0.01 −0.005
−2
0
εyy
0.005
−4
0.01
Figura 3.5: Comportamiento multiaxial. Historia de carga de tensiones y resultados obtenidos
Iteración
1
2
3
4
Norma energética
0.10E − 04
0.12E − 06
0.28E − 13
0.13E − 26
Norma euclídea del residuo de fuerzas
0.23E + 01
0.13E + 00
0.73E − 04
0.18E − 10
Tabla 3.2: Valores típicos de convergencia en el caso multiaxial
Se ha impuesto el camino de tensiones representado en la parte superior izquierda de la figura 3.5. Las
deformaciones obtenidas para los distintos modelos se muestran en la misma figura. Los valores típicos
de convergencia obtenidos están recogidos en la tabla 3.2.
Viga biapoyada.
Como ejemplo a una escala más realista en cuanto al número de grados de libertad del problema, se
ha analizado la viga bi-apoyada mostrada en la figura 3.6, modelada según las usuales condiciones de
simetría/antisimetría y sometida a la historia de carga mostrada en la figura 3.6. Como malla de elementos
finitos se han utilizado elementos hexaétricos de 8 nudos con 8 puntos de integración. Los únicos análisis,
R
con los algoritmos incorporados por ADINA°
, que se han ejecutado correctamente son los modelos
bilineal isótropo, bilineal cinemático y multilineal isótropo, mientras que el resto divergen.
En la figura 3.7 se muestran los resultados de las tensiones en la sección central de la viga, desde la
línea neutra hasta el extremo de la misma. Se puede observar que tanto el modelo aquí presentado como
3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER
87
Figura 3.6: Historia temporal de la carga impuesta (izquierda). Malla utilizada y ubicación de los
resultados mostrados (derecha)
Iteración
1
2
3
4
5
Norma energética
0.19E − 04
0.24E − 06
0.10E − 09
0.69E − 13
0.59E − 22
Norma euclídea del residuo de fuerzas
0.57E − 02
0.11E + 00
0.41E − 02
0.94E − 04
0.34E − 08
Tabla 3.3: Valores típicos de convergencia para el caso de la viga biapoyada
el modelo de von Mises bilineal cinemático conservan el comportamiento Masing, debido a la simetría.
Los valores típicos de convergencia obtenidos están recogidos en la tabla 3.3.
3.2.6
Conclusiones
En esta apartado se ha analizado la termodinámica de un modelo de superficies múltiples basado en
la regla de endurecimiento de Prager y se ha realizado la implementación del algoritmo completamente
implícito. En las simulaciones se ha observado que el modelo permite la conservación de la relación
Masing en cualquier nivel de carga y cualquiera que sea la función de endurecimiento. Ello permite que
los ciclos cierren sobre sí mismos independientemente de la historia de la carga, que es el fenómeno que
aproxima, en la mayor parte de los sólidos, el comportamiento cíclico de los mismos.
Por otro lado, la implementación del algoritmo en un programa comercial y la realización de análisis
más complejos nos ha permitido verificar la aplicabilidad y robustez del algoritmo ante situaciones más
reales, así como su eficiencia. Tanto en aplicabilidad como en robustez y eficacia, el conjunto modeloalgoritmo ha presentado valores excelentes.
88CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
Modelo von Mises bilineal cinemático
1000
Modelo presentado
1000
800
800
tiempo 1
tiempo 3
tiempo 2
tiempo 4
600
400
400
200
200
0
0
σyy
σ
yy
600
−200
−200
−400
−400
−600
−600
−800
−800
−1000
0
0.05
0.1
distancia a la línea neutra
0
−1000
0.05
0.1
distancia a la línea neutra
Figura 3.7: Tensiones en la sección central de la viga
3.3
Plasticidad de superficies múltiples utilizando la regla de
traslación implícita de Mróz
En este apartado se presenta un algoritmo implícito de plasticidad de superficies múltiples en el cual
se hace uso de una versión implícita de la regla de traslación de Mróz [147]. Esta regla se calcula
explícitamente a partir del estado de prueba y, como resultado de ello, el estado final de tensión se calcula
directamente resolviendo una ecuación escalar no lineal. Con el algoritmo y la formulación presentados en
este apartado, no es necesario llevar a cabo iteraciones con el objeto de calcular la superficie final activa.
Esta superfcie se calcula a priori directamente del estado final de tensión y por lo tanto, se obtiene un
algoritmo muy eficiente, especialmente cuando el número de superficies que describen la curva tensiónR
deformación es elevado. El algoritmo ha sido implementado en el programa comercial ADINA°
como
una subrutina de usuario.
3.3.1
La versión implícita de la regla de traslación de Mróz
Mróz formuló su regla de traslación basada únicamente en una restricción geométrica: las superficies
no se pueden sobrepasar cuando la superficie interna (la superfcie activa) alcanza a la superficie más
externa (la superficie objetivo). Para lograr esta condición, las superficies deben contactar en el punto de
tensión, ver figura 3.8a. Esta condición se puede formular matemáticamente de forma explícita. Dado el
punto de tensión desviador σ D en la superficie activa y considerando el punto de tensión σ̄ D (la tensión
imagen), homológico al primero, en la superficie objetivo, como se pueden ver en la representación de
Haigh-Westergaard de la figura 3.8b, se formula la regla de traslación de Mróz de la superficie activa de
3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ
89
sD
sD
sD
(a)
(b)
Figura 3.8: Plasticidad de superficies múltiples. (a) Contacto de las superfcies utilizando la regla de
Mróz. (b) La regla de traslación de Mróz explícita
la forma
m := σ̄ D − σ D
(3.65)
y la dirección de traslación unitaria como (ver figura 3.8b)
m̂ := m/ kmk
(3.66)
Esta formulación de la regla de traslación es apta para realizar una implementación explícita. No
obstante, para llevar a cabo una implementación totalmente implícita y teniendo en cuenta que el punto
de tensión final es desconocido, el procedimiento iterativo debe incluir la dirección de traslación como
una variable tensorial en el algoritmo iterativo local. Sin embargo, una vez calculada la solución hay que
comprobar que la superficie activa no sobrepasa a la superficie objetivo. Si no se cumple esta condición,
hay que reiniciar el algoritmo con una nueva hipótesis de superficie objetivo. Este procedimiento es
computacionalmente costoso y no está muy claro como establecer una condición para obtener la regla de
traslación de forma implícita. Una de las soluciones, utilizada en este apartado, es obtener una regla de
traslación implícita directamente del estado de tensiones de prueba. El objetivo de la regla es que las
superficies contacten y lo hagan en el punto de tensión. A continuación se presentan los ingredientes y
las ideas básicas de esta regla de traslación.
Se definen la superficie activa y las superficies objetivo con los índices a y a + 1 respectivamente, ver
figura 3.9a. Cuando las superficies entran en contacto, ambas tienen la misma normal en el punto de
contacto de tensión, definido como σ D
c . Supóngase que el incremento de deformación es tal que al final
del paso la superficie activa alcanza a la superficie objetivo de forma que el tensor de tensiones queda
como t+∆t σ D = t+∆t σ D
c . La normal en el punto de tensión (que llamaremos normal en la superficie
objetivo). se expresa de la forma (ver figura 3.9a)
90CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
s*
D
sc
sc
D
D
s*
D
s
s
(a)
(b)
Figura 3.9: La regla de traslación implícita de Mróz: (a) cuando la tensión de prueba está fuera de la
superficie objetivo; (b) cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo
t+∆t
t+∆t
t̂ :=
t :=
t+∆t
t
kt+∆t tk
(3.67)
donde
t+∆t
t a+1
σD
∗ − α
(3.68)
t D
σD
∗ := σ + 2μ∆e
(3.69)
y
t+∆t
es la tensión de prueba en el paso de tiempo t + ∆t (ver por ejemplo [3], [155], [45]), μ es el módulo
a cortante, ∆e := dev (∆ε) es la parte desviadora del incremento de deformación ∆ε := t+∆t ε − t ε y
t a+1
α
es el tensor de referencia (centro de la superficie objetivo) para el paso de tiempo t. Siguiendo la
notación de las referencias [3], [45], los superíndices de la parte izquierda indican el paso de tiempo.
Teniendo en cuenta las hipótesis anteriormente mencionadas, el tensor de referencia de la superficie
activa (que denominaremos tensor de referencia objetivo de la superficie activa) se calcula como
¡
¢
ᾱ = t αa+1 + ra+1 − ra
t+∆t
t̂
(3.70)
donde ra y ra+1 son los radios de la superficie activa y superficie objetivo respectivamente. Por lo tanto,
si al final del paso se cumple que t+∆t αa = ᾱ, ambas superficies contactan en el mismo punto de tensión
t+∆t D
σ c sin rebasamiento. Bajo la misma hipótesis, la dirección de traslación de la superficie activa
t+∆t a
m̂ para este paso se escribe como
3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ
s*D
superfi
cie obje
91
tivo
s
D
sD
L
sD
zoom
sD
superficie objetivo
superficie a
superficie i
(a)
(b)
Figura 3.10: Procedimiento iterativo. (a) Cálculo de la posición de la superficie activa, (b) cálculo de las
direcciones de endurecimiento de las superficies i = 1, ..., a
t+∆t
m̂a :=
t+∆t
ma
kt+∆t ma k
(3.71)
donde
t+∆t
ma := ᾱ− t αa
(3.72)
En otras palabras, esta dirección de traslación, definida por la ecuación (3.71), garantiza que cuando
las superficies activa y objetivo contactan, lo hacen en el punto de tensión sin rebasamiento. Por lo
tanto, éste es el objetivo de la regla de traslación de Mróz y tomamos a la ecuación (3.71) como la regla
de traslación en el paso t + ∆t. De esta forma, se obtiene la continuidad necesaria entre iteraciones.
Denominamos a esta regla como la regla de traslación implícita de Mróz. La regla está bien definida
incluso cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo, ver figura 3.9 b.
Hay que mencionar que una vez conocido el tensor de tensiones de prueba t+∆t σ D
∗ , el punto de
t+∆t
contacto t+∆t σ D
t̂
se
pueden
calcular
de
ambas
superficies
y
la
normal
en
la
superficie
objetivo
c
de forma explícita. Por lo tanto, el tensor de referencia objetivo de la superficie activa ᾱ también se
pueden calcular explícitamente a través de la ecuación (3.70) y la dirección de traslación de la superficie
activa también está dada de forma explícita a partir de la ecuación (3.71) como una función únicamente
dependiente del estado tensional de prueba y no como una función de las tensiones convergidas en el paso
de tiempo t + ∆t.
Por lo tanto, la evolución incremental implícita de la tensión de referencia de la superficie activa se
puede calcular como (ver figura 3.10a)
92CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
t+∆t
αa = t αa + ∆γ a H a
t+∆t
m̂a
(3.73)
donde H a := 23 H̄ a y H̄ a es el módulo de endurecimiento uniaxial asoxiado a la superficie activa (en este
caso se adopta constante por simplicidad y se calculará como una función de los puntos que describen
la curva tensión-deformación) y ∆γ a es el incremento en el parámetro de consistencia debido al endurecimiento de la superficie activa, es decir, el multiplicador de endurecimiento plástico de la superficie
activa.
Como se comentó anteriormente, en este apartado se considera una única superficie de fluencia y n
superficies de endurecimiento. Las superficies que se encuentran dentro de la superficie activa se trasladan
según la expresión
t+∆t
αi = t αi + ∆γ i H i
t+∆t
m̂i
con i = 1, ..., a − 1
(3.74)
donde t+∆t m̂i se determina a través de la condición de Mróz, la cual establece que las superficies deben
contactar en el punto de tensión al final del paso. Si la posición de la superficie activa es conocida al
final del paso, también se conocen las posiciones finales de las tensiones de referencia del resto de las
superficies (ver figura 3.10b) ya que todas deben contactar en el punto final de tensión
t+∆t
αi =
t+∆t
¡
¢
αa + ra − ri
t+∆t
(3.75)
n̂
donde t+∆t n̂ es la normal a la superficie de fluencia (y al resto de las superficies que se encuentren dentro
de la superficie objetivo) en el punto de tensión al final del paso. Esta normal se calcula de la forma
t+∆t
t+∆t
n̂ =
k
σD
∗
t+∆t σ D
∗
t+∆t
−
−
αi
t+∆t
t+∆t αi k
=
k
σD −
−
t+∆t σ D
t+∆t
αi
t+∆t αi k
(3.76)
donde i puede adoptar los valores i = 1, ..., a. En el proceso iterativo, el uso de i = a en la ecuación (3.76)
simplifica el proceso. Finalmente, las direcciones de endurecimiento de las superficies i = 1, ..., a − 1 se
calculan según la relación (ver figura 3.10b)
t+∆t
m̂i =
t+∆t
k
mi
t+∆t mi k
(3.77)
con
t+∆t
mi :=
t+∆t
αi − t αi
(3.78)
La contribución al parámetro de consistencia se escribe como
i
∆γ =
°
°
t+∆t
°
mi °
Hi
(3.79)
El incremento total del parámetro de consitencia se define como
∆γ =
a
X
i=1
∆γ i
(3.80)
3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ
93
y el incremento de deformación plástica asociativa viene dado por la expersión
∆eP = ∆γ
t+∆t
a
X
n̂ =
∆γ i
t+∆t
(3.81)
n̂
i=1
Existe una excepción a la ecuación (3.71) y es cuando la superficie activa coincide con la superfcie de
endurecimiento más externa, a = n. En este caso, no hay superficie objetivo y la regla de traslación de
la superficie activa se toma como la regla de Prager, es decir
t+∆t
m̂a =
t+∆t
n̂ =
t+∆t
t̂ if a = n
En este caso de a = n, en vez de utilizar la ecuación (3.68) para el cálculo de
t+∆t
t =
t+∆t
t a
σD
∗ − α
(3.82)
t+∆t
t̂, se utiliza la ecuación
(3.83)
La regla de traslación descrita en este apartado tiene una limitación. Dicha regla está únicamente
bien definida cuando la relación entre los radios de dos superficies consecutivas es menor que dos, ver
referencia [154]. Si el radio es mayor que dos, es posible que el tensor de tensiones de prueba t+∆t σ D
∗
pueda coincidir con la tensión de referencia de la superficie activa t αa+1 y, por lo tanto, t+∆t t̂ puede
estar indefinido. Por lo tanto, ri+1 /ri < 2 es una restricción para esta regla, y por tanto se recomienda
una relación entre radios de ri+1 /ri < 1.7.
3.3.2
Formulación del procedimiento iterativo local
En este apartado se parte de la hipótesis de que la superficie activa se ha determinado previamente. Una
vez conocida la superficie activa a y la regla de traslación dada por la ecuación (3.71), el único parámetro
que es necesario para conocer la posición final de la superficie activa, es el parámetro de consistencia. Por
lo tanto, se puede implementar un procedimiento iterativo escalar no-lineal, que es más eficiente que un
procedimiento iterativo multivariable. Este tipo de formulación en plasticidad se suele denominar “the
governing parameter method”, ver referencias [3], [155].
Como todas las superficies en el interior de la superficie objetivo estarán en contacto en el punto de
tensión al final del paso, la siguiente condición se cumple para todo i ≤ a
°
f ≡°
t+∆t i
t+∆t
σD −
t+∆t
°
αi ° − ri = 0
(3.84)
Por lo tanto, una de estas condiciones debe usarse con objeto de determinar el parámetro de consistencia.
Por simplicidad, se toma la condición en la superficie activa i = a. Utilizando la descomposición aditiva
incremental en pequeñas deformaciones de parte elástica y plástica
∆e = ∆eE + ∆eP
(3.85)
94CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
y usando (3.69) y (3.81) se obtiene el tensor de tensiones al final del paso
t+∆t
σ D = t σ D + 2μ∆e − 2μ
a
X
∆γ i
t+∆t
(3.86)
n̂
i=1
La ecuación (3.73) se puede utilizar para obtener
t+∆t a
f ≡
t+∆t
n̂ :
Ã
t
D
t
a
a
σ − α + 2μ∆e − ∆γ H
a t+∆t
a
m̂ − 2μ
a
X
∆γ
i t+∆t
i=1
!
n̂
− ra = 0
(3.87)
A la vista de las ecuaciones (3.73)-(3.77), se deduce que ∆γ i (i < a), t+∆t n̂ y t+∆t m̂i son función de ∆γ a
y t+∆t m̂a . Puesto que el último se puede obtener directamente de la tensión de prueba, posteriormente,
durante el procedimiento iterativo local, ∆γ i (i < a), t+∆t n̂ y t+∆t m̂i son función únicamante de ∆γ a .
Por lo tanto, la euación (3.87) es una ecuación escalar no lineal que se puede escribir en forma residual
como
R (∆γ a ) =
t+∆t
n̂ (∆γ a ) :
£
t
σ D − t αa + 2μ∆e − ∆γ a H a
t+∆t
a
X
¤
m̂a − 2μ
∆γ i (∆γ a ) − ra
(3.88)
i=1
donde se muestra de forma explícita la dependencia con ∆γ a . Esta ecuación se puede resolver de forma
eficiente a través de un procedimiento de Newton-Raphson.
A continuación se va a obtener la tangente local del procedimiento de Newton-Raphson. Para ello,
es necesario realizar una serie de observaciones. La primera es que la derivada de un tensor normal
es perpendicular a sí mismo. Teniendo en cuenta este hecho, el término entre corchetes de la ecuación
(3.88) tiene la dirección de t+∆t n̂, por lo que la derivada del residuo se simplifica considerablemente a la
expresión
a−1
X d∆γ i (∆γ a )
¡
¢
dR (∆γ a )
a t+∆t
t+∆t a
n̂
:
m̂
−
2μ
−
2μ
=
−H
(3.89)
d (∆γ a )
d (∆γ a )
i=1
El siguiente paso es obtener d∆γ i (∆γ a ) /d (∆γ a ). Para ello, se va a formular la ecuación de ∆γ i en
función función de ∆γ a . Utilizando la superficie activa a y el resto de superficies interiores, tales que
i < a, el tensor de tensiones se puede calcular a través de la expresión
t+∆t
t+∆t
σD
αa
z
}|
= t αa + ∆γ a H a
t
i
i
= α + ∆γ H
t+∆t
i t+∆t
{
m̂a + ra
i
m̂ + r
t+∆t
i t+∆t
(3.90)
n̂
(3.91)
n̂
Por lo tanto, despejando de la expresión anterior y tomando producto escalar con
∆γ i (∆γ a ) =
¡
¢
1 £t a
α − t αi + ra − ri
i
H
t+∆t
n̂ (∆γ a ) + ∆γ a H a
t+∆t
¤
m̂a :
t+∆t
t+∆t
m̂i , se obtiene
m̂i (∆γ a )
(3.92)
donde se indica de forma explícita los términos dependientes de ∆γ a . Realizando la derivada de la
Ecuación (3.92) y sustituyendo el resultado en la Ecuación (3.89), se obtiene la tangente del procedimiento
3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ
95
iterativo local para el método de Newton (ver Referencia [154])
¢
¡
dR (∆γ a )
= − 2μ + H a t+∆t m̂a : t+∆t n̂
d (∆γ a )
"
¢
¡ a
a−1
X Ha
r − ri ¡
t+∆t i t+∆t a
m̂ :
m̂ − t+∆t
−2μ
Hi
k
nk
i=1
¢
t+∆t i t+∆t
m̂ :
Pn : t+∆t m̂a
#
(3.93)
donde se define
t+∆t
n :=
t+∆t
σD
∗ −
t+∆t
αa
(3.94)
y
t+∆t
Pn := PI −
t+∆t
t+∆t
n̂ ⊗
(3.95)
n̂
es el proyector desviador en el hiperplano perpendicular a t+∆t n̂. El tensor PI := I− 13 I⊗I es el proyector
desviador y los tensores I y I son, respectivamente, los tensores identidad de segundo y cuarto orden.
Las expresiones anteriores son válidas aunque la superficie activa sea la última. En este caso, en vez
de la ecuación (3.71) se utiliza la ecuación (3.82) como definición de t+∆t m̂a y se pueden utilizar el resto
de las expresiones para llevar a cabo todos los cálculos. Sin embargo, como en este caso se simplifican
bastantes términos, es más eficiente implementarlo de forma explícita y como un caso especial.
3.3.3
Caso uniaxial
En el caso de carga monotónica uniaxial, todos los tensores son colineales. Se tiene por lo tanto que
t+∆t
m̂i =
t+∆t
t+∆t
n̂ =
σD
∗
t+∆t
k
σD
∗ k
t+∆t
=
σD
(3.96)
kt+∆t σ D k
Escribiendo la ecuación (3.87) en forma escalar (donde los tensores escritos sin negrita denotan la norma
de los mismos), nos queda
t+∆t a
t D
t a
a
a
a
f ≡ σ − α − r + 2μ∆e − ∆γ H − 2μ
a
X
∆γ i = 0
(3.97)
i=1
Si todas las superficies i < a están en contacto con la superficien activa en el paso de tiempo t se tiene
que t σ D − t αa = ra y ya que permanecen en contacto, la regla de traslación de las superficies es la
misma, es decir
t+∆t i
t i
t+∆t a
α{z− t αa}
(3.98)
| α{z− α} = |
∆γ i H i
Por lo tanto
∆γ i = ∆γ a
∆γ a H a
Ha
Hi
(3.99)
para toda superficie i < a. La ecuación (3.97) se reduce a
2μ∆e − ∆γ a H a − 2μ∆γ a
a
X
Ha
i=1
Hi
=0
(3.100)
96CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
y
∆γ a =
H a /2μ +
∆e
Pa
i=1
(3.101)
H a /H i
Utilizando las ecuaciones (3.99) y (3.101), el parámetro de consitencia se calcula como
∆γ =
a
X
Pa
i
∆γ = ∆e
i=1
1/2μ
¡
¢
y como ∆eP = ∆γ y ∆σ D = 2μ ∆e − ∆eP , nos queda
∆σ
D
µ
= 2μ∆e 1 −
1/H i
i=1
Pa
+ i=1 1/H i
Pa
1/2μ
¶
1/H i
i=1
Pa
+ i=1 1/H i
(3.102)
(3.103)
Por lo tanto, el módulo equivalente desviador μ̄ se puede calcular como
a
X 1
∆e
1
1
≡
=
+
∆s
2μ̄
2μ i=1 H i
(3.104)
Una alternativa es obtener la expresión en términos de cantidades efectivas uniaxiales. El incremento de
deformación uniaxial efectiva puede escribirse de la forma
∆ε̄ = ∆ε̄E + ∆ε̄P =
1
∆σ̄ +
E
q
P
2
3 ∆e
(3.105)
Puesto que ∆eP = ∆γ y sustituyendo en la ecuación (3.102), se obtiene
∆ε̄ = ∆ε̄E + ∆ε̄P =
1
∆σ̄ +
E
q
Pa
1/H i
2
i=1
Pa
∆e
3
1/2μ + i=1 1/H i
Sustituyendo ahora la Ecuación (3.104) y teniendo en cuenta que σ̄ =
a
p
3/2 σ D , se obtiene
X 1
1
∆ε̄ = ∆ε̄ + ∆ε̄ = ∆σ̄ + 23 ∆σ̄
E
Hi
i=1
E
(3.106)
P
(3.107)
Definiendo el Módulo de Young efectivo como Ē = ∆σ̄/∆ε̄ y el endurecimiento uniaxial H̄ i := 32 H i , nos
queda
a
1 X 1
1
∆ε̄
=
(3.108)
≡
+
∆σ̄
E i=1 H̄ i
Ē
Las expresiones anteriores se usan para obtener el módulo de endurecimiento asociado a cada superficie
procedentes de la discretización en j tramos de la curva uniaxial tensión-deformación:
j−1
ε̄j+1 − ε̄j
1 X 1
1
=
− −
j
σ̄ j+1 − σ̄ j
E i=1 H̄ i
H̄
con j = 1, 2, ..., n
(3.109)
3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ
3.3.4
97
Algoritmo de búsqueda de la superficie activa
Este algoritmo es una mejora del algoritmo presentado en la referencia [154] basado en la búsqueda
de la superficie activa. El algoritmo presentado en este apartado es computacionalmente más eficiente,
reduciendo considerablemente el tiempo de cálculo.
Si el paso es plástico, es decir, si la condición de consitencia evaluada en el estado de prueba es
°
°
t 1°
f 1∗ := °t+∆t σ D
− r1 > 0
∗ − α
(3.110)
se asume incialmente que la superficie a = 1 es la superficie activa. Si la condición expuesta más abajo
no se cumple, se asume que la superficie activa es a = 2, y así sucesivamente. Si a es la superficie activa
y a + 1 es la superficie objetivo, de la figura 3.10 a se obtiene la siguiente condición para el retorno radial
∆γ ≥ ∆γ min(a)
°
°t+∆t D
°
σ ∗ − t αa+1 ° − ra+1
:=
2μ
(3.111)
ya que, si no se cumple esta condición, la superficie a+1 no es válida como superficie objetivo. El valor de
¡t+∆t D ¢
σ∗
∆γ min(a) es el valor del parámetro de consitencia para el retorno al punto de contacto t+∆t σ D
c
de la superfcie objetivo.
Por otro lado, ∆γ se puede calcular a partir de las contribución al endurecimiento de todas las
superficies interiores a la superficie objetivo. Denominamos al parámetro de consistencia calculado de
este forma como
a
X
∆γ̃ :=
∆γ i
(3.112)
i=1
i
Cada uno de los ∆γ alcanza un valor máximo para la superfcie a + 1 actuando como superficie objetivo.
¡t+∆t D ¢
Este valor es tal que la superficie i contacta con la superficie objetivo en t+∆t σ D
σ ∗ . En el instante
c
en el que ambas superficies contactan, el centro de las superficie es (ver figura 3.10)
t+∆t
¢
¡
αi = ᾱ + ra − ri
t+∆t
¢
¡
t̂ = t αa+1 + ra+1 − ri
t+∆t
t̂
(3.113)
donde ᾱ y t+∆t t̂ se han definido anteriormente en las ecuaciones (3.70) y (3.67) como funciones del estado
de prueba. Por lo tanto, haciendo uso de la ecuación (3.74)
∆γ i H i
t+∆t
m̂i =
t+∆t
αi − t αi
(3.114)
y tomando la norma a ambos de la igualdad, se puede obtener el valor máximo de ∆γ i con a + 1 como
superficie objetivo, el cual, tras utilizar la ecuación (3.113), queda como
∆γ imax(a)
°
°
¢
¡
°ᾱ + ra − ri t+∆t t̂ − t αi °
=
con i = 1, ..., a
Hi
Definiendo
∆γ̃ max(a) =
a
X
∆γ imax(a)
(3.115)
(3.116)
i=1
se puede establecer la siguiente condición en la cual se determina si la superficie a + 1 deja de ser la
98CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
superficie objetivo. Si
∆γ min(a) − ∆γ̃ max(a) > 0
(3.117)
entonces la superficie a + 1 no es la superficie objetivo. La comprobación se debe realizar con la superficie
a + 2, con el fin de determinar la nueva superficie objetivo. Hay que señalar que todo el procedimiento
de comprobación se lleva a cabo con el estado de tensiones de prueba. Por lo tanto, no hay necesidad de
calcular el parámetro de consistencia actual con el fin de determinar la superficie activa, en comparación
con el algoritmo de la referencia [154], donde la comprobación de la superficie activa se lleva a cabo con
el parámetro de consitencia final.
Los algoritmos para la determinanción de la superficie activa y del cálculo del tensor de tensiones se
pueden encontrar en las tablas 1 y 2 de la referencia [147].
3.3.5
Algoritmo para el cálculo del módulo elastoplástico tangente global
El cálculo del módulo elastoplástico tangente algorítmico (consistente) se lleva a cabo a partir de la
condición de consistencia dada por la ecuación (3.87) y utilizada en el cálculo de ∆γ a , a partir de valores
convergidos. Los principales pasos para el desarrollo del algoritmo se pueden encontrar en la referencia
[154]. En este modelo, se ha modificado el algoritmo de integración local, pero no el modelo en sí mismo
y, por lo tanto, no se altera la solución final y el módulo tagente global es el mismo. A continuación
se describen brevemente los cálculos más importantes y el resultado final. El módulo tangente global se
calcula como
∂ t+∆t σ
∂ t+∆t σ D
=
κI
⊗
I
+
(3.118)
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t ε
donde κ es el módulo de compresibilidad volumétrico. La derivada del tensor de tensiones desviador
respecto del tensor de deformación es
∂ t+∆t αa
∂
∂ t+∆t σ D
=
+ ra
t+∆t
t+∆t
∂
ε
∂
ε
∂
donde
t+∆t
n̂
(3.119)
t+∆t ε
t+∆t a
∂∆γ a
∂ t+∆t αa
m̂
a
a ∂
a t+∆t a
∆γ
m̂
⊗
=
H
+
H
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t ε
¢
¡ a+1
− ra
r
2μ
∂ t+∆t m̂a
=
Pm : Pt
∂ t+∆t ε
kt+∆t ma k kt+∆t tk
µ
¶
∂ t+∆t αa
1
∂ t+∆t n̂
= t+∆t Pn : 2μPI −
∂ t+∆t ε
k
nk
∂ t+∆t ε
Pm = PI −
t+∆t
m̂a ⊗
t+∆t
m̂a y Pt = PI − t+∆t t̂ ⊗
¶−1
µ
dR
∂∆γ a
t+∆t
ω
=−
∂ t+∆t ε
d ∆γ a
t+∆t
(3.120)
(3.121)
(3.122)
t̂
(3.123)
(3.124)
3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ
99
y
∂ t+∆t m̂a
ω = 2μ t+∆t n̂ − H a ∆γ a t+∆t n̂ :
∂ t+∆t ε
"
¡
¢
a−1
a
t+∆t
a
X H
2μ ra − ri
m̂
a t+∆t i ∂
− 2μ
∆γ
m̂ :
+ i t+∆t
Hi
∂ t+∆t ε
H k
nk
i=1
#
¡ a
¢
H a r − ri
∂ t+∆t m̂a
− i t+∆t ∆γ a t+∆t m̂i : Pn :
H k
nk
∂ t+∆t ε
t+∆t
t+∆t
m̂i : Pn
(3.125)
°
°
° °
Los valores de °t+∆t t° y °t+∆t ma ° se han definido en las ecuaciones (3.68) y (3.72) respectivamente. El
módulo tangente consistente para el caso de a = n (la superficie objetivo es la más exterior) se obtiene
directamente de las ecuaciones anteriores utilizando t+∆t m̂a = t+∆t n̂ = t+∆t t̂. Este módulo tangente
algorítmico presenta simetrías menores pero carece de simetrías mayores.
Con este módulo tangente consistente, se esperan ratios de convergencia cuadrática en el método
de Newton. No obstante, hay que destacar que durante el procedimiento iterativo global, puede haber
cambios de la superficie activa para cada punto de integración de tensiones, lo cual implica pérdidas de
la convergencia óptima (especialmente durante las primeras iteraciones globales).
3.3.6
Endurecimiento mixto
En este trabajo se ha considerado, por simplicidad, únicamente el caso de endurecimiento cinemático. El
modelo puede incluir endurecimiento mixto sin grandes dificultades. En endurecimiento mixto, se considera que todas las superficies crecen de forma proporcional y el endurecimiento isótropo es proporcional
al parámetro de consistencia (es decir, a la deformación plástica equivalente) ∆γ. De la ecuación (3.80),
el residuo definido en la ecuación (3.88) se escribe como
R (∆γ a ) =
t+∆t
n̂ (∆γ a ) :
£
σ D − t αa + 2μ∆e − ∆γ a H a
!
à a
a
X
X
i
a
a
i
a
− 2μ
∆γ (∆γ ) − r
∆γ (∆γ )
i=1
t
t+∆t
m̂a
¤
(3.126)
i=1
La única diferencia entre la ecuación (3.126) y la ecuación (3.88) es que el radio ra depende de ∆γ a
a través de ∆γ. Al mismo tiempo, todas las ecuaciones que incluyen ri , deben incluir la dependencia
ri (∆γ). Por lo tanto, esta dependencia debe tenerse en cuenta en la derivación del módulo tangente local
del algoritmo de Newton-Raphson. Nótese que ∆γ se puede calcular una vez que se establece ∆γ a . Una
alternativa es desarrollar un algoritmo con ∆γ en vez de ∆γ a como variable independiente (‘governing
parameter’ ).
La tarea que requiere especial atención en endurecimiento mixto es el cálculo de la superficie activa.
En este caso, el parámetro de consistencia ∆γ debe ser mayor que ∆γ min(a) , calculado a partir de la
ecuación (3.111). Sin embargo, en este caso ra+1 también depende de ∆γ. Generalmente, se debe
resolver la siguiente ecuación nolineal para ∆γ min(a) con objeto de determinar el valor admisible mínimo
de ∆γ, para la superficie a como superficie activa.
°
2μ∆γ min(a) − °
t+∆t
³
´
°
t a+1 °
a+1
+
r
σD
−
α
∆γ
min(a) = 0
∗
(3.127)
100CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
ν = 0.3, Hn = 103 Hn−1
Datos Tensión-Deformación
(n = 5)
σ̄ −→
ε̄ −→
300
0.03
500
0.07
800
0.2
900
0.4
1000
1.2
N/ mm2
%
Tabla 3.4: Parámetros del material utilizados en las simulaciones
En el caso de endurecimiento isótropo lineal, ∆γ min(a) se obtiene de forma explícita.
La ecuación (3.117) se utiliza con objeto de determinar la superficie activa, pero en este caso, ∆γ̃ max(a)
se calcula a partir de ∆γ imax(a) utilizando la ecuación (3.115), con el radio ri actualizado a partir de
∆γ min(a) , que es un procedimiento más eficiente que resolver una ecuación nolineal en ∆γ̃ max(a) .
Por lo tanto, el algoritmo para endurecimiento mixto es, matemáticamente, más tedioso, pero el
esquema general es similar.
3.3.7
Simulaciones Numéricas
Los algoritmos anteriores se han programado como subrutinas de usuario en forma de archivos DLL en
R
el programa de elementos finitos ADINA°
. Se han realizado distintas simulaciones con estos algoritmos
como subrutinas de material. Los parámetros utilizadas en las simulaciones se presentan en la tabla 3.4.
Simulaciones en puntos de integración de tensión
En este apartado se muestran dos simulaciones en un punto de integración de tensión con el objeto de
verificar el comportamiento y el rendimiento de la subrutina. La primera simulación es un test uniaxial
bajo una carga aleatoria. El camino de desplazamiento prescrito se muestra en la figura 3.11a. En
esta simulación, se ha utilizado un elemento 3D lineal estándar. El test muestra que las predicciones
reproducen el comportamiento buscado, como se puede ver en la figura 3.11b. Los resultados utilizando
la regla de Mróz se muestran conjuntamente con las simulaciones utilizando la regla de Prager [13], que
se ha implementado en otra subrutina de usuario. Se han utilizado 100 pasos de tiempo con el objeto de
obtener suficientes puntos para describir las curvas de comportamiento.
En la segunda simulación se ha utilizado el mismo elemento con dos desplazamientos senoidales
prescritos en dos lados. Los caminos de deformación prescritos y los caminos de tensión obtenidos se
muestran en la figuras 3.12a y 3.12b, respectivamente. Los resultados de las simulaciones utilizando la
regla de Mróz se muestran conjuntamente con los resultados de la regla de Prager. En esta simulación se
han utilizado 100 pasos de tiempo.
Simulación de una placa con agujero
En este apartado se ha llevado a cabo la simulación de un problema de mayor escala con objeto de mostrar
la robustez del algoritmo. El problema consiste en una placa delgada con un agujero, mallada automátiR
camente con ADINA°
, utilizando para ello elementos cuadráticos de 27 nodos con formulación mixta
y haciendo uso de las condiciones de simetría apropiadas a la geometría del problema. Las dimensiones
del modelo son 56 mm × 20 mm y el diámetro del agujero es de 10 mm. Se han considerado dos casos de
carga. El primero es un desplazamiento cíclico en el lado más pequeño de la placa. La historia de carga se
muestra en la figura 3.13a. La figura 3.13b muestra el número máximo de superficies de endurecimiento
101
Prager
Mroz
1
1000
0.5
500
0
0
−0.5
σyy
Prescribed displacement (x0.05)
3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ
−500
−1
0
0.5
Time
1
−5
−1000
5
0
εyy
−3
x 10
Figura 3.11: Comportamiento uniaxial de las reglas de traslación cinemáticas de Mróz y Prager sometidas
a cargas aleatorias
0.03
1000
0.01
500
0
0
σyy
0.02
yy
ε
1500
Prager
Mroz
−0.01
−500
−0.02
−1000
−0.03
−0.05
0
εzz
0.05
−2000
−1000
0
σzz
1000
−1500
2000
Figura 3.12: Comportamiento multiaxial de la plasticidad de superficies múltiples usando las reglas de
traslación de Mróz y Prager. Camino de deformación prescrito. Caminos de tensión obtenidos con cada
una de las reglas
102CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
activas durante el análisis en los puntos de integración, mientras que en la figura 3.13c se muestran los
desplazamientos y la tensión plástica efectiva en el tiempo t = 1.
El segundo caso de carga consiste en dos desplazamiento prescritos senoidales en las dos caras de la
placa, ver figura 3.14a. El número máximo de superficies de endurecimiento activas durante el análisis se
muestra en la figura 3.14b, miestras que la tensión plástica efectiva y los desplazamientos para el tiempo
t = 0.12 se muestran en la figura 3.14c.
En la figura 3.15 se muestran los ratios de convergencia en tres pasos de tiempo carcterísticos. Se
ha utilizado el Método de Newton con 100 pasos de tiempo sin hacer uso de ’line searches’. Además se
ha utilizado un ’solver’ simetrizado y, por lo tanto, es de esperar una ligera pérdida de la convergencia
óptima de este tipo de algoritmos.
3.3.8
Conclusiones
En este apartado se ha presentado un algortimo mejorado de plasticidad de superficies múltiples utilizando
la regla de traslación implícita de Mróz. El modelo se describe con una única superficie de fluencia y
el resto como superficies de endurecimiento. Con este algoritmo, el tiempo de cálculo computacional en
materiales en los cuales la curva tensión-deformación se discretiza en varios tramos lineales, se reduce
R
considerablemente. El algoritmo se ha implementado en código comercial de elementos finitios ADINA°
.
Las simulaciones llevadas a cabo muestran el comportamiento del modelo y la robustez del mismo bajo
cargas multiaxiales cíclicas y aleatorias También se demuestra las capacidades del algoritmo en análisis
complejos
3.4
3.4.1
Consistencia de la Plasticidad de Superficies Múltiples
Introducción
La plasticidad de superficies múltiples se basa en la discretización de la curva tensión-deformación en
varios tramos lineales, asignando a cada tramo una superficie de fluencia (o superficie de endurecimiento)
en el espacio tridimensional, con un módulo de endurecimiento asociado. Posteriormente, haciendo uso
de una regla de traslación (endurecimiento) adecuada, se puede llevar a cabo la extensión del campo
de endurecimiento para cargas multiaxiales. Por lo tanto, el comportamiento multiaxial de este tipo
de modelos depende en gran medida de la regla de endurecimiento cinemática empleada en el modelo.
Tradicionalmente se utiliza la regla de traslación cinemática propuesta incialmente por Mróz, pero existen
otras en la literatura [13], [112], [114], [115], [113].
Los modelos de plasticidad de superficies múltiples tienen un gran aliciente desde el punto de vista
del usuario. El usuario únicamente tiene que prescribir los puntos de la curva tensión-deformación que
define el comportamiento del material. De esta forma, quedan determinadas explícitamente los radios de
las superficies y los módulos de endurecimiento asociados a las mismas.
Para la formulación de cualquier tipo de modelo de plasticidad avanzada, surgen diversas cuestiones
que dicha formulación debe resolver de manera consistente:
• Las formulaciones deben estar matemáticamente bien construidas en el sentido de que esté correctamente definida en todo el dominio y sea posible formular algoritmos tanto explícitos como
3.4. CONSISTENCIA DE LA PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
103
Prescribeddisplacement (x0.04)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time
(a)
(b)
(c)
Figura 3.13: Placa con agujero bajo una carga una carga proporcional externa. (a) Historia de desplazamientos prescrita, (b) Número máximo de superficies de endurecimiento utilizadas en las simulaciones,
(c) tensión efectiva en t = 1
104CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
Prescribed displacement y
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.05
0
0.05
Prescribed displacement z
(a)
(b)
(c)
Figura 3.14: Placo con agujero bajo una carga externa no proporcional. (a) Camino de desplazamientos
prescrito, (b) Número máximo de superficies utilizadas y (c) tensión efectiva en t = 0.12
3.4. CONSISTENCIA DE LA PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
105
5
10
0
step 10
step 30
step 70
Energy error
10
−5
10
−10
10
−15
10
1
2
3
4
5
Iteration number
6
7
8
Figura 3.15: Placa con agujero bajo cargas multiaxiales. Convergencia de los residuos de energía en tres
pasos de tiempo característicos
implícitos.
• Los modelos deben tener una base termodinámica a través del principio de máxima disipación y/o
estar basados en observaciones experimentales
• El modelo debe ser robusto y consistente consigo mismo en el sentido de que diferentes usuarios
deberían obtener similares respuestas para un problema del que únicamente se conoce, por ejemplo,
la curva uniaxial de carga-deformación
• El modelo debe proporcionar un comportamiento predecible, no proporcionar fenómenos inesperados, incontrolados, que no se correspondan con observaciones experimentales.
En los siguientes apartados, se analizan las cuestiones anteriores en modelos de plasticidad de superficies múltiples para dos reglas de endurecimiento cinemático distintas: la regla de traslación de Mróz y
la regla de endurecimiento cinemático de Prager.
3.4.2
Extensión multiaxial de una curva uniaxial tensión-deformación: Test
bilineal
Una de las principales ventajas de la plasticidad de superficies múltiples es la supuesta facilidad con
que se extienden al espacio tridimensional los comportamientos uniaxiales dados por la curva uniaxial
tensión-deformación.
Hay tres aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de realizar la mencionada extensión: las
superficies de fluencia y endurecimiento, la regla de flujo y la regla de endurecimiento.
106CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
zz
6
−1000
−500
0
500
1000
1000
800
500
600
0
curva original
curva modificada
400
σyy
Tension (N/mm2)
σ
Deformacion
2
4
0
1000
−500
200
Prager
0
3 surperficies
5 surperficies
9 surperficies
−3
x 10
−1000
x 10
1500
3 superficies
5 superficies
9 superficies
1
1000
yy
500
0
σ
Desplazamiento prescrito y
−3
2
0
−1
−2
−2
−1
0
1
Desplazamiento prescrito z
Mroz
2
−3
x 10
−1000
0
1000
−500
−1000
2000
σzz
Figura 3.16: Consistencia del comportamiento multiaxial de los modelos de plasticidad de superficies
múltiples. (a) Curva bilineal tensión-deformación utilizada en las simulaciones. (b) Camino de desplazamientos prescrito. (c) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación de Prager para distinto
número de superficies. (d) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación de Mróz.
Por razones de simplificación, habitualmente las superficies de endurecimiento se eligen homológicas
a la superficies de plastificación, la cual se formula de acuerdo con los datos experimentales. Una forma
típica la proporciona el criterio de von Mises. La regla de flujo se suele seleccionar de tipo asociativo, a
menos que los experimentos manifiesten lo contrario. En definitiva, las predicciones del modelo multiaxial
ya únicamente dependen entonces de la regla de endurecimiento multiaxial seleccionada.
En la literatura existen numerosas reglas de traslación o endurecimiento. Sin embargo, toda regla
de traslación debe satisfacer dos condiciones. La primera condición es que debe estar bien definida en
todo el dominio y la segunda es que la regla de traslación debe ser consistente con la curva uniaxial
tensión-deformación que representa.
Para ilustrar esta consistencia en el comportamiento multiaxial, se han realizado una serie de simulaciones: se considera una curva bilineal uniaxial tensión-deformación (ver figura 3.16a). Esta curva bilineal
se discretiza en varios segmentos, a través de diversos puntos prescritos de tensión-deformación. Como
la curva es bilineal, las predicciones deben ser las mismas independientemente del número de segmentos
utilizados, y si esto se cumple para el caso unixial, lo mismo debe satisfacerse en el caso multiaxial. En
la figura 3.16b se muestra el camino de desplazamiento prescrito. Se utilizaron dos reglas de traslación:
la regla de traslación implícita de Mróz [147] y la regla de traslación de Prager [13]. Sin embargo, para el
3.4. CONSISTENCIA DE LA PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
ν = 0.3, Hn = 103 Hn−1 , n = número de puntos tensión-deformación prescritos
Curva del material para la regla de traslación de Prager (datos σ-ε)
(n = 3) σ̄ −→ 300
500 900 N/ mm2
ε̄ −→ 0.03 0.153 0.4
%
(n = 5) σ̄ −→ 300
500
700
800 900 N/ mm2
ε̄ −→ 0.03 0.153 0.276 0.338 0.4
%
(n = 9) σ̄ −→ 300
375
450
525
600
675
750
825
ε̄ −→ 0.03 0.076 0.122 0.169 0.215 0.261 0.307 0.353
Curva del material para la regla de traslación de Mróz (datos σ-ε modificados)
(n = 3) σ̄ −→ 300
500 892 N/ mm2
%
ε̄ −→ 0.03 0.153 0.4
(n = 5) σ̄ −→ 300
500 693.6 792.8 892 N/ mm2
ε̄ −→ 0.03 0.153 0.276 0.338 0.4
%
(n = 9) σ̄ −→ 300
375
450
520
592 669.6 743.2 816.8
ε̄ −→ 0.03 0.076 0.122 0.169 0.215 0.261 0.307 0.353
107
900
0.4
N/ mm2
%
892
0.4
N/ mm2
%
Tabla 3.5: Parámtetros utilizados en las simulaciones de curvas de comportamiento bilineales
caso de utilizar la regla de Mróz, se llevó a cabo una ligera modificación de la curva bilineal, con objeto
de favorecer la convergencia del modelo, ver tabla 3.5. Para el caso del modelo con la regla de Prager,
no es necesario ningún ajuste.
En las figuras 3.16c y 3.16d se muestran los caminos de tensión obtenidos con ambos modelos respectivamente. Para estas simulaciones, se han empleado tres discretizaciones distintas de la curva tensióndeformación: 3, 5 y 9 tramos que dan lugar al mismo número de superficies en el espacio multiaxial. En
la figura 3.16c se muestran las predicciones de tensión utilizando la regla de traslación de Prager. Estos
caminos de tensión son independientes de la discretización de la curva tensión-deformación utilizada, lo
cual es consistente con la curva uniaxial empleada, la misma para las diferentes discretizaciones. En la
figura 3.16d se muestran las predicciones utilizando la regla de Mróz. En este caso se observa que las
predicciones dependen del número de superficies utilizado, y dicho número ha sido determinado arbitrariamente ya que con una única superficie habría bastado para describir correctamente la curva uniaxial.
Este test presenta un caso límite, pero no obstante muestra cómo el comportamiento multiaxial del
modelo utilizando la regla de traslación de Mróz no depende únicamente de la curva unixial tensióndeformación, si no también muy sustancialmente del número y tamaño de las superficies con las que se
discretiza. Sin embargo, de la curva uniaxial únicamente resulta imposible inferir el número y tamaño
correctos que proporcionen un resultado multiaxial similar al que se obtiene experimentalmente.
La cuestión ahora es si el comportamiento multiaxial consistente que se obtiene utilizando la regla
de traslación de Prager se corresponde aceptablemente con el comportamiento multiaxial real de algún
material. Para ello, se van a comparar los experimentos llevados a cabo por Lamba y Sidebottom en 1978
[112] con las simulaciones numéricas de los mismos
3.4.3
Predicciones para los experimentos de Lamba y Sidebottom
Los resultados experimentales obtenidos por Lamba y Sidebottom en 1978 [112] se usan frecuentemente
para verificar el comportamiento de los modelos multiaxiales. Lamba y Sidebottom también llevaron
a cabo simulaciones numéricas con diversos modelos y concluyeron que el uso de la regla de traslación
108CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
de Prager daba como resultado predicciones en los caminos de tensión que distaban en gran medida de
los obtenidos experimentalmente, mientras que la regla de traslación de Mróz aplicada a la superficie
de plastificación de Tresca daba resultados próximos a los experimentales (incluso con la utilización de
la superficie de plastificación de von Mises se obtenían resultados poco satisfactorios). Sin embargo, el
criterio de plastificación de von Mises es más próximo al comportamiento experimental, como se puede
ver en los experimentos clásicos de Taylor y Quinney [156]. Los experimentos de Lamba y Sidebottom se
han usado, por ejemplo, en la referencia [101] para verificar modelos basados en la regla de traslación de
Armstrong-Frederick.
En este apartado se muestra que es posible obtener predicciones bastante aceptables utilizando la
regla de traslación de Prager. Las conclusiones obtenidas en la referencia [112] sobre las capacidades
multiaxiales predicitivas de la regla de Prager se pueden aplicar únicamente a la plasticidad clásica y/o
a los datos específicos que utilizaron en sus simulaciones. Las simulaciones presentadas en este apartado
se han obtenido utilizando el modelo y algoritmo implícito de la referencia [13], pero hay que señalar que
se puede utilizar cualquier otro modelo avanzado de plasticidad con la regla de Prager. Las simulaciones
se calcularon utilizando la hipótesis de tensión plana.
El camino de deformación impuesto en las simulaciones se muestra en la figura 3.17a. La curva uniaixal tensión-deformación prescrita se ha obtenido de la curva experimental tensión cortante-deformación
cortante procedente del camino 0 − 1, que es proporcional, y posteriormente se ha multiplicado por un
√
factor de 3 para convertir la curva en una monotónica uniaxial. Por lo tanto, el camino 0−1 de la figura
3.17b únicamente determina la curva uniaxial prescrita, la cual se ha discretizado en cinco superficies.
Se ha representado la respuesta del modelo ante el camino definido por 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 − 8 .
La figura 3.17b muestra la curva tensión cortante-deformación cortante, la figura 3.17c muestra la curva
tensión axial-deformación axial y la figura 3.17d muestra el camino tensión cortante-tensión axial. Estas
figuras se han comparado con los resultados experimentales de la referencia [112], que se han reproducido
en la figura 3.18. Se puede deducir que el modelo implementado es capaz de recoger, en esencia, el
comportamiento multiaxial de los experimentos. Es cierto que es posible implementar un modelo que sea
capaz de obtener mejores predicciones. Sin embargo, este no era el objetivo buscado en este trabajo, sino
mostrar el comportamiento multiaxial de la regla de Prager. Se observa que las predicciones multiaxiales
dependen más de la estructura del modelo que de la regla de traslación, es decir, modificando ligeramente
el modelo se pueden obtener mejores predicciones pero esto no influye en la verificación de la consistencia
de la regla de traslación de Prager.
3.4.4
‘Ratchetting’ multiaxial incontrolado
Los modelos de plasticidad de superficies múltiples se formulan de tal forma que las predicciones para el
caso uniaxial no presentan ‘ratchetting’ (deformaciones plásticas acumuladas durante cargas cíclicas). Por
lo tanto, el modelo no exhibe este comportamiento bajo cargas uniaxiales, y tampoco debería exhibirlo
bajo cargas multiaxiales.
Sin embargo, si se tiene una carga multiaxial, no es inmediata la conclusión anterior. En la figura
3.19a se muestra la discretización en 9 superficies de una curva de tensión-deformación no lineal, como
se puede ver en la tabla 3.6. En la figura 3.19b se muestra el camino de tensión impuesto a un elemento
finito bajo condiciones de tensión constante.
3.4. CONSISTENCIA DE LA PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
-2
0
1
2
-0.01
4
0
0.005
-50
3
2
3 7
a)
-0.015
200
tensión axial sa (MPa)
0
2
-0.01
x 10
-100
b) -150
7
-3
150
1
8
5
100
0
7,8
5 50
4
0,1
-50
2
4
6
-2
0
2
deformación axial ea
0
0
3
-100
100
6
2
-200
-4
6 50
5
0
8
4
-0.005
100
4
0
150
1
8
5
0.01
0
0.01
6
3
c)
4 -200
-3
x 10
tensión cortante t (MPa)
-4
0.015
deformación cortante ingenieril g
-100
7
-100
0
tensión axial sa (MPa)
d)
tensión cortante t (MPa)
deformación cortante ingenieril g
deformación axial ea
109
-150
100
Figura 3.17: Predicciones para los experimentos multiaxiales de Lamba y Sidebottom [112] utilizando
el modelo de superficies múltiples de la Referencia [13], basado en la regla de traslación de Prager.
(a) Camino de deformación prescrito. (b) Curva tensión cortante-deformación cortante obtenida de las
simulaciones. (c) Curva tensión axial-deformación axial obtenida de las simulaciones. (d) Camino de
tensión multiaxial obtenido de las simulaciones.
110CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
Figura 3.18: Resultados de los experimentos multiaxiales de Lambda y Sidebottom de 1978. (a)
Camino de deformación cíclico no proporcional prescrito. (b) Comportamiento torsional experimental obtenido (tensión cortante-deformación cortante). (c) Comportamiento axial experimental (tensión
axial-deformación axial). (d) Respuesta tensional experimental (tensión cortante-tensión axial). Figuras
extraídas de la referencia [112]
111
Tensión axial, Pa
Tensión axial (MPa)
3.4. CONSISTENCIA DE LA PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
Deformación plástica axial
Tensión cortante, Pa
Figura 3.19: (a) Curva tensión-deformación, discretizada en 9 superficies.(b) Camino de carga prescrito
ν = 0.3, Hn = 103 Hn−1 , n = número de puntos tensión-deformación prescritos
Datos de tensión-deformación utilizando las reglas de traslación de Mróz y Prager
(n = 9) σ̄
300
400
470
520
600
650
730
800
850
ε̄ 0.03 0.061 0.106 0.219 0.500 0.790 1.580 2.570 3.630
N/ mm2
%
Tabla 3.6: Parámetros utilizados en la simulación de una curva de comportamiento no lineal
La figura 3.20 muestra las predicciones multiaxiales de deformación para 15 ciclos utilizando la regla
de traslación implícita de Mróz [147] y la regla de traslación de Prager [13]. Como se observa en la
figura, la regla de traslación de Mróz predice “ratchetting” multiaxial constante, mientras que utilizando
la regla de Prager, las predicciones dan como resultado ciclos estables. Como conclusión, la utilización
de la regla de traslación de Mróz da como resultado un ‘ratchetting’ constante, desconocido a priori,
y no deseado (incontrolado). Sin embargo, utilizando la regla de Prager, se obtienen ciclos estables, lo
cual es consistente con la formulación uniaxial propuesta. El fenómeno de ‘ratchetting’ en un modelo, a
veces deseable ya que se presenta en algunos materiales, debe estar controlado por el usuario a través de
parámetros del material que se obtengan de experimentos para el material en cuestión.
3.4.5
Conclusiones
Los modelos de superficies múltiples son una buena alternativa para modelar endurecimiento multiaxial
no-lineal a partir de una curva uniaxial tensión-deformación, obtenida de forma experimental, ya que desde
el punto de vista del usuario únicamente es necesario especificar pares de puntos de tensión-deformación
de dicha curva. A partir de éstos, los parámetros del material se obtienen automáticamente de forma
explícita. Además estos modelos conservan el comportamiento Masing ante cargas cíclicas
La regla de traslación empleada habitualmente en la literatura es la regla de Mróz. La regla de Mróz
es no asociativa (únicamente se basa en criterios geométricos), mientras que la regla de traslación de
Prager es una regla de tipo asociativa, se obtiene del principio energético de máxima disipación.
112CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
Deformación cortante
Deformación cortante
Deformación cortante
Deformación axial
Deformación axial
Deformación axial
Deformación axial
Deformación cortante
Figura 3.20: Predicciones de los caminos de deformación correspondientes a la curva tensión-deformación
y al camino de carga de la Figura 7. Se muestran los resultados correspondientes a 15 ciclos de carga.
(a) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación implícita de Mróz. (c) Predicciones obtenidas
utilizando la regla de Mróz. (b) y (d) detalles.
3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
113
Se ha mostrado que el comportamiento multiaxial de los modelos que utilizan la regla de Mróz depende
de la discretización (arbitraria) que se lleve a cabo de la curva uniaxial tensión-deformación, mientras
que el de los modelos basados en la regla de Prager son independientes de la discretización de la misma.
Se ha mostrado también que los modelos basados en la regla de traslación de Mróz no presentan ciclos
estables ante cargas cíclicas multiaxiales, sino que aparecen deformaciones permanentes crecientes (no
controlables, inesperadas, y por lo tanto indeseadas) bajo ciclos de carga multiaxiales. Por otra parte,
los modelos basados en la regla de Prager presentan ciclos estables ante cargas cíclicas.
3.5
Modelos de superficies múltiples aplicados a la mecánica de
suelos: Plasticidad Cam-Clay
Uno de los problemas más complejos en mecánica de suelos es la simulación del comportamiento de
suelos bajo la gran variedad de situaciones que se pueden presentar en la práctica. El método más
utilizado en la simulación del comportamiento de suelos es la teoría clásica de plásticidad, incluso cuando
la naturaleza de los desplazamientos permanentes en suelos es diferente que en metales [3], [7], [153], [15],
[157]. Una de las situaciones que se pueden presentar en la realidad es la aparición de procesos cíclicos
de carga-descarga, como, por ejemplo, en un terremoto. Durante el procedimiento de carga cíclico, los
sólidos disipan energía, incluso para ciclos con amplitudes de deformación reducidas, ver por ejemplo las
referencias [7], [153], [15] y el clásico [157].
El comportamiento histerético, en ciclos de descarga y recarga, de la presión de consolidación se ha
comprobado en los experimentos clásicos de Roscoe y Burland [158], aunque, en su modelo, se desprecia
la disipación generada en esos ciclos, desarrollando su conocido modelo de Cam-Clay basado en la teoría
del estado crítico. Desde entonces, se han formulado numerosos modelos en los que se incluye ese tipo de
disipación , ver por ejemplo las referencias [159], [94], [160], [16], [161], [13], [18], [162], [163], [127], [17].
En este apartado se desarrolla un modelo que presenta unas características particulares, que lo hacen
muy atractivo desde el punto de vista numérico y teórico. La primera, es que el comportamiento elástico
se ha modelado a través de una función de energía almacenada y, por lo tanto, la ecuación constitutiva
para la parte elástica es hiperelástica. Esta es una característica importante en el caso de cargas cíclicas,
ya que, en contraste con la hipoplasticidad, las deformaciones elásticas no disipan o introducen energía en
el sistema. La segunda, es que el modelo es consitente consigo mismo para una misma discretización de la
curva tensión-deformación, es decir, el comportamiento del modelo no cambia en función del número de
superficies utilizado. Esta es una inconsistencia detectada en modelos que utilizan la regla de traslación
de Mróz tradicional, ver la referencia [148]. Además, el modelo no presenta el fenómeno de ’spiraling’, es
decir, si el modelo es consistente, dado un estado de tensiones conocido, desde este estado de tensiones no
es posible obtener el mismo estado tensional final utilizando un camino elástico que un camino plástico
proporcional. Este efecto se presenta típicamente en los modelos de superficies múltiples basados en la
regla clásica de Mróz y en los modelos clásicos de superficie límite [18], [164]. La tercera, es que el modelo
está basado en la Mecánica de Suelos del Estado Crítico y, para suelos saturados no drenados, es posible
detectar incrementos en la presión en las zonas porosas. La cuarta es que, durante cargas cíclicas, el
modelo conserva el comportamiento Masing para cualquier nivel tensional. Esta es una característica que
los modelos clásicos de superficie límite no simulan convenientemente, ya que no conservan una relación
114CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
homológica constante entre las curvas de carga y descarga, mientras que los modelos de plasticidad de
superficies múltiples lo simulan correctamente. La quinta, es que el modelo se comporta exactamente
como el modelo clásico de plasticidad de Cam-Clay con las relaciones hiperelásticas de las referencias [165]
y [127], en pequeñas deformaciones, durante el proceso de consolidación. El modelo presentado modifica
únicamente el comportamiento dentro de la superficie de consolidación. Además, se ha implementado un
algoritmo de integración de tensiones totalmente implícito, ver apéndice 9.2. Por último, se presentan una
serie de simulaciones numéricas en un punto de integración con objeto de verficar el buen comportamiento
del modelo.
3.5.1
Relaciones hiperelásticas
Aunque los modelos clásicos de Cam-Clay utilizan relaciones hipoelásticas para la integración de tensiones procedentes de deformaciones elásticas [157], [158], [162], [163], el uso de una función de energía
almacenada de las que derivan las relaciones hiperelásticas, proporciona un marco consistente en el cual,
los procesos elásticos no disipan o introducen energía extra [3]. Esto es de especial importancia en los procesos de carga cíclicos [165]. Aunque la energía disipada por las deformaciones elásticas en las relaciones
hipoelásticas es relativamente pequeña en comparación con la disipada por las deformaciones plásticas,
la teoría que se formula utilizando estas relaciones hipoelásticas es termodinámicamente inconsistente y,
por lo tanto, la hipoelasticidad se debe evitar cuando sea posible [127].
En hiperelasticidad, se asume la existencia de una función de energía almacenada ψ e . En este trabajo,
se ha utilizado la función de energía de las referencias [127] y [17] (ver también la referencia [165]) de la
forma
2
ψ e = −p0 κ exp ω + 32 μe (εes )
(3.128)
donde κ es el parámetro de compresibilidad volumétrico, defindo en la referencia [127],
μe := μ0 − ap0 exp ω
y
εev = tr (εe ) =
con ω = −
εev − εev0
κ
q ° °
√
3 kεev k , εes = 23 °εed °
εev := 13 εev I,
εed := εe − εev
(3.129)
(3.130)
(3.131)
Los valores de p0 , μ0 y εev0 son valores de referencia en un punto conocido. El criterio en ω es tal que
las deformaciones volumétricas y la presión (tensión media) tienen el mismo signo. El parámetro a es un
parámetro del material, definido en la referencia [127] como α. El valor de a = 0 da lugar a un módulo
cortante constante μe . El tensor de tensiones se obtiene directamente de las deformaciones elásticas, en
forma total (no incremental) como
σ = pI +
q
2
3 qê
donde la tensión triaxial desviadora q y la tensión principal p son, respectivamente
(3.132)
3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
115
∙
¸
∂ψ e
3a e 2
p=
= p0 1 +
(ε ) exp ω
∂εev
2κ s
(3.133)
q=
∂ψ e
= 3 (μe0 − ap0 exp ω) εes
∂εes
y
° °
ê := εed / °εed °
(3.134)
(3.135)
El tensor I es el tensor identidad de segundo orden. Además se cumple que
q=
r
°
3°
°σ d ° con σ d = σ − pI y p = 1 tr (σ)
3
2
(3.136)
En cualquier punto de deformación elástico, el tensor constitutivo elástico se obtiene como, ver referencias [127], [17]
q
¡ e
¢
e
e
e
Ce = 23 D22
I + D11
− 29 D22
(ê ⊗ I + I ⊗ ê)
I ⊗ I + 23 D12
(3.137)
donde I es el tensor proyector simétrico de cuarto orden
[I]ijkl =
1
2
(δ ik δ jl + δ il δ jk )
(3.138)
e
y los escalares Dij
son los términos de la matriz elástica en términos de invariantes como
"
ṗ
q̇
#
=
"
e
D11
e
D22
e
D12
e
D22
#"
ε̇ev
ε̇es
#
(3.139)
donde se deduce que
e
D11
= −p/κ;
e
D22
= q/εes ;
e
e
D12
= D21
= 3p0 aεes /κ exp ω
(3.140)
El tensor de ecuación (3.137) relaciona los ratios de deformación elástica con los ratios de tensión como
σ̇ = Ce : ε̇e
(3.141)
Sin embargo, la matriz tangente definida en la ecuación (3.137) no se usa en la integración de la tensiones,
si no que se obtienen directamente de la ecuación (3.132).
3.5.2
Funciones de plastificación y endurecimiento
La plasticidad de Cam-Clay Modificada está basada en la existencia de funciones de fluencia de forma
elipsoidal. La expresión genérica para estas funciones de fluencia es del tipo
fi :=
1
2
¡
¢
¡
¢
σ − αi : M : σ − αi − 12 ri2 = 0
(3.142)
116CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
Zona de consolidación
q
Zona de dilatación
Superficie de plastificación
CSL
a1
r1
f1
(-p)
an
pc
fi
fn
Superficies de endurecimiento
Superficie de consolidación
Figura 3.21: Modelo de Cam-Clay superficies múltiples
donde σ es el tensor de tensiones de segundo orden, αi es el tensor de ’backstress’ de segundo orden, ri es
el eje menor principal (variable interna escalar que tiene como significado la norma del tensor desviador)
y M es el tensor de forma de cuarto orden, que para un modelo definido por dos invariantes, adopta la
forma
³ c ´2
M=
I ⊗ I + PI
con PI := I − 13 I ⊗ I
(3.143)
3
donde c es un parámetro que define el ratio entre ejes. Por supuesto, es posible usar modelos con
tres invariantes más realistas, con el simple cambio de este tensor de forma anisótropo. Este tensor es
invertible, y su inversa es
M−1 =
1
I ⊗ I + PI
c2
(3.144)
La plasticidad de superficies múltiples está basada en la hipótesis de la existencia de diversas superficies
que actúan como superficies de endurecimiento, y algunas veces incluso superficies de fluencia. Sin
embargo, un modelo formulado correctamente siempre debe usar la misma superficie como superficie de
fluencia, y el resto de superficies como superficies de endurecimiento [148]. Este procedimiento asegura
que para cualquier punto de tensiones de prueba (o de forma más precisa, para cualquier punto de
deformación elástica de prueba), la condición de fluencia está siempre bien definida y esta condición es
continua. Esto es de suma importancia en la implementación de algoritmos de integración implícitos
Para el modelo presentado en este trabajo, se utilizan un conjunto de n superficies definidas según
la ecuación (3.142) y con la condición ri+1 > ri . La primera superfcie f1 actúa como superficie de
plastificación, mientras que la última superficie fn actúa como superficie de consolidación, ver figura
3.21. El resto de superficies son únicamente superficies de endurecimiento, es decir, una herramienta
para calcular el módulo de endurecimiento efectivo. En este modelo, la superficie de consolidación se
trata como un caso especial, como se verá más adelante.
3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
117
q
q = -Mp
(-p)
pcn+1 pcn
an+1 an
Figura 3.22: Endurecimiento de la superficie de consolidación
3.5.3
Reglas de flujo y endurecimiento
La regla de flujo utilizada frecuentemente en la plasticidad de Cam-Clay modificada es la regla de flujo
asociativa de la forma
¢
¡
∂f1
ε̇p = Γ̇
(3.145)
= Γ̇ M : σ − α1 =: Γ̇ f1
∂σ
donde f1 es la dirección de flujo definida como
¡
¢
f1 := ∂f1 /∂σ = M : σ − α1
(3.146)
y Γ es el parámetro de consistencia.
Por otra parte, las evidencias experimentales obtenidas en mecánica de suelos ha llevado a los investigadores a utilizar reglas de endurecimiento no asociativas. El regla de endurecimiento habitual en
plasticidad de Cam-Clay es de tipo mixto. La superficie de consolidación endurece de forma isótropa y
cinemática, ver figura 3.22
La regla es tal que debe satisfacer las siguientes condiciones:
• La forma de la superficie se conserva, es decir M se mantiene constante
• La dirección principal del elipsoide es el eje hidrostático. Los extremos del mayor de los ejes
principales del elipsoide se denominan “vértices”
• Uno de los vértices está siempre en el origen del plano q − p. El otro vértice es el denominado
presión de consolidación isótropa pc . Por lo tanto, el centro de la superficie está dado por
αn =
pc
I
2
(3.147)
118CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
La relación de la presión con el tamaño rn de la superficie de consolidación se obtiene a partir de la
Ecuación (3.142) como
¸ ³
∙
³
pc ´ ³ c ´2
pc ´
I ⊗ I + PI : pc I − I − 12 rn2
pc I − I :
2
3
2
2
p
= c2 c − 12 rn2 = 0
8
fn =
1
2
∴ rn = c
|pc |
2
(3.148)
(3.149)
(3.150)
Para el caso de contacto del tensor de tensiones con la línea de estado crítico (CST ), se cumple
σ=
donde se obtiene
fn =
1
2
pc
I + σd
2
(3.151)
° d °2 1 2
° °
°σ ° − rn = 0 ⇒ rn = °σ d °
2
(3.152)
Por lo tanto, el significado de c como relación entre ejes en el plano “norma tensión desviadora-norma
tensión media” está clara. Este parámetro está relacionado con el parámetro M , que es la pendiente de
p
la línea de estado crítico (CSL) en el plano q − p por un factor de 2/3.
Puesto que al definir la ecuación (3.147) se obtuvo la ecuación (3.150), el endurecimiento de la superficie de consolidación tiene que ser de tipo mixto cinemático/isótropo, donde la dirección de traslación
viene dado por el eje hidrostático I.
La regla de endurecimiento mixto en la superficie de consolidación es una relación no lineal, basada
en observaciones experimentales, y usada, por ejemplo, en la referencias [127] y [17]. El endurecimiento
cinemático e isotrópo están acoplados a través de pc , cuya ley de endurecimiento esta dada por
µ p
¶
ε − εpvn
pc = pcn exp − v
λ−κ
o bien escrito como
ṗc = −θpc ε̇pv
with θ =
1
λ−κ
(3.153)
(3.154)
El parámetro λ es un parámetro de consolidación del material definido en la referencia [127]. El criterio
de signos de pc y εv es el habitual en mecánica de los medios continuos. La traslación cinemática de la
superficie de consolidación da lugar a la siguiente expresión
α̇n =
ṗc
pc
I = −θ ε̇pv I
2
2
(3.155)
y para incrementos plásticos pequeños
µ p
¶
pcn
ε − εpvn
exp − v
I
2
λ−κ
µ
¶
pcn
∆Γtr (f1 )
=
exp −
I
2
λ−κ
αnn+1 =
(3.156)
(3.157)
3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
119
Utilizando el desarrollo de Taylor de la función exponencial para pequeños incrementos de deformación
volumétrica:
¸
∙
pcn
1
n
αn+1 '
(3.158)
1−
∆Γtr (f1 ) I
2
λ−κ
pcn /2
(3.159)
= αnn −
∆Γtr (f1 ) I
λ−κ
pcn /2
= αnn +
∆γn̂
(3.160)
λ−κ
donde se define
f1
fi
fn
1
≡
≡
para este caso n̂ = − √ I
kf1 k
kfi k
kfn k
3
(3.161)
√
∆Γ kf1 k =: ∆γ, para este caso ∆Γtr (f1 ) 3 = ∆γ
(3.162)
n̂ =
y se redefine
El signo de n̂ para este caso depende únicamente en el criterio de signos utilizados para la presión. El
incremento ∆γ es tal que
∆εp = ∆Γf1 = ∆γn̂
(3.163)
Por lo tanto, de la ecuación (3.160)
H̃n :=
pcn /2
rn /c
≡
λ−κ
λ−κ
(3.164)
se puede considerar H̃n como el módulo de endurecimiento efectivo cinemático de la superficie de cone
solidación. El módulo de endurecimiento equivalente combinado es el coeficiente D11
en la ecuación
(3.140)
pcn
2rn /c
2H̃n =
=
(3.165)
λ−κ
λ−κ
Sin embargo, las superficies de endurecimiento internas no se trasladan únicamente en el eje hidrostático,
hecho que se ha contrastado experimentalmente. En la referencia [158], se muestra que los suelos presentan un comportamiento histerético cíclico, incluso dentro de la superficie de consolidación, y este
comportamiento muestra una relación homológica próxima a dos entre las curvas de descarga y recarga,
tanto en los planos volumétrico y desviador (comportamiento Masing).
En modelos desviadores, la regla de endurecimiento puede ser la regla de traslación de Mróz o la regla
de traslación de Prager. La segunda es asociativa y, por lo tanto, es interesante su uso en este tipo de
modelos. La regla de traslación de Mróz es, sin embargo, más intuitiva de formular. El modelo presentado
en este apartado no puede ser asociativo debido a que las observaciones experimentales nos inducen otro
tipo de regla de traslación para la superficie de consolidación. Además, la regla de flujo asociativa se
formula considerando a la superficie de consolidación como superficie de fluencia. El modelo presentado
simplemente trata de simular el comportamiento histerético dentro de la superficie de consolidación, sin
cambiar el comportamiento global del modelo durante la consolidación. Por lo tanto, la regla de flujo
debe obtenerse a partir de la superficie de consolidación.
En el presente modelo, y con objeto de tener en cuenta todas las consideraciones anteriores, se ha
utilizado una regla de traslación similar a la regla de traslación cinemática de Mróz, cuando el flujo
plástico tiene lugar dentro de la superficie de consolidación, mientras que se utiliza el endurecimiento
120CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
q
CSL
t
s
m
p (-)
pc
s
an
ai
f1
fi
fn
Figura 3.23: Caso de no consolidación. Endurecimiento dentro de la superficie de endurecimiento.
mixto comentado anteriormente cuando el flujo plástico tiene lugar en la superficie de consolidación.
La regla de traslación de Mróz modificada se formula en términos de tensor de tensiones imagen σ̄ en
la superficie de consolidación fn , ver figura 3.23, de la forma
rn
t̂
r1
(3.166)
σ − α1
kσ − α1 k
(3.167)
σ̄ − σ
kσ̄ − σk
(3.168)
σ̄ = αn +
donde
t̂ =
La dirección de traslación modificada de Mróz es
m̂ =
La figura 3.24 muestra una comparación entre las reglas de traslación isótropa y cinemática del modelo
clásico de von Mises y el modelo propuesto en este trabajo. El vector n̂ denota la dirección de flujo. Para
el caso del modelo clásico de von Mises, la expresión que representa la contribución al endurecimiento
cinemático (regla de traslación cinemática de la superficie i) es
α̇i : n̂ = γ̇ i H̄ i
(3.169)
donde H̄ i es la contribución de la superficie i al endurecimiento cinemático. La contribución al endurecimiento isótropo (regla de traslación isótropa de la superficie i) se define como
¡
¢
σ̇ − α̇i : n̂ = γ̇ i K̄ i
(3.170)
3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
121
Figura 3.24: Comparación de las reglas de endurecimiento isótropa y cinemática en un modelo clásico de
von Mises (figura superior) y el modelo Cam-Clay propuesto
122CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
Igualmente, para el caso del modelo de Cam-Clay, se puede definir la relación de traslación en este caso
como
ᾱi : n̂ = γ̇ i H i
(3.171)
donde hay que determinar H i . Definiendo ᾱi como
¡
¢
ᾱi := σ̇ − ᾱi : n̂ = 0 ⇒ σ̇ : n̂ = ᾱi : n̂
(3.172)
y utilizando las ecuaciones (3.169), (3.170) se obtiene
¡
¢
σ̇ : n̂ = α̇i : n̂+γ̇ i K̄ i = γ̇ i H̄ i + γ̇ i K̄ i = H̄ i + K̄ i γ̇ i
(3.173)
y sustituyendo en la ecuación (3.171) y la definición de ᾱi se tiene
¡ i
¢
H̄ + K̄ i γ̇ i =γ̇ i H i
(3.174)
Por lo tanto, H i es el endurecimiento asociado a la superficie i en el modelo de Cam-Clay modificado.
Por otra parte, se define la contribución global del parámetro de consistencia como
∆γ =
n
X
∆γ i
(3.175)
i=1
donde i denota a la superficie. La contribución de la superficie i al parámetro de consistencia se calcula
como
¢
1 ¡
∆γ i = i ᾱin+1 − αin : n̂
(3.176)
H
donde ᾱin+1 esta dada por la relación de homología en el punto de tensión
ᾱin+1 = σ −
ri −1
M : f1
r1
y
i−1
X
1
1
=
−
i
H
H j=1
µ
1
Hj
(3.177)
¶
(3.178)
es el endurecimiento asociado a la superficie i.
El módulo de endurecimiento H viene dado por la expresión, ver Figura 3.25
¡
¢
£
¡ ¢¤
H ρi , n̂ = Ka − [Ka + (n̂ : I) K] 1 − hi ρi
(3.179)
donde hi es una función que su valor oscila entre 1 (Caso Elástico) y 0 (Superficie de Consolidación) y a
es un parámetro de endurecimiento. La función hi seleccionada es
∙
¡ ¢
hi ρi = exp b −
b
1 − ρi
¸
(3.180)
3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
123
Si elástico: H>>0
100
80
60
q
CSL
40
H(r,q)
20
Zona de consolidación: H>0
En este punto de tensión: H=K
q
0
-20
r I p
-40
-1
-0.5
r * sinq
0
0.5
1
0
0.5
1
-0.5
-1
r * cosq
En este punto de tensión: H=0
Zona de dilatación: H<0
En este punto de tensión: H=-K
Figura 3.25: Función de endurecimiento H
donde b es dato y ρi es el ratio entre radios
ri
⇒
ρ =
rn
i
3.5.4
(
Si ρi = 0 ⇒ hi = 1 ⇒ H (n̂) = Ka
Si ρi = 1 ⇒ hi = o ⇒ H (n̂) = − (n̂ : I) K
(3.181)
Ejemplos numéricos
En este apartado, se verifica el comportamiento del modelo de superficies múltiples basado en la plasticidad de Cam-Clay en pequeñas deformaciones bajo una carga cíclica controlada por deformación. Para
ello, se realizan distintas simulaciones en un punto de integración y se verfican los resultados obtenidos.
Los parámetros de material utilizados en las simulaciones se han extraído de la referencia [127].
Se han realizado dos tipos de análisis. El primer análisis consiste en la prescripción de un ciclo de
carga no proporcional y el posterior estudio de la influencia en la solución de diversos parámetros del
modelo. La figura 3.26 representa el ciclo de carga no proporcional prescrito y la influencia de la presión
de consolidación pc (figura 3.26 (b)) y el número de superficies (figura 3.26 (c)) en la solución. Por último,
la figura 3.26 (d) muestra un análisis de convergencia en este caso de carga. La figura 3.27 representa
la influencia del tamaño de las superficies prescritas y del parámetro de endurecimiento a en la solución.
Por último, el segundo análisis consistencia en el estudio del comportamiento del modelo ante cargas
cíclicas (varios ciclos de carga). La figura 3.28 representa la respuesta del modelo ante varios ciclos de
carga, representados en la figura 3.28 (a) . Los resultados representan en gran medida los obtenidos en la
referencia [17].
124CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
cyclic loading
0.03
0.03
Volumetric strain εv
Volumetric strain εv
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
0
10
20
30
40
50
60
70
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.05
-0.06
-120
80
Change of p inside cons. surface
c
no change of pc inside cons. surf.
-0.04
-100
-80
0.03
0.03
0.02
0.02
Volumetric strain εv
Volumetric strain εv
-40
-20
(b)
(a)
0.01
0
-0.01
-0.02
15 surfaces
5 surfaces
3 surfaces
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-120
-60
Pressure p [kPa]
Step
0.01
0
-0.01
-0.02
750 steps
45 steps
-0.03
-0.04
-0.05
-100
-80
-60
-40
Pressure p [kPa]
(c)
-20
0
-0.06
-120
-100
-80
-60
-40
-20
Pressure p [kPa]
(d)
Figura 3.26: Resultados de la simulación ante un ciclo de carga no proporcional. La Figura (a) representa
el camino de deformación volumétrica prescrito. Las Figuras (b) y (c) muestran la influencia de la presión
de consolidación pc y del número de superficies prescritos en el comportamiento de la solución obtenida.
La Figura (d) representan un análisis de convergencia en este tipo de carga.
3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES
Influence of the surfaces ratio (10 surfaces)
0.03
0.02
0.02
Volumetric strain εv
Volumetric strain εv
Influence of the surfaces ratio (3 surfaces)
0.03
0.01
0
-0.01
-0.02
ρ(i) = (i / n)1/2
ρ(i) = (i / n)
2
ρ(i) = (i / n)
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-120
-100
-80
-60
-40
-20
125
0.01
0
-0.01
-0.02
ρ(i) = (i / n)1/2
ρ(i) = (i / n)
2
ρ(i) = (i / n)
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-120
0
-100
Pressure p [kPa]
-80
-60
-40
-20
Pressure p [kPa]
(a)
(b)
Influence of the hardening parameter a (10 surf.)
0.03
Volumetric strain εv
0.02
0.01
0
-0.01
a = 101
a = 102
a = 103
a = 105
a = 109
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Pressure p [kPa]
(c)
Figura 3.27: Resultados de la simulación de un ciclo de carga no proporcional. Las Figura (a) y (b)
muestran la influencia del tamaño relativo entre superficies del modelo de superficies múltiples en la
solución. Las Figura (c) muestra la influencia del parámetro de endurecimiento a.
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
-0.002
-0.004
-0.006
-0.008
-0.01
0
60
Shear stress q [kPa]
Shear strain es
126CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTO ANISÓTROPO
50
100
150
200
250
0
-20
300 Steps
60 Steps
-40
0
0.005 0.01 0.015
Step
Shear strain es
(a)
(b)
60
Shear stress q [kPa]
-50
Pressure p [kPa]
20
-60
-0.015 -0.01 -0.005
300
-45
-55
-60
-65
-70
300 Steps
60 Steps
-75
-80
-85
-90
-1
40
-0.5
0
0.5
Volumetric strain ev
(c)
1
40
20
0
-20
300 Steps
60 Steps
-40
-60
-90
-80
-70
-60
-50
-40
Pressure p [kPa]
(d)
Figura 3.28: Resultados de la simulación ante varios ciclos de carga. La Figura (a) representa los ciclos
de carga prescritos. Las Figuras (b), (c) y (d) muestran el análisis de convergencia del modelo ante cargas
cíclicas
Capítulo 4
Observaciones experimentales
preliminares de la evolución de la
ortotropía plástica en metales
laminados
En este capítulo se presentan las diferentes fases que configuran el estudio experimental preliminar de
la ortotropía plástica presente en metales laminados. El material seleccionado para este estudio ha sido
la aleación de aluminio-magnesio 5754, en formato de chapa laminada, debido a sus buenas propiedades
mecánicas y gran aplicabilidad industrial. El capítulo se divide en tres partes: en el primer apartado se
presentan diversos estudios experimentales sobre la anisotropía en metales laminados realizados hasta la
fecha. En el segundo apartado se presentan las características físicas principales del material objeto de
estudio y se analiza desde el punto de vista mecánico. Y en el tercer apartado, se plantea el procedimiento
experimental realizado en este análisis, con las diferentes fases del estudio. Por último, se presentan
algunos resultados experimentales preliminares de la evolución de la ortotropía plástica.
4.1
Introducción
Ciertos procedimientos de fabricación tales como el laminado, se caracterizan por ser procesos direccionales y como tales provocan unas direcciones preferentes en el material, que son las direcciones principales de anisotropía, ver figura 4.1 y figura 4.2. Los posteriores procesos de conformado pueden provocar
deformaciones principales según orientaciones diferentes a las preferentes.
La evidencia experimental al respecto no se puede considerar todavía concluyente, en el sentido de
que se haya conseguido interpretar inequívocamente lo que sucede en procesos superpuestos. Desde el
punto de vista de la anisotropía elástica, no existen resultados experimentales rigurosos donde se ponga de
manifiesto la evolución de dicha anisotropía cuando las deformaciones se producen en direcciones distintas
a las direcciones preferentes de anisotropía. No obstante, existen suficientes ensayos experimentales desde
127
128
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Figura 4.1: Microestructura de Aluminio puro comercial laminado. Se observa la dirección preferente del
proceso de fabricación. Figura extraída de la referencia [166]
(a)
(b)
(c)
Figura 4.2: Evolución de la microestructura de latón α con la deformación plástica. La Figura (a)
corresponde con el estado inicial de partida, la Figura (b) corresponde con una deformación plástica del
20% en dirección vertical inducida por un proceso de laminación y la Figura (c) corresponde con una
deformación plástica del 50%. Se observa el direccionamiento que presenta la microestructura por efecto
del laminado [22]
4.1. INTRODUCCIÓN
129
Figura 4.3: Superposición de diferentes tipos de endurecimiento bajo deformaciones que no coinciden
con las direcciones preferentes de anisotropía: Endurecimiento cinemático (traslación de la superficie),
endurecimiento/reblandecimiento isótropo y rotación de la superficie. La figura de la izquierda muestra
la evolución de la superficie de fluencia para deformaciones impuestas según una de las direcciones preferentes. La figura de la derecha muestra la evolución cuando las deformaciones impuestas no son según
una de las direcciones preferentes. El material es un acero al Cromo-Molibdeno-Vanadio. Figura extraída
de la referencia [6].
el punto de vista de la anisotropía plástica para concluir que efectivamente existe una rotación de los
planos de simetría debido al giro y deformación de los granos en sólidos policristalinos. La figura 4.3
muestra un ejemplo de endurecimiento anisótropo combinado en el que la rotación de la superficie de
plastificación es significativa cuando las deformaciones se producen fuera de las direcciones preferentes
de anisotropía.
Resultados similares pero más determinantes han sido obtenidos por Kowalewski y Sliwowski [40]. En
la figura 4.4 se representa la evolución de la superficie de plastificación ante cargas cíclicas proporcionales
impuestas en diferentes direcciones respecto de la principal. Es preciso notar que aunque la tensión
efectiva acumulada es elevada, los límites de las deformaciones cíclicas impuestas son de sólo 0.65%. Por
ello, cabe deducir que el giro de la superficie es acumulativo, ya que tras varios ciclos se ha reorientado
significativamente.
No obstante, los resultados tal vez más relevantes hasta la fecha son los obtenidos por Kim y Yin [41],
ya que cuantifican la evolución de la superficie de plastificación anisótropa en chapas laminadas de acero
bajo en carbono. La figura 4.5 muestra la evolución de la dirección preferente, inicialmente marcada como
X, con deformaciones superpuestas bajo ángulos de 30o , 45o y 60o con la dirección principal de anisotropía
inicial —la dirección de laminado (RD). En dicha figura se observa que la dirección, inicialmente alineada
con la dirección de laminado, va girando hasta alinearse con la nueva dirección principal de estirado (1)
o con la perpendicular. Obsérvense las curvas con ángulos iniciales de 30o y 60o . Comparando ambos
casos se observa que el giro es en dirección opuesta. Este es un hecho novedoso que parece no haber sido
entendido todavía, ya que las teorías que predicen dicho giro en anisotropía lo hacen siempre en la misma
dirección.
130
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Figura 4.4: Evolución de la superficie de plastificación ante cargas cíclicas proporcionales repetidas impuestas en diferentes direcciones respecto a la principal. La ejecución del ensayo es mediante tubos a
tracción/compresión y cortante (ensayo tipo Taylor y Quinney). El material es acero 18G2A (según norma
polaca). Las dos superficies mostradas en cada gráfica se corresponden con deformaciones permanentes
de muestreo del 0.001% y del 0.005%.. En la esquina superior izquierda se muestran las diferentes direcciones ensayadas, en la esquina inferior izquierda se muestran los ciclos de tensión efectiva-deformación
efectiva para cada una de las direcciones ensayadas. En la parte derecha se muestran las superficies de
plastificación obtenidas, siendo la central la original. Figura adaptada de la referencia [40]
4.1. INTRODUCCIÓN
131
Figura 4.5: Evolución de la dirección principal X de anisotropía con deformaciones superpuestas en
direcciones diferentes a las de laminado. La Figura superior izquierda muestra un esquema del ensayo.
Las gráficas muestran la evolución del ángulo θ que forma la dirección principal X con la de laminado
(RD). Inicialmente θ = 0. El ángulo ψ es el que forma la dirección de ensayo con la de laminado. Las
tres gráficas se corresponden con ángulos ψ = 30o (a), ψ = 45o (b) y ψ = 60o (c). Figura adaptada de la
referencia [41]
132
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Figura 4.6: Evolución de las superficies de fluencia anisótropas con deformaciones superpuestas a un
ángulo de 30o con la dirección de laminado. Figura adaptada de la referencia [41]
La figura 4.6 muestra la evolución de las superficies de plastificación anisótropa para el caso de
deformaciones superpuestas a 30o de la dirección de laminado original. En dichas curvas se observa tres
efectos superpuestos. El primero es un endurecimiento importante debido a las deformaciones adicionales.
El segundo es un giro de las direcciones principales de anisotropía. El tercero es una destrucción parcial
y momentánea de la anisotropía, que se produce para deformaciones de aproximadamente un 1%. No
obstante, este efecto es transitorio y muy localizado, ya que para deformaciones de un 2% se recupera la
proporción de anisotropía inicial. Es especialmente relevante notar que los parámetros de anisotropía de
Hill para la superficie original son similares a los del resto de las superficies si excluimos la del 1%.
Desde el punto de vista microscópico, la figura 4.7 reproduce los resultados experimentales de la
referencia [39]. En este gráfico se muestran las representaciones en Figuras de Polos para los cristales de
los granos de aluminio Al (99,5%). La figura superior izquierda representa el estado inicial sin deformar;
el resto de las figuras muestran la evolución de las Figuras de Polos cuando se somete el material a un
20% de deformación en la dirección indicada por τ . Nótese que las estructuras representadas giran por
completo hacia la dirección marcada por τ para ese nivel de deformación. RD es la dirección de laminado
original y SYM es la dirección de simetría. Las direcciones se corrresponden con las de los índices de
Miller {1, 1, 1}.
Por último, existen estudios experimentales donde se presentan conjuntamente las visiones microscópica
y macroscópica, como, por ejemplo, los realizados por Boehler en 1991 [42] (ver figura 1.17 del apartado
1.1.5) y Truong Qui y Lippmann en 2001 [140], donde se muestra la evolución de la superficie de Hill ante
deformaciones impuestas a 45o de la dirección de laminado y la evolución de la simetría microestructural
observada a través de las Figuras de Polos para las direcciones cristalográficas dadas por los índices de
4.1. INTRODUCCIÓN
133
Figura 4.7: Figuras de polos según la dirección cristalográfica {1, 1, 1} en aluminio puro comercial (Al
99.5%) laminado obtenidas a partir de medidas con rayos X. Figura extraída de la referencia [39]
134
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Miller {1,0,0}. El material es un acero dúctil.
En conclusión, se pueden obtener las siguientes observaciones:
1. El giro de la superficie de plastificación es muy importante; tanto que pretender utilizar una superficie de plastificación anisótropa para procesos de conformado plástico sin considerar este efecto
puede ser una solución equivocada, ya que para deformaciones muy pequeñas, las direcciones de
anisotropía preferentes escogidas pueden haber cambiado sustancialmente, a menos que las deformaciones tengan lugar en dichas direcciones preferentes.
2. Los parámetros de forma de la anisotropía no varían excesivamente para un material determinado,
incluso aunque las deformaciones se produzcan según ejes no preferentes. No obstante, parece que
para deformaciones muy bajas puede haber una momentánea disminución de la anisotropía.
Otro aspecto a considerar en los estudios experimentales existentes de la evolución de la anisotropía
en metales, es que únicamente se centran en el análisis de la evolución de la anisotropía de las propiedades
mecánicas plásticas, como puede ser la variación de la tensión de fluencia con la orientación. Sin embargo,
el estudio de la anisotropía elástica y su evolución también es de interés en diversas aplicaciones, como
pueden ser, el análisis de los procesos de recuperación elástica en procesos de conformado de metales
y, por ejemplo, en el fenómeno de propagación de ondas en materiales geológicos [167]. Además, los
experimentos indican que las propiedades elásticas efectivas y las plásticas están relacionadas en materiales
policristalinos donde se desarrolla una textura moderada [168]. Existen diversos estudios experimentales
que demuestran que la anisotropía elástica presente en diversos metales laminados puede ser relevante
y, por lo tanto, hay que tenerla en consideración cuando se llevan a cabo modelos computacionales
elastoplásticos anisótropos. Algunos de estos estudios los podemos encontrar en las referencias [168],
[167], [?], [30], [31], [29], [169], donde se analizan la variación de propiedades mecánicas elásticas (módulo
de Young y coeficiente de Poisson) en diversos metales (cobre y sus aleaciones, acero, titanio, aluminio)
con respecto a la orientación de estudio. No obstante, en los trabajos anteriores no se consideró estudiar
la evolución de la anisotropía elástica cuando los metales se someten a deformaciones plásticas relevantes.
El objetivo de este capítulo es el desarrollo de un procedimiento experimental para el estudio de la
evolución de la ortotropía plástica presente en metales laminados, cuando se someten a deformaciones
plásticas relevantes y la obtención de unos resultados experimentales prelimares. El estudio de la evolución
de las propiedades mecánicas elásticas se considerará en desarrollos futuros. A continuación se presenta
el material objeto de nuestro estudio, así como el procedimiento experimental utilizado y los resultados
más relevantes.
4.2
Material de estudio
El material objeto de estudio en este análisis experimental es la aleación aluminio-magnesio 5754-H111,
en formato de chapas laminadas de 1 mm de espesor La composición química del material, según el
certificado de calidad del fabricante, se presenta en la tabla 4.1.
Esta aleación se engloba dentro de las denominadas aleaciones ligeras, que son aquellas aleaciones que
tienen como elemento base o principal el aluminio.
4.2. MATERIAL DE ESTUDIO
Colada
R59691
Si
0,180
Fe
0,270
135
Cu
0,020
Mn
0,410
Mg
2,720
Zn
0,010
Ti
0,010
Pb
0,002
Cr
0,010
Otros
0,003
Tabla 4.1: Composición química del material. Certificado de calidad del fabricante
Respecto a los metales de adicción, los más empleados son el cobre, silicio, níquel, hierro, titanio,
cromo y cobalto. Estos elementos pueden figurar en las aleaciones juntos o aislados. En general, la
proporción total en que forman parte de las aleaciones ligeras, no pasa del 15 %.
La característica principal de las aleaciones ligeras, es su bajo peso específico, que en algunas de
ellas llega a ser hasta de 1/3 del peso específico del acero. Y aún resulta más interesante la relación de
resistencia mecánica a peso específico, que en algunos tipos de aleaciones ligeras es la más alta de entre
todos los metales y aleaciones conocidos. Esto las hace indispensables para ciertas aplicaciones como,
por ejemplo, para las construcciones aeronáuticas, donde interesan materiales muy ligeros con una alta
resistencia mecánica.
El aluminio es el elemento predominante en estas aleaciones. Es un metal no ferroso de color blanco
brillante. Cristaliza en red cúbica centrada en las caras (F CC). Su peso específico es de 2, 7 gr/cm3 , es
¡
¢
decir, casi un 1/3 del hierro 7, 87 gr/cm3 . El único metal industrial más ligero que el aluminio es el
magnesio, de peso específico 1, 74 gr/cm3 . Su conductividad eléctrica es un 60% de la del cobre y 3,5
veces mayor que la del hierro. Su punto de fusión es 660 o C y el de ebullición 2450 o C. Este punto de
fusión relativamente bajo, combinado con un punto de ebullición alto, facilita su fusión y moldeo.
La propiedad química más destacada del aluminio es su gran afinidad por el oxígeno, por lo que
se utiliza habitualmente en la desoxidación de los baños de acero, en soldadura alumino-térmica, en la
fabricación de explosivos, etc. Esta propiedad hace que el aluminio sea completamente inalterable en
contacto con el aire, ya que se recubre de una delgada capa de alúmina, que protege el resto de la masa
de la oxidación.
Desde el punto de vista físico, el aluminio puro posee una resistencia muy baja a la tracción y una
dureza escasa. En cambio, unido en aleación con otros elementos, el aluminio adquiere características
mecánicas muy superiores. A estas aleaciones se las conoce con el nombre genérico de duraluminio, y
pueden ser centenares de aleaciones diferentes. El duraluminio contiene pequeñas cantidades de cobre
(3 − 5%), magnesio (0, 5 − 2%), manganeso (0, 25 − 1%) y Zinc (3, 5 − 5%).
Son también importantes los diversos tipos de aleaciones llamadas anticorodal, a base de aluminio y
pequeños aportes de magnesio y silicio, pero que pueden contener a veces manganeso, titanio y cromo.
A estas aleaciones se las conoce con el nombre de avional, duralinox, silumin, hidronalio, peraluman, etc.
Como hay distintas composiciones de aluminio en el mercado, es importante considerar las propiedades
que éstas presentan, pues, en la industria de la fabricación, unas son mas favorables que otras.
Los principales elementos aleantes del aluminio son los siguientes y se enumeran las ventajas que
proporcionan.
1. Cromo (Cr) Aumenta la resistencia mecánica cuando está combinado con otros elementos Cu,
Mn, Mg.
2. Cobre (Cu) Incrementa las propiedades mecánicas.
3. Hierro (Fe). Incrementa la resistencia mecánica.
136
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
4. Magnesio (Mg) Tiene alta resistencia tras el conformado en frío. Aumenta la resitencia a la
corrosión. Buena soldabilidad
5. Manganeso (Mn) Incrementa las propiedades mecánicas y tenacidad
6. Silicio (Si) Combinado con magnesio, tiene mayor resistencia mecánica. Mejora resistencia a la
corrosión. Aumenta la resistencia al desgaste
7. Titanio (Ti) Aumenta la resistencia mecánica.
8. Zinc (Zn) Mejora la maquinabilidad.
Las aleaciones de aluminio forjado se dividen en dos grandes grupos: las que no reciben tratamiento
térmico y las que reciben tratamiento térmico
Aleaciones de aluminio forjado sin tratamiento térmico. Las aleaciones que no reciben
tratamiento térmico solamente pueden ser trabajadas en frío para aumentar su resistencia. Este es
el tipo de aleación que nos interesa para el estudio, ya que los tratamientos térmicos provocan una recristalización parcial que puede alterar parte de la anisotropía. Hay tres grupos principales de estas
aleaciones según la norma AISI-SAE:
Aleaciones 1xxx. Son aleaciones de aluminio técnicamente puro, al 99,9% siendo sus principales impurezas el hierro y el silicio como elemento aleante. Se les aporta un 0.12% de cobre para aumentar
su resistencia. Tienen una resistencia aproximada de 90 MPa. Se utilizan principalmente par
trabajos de laminados en frío.
Aleaciones 3 xxx. El elemento aleante principal de este grupo de aleaciones es el manganeso (M n)
que está presente en un 1,2% y tiene como objetivo reforzar al aluminio. Tienen una resistencia
aproximada de 110 MPa en condiciones de recocido. Se utilizan en componentes que exijan buena
mecanibilidad.
Aleaciones 5xxx. En este grupo de aleaciones es el magnesio (M g) el principal componente aleante. Su
aporte varía del 2 al 5%. Esta aleación se utiliza para conseguir un incremento de la resistencia en
solución sólida. Tiene una resistencia aproximada de 193 MPa en condiciones de recocido.
Aleaciones de aluminio forjado con tratamiento térmico. Algunas aleaciones pueden reforzarse
mediante tratamiento térmico en un proceso de precipitación. El nivel de tratamiento térmico de una
aleación se representa mediante la letra T seguida de un número, por ejemplo T5. Hay tres grupos
principales de este tipo de aleaciones.
Aleaciones 2xxx : El principal aleante de este grupo de aleaciones es el cobre (Cu), aunque también
contienen magnesio (M g). Estas aleaciones con un tratamiento T6 tiene una resistencia a la tracción
aproximada de 442 MPa y se utiliza en la fabricación de estructuras de aviones.
Aleaciones 6xxx. Los principales elementos aleantes de este grupo son magnesio y silicio. Con unas
condiciones de tratamiento térmico T6 alcanza una resistencia a la tracción de 290 MPa y es
utilizada para perfiles y estructuras en general.
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
137
Aleaciones 7xxx. Los principales aleantes de este grupo de aleaciones son cinc, magnesio y cobre. Con
un tratamiento T6 tiene una resistencia a la tracción aproximada de 500 MPa y se utiliza para
fabricar estructuras de aviones.
En este estudio, se ha seleccionado una aleación de la serie 5000, donde el elemento aleante predominante es el magnesio. Estas aleaciones son más ligeras que el propio aluminio, ya que su peso específico
está en torno a 2, 6 gr/cm3 , debido a la presencia del magnesio en un 3%. Poseen buenas propiedades
mecánicas, se mecanizan con facilidad y tienen una buena resitencia a la corrosión. La aleación de
aluminio-magnesio 5754 tiene especial interés en la industria de la automoción. Estas aleaciones empiezan a ocupar un papel relevante dentro de los materiales que configuran la estructura o chasis de numerosos automóviles comerciales, en forma de chapas laminadas de entre 1 y 3 mm, ofreciendo relaciones
resistencia-peso superiores al acero. Esta reducción de la masa total del vehículo supone un potencial
aumento de la eficiencia de los vehículos y por lo tanto, implica un ahorro energético y reducción de las
emisiones contaminantes.
El material se suministra en forma de chapas procedentes de trenes de laminación, con un espesor
final de 1 mm. Se pueden obtener tres tipos de productos laminados diferentes, en función del espesor
final del material:
• Papel de aluminio (F oil), donde el espesor final es menor de 0, 2 mm. Se utiliza en fabricación de
envases e industria eléctrica
• Chapas o láminas (Sheet), donde el espesor final está comprendido entre 0, 2 mm y 6 mm. Estos laminados se utilizan frecuentemente en la industria de la construcción y en la industria del
transporte (automoción, aeronática y naval).
• Planchas (P late), donde el espesor final es superior a 6 mm. Estas planchas se utilizan en estructuras de aviones, vehículos militares y en componentes estructurales de puentes y edificios.
4.3
Procedimiento experimental y resultados
La ortotropía plástica y su evolución se obtienen a partir de la determinación de la tensión de fluencia
respecto de la dirección de ensayo para distintos niveles de deformación plástica. Se han realizado ensayos
de tracción uniaxiales con el objeto de obtener la curva tensión-deformación resultante en una dirección
dada y así determinar las propiedades plásticas necesarias — tensión de fluencia (σ y ), resistencia a tracción
(σu ) −.
El estudio experimental preliminar de la evolución de la ortotropía plástica en chapas laminadas
presentado en esta Capítulo, está basado en los experimentos realizados por Kim y Yin en 1997 [41].
El material objeto de estudio se suministra en formato de chapas laminadas de 1 mm de espesor y de
dimensiones 2600 mm × 750 mm, ver Figura 4.8.
El proceso de laminado es un proceso de fabricación direccional y, como tal, provoca unas direcciones
preferentes en las chapas, que son las direcciones principales de ortotropía. Los posteriores procesos
de conformado, también direccionales, pueden provocar deformaciones principales según orientaciones
diferentes a las de laminado. Estas deformaciones superpuestas pueden ser incluso mucho mayores que
138
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Figura 4.8: Chapa de aluminio en la configuración inicial. La geometría de la chapa es de dimensiones
2600 × 750 mm, con un espesor de 1 mm
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
Dirección
Transversal Y (TD)
139
sy
del
ión nsado
c
c
e
Dire o pret
d
n
u
seg
Dirección
de laminado X (RD)
Primer pretensado
750
sy
2600
Figura 4.9: Esquema del procedimiento operativo con las diferentes fases experimentales y geometría de
las probetas iniciales. En verde se muestra el pretensado inicial en la dirección de laminado (RD). Los
ejes en rojo determinan la dirección de los segundos pretensados, concretamente, a diferentes ángulos θ
respecto de la dirección de laminado y por último, en azul y a un ángulo α respecto de la dirección del
segundo pretensado, se obtienen las probetas normalizadas donde se determina la tensión de fluencia σ y .
las de laminado, y por lo tanto cabe preguntarse cómo evoluciona la ortotropía original; esto es, es
necesario conocer si se mantiene la ortotropía inicial o si se destruye, y si se crea una nueva ortotropía
en las nuevas direcciones preferentes
El estudio preliminar se divide en cuatro fases:
1. La Primera Fase (Estado Inicial) consiste en la cuantificación de la ortotropía inicial presente en
las chapas laminadas de partida.
2. La Segunda Fase (Primer Pretensado) consiste en incrementar el grado de ortotropía de las chapas
iniciales en la dirección de laminado (RD), a través de pretensados en esta dirección.
3. La Tercera Fase (Segundo Pretensado) consiste en realizar un segundo pretensado, a diferentes
niveles de deformación plástica, sobre probetas procedentes de la segunda fase. Estas probetas se
preparan a distintas orientaciones respecto de la dirección de laminado (RD).
4. La Cuarta Fase (Etapa de Resultados) consiste en la obtención de probetas para ensayo de tracción,
de tamaño normalizado según la norma UNE-EN 10002-1, a diferentes orientaciones (de 0o a 180o )
de probetas provenientes de la tercera fase, con objeto de determinar la evolución de las propiedades
mecánicas plástica del metal laminado.
El esquema operativo del proceso se resume en la figura 4.9 y las combinaciones de primer y segundo
pretensado se presentan en la tabla 4.2.
140
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Primer pretensado (%)
2
2
2
2
4
4
4
4
Ángulo (θ)
30o
45o
60o
90o
30o
45o
60o
90o
Segundo Pretensado (%)
1 2 5
10
1 2 5
10
1 2 5
10
1 2 5
10
1 2 5
10
1 2 5
10
1 2 5
10
1 2 5
10
Tabla 4.2: Combinaciones de primer y segundo pretensados
4.3.1
Dispositivos experimentales empleados
En este apartado se presentan los equipos experimentales utilizados en el estudio de la evolución de la
ortotropía plástica en los diferentes tipos de probeta. Se han utilizado dos tipos de máquina de ensayo:
Pórtico de ensayos de tracción-compresión y Máquina de ensayos triaxial
Pórtico de ensayos
Este pórtico de ensayos de 5000 kN de la empresa SERVOSIS, está ubicado en la E.T.S. de Ingenieros
de Caminos, Canales y Puertos de Ciudad Real (Universidad de Castilla-La Mancha), ver figura 4.10. El
pórtico tiene unas dimensiones de 5 m de luz, 6 m de altura y 3 m de ancho. El vano móvil se desplaza
mediante un sistema hidráulico hasta alcanzar la altura deseada y se encastra mediante un sistema de
cierres hidráulicos. El actuador cilíndrico hidráulico tiene una capacidad total de 2500 kN y un recorrido
efectivo de 300 mm. Este actuador tiene acoplado en serie un transductor de fuerza y la deformación se
puede medir mediante extensómetros tipo LVDT. El control de la máquina se realiza mediante un PC
con el software de control PCD-2K, desarrollado por la propia empresa. Esta máquina se utiliza en la
segunda fase del estudio experimental para realizar los pretensados inciales en las probetas de partida.
Máquina de ensayos triaxial
El laboratorio del área de Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la E.T.S. de Ingenieros Industriales
de la UCLM dispone de una máquina de ensayos triaxial con la capacidad de realizar ensayos de traccióncompresión. La máquina de ensayos consta de un conjunto de 6 actuadores electromecánicos situados en
posición de dos en dos en cada uno de los tres ejes, ver figura 4.11 . Estos actuadores se pueden utilizar
de forma sincronizada en cualquiera de los tres ejes, permitiendo la realización de ensayos uniaxiales,
biaxiales y triaxiales en función del tipo de experimento que se quiera llevar a cabo. La capacidad
máxima de la máquina es de 50 kN por eje para cualquier tipo de ensayo. El sistema está montado en
un bastidor metálico de alta rigidez formado por dos marcos octogonales perpendiculares entre sí, los
cuales alojan a los tres pares de actuadores, uno de los cuales está dispuesto en posición vertical y los
otros dos se encuentran situados perpendiculares al primero y dispuestos en el mismo plano. El recorrido
útil por actuador es de 50 mm (máximo 100 mm por pareja de actuadores). Cada uno de los actuadores
está accionado por un motorreductor eléctrico cuya posición está controlada por un encoder del cual
se extrae la señal de desplazamiento del actuador. La máquina dispone de 6 posicionadores manuales
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
141
Figura 4.10: Portico de ensayos, de la empresa Servosis, ubicado en E.T.S. de Caminos, Canales y Puertos
de Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha
142
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Figura 4.11: Máquina de ensayos triaxial, de la empresa MICROTEST, ubicada en la E.T.S. de Ingenieros
Industriales de Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha
situados directamente sobre el bastidor de la máquina. La fuerza de tracción-compresión aplicada en el
ensayo se registra a través de transductores de fuerza acoplados en serie entre el actuador y la probeta.
Se dispone de dos tipos de transductores de fuerza en función de su capacidad: 6 transductores de fuerza
de tracción-compresión instalados en la máquina de forma permanente con una capacidad máxima de 50
kN y otro juego de 6 transductores de fuerza de tracción compresión de 5 kN de capacidad máxima que
se pueden acoplar en función de las necesidades de ensayo. La deformación local de la probeta se puede
registrar de dos formas: la primera mediante el uso de un videoextensómetro, que está compuesto por
una cámara digital que mide la separación entre marcas de calibración situadas en la probeta, midiendo
diversas orientaciones de deformación de forma simultánea, ver figura ?? y la segunda forma es mediante
el uso de extensómetros inductivos y capacitivos (tipo LVDT) acoplados directamente sobre la probeta
de ensayo. El sistema de control, medida y adquisición de datos se lleva a cabo mediante un programa
informático en el cual se pueden programar métodos de ensayo y realizar un tratamiento previo de los
datos registrados. El sistema de acoplamiento/mordaza de carga de las probetas está compuesto por tres
tipos de mordaza: un primer juego de dos mordazas neumáticas de 10 bar de presión máxima para ensayo
probetas cilíndricas y probetas planas delgadas y un juego de cuatro mordazas atornilladas para ensayo
de probetas planas delgadas.
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
143
Figura 4.12: Videoextensómetro acoplado a la máquina de ensayos para la medida de la deformación.
4.3.2
Resultados y conclusiones
En este apartado se presenta la metodología seguida en los procesos de pretensado en las diferentes fases
y la obtención de la tensión de fluencia en las diferentes direcciones respecto de la dirección de laminado.
El primer pretensado se realiza en el pórtico de ensayos y se determina a partir de la curva característica
tensión-deformación del material de partida en la dirección del pretensado, que en este caso coincide con
la dirección de laminado, ver figura 4.13. Una vez seleccionado el nivel de pretensado final, se traza una
recta paralela a la pendiente de la zona elástica y se determina la fuerza necesaria que hay que prescribir
para alcanzar el nivel de pretensado buscado. Los pretensados secundarios se llevan a cabo en la máquina
triaxial.
La tensión de fluencia se obtiene a partir de probetas normalizadas UNE-EN 10002-1, similares a las
obtenidas en la fase cuatro. Estas probetas se ensayan a tracción hasta rotura en la máquina triaxial,
utilizando uno de los ejes. El ensayo se controla mediante posición y se prescribe una velocidad de
desplazamiento de los actuadores v = 1 mm/ min, que es lo que recomienda la norma UNE-EN 10002-1
para este tipo de probetas. Por último, se activa la detección de rotura como criterio de parada del
ensayo. La figura 4.14 representa una curva tensión-deformación típica del ensayo de tracción para el
Al-Mg 5754 en el estado inicial. La tensión de fluencia o límite elástico que se determina es el límite
elástico convencial al 0, 2 % de deformación plástica.
Primera Fase (Estado Inicial)
En esta primera fase, se desarrolla un estudio de la anisotropía plástica inicial en diferentes materiales.
En concreto, el objetivo es cuantificar el grado de anisotropía plástica incial de chapas de Al-Mg 5754 y
comparar los resultados con otros materiales laminados bajo las mismas condiciones de suministro. Para
ello, se han tomado 11 probetas normalizas de cada material, desde 0o (dirección de laminado) a 180o ,
144
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
250
200
T ensión (MPa)
FUERZA PRESCRITA
150
100
50
PRETENSADO SELECCIONADO
0
0
0,01
0,03
0,05
0,07
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
Deformación
Figura 4.13: Curva característica Tensión-Deformación del material de partida en la dirección de laminado
ver figura 4.15. Se han analizado metales ferrosos (acero inoxidable y acero bajo en carbono) y metales
no ferrosos (Al-1050, Al-Mg-5754, Cu y CuZn-C260000)
La figura 4.16 representa los resultados de las curvas de anisotropía plástica experimental inicial
comparadas con el modelo teórico de Hill. Para el caso del Al-Mg 5754, el modelo teórico reproduce en
buena medida los resultados experimentales. Los resultados muestran que las variaciones de la tensión
de fluencia con la orientación son de hasta un 10 %.
Segunda Fase (Primer Pretensado)
El objetivo de esta segunda fase es incrementar el grado de anisotropía plástica inicial presente en las
chapas laminadas de la configuración de partida (figura 4.8), realizando diferentes pretensados en la
dirección de laminado, ver figura 4.17. Los pretensados iniciales se realizan en el pórtico de ensayos de la
figura 4.10. La figura 4.18 muestra diversos detalles del montaje de las probetas y del acoplamiento entre
la probeta y el pórtico de ensayos, por medio de unas mordazas diseñadas para este fin. Los detalles
geométricos de las mordazas de acoplamiento se presentan en la figura 4.19.
La figura 4.20 representa las curvas fuerza-desplazamiento de los dos niveles de pretensado inicial
realizados en esta fase: 2% y del 4% de deformación plástica respectivamente. Los resultados de esta
segunda fase se presentan en la figura 4.21, donde se representan las diferentes evoluciones de la tensión
de fluencia σy para diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas a la dirección de laminado. Las
líneas sólidas corresponden con las predicciones del criterio de plastificación de Hill ajustadas a los datos
experimentales, ver Apéndice 9.3. Los resultados muestran el incremento de la tensión de fluencia con el
grado de deformación plástica aplicado Por otra parte, los valores de los estimadores mínimos cuadráticos
β 0 , β 1 y β 2 de los parámetros de anisotropía (g + h), (f − g), (2l − f − g − 4h) en los tres estados (estado
inicial, pretensado al 2% y pretensado al 4%), se muestran en la Tabla 4.3.
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
145
250
Tensión (MPa)
200
150
100
50
0
L
zo
0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17
Deformación
om
sy
160
140
Tensión (MPa)
120
100
80
60
40
20
0
0
0,0005 0,001
0,0015 0,002
0,0025
0,003
0,0035
Deformación
Figura 4.14: Determinación del límite elástico convencional al 0, 2 % de deformación plástica total.
Dirección
de laminado (RD)
Figura 4.15: Detalle procedimiento experimental fase 1
Estado
Inicial
2%
4%
β0
0,9958
0,9927
0,9978
β1
0,1092
0,1152
0,1121
β2
-0,0512
-0,0581
-0,0762
Tabla 4.3: Valores de los estimadores mínimos cuadráticos de los parámetros de anisotropía
146
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
350
Tensión de fluencia (MPa)
300
250
Acero
Inoxidable
Acero
bajo C
200
Aluminio
1050
Aluminio
5754
150
Cobre
100
Latón
C26000
50
0
0
20
40
80
60
100
120
140
160
180
Orientación (º)
Figura 4.16: Comparación de los resultados experimentales de anisotropía plástica con el modelo teórico
de Hill. Se presentan, en formato de barras de error, la desviación del modelo teórico respecto de los
resultados experimentales
Dirección
Transversal Y (TD)
sy
del
ión nsado
c
c
e
Dire o pret
d
n
u
seg
Dirección
de laminado X (RD)
Primer pretensado
sy
FASE 2:
PRIMER PRETENSADO: 2% y 4%
Figura 4.17: Esquema del procedimiento experimental de la segunda fase: primer pretensado en la
dirección de laminado a dos niveles de deformación plástica: 2% y 4%.
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
147
Figura 4.18: Detalles del procedimiento experimental de la fase 2: (a) Montaje de la probeta inicial para
el pretensado inicial (fase 2), (b) Detalle del montaje de la probeta inicial , (c) y (d) Detalles de las
mordazas y acoplamientos de la fase 2
148
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Figura 4.19: Detalles geométricos de las mordazas de ensayo para las probetas en configuración inicial
Una conclusión interesante, y consistente con los resultados previos, es que prácticamente se conservan
los mismos parámetros de anisotropía en los tres casos. Además, los resultados muestran que el valor del
estimador β 0 , que se corresponde con los parámetros de Hill (g + h), es próximo a la unidad.
Tercera Fase (Segundo Pretensado)
En esta tercera fase, se realiza un segundo pretensado, a diferentes niveles de deformación plástica, sobre
probetas procedentes de la segunda fase, ver figura 4.22 . Para ello, es necesario obtener nuevas probetas
a diferentes ángulos θ respecto de la dirección de laminado, concretamente, a 30o , 45o , 60o y 90o , ver
figura 4.23. Posteriormente, cada una de estas probetas se somete a un pretensado secundario a diferentes
niveles de deformación plástica, concretamente a 1%, 2%, 5% y 10% respectivamente. El objetivo de estos
segundos pretensados, a diferentes orientaciones, es el estudio de la evolución de la anisotropía plástica
a través de la determinación de las superficies de plastificación. Las combinaciones de orientación y
pretensado secundario de las diferentes probetas se recogen en la Tabla 4.2. Esta tercera fase se realiza
en la máquina de ensayos triaxial, utilizando para ello un par de actuadores en el mismo eje (ensayo
uniaxial), ver figura 4.24.
Cuarta Fase (Etapa de Resultados)
En esta última fase, se obtienen las probetas terciarias de tamaño normalizado según la norma UNEEN 10002-, a diferentes orientaciones (de 0o a 180o ), para ensayarlas posteriormente a tracción. Las
probetas terciarias se obtienen a partir de las probetas provenientes de la tercera fase, y el objetivo es
la determinación de las curvas tensión-deformación del metal laminado tras ser sometido a diferentes
Pretensado 11,5 t
140
120
Carga (kN)
100
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
149
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Desplazamiento del actuador (mm)
(a)
Pretensado 13 t
140
120
Carga (kN)
100
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Desplazamiento del actuador (mm)
(b)
Figura 4.20: Curvas fuerza-desplazamiento procedentes de los pretensados iniciales: (a) 11,5 toneladas
(2% de deformación plástica permanente) y (b) 13 toneladas (4% de deformación plástica permanente)
90
150
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
210
Tensión de fluencia (MPa)
190
170
Inicial
2%
4%
Inicial teórico
2% teórico
4% teórico
150
130
110
0
18
36
54
72
90
108
126
144
162
180
Orientación (grados)
Figura 4.21: Evolución de la tensión de fluencia σ y en las chapas de aluminio 5754 laminadas para diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas a la dirección de laminado. Las deformaciones superpuestas
corresponden con el 2% y 4% de deformación plástica en la dirección de laminado.
Dirección
Transversal Y (TD)
sy
FASE 3:
SEGUNDO PRETENSADO
1%, 2%, 5% y 10%
del o
ción tensad
c
e
Dir o pre
und
g
se
Dirección
de laminado X (RD)
Primer pretensado
sy
Figura 4.22: Esquema del procedimiento experimental de la tercera fase: segundo pretensado a un ángulo
θ (30o , 45o , 60o y 90o ) respecto de la dirección de laminado (RD) a diferentes niveles: 1%, 2%, 5% y 10%,
respectivamente.
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
Dirección
Transversal Y (TD)
151
sy
el o
nd
d
cció ensa
Dire o pret
d
n
egu
s
Dirección
de laminado X (RD)
Primer pretensado
D
N SA
ETE
O PR % y 10%
D
N
U
SEG %, 2%, 5
1
sy
O:
30º, 45º, 60º y 90º
PROBETA FASE 3: SEGUNDO PRETENSADO (1%, 2%, 5% y 10%)
A DIFERENTES ÁNGULOS q: 30º, 45º, 60º y 90º
Figura 4.23: Detalle de las probetas de la fase 3. En esta fase se lleva a cabo el segundo pretensado a
diferentes niveles de deformación plástica. Las deformaciones impuestas fueron 1%, 2%, 5% y 10%, para
diferentes orientaciones θ (a 30o , 45o , 60o y 90o respecto de la dirección de laminado)
Figura 4.24: Montaje experimental fase 3: a la izquierda, máquina de ensayos triaxial, a la derecha,
probeta secundaria
152
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
Dirección
Transversal Y (TD)
sy
del o
ción tensad
c
e
Dir o pre
und
g
e
s
Dirección
de laminado X (RD)
Primer pretensado
sy
sy
sy
FASE 4: OBTENCIÓN DE PROBETAS TERCIARIAS
PARA LA DETERMINACIÓN DEL LA TENSIÓN DE FLUENCIA
EN FUNCIÓN DE LA ORIENTACIÓN a
Figura 4.25: Esquema del procedimiento experimental de la cuarta fase: obtención de probetas normalizadas de 0o a180o con objeto de determinar la evolución del límite elástico con la orientación respecto
de la dirección de laminado (RD)
deformaciones plásticas en diversas orientaciones, ver figura 4.25. La figura 4.26 muestra algunos detalles
del montaje y ensayo de las probetas normalizadas en la máquina de ensayos triaxial.
Las figuras 4.27 y 4.28 muestran los resultados experimentales de la aleación de aluminio 5754 para
un pretensado inicial del 2% y pretensados secundarios en la dirección θ = 0o y θ = 45o , respectivamente.
La figura 4.27 muestra la evolución de las superficies de plastificación cuando el pretensado secundario
se realiza en la dirección de laminado, es decir, en una dirección principal. En este caso, las superficies
de plastificación experimentan una leve rotación (aproximadamente 5o ).
En la figura 4.28, se observa una rotación progresiva de la superficie de plastificación, que se estabiliza
alrededor de un 10% de deformación plástica, con un valor final de 45o . Esta rotación tiene su origen en
el pretensado en direcciones distintas a las direcciones principales de anisotropía, que son la dirección de
laminado (RD) y la perpendicular (T D). Asimismo, la magnitud de la anisotropía no sufre alteraciones
importantes, por lo que puede considerarse que la forma de la superficie permanece constante durante las
4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS
153
Figura 4.26: Detalles del montaje experimental de la cuarta fase
220
210
Tensión de Fluencia (Mpa)
200
Inicial
1%
2%
190
5%
10%
Inicial teórico
1% teórico
180
2% teórico
5% teórico
10% teórico
170
160
150
0
18
36
54
72
90
108
126
144
162
180
Orientación (grados)
Figura 4.27: Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secundarios en la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimentales con puntos y el
ajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en línea continua.
154
CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES
220
210
Tensión de Fluencia (Mpa)
200
Inicial
190
2%
5%
10%
180
Inicial teórico
2% teórico
5% teórico
170
10% teórico
160
150
0
18
36
54
72
90
108
126
144
162
180
Orientación (grados)
Figura 4.28: Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secundarios a 45o de la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimentales con puntos
y el ajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en línea continua.
distintas fases del pretensado. Estos resultados reproducen los fenómenos observados por Hill [23], Kim
[170] y Kim y Yin [41], en el caso de láminas y tubos de acero.
Capítulo 5
Elastoplasticidad Anisótropa en
pequeñas deformaciones. Modelado
computacional.
Los criterios de plastificación anisótropa de metales más habituales son el criterio de plastificación de
Hill [24], [171] y los de Barlat [172], [173], aunque los más extendidos por su sencillez son los primeros.
Ejemplos de estudios de anisotropía plástica donde se emplean estos criterios se pueden encontran en
las referencias [170], [41]. En plasticidad computacional, es frecuente asumir que la variación de la
anisotropía elástica es bastante inferior a la variación de la anisotropía plástica, a pesar de que no
siempre se cumple experimentalmente; incluso pueden ser del mismo orden de magnitud, tal y como se
puede ver en las referencias [167], [?], [30], [31], [29]. En este capítulo se desarrolla un modelo y algoritmo
de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones, en el cual se incluye la anisotropía elástica.
El modelo está basado en el criterio de Hill de 1948 [24] y la anisotropía elástica se define en función de
un tensor de constantes elásticas equivalente.
Por otra parte, se incluye la implementación de un módulo tangente consistente, obteniendo como
resultado velocidades de convergencia cuadráticas propias de los esquemas iterativos de Newton-Raphson.
Este algoritmo de integración de tensiones supone un avance con respecto al algoritmo presentado en la
referencia [174], donde las velocidades de convergencia no son cuadráticas
Para información adicional sobre el capítulo, se pueden consultar las referencias [175], [176], [118], [3]
5.1
Introducción
La función de plastificación anisótropa de Hill [24] se expresa en direcciones de ortotropía principales
como1 (aquí seguimos la propia notación de Hill)
2
2
2
2fy (σ) ≡ F (σ y − σz ) + G (σ z − σ x ) + H (σ x − σy ) + 2Lτ 2yz + 2M τ 2zx + 2N τ 2xy = 1
(5.1)
1 Se asume que el material es ortótropo (tres direcciones principales de simetría) y que estos ejes permanecen ortogonales
durante la deformación plástica.
155
156
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
donde F, G, H, L, M, N son parámetros del material que caracterizan el estado de anisotropía y σ es
el tensor de tensiones. Estos parámetros se relacionan directamente con las tensiones de fluencia en
las diferentes direcciones. Sean X, Y, Z las tensiones de fluencia uniaxiales en las direcciones x, y, z
respectivamente y R, S, T las tensiones de fluencia a cortante en las direcciones yz, xz, xy respectivamente.
Entonces se tiene
1
1
1
1
= G + H, 2F = 2 + 2 − 2
X2
Y
Z
X
1
1
1
1
(5.2)
= H + F, 2G = 2 + 2 − 2
Y2
X
Z
Y
1
1
1
1
= F + G, 2H = 2 + 2 − 2
Z2
Y
X
Z
y
1
1
1
(5.3)
2L = 2 , 2M = 2 , 2N = 2
R
S
T
En el caso de simetría rotacional alrededor del eje z
N = F + 2H = G + 2H, L = M
(5.4)
y en el caso de isotropía se recupera el criterio de von Mises, ya que
L = M = N = 3F = 3G = 3H
(5.5)
En chapas laminadas, donde se cumple la hipótesis de tensión plana σ zz = σ yz = σzx = 0, el criterio se
reduce a
(G + H) σ 2x − 2Hσ x σ y + (H + F ) σ 2y + 2N τ 2xy = 1
(5.6)
Durante un ensayo uniaxial en el plano de la chapa de una probeta cortada bajo un ángulo α respecto
de la dirección de laminado, la tensión de fluencia es
1
σ=q
2
F sin α + G cos2 α + H + (2N − F − G − 4H) sin2 α cos2 α
(5.7)
Las tensiones máximas y mínimas se obtienen en la dirección de laminado y la perpendicular o viceversa,
y además en las direcciones tales que
tan2 ᾱ =
N − G − 2H
1 − g − 2h
=
N − F − 2H
1 − f − 2h
(5.8)
donde f = F/N, g = G/N, h = H/N son los parámetros de ortotropía adimensionales2 . Habitualmente
ᾱ es un ángulo cercano a 45o . En el caso general, la ecuación (5.7) permite obtener los parámetros de Hill
a partir de tensiones de fluencia y sus direcciones, los ángulos α. No obstante, normalmente se realiza
un ajuste de la curva que minimice la diferencia entre los resultados experimentales y los proporcionados
por el criterio de plastificación, como se muestra por ejemplo en la figura 5.1. En la práctica, también se
obtienen los parámetros a través de otros medios, por ejemplo considerando la hipótesis de normalidad
2 En ocasiones se adimensionalizan respecto a una tensión de plastificación distinta de la cortante, por ejemplo respecto
a la dirección de laminado:
2fy ≡ gσ2x + f σ2y + h (σx − σ y )2 2lτ 2xy − σ 20 = 0
(5.9)
5.1. INTRODUCCIÓN
157
35
Tensión de fluencia (kgf/mm2)
30
25
0%EXP
0% CAL
3%EXP
3%CAL
6%EXP
6%CAL
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
orientación (grados)
Figura 5.1: Tensión de fluencia en chapas laminadas de acero para diferentes ángulos α respecto de la
dirección de laminado y para diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas en la dirección de laminado.
Los puntos se corresponden con resultados experimentales, mientras que las curvas son las funciones de
Hill ajustadas, resultando unos valores de f = 0.3613, g = 0.3535, y h = 0.4957 [41]
del flujo plástico y usando parámetros de Lankford3 (ver apéndice 9.3).
La figura 5.1 muestra distribuciones de tensiones de fluencia en chapas laminadas de acero para
diferentes ángulos α respecto de la dirección de laminado y para diferentes deformaciones uniaxiales
superpuestas a la dirección de laminado La referencia [41] de la que se ha extraído la figura 5.1 es especialmente relevante ya que contiene los primeros resultados experimentales cuantitativos de la evolución
de las direcciones de anisotropía. Es preciso notar que todas las curvas de la figura se corresponden prácticamente con los mismos parámetros de Hill, cambiando únicamente la tensión de fluencia (las diferencias
relativas se conservan).
Una forma más cómoda de expresar el criterio de Hill desde el punto de vista computacional es
fy ≡
1
1
σ : N : σ − κ2 = 0
2
3
(5.12)
donde N es el tensor de anisotropía de cuarto orden que, de forma matricial, usando la representación de
3 Los parámetros o ratios de Lankford son los cocientes de componentes de la velocidad de deformación plástica en
direcciones perpendiculares:
ε̇P
H
y
r0 = P =
(5.10)
G
ε̇z
o también
ε̇P
H
=
1
+
r90 = x
(5.11)
G
ε̇P
z
No obstante, con frecuencia se denominan parámetros de Lankford a los típicamente utilizados para obtener los parámetros
de Hill, σ0 , r0 , r45 y r90 .
158
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Voigt y expresado en el sistema de representación principal, puede escribirse como
[N]Xpr
⎡
N1 + N2
⎢
⎢ −N1
⎢
⎢ −N
2
⎢
=⎢
⎢
0
⎢
⎢
0
⎣
0
−N1
N1 + N3
−N3
0
0
0
−N2
−N3
N2 + N3
0
0
0
0
0
0
Nxy
0
0
0
0
0
0
Nyz
0
⎤
0
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎦
Nzx X
(5.13)
pr
donde
N1 = 23 Hκ2 , N2 = 23 Gκ2 , ..., Nzx = 23 M κ2
(5.14)
y κ es la tensión de fluencia de referencia.
Otro tipo de funciones de plastificación anisótropa son los denominados modelos de Barlat, no considerados aquí. Como referencias de estos modelos, el lector puede consultar [172], [173].
Otro tipo de anisotropía que se puede presentar en los materiales es la anisotropía elástica como se
ha comentado anteriormente. En plasticidad computacional es habitual considerar que el efecto de la
anisotropía elástica es significativamente menor que el efecto de la anisotropía plástica [32], [33], [34],
[35]. En consecuencia se utilizan frecuentemente funciones de elasticidad isótropa para la energía elástica
almacenada con criterios de plasticidad anisótropos4 . Sin embargo, la influencia de la anisotropía elástica
en el modelado del comportamiento elastoplástico puede ser muy importante por dos motivos principalmente. El primero es que el proceso de recuperación elástica afecta significativamente a las tolerancias
dimensionales de los procedimientos de fabricación. El segundo es que, aunque las deformaciones son
pequeñas respecto a las plásticas, la energía almacenada depende básicamente de las primeras, y por lo
tanto los efectos de la misma en el comportamiento del sólido pueden ser importantes. En chapas laminadas, desde el punto de vista del medio continuo, la anisotropía elástica implica diferentes constantes
elásticas aparentes en diferentes direcciones, ver figura 5.2.
Matemáticamente se obtienen mediante una rotación del tensor de flexibilidad elástica Se , definido
como
ε = Se : σ
(5.15)
siendo Se la inversa del tensor de comportamiento elástico (rigidez elástica), que en dos dimensiones y en
direcciones principales toma la forma
⎡
1
Ex
⎢
ν xy
Se = ⎢
⎣− Ex
0
4 Un
ν
− Eyx
y
0
0
1
Gxy
1
Ey
⎤
⎥
0 ⎥
⎦
(5.16)
{x,y,z}
razonamiento típico se basa en la comparación de las magnitudes de las deformaciones elásticas y plásticas. Mientras
que las primeras son bajas en elastoplasticidad de metales (incluso frecuentemente en el rango de pequeñas deformaciones),
las segundas pueden alcanzar valores altos, del orden del 30% o más; por ello, la influencia de las primeras es pequeña en las
deformaciones totales. Más adelante se verá que este razonamiento oculta en parte las implicaciones que tiene la anisotropía
elástica en el comportamiento elastoplástico de metales
5.1. INTRODUCCIÓN
159
y
e 11
2
x
Figura 5.2: Direcciones principales y aparentes en la determinación del tensor de constantes elásticas
con (para garantizar la simetría)
ν yx
ν xy
=
Ex
Ey
(5.17)
donde Ex y Ey son los módulos de elasticidad en las direcciones x e y, ν xy es el coeficiente de Poisson y
Gxy es el módulo a cortante. Estas constantes aparentes se pueden representar contra el ángulo, respecto
de la dirección de laminado, bajo el cual se ha ensayado la probeta (ángulo ψ en la figura 5.2). El tensor
S nos queda definido en el sistema de representación de la figura {1, 2, 3} de la figura como
⎡
⎢
Se = ⎣
1
E1
− νE121
1
E2
η 12,1 ⎤
− E
1
η 12,2 ⎥
− E
⎦
2
1
G12
sym
{1,2,3}
donde ηij,i son los coeficientes de acoplamiento de Lekhnitskii5 , de la forma
ηij,i :=
γ 12
ε11
(5.18)
y
1
E1
1
E2
1
G12
η12,1
E1
η 12,2
E2
5 También
=
=
=
=
=
∙
¸
1
1
2ν xy
1
4
cos ψ +
+
sin4 ψ
cos2 ψ sin2 ψ +
Ex
Gxy
Ex
Ey
∙
¸
1
1
2ν xy
1
4
sin ψ +
+
cos4 ψ
sin2 ψ cos2 ψ +
Ex
Gxy
Ex
Ey
µ
¶
¢
4
4
8ν xy
2
1 ¡ 4
+
+
−
sin2 ψ cos2 ψ +
cos ψ + sin4 ψ
Ex Ey
Ex
Gxy
Gxy
µ
µ
¶
¶
2
2
2ν xy
1
2ν xy
1
3
+
−
+
−
sin ψ cos ψ +
cos3 ψ sin ψ
Ey
Ex
Gxy
Ex
Ex
Gxy
¶
¶
µ
µ
2
2ν xy
1
2
2ν xy
1
3
cos ψ sin ψ +
sin3 ψ cos ψ
+
−
+
−
Ey
Ex
Gxy
Ex
Ex
Gxy
(5.19)
se pueden utilizar los coeficientes de Chentsov, que están definidos en función de las deformaciones cortantes
160
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Las variaciones de las propiedades elástica (como el Módulo de Elasticidad o el coeficiente de Poisson)
con respecto de la dirección de laminado pueden llegar a ser del mismo orden que la variación de las
propiedades plásticas, véasen las referencias [29] y [30].
5.2
Elastoplasticidad anisótropa computacional en pequeñas deformaciones
En las teorías de plasticidad fenomenológicas, es necesario el uso de una función de fluencia que defina
el dominio plástico. Se ha seleccionado la función de fluencia cuadrática de Hill [24], que es habitual en
modelos de plasticidad anisótropa en metales policristalinos. En concreto, se usa la función de fluencia
de Hill expresada de una forma más cómoda desde el punto de vista computacional,
fy =
3
Z:N: Z−1
2k2
(5.20)
donde el tensor de sobre-tensiones Z se define como
Z=σ−β
(5.21)
y las tensiones σ y β definen el estado actual de tensiones y las tensiones de referencia (‘backstress’)
respectivamente. El escalar k es la tensión de fluencia de referencia.
El tensor de tensiones σ se calcula incrementalmente a partir de la ecuación constitutiva
σ̇ = Ce : ε̇e
−1
donde Ce = (Se )
(5.22)
.
Los tensores C y (Se )−1 presentan nueve constantes independientes en el caso ortótropo, ya que
e
Ceijkl = Ceklij
(5.23)
debido a las simetrías mayores y menores del tensor constitutivo elástico
Ce =
Por lo tanto, se cumple que
∂2W
∂ε∂ε
ν ji
ν ij
=
Ei
Ej
(5.24)
(5.25)
Además, las constantes elásticas presentan ciertas restricciones debido a consideraciones termodinámicas (la suma del trabajo realizado por las tensiones debe ser positivo para evitar la creación de energía
y por lo tanto, las matrices Ce y Se tienen que ser definidas positivas). Estas restricciones se escriben de
la forma [177]
p
p
p
|ν 21 | < E2 /E1 |ν 32 | < E3 /E2 |ν 13 | < E1 /E3
p
p
p
(5.26)
|ν 12 | < E1 /E2 |ν 23 | < E2 /E3 |ν 31 | < E3 /E1
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
161
y
ν 21 ν 32 ν 13 >
1 − ν 221 E1 /E2 − ν 232 E2 /E3 − ν 213 E3 /E1
1
<
2
2
(5.27)
Por otro lado, el tensor de tensiones de referencia β se calcula de forma similar a través de un tensor
de endurecimiento H̄ tal que
β̇ = H̄ : ξ̇
(5.28)
donde ξ̇ son varibles internas tensoriales del tipo deformación.
5.2.1
Principio de máxima disipación
Para establecer el principio de máxima disipación, en primer lugar se especifica el dominio elástico. En
el caso que nos ocupa, la función de fluencia que delimita el dominio elástico es de la forma fy (σ, β, k).
Aplicando la descomposición aditiva del tensor de velocidades de deformación infinitesimales ε̇ en parte
elástica y plástica
ε̇ = ε̇e + ε̇p
(5.29)
la desigualdad plástica reducida queda [13], [3]
Dp := σ : ε̇p − β : ξ̇ − kζ̇ ≥ 0
(5.30)
donde ζ̇ es una varible interna escalar de tipo deformación. El Lagrangiano asociado al problema con
restricciones es L = Ḋp − γ̇fy , donde γ̇ es la variación del parámetro de consistencia. Si consideramos el
cumplimiento del principio de máxima disipación, las tensiones y el resto de variables internas del tipo de
tensión son tales que cumplen la condición ∇L = 0, esto es, para las expresiones de la función de fluencia
dadas se obtiene
⎧
∂L
∂fy
⎪
= 0 ⇒ ε̇p = γ̇
⎪
⎪
⎪
∂σ
∂σ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂fy
⎨ ∂L
= 0 ⇒ ξ̇ = −γ̇
∇L = 0 ⇒
(5.31)
∂β
∂β
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂L
∂fy
⎪
⎪
= 0 ⇒ ζ̇ = −γ̇
⎪
⎪
∂k
⎩ ∂k
Estas expresiones son las reglas de flujo y endurecimientos asociativos (o asociados). Las condiciones de
carga-descarga complementarias de Kuhn-Tucker son, como es habitual
γ̇ ≥ 0, fy ≤ 0, y γ̇fy = 0
(5.32)
γ̇fy ≡ 0
(5.33)
y la condición de consistencia es
Por lo tanto, usando la ecuación (5.20), la regla de flujo plástico de tipo asociativo nos queda de la
forma
ε̇p = γ̇
∂fy
3
= γ̇ N : σ̇
∂σ
k̇2
(5.34)
162
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
y las reglas de endurecimiento asociadas
∂fy
3
= γ̇ N : β̇
∂β
k̇2
(5.35)
∂fy
2
= γ̇ (fy + 1)
∂k
k
(5.36)
ξ̇ = −γ̇
ζ̇ = −γ̇
Usando las ecuaciones (5.22), (5.28), (5.34) y (5.35), las expresiones de los tensores de tensión nos
quedan, respectivamente
γ̇
σ̇ = Ce : ε̇ − 3 Ce : N : Ż
(5.37)
k̇2
β̇ =
3γ̇
H̄ : N : Ż
k̇2
(5.38)
donde H̄ y k̇ son el tensor de endurecimiento cinemático y el módulo de endurecimiento isótropo no
lineal, respectivamente. Un modelo de endurecimiento típico usado en la literatura es el de saturación
exponencial, basada en la referencia [152], que puede expresarse como combinación de un endurecimiento
cinemático y uno isótropo. Se puede escoger entonces
H̄ = (1 − θ) H̄I
(5.39)
h
i
¡ ¢
P
k εP = σ y + θH̄εP + (K∞ − K0 ) 1 − e−δε
(5.40)
y
donde H̄ es el módulo de endurecimiento lineal efectivo, θ es un parámetro que nos determina el grado
de endurecimiento mixto (isótropo y cinemático), σ y es la tensión de fluencia y K∞ > K0 > 0, δ > 0 son
constantes del material.
5.2.2
Algoritmo implícito de integración de tensiones
La función de fluencia de Hill en el paso de tiempo o carga t + ∆t se escribe como
t+∆t
f=
¡ t+∆t
3
σ−
2 t+∆t k2
t+∆t
¢
¡
β : N : t+∆t σ −
t+∆t
¢
β −1
(5.41)
Usando las ecuaciones (5.22) y (5.29), el tensor de tensiones de Cauchy σ en el paso de tiempo t + ∆t se
calcula como
t+∆t
σ = t σ + Ce : ∆ε − Ce : ∆εP
(5.42)
Definiendo el estado de prueba (‘trial state’ ) en el paso t + ∆t
t+∆t
t+∆t
y el tensor
t+∆t
σ tr := t σ + Ce : ∆ε
β
tr
(5.43)
t
:= β
Z de la forma
t+∆t
Z :=
t+∆t
σ−
t+∆t
β
(5.44)
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
163
la ecuación (5.42), usando la definición de la regla de flujo plástico dada por la ecuación (5.34), se escribe
como
t+∆t
σ =
t+∆t
σ tr −
t+∆t
∆γ C :
∂ t+∆t f
=
∂ t+∆t σ
t+∆t
σ tr −
t+∆t
∆γ
3
t+∆t k 2
C:N:
t+∆t
Z
(5.45)
En este modelo se ha incluido endurecimiento isótropo no lineal [118], de tipo exponencial y en función
de la deformación plástica equivalente t+∆t εP , de la forma
t+∆t
donde
k
t+∆t P
¡t+∆t
ε se calcula como
¢
εP = σ y + θH̄
t+∆t P
ε
i
h
t+∆t P
ε
+ (K∞ − K0 ) 1 − e−δ
t+∆t P
ε = t εP +
y el incremento de deformación plástica equivalente
t+∆t
∆εP =
2
t+∆t k
t+∆t
t+∆t
¡t+∆t
(5.46)
∆εP
(5.47)
∆εP
¢
f + 1 t+∆t ∆γ
(5.48)
La tensión de referencia βn+1 queda
t+∆t
β = tβ −
t+∆t
∆γ
∂ t+∆t f
= tβ +
∂ t+∆t β
t+∆t
∆γ
3
t+∆t k 2
H:N:
t+∆t
(5.49)
Z
donde H = 23 (1 − θ) H̄I es el tensor de endurecimiento de cuarto orden (nótese que incluye el factor de
2/3).
Sustituyendo las ecuaciones (5.45) y (5.49) en la expresión (5.21), se tiene
t+∆t
Z
=
=
t+∆t
t+∆t
donde definiendo
(5.50)
β
σ tr − t β +
t+∆t
Ztr :=
t+∆t
Por lo que conocido
t+∆t
σ−
tr
Z
t+∆t
t+∆t
t+∆t
∆γ
3
t+∆t k 2
Z − (1 − θ) t+∆t ∆γ
t+∆t k 2
H:N:
t+∆t
Z
σ tr − t β , se puede escribir
∙
= I+ t+∆t ∆γ
Ztr y
t+∆t
C:N:
3
t+∆t
3
t+∆t k 2
∆γ , el tensor
t+∆t
¸
(C + H) : N :
t+∆t
t+∆t
Z =: D :
t+∆t
Z
(5.51)
Z se puede obtener a través de
Z = D−1 :
t+∆t
Ztr
(5.52)
A partir de la expresión anterior, se puede plantear un algoritmo de integración de tensiones en forma
implícita, usando como variables de iteración (variables de diseño) t+∆t ∆γ y t+∆t εP .
El esquema del algoritmo local de integración de tensiones se muestra en la tabla 5.1 y se explica y
detalla en los siguientes párrafos:
Los principales pasos en el cálculo del algoritmo de integración de tensiones se detallan a continuación:
164
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Parámetros del material
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
Constantes del Material:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
F, G, H, L, M, N ⇒ parámetros de anisotropía plástica
E1 , E2 , E3 , ν 12 , ν 13 , ν 23 , G12 , G13 , G23 ⇒ parámetros de anisotropía elástica
σ y , H̄, K∞ , K0 , δ ⇒ parámetros de endurecimiento del material
θ ⇒ selección endurecimiento isótropo/cinemático/mixto
(5.53)
Estado de Prueba
Una vez conocidos las constantes del material, se calcula el tensor de tensiones de prueba t+∆t σ tr a partir
de los resultados del paso anterior ya convergido t de la forma
t+∆t
σ tr = Ce :
¡t+∆t
ε − t εp
¢
(5.54)
donde t+∆t ε es la deformación total en el paso de tiempo t + ∆t y t εp la deformación plástica en el paso
t. La función de fluencia de prueba t+∆t f tr se obtiene a partir de las ecuaciones (5.41), (5.46) de la
forma
⎧
⎪
⎪ t+∆t Ztr = t+∆t σ tr − t β
⎪
h
i
⎨
t
P
t+∆t tr
k = t+∆t k = σ y + θH̄ t ∆εP + (K∞ − K0 ) 1 − e−δ ∆ε
(5.55)
⎪
⎪
3
⎪
t+∆t
tr
tr
t+∆t
tr
t+∆t
⎩
f = t+∆t 2
Z :N:
Z −1
2
k
Comprobación de la condición de consistencia
En este paso se comprueba si se cumple la condición de consistencia t+∆t f tr ≤ 0 que nos determina si el
paso es elástico o bien plástico cuando se cumple que t+∆t f tr > 0.
t+∆t tr
f
f1tr
≤ 0 P ASO ELÁST ICO ⇒
t+∆t
σ =
t+∆t
σ tr =⇒ EXIT
(5.56)
> 0 P ASO P LÁST ICO ⇒ CON T IN U AR CON EL P ROCEDIM IEN T O
Paso Plástico: procedimiento iterativo
Se plantea un algoritmo predictor con objeto de obtener una primera aproximación para el parámetro de
consistencia ∆γ n+1 y con ello mejorar la convergencia del algoritmo global. La idea principal es dejar
libre la variable ∆γ y fijar t εP . En la tabla 5.2 se presenta un resumen del mismo.
De este cálculo preliminar se obtiene el valor del parámetro de consistencia t+∆t ∆γ (i+1) , que se utiliza
como primera aproximación de una de las variables de diseño del algoritmo de integración de tensiones.
Los principales pasos del procedimiento iterativo se presentan a continuación. En primer lugar se
definen dos vectores iterativos: el vector de variables de diseño X(i) y el vector residuo R(i) .
1. Variables de diseño del algoritmo local
Se han tomado dos magnitudes escalares como variables de diseño en el algoritmo: el parámetro de
consistencia t+∆t ∆γ (i) y la deformación plástica equivalente t+∆t ∆εP (i) , que nos determinan posteriormente el flujo plástico y endurecimiento respectivamente,
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
(i)
X
=
(
165
)
t+∆t
∆γ (i)
t+∆t
∆εP (i)
(5.57)
2. Valores iniciales de prueba (’Guess’ inicial)
El segundo paso consiste en la inicialización de variables de iteración, donde se utiliza el resultado
del algoritmo predictor anterior para el parámetro de consitencia y las expresiones (5.40) y (5.36) para
el resto de variables:
t+∆t
∆γ (0)
←
∆εP (0)
=
t+∆t P (0)
=
t+∆t (0)
=
t+∆t
ε
k
t+∆t
∆γ (i+1) (obtenido del algoritmo de la tabla 5.2)
2
t+∆t
∆γ (i+1)
t+∆t k tr
t P (0)
ε
+ t+∆t ∆εP (0)
h
i
t+∆t P (0)
t
ε
k = σ y + θH̄ t+∆t εP (0) + (K∞ − K0 ) 1 − e−δ
(5.58)
3. Cálculo del Residuo del algoritmo local
El vector de variables escalares objeto de minimización es el presentado en la ecuación (5.59), donde
f es la función de fluencia de Hill y la variable escalar t+∆t g (i) viene determinada por la ecuación
(5.36). Por lo tanto, el vector R(i) nos queda como
t+∆t (i)
(i)
=
R
donde
t+∆t
t+∆t
g=
t+∆t
(
3
f =
2
∆εP − ∆ζ =
k = σ y + θH̄
t+∆t
∙
Z = I+
f
t+∆t (i)
g
t+∆t
t+∆t k 2
t+∆t
y
t+∆t
t+∆t (i)
t+∆t P
t+∆t
ε
∆γ
)
Z :N:
∆εP −
(5.59)
t+∆t
2
t+∆t k
Z −1
¡ t+∆t
¢
f + 1 t+∆t ∆γ
h
i
t+∆t P
ε
+ (K∞ − K0 ) 1 − e−δ
3
t+∆t k 2
¸−1
(C + H) : N
: Ztr
n+1
(5.60)
(5.61)
(5.62)
(5.63)
4. Comprobación de la convergencia
Una vez calculado el vector R(i) , se comprueba si la norma del residuo cumple con una tolerancia
prescrita, como se indica en la ecuación (5.64). Si se cumple esta condición se procede a la actualización
de variables
IF kRk
≤
T OL, EXIT =⇒ GO P ASO 6,
∂R
ELSE −→ calcular
(P ASO 5)
∂X
5. Cálculo del módulo tangente local
(5.64)
166
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Se implementa un prodecimiento iterativo tipo Newton con objeto
de obtener una nueva solución
para
n
¡ t+∆t P ¢i+1 o
(i+1)
t+∆t
(i+1)
las variables de diseño en el paso (i + 1) de la forma X
=
∆γ
,
∆ε
donde el
orden de convergencia que presenta este algoritmo es cuadrático. La actualización de la solución X(i+1)
queda de la forma
∙
¸−1 ³
´
∂R(i)
(i+1)
(i)
(i)
=X −
X
R
(5.65)
∂X(i)
donde
∂R(i)
define el modulo tangente local del algoritmo de la forma
∂X(i)
#
∙
¸ " t+∆t
f /∂ t+∆t ∆γ ∂ t+∆t f /∂ t+∆t ∆εP
∂
∂R
= t+∆t
∂X
∂
g/∂ t+∆t ∆γ ∂ t+∆t g/∂ t+∆t ∆εP
(5.66)
El cálculo de las derivadas del módulo tangente local de la ecuación (5.66) se presenta a continuación:
• La derivada
∂ t+∆t f
se calcula como
∂ t+∆t ∆γ
3
∂ t+∆t f
= 2
∂ t+∆t ∆γ
kn+1
donde
t+∆t
Z :N:
∂Zn+1
∂∆γ n+1
3
∂ t+∆t Z
= − t+∆t 2 D−1 : [(C + H) : N] :
t+∆t
∂
∆γ
k
• La derivada
∂ t+∆t f
∂ t+∆t ∆εP
(5.67)
t+∆t
(5.68)
Z
se calcula como
¡
¢ ∂ t+∆t k
∂ t+∆t f
= −2 t+∆t f + 1 t+∆t P +
t+∆t
P
∂
∆ε
∂
∆ε
donde se ha usado el valor de
t+∆t
3
t+∆t k 2
µ
t+∆t
Z :N:
∂ t+∆t Z
t+∆t
∂
∆εP
¶
(5.69)
f para ahorrar operaciones, y donde
h
i
∂ t+∆t k
−δ t+∆t ∆εP
=
θ
H̄
+
(K
−
K
)
δe
∞
0
∂ t+∆t ∆εP
(5.70)
y
∂ t+∆t Z
=
∂ t+∆t ∆εP
• La derivada
6
t+∆t k
∆γ n+1
3
∂ t+∆t k
D−1 : [(C + H) : N] :
∂ t+∆t ∆εP
(5.71)
Z
∂ t+∆t g
se calcula como
∂ t+∆t ∆γ
2
∂ t+∆t g
= − t+∆t (fn+1 + 1) −
t+∆t
∂
∆γ
k
• La derivada
t+∆t
∂ t+∆t g
∂ t+∆t ∆εP
2
t+∆t k
t+∆t
∆γ
∂ t+∆t f
∂ t+∆t ∆γ
(5.72)
se calcula como
∂ t+∆t g
=1+
t+∆t
∂
∆εP
2
t+∆t k
∆ t+∆t ∆γ
∙ t+∆t
∂ t+∆t f
f + 1 ∂ t+∆t k
− t+∆t P
t+∆t k
t+∆t
P
∂
∆ε
∂
∆ε
¸
(5.73)
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
167
6. Actualización de variables
Una vez alcanzada la convergencia en el procedimiento iterativo local, se obtienen los valores finales
del parámetro de consistencia y del incremento de deformación plástica equivalente, ver ecuación (5.74).
Con estos parámetros, se procede a la actualización de variables, ver ecuación (5.75).
t+∆t
∆γ
t+∆t
∆εP
t+∆t P
ε
t+∆t
t+∆t
=
k
=
Z
=
t+∆t
β
=
t+∆t
σ
=
t+∆t P
ε
=
t P
ε
+
)
t+∆t
⇒ valores convergidos
(5.74)
∆εP
h
i
t+∆t P
ε
σ y + θH̄ t+∆t εP + (K∞ − K0 ) 1 − e−δ
∙
¸−1
3
I+ t+∆t ∆γ t+∆t 2 (C + H) : N
: t+∆t Ztr
k
3
t
β + t+∆t ∆γ t+∆t 2 H : N : t+∆t Z
k
3
t+∆t tr
t+∆t
σ −
∆γ t+∆t 2 C : N : t+∆t Z
k
3
t P
t+∆t
ε +
∆γ t+∆t 2 N : t+∆t Z
k
(5.75)
7. Módulo elastoplástico tangente global
Por último, en procesos iterativos basados en el método de Newton y en el estado de tensiones
convergido en el paso t, es necesario calcular el módulo elastoplástico tangente global algorítmico o
‘consistente’, con objeto de preservar la convergencia de segundo orden típica de estos esquemas iterativos.
La tangente elastoplástica algorítmica se define como
t+∆t
∂ t+∆t σ
∂ t+∆t ε
C=
(5.76)
donde t+∆t σ y t+∆t ε son los tensores de tensión y deformación respectivamente. Además, también se
van a usar el tensor de tensiones de referencia βn+1 o tensor ‘backstress’ y el tensor de sobre-tensiones
t+∆t
Z definido como
t+∆t
σ
=
t+∆t
β
=
t
Z
=
t+∆t
t+∆t
t+∆t
La derivada del tensor de tensiones
la ecuación (5.77) de la forma
σ tr −
β+
t+∆t
t+∆t
σ−
t+∆t
∆γ
t+∆t
∆γ
3
t+∆t k 2
3
t+∆t k 2
C:N:
H:N:
t+∆t
t+∆t
Z
(5.78)
Z
(5.79)
β
σ con respecto a las deformaciones
(5.77)
t+∆t
ε se calcula a partir de
168
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
3
∂ t+∆t ∆γ
∂ t+∆t σ
= Ce − t+∆t 2 Ce : N : t+∆t Z ⊗ t+∆t +
t+∆t
∂
ε
k
∂
ε
t+∆t
k
6
∂
+ t+∆t ∆γ t+∆t 3 Ce : N : t+∆t Z ⊗ t+∆t − t+∆t ∆γ
k
∂
ε
donde hay que calcular los tensores de segundo orden
∂ t+∆t Z
, respectivamente.
∂ t+∆t ε
(5.80)
3
t+∆t k 2
Ce : N :
∂ t+∆t Z
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t k ∂ t+∆t ∆γ
,
y el tensor de cuarto orden
∂ t+∆t ε ∂ t+∆t ε
∂ t+∆t k
El tensor de segundo orden t+∆t se descompone, aplicando la regla de la cadena, en la siguiente
∂
ε
expresión
∂ t+∆t k ∂ t+∆t ∆γ
∂ t+∆t k
= t+∆t
(5.81)
t+∆t
∂
ε
∂
∆γ ∂ t+∆t ε
donde se tienen que calcular nuevamente las derivadas
derivada escalar
∂ t+∆t k
∂ t+∆t ∆γ
y
, respectivamente. La
t+∆t
∂
∆γ
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t k
se calcula a partir de las ecuaciones (5.46) y (5.48), dando lugar a
∂ t+∆t ∆γ
∂ t+∆t k
k
t+∆t k ∂ t+∆t ∆εP
∂
=
∂ t+∆t ∆γ
2
∂ t+∆t k
1 + t+∆t 2 t+∆t ∆γ t+∆t P
k
∂
∆ε
2
t+∆t
(5.82)
∂ t+∆t k
donde la derivada escalar t+∆t P , para el caso de la función de endurecimiento seleccionada se obtiene
∂
∆ε
a partir de la ecuación (5.46), como
h
i
∂ t+∆t k
−δ ( t+∆t εP )
=
θ
H̄
+
(K
−
K
)
δe
∞
0
∂ t+∆t ∆εP
Por otro lado, el tensor de cuarto orden
(5.83)
∂ t+∆t Z
se calcula a partir de la ecuación (5.63)
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t Z
= D−1 : C + λD−1 : [(C + H) : N] :
∂ t+∆t ε
t+∆t
Z⊗
∂ t+∆t ∆γ
∂ t+∆t ε
(5.84)
donde λ se ha definido como
λ :=
∂ t+∆t k
t+∆t k 3 ∂ t+∆t ∆γ
6
t+∆t
∆γ −
3
t+∆t k 2
(5.85)
A la vista de las ecuaciones (5.80), (5.83) y (5.84), la única incógnita que nos queda por determinar es el
∂ t+∆t ∆γ
tensor de segundo orden t+∆t . Para ello, es necesario aplicar la condición de consistencia t+∆t f = 0
∂
ε
y que su derivada sea nula
∂ t+∆t f
t+∆t
f = 0 ⇒ t+∆t = 0
(5.86)
∂
ε
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
∂ t+∆t f
∂ t+∆t ε
169
∂ t+∆t Z
−
∂ t+∆t ε
¢ ∂ t+∆t k
¡
3
− t+∆t 3 t+∆t Z : N : t+∆t Z t+∆t
k
∂
ε
= 0=
3
t+∆t
t+∆t k 2
Z :N:
(5.87)
∂ t+∆t k
donde t+∆t viene determinado por las expresiones (5.83) a (5.83). Sustituyendo la ecuación (5.84) en
∂
ε
la derivada de la condición de consistencia (5.87) y definiendo la variable escalar auxiliar ρ como
ρ :=
t+∆t
Z : N : D−1 : [(C + H) : N] :
t+∆t
Z
(5.88)
nos queda la expresión
0 =
∂ t+∆t ∆γ
−
t+∆t k 2
t+∆t k
∂ t+∆t ε
¢ ∂ t+∆t k ∂ t+∆t ∆γ
¡
3
− t+∆t 3 t+∆t Z : N : t+∆t Z t+∆t
k
∂
∆γ ∂ t+∆t ε
3
t+∆t
Z : N : D−1 : C +
3
λρ
2
(5.89)
∂ t+∆t ∆γ
. Para ello, se define el parámetro
donde queda por determinar el tensor de segundo orden
∂ t+∆t ε
escalar η de la forma
η :=
3
t+∆t k
λρ −
2
3
t+∆t k 3
¡ t+∆t
Z :N:
t+∆t
Z
¢ ∂ t+∆t k
∂ t+∆t ∆γ
(5.90)
y sustituyendo se obtiene
∂ t+∆t ∆γ
=−
∂ t+∆t ε
η
3
t+∆t k 2
t+∆t
Z : N : D−1 : C
(5.91)
El esquema del procedimiento de cálculo del módulo elastoplástico tangente global se presenta en la tabla
5.3
5.2.3
Ejemplos numéricos del modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones
En este apartado, se verifica el comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas
deformaciones bajo distintas hipótesis y condiciones de carga. Para ello, se realizan distintas simulaciones
en un punto de integración y se verifican las convergencias y los resultados obtenidos.
a) Recuperación de la isotropía elástica
En primer lugar se verifica el comportamiento del modelo de anisotropía elastoplástica de Hill para el
caso de isotropía elastoplástica. En concreto, si se cumple que
N1 = N2 = N3 =
1
1
1
1
Nxy = Nyz = Nzx =
3
3
3
3
(5.92)
el criterio de plastificación de Hill se reduce al criterio de plastificación de von Mises. Se van a utilizar dos
reglas de endurecimiento típicas : endurecimiento isótropo (θ = 1) y endurecimiento cinemático (θ = 0).
170
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
En el problema se prescriben tensiones y se obtienen desplazamientos. En este caso, se verifica también
el correcto funcionamiento del módulo elastoplástico tangente global.
Los parámetros del material que se han utilizado en estas simulaciones se presentan en la tabla 5.4
donde E y ν son los parámetros elásticos correspondientes al módulo de elasticidad y coeficiente de
Poisson respectivamente; σ y es la tensión de fluencia del material; K0 , K∞ y δ son los parámetros de la
función de endurecimiento y F , G, H, N , L y M son los parámetros de la función de fluencia de Hill,
que en este caso, corresponden con el caso de isotropía plástica, ver ecuación (5.92).
Se han definido dos tipos de caminos de tensión: el primero, representado en la figura 5.3 (a)
representa una combinación proporcional de tensión axial σ x y tensión cortante τ xy y el segundo, que
se muestra en la figura 5.3 (b), muestra un camino de tensión no proporcional, que es resultado de una
combinación de tensiones prescritas de forma senoidal.
8
3 x 10
Camino de Tensión proporcional
9
2.5 x 10
Camino de Tensión no proporcional
2
1.5
Tensión axial σx (Pa)
Tensión axial σx (Pa)
2
1
0
-1
-2
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-3
8
-3
-2
-1
0
1
Tensión cortante txy (Pa)
(a)
2
3 x 10
-2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
9
2.5 x 10
Tensión cortante txy (Pa)
(b)
Figura 5.3: Camino de deformación proporcional (a) y no proporcional (b) prescritos para el análisis del
modelo de elasto-plasticidad de Hill en pequeñas deformaciones
A continuación se presentan los resultados obtenidos para el caso del modelo de elastoplasticidad
isótropa basado en la función de fluencia de Hill y con endurecimiento isótropo y cinemático. Los
parámetros de control utilizados en las simulaciones se muestran en la tabla 5.5 donde n es el número
de pasos de carga, f tolguess es la tolerancia del residuo en el bucle del algoritmo predictor inicial del
parámetro de consistencia (ver tabla 5.2), nitmxguess es el número máximo de iteraciones permitidas
en el bucle del algoritmo ade cálculo de los valores iniciales (de prueba), f tollocal es la tolerancia del
residuo en el bucle iterativo local del algoritmo de integración de tensiones (ver tabla 5.1), nitmxlocal es
el número máximo de iteraciones permitidas en el bucle local, f tolglobal es la tolerancia del residuo del
bucle global y nitmxglobal es el número máximo de iteraciones permitidas en bucle global.
La figura 5.4 representan los resultados de las simulaciones numéricas con los caminos de tensión
en un punto de integración y para dos casos de endurecimiento: endurecimiento isótropo (β = 1) y
endurecimiento cinemático (β = 0) respectivamente. El modelo de plasticidad de Hill con los parámetros
de isotropía elastoplástica reproduce el comportamiento del modelo de plasticidad de von Mises para
todos los casos de carga y con los dos tipos de endurecimiento. Por lo tanto, el modelo presentado es
consistente en caso de isotropía elástica
Por otra parte, lo interesante de estos cálculos es el análisis de la convergencia del modelo. La tabla
5.6 recoge los resultados de las convergencias de las normas de los residuos en tres algoritmos. El primero
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
8
2.5
x 10
Tensión proporcional endurecimiento isótropo
2
1.5
1.5
0.5
0
Hill - von Mises
-0.5
Tensión axial σx (Pa)
Hill - von Mises
1
Tensión axial σx (Pa)
Tensión proporcional endurecimiento cinemático
8
x 10
2.5
2
171
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2.5
-1
-1.5
-2
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Deformación axial εx
3
3.5
-2.5
-4
-3
x 10
-3
-2
-1
0
1
Deformación axial ε
2
3
8
2.5
x 10
Tensión proporcional endurecimiento isótropo
8
2.5
2
1.5
1
Tensión cortante τ xy (Pa)
Tensión cortante τ xy (Pa)
Tensión proporcional endurecimiento cinemático
2
1.5
Hill - von Mises
0.5
Hill - von Mises
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-2
-2.5
0
-0.5
-1.5
-2
0
-3
3.5
x 10
4
-3
x 10
x
x 10
1
2
3
Deformación cortante εxy
4
5
-3
x 10
-2.5
-6
-4
-2
0
2
Deformación cortante εxy
4
6
-3
x 10
Tensión no proporcional endurecimiento isótropo
-3 Tensión
4
x 10
no proporcional endurecimiento cinemático
3
3
Deformación axial εx
Deformación axial εx
2.5
2
1.5
1
Hill - von Mises
1
0
Hill - von Mises
0.5
0
0
2
-1
0.5
1
1.5
2
2.5
Deformación cortante εxy
(a)
3
3.5
4
-3
x 10
-2
-6
-4
-2
0
2
Deformación cortante εxy
4
6
-3
x 10
(b)
Figura 5.4: Simulaciones numéricas del algoritmo de Hill en condiciones de isotropía. Camino de tensión
prescrito. (a) endurecimiento isótropo y (b) endurecimiento cinemático
172
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Y
syy
2)
y(
C
D
Dimensionen en mm
Espesor = 1
Tensiones en MPa
1)
x(
5
Historia de carga
A
sxx
a = 30º
B
10
sxx
X
Paso 1
Paso 2
sxx
150
-150
syy
30
-30
Figura 5.5: Ejemplo numérico para verificar el algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas
deformaciones de la referencia [174]. Geometría, condiciones de contorno e historia de carga
de ellos, muestra las iteraciones realizadas en el algoritmo predictor del parámetro de consistencia inicial.
El segundo, presenta la convergencia en la norma del residuo del algoritmo del bucle local para una
iteración caracteristica del bucle global. Y el tercero, muestra la convergencia en la norma del residuo en
una iteración característica del algoritmo del bucle global. En ambos casos (local y global), el algoritmo
presenta convergencia cuadrática.
b) Elastoplasticidad Anisótropa
En segundo lugar, se analiza el comportamiento del algoritmo bajo la hipótesis de elastoplasticidad
anisótropa de Hill. Se analizan dos casos: la primera simulación consiste en la comparación con el algoritmo de elastoplasticidad anisótropa de la referencia [174]. En esta referencia se presenta un modelo
de elastoplasticidad anisótropa basado igualmente en la función de plastificación de Hill con endurecimiento mixto, y un algoritmo de integración de tensiones implícito. Sin embargo, en este caso, no se
conserva el ratio de convergencia cuadrático propio de este tipo de esquemas iterativos. El segundo caso
consiste en la implementación de un proceso de estampado de una placa circular delgada bajo las hipótesis de anisotropía plástica e isotropía elástica. Con ello se pretende verificar el buen funcionamiento y
convergencia del modelo ante problemas más realistas.
Comparación entre el algoritmo de elastoplasticidad anisótropa de Kojic et al de 1996 y
el algoritmo presentado en este trabajo
En este caso se utiliza un elemento tridimensional en formulación estándar, denominado BRCK8/8 (elemento de 8 nudos con 8 puntos de integración de desplazamientos) bajo un estado de tensión/deformación
uniforme, ver figura 5.5. Los parámetros del material se presentan en la tabla 5.7. Este ejemplo sirve
para demostrar la aplicabilidad del modelo de material desarrollado y la precisión y convergencia del
algoritmo numérico presentado.
En la figura 5.6 se representa la deformada obtenida bajo la hipótesis de endurecimiento isótropo
(θ = 1) y los desplazamientos nodales obtenidos. La tabla 5.8 representa la convergencia del algoritmo
de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones en función de los residuos relativos de fuerza
y energía. En este caso se aprecia la convergencia cuadrática típica de estos esquemas iterativos. Por
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
173
y
D
C
Nodo
Desplazamiento
(m)
uBx
3.33090E-04
u
A
C
x
-2.69892E-04
B
x
uCy = uCy
1.51055E-04
uDx
6.32980E-04
Figura 5.6: Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones. Deformada y desplazamientos
nodales de la simulación de la Referencia [174] bajo la hipótesis de endurecimiento isótropo θ = 1
otra parte, al comparar este algoritmo de integración de tensiones con el modelo de elastoplasticidad
anisótropa en pequeñas deformaciones de Kojic et al 1996, ver referencia [174], se observa que este último
no conserva esta convergencia de segundo orden.
Estampado de una placa circular delgada en pequeñas deformaciones
En este problema se analiza el proceso de estampado de una placa circular delgada con un orificio
central. La figura 5.7 representa la geometría del problema y las condiciones de contorno. Se discretiza
únicamente un cuarto de la placa circular debido a las simetrías del problema, con las condiciones de
contorno adecuadas en las fronteras. Se han utilizado elementos tridimensionales en formulación mixta
BM IX 27/27/4, elementos de 27 nudos, con 27 puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de
integración de presión, con objeto de evitar problemas de incompresibilidad en el régimen plástico.
El proceso de estampado está controlado por desplazamiento (método de penalización), y a los nodos
del borde interno de la placa se les aplica un desplazamiento radial de u = 7.5 mm. Las propiedades del
material se presentan en la tabla 5.9. El material tiene un comportamiento isótropo en la parte elástica,
pero es anisótropo en la plástica. Se incluye una función de endurecimiento no lineal, de la forma
t+∆+
k = σ y + β H̄
t+∆t P
ε
h
i
t+∆t P
ε
+ (K∞ − K0 ) 1 − e−δ
(5.93)
Los parámetros de control utilizados en las simulaciones son los mismos que en el caso anterior, ver
tabla 5.5.
La tabla 5.10 muestra nuevamente el análisis de la convergencia del residuo para el algoritmo de
elastoplasticidad anisótropa de Hill en una iteración características del algoritmo iterativo global. El
ratio de convergencia, al igual que en los casos anteriores, es cuadrático, demostrando una vez más el
buen funcionamiento de los procedimiento iterativos local y global respectivamente.
La Figura 5.8 muestra la deformada y distribuciones de deformación plástica equivalente para tres
estados de carga: 2.5 mm, 5 mm y 7.5 mm, respectivamente. En este caso, la deformación plástica se
174
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
y
u
x
10
200
400
200
Figura 5.7: Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En el
perímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en mm. A la
derecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema. Se han
utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4
desarrolla principalmente a un ángulo de 45o (y 135o ) respecto del eje horizonal de la placa, es decir, en
la dirección de la máxima tensión cortante.
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
175
Figura 5.8: Estampado de una placa circular delgada bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones.
Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos:
(a) u = 2.5 mm, (b) u = 5 mm y (c) u = 7.5 mm. En la simulación se han utilizado elementos mixtos
tridimensionales BM IX 27/27/4.
176
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Algoritmo de integración de tensiones
1. Cálculo de variables de prueba t+∆t Ztr , t+∆t ktr , t+∆t f tr
2. Comprobación de la condición de consistencia
IF t+∆t f tr ≤ 0 THEN el paso es elástico
t+∆t
σ = t+∆t σ tr , t+∆t C = Ce y EXIT
ELSE el paso es plástico.
Inicio del algoritmo predictor (Proceso en tabla 5.2)
3. Procedimiento iterativo
½ t+∆t (i) ¾
½ t+∆t (i) ¾
∆γ
f
(i)
Variables de iteración: X(i) =
=
,
Residuo
R
t+∆t
t+∆t (i)
∆ε(i)P
g
¢
3
2 ¡
t+∆t
t+∆t
t+∆t
t+∆t
P
t+∆t
f = t+∆t 2
Z :N:
Z −1 y
g =
∆ε − t+∆t 2 t+∆t f + 1 t+∆t ∆γ
donde
2
k
k
3.1. ’Guess Inicial’ =⇒
t+∆t
∆γ (0) ,
¡t+∆t
∆εP
¢(0)
,
t+∆t (0)
k
3.2. Cálculo del residuo inicial=⇒ t+∆t f (0) , t+∆t g (0)
DO WHILE (kRk = T OL) ∙
¸
¸ ∙ t+∆t
∂R
f /∂ t+∆t ∆γ ∂ t+∆t f /∂ t+∆t ∆εP
∂
Módulo tangente local =⇒
=
∂ t+∆t g /∂ t+∆t ∆γ ∂ t+∆t g /∂ t+∆t ∆εP
∂X
∙
¸−1
¡ (i) ¢
∂R
Actualización variables =⇒ X(i+1) = X(i) −
R
∂X ¾
½ t+∆t (i+1)
f
Actualización residuo =⇒ R(i+1) =
t+∆t (i+1)
g
END
4. Obtención del valor final de las variables
3
t+∆t
∆εP = t ∆εP + t+∆t ∆γ t+∆t 2 N : t+∆t Z
k
i
h
t+∆t
t+∆t
∆εP
k = σ y + θH̄ t+∆t ∆εP + (K∞ − K0 ) 1 − e−δ
∙
¸−1
3
t+∆t
t+∆t
Z = I+
∆γ t+∆t 2 (C + H) : N
: Ztr
n+1
k
3
t+∆t
β = t β + t+∆t ∆γ t+∆t 2 H : N : t+∆t Z
k
3
t+∆t
σ = t+∆t σ tr − t+∆t ∆γ t+∆t 2 C : N : t+∆t Z
k
5. Módulo elastoplástico tangente global
Tabla 5.1: Esquema del algoritmo de integración de tensiones
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
Algoritmo predictor de t+∆t©∆γ (0) ª
Variable de iteración =⇒ X = t+∆t ∆γ
©
ª
Residuo =⇒ R(i) = t+∆t f (i)
⎧
∙
¸−1
⎪
t+∆t (i)
t+∆t
(0) 3
⎪
Z
=
I+
∆γ
(C
+
H)
:
N
: t+∆t Ztr
⎪
⎪
t k2
⎪
⎪
⎪
h
i
⎪
t P
⎨ t
k = σ y + θH̄ t εP + (K∞ − K0 ) 1 − e−δ ε
Cálculo del residuo:
⎪
⎪
3
⎪
t+∆t
⎪
f = t 2 t+∆t Z : N : t+∆t Z − 1
⎪
⎪
2 k
⎪
⎪
⎩ R = ©t+∆t f ª
DO WHILE (kRk = T OL)⎧
∙ t+∆t ¸−1
⎪ (i+1)
f
∂
⎪
(i)
⎪
=
X
−
R(i)
X
⎨
∂ t+∆t ∆γ
Actualización de variables
∙ t+∆t ¸−1
⎪
∂
f
⎪
⎪
(i+1)
(i)
t+∆t (i)
⎩ ∆γ
= ∆γ − t+∆t
f
∂
∆γ
⎧
t+∆t
t+∆t
∂
3
f
Z
∂
⎪
⎪
⎨ t+∆t
= t 2 t+∆t Z : N : t+∆t
∂
∆γ
k
∂
∆γ
donde
∂ t+∆t Z
3 −1
⎪
⎪
⎩ t+∆t
= − t 2 D : [(C + H) : N] : t+∆t Z
∂
∆γ
k
END
Tabla 5.2: Algoritmo predictor del parámetro de consistencia inicial
177
178
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Módulo Elastoplástico Tangente Consistente
∂ t+∆t σ
donde
∂ t+∆t ε
3
t+∆t
σ = t+∆t σ tr − t+∆t ∆γ t+∆t 2 C : N : t+∆t Z
k
3
t+∆t
t
t+∆t
β= β+
∆γ t+∆t 2 H : N : t+∆t Z
k
t+∆t
Z = t+∆t σ − t+∆t β
Objetivo: Calcular
t+∆t
C=
1.Cálculo de la derivadas escalares
h
i
∂ t+∆t k
−δ ( t+∆t εP )
=
θ
H̄
+
(K
−
K
)
δe
∞
0
∂ t+∆t ∆εP
∂ t+∆t k
∂
k
t+∆t k ∂ t+∆t ∆εP
=
∂ t+∆t ∆γ
2
∂ t+∆t k
1 + t+∆t 2 t+∆t ∆γ t+∆t P
k
∂
∆ε
2
t+∆t
2.Cálculo de los parámetros auxiliares
3
6
∂ t+∆t k t+∆t
∆γ − t+∆t 2
λ = t+∆t 3 t+∆t
k ∂
∆γ
k
ρ=
η=
t+∆t
Z : N : D−1 : [(C + H) : N] :
3
t+∆t k
λρ −
2
3
t+∆t k 3
¡ t+∆t
t+∆t
Z :N:
Z
t+∆t
Z
¢ ∂ t+∆t k
∂ t+∆t ∆γ
3.Cálculo de la derivadas tensoriales
3
∂ t+∆t ∆γ
= − t+∆t 2 t+∆t Z : N : D−1 : C
∂ t+∆t ε
η
k
∂ t+∆t k ∂ t+∆t ∆γ
∂ t+∆t k
=
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t ∆γ ∂ t+∆t ε
∂ t+∆t Z
= D−1 : C + λD−1 : [(C + H) : N] :
∂ t+∆t ε
t+∆t
Z⊗
∂ t+∆t ∆γ
∂ t+∆t ε
4.Calcular el Módulo elastoplástico tangente
3
∂ t+∆t ∆γ
∂ t+∆t σ
e
e
t+∆t
−
C
:
N
:
Z
⊗
=
C
+
t+∆t k 2
∂ t+∆t ε
∂ t+∆t ε
t+∆t
6
∂
k
+ t+∆t ∆γ t+∆t 3 Ce : N : t+∆t Z ⊗ t+∆t − t+∆t ∆γ
k
∂
ε
3
t+∆t k 2
Ce : N :
∂ t+∆t Z
∂ t+∆t ε
Tabla 5.3: Esquema del cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
¡N¢
E m
2
11
2, 1 ×
10
¡N¢
σ y m2
235 × 106
F
1/2σ 2y
υ
0,
3 ¢
¡N
H̄ m2
3, 5 × 1010
G
1/2σ2y
K0
¡
N
m2
σy
H
1/2σ 2y
¢
¡N¢
K∞ m
2
σy
N
3/4σ 2y
179
δ
0
L
3/4σ 2y
M
3/4σ 2y
Tabla 5.4: Parámetros del material. Caso de isotropía elastoplástica
n
100
ftolguess
1 × 10−3
nitmxguess
15
ftollocal
1 × 10−10
nitmxlocal
50
ftolglobal
1 × 10−7
nitmxglobal
50
Tabla 5.5: Parámetros de control utilizados en las simulaciones
Convergencia subrutina de cálculo de ’guess’ inicial
Iteración
Residuo (f )
γ
1
0.222496E-01
0.000000E+00
2
0.358004E-03
0.386953E+04
Convergencia local modelo de Hill
Paso iteración local
norma residuo
residuo
19
0
0.445097E-02
-0.445097E-02
0.129113E-06
19
1
0.120187E-03
0.120187E-03
0.137261E-07
19
2
0.117836E-07
0.117836E-07
0.113448E-10
19
3
0.118585E-18 0 .000000E+00 0.118585E-18
Convergencia global modelo de Hill
Paso iteración global
residuo de energía
19
1
0.100E+01
19
2
0.343E+00
19
3
0.404E-02
19
4
0.677E-05
19
5
0.736E-11
Tabla 5.6: Convergencia del modelo de Hill con parámetros de isotropía para el caso de prescripción de
tensiones
E1
¡
N
m2
¢
2 × 1011
σ y11
¡
N
m2
¢
200 × 106
E2
¡
N
m2
¢
1 × 1011
σ y22
¡
N
m2
¢
40 × 106
E3
¡
N
m2
¢
1 × 1011
σ y33
¡
N
m2
¢
40 × 106
υ 12
υ 23
υ31
0.3
0.2
0.15
σ y12
¡
N
m2
¢
80 × 106
σ y23
¡
N
m2
¢
= σ y31
80 × 106
¡
N
m2
¢
H̄
¡
N
m2
¢
1 × 109
Tabla 5.7: Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica. Ejemplo del artículo de Kojic et
al de 1996
180
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Convergencia global del algoritmo de Kojic et al 1996 (caso de elastoplasticidad anisótropa)
paso global iteración
residuo relativo de energía
1
0
6.5700E+00
1
1
6.0338E+00
1
2
9.9445E-02
1
3
1.9557E-03
1
4
3.6171E-06
1
5
3.4026E-09
1
6
3.0190E-12
Convergencia global del algoritmo de elastoplasticida anisótropa desarrollado en este trabajo
paso global iteración residuo relativo de fuerza
residuo relativo de energía
1
1
1.000E+00
1.000E+00
1
2
1.028E+01
2.057E+01
1
3
4.729E-02
3.487E-02
1
4
5.399E-04
2.359E-05
1
5
5.461E-08
1.421E-11
1
6
1.317E-12
1.975E-23
Tabla 5.8: Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo en pequeñas deformaciones
Estampado de una placa circular delgada
Propiedades del material
Módulo de Elasticidad
E = 206, 9 GP a
Coeficiente de Poisson
ν = 0, 29
Tensión de Plastificación
σ y = K0 = K∞ = 0.45 GP a
Módulo de endurecimiento H̄ = 0.1 GP a
Parámetros de anisotropía de Hill.
1
f =h=g
3
l=m=n
8
Tabla 5.9: Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada
5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL
181
Convergencia subrutina de cálculo de ’guess’ inicial
Iteración
Residuo (f )
γ
1
0.728832E+02 0.000000E+00
2
0.326072E+02 0.137336E+04
3
0.145806E+02 0.664244E+04
4
0.644811E+01 0.113005E+05
5
0.274103E+01 0.174336E+05
6
0.104983E+01 0.237027E+05
7
0.312777E+00 0.275245E+05
8
0.504340E-01 0.284025E+05
9
0.184898E-02 0.284025E+05
10
0.268919E-05 0.284371E+05
Convergencia local modelo de Hill
Iteración global iteración local norma residuo
residuo
63
0
0.286458E-02 -0.286458E-02 0.859373E-06
63
1
0.436241E-02
0.436241E-02
0.868829E-06
63
2
0.149227E-04
0.149227E-04
0.481769E-09
63
3
0.175683E-09
0.175683E-09
0.566704E-14
63
4
0.222045E-15
0.222045E-15
0.542101E-19
Convergencia global modelo de Hill
Iteración global
iteración
residuo de energía
63
1
0.100000E+01
63
2
0.102240E+01
63
3
0.226815E+00
63
4
0.235448E-02
63
5
0.129978E-05
63
6
0.227049E-13
Tabla 5.10: Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo para el caso de la placa circular delgada
182
CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES
Capítulo 6
Elastoplasticidad anisótropa en
grandes deformaciones. Modelado
computacional
En mecánica estructural se hace uso con frecuencia de la hipótesis de que los desplazamientos y las deformaciones son infinitesimales, es decir, despreciables frente a las dimensiones características del medio
en estudio. En este caso, desde el punto de vista del material, las formulaciones se expresan en términos de deformaciones infinitesimales. En este capítulo, se extiende el estudio al caso en el que no se
cumple tal hipótesis, que es el caso más general. Por supuesto, en el caso de que las deformaciones sean
infinitesimales, la formulación de este capítulo converge al caso infinitesimal, ya que si no, una de las
formulaciones no sería consistente. El estudio en deformaciones finitas o grandes deformaciones resulta
de gran interés en numerosas aplicaciones ingenieriles como, por ejemplo, el estudio de los fenómenos de
fractura, conformado de metales o localización de deformaciones [19]. Además, con la formulación en
deformaciones finitas, se pueden implementar modelos constitutivos más complejos y realistas, que han
sido posibles debido al gran avance de la potencia de cálculo de los ordenadores actuales.
En este Capítulo, se introducen primero los conceptos fundamentales para el desarrollo e implementación de formulaciones de plasticidad en grandes deformaciones, basadas en la descomposición de
Lee, hiperelasticidad, medidas logarítmicas para endurecimiento mixto e integración exponencial, ver
Referencias [122], [48], [36].
Posteriormente, se presenta la extensión del modelo de elastoplasticidad anisótropa del Capítulo 5
a grandes deformaciones. El uso de la descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones logaritmicas o de Hencky y el uso de un algoritmo de integración exponencial, dan lugar a una extensión,
relativamente sencilla (conceptualmente, aunque no tanto matemáticamente), del algoritmo de pequeñas
deformaciones a grandes deformaciones, tanto para materiales isótropos [122], como en este caso para
materiales anisótropos. La extensión a la cinemática en grandes deformaciones, se reduce a la implementación de un preproceso y un postproceso a partir del algoritmo de pequeñas deformaciones [36].
Para información adicional básica con objeto de entender los procedimientos desarrollados en este
capítulo, se pueden consultar las referencias [175], [178], [176], [118], [3]
183
184
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
6.1
Introducción
Hasta los años 70-80, el método mayoritariamente utilizado en la implementación de modelos de plasticidad en grandes deformaciones, fue una extensión "ad-hoc" de la plasticidad de pequeñas deformaciones,
a través de la descomposición aditiva de la parte simétrica del gradiente de velocidades, para la implementación del cálculo de tensiones de la forma
σ̊ = De : de = Dep : d
(6.1)
d = sym (∇v)
(6.2)
con
e
p
d = d +d
Estas formulaciones presentaban diversos problemas. En primer lugar, aparecieron infinidad de derivadas
objetivas con el fin de poder eliminar tensiones espúreas bajo movimientos de sólido rígido, durante
el proceso de integración y con objeto de reproducir adecuadamente las curvas tensión-deformación.
Posteriormente, cuando se consiguió mantener la objetividad ante movimientos de sólido rígido, debido
al uso de algoritmos "incrementalmente objetivos" [179], [180], los investigadores se percataron de que
ante ciclos puramente elásticos, el sólido disipaba energía [181], [155]. A finales de los 80, J.C. Simó
empezó a utilizar la hiperelasticidad y la descomposición de Lee, aunque la hiperelasticidad [117], y la
descomposición de Lee [182] ya se habían usado antes en mecánica computacional, pero por separado.
Usando
t
x=
0
x + t ue + t up
(6.3)
donde t x son las coordenadas actuales, t up son los ’desplazamientos plásticos’ (disipativos e irreversibles),
desde la configuración de referencia a la configuración intermedia y t ue son los desplazamientos desde la
configuración intermedia a la configuración final (espacial) debido a deformaciones elásticas y a movimientos de sólido rígido en el continuo (no disipativos y, en principio, reversibles). En esta configuración
intermedia, únicamente se tienen en cuenta las dislocaciones [36]. Las coordenadas locales incompatibles
de la configuración intermedia se definen como
p(t)
x=
0
x + t up
(6.4)
Por lo tanto, el gradiente de deformación t0 F se puede escribir como
t
0F
µ
¶
∂ t up
∂ t ue ∂ p(t) x ∂ t up
∂ t ue
∂ t up
I
+
+
=
I
+
+
∂ 0x
∂ 0x
∂ 0x
∂ p(t) x ∂ 0 x
∂ p(t) x
¶µ
µ
¶
t e
t p
t e
t p
t e
∂ u
∂ t up
∂ u ∂ u
∂ u
∂ u
I
+
=
I
+
= I + p(t) + 0 + p(t)
∂ x
∂ 0x
∂
x
∂
x ∂ 0x
∂ p(t) x
= I+
=
p(t)
t
p(t) F 0 F
=⇒
t
0F
(6.5)
= t0 Fe t0 Fp
que es la descomposición de Lee. La figura 6.1 representa un esquema de la descomposición de Lee, donde
aparece la configuración intermedia o descargada (libre de tensiones). Una característica especial de la
6.1. INTRODUCCIÓN
185
p
e t
t
t
Descomposición de Lee : 0F = 0F 0F
b0
t
0
F
bt
x2
t
0
F
p
t
0
F
e
x1
x3
configuración intermedia
libre de tensiones “t
Figura 6.1: Descomposición multiplicativa de Lee del gradiente de deformación F en parte elástica Fe y
parte plástica Fp
configuración intermedia es que permanece invariante ante movimientos de sólido rígido, y por lo tanto
puede ser utilizada como configuración de referencia.
Utilizando la descomposición de Lee del gradiente de deformaciones, se puede expresar el gradiente
de velocidades espacial t l como la suma de dos contribuciones: una elástica y una plástica, de la forma
t
l =
=
t −1
t
0 Ḟ 0 F
=
t e t e−1
+ t0 Fe t0 Ḟp 0t Fp−1 t0 Fe−1
0 Ḟ 0 F
t e
l +t0 Fe t0 Lp 0t Fe−1 = t le + t lp
(6.6)
(6.7)
donde t0 Lp es el gradiente modificado de velocidad plástica. La parte plástica t lp también está afectada
p
por la parte elástica del gradiente, pero el tensor t0 L tiene el mismo aspecto que la contribución elástica;
únicamente depende de la parte plástica del gradiente de deformaciones, y, siguiendo con la motivación
de la plasticidad de cristales, se debe usar este tensor para determinar el flujo plástico. La parte simétrica
de t0 Lp es el tensor modificado de velocidad de deformación plástica
Dp =
1 ht p t p−1 ¡t p ¢−T
Ḟ 0 F
+ 0F
2 0
t pT
0 Ḟ
i
(6.8)
y la parte antisimétrica es el tensor modificado de velocidad de rotación plástica
Wp =
1 ht p t p−1 ¡t p ¢−T
Ḟ 0 F
− 0F
2 0
t pT
0 Ḟ
i
(6.9)
Si se ’tira’ el tensor t l hasta la configuración intermedia, que se usa como referencia, se obtiene la expresión
L = FeT Ḟe + FeT Fe Lp = Le +Ce Lp
(6.10)
186
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
donde aparece el tensor derecho elástico de Green-Cauchy Ce , que es la fuente de las mayores complicaciones matemáticas de la plasticidad en grandes deformaciones.
La potencia local de las fuerzas externas en un proceso isotermo (por volumen de referencia) se puede
escribir como
eT
e−−1
P = τ : l = Fe S̄ F : Fe−T L̄ F
= S̄ : L̄
(6.11)
siendo S̄ y L̄ el ’tiro’ del tensor de tensiones de Kirchhoff τ y del tensor de velocidades espacial l a
la configuración intermedia, respectivamente. Sustituyendo la ecuación (6.10) en la ecuación (6.11), nos
queda
¡
¢
¡
¢
¢
e¡
S̄ : L̄ = S̄ : L̄e +Ce L̄p = S̄ : D̄e + W̄e + S̄ : C̄ D̄p + W̄p
(6.12)
e
Como S̄ es un tensor simétrico, el producto S̄ : W̄ = 0, es decir, el giro elástico modificado no produce
trabajo. Por lo tanto, queda
¢
e
e¡
S̄ : L̄ = S̄ : D̄ + S̄ : C̄ D̄p + W̄p
(6.13)
donde Ξ := C̄e S̄ es el tensor de Mandel no-simétrico, que cumple la condición C̄e−1 Ξ = ΞT C̄e−1 . La
disipación mecánica se escribe como
e
Ḋ = τ : l − ψ̇ = S̄ : D̄ + Ξs : D̄p + Ξw : W̄p − ψ̇ ≥ 0
(6.14)
¡
¡
e¢
e¢
donde ψ es la función de energía libre y Ξs = 12 C̄e S̄ + S̄C̄ y Ξw = 12 C̄e S̄ − S̄C̄ son la parte
simétrica y antisimétrica del tensor de Mandel, respectivamente. Esta energía libre es una función de las
medidas de deformación elásticas y de otras variables internas. Se puede expresar la función de energía
¡
¢
libre como ψ Āe , Ei , ξ , donde Āe es una medida pura de las deformaciones elásticas, Ei son variables
internas, correspondientes a la medida de las deformaciones de los desplazamientos internos y ξ es una
variable interna escalar para el cálculo del endurecimiento no retornable. Por lo tanto
¡
¢
∂ψ
∂ψ
∂ψ
ψ̇ Āe , Ei , ξ =
: D̄e +
: Ėi +
: ξ̇
∂Ei
∂ξ
∂ Āe
(6.15)
y la disipación mecánica queda
µ
¶
∂ψ
∂ψ
∂ψ
e
Ḋ = S̄−
: Ėi −
: D̄ −
: ξ̇ + Ξs : D̄p + Ξw : W̄p ≥ 0
i
e
∂E
∂ξ
∂ Ā
(6.16)
Como la igualdad anterior se tiene que cumplir para deformaciones elásticas, se tiene
S̄ =
∂ψ
∂ Āe
(6.17)
∂ψ
∂ψ
(“backstress”) y κ̄ = −
(“overstress”). La desigualdad de disipación plástica
∂Ei
∂ξ
reducida modificada es
(6.18)
Ḋp = β̄ : Ėi + κ̄ : ξ̇ + Ξs : D̄p + Ξw : W̄p ≥ 0
Se define β̄ = −
Se asume la existencia de una función de plastificación (restricción del dominio elástico) de la forma
¡
¢
f Ξ, β̄,κ̄ ≤ 0
(6.19)
6.1. INTRODUCCIÓN
187
El Lagrangiano para este problema se puede escribir como
L := Ḋp − ṫf
(6.20)
¡
¢
donde t es el multiplicador de Lagrange o parámetro de consistencia ṫ ≥ 0 . Aplicando el principio de
máxima disipación, las tensiones y otros parámetros internos son tales que ∇L = 0, es decir
∇L =⇒
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
∂L
∂f
= 0 ⇒ D̄p = ṫ
∂Ξs
∂Ξs
∂f
∂L
= 0 ⇒ W̄p = ṫ
∂Ξw
∂Ξw
⎪
⎪
∂f
∂L
⎪
⎪
= 0 ⇒ Ėi = −ṫ
⎪
⎪
⎪
∂ β̄
∂ β̄
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ ∂L = 0 ⇒ ξ̇ = −ṫ ∂f
∂κ̄
∂κ̄
(6.21)
Estas expresiones dan lugar a las reglas de flujo y endurecimiento asociadas para la formulación general
de elastoplasticidad en grandes deformaciones.
Para el caso de isotropía elástica, los autovectores de los tensores S̄, Āe y C̄e coinciden, las matrices
¡
e¢
conmutan y por lo tanto Ξw = 12 C̄e S̄ − S̄C̄ = 0. Una importante consecuencia es que el giro plástico
no disipa energía en elasticidad isótropa.
Utilizando la descomposición polar del gradiente de deformación Fe = Re Ue , la parte simétrica del
tensor de Mandel se puede escribir como
Ξ = Ξs =
1¡ e
e¢
e
C̄ S̄ + S̄C̄ = Ue S̄U
2
(6.22)
que escrito en función del tensor de tensiones de Kirchhoff τ nos queda
e
Ξ = Ξs = Ue Fe−1 τ Fe−T U = ReT τ Re = τ̄
(6.23)
donde τ̄ es el tensor de tensiones de Kirchhoff rotado a la configuración intermedia. Además, se tiene
que
e
3
X
e
λ̇
e
e−1
e−1
S̄ : D̄ = Ξ : C̄ D̄e = τ̄ : C̄ D̄e =
τ i ie = τ̄ : Ė
(6.24)
λ
i
i=1
y, por lo tanto, la disipación mecánica se puede escribir como
e
Ḋ = τ̄ : Ė + τ̄ : D̄p − ψ̇ ≥ 0
(6.25)
Una de las mayores dificultades encontradas en el desarrollo de algoritmos fue la naturaleza multiplicativa de la elastoplasticidad en grandes deformaciones. Este problema se puede solventar usando funciones
de energía hiperelástica en términos de deformaciones logarítmicas [122], [48]. El uso de estas funciones
son adecuadas para el modelado de procesos de deformación de metales bajo deformaciones elásticas
moderadas [183], [123], [124]. Definiendo λi como los alargamientos elásticos principales, J = det(F),
188
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
como el determinante del gradiente de deformaciones y λ̂i = J −1/3 λi como los alargamientos elásticos
principales isocóricos, se tiene la función de energía almacenada
W (λ1 , λ2 , λ3 ) = U (J) + μ
3 ³
´2
X
ln λ̂i
(6.26)
i=1
donde μ es el módulo a cortante y U (J) es la contribución volumétrica.
Usando la regla de la cadena y la ecuación (6.17) en direcciones principales, se obtiene el tensor de
tensiones
3
3
X
X
∂W ∂ ln λj
∂W δ ij
1 ∂W
¡ 1 2¢ =
S̄i =
= 2
(6.27)
∂
ln
λ
∂
ln
λ
λ
λ
∂ ln λj
∂
λ
λ
j
j
i
j
i
2 i
j=1
j=1
y como
3
X
ln λ̂i
= 0
(6.28)
i=1
∂ λ̂i
∂λj
= J
−1/3
Ã
1 λ̂i
δ ij −
3 λj
!
usando la ecuación (6.26), nos queda
3
3
k=1
k=1
X 0
X ln λ̂k ∂ λ̂k ∂λi
∂J ∂λk
∂W
=
U (J)
+ 2μ
∂ ln λj
∂λk ln λi
λ̂k ∂λi ∂ ln λi
(6.29)
Por lo tanto, el tensor de Mandel Ξ se puede escribir, utilizando esta función de energía, como
e
Ξ ≡ C̄ S̄ = τ̄ =
donde
ed
E
y
0
∂W
= JU (J) I + 2μEed
e
∂E
µ
¶
1
−3 e
= ln J U
Ee = ln Ue =
1
(ln J) I + Eed
3
(6.30)
(6.31)
(6.32)
son la parte desviadora y total del tensor de deformaciones elásticas de Hencky respectivamente. Nótese
que la relación anterior es similar a la de pequeñas deformaciones, salvo que, en este caso, se usan tensiones
de Kirchhoff y deformaciones elásticas de Hencky en la configuración intermedia.
6.2
Plasticidad isótropa en grandes deformaciones: Algoritmo
computacional en términos de deformaciones logarítmicas
El algoritmo presentado en este apartado está basado en los ingredientes comentados en la introducción:
descomposición de Lee, integración exponencial, medidas logarítmicas e hiperelasticidad, ver referencia
[36]. La evolución del gradiente de desplazamientos plástico t0 Ḟp se calcula a partir del tensor modificado
6.2. PLASTICIDAD ISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
189
de velocidad plástica t0 L̄p como
t
p
L̄ = t0 Ḟp
p t p
0F
t p−1
0F
=⇒ t0 Ḟp = t L̄
(6.33)
donde la solución exponencial de Euler regresiva [48] para esta ecuación se calcula como
t+∆t p
0F
¡
= exp ∆t
¡
y la función exponencial de una matriz exp ∆t
¡
exp ∆t
°
Para pasos pequeños, tales que °∆t
y como
t+∆t
L̄p =
t+∆t
t+∆t
¡
exp ∆t
t+∆t
t+∆t
t+∆t
t+∆t
¢t
p
0F
(6.34)
¢
Lp se define como
∞
X
¢
∆t
L̄p :=
n=0
t+∆t
L̄p
t+∆t
¢
L̄p = I + ∆t
¢
¡
L̄p = exp ∆t
t+∆t
t+∆t
¡ ¢
L̄p + ...O h2
¢
¡
D̄p exp ∆t
t+∆t
t+∆t e
0F
=
t p−1
0F
=
t+∆t
0F
¡
exp − ∆t
(6.36)
¢
¡ ¢
W̄p + ...O h2
Definiendo el gradiente de deformación elástica de prueba como Fe∗ :=
actualizaciones
t+∆t p−1
0F
(6.35)
n!
°
Lp ° << 1, se puede aproximar por
D̄p +t+∆t W̄p , se tiene
¡
exp ∆t
L̄p
t+∆t
F
0
t p−1
0F
¢
¡
¢
W̄p exp − ∆t t+∆t D̄p
¡
¢
¡
= Fe∗ exp − ∆t t+∆t W̄p exp − ∆t
(6.37)
, se obtienen las
t+∆t
t+∆t p−1
F
0
(6.38)
t+∆t
p
D̄
¢
(6.39)
En la figura 6.2 se muestran las diferentes configuraciones sobre las que se actúa durante el procedimiento
de cálculo. El gradiente de prueba Fe∗ , conocido a priori, conecta las configuraciones isoclina en el tiempo
t con el sólido en el tiempo t + ∆t, suponiendo que todas las deformaciones de t a t + ∆t son elásticas.
El proceso de integración actualiza la configuración isoclina, y, por lo tanto, los gradientes plástico y el
gradiente de deformaciones elástico de prueba. El incremento del gradiente de deformaciones plástico
tiene dos contribuciones: una es meramente una rotación de la configuración isoclina, mientras que la
otra es el flujo plástico simétrico. En cualquier caso, la configuración sobre la ocurre el flujo plástico
simétrico va cambiando, y sería necesario actualizarla durante el proceso de integración del mismo. Pero
esto no es necesario, como se verá a continuación.
¡
¢
Por otra parte, si se define t+∆t
Rw := exp ∆t t+∆t W̄p , que es un tensor ortogonal que define una
t
e
rotación plástica local incremental y Ce∗ = FeT
∗ F∗ (tensor diestro de Cauchy-Green de prueba), se obtiene
Ce∗ =
Ce∗
=
t+∆t wT
tR
£t+∆t
¡
exp ∆t
t+∆t
D̄p
¢ t+∆t
eT
0F
t+∆t e
0F
¡
exp ∆t
¡
¢
¤£
exp ∆t t+∆t D̄p t+∆tt Rw t+∆tt RwT
h
³
´
i
p
t+∆t w
... t+∆tt RwT exp ∆t t+∆t D̄
R
t
wT
tR
t+∆t
D̄p
t+∆t
e
0C
¢ t+∆t
w
tR
t+∆t w
tR
¤
...
(6.40)
(6.41)
190
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
b0
t
0
x2
t
0
x1
bt+Dt
bt
F
t
0
p
F
F
e
e
F*
t+Dt
0
F
e
exp(Dt t+DtLp)
e
F*
x3
exp(Dt t+DtWp) = t+D0tRw
exp(Dt
t+Dt
p
D)
Figura 6.2: Configuraciones en el proceso de integración
Si definimos los tensores
t+∆t e
0 C̃
:= t+∆tt RwT t+∆t0 Ce
³
´
¡
exp ∆t t+∆t D̃p := t+∆tt RwT exp ∆t
e introducimos el uso de deformaciones logarítmicas
t+∆t e
0 Ẽ
=
t+∆t w
tR
¢
t+∆t p
D̄
(6.42)
t+∆t w
tR
1 ³t+∆t e ´
ln
0 C̃
2
(6.43)
(6.44)
se obtiene
Ẽe∗ '
t+∆t e
0 Ẽ
+ ∆t
t+∆t
D̃p
(6.45)
que es la misma expresión aditiva de pequeñas deformaciones, pero en una configuración rotada y con las
rotaciones plásticas incrementales t+∆t
Rw congeladas. En esta expresión se tiene la restricción kEe∗ k <<
t
1, es decir, las deformaciones elásticas y los pasos incrementales son moderados, como suele suceder
en plasticidad de metales. Nótese, además, que las rotación "elástica" cambia con la rotación plástica
incremental t+∆t
Rw [36] de la forma
t
t+∆t e
0R
t+∆t
e
0W
' Re∗
t+∆t wT
tR
' W∗e −
t+∆t
WP
(6.46)
(6.47)
En la tabla 6.1 se presenta un resumen del algoritmo de integración de tensiones.
6.2.1
Módulo elastoplástico tangente consistente
Durante el procedimiento iterativo, el estado elástico de prueba cambia, como se puede ver en la figura
6.3. Las nuevas coordenadas se actualizan como
t+∆t (i+1)
x
(i+1)
=t+∆t x(i) + ζu(i)
(6.48)
6.2. PLASTICIDAD ISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
191
Algoritmo de integración de tensiones
Dados t β̄,t k y (t0 Fp−1 y
t+∆t
0F
en TL) o
¡t
e
0F
t+∆t
tF
y
t+∆t
0F
1. Obtención del tensor elástico de prueba Fe∗ =
¢
en UL
t p−1
0F
t+∆t
tF
=
t e
0F
e
2. Cálculo del tensor de deformaciones de Green-Cauchy de prueba Ce∗ = FeT
∗ F∗
3. Obtención de λ∗i , N∗i ⊗ N∗i y Ue∗ =
3
P
i=1
λ∗i N∗i ⊗ N∗i y Re∗ = Fe∗ Ue−1
∗
¡
J = det
¡t+∆t ¢
¢
F >0
0
4. Cálculo de la tensión rotada de prueba
3
¡
¢
P
0
ln J −1/3 λ∗i N∗i ⊗ N∗i y B̄∗ = t β̄; k̄∗ = t k̄
τ̄ ∗ = T̄∗ = J U (J) I + 2μ
i=1
⎫
⎧
Llamada a la subrutina de pequeñas deformaciones para integrar las tensiones
⎬
⎨
t+∆t
t+∆t
T̄ (tensor de tensiones),
B̄ (tensor de tensiones de referencia),
5.
⎭
⎩
∆t t+∆t D̃p (incremento de deformación plástica), t+∆t k̄, t+∆t D (tensor constitutivo)
6. Cálculo de la tensión de Cauchy J −1
t+∆t
τ = J −1
t+∆t
Re∗
t+∆t
τ̄
t+∆t
ReT
∗
7. Durante la fase iterativa calcular t+∆t C(i) , ver apartado 6.2.1³
´
p−1
t p−1
t+∆t p
D̃
8. En fase de convergencia actualizar t+∆t
F
=
F
exp
−∆t
0
³ 0
´
t+∆t e
e
t+∆t p
D̃
si se utiliza formulación TL o
si se utiliza formulación UL
0 F = F∗ exp −∆t
Tabla 6.1: Algoritmo de integración de tensiones para las formulaciones TL (Total Lagrangian) y UL
(Updated Lagrangian)
(i+1)
siendo ζ = 1 en la ecuación anterior. Aplicando la regla de la cadena usando las expresiones F(i)
∂
(i+1)
I + ζ∇(i) u(i) y ∇(i) = t+∆t (i) se obtiene
∂
x
(i+1)
t+∆t (i+1)
0F
= F(i)
e(i+1)
F∗
El módulo elastoplástico tangente buscado
(i) t+∆t
J −1 L∆
t+∆t
(i+1)
= F(i)
t+∆t (i)
0F
=
(6.49)
e(i)
(6.50)
F∗
C(i) en formulación Updated Lagrangian es tal que [45]
τ (i) = J −1
t+∆t
C(i) ∇s(i)
t+∆t (i+1)
u
(6.51)
(i)
donde ∇s(i) es el gradiente simétrico y L∆ es la derivada de Lie incremental. Las medidas de deformación
elástica de prueba son
¢
1¡
Fe−1
a∗ =
(6.52)
I − Fe−T
∗
∗
2
donde el ’tiro’ a la configuración intermedia es
(i+1)
Ā∗
=
´
1 ³ e(i)T (i+1)T (i+1) e(i)
F(i)
F(i) F∗ − I
F∗
2
(6.53)
192
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
iteración (i)
Configuración
destensionada en t
Configuración
material
t+Dt
t+Dt
0
t(i)
(i)
F
a*(i)
e(i)
F*
t+Dt
t+Dt
S(i)
(i)
t+Dt
0A
t+Dt
(i+1)
t+Dt
0
(i+1)
S
A
t
0
(i)
S
A*(i)
p
F
t+Dt
S
(i+1)
(i+1)
zu(i+1)
(i) F(i)
A*(i+1)
F*e(i+1)
t+Dt
0
0
t+Dt
x
x
F*(i+1)
t+Dt
t
(i)
(i+1)
a*(i+1)
t+Dt
x
(i+1)
iteración (i+1)
Figura 6.3: Principales configuraciones utilizadas en la linealización del algoritmo en la iteración (i)
y la derivada de Lie del tensor de Almansi de prueba es
(i) (i)
L∆ a∗
=
e(i)−T
F∗
∙
¸
d (i+1)
e(i)−1
Ā∗
|ζ=0 F∗
= ∇s(i)
dζ
t+∆t (i+1)
u
(6.54)
(i)
Además, dada una rotación arbitraria definida por el tensor de Q, se define la derivada de Lie LQ (·)(i)
como
¢(i)
(i)
(i) ¡
(i)
L∆ (·) = QT LQ Q (·) QT
Q
(6.55)
Tomando Q = ReT
∗ , nos queda
¢
e
(i) ¡
LQ t+∆t τ̄ = U̇e∗ Ṡ U∗
¢
(i) ¡
LQ t+∆t ā∗ = Ue−1
Ȧ∗ Ue−1
∗
∗
(6.56)
(6.57)
(i)
donde t+∆t τ = Q t+∆t τ (i) QT y t+∆t ā∗ = Q t+∆t a∗ QT . El tensor t+∆t S es el ’tiro’ del tensor de
tensiones de Kirchhoff espacial a la configuración intermedia. A la vista de los resultados anteriores, el
tensor t+∆t C̄ se calcula como
t+∆t
Ṡ = t+∆t C̄ : t+∆t Ȧ∗
(6.58)
donde el tensor
t+∆t
C se obtiene a partir de la expresión
t+∆t
e.i
e.j
e.k
e.l
C ijkl = F∗.a
F∗.a
F∗.c
F∗.d
t+∆t
C̄ abcd
(6.59)
6.3. PLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
193
El tensor C̄, tras ciertas manipulaciones [36], se expresa como
ij..
C̄ ijkl = (J∗ )..mn
t+∆t
¡ ¢.i
¡t+∆t ¢mnpq
..kl
inkl ¡ ¢.j
njkl
D
(E∗ )pq.. + (U∗ )
Z̄ n. + Z̄ n. (U∗ )
(6.60)
donde t+∆t Z̄ =
τ̄ Ue−1
y t+∆t D coincide con el tensor consitutivo de pequeñas deformaciones. Esta
∗
formulación sirve como base para el desarrollo de modelos de elastoplasticidad anisótropa en grandes
deformaciones.
6.3
Plasticidad anisótropa en grandes deformaciones: Algoritmo
computacional e implementación en DULCINEA
En este apartado se presenta un modelo de plasticidad anisótropa en grandes deformaciones bajo la
hipótesis de isotropía elástica. Este modelo utiliza como base la formulación en grandes deformaciones
desarrollada por Eterovic y Bathe [48], basada en tensiones de Kirchhoff, donde se utiliza la descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones logaritmicas o de Hencky y un algoritmo de integración
exponencial. Como linealización consistente se puede usar el algoritmo de Montáns y Bathe [36]. Este esquema da lugar a una extensión del algoritmo plasticidad anisótropa de pequeñas deformaciones, basado
en la función de fluencia de Hill, a grandes deformaciones, tanto para materiales isótropos [122], como en
este caso para materiales anisótropos. La extensión a la cinemática en grandes deformaciones, se simplifica a la implementación de un preproceso y un postproceso a partir del algoritmo de Hill en pequeñas
deformaciones (ver Capítulo 5). En este caso no se ha considerado el giro plástico.
6.3.1
Preproceso: Cálculo del estado de prueba (‘Trial state’)
Dados los gradientes de deformación plástica y total de la forma t0 Fp−1 y t+4t0 F para formulación TL
(Formulación ’Total Lagragian’) o bien, los gradientes de deformación elástico y total de la forma t0 Fe y
t+4t
t F para formulación UL (Formulación ’Update Lagrangian’), se calcula el tensor elástico de prueba
Fe∗ =
t+4t
0F
t p−1
0F
t+4t
tF
=
t e
0F
(6.61)
Una vez conocido el tensor elástico de prueba, se puede calcular el tensor de deformación elástico de
Green-Cauchy de prueba como
3
X
Ce∗ = Fe∗ T Fe∗ =
λ2∗i N∗i ⊗ N∗i
(6.62)
i=1
o bien, a partir de la descomposición polar del gradiente de deformaciones elásticas de prueba Fe∗ como
Fe∗ = Re∗ Ue∗ =
3
X
i=1
donde Re∗ es el tensor de rotación de prueba y Ue∗ =
elásticos de prueba. De aquí se calcula λ∗i y N∗i ⊗ N∗i
λ∗i N∗i ⊗ N∗i
P3
i=1
(6.63)
λ∗ i N∗i ⊗ N∗i es el tensor de alargamientos
194
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
A continuación se calcula el tensor de tensiones de prueba de Kirchhoff rotado como
0
τ̄ ∗ = T̄∗ = J U (J) I + 2μ
3
X
i=1
³
´
ln J −1/3 λ∗i N∗i ⊗ N∗i
(6.64)
0
donde J U (J) define la parte volumétrica del tensor de tensiones, con U (J) la energía elástica volumétrica
3
¢
¡
P
y 2μ
ln J −1/3 λ∗i N∗i ⊗ N∗i la parte desviadora.
i=1
6.3.2
Llamada al modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones
En esta etapa, se realiza la llamada al algoritmo de integración de tensiones del modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones desarrollado en el Capítulo 5. Como tensores de entrada
a la subrutina, se envían los tensores de prueba de prueba de tensiones T̄∗ y β∗ . A partir de la subrutina en pequeñas deformaciones, se obtienen los tensores actualizados t+4t
T (tensor de tensiones de
0
t+4t
Kirchhoff actualizado), 0
β (tensor de tensiones de referencia actualizado), 4t t+4t Dp (tensor de deformación plástica actualizado) y t+4t D que es el módulo elastoplástico tangente algorítmico en pequeñas
deformaciones.
6.3.3
Postproceso: Cálculo de tensores y actualización de variables
En este modelo no se tiene en cuenta el efecto del giro plástico
t+4t
0τ
=
t+∆t
Rw = I , por lo que se cumple
t+4t
0T
(6.65)
y el tensor de tensiones de Cauchy se calcula como
t+∆t
0σ
= J −1
t+4t
0τ
(6.66)
Durante el procedimiento iterativo hay que calcular el módulo tangente consistente t+4t C(i) , a partir
del módulo tangente consistente de pequeñas deformaciones t+4t D(i) , utilizando la expresión (6.60) del
apartado anterior.
Por último, se procede a la actualización de variables en la fase de convergencia de la forma
6.4
t+∆t p−1
0F
=
t+∆t e
0F
=
¡
¢
exp −∆t t+∆t Dp =⇒ Si utilizamos Formulación TL
¡
¢
Fe∗ exp −∆t t+∆t Dp =⇒ Si utilizamos Formulación UL
t p−1
0F
(6.67)
Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones: Modelado computacional e implementación en DULCINEA
En los siguientes apartados se presenta un modelo teórico de elastoplasticidad anisótropa en grandes
deformaciones en términos del tensor de tensiones de Mandel y un algoritmo de integración de tensiones
totalmente implícito, utilizando los ingredientes comentados en los apartados anteriores.
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
195
Integración de la parte plástica del gradiente de deformaciones
En el presente modelo en grandes deformaciones, se desprecia la contribución del giro plástico o ‘plastic
spin’ al gradiente de velocidades plásticas modificado, de forma que se asume t+∆t Rw = I y por lo tanto
Lp ≈ Dp
(6.68)
Partiendo de la hipótesis dada por la ecuación (6.68), la evolución del gradiente de deformaciones
plástico dado descrita en la ecuación (6.33) se escribe
t p
0 Ḟ
=t Dp
t p
0F
⇒
t p
0F
¡
= exp ∆t
t+∆t
Dp
¢
t p
0F
(6.69)
La actualización de los gradientes elástico y plástico para un paso de carga t + ∆t se calcula ahora como
t+∆t e
0F
t+∆t p−1
0F
¡
¢
= Fe∗ exp −∆t t+∆t Dp
¡
¢
t p−1
=
exp −∆t t+∆t Dp
0F
(6.70)
Por otra parte, haciendo uso de la integración exponencial y la definición de los tensores de deformación
logarítmicos dados por la ecuación (6.44), la ecuación (6.41) se escribe como
t+∆t e
E
0
' Ee∗ − ∆t
t+∆t
Dp , siendo Ee∗ conocido
(6.71)
que es la correspondencia anisótropa en grandes deformaciones de la conocida ecuación aditiva en pequeñas deformaciones isótropas ε̇e = ε̇ − ε̇p .
6.4.1
Energía elástica almacenada: hiperelasticidad ortótropa basada en medidas de deformación logarítmicas
En el apartado anterior se ha visto que la actualización de las deformaciones elásticas está expresada en
deformaciones logarítmicas. Por lo tanto, se puede buscar una expresión para la energía almacenada en
función de deformaciones logarítmicas.
La función de energía elástica se motiva a partir de la función de energía elástica en deformaciones
logarítmicas para materiales isótropos, los cuales representan adecuadamente el comportamiento real del
material, sobre todo para deformaciones elásticas moderadas que son las que se presentan en metales
bajo comportamiento elastoplástico.
Como se ha comentado en los apartados anteriores, en el caso de isotropía elástica, el tensor diestro
de Green-Cauchy Ce y el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S conmutan, ya que tienen el
mismo espacio de autovectores. En el caso de isotropía, la parte antisimétrica de este tensor es nula.
Entonces, se cumple que
1
Ξe = Ξ = (Ce S+ S Ce ) = Ue SUe
(6.72)
2
que en términos del tensor de tensiones espacial de Kirchhoff τ , usando el empuje para tensores con-
196
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
travariantes, puede expresarse de la forma
Ξe = Ue (Fe )
−1
−T
τ (Fe )
T
Ue = (Re ) τ Re = τ̄
(6.73)
donde τ̄ es el tensor de tensiones rotado de Kirchhoff. Si se trabaja bajo la hipótesis de isotropía elástica,
la energía almacenada puede expresarse como
W = U (J) + μ Eed : Eed = U (J) + μ Ee : P : Ee
(6.74)
donde Ee := ln (Ue ) son las deformaciones logarítmicas, Eed := P : Ee , son las deformaciones logarítmicas desviadoras, P = I − 13 I ⊗ I es el proyector desviador y los tensores I e I son, respectivamente,
los tensores identidad de cuarto y segundo orden. Los dos términos de la ecuación anterior representan
las energías volumétricas y desviadora respectivamente. El tensor de tensiones rotado de Kirchhoff se
obtiene como
0
∂W
Ξ = Ξe = τ̄ = e = JU (J) + 2μ P : Ee
(6.75)
∂E
En este trabajo se van a considerar una anisotropía elástica moderada que se expresa en términos de
deformaciones logarítmicas. Además, en el caso anisótropo, los tensores Ce y S no conmutan, por lo que
las tensiones que se obtienen no son las de Kirchhoff. No obstante, la forma de la función de energía
almacenada puede ser extendida a una expresión anisótropa de la forma
t
W= U
¡t ¢
J + μ t Ee : t Ad : t Ee
(6.76)
donde t Ad es el tensor de ortotropía estructural, el cual tiene el mismo espacio característico que P
y es, en general, cercano a P. En este caso, la parte volumétrica de la función de energía elástica
se ha considerado isótropa, reduciendo el número de constantes independientes a siete. No obstante,
un tensor anisótropo general puede ser empleado para producir una expresión de energía en términos
de deformaciones logarítmicas. Si consideramos a t A un tensor de esta forma, con nueve constantes
independientes, la función de energía almacenada es
t
W=
1 t e
E : t Ae : t Ee
2
(6.77)
donde t A−1 expresado en el sistema de representación dado por las direcciones preferentes (t ei , i = 1, 2, 3)
y utilizando la notación de Voigt queda de la forma
⎡
t
A−1
1/Ea
⎢
⎢−ν ab /Ea
⎢
⎢−ν /E
⎢ ac a
=⎢
⎢
0
⎢
⎢
0
⎣
0
−ν ba /Eb
1/Eb
−ν bc /Eb
0
0
0
−ν ca /Ec
−ν cb /Ec
1/Ec
0
0
0
0
0
0
1/Gab
0
0
0
0
0
0
1/Gbc
0
⎤
0
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎦
1/Gca
(6.78)
donde Ea , Eb , Ec son los módulos de Young en las direcciones principales, ν ba , ν ca , ν cb , ν ab , ν ac , ν bc
son los coeficientes de Poisson y Gab , Gbc , Gca son los módulos de rigidez a cortante, sujetas a ciertas
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
197
condiciones.
Al tensor de tensiones T definido como
T=
∂W
= Ae : Ee
∂Ee
(6.79)
le denominamos tensor de tensiones logarítmico simétrico o tensor de Kirchhoff generalizado (por la
similitud con τ y la coincidencia con éste en el caso isótropo).
6.4.2
Tensores de transformación del espacio de deformaciones cuadrático al
logarítmico
En plasticidad en grandes deformaciones, las medidas de deformación logarítmicas proporcionan frecuentemente descripciones sencillas y ajustadas a las obtenidas experimentalmente. Por supuesto, estas
deformaciones se pueden usar en cualquier configuración. Para ello únicamente es necesario usar el tensor de deformaciones adecuado. Existen las siguientes relaciones entre los tensores de deformaciones
logarítmicas:
T
Ee = (Re ) ee Re donde Ee = ln (Ue ) y ee = ln (Ve )
(6.80)
Por lo tanto, las operaciones de empuje y tiro se realizan únicamente con la parte de rotaciones de la
descomposición polar del gradiente de deformaciones. Puesto que los tensores de deformación logarítmicos
Ee y ee , y los tensores de Green Ae y Almansi ae son únicos para un estado de deformación determinado,
existe una transformación biyectiva entre ellos. Por ejemplo
e
Ee = ME
A :A
(6.81)
donde, si las formas espectrales de los tensores de deformación son
Ee =
3
X
i=1
ln λei Ni ⊗ Ni ,
Ae =
3
X
1h
i=1
2
i
2
(λei ) − 1 Ni ⊗ Ni
(6.82)
el tensor ME
A queda de la forma
ME
A =
3
X
2 ln λei
Ni ⊗ Ni ⊗ Ni ⊗ Ni
(6.83)
3
X
(λe )2 − 1
Ni ⊗ Ni ⊗ Ni ⊗ Ni
(6.84)
2
i=1
(λei ) − 1
o vice-versa, el tensor MA
E es
MA
E =
i
i=1
2 ln λei
e
de forma que Ae = MA
E : E . De forma similar, hay una correspondencia biunívoca entre los tensores
de velocidades de deformación correspondientes. Derivando el gradiente de deformaciones elástico Fe y
aplicando la descomposición espectral, nos queda
Ḟe = Ṙe Ue + Re U̇e
(6.85)
198
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
La parte simétrica del tensor de la ecuación (6.85), se puede escribir como
De
1
1
1
1
UReT Ṙe Ue + Ue U̇e + U̇e Ue + Ue ṘeT Re Ue
2
2
2
2
´
1³ e e
U U̇ + U̇e Ue
2
=
=
(6.86)
donde se ha usado la relación ReT Ṙe = −ṘeT Re . Utilizando la descomposición espectral del tensor de
alargamientos Ue y su derivada
3
X
Ue =
λei Ni ⊗ Ni
(6.87)
i=1
U̇e =
3
X
i=1
donde Ω =
P3
i=1
P3
j=1
e
λ̇i Ni ⊗ Ni +
Ωij Ni ⊗ Nj =
Ȧe = De =
3
X
i=1
P3
i=1
3 X
X
¡ e
¢
λj − λei Ωij Ni ⊗ Nj
(6.88)
i=1 j6=i
Ṅi ⊗ Ni . Por la tanto, se tiene
e
λei λ̇i Ni ⊗ Ni +
3 X
X
¤
1£ e2
λj − λei 2 Ωij Ni ⊗ Nj
2
i=1
(6.89)
j6=i
y de la ecuación (6.82), se obtiene la derivada
Ėe =
3
3 X
X
X
£
¤
1 e
N
⊗
N
+
ln λej − ln λei Ωij Ni ⊗ Nj
λ̇
i
i
e i
λ
i=1 i
i=1
(6.90)
j6=i
Con los resultados anteriores, se obtiene el tensor de cuarto orden MĖ
D de la forma
MĖ
D =
3
3 X
X
X
ln λej − ln λei
∂Ee
1
=
M
⊗
M
+
2
Mi ¯s Mj
¡
¢
i
i
e 2
e 2
e 2
∂Ae
(λ
)
−
(λ
)
λ
i
i=1
i=1
j6=i
y
MD
Ė
j
(6.91)
i
3
3 X ¡ e ¢2
X
λj − (λei )2
∂Ae X e 2
s
=
=
(λ
)
M
⊗
M
+
2
i
i
e
e Mi ¯ Mj
i
∂Ee
ln
λ
−
ln
λ
j
i
i=1
i=1
(6.92)
j6=i
donde
Mi
=
Mi ¯ Mj
=
s
Ni ⊗ Ni
1
(Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) ⊗ (Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) ≡ Mj ¯s Mi
4
(6.93)
Estos tensores tienen simetrías mayores y menores y representan transformaciones que relacionan los
tensores de velocidad de deformación como
e
e
D
e
Ėe = MĖ
D : D y D = MĖ : Ė
(6.94)
respectivamente.
Por otra parte, se tiene que la descomposición espectral del tensor diestro de Green-Cauchy se escribe
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
como
Ce =
3
X
λei
i=1
y con
MĖ
D
=
3
X
i=1
+
1
(λei )
se obtiene
=
Ni ⊗ Ni
(6.95)
⊗ Mi +
(6.96)
3 X
X
i=1
Ce ·3 MĖ
D
2 Mi
2
199
3
X
i=1
ln λej − ln λei 1
2 ¡ e ¢2
(Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) ⊗ (Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni )
λj − (λei )2 4
j6=i
Mi ⊗ Mi +
3 X
e
e
X
1 ln λj − ln λi
(λei 2 Ni ⊗ Nj ⊗ Ni ⊗ Nj +
¡ e ¢2
e 2
2
−
(λ
)
λ
i=1
j
j6=i
(6.97)
i
+λei 2 Nj ⊗ Ni ⊗ Ni ⊗ Nj + λej 2 Ni ⊗ Nj ⊗ Nj ⊗ Ni + λej 2 Nj ⊗ Ni ⊗ Nj ⊗ Ni )
y
Ce ·4 MĖ
D
=
3
X
i=1
Mi ⊗ Mi +
+ λej
2
3 X
e
e
X
1 ln λj − ln λi
( λej
¡ e ¢2
e 2
2
−
(λ
)
λ
i=1
j
i
j6=i
Nj ⊗ Ni ⊗ Ni ⊗ Nj + λei
2
2
Ni ⊗ Nj ⊗ Ni ⊗ Nj +
Ni ⊗ Nj ⊗ Nj ⊗ Ni + λei
2
(6.98)
Nj ⊗ Ni ⊗ Nj ⊗ Ni )
donde la operación A ·n A implica la contracción del índice n del tensor de cuarto orden A con el segundo
índice del tensor de segundo orden A. Finalmente, se definen los tensores de transofrmación de cuarto
orden
SM
=
WM
=
´
1 ³ e 3 Ė
C · MD + Ce ·4 MĖ
D
2
´
1 ³ e 3 Ė
C · MD − Ce ·4 MĖ
D
2
(6.99)
(6.100)
Por ello, se puede demostrar que si definimos
K := S : MD
de forma que S = K :MĖ
D
Ė
(6.101)
donde S es el segundo tensor de Piola Kirchhoff, se obtiene la transformación del tensor de tensiones de
Mandel como
³
´
³
´
M
M
Ξ := Ce S = Ce K :MĖ
(6.102)
D = K : S +W
donde la parte antisimétrica del tensor K se escribe de la forma
Kw := K :WM = Ee K − KEe = Ξw
(6.103)
200
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
que es la parte antisimétrica del tensor del Mandel, y
Ξs = K :SM
(6.104)
que corresponde con la parte simétrica de dicho tensor.
Se puede demostrar que el tensor K es realmente el tensor de tensiones de Kirchhoff generalizado
T [43], que se puede obtener a partir de la desigualdad de disipación obtenida de la segunda ley de la
termodinámica, y, por lo tanto, la transformación de T a la parte simétrica del tensor de tensiones de
Mandel Ξs está proporcionada por la ecuación (6.104).
La demostración de la ecuación (6.103) es la siguiente: dada la descomposición espectral del tensor
de tensiones de Kirchhoff T
3
3 X
X
T=
Tij Ni ⊗ Nj
(6.105)
i=1 j=1
y desarrollando la parte izquierda de la igualdad de la ecuación (6.103), se tiene
Tw
= T :WM =
⎛
⎞ ⎛
⎞
3 X
3 X
3
X
X
¡
¢
1
= ⎝
Tij Ni ⊗ Nj ⎠ : ⎝
ln λei − ln λej
(Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) ⊗ (Ni ⊗ Nj − Nj ⊗ Ni )⎠
4
i=1 j=1
i=1
j6=i
=
3 X
3 X
3 X
X
k=1 l=1 i=1 j6=1
¡
¢1
ln λei − ln λej Tkl (δ ki δ lj + δ kj δ li ) (Ni ⊗ Nj − Nj ⊗ Ni )
4
y simplificando la expresión anterior nos queda
3
Tw
=
¢
1 XX¡
ln λei − ln λej (Tij + Tji ) (Ni ⊗ Nj − Nj ⊗ Ni )
4 i=1
j6=1
=
3
3
¢
¢
1 XX¡
1 XX¡
ln λei − ln λej Tij Ni ⊗ Nj −
ln λei − ln λej Tij Nj ⊗ Ni +
4 i=1
4 i=1
j6=1
j6=1
3
3
¢
¢
1 XX¡
1 XX¡
ln λei − ln λej Tji Ni ⊗ Nj −
ln λei − ln λej Tji Nj ⊗ Ni
+
4 i=1
4 i=1
j6=1
j6=1
Utilizando la simetría de T (Tij = Tji ) y agrupando términos, nos queda
Tw = T :WM =
3 X
X
i=1 j6=1
ln λei Tij Ni ⊗ Nj −
3 X
X
i=1 j6=1
ln λej Tij Ni ⊗ Nj
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
201
Desarrollando la parte derecha de la Ecuación 6.103, se tiene
e
e
E T − TE
=
3
X
ln λei
i=1
=
(Ni ⊗ Ni )
3 X
3
3 X
X
i=1 k=1 j=1
=
3
3 X
X
i=1 j=1
3 X
3
X
k=1 j=1
Tkj (Nk ⊗ Nj ) −
ln λei Tkj δ ik (Ni ⊗ Nj ) −
ln λei Tij (Ni ⊗ Nj ) −
i=1 k=1
3 X
3
3 X
X
3
3 X
X
i=1 j=1
3
3 X
X
i=1 k=1 j=1
Tik (Ni ⊗ Nk )
3
X
j=1
ln λej (Nj ⊗ Nj )
ln λej Tik δ kj (Ni ⊗ Nj )
ln λej Tij (Ni ⊗ Nj )
Si i = j, ambos términos se cancelan. Por lo tanto queda probada la ecuación (6.103).
Por otra parte, la ecuación (6.104) se puede simplificar de la forma
Ξs = T : SM ≈ T : I = T
(6.106)
para deformaciones elásticas moderadas y para una anisotropía elástica moderada. Este resultado es
de gran importancia, ya que simplifica en gran medida la implementación del algoritmo de integración
de tensiones en grandes deformaciones. La demostración de la aproximación SM ≈ I se presenta a
continuación:
Dado el tensor de cuarto orden SM , definido como
´
1 ³ e 3 Ė
C · MD + Ce ·4 MĖ
D
2
3
3 X e 2
X
X
λj + λei
(Mi ⊗ Mi ) +
=
λe 2 − λei
i=1
i=1 j6=i j
SM :=
se define
gij = gji :=
λej 2 + λei
λej 2
−
2
λei 2
2
2
¡
¢
ln λej − ln λei Mi ¯s Mj
¡
¢
ln λej − ln λei
(6.107)
siendo λk los alargamientos unitarios definidos según la ecuación (??), de la forma
λei
= 1 + εei
λej
= 1 + εej
Usando la definición anterior y el desarrollo de Taylor de la función logaritmo para el caso de alargamientos
unitarios, nos queda
¡
¢
1
ln λek = εek − εek 2 + O εek 3
2
Sustituyendo los resultados anteriores en la expresión (6.107), se tiene
¢2
¡
¶ µ
¶¸
2 ∙µ
¡
¢2
1 + εej + (1 + εei )
1 e2
1 e2
e
e
εj − εj
− εi − εi
= 1 + O εei − εej
gij = ¡
¢2
2
e
e
2
2
1 + εj − (1 + εi )
(6.108)
Por lo tanto, queda probado que se cumple la hipótesis de SM ≈ I, para deformaciones elásticas moder-
202
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
adas. En caso contrario, habría que implementar el cálculo SM y ṠM , ver Apéndice 9.4.
6.4.3
Algoritmo implícito de integración de tensiones
En este apartado se presenta un algoritmo totalmente implícito de integración de tensiones del modelo
de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones como se ha comentado anteriormente. Las
diferencias fundamentales de este algoritmo con otros trabajos en plasticidad anisótropa [128], [130],
[131], [32], [33] es el uso en la formulación de la descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones
logarítmicas y funciones de hiperelasticidad anisótropa. En el algoritmo presentado, la extensión a la
cinemática en grandes deformaciones se reduce simplemente a un preproceso y un postproceso a partir
del algoritmo en pequeñas deformaciones presentado en el Capítulo 5.
Incialmente se estiman los parámetros del material, que son los mismos que para el caso en pequeñas deformaciones. Por una parte, hay que obtener los nueve parámetros elásticos independientes
(E1 , E2 , E3 , ν 12 , ν 13 , ν 23 , G12 , G23 , G23 ), que definen el estado de anisotropía elástica, sujetos a las restricciones comentadas en apartados anteriores La principal ventaja de la utilización de estos parámetros
elásticos es la facilidad para obterlos de forma experimental. Por otra parte, hay que definir los parámetros plásticos del material que determinan la función de fluencia anisótropa. En este caso, se utilizan
los parámetros de Hill (F, G, H, L, M, N ), que conservan las ventajas de la obtención de los parámetros
elásticos. A continuación se presentan el preproceso y el postproceso, a partir del algoritmo en pequeñas
deformaciones, que configuran el modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones desarrollado en este Capítulo.
Preproceso: Cálculo del estado de prueba (‘Trial state’)
El cálculo del estado de prueba es similar al presentado en los apartados anteriores. Se parte de los
gradientes de deformación plástica y total de la forma t0 Fp−1 y 0t+4t F para formulación TL (Formulación
’Total Lagragian’) o bien, los gradientes de deformación elástico y total de la forma t0 Fe y t+4t
F para
t
formulación UL (Formulación ’Update Lagrangian’), se puede construir el tensor elástico de prueba Fe∗
definido en la ecuación (6.61). Una vez conocido el tensor elástico de prueba, se puede calcular el tensor
de deformación elástico de Green-Cauchy de prueba Ce∗ , definido en la ecuación (6.62) o bien, a partir
de la descomposición polar del gradiente de deformaciones elásticas de prueba Fe∗ .
El siguiente paso es calcular el tensor de deformaciones logarítmicas o de Hencky Ee∗ . Para ello, se
implementa inicialmente la descomposición espectral del tensor de Green-Cauchy de prueba definido en
la ecuación (6.62) y aplicando la definición del tensor Ee∗ , se tiene
3
Ee∗ =
X
1
ln λei∗ N∗i ⊗ N∗i
ln Ce∗ =
2
i=1
(6.109)
o bien a partir de la descomposición espectral del tensor de alargamientos de prueba definida en la
ecuación (6.63), dando lugar a
3
X
e
e
E∗ = ln U∗ =
ln λei∗ N∗i ⊗ N∗i
(6.110)
i=1
Una vez conocido el tensor de deformaciones logarítmicas de prueba Ee∗ , se puede calcular el tensor de
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
203
tensiones de Kirchhoff generalizado de prueba a partir de la ecuación (6.79), como
Te∗ =
∂W
= Ae : Ee∗
∂Ee∗
(6.111)
donde t W es la función de energía almacenada hiperelástica anisótropa, definida en la ecuación (6.77) y
Ae es el tensor de cuarto orden de constantes elásticas anisótropas, definido en la ecuación (6.78).
Llamada al modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones
En esta etapa, se realiza la llamada al algoritmo de integración de tensiones del modelo de elastoplasticidad
anisótropa en pequeñas deformaciones desarrollado en el Capítulo 5. Como tensores de entrada a la
subrutina, se tienen los tensores de prueba Ee∗ y Te∗ . A partir de la subrutina en pequeñas deformaciones,
se obtienen los tensores actualizados 0t+4t T (tensor de tensiones de Kirchhoff actualizado), t+4t
β (tensor
0
t+4t p
de tensiones de referencia actualizado), 4t
D (tensor de deformación plástica actualizado) y t+4t D
que es el módulo elastoplástico tangente algorítmico en pequeñas deformaciones. Con estos tensores en
el paso de tiempo t + 4t, se realiza la actualización del tensor de deformaciones elásticas logarítmico a
partir de la siguiente ecuación
t+∆t e
e
t+∆t p
D
(6.112)
0 E = E∗ − ∆t
Esta actualización de deformaciones elásticas es equivalente a la actualización que se obtiene en el algoritmo en pequeñas deformaciones gracias al uso de las deformaciones logarítmicas, ver ecuación (6.71)
y de la integración exponencial. Por otra parte, la actualización del tensor de tensiones de Kirchhoff se
calcula como
t+4t
t+∆t e
e
(6.113)
0T = A :
0E
ya que la tensor de tensiones de Kirchhoff deriva de la función de energía hiperelástica anisótropa t+4t W
definida en el ecuación (6.77).
Postproceso: Cálculo de tensores y actualización de variables
En esta fase, se definen el resto de tensores de tensión necesarios para la implementación del algoritmo
en grandes deformaciones. Estos tensores son el tensor de tensiones de Mandel Ξ y el segundo tensor de
Piola-Kirchhoff S. El tensor de Mandel se puede descomponer en parte simétrica y antisimétrica de la
forma
t+4t
t+4t s
t+4t w
(6.114)
0Ξ=
0Ξ +
0Ξ
donde el tensor antisimétrico de Mandel se calcula, según la ecuación (6.103) como
t+∆t w
0Ξ
=
t+∆t e
0 E∗
t+∆t
0T
−
t+∆t
0T
t+∆t e
0 E∗
(6.115)
y la parte simétrica del tensor de Mandel coincide con el tensor de tensiones de Kirchhoff generalizado,
según la ecuación (6.106), para el caso de deformaciones elásticas moderadas y anisotropía elástica moderada, de la forma
t+∆t s
t+∆t
(6.116)
0Ξ =
0T
204
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
Por lo tanto, la ecuación (6.114) se escribe como
t+4t
0Ξ
=
t+4t s
0Ξ
+
t+4t w
0Ξ
=
t+∆t
0T
+
t+∆t e
0 E∗
t+∆t
0 T
−
t+∆t
0T
t+∆t e
0 E∗
(6.117)
A continuación, se calcula el segundo tensor de Piola-Kirchhoff t+4t S a partir de la definición del tensor
de Mandel
t+4t
t+4t
S = t+4t Ce−1
Ξ
(6.118)
∗
En concreto, para garantizar la simetría del tensor de tensiones (recuérdese que hay implícitamente una
aproximación) y la posterior derivación del módulo elastoplástico tangente, se define la parte simétrica
del tensor de tensiones t+4t S como
t+4t
S = sym
¡t+4t ¢ 1 ht+4t e−1
S =
C∗
2
t+4t
Ξ+
t+4t
ΞT
t+4t
Ce−1
∗
i
(6.119)
Por último, se procede a la actualización de variables en la fase de convergencia de la forma, ver ecuación
(6.67). En la tabla 6.2 se resume los pasos más importantes del algoritmo de integración de tensiones
Algoritmo de integración de tensiones
³
´ ³
Dados t β , t k y t0 Fp−1 y t+4t
F en TL ó t0 Fe y
0
t+4t
t F en
t p−1
=
0F
´
UL
t+4t
t e
1. Obtener el tensor elástico de prueba Fe∗ = t+4t0 F
tF 0F
2. Calcular el tensor de deformación elástico de Green-Cauchy de prueba
P3
e 2
e
∗
∗
Ce∗ = FeT
∗ F∗ =
i=1 (λi∗ ) Ni ⊗ Ni
3. Calcular el tensor de deformaciones logarítmico
P
Ee∗ = 12 ln Ce∗ = 3i=1 ln λei∗ N∗i ⊗ N∗i
4. Calcular el tensor de tensiones de Kirchhoff de prueba
∂W
= Ae : Ee∗ y β∗ = t β ; k∗ = t k
Te∗ =
e
∂E
∗
⎫
⎧
Llamada a la subrutina de elastoplasticidad de Hill en pequeñas deformaciones:
⎬
⎨
5. t+4t T (tensión), t+4t β (tensión de referencia), ∆t t+∆t Dp (incr. defor. plástica), t+4t k
⎭
⎩
t+4t ep
D (módulo elastoplástico tangente en pequeñas deformaciones)
t+∆t e
e
t+∆t p
6. Actualización de los tensor
D
0 E = E∗ − ∆t
t+4t
t+4t s
t+4t w
7. Calcular el tensor de Mandel
0Ξ =
0Ξ +
0 Ξ , donde
¾
½
t+4t s
t+4t
Ξ
=
T
es
la
parte
simétrica
de t+4t0 Ξ
0
0
t+4t w
t+4t
t+∆t e t+∆t
t+∆t
t+∆t e
0Ξ =
0Ξ
0 E∗
0T
0 E∗ es la parte antisimétrica de
0 T −
8. Calcular la parte simétrica del segundoh tensor de tensiones de Piola-Kirchhoffi
¡
¢
t+4t
t+4t
S =sym t+4t S = 12 t+4t Ce−1
Ξ + t+4t ΞT t+4t Ce−1
∗
∗
9. Durante el procedimiento iterativo,
calcular el módulo tangente consistente t+4t C(i) (ver Tabla 6.3)
10. En fase de convergencia,
¡
¢
¾
½t+∆tactualizar
Fp−1 = t0 Fp−1 exp
−∆t t+∆t¢Dp en TL
0
¡
t+∆t e
F = Fe∗ exp −∆t t+∆t Dp en UL
0
Tabla 6.2: Modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Esquema del algoritmo de
integración de tensiones
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
6.4.4
205
Módulo elastoplástico tangente consistente
El objetivo de este apartado es el cálculo del módulo tangente consistente analítico definido como
t+4t
Cep =
∂ t+4t S
∂Ae∗
(6.120)
donde S es el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff y Ae∗ el tensor de deformaciones de GreenLagrange elástico de prueba. Aunque es posible la evaluación numérica del módulo tangente algorítmico
a través de un proceso de perturbaciones numéricas en el algoritmo de integración de tensiones, como
muestran las Referencias [155], [184], la implementación del módulo tangente consistente analítico es
importante ya que resulta un procedimiento computacional más eficiente, debido a que se reduce el
tiempo de cálculo, y más robusto debido a que no depende de tolerancias numéricas.
A continuación se realiza la formulación continua del módulo tangente consitente a partir de la ecuación
(6.120). Dada la parte simétrica del segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff de la forma
S=
i
1 h e−1
C∗ Ξ + ΞT Ce−1
∗
2
(6.121)
y tomando derivadas a ambos lados de la igualdad de la ecuación anterior, queda
Ṡ =
i
T
e−1
1 h e−1
e−1
T
Ξ̇
+
Ξ̇
Ċ
C
+
Ξ
Ċ∗ Ξ + Ce−1
∗
∗
∗
2
(6.122)
Aplicando la regla de la cadena en la expresión anterior para incluir el tensor Ae∗ , se tiene
!
¶ Ã T
µ
¶#
∂Ξ
∂Ξ
∂Ce−1
e−1
T
∗
e
e
e
: Ȧ∗ +
: Ȧ∗ C∗ + Ξ
: Ȧ∗
Ξ+
∂Ae∗
∂Ae∗
∂Ae∗
(6.123)
Por otra parte, se definen los tensores de cuarto orden auxiliares Z∗ y X de la forma
1
Ṡ =
2
"µ
∂Ce−1
∗
: Ȧe∗
∂Ae∗
¶
Ce−1
∗
µ
Z∗ :=
X :=
∂Ce−1
∗
∂Ae∗
(6.124)
∂Ξ
∂Ae∗
(6.125)
Aplicando las definiciones anteriores en la ecuación (6.123),
Ṡ =
i
1h
· X + X ·1 Ce∗ + ΞT · Z∗ : Ȧe∗
Z∗ ·2 Ξ + Ce−1
∗
2
(6.126)
Por lo tanto, el módulo elastoplástico tangente consistente buscado Cep se calcula como
t+4t
Cep =
i
∂ t+4t S
1h
T
2
e−1
1 e
=
·
Ξ
+
C
·
X
+
X
·
C
+
Ξ
·
Z
Z
∗
∗
∗
∗
∂Ae∗
2
(6.127)
donde hay que determinar los tensores de cuarto orden Z∗ y X respectivamente.
∂Ce−1
∗
Con objeto de calcular la derivada Z∗ =
, se va a utilizar la descomposición espectral y la
∂Ae∗
derivación de los tensores Ce−1
y Ae∗ respectivamente. Las descomposiciones espectrales de la inversa del
∗
206
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
tensor diestro de Green-Cauchy Ce−1
y del tensor de deformaciones logarítmicas elásticas Ae∗ se calculan
∗
como
Ce−1
∗
=
Ae∗
=
3
X
1
N∗i ⊗ N∗i
e 2
(λ
)
i∗
i=1
3
i
h
X
1
(λe∗i )2 − 1 N∗i
2
i=1
(6.128)
⊗ N∗i
Derivando los tensores anteriores en su forma espectral, se obtiene
Ċe−1
∗
=
Ȧe∗
=
3
X
i=1
3
X
i=1
−
2
(λei∗ )
e
3 λ̇i∗
N∗i
⊗
N∗i
e
+
3 X
X
i=1 j6=i
λei∗ λ̇i∗ N∗i ⊗ N∗i +
Ã
1
1
¡ e ¢2 − e 2
(λi∗ )
λj∗
!
Ωij N∗i ⊗ N∗j
(6.129)
3 X³
´
X
¡ e ¢2
λj∗ − (λei∗ )2 Ωij N∗i ⊗ N∗j
i=1 j6=i
Por último, comparando
∂Ce−1
∗
=
∂Ae∗
3
X
i=1
−
2
∗
2 Mi
(λei∗ )
⊗ M∗i +
1
1
¡ e ¢2 + e 2
(λi∗ )
λj∗
2 ¡ e ¢2
M∗i ¯s M∗j
e 2
λj∗ − (λi∗ )
j6=i
3 X
X
i=1
(6.130)
donde los productos M∗i ⊗ M∗i y M∗i ¯s M∗j están definidos en la ecuación (6.93).
∂Ee∗
La derivada
, se calcula siguiendo el mismo procedimiento. Primeramente se definen las descom∂Ae∗
posiciones espectrales de los tensores de segundo orden Ee∗ y Ae∗ respectivamente, de la forma
Ae∗
=
Ee∗
=
3
X
1h
i=1
3
X
i=1
2
i
(λei∗ )2 − 1 N∗i ⊗ N∗i
(6.131)
ln λei∗ N∗i ⊗ N∗i
Calculando las derivadas de los tensores anteriores y comparando, queda
Ee∗ =
3
3 X
X
X
1
∂Ee∗
∗
∗
=
M
⊗
M
+
i
i
e 2
∂Ae∗
i=1 (λi∗ )
i=1
j6=i
El tensor de cuarto orden X =
X =
=
n
∂Ξ
se calcula como
∂Ae∗
ln λe − ln λei∗
h¡ j∗¢
i M∗i ¯s M∗j
e 2
e 2
1
λj∗ − (λi∗ )
2
∂Ξs
∂Ξw
∂T
∂ (Ee∗ T − TEe∗ )
+
=
+
=
∂Ae∗
∂Ae∗
∂Ae∗
∂Ae∗
∂T
∂Ee∗ 2
∂T
∂Ee∗
∂T 2 e
+
· T + Ee∗ ·
− T·
−
· E∗
e
e
e
∂A∗
∂A∗
∂A∗
∂Ae∗
∂Ae∗
(6.132)
(6.133)
donde la operación A · A implica la contracción del índice n del tensor de cuarto orden A con el primer
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
207
Módulo Elastoplástico Tangente Consistente
∂S
Objetivo: Calcular Cep =
∂Ae∗
P3
e
Dado el tensor U∗ = i=1 λei∗ N∗i ⊗ N∗i ⇒ λei∗ , N∗i ⊗ N∗i
1
1
¡ e ¢2 + e 2
(λ
λj∗
P
P3
P
2
i∗ )
1. Calcular el tensor Z∗ =
M∗i ⊗ M∗i + 3i=1 j6=i 2 ¡ e ¢2
M∗i ¯s M∗j
i=1 −
e 2
2
(λi∗ )
λj∗ − (λei∗ )
ln λej∗ − ln λei∗
P3
P3 P
∂Ee∗
1
∗
∗
2. Calcular el tensor Ee∗ =
=
M
⊗
M
+
i M∗i ¯s M∗j
i
i
i=1
i=1
j6=i 1 h¡
¢
∂Ae∗
e 2
e 2
(λei∗ )2
λj∗ − (λi∗ )
2
∂T
∂Ee∗
3. Calcular el tensor T =
= Dep :
e
∂A∗
∂Ae∗
∂Ce−1
∗
,=
∂Ae∗
2
2
4. Calcular el tensor X = T + Ee∗ · T + Ee∗ · T − T · Ee∗ − T · Ee∗
5. Calcular el módulo elastoplástico tangente
h 2
i
2
Cep = 12 Z∗ · Ξ + Ce−1
· X + XT · Ce−1
+ ΞT · Z∗
∗
∗
Tabla 6.3: Cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico en grandes deformaciones
índice del tensor de segundo orden A. Por último, hay que determinar el tensor de cuarto orden
El tensor T :=
(6.132), como
∂T
.
∂Ae∗
∂T
se calcula, aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta la ecuación
∂Ae∗
T=
e
∂T ∂Ee∗
∂T
ep ∂E∗
=
:
=
D
:
∂Ae∗
∂Ee∗ ∂Ae∗
∂Ae∗
(6.134)
∂Ee∗
son tensores conocidos, ya que Dep es el tensor constitutivo de pequeñas deformaciones.
∂Ae∗
Finalmente, el módulo elastoplástico tangente consistente en grandes deformaciones, nos queda como
donde Dep y
Cep =
i
1h 2
T 2 e−1
T
·
X
+
X
·
C
+
Ξ
·
Z
Z∗ · Ξ + Ce−1
∗
∗
∗
2
donde
Z∗ =
y
2
∂Ce−1
∗
∂Ae∗
(6.135)
(6.136)
2
X = T + Ee∗ · T + Ee∗ · T − T · Ee∗ − T · Ee∗
(6.137)
En la tabla 6.3 se presenta un resumen del algoritmo de cálculo del módulo tangente consistente.
6.4.5
Verificación de la convergencia del modelo de elastoplasticidad anisótropa
en grandes deformaciones
En este apartado, se presentan una serie de simulaciones numéricas con objeto de verficar el comportamiento del algoritmo ante disitintos tipos de carga y la convergencia del procedimiento iterativo. En
particular, se considera un comportamiento elastoplástico anisótropo en grandes deformaciones. Como
208
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
función de endurecimiento isótropo, se incluye una función de endurecimiento no lineal, del tipo
h
i
−δεP
n+1
kn+1 = σy + θH̄εP
+
(K
−
K
)
1
−
e
∞
0
n+1
(6.138)
Los parámetros del material que se han utilizado en estas simulaciones se presentan en la tabla 6.4,
donde se ha incluido la anisotropía elástica (variación del módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson
y módulo a cortante con la dirección 1, 2 y 3) y la anisotropía plástica (ver valores de los parámetros de
Hill F.G, H, N, L y M )
Anisotropía elástica
¡N¢
E1 m
2 × 1012
2
E2
E3
¡
¡
N
m2
N
m2
υ 12
¢
¢
1 × 1012
Límite elástico y endurecimiento
¡N¢
σy m
235 × 106
2
H̄
¡
3 × 1012
K0
0, 3
K∞
N
m2
¡
N
m2
¡
υ 23
0, 2
δ
υ 13
¡N¢
G12 ¡ m
2
¢
N
G23 ¡ m
2
¢
N
G13 m
2
0, 25
β
8 × 1011
7, 5 × 1011
8, 5 × 1011
¢
¢
N
m2
¢
3, 5 × 1010
σy
1, 5 × σ y
30
1, 0
Anisotropía plástica
1
F
0.3613 × 2
σy
1
G
0.3535 × 2
σy
1
H
0.4957 × 2
σy
1
N
1.175 × 2
σy
1
L
1.175 × 2
σy
1
M
1.175 × 2
σy
Tabla 6.4: Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica
A continuación se muestran los resultados principales de las simulaciones numéricas implementadas.
El objetivo principal de estas simulaciones es verificar el comportamiento del algoritmo de integración
de tensiones y del módulo elastoplástico tangente consistente, a través del análisis de la convergencia del
mismo. Se ha planteado un problema tridimensional, utilizando para ello un elemento tridimensional de
8 nudos deformado con 8 puntos de integración (BRICK 8/8). Además se han prescrito dos tipos de
carga: desplazamientos, utilizando muelles (el denominado método de penalización, ver referencia [45])
y prescripción de fuerzas. En estos dos casos, se verifica el comportamiento del módulo elastoplástico
tangente en grandes deformaciones. La tabla 6.5 muestra la convergencia cuadrática típica de este
esquema iterativo para una iteración característica, utilizando los dos tipos de carga.
La figura 6.4 presenta los resultados de las simulaciones numéricas. Se han prescrito dos tipos de
carga: figura 6.4 (a) desplazamientos utilizando muelles (método de penalización) y en figura 6.4 (b) se
han prescrito fuerzas. En ambas figuras, se muestran los resultados de deformación plástica equivalente
y de tensión de von Mises.
En el Capítulo 7, se presentan simulaciones numéricas más completas con objeto de verificar el comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, utilizando, además,
formulaciones y elementos mixtos con objeto de evitar el bloqueo numérico de la solución, ver Capítulo
2. Para ello, se plantean cuatro problemas clásicos, cada uno de ellos con una características específicas,
que sirven para comprobar y poner de manifiesto el buen funcionamiento y la convergencia del modelo
6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
Convergencia global. Prescripción de desplazamientos
paso global iteración
norma de energía
82
1
2.467E+07
82
2
3.774E+06
82
3
3.482E+04
82
4
5.826E+00
82
5
3.154E-04
82
6
4.571E-08
82
7
2.312E-11
82
8
1.419E-14
209
Convergencia global. Prescripción de fuerzas
paso global iteración
norma de energía
97
1
3.686E+03
97
2
6.468E+04
97
3
2.340E+02
97
4
1.417E-02
97
5
1.384E-04
97
6
1.559E-08
97
7
1.754E-11
97
8
1.993E-14
Tabla 6.5: Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para el
caso de prescripción de desplazamientos
presentado.
210
CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES
8
2.2x10
8
4.6x10
u2
u3
7·
2
2
u1
3.5x10
9
x 8·
1.5
8
1.5
7·
·
1
5
1
x
·
x
5
x
·
6
0.5
6
0.5
·
·
0
0
-0.5
-0.5
4
·
4
·
-1
-1 -0.5
-1
33·
x· 1
x 2
1
·
0 0.5
1 1.5
2
-1
0
2
2x109
2.5x1093· 3
x· 1
-1 -0.5
7·
0 0.5
1 1.5
2
5.7x108
-1
u1 u2 u3 q1 q2 q3
X - - - - - -
0
2
1
u1 u2 u3 q1 q2 q3
X - - - - - -
0.28
0.26
0.034
2
1.5
0.033
0.24
2
1
0.032
0.5
0.22
1.5
0.20
0.5
0.031
1
0
-0.5
-1
0
0.18
·
-1
-0.5
0.03
0.0029
-0.5
0
0.5
·
1
1.5
2
-1
0
1
2
0.16
-1
0
·
-1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
1
2
0.0028
0.0027
0.0026
x10
10
2.5
x10
8
7.5
2
2
7
1.5
1.5
1
2
1
0
1
-0.5
0.5
-1
6.5
1.5
0.5
0.5
6
5.5
0
·
-1 -0.5
·
0 0.5
1 1.5
2
(a)
-1
0
1
2
-0.5
-1
5
·
-1 -0.5
·
0 0.5
1 1.5
2
-1
0
1
2
4.5
(b)
Figura 6.4: Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones
utilizando un elemento BRICK 8/8 deformado y con dos tipos de cargas: (a) prescripción de desplazamientos mediante el método de penalización y (b) prescripción de fuerzas. De arriba a abajo: geometría
y condiciones de contorno, deformación plástica equivalente y tensión de von Mises
Capítulo 7
Simulaciones numéricas de
elastoplasticidad anisótropa en
grandes deformaciones
En este capítulo, se presentan una serie de simulaciones numéricas con objeto de verificar el comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones bajo distintas hipótesis.
En concreto, se diferencian dos hipótesis: isotropía elástica y anisotropía elástica.
En el caso de isotropía elástica, se van a estudiar dos subcasos: la hipótesis de isotropía elastoplástica
y la hipótesis de isotropía elástica con anisotropía plástica. En el primer caso de isotropía elastoplástica, se
compara el comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones basado
en tensiones de Mandel, presentado en el capítulo anterior, con el modelo de isotropía elastoplástica de
la Referencia [36] y con un modelo de anisotropía plástica e isotropía elástica en grandes deformaciones,
basado en tensiones de Kirchhoff y también desarrollado en esta tesis, particularizado bajo la hipótesis
de isotropía elastoplástica. En el segundo caso, se compara el modelo de elastoplasticidad anisótropa en
grandes deformaciones basado en tensiones de Mandel con el modelo de anisotropía plástica basado en
tensiones de Kirchhoff, bajo la hipótesis de isotropía elástica con anisotropía plástica.
En el caso de anisotropía elástica, se plantean dos nuevos casos: la hipótesis de anisotropía elástica y
la hipótesis de anisotropía elastoplástica. En ambos casos, únicamente el modelo completo presentado en
el Capítulo anterior es capaz de reproducir la hipótesis de anisotropía elástica. Además, la resolución del
problema de anisotropía elastoplástica presenta nuevos problemas desde el punto de vista de la utilización
de elementos mixtos para tratar problemas de incompresibilidad.
Por lo tanto, se plantea la simulación de cuatro problemas clásicos en grandes deformaciones, cada
uno de ellos con una características específicas, que sirven para comprobar y poner de manifiesto el
buen funcionamiento y la convergencia del modelo presentado, así como su aplicabilidad en diversos
problemas. Los ejemplos numéricos que se han realizado son (ver tabla 7.1): Ensayo de tracción de una
barra cilíndrica, que es un ejemplo clásico en isotropía elastoplástica, utilizando una malla tridimensional;
Estampado de una placa circular delgada, donde se investiga la respuesta del modelo bajo las hipótesis
de isotropía elástica y anisotropía plástica; El problema de la membrana de Cook, donde se lleva a
211
212
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
Problem
Ensayo de tracción de una barra cilíndrica
Estampado de una placa circular delgada
Membrana de Cook
Placa circular con agujero central sometida a tracción
Comportamiento
Elástico
Plástico
isótropo
isótropo
isótropo
anisótropo
anisótropo
anisótropo anisótropo
Tabla 7.1: Simulaciones numéricas implementadas e hipótesis asociadas
Figura 7.1: Ensayo de tracción de una barra cilíndrica. Geometría y Condiciones de Contorno. A la
derecha se presenta un octavo del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema. Se han
utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4
cabo un análisis tridimensional con objeto de verificar el comportamiento del modelo bajo la hipótesis
de anisotropía elástica y, por último, el problema de la placa circular con agujero central sometida a
tracción, donde se analiza el modelo de material bajo la hipótesis de anisotropía elastoplástica.
7.1
7.1.1
Isotropía Elástica
Isotropía Elastoplástica: Ensayo de tracción de una barra cilíndrica
La simulación numérica del ensayo de tracción de una barra cilíndrica tiene como finalidad la verificación
del comportamiento del modelo en grandes deformaciones bajo las condiciones de isotropía elastoplástica.
Es un problema estándar en plasticidad en grandes deformaciones, que ha sido investigado por numerosos
autores [130], [82], [131], [128], [126]. La figura 7.1 representa un esquema de la discretización del problema
Debido a la simetría del problema, únicamente se discretiza un octavo de la probeta con las condiciones
de simetría adecuadas. La longitud de la barra en su configuración incial es l = 53.34 mm y el radio es
r0 = 6.4135 mm.
La probeta se divide en dos zonas: la zona de estricción (’necking zone’) y la zona de sujección (’grip
zone’). La zona de estricción supone el 20% de la longitud total de la probeta l y en esta zona existe una
mayor densidad de mallado, debido a la posible concentración de deformación plástica. La localización de
la estricción se provoca a través de una imperfección en la barra, en forma de una disminución progresiva
del radio de la barra, desde r0 hasta r = 0.982 r0 en la sección del centro de la probeta. De esta forma
localiza la deformación en la zona de menor radio r = 0.982 r0 . Por otra parte, se utiliza una ley de
7.1. ISOTROPÍA ELÁSTICA
213
Tracción de una barra cilíndrica. Propiedades del material
Módulo de Elasticidad
Coeficiente de Poisson
Tensión de plastificación
Tensión de plastificación infinita
Módulo de endurecimiento
Parámetro de saturación
E = 206, 9 GP a
ν = 0.29
σ y = K0 = 0.45 GP a
K∞ = 0.715 GP a
H̄ = 0.12924 GP a
δ = 16.93
Tabla 7.2: Parámetros del material de la simulación de una barra cilíndrica sometida a tracción
endurecimiento isótropo no lineal de la forma
t+∆t
k = σ y + θH̄
t+∆t P
εn+1
h
i
t+∆t P
εn+1
+ (K∞ − K0 ) 1 − e−δ
(7.1)
donde σ y es la tensión de plastificación, H̄ es el módulo de endurecimiento, θ ∈ [0, 1] es un parámetro
que determina el grado de endurecimiento mixto, K∞ es la tensión de plastificación en el infinito, K0 es
la tensión de plastificación inicial y δ es un parámetro de saturación. Los parámetros elásticos y plásticos
del material se presentan en la Tabla 7.2.
Los resultados de la simulación se muestran en las figuras 7.2 y 7.3, respectivamente. La barra se
tracciona prescribiendo desplazamientos mediante muelles (método de penalización) en la cara superior
de la zona de sujección, con una elongación total de u = 14 mm.
En la figura 7.2 se presentan el resultados de las simulaciones utilizando el modelo de elastoplasticidad
anisótropa en grandes deformaciones basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de isotropía. En
las simulaciones se han utilizado elementos tridimensionales de 27 nudos BRCK 27/27 en formulación
estándar con 27 puntos de integración de desplazamientos y elementos tridimensionales de 27 nudos
BM IX 27/27/4 en formulación mixta con 27 puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de
integración de presión. En primer lugar, se muestra una comparación entre el uso de la formulación
estándar (elemento BRCK 27/27) y la formulación mixta (elemento BM IX 27/27/4). En segundo
lugar, se ha realizado un análisis de convergencia de malla. Los resultados muestran que el uso de
elementos en formulación estándar BRCK 27/27 (figura 7.2 (a)) en este problema de elastoplasticidad
isótropa en grandes deformaciones da lugar a bloqueo numérico, es decir, se obtiene una solución más
rígida de lo esperado; las figuras 7.2 (b), (c) y (d), por el contrario, no presentan ningún tipo de bloqueo,
dando como resultado la estricción típica en la zona central de la probeta. Por otra parte, en las figuras
7.2 (b), (c) y (d) se realiza un análisis de convergencia de malla. Las distribuciones de deformación
plástica equivalente presentadas en las figuras 7.2 (b) y (d) varían significativamente. Sin embargo, las
distribuciones de deformación plástica equivalente mostradas en las figuras 7.2 (c) y (d) son similares. En
conclusión, la malla de elementos mostrada en la figura 7.2 (b) no es suficientemente densa para obtener
resultados aceptables, mientras que las mallas de elementos de las figuras 7.2 (c) y (d) proporcionan
resultados similares, siendo por supuesto mejor la última.
En la figura 7.3 se muestran las distribuciones de deformación plástica equivalente y deformación para
el estado final u = 14 mm utilizando los tres modelos de plasticidad en grandes deformaciones comentados
en la introducción de esta sección: modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones
basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de isotropía elastoplástica -figura 7.3 (b)-, modelo de
214
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
Figura 7.2: Ensayo de tracción de una barra circular. Modelo de elastoplasticidad anisótropa bajo
condiciones de isotropía elástica. Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para
u = 14 mm: (a) Simulación utilizando elementos BRCK 27/27 en formulación estándar, (b),(c) y (d):
Análisis de convergencia de malla. En estas simulaciones se han utilizando elementos BMIX 27/27/4 en
formulación mixta
7.1. ISOTROPÍA ELÁSTICA
215
Figura 7.3: Ensayo de tracción de una barra circular. Condiciones de isotropía elastoplástica. Deformadas
para u = 14 mm y distribución de tensión plástica equivalente. (a) Configuración de referencia, (b) Estado
final utilizando el modelo de elastoplasticidad anisótropa basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis
de isotropía, (c) Estado final utilizando el modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica, basado
en tensiones de Kirchhoff y (d) Estado final utilizando el modelo de elastoplasticidad isótropa [36]
plasticidad anisótropa y elasticidad isótropa en grandes deformaciones basado en tensiones de Kirchhoff
-figura 7.3 (c)- y el modelo de elastoplasticidad isótropa en grandes deformaciones -(figura 7.3 (d)-. En
los tres modelos se han utilizado elementos mixtos BM IX27/27/4 implementados en DULCINEA. Los
resultados muestran que los tres modelos son consistentes, es decir, para las mismas propiedades del
material, se obtienen prácticamente los mismos resultados.
7.1.2
Isotropía Elástica con Anisotropía Plástica: Estampado de una placa
circular delgada
En este problema se analiza el proceso de estampado de una placa circular delgada con un orificio central.
Dicho análisis se suele utilizar para verficar el comportamiento de modelos de plasticidad anisótropa bajo
la hipótesis de isotropía elástica, ver, por ejemplo, las Referencias [130], [134]. La figura 7.4 representa
la geometría del problema y las condiciones de contorno. Se discretiza únicamente un cuarto de la placa
circular debido a las simetrías del problema, con las condiciones de contorno adecuadas en las fronteras. Se
han utilizado elementos tridimensionales en formulación mixta BM IX 27/27/4, elementos de 27 nudos,
216
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
y
u
x
10
200
400
200
Figura 7.4: Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En el
perímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en mm. A la
derecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema. Se han
utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4
con 27 puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de integración de presión, con objeto de
evitar problemas de incompresibilidad en el régimen plástico. Este elemento pasa la condición Inf-Sup (o
de Babuška-Brezzi) y es por tanto óptimo y con convergencia de malla cuadrática. En este problema no
es necesario el uso de elementos de contacto para simular el proceso de estampado, ya que al no tener
lugar deformaciones fuera del plano, es suficiente con aplicar un desplazamiento radial en el borde interior
de la placa y dejar libre el borde exterior. El resto de la placa está simplemente apoyada para evitar
fenómenos de pandeo, ver figura 7.4.
El proceso de estampado está controlado por desplazamientos impuestos por el método de penalización
y a los nodos del borde interno de la placa se les aplica un desplazamiento radial de u = 75 mm. Las
propiedades del material se presentan en la Tabla 7.3. El material tiene un comportamiento isótropo en
la parte elástica, pero es anisótropo en la plástica. Se han considerado dos casos distintos de anisotropía
plástica. En el caso A predominan las tensiones tangenciales y en el caso B predominan las tensiones
normales. Los parámetros del material se han obtenido de la referencia [134]. Los detalles del cálculo de
estos parámetros se presentan en el Apéndice 9.5.
En los problemas de estampación, se ha observado de forma experimental [185],y también de forma
analítica [23] y numérica [186], la formación de ’ondulaciones’ en el borde de la placa circular, debido a
la anisotropía plástica del metal. Este fenómeno se concoce como ’orejeado’, ver figura 1.14.
La figura 7.5 representa un análisis de la convergencia de malla. Se han utilizado tres tipos distintos de
tamaño de elemento en la discretización. Los resultados muestran que las distribuciones de deformación
plástica de las figuras 7.5 (b) y 7.5 (c) son similares y convergen hacia la misma solución
Las figuras 7.6 y 7.7 muestran las deformadas y distribuciones de deformación plástica equivalente
para las definiciones de anisotropía plástica A y B, respectivamente. En estas simulaciones, se compara
el comportamiento de los modelos de elastoplasticidad anisótropa basado en tensiones de Mandel, bajo
la hipótesis de isotropía elástica, y el modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica basado en
7.1. ISOTROPÍA ELÁSTICA
217
Estampado de una placa circular delgada
Propiedades del material
Módulo de Elasticidad
E = 206, 9 GP a
Coeficiente de Poisson
ν = 0, 29
Tensión de Plastificación
σ y = K0 = K∞ = 0.45 GP a
Módulo de endurecimiento H̄ = 0.1 GP a
Parámetros de anisotropía de Hill. Caso A
1
f =h=g
3
l=m=n
8
Parámetros de anisotropía de Hill. Caso B
1
f =h=g
3
1
l=m=n
2
Tabla 7.3: Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada
Figura 7.5: Estampado de una placa circular. Análisis de convergencia de malla. Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para u = 75 mm. Se ha utilizado el modelo de elastoplasticidad
anisótropa en grandes deformaciones bajo la hipótesis de isotropía elástica, con elementos BM IX 27/27/4
218
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
Membrana de Cook
Propiedades del material
Módulo de Elasticidad en dirección 1
Módulo de Elasticidad en dirección 2
Módulo de Elasticidad en dirección 3
Coeficiente de Poisson en dirección 12
Coeficiente de Poisson en dirección 23
Coeficiente de Poisson en dirección 13
Módulo de Cortante en dirección 12
Módulo de Cortante en dirección 23
Módulo de Cortante en dirección 13
E1 = 16 M P a
E2 = 8 M P a
E3 = 8 M P a
ν 12 = 0.35
ν 23 = 0.45
ν 13 = 0.35
G12 = 1.7 M P a
G23 = 2.76 M P a
G13 = 1.7 M P a
Tabla 7.4: Propiedades del Material en la simulación de la membrana de Cook
tensiones de Kirchhoff. En ambos casos se obtienen resultados similares. En el caso A, ver figura 7.6, la
deformación plástica se desarrolla principalmente a un ángulo de 45o (y 135o ) respecto del eje horizonal
de la placa, es decir, en la dirección de la máxima tensión cortante. Por otra parte, en el caso B, ver figura
7.7 , la deformación plástica se desarrolla según los ejes principales de la placa. En este caso, dominan
los términos de tensión principal. En conclusión, los resultados obtenidos reproducen el comportamiento
esperado. Los resultados se pueden comparar con los de la referencia [130].
7.2
7.2.1
Anisotropía Elástica
Anisotropía Elástica: El problema de la membrana de Cook
En este ejemplo se investiga la versión tridimensional del conocido problema bidimensional de la Membrana de Cook . Este problema se utiliza como referencia para verificar el comportamiento y convergencia
de modelos de anisotropía elástica en grandes deformaciones, como se puede ver en las referencias [130],
[132]. La membrana de Cook es una placa delgada que está empotrada en la parte izquierda. En este
caso, se ha utilizado una versión tridimensional. La geometría y las condiciones de contorno utilizadas
en las simulaciones se muestran en la figura 7.8. En la parte derecha de la placa, se aplica una fuerza
cortante F = 0, 7N . La estructura se discretiza utilizando elementos tridimensionales BRCK 27/27
Las propiedades del material se presentan en la tabla 7.4.
La dirección preferente en el material se prescribe a través de la orientación del vector a1 . Este vector
se define en la base Cartesiana {ei=1,3 } y mediante los ángulos de Euler φ, θ ψ de forma que
ai = Qei
donde
⎡
cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ
cos ψ sin φ + cos θ cos φ sin ψ
⎢
Q = ⎣− cos φ sin ψ − cos θ cos ψ sin φ − sin φ sin ψ + cos θ cos φ cos ψ
sin θ sin φ
− cos φ sin θ
(7.2)
⎤
sin θ sin ψ
⎥
sin θ cos ψ ⎦
cos θ
(7.3)
7.2. ANISOTROPÍA ELÁSTICA
219
Figura 7.6: Estampado de una placa circular para el caso A. Distribución de deformación plástica
equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm, (b) u = 50 mm
y (c) u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos: en la parte derecha de la figura se
representan los resultados del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, basado
en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado el
modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones de
Kirchhoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales BM IX 27/27/4
220
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
Figura 7.7: Estampado de una placa circular para el caso B. Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm, (b) u = 50 mm y (c)
u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos: en la parte derecha de la Figura se representan los resultados utilizando el modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, basado
en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado el
modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones de
Kirchhoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales BM IX 27/27/4
7.2. ANISOTROPÍA ELÁSTICA
221
y
Fy
12
44
44
x
Espesor: 1
48
Figura 7.8: Membrana de Cook. Geometría y condiciones de contorno. La membrana está empotrada en
el lado izquierdo. En el lado derecho se aplica una fuerza de valor Fy . Las dimensiones están en mm. En
la parte izquierda se presenta la discretización del modelo con elementos tridimensionales BRICK 27/27
En este ejemplo, se han tomado los valores de los ángulos de Euler
φ=
¸
∙
π
π
1
, θ = , ψ = arctan √
4
2
2
(7.4)
1
T
obteniendo, en la base cartesiana, a1 = √ [1, 1, 1] .
3
La figura 7.9 se representa la deformada en tres planos distintos en el estado final para una carga de
Fy = 0, 7 N . La flexión fuera del plano es debida a la anisotropía elástica del material determinada por
la dirección a1
7.2.2
Anisotropía Elastoplástica: Placa rectangular con agujero sometida a
tracción
En este problema, se analiza el comportamiento del modelo numérico bajo las condiciones de anisotropía
elastoplástica. Se modela una placa delgada de geometría rectangular con un orifio central, de dimensiones: ancho w = 32 cm, alto h = 16 cm y radio del agujero r = 4 cm. La placa se somete posteriormente
a un alargamiento, a lo largo de su eje mayor, correspondiente a una elongación total máxima del 2, 5 %
de la dimensión original w. Se asume la hipótesis de deformación plana.
En la figura 7.10 se muestra la geometría de la placa y la discretización de la misma. Se han utilizado elementos mixtos tridimensionales basados en modos incompatibles y deformaciones impuestas
(ver Apartado 2.3), denominado BEN H 8/9/9, bajo la hipótesis de anisotropía elastoplástica. En ambos extremos se ha prescrito el desplazamiento aplicado mediante el método de penalización. La placa
está fabricada con un material isótropo reforzado con fibras unidireccionales en el plano de la placa, orientadas en función de un ángulo θ, ver figura 7.10, proporcionando un comportamiento global elastoplástico
anisótropo. En la tabla 7.5 se presentan las propiedades del material utilizadas.
222
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
Figura 7.9: Membrana de Cook. Deformada para una carga de Fy = 0.7 N en diferentes vistas. Se han
utilizando elementos BRCK 27/27 en formulación estándar.
Figura 7.10: Placa rectangular con agujero sometida a tracción. Configuración de referencia y discretización con malla gruesa utilizando elementos mixtos BEHN 8/9/9. En el caso de isotropía, se ha
discretizado un cuarto del modelo, debido a las simetrías del problema.
7.2. ANISOTROPÍA ELÁSTICA
Placa rectangular con agujero sometida
Propiedades del material
Módulo de Elasticidad en dirección 1
Módulo de Elasticidad en dirección 2
Módulo de Elasticidad en dirección 3
Coeficiente de Poisson en dirección 12
Coeficiente de Poisson en dirección 23
Coeficiente de Poisson en dirección 31
Módulo de Cortante en dirección 12
Módulo de Cortante en dirección 23
Módulo de Cortante en dirección 31
Tensión de Plastificación
Parámetros de anisotropía de Hill
f =g
h
l=m=n
223
a tracción
E1 = 86.85 GP a
E2 = 69.58 GP a
E3 = 93.75 GP a
ν 12 = 0.3918
ν 23 = 0.3248
ν 13 = 0.057
G12 = 40.39 GP a
G23 = 40.39 GP a
G13 = 40.39 GP a
σy = K0 = K∞ = 0.45 GP a
0.00495
0.747
0.75
Tabla 7.5: Propiedades del Material en la simulación de una placa rectangular con agujero sometida a
tracción
En la figura 7.11 se representa la distribución de tensión de von Mises y deformación plástica equivalente para el caso de isotropía elastoplástica y bajo la hipótesis de deformación plana, correspondiente
con los parámetros elásticos E = 69.99 GP a, ν = 0.3, y G = 26.92 GP a. Se han realizado diversas simulaciones para los ángulos de orientación de las fibras θ = 0o , 10o , 30o , 60o , 80o y 90o respectivamente.
En la figura 7.12 se representan las deformadas y la distribución de deformación plástica equivalente para
las orientaciones anteriores. Los resultados muestran claramente el comportamiento anisótropo, ya que
las distribuciones de deformación plástica equivalente difieren en gran medida del caso isótropo y son
comparables cualitativamente con los resultados de la referencia [128] , ya que el modelo numérico es
diferente.
En las figuras 7.13 y 7.14 se muestran los mismos ejemplos bajo la hipótesis de tensión plana utilizando
elementos BEHN 8/9/9 (para simular la hipótesis de tensión plana se ha liberado el grado de libertad
perpendicular al plano). Estos resultados no son comparables con los de la referencia [128], ya que aquéllos
fueron realizados bajo la hipótesis de deformación plana. Por otro lado, los resultados podrían mostrar
dependencia de malla por la localización de las deformaciones en un ancho de banda muy estrecho. En tal
caso sería necesario incorporar las formulaciones apropiadas en el elemento o una regularización adecuada.
En la referencia [23] se recogen resultados teóricos del modelo de plasticidad anisótropa de Hill aplicado
al caso de placas laminadas, ver Capítulo 5. Las observaciones experimentales muestran que la estricción
no se localiza directamente en la sección de los especímenes, sino que aparece en forma oblicua con un
ángulo que depende del estado de anisotropía. Para el caso de tensión plana se tiene la siguiente ecuación
[(G + H) σ x − Hσ y ] dx2 + 2N τ xy dxdy + [(F + H) σ y − Hσ x ] dy 2 = 0
(7.5)
Definiendo el ángulo θ como la inclinación de una posible estricción, medida respecto de un ángulo α
224
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
Figura 7.11: Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GP a,
ν = 0.3, G = 26.92 GP a). Hipótesis de deformación plana
Figura 7.12: Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plástica
equivalente para los ángulos θ = 0o , 10o , 30o , 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde la esquina
superior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos BEHN 8/9/9. Hipótesis
de deformación plana
7.2. ANISOTROPÍA ELÁSTICA
225
Figura 7.13: Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GP a,
ν = 0.3, G = 26.92 GP a). Hipótesis de tensión plana
Figura 7.14: Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plástica
equivalente para los ángulos θ = 0o , 10o , 30o , 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde la esquina
superior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos BEHN 8/9/9. Hipótesis
de tensión plana
226
CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES
respecto de la dirección de laminado (RD), se tiene
dy
= tan (θ + α)
dx
(7.6)
Sustituyendo esta última expresión en la ecuación anterior, con σ x = σ cos2 α, queda
a tan2 θ + 2b tan2 θ − c = 0
(7.7)
donde
a = (H + 2N − F − G − 4H) sin2 α cos2 α
£
¤
b = (N − F − 2H) sin2 α − (N − G − 2H) cos2 α sin α cos α
1
c = a + F sin2 α + G cos2 α = 2
σ
donde σ viene dado por la expresión 5.7.
√
Para el caso de isotropía, F = G = N/3, b = 0 y c = 2a, con lo cual tan θ = 2 y θ ≈ 54.7o , que es
aproximadamente el ángulo observado en la simulación de isotropía elastoplástica de la figura 7.13.
Capítulo 8
Conclusiones y desarrollos futuros
La tesis recoge los resultados de los trabajos realizados por el autor en el campo de la elastoplasticidad
anisótropa en grandes deformaciones de metales, desde el punto de vista computacional y experimental.
En este capítulo se presentan las principales conclusiones y aportaciones de la investigación desarrollada
en este campo por el autor de la misma. En el último apartado, se proponen una serie de desarrollos
futuros a modo de continuación del trabajo realizado.
8.1
Conclusiones y aportaciones de la tesis
El objetivo global de este trabajo ha sido realizar un avance en la comprensión y el modelado computacional en grandes deformaciones del fenómeno de la anisotropía elastoplástica presente en metales. Este
fenómeno es de especial interés en procesos de conformado por deformación plástica y en general en
cualquier procedimiento de fabricación direccional (laminado, estampación, embutición, ...). Para ello, se
ha utilizado un código propio de elementos finitos denominado DULCINEA, programado en fortran 90.
Dentro del objetivo global de obtener un pequeño avance en la capacidad de simulación del comportamiento elastoplástico anisótropo de metales, se han buscado tres objetivos parciales.
El primer objetivo parcial, continuación de una línea de investigación anterior desarrollada por uno de
los directores de la tesis, ha consistido en un estudio de la consistencia de modelos implícitos de superficies
múltiples basados en reglas de traslación de Mróz y de Prager. Se ha demostrado que los modelos basados
en la regla de traslación de Prager, asociativos y motivados desde el principio de máxima disipación, son
capaces de representar la anisotropía del endurecimiento bajo cargas no proporcionales. Al respecto, se
han simulado los clásicos ensayos de Lamba y Sidebottom y se han obtenido predicciones excelentes con
la regla de Prager. Por contra, los modelos que utilizan la regla de Mróz presentan mayores dificultades
algorítmicas y el comportamiento depende de forma importante de la discretización arbitraria de la curva
uniaxial tensión-deformación que prescribe el usuario. Dentro de este objetivo se encuadran otras tareas,
como el desarrollo de un modelo de superficies múltiples para plasticidad de suelos basados en la teoría
del estado crítico.
El segundo objetivo parcial ha consistido en el desarrollo de un algoritmo implícito relativamente
sencillo para plasticidad anisótropa en grandes deformaciones, bajo la hipótesis de isotropía elástica.
Con dicha hipótesis se consiguen dos ventajas importantes respecto a la consideración de la anisotropía
227
228
CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
elastoplástica completa. La primera ventaja es la conmutatividad de las tensiones y las deformaciones, lo
cual simplifica enormemente el procedimiento de integración que en este caso se desarrolla en tensiones de
Kirchhoff. Al respecto, la formulación no difiere sustancialmente de los modelos publicados en los años 90
para plasticidad isótropa en grandes deformaciones. No obstante, para poder conservar la convergencia
cuadrática de los métodos de Newton fue necesario rediseñar el algoritmo de corrección plástica anisótropa
en pequeñas deformaciones, permitiendo la linealización consistente tanto de éste como de los algoritmos de anisotropía elastoplástica en grandes deformaciones. La segunda ventaja es el desacoplamiento
de la presión del procedimiento de retorno plástico. Ello permite asignar de forma independiente una
función de energía almacenada para la parte volumétrica que facilita la implementación del algoritmo en
elementos finitos con formulación mixta u/p. Puesto que DULCINEA carecía de elementos tridimensionales hexaédricos con dicha formulación, fue necesario implementar una familia de elementos denominada
BMIX con formulación mixta u/p, que incluye diversas opciones como casos particulares, entre ellas los
elementos BMIX 8/8/1 (elemento de 8 nudos, con 8 puntos de integración de desplazamientos y 1 punto
de integración de presiones) y el elemento mixto BMIX 27/27/4 (elemento de 27 nudos, con 27 puntos de
integración de desplazamientos y 4 puntos de integración de presión). Este último elemento pasa la condición inf-sup o de Babŭska-Brezzi, por lo que es un elemento óptimo en convergencia y que no bloquea.
Con esta formulación se han realizado simulaciones de problemas extraídos de la literatura. Los resultados observados son similares, pero la consistencia, sencillez y potencialidad del algoritmo sobrepasan, en
nuestra opinión, a sus equivalentes publicados.
El tercer objetivo ha sido realizar el primer paso para el desarrollo de un modelo computacional
completo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Un modelo computacional completo
debe tener en cuenta diversos factores que influyen en el comportamiento de materiales anisótropos
sometidos a diversos tipos de cargas no proporcionales. Entre estos factores están el comportamiento
elástico anisótropo, el endurecimiento anisótropo y la actualización de las direcciones de anisotropía. La
anisotropía elástica, aunque frecuentemente ignorada por motivos de sencillez computacional, puede ser
incluso más relevante que la anisotropía plástica. Por otro lado, una posible explicación termodinámica,
desde el punto de vista del medio continuo, de la actualización de las direcciones de anisotropía se basa
en la falta de conmutatividad de tensiones y deformaciones en el caso de elasticidad anisótropa. Esta
falta de conmutatividad provoca la aparición de un término adicional en la ecuación de disipación que
contiene el trabajo del giro plástico y del tensor de giro de las direcciones preferentes de anisotropía.
Por todo ello, resulta primordial disponer de un algoritmo relativamente sencillo para elastoplasticidad
anisótropa, en el cual se tenga en cuenta la anisotropía elástica. El desarrollo de este algoritmo ha sido
uno de los temas más importantes de esta tesis doctoral.
El procedimiento de cálculo desarrollado para elastoplasticidad anisótropa consiste en un algoritmo
totalmente implícito basado en el principio de máxima disipación, en la descomposición multiplicativa del
gradiente de deformaciones en una parte plástica y en una parte elástica, en una descripción hiperelástica
de las tensiones basada en una función de energía almacenada simple e intuitiva, descrita en función de
deformaciones logarítmicas, en una integración plástica realizada mediante funciones exponenciales que
conservan el comportamiento isocórico del modelo, y en una estructura modular sencilla en la que existe
un pre- y un postprocesador geométrico y un núcleo de corrección plástica casi idéntico al de pequeñas
deformaciones. El algoritmo se ha linealizado consistentemente conservando la estructura modular. Con
este algoritmo se han realizado diversas simulaciones extraídas de la literatura y realizadas en dichas
8.1. CONCLUSIONES Y APORTACIONES DE LA TESIS
229
publicaciones con modelos de elasticidad anisótropa, plasticidad anisótropa y elastoplasticidad anisótropa
basada en formulaciones aditivas.
Para poder realizar las simulaciones de elastoplasticidad anisótropa ha sido necesario implementar
formulaciones de elementos finitos alternativas a los elementos mixtos u/p. El motivo radica en que las
formulaciones u/p requieren el conocimiento explícito de la dependencia de la presión y sus derivadas
respecto a las deformaciones; de hecho son necesarias incluso las segundas derivadas de la presión; esto
es, las derivadas del módulo elastoplástico tangente. Estas derivadas son relativamente sencillas si la
respuesta volumétrica está desacoplada, lo cual no ocurre en el caso de elastoplasticidad anisótropa, ya
que el problema podría llegar a ser semideformable (en lugar de incompresible) y la corrección plástica
modifica la presión debido al acoplamiento con la anisotropía elástica.
Las alternativas buscadas para grandes deformaciones, sin ser tan óptimas como los elementos BMIX
27/27/4, presentan una solución aceptable dentro del estado del arte. Dichas formulaciones están basadas
en modos incompatibles. Con estas formulaciones los problemas de bloqueo y de modos de energía nulos
quedan paliados y restringidos a problemas muy concretos. Evidentemente, hoy en día todavía es necesario
el desarrollo de un elemento finito en grandes deformaciones exento de problemas en los casos generales
de semideformabilidad, para el que no sea necesario modificar los procedimientos de cálculo de tensiones
en el punto de integración. Mientras tanto, se han implementado en DULCINEA pequeñas variantes de
los elementos de Simó, Armero y Taylor de 1993, denominado BINC 8/9/12 (elemento tridimensional
de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 12 modos o grados de libertad adicionales) y de Armero y
Glaser de 1997, BENH 8/9/9 (elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 9
modos o grados de libertad adicionales). En esta tesis también se han detectado ligeras inconsistencias
conceptuales en este tipo de formulaciones. No obstante, las simulaciones realizadas con estos elementos
parecen estar ausentes de comportamientos indeseables como bloqueo o modos de energía nulos. Los
resultados obtenidos son cualitativamente similares a los que han obtenido otros autores con modelos
basados en descomposiciones aditivas y descripciones a medida de la elasticidad anisótropa, en los que se
considera isotropía en la parte volumétrica del comportamiento elástico.
Desde el punto de vista experimental, la anisotropía es especialmente significativa para deformaciones
plásticas superiores al 2% y el estudio de su evolución posterior es de gran interés. Siguiendo esta línea, se
ha desarrollado un estudio experimental preliminar de la anisotropía plástica presente en chapas laminadas
en frío de la aleación de aluminio-magnesio 5754, de gran aplicabilidad en la industria aeronáutica y de
automoción, basado en los experimentos de Kim y Yin de 1997. El objetivo de este estudio experimental
ha sido analizar la viabilidad del desarrollo de un análisis cuantitativo de la evolución de la anisotropía
plástica cuando se someten las probetas a deformaciones plásticas superpuestas fuera de las direcciones
principales de anisotropía. El parámetro utilizado para la determinación de la anisotropía inicial en
las probetas de partida es la variación de la tensión de fluencia con la dirección de carga. El estudio
experimental se ha dividido en cuatro fases: la Primera Fase o Estado Inicial se ha cuantificado la
anisotropía plástica inicial presente en las chapas laminadas de partida; en la Segunda Fase o Primer
Pretensado se ha incrementado el grado de anisotropía de las chapas iniciales en la dirección de laminado
(RD), a través de pretensados en esta dirección; en la Tercera Fase o Segundo Pretensado se ha llevado
a cabo un segundo pretensado, a diferentes niveles de deformación plástica, sobre probetas procedentes
de la segunda fase, a distintas orientaciones respecto de la dirección de laminado (RD) y por último,
en la Cuarta Fase o Etapa de Resultados se han obtenido probetas para ensayo de tracción a diferentes
230
CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
orientaciones (de 0o a 180o ) de especímenes provenientes de la tercera fase, con objeto de determinar la
evolución de las propiedades mecánicas plásticas del metal laminado sometido a deformaciones plásticas
no proporcionales. En primer lugar, se ha observado el giro de la superficies de plastificación anisótropa
cuando se someten a pretensados en direcciones distintas a la dirección de laminado. En segundo lugar,
este estudio sirve como marco de referencia para la realización de un estudio experimental más amplio y
exhaustivo, que contemple tanto el análisis de la anisotropía plástica como de la anisotropía elástica, y
que sirva de validación de los algoritmos de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones donde
se tenga en cuenta este ’giro’ y actualización de las direcciones de anisotropía
8.2
Futuras líneas de investigación
A continuación se presentan algunos de los posibles trabajos futuros:
1. Estudio experimental de la evolución de la anisotropía elástica en procesos de conformado por
deformación plástica. Como se ha comentado reiteradamente, en plasticidad computacional es
habitual considerar que el efecto de la anisotropía elástica es significativamente menor que el efecto
de la anisotropía plástica, como se pueden ver en las referencias [32], [33], [34], [35]. El estudio
de la anisotropía elástica es especialmente importante en materiales compuestos, pero en metales
es bastante habitual despreciarla. No obstante, dicha anisotropía puede ser también relevante,
no sólo cuantitativamente sino cualitativamente, por su posible influencia en el comportamiento
plástico, por lo que debería ser tenida en cuenta. Se propone ampliar el estudio experimental de
la evolución de la anisotropía plástica, analizando la evolución de parámetros elásticos (Módulo de
Young, Coeficiente de Poisson) con el grado de deformación plástica y la dirección de estudio.
2. Estudio de la relación constitutiva entre la anisotropía elástica, la anisotropía plástica, el giro
plástico y la evolución de las direcciones de anisotropía preferentes con deformaciones incrementales
no proporcionales. Para ello se propone realizar ensayos de probetas pequeñas policristalinas de
tal forma que sea posible hacer un seguimiento de la evolución de los cristales y, a través de estos
resultados, poder inferir la forma de la ecuación constitutiva para la actualización de las direcciones
de anisotropía.
3. Con la ecuación constitutiva mencionada, un trabajo inmediato sería el desarrollo de nuevos algoritmos de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones que incorporen el efecto del giro
plástico. Dichos modelos deben proporcionar una explicación consistente de las observaciones experimentales y deben tener en cuenta tanto la anisotropía elástica como la plástica. Por otro lado,
estos algoritmos deben ser termodinámicamente consistentes y estar preferentemente basados en los
ingredientes utilizados satisfactoriamente y generalmente adimitidos en plasticidad de von Mises en
grandes deformaciones: descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones logarítmicas, función
de energía almacenada (hiperelástica) e integración mediante función exponencial. Al respecto, el
algoritmo desarrollado en esta tesis puede ser la base sobre la que se construya este procedimiento.
4. Desarrollo de nuevas formulaciones mixtas que solventen las limitaciones de la formulación u/p
actual para problemas de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, dado que las formulaciones basadas en modos incompatibles tampoco resultan completamente satisfactorias.
8.2. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
231
5. Alternativamente, se puede realizar la implementación de un algoritmo para el cálculo numérico del
módulo tangente consistente en procedimientos iterativos basados en el método de Newton, pero
utilizando formulación mixta. Con ello, es posible simular problemas con alto grado de incompresibilidad de forma que no sea necesario el cálculo, en determindas ocasiones complejo, del módulo
tangente del algoritmo de integración
Otros temas secundarios para trabajos futuros pueden ser:
1. Desarrollo y perfeccionamiento del modelo de superficies múltiples basado en la plasticidad clásica de
Cam-Clay con la implementación de un módulo tangente consistente en el algoritmo de integración
de tensiones. El objetivo es la extensión del modelo numérico en la resolución de problemas de
mayor complejidad y no restringidos a un único punto de integración.
2. Extensión de los modelos de plasticidad de superficies múltiples a grandes deformaciones e incorporación de funciones de plastificación anisótropas (función de plastificación de Hill).
232
CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
Capítulo 9
Apéndices
En estos apéndices se recoge material complementario adicional al contenido principal del documento.
Cada sección es independiente en cuanto a tema y notación. En la primera sección se presenta una
introducción al fenómeno de bloque numérico en el método de los elementos finitos y se motiva con
una serie de ejemplos. En la segunda sección se recoge el algoritmo de integración de tensiones del
modelo de plasticidad Cam-Clay de superficies múltiples y una serie de ejemplos numéricos. En la
tercera sección se presenta el procedimiento para la obtención de las curvas teóricas de Hill a partir de
puntos experimentales. En la cuarta sección se muestra el cálculo de los tensores SM y su derivada ṠM ,
que surgen en la implementación del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones
basado en tensiones de Mandel. En la quinta y última sección se presenta el procedimiento seguido para
determinar las propiedades mecánica necesarias para realizar las simulaciones numéricas del capítulo 7.
9.1
9.1.1
Bloqueo numérico en el MEF
Introducción y motivación
Para ilustrar el funcionamiento interno del fenómeno de bloqueo, se plantea el siguiente ejemplo, extraído
de la Referencia [45]:
Considérese la viga modelada según la figura 9.1 de profundidad unidad. El vector de desplazamientos,
E = Módulo de Elasticidad
G = Módulo de Cortante
w2
w1
z,w
q2
h
q1
1
2
x,u
1.0
L/2
L/2
Figura 9.1: Elemento viga de 2 nudos con 2 grados de libertad por nudo [45]
233
234
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
desplazamiento nodales y vector de coordenadas se escriben respectivamente como
T
u(x) = [w (x) , θ (x)]
(9.1)
T
û(x) = [w1 , θ1 , w2 , θ2 ]
T
x (x) = [x, z]
con − L2 ≤ x ≤
L
2
y − L2 ≤ z ≤
L
2.
Por lo tanto, se puede definir las siguientes discretizaciones
w̃ (x) =
θ̃ (x) =
2
X
i=1
2
X
Ni (xi ) wi
(9.2)
Ni (xi ) θi
i=1
De forma matricial, queda como
" #
"
w̃
N1
=
0
θ̃
0
N1
⎡ ⎤
# ⎢w1 ⎥
⎥
0 ⎢
⎢ θ1 ⎥
⎢
N2 ⎣w2 ⎥
⎦
θ2
N2
0
ũ = Nû
(9.3)
siendo las funciones de forma
N1
=
N2
=
µ
¶
1 L
−x
L 2
µ
¶
1 L
+x
L 2
(9.4)
El desplazamiento horizonal, bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede escribir como
ũx (x, z) = −z θ̃ (x) = −z
2
X
Ni (xi ) θi
(9.5)
i=1
Con lo cual, el tensor de deformaciones ε̃ se calcula como
ε̃ =
"
#
ε̃x
=
γ̃ xz
"
∂ ũx
∂x
∂ ũx
∂ w̃
+
∂x
∂z
#
=
"
0
dN1
dx
1
−z dN
dx
−N1
0
dN2
dx
⎡ ⎤
# ⎢w1 ⎥
2
⎢ θ1 ⎥
−z dN
dx
⎢ ⎥ = Bû
⎥
−N2 ⎢
⎣w2 ⎦
θ2
(9.6)
donde para este caso particular se tiene
#
"
−z
0
z
1 0
¢
¡
¢
¡
B=
L −1 − L2 − x 1 − L2 + x
(9.7)
9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF
235
Es conveniente percatarse de que γ̃ xz se puede escribir como
γ̃ xz =
1
1
x
(w2 − w1 ) − (θ2 + θ1 ) + (θ2 − θ1 )
L
2
L
(9.8)
Este resultado se utilizará más adelante. La ecuación de comportamiento se puede escribir, para este
caso, como
" # "
#" #
σ̃ x
E 0
ε̃x
=
⇒ σ̃ = Dε̃
(9.9)
0 G γ̃ xz
τ̃ xz
Finalmente, se monta la matriz de rigidez elemental ke (a falta de integrar en el volumen) de la forma
e
h
G
⎢ ¡L
¢
⎢G
⎢
2 −x
⎢
⎢ −G
⎣ ¡
¢
G L2 + x
⎡
¡L
¢
1
2 −x
⎢¡ L
¢ ¡L
¢2
G ⎢
2 −x
⎢ 2 −x
¡L
¢
⎢
L2 ⎢ −1
−
−
x
2
⎣¡
´
¢ ³ L2
L
2
2 +x
4 −x
1
= B DB = 2
L
T
=
⎡
⎤
¢
¡L
¢
−
x
−G
G
+
x
´ ⎥
³2 2
¡2
¢2
¡
¢
z 2 E + L2 − x G
−G L2 − x −z 2 E + L4 − x2 G⎥
⎥
¡
¢
¡
¢
⎥=
⎥
−G ³L2 − x ´
G
−G L2 + x
⎦
¡L
¢
¡L
¢2
L2
2
2
2
−z E + 4 − x G −G 2 + x
z E+ 2 +x G
¡L
¢ ⎤
⎡
⎤
−1
0
0
0
0
2 +x ´
³
⎥
¡L
¢
⎢
⎥
L2
2 ⎥
− 2 −x
E ⎢0 z 2 0 −z 2 ⎥
4 −x ⎥
⎥=
¡L
¢⎥ + 2 ⎢
⎥
L ⎢
1
− 2 +x ⎥
0
0
0
0
⎣
⎦
¢ ¡L
¢2 ⎦
¡L
2
2
0
−z
0
z
+
x
− 2 +x
2
G
¡L
= kc (polinomios de orden 2 en x =⇒ γ̃ xz ) + kf (constante en x =⇒ ε̃x )
ke = kc (polinomios de orden 2 en x =⇒ γ̃ xz ) + kf (constante en x =⇒ ε̃x )
(9.10)
A la vista del resultado anterior, se puede extraer la siguiente conclusión: kf al ser constante en x, se puede
integrar con un único punto de integración, mientras que para integrar kc (orden 2 en x) necesitamos al
menos dos puntos de integración. Por lo tanto, se puede llevar a cabo una integración reducida de la
matriz de la expresión anterior con un único punto de integración o bien se puede realizar una integración
R
completa, con dos puntos de integración. Integrando, K = k dx dz se obtiene:
1. nint = 1 punto de integración (integración reducida):
K1p
Z h Z L
Z h
2 BT DB dx dz = 2 BT DB |
= 2h
x=0 · w (= 1) · L dz =
L
h
−
−
−
2
2
2
⎤
⎡
Gh
Gh
Gh
− Gh
L
2
L
2
⎥
⎢ Gh
Eh3
Eh3 ⎥
GhL
GhL
⎢ 2
− Gh
4 + 12L
2
4 − 12L ⎥
⎢
= ⎢ Gh
⎥
Gh
− Gh
− Gh
⎦
⎣− L
2
L
2
Eh3
Gh
Eh3
Gh
GhL
GhL
−
−
+
2
4
12L
2
4
12L
(9.11)
236
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
2. nnint = 2 puntos de integración (integración completa):
2p
K
µ
¶
Z h Z L
Z h nint=2
X
1
2
2
2
T
T
B
=
DB
dx
dz
=
B
DB
|
·
w
=
· L dz =
i
xi
L
h
h
2
−
−
−
i=1
2
2
2
⎤
⎡
Gh
Gh
Gh
Gh
−
L
2
L
2
⎥
⎢ Gh
Eh3
Gh
Eh3 ⎥
GhL
GhL
⎢ 2
+
−
−
3
12L
2
6
12L ⎥
=⎢
⎥
⎢− Gh
Gh
− Gh
− Gh
⎦
⎣ L
2
L
2
3
3
Eh
Gh
Eh
GhL
GhL
Gh
−
−
+
2
6
12L
2
3
12L
(9.12)
Supongamos ahora que únicamente se aplica un momento M en los nudos extremos de la viga, con
las condiciones de contorno simplemente apoyada. Se va a resolver mediante integración reducida e
integración completa.
Para el caso de integración reducida (un punto de integración en este caso), se tiene
⎡
0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣
0
GhL
4
GhL
4
0
+
0
−
0
0
0
0
Eh3
12L
Eh3
12L
GhL
4
GhL
4
0
−
0
+
⎤⎡ ⎤ ⎡
⎤
0
R1 = 0
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
Eh3 ⎥ ⎢ ⎥
⎢ −M ⎥
12L ⎥ ⎢θ 1 ⎥
⎢
⎥
⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢R = 0⎥
⎦⎣ ⎦ ⎣ 2
⎦
Eh3
θ
M
2
12L
(9.13)
Este sistema, tras eliminar las ecuaciones sobrantes, queda como
" # "
GhL
θ1
4 +
= GhL
θ2
4 −
Eh3
12L
Eh3
12L
GhL
4
GhL
4
−
+
Eh3
12L
Eh3
12L
" #
#−1 "
#
−1
−M
6L
M
=
Eh3
1
M
(9.14)
que es el giro correcto obtenido por resistencia de materiales, y las deformaciones
"
#
"
0
ε̃x
6L
M
=
Eh3
γ̃ xz
− L1
−z
− L1
L
¡L
2
¢
−x
z
0
1
L
− L1
L
¡L
2
⎡ ⎤
" #
#⎢ 0 ⎥
⎢−1⎥
z
12
¢ ⎢ ⎥
⎥ = Eh3 M −x
0
+x ⎢
⎣ ⎦
1
(9.15)
En este caso, la deformación γ̃ xz correcta es la del punto medio x = 0. La del resto de los puntos son
incorrectas, ya que toda deformación γ̃ xz debería ser igual a 0, porque el cortante es nulo. No obstante,
en conjunto se cumple
Z
γ̃ xz dV = 0
(9.16)
V
como se corresponde con una viga donde hay sólo momentos aplicados. En caso de haber fuerzas en los
extremos, el γ̃ xz debería haber sido constante bajo hipótesis de viga Bernoulli (h << L), pero tampoco
lo sería utilizando esta formulación.
9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF
237
Para el caso de integración completa (dos puntos de integración en este caso) se tiene
" # "
GhL
θ1
3 +
= GhL
θ2
6 −
Eh3
12L
Eh3
12L
GhL
6
GhL
3
−
+
Eh3
12L
Eh3
12L
#−1 "
#
−M
6L
M
=
Eh3
M
" #
−1
1
à µ ¶ !
2
1
G L
1+
E h
(9.17)
y las deformaciones
#
ε̃x
6L
=
M
Eh3
γ̃ xz
"
12
=
M
Eh3
⎡
0
1
à µ ¶ !⎣ 1
2
G L
−
1+
L
E h
" #
z
1
à µ ¶ !
2
−x
G L
1+
E h
G
1
G
1
≤
≤ , por lo que el producto
Nótese que
2
E
3
E
µ ¶2
G L
(h << L), entonces
−→ ∞ y, por lo tanto
E h
1+
y
Ã
z
−
L
¢
¡
− L1 L2 − x
z
L
0
1
L
− L1
¡L
2
⎤
0
⎢ ⎥
⎢−1⎥
⎥
⎦
¢ ⎢
⎢ ⎥
+x ⎣ 0 ⎦
1
⎤
⎡
µ ¶2
µ ¶2
L
L
=O
. Si se tiene una viga Bernoulli
h
h
³∞´
1
µ ¶2 ! −→ ∞2 −→ 0
G L
E h
" #
θ1
6L
M
=
Eh3
θ2
(9.18)
" #
" #
−1
0
1
à µ ¶ !
−→
2
1
0
G L
1+
E h
(9.19)
(9.20)
es decir, con dos puntos de integración (integración completa) LA SOLUCIÓN BLOQUEA. Nótese
que el bloqueo se produce por la parte de cortante (Bloqueo a cortante), no por la parte de flexión.
En consecuencia, se podría integrar sólo la parte de cortante con un punto de integración para evitar
condiciones redundantes, mientras que la de flexión se puede integrar con dos puntos de integración
(integración selectiva-reducida):
Ksel
Z h Z L
Z h Z L
2 BT DB dx dz = 2
2 (k + k ) dx dz =
= 2h
f
L
L c
h
−
−
−
−
2
2
2
2
#
Z h "
2
X
2
=
kf (xi ) wi L |nint=2 dz =
h kc (x = 0) 1L |nint=1 +
−
2
i=1
(9.21)
238
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
= Kc + Kf =
⎡
Gh
L
⎢ Gh
⎢ 2
⎢
⎢− Gh
⎣ L
Gh
2
Gh
2
GhL
4
3
+ Eh
12L
− Gh
2
GhL
Eh3
4 − 12L
− Gh
L
− Gh
2
Gh
L
− Gh
2
que es la matriz que proporciona la solución correcta.
Gh
2
⎤
3⎥
⎥
− Eh
12L ⎥
⎥
Gh
− 2
⎦
3
GhL
Eh
4 + 12L
GhL
4
La razón del bloqueo se puede observar de
γ̃ xz =
1
1
x
(w2 − w1 ) − (θ2 + θ1 ) + (θ2 − θ1 )
L
2
L
(9.22)
En el caso de cantos pequeños, la viga se comporta como viga Bernoulli y, por lo tanto, en cada punto
de la viga debe cumplirse γ̃ xz = 0. Si obligamos, mediante integración completa, a que esta ecuación se
cumpla en cada punto del dominio
γ̃ xz = 0 '
1
1
x
(w2 − w1 ) − (θ2 + θ1 ) + (θ2 − θ1 )
L
2
L
(9.23)
puesto que se debe cumplir en cada punto
1
1
(w2 − w1 ) − (θ2 + θ1 ) = 0
L
2
1
(θ2 − θ1 ) = 0
2
(9.24)
Lo que implica dos restricciones numéricas en lugar de una, la restricción física impuesta por γ̃ xz =
0. En general, una viga con cargas en los extremos (en los nudos concretamente) debe tener para un
comportamiento como viga Bernoulli (h << L)
Cortante V (x) = cte =⇒ τ xz (x) = cte =⇒ γ̃ xz = cte
y por lo que una interpolación lineal en γ̃ xz , obligada por los desplazamientos, impone una restricción
excesiva, la de 12 (θ2 − θ1 ) = 0, que obliga a θ1 = θ2 , condición imposible de cumplir habituamente. Para
imponer una única restricción en cada elemento, se debe cumplir que el rango Kec tiene que ser igual al
número de restricciones físicas.
En resumen, el problema de bloqueo a cortante se soluciona, en principio, con una integración selectivareducida; no obstante la solución no es conceptualmente buena, ya que supone integrar erróneamente un
problema erróneamente aproximado (’... two wrongs do make a right in California’1 ). Por otro lado,
como se verá más adelante, en otros tipos de elementos, como los bidimensionales, la integración selectivareducida, no soluciona el problema.
9.1.2
Formulación de Hu-Washizu y de Hellinger-Reissner
La forma correcta de tratar el problema del bloqueo numérico, es el uso de funciones de interpolación
correctas para cada entidad física, independientes de las que se obtendrían de los procesos de derivación
del medio continuo. Por lo tanto, no se hacen cumplir las ecuaciones punto a punto, sino de forma débil
1 Cita
de G.Strang (1973)
9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF
239
en el continuo, es decir, de forma integral. Las restricciones son
ε − ∇s u = 0 en V =⇒ Ecuación de compatibilidad en el dominio
(9.25)
u − ū = 0 en Su =⇒ Ecuación de compatibilidad en el contorno
Con las restricciones anteriores, el funcional o Lagrangiano a minimizar es el denominado funcional de
Hu-Washizu ΠHW [187], [188], [189]
Z
Z
λε : (ε − ∇s u) dV −
λu : (u − ū) dSu =
ΠHW = −ΠC −
V
Su
Z
Z
Z
Xpuntos
1
t̄ · u dSt −
=
ε : C : ε dV −
Fi · u −
b · u dV −
i=1
2 V
V
St
Z
Z
λε : (ε − ∇s u) dV −
λu : (u − ū) dSu
−
V
(9.26)
Su
donde se hacen las siguientes identificaciones de los parámetros de Lagrange λε = σ y λu = t
=
ΠHW
Z
σ
−
:
V
Z
Xpuntos
ε : C : ε dV −
Fi · u −
i=1
V
Z
(ε − ∇s u) dV −
t : (u − ū) dSu
1
2
Z
V
b · u dV −
Z
St
t̄ · u dSt −
(9.27)
Su
Las variables, en vez de ser únicamente los desplazamientos u, son u, ε, σ, t. Éste es el funcional más
genérico del que se obtienen formulaciones completamente independientes para u, ε, σ, t. Habitualmente,
para reducir el coste computacional del elemento y para simplificar su formulación, se suele reducir el
número de variables independientes a aquellas que pueden ocasionar problemas de bloqueo.
En el caso que nos ocupa, se reduce el funcional de Hu-Washizu al de Hellinger-Reissner [190], [191], en
el que sólo desplazamientos y deformaciones (las variables cinemáticas) se interpolan independientemente.
Por ejemplo, considerando únicamente la primera restricción y sustituyendo σ = C : ε
ΠHR
=
1
2
Z
1
= −
2
ZV
Z
t̄ · u dSt −
ε : C : (ε − ∇s u) dV =
i=1
V
St
V
Z
Z
Z
Xpuntos
t̄ · u dSt
ε : C : ε dV +
ε : C : ∇s u dV −
Fi · u −
b · u dV −
ε : C : ε dV −
V
Xpuntos
Fi · u −
Z
b · u dV −
i=1
V
Z
V
St
Los términos de cortorno siguen siendo los mismos que en la formulación estándar, por lo que no sufren
modificación alguna. La deformación, para la viga del ejemplo de la Figura 9.1, en notación de Voigt, es
"
εx
ε=
γ xz
#
(9.28)
Para el cortante, se utilizará unas funciones de interpolación distintas, constantes, mientras que para los
desplazamientos, las habituales. Esto es
γ xz ' γ̃ cxz = N0 (x) γ̃ xz
(9.29)
240
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
con N0 (x) = cte y las variaciones
δγ̃ cxz = N0 (x) δγ̃ xz = 1 δγ̃ xz
y para los desplazamientos las habituales u ' ũ =
2
P
(9.30)
Ni (x) ûi
i=1
" # "
#
w̃
N1 (x) w1 + N2 (x) w2
ũ =
=
θ̃
N1 (x) θ1 + N2 (x) θ2
(9.31)
por lo que recordando que
ũx (x, z) = −z θ̃ (x) = −z
2
X
Ni (xi ) θi
(9.32)
i=1
se obtiene inmediatamente
⎡ ⎤⎤
w1
⎢ ⎥⎥
h
i
# ⎢
" # "
⎢ θ1 ⎥⎥
⎢
∂ ũx
1
2
⎢ ⎥⎥
⎢ 0 −z dN
0 −z dN
ε̃x
⎢w ⎥⎥
∂x
dx
dx
⎢
ε̃ = c = c = ⎢
⎣ 2 ⎦⎥
γ̃ xz
γ̃ xz
⎥
⎢
θ2 ⎦
⎣
[N0 ]
[γ̃ xz ]
⎡
⎡
⎢h
z
⎢
⎢ 0 −
0
⎢
L
=⎢
⎢
⎣
[1]
⎡ ⎤⎤
w1
⎢ ⎥⎥
i
"
#
⎢ θ1 ⎥⎥
z
⎢ ⎥⎥
Bu û
⎥
⎢
⎥
L
⎣w2 ⎦⎥ =:
Bc γ̂
⎥
θ2 ⎦
[γ̃ xz ]
y, sin embargo, para el caso donde se utiliza la misma interpolación las variables cinemáticas, se obtiene
⎡
⎢h
⎢
⎢ 0 −z dN1
⎢
dx
" # "
# ⎢
⎢
∂ ũx
⎢
ε̃x
∇s ũ = c = ∂ w̃ ∂x ∂ ũx = ⎢
⎢
γ̃ xz
⎢
∂x + ∂z
⎢h
⎢ dN
1
⎢
⎢ dx −N1
⎣
⎡ ⎤⎤
w1
⎥⎥
i ⎢
⎥⎥
⎢
2
⎢ θ1 ⎥⎥
0 −z dN
⎢w ⎥⎥
dx
⎣ 2 ⎦⎥
⎥
⎥
⎡ θ2 ⎤⎥
w1 ⎥
⎥
⎥⎥
i ⎢
⎥
⎥
⎢
θ
dN2
⎢ 1 ⎥⎥
−N2
⎢w ⎥⎥
dx
⎣ 2 ⎦⎦
θ2
9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢∙
⎢
⎢ −1
⎢ L
⎣
241
h
z
0 −
L
−
0
zi
L
1
L
−
¢
1 ¡L
−x
2
L
1 ¡L
L 2
⎡ ⎤⎤
w1
⎢ ⎥⎥
⎢ θ1 ⎥⎥
⎢ ⎥⎥
⎢w ⎥⎥
⎣ 2 ⎦⎥
"
#
⎥
⎥
B
θ
û
2
u
⎡ ⎤⎥ =:
w1 ⎥
Bγ û
⎥
¸ ⎢ ⎥⎥
⎢ θ1 ⎥⎥
¢
⎢ ⎥⎥
+x
⎢w ⎥⎥
⎣ 2 ⎦⎦
θ2
La variación del funcional de Hellinger-Reissner se puede escribir como
Z
= 0=−
δΠHR
−
Z
Z
δε̃ : C : ε̃ dV +
δε̃ : C : ∇s ũ dV +
ε̃ : C : ∇s δũ dV −
V
V
Z
Z
t̄ · δũ dSt
Fi · δũ −
b · δũ dV −
V
Xpuntos
i=1
V
(9.33)
St
particularizando para nuestro ejemplo, se obtiene
δΠHR
Z
Z
δε̃x : E : ε̃x dV −
δγ̃ cxz : G : γ̃ cxz dV +
V
V
Z
Z
Xpuntos
t̄ · δũ dSt
Fi · δũ −
b · δũ dV −
−
= 0=
Z
i=1
V
δγ̃ cxz : G : γ̃ xz dV +
V
Z
V
γ̃ cxz : G : δγ̃ xz dV −
St
"
"
#
#
Bu û
Bu û
y sustituyendo ε̃ =
y ∇s ũ =
, nos queda
Bc γ̂
Bγ û
0 =
Z
+
V
Z
V
Z
δγ̂ T BT
c GBc γ̂ dV +
V
Z
Z
T T
T T
γ̂ Bc GBγ δû dV −
δû N b dV −
δûT BT
u EBu û dV −
V
Z
δγ̂ T BT
c GBγ û dV +
(9.34)
V
St
δûT NT t̄ dSt − δûT FP
Puesto que δûT y δγ̂ T son arbitrarios, se obtiene el sistema de ecuaciones
Z
Z
BT
u EBu û dV +
V
V
BT
γ GBc γ̂dV −
Z
Z
V
V
NT b dV −
Z
BT
c GBγ û dV −
St
Z
NT t̄ dSt − FP
= 0
BT
c GBc γ̂ dV
= 0
(9.35)
V
y finalmente, en forma matricial, se puede escribir
⎡Z
⎢Z
⎣
es decir
BT
u EBu
dV
V
BT
c GBγ dV
V
Z
−
ZV
V
⎤
" # ⎡Z
⎥ û
=⎣
⎦
T
γ̂
Bc GBc dV
BT
γ GBc dV
"
Kuu
Kuγ
Kγu
Kγγ
NT b dV +
V
Z
#
#" # "
û
FV + FS + FP
=
0
γ̂
NT t̄ dSt + FP
St
0
⎤
⎦
(9.36)
(9.37)
242
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
Puesto que las variables en γ̂ (en nuestro caso γ̃ cxz ) no están en los nodos, sino que son variables internas
del elemento, pueden ser eliminadas del problema de contorno en el nivel elemental, es decir se pueden
condensar estáticamente. Usando la segunda ecuación
Kuγ û + Kγγ γ̂ = 0 =⇒ γ̂ = −K−1
γγ Kuγ û
(9.38)
y sustituyendo en la primera
£
¤
£ V
¤
Kuu − Kγu K−1
F + FS + FP
γγ Kuγ [û] =
(9.39)
[K] [û] = [F]
En nuestro caso, usando uno o dos puntos de integración (en este caso el resultado coincide), se obtiene
Kuu
=
Kγu
=
Kuγ
=
Kγγ
=
⎤
⎤
⎡
0 0 0 0
0
⎥
⎢
⎢ ⎥h
Z
Z
i
0 1 0 −1⎥
−1⎥
h3 ⎢
z2 ⎢
T
⎥
⎥
⎢
⎢
Bu EBu dV =
E 2 ⎢ ⎥ 0 −1 0 1 dV = E
⎥
L ⎣0⎦
12L ⎢
V
V
⎣0 0 0 0 ⎦
0 −1 0 1
1
⎤
⎡
⎡
⎤
−1
−1
¢⎥ h i
⎢ L⎥
⎢ ¡L
Z
Z
⎥
⎢
⎢
−2⎥
G ⎢− 2 − x ⎥
⎥
BT
1 dV = Gh ⎢
γ GBc dV =
⎥
⎢
⎢
1
1 ⎥
V
V L ⎣
⎦
⎣
⎦
¡
¢
− L2 + x
− L2
Z
Z
h
¢
¡
¢i
¡
G h ih
T
Bc GBγ dV =
1 −1 − L2 − x 1 − L2 + x dV = Gh −1 − L2
V
V L
Z
h i
T
−
Bc GBc dV = −GhL 1
⎡
1 − L2
i
V
y por lo tanto, nos queda
K = Kuu − Kγu K−1
γγ Kuγ
⎤
⎡
⎡
⎤
0 0 0 0
−1
⎥
⎢
⎢ L⎥ h i h
⎥
0 1 0 −1⎥
Gh ⎢
h3 ⎢
⎥
⎢
⎢− 2 ⎥ −1 −1 − L
−
K = E
⎥
⎢
⎥
2
12L ⎢
L
⎣0 0 0 0 ⎦
⎣ 1 ⎦
L
0 −1 0 1
−2
⎤
⎡
Gh
Gh
Gh
− Gh
L
2
L
2
⎥
⎢ Gh
Eh3
Eh3 ⎥
GhL
GhL
⎢ 2
− Gh
4 + 12L
2
4 − 12L ⎥
⎢
K = ⎢ Gh
⎥
Gh
− Gh
− Gh
⎦
⎣− L
2
L
2
Eh3
Gh
Eh3
Gh
GhL
GhL
−
−
+
2
4
12L
2
4
12L
1 − L2
i
que es la misma que la obtenida con integración selectiva-reducida, pero esta vez bajo hipótesis correctas
e integrando correctamente.
9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF
243
y
4
3
h
h
h
x
x
1
x
M1
2
x
M1
M2
M2
Figura 9.2: Elemento de cuatro nudos sometido a flexión. (a) elemento, (b) respuesta del elemento, (c)
respuesta deseable
h
h
x
x
Figura 9.3: Modos incompatibles de Wilson
9.1.3
Bloqueo a cortante de elementos bidimensionales de 4 nudos
En el caso de elementos bidimensionales de 4 nudos, el fenómeno de bloqueo es muy similar. En este caso,
aplicando un momento en los extremos del elemento, observamos que debido a las funciones de forma,
el elemento sin deformarse necesariamente origina un cortante importante en el elemento. Sin embargo,
este cortante debería ser de valor muy reducido. Es decir, las funciones de forma no son capaces de seguir
la respuesta real del sólido, ver Figura 9.2.
La solución habitual para el elemento de 4 nudos es, como añadidura a las funciones de forma habituales (x e y son las coordenadas locales del elemento, por simplicidad, para evitar cambios de variable,
suponemos un elemento rectangular)
N1 (x, y) =
N2 (x, y) =
N3 (x, y) =
N4 (x, y) =
1
(1 + x) (1 + y)
4
1
(1 − x) (1 + y)
4
1
(1 − x) (1 − y)
4
1
(1 + x) (1 − y)
4
(9.40)
la introducción de los modos incompatibles de Wilson [60], ver Figura 9.3:
N1I (x, y) = 1 − x2
(9.41)
N2I (x, y) = 1 − y 2
los cuales se asocian a grados de libertad genéricos α̂e del elemento. Por ello, la aproximación de Galerkin
244
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
para cada elemento es
u ' ũ =
nudos
X
i=1
¡
¢
Ni ûei + N1I α̂e1 + N2I α̂e2
(9.42)
Estos modos se denominan incompatibles porque no conservan la compatibilidad en desplazamientos
entre las caras de los elementos (formulaciones incompatibles o no conformes). Las deformaciones en este
caso son
⎡ ⎤
" #
ε̃x
h
i ûe
⎢ ⎥
ε ' ε̃ = ∇s ũ = ⎣ ε̃y ⎦ = B BI
(9.43)
α̂e
γ̃ xy
donde B contiene las derivadas de las funciones de forma ordinarias respecto a las coordenadas y BI
contiene las derivadas de las funciones de forma incompatibles NiI . El principio de los trabajos virtuales
(variación de la energía potencial) con la aproximación de Galerkin es
δΠ = 0 =
Z
V
δε̃ : C : ε̃ dV −
Xpuntos
i=1
Fi · δũ −
Z
V
b · δũ dV −
Z
St
t̄ · δũ dSt
(9.44)
y utilizando la expresión anterior y la ley de comportamiento en formato matricial σ̃ = C : ε̃, se obtiene„
para cada elemento
Z
⎡Z
⎤
" # " #
T
e
B DB dV
BT DBI dV e
ûe
Fe
⎢Z V e
⎥
e
Z V
(9.45)
⎣
⎦ e =
0
BT DB dV e
BT DBI dV e α̂
Ve
es decir,
I
Ve
"
Keuu
Keαu
Keuα
Keαα
I
#"
# " #
ûe
Fe
e =
α̂
0
(9.46)
En la práctica, como los grados de libertad α̂e pertenecen únicamente a un elemento e, pueden ser
condensados mediante reducción gaussiana
£ e
¤ e
e
e
Kuu − Keuα Ke−1
αα Kαu [û ] = [F ]
(9.47)
[Ke ] [ûe ] = [Fe ]
La nueva matriz de rigidez contiene la contribución de los modos incompatibles con un costo computacional adicional relativamente bajo.
9.1.4
El test de la parcela (patch test)
Los modos incompatibles rompen uno de los pilares básicos del método de los elementos finitos que
garantizan la convergencia de los resultados hacia la solución real, a medida que se refina la malla: la
continuidad del dominio, o la compatibilidad de los desplazamientos. Por ello, en principio existen dos
inconvenientes:
1. La solución ya no converge uniformemente hacia la solución real por el lado rígido (a diferencia de
los elementos finitos estándar)
9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF
245
y,v
4
2
F
1.5F
9
6
3
Espesor = 1
2
3
F = sc
2F
8
5
2
1
2
7
4
1
3
F
x,u
sc
3
Figura 9.4: Test de la parcela para elementos de cuatro nudos, donde las cargas son fuerzas de valor F ,
consistentes con el estado de tensiones uniforme σ x = σ c , σ y = τ xy = 0 [149]
2. En principio, cuando se rompe la compatibilidad, puede no estar siempre garantizada la convergencia
hacia la solución real
Una malla que utiliza un tipo determinado de elemento, converge al menos linealmente hacia la
solución real, si los elementos son capaces de representar estados de tensión constante con total exactitud.
Puesto que cuando refinamos una malla, los elementos se van aproximando hacia estados tensionales
constantes, esto garantizaría una convergencia, al menos lineal, hacia la solución.
El test de la parcela (o ‘patch test’ ) consiste en realizar una malla de muy pocos elementos y someterla
a cargas en el contorno que provoquen un estado tensional constante en la realidad. Dichos elementos
deben proporcionar desplazamientos y tensiones exactos para dicho problema y, por supuesto, para el
problema de movimiento de sólido rígido. Si un elemento pasa el patch test, la convergencia lineal está
garantizada (aunque puede no ser monótona). Si una parcela de elementos representa de forma exacta
estados tensionales que varían linealmente, entonces queda garantizada la convergencia cuadrática, ver
figura 9.4
Para un elemento cuadrangular, los modos incompatibles pasan el patch test, pero para una geometría
arbitraria no. Para que ello ocurra, como se ha señalado, el elemento debe poder representar estados
tensiones constantes arbitrarios. Supongamos que para el estado tensional σ cte constante dentro del
elemento obtenemos la solución exacta real en los nudos ûcte . Entonces, por ejemplo, la integral siguiente
queda de la forma
µZ
Ve
BT
I DB
dV
e
¶
cte
û
=
Z
Ve
BT
I DB
cte
û
e
dV =
Z
Ve
cte
BT
I Dε
e
dV =
Z
Ve
BT
I σ
cte
dV e
(9.48)
pero como los valores de σ cte son arbitrarios, si se quiere que para este caso el elemento se comporte
como el elemento estándar (que sabemos que pasa el test de la parcela)
Z
Ve
cte
BT
I σ
e
dV = 0, ∀σ = cte =⇒
Z
Ve
e
BT
I dV = 0
(9.49)
246
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
que es la condición que deben cumplir las funciones de forma incompatibles para que el elemento pase
el test de la parcela. En este caso, ante estados tensionales constantes dentro del elemento, éste se
comporta como el elemento de 4 nudos. Esta condición se cumple para un elemento rectangular, pero
no necesariamente para uno de forma arbitraria. En tal caso, es necesario corregir la matriz BI de la
siguiente forma:
Z
1
Bnueva
=
B
−
BT dV e
(9.50)
I
I
V e Ve I
Finalmente, un elemento que no sufre de este bloqueo de cortante es el elemento Lagrangiano de 9
nudos, ya que sus funciones de forma estándar permiten reproducir la flexión sin introducir contartes
exagerados.
9.1.5
Bloqueo volumétrico
La formulación estándar de elementos finitos se usa habitualmente debido a su simplicidad y efectividad.
Sin embargo, hay dos problemas donde la formulación estándar presenta dificultades: el análisis de medios
incompresibles (o quasi-incompresibles) y el análisis de placas y láminas. En cada uno de estos casos, es
necesario implementar una formulación mixta (que se puede entender como caso especial del principio
variacional de Hu-Washizu, por ejemplo, el potencial de Hellinger-Reissner ) que es más efectiva.
En el análisis de sólidos, es frecuente considerar que el material se comporta de forma quasi-incompresible.
Por ejemplo, materiales tipo ’goma’ y materiales bajo comportamiento no lineal, como es el caso de la
plasticidad, pueden presentar respuestas quasi-incompresibles. Un hecho observado en el análisis de
medios quasi-incompresibles es la dificultad para calcular la presión de forma correcta. Por ejemplo, en
elasticidad lineal, la ecuación de comportamiento se puede escribir como
µ
¶
1
C = K 1 ⊗ 1 + 2G I − 1 ⊗ 1
3
σ
(9.51)
= K (εx + εy + εz ) 1 + 2GεD = p1 + 2GεD
donde G es el módulo de rigidez a cortadura y K es el módulo de compresibilidad
K=
E
3 (1 − 2ν)
(9.52)
El problema surge cuando el coeficiente de Poisson ν −→ 0.5 (medio incompresible), entonces K → ∞.
Por ello, puesto que la presión en un punto del sólido es un valor finito (determinado en este caso por las
ecuaciones de equilibrio), para compensar se obtiene de la formulación que
εv = εx + εy + εz → 0
(9.53)
Ello implica que, cuando ν −→ 0.5 y se usa elementos estándar, entonces se impone una nueva restricción
dada por tr (ε) → 0 (ecuación de incompresibilidad). Además, se impone realmente sobre las aproximaciones de Galerkin, las cuales vienen determinadas por las funciones de interpolación utilizadas para los
desplazamientos
ε̃v = ε̃x + ε̃y + ε̃z → 0
(9.54)
9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF
247
lo cual, como ya conocemos para el caso del bloqueo a cortante, puede causar problemas, en este caso, el
conocido bloqueo volumétrico.
Supongamos, por ejemplo, un triángulo. Como la interpolación es lineal, se puede escribir con u =
T
[u, v]
ũ = a0 + a1 x + a2y
ṽ
(9.55)
= b0 + b1 x + b2 y
siendo ai y bi constantes. Las deformaciones son
ε̃x =
∂ ũ
∂ṽ
= a1 ; ε̃y =
= b2
∂x
∂y
(9.56)
En caso de tensión plana la restricción de incompresibilidad implica
ε̃z → − (ε̃x + ε̃y ) = −a1 − b2
(9.57)
lo cual no presenta problema alguno. Pero en el caso de deformación plana, por hipótesis εz ≡ 0. Por lo
tanto
−a1 − b2 = 0 =⇒ a1 = −b2
(9.58)
Supongamos que dos de los nudos están fijos ũ (0) = 0 y ũ (0, 1) = 0, ver Figura 9.5
(
)
0 = a0
ũ (0) = 0 ⇒
0 = b0
(
)
0 = a1
ũ (0, 1) = 0 ⇒
0 = b1
y usando la ecuación a1 = −b2
(9.59)
0 = b2
(9.60)
ũ = a2 y
(9.61)
Por lo tanto
ṽ
= 0
lo que implica que la condición de incompresibilidad obliga al nudo restante a moverse en una dirección
determinada. Siguiendo el mismo razonamiento, otro elemento adyacente puede obligar a dicho nudo a
moverse en una dirección distinta, con lo que la única posibilidad compatible con ambos elementos es que
el nudo no se mueva⇒ bloqueo volumétrico, ver figura 9.5 Aunque el caso más grave es posiblemente el de
los triángulos, casi todos los elementos continuos presentan problemas de bloqueo en deformación plana
cuando ν → 0.5. Como en el caso de bloqueo por cortante, es posible disminuir la tendencia a bloquear de
muchos elementos a través de la integración reducida o de la integración selectiva-reducida. No obstante,
surge un nuevo fenómeno: aparación de mecanismos de energía cero, ver figura 9.6. Estos mecanismos
(hourglass modes) pueden ser propagables (en cuyo caso nunca se deberían usar) o no propagables (aunque
248
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
A
II
dA=0
A
B
IV
II
I
A
III
I
Figura 9.5: Malla de elementos triangulares de presión constante, en donde la incompresibilidad implica
desplazamientos nulos [49]
y
x
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 9.6: (a) Malla de cuatro elementos, con los puntos de integración. (b),(c) y (d) Mecanismos
(’modos hourglass’) [149]
9.2. PLASTICIDAD AVANZADA DE CAM-CLAY
249
en este caso tampoco se recomienda su uso, los resultados suelen ser aceptables, pero no existe garantía
de ello). Existen también métodos de control de mecanismos propagables (hourglass control) que consiste
simplemente en proyectar las deformaciones obtenidas sobre los modos del mecanismo correspondiente
y sustraer (o rigidizar) dicha proyección de la respuesta total. No obstante, ninguna de estas soluciones
está libre de problemas y, por lo tanto, su uso indiscriminado no debe recomendarse.
9.2
Modelo de plasticidad de superficie múltiples basado en la
teoría del estado crítico en mecánica de suelos. Algoritmo
de integración
En el capítulo 3 se ha presentado un modelo de plasticidad computacional para suelos bajo cargas cíclicas
[192]. El modelo está basado en la teoría del estado crítico en mecánica de suelos. Se ha empleado
un modelo de superficies múltiples con objeto de predecir el comportamiento de suelos bajo una gran
variedad de tipos de carga. Entre estas superficies, la más interna actúa siempre como superficie de
plastificación, mientras que la superficie más exterior del modelo actúa como superficie de consolidación,
un tipo de superficie límite. El resto de superficies se usan como una herramienta para calcular el módulo
de endurecimiento efectivo dentro de la superficie de consolidación. En contraste con la plasticidad clásica
de Cam-Clay, el modelo permite la disipación de una parte de la energía para ciclos dentro de la superficie
de consolidación, mientras que, por otra parte, conserva todas las características de los modelos clásicos
de Cam-Clay bajo cargas de consolidación monotónicas. Los ciclos dentro de la superficie de consolidación
conservan el comportamiento Masing bajo cualquier nivel de tensión. El modelo utiliza una función de
energía almacenada para las deformaciones elásticas, por lo tanto, el proceso elástico no disipa energía.
Esta es un cualidad importante en un modelo de plasticidad cíclica para, por ejemplo, ingenería sísmica.
El modelo se ha implementado de forma totalmente implícita. Se han desarrollado dos algoritmos distintos
para el procedimiento de integración. Uno es para el caso de carga/descarga dentro de la superficie de
consolidación. Este algoritmo es el que se ha implementado en este apartado. El otro algoritmo es para
el caso de carga en la superficie de consolidación. En este caso, se emplea un modelo típico de Cam-Clay
sin llevar a cabo ningún cambios de consideración.
9.2.1
Algoritmo implícito
En el desarrollo del algoritmo de integración implícito, existen dos casos claramente diferenciados: el
primero es cuando la superficie de consolidación endurece o reblandece y el segundo cuando la superficie
de consolidación permanece constante en tamaño. Por lo tanto, cada uno de estos casos se tratarán en
diferentes algoritmos. Los algoritmos desarrollados en este trabajo se han formulado de forma totalmente
implícita.
Caso de no-consolidación (dentro de la superficie de consolidación)
Cuando el flujo plástico tiene lugar dentro de la superficie de consolidación, se considera únicamente
endurecimiento cinemático. Las superficies i, que están dentro de la superficie a, cuando contactan en el
250
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
*
trial state
q
CSL
p
Figura 9.7: Esquema del algoritmo de no-consolidación (dentro de la superficie de consolidación)
punto de tensión, cumplen las siguientes relaciones
fi = 0 para i ≤ a
y
fi < 0 para i > a
(9.62)
En este caso, a la superficie a se le denomina superficie activa. La superficie activa puede cambiar durante
el proceso iterativo local y/o global. La figura 9.7 representa el esquema del algoritmo de integración
bajo la hipótesis de no-consolidación. Para el caso de no-consolidación, el conjunto de variables de diseño
(hablando en términos de optimización matemática) son el tensor de deformaciones elásticas εe y el
incremento del parámetro de consitencia total ∆Γ. Para la iteración (i)
X(i) :=
El valor inicial es
(0)
X
:=
(
εe(0)
∆Γ(0)
(
εe(i)
∆Γ(i)
)
(
=
)
εen
e
kε∗ − εen k
(9.63)
)
(9.64)
El tensor εe∗ son las deformaciones de prueba, calculadas para el paso n + 1 como
εe∗ = εen + ∆ε
(9.65)
donde ∆ε son los incrementos de deformación total desde el paso n al paso n + 1 : ∆ε = εn+1 − εn . Los
índices de iteración global y de paso n + 1 se omitirán excepto cuando sean necesarios.
(i)
El tensor de tensiones σ n+1 se puede obtener, a partir de las deformaciones elásticas de prueba,
utilizando la ecuación constitutiva de la Expresión (3.132), sin utilizar ninguna regla de integración,
9.2. PLASTICIDAD AVANZADA DE CAM-CLAY
251
gracias a la naturaleza hiperelástica del tensor de tensiones. Una vez obtenido el valor de prueba del
tensor de tensiones σ, se pueden comprobar las condiciones de carga para las distintas superficies y
determinar la superficie activa
¡
¢
a = 0; do i = 1 to n, if fi σ, αin ,ri ≥ 0, a = i, endif; enddo
(9.66)
Una vez conocida la superficie activa a, se puede obtener la dirección de flujo a partir de la regla de
flujo asociativa definida en la Ecuación (3.145)
εe∗ − εe(i)
∆Γ(i)
(9.67)
f1
, ∆γ = kf1 k ∆Γ
kf1 k
(9.68)
f1 =
y las expresiones
n̂ =
El tensor de ’backstress’ de la superficie de plastificación se calcula a partir de la Ecuación (3.146)
como
α1n+1 = σ − M−1 : f1
(9.69)
y como el resto de superficies i ≤ a, siendo a la superficie activa, están en contacto en el punto de tensión,
de la relación de homología se obtiene
αin+1 = σ − M−1 : f1
ri
para i ≤ a
r1
(9.70)
El resto de superficies conservan la posición de sus tensores de ’backstress’.
Dado que se conoce la posición final de los tensores de ’backstress’ debido al valor de prueba inicial,
la dirección de traslación efectiva m̂ durante el paso, se determina también a partir del valor de prueba
como:
αin+1 − αin
°
m̂i = °
(9.71)
°αi − αin ° , i ≤ a
n+1
La regla de traslación de Mróz para las superficies en contacto en el punto de tensión se define
α̇i =
γ̇ i Hi
m̂
hn̂ : m̂i i
Por lo tanto, de la ecuación anterior se puede obtener directamente la contribución de la superficie i al
parámetro de consistencia, ver ecuación (3.164), como
°
° i
°αn+1 − αin ° ­
®
¢
1 ¡ i
n̂ : m̂i ≡
αn+1 − αin : n̂
∆γ i =
Hi
Hi
(9.72)
P
Por otra parte, ai=1 ∆γ i no es necesariamente igual a ∆γ para el mismo valor de prueba. Esta es
una de las ecuaciones consideradas en el cálculo del residuo de la forma (esta forma es una alternativa a
la condición de consistencia clásica f˙1 = 0)
rγ = ∆γ −
a
X
i=1
∆γ i −→ 0
(9.73)
252
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
El tensor residual necesario para el procedimiento de Newton-Raphson se obtiene del hecho de que en
ningún momento se ha especificado la ecuación constitutiva para la regla de traslación. Se observa que las
ecuaciones (9.71) se han obtenido a partir de condiciones geométricas. Sin embargo, la primera superficie
(la única que siempre se traslada durante el flujo plástico), se traslada según la regla de endurecimiento
de Mróz, cuya dirección se obtiene de las ecuaciones (3.166) a (3.168). El tensor de tensiones imagen es
σ̄ n+1 = αnn +
donde
t̂n+1 =
y la dirección de traslación
m̂n+1 =
rn
t̂n+1
r1
σ n+1 − α1n+1
tn+1
°
=°
°
ktn+1 k
σ n+1 − α1n+1 °
mn+1
σ̄ n+1 − σ n+1
=
kmn+1 k
kσ̄ n+1 − σ n+1 k
(9.74)
(9.75)
(9.76)
Hay que destacar que estamos considerando el caso de no-consolidación, donde fn ≤ 0 y el tensor de
tensiones ’backstress’ de la superficie de consolidación se mantiene constante durante el paso, es decir,
αnn+1 = αnn . El resto del residuo se calcula como
rm = m̂n+1 − m̂1n+1 −→ 0
(9.77)
Hay que resaltar nuevamente que el resto de las superficies de endurecimiento no se trasladan necesariamente con m̂n+1 , a menos que estén en contacto con la superficie de plastificación durante todo el paso
(es decir, están en contacto al comienzo del paso).
En resumen, para el caso de no-consolidación, el problema local se reduce a minimizar el residuo
R=
(
rm
rγ
)
(9.78)
X :=
(
εe
∆Γ
)
(9.79)
con las variables
con lo implica resolver un sistema no lineal de 7 ecuaciones con 7 incógnitas. La tangente local del
algoritmo se presenta más adelante. Para el caso de un modelo con dos invariantes, el sistema de
ecuaciones se reduce a sólo dos incógnitas, ya que la dirección del flujo desviador está dada por εe∗ .
Caso de consolidación
El caso de consolidación tiene lugar, para un valor dado de εe∗ , la función de consolidación es fn > 0. En
tal caso, la superficie de consolidación presenta endurecimiento mixto y el punto de tensión y la tensión
imagen coinciden, ver figura 9.8
En este caso, las superficies se trasladan en la misma dirección y contactan en el mismo punto de
tensión, con lo que el endurecimiento efectivo, incluyendo el efecto del resto de superficies de endurecimiento, viene dado por la Ecuación (3.153). Por lo tanto, en este caso se utiliza un algoritmo clásico
de integración implícita. El procedimiento de integración completo coincide con el modelo clásico de
9.2. PLASTICIDAD AVANZADA DE CAM-CLAY
*
253
trial state
q
CSL
p
Figura 9.8: Esquema del algoritmo de consolidación (en la superficie de consolidación)
Cam-Clay con algún cambio de poca relevancia. El algoritmo, para este caso, proviene de la referencia
[127], bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones.
Sin embargo, hay una diferencia en este caso con respecto al modelo clásico. En la fase de convergencia,
hay que actualizar la posición y tamaño de las superficies de endurecimiento. Las superfcies endurecen
de modo mixto, es decir, de modo isótropo/cinemático, similar al de la superficie de consolidación. Los
nuevos radios vienen dados por
pc
ri = r̄i
(9.80)
p̄c
donde r̄i es el valor de ri para la presión de preconsolidación p̄c y pc es la presión de consolidación actual.
Por supuesto, esta misma expresión se cumple para la superficie de consolidación n. Los tensores de
tensión ’backstress’ se calculan de forma que todas las superfices contactan en el punto de tensión. Por
lo tanto
αi = σ − M−1 : fn
Con este resultado se obtiene
αi =
r̄i
r̄n
³
pc ´
con fn = M : σ − I
2
µ
¶
r̄i
pc r̄i
1−
I
σ+
r̄n
2 r̄n
(9.81)
(9.82)
Hay que destacar que las ecuaciones (9.80) y (9.82) son actualizaciones posteriores; no alteran el algoritmo
de integración local. Por otra parte, la ecuación (3.153) considera únicamente el incremento de deformación volumétrica entre los pasos n y n + 1. En este sentido, ∆εpv debe ser definido como el incremento
de una variable interna ξ c , cuyo incremento tiene lugar únicamente cuando el endurecimiento cinemático
tiene lugar en la superficie de consolidación.
254
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
Esquema del algoritmo de integración
En este apartado se presenta un esquema del algoritmo de integración implícito para los casos de noconsolidación (cuando el proceso de carga tiene lugar dentro de la superficie de consolidación) y de
consolidación (el proceso de carga tiene lugar en la superficie de consolidación)
¡ ¢
Dados ρi , a, hi ρi ∈ [1 → 0] datos del material y los valores εen , ∆ε para el paso n, deforma que
ε∗n+1 = εen + ∆ε
1. Calcular el estado de prueba (’trial state’):
(a) Calcular las deformaciones de prueba ε∗n+1 = εen + ∆ε = εn+1 − εpn
(b) Calcular los invariantes εes∗ and εev∗ de la ecuación (3.130)
q
(c) Calcular la tensión de prueba a partir de las relaciones hiperelásticas: σ ∗n+1 = p∗ I + 23 q∗ ê∗
con p∗ , q∗ y ê∗ dados por las ecuaciones (3.133), (3.134) y (3.135) respectivamente, evaluados
a partir de los invariantes anteriores procedentes de ε∗n+1 .
2. Comprobación de la relaciones de carga /descarga en el estado de prueba, tomando los valores α1n y
¡
¢
¡
¢
pcn : f1∗ = 12 σ ∗ − α1n : M : σ ∗ − α1n − 12 r12 donde ri = r̄i (pc /p̄c ) y (¯·) es un estado de referencia.
(a) IF f1∗ ≤ 0, el paso es elástico: la solución final es la solución de prueba y termina el procedimiento iterativo.
(b) ELSE (f1 > 0), el paso es plástico: Paso 3.
¡
¢
3. Cálculo del nuevo valor de tensión σ n+1 a partir de εen+1 → εev , εes , p, q, ê → σ n+1 εen+1
q2
. IF pc > pcn caso de consolidación,
pM 2
ELSE, caso de no-consolidación (carga dentro de la superficie de consolidación)
4. Cálculo de la presión de consolidación pc como pc = p +
c := (·) / k(·)k define
5. Flujo plástico: nn+1 =ε∗n+1 −εen+1 , parámetro de consistencia ∆γ = knn+1 k y (·)
rn1
ζ como un multiplicador de retorno a la superficie de plastificación, ζ = p
nn+1 : M−1 : nn+1
6. Para cada superficie i
¡
¢
, n̂n+1
(a) Endurecimiento efectivo en la superficie: H ρi , pn+1
c
"
1
i−1
P
1
¡
¢−
(b) Contribución al endurecimiento de la superficie i: H =
n+1
i
i
H ρ , pc , n̂n+1
j=1 H
¿
À
¢
ρi
1 ¡ i
i
(c) Calcular ᾱin+1 = σ − 1 M−1 : (ζnn+1 ) y ∆γ i =
−
ᾱ
ᾱ
:
n̂
n+1
n+1
n+1
ρ
Hi
i
7. Calcular ∆γ̃ =
n
P
#−1
∆γ i
i=1
8. Calcular residuo
0
³
pcn+1 ´
n
0
0
0
(a) Caso de consolidación : n = M : σ n+1 −
y n̂ =
=⇒ Residuo r = ∆γn̂ − ∆γ̃n̂ ,
0
2I
kn k
donde ∆γn̂ = ε∗n+1 − εen+1
9.2. PLASTICIDAD AVANZADA DE CAM-CLAY
255
q,kPa
q=-Mp
60
q=-0.6p
B
30
A
(-p),kPa
-90
Figura 9.9: Condiciones iniciales. Puntos de tensión iniciales A y B en el plano p − q
¢
¡
(b) Caso de no-consolidación ᾱ1n+1 = α1n+1
• Calcular t = σ − α1n+1
pc
1
+
2I ρ1 t
• Dirección de traslación m = σ̄ − σ and m1 = ᾱ1n+1 − α1n+1
• Tensor de tensiones imagen: σ̄ =
• Residuo: r = ∆γ m̂ − ∆γ̃ m̂1
9. Actualizar la solución
e(j+1)
εn+1
=
e(j)
εn+1
i
−
"
∂r(i)
e(j)
∂εn+1
#−1
10. Para cada superfcie que cumpla ∆γ > 0, actualizar
(j)
rn+1 y volver al paso 3 hasta convergencia
αin+1
¡
¢
= σ + ᾱin+1 − σ
µ
pcn+1
pcn
¶
Los detalles del cálculo del módulo tangente local se recogen en la referencia [192]. La extensión del
modelo a grandes deformaciones se puede llevar a cabo utilizando el algoritmo de la referencia [36].
9.2.2
Ejemplos numéricos
En este apartado, se verifica el comportamiento del modelo de superficies múltiples basado en la plasticidad de Cam-Clay en pequeñas deformaciones bajo distintas hipótesis y condiciones de carga. Para ello,
se realizan distintas simulaciones en un punto de integración y se verfican los resultados obtenidos. Los
parámetros de material utilizados en las simulaciones se han extraído de la referencia [127]. Se define una
carga monotónica controlada por deformación.
Se han definido dos condiciones iniciales, ver figura 9.9La condición inicial A corresponde con un suelo
consolidado para una presión de preconsolidación p0 = pc0 = −90 kPa en el eje hidrostático; la condición
inicial B se corresponde con un suelo consolidado con un estado tensional inicial dado por p0 = −90 kPa,
256
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
ICL Monotonic Dev= 0 Des= 0.05
ICL Monotonic Dev= 0 Des= 0.05
60
-50
-55
Pressure p (kPa)
Shear stress q (kPa)
50
200 steps
50 steps
10 steps
40
30
20
-60
200 steps
50 steps
10 steps
-65
-70
-75
-80
10
-85
0
0
0.005
0.015
0.025
0.035
-90
0.045
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
Shear strain εs
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
Volumetric strain εv
(b)
(a)
ICL Monotonic Dev= 0 Des= 0.05
Shear stress q (kPa)
60
50
40
30
200 steps
50 steps
10 steps
20
10
0
-90
-85
-80
-75
-70
-65
-60
-55
-50
Pressure p (kPa)
(c)
Figura 9.10: Análisis de convergencia para el estado inicial A bajo las cargas proporcionales ∆
y ∆ v = 0.05
v
= 0.00
q0 = 54 kPa y ¯la ¯presión de consolidación inicial pc0 = −119.4 kPa. La condición B presenta un ratio de
¯q¯
tensiones η = ¯¯ ¯¯ = 0.6.
p
Los resultados de los distintas simulaciones se presentan a continuación. Las figuras 9.10 y 9.11
representa resultados del análisis de convergencia para el estado inicial A con los valores de deformación
∆ v = 0.00 y ∆ s = 0.05 para el primer análisis y ∆ v = −0.05 y ∆ s = 0.05 en el segundo análisis,
respectivamente, para distintos números de pasos de carga aplicados en incrementos proporcionales. Las
figuras 9.12 y 9.13 representan los resultados del análisis de convergencia para el estado inicial B con los
valores de deformación ∆ v = 0.00 y ∆ s = 0.05 para el primer análisis y ∆ v = −0.05 y ∆ s = 0.05 en
el segundo análisis, respectivamente. Los análisis de convergencia resultantes reproducen los obtenidos
en la referencia [127].
9.2. PLASTICIDAD AVANZADA DE CAM-CLAY
257
ICL Monotonic Dev= -0.05 Des= 0.05
70
ICL Monotonic Dev= -0.05 Des= 0.05
-75
-80
Pressure p (kPa)
Shear stress q (kPa)
60
50
40
200 steps
50 steps
10 steps
30
20
-85
-90
-95
200 steps
50 steps
10 steps
-100
-105
10
-110
-0.05
0
0
0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
Volumetric strain εv
Shear strain εs
(b)
(a)
ICL Monotonic Dev= -0.05 Des= 0.05
70
Shear stress q (kPa)
60
50
40
200 steps
50 steps
10 steps
30
20
10
0
-110
-105
-100
-95
-90
-85
-80
-75
Pressure p (kPa)
(c)
Figura 9.11: Análisis de convergencia para el estado inicial A bajo las cargas proporcionales ∆
y ∆ v = 0.05
v
= −0.05
258
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
h = 0.6 Dev= 0. Des= 0.05
70
68
-65
Pressure p (kPa)
Shear stress q (kPa)
h = 0.6 Dev= 0. Des= 0.05
-60
66
64
62
200 steps
50 steps
10 steps
60
58
56
-70
200 steps
50 steps
10 steps
-75
-80
-85
54
52
0 0.005
0.015
0.025
0.035
-90
0.045
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
Shear strain εs
0
0.2 0.4 0.6 0.8
Volumetric strain εv
(b)
(a)
h = 0.6 Dev= 0. Des= 0.05
Shear stress q (kPa)
70
68
66
64
62
60
200 steps
50 steps
10 steps
58
56
54
52
-90
-85
-80
-75
-70
-65
-60
Pressure p (kPa)
(c)
Figura 9.12: Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆
y ∆ v = 0.05
v
= 0.00
9.2. PLASTICIDAD AVANZADA DE CAM-CLAY
259
h = 0.6 Dev= -0.05 Des= 0.05
85
80
-100
Pressure p (kPa)
Shear stress q (kPa)
h = 0.6 Dev= -0.05 Des= 0.05
-90
75
70
65
200 steps
60
-110
200 steps
-120
-130
-140
55
50
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-150
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
Volumetric strain εv
Shear strain εs
(a)
(b)
h = 0.6 Dev= -0.05 Des= 0.05
85
Shear stress q (kPa)
80
75
200 steps
70
65
60
55
50
-150
-140
-130
-120
-110
-100
-90
Pressure p (kPa)
(c)
Figura 9.13: Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆
y ∆ v = 0.05
v
= −0.05
260
9.3
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
Obtención de las curvas de Hill a partir de puntos experimentales
El ajuste de los puntos experimentales de los ensayos de anisotropía plástica se realiza mediante la función
de plastificación anisótropa de Hill [24], que en el caso de tensión plana, el criterio se reduce a
(G + H) σ2x − 2Hσx σ y + (H + F ) σ 2y + 2Lτ 2xy = 1
(9.83)
donde F, G, H y L son parámetros del material que caracterizan el estado de anisotropía y σ el tensor
de tensiones. Bajo un ensayo uniaxial en el plano de la chapa con un ángulo α respecto de la dirección
de laminado, la tensión de fluencia en la dirección α se puede obtener mediante una rotación del tensor
de tensiones σ en el sistema de referencia X = (x, y, z) (dirección del ensayo uniaxial) hacia un sistema
X0 = (x0 , y 0 , z 0 ) en la dirección α, de la forma
[σ]X0 = [RX→X0 ] [σ]X [RX0 →X ]
(9.84)
donde R es una matriz ortogonal de cambio de base. Expandiendo la expresión, nos queda
[σ]X0 =
"
cos α sin α
− sin α cos α
#"
σ
0
0
0
# "
X
cos α − sin α
sin α cos α
#
"
σ cos2 α
−σ cos α sin α
=
−σ cos α sin α
σ sin2 α
#
(9.85)
X0
Sutituyendo en la expresión (9.83) y redefiniendo los parámetros anisótropos como f = F σ20 , g =
Gσ20 , h = Hσ20 y l = Lσ 20 , siendo σ 0 la tensión de fluencia en la dirección de lamindado, nos queda
(f − g) sin2 α + (g + h) + (2l − f − g − 4h) sin2 α cos2 α =
σ20
σ2α
(9.86)
Si particularizamos la expresión anterior en las direcciones de 0o , 90o y 45o , se obtienen las siguientes
relaciones
g+h = 1
µ
¶2
σ0
f +g =
σ 90
¶2
µ
σ0
f + g + 2l = 4
σ45
(9.87)
Para estimar los parámetros de anisotropía f, g, h y l, se lleva a cabo una regresión lineal múltiple
µ 2 a¶partir
σ0
de los valores de tensión en las distintas direcciones respecto de la dirección de laminado
y los
2
σ
α¢
¡ 2
2
2
valores que adoptan las funciones senoidales con respecto a la dirección α sin α y sin α cos α , de la
forma
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x2
(9.88)
σ 20
y x1 , ..., xk las variables explicativas,
σ 2α
que en este caso coinciden con las funciones cuadráticas senoidales. Los parámetros β 0 , β 1 y β 2 son los
siendo y la variable respuesta, que corresponde con el cociente
9.4. CÁLCULO DE LOS TENSORES SM Y ṠM
261
35
30
Tensión fluencia (kgf/mm2)
25
0%EXP
0% CAL
3%EXP
3%CAL
6%EXP
6%CAL
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
orientación (grados)
Figura 9.14: Evolución de la tensión de fluencia con la dirección respecto de la dirección de laminado para
el estado de partida y posteriormente pretensados al 3% y 6% de deformación plástica. Datos extraídos
de la referencia [41]
estimadores mínimo cuadráticos de los parámetros de anisotropía (g + h) , (f − g) y (2l − f − g − 4h)
respectivamente. Como se puede apreciar, sólo se dispone de tres estimadores para los cuatro parámetros
de anisotropía, con lo cual el cuarto parámetro es linealmente dependiente del resto y se puede determinar
de forma arbitraria. Una vez conocidos los parámetros β i , se puede construir la curva ajustada, de forma
análoga a como se presenta en la figura 9.14.
9.4
Cálculo de los tensores SM y ṠM
En este apéndice se presenta el cálculo de los tensores SM y ṠM , que es necesario en la implementación
del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, cuando no se cumple SM ≈ I.
Dicha hipótesis se cumplía para el caso de tener deformaciones elásticas moderadas y anisotropía elástica
moderada. Por lo tanto
´
1 ³ e 3 Ė
C · MD + Ce ·4 MĖ
D
2
3
3
e
2
X
X X λj + λei
=
(Mi ⊗ Mi ) +
λe 2 − λei
i=1
i=1 j6=i j
SM :=
2
2
¡
¢
ln λej − ln λei Mi ¯s Mj
262
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
Se define
λej 2 + λei
gij = gji :=
λej 2
−
2
λei 2
¡
¢
ln λej − ln λei
(9.89)
siendo λk los alargamientos unitarios definidos de la forma
y
λei
= 1 + εei
λej
= 1 + εej
¡
¢
¢
¡
¢ λej 2 + λei 2 1
2λei λej 2 + λei 2 ¡
2λei
e
e
e
e
−
ln
λ
−
ln
λ
ln
λ
+
ln
λ
¡ e2
¢2
e
j
i
j
i − e 2
λej 2 − λei 2
λj − λei 2 λi
λj − λei 2
¡
¢
¢
¡
¢ λej 2 + λei 2 1
2λej
2λej λej 2 + λei 2 ¡
e
e
e
e
ln
λ
+
ln
λ
:= ¡
−
ln
λ
−
ln
λ
¢2
e
i
j
i
j − e 2
λei 2 − λej 2
λi − λej 2 λj
λej 2 − λei 2
gij,i :=
(9.90)
gij,j
(9.91)
Por otro lado, el tensor
Mi ¯s Mj :=
1
(Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) ⊗ (Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) ≡ Mj ¯s Mi
4
(9.92)
tiene simetrías mayores y menores y, por lo tanto, la derivada
·
Mi ¯s Mj
1
(Ωik Nk ⊗ Nj + Ωik Nj ⊗ Nk + Ωjk Ni ⊗ Nk + Ωjk Nk ⊗ Ni ) ⊗ (Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) +
4
1
+ (Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni ) ⊗ (Ωik Nk ⊗ Nj + Ωik Nj ⊗ Nk + Ωjk Ni ⊗ Nk + Ωjk Nk ⊗ Ni )
4
=
también conserva las simetrías. Sabiendo que
3 XX
X
i=1 j6=i k6=i
gij Ωjk Ni ⊗ Nk =
3 XX
X
i=1 j6=i k6=i
gij Ωik Nj ⊗ Nk
(9.93)
se puede calcular la derivada ṠM como
ṠM
=
3 X³
3 X
´ X
·
X
e
e
gij Mi ¯s Mj
gij,i λ̇i Mi ¯s Mj + gij,j λ̇j Mj ¯s Mi +
i=1 j6=i
= 2
3 X
X
i=1 j6=i
= 2
3 X
X
i=1 j6=i
(9.94)
i=1 j6=i
e
gij,i λ̇i Mi ¯s Mj + 2
e
gij,i λ̇i Mi ¯s Mj + 2
donde
Ni ⊗s Nj :=
3 XX
X
i=1 j6=i k6=i
3 XX
X
i=1 j6=i k6=i
gij Ωjk (Nj ⊗s Nk ) ⊗s (Ni ⊗s Nj )
gik Ωij (Nj ⊗s Nk ) ⊗s (Ni ⊗s Nk )
1
(Ni ⊗ Nj + Nj ⊗ Ni )
2
(9.95)
9.5. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE MATERIAL
263
Por otro lado, el tensor de deformaciones logarítmico Ee se escribe, en su forma espectral, como
e
E =
3
X
i=1
λei Ni ⊗ Nj
(9.96)
y la derivada
Ėe =
e
3
X
λ̇
i
e Ni
λ
i=1 i
⊗ Ni +
3 X
X
¡
i=1 j6=i
¢
ln λej − ln λei Ωij Ni ⊗s Nj
(9.97)
Por lo tanto, el tensor de sexto orden S que relaciona ṠM y Ėe se define como
S=
3 X
3 XX
X
X
gik
∂SM
e
s
s
=
2
g
λ
M
¯
M
⊗
N
⊗
N
+
2
ij,i i
i
j
i
i
e
e Nikkj ⊗ Ni ⊗ Nj (9.98)
∂Ee
ln
λ
−
ln
λ
j
i
i=1
i=1
j6=i
j6=i k6=i
donde
Nikkj := (Nj ⊗s Nk ) ⊗s (Ni ⊗s Nk )
(9.99)
Ni ⊗s Nj : Nk ⊗ Nk = Nk ⊗ Nk : Ni ⊗s Nj = δ ik δ jk = 0, si i 6= j
(9.100)
y puede comprobarse que
El tensor S tiene simetrías mayores y menores en los cuatro primeros índices y simetría menor en los dos
últimos índices.
9.5
Determinación de los parámetros de material de las simulaciones
En este apéndice se presenta el procedimiento seguido para determinar las propiedades mecánicas necesarias (propiedades elásticas, propiedades plásticas y parámetros de endurecimiento) para realizar las
simulaciones numéricas del Capítulo 7. Los parámetros del material iniciales se han extraído de las
Referencias [130] y [134].
9.5.1
Isotropía Elastoplástica : Ensayo de tracción de una barra cilíndrica
En la referencia [130] se prescriben unos parámetros de material necesarios para modelar el ensayo de tracción de una barra cilíndrica, bajo la hipótesis de isotropía elastoplástica. Estos parámetros se presentan
en la tabla 9.1.
Por otra parte, los parámetros que hay introducir en los modelos numéricos son: E (módulo de Young),
y ν (coeficiente de Poisson). Los parámetros plástico y de endurecimiento coinciden con los requeridos
en los modelos numéricos. Para calcular E y ν, se utilizan las siguientes relaciones
E=
9Kμ
3K − 2μ
yν=
3K + μ
2 (3K + μ)
Finalmente, los parámetros utilizados en las simulaciones se presenta en la siguiente tabla 9.2.
(9.101)
264
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
Tracción de una barra cilíndrica. Propiedades del material
Módulo de Elasticidad
Coeficiente de Poisson
Tensión de plastificación
Tensión de plastificación infinita
Módulo de endurecimiento
Parámetro de saturación
K = 164, 206 GP a
μ = 80, 1938 GP a
σ y = K0 = 0.45 GP a
K∞ = 0.715 GP a
H̄ = 0.12924 GP a
δ = 16.93
Tabla 9.1: Parámetros del material
Tracción de una barra cilíndrica. Propiedades del material
Módulo de Elasticidad
Coeficiente de Poisson
Tensión de plastificación
Tensión de plastificación infinita
Módulo de endurecimiento
Parámetro de saturación
E = 206, 9 GP a
ν = 0.29
σ y = K0 = 0.45 GP a
K∞ = 0.715 GP a
H̄ = 0.12924 GP a
δ = 16.93
Tabla 9.2: Parámetros del material de la simulación de una barra cilíndrica sometida a tracción
9.5.2
Isotropía Elástica y Anisotropía Plástica: Estampado de una placa circular delgada
En la referencia [134] se prescriben unas propiedades elásticas y plásticas necesarias para modelar el
proceso de estampado de una placa circular delgada, bajo las hipótesis de isotropía elástica y anisotropía
plástica.
Las propiedades elásticas prescritas son
K = 164.20 GP a y μ = 80.19 GP a
(9.102)
Nuevamente hay que transformar estas propiedades elásticas a sus equivalentes E y ν, de la forma
E
=
ν
=
9Kμ
= 206, 9 GP a
3K + μ
3K − 2μ
= 0.29
2 (3K + μ)
(9.103)
Por otra parte, se han considerado dos casos distintos de anisotropía plástica. En el caso A se han
prescrito los parámetros
(9.104)
α1 = α2 = 1, α3 = α4 = α5 = 4, γ 1 = 0
donde dominan los términos de tensión tangencial del criterio de plastificación y el caso B
α1 = α2 = 1, α3 = α4 = α5 = 0.25, γ 1 = 0
(9.105)
donde dominan los términos de tensión normal. La función de plastificación de Hill utilizada en esta
9.5. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE MATERIAL
265
referencia se ha definido de la siguiente forma
f
=
∙µ
¶
1
1
1
1
α2 − α1 (S11 − S22 )2 + (α1 + γ 1 ) (S22 − S33 )2 + (α1 − γ 1 ) (S33 − S11 )2 (9.106)
2
6
3
3
¤1
2
2
2 2
+2α3 S12
+ 2α4 S23
+ 2α5 S31
− σy
donde Sij son las componentes cartesianas del tensor de tensiones y σ y es la tensión de fluencia. La
función de fluencia de Hill utilizada en los modelos numéricos, se ha definido en el Capítulo 5, de la forma
f≡
1
1
σ : N : σ − σ 2y = 0
2
3
(9.107)
donde N es el tensor de anisotropía de cuarto orden que, de forma matricial, usando la representación de
Voigt y expresado en el sistema de representación principal, puede escribirse como
[N]Xpr
⎡
N1 + N2
⎢
⎢ −N1
⎢
⎢ −N
2
⎢
=⎢
⎢
0
⎢
⎢
0
⎣
0
−N1
N1 + N3
−N3
0
0
0
−N2
−N3
N2 + N3
0
0
0
0
0
0
Nxy
0
0
0
0
0
0
Nyz
0
⎤
0
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎦
Nzx X
(9.108)
pr
donde
N1 = 23 Hσ 2y , N2 = 23 Gσ 2y , ..., Nzx = 23 M σ2y
(9.109)
Por lo tanto, hay que obtener los parámetros de Hill H, F, G, L, M, N a partir de los parámetros αi y γ 1 ,
definidos en la ecuación (9.106). Las equivalencias entre ambas formulaciones se presentan a continuación
1
1
α2 − α1 = Hσ2y
2
6
1
(α1 + γ 1 ) = F σ 2y
3
1
(α1 − γ 1 ) = Gσ 2y
3
Lσ 2y
α4 =
2
M σ 2y
α5 =
2
N σ2y
α6 =
2
(9.110)
dando como resultados los parámetros de Hill adimensionalizados para el caso A
1
3
= m=n=8
h = f =g=
l
(9.111)
266
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
Membrana de Cook. Propiedades Material
α1
20.5848
α2
12.1153
α3
12.1153
α4
6.5497
N
mm2
α5
6.5497
α6
6.5497
α7
3.4000
α8
5.5172
α9
3.4000
Tabla 9.3: Parámetros del material
y para el caso B
1
3
1
= m=n=
2
h = f =g=
l
(9.112)
En ambos casos, la tensión de fluencia es σ y = 0.45 GP a y se prescribe un endurecimiento isótropo lineal,
cuyo módulo es H̄ = 0.1 GP a.
9.5.3
Anisotropía Elástica: El problema de la membrana de Cook
Los parámetros de material para este problema se han obtenido de la Referencia [130]. La dirección
principal de anisotropía queda definida por el vector
1
a1 = [1, 1, 1]T √
3
(9.113)
y las propiedades elásticas anisótropas están reflejadas en la tabla 9.3.
Estos parámetros son las componentes del tensor de anisotropía elástica de cuarto orden, definido en
la referencia [130] como
⎤
⎡
α1 α4 α6
0
0
0
⎥
⎢
⎢α4 α2 α5
0
0
0 ⎥
⎥
⎢
⎢α α α
0
0
0 ⎥
⎥
⎢ 6
5
3
e
(9.114)
A =⎢
⎥
1
⎥
⎢0
0
0
α
0
0
7
2
⎥
⎢
⎢0
1
0
0
0
0 ⎥
⎦
⎣
2 α8
1
0
0
0
0
0
α
2 9
Los parámetros de anisotropía elástica utilizados en los modelos numéricos se pueden obtener fácilmente
de ensayos experimentales convencionales: E1 , E2 , E3 , los módulos de Young, ν ij , los coeficientes de
Poisson y G23, G31, G12 , los módulos a cortante en los planos formados por las direcciones principales
23, 31 y 12 respectivamente, definiendo la inversa del tensor de anisotropía elástica de cuarto orden como
⎡
1
⎢ Eν112
⎢− E
3
⎢
⎢− ν 13
⎢ E3
Ae−1 = ⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎣
0
− νE212
1
E2
− νE133
0
0
0
− νE133
− νE133
0
0
0
0
0
0
1
G23
1
E3
0
0
0
0
0
0
1
G31
0
0
0
0
0
0
1
G12
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(9.115)
9.5. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE MATERIAL
Membrana de Cook
Propiedades del material
Módulo de Elasticidad en dirección 1
Módulo de Elasticidad en dirección 2
Módulo de Elasticidad en dirección 3
Coeficiente de Poisson en dirección 12
Coeficiente de Poisson en dirección 23
Coeficiente de Poisson en dirección 13
Módulo de Cortante en dirección 12
Módulo de Cortante en dirección 23
Módulo de Cortante en dirección 13
267
E1 = 16 M P a
E2 = 8 M P a
E3 = 8 M P a
ν 12 = 0.35
ν 23 = 0.45
ν 13 = 0.45
G12 = 1.7 M P a
G23 = 2.76 M P a
G13 = 1.7 M P a
Tabla 9.4: Propiedades del Material
Anisotropía elástica. Propiedades Material (GP a)
k
μ1
μ2
μ3
μ4
μ5
β3
58.33 35.90 26.92 40.39 40.39 40.39 0.0
β4
0.0
Tabla 9.5: Parámetros del material
Por lo tanto, las propiedades del material utilizadas en la simulaciones se recogen en la tabla 9.4.
9.5.4
Anisotropía Elastoplástica: Placa rectangular con agujero sometida a
tracción
Los parámetros del material necesarios para caracterizar los estados de anisotropía elástica y plástica se
han obtenido de la Referencia [134]. Las propiedades de anisotropía elástica se definen a continuación
En la Referencia [134], se ha definido una función de energía almacenada Ψ de la forma
³
´
Ψ = Ψ̄ Ē(m) , U + U (J)
(9.116)
donde U (J) es la parte volumétrica de la función de energía definida en este caso como
U (J) =
1
2
k (ln J)
2
(9.117)
¡
¢
y Ψ̄ Ē(m) , U es la parte desviadora de la función de energía almacenada. Esta función de energía
desviadora se define como
³
´
´
1 ³ (m)
Ψ̄ =
− Ep : D̄m : Ē(m) − Ep
(9.118)
Ē
2
donde D̄m es el tensor de anisotropía desviador. Por otra parte, se define
S̄(m) =
∂ Ψ̄
∂ Ē(m)
(9.119)
que el tensor de tensiones desviador. El módulo elasto-plástico tangente desviador se calcula como
D̄m =
∂ 2 Ψ̄
∂ Ē(m) ∂ Ē(m)
(9.120)
268
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
y se puede expresar en función de las contantes elásticas de la Tabla anterior como
D̄m
= 3μ1 A1 ⊗ A1 + μ2 A2 ⊗ A2 + μ2 A2 ⊗ A2 + μ3 A3 ⊗ A3 + μ4 A4 ⊗ A4 +
(9.121)
+μ5 A5 ⊗ A5 + β 3 (A1 ⊗ I + I ⊗ A1 ) + β 4 (A2 ⊗ I + I ⊗ A2 )
donde A1 , A2 , A3 , A4 y A5 se definen como
A1
A2
1
= N3 ⊗ N3 − I
3
= N1 ⊗ N1 − N2 ⊗ N2
A3
= N1 ⊗ N2 + N2 ⊗ N1
A4
= N2 ⊗ N3 + N3 ⊗ N2
A5
= N3 ⊗ N1 + N1 ⊗ N1
(9.122)
y N1 , N2 , N3 son vectores ortogonales. Por lo tanto, el tensor de anisotropía elástica de cuarto orden se
puede escribir de la forma
£ ¤
[Ce ]X = kI ⊗ I + D̄m X
(9.123)
donde el tensor de constantes elásticas anisótropo de cuarto orden de calcula como
£
¤
[Ae ]X = Ce−1 X
(9.124)
Los parámetros de anisotropía elástica utilizados en los modelos numéricos son: E1 , E2 , E3 , los
módulos de Young, ν ij , los coeficientes de Poisson y G23, G31, G12 , los módulos a cortante en los planos
formados por las direcciones principales 23, 31 y 12 respectivamente, definidos como
⎡
1
⎢ Eν112
⎢− E
3
⎢
⎢− ν 13
⎢ E3
[Ae ]N = ⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎣
0
− νE212
1
E2
− νE133
0
0
0
− νE133
− νE133
0
0
0
0
0
0
1
G23
1
E3
0
0
0
0
0
0
1
G31
0
0
0
0
0
0
1
G12
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(9.125)
{N}
Por lo tanto, la equivalencia entre los parámetros de anisotropía elástica quedan reflejados en la tabla
9.6.
Por otra parte, se han definido los siguientes parámetros de anisotropía plástica
α1 = 0.01,
α2 = α3 = α4 = α5 = 1.0, γ 1 = 0
(9.126)
9.5. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE MATERIAL
Placa con agujero
Propiedades del material elásticas
Módulo de Elasticidad en dirección 1
Módulo de Elasticidad en dirección 2
Módulo de Elasticidad en dirección 3
Coeficiente de Poisson en dirección 12
Coeficiente de Poisson en dirección 23
Coeficiente de Poisson en dirección 13
Módulo de Cortante en dirección 12
Módulo de Cortante en dirección 23
Módulo de Cortante en dirección 13
269
E1 = 86.85 GP a
E2 = 69.58 GP a
E3 = 93.75 GP a
ν 12 = 0.3918
ν 23 = 0.3248
ν 13 = 0.057
G12 = 40.39 GP a
G23 = 40.39 GP a
G13 = 40.39 GP a
Tabla 9.6: Propiedades del Material
dando lugar a los parámetros de Hill adimensionales
h = Hσ 2y = 0.747
f
(9.127)
= F σ 2y = 4.95 × 10−3
g
= Gσ 2y = 4.95 × 10−3
l
= m = n = 0.75
y con una tensión de plastificación σ y = 0.42 GP a. En este caso se asume que no existe endurecimiento.
270
CAPÍTULO 9. APÉNDICES
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