Ecuaciones de primer y segundo grado

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Ecuaciones de primer y segundo grado
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Conoce, analiza, aplica...
Ecuaciones de primer
y segundo grado
CONTENIDOS
•• Resolución de ecuaciones sencillas
•• Regla de la suma y regla del producto
•• Resolución de ecuaciones con paréntesis
•• Resolución de ecuaciones con denominadores
•• Resolución de problemas con ecuaciones de primer
grado
•• Ecuaciones de segundo grado: resolución
•• Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
•• Discusión de la ecuación de segundo grado: número de
soluciones
•• Resolución de problemas con ecuaciones de segundo
grado
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Formación Profesional Básica - Ciencias Aplicadas II - Editorial Donostiarra
COMPETENCIAS BÁSICAS
•• Analizar las diferencias entre los distintos tipos de ecuaciones y la operatoria de cálculo para resolverlas.
•• Utilizar la operatoria propia de cada tipo de ecuación
en la resolución de ejercicios para adquirir la soltura y
seguridad adecuadas.
•• Efectuar cálculos de ecuaciones de primer y segundo
grado con dificultad creciente para afianzar la operatoria.
•• Resolver problemas de la vida cotidiana con ecuaciones de primer y segundo grado.
•• Desarrollar habilidades de relación y confianza en uno
mismo para tomar decisiones en los trabajos en grupo.
•• Dotar los escritos personales y escolares de un estilo
sencillo y que respete la gramática (en trabajos, memorias, informes, fichas...).
•• Buscar información manejando distintas vías (Internet,
correo electrónico, textos, catálogos, revistas...).
•• Comprender textos de tipo científico y usar la información correctamente al resolver problemas y ejercicios
prácticos.
Ecuaciones de primer y segundo grado
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COMENZAMOS...
Ya hemos conocido y trabajado en cursos anteriores el concepto de expresión algebraica, que nos permite pasar del lenguaje
coloquial al lenguaje matemático. Así hemos podido convertir situaciones reales en igualdades entre distintas expresiones
introduciendo y trabajando el concepto de ecuación y sus tipos.
Ahora revisaremos estos conceptos, profundizaremos en la resolución de ecuaciones de primer grado y veremos como plantear una ecuación es traducir un enunciado del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico.
En las ecuaciones, las letras significan cantidades o números no determinadas de antemano. Pueden variar, cambiar o tener un
valor desconocido. Las letras se llaman variables o incógnitas, y los números que no cambian, coeficientes.
Sucede con frecuencia en nuestra vida ordinaria que se nos plantean problemas que admiten dos soluciones, es decir, que nos
conducen a las ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Observarás con diversos ejemplos cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones y cómo utilizar las ecuaciones para solucionar
diferentes clases de problemas. Veremos y analizaremos los procesos y pasos seguidos en cualquier situación.
LO QUE SABEMOS...
Con lo que tú ya sabes y la información que puedes recoger en tu entorno más próximo podéis realizar un debate en clase
sobre las siguientes cuestiones:
• ¿Qué es una expresión algebraica?
• ¿Qué es una igualdad? ¿Y una identidad?
• ¿Qué es una ecuación? ¿En qué se diferencian una ecuación de primer grado
y una de segundo grado?
• ¿Qué elementos de la ecuación conoces?
• ¿Recuerdas los pasos que hay que seguir para resolver una ecuación de primer grado?
• ¿Recuerdas cómo se resuelve una ecuación completa de segundo grado?
• ¿Eres capaz de solucionar problemas en los que intervienen ecuaciones?
• ¿Recuerdas qué pasos debemos seguir para plantear un problema con ecuaciones?
Al terminar esta unidad de trabajo
SERÁS CAPAZ DE...
• Leer, escribir y operar de forma correcta ecuaciones de primer y segundo grado.
• Adquirir soltura, agilidad y seguridad en el cálculo de ecuaciones de primer y segundo grado.
• Manejar con seguridad los aspectos generales de operatoria referidos a los temas trabajados.
• Realizar distintos tipos de ejercicios y problemas con ecuaciones de primer y segundo grado relacionados con la vida cotidiana.
• Utilizar correctamente el vocabulario específico en todas las operaciones de cálculo realizadas, así como mejorarlo y ampliarlo.
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Recuerda
Transponer términos supone:
a) Que los términos que están sumando pasan al otro miembro restando, y viceversa.
x–2=8
x = 8 + 2 = 10
b) Que los términos que están dividiendo
pasan al otro miembro multiplicando, y
viceversa.
x =6
3
x = 6 · 3 = 18
¿Sabías que...?
Es posible resolver ecuaciones utilizando la calculadora
o el ordenador.
Calculadora científica.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS
Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la incógnita que hace que se verifique la igualdad.
Ejemplo:
Vamos a ver cuáles son los pasos que hay que seguir en la resolución de la ecuación
3x – 4 = 7x – 16:
1º. Transponer los términos. Agrupamos en un mismo miembro los términos que
contengan la incógnita y en el otro miembro todos los términos independientes
(o números):
3x – 4 = 7x – 16
3x – 7x = –16 + 4
2º. Simplificar. En ambos miembros realizamos las operaciones posibles:
3x – 7x = –16 + 4
–4x = –12
3º. Despejar la incógnita:
–4x = –12
x = –12 = 3
–4
x=3
REGLA DE LA SUMA Y REGLA DEL PRODUCTO
Las reglas de la suma y del producto son dos principios que, aplicados en la resolución de una ecuación, permiten obtener otra ecuación equivalente.
Resolución de ecuaciones con ordenador.
Regla de la suma
Regla del producto
Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuación un mismo número
o expresión algebraica, obtenemos una
ecuación equivalente a la anterior.
Si multiplicamos o dividimos los dos
miembros de una ecuación por un mismo número (distinto de 0), obtenemos
una ecuación equivalente a la anterior.
Este principio se llama transposición.
Ejemplo:
2x + 4 = 8
Ejemplo:
4x = 24
6x = 12
4x – 6 = 18
Dividimos por 4 ambos miembros:
4x = 24
4
4
x=6
Recuerda
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen
la misma solución.
Ejemplo:
Son equivalentes.
Sumamos 6 a ambos miembros:
Solución: x = 2
4x – 6 + 6 = 18 + 6
Observa
Las partes de una ecuación (por ejemplo,
4x = 6) son:
4x = 24
x = 24 = 6
4
Recuerda que, al pasar términos de un
miembro a otro, cambian de signo.
•• la incógnita (x)
•• el coeficiente (4)
•• el término independiente (6)
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EJERCICIOS RESUELTOS
1º. Resuelve la ecuación 2x + 7 – 5x = 8 – 4x – 3.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1º.Calcula el valor de x en las siguientes ecuaciones:
Solución:
a) 2x + 3 = 7
1º. Transponemos los términos: 2x – 5x + 4x = 8 – 3 – 7
2º. Simplificamos: 6x – 5x = 5 – 7
3º. Despejamos la incógnita: x = –2
b) 2x + 3 = 4x + 7
c) 5x – 3 = 4x + 2
2º.Resuelve estas ecuaciones:
a) 9x + 8 = 7x + 16
2º. Resuelve la ecuación 4x + 10 = 22.
b) 5x – 2 = 3x + 8
c) 7x + 9 = 57 – x
Solución:
d) 16x – 3 = 3 – 8x
1º. Transponemos los términos: 4x = 22 – 10
2º. Simplificamos: 4x = 12
3º. Despejamos la incógnita: ⇒ = 12/4 ⇒ x = 3
e) 2x + 3 = –6x – 1
f) 33 – 2x = 4x – 63
g) 4x – 7 = 8x – 9
h) 2x + 7 = 16 – x
3º. Resuelve la ecuación 3x – 17 = 1.
3º.Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la regla de la
suma o la del producto, según proceda:
Solución:
a) 2x + 4 = 10
1º. Transponemos los términos: 3x = 1 + 17
2º. Simplificamos: 3x = 18
3º. Despejamos la incógnita: x = 18/3 = 6 ⇒ x = 6
b) x + 7 = 5
c) 4x = 8
d) 3x = 6
4
4º. Resuelve la ecuación 4x + 3 = x + 9 aplicando la regla de
la suma.
Solución:
Restamos 3 a ambos miembros:
4x + 3 – 3 = x + 9 – 3 ⇒ 4x = x + 6 ⇒
⇒ 4x – x = 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 63 = 2 ⇒
⇒x=2
5º. Resuelve la ecuación 6x = 30 aplicando la regla del producto.
Solución:
Dividimos ambos miembros por 6:
6x = 30 ⇒ x = 5
6
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Analiza
Para transformar una ecuación en otra equivalente, utilizamos estos recursos:
•• Reducir sus miembros.
•• Transponer sus términos de un miembro
al otro.
Recuerda que el método fue ampliamente
estudiado por Al-Jwarizmi.
¿Sabías que...?
En árabe, al-jabr (de donde procede la palabra álgebra) significa “restauración”, es decir,
transposición de términos de un lado al otro
de la ecuación.
¿Sabías que...?
En árabe, al-mugabalah significa “oposición”,
es decir, supresión de los términos iguales en
ambos miembros de una ecuación.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Para resolver una ecuación de primer grado con paréntesis, debemos seguir una
serie de pasos.
Ejemplo:
Queremos resolver la siguiente ecuación:
3 (x – 1) + 5 (2 – x) = –11
Los pasos son:
Tipo de operación
Resolución
1º. Eliminamos paréntesis. Operamos aplicando
la regla de los signos. Ten presente que un signo menos (–) delante del paréntesis lo cambia
todo.
2º.Transponemos términos semejantes. Pasamos los términos con parte literal al primer
miembro y los coeficientes al segundo. Recuerda que, al cambiar de miembro, cambia el signo.
3º.Reducimos términos semejantes. Sumamos
o restamos los términos de cada miembro y, si
podemos, simplificamos.
4º. Despejamos la incógnita. Pasamos el número que multiplica a la incógnita al otro miembro (pero dividiendo). Si es posible, simplificamos hasta conseguir un resultado irreducible
(hasta que no podemos simplificar mas).
3 (x – 1) + 5 (2 – x) = –11
3x – 3 + 10 – 5x = –11
3x – 5x = –11 + 3 – 10
–2x = –18
–2x = –18
x = –18 = 9
–2
x=9
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES
Cálculo mental
Calcula el valor de x en:
a) x + 2 = 12
b)3x = 15
c) 8 + x = –10
x
d) = 5
4
e) x – 11 = 4
f) x – 6 = –2
x
g) = 3
5
Para resolver una ecuación con denominadores, debemos seguir una serie de pasos.
Ejemplo:
Queremos resolver la siguiente ecuación:
2x + 5 = 6x + 9
2
2
Los pasos son:
Tipo de operación
Resolución
1º. Eliminamos denominadores. Multiplicamos
los dos miembros de la ecuación por el mínimo
común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores.
2x + 5 = 6x + 9
2
2
5
2 (2x + ) = 6x + 9
2
2º. Eliminamos paréntesis.
4x + 5 = 6x + 9
3º. Transponemos términos semejantes.
4x – 6x = 9 – 5
4º. Reducimos términos semejantes.
5º. Despejamos la incógnita.
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–2x = 4
x = 4 = –2
–2
x = –2
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EJERCICIOS RESUELTOS
1º. Resuelve la ecuación 2 (x – 2) + 3 (2 – x) = –11.
Solución:
1º. Eliminamos paréntesis: 2x – 4 + 6 – 3x = –11
2º. Transponemos términos: 2x – 3x = –11 + 4 – 6
3º. Reducimos términos semejantes: –x = –13 ⇒
⇒ x = 13
2º. Resuelve esta ecuación siguiendo los pasos generales:
3x + 10
5 + 2x
=
2
3
Solución:
1º. Eliminamos denominadores:
3 (3x + 10) = 2 (5 + 2x)
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1º.Siguiendo los pasos adecuados, resuelve (simplificando al
máximo) las siguientes ecuaciones. Di si son equivalentes.
a) 3 (x – 1) + 5 (2 – x) = –11
b) x – 4 (2x + 1) = 5 – 6x
2º.Siguiendo los pasos adecuados, resuelve (simplificando al
máximo) las siguientes ecuaciones:
a) (x – 3) + x + (x + 8) = 42
b) x + 2x + 3x = 1.200
3º.Siguiendo los pasos adecuados, resuelve (simplificando al
máximo) las siguientes ecuaciones:
2x + 2 = 4x – 3
a) 3
2
b) 2x – (2x + 3) = 2x + 6
2º. Eliminamos paréntesis: 9x + 30 = 10 + 4x
3º. Transponemos términos: 9x – 4x = 10 – 30
4º. Reducimos términos semejantes: 5x = –20
5º. Despejamos la incógnita:
x = –20 = –4 ⇒ x = –4
5
3º. Resuelve esta ecuación siguiendo los pasos generales:
3x
4x
–7=
2
5
Solución:
El m.c.m. de 2 y 5 es 10:
10 · 3x
10 · 4x
– 10 · 7 =
2
5
1º. Eliminamos denominadores: 15x – 70 = 8x
4º. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
2–x 3 x+5
f) x – 3 = 2 – 3
5º. Siguiendo los pasos adecuados, resuelve (simplificando al
máximo) las siguientes ecuaciones:
2º. Transponemos términos: 15x – 8x = 70
3º. Reducimos términos semejantes: 7x = 70
4º. Despejamos la incógnita:
x = 70 = 10 ⇒ x = 10
7
2x – 3 = – 4 – 2x + 8
2
4
x
x
x
1
–
+x=
+3+ – 1
3
6
4
2
4
x 3x – 1
–
= 2x + 33
4
6
8
2x
= 25
2x +
4
x – 3 + 1 – x =x–4
5
2
a) 6x – 2 – 2 (x – 1) = x – 2 + 2
4
3
2
b) 2x – 1 = 5 + x – 3
6
4
x
+
19
x = 17 – x
3
3
–
4
c)
–
10
15
20
3
1
d) 4 (x + 2) = 6 (x – 1) + 8
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES
DE PRIMER GRADO
Recuerda
Las fórmulas son expresiones que simplifican los enunciados de leyes y principios de
otras ciencias.
Por ejemplo, la ley de Ohm relaciona la tensión (V), la intensidad de corriente (I) y la resistencia (R) de un circuito eléctrico mediante
la fórmula:
V=I·R
En la realidad, las ecuaciones no son otra cosa que la expresión algebraica (lenguaje
matemático) del enunciado de un determinado problema que se describe en lenguaje
coloquial. Para plantear una ecuación, en general se pueden seguir estos pasos:
Pasos
1
Lee el problema hasta comprenderlo de forma clara.
2
Analiza los datos conocidos y los desconocidos (sepáralos) y designa una
letra para nombrar la incógnita.
3
Estudia las relaciones aritméticas (+, –, ×, ÷...) que existen entre datos e
incógnita y escríbelas.
4
La ecuación está planteada. Resuélvela siguiendo los pasos adecuados.
5
Comprueba el resultado analizando los pasos y las dificultades.
V
I
R
Características
Ejemplo: Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 30.
Solución
1. Leído el problema observamos que:
••Se conoce que la suma de los tres números es 30.
••No conocemos los números.
••Podemos partir de que el primer número desconocido sea x (incógnita).
Recuerda
Las letras, en álgebra, se usan como incógnitas de las ecuaciones y como variables de las
fórmulas.
2. Pasamos del lenguaje coloquial del enunciado (tres números) al lenguaje matemático:
••Primer número: x
••Segundo número: x + 1
••Tercer número: x + 2
3. Las relaciones aritméticas que se dan son la suma y la igualdad (la suma da 30),
luego:
x + (x + 1) + (x + 2) = 30 (ecuación buscada)
(traducción al lenguaje matemático del enunciado del problema planteado: cada número entero es una unidad mayor que el anterior)
Recuerda
Para plantear bien una ecuación, lee el enunciado del problema hasta distinguir los datos
conocidos de los desconocidos o incógnitas.
30
4.Planteada la ecuación, resolvemos siguiendo los pasos adecuados:
x + (x + 1) + (x + 2) = 30 (agrupamos términos)
3x + 3 = 30
3x = 30 – 3  3x = 27  x = 27/3 = 9
x = 9 (primer número)
x + 1 = 9 + 1 = 10 (segundo número)
x + 2 = 9 + 2 = 11 (tercer número)
5. Comprobamos que: 9 + 10 + 11 = 30
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EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
1º. Si se aumenta en 24 unidades determinado número, el resultado obtenido es equivalente a cinco veces su primitivo
valor. ¿Cuál es ese número?
1º.Mi hermano mayor reparte 4.200 euros entre sus dos hijos
y lo hace de manera que le da el doble al mayor que al
pequeño. ¿Cuánto corresponde a cada uno de los hijos?
Solución:
Sea x el número buscado.
Según indica el enunciado: x + 24 = 5x
Operando: 5x – x = 24 ⇒ 4x = 24
24
Resolvemos: x = ⇒
x=6
4
2º. La suma de las edades de tres hermanos es 85 años. Calcula la edad de cada uno, sabiendo que el segundo tiene
el doble de edad que el primero de los hermanos y que el
tercero tiene 15 años menos que el segundo.
Solución:
La edad del primer hermano es x.
La edad del segundo es 2x.
Y la edad del tercero es 2x – 15.
Según el enunciado del problema, entre los tres tienen
85 años. Por tanto:
x + 2x + 2x – 15 = 85
Si operamos:
100 20
5x = 85 + 15 ⇒ 5x = 100 ⇒ x = =
5
El primer hermano tiene 20 años.
El segundo: 2x = 2 · 20 = 40 años.
El tercero: 2x – 15 = 40 – 15 = 25 años.
3º. Preguntado un ganadero por el número de vacas de su
camada, contestó: “Si a las que tengo les añadiera un tercio y 12 más, tendría 132”. Calcula cuántas vacas tiene el
ganadero.
Solución:
Sea x el número de vacas.
Leyendo el problema vemos que:
x + x + 12 = 132
3
Operando:
3x + x + 36 = 396 ⇒ 4x = 396 – 36 = 360
360 90
Resolvemos: x = =
4
El ganadero tiene 90 vacas.
2º.Un padre reparte 360 euros entre sus tres hijos. Si al hijo
mediano le da 4 euros más que al menor y 7 euros menos
que al mayor, ¿cuánto dinero corresponde a cada uno de
los hijos?
3º.En una familia trabajan el padre, la madre y el hijo mayor.
Entre los tres ganan 3.600 euros al mes. Los ingresos se
consiguen de la siguiente manera: la madre gana dos tercios de lo que gana el padre y el hijo gana la mitad de lo
que gana la madre. ¿Cuánto gana cada uno al mes?
4º.Tres compañeros de instituto deciden hacerse socios de
una ONG y hacer una donación de dinero. Lo hacen de la
siguiente manera: el primero da todo el dinero que tiene;
el segundo da el triple que el primero; y el tercero da lo
que sus dos compañeros juntos. Si entre los tres hacen una
donación de 3.465 euros, ¿cuánto dinero dona cada uno
de ellos?
5º.Una familia está formada por cuatro hijos cuyas edades
suman 65 años. La distribución de las edades es así: el ma yor tiene 3 años más que el segundo; el segundo, 4 años
más que el tercero; y éste, 2 años más que el cuarto. Calcula la edad de cada uno de los hijos.
6º.En un colegio hay alumnos de diferentes edades y etapas
educativas. La suma de las edades de tres de estos alumnos es de 37 años, que se distribuyen así: el mayor tiene
7 años más que el mediano y el mediano tiene 3 años más
que el menor. ¿Cuál es la edad de cada uno de los tres
alumnos?
7º. Partimos de un número, lo duplicamos y añadimos 5. El
resultado obtenido es 11. Calcula el valor del número buscado.
8º. Calcula dos números que cumplan que su suma sea 68 y
que, al dividir uno por el otro, el cociente resultante sea 5
y el resto sea 2.
9º. Un padre tiene 45 años y la suma de las edades de sus
dos hijas es 37. ¿Cuántos años deberán pasar para que
la suma de las edades de las hijas sea igual a la edad del
padre?
10º. Un joven ha comprado dos libros. Si ha pagado por ellos
31 euros y sabemos que uno le ha costado 5 euros más
que el otro, ¿cuál es el valor de cada uno de los libros?
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Ecuaciones de primer y segundo grado
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: RESOLUCIÓN
Observa
En la ecuación:
ax2 + bx + c = 0
a = coeficiente principal
b = coeficiente lineal
c = término independiente
Si a, b y c son números reales y a ≠ 0, la
ecuación es completa. Si b = 0 y/o c = 0, las
ecuaciones son incompletas.
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión que tiene
la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 (donde a ≠ 0)
Para resolverla, debemos aplicar una fórmula que se consigue con estos pasos:
1º. Se pasa c al segundo miembro: ax2 + bx = –c
2º. Se multiplican ambos miembros por 4a: 4a2x2 + 4abx = –4ac
3º. Se suma b2 a ambos miembros: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac
4º. Se reduce el primer miembro a una fórmula notable: (2ax + b2) = b2 – 4ac
5º. Se saca la raíz cuadrada: 2ax + b2 = ± √ b2 – 4ac
6º. Se despeja x y se obtiene la fórmula: x =
Recuerda
Para reducir una ecuación de segundo grado
a la forma ax2 + bx + c = 0 se siguen estos
pasos:
1º.Quitar denominadores.
2º.Realizar las operaciones indicadas.
3º.Pasar todos los términos al mismo lado
del igual.
4º.Reducir los términos semejantes.
5º.Resolver.
–b ± √ b2 – 4ac
2a
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
En la resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas (en las que b = 0 y/o
c = 0) se presentan estos casos:
Forma ax2 = 0
Dividiendo por a ≠ 0 los
dos miembros, se transforma en:
x2 = 0
cuya solución doble es:
x1 = x2 = 0
Recuerda
El valor del discriminante (∆) orienta sobre el
número de soluciones de la ecuación.
Forma ax2 + bx = 0
Sacando factor común x,
queda:
(ax + b) x = 0
Si hacemos:
ax + b = 0 (1)
x = 0 (2)
Obtenemos, al operar en
(1):
x1 = –b
a x2 = 0
Forma ax2 + c = 0
Si sumamos (–c) a los dos
miembros:
ax2 + c – c = 0 – c
queda:
ax2 = –c
Operamos:
x = ± –ac
x2 = –ac
Y resulta:
x1 = –c
a
x2 = – –c
a
DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:
NÚMERO DE SOLUCIONES
Cálculo mental
Calcula el valor de x en:
a) x – 5 = –4
Discutir una ecuación de segundo grado es averiguar la existencia (o no existencia)
y la igualdad (o desigualdad) de sus soluciones.
La existencia o no de las soluciones la define el valor de b2 – 4ac, que se denomina
discriminante de la ecuación y se representa con el signo ∆.
b) x – 3 = –1
Se presentan tres casos, según el valor de ∆:
c) x + 8 = 7
∆>0
d) x – 5 = 8
e) 6 – x = 1
f) 7 = 13 – x
g)7x – 3 = 4x + 15
∆=0
h) 3 (x + 2) – (x – 2) = 18
∆<0
32
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••
••
••
••
••
••
••
••
••
Expresión subradical positiva
Dos raíces cuadradas (+, –)
Dos soluciones distintas
Expresión subradical 0
Raíz cuadrada de 0, solución doble
Dos soluciones iguales
Expresión subradical negativa
No hay raíz cuadrada
No hay soluciones
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EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
1º.Resuelve las siguientes ecuaciones:
1º. Resuelve la ecuación 2x2 – 3x – 2 = 0.
a = 2 b = –3 c = –2
Solución:
Aplicamos la fórmula:
x=
=
–b ± √ b2 – 4ac
2a
2
2
= 3 ± √ (–3) – [4 · 2 · (–2)] =
2·2
3 ± √ 9 + 16
3 ± √ 25
3±5
=
=
4
4
4
De donde:
3+5
8
x1 =
= = 2 ⇒ x1 = 2
4
4
1
x2 = 3 – 5 = –2 = –1 ⇒ x2 = –
2
4
4
2
a) x2 + 3x – 4 = 0
b) x2 + x – 30 = 0
c) x2 + x – 42 = 0
d) 2x2 + 13x + 11 = 0
e) x2 + x – 2 = 0
2º.Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 4x = 0
b) 4x2 – 16 = 0
c) x2 – 25 = 0
d) 4x2 – 9 = 0
2º. Resuelve la ecuación 3x – 7x = 0.
2
Solución:
a=3
b = –7
c=0
Aplicamos la fórmula:
2
2
x = –(–7) ± √ 7 – 4 · 3 · 0 = 7 ± √ 7 = 7 ± 7
2·3
6
6
De donde:
x1 = 7 + 7 = 14 = 7 ⇒ x1 = 7
6
6
3
3
3º. Discute la ecuación 3x2 – 9x + 2 = 0.
a=3
b = –9
c=2
El valor del discriminante es:
∆ = b2 – 4ac = (–9)2 – 4 · 3 · 2 = 81 – 24 = 57
∆ > 0 ⇒ Tiene dos soluciones distintas.
a=1
b = –6
c=9
El valor del discriminante es:
a) 2x2 + x + 7 = 0
b) x2 – x + 1 = 0
c) x2 + 3x – 4 = 0
d) 3x2 + 2x + 5 = 0
a) 3x2 + 5x + 2 = 0
b) 2x2 + 3x – 2 = 0
c) x2 – 6x + 8 = 0
d) x2 + 3x – 10 = 0
5º.Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) –4x2 + 16 = 0
b) 3x2 – 6x = 0
c) 15x2 + 80 = 0
6º.Discute las siguientes ecuaciones:
4º. Discute la ecuación x2 – 6x + 9 = 0.
Solución:
4º.Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2 = 7 – 7 = 0 = 0 ⇒ x2 = 0
6
6
Solución:
3º.Discute las siguientes ecuaciones:
∆ = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0
a) 7x2 + 3x + 1 = 0
b) 4x2 + 4x + 1 = 0
c) 3x2 – x – 2 = 0
∆ > 0 ⇒ Tiene una solución (doble).
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33
2
Ecuaciones de primer y segundo grado
Conoce, analiza, aplica...
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
DEDE
ECUACIONES
PROBLEMASDE
CON
SEGUNDO
ECUACIONES
GRADO
DE SEGUNDO
INCOMPLETAS
GRADO
Analiza
Conocidas la suma y el producto de dos números, para hallarlos basta formar la ecuación de la forma
x2 – sx + p = 0
Para resolver un problema, debemos plantear una ecuación que describa los datos del
problema, después resolver la ecuación y finalmente comprobar la coherencia del resultado. En general, podemos seguir los siguientes pasos:
1º. Leer el problema varias veces hasta comprenderlo de forma clara.
y resolverla.
2º. Describir la incógnita y analizar los datos que conocemos.
3º. Plantear la ecuación o relación entre la incógnita y los datos conocidos.
4º. Resolver la ecuación.
Observa
La resolución de problemas aplicando ecuaciones favorece trabajar con modelos de problemas de números, de edades, de polígonos,
de grifos...
5º. Comprobar las soluciones, mirando si cumplen las relaciones del problema.
Ejemplo:
La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 481. Halla esos
números.
1º. Al leer el problema observamos que:
•• El primer número pensado es x.
•• El segundo número será x + 1.
¿Sabías que...?
Las funciones de la forma y = ax2 + bx + c
se representan gráficamente por medio de
parábolas que dependen del valor que tome
a. Por ejemplo:
•• Para a > 0, la parábola es abierta hacia
arriba.
a>0
2º. Planteamos la ecuación, pasando del lenguaje coloquial al matemático:
x2 + (x + 1)2 = 481
3º. Operamos:
x2 + x2 + 2x + 1 = 481
Pasamos 481 al primer miembro y agrupamos términos:
2x2 + 2x – 480 = 0
Dividiendo por 2 queda:
x2 + x – 240 = 0
Es decir, ya tenemos la ecuación de segundo grado buscada (traducción al lenguaje
matemático del enunciado del problema).
4º. Resolvemos la ecuación:
•• Para a < 0, la parábola es abierta hacia
abajo.
a<0
x = –1 ± √ 1 – (4 · 1 · 240) = –1 ± √ 1 + 960 = –1 ± √ 961
2
2
2
De donde:
x1 = –1 + 31 = 15
2
x2 = –1 – 31 = –16
2
5º. Comprobamos. Si x = 15, los números buscados son 15 y 16, los cuales verifican
152 + 162 = 481 (–15 y –16 verifican (–15)2 + (–16)2 = 481, pero no son números naturales).
34
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Ecuaciones de primer y segundo grado
Conoce, analiza, aplica...
2
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
1º. La suma de dos números es 23 y su producto es 120. Halla
esos dos números.
1º.Halla un número tal que su cuadrado disminuido en 20
unidades sea igual al número buscado aumentado en 10.
Solución:
Utilizamos la fórmula x2 – sx + p = 0, que nos permite
obtener la siguiente ecuación de segundo grado:
x2 – 23x + 120 = 0
Resolviendo la ecuación, queda:
2
3º.El área de un triángulo mide 150 m2. Sabiendo que la base
mide 5 metros más que la altura, halla el valor de la base
y la altura de dicho triángulo.
= 23 ± √ 529 – 480 =
2
x–5
–(–23) ± √ (–23)2 – 4 · 1 · 120
2º.Halla dos números sabiendo que su suma es 9 y su producto es 14.
= 23 ± √ 49 = 23 ± 7
2
2
x
x1 + x2 = 15 + 8 = 23
x1 · x2 = 15 · 8 = 120
2º. Calcula el número de alumnos de una clase si sabemos
que, al multiplicar un tercio de dicho número por los tres
cuartos del mismo número, obtenemos como resultado 324.
Solución:
Sea x el número buscado.
Leemos el enunciado del problema y traducimos del lenguaje habitual al matemático:
x 3x
·
= 324
3 4
Operamos y nos queda:
3x2
x2
= 324 ⇒ = 324 ⇒ x2 = 1.296
12
4
Resolvemos la ecuación:
x = √ 1.296 = ± 36
El número de alumnos de la clase es 36, ya que el
número negativo (–36) no puede ser solución del
problema.
4º.La suma de las raíces de una ecuación es 8 y su producto
es 12. Calcula el valor de las raíces formando y resolviendo
la ecuación que permite calcularlos.
5º.Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado, como
aplicación de la fórmula x2 – sx + p = 0, di cuáles son los
valores de la suma y el producto, el signo y el valor de cada
una de las raíces:
a) x2 – 10x + 9 = 0
b) x2 – 8x + 7 = 0
c) x2 + 14x – 15 = 0
d) x2 – 4x – 21 = 0
6º.La suma de dos números es 7 y su producto es 6. Halla
esos dos números.
7º.La suma de dos números es 4 y su producto es –21. Halla
esos dos números.
8º. Calcula el valor que deberá tener x para que las áreas del
cuadrado y el rectángulo de las figuras siguientes tengan
el mismo valor.
2
x
Por tanto:
23 + 7 30
x1 =
= = 15
2
2
x2 = 23 – 7 = 16 = 8
2
2
Comprobamos:
x
x +4
9º. Calcula el valor de un número que, sumado con su cuadrado, da como resultado 30.
10º. Queremos descomponer el número 20 en dos partes de
tal manera que, al multiplicarlas entre sí, nos dé como resultado 96. ¿Cuáles son esas dos partes?
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35
2
Ecuaciones de primer y segundo grado
Ejercicios y problemas para reforzar
1. Dada la ecuación 2x + 3 = 9, comprueba cuál de estos valores es su solución: –2, –4, 3, 1, –5.
2. Comprueba que el resultado de las siguientes operaciones es una expresión numérica que verifica la igualdad planteada:
3 · 5 – 2 + 3 · 4 = 25.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la transposición y la simplificación posibles:
a) 3x – 5 = 7
b) 4x + 1 = 2x – 17
4. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando los pasos necesarios para resolver ecuaciones con paréntesis y denominadores:
a) 4 (2x + 1) = 2x + 1
b) 2 (x + 3) – 6 (5 + x) = 3x + 5
c) x + 5 = x + 6
2
5. Discute la ecuación 2x2 + 7x + 5 = 0 y comprueba que se verifican las soluciones halladas.
6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 7x2 – 18x = 17x
b) 2x2 + 8x + 6 = 0
c) x2 – 8x + 15 = 0
7. En un rectángulo, el lado mayor es 3 m más largo que el lado menor y el perímetro mide 22 m. ¿Cuánto mide cada lado?
x
x+3
8. Si la edad de mi hermano mayor ahora es el triple que la de mi hermano pequeño, pero pasados 13 años sólo será el doble,
¿cuál es la edad de mis dos hermanos?
9. Halla un número que permita, al operar, que su cuadrado menos el cuadrado de 2 sea igual al cuadrado de la diferencia
entre este número y el 2.
10. Un alumno le dice a su profesor: “Si me hubiese gastado 1/6 y 18 euros más, habría desembolsado un total de 60 euros”.
¿Cuánto gastó dicho alumno?
11. Calcula cuál es el número que, si le sumamos un tercio más 7 unidades, nos da como resultado total 62.
12. Forma y resuelve una ecuación en la que, al restarle 5 al cuadrado de un determinado número, el resultado sea 20.
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Ecuaciones de primer y segundo grado
Ejercicios y problemas para ampliar
2
1. Comprueba que el valor x = 2 es solución de la ecuación 2x + 3 = x + 5.
2. Verifica que la expresión x (y – 4) = xy – 4x se cumple para cualesquiera de los siguientes valores:
a) x = 2; y = 1
b) x = 3; y = 2
3. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la transposición y la simplificación posibles:
a) –2x + 8 = 4x – 4
b) 3x + 2x = 5 + 10
4. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando los pasos necesarios para resolver ecuaciones con paréntesis y denominadores:
a) 3 (x + 2) + 8 = 2 (x + 8)
b) 5 (2 – x) + 3 (x + 6) = 16 – 4 (6 + 2x)
c) 2x + 2 = 4x – 3
3
2
5. Discute la ecuación x2 – 5x + 6 = 0 y comprueba que se verifican las soluciones halladas.
6. Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 33.
7. Los lados de dos cuadrados tienen una diferencia de 4 m. Halla el valor de los lados de
ambos cuadrados sabiendo que sus áreas difieren en 40 m2.
8. Dos grifos vierten agua a un depósito; uno lo llena en 5 horas y el otro en 3. Si se abren los
dos grifos a la vez, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito?
9. Halla un número tal que su cuadrado menos su triple sea igual a 4.
10. Halla un número cuyo cuadrado más ese número dé como resultado 42.
11. Dada la ecuación de segundo grado 2x2 + 11x – 6 = 0, sin hallar las raíces, responde:
a) Indica cuántas raíces tiene.
b) Calcula la suma de las raíces.
c) Calcula el producto de las raíces.
d) ¿Tienen ambas raíces el mismo signo?
e) Halla el valor de las raíces resolviendo la ecuación.
12. Tres hermanos desean repartirse 7.500 euros de manera que el segundo
reciba el doble que el primero y que el tercero reciba el triple que el primero. ¿Cuánto corresponde a cada uno de ellos?
VOCABULARIO
••
••
••
••
••
••
discriminante
discutir una ecuación
ecuación
ecuación compatible
ecuación de primer grado
ecuación de segundo grado
••
••
••
••
••
••
ecuación determinada
ecuación incompatible
ecuación incompleta
ecuación indeterminada
ecuaciones equivalentes
factor común
••
••
••
••
••
••
grado de una ecuación
raíces de una ecuación
regla de la suma
regla del producto
solución de una ecuación
transposición
REPASAMOS
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37
2
Ecuaciones de primer y segundo grado
Aplica tus conocimientos
Después de estudiar el tema, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. Resuelve las siguientes ecuaciones siguiendo los pasos adecuados:
a) 4x + 10 = 22
b) 3x – 17 = 1
d) 3 (x – 1) + 5 (2 – x) = –11
e) 2 (x – 2) + 3 (2 – x) = –11
f) 2x + 5 = 6x + 9
2
2
2. Resuelve las siguientes ecuaciones siguiendo los pasos adecuados:
c) 2x – 7 – 5x = 8 – 4x – 3
a) 3x + 8 – 5x – 5 = 2 (x + 6) – 7x
b) 4x – 3 + 6 (x – 4) = –3 + 2x
c) 12 + 3 (x – 2) – 5 (x + 7) = 2 (x – 6) + 3
d) 4 – x + 3 = 2 + 9 – 2x
6
6
3. Resuelve las siguientes ecuaciones siguiendo los pasos adecuados:
a) (20 – x) x = 96
b) x2 + 20x = 23x + 18
c) x2 – 32 = 4x
d) x2 – 2x – 3 = 0
e) 3x2 + x – 2 = 0
4. Indica cuáles de los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes y cuáles no:
a)3x + 2 = 8
3x = 6
b)3 (x – 1) = 9
4x + 9 = 5 (x + 1)
c) 3x + 5 = 11
x + 7 = 2x + 11
5. Resuelve las siguientes ecuaciones siguiendo los pasos adecuados:
a) 2x2 – 98 = 0
b) x2 – 81 = 0
c) 2x2 – 6x = 0
6. A partir de lo expuesto en la unidad acerca de la discusión de ecuaciones de segundo grado, responde para las siguientes
ecuaciones lo que te pedimos a continuación:
a) 4x2 + 7x – 2 = 0
b) x2 – 8x + 16 = 0
c) 2x2 – 2x + 3 = 0
d) x2 – 2x – 3 = 0
1. Calcula el valor del discriminante (∆).
2. En función de este valor, indica el número de soluciones que resuelven la ecuación.
3. Resuelve la ecuación y calcula el valor de las raíces.
4. Comprueba que las soluciones halladas se cumplen en cada caso.
7. Un obrero dispone de 125 euros. Después de cobrar 15 días de trabajo, gasta 50 euros y le quedan 30. ¿Cuál es su salario
diario?
8. Calcula cuántos alumnos hay en una clase sabiendo que un tercio escriben, dos quintos calculan y los nueve restantes
dibujan.
9. ¿Cuántos remeros participan en una regata, si sabemos que su número es menor que 60 y que, disminuido a la mitad, es
igual a cuatro veces su octava parte disminuida en 2? Cada trainera va tripulada por 14 hombres.
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Ecuaciones de primer y segundo grado
Aplica tus conocimientos
2
10. Un coche sale de A a 50 km/hora. Al mismo tiempo, sale otro de B, en la misma dirección y sentido que el anterior, a
35 km/hora. Si la distancia entre A y B es de 240 km:
a) ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
b) ¿A qué distancia de A y B se encontrarán?
A
B
11. Reparte 1.200 euros entre tus amigos de manera que el segundo reciba el doble que el primero y que el tercero reciba el
triple que el primero.
12. Las reservas económicas de un empresario han aumentado un 22%. Si ahora dispone de 350.000 euros, ¿qué capital tenía
al principio?
13. Las edades de tres hermanos suman 42 años. Si el mayor tiene 9 años más que el mediano y éste tiene 3 más que el menor,
¿cuántos años tiene cada hermano?
14. Raúl tiene ahora tres veces la edad de su hermano Jorge, pero dentro de dos años la edad de Raúl será el doble que la de
Jorge. ¿Qué edades tienen ahora Jorge y Raúl?
15. Dos grifos llenan un depósito en seis horas. Calcula en cuánto tiempo lo llenaría cada uno por separado, si el primero
emplea cinco horas más que el segundo.
16. La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 110. Halla esos números.
17. El lado de un cuadrado mide 3 cm más que el de otro y su área es 99 cm2 más que la de éste. Halla los lados de ambos
cuadrados.
x2
x
(x + 3)2
x+3
18. Los tres lados de un triángulo miden 18, 16 y 9 m. Calcula qué misma cantidad debe restarse a los tres para que resulte un
triángulo rectángulo.
19. Queremos repartir 200 euros entre tres amigos de forma que el segundo reciba 10 euros más que el primero y el tercero
perciba tanto como los otros dos juntos. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
20. El director de un banco se gasta 270 euros para comprarse un traje y un abrigo. ¿Cuánto costó el traje si pagó por él
30 euros menos que por el abrigo?
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39
2
Ecuaciones de primer y segundo grado
Mapa conceptual
ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma general: ax + b = 0 (a ≠ 0)
•• Forma general: ax2 + bx + c = 0
•• Ejemplo: 3x2 + 2x – 5 = 0
RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES SENCILLAS
1º. Transponer términos
2º. Simplificar
3º. Despejar la incógnita
•• Soluciones: x =
REGLA DE LA SUMA Y
REGLA DEL PRODUCTO
Estas reglas permiten, al operar,
simplificar y obtener ecuaciones
equivalentes a la dada.
PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN
1º. Eliminar denominadores (aplicar m.c.m.).
2º. Eliminar paréntesis.
3º. Transponer términos semejantes.
4º. Reducir términos semejantes.
5º. Despejar la incógnita.
–b ± √ b2 – 4ac
2a
(x1, x2)
ECUACIONES INCOMPLETAS
Algún coeficiente (b y/o c) es 0.
ax2 = 0
a≠0
ax2 + bx = 0
a≠0
ax2 + c = 0
a≠0
b=0
b≠0
b=0
c=0
c=0
c≠0
Soluciones:
x1 = x2 = 0
Soluciones:
x1 = –ab x2 = 0
Soluciones:
–c
x1 = a –c
x2 = – a
NÚMERO DE SOLUCIONES: FACTORIZACIÓN
x=
–b ± √ ∆
2a
∆ = b2 – 4ac (∆ = discriminante)
∆> 0
∆= 0
La ecuación tiene La ecuación tiene
dos soluciones dis- dos soluciones iguatintas: x1 y x2.
les (o una solución
doble).
PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON ECUACIONES
1º. Leer el problema varias veces.
2º. Describir la incógnita.
3º. Plantear la ecuación.
4º. Resolver la ecuación.
5º. Comprobar las soluciones.
40
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∆< 0
La ecuación no tiene ninguna solución (la raíz de un
número negativo no
tiene solución).
Ecuaciones de primer y segundo grado
Autoevaluación
DE CONCEPTOS
DE CONCEPTOS
1. Enumera los pasos básicos para resolver ecuaciones
de primer grado sencillas.
2
DE COMPETENCIAS
3.Enumera los pasos necesarios para resolver ecuaciones de primer grado con denominadores.
1.En grupos de tres:
a)Poned un ejemplo de problema que podáis resolver aplicando una ecuación de primer grado.
b)Analizad el problema y presentad los pasos que
permiten resolverlo.
c) Resolved el problema siguiendo los pasos propuestos.
4.Indica la expresión que representa una ecuación de
segundo grado completa.
2. Un padre tiene 39 años y su hijo 15. ¿Dentro de cuánto
tiempo la edad del padre será el triple de la del hijo?
5.Indica la fórmula que nos permite calcular x en una
ecuación de segundo grado.
3. Calcula dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 132.
6.Indica las formas en que se expresa una ecuación de
segundo grado incompleta.
4.Resuelve estas ecuaciones:
a) 5x – 7 = 2x + 7 = 3x – 14
3
2
–2x
+
17
b)
= 6x – 3
5
c) x2 – 10x + 25 = 0
2.Explica qué son la regla de la suma y la regla del producto.
7.Indica el número de soluciones que tiene una ecuación de segundo grado si:
a) ∆ > 0
b) ∆ = 0
c) ∆ < 0
8.Enumera los pasos que deben seguirse en la resolución de problemas con ecuaciones (ya sean de primer
o segundo grado).
9.Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x + 4 = 2x + 16
b) 3x + 10 = 5 + 2x
2
3
7
6x
+
7
c) 3x + =
2
2
d) 5x + 10 = 3 (x – 1) + 2x
d)x2 + 12x – 160 = 0
e) x2 – 4x = 0
f) 4x2 – 16 = 0
5.Forma y resuelve una
ecuación en la que un
determinado número,
elevado al cuadrado,
menos su triplo, dé
como resultado 4.
10.Calcula el valor de un número que cumple que su triplo menos 5 es igual a su doble más 3.
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