Números reales - Universidad de Antioquia

An
tioq
uia
Números reales
Instituto de Matemáticas*
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medellı́n, 24 de julio de 2011
1.
Introducción
El matemático alemán Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de octubre de 1831
- 12 de febrero de 1916), realizó importantes aportes en álgebra abstracta, teorı́a de
números y en proporcionar una fundamentación rigurosa de los números reales.
2.
Sistemas numéricos
ad
de
Una de sus contribuciones principales fue publicada en 1872, en un artı́culo en
el que caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo. El traFigura 1
bajo de Dedekind sobre números naturales fue también de vital importancia en la
fundamentación de la teorı́a de conjuntos, junto con Frege y Cantor, proporcionando un caracter
de rigurosidad de los llamados Axiomas de Peano (publicados por Peano un año más tarde).
El conjunto de los números reales se donota con el sı́mbolo R y en esta clase estudiaremos sus
propiedades.
2.1.
rsid
Los números reales son utilizados en una gran variedad de problemas matemáticos para representar cantidades discretas y continuas como distancias, tiempos, velocidades, aceleraciones,
temperaturas, etc. Dependiendo de las cantidades que deseemos medir, podemos encontrar los
siguientes sistemas numéricos:
Números naturales
ive
Los números naturales son 1, 2, 3, . . . Surgen de la necesidad de contar o enumerar objetos,
sirven para designar el número de elementos de algunos conjuntos y constituyen el fundamento a
la aritmética. El conjunto de los números naturales se denota con el sı́mbolo N:
N = {1, 2, 3, . . .}
y
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}
Un
El cero (0) representa el número de elementos del conjunto vacı́o y muchos autores no lo consideran
un número entero.
b
0
* Esta
b
1
b
b
2
3
b
b
b
n
b
n+1
obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.
1
2
2.2.
Números enteros
An
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Los números enteros están formados por los números naturales 1, 2, 3, . . . y por sus inversos
aditivos −1, −2, −3, . . . El conjunto de los números naturales se denota por el sı́mbolo (Z):
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
A diferencia de lo que ocurre en N, la resta de dos números enteros siempre es un número entero.
Observemos que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de lo números
enteros, en sı́mbolos: N ⊂ Z.
b
b
b
b
−n
b
−3
−2
b
−1
b
b
0
1
b
b
2
3
b
b
b
n
Los números enteros se clasifican en enteros positivos (Z+ ) y en enteros negativos (Z− ):
Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N
Z− = {. . . , −3, −2, −1}
2.3.
de
y Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}.
Números racionales
ad
Los números raciones se pueden representar como el cociente de dos enteros, el término “racional” hace referencia a “razón”, “proporción” o “fracción”:
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
b
−1
rsid
Todo entero n se puede escribir como el número racional n/1 y en consecuencia Z ⊂ Q.
b
− 14
b
b
0
1
2
b
b
b
b
1
7
4
2
3
Los números racionales admiten una representación decimal finita o infinita pero periódica:
2.4.
y
177
= 3.2181818 . . . = 3.218
55
ive
9
= 2.25
4
Números irracionales
Un
Los números que no son racionales se denominan números irracionales. El conjunto de los números irracionales se denota mediante el sı́mbolo Q∗ o también I Ejemplos de números irracionales
son el número
√ e (base del logaritmo natural), π (la razón entre la circunferencia de un cı́rculo y su
diámetro) y 2 (la diagonal de un cuadrado de lado 1) entre otros. Las representaciones decimales
de estos números son siempre infinitas y no repetitivas:
1. π = 3.1415926535897 . . .
√
2. 2 = 1.4142135623731 . . .
3. e = 2.71828183 . . .
4. 4.12122122212222 . . .
3
b
0
3.
1
√
b
2
An
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√
2
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b
e 3 π
2
Números reales
4
El conjunto de los números reales está constituido por todos los números racionales e irracionales. Ası́,
R = Q ∪ Q∗
y
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Los números reales los podemos considerar como “puntos” sobre una recta infinita: a cada
punto de la recta le corresponde uno y sólo un número real y recı́procamente, a cada número real
le corresponde un punto de la recta.
0
3.1.
b
b
b
1
3
2
2
Axiomas de campo
b
b
b
e 3 π
b
4
R
de
b
Propiedad 3.1 (Axiomas de campo). .
ad
En R existen dos operaciones llamadas suma (+) y producto (·) que satisfacen las siguientes
propiedades:
1. Para cada par de números reales a y b, la suma a + b es un número real.
3. La suma es asociativa:
a+b=b+a
rsid
2. La suma es conmutativa:
a + (b + c) = (a + b) + c
4. Existe un número real denotado por 0 (neutro aditivo) que satisface a + 0 = a
5. Para cada número real a, existe un único elemento denotado por −a (inverso aditivo) que
satisface a + (−a) = 0.
ive
6. Para cada par de números reales a y b, el producto a · b es un número real.
7. La producto es conmutativa:
8. La producto es asociativa:
a·b= b·a
a · (b · c) = (a · b) · c
9. 1 es el neutro multiplicativo y satisface 1 · a = a para todo a ∈ R.
Un
10. Si a 6= 0, a−1 es el inverso multiplicativo y satisface a · a−1 = 1 para todo a ∈ R.
11. La producto es distributiva sobre la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
Observación 1 (Sobre axiomas de campo). .
y
(a + b) · c = a · c + b · c
4
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1. A la propiedad (3.1) se le denomina axiomas de campo de los números reales.
2. Los axiomas (1)-(5) hacen referencia a las propiedades que satisface la operación suma
3. Los axiomas (6)-(10) hacen referencia a las propiedades que satisface la operación producto
4. El axioma (11) (propiedad distributiva), relaciona las propiedades de la suma con el producto.
5. Si a 6= 0, su inverso multiplicativo a−1 se denota por a−1 = a1 .
6. En lugar de escribir a · b, se acostumbra escribir ab.
7. En lugar de escribir a + (−b), se acostumbra escribir a − b.
Ejemplo 3.1. Por la propiedad distribuitiva,
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Proposición 3.2. Para todo a, b ∈ R se cumple que:
1. a · 0 = 0
de
2. si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
El inverso aditivo de todo número real satisface las siguientes propiedades:
Proposición 3.3 (Ley de los signos). Para todo a, b ∈ R se cumple que:
3. (−a)b = a(−b) = −(ab)
ad
1. (−1)a = −a
2. −(−a) = a
4. (−a)(−b) = ab
a·a
Por ejemplo,
4 −1
5
=
5
4
porque
4
5
·
5
4
−1
de un número real a 6= 0 se caracteriza por ser el
1
= 1.
=a
a
= 1 y en general
m −1
=
1
n
=
m/n
m
ive
n
3.2.
1
a
rsid
El inverso multiplicativo o recı́proco a−1 =
único número que satisface
Axiomas de orden
Un
La representación geométrica de los números reales como puntos sobre una recta
a
b
R
nos permite establecer de manera “informal” un orden en R: si “a está a la izquierda de b”, se dice
que a es menor que b y se escribe a < b. De manera análoga, “si a está a la derecha de b”, se dice
que a es mayor que b y se escribe a > b.
Esta idea intuitiva de ser “mayor que” (>) o “menor que” (<) se puede presentar formalmente:
5
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Propiedad 3.4 (Axiomas de orden). Existe en R una relación de orden < tal que para todo
a, b, c ∈ R se cumple que:
1. a = b ó a < b ó a > b.
3. a > 0 y b > 0 =⇒ ab > 0.
2. a < b =⇒ a + c < b + c.
4. a > b y b > c =⇒ a > c.
Observación 2 (Sobre axiomas de orden). .
1. a > b significa lo mismo que b < a.
2. Un número real x se dice que es positivo si x > 0 y negativo si x < 0.
3. El número cero no es positivo ni negativo.
4. Los números positivos están ubicados a la “derecha” del cero y los negativos a la “izquierda”.
5. El conjunto formado por todos los números positivos se donota con el sı́mbolo R+ .
de
6. El conjunto formado por todos los números negativos se donota con el sı́mbolo R− .
7. Del axioma (1) se infiere que todo número real es positivo, negativo o cero.
8. El axioma (3) nos dice que el producto de números positivos es positivo.
ad
9. Cuando tengamos que a < b y b < c escribiremos a < b < c.
A partir sólo de los axiomas de orden se pueden demostrar formalmente enunciados intuitivamente evidentes como por ejemplo que 1 > 0. Otros enunciados que se pueden demostrar son:
rsid
Teorema 3.5. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que:
1. a < b y c > 0 =⇒ ac < bc.
3. a 6= 0 =⇒ a2 > 0.
2. a < b y c < 0 =⇒ ac > bc.
4. a < b y c < d =⇒ a + c < b + d.
ive
De la propiedad (3) del teorema anterior (3.5), se deduce que NO existe un número real x tal
que x2 = −1. Existen números que satisfacen esta propiedad, no son números reales y se denominan
números complejos. El conjunto de los números complejos se denotada por C y tanto su definición
como sus propiedades serán estudiadas más adelante.
Teorema 3.6. Si a, b ∈ R y a < b, entonces −b < −a.
Un
Teorema 3.7. Si a, b ∈ R y ab > 0, entonces una de las siguientes condiciones se cumple:
1. a > 0 y b > 0.
2. a < 0 y b < 0.
El sı́mbolo a ≤ b indica que a < b ó a = b. Por ejemplo 1 ≤ 3 porque 1 < 3 mientras que π ≤ π
porque π = π. De manera similar se define la relación “≥”. La relación ≤ satisface las siguientes
propiedades:
6
Propiedad 3.8. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que:
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1. Propiedad reflexiva: a ≤ a.
2. Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b.
3. Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c.
3.3.
Axioma de completitud
Hasta ahora hemos estudiado varios sistemas númericos:
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
b
b
4.
Desigualdades
4.1.
Intervalos
1
bc
b
2
b
bc
e 3 π
2
b
4
rsid
0
bc
√
ad
√
2
de
Cada uno de ellos posee propiedades bien definidas. Las propiedades (axiomas) de campo y orden de
R por ejemplo, son válidas también en Q. Sin embargo, existe una propiedad (axioma) adicional que
caracteriza a los números reales y los diferencia de los otros sistemas numéricos: se trata del axioma
de completitud. La interpretación intuitiva de este axioma dice que la correspondencia biunı́voca
entre números reales y puntos de una recta que antes mencionamos, “llena” completamente la
recta sin que falten ni sobren puntos. Con números racionales
√ por ejemplo, no logramos llenar la
recta, quedan “huecos” como los puntos que corresponden a 2, π, etc. Se dice entonces que R es
un campo ordenado y completo.
ive
Es muy común en el dı́a a dı́a encontrarse con cantidades que oscilan entre ciertos valores;
diversos son los fenómenos que no poseen una solución numérica exacta (única), lo cual nos lleva a
la necesidad de limitar a cierto rango las posibles soluciones, basdos en estas necesidades recurrimos
a la noción de intervalo, la cual se presenta a seguir.
Definición 4.1 (Intervalos). Sean a, b ∈ R con a ≤ b.
5. (a, ∞) = {x ∈ R : a < x}
2. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
6. [a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x}
3. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
7. (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
4. (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
8. (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
Un
1. (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
7
4.2.
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Valor absoluto
Definición 4.2 (Valor absoluto). El valor absoluto de un número real x se define como
x, si x ≥ 0
|x| =
−x, si x < 0
Ejemplo 4.1. |−5| = −(−5) = 5, |5| = 5.
El valor absoluto de un número nunca es negativo y satisface las siguientes propiedades:
Propiedad 4.1 (valor absoluto). Para todo x, y ∈ R:
1. |x| ≥ 0
3. |x · y| = |x| · |y|
2. |x| = 0 si, y sólo si x = 0
4. |x|2 = x2
5. |x + y| ≤ |x| + |y|
6. |x − y| = |y − x|
|
5 unidades
|
|
|
−5
de
Gracias a las propiedades anteriores, podemos utilizar el valor absoluto para medir distancias
entre puntos de la recta real: el valor absoluto de un número real x corresponde a la distancia
desde el punto que le corresponde a 0 hasta el punto que le corresponde a x:
5 unidades
0
|5|
ad
|−5|
|
|
5
R
El valor absoluto |y − x| corresponde a la distancia entre ellos x e y:
|
x
rsid
|y − x|
|
y
R
y de este modo, la distancia entre los puntos −2 y 4 es |4 − (−2)| = 6. Otra propiedad muy
importante del valor absoluto es la siguiente:
Propiedad 4.2 (valor absoluto). Para todo a, b ∈ R con b > 0:
ive
1. |a| < b si, y sólo si −b < a < b
2. |a| > b si, y sólo si a < −b ó a > b
Ejemplo 4.2. .
Un
1. Si x > 3, entonces |x − 3| = x − 3, pues x − 3 > 0; pero si x < 3, entonces |x − 3| = −(x − 3),
pues x − 3 < 0.
2. |3 + 2| = |5| = 5 = |3| + |2|, sin embargo |3 + (−2)| = |1| = 1 ≤ 5 = |3| + |−2| . En cada caso
se cumple |x + y| ≤ |x| + |y| .
3. −1
2 =
|−1|
|2|
=
1
2
= 21 .
8
5.
Exponentes y radicales
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Definición 5.1. Para todo a ∈ R y todo entero positivo n,
1. an = |a · a{z· · · a}.
2. a0 = 1, si a 6= 0.
n veces
Ejemplo 5.1. .
1. 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
3. 62 = 6 × 6 = 36
2. 43 = 4 × 4 × 4 = 64
4. 3−2 =
Observación 3. .
1
an .
3. a−n =
1
32
=
1
3×3
=
1
9
1. Se denomina potencia al producto que resulta al multiplicar una cantidad o expresión por
sı́ misma una o varias veces. Por ejemplo, 16 es potencia de 2 porque 24 = 16.
2. La operación cuya finalidad es hallar las potencias de un número se denomina potenciación
o elevación a potencias.
3. a2 se lee “a elevado al cuadrado”, a3 se lee “a elevado al cubo”, an se lee “a elevado a la n”.
de
4. En la expresión an = b, a es la base, n es el exponente y b es la potencia.
Propiedad 5.1 (Leyes de los exponentes). Para todo a, b ∈ R y m, n ∈ Z,
3. (ab)n = an bn
n
n
4. ab = abn , b 6= 0.
2. (am )n = amn
Ejemplo 5.2. .
2. b−4
5
= b−4·5 = b−20 =
1
, con b 6= 0.
b20
5.
am
an
= am−n ,
a 6= 0
6.
am
an
=
1
an−m ,
a 6= 0
3. (3x)2 = 32 · x2 = 9x2 , con x 6= 0.
rsid
1. a−2 · a5 = a−2+5 = a3 , con a 6= 0.
ad
1. am an = am+n
4.
z −3
= z −3−(−5) = z 2 , con z 6= 0.
z −5
ive
La operación inversa a la potenciación se denomina radicación. La radicación nos permite
calcular la base de una potencia, conociendo el exponente y la potencia.
Por ejemplo, la operación inversa de elevar al cuadrado un número se denomina encontrar una
2
2
raı́z cuadrada del
√ número. Las raı́ces cuadradas de 25 son 5 y −5 porque 5 =√25 y (−5)√ = 25.
se utiliza para designar la raı́z cuadrada no negativa. Ası́, 25 = 5, 36 = 6,
El sı́mbolo
etc. En general, definimos la raı́z n-ésima como se indica a continuación:
Un
Definición 5.2 (Raı́z n-ésima). Si n es un número natural y a un número real, definimos
de la siguiente forma:
√
Si a = 0, entonces n a = 0
√
Si a > 0, entonces n a = b, si, y sólo si, bn = a y b > 0.
√
Si a < 0 y n es impar, entonces n a = b, si, y sólo si, bn = a y b < 0.
√
Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un número real.
√
n
a
9
Ejemplo 5.3. .
√
1. 5 32 = 2, porque 25 = 32 y 2 > 0.
√
2. −8 = −2, porque (−2)3 = −8 y −2 < 0.
√
3. −9 no es un número real.
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Propiedad 5.2 (Propiedades de la raı́z n-ésima). Para todo a ∈ R y n ∈ N,
√
√ n
1. ( n a) = a si n a es un número real
√
2. n an = a si a ≥ 0
3.
√
n
4.
√
n
Observación 4. .
an = a si a < 0 y n es impar
an = |a| si a < 0 y n es par
√
1. Afirmar que x2 = x para todo número real x es falso.
√
2. x2 = |x| para todo número real x.
Ejemplo 5.4. .
p
1. 3 (−5)3 = −5
p
(−5)2 = | − 5| = 5
3.
√
52 = 5
de
2.
Ejemplo 5.5. .
p
√ √
√
1. x2 y = x2 y = |x| y
2.
Exponentes racionales
rsid
5.1.
√
a
mn
ad
Propiedad 5.3 (Propiedades de la radicación). Para todo a, b ∈ R y m, n ∈ N,
q
r
√
√
√ √
n
n
n
m √
a
a
n
1.
ab = n a b
n
3.
a=
= √
2.
n
b
b
p
p
p
√
4
4
x6 y 3 = 4 x4 x2 y 3 = x4 4 x2 y 3
Definición 5.3 (Exponentes
√ racionales). Para todo a ∈ R y todo par de enteros positivos m y
n, con n ≥ 2 para el cual n a existe, definimos:
1. a1/n =
√
n
a.
2. am/n =
ive
Ejemplo 5.6. .
Referencias
32
243
2/5
=
r
5
32
243
!2
√
√ m
n
am = ( n a) .
3. a−m/n =
1
.
am/n

s
5 2 2
4
2
5
 = 2
=
=
3
3
9
Un
[1] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, undécima
edición, editorial Thomson, 2006.
[2] M. Sullivan., Álgebra y Trigonometrı́a, séptima edición, editorial Pearson, 2006.
[3] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Precálculo, séptima edición, editorial
Pearson, 2006.