Matemáticas 4 Enero 2016

Matemáticas 4
Enero 2016
Laboratorio #1 Vectores
I.- Calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos.
1)
2)
𝑢 = 3i + 2j − 4k;
𝑢 = 𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘;
3)
𝑢 = − 2 𝑖 + 3 𝑗 + 4 𝑘;
1
1
𝑣 = −𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘
𝑣 = −1𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘
1
2
1
1
𝑣 = 3𝑖 + 3𝑗 − 3𝑘
II.- Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Después bosqueje
cada par.
1) 𝑢 = 2𝑖 + 3𝑗; 𝑣 = −1𝑖 + 2𝑗
2) 𝑢 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘; 𝑣 = 2𝑖 − 4𝑗 + 6𝑘
3) 𝑢 = 3𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘; 𝑣 = −4𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘
III.- Encuentre la distancia entre los puntos.
1) 𝐴 = (3, 8, −2), 𝐵 = (6, 0, 1)
2) 𝐴 = (− 1⁄3 , 3, − 1⁄2); 𝐵 = (4, 2, 6)
3) 𝐴 = (2, 4, 1); 𝐵 = (1⁄2 , 1⁄4 , 1)
IV.- Encuentre la magnitud y los cosenos directores del vector dado.
1) 𝐴 = 12𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘
2) 𝐴 = −1𝑖, 2𝑗, −3𝑘
V.- Encuentra el producto cruz (u x v).
1) 𝑢 =< 2, 1, −3 >; 𝑣 =< 3, −1, 4 >
2) 𝑢 =< 1⁄3 , 2⁄3 , 1⁄6 >; 𝑣 =< 3, 2, 3 >
VI.- Encontre.
1) El volumen del paralelepípedo con vértices en P(5, 4, 5), Q(4, 10, 6), R(1, 8, 7) y S(2, 6, 9) y aristas
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑃𝑅
⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑃𝑆
en 𝑃𝑄
2) Para el triángulo que tiene vértices en 𝐴(2, −5, 3), 𝐵(−1, 7, 0) 𝑦 𝐶(−4, 9, 7). Encuentra su
área.
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Laboratorio #2:
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Aplicaciones de Vectores
I.- Encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones para métricas y las simétricas de la recta indicada.
1) Contiene a (10, −5, 6) 𝑦 (8, −2, −9)
2) Contiene a (3⁄8 , 4⁄6 , − 1⁄2) 𝑦 (1⁄3 , 2⁄11 , 3⁄7)
3) Contiene a (6, 5, −2) 𝑦 (3, −8, − 1⁄2)
II.- Encuentre la ecuación del plano.
1) Que pasa por el punto 𝑃(5, −2, 4) y que tiene un vector normal 𝑛̂ =< 1, 6, −2 >
2) Que contiene el punto 𝑃(4, 0, −2) y es paralelo a cada uno de los planos
𝑥−𝑦+𝑧 =0 𝑦
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 5 = 0
III.- Determine la ecuación de la esfera que:
1) Tiene centro en 𝐶(−1, 2, −5) y uno de sus diámetros tiene longitud 10.
2) Tiene los puntos 𝐴(−5, 6, −2) 𝑦 𝐵(9, −4, 0) como los extremos de uno de sus
diámetros.
IV.- Determine el perímetro de los siguientes vértices y determina el tipo de triángulo. (Equilátero,
escaleno ó isósceles).
1) Con vértices en 𝐴(2, −5, 3), 𝐵(−1, 7, 0) 𝑦 𝐶(−4, 9, 7)
2) Con vértices en 𝐴(3, 5, 6) 𝐵(−5, −2, −1) 𝑦 𝐶(2, 4, −1)
V.- Encuentre el vector unitario en dirección de 𝑃1 𝑃2
1) 𝑃1 (5, 3, 2),
𝑃2 (−2, 4, 0)
2) 𝑃1 (3, 8, −6), 𝑃2 (4, −3, −2)
3) P1 (4, −2, −7) 𝑃2 (−3, −1, −6)
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Laboratorio # 3 Bases y dependencia lineal
I.- Determine si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o
linealmente independientes, justificar su respuesta.
1)
,
2) v1=
, v2=
, v3=
3) < 2, −1,4 >, < 4, −2,7 >
4) < −2, 3 >, < 4,7 >
5) < 1, −1, 2 >, < 4, 0, 0 >, < −2, 3, 5 >, < 7, 1, 2 >
6) < −3, 4, 2 >, < 7, −1, 3 > , < 1, 1, 8 >
II.- Determine si los siguientes vectores generan al espacio R3.
,
,
III.- Encuentre una base en R3 para el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:
1)
2)
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3)
4)
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
5)
𝑥−𝑦−𝑧 =0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
IV.- Para que valor de λ los siguientes vectores forman un conjunto linealmente independiente
en R3
,
,
V.- Determine el valor de “a” de tal modo que los siguientes vectores son linealmente
dependientes.
,
,
,
VI.- Para que valores del número real α los vectores (α, 1, 0), (1, 0, α), (1 + α, 1, α) constituyen
una base para 𝑅 3 .
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Laboratorio # 4 Transformaciones lineales
I.- Determine si la transformación de V en W dada es lineal.
2
1) 𝑇 ∶ ℝ → ℳ3 𝑥 2 ;
2) 𝑇 ∶ ℳ 2 𝑥 2 → 𝑃3 ;
𝑥+𝑦
𝑥
𝑇 (𝑦) = (𝑥 − 𝑦
0
𝛼
𝑇(
𝛾
2𝑥
4𝑦)
1
𝛽
) = 𝛼𝑥 3 + 𝛽𝑥 2 − 𝛾𝑥 + 𝛿
𝛿
3) 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 2 ;
𝑥
1
𝑇 (𝑦 ) = ( )
𝑧
𝑧
4) 𝑇: 𝑅 2 → 𝑅 2 ;
𝑥
𝑥+𝑦
𝑇 (𝑦) = (𝑥 − 𝑦)
II.-Encuentre el núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación lineal dada.
1)
𝑇: 𝑅 2 → 𝑅 2 ;
𝑇(𝑥, 𝑦) = ( 𝑥 − 2𝑦 , −𝑥 + 𝑦)
2)
𝑇: 𝑅 2 → 𝑅 4 ;
𝑇(𝑥, 𝑦) = ( 2𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 3𝑦 , 𝑥 , 𝑦)
3)
𝑇: 𝑅 2 → 𝑅 2 ;
𝑇(𝑥, 𝑦) = ( 3𝑥 − 2𝑦 , 5𝑥 + 𝑦)
4)
𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 ;
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 , 3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 , 5𝑥 − 𝑦 + 8𝑧)
5)
𝑇: 𝑅 4 → 𝑅 3
𝑥
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑤
𝑦
; 𝑇 ( ) = ( 𝑦 + 4𝑧 + 3𝑤 )
𝑧
𝑥 + 6𝑧 + 6𝑤
𝑤
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Laboratorio # 5 Aplicaciones geométricas de TL
I.- Describa en palabras las transformaciones lineales
matricial AT.
que tienen la representación
1)
2)
3)
4)
II.-Escriba la representación matricial 2x2 de la transformación lineal dada y bosqueje la región
obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo dado.
1)
Compresión a lo largo del eje x con
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2)
Corte a lo largo del eje y con
3) Corte a lo largo del eje x con
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Laboratorio # 6 Vectores propios
I.- Calcule los valores y vectores propios de la matriz dada, además el espacio generado
para cada valor propio. Indique la multiplicidad algebraica de cada λ.
1) (
−2 −2
)
−5 1
1 1 −2
2) (−1 2 1 )
0 1 −1
7 −2 −4
3) (3 0 −2)
6 −2 −3
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Laboratorio # 7 Ecuaciones Cuadráticas
I.- Encuentre:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
La ecuación cuadrática de forma AV (V)= D, donde A debe ser simétrica.
Los valores característicos de A
Los vectores característicos
La matriz ortogonal Q donde |𝛼| donde |𝛼| = 1
El Angulo α de rotación
La nueva ecuación de la forma Dv´(v´)=d
La grafica
Dadas las siguientes matrices
1) 4𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 9
2) 4𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 9
3) 𝑥𝑦 = 1
4) 4𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = −2
5) 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 5𝑦 2 = 36
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Laboratorio # 8 Funciones vectoriales y derivadas parciales
I.- Encuentre la derivada de las funciones vectoriales.
1) 𝐹(𝔱) = ℯ 𝔱 cos 𝔱 𝔦 + ℯ 𝔱 sen 𝔱 𝔧 + ℯ 𝔱 k
2) 𝐹(𝔱)= 𝔱 𝔦 + (𝔱2 − 2𝔱)𝔧 + 2(𝔱 − 1) k
3) 𝐺(𝔱)= (cos 𝔱 + 𝔱 sen 𝔱)𝔦 + (sen 𝔱 − 𝔱 cos 𝔱)𝔧 + 2 k
4) 𝐺(𝔱)= ℯ−𝔱 𝔦 + ℯ𝔱 + √2 + 𝑘
1
1
5) 𝐺(𝔱)= 𝔱2 𝔦 + (3 𝔱3 + 𝔱) 𝔧 + (3 𝔱3 − 𝔱) k
II.- Grafique las curvas.
1) 𝐹(𝔱)= 𝑡𝑖 +
1
2
𝑡2𝑗 +
1
3
2) 𝐹(𝔱)= 𝑡𝑖 + 𝑡 2 𝑗 + 2𝑡 3 𝒌 ;
𝑡3𝒌
0≤𝔱 ≤2
3) 𝐹(𝔱) = 2𝑡 𝑖 + 𝔱3 𝑗 + (𝑡2 − 1)𝒌
4) 𝐹(𝔱)= 𝑡 sen 𝑡 𝑖 + ℯ𝑡 𝑗 + cos 𝑡 𝒌
III.- Calcule las derivadas parciales que se piden.
1) 𝑣𝑧 y 𝑣𝑡 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑣 = 𝜋𝑥 2 𝑦 ; x = 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑠𝑒𝑛𝑡 ;
2)
3) 𝑢𝑡
𝑢𝑟 𝑦 𝑢𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑢 =𝑥 2 + 𝑥𝑦 ;
𝑦
𝑢𝑧
𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 ;
4) 𝑢𝑟 , 𝑢𝜑 , 𝑢𝜃 𝑑𝑎𝑑𝑜
5)
𝑢𝑟 , 𝑢𝑠
x = 𝑟 2 +𝑠 2 ;
y = 3𝑟 − 2𝑠
𝑥 = 2𝑧𝑒 𝑡 ; 𝑦 = 𝑡 2 𝑒 −𝑧
x = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜃;
𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑢 = 𝑥 2 𝑦𝑧;
y = 𝑧2𝑒𝑡
x =
y = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜃;
𝑟
𝑠
z = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
; y = 𝑟𝑒 𝑠 ; z = 𝑟𝑒 −𝑠 ;
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IV.- Encuentre el plano tangente y la recta normal a:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑧 = 2
𝑃𝑜 (−2, −4, 6)
𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑃𝑜 (1, 𝑒, 0)
𝑧 = 𝑒 3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑦
𝑃𝑜 (0, 6 𝜋, 1)
𝑧𝑥 2 − 𝑥𝑦 2 − 𝑦𝑧 2 = 18
𝑃𝑜 (0, −2, 3)
1
V.- Calcule el diferencial total de:
𝑤 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑤 = 𝑥𝑒2𝑦 + 𝑒−𝑦
𝑤=
𝑥𝑦𝑧
𝑥+𝑦+𝑧
𝑤 = 𝑒𝑦𝑧 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑧
𝑤 = 𝑒2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑒−2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦
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Laboratorio # 9 Aplicaciones de Derivadas Parciales I
1) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie.
36x2 – 9y2 + 4z2 + 36 = 0
Con el plano x = 1 en el punto (1,√12 , -3). Interprete esta pendiente como una derivada
parcial.
2) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie z =
x2 + y2 con el plano y = 1 en el punto (2, 1, 5). Dibuje la curva e interprete está pendiente
como una derivada parcial.
3) La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa delgada es T grados, donde T =
54 – 2x2 – 4y2. Si la distancia se mide en centímetros, calcule la tasa de variación de la
temperatura con respecto a la distancia recorrida a lo largo de la placa en las direcciones
positivas de los ejes x y y, respectivamente, en el punto (3, 1).
4)Un contenedor tiene la forma de un sólido rectangular y tiene una longitud interior de 8
m, un ancho interior de 5 m, una altura interior de 4 m y un espesor de 4 cm. Emplea la
diferencia total para aproximar la cantidad de material necesario APRA construir el
contenedor.
5) Utilice la diferencia total para calcular aproximadamente el mayor error al determinar
el área de un triángulo rectángulo a partir de las longitudes de los catetos si ellos miden 6
cm y 8 cm, respectivamente, con un error posible de 0.1 cm para cada medición. También
obtenga aproximadamente el error relativo.
7) Se elabora una caja sin tapa de un trozo de madera de 2/3 pulg. de espesor. La longitud
interior será de 6 pie, el ancho interior será de 3 pie, la profundidad interior será de 4 pie.
Utilice la diferencial total para calcular la cantidad aproximada de madera que se
empleará en la caja.
8) En un instante dado, la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 cm y
crece a una razón de 1 cm/min, y la longitud de otro cateto es de 12 cm y decrece a una
razón de 2 cm /min. Calcule la razón de variación de la medida del ángulo agudo opuesto
al cateto de 12 cm en ese instante.
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Laboratorio # 10 Aplicaciones de Derivadas Parciales II
1) Se introduce agua en un tanque que tiene forma de cilindro circular recto a una razón
de 4/5m3/min. El tanque se ensancha de modo que, aun cuando conserva su forma
cilíndrica, su radio se incremente a una razón de 0.2 cm/min ¿Qué tan rápido sube la
superficie del agua cuando el radio es de 2 m y el volumen del agua en el tanque es de 20
m3?
2) La altura de un cilindro circular recto disminuye a una razón de 10 cm/min y el radio se
incremente a una razón de 4 cm/min. Obtenga la razón de variación del volumen en el
instante en que la altura es de 50 cm y el radio de 16 cm.
4) La temperatura en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano xy es
T(x, y), donde T(x, y) = 3x2 + 2xy. La distancia se mide en metros. (a) Calcule la máxima tasa
de variación de la temperatura en el punto (3, -6) de la placa. (b) Determine la dirección
para la cual ocurre esta tasa de variación máxima en (3, -6).
6) Determine los tres números positivos cuya suma sea 24 de modo que su producto sea
el mayor posible.
7) Obtenga tres números positivos cuyo producto sea 24 de manera que su suma sea lo
más pequeña posible.
8) Encuentre el punto del plano 3x + 2y – z = 5 que esté más cerca del punto (1, -2, 3), y
calcule la distancia mínima.
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Laboratorio # 11 Serie de Taylor
I.- Halle la serie de Taylor para la función dada alrededor del punto indicado.
1) 𝑓(𝑥) = 𝑒 3𝑥
, 𝑥=2
, 𝑥 = 𝜋⁄6
2) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
3) 𝑓(𝑥) = cos( 4𝑥 )
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ln 𝑥
, 𝑥= 𝜋
, 𝑥=1
5) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 1 , 𝑥 = 2
6) 𝑓(𝑥) = √𝑥
,
𝑥=3
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