Metodo Simplex

Ayudantía Métodos de Optimización
Método
Simplex
metodoptimizacion.bligoo.com
optimizacion.bligoo.com
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Problema Inicial
Max Z= 3x + 2y
s/a:
2x + y < 18 2x + 3y < 42 3x + y < 24 x,y >0
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Problema Normalizado
Min W= -3x - 2y
s/a:
2x + y +S1
2x + 3y +S2
3x + y +S3
x,y,S1,S2,S3 >0
= 18 = 42 = 24 Como las desigualdades eran <, entonces agregamos variables de Holgura
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
Cj -3
CB XB X
0 S1 2
-2
Y
1
0 0 0
S1 S2 S3 b
1 0 0 18
0 S2 2
0 S3 3
Cj - Zj -3
3
1
-2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
42
24
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau  Entra a la base, Sale de la Base
1º Iteracion
Entra: Min{Cj-Zj}
Sale: Min{b/Xj}
Cj -3
CB XB X
0 S1 2
-2
Y
1
0 0 0
S1 S2 S3 b b/X
1 0 0 18 9
0 S2 2
0 S3 3
Cj - Zj -3
3
1
-2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
42 21
24 8
W=0
Si existe
En el caso de que todos los elementos de b/X fuesen menores o iguales a cero,
entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. o si alguna columna
Fuesen todos los elementos menores o iguales que cero.
alguna Columna < 0
solución no acotada
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
Cj -3
CB XB X
0 S1 2
-2
Y
1
0 0 0
S1 S2 S3 b
1 0 0 18
0 S2 2
-3 X 3
Cj - Zj -3
3
1
-2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
42
24
F1
F2
F3
Debemos hacer 1, como? con F3/3
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
Cj -3
CB XB X
0 S1 2
-2
Y
1
0 0 0
S1 S2 S3 b
1 0 0 18
0 S2 2
-3 X 1
Cj - Zj -3
3 0
1/3 0
-2 0
1
0
0
0 42
1/3 8
0
F1
F2
F3
Debemos hacer 0, como?
F1: F1-2*F3
F2: F2-2*F3
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
Cj -3
CB XB X
0 S1 0
-2 0 0 0
Y S1 S2 S3 b
1/3 1 0 -2/3 2
0 S2 0
-3 X 1
Cj - Zj -3
7/3 0
1/3 0
-2 0
1
0
0
-2/3
26
1/3 8
0
Actualizamos los costos reducidos
Como? Cj-Zj
Zj=> CB*Xj (producto punto)
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
Cj -3
CB XB X
0 S1 0
-2 0 0 0
Y S1 S2 S3 b
1/3 1 0 -2/3 2
0 S2 0
-3 X 1
Cj - Zj 0
7/3 0
1/3 0
-1 0
1
0
0
-2/3
26
1/3 8
1
-3 – (0*0+0*0+-3*1)
0 – (0*1+0*0+-3*0)
-2 – (0*1/3+0*7/3+-3*1/3)
0 – (0*0+0*1+-3*0)
0 – (0*-2/3+0*-2/3+-3*1/3)
Nota:
Si los costos reducidos de una
Variable no basica es 0 significa
Que tenemos infinitas soluciones
Ya que si esa variable la hacemos
Entrar a la base no alteraria el valor
De la funcion objetivo
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
La base es optima???
Cj -3
CB XB X
0 S1 0
-2 0 0 0
Y S1 S2 S3 b
1/3 1 0 -2/3 2
0 S2 0
-3 X 1
Cj - Zj 0
7/3 0
1/3 0
-1 0
1
0
0
NO
Entonces???
Volvemos a iterar
-2/3
26
1/3 8
1
Son todos > 0???
NO  (-1)
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
2º Iteracion
Cj -3
CB XB X
0 S1 0
-2 0 0 0
Y S1 S2 S3 b
1/3 1 0 -2/3 2
0 S2 0
-3 X 1
Cj - Zj 0
7/3 0
1/3 0
-1 0
1
0
0
b/Y
6
-2/3
26 78/7
1/3 8 24
W=-24
1
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
La base es optima???
Cj -3
CB XB X
-2 Y 0
-2
Y
1
0 0 0
S1 S2 S3 b
3 0 -2 6
0 S2 0
-3 X 1
Cj - Zj 0
0
0
0
-7
-1
3
1
0
0
4
1
-1
NO
Entonces???
Volvemos a iterar
12
6
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
3º Iteracion
Cj -3
CB XB X
-2 Y 0
-2
Y
1
0 0 0
S1 S2 S3 b
3 0 -2 6
0 S2 0
-3 X 1
Cj - Zj 0
0
0
0
-7
-1
3
1
0
0
4
1
-1
b/S3
-3
12 3
6 6
W=-30
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Tableau
La base es optima???
Cj -3
CB XB X
-2 Y 0
-2
Y
1
0 0 0
S1 S2 S3 b
-1/2 1/2 0
12
0 S3 0
-3 X 1
Cj - Zj 0
0
0
0
-7/4
1/4 1
3/4 -1/4 0
5/4 1/4 0
3
3
W=-33
SI
Entonces???
TERMINAMOS
X=3
Y=12
S1=0
S2=0
S3=3
Variables Básicas:{X,Y,S3}
Variables NO Básicas:{S1,S2}
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
Interpretación Geométrica
Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la función objetivo en los
distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura.
En la primera iteración han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función
objetivo en el vértice A(0,0), siendo este 0.
A continuación se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B. Este paso aporta la iteración 2.
En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(8,0): Z=f(8,0) = 24
Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la iteración 3.
En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(6,6) : Z=f(6,6)=30.
Continua haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta llegar al vértice D. Los datos que se reflejan son
los de la tabla final.
Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solución no mejora al
desplazarse por la arista DE)
El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice D).
Si calculas el valor de la función objetivo en el vértice E(0,14), su valor no supera el valor 33.
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados
FIN
metodoptimizacion.bligoo.com
optimizacion.bligoo.com
Joel Armando Jil Garay ® 2007 - Todos los derechos reservados