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DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA
MATEMÁTICAS
MÓDULO EN REVISIÓN
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE: CECAR
DIRECCION DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
PROGRAMA LICENCIATURA
MÓDULO: RAZONAMIENTO MATEMATICO
SANDRA PATRICIA ROJAS SEVILLA
CAND. MAGÍSTER EN MATEMATICAS APLICADAS
ESP. EN MATEMATICAS
LICENCIADA EN MATEMATICAS
SINCELEJO – SUCRE
2014
INFORMACION
SANDRA PATRICIA ROJAS SEVILLA
CAND. MAGÍSTER EN MATEMATICAS APLICADAS
ESP. EN MATEMATICAS
LICENCIADA EN MATEMATICAS
Docente investigador
Docente tiempo completo Cecar.
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
JUSTIFICACIÓN
FORMAS DE ABORDAR LA LECTURA DEL MODULO
PROPÓSITOS DE FORMACIÓN
REFERENTE TEÓRICO
ESTRUCTURA DEL MODULO RAZONAMIENTO MATEMATICO
COMPETECIAS TRANSVERSALES A DESARROLLAR
SABERES
1
UNIDAD UNO: NUMEROS REALES.
1.1 Propiedades de los números Reales
1.2 El conjunto de los números Naturales
1.3 El conjunto de los números Enteros
1.3.1 Operaciones con Números Enteros
1.3.2 Potenciación y radicación de números enteros
1.3.3 Múltiplos y factores de un número Entero
1.3.4
Números primos y números compuestos
1.3.5 Máximo Común divisor
1.3.6 Mínimo Común múltiplo
1.3.7 Ejercicios
1.4 El conjunto de los números Racionales
1.4.1 Fracciones.
1.4.2 Definición de número Racional
1.4.3 Operaciones con números Racionales.
1.4.4
Potenciación y radicación de números racionales.
1.4.5 Números Decimales.
1.4.6 Operaciones combinadas.
1.4.7 Ejercicios.
1.5 EL conjunto de los números Irracionales
1.6 Introducción al Algebra.
1.7 Ecuaciones de primer grado con una variable
1.7.1 Traducción de enunciados a expresiones algebraicas.
1.7.2 Resolución de problemas
1.7.3 Ejercicios
1.8 Razones y Proporciones
1.8.1 Razones
1.8.2 Proporciones
1.8.3 Aplicaciones de las proporciones
1.8.4
Regla de tres
1.8.5 Porcentajes
1.8.6 Ejercicios
1.9 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2
1.9.1 Coordenadas cartesianas
1.9.2 Métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones
lineales 2x2
1.9.3 Método grafico para resolver sistemas de ecuaciones lineales
2x2.
1.9.4 Ejercicios.
2. UNIDAD DOS PROBLEMAS DE APTITUD NUMERICA
2.1 Problemas que se resuelven con operaciones de numero enteros
2.2 Problemas que se resuelven con Fracciones
2.3 Operaciones con decimales
2.4 Problemas de porcentajes
2.5 Problemas con regla de tres
2.6 Problemas de potenciación
2.7 Problemas de área
2.8 Problemas de volumen
2.9 Problemas de peso
2.10 Problemas de tiempo
2.11 Problemas de distancia
2.12 Problemas de mínimo común múltiplo
2.13 Problemas de máximo común divisor
2.14 Problemas con probabilidad
1. INTRODUCCIÓN
El presente modulo ha sido diseñado con doble propósito uno para los estudiantes
con bajo rendimiento académico en la asignatura de Matemáticas los cuales
reciben apoyo a través del programa de Trayectoria académica exitosa TAE y a la
vez sea una guía para los estudiantes de Licenciatura en lo que respecta a los
problemas de aptitud numérica que evalúa el Ministerio de Educación Nacional
(MEN) para el ingreso a la carrera docente.
La temática del módulo está distribuida en dos unidades la primera lo que respecta
a aritmética escolar y algunos conceptos propios del Algebra y la segunda unidad
contiene los problemas de aptitud numérica basado en pruebas realizadas por el
MEN .
En este sentido el estudiante de Licenciatura debe lograr un aprendizaje
significativo de la unidad Uno para poder alcanzar las competencias de la unidad
Dos.
La forma como se plantea el desarrollo del módulo, dotara al alumno de destreza
en el manejo de conceptos y operaciones básicas indispensables para nivelar
conocimientos previos de los que carece (resultados prueba diagnóstica) y así
entender y manipular todo lo relacionado con la parte aritmética y algebraica
siempre y cuando haga el proceso sin uso de calculadora dado que cuando el
Icfes evalúa no permite el ingreso de ningún dispositivo electrónico.
2. JUSTIFICACIÓN
El Ministerio de Educación Nacional (MEN ) considera “La Matemática es un
lenguaje universal, que no solamente es propio de los Matemáticos sino que
cualquier individuo requiere para poder interrelacionarse con otros, no obstante
existen individuos que solo requieren un manejo informal de este leguaje
Matemático, pero aquellas personas que se están formando profesionalmente
deben pasar a un nivel superior (formal), adquiriendo en su formación profesional
competencias Matemáticas que le permitan desarrollarse con calidad en el campo
laboral”.
La ausencia de conocimientos previos y la aprehensión de los mismos
obstaculizan este proceso; Por lo cual para el desarrollo de la asignatura se ha
tenido en cuenta las competencias Matemáticas genéricas de los egresados de la
educación superior según Villaveces 2012.
Los estudiantes de primer ingreso de Cecar presentan un nivel bajo en las
competencias básicas de Matemáticas el modulo ha sido pensado para apoyar el
proceso que lleva a cabo Bienestar Universitario a través del Proyecto trayectoria
académica exitosa (TAE).
Así mismo con este módulo se pretende iniciar el proceso de formación y
desarrollo en las habilidades para que los futuros graduados del programa de
licenciatura enfrenten con éxito el examen para ingreso a la carrera docente.
3. FORMAS DE ABORDAR LA LECTURA DEL MODULO
Para que sea más provechosa su actividad de aprendizaje, se recomienda seguir
<<las siguientes sugerencias:
1. Inicie la actividad dando una ojeada general al módulo, revisando títulos y
subtítulos para ubicarse en la panorámica de la temática.
2. Realice una lectura atenta de las unidades, señalando y anotando las ideas
centrales, los conceptos básicos y sus relaciones.
3. Compare los conceptos emitidos por usted en la sesión atrévete a opinar,
contrástala con la del módulo, busca puntos comunes y diferencias. re
elabore las conceptualizaciones.
4. Responda a los interrogantes y acciones que se plantean en lecturas
complementarias y en los recuadros que aparecen en c/u de las unidades.
5. Anote las dudas e inquietudes para llevarlas al tutor y demás compañeros
en la sesión presencial.
6. Repita el ciclo para la lectura de cada una de las unidades.
4. PROPÓSITOS DE FORMACIÓN
Este módulo contiene insumos para desarrollar competencias relacionadas con las
habilidades en la comprensión de conceptos básicos de las matemáticas para
analizar, modelar y resolver problemas aplicando métodos y procedimientos
cuantitativos basados en las propiedades de los números y en las operaciones de
las matemáticas. En el módulo se abordan procesos relacionados con:
Interpretación, Diseño y ejecución y Argumentación.
5. REFERENTE TEÓRICO
El modulo tiene como referente principal las guías del Ministerio de Educación
Nacional (MEN) desde el 2009 para a la presentación del examen docentes y
directivos docente además de los algunos simulacros en lo que respecta a la
prueba de aptitud numérica, la cual está compuesta por 30 ítems de opción
múltiple con única respuesta.
Los ítems están enunciados a manera de situaciones problema que implican una
modelación en el campo de los universos numéricos para llegar a una solución,
así como generar estrategias que evidencien razonamientos desde las formas de
proceder con lo numérico. En estas situaciones tanto los enunciados como las
opciones de respuesta pueden estar planteados en forma verbal, tabular, gráfica o
simbólica. Algunas situaciones presentan información a partir de la cual se derivan
dos o tres preguntas o problemas. (MEN 2009)
Todas las preguntas que se incluyen corresponden al tipo de selección múltiple
con única respuesta constan de un enunciado y de cuatro opciones de respuesta
identificadas con las letras A, B, C, y D; sólo una de estas opciones responde
correctamente la pregunta. El aspirante debe seleccionar la respuesta correcta y
marcarla en su Hoja de Respuestas rellenando el óvalo correspondiente a la letra
que identifica la opción elegida.
6. ESTRUCTURA DEL MODULO RAZONAMIENTO MATEMATICO.
Aritmética y Algebra
Desarrollo de
competencias y
habilidades
Matematicas.
Argumentación
Interpretación
Diseño y ejecución
7. COMPETECIAS TRANSVERSALES A DESARROLLAR
Competencias De Razonamiento Cuantitativo.
Competencias del Saber
•
Comprende los conceptos básicos de las matemáticas para analizar,
modelar y resolver problemas aplicando métodos y procedimientos
cuantitativos y esquemáticos. .
•
Comprende los procesos relacionados con la identificación del problema y
la construcción/proposición de estrategias adecuadas para su solución en la
situación presentada; además del tratamiento de datos, la modelación y el
uso de herramientas cuantitativas (aritméticas, métricas, geométricas,
algebraicas elementales y de probabilidad y estadística).
Competencias del Saber Hacer
•
Selecciona la información relevante y establece relaciones entre variables
en la solución (el análisis) de un problema.
•
Realiza cálculos sencillos para la ejecución de un plan de solución de un
problema. .
•
Aplica estrategias cuantitativas orientadas a validar, corregir, o descartar
soluciones obtenidas a problemas propuestos.
Competencias De Lectura Crítica
Competencias del Saber: Comprende el texto como un todo y la construcción del
sentido global a partir de la interpretación de sus componentes implícitos y
explícitos.
Competencias del Saber Hacer: Identifica las relaciones entre distintas partes de
los textos. Las relaciones pueden ser de implicación, inclusión, pertenencia,
causalidad,
orden,
ejemplificación,
categorización,
equivalencia,
complementariedad, oposición, contradicción y/o contraste, analogía o
contraargumentación.
Competencias del Saber Ser: Toma distancia del texto y rastrear las
concepciones de mundo subyacentes, mediante la identificación de las estrategias
discursivas utilizadas y el reconocimiento del rol de quienes participan en la
materialización de los discursos. Evalúa desempeños como:
Competencias En Tecnologías De La Información Y La Comunicación Tic:
Competencias del Saber: Conoce criterios de búsqueda sencilla y avanzada para
hacer consultas en bases de datos especializadas.
Competencias del Saber Hacer: Busca, selecciona y organiza de manera eficiente
información proveniente de diversas fuentes de información.
Competencias del Ser: Valora la importancia de las Tecnologías de la Información
y la comunicación como un medio para facilitar su trabajo en diversos contextos.
PRESENTACIÓN
Un sistema numérico consta de un conjunto de elementos, una o más
operaciones, una o más relaciones y algunas reglas, axiomas o leyes que
satisfacen los elementos del conjunto. Esta unidad hace referencia a uno de tales
sistemas, el sistema de números reales, exponiendo las operaciones y
relaciones que en el se dan, con sus respectivas propiedades.
La comprensión de esta unidad es fundamental para el buen desempeño en los
temas subsiguientes de matemáticas y en el estudio de las estadísticas
NOMBRE CONJUNTOS NUMERICOS
PREGUNTA PROBLEMA
¿Cómo crees que el conocimiento de la aritmética te puede ayudar a
resolver problemas de tu vida cotidiana?
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
♦ Reconoce los elementos que conforman los sistemas numéricos.
♦ Realiza operaciones con números reales
♦ Aplica propiedades para la simplificación de operaciones con números reales.
♦ Interpreta el concepto de porcentaje y realiza cálculos
SABERES
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
ACTIVIDAD PREVIA (Trabajo Individual)
1. El producto de dos números negativos es
A. Negativo
B. Positivo
C. Par
D. Impar
2. El producto de dos enteros de diferentes signos es
A. Negativo
B. Positivo
C. Par
D. Impar
C. Real
D. Entero
3. Todo número racional es:
A. Negativo
B. Positivo
4. Todo número real es:
A. Decimal
B. Positivo
C. Entero
D. Racional
5. De las siguientes operaciones es interna en los números enteros:
A. Radicación
B. Potenciación
C. División
D. Producto
6. 25 − 12 + 32 − 75 + 35 − 15 es igual a:
A. 20
B. –10
D. 50
B. –360
C. 360
D. 22
B. –12
C.
B. 5
C. 125
(−12)(−5)(−3)(2) es igual a:
7.
A. –22
8. El inverso de
A. −
9.
C. –20
4
1
es:
12
1
12
12
12
D. 12
625 es igual a:
A. 25
10. 2 +
3 2
1
5
− + 3 − 4 es igual a:
4 3
2
3
D. –5
A. −
1
12
B.
1
12
C.
7
6
D. −
14
12
11. Al calcular el 15% de 5000 se obtiene:
A. 75
B. 750
C. 4250
D. 550
12. Julián paga el 16% de una deuda a Jesús, si canceló $12.000, la deuda de
Julián era de:
A. $192.000
B. $75.000
C. $132.000
El resultado de −4 − 3 es igual a
A. -12
B. 12
C. -7
D. 7
ANSWER: C
El resultado de multiplicar
A.
B.
C.
12
5
10
2
5
x
6
5
30
40
25
12
D. 25
ANSWER: D
El valor de 𝑥 en la ecuación −2𝑥 + 6 = 2 es
A. -4
B. -2
C. 2
D. 10
ANSWER: C
Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 entonces 𝑓(2) es
A. 5
B. 8
C. 11
D. 6
ANSWER: C
D. $750.000
Al efectuar y simplificar (3𝑥 − 4)(4𝑥 + 2) resultado es
A. 12𝑥 2 − 10𝑥 − 8
B. 7𝑥 − 2
C. 12𝑥 2 − 18𝑥
D. 12𝑥 2 + 18
ANSWER: A
Luego de simplificar
A. 3𝑥 −2
B. 3𝑥 2
1
C. 3 𝑥12
D. 3𝑥 3
ANSWER: B
27𝑥 7
9𝑥 5
se obtiene
Después de efectuar y simplificar la expresión 8𝑡 − 𝑡(5 − 3𝑡) − 3𝑡 + 2
A. 3t 2 + 2
B. 5𝑡 2
C. 9𝑡 + 2
D. 34𝑡 + 2
ANSWER: A
2
8
La siguiente expresión �5 + 5� ∗ 4 es igual a:
A. 8
B. 10
C. 3
D. 4
ANSWER: A
El resultado de -4 – (-7) + (-8) + (-11) es:
A. -16
B.
7
C. -30
D. -8
ANSWER: A
Al resolver (-18 – 2) • (-7 + 8) + (-12 ÷ 3) se obtiene:
A. -16
B. 24
C. 16
D. -24
ANSWER: D
El valor que adquiere la expresión (𝑑 ÷ 𝑒) + (𝑎 – 𝑏 + 𝑐) + 𝑒 , si se considera
que 𝑎 = −3 , 𝑏 = −5 , 𝑐 = 6, 𝑑 = 8 , 𝑒 = −4, 𝑒𝑠:
A. 2
B. 8
C. 6
D. 10
ANSWER: A
ACTIVIDAD GRUPAL
1. Reunidos en CIPAS, lea nuevamente la unidad 1.
2. Socialicen los resúmenes elaborados de manera individual e
independiente.
3. Socialicen las respuestas de las actividades, que respondieron
de manera individual.
4. Desarrollen los ejercicios que se encuentra al final de la Unidad
1 y discútanlos en el grupo de estudios. Estos ejercicios deben
ser socializados en la sesión junto con todos los compañeros de
grupo y entregados al tutor.
SABERES Y ACTIVIDADES
1. NUMEROS REALES.
1.1 Propiedades de los Números Reales.
En el conjunto de los números Reales están definidas dos operaciones: la adición
y la multiplicación.
En esta parte describiremos las propiedades aritméticas de los números reales
basándonos en las propiedades de la adición y de la multiplicación, derivando de
ellas las propiedades de la sustracción y la división.
Propiedades
Suma
Producto
Asociativa
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐
𝑎+0=0+𝑎 =𝑎
𝑎∗1 =1∗𝑎 =𝑎
Conmutativa
Existencia
del neutro
Existencia
del inverso
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 1 , si 𝑎 ≠ 0
aditivo y
multiplicativo.
Propiedad
Distributiva
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
de la
multiplicación
con respecto
a la suma
Valor absoluto.
Para cualquier número real 𝑎, se define su valor absoluto como sigue:
a = � 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Esto significa que el valor absoluto de un número, siempre es positivo, salvo en el
caso del cero cuyo valor absoluto es cero.
Teorema sobre los números reales.
Si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 representan números reales, y si a = b, entonces:
Teorema1.
i.
ii.
iii.
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
𝑎– 𝑐 = 𝑏– 𝑐
𝑎𝑐
Teorema 2.
= 𝑏 𝑐, 𝑐 ≠ 0
Para todo número real 𝑎, 𝑎 𝑥 0 = 0
Teorema 3.
Si 𝑎 𝑦 𝑏 son números reales, y 𝑎 × 𝑏 = 0, entonces 𝑎 = 0 ó 𝑏 = 0.
Teorema 4.
Para todo número real a, (−1) 𝑎 = − 𝑎
Teorema 5.
Si 𝑎 𝑦 𝑏 son números reales, entonces (−𝑎) (−𝑏) = 𝑎 𝑏
Teorema 6.
1
𝑐
Si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son números reales, y 𝑎𝑏 = 𝑐, con 𝑎 ≠ 0, entonces 𝑏 = �𝑎� 𝑐 = 𝑎
Teorema 7.
Si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son números reales, y 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐, con 𝑐 ≠ 0 entonces 𝑎 = 𝑏
Operaciones con el cero
Al realizar las cuatro operaciones básicas con el cero es común que exista cierta
dificultad al realizar divisiones, mostramos en forma general las operaciones con el
cero y sus resultados. (Recuerde la propiedad 7 de los números reales).
𝑎 + 0 = 𝑎
0 + 𝑎 = 𝑎
𝑎– 0 = 𝑎
0– 𝑎 = −𝑎
𝑎 (0) = 0
0 (𝑎) = 0
En contraste, al efectuar divisiones que incluyen el cero se debe tener un poco
mas de cuidado.
• 0 ÷ 5 = 0 porque 0 (5) = 0
• 5 ÷ 0 = ?. Debemos encontrar un número que al multiplicarlo por cero sea igual
a cinco. Y sabemos que todo número multiplicado por cero es igual a cero.
𝑎 (0) = 0
Este resultado esta soportado en la propiedad sobre inverso multiplicativo de los
números reales en la cual se afirma que todo número real excepto el cero tiene
inverso multiplicativo.
Por ejemplo. 5 su inverso multiplicativo es 1 / 5 porque 5 x 1 / 5 = 1
2 /3 su inverso multiplicativo es 3 / 2 porque 2 / 3 x 3 / 2 = 1
• 0 ÷ 0 =? como cualquier número que se multiplique por cero es igual a
cero, entonces esta división no tendría una única respuesta, sino infinitas.
Por lo cual debe quedarle claro que la división entre cero no está definida.
1.2 El Conjunto de los Números Naturales.
Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto
(número cardinal). O para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en
un conjunto (Ordinal).
N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…
A esa recta la llamamos la recta numérica
Orden de los números naturales
Un número natural es mayor que otro si está situado a la derecha sobre la recta
numérica.
Por ejemplo, 5 > 3, 12 > 7 𝑦 15 > 11:
De la misma forma, un número natural es menor que otro si está situado más a la
izquierda sobre la recta numérica.
Por ejemplo, con las mismas parejas de números anteriores, podemos escribir
3 < 5; 7 < 12 𝑦 11 < 15:
1.3 El Conjunto de los Números Enteros
Después de utilizarse los números naturales y de realizar operaciones con ellos se
ve la necesidad de trabajar con otras cantidades al intentar resolver los siguientes
interrogantes ¿Cómo indicar temperaturas bajo cero por ejemplo Estamos a 5
grados bajo cero: - 5 ºC?, ¿Cómo diferenciar alturas y profundidades de la tierra
La mina está a 80 metros de profundidad: - 80 m.?, ¿cómo expresar que se debe
algo ?, ¿Cómo resolver operaciones como 100 - 200?; cuya solución no se
encuentra en el conjunto de los números naturales.
De esta forma surge la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales,
surgiendo de esta manera el conjunto de los enteros
Los números enteros son:
Z = …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …,
Representación de los números enteros sobre una recta
Se representan sobre una recta, llamada recta numérica, así:
Orden de los números enteros.
Un número entero es mayor que otro si está situado a la derecha sobre la recta
numérica.
Ejemplo
5 > 3; 5 > −1; −1 > −3
De la misma forma, un número entero es menor que otro si está situado a la
izquierda sobre la recta numérica.
Ejemplo
2 < 4; −7 < −1; −3 < 0:
Antecesor, sucesor, y números enteros consecutivos.
Sea n un entero, entonces su antecesor es n – 1 y su sucesor es n + 1. Se dice
que los números 𝑛 y 𝑛 + 1 son enteros consecutivos.
1.3.1 Operaciones con Números Enteros
Adición de los Números enteros
Para sumar dos números del mismo signo se realiza la operación y se coloca
el signo de ambos. En el caso de que ambos números sean positivos se omite
la escritura del signo +
Ejemplo.
3 + 2 = 5
−3 + (−2) = −5
Para sumar dos números de diferentes signos se realiza una resta y se coloca
el signo de número de mayor valor absoluto.
Ejemplo.
-8 + 5 = - 3
7 + (−9) = − 2
−20 + 30 = 10
Es igual tener 7 − 9
Multiplicación los Números Enteros
De igual signo el resultado siempre es positivo
Ejemplo:
2 (4) = 8
−2 (−4) = 8
De diferente signo el resultado siempre es negativo.
−5 (2) = − 10
15 (−4 ) = − 60
En síntesis
+×+ = +
−×− = +
+×− = −
−×+ = −
Es un error común en los estudiantes confundir la ley de los signos de la
suma con los del producto.
−3 − 4 = −7 Observe que está haciendo una suma de dos números
negativos.
Ahora
−3(−4) = 12
Observe que está haciendo una multiplicación de dos
números negativos.
División de los Números Enteros
Ley de los signos para la división
+÷+ = +
−÷− = +
+÷− = −
−×÷ = −
Para dividir dos Números enteros, se tiene en cuenta la ley de los signos
para la división y luego se halla el cociente de la misma forma como se
hace con los Naturales.
Las divisiones que no sean exactas se pueden representar como una
fracción.
Ejemplos:
a. −𝟔 ÷ 𝟑 = −𝟐
Es equivalente a tener
c. 𝟔 ÷ −𝟑 = −𝟐
Es equivalente a tener
b. −𝟔 ÷ −𝟑 = 𝟐
Es equivalente a tener
d. 𝟔 ÷ 𝟑 = 𝟐
Es equivalente a tener
Ahora cuando el resultado no es exacto
𝟖 ÷ −𝟑 =
−𝟖
𝟑
Ejercicios resueltos
1) −(3 − 4) + 2 [6 − 8 (−2 + 2)] =
= −(−1) + 2 (6 – 2 (0)
= 1 + 2 (6 – 0)
= 1 + 2 (6)
= 1 + 12
−𝟔
𝟑
−𝟔
−𝟑
𝟔
−𝟑
𝟔
𝟑
= −𝟐
= −𝟐
= −𝟐
=𝟐
= 13
2) − 4 + 2 (5 – 3) + 2 [(3 – 1) – (2 + 4)]
= −4 + 4 + 2 [−4]
= −4 + 2 (2) + 2 [(2) – (6)]
= −8
3) − {−(8 + 6) − [−(7 − 11)]}
= − {−8 − 6 − [−7 + 11]}
= −{−8 – 6 + 7 – 11}
= 8 + 6 − 7 + 11
= 18
1.3.2 Potenciación y Radicación de Números Enteros
La potenciación es la simplificación de la multiplicación cuando sus factores
son iguales si el exponente es un número para el resultado es positivo. Si
es impar y la base es negativa el resultado es negativo.
𝑎𝑛 = ���������
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯∙ 𝑎
Ejemplo:
frecuente)
𝑛−𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 distinto de 3 × 4 = 12
(es un error
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ . 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ OJO COLOCAR PIE DE PAGINA LIBRO SEPTIMO.
MULTIPLICACION
Multiplicación de Potencia de una
potencias de igual multiplicación
base.
𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Ejemplo
23 22 = 25 = 32
Ejemplo
𝑦4 𝑦3 = 𝑦7
(𝑎 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛
Ejemplo
(3𝑥)3 = 33 𝑥3
= 27𝑥 3
Ejemplo
Ejemplo
(−3)5 (−3)−2 =
(−3)5−2
= (−3)3
= (−3) (−3) (−3)
= - 27
(4𝑥𝑦)2 = 16𝑥 2 𝑦 2
DIVISION
División
potencias
igual base
de Potencia de POTENCIA DE
de una División
UNA
POTENCIA
am
= a m−n
n
a
para m > n
Ejemplo.
𝑥6
𝑥4
= 𝑥6−4 = 𝑥2
𝑥5
1
1
= 9−5 = 4
9
𝑥
𝑥
𝑥
Exponente cero y exponente negativo
Ejemplo:
m5 m0 = m5+0 = m5
X3 + X0 = X3+0 = X3
Ejemplo:
am
= a m−m = a 0 = 1
m
a
𝑏≠0
(3x )
 3x 
  = 2
2
 2
2
9x
=
4
2
1
am
= n−m
n
a
a
X0 = 1
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛𝑚
𝑎𝑛
Ejemplo
Ejemplo:
para n > m
Definición1:
𝑎 𝑛
�𝑏� = 𝑏𝑛
2
(𝑥 4 )2 = 𝑎8
Ejemplo
(22 )3 = 26
= 64
Evidentemente la multiplicar por cualquier número elevado a cero no altera las
expresiones; es como si se multiplicará por 1.
Definicion2.
a −1 =
1
, para a ≠ 0 corresponde a la propiedad 7 para los reales.
a
x −3 =
1
x4
Luego en términos generales, podemos definir los exponentes enteros negativos
de la siguiente forma:
Si a es un número real distinto de cero y n es un entero positivo se tiene que:
a −n =
1
an
Por ejemplo, si tenemos.
−3
1
  =
2
1
1
 
2
3
=
8
1
= = 8 aplicando la definición.
1
1
8
Ahora bien se puede invertir la expresión y elevarla al mismo exponente pero con
signo positivo.
1
 
2
Así:
número así
−3
= 23 = 8
(recuerda que todo numero dividido entre 1 es igual al
2
=2
1
Ejemplo. El siguiente ejercicio reúne varias de las anteriores propiedades.
3
 2x   − y 
  

 y   2x 
−2
=
 8x 3 
 3 
 y 
 8x 3 
 2x 

 =  3 
− y
 y 
2
 4x 2 
 y 2 


32 x 5
=
y5
Radicación en Números Enteros
Es la operación que permite hallar la base de una potencia. Es la operación
inversa a la potenciación.
𝑛
Si √𝑎 = 𝑏 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏 𝑛 𝑎 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ.
Raíces de índice par:
𝟒
√𝟏𝟔 = 𝟐
𝟒
Pero también √𝟏𝟔 = −𝟐
Dado que 24 = 16 y también (−2)4 = 16
Por tanto
𝟒
√𝟏𝟔 = ±𝟐
En conclusión: El resultado de la raíz de índice par de un número entero positivo
puede ser negativo o positivo.
Raíces de índice impar:
𝟓
√−𝟑𝟐 = −𝟐
En conclusión: La raíz impar de un número entero tiene el mismo signo del
radicando.
Raíces de números enteros negativos.
Ejemplo:
𝟑
a) √−𝟏𝟐𝟓 =
Solución
𝟑
√−𝟏𝟐𝟓 = −𝟓
Dado que
−𝟏𝟐𝟓 = −𝟓 × −𝟓 × −𝟓
y la
𝟑
√−𝟏𝟐𝟓
es hallar un número que multiplicado por si mismo dé −125 entonces
𝟑
√−𝟏𝟐𝟓 = −𝟓
Ejemplo:
3 × 3 = 9 ≠ −9
√−𝟗 = ? �
−3 × −3 = 9 ≠ −9
sí mismo dé -9.
b)
No existe un numero que multiplicado por
Los resultados anteriores se resumen en la siguiente tabla.
Índice
Par
Radicando
Positivo
Negativo
Impar
El resultado existe y es El resultado existe y el
positivo o negativo
positivo
No existe el resultado en El resultado existe y es
negativo.
ℤ
Propiedades de la Radicación
𝑛
Si √𝑎 = 𝑏 , 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑠 𝑎 = 𝑏 𝑛 𝑎 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ
Raíz
de
una Raíz de una división
multiplicación
𝒏
𝒏
√𝒂𝒃 = 𝒏√𝒂 √𝒃
𝒏
𝒂
√𝒂
� = 𝒏
𝒃
√𝒃
𝒏
Ejemplo:
Ejemplo:
𝟑
𝟑
𝟑
√𝟖 × 𝟐𝟕 = √𝟖 √𝟐𝟕
=𝟐×𝟑=𝟔
1.3.3
𝟒
𝟏
𝟏
√𝟏
� = 𝟒
=
𝟖𝟏
√𝟖𝟏 𝟑
𝟒
Raíz de una potencia
𝒏
√𝒂𝒎 = 𝒂𝒎÷𝒏
Ejemplo
𝒏
√𝒂𝒏 = 𝒂𝒏÷𝒏 = 𝒂𝟏 = 𝒂
Ejemplo
𝟒
�𝟓𝟖 = 𝟓𝟖÷𝟒 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓
Múltiplos y Divisores (Rojas, Castaño 2013)
Múltiplos: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el número por el
conjunto de los números naturales. Por ejemplo, para hallar los múltiplos de 9, se
multiplica a 9 por cada elemento del conjunto N. Asi, el conjunto de los múltiplos
de 9 es:
M9 =
{9,
18,
27,
36,
45, 56, . . . .180....990....}
El conjunto de los múltiplos de un número es infinito.
Divisores: Los divisores de un número son aquellos números que lo dividen
exactamente, por ejemplo:
 D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12
 D 25 =
{ 1,
5, 25 }
 D 35 =
{ 1,
5, 7, 35
}
}
El conjunto de los divisores de un número es finito
1.3.4 Números Primos y números compuestos
Números Primos: Todo número que posea exactamente dos divisores, el 1 y él
mismo, se llama primo. Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . tiene la propiedad
de tener solamente dos divisores, por lo tanto son primos.
Números compuestos: Los números que tienen más de dos divisores se llaman
compuestos. Todo número compuesto se puede expresar como el producto de
números primos, por ejemplo,
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 =
24 x 3
1.3.5 Máximo Común divisor
Máximo Común Divisor: El máximo común divisor(M.C.D), de
números, es el mayor de los divisores comunes a dichos números.
dos o más
Para hallar el M.C.D de dos o más números, se descomponen simultáneamente
los números en factores primos comunes.
Ejemplos
1. Halla el M.C.D de 24, 36 y 48
Solución:
24
36
48 2
12
18
24 2
6
9
12 3
2
3
4
no existe un factor común de 2, 3 y 4
luego el M.C.D de 24, 36 y 48 es: 2 x 2x 3 = 12
2. Halla el M.C.D de 60, 96,
y 100
Solución:
60
96 100 2
30
48
50 2
15
14
25
no existe factor común de 15, 24, y 25
Luego el M.C.D de (60, 96, 100) es 2x2 = 4
1.3.6 Mínimo Común Múltiplo.
Mínimo común múltiplo: el mínimo común múltiplo ( m.c.m), de dos o más
números, es el menor de los múltiplos comunes a dichos números.
Para hallar el m.c.m
de dos o más números se descomponen los números
simultáneamente en sus factores primos, no necesariamente comunes, hasta
obtener uno en cada columna; el producto de estos factores es el m.c.m.
Ejemplos:
Halla el m.c.m de 12 y 15
Solución:
Se hace la descomposición en factores primos.
12
15
2
6
15
2
3
15
3
1
5
5
1
1
1
m.c.m (12 y 15) .= 2 x 2 x 3 x 5 = 60
2. Halla el m.c.m de 18, 24 y 30
Solución:
18 24
30
2
9
12
15
2
9
6
15
2
9
3
15 3
3
1
5
3
1
1
5
5
1
1
1
m.c.m ( 18,24,30) = 2 x 2 x2 x3 x 3 x 5
= 8 x 3 x 3 x 5 = 360
1.3.7 Ejercicios.
1.4 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Con los números Enteros podemos contar cantidades exactas: Camila tiene 4
hermanos, en el salón hay 36 sillas, la temperatura es -3°C; pero no podemos
contar cantidades que representen partes de la unidad, como 2,5 kilogramos de
carne, 1,52 metros de altura o 18,3ºC de allí la necesidad del hombre de crear un
conjunto numérico
que sirviera para representar una parte de una cantidad
entera.
El conjunto de los números racionales está formado por todos aquellos números
que
se
pueden
escribir
en
𝑎, 𝑏 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎 𝑍 𝑦 𝑏 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜.
la
forma
𝑎
𝑏
tales
que
Este conjunto se simboliza con la
letra ℚ.
En el se definen las operaciones internas, suma, resta, multiplicación, División y
potenciación de exponente entero. Pueden establecerse las relaciones “ser mayor
que” , “ ser menor que”, “ ser múltiplo de” y “ser divisor de” entre otras.
Los números racionales contienen a los naturales y a los enteros. Son racionales:
2, − 5,
3
2
, − , 0,
4
3
0.02, − 0.003 .
0.02222....
Nota: Los números decimales exactos y los infinitos periódicos son racionales, no
así los infinitos no periódicos.
Ejemplos:
• 6/7, 5/11, 11/23 son racionales positivos
• −6/7, 5/−11, −11/23 son racionales negativos
• 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 3 = 3 / 1
• En general, cualquier numero entero 𝑎 es un numero racional, porque 𝑛 =
𝑛/1
• En particular, 0 es racional.
Relación de igualdad.
a c
=
Si y solo si ad = bc
b d
Ejemplo:
2 6
=
porque 2(9) = 3(6)
3 9
Relación de orden
https://www.google.com.co/#q=bases+matematicas+para+la+educacion+primaria+
gu%C3%ADa+de+estudio+1
Relación entre los racionales y los decimales
Todo número racional se puede representar por una expansión decimal periódica
finita o por una expansión decimal infinita periódica (o simplemente por una
expansión decimal periódica).
A continuación se enuncian unos teoremas que muestran dicha relación.
Teorema 1. Cualquier racional se puede escribir en notación decimal dividiendo el
numerador entre el denominador.
Ejemplos:
a.
4
= 0,44
9
b.
3
= 0,428
7
c.
11
= 3.666. . .
4
d.
1
= 0,25
4
Cuando un número decimal tiene finitas cifras decimales y las escribimos todas, se
dice que esa es su expresión decimal exacta.
a.
17
= 2,125
8
b.
1
= 0,25
4
c
30
= 1,875
16
Cuando un número decimal tiene infinitas cifras decimales y existe cierta cantidad
de cifras que se repiten indefinidamente se dice que es periódico. El grupo de
cifras que se repite se llama período.
a.
13
= 4,33333...
3
b.
322
= 3,25252525...
99
c.
493
= 5,477777...
90
Teorema2.
Todo número real cuya representación decimal es finita, o presenta un periodo,
tiene representación fraccionaria.
Ejemplo.
Teorema3.
0.625 = 625 / 1000 = 5 / 8
0.2727 … = 0.27 = 27 / 99 = 3 / 27.
Todo número real cuya representación decimal no cumple con lo anterior, no es
Racional.
Los
números
racionalessese
pueden
interpretar
como
fracción,
como
cociente
entre
Los
números
racionales
pueden
interpretar
como
fracción,
como
cociente
entre
dos
dos enteros,
como operador
como razón.
enteros,
como operador
y comoy razón.
Como fracción, el racional
3
, nos indica que la unidad se ha dividido en 5 partes
5
iguales de las cuales se han tomado 3. Las partes en que se divide la unidad se
llama denominador y las partes que se toman se llama numerador así:
4
7
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
Como el cociente de dos Números Enteros, el racional:
8
8
, significa 8 ÷ 4 = 2, es decir ,
= 2
4
4
1
1
, significa 1 ÷ 10 , es decir ,
= 0 .1
10
10
20
, significa
4
20 ÷ 4 , es decir ,
Como operador, el racional
20
= 5
4
2
actúa sobre una cantidad y la modifica. Observa:
3
Marta utilizó las dos terceras partes de sus ahorros ($9.000) para comprar un texto
de inglés.
Observa:
9000 ∗
2
3
6000
El operador
2
implica dos acciones u operaciones sobre el número 9.000; la
3
multiplicación y la división o viceversa, el orden no interesa.
Si se considera el operador
a
, cuando a es mayor que b se tiene un operador
b
ampliador, si a es menor que b el operador es reductor.
Ejemplo:
En el siguiente enunciado aparece este significado Hemos ido de excursión al
campo y hemos recogido 60 manzanas, tres cuartos de las cuales son verdes.
¿Cuántas manzanas verdes hemos cogido?
Solución:
Observa que la expresión de se traduce en
3
4
× 60 =
180
4
= 45 Si decides multiplicar y luego dividir
Pero es preferible en el caso de no contar con calculadora lo siguiente:
3
4
× 60 = 3 ×
60
4
= 3 × 15 = 45 Primero dividir y luego multiplicar
Como razón Este significado aparece en situaciones como la siguiente:
Una receta para hacer naranjada indica que hay que mezclar 3 vasos de agua por
cada 4 vasos de zumo de naranja. Sara tiene 1 vaso de zumo de naranja.
¿Cuánta agua debe añadir Sara para obtener naranjada del mismo sabor que la
de la receta?
(Gairín y Muñoz. 2005).
1.4.1 Fracciones
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una
totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de
hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de
gasolina unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de
dichas partes.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno
sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya
fraccionaria.
En una fracción el denominador indica las partes en que se divide la unidad y el
numerador las partes que se deben tomar.
𝑎
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑏 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟.
,
𝑏≠0
Las siguientes imágenes fueron tomadas de
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/FraccionConcepto.htm
Hay 5 partes pintadas de un total de 8 partes. Esto se
representa como 5 / 8 (se lee cinco octavos)
Hay 5 partes pintadas de un total de 6 partes. Esto se representa
como 5 / 6 (se lee cinco sextos)
Hay 3 partes pintadas de un total de 5. Esto se representa
como 3 / 5 (se lee tres quintos)
Hay 8 partes de las cuales se han pintado 5, por lo tanto, la fracción
que representa matemáticamente este dibujo es 5 / 8 (se lee cinco octavos).
𝟑
unidad.
𝟏
+ 𝟒 = 𝟏 La suma de las partes es igual a la
𝟒
Tres cuartos Mas un curto es igual a uno
http://palmera.pntic.mec.es/~jcuadr2/fraccion/ en este sitio encontraras una
forma interactiva de aprender el concepto de fracción
Lo siguiente fue tomado tomada de
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
•
Según la relación entre el numerador y el denominador:
1
• Fracción mixta: suma abreviada de un entero y una fracción propia: 3 ,
4
•
•
•
•
1
22
Fracción propia: fracción en que el denominador es mayor que el
3 5
9
numerador: 5 , 8 , 13
Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el
8 9 17
denominador: 5 , 8 , 13
Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no
16
5
9
son primos entre sí y puede ser simplificada: 6 , 30 , 21
Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador
3
9
8
son primos entre sí, y por tanto no puede ser simplificada: 7 , 11 , 13
•
•
Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han
4
7
1
1
invertido el numerador y el denominador: 7 y 4 , 8 y 8 , 5 y 5
•
Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada:
Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número
8
18
perteneciente al conjunto de los enteros: 8 = 1, 6 = 3
1
3
•
2
3
100
= 6 = 9 = 300
Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador:
4
7
•
5
y7 ,
8
3
y
1
5
y ,
3 3
Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores:
1
•
3
5
y6 ,
3
7
2
2
y3y5
1
Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 10,
𝑎
En general: 10𝑛
con 𝑎 un entero positivo y 𝑛 un natural.
0T
0T
3
10000
Otras clasificaciones:
•
Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de expresar un
número como una fracción de 100, utilizando el signo porcentaje %.
•
Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para la relación
que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.
Lo que tiene que ver con fracciones equivalente y amplificación y si plificacion de
fraccione fue tomado de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fraccionesequivalentes.html
Las Fracciones Equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes.
Estas fracciones son en realidad lo mismo:
¿Por qué es lo mismo? Porque cuando multiplicas o divides a
la vez arriba y abajo por el mismo
número, la fracción mantiene su valor.
La regla a recordar es:
¡Lo que haces a la parte de arriba de la
fracción
también lo tienes que hacer a la parte de
abajo!
Veamos el ejemplo:
Si multiplico tanto el numerador como el
denominador por 4 obtengo una fracción
que tiene el mismo valor, o sea
equivalente.
Observa que la superficie pintada en ambos dibujos es la misma.
Observa la imagen, ¿qué fracciones están representadas?
Obtención de fracciones equivalentes
Si a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por el mismo número
se obtiene una fracción equivalente.
Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:
×2
×2
1
2
2
=
4
×2
4
=
8
×2
Y en un dibujo se ve así:
1
2
/2
4
/4
=
/8
=
Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:
÷3
18
36
÷6
6
=
÷3
12
1
=
2
÷6
Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción
(la hemos hecho la más simple posible).
Importante:
Las operaciones que podemos hacer son multiplicar y dividir (el numerador
y denominador). Si sumamos o restamos un número arriba y
abajo, no tendremos una fracción equivalente.
2. El número que elijas para dividir las dos partes (el numerador y
denominador) no debe dejar ningún resto en las divisiones.
1.
1.4.2 Definición de número Racional
Definición de número racional: es aquel que se puede representar como una fracción
irreductible donde tanto el denominador como denominador son enteros, pero el
a
denominador no puede ser cero ℚ =  ,
b
𝑎
−𝑏 =
−𝑎
𝑏
a ∈ Z,

b ∈ Z , b ≠ 0 ; además

𝑎
= −𝑏 Son las formas de representar una fracción negativa.
Por presentación se acostumbra dejar el signo negativo en el numerador y no en
el denominador
1.4.3 Operaciones con números racionales
Suma y resta de fraccionarios:
1. Fracciones homogéneas: Solo es válido para la suma y resta
Para sumar o restar dos o más racionales con igual denominador se suman o se
restan los numeradores y se escribe el mismo denominador. En general:
𝑐
𝑘
𝑑
+ =
𝑘
𝑐+𝑑
𝑐
y
𝑘
2
8
𝑘
4
Ejemplo 1: 3 + 3 + 3 =
Ejemplo2:
Ejemplo 3:
8
5
4
4
−5=5
7
+
3
11
3
8
𝑑
− =
𝑘
𝑐−𝑑
𝑘
14
3
−3=
10
3
Cundo sumamos 1 a una fracción
Ejemplo: 2 + 1
3
2 + 3
5
3
3
3
Ejemplo2: 5 + 1
2
5 +2
2
2
7
2
Ejemplo3: 2 - 1
7
,
𝑘≠0
2 - 7
7
-5
7
7
Ejemplo4: 8 - 1
5
8 - 5
3
5
5
5
2. Adición y sustracción Fracciones heterogéneas
Para sumar o restar racionales con diferentes denominadores se
acuerdo con la siguiente regla:
𝑎
𝑐
+ =
𝑏
𝑑
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
𝑎
y
𝑏
𝑐
− =
𝑑
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑑
,
𝑘≠0
Ejemplos
(11 x 7) + ( 6 x 2)
77 + 12
89
=
=
6x 7
42
42
(7 x 4) − (6 x3) 28 − 18 10
7 3
5
2.
−
=
=
=
=
6 4
6 x4
24
24 12
(−8 x9 ) − (3 x7)
− 72 − 21 − 93 − 93
8 7
3. − − =
=
=
=
3 9
3 x9
27
27
9
1.
11 2
+ =
6
7
a +c
b
d
a.d + b.c o
b.d
b
Ejemplo
11 + 2
6
7
Ejemplo2
77 + 12
42
a -c
89
42
d
a.d – b.c
b.d
efectúa de
8 + 1
9
3
3
3
3 son homogéneas por eso no se hizo en cruz
Ejemplo3:
7
5
4
2
1
3
+3−5+3−7+1
Solución 1.
7
4
2
1
3
+3−5+3−7+1
5
5
5
3
5
3
Solución 2
7
4
2
1
3
+3−5+3−7+1
5
5
=5+3−7+1
7
4
=1+3+7
35−9
3
5
8
4
7
exp: 1 = 7
4
=3+3+7
21
26
= 2 + 21
=
3
5
=1+3−7+1
=2+
5
=5+3−7+7
=3+7
42+26
=
21
68
= 21
56+12
21
68
= 21
Suma y resta de más de dos fraccionarios usando 1° asociativa y 2°
m.c.m
Ejemplo de asociativa:
5
8
2
5
8
2
+ 5 − 9 = �3 + 5� − 9 =
3
25+24
15
Ejemplo m.c.m
2
49
2
411
− 9 = 15 − − 9 = 135 =
137
45
359 3
1 5 3 3 ( 3 * 3 * 5)= 45
1 1
5
5 + 8 - 2
3
5
9
75 + 72 – 10
45
137
45
Multiplicación
Para multiplicar dos o más números racionales se multiplican numeradores y
denominadores entre sí. Si es posible se simplifica el resultado de la
multiplicación.
𝑎
Algoritmo:
𝑏
Observación:
𝑐
∗ =
𝑑
𝑎
𝑐
Ejemplos:
𝑐
∗ =
𝑑
𝑎
se cancela 𝑐
𝑑
8
4 x2
4 2
× =
=
3 x5 15
3 5
1.
2. −
Ej:
2
Ej:
2
Ej:
𝑎𝑐
𝑏𝑑
3
3
2
5
2
4 2  7  (− 4 ) x 2 x (− 7 )
56 28 14 7
x x−  =
=
=
=
=
5 8  3
5 x8 x3
120 60
30 15
16
9
3
5
15
∗ =
4
8
2
3
4
2
14
9
∗
27
∗ =
3
7
2
o Bien
∗ ∗ ∗ =
Ej: ∗
7
8
∗ =
7
5
3
128
315
2
9
∗ =
4
18
12
=
3
2
30
7
División
Par dividir racionales, basta con multiplicar el racional dividendo por el inverso
multiplicativo del racional divisor. En general:
Algoritmo:
𝑎
𝑏
Observación:
𝑐
𝑎
𝑑
÷ = × =
𝑑
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
÷ =
𝑑
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
𝑎𝑑
𝑏𝑐
ley de la oreja.
Ejemplos:
1.
4 2 4 5 4 x 5 20 10
÷ = x =
=
=
7 5 7 2 7 x 2 14 7
2. I −
8 6
8 4 − 8 x 4 − 32 − 4
÷ =− x =
=
=
4 4
4 6
4x 6
24
3
Ejercicios resueltos:
1)
5
12
2
+
3
=
15+24
36
=
39
Sacando Tercera
36
O usando el m.c.m. (12,3) = 12
5
12
+
2
3
=
5+8
12
4
3
4
12
13
= 12
3
2) �− 15� �− 8 � =
3)
13
5
3
6
12
120
18
÷ 6 = 4 × 5 = 20 =
1
5
4) � 2� �− 8� �−
3
4
1
Simplificando 10
9
10
Simplificando
15
� = 64
5) −3 − [9 + (6 − 13)] − [−2 + (8 + 5) − 15] =
= −3 − [9 + (−7)] − [−2 + 13 − 15]
= −3 − (2) − [−4]
= −3 − (2) + 4
= −1
5
6) �−2 + −
8
= �−2 +
10−3
�−
16
3
3
3
� − �1 + − � =
16
�1 +
8
3−6
�
8
4
m.c.m. (8,16) = 16 y m.c.m. (8,4) = 8
7
�−
16
= �−2 +
�1 +
=�
−32+7
5
� − � 8�
16
=�
−25
5
� − � 8�
16
=
−25−10
16
=
−35
16
−3
�
8
Escribiendo 1 como
8
8
así
8
8
+
−3
8
m.c.m. (8,16) = 16
3
1
5
2
7) ��2 − − 4� �5 + + 4�� ÷ �� − 3� � + 1�� =
2
3
3
1
= ��−2 − � �9 + �� ÷ ��
2
= ��
−4−3
3
27+1
��
−7
28
−7
5
−7
28
−7
5
−7
14
−35
3
5−12
−7
2
4
4
5
� � ��
3
5
�� ÷ �� � � ��
4
3
= �� � � �� ÷ �� � � ��
2
3
4
3
= �� � � �� ÷ �� � � ��
2
3
4
= �� � � �� ÷ �
=
1
−98
1
×
4
3
35
=
−492
35
12
3
�=
−98
3
×
12
35
3
=
5
8
4 8 7
3 3 3
14 6
÷
4 7
� + �×
8) �
11 7
3
3
14 6
÷
4 7
� �×
�=�
�
11 7
3
3
7 6
÷
2 7
� �×
=�
77
�
= �797�
×
2 6
77
9
= � 49
�
=
=
12
77×12
9×49
11×4
3×7
44
= 21
1.4.4 Potenciación y radicación de números Racionales.
Para potenciar un racional, se multiplica por si mismo tantas veces como indica el
𝑎 𝑛
𝑎𝑛
𝑎 𝑎
𝑎
exponente. � � = 𝑏𝑛 = �����
, , … , 𝑏 ≠ 0.
𝑏
𝑏 𝑏
𝑏
−3 4
2
Ejemplo: � � =
−3
−3
×
2
2
𝑛−𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
×
−3
2
×
−3
2
=
81
16
Para evitar un exponente negativo intercambia el numerador por el denominador, o
viceversa Se simboliza así
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
;
2−4
1
𝑎 −𝑛
= 𝑎𝑛 ;
22
Ejemplo: 2−2 = 24 =
Ejemplo;
2 −3
5
� �
2×2
2×2×2×2
5 3
2
𝑎 −𝑛
𝑏
� �
=
53
1
2×2
= � � = 23 =
𝑏 𝑛
𝑎
= � �
1
4
Ejemplo: 2−5 =
= = 0,25
125
8
1
25
=
1
32
,
Radicación de números Racionales.
Para hallar la raíz de un racional se descomponen en sus factores primos tanto el
numerador como el denominador y se aplican las propiedades de los radicales.
3
Ejemplo: �−
64
125
=
3
√−64
3
√125
=
3
�(−4)3
3
�(5)3
=
−4
5
1.4.5 Números Decimales
Expresión decimal de un racional
Cualquier racional se puede escribir en notación decimal dividiendo el numerador
entre el denominador.
Ejemplos:
a.
4
= 0,44
9
b.
3
= 0,428
7
c.
11
= 3.666. . .
4
d.
1
= 0,25
4
Cuando un número decimal tiene finitas cifras decimales y las escribimos todas, se
dice que esa es su expresión decimal exacta.
a.
17
= 2,125
8
b.
1
= 0,25
4
c
30
= 1,875
16
Cuando un número decimal tiene infinitas cifras decimales y existe cierta cantidad
de cifras que se repiten indefinidamente se dice que es periódico. El grupo de
cifras que se repite se llama período.
a.
13
= 4,33333...
3
b.
322
= 3,25252525...
99
c.
493
= 5,477777...
90
Operaciones con Números Decimales
Suma Y Resta
Para sumar o restar dos números decimales, se ubica uno debajo del otro
cuidando que los puntos decimales queden en columna y se procede como una
suma o resta de naturales. El punto decimal del resultado debe quedar en línea
con los anteriores. Si los números que se suman o se restan no tiene la mismas
cifras decimales se escriben ceros hasta igualarlas.
Ejemplos:
325 , 560
458 , 270
+ 75 , 278
250 , 282
- 219 , 458
9 , 72
- 8 , 93
1, 5
3, 6
238 , 812
0 , 79
− 2 ,1
Multiplicación
Los números decimales se multiplican como números enteros, separando en el
resultado tantas cifras como cifras decimales tengan los dos factores juntos.
Ejemplos:
a. 24 , 36 × 32 , 4 = 789 , 234
b.
0 , 457 × 5 , 72 = 2 , 61404
División
Para facilitar la División de decimales, tanto el dividendo y el divisor deben tener el
miso números de cifras después del punto decimal. En caso de no ser asi, se debe
completar con ceros y luego proceder a dividir como números enteros. El punto
decimal se coloca en el cociente cuando se ha obtenido el último residuo y se
desee continuar la división, en tal caso se agrega cero al último residuo.
Ejemplo.
Dividir 310,25 entre 7,3
1.4.6 Operaciones combinadas
Ver ejemplos complementarios en : http://www.vitutor.com/di/n/a_9.html
Sin signos de agrupación: ( ) [ ] { }
Prioridad de las operaciones
1.
Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves
2.
Calcular las potencias y raices
3.
Efectuar los productos y cocientes
4.
Realizar las sumas y restas
Caso 1. Combinacion de sumas y restas
8 − 5 + 2 + 7 − 9 + 3 −1 =
5
Caso 2. Combinacion de sumas, restas y productos.
6 ⋅ 2-10+4 ⋅ 3-5+5 ⋅ 3
=12-10+12-5+15=24
 Se efectua primero los productos por tener mayor jererquia
 Posteriormente se efectua las sumas y restas.
Caso 3. Combinacion de sumas, restas y productos y divisiones
10 ÷ 5 − 5 ∙ 3 + 4 + 5 ∙ 2 − 8 + 4 ∙ 2 − 16 ÷ 4
= 2 − 15 + 4 + 10 − 8 + 8 − 4
= −3
Explicacion cancela −8 + 8 y +4 − 4
 Se realizan primero los productos y cocientes en el orden en que
aparezcan puesto que las dos operaciones tineen la misma jerarquia
 Luego se efectúan las sumas y las restas
Caso 4. Combinacion de sumas,
restas y productos,
divisiones y
potencias.
−32 + 20 ÷ 2 + 5 ∙ 3 + 10 + 5 ∙ 4 + 8 − 2 ∙ 33 + 16 ÷ 8
= −9 + 10 + 15 + 10 + 20 + 8 − 2 ∙ 27 + 2
= −9 + 10 + 15 + 10 + 20 + 8 − 54 + 2 = 2
 En primer lugar se efectúan las potencias por tener Mayor jerarquía
 Se sigue con los productos y cocientes
 Por último las sumas y restas
Con signos de agrupación: ( ) [ ] { }
Con Parentesis ( )
(15 − 24) + 2 − (9 − 5 ⋅ 2) + (3 + 8 ÷ 4) − 2 − (5 − 3²)
(−9) + 2 − (9 − 10) + (3 + 2) − 2 − (5 − 9)
= −9 + 2 − (−1) + 5 − 2 − (−4)
= −9 + 2 + 1 + 5 − 2 + 4 = 1
 Se efectuan en primer lugar las operaciones contenidas en ellos,
respetando el orden de jerarquia
 Se eliminan los paréntesis realizando las oparaciones.
Con Parentesis ( ) y [ ]
[5 − (42 − 10 ÷ 5)] ⋅ [1 + (3 ⋅ 2 − 8)] − 3 + (2 − 2 ⋅ 2)
=
[5 − (16 − 2)] ⋅ [1 + (6 − 8)] − 3 + (2 − 4)
= � �5 − (14)�� ⋅ [1 + (−2)] − 3 + (−2)
= [ 5 − 14] ⋅ [1 − 2] − 3 + (−2)
= ( 5 − 14) ⋅ (1 − 2) − 3 + (−2)
=
(−9) ⋅ (−1) − 5
=
=
9−5
4
 Primero se realizan las petencias, potencias y productos de los
paréntesis
 Se realizan las sumas y las restas de los paréntesis.
 En vez de colocar corchetes se colocan paréntesis directamente.
(opcional)
 Se opera en los paréntesis.
 Despues se multiplica
 Finalmente se efectua las sumas y restas.
Con signos de agrupación: ( ) [ ] { }
Ejemplo1.
2 − {5 + 10[20 ÷ 5 − 2 + 4(5 + 2 ⋅ 3)] − 3 ⋅ 23 − 5(6 ⋅ 2)}
2 − {5 + 10[4 − 2 + 4(5 + 6)] − 3 ⋅ 8 − 5(12)}
2 − {5 + 10[4 − 2 + 4(11)] − 24 − 60}
2 − [5 + 10(4 − 2 + 44) − 24 − 60]
2 − [5 + 10(46) − 24 − 60]
2 − (5 + 460 − 24 − 60)
2 − (381)
= −379
Ejemplo2.
= 10 − {5 + 3[15 ÷ 5 − 2 + 4(3 + 2 ⋅ 5)]} − 32 + 2(5 ⋅ 2)
= 10 − {5 + 3[3 − 2 + 4(3 + 10)]} − 9 + 2(10)
= 10 − {5 + 3[1 + 4(13)]} − 9 + 20
= 10 − [5 + 3(1 + 52)] + 11
= 10 − [5 + 3(53)] + 11
= 10 − (5 + 159) + 11
= 10 − 164 + 11
= −143
 Primero se realizan las petencias, potencias y productos de los
paréntesis
 Se realizan las sumas y las restas de los paréntesis.
 En vez de colocar corchetes se colocan paréntesis directamente y
donde habia llaves se escribe corchetes . (opcional)
 Se opera en los paréntesis.
 Se vuelve a poner paréntesis y se efectuan las oparaciones indicadas
 Finalmente se efectua las sumas y restas.
1.4.7 Ejercicios los siguientes ejercicios se tomaron de :
https://www.google.com.co/?gfe_rd=cr&ei=vpYYU7bCEMXO8geg9IGYBQ#q=
ejercicios+con+signos+de+agrupacion+pdf
1. Determina el número que representa cada una de las siguientes
expresiones:
2. Resolver:
3. Resolver:
4. Determine el número que representa cada una de las siguientes
expresiones:
1.5 El conjunto de los números irracionales
El conjunto numérico diferente a los racionales dicho conjunto estaría formado
por todos aquellos números que NO se pueden escribir como el cociente de dos
enteros, es decir, un número irracional es aquel que no es racional.
También puedes pensar en definir los números irracionales como aquellos cuya
expresión decimal es infinita no periódica.
Varios números interesantes no son racionales el número
π cuyo valor es
3,141592653589793… y que resulta de dividir la circunferencia de cualquier
círculo por su diámetro.
Ya conocemos varios números irracionales y a partir de estos podemos formar
otros.
Ejemplo.
• e ≈ 2.7182 (es la base de los logaritmos naturales)
• √3, √2 √5 Son irracionales positivos
• −√3, − √2, − √5 son irracionales negativos.
•
√3
2
Es un irracional ya que si no fuera irracional seria racional y para que fueras
racional debería expresarse como el cociente de dos enteros y observe que se
ha afirmado que √3 es un irracional.
Observe que todo racional es una fracción. Por ejemplo 2/5 es una fracción. Pero
no toda fracción es un número racional. En efecto √3/2 es una fracción pero no es
racional.
Operaciones con números de irracionales. (Rojas, Castaño 2013)
Adición Y Sustracción:
Para poder sumar o restar radicales cuadráticos estos deben tener los mismos
radicando; para conseguirlo hay que extraer factores fuera del radicando.
Ejemplos
1. Efectuar las operaciones indicadas1
a. 2 18 − 4 50 + 6 32
Solucion
2 18 = 2 2 x9 = 2 9 . 2 = 2 (3) 2 = 6 2
4 50 = 4 25 x 2 = 4 25 2 = 4(5) 2 = 20 2
6 32 = 6 16 x 2 = 6 16 2 = 6(4) 2 = 24 2
Luego
2 18 − 4 50 + 6 32 = 6 2 − 20 2 + 24 2 = 30 2 − 20 2 = 10 2
b. 3 27 − 2 81 + 243
Soluciòn
3 27 = 3 9 x3 = 3 9
2 81 = 2 9
3 = 3 (3) 3 = 9 3
9 = 2(3)(3) = 18
243 = 81x3 = 81 3 = 9 3
Luego
3 27 − 2 81 + 243 = 9 3 − 18 + 9 3 = 18 3 − 18
Multiplicación:
Para obtener el producto de dos radicales semejantes, basta multiplicar las
cantidades subradicales.
Ejemplos
1
Matemática 2000. editorial voluntad, pag. 61. 1991
a.
3 x 5 = 15
b.
5 x 5 = 25 = 5
c.
2 x 3 3 x 5 4 = 15 2 x3 x 4 =15 24
División
Para obtener el cociente de dos expresiones radicales basta realizar la división
entre las cantidades subradicales y simplificar si es posible .
a.
20 ÷ 5 =
20 ÷ 5 = 4 = 2
b. 14 7 ÷ 2 28 =
1
1
14 7
1 7
=7
=7
= 7  =
4
2 28
4
2 2
1.6 Introducción al algebra (Rojas, Castaño 2013)
Definiciones Y Terminología
Constantes. Son las cantidades que no cambian en un problema particular, como 5, -4, 1/3,
π,
7 . Cuando se emplea una letra para representar una constante, se
acostumbra escogerla de las primeras letras del alfabeto (a, b, c, etc.).
Variables. Son las cantidades que pueden variar en un problema. Usualmente se representan
utilizando las últimas letras del alfabeto.
Ejemplo : En la expresión y = ax2 + bx + c, las letras x e y representan variables,
mientras a, b y c representan constantes.
Símbolos de agrupamiento. Para agrupar partes de una expresión, se utilizan paréntesis ( ),
corchetes [ ] y llaves { } según se requiera.
Ejemplo : {3 - 5 [x + 3x(1 - x)]} - x .
Expresiones algebraicas.
Una Expresión algebraica es una combinación de variables,
constantes, signos de operación y símbolos de agrupamiento.
Ejemplo : 4x + 3y, 5xy / z, y (3 + x)2 −
7 son expresiones algebraicas.
Términos. Los signos de suma y resta dividen una expresión algebraica en términos (excepto
si los signos están dentro de un símbolo de agrupamiento).
Ejemplo : La expresión x 2 − (2x + 3)3 tiene dos términos.
Factores.
Los factores de una expresión algebraica son aquellas cantidades que al
multiplicarse entre si dan como resultado la expresión.
Ejemplo : Los factores de 14 son 2 y 7, (Aunque 1 es factor de cualquier cantidad
no se acostumbra a considerarlo).
Ejemplo : Los factores de 6xy son 2, 3, x e y.
Coeficientes. La parte constante de un término se llama coeficiente numérico (o simplemente
coeficiente).
Ejemplos :
(a) En el término 3x, 3 es el coeficiente de x
(b) En el término −3ax, −3a es el coeficiente de x.
Términos semejantes. Dos términos son semejantes cuando sólo difieren en el coeficiente.
Ejemplo: 3xy2 y −5xy2 son términos semejantes.
Monomio. Un monomio es una expresión algebraica que contiene sólo un término.
Ejemplo: 6xyz es un monomio.
Binomio. Un binomio es una expresión algebraica con dos términos.
Ejemplo : 2x + 5 es un binomio.
Trinomio. Un Trinomio es una expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo : x2 + 2x - 3 es un trinomio.
Multinomio. Cualquier expresión que contenga más de un término es un multinomio.
Ejemplo :
x2 − 3 +
x es un multinomio (y también un trinomio).
Polinomio. A un multinomio se le califica además de polinomio cuando todas las potencias a
las cuales están elevadas las variables son enteros positivos.
Ejemplo: 2x2 − x2 + 4 es un polinomio
2x3 − x - 2 + 4 es un multinomio, pero no un polinomio.
Eliminación de símbolos de agrupamiento
Multiplique todos los términos que están dentro del símbolo por el factor que le
antecede, y suprima el símbolo de agrupamiento.
Ejemplos :
a) 2(x - 3) = 2x – 6
b) 4 + 2(x - 3) = 4 + 2x - 6 = 2x - 2
b) x - 3 (1 - y) = x - 3 + 3y
Si hay agrupamientos dentro de los agrupamientos, debe simplificarse primero
los más internos.
Ejemplos :
a) 3[ 2 + 4(1 - x)] = 3[ 2 + 4 - 4x] = 3[6 - 4x] = 18 - 12x
b) w + 2 [2 - (x + 3)] = w + 2[ 2 - x - 3 ] = w + 2 [ - x - 1]
= w - 2x - 2
c) 2{ [(x - 2) - ( y + 4)] + 3} - 5 = 2{ [x - 2 - y - 4] + 3} - 5
= 2{ [x - y - 6] + 3} - 5
= 2{x - y - 3} - 5
= 2x - 2y - 6 - 5
= 2x - 2y - 11
Adición y Sustracción de Expresiones Algebraicas.
Las Expresiones algebraicas se suman o restan sumando o restando los términos semejantes,
y esto se hace sumando o restando los coeficientes.
Ejemplos:
a) 2x + 3x = 5x
b) 2x + 3y - 4z + 3x - 2y + 4z = 2x + 3x + 3y - 2y - 4z + 4z
= 5x + y
Cuándo las expresiones que se van a sumar o restar son más extensas, es conveniente
ordenarlas en filas situadas una debajo de la otra, de manera que los términos semejantes
queden en la misma columna.
Ejemplo :
Sume o reste, según se indique.
(6x + 3xy - 2w + yz) - (2x + 3w - 2yz - 3y) + (y - xy + w)
Solución :
Ordenando la expresión en filas
6 x + 3 xy − 2 w + yz
− 2x
− 3w + 2 yz + 3 y
− xy + w
+ y
4 x + 2 xy − 4 w + 3 yz + 4 y
Multiplicación de expresiones algebraicas
En álgebra, el producto de M por N se puede expresar como:
M • N
MN
M ( N ) (M) N (M)(N) M x N
Este último no es conveniente, pues el signo de multiplicación se puede confundir con la letra x.
Multiplicación de dos monomios. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes
según propiedades de la potenciación.
Ejemplos :
a) 2x ( 3x ) = 6x2
b) 4x2 ( - 2x3 ) = - 8x 5
c) 3x2 y 3 z (- 4wxy 2 z 3) = - 12wx 3 y 5 z 4
Multiplicación de un Multinomio Por Un Monomio.
Se multiplica cada término del multinomio por el monomio, como se hace cuando se suprimen
símbolos de agrupamiento.
Ejemplo :
a)
3x ( x2 - 2 ) = 3x3 - 6x
b)
- 3x ( x 3 - 2x + 5 )
= - 3x ( x3 ) - 3x ( - 2x ) - 3x ( 5 )
= - 3x4 + 6x 2 - 15x
Multiplicación de un multinomio por un multinomio.
Se multiplica cada término de uno de
los multinomios por todos los términos del otro, y se suman o restan, según el caso, los
términos semejantes.
Ejemplos :
a) ( x + 3) ( x - 2 ) = x (x) + x ( - 2) + 3 (x) + 3 ( -2)
= x 2 - 2x + 3x - 6
= x2 + x - 6
b) ( x - 2) ( x 2 - 3X + 4 ) = x (x 2) + x ( - 3x) + x (4) - 2 ( x 2 ) - 2 ( - 3x) - 2 (4)
= x 3 - 3x 2 + 4x - 2x 2 + 6x - 8
= x 3 - 5x 2 + 10x - 8
1.7 Ecuaciones de primer grado con una variable.
Ecuaciones Lineales en Una Variable
Una ecuación lineal en una variable tiene la forma estándar de:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Donde 𝑎 y 𝑏 son números reales y 𝑎 ≠ 0.
Ejemplo:
Ejemplo:
2𝑥 + 1 = 5
3𝑥 – 4 = 10𝑥 + 2
Grado de una ecuación: El grado de una ecuación con una sola incógnita es el
mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.
Ejemplo: La ecuación
3𝑥 – 4 = 10𝑥 + 2
Es lineal o de primer grado por que el mayor exponente de 𝑥 es 1.
En una ecuación aparte de las incógnitas se involucran otros términos como son
Miembro: se llama primer miembro de una ecuación a la expresión que está a la
izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresión que está a la
derecha.
Así en la ecuación 4x – 5 = 3x +2
4x – 5 es el primer miembro y 3x + 2 es el segundo miembro
Término:
son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el
signo + o - , o la cantidad que está sola en un miembro.
Ejemplo: en la ecuación
4x – 5 = 3x +2
Los términos son 4x, -5, 3x y 2
En la ecuación 8x = 7x + 3
Los términos son 8x, 7x y 3
Raíces o Soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que
verifican o satisfacen la ecuación; es decir que al sustituirla en lugar de las
incógnitas conviertan la ecuación en una identidad.
Ejemplo en la ecuación 5x – 2 = 4x + 3, la raíz o solución es 5 porque haciendo x
= 5 se tiene:
5(5)– 2 = 4(5) + 3
25 – 2 = 20 + 3
23 = 23
Reglas para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
1. se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
2.
se busca dejar los términos que contienen a la incógnita en un solo lado de la
ecuación y los términos independientes en el otro. Para esto se opera sobre la
ecuación ya sea sumando y restando las mismas cantidades o bien trasladando
de un miembro a otro cualquier expresión realizando la operación contraria a la
inicial, así: si está sumando, pasa a restar; si está restando, pasa a sumar; si
está multiplicando,
pasa a dividir
y si está dividiendo, pasa a multiplicar.
Ejemplos:
Resolver las siguientes
ecuaciones.
3. se reducen términos semejantes en cada miembro.
5x = 8x
15
4. 1)
se despeja
la –incógnita
o la variable buscada, es decir se deja con coeficiente
2)
uno.
11x + 5x – 13 = 65x + 36
5. Recuerda
está despejada cuando queda sola y positiva.
x +que
1 una
3 − 2incógnita
x
3)
=
3
5
La ecuación número 1 se resuelve así teniendo en cuenta la regla general
5x – 8x = -15
-3x = -15
X=
− 15
−3
𝑋 = 5
Verificación 5 (5) – 8(5) = -15
25 – 40
= -15
-15 = - 15
La ecuación 2) 11x + 5x - 13 = 65x + 36
Se resuelve así.
16x – 65x = 36 + 13
- 49x = 49
X=
49
− 49
X=-1
Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación y productos
indicados.
Ejemplos.
1) 15x – 10 = 6x – (x +2) + (- x + 3)
15x – 10 = 6x –x – 2 – x + 3
15x – 10 = 4x + 1
15x – 4x = 1 + 10
11x = 11
X=
11
11
X=1
2) 5 (x - 1) + 16 (2x + 3) = 3 (2x - 7) - x
5x – 5 +32x + 48 = 6x – 21 – x
37x +43 = 5x – 21
37x – 5x = - 21 – 43
32x
𝑥=
=
- 64
−64
= −2
32
x + 1 3 − 2x
=
3
5
c)
Recordamos la igualdad de dos fracciones
Luego,
5 (𝑥 + 1)
5𝑥 + 5
c
a
=
si y solo si ad = bc
b
d
= 3 (3 – 2𝑥)
= 9 − 6𝑥
5𝑥 + 6𝑥 = 9 − 5
11𝑥
= 4
4
𝑥 = 11
1.7.1 Traducción de enunciados a expresiones algebraicas
(Rodríguez. 1997)
Enunciados verbales y su equivalencia algebraica
Enunciado verbal
Operación
Es igual a, es lo mismo que, son iguales
La suma de, sumando a, se aumenta en,
+
sustracción
−
Multiplicación
×
en, menos.
El producto de, multiplicado por, veces, por
El cociente de, dividido entre.
=
Adición
Más.
La diferencia de, restado a, se disminuye
Símbolo
División
÷
Ejemplo: cambia las siguientes expresiones a expresiones algebraicas.
a) La longitud de la cuerda más 4 metros.
b) Tres veces la edad de Juan en cinco años.
c) $10,000 menos el pago inicial (pronto)
d) La mitad del área
Solución.
a) En la expresión “La longitud de la cuerda más 4 metros” la palabra más
indica que se debe sumar 4 a la longitud de la cuerda. Si se utiliza la
variable 𝒍 para indicar la longitud de la cuerda se tiene
“La longitud de la cuerda más 4 metros”
𝒍+𝟒
b) En la expresión “Tres veces la edad de Juan en cinco años” la palabra
veces indica que se debe multiplicar la edad que tenga Juan dentro de
cinco años por 3. Asignándole la variable 𝑱 a la edad de Juan, el resultado
se obtiene sumándole 5 a la edad inicial.
𝑱+𝟓
La edad de Juan en cinco años:
𝟑(𝑱 + 𝟓)
Tres veces la edad de Juan en cinco años:
c) En muchas ocasiones utilizamos situaciones
en las que se compra un
artículo dando un pago inicial. La expresión “$10,000 menos el pago inicial”
hace referencia a este hecho. La palabra menos indica que la operación
que se debe realizar es sustracción. Si se asigna la letra 𝒑 al anticipo se
obtiene.
𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎 − 𝒑
d) En la expresión “La mitad del área” se está dividiendo el área entre dos.
1
También se puede decir que se está multiplicando el área por 2. Si se
asigna a la variable 𝑨 el área se obtiene
𝑨
𝟐
Lo cual es equivalente a
1
2
𝐴
La traducción de expresiones verbales a expresiones algebraicas es muy
importante en la solución de problemas verbales
1.7.2 Resolución de problemas
Estrategias para la resolución de problemas
Existen varias estrategias para resolver problemas, solo que algunas son mas
apropiadas que otras, y muchas veces se usa una combinación de estas para
resolver un mismo problema.
Descubrir el patrón, Tanteo y error, Hacer una tabla, de atrás hacia adelante,
aplicar la formula, aplicación de más de una estrategia para resolver problemas.
Para mayor información leer (Rodríguez. 1997).
Para utilizar las ecuaciones como estrategia en la resolución de problemas se
debe tener en cuenta los pasos del modelo Polya. (Rodríguez. 1997)
Ejemplo. Situación: Juan se encuentra de paso por el área del condado y decide
estacionar su carro en el estacionamiento. En este estacionamiento cobran $1.00
por la hora más $60 centavos por horas (o fracción de hora) adicional. ¿ Cuánto
tiempo puede dejar su carro si tiene $4.00 disponibles para el pago
Solución:
Comprender el problema: para comprender el problema es necesario identificar
las variables. Las variables que intervienen en este problema son el tiempo que se
deja el automóvil en el estacionamiento y el costo total del servicio. Se le asignara
la variable 𝑐 al costo del servicio y 𝑡 al número de horas después de la primera.
Desarrollo de un plan: el costo del servicio será $1.00 por la primera hora más
$60 centavos por cada hora adicional
𝑐 = 1 + 0.60𝑡
La relación que existe entre las variables está dada por la ecuación: 𝑐 = 1 + 0.60𝑡
Observa que en este caso se asume que el lector sabe que $60 centavos son
equivalentes a $0.60.
Como Juan dispone de $4.00 para le pago del estacionamiento se reemplaza 𝑐
por 4 en la ecuación.
Llevar a cabo el plan:
4 = 1 + 0.60𝑡
Resolver la ecuación
4 = 1 + 0.60𝑡
4 − 1 = 0.60𝑡
3
=𝑡
0.60
Recuerda la división de decimales.
𝑡=5
La solución de la ecuación es 5. Este resultado se debe interpretar de acuerdo con
el enunciado del problema.
La variable 𝑡 representa las horas que puede dejar el carro sin contar la primera,
es decir, además de ésta, dispone de 5 horas, por lo tanto, Juan puede dejar el
auto 6 horas en total.
Verificar: si Juan deja el carro 6 horas debe pagar $1.00 por la primera hora mas
0.60(5) = 3.00 por las cinco horas adicionales. El costo total será $ 4.00. la
respuesta es correcta.
1.7.3 Ejercicios.
1. Hallar el valor de 𝑥
4𝑥−5
3
=
5𝑥−3
2
2. Hallar el valor de 𝑃2 de la siguiente ecuación
3.
Despejar 𝑄𝑑 en 3(𝐴𝑄𝑆 − 𝑄𝑑 ) = 10(𝑄𝑑 − 𝑄𝑆 )
4. Despejar 𝑎1 en 𝑎𝑛 =
5. Despejar ℎ 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
6. Hallar el valor de 𝑥
𝑃2 −𝑃1
𝑃2 +𝑃1
2
= 0,5 ;
𝑃1 = 2
𝑎1�(1+𝑖)𝑛−1�
3𝑥+10
7
𝑖
=
2𝑥+8
4
1.8 Razones y Proporciones
Tomado de Habilidades Lógico Matemáticas para educación derecho Psicología.
Universidad Cesar Vallejo. 2013. Ubicado en
http://matematicaucv.bligoo.es/media/users/18/924937/files/200030/MODULO_PA
RA_PRESENTAR_DERECHO_EDUCACI_N_Y_PSICOLOG_A.pdf
Además se tuvo en cuenta para complementar Bases Matemáticas para la
Educación Primaria : Guía de Estudio
https://www.google.com.co/#q=bases+matematicas+para+la+educacion+primaria+
gu%C3%ADa+de+estudio+1
1.8.1 Razón: Comparación multiplicativa de las medidas de dos
cantidades de una misma o distintas magnitudes.
Razón: La relación de tamaño que existe entre dos números se llama razón.
(Rodriguez, 1997)
•
Ejemplo: La razón entre el número de chicos y chicas en una clase es de 2
a 3 (2 chicos por cada 3 chicas)
•
La fracción que expresa el número de chicos respecto de todos los
•
estudiantes de la clase sería (2+3)), o sea, 5
2
2
Si en otra clase la razón de chicos a chicas es de 3 a 5, ¿Cuál es la razón
de chicos a chicas en el conjunto de las dos clases juntas?
Las razones se operan como las pendientes de un vector, no como la suma de
fracciones ordinarias (no se deben considerar como representantes de números
racionales)
Ejemplo: supongamos que por cada 7 hombres que compran el producto, 5
mujeres también lo compran. Se dice que la razón de hombres a mujeres que
compran el producto es 7 a 5. La razón d e7 a 5 se escribe.
7
5
o 7: 5
También se puede decir que la razón de mujeres que compran el producto a
hombres que compran el producto es de 5 a 7 y se escribe.
5
7
o 5: 7
La representación que más se utiliza es la de fracción, y al igual que las fracciones
las razone se simplifican. Así por ejemplo, si la razón es de 4 a 12 se escribe
4
12
Y al simplificarla se obtiene
1
3
Razones ≠ Fracciones
Se operan de manera diferente: Las fracciones siguen las reglas de los
números racionales; las razones se operan como pendientes de
vectores binarios.
En las razones:
– Las medidas pueden ser números reales (Razón de la longitud de la
circunferencia al diámetro)
– La segunda componente puede ser 0. (La razón de bolas rojas a
verdes en una bolsa puede ser de 5 a 0)
– Las razones se pueden expresar con símbolos diferentes a las
fracciones: (4:7; 4 a 7; 4 → 7)
1.8.2 Proporción
•
Sentido matemático: Igualdad entre dos razones.
•
Sentido ordinario: Comparación multiplicativa de una parte con relación a
un todo en que está incluida.
•
“Si hay 4 chicos en una clase de 12 estudiantes la proporción de chicos es
de 4/12”
•
En este uso de la notación fraccionaria el denominador 12 no supone
ninguna división en partes iguales.
•
Si en la clase A la proporción de chicos es 10/30 y en la clase B es de
15/30, la proporción de chicos en las dos clases juntas es de 25/60 (se
operan como razones)
Propiedad fundamental de las proporciones.
En las proporciones el producto de los extremos es igual al producto de los
medios, por tanto, si
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
Entonces 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
Esta propiedad es muy importante para resolver problemas verbales.
Ejemplo:
Supongamos que una canasta de 30 huevos criollos vale $2.50. ¿Cuánto vale una
docena y media de huevos?
Solución:
Hay tres cantidades conocidas y una desconocida que es la que tiene que
se tiene que determinar. Se sabe que 30 huevos cuestan $2.50 y se desea
determinar el precio de 18 huevos (docena y media).
Se utilizara una proporción para resolver este problema
Se establece la información del problema de la siguiente manera.
30 huevos
$ 2.50
𝑥 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
18 huevos
La proporción correspondiente es
30 2.50
=
18
𝑥
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se obtiene:
30𝑥 = 18(2,50)
𝑥=
18(2,50)
30
𝑥 = 1.50
Así una docena de huevos costará $1.50
Otra forma que se puede resolver el problema es determinando el precio de
cada huevo y luego se multiplica por el número de huevos que se compran.
El precio del huevo es
$12,50
30 huevos
Y al multiplicarlo por 18 huevos se obtiene
$12,50
(18 ℎ𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠) = $1.50
30 huevos
Ejemplo. Conversión de unidades
Convertir 5.8 km a m. Vía de solución
Leer
más: http://www.monografias.com/trabajos79/ejercicios-conversion-
unidades-magnitud/ejercicios-conversion-unidadesmagnitud.shtml#ixzz2qh6jOH5e
1.8.3 Aplicaciones de las Proporción
Magnitudes directamente Proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si
a) El cociente entre las dos magnitudes es un valor constante:
este cociente se llama constante de proporcionalidad directa
X
=k
Y
b) Su representación gráfica es una línea recta que parte del
origen del plano cartesiano.
c) Dos magnitudes están directamente relacionadas cuando al
aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o
disminuye.
Magnitudes inversamente Proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si
a) El producto entre las dos magnitudes es un valor constante:
este producto se llama constante de proporcionalidad inversa.
XY = k
b) Su representación gráfica es una curva que decrece, es decir,
cuando una magnitud aumenta o crece la otra magnitud
decrece en la misma proporción.
1.8.4 Regla de tres
Hemos visto como al igualar dos razones se obtiene una proporción; de dichas razones se
deduce un término desconocido a partir de tres de ellos. En esto, precisamente, consiste
la regla de tres.
Veamos un ejemplo:
Si cinco litros de leche cuestan $2700, ¿Cuál es el costo de 15 litros?
Estas cantidades las podemos representar en el siguiente orden:
5 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛
15 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
$2700
𝑋
En el problema planteado aparecen dos magnitudes (pesos y litros) y, además, cuatro
cantidades, de las cuales solo conocemos tres. También podemos ver que si 5 litros
cuestan $2700, necesariamente 15 litros deben costar más dinero. Las magnitudes son,
entonces, directamente proporcionales, es decir, a mayor cantidad de litros mayor costo.
La regla de tres es una aplicación de una proporción donde se puede hallar un término
desconocido a partir de tres conocidos.
Ejemplo 1. Análisis de la regla de tres
Cinco obreros construyen una pared en 2 meses. Analiza el tiempo requerido por 10
obreros para hacer el mismo trabajo.
Solución
Estas cantidades podemos representarlas así:
5
5
𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑒𝑛
2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑒𝑛
𝑋 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
En el problema planteado intervienen dos magnitudes (obreros-meses), tres cantidades
conocidas y una desconocida. Además, si 5 obreros construyen en dos meses una pared,
necesariamente 10 de ellos harán el mismo trabajo en menos tiempo. Estas cantidades
son inversamente proporcionales, pues a mayor número de obreros, menor tiempo para
construir la pared.
Regla de tres simple directa
Si 4 cuadernos valen $1200, ¿Cuánto costaran 10?
Primero se ordenan los datos conocidos, así:
4
10
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠
𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
$1200
Las magnitudes son directamente proporcionales.
𝑋
Después esas cantidades se expresan como una proporción, es decir, como la igualdad de
dos razones:
4 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 10 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠
=
1200
𝑋
Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones:
(10 cuadernos) ($1200) = (4 cuadernos) (X).
Luego, 𝑋 =
12000
4
;
𝑋=
10 (𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠) ($1200)
4 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠
𝑋 = $3000 es decir, 10 cuadernos cuestan $ 3000.
También se puede representar la proporción del problema anterior, así:
Cuadernos
Precio
4
$1200
10
X
Luego, 𝑋 =
1200 𝑋 10
4
=
12000
4
Por tanto, X= $3000, es decir, 10 cuadernos cuestan $3000.
De esta forma el valor de la incógnita X se obtiene efectuando el producto cruzado de las
magnitudes, es decir, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.
Cuando las magnitudes que intervienen en la proporción son directamente
proporcionales, la operación o proceso se llama regla de tres simple directa.
Otra forma de operar
Ejemplo: Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Qué
sucede con la cuadrilla?
Se multiplica en cruz
1X= 4ℎ
X=
4ℎ
1
= 4ℎ
Ejercicios.
Resuelve los siguientes problemas:
a.
Por cada 100 km de recorrido un auto consume 5 galones de combustible. ¿Cuántos
kilómetros ha recorrido dicho auto si el consumo de combustible fue de 25 galones?
b. Un carpintero elabora 5 sillas durante 6 días. ¿Cuántas construirá en 12 días?
c.
Si una persona consume 10 litros de agua en 3 días, ¿Cuántos litros consumirá en una
semana?
d. Si un automóvil recorre 600 km en 7 horas, ¿Cuántas horas tardara en recorrer 900 km,
si mantiene una velocidad constante?
e.
3
Los 5 de la capacidad de un estanque equivalen a 150 galones. ¿Cuántos galones equivalen
2
a los 5 de dichos estanque?
f.
5
g.
2
Dos hermanos compran una finca. El primero paga $1 200 000 por los 7 de la finca. ¿Cuánto
pago el potro hermano por los 7 restantes?
Si un poste de alumbrado eléctrico, de 14 m de altura proyecta una sombra de 7 m, ¿cuál
será la sombra proyectada por una persona que mide 1,70 metros?
Regla de tres simple inversa
Analicemos la siguiente situación:
Treinta hombres construyen un puente en 20 días. ¿Cuántos días emplearan 50 hombres
para construir otro puente semejante?
Para encontrar la respuesta ordenamos primero las magnitudes conocidas y desconocidas:
30 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑒𝑛 20 𝑑𝑖𝑎𝑠
50 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑋 𝑑𝑖𝑎𝑠
Al hacer el análisis de la proporción observamos que las magnitudes son inversamente
proporcionales, pues a mayor número de hombres trabajando en la construcción del
puente, se emplean menos días en la obra.
Como las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, el producto de
las cantidades correspondientes es constante:
30 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠
50 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠
20 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑋 𝑑𝑖𝑎𝑠
(30 hombres) (20 días) = 50 hombres) (𝑋 días)
Despejando el término desconocido:
𝑋=
(30 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠)(20 𝑑𝑖𝑎𝑠)
50 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠
=
(30)(20 𝑑𝑖𝑎𝑠)
50
= 12 𝑑𝑖𝑎𝑠
Luego son 12 los días que necesitaran emplear los 50 hombres para construir el puente.
Esta proporción se puede representar de la siguiente manera:
Hombres
30
50
Días
20
X luego, (30)(20) = (50)(X)
(30)(20)
X=
50
𝑋 = 12 𝑑𝑖𝑎𝑠
Cuando las magnitudes que intervienen en una proporción son inversamente
proporcionales, la operación o proceso para resolverla se llama regla de tres simple
inversa.
En la regla de tres simples inversas el producto se hace entre cantidades
correspondientes, es decir, en forma horizontal.
Otra forma de operar: Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un
valor desconocido de la magnitud B.
X=
𝑎1 𝑏1
𝑎2
Se multiplica en forma horizontal
Ejemplo:
Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en
terminar 15 obreros?
Solución
15X= 30(20)
X=
30(20)
15
= 40
Ejemplo: La concentración de un reactivo nos indica que 100 gr de la solución
contiene 96 gr del ácido puro. ¿Los 12.5 gramos de soluto que se requieren para
preparar el volumen de solución requerido están contenidos en?
Las magnitudes son directamente proporcionales, por tanto las cantidades se
expresan como una proporción, decir, como la igualdad entre dos razones.
gr. de solución
100
gr. De soluto puro
96
X
12.5
100
X
=
96
12.5
(100)(12.5) = 96X
1250 = 96X
96X = 1250
X=
1250
96
X = 13.2 gramos de solución.
Ejemplo. A los empleados de la empresa R.E Ltda. Se les bonifica por cumplir
con las metas de venta si la suma de $ 2 000 000. ¿Cuánto le corresponde a
cada empleado este mes si solo 10 cumplió la meta?
Para este caso observe que a menos empleados que cumplan con las metas
de venta, será mayor la bonificación para cada uno de los que cumpla con las
metas. De donde podemos decir que estamos frente a una variación inversa.
Luego procedemos a organizar la información
Así,
Dinero
2 000 000
X
No. Empleados
→
1
→ 10
Como las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, el
producto de las cantidades correspondientes es constante.
(2 000 000) (1) = (10) X
10X = 2 000 000
X =
2000000
10
X = 2 00 000
Ejemplo3.
15 hombres construyen un puente en 10 días. ¿Cuántos días
emplearan 25 hombres para construir otro puente semejante?
Luego:
hombres
días
15
→
10
25
→
X
Como las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, el
producto de las cantidades correspondientes es constante.
Entonces.
(15) (10) = 25𝑋
150
= 25𝑋
→𝑋=
150
25
=6
Luego son 6 días los que emplearan 25 hombres para construir otro puente
semejante.
Ejercicio
Resuelve los siguientes problemas:
a.
5 obreros hacen una obra en 13 días. ¿en cuántos días podrían hacer la misma obra 8
obreros?
b. A la velocidad de 30 km por hora, un automóvil emplean 8 horas en ir de una ciudad a
otra. ¿Cuánto tiempo podría demorarse si la velocidad hubiera sido el triple?
c. 9 obreros pintan un edificio en 5 días. ¿Cuántos obreros más haría falta para pintarlo
en un día?
d. Un grupo de 3 trabajadores pintan una casa en 5 días. ¿Cuántos días emplearan 5
trabajadores haciendo exactamente lo mismo?
e.
Seis trabajadores de una editorial hacen un libro en 8 días. ¿Cuántos días emplearan
12 trabajadores para hacer el mismo libro?
f.
Un batallón de 1300 soldados tienen víveres para 4 meses. Si queremos que los
víveres duren 10 días más, ¿cuántos soldados habrían que sacar del batallón?
REGLA DE TRES COMPUESTA
Se han estudiado los conceptos de regla de tres simple directa e inversa. En los ejercicios
propuestos para cada uno de estos conceptos se observa que siempre intervienen dos
magnitudes, directa o inversamente proporcionales.
Analicemos la siguiente situación:
El valor de 3 cajas de 12 chocolatinas es de $4500 la unidad. ¿Cuánto cuestan 5 cajas de 24
chocolatinas si el precio de cada una es igual?
En este tipo de ejercicios intervienen tres magnitudes que pueden ser directamente
proporcionales, en cuyo caso la regla de tres es compuesta directa. Si las magnitudes son
inversamente proporcionales, entonces la regla de tres es compuesta inversa. Ahora bien,
si se da el caso de que las magnitudes son directa e inversamente proporcionales al mismo
tiempo, la regla de tres es compuesta mixta.
Organicemos los datos del problema para hacer un análisis de sus magnitudes:
3 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠
5 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠
12 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑎𝑠
$ 4500
24 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑎𝑠
$𝑋
PRIMERA COMPARACION
Podemos comparar las magnitudes de cantidades conocidas, o sea el número de cajas y el
número de chocolatinas, con la magnitud desconocida, es decir, el precio. Veamos:
3 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠
5 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠
𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛
𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛
$ 4500
$𝑋
Al hacer la comparación nos damos cuenta de que esas magnitudes son directamente
proporcionales.
SEGUNDA COMPARACION
Para iniciar la segunda comparación se debe tener en cuenta que 3 cajas de 12
chocolatinas, es decir 36 chocolatinas, valen $4500. Además, hay que averiguar el precio
de 5 cajas de 24 chocolatinas, o sea, 5 x 24 = 120.
36 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑎𝑠
120 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑎𝑠
𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛
𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛
$ 4500
$𝑋
Al hacer esta comparación notamos que las magnitudes son directamente proporcionales.
Analicemos ahora lo siguiente:
En 3 cajas de 12 chocolatinas cada una, hay en total 36 chocolatinas, y en 5 cajas de 24
hay 120 chocolatinas. Podemos entonces considerar el problema como de regla de tres
simple directa:
Chocolatinas
36 chocolatinas
$4500
120 chocolatinas
36
X
120
precio ($)
4500
x
Resolviendo esta proporción mediante la propiedad fundamental, tenemos:
Despejando X:
Efectuando:
=
𝑋=
36 ∗ 𝑋 = (120 𝑥 4500)
(120 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑛𝑎𝑠)( $4500)
36
=
$15000
540000
36
Luego, $15000 es el precio de las 5 cajas de 24 chocolatinas.
Podríamos también representarlo mediante expresión:
Cajas
Precio
3
4500
12
5
X
24
𝑋=
Chocolatinas
5 𝑥 4500 𝑥 24
3 𝑥 12
𝑋=
120 𝑥 4500
36
𝑋 = $1500
Observa que el resultado es igual para ambos casos.
Una regla de tres es compuesta cuando en ella intervienen de dos magnitudes.
Ejemplo 2.
Cuatro cajas de 15 colores cada una cuestan $42000. ¿Cuánto costaran 7 cajas de 20
colores cada una, si el precio de cada color es el mismo?
Solución
4 cajas
15 colores
$42000
7 cajas
20 colores
$ X
Como el planteamiento es el de una regla de tres compuesta, obtenemos:
𝑋=
7 𝑥 20 𝑥 42000
= 98000
4 𝑥 15
Por lo tanto, 7 cajas de 20 colores cuestan $98000.
Ejercicio.
1. Durante una excursión de 12 días, la directora del curso séptimo empleo
$800000 para gastos de alimentación de un grupo de 50 estudiantes.
¿Cuánto dinero necesitaría ella para la alimentación si tuviera a su cargo 80
estudiantes y la excursión durara 18 días?
2. Los 600 hombres de un cuartel han consumido 30000 kg de pan en 40 días.
¿Cuántos kg se necesitaran para alimentar a 900 hombres durante 60
días?
3. Se pagan $26500 para transportar 3000 kg de arroz a una distancia de 9
km. ¿Cuánto se pagara por el transporte de una carga de 4500kg de arroz
a 36 km?
4. El valor de 6 bultos de arroz de 20 libras cada uno es de $48000. ¿Cuánto
costaran 22 bultos de 35 libras cada uno, si se mantiene el mismo precio?
5. Tres famosas artistas están haciendo un gigantesco mural dedicado a la
paz. Si trabajan 8 horas diarias y hacen 90 m en 10 días, ¿Cuántos días
necesitaran 5 artistas trabajando 6 horas diarias para hacer 60 m de la
misma obra?
6. Un grupo de 1600 asistentes a un congreso juvenil tienen asegurada su
alimentación para los 10 días que dura el encuentro, cada uno con 3
raciones diarias. Si inesperadamente llegan 400 delegados más, ¿Cuánto
tiempo duraran los alimentos si cada uno come 2 veces al día?
7. Ocho trabajadores de una biblioteca emplean 15 días para organizar los
libros en una sala de lectura de 3000 m2 de área.
¿Cuántos días emplearan 15 trabajadores para organizar otra sala de libros
de 9000 m2 de área?
REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA
Recordemos el ejemplo de las chocolatinas
3
4500
12
5
X
24
Para generalizar este proceso, asignemos a cada número una letra. Veamos:
Sea, m = 3, n = 12, p = 4500, q = 5, r = 24, entonces:
m
p
n
q
X
r
Luego: X =
𝑞∗𝑝∗𝑟
𝑚∗𝑛
Una regla de tres compuesta es directa cuando las tres magnitudes que en ella
intervienen son directamente proporcionales.
Ejemplo 3
Diez estudiantes están pintando 120 m2 de pared y en esta labor emplean 6 horas
diarias. ¿Cuántos metros cuadrados podrán pintar 15 estudiantes si trabajan 8
horas al día en las mismas condiciones?
Solución
Establezcamos las proporciones que resultan del problema y hagamos el análisis
correspondiente:
Estudiantes
Metros
Horas diarias
10
120
6
15
x
8
Comparamos las magnitudes conocidas con las desconocidas para llegar a una
conclusión.
Primera conclusión
Las magnitudes son directamente
Si 10 estudiantes pintan 120 m2,
proporcionales
15 podrán pintar más metros.
Si se pintan 120 m2de pared trabajando 6 horas diarias
Segunda comparación
Si se pintan 120 m2de pared
trabajando 6 horas diarias,
pintando durante 8 horas al día
se pintaran mas metros.
Por tanto
Las magnitudes son directamente
proporcionales
𝑋=
𝑋=
15 𝑥 120 𝑥 8
10 𝑥 6
1440
6
X = 240m
Los 15 estudiantes, trabajando 8 horas diarias, pintan 240m2 de pared.
Ejercicio 15
1. Diez excursionistas se alimentan durante 15 días con 75 kilogramos de carne.
¿Cuántos días se alimentaran 15 excursionistas con 110 kilogramos?
2. En 10 días, un capital de $80000 produce un interés de $2000. En 15 días, ¿Cuál
será el interés producido por un capital de $ 160000?
3. Una fuente suministra 120 litros de agua durante 8 días a razón de 18 horas
diarias. ¿Cuántos litros suministrara en 38 días a razón de 12 horas diarias?
4. Dieciséis empleados de un juzgado digitan 240 páginas trabajando 5 horas
diarias. ¿Cuántas paginas pueden digitar diariamente 20 empleados si trabajan
el doble del tiempo en condiciones semejantes?
REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA
Un grupo de 40 estudiantes de séptimo tienen que presentar durante 15 días
150 ejercicios de matemáticas. ¿En cuánto disminuirá el número de ejercicios
por estudiante, si en el momento de iniciar la presentación del trabajo se
incrementa el grupo a 45 estudiantes y se amplía el periodo a 25 días?
Estudiantes
40
Ejercicios
150
Días
15
45
X
25
Si comparamos las magnitudes conocidas con las magnitudes desconocidas,
podemos concluir:
Primera comparación
Estudiantes
Ejercicios Son inversamente proporcionales, porque cuantos
40
150
más estudiantes trabajen, menor será el número de
ejercicios.
45
X
Segunda comparación
Días
Ejercicios
15
150
25
X
Esta proporción también es inversamente
proporcional, porque cuanto más días (25) trabajen
los 45 estudiantes, menos ejercicios le
corresponderán a cada uno.
Ahora, en 15 días los 40 estudiantes iniciales habrían hecho 40 x 15 = 600 trabajos de 150
ejercicios, y en 25 días los 45 estudiantes efectuaran 45 x 25 = 1125 trabajos de 150 ejercicios. Este
problema, entonces, se resuelve solucionando una regla de tres simple inversa. Veamos:
Trabajos
600
1125
Ejercicios
150
X
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑋 =
600 𝑥 150
1125
= 80 ejercicios
Al igual que en la regla de tres compuesta directa, podemos también establecer
el siguiente esquema, para el caso, inversamente proporcional:
40
150
45
X
15
25
𝑥=
40 𝑥 15 𝑥 150
45 𝑥 25
𝑥=
90000
1125
= 80 ejercicios
Con el fin de generalizar una solución para este tipo de problemas, volvamos al
esquema anterior.
40
150
15
45
X
25
Asignemos a cada magnitud una letra, así: a = 40, b = 15, c = 150, d = 45, y e =
25.
Entonces:
a
c
b
𝑎∗𝑐∗𝑏
d
x
e
luego: 𝑋 =
𝑑∗𝑒
Una regla de tres compuesta es inversa cuando las tres magnitudes que en ella
intervienen son inversamente proporcionales.
Ejercicio 4
Un grupo de 10 modistas hacen en 15 días un vestido de novia trabajando 8
horas diarias. ¿Cuántos días emplearan 12 modistas haciendo el mismo trabajo
durante 5 horas diarias?
Solución
Escribamos las proporciones que resultan del problema y hagamos su análisis:
Modistas
Días
Horas diarias
10
15
8
12
X
5
Comparemos magnitudes conocidas con magnitudes desconocidas:
Primera comparación
Segunda comparación
Modistas
Días
Horas diarias
Días
10
15
8
15
12
X
5
X
Inversas
inversas
En ambas comparaciones las magnitudes resultan inversamente
proporcionales, luego:
10
12
15
8
X
5
Entonces, X =
10 𝑥 15 𝑥 8
12 𝑥 5
1200
= 60
= 20 días
Ejercicio 16
1. Cinco hombres gastan 6 días para baldosinar una sala de 60m2 de área, trabajando
8 horas diarias. ¿Cuántos días tardaran 4 hombres para baldosinar otra sala de
48m2 de área, si trabajan 4 horas diarias?
2. Soluciona los siguientes problemas
a. Para resolver 8 problemas, un grupo de 6 estudiantes emplean 2 horas. Si el
grupo se reduce en 2 estudiantes y los problemas se aumentan a 15 con el
mismo grado de dificultad, ¿Qué tiempo necesitaran para resolverlos?
b. Si un capital de $200000 produce una ganancia de $50000 en 20 días, ¿Qué
capital será necesario invertir para que produzca $75000 en 15 días?
c. Una secretaria escribe 150 páginas en 15 días trabajando 10 horas diarias,
¿Cuántos días emplearía si solo trabajara 6 horas diarias?
d. Para tejer 100m de paño 14 mujeres trabajan 6 horas diarias. ¿Cuántas mujeres
se necesitan para tejer 200m de paño trabajando 12 horas al día?
e. Para digitar un libro, 3 digitadores tardaron 10 días trabajando 6 horas diarias.
¿Cuántos días tardaran 8 digitadores trabajando 5 horas diarias haciendo
exactamente lo mismo?
REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA
Un motociclista recorre 7200km durante 16 días, conduciendo 6 horas diarias.
¿Cuántas horas diarias deberá conducir durante 12 días para recorrer 9000km?
Establezcamos las proporciones resultantes del problema.
Km
Horas diarias
Días
7200
6
16
9000
X
12
Debemos establecer comparaciones entre magnitudes conocidas, es decir, km
recorridos y días, con magnitudes desconocidas, o sea, horas diarias.
Primera comparación
Km
Horas diarias
7200
6
9000
x
Estas magnitudes son directamente proporcionales, porque cuantos más
kilómetros haya recorrido el motociclista, más horas diarias emplearía.
Segunda comparación
Días
16
Horas diarias
6
12
x
Estas magnitudes son inversamente proporcionales, porque cuantos menos días
emplee el motociclista para hacer el mismo recorrido, más horas diarias requerirá.
Después del análisis podemos ver que en este planteamiento intervienen
magnitudes directa o inversamente proporcionales, luego:
Km
Horas diarias
7200
Días
6
9000
16
x
12
Asignemos una letra a cada valor del problema con el fin de generalizar una
solución:
Sean:
s = 7200
t = 16
Entonces,
v=6
s
v
t
w
x
y
w = 9000
Y = 12
Aplicando las soluciones para magnitudes directa o inversamente proporcionales,
tenemos:
𝑥=
𝑤∗𝑡∗𝑣
𝑠∗𝑦
, luego, 𝑥 =
9000 𝑥 6 𝑥 16
7200 𝑥 12
= 10
El motociclista debe conducir 10 horas diarias para recorrer 9000 kilómetros en 12
días.
Una regla de tres compuesta es mixta cuando en ella intervienen magnitudes
directamente proporcionales e inversamente proporcionales.
Ejemplo 5
Un tejedor artesanal teje 8 metros de tea durante 5 días trabajando 8 horas
diarias. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar durante 10 días para tejer 12
metros de tela?
Solución
Establezcamos las proporciones resultantes.
Metros
Horas diarias
Días
8
8
5
12
X
10
Primera comparación
Segunda comparación
Metros
H. diarias
Días
H. diarias
8
8
5
8
12
X
10
Directamente proporcional
X
inversamente proporcional
Vemos que intervienen magnitudes directa e inversamente proporcionales. Por tanto:
Metros
Por tanto:
Ejercicio 17
Horas diarias
Días
8
8
5
12
X
10
𝑥=
12 𝑥 8 𝑥 5
8 𝑥 10
=
60
10
X = 6 horas diarias.
1. Para un concurso de records, un grupo de estudiantes hace una bandera
gigantesca de 300m de largo por 2m de ancho, y en este trabajo emplean 8
días.
2. ¿En cuánto habrá que disminuir la longitud de la bandera si el ancho es ahora
de 3m y el plazo para entregarla al concurso es de 6 días?
3. Para una fiesta, una familia de 5 personas tarda 6 días en decorar un salón de
60m2 de área, trabajando 8 horas diarias.
4. ¿Cuántos días tardara otra familia de 4 integrantes para hacer el mismo trabajo
en un salón de 48m2 de área si disponen de 4 horas al día?
5. En un supermercado les pagan a 2 estudiantes $350000 por un trabajo en el
almacén. El primero trabajo durante 20 días un total de 9 horas diarias y recibió
$150000. ¿Cuántos días trabajo el segundo si su actividad la realizo durante 6
horas diarias?
6. Quince mujeres se comprometen a terminar en 14 días. Al cabo de 9 días solo
han hecho los 3/7 de la obra. ¿Cuántas mujeres más se necesitaran para
terminar la obra en el tiempo fijado?
7. Un escritor empleo 9 días trabajando 6 horas diarias para hacer un libro de 270
páginas. ¿cuántas horas deberá trabajar para hacer otro libro de 300 páginas, si
la dificultad para hacer la primera y la segunda obras están en relación de 3 a
4?
Forma común Forma fraccionaria
Forma decimal
10 %
10
1
=
100 10
0.10
1.8.5 Po
rcentajes
Es muy coman
ver en el comercio anuncios sobre diferentes descuentos, del 8% , 10 % del
20% en fin cualquier cantidad de rebajas, lo interesante para nosotros es
analizar que significa, por ejemplo un una rebaja del 8 % significa que por cada
$ 100 en el valor del articulo le rebajaran $ 8.
Hay tres maneras matemáticas de representar un porcentaje, la más común es
%, pero también podemos representarlo en forma fraccionaria y decimal.
Los porcentajes y los tantos por mil son casos especiales de magnitudes
proporcionales donde la constante de proporcionalidad es, respectivamente,
a
a
y
.
100 1000
El cálculo de los porcentajes es un caso particular de regla de tres en el cual
uno de los valores es 100. Por ejemplo, al calcular 16% de 5000 000
escribimos la siguiente regla de tres
25 %
0.25
25 1
=
100 4
16 → 100
X → 5000 000
16
X
=
100 5000000
(16) (5000 000) = 100X
80 000 000 = 100X
X=
80000000
100
X = 800 000.
Ejercicios de aplicación.
Juan Manuel desea saber cual deberá
ser su nota en el parcial final de
matemáticas para pasar la materia a 3.0, 4. 0, y la máxima nota que pueda
obtener.
Si se sabe que el valor del parcial final es del 25 % y que el 75 % fue evaluado
así:
Primer parcial, valor 10 % nota 4.8
Segundo parcial, valor 15 % nota 4.3
Tercer parcial, valor 20 % nota 4.5
Los talleres valen el 20 %
T1: 4.5
T2 = 4.1
T3 = 4.6
T4 = 3.5
En cinco quiz que hizo obtuvo las siguientes notas: (los quiz valen igual)
Q1 = 5.0
Q2 = 4.8 Q3 = 3.2 Q4 = 3.9 Q5 = 3.7
Solución:
P1 : 4.8 x 10% =
0.48
el acumulado de los tres parciales
P2:
4.3 x 15 % =
P3: 4.5 x 20 % =
0.645
0.9
es: 0.48+0.645+0.9 = 2.025
acumulado P = 2.025
P4: ¿? X 25 % =
Como los talleres tienen el mismo valor se suman y se dividen entre el numero
total de estos, en este caso son 4 talleres.
Total nota talleres =
4.5 + 4.1 + 4.6 + 3.5
= 4.1
4
Acumulado T = 4.1 x 20% = 0. 835
________________________________________________________
Igual que los talleres los quiz tienen el mismo valor, y aunque el problema
especifique el valor de estos es obvio que es el 10 % puesto que entre talleres y
parciales suma un 90% hasta 100 % faltaría un 10 %.
Total notas quiz =
5.0 + 4.8 + 3.2 + 3.9 + 3.7
= 4.12
5
Acumulado Quiz = 4.12 x 10 % = 0.412
Sumamos los acumulados = 2.025 + 0. 835 + 0.412 = 3.272
Lo que quiere decir que no necesita presentar el ultimo parcial para aprobar la
asignatura por que ya tiene la nota a mas de tres.
Ahora que si lo que desea es que le que a 4.0 se hace lo siguiente para saber que
debe sacar en el último parcial.
4.0 – 3.272 = 0.796. Ahora la nota =
0.796 x100
= 3.98 ≈ 4.0
25
Deberá sacar 4.0 para que su nota final sea de 4.0
Para saber cuál es la nota máxima que podrá obtener en la asignatura.
Suponemos que saca 5.0 en el último parcial del 25 %.
Así: 5.0 x 25 % = 1.25, ahora este valor se lo sumo al acumulado que llevaba a
3.272.
Nota máxima = 1.25 + 3.272 = 4.5
2) ¿La empresa R.E compra mercancías a 20 000 y la vende con un 70 %?
¿Cuál es el valor de la venta?
Valor venta = 20 000 + 20 000x 70 % = 34 000
¿Cuál es la utilidad bruta de la venta?
Utilidad bruta = 20 000 x 70 % = 14 000
1.8.6 Ejercicios
Los siguientes ejercicios son tomados de:
http://www.sectormatematica.cl/media/NM1/NM1_porcentaje_alternativas.d
oc
1. Expresa en fracción:
a) 20%
b) 12%
c) 60%
d) 75%
2. Expresa en porcentaje:
a) 0,12
b) 0,72
c) 0,7
d) 1,7
e) 3
f) 1/10
g) 0, 3
h) 3/4
i) 0,425
j) 4,12
e) 100%
f) 150%
g) 1/2 %
h) 3/5%
3. Completa la siguiente tabla:
10%
12,5%
12
20%
25%
1
33 %
3
3
120
50%
75%
30
3
4,8
4. Juan tiene que pagar $ 90.000. Si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que
pagar todavía?
a) $ 450
b) $ 4.550
c) $ 85.500
d) $ 89.500
e) $ 94.550
5. Un metro de tela me cuesta $ 1.500. ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el
20% de lo que costó?
a) $ 1.800
b) $ 1.200
c) $ 1.300
d) $ 1.000
e) $ 350
6. Pedro tenía $ 80.000. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto
le queda?
a) $ 16.000
b) $ 28.000
c) $ 52.000
d) $ 54.400
e) $ 78.000
7. De los 125 alumnos de un colegio, el 36% son damas. ¿Cuántos son varones?
a) 89
b) 80
c) 45
d) 36
e) 25
8. Una camisa me costó $ 10.500, con lo que gasté el 25% de mi dinero. ¿Cuánto
dinero tenía?
a) $ 2.625
b) $ 13.125
c) $ 32.525
d) $ 40.500
e) $ 42.000
9. De las 240 fichas que tiene un niño, 48 son rojas. ¡Cuál es el porcentaje de fichas
rojas?
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
10. ¿Qué porcentaje de rebaja se hace en una deuda de $ 4.500 que se reduce a $
3.600.
a) 80%
b) 60%
c) 40%
d) 20%
e) 10%
11. Habiendo salido el 84% de los alumnos de un colegio, permanecen en el mismo 20
alumnos. ¿Cuántos alumnos salieron del colegio?
a) 168
b) 105
c) 100
d) 84
e) 72
12. Tenía $ 350 y pagué $ 140 que debía. Lo que me queda, ¿qué porcentaje es de lo
que tenía?
a) 60%
b) 55%
c) 50%
d) 45%
e) 40%
13. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $ 680 para ganar el 15% de la venta?
a) $ 700
b) $ 702
c) $ 720
d) $ 750
e) $ 782
14. Compré 90 libros y vendí el 60% de ellos. ¿Cuántos libros me quedan?
a) 54
b) 45
c) 36
d) 32
e) 30
15. Un hombre al morir dispone que sus ahorros consistente en 20.000 dólares, se
reparta en 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo
restante a su ahijado. ¿Cuántos dólares le correspondió a este último?
a) 150
b) 1500
c) 7.000
d) 7.800
e) 8.000
d) 60
e) 6
d) 5/x
e) 20/x
d) 1/35
e) 7/12
16. ¿Cuál es el 10% del 15% de 4.000?
a) 1.000
b) 400
c) 100
17. El valor recíproco del 20% de x es:
a) x/20
b) x/5
c) –5/x
18: ¿Cuánto minutos son el 35% de una hora?
a) 2
b) 21
c) 35
19. Un cortador de pasto cobraba $ 20.000 por su trabajo. Ahora pedirá $ 24.000, ¿en
qué porcentaje aumentó su tarifa?
a) 120%
b) 80%
c) 60%
d) 40%
e) 20%
20. Una persona gastó $ 14.400, lo que equivale al 25% de su dinero. ¿Cuánto dinero
tenía?
a) $ 72.000
b) $ 57.600
c) $ 45.000
d) $ 25.600
e) $ 3.600
21. Un artículo se sube de $ 1.500 a $ 1.800. ¿Cuál es el porcentaje de alza?
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
22. Si a 80 se le resta el 80% de su mitad. ¿Cuánto se obtiene?
a) 80
b) 64
c) 48
d) 32
e) 16
23. Si la diferencia entre el 72% y el 57% de un número es 45. ¿Cuál es el número?
a) 450
b) 300
c) 250
d) 150
e) 100
24. Si Gonzalo tuviese un 16% menos de la edad que tiene, tendría 21 años. ¿Cuál es
la edad actual de Gonzalo?
a) 24 años
b) 25 años
c) 26 años
d) 27 años
e) 28 años
25. Un niño repartió 40 dulces entre sus amigos. A Juan le dio 2/5 del total, a Mario el
25% del resto y a Claudio el 50% del nuevo resto. ¿Con cuántos dulces se quedó el
niño?
a) 9
b) 7
c) 5
d) 4
e) 3
26. De un paquete con 650 gramos de chocolate regional, Mónica se comió el 40% y
Ximena se comió la mitad del resto. ¿Cuántos gramos de chocolate quedan?
a) 350
b) 300
c) 250
d) 200
e) 195
27. ¿Cuál es el 10% del inverso multiplicativo de 0,05?
a) 1/2
b) 2
c) 5
d) 1/20
e) 0,005
28. Si un trazo se divide en 4 partes. ¿Qué porcentaje es una parte, del resto?
a) 40%
b) 33,3...%
c) 25%
d) 20%
e) 75%
d) 200%
e) 400%
29. ¿Qué porcentaje es 1/3 de 1/6?
a) 50%
b) 100%
c) 150%
30. Si el lado de un cuadrado aumenta el doble, ¿en qué porcentaje aumentó su área?
a) 100%
b) 200%
c) 300%
d) 400%
e) Ninguna de
las anteriores
1.9 Sistemas de ecuaciones Lineales 2x2
Sistemas de ecuaciones 2x2
Ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas.
La expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables,
es:
A 11 X + A 12 Y = K 1
A 21 X + A 22 Y = K 2
Donde A 11, A 12, A21 y A 22 son los coeficientes de las variables y pertenecen a
los reales, y K 1, K 2
son los términos independientes y también son números
reales.
A estos sistemas normalmente se conocen como sistemas 2 x 2. Pues tienen dos
ecuaciones y dos incógnitas.
Por ejemplo:
2x + 4y = 5
-x + 2y = 3
Los valores de las variables, que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones
se denominan soluciones o conjunto solución del sistema, es decir, transforman la
ecuación en una expresión verdadera.
Además como ecuación lineal representa una función lineal (recta) en el plano, el
conjunto polución del sistema consiste de los puntos de intersección de las dos
rectas.
Se dan a continuación varios métodos para resolver tales sistemas.
1.9.1 Coordenadas cartesianas
1.9.2 Métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones
lineales 2x2
Solución por resta o suma (eliminación)
Resolvamos el ejemplo anterior.
2x + 4y = 5. ← ec.1
-x + 2y = 3. ← ec.2
La idea con este método es eliminar una de las dos incógnitas; para esto, la
variable que se va a eliminar debe tener los mismos coeficientes con signos
contrarios, si se va a eliminar x en el ejemplo vemos que en la ec.1 su coeficiente
es 2 (2x) y en la ec.2 su coeficiente es -1 (-x), luego para poder eliminar x se debe
multiplicar toda la ec.2 por 2.
2 por (ec.2) → 2 (-x + 2y = 3.) = -2x + 4y = 6
2x + 4y = 5.
-2x + 4y = 6
8y = 11
Y=
11
8
Ahora reemplazamos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones parta asi
obtener el valor de x.
Escogemos la ec.1:
2x + 4 (
2x + 4y = 5. ← ec.1
11
11
) = 5 → 2x +
=5
8
2
→ 2x = 5 -
→ 2x = -
1
2
11
2
→ x=-
Luego la solución es el punto: (-
1
4
1 11
, )
4 8
Observe que la solución es la pareja: (-
1 11
, ), y gráficamente es el punto donde
4 8
se intersecan o se cortan las dos rectas. Por lo cual podemos concluir que el
sistema es consistente y tiene una única solución.
b) solución por sustitución.
Si tenemos un sistema cualquiera por ejemplo:
x + 3y = 2 E1
2x + 6y = 4 E2
Se despeja una variable una de las dos variables en una de las dos ecuaciones ya
sea E1 o E2, para este caso escogemos
La variable x en E1
Así
x + 3y = 2 → x = 2 – 3y
Luego este valor lo sustituyo en la otra ecuación E2
E2: 2x + 6y = 4 → 2(2 – 3y) + 6y = 4
4 – 6y + 6y
= 4
4+ 0
= 4
4
= 4
Observe que a diferencia del otro sistema donde encontramos un valor para x y
para y aquí llegamos a una expresión que siempre es verdadera. Cuando esto
ocurre se concluye que el sistema tiene infinitas soluciones.
Al realizar la representación grafica encontramos que las rectas coinciden es decir
que ambas ecuaciones representan la misma recta.
Si detalla bien el sistema se dará cuenta que la segunda ecuación (E2) resulta de
multiplicar la ecuación E1 por 2. Lo cual quiere decir que una es múltiplo de la
otra. A estos sistemas se le llama sistemas consistentes dependientes.
c) solución por igualación.
Halle la solución del siguiente sistema:
3x - 9y = 12 E1
-x + 3y = 4 E2
El método de igualación es uno de los más usados en economía cuando se quiere
hallar puntos de equilibrio, consiste en escoger una de las dos variables ya sea x
o y para despejarla en ambas ecuaciones. Luego de estar despajada la variable se
igualan obteniendo un valor para la otra variable que no se despejo. Puede ocurrir
que no se obtenga un valor si no que más bien se llegue a una expresión falsa
por ejemplo 2 = 5 esta expresión siempre es falsa si esto ocurre quiere decir que
el sistema es inconsistente, es decir no tiene solución y al representarlo
gráficamente da como resultado rectas paralelas.
Siguiendo los pasos indicados tenemos:
Escogencia de la variable en este caso escogemos a y.
De E1 (3x - 9y = 12)
→ -9y = 12 -3x
→
De E2 (-x + 3y = 4)
y =
→
→
Igualando
12 − 3x
−9
3y = 4 + x
y=
E3
E4
4+ x
3
y = y (E3 = E4)
12 − 3x
4+ x
==
−9
3
Resolviendo:
3(12 – 3x) = -9(4 + x)
36 – 9x = -36 - 9x
- 9x + 9x = -36 - 36
0
= -72 (falso)
Luego el sistema es inconsistente, no tiene solución
• Ingreso: denotado I, obtenido al vender x artículos a p precio es I = xp
• Costo total = costo fijo + costo variable
CT = CF + CV.
Donde el costo variable depende del número de artículos que se
produzcan (mano de obra, materia prima), mientras que los costos fijos
permanecen constantes, independientes de las unidades producidas
(arriendo, salario básico, etc.)
• Utilidad: es la diferencia entre los ingresos totales recibidos I (x), y los
costos totales causados C.
U(x) = I(x) – C(x).
• Punto de equilibrio: se define punto de equilibrio del mercado como aquel
en el que la oferta es igual a la demanda.
1.9.3 Método grafico para resolver sistemas de ecuaciones lineales
2x2
Método gráfico: Consiste en realizar la gráfica de las dos ecuaciones sobre un
mismo plano y determinar los puntos comunes de las dos rectas. Puede suceder
uno de los siguientes casos:
1. Que las dos rectas se intersecten, en este caso la solución del sistema es el
punto de intersección, dado que está situado en ambas rectas y por lo tanto
satisface las dos ecuaciones.
2. Que las líneas sean paralelas, en tal caso no hay puntos comunes y por lo
tanto el sistema no tiene solución.
3. Que las líneas coincidan, en tal caso todos los puntos de las rectas son
comunes y por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.
Solución única
Ninguna solución
Infinitas soluciones
Ejemplo: Resuelva en forma gráfica el sistema
4x - y = 2
(1)
5x + 2y = 9 (2)
Solución: Se realiza la gráfica de las dos rectas; para lo cual basta con
determinar dos parejas de valores que satisfagan cada una de las ecuaciones,
ubicar los puntos en el plano y trazar las rectas.
Para la ecuación (1)
X
0
y 9/2
1
2
Para la ecuación (2)
X
0
2
y
-2
6
Como puede observarse en la figura 1.2 el punto de coordenadas (1,2) se
encuentra sobre las dos rectas, por lo tanto la solución del sistema es S = {(1,2)}.
Es decir, x = 1 y y = 2.
4x - y = 2
(1,2)
1.9.4 Ejercicios
5x + 2y = 9
1.10
Lectura e interpretación de graficas datos
1.10.1 Probabilidad
En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las
que conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (cara o
cruz) pero no sabemos exactamente cual de ellos se va a dar.
Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5,
o 6, pero no sabemos cual de ellos saldrá.
Los resultados de estas acciones dependen del azar:
Sabemos cuáles pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.
La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles
resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se de.
Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando
lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.
Sucesos
Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.
Distinguimos 3 tipos de sucesos:
Suceso posible: Es un resultado que se puede dar.
Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.
Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar.
Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no
tiene el número 7).
Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar.
Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un
dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).
Probabilidades de los sucesos
Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:
Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que
los demás:
Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas
probabilidades que el suceso "cruz".
Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de
darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso
"sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de
ocurrir.
Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de
darse:
Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar
la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.
3.Cálculo de probabilidades
Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:
Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles
El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.
Veamos algunos ejemplos:
a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:
Casos favorables: 1 (que salga "cara")
Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")
1
Probabilidad = 2 × 100 = 50%
b) Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado:
Casos favorables: 1 (que salga "3")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
1
Probabilidad =
6
× 100 = 16.6%
c) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un
dado:
Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o
4")
Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6")
4
Probabilidad = 6 × 100 = 66.6%
d) Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una
bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:
Casos favorables: 1 (sacar el número 76)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (1 / 100 ) ∗ 100 = 1 %
e) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una
bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100:
Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98)
Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa)
Probabilidad = (98 / 100 ) ∗ 100 = 98 %
http://primaria.aulafacil.com/matematicas-sexto-primaria/Curso/Lecc-31.htm
1.10.2 Ejercicios
1. Efectuar
8
5
4
5
37
3
2
÷ 3+ 3+ 23
3
7
2. 2 �4 + �5 − 4� ÷ 1 + 10�
3.
8
5
− 3(2) + 4
4. Efectuar
a)
1
5
4
5
37
2
3
7
− 3÷ 3+ 23
b) 2 ��5 − 4� ÷ 10 + 1�
c)
4 1
3
1
� + 2� − 3
5 4
1
d) 2 − 3 �5 −
10
3
�
25𝑎−2 𝑏2
� 3 −4 �
2𝑎 𝑏
−2
𝑎𝑏 −3
× � −3 3 �
5𝑎 𝑏
5
5. Efectuar y simplificar la expresión
5𝑡 − 𝑡(5 − 4𝑡) − 3𝑡 − 2𝑡 2 − (𝑡 + 8)
6. Si 𝑎 = 6; 𝑏 = 2; 𝑐 = −5; 𝑑 = 3 hallar el valor de
7.
9 2
+ −1
5 5
5
2− +6
4
8. Efectuar y simplificar
−4 − {2 − 5[−10 − 5(9 − 12)]}
9.
𝟑 𝟓
+ −𝟏
𝟒 𝟒
𝟓
𝟐− +𝟏
𝟒
8
5
10. �3 − 11� × 33 − 73
11. Hallar. −{𝑎 + 𝑐(−𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)𝑎} + 𝑑
𝑎 = 3, 𝑏 = 2, 𝑐 = 5, 𝑑 = 4
12. − (𝟑 − 𝟒) + 𝟐[𝟔 − 𝟖(−𝟐 + 𝟐)]
13. −{−(𝟖 + 𝟔) − [−(𝟕 − 𝟏𝟏)]}
14. −𝟒 + 𝟐(𝟓 − 𝟑) + 𝟐[(𝟑 − 𝟏) − (𝟐 + 𝟒)]
15. 7 + {6 − 4 − [2(5 + 8) − 7(2 − 4)]}
𝟓
16. 𝟏𝟐 +
𝟓
𝟐
𝟑
𝟓
17. 𝟖 − �− 𝟏𝟐� +
𝟏
𝟑
𝑎2
2
−
𝑏2
2
+
𝑑2
4
+ 2c 2
𝟐
𝟑
18. 𝟗 𝒙 �− 𝟏𝟒�
5
3
−
3
4
11
12
19. .
6
÷5 −
5 3
−
20. � 3114 � ÷
3
12
21. �5 ×
22. 2 +
3
1
5
10
−
5
1
5
2
� ÷ �9 × 14�
7
2
1
2
3+
1 4
2 5
7
+
25 10
23. �503
6
1
− +
1
24. 2 −
2+
25. 5 +
3+
� ×
41
18
1
1
2−
2
1
1
1
1+ 1
1−
2
Responda de la 26 a 33 con la siguiente información
𝑆𝑖 𝑎 = 3; 𝑏 = 2; 𝑐 = 5 𝑦 𝑑 = 4, Hallar
26. −{𝑎 + 𝑐(−𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)𝑎} + 𝑑
27.
𝑎𝑏−𝑐𝑑
𝑏2
+ (−𝑑 − 𝑎𝑏)
28. (𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑎𝑏 − 𝑐)(4𝑏 + 8𝑑)
𝑎3 −𝑏 3
29. 𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2
30. 𝑎 + (𝑏 2 − 𝑐 2 ) − (𝑑 − 𝑎2 − 𝑐)
31. 𝑐√3𝑎 − 𝑑�16𝑏 2 + 𝑑 √8𝑑
5
32.
𝑎2
33.
𝑎+𝑏
2
𝑐
−
𝑏2
2
−
−
𝑑2
𝑏+𝑑
4
𝑎
34. √63 + 3√28
35. (5 − 3)3 − (23 − 1)
1
36. ((52 )2 )4
1
37. (𝑎3 )𝑥 + 𝑎3𝑥 + (𝑎 𝑥 )3 − 𝑎−3𝑥
38. Convierta los siguientes números en porcentajes
39. 0,13
b) 0,05
c) 1,63
40. efectuar 2 − 4(−2 + 5) + 3(−9 + 2)
Efectuar sin dejar exponentes negativos 41 a 44
3 4
3 2
41. ���4� � �
3 4
3 2
42. ���4� � �
2 2
2 −5
43. �− 7� �− 7�
44. (−6)3 (−6)−4
1
4
5
37
2
3
7
45. 5 − 3 ÷ 3 + 2 3
46. 2 ��5 − 4� ÷ 10 + 1�
4 1
3
1
47. 5 �4 + 2� − 3
1
10
48. 2 − 3 �5 −
3
�
49. Si 𝑎 = 4; 𝑏 = 2; 𝑐 = −5; 𝑑 = 3 hallar el valor de
𝑎2
2
−
𝑏2
2
+
𝑑2
4
+ 2c 2
50. Efectuar las operaciones indicadas aplicando propiedades de los exponentes.
No deben aparecer exponentes negativos en la respuesta.
−2
8𝑎−2 𝑏2
� 𝑎3 𝑏−4 �
4𝑎𝑏 −3
4
∗ �𝑎−3 𝑏3 �
51. Efectuar y simplificar
10 − 3{2 − 3[2 − 5(2 − 4)]}
9
52. Hallar el valor de √126
53.
54.
√800
√8
+
8 2
+ −1
5 5
5
2− +6
4
√45
√5
55. −4 − {2 − 5[−10 − 5(9 − 10)]}
3
4
8
3 9
56. ��(4) � �
57. Efectuar usando productos notables.
a) (2𝑥 2 + 3)3
b) (2𝑚 − 7)(2𝑚 + 7)
c) (4𝑞 + 𝑝)2
d) (3𝑥 − 2)(3𝑥 − 2)(3𝑥 − 2) − 10{(5𝑥 + 2)(5𝑥 − 2) + (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)}
Dado que






(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 .
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
58. Hallar el valor de 𝑃2 de la siguiente ecuación
59. Despejar 𝑄𝑑 en 3(𝐴𝑄𝑆 − 𝑄𝑑 ) = 2(𝑄𝑑 − 𝑄𝑆 )
60. Despejar 𝑎1 en 𝑎𝑛 =
61. Despejar ℎ 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
62. Hallar el valor de 𝑥
𝑎1�(1+𝑖)𝑛 −1�
3𝑥+10
7
𝑖
=
2𝑥+8
4
𝑃2 −𝑃1
𝑃2 +𝑃1
2
= 0,5 ;
𝑃1 = 2
UNIDAD DOS
PRESENTACIÓN
En el ámbito numérico, la aptitud se relaciona con la habilidad, capacidad y
disposición para el uso de los números en diferentes contextos y situaciones. En la
prueba de aptitud numérica se toma en cuenta la aplicación inductiva y/o
deductiva de aspectos relacionados con el sentido numérico, para resolver
situaciones que exigen que el examinado utilice el número en sus diferentes
manifestaciones( APTITUD NUMÉRICA Taller de Cualificación Docente y
Directivos
Docentes
Concurso
Docente
2009)
http://matematicasievg.files.wordpress.com/2012/09/modulo_no_3_aptitud_numc3a9rica.pdf.
La aptitud numérica o capacidad numérica es la habilidad para manejar y utilizar
números y relaciones matemáticas. Estas pruebas evalúan esa habilidad, en su
doble versión de rapidez en su manejo y de resolución de problemas.
Los tests de aptitud numérica, también denominados pruebas de “factor N”
evalúan la capacidad de cálculo numérico. Esta capacidad satura todas las
actividades que exigen realizar, lo más rápidamente posible, una serie de
operaciones matemáticas.
Estos tests son de los más utilizados en la fase de selección de personal.
El cálculo mental es imprescindible para las Matemáticas. Antes de comenzar a
utilizar la calculadora o la informática, los alumnos tienen que saber de memoria
las tablas de multiplicar. Algunos centros de enseñanza autorizan a sus alumnos a
utilizar la calculadora sólo cuando obtienen el carnet de calculista; este carnet lo
consiguen cuando saben hacer, sin ayuda de máquinas, sumas y restas con
decimales, divisiones enteras con la prueba de multiplicar, y operaciones con
fracciones con y sin paréntesis; y todo ello (cinco pruebas), sin cometer ni un solo
fallo.
A título de ejemplo, puede descargar gratuitamente y despues de suscribirse en nuestro
boletín mensual un fichero con 10 tests gratuitos entre los que se incluye un ejemplo de
estos tipos de tests:
http://www.tests-psicotecnicos.com/libro-pruebas-psicotecnicas.html
NOMBRE PROBLEMAS DE APTITUD NUMERICA
PREGUNTA PROBLEMA
¿Cómo crees que el conocimiento de la Aritmética te puede ayudar a
resolver problemas de aptitud numérica?
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
•
Modelar situaciones problema que en el campo de los universos numéricos
para llegar a una solución.
•
Generar estrategias que evidencien razonamientos desde las formas de
proceder con lo numérico. En estas situaciones tanto los enunciados como las
opciones de respuesta pueden estar planteados en forma verbal, tabular,
gráfica o simbólica. Algunas situaciones presentan información a partir de la
cual se derivan dos o tres preguntas o problemas.
SABERES
Situaciones Problemas de aptitud numérica tomadas de guías del ministerio
de Educación Nacional.
DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO
ACTIVIDAD PREVIA (Trabajo Individual)
2
5
1. Los 5 de los 4 de 200 es:
A. 50
B. 30
C. 100
D. 300
ANSWER: C
2. El triple de la suma de dos números es 48, y el número mayor es 3 veces el
menor, entonces el número mayor es:
A. 12
B. 24
C. 48
D. 16
ANSWER: A
3. Del dinero que tenía gasté 3/5 en chocolates y 2/5 de lo restante en canicas. Si
ahora tengo $300, al principio tenía
A. $750
B. $1.250
C. $1.125
D. $1.875
ANSWER: B
4. A Oliva le regalan la quinta parte de una bolsa de 95 chocolates aumentada en
2. El número de chocolates que le regalaron fue:
A. 38
B. 19
C. 21
D. 45
ANSWER: C
5. Rosa Compró 80 artículos a $ 400 cada uno. Vendió 30 a $ 450 cada uno y 25
a $ 480 cada uno. ¿Cuánto debe obtener de las restantes para obtener una
ganancia total de $ 4.000?
A. 10.000
B. 10.500
C. 16.500
D. 25.000
ANSWER: B
6. Camila compró un accesorio en $ 3000; Sandra compra este mismo con un
25% menos que Camila; pero Paola lo compra en lo mismo que Sandra más
un 10%. ¿En cuánto lo compro Paola?
A. $2.425
B. $3.450
C. $ 2.550
D. $ 2.475
ANSWER: D
7. Un medio del 10% del 50% de $ 2.000 es:
A. 200
B. 600
C. 500
D. 50
ANSWER: D
3
8. Joel tenía $ 10,000. Con los 4 compró una Pizza y con los
una gaseosa el costo de la gaseosa es:
A. $4000
B. $1000
C. $1200
D. 7500
2
5
del resto compró
ANSWER: B
9. Con la siguiente gráfica, sobre el porcentaje de estudiantes de acuerdo con el
número de libros leídos, en el último semestre del 2012. Se sabe que la
muestra fue realizada a 500 estudiantes de la jornada diurna en nuestra
Universidad. Se puede afirmar que:
A. El porcentaje de estudiantes que leyó menos de 6 libros es de 80%
B. El porcentaje de estudiantes que leyó menos de 6 libros es de 60%
C. El porcentaje de estudiantes que leyó más de 6 libros es mayor que el
porcentaje de estudiantes que leyó menos de 6 libros
D. El número de estudiantes que leyó entre 2 y 7 libros es de 20%
ANSWER: B
10. En CECAR hay tres cortes el primero vale 30% el segundo 30% y el tercero
40% si un estudiante obtuvo en el primer corte un 4 en el segundo un 3 y en el
tercero un 5 ¿Cuál es la nota definitiva de ese estudiante?
A. 4.0 Porque Sumo las notas y las divido entre tres
B. 4,1. Porque multiplico la primera nota por 30%, la segunda por 60% y la
tercera por 40% y sumo los resultados
C. 4.0 Sumo las dos primeras las divido entre dos y múltiplo por 0,3 y la tercera
por 0,4
D. 4,1. Porque multiplico la primera nota por 0.3, la segunda por 0.3 y la tercera
por 0.4 y sumo los resultados
ANSWER: D
11. Juan Manuel va a comprar un juguete que cuesta $100,000 y le hacen un
descuento del 15% ¿Cuánto debe cancelar por el juguete?
A. $15,000
B. $85,000
C. 90,000
D. Ninguna de las anteriores
ANSWER: B
12. Los balones de fútbol y de baloncesto de una escuela deportiva suman 40 en
total. Se sabe que hay 2 balones de baloncesto por cada 3 balones de fútbol.
¿Cuántos hay de cada uno?
A. 5 de baloncesto y 35 de fútbol
B. 16 de baloncesto y 24 de fútbol
C. 24 de baloncesto y 16 de fútbol
D. 80 de baloncesto y 120 de fútbol
ANSWER: B
13. El valor esperado para una variable aleatoria discreta se define como la
sumatoria de los productos entre los valores de la variable, por su
correspondiente probabilidad de ocurrencia. La siguiente tabla contiene la
distribución de probabilidad del número de devoluciones en ventas diarios en
un almacén de cadena.
Devoluciones por dia
Devoluciones diarias x Probabilidad P(x)
0
0,05
1
0,10
2
0,25
3
0,15
4
0,30
5
0,15
De acuerdo con lo anterior, se espera que el número de devoluciones por día sea:
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
ANSWER: D
14. En una caja había 20 sombreros blancos y 13 sombreros negros, Juan Manuel
extrajo al azar de la caja tres sombreros uno tras otro sin restituirlos a la caja, y
los tres sombreros extraídos resultaron negros. ¿Cuál es la probabilidad de
que el cuarto extraído al azar sea también negro?
13
A. 33
B.
C.
10
33
𝟏
𝟑
1
D. 33
ANSWER: C
15. Si al doble de la edad del padre se le resta la edad del hijo disminuida en un
año, resultan 60 años. Si el hijo tiene 11 años, el padre tendrá
A. 25 años
B. 30 años
C. 35 años
D. 40 años
ANSWER: C
16. Luisa después de gastar 1/3 de lo que tenía y 1/6 del resto; aún le quedan
$15.000. La cantidad que tenía inicialmente es de
A. $ 32.000
B. $ 45.000
C. $ 27.000
D. $ 54.000
ANSWER: C
17. Camila ha perdido los 2/3 de los 4/5 de $ 45.000.La cantidad perdida es de
A. $ 6.000
B. $ 20.000
C. $ 24.000
D. $ 30.000
ANSWER: C
18. De la terminal de transporte sale un bus cada tres horas para Neiva, uno cada
cuatro horas para Pasto y uno cada cinco horas para Cúcuta. Si el martes a las
6:00 a.m. salen los tres buses, ¿Cuándo volverá a coincidir la salida de los
buses para estas tres ciudades?
A. Miércoles a las 6:00 PM
B. Jueves a las 6:00 AM
C. Jueves a las 6:00 PM
D. Miércoles a las 12:00 M
ANSWER: C
19. En un apartamento se tiene un tanque de agua totalmente lleno. En un día se
consumió medio tanque de agua; al día siguiente, la cuarta parte de lo que
quedaba; el tercer día se consumieron 15 litros de agua, es decir, la tercera
parte de lo que quedaba. ¿Cuál es la capacidad del tanque de agua?
A. 15 litros
B. 30 litros
C. 60 litros
D. D 120 litros
ANSWER: D
20. Los
A.
B.
C.
D.
3
4
de un tanque, con capacidad de 1200𝑐𝑚3 , permanecen llenos durante el
2
invierno, pero el volumen de agua disminuye 3 durante el verano. Si se espera
que el tanque recupere la ocupación que tuvo en el invierno, en 30 días, cada
día deberá llenarse
33 cm3
20 cm3
16 cm3
10 cm3
ANSWER: B
21. Un ejecutivo de la empresa MM fue enviado a un curso de capacitación fuera
de la ciudad y gastó un promedio de $20 en comida; $40 por concepto de valor
de la entrada al curso; $10 por parqueadero y $10 por concepto de
combustible. El porcentaje total aproximado que gastó en comida en este curso
de capacitación, fue
A. 25 %
B. 16 %
C. 20 %
D. 15 %
ANSWER: A
22. Tengo $180, gasto un tercio y un tercio del resto lo pierdo, me queda.
A. $60
B. $80
C. $40
D. $50
ANSWER: B
23. Si una arepa se divide en 4 partes iguales, luego dos partes de esas se dividen
cada una por la mitad. Si Jorge se come una porción grande y una pequeña, la
porción total de arepa que se comió fue de
1
A. 8
B.
1
C.
3
4
8
3
D. 4
ANSWER: C
24. Manuel le vendió a Alfredo un perro que le había costado $10.000, perdiendo
el 10% y luego Alfredo lo revende a Manuel ganándole el 10%. En total,
Manuel perdió.
A. $100
B. $900
C. $1000
D. $1900
ANSWER: D
25. En un grupo de estudios, el 60% son Antioqueños; el 25% son Costeños y los
6 restantes son del Valle y Risaralda. Luego, el total de alumnos es de.
A. 30
B. 35
C. 40
D. 50
ANSWER: C
1
26. Compré una gata por 3 del precio de un perro y el perro costo
lora. Si la lora costó $ 24.000, el precio de la gata es de.
A. $3000
B. $ 6000
C. $ 8000
D. $9000
ANSWER: B
3
4
27. La cabeza de un cocodrilo es la mitad del tronco y el tronco los
el tronco mide un metro, el cocodrilo mide.
A. 4m
B. 4,5m
C. 5m
D. 5,5m
ANSWER: A
el valor de una
2
5
de la cola. Si
28. Si un termómetro marca en la mañana una temperatura de -3º C y en la tarde
marca 5 Grados más, ¿Qué temperatura indica?
A. -8
B. 8
C. 5
D. 2
ANSWER: D
29. Un periódico y su revista deportiva cuestan $800. Si el periódico cuesta $500
más que la revista; el valor del periódico es:
A. $450
B. $500
C. $550
D. $650
ANSWER: D
30. Dentro de 8 años la edad de Fabio será el doble de la que tenía hace seis
años. La edad actual de Fabio es:
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
ANSWER: D
31. Se reparten 15 litros de gaseosa en vasos con capacidad de 3/5 de litro. El
número de vasos necesarios es:
A. 100
B. 15
C. 20
D. 25
ANSWER: D
32. En los Alpes de Venecia hay 9000 casas, de las cuales las 3/5 pertenecen a
“San Marino” y un 1/6 del resto son la primera etapa de “Palma Imperial” el
resto son la segunda etapa de “Palma Imperial” ¿Cuántas casas hay en el
último conjunto?
A. 600
B. 3000
C. 4500
D. 5400
ANSWER: B
33. Se sabe que el área del rectángulo es 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎. Y el área del triángulo es
𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
, entonces el área de la siguiente figura es
2
A.
B.
𝑎𝑏
4
𝑎𝑏
3
𝑎𝑏
C. 2
D. 𝑎𝑏
ANSWER: D
34. Un ladrillo pesa “una libra y media, mas medio ladrillo”, ¿Cuánto pesan 3
ladrillo?
A. 3 libras
B. 4 ½ libras
C. 9libras
D. 12 libras
ANSWER: C
ACTIVIDAD GRUPAL
1. Reunidos en CIPAS, lea nuevamente la unidad 1.
2. Socialicen los resúmenes elaborados de manera individual e
independiente.
3. Socialicen las respuestas de las actividades, que respondieron
de manera individual.
4. Desarrollen los ejercicios que se encuentra al final de la Unidad
1 y discútanlos en el grupo de estudios. Estos ejercicios deben
ser socializados en la sesión junto con todos los compañeros de
grupo y entregados al tutor.
SABERES Y ACTIVIDADES
2.
Solución de la prueba diagnóstica
2
5
1. Los 5 de los 4 de 200 es:
A. 50
B. 30
C. 100
D. 300
ANSWER: C
2
5
5
× 4 × 200 =
200
2
= 100.
2. El triple de la suma de dos números es 48, y el número mayor es 3 veces el
menor, entonces el número mayor es:
A. 12
B. 24
C. 48
D. 16
ANSWER: A
Sea 𝑋 y 𝑌 los dos números
𝑌 el número mayor. 𝑌 = 3𝑋
3(𝑋 + 𝑌) = 48
3𝑋 + 3𝑌 = 48 Propiedad distributiva
𝑌 + 3𝑌 = 48 Se reemplaza 𝑌 = 3𝑋
4𝑌 = 48
Suma de términos semejantes
48
𝑌 = 4 = 12 El 4 está multiplicando pasa a dividir
Este ejercicio se puedo hacer fácilmente por tanteo. (Inténtalo).
3. Del dinero que tenía gasté 3/5 en chocolates y 2/5 de lo restante en canicas. Si
ahora tengo $300, al principio tenía
A. $750
B. $1.250
C. $1.125
D. $1.875
ANSWER: B
Se divide la unidad en 5 partes iguales.
Se toman 3 partes: color verde.
2/5 de lo restante en canicas: Divido lo restante en cinco partes iguales; y tomo 2
(parte roja).
Si aún quedan 300 es porque cada rectángulo vale 50.
300 ÷ 6 = 50. Dado que quedan 6 rectángulos blancos
Hay 25 cuadritos de 50. O bien 12 cuadritos de 100 y uno de 50. Lo que indica que
inicialmente se tenía. 1250.
Otra manera
Se 𝑋 la cantidad inicial.
2
5
6
3
∗ 5 𝑋 = 300
25
𝑋 = 300
𝑋 = 300 ∗
25
6
𝑋 = 50 ∗ 25 = 1250
𝑋 = 1250
4. A Oliva le regalan la quinta parte de una bolsa de 95 chocolates aumentada en
2. El número de chocolates que le regalaron fue:
A. 38
B. 19
C. 21
D. 45
ANSWER: C
95 ÷ 5 = 19
19 + 2 = 21
5. Rosa Compró 80 artículos a $ 400 cada uno. Vendió 30 a $ 450 cada uno y 25
a $ 480 cada uno. ¿Cuánto debe obtener de las restantes para obtener una
ganancia total de $ 4.000?
A. 10.000
B. 10.500
C. 16.500
D. 25.000
ANSWER: B
30 × 50 = 1500 Rosa compró a 400 cada uno si los vende a 450 se gana 50 c/u.
25 × 80 = 2000 Rosa compró a 400 cada uno si los vende a 480 se gana 80 c/u
Si ha vendido 55 le falta por vender 25 para completar los 80 compró.
Y en ganancia lleva $1.500 + $2.000 = $3.500
Hasta 4.000 que es lo que se desea. Faltan $500
25 × 400 = 10.000 (Multiplica 4 × 25 = 100, y agrégale los dos ceros del 400)
Lo que debe obtener de las restantes es $10.000 + $500 = $10.500
Así: 500 ÷ 25 = 20 esto indica que por casa articulo se debe ganar $ 20 no es
necesario.
6. Camila compró un accesorio en $ 3000; Sandra compra este mismo con un
25% menos que Camila; pero Paola lo compra en lo mismo que Sandra más
un 10%. ¿En cuánto lo compro Paola?
A. $2.425
B. $3.450
C. $ 2.550
D. $ 2.475
ANSWER: D
Camila: $ 3.000
Sandra: 3.000 − 750 = 2.250
Paola: 2.250 + 225 = 2.475
a suprimir un cero.
1
Explicación: 3.000 × 25% = 3.000 × 4 = 750
Explicación: 2.250 × 10% = 225 sacar 10% equivale
7. Un medio del 10% del 50% de $ 2.000 es:
A. 200
B. 600
C. 500
D. 50
ANSWER: D
1
1
10
50
∗ 10% ∗ 50% ∗ 2000 = 2 ∗ 100 ∗ 100 ∗ 2000 =
2
10∗50∗2000
2∗100∗100
O bien lo puedes resolver así:
50% de $ 2.000= 1000 esto equivale a dividir entre 2
10% de 1.000=100 sacar 10% equivale a quitar un cero.
=
100
2
= 50
1
2
𝑑𝑒 100 = 100 ÷ 2 = 50
3
8. Joel tenía $ 10,000. Con los 4 compró una Pizza y con los
una gaseosa el costo de la gaseosa es:
E. $4000
F. $1000
G. $1200
H. 7500
ANSWER: B
2
5
del resto compró
9. Con la siguiente gráfica, sobre el porcentaje de estudiantes de acuerdo con el
número de libros leídos, en el último semestre del 2012. Se sabe que la
muestra fue realizada a 500 estudiantes de la jornada diurna en nuestra
Universidad. Se puede afirmar que:
E. El porcentaje de estudiantes que leyó menos de 6 libros es de 80%
F. El porcentaje de estudiantes que leyó menos de 6 libros es de 60%
G. El porcentaje de estudiantes que leyó más de 6 libros es mayor que el
porcentaje de estudiantes que leyó menos de 6 libros
H. El número de estudiantes que leyó entre 2 y 7 libros es de 20%
ANSWER: B
10. En CECAR hay tres cortes el primero vale 30% el segundo 30% y el tercero
40% si un estudiante obtuvo en el primer corte un 4 en el segundo un 3 y en el
tercero un 5 ¿Cuál es la nota definitiva de ese estudiante?
E. 4.0 Porque Sumo las notas y las divido entre tres
F. 4,1. Porque multiplico la primera nota por 30%, la segunda por 60% y la
tercera por 40% y sumo los resultados
G. 4.0 Sumo las dos primeras las divido entre dos y múltiplo por 0,3 y la tercera
por 0,4
H. 4,1. Porque multiplico la primera nota por 0.3, la segunda por 0.3 y la tercera
por 0.4 y sumo los resultados
ANSWER: D
11. Juan Manuel va a comprar un juguete que cuesta $100,000 y le hacen un
descuento del 15% ¿Cuánto debe cancelar por el juguete?
A. $15,000
B. $85,000
C. 90,000
D. Ninguna de las anteriores
ANSWER: B
15
100.000 × 15% = 100.000 × 100 = 15.000 Descuento.
Debe cancelar 100.000 − 15.000 = 85.000
12. Los balones de fútbol y de baloncesto de una escuela deportiva suman 40 en
total. Se sabe que hay 2 balones de baloncesto por cada 3 balones de fútbol.
¿Cuántos hay de cada uno?
A. 5 de baloncesto y 35 de fútbol
B. 16 de baloncesto y 24 de fútbol
E. 24 de baloncesto y 16 de fútbol
F. 80 de baloncesto y 120 de fútbol
ANSWER: B
Procedimiento1.
𝐹 + 𝐵 = 40
Usando las proporciones.
2: 3: : 𝐵: 𝐹
2
8
16
× 8 = 24 Amplifico hasta que la sume de 40. 16+24=40.
3
2
3
𝐵
16
= 𝐹 = 24
Procedimiento2.
𝐹: 𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐹𝑢𝑡𝑏𝑜𝑙
𝐵: 𝑏𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑙𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑡𝑜
2
𝐵
=𝐹
3
𝐹 + 𝐵 = 40 ec.1
2𝐹 = 3𝐵
𝐹=
3𝐵
2
3𝐵
2
+ 𝐵 = 40 Se reemplaza en la primera ecuación
3𝐵+2𝐵
5𝐵
= 40 Se efectúa la suma de fraccionarios
2
2
= 40
Términos semejantes.
5𝐵 = 40 ∗ 2
𝐵=
80
𝐹=
3𝐵
5
𝐵 = 16
Despejando a B el 2 pasa a Multiplicar.
Balones de Baloncesto.
2
3
𝐹 = 2 ∗ 16 = 24
13. En una caja había 20 sombreros blancos y 13 sombreros negros, Juan Manuel
extrajo al azar de la caja tres sombreros uno tras otro sin restituirlos a la caja, y
los tres sombreros extraídos resultaron negros. ¿Cuál es la probabilidad de
que el cuarto extraído al azar sea también negro?
13
A. 33
B.
10
C.
𝟏
33
𝟑
1
D. 33
ANSWER: C
Solución:
En total hay 33 sombreros.
Al sacar tres sombreros negros sin restitución quedan 30 sombreros y 10
negros.
La probabilidad de que el cuarto sea negro es:
10
30
1
=3
14. Si al doble de la edad del padre se le resta la edad del hijo disminuida en un
año, resultan 60 años. Si el hijo tiene 11 años, el padre tendrá
A. 25 años
B. 30 años
C. 35 años
D. 40 años
ANSWER: C
Solución:
Esta situación es más fácil resolverla por tanteo. Ensayo y error.
Probando con las respuestas.
Si el padre tiene 35 años el doble es 70 y le resto 10. (11-1=10: EDAD DEL HIJO)
El resultado es 60.
Procedimiento usando ecuaciones.
Sea 𝑥: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑑𝑟𝑒
El doble de la edad del padre: 2𝑥
El doble de la edad del padre se le resta la edad del hijo disminuida en un año,
resultan 60 años: 2𝑥 − 10 = 60
2𝑥 = 60 + 10
70
𝑥 = 2 = 35
𝑥 = 35
15. Luisa después de gastar 1/3 de lo que tenía y 1/6 del resto; aún le quedan
$15.000. La cantidad que tenía inicialmente es de
A. $ 32.000
B. $ 45.000
C. $ 27.000
D. $ 54.000
ANSWER: C
16. Camila ha perdido los 2/3 de los 4/5 de $ 45.000.La cantidad perdida es de
E. $ 6.000
F. $ 20.000
G. $ 24.000
H. $ 30.000
ANSWER: C
17. De la terminal de transporte sale un bus cada tres horas para Neiva, uno cada
cuatro horas para Pasto y uno cada cinco horas para Cúcuta. Si el martes a las
6:00 a.m. salen los tres buses, ¿Cuándo volverá a coincidir la salida de los
buses para estas tres ciudades?
E. Miércoles a las 6:00 PM
F. Jueves a las 6:00 AM
G. Jueves a las 6:00 PM
H. Miércoles a las 12:00 M
ANSWER: C
18. En un apartamento se tiene un tanque de agua totalmente lleno. En un día se
consumió medio tanque de agua; al día siguiente, la cuarta parte de lo que
quedaba; el tercer día se consumieron 15 litros de agua, es decir, la tercera
parte de lo que quedaba. ¿Cuál es la capacidad del tanque de agua?
E. 15 litros
F. 30 litros
G. 60 litros
H. D 120 litros
ANSWER: D
19. Los
3
4
de un tanque, con capacidad de 1200𝑐𝑚3 , permanecen llenos durante el
2
invierno, pero el volumen de agua disminuye 3 durante el verano. Si se espera
que el tanque recupere la ocupación que tuvo en el invierno, en 30 días, cada
día deberá llenarse
E. 33 cm3
F. 20 cm3
G. 16 cm3
H. 10 cm3
ANSWER: B
20. Un ejecutivo de la empresa MM fue enviado a un curso de capacitación fuera
de la ciudad y gastó un promedio de $20 en comida; $40 por concepto de valor
de la entrada al curso; $10 por parqueadero y $10 por concepto de
combustible. El porcentaje total aproximado que gastó en comida en este curso
de capacitación, fue
A. 25 %
B. 16 %
C. 20 %
D. 15 %
ANSWER: A
21. Tengo $180, gasto un tercio y un tercio del resto lo pierdo, me queda.
A. $60
B. $80
C. $40
D. $50
ANSWER: B
1
Gasto un tercio = 3 × 180 =
180
3
= 60
El Resto = 180 − 60 = 120
1
120
Gasto un terciodel resto = 3 × 120 = 3 = 40
𝑚𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 = 120 − 40 = 80
Otra manera de resolver el problema rápidamente es mediante el
uso de fracciones.
1/3=60 gasté
20 gasté
20
20
20 gasté
20
20
Me quedan 80 = 4 × 20. Cuadros que quedan sin color.
22. Si una pizza se divide en 4 partes iguales, luego dos partes de esas se dividen
cada una por la mitad. Si Jorge se come una porción grande y una pequeña, la
porción total de pizza que se comió fue de
1
A. 8
B.
1
C.
3
4
8
3
D. 4
ANSWER: C
Divide la pizza en 4 partes iguales.
Luego cada pedazo divídelo en dos. (cada pedazo grande tiene 2 pedazos
pequeños.)
Quiere decir que ahora la pizza está dividida en 8 partes iguales
3
E. Así puedes ver que de los 8 pedazos comió 3. 8
23. Manuel le vendió a Alfredo un perro que le había costado $10.000, perdiendo
el 10% y luego Alfredo lo revende a Manuel ganándole el 10%. En total,
Manuel perdió.
A. $100
B. $900
C. $1000
D. $1900
ANSWER: D
𝑀𝑎𝑛𝑢𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖ó 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 = 10.000 × 10% = 1.000 Para sacar 10% simplemente quite un cero.
𝑀𝑎𝑛𝑢𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑒𝑛 10.000 − 1000 = 9000
𝑀𝑎𝑛𝑢𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖ó 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 = 9000 × 10% = 900
𝑀𝑎𝑛𝑢𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖ó = 1000 + 900 = 1900
24. En un grupo de estudios, el 60% son Antioqueños; el 25% son Costeños y los
6 restantes son del Valle y Risaralda. Luego, el total de alumnos es de.
A. 30
B. 35
C. 40
D. 50
ANSWER: C
1
25. Compré una gata por 3 del precio de un perro y el perro costo
lora. Si la lora costó $ 24.000, el precio de la gata es de.
A. $3000
B. $ 6000
C. $ 8000
D. $9000
ANSWER: B
3
4
26. La cabeza de un cocodrilo es la mitad del tronco y el tronco los
el tronco mide un metro, el cocodrilo mide.
A. 4m
B. 4,5m
C. 5m
D. 5,5m
ANSWER: A
tronco = 1m
el valor de una
2
5
de la cola. Si
1
𝑐𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑐𝑜𝑑𝑟𝑖𝑙𝑜 = 2 tronco = 0,5 m
2
tronco = 5 𝑐𝑜𝑙𝑎 Despejo 𝑐𝑜𝑙𝑎 5 pasa a multiplicar y 2 a dividir.
5
𝑐𝑜𝑙𝑎 = 2 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 2,5 𝑚
el cocodrilo mide = 1m + 0,5 m + 2,5 𝑚 = 4𝑚
27. Si un termómetro marca en la mañana una temperatura de -3º C y en la tarde
marca 5 Grados más, ¿Qué temperatura indica?
A. -8
B. 8
C. 5
D. 2
ANSWER: D
28. Un periódico y su revista deportiva cuestan $800. Si el periódico cuesta $500
más que la revista; el valor del periódico es:
A. $450
B. $500
C. $550
D. $650
ANSWER: D
29. Dentro de 8 años la edad de Fabio será el doble de la que tenía hace seis
años. La edad actual de Fabio es:
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
ANSWER: D
30. Se reparten 15 litros de gaseosa en vasos con capacidad de 3/5 de litro. El
número de vasos necesarios es:
A. 100
B. 15
C. 20
D. 25
ANSWER: D
Solución:
3
5
15
15 ÷ 5 = 15 ∗ 3 = 25
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑜 3 = 5., 5 ∗ 5 = 25. Recuerda que la división se
convierte en producto y se invierte la segunda fracción.
31. En los Alpes de Venecia hay 9000 casas, de las cuales los 3/5 pertenecen a
“San Marino” y un 1/6 del resto son la primera etapa de “Palma Imperial” el
resto son la segunda etapa de “Palma Imperial” ¿Cuántas casas hay en la
segunda etapa?
A. 600
B. 3000
C. 4500
D. 5400
ANSWER: B
San Marino:
3
9000 × 5 = 5400
El resto es: 9000 − 5400 = 3600
1
6
∗ 3600 = 600 Primera etapa Palma imperial
Segunda etapa: 3600 − 600 = 3000
32. Un ladrillo pesa “una libra y media, mas medio ladrillo”, ¿Cuánto pesan 3
ladrillo?
A. 3 libras
B. 4 ½ libras
C. 9libras
D. 12 libras
ANSWER: C
Ejemplos:
El ancho de un parque de forma rectangular mide la mitad de su largo. Si su
perímetro mide 84 m. ¿Cuál es el área del parque en metros cuadrados?
A. 784
P=84
𝑦=
𝑥
2
B. 328
C.252
D.392
Sea 𝑥 el largo
Sea 𝑦 el ancho.
𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 El perímetro P es la suma de los lados:
𝑥
𝑃 = 2𝑥 + 2 = 84
2
2𝑥 + 𝑥 = 84
3𝑥 = 84
𝑥=
84
3
= 28
El largo es 28
Y el ancho
𝑦=
28
2
= 14
𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝐴 = 28 × 14 = 392.
El siguiente problema fue tomado de:
http://aplicacionesdematematicas.blogspot.com/2013/07/colonia-de-bacterias.html
Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmente hay 5.000 de
ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es.
a) 5.000 33 bacterias
b) 5.000 34 bacterias
c) 5.000 39 bacterias
d) 5.000 360 bacterias
e) 5.000 3180 bacterias
Solución
Si cada 20 minutos se triplica el número de bacterias, significa que se multiplica
por 3, y en 3 horas hay 9 ciclos de 20 minutos, por lo que quedaría
5.000 × 3 × 3 × 3 (Primera hora) × 3 × 3 × 3 (Segunda hora) × 3 × 3 × 3 (tercera
hora)
Luego esto es:
5000 𝑥 39 y la respuesta es la C.
0TP
César ha perdido los 2/3 de los 4/5 de $ 45.000. Cuánto perdió?
A. $ 6.000
B. $ 20.000
C. $ 24.000
D. $ 30.000
45.000
2 4
× × 45.000 = 8 ×
= 8 × 3000 = 24.000
3×5
3 5
La respuesta es la c
En el concurso de matemáticas del Tecnológico se hacen 40 preguntas y cada
pregunta correcta se premia con 5 puntos buenos; mientras que cada pregunta
mal respondida o contestada se califica con tres puntos malos. Si contestando
todas las preguntas el resultado es cero; las preguntas correctas fueron
A. 5
B. 15
C. 20
D. 25
Solución
La manera más sencilla es por ensayo y error
A. 5 buenas =25 y 35 malas = -105 de manera que 25-105=-80 diferente de 0
B. 15 buenas = 75 y 25 malas = -75 entonces 75-75=0
Por tanto B es la respuesta correcta.
la otra forma es planteando las ecuaciones
Hacerlas
El siguiente problema fue tomado de
http://misdeberes.es/tarea/85916
Se tiene una piscina cuya capacidad es de 32.480 litros está provista de dos llaves
la llave a vierte 201 litros en tres minutos y la llave b 540 litros en 5 minutos
además tiene un desagüe c por el que se escapan 240 litros en 8 minutos el
tiempo que tarda en llenarse la piscina estando totalmente desocupada y abiertas
las llaves y el desagüe es de
Solución
La llave A vierte a razón de 201/3 = 67 litros cada minuto
La llave B vierte a razón de 540/5 = 108 litros cada minuto
El desagüe C vacía a razón de 240/8 = 30 litros cada minuto
O sea que cada minuto se llena (67+108)-30 = 145 litros por minuto.
(Es decir, la cantidad de litros que entran menos la cantidad de litros que salen)
Para llenar los 32480 litros necesitará entonces:
32480 / 145 = 224 minutos que pasados a horas...
224 / 60 = 3 horas y 44 minutos.
La respuesta es la A.
Las dos preguntas siguientes fueron tomadas de EVALUACIÓN DE
CONOCIMIENTOS EBR SECUNDARIA “Proceso de Selección, Evaluación y
Contratación de Docentes en Instituciones Educativas Públicas de Educación
Básica y Técnico Productiva en el período lectivo 2013" 20 de enero de 2013.
Ministerio de Educación Nacional de Perú.
Ejemplo: El siguiente gráfico presenta el número de faltas que presentaron los
estudiantes de abril a julio. ¿Quién tuvo mayor número de faltas?
A. Camila
B. Guillermo
C. Rosa
D. Eduardo
Ejemplo: según CANATUR, el siguiente grafico muestra el número de turistas de
cada país europeo que visita el Perú, con relación a los que visitan Machupicchu:
Tomando en cuenta el grafico anterior, si en junio ingresaron 4.249 turistas
Japoneses a la ciudad de Machupicchu. ¿Cuál fue el total de turistas Japoneses
que visitaron el Perú?
A. 6.440
B. 6.070
Solución:
4249 → 70%
𝑥 → 100%
𝑥=
4249×100%
70%
=
42.490
7
= 6070
C. 2.975
D. 5.950
Recuerde que debe hacer todos estos cálculos a mano sin usar calculadora
Las siguientes 10 preguntas has sido tomadas junto con su respuestas del
módulo de Razonamiento cuantitativo prueba Saber Pro 2013-2. Del Icfes.
Responda las preguntas 1 a la 5 de acuerdo con la siguiente información
Responda las preguntas 6 a la 10 de acuerdo con la siguiente informacion
Ejemplo: un tren recorrió 240 km a una velocidad de 80km/h. ¿Cuánto tiempo
llevó realizar el viaje?
𝑆 = 240 km
𝑉 = 80km/h
𝑆 = 𝑉𝑡
𝑆
𝑡=𝑉
𝑡=
240
80
= 3 Es decir el viaje llevó 3 horas.
Ejemplo:
En el examen parcial la nota de Pepe fue 75, y en el examen final obtuvo 90. Si el
peso del examen final es 2 veces mayor que el peso del parcial, ¿Cuál será la
nota final que obtendrá Pepe en el curso?
Solución:
Las dos notas son 75 y 90. Pero cada una tiene un peso diferente.
La nota 75 tiene un peso de 1
La nota 90 tiene un peso de 2
En este caso se debe calcular un promedio ponderado, multiplicando cada nota
por su peso.
Formula de promedio ponderado
𝑛𝑜𝑡𝑎 =
75×1+90×2
3
=
75+180
3
=
255
3
= 85
nota final que obtendrá Pepe en el curso es 85
Ejercicios propuestos Unidad Dos.
Problemas Resueltos de Combinatoria tomados de: http://razonamientomatematico-problemas.blogspot.com/2012/11/problemas-resueltos-decombinatoria.html
Problema 01
Un provinciano desea viajar de Tacna a Cuzco y tiene a su disposición 4 líneas
aéreas y 6 líneas terrestres. De cuantas maneras diferentes podrá viajar
A) 24
B) 10
C) 8
D) 16
E) 6
Problema 02
De Cajamarca a Trujillo hay 8 buses diferentes. ¿De cuantas maneras se puede ir
de Cajamarca a Trujillo y regresar en un bus diferente?
A) 30
B) 48
C) 56
D) 64
E) 72
Problema 03
Fraco Luis tiene para vestirse 5 pantalones; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿De
cuantas maneras distintas se puede vestir?
A) 24
B) 120
C) 96
D) 48
E) 60
Problema 04
De cuántas maneras pueden colocarse en un estante 5 libros.
A) 24
B) 120
C) 96
D) 48
E) 60
Problema 05
De cuantas maneras se pueden sentar 5 niños en una fila; si uno de ellos estará
siempre al centro.
A) 36
B) 24
C) 120
D) 48
E) 56
Problema 06
Un árbitro ante el reclamo de 5 jugadores al cobrar un penal; muestra 3 tarjetas
amarillas y 2 rojas. ¿De cuántas maneras podría mostrar dicho castigo?
A) 8
B) 2
C) 10
D) 16
E) 18
Problema 07
Cuántos grupos diferentes de 3 delegados se pueden elegir entre 8 candidatos?
A) 48
B) 72
C) 96
D) 56
E) 64
En un aula hay 10 damas y 30 varones. Si la quinta parte de las damas y la
décima parte de los varones usan lentes, ¿cuál es la probabilidad de elegir una
persona que no usa lentes?
A.
𝟕
𝟖
B.
5
40
C.
2
35
D.
5
35
1. En un grupo de amigos cada uno pesaba 70 Kg. Decidieron hacer una dieta
diferente cada uno, para saber cuál era mejor. Pedro hizo la dieta del apio y 7
días después pesaba 69,88 Kg; Hugo hizo la de la cebolla y 5 días después
pesaba 69,91 Kg; Sandra hizo la del perejil y a los 11 días pesaba 69,86 Kg; y
Luisa hizo la del tomate y a los 9 días pesaba 69,87 Kg. Según ésto, la dieta
más efectiva fue
A. Apio
B. Cebolla
C. Tomate
D. Perejil
2. El profesor Aníbal pensando un ejercicio demora los 5/3 de un minuto;
redactando el enunciado 4 minutos y 15 segundos; buscando los distractores
1/12 de hora y pasándolo a limpio 3 y 3/4 de minuto. El tiempo que empleó en
elaborar 35 preguntas de una prueba de aptitud matemática es
A. 12 h y 15 minutos B. 30.000 segundos C. 6.250 minutos D. 16 h y 3 segundos
3. En un jardín hay 150 niños de 4, 5 y 6 años de edad; 90 de 4 y 5 años y 110 de
5 y 6 años. El número de niños de 5 años es
A. 30
B. 40
C.45
D. 50
4. Si la parte transcurrida del día de 24 horas es igual a los 3/5 de lo que falta por
terminarse dicho día; entonces en este momento son las:
A. 8 a.m. B. 9 a.m. C. 10 a.m. D. 11a.m.
5. Luisa después de gastar 1/3 de lo que tenía y 1/6 del resto; aún le quedan
$15.000. La cantidad que tenía inicialmente es de
A. $ 32.000 B. $ 45.000 C. $ 27.000 D. $ 54.000
6. Carolina ha perdido los 2/3 de los 4/5 de $ 45.000.La cantidad perdida es de
A. $ 6.000 B. $ 20.000 C. $ 24.000 D. $ 30.000
4
7. Una persona tiene un salario de $ 4.500.000, si gasta 5 en la cuota del crédito
del carro ¿Qué cantidad de dinero gasto en la cuota del crédito del vehículo?
¿A qué porcentaje equivale?
8. Un estudiante requiere resolver 270 problemas en 2 sesiones de trabajo; si en
la primera resolvió la novena parte del número de problemas y en la segunda
sesión las dos quintas partes del resto. ¿Cuántos problemas le quedan por
resolver?
Un estudiante de CECAR tiene las siguientes notas en el tercer corte
4.3
⎧1.5
⎪
3.3
Talleres
→ 5%
⎨3.5
⎪4.8
⎩4
Parcial = 3,5
Comp:
4.5
Quiz �3.5 → 10%
2.9
𝑐𝑢𝑖𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑙𝑜𝑛 4.5
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.8
�
𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜 4.0
𝑝𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 4.5
→
9. Una encuesta realizada entre 500 estudiantes sobre la distribución del tiempo en la semana,
cuando se termina el tiempo de estudio en la universidad es:
Se puede afirmar que
A. El porcentaje de los estudiantes que prefieren ver TV y lecturas, practicar un deporte y
compartir su tiempo con amigos y Familia es 50%
B. El número de estudiantes que se dedican a estudiar, investigar y hacer tareas es 60%
C. El número de estudiantes que le gusta compartir con sus amigos y familia es de 125
D. El porcentaje de estudiantes que dedica su tiempo a hacer algo es de 5%
b. En CECAR hay dos cortes el primero vale 40% el segundo 60% si un estudiante obtuvo en el
primer corte un 4 en el segundo un 2.3 ¿cuál es la nota definitiva de ese estudiante?
c. En un instituto hay 600 alumnos. Si dos quintas partes de ellos han participado en el concurso
de fotografía y un tercio en el de dibujo, ¿Cuántos alumnos no han participado en ninguno de
los dos concursos?
63. Gaste la mitad del dinero que tenía, luego perdí un medio del resto. Si me
quedan $ 25, inicialmente tenia:
a) $ 100
b) $ 200
c) $ 150
d) $ 80
64. Gaste 1/3 del dinero que tenía, luego perdí la mitad del resto y aún me
quedan $80. Por lo tanto, se puede concluir que tenía inicialmente:
A.
$ 80
b) $ 320
c) 240 d) $180
65. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera llave lo puede llenar en
6 horas y la segunda llave en 3 horas, estando vacío el estanque y cerrado el
desagüe. El estanque lleno puede vaciar con el desagüe en 10 horas. Si
estando vacío se abren al mismo tiempo las llaves y el desagüe, el estanque
se llenará en
A. 1:40 horas
B. 2:00 horas
C. 2:30 horas
D. 2:50 horas
66. Gasté la quinta parte del dinero que tenía y luego perdí la mitad. Si aún me
quedan $ 60, inicialmente tenia.
A.
$ 150
b) $ 240
c) $ 300 d) $ 200
67. Si tengo $ 64, gasto la mitad y pierdo la mitad de lo que gastado, aún me
quedan:
a)
$ 32 b) $ 18 c) $ 16 d) $ 12
68. La tercera parte de la tercera parte de 270 es:
90
b) 60
c) 30
d) 27
a)
69. Según la figura , lo que falta por sombrear equivale a :
a) 75% del rectángulo
30% del rectángulo.
b) 25,5% del rectángulo
c) 62,5% del rectángulo
d)
70. Una casa la pintan 6 señores en 8 días, ¿cuántos días se gastaran 4 señores
para pintar la misma casa, si mantienen ese ritmo?
a) 6 días b) 12 días
c) 8 días
d) 5 días y medio
71. Manuel le vendió a Alfredo un perro que le había costado $ 10.000,
perdiendo el 10% y luego Alfredo lo revende a Manuel ganándole el 10%. En
total, Manuel perdió.
a) $100
72. Los
3
5
b) $900
c) $1000
d) 1900
de la mitad de mi edad son 12 años. Entonces, tengo:
A. 20 años. b). 40 años. c) 60 años.
d) 80 años.
73. Una empresa con 15.000 empleados realiza durante un año un recorte del
10% de la nómina; después la incrementa en un 15%; al final del año la
empresa tiene:
a)
b)
c)
d)
13.500 empleados
3.725 empleados
15.525 empleados
15.750 empleados
74. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera llave lo puede llenar en
6 horas y la segunda llave en 3 horas, estando vacío el estanque y cerrado el
desagüe. El estanque lleno puede vaciar con el desagüe en 10 horas. Si
estando vacío se abren al mismo tiempo las llaves y el desagüe, el estanque
se llenará en
A. 1:40 horas
B. 2:00 horas
C. 2:30 horas
D. 2:50 horas
75. Por un televisor que cuesta $ 2, 500,000 se pagaron $ 1, 800,000. ¿Cuál fue
el porcentaje de descuento?
76. Un comerciante compró un artículo en $ 80 000 desea agregarle una utilidad
del 30% sobre el costo, ¿A qué precio debe vender el articulo?
77. En una granja el 35% de las aves son patos, el 40% pollos y el restante
gallinas. Si en la granja hay 6000 aves, el número de gallinas es
a) 2500 b) 3000 c)1000 d) 1500
78. En un instituto hay 600 alumnos. Si dos quintas partes de ellos han
participado en el concurso de fotografía y un tercio en el de dibujo, ¿Cuántos
alumnos no han participado en ninguno de los dos concursos?
3
79. Una persona tiene un salario de $ 4.500.000, si gasta 5 en la cuota del
crédito del carro ¿Qué cantidad de dinero gasto en la cuota del crédito del
vehículo? ¿A qué porcentaje equivale?
80. Un estudiante requiere resolver 90 problemas en 2 sesiones de trabajo; si en
la primera resolvió la novena parte del número de problemas y en la segunda
sesión las dos quintas partes del resto. ¿Cuántos problemas le quedan por
resolver?
8 1 . De lo s 8 8 0 a lu mno s d e u n co le g io , h a n id o d e via je 2 0 0 .
¿Q u é po rce nt a je de a lum no s ha id o d e via je ?
En el siguiente link encontraras una serie ejemplos de aptitud
numérica y al final las respuestas
http://es.scribd.com/doc/106200883/APTITUD-NUMERICA-1
http://profe-alexz.blogspot.com/2012/11/ejercicios-de-ecuaciones-conproblemas.html
GLOSARIO
Para el glosario el estudiante puede hacer uso interactivo
de un documento
completo del cual se da el sitio web.
Este diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita
incluye más de mil definiciones y más de trescientas ilustraciones para que el
lector pueda crear una idea más clara del concepto para entenderlo de una
manera más sencilla y amena. (SOTO, 2001)
SOTO EFRAIN DICCIONARIO ILUSTRADO DE CONCEPTOS MATEMATICOS.
http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/DICM.pdf
BIBLIOGRAFÍA
Carl B. Allendoefer.
Matemáticas Universitarias.
Editorial Mc. Graw Hill.
Cuarta edición 1990.
Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias
Sociales y de la Vida. Editorial Prentice may, octava edición, 2001.
WEBER, Jean E. Matemáticas para Administración y Economía.
Harla,1982
México:
CALTER, Paul, Fundamentos de matemática I. México, Editorial Mc Graw-Hill,
1984. Segunda Edición
BRITTON, Jack y BELLO, Ignacio. Matemáticas Contemporáneas. Editorial Harla
1984. Segunda Edición.
LONDOÑO, Nelson y BEDOYA, Hernando. Serie Matemática Progresiva. Editorial
Norma 1984. Segunda Edición
SOTO EFRAIN DICCIONARIO ILUSTRADO DE CONCEPTOS MATEMATICOS.
México 2011.
CARL B. ALLENDOEFER. Matemáticas Universitarias. Editorial Mc. Graw Hill.
Cuarta edición 1990.
HAEUSSLER ERNEST F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias
Sociales y de la Vida. Editorial Prentice. Octava edición, 2001.
El Número Racional Positivo En La Práctica Educativa: Estudio De Una Propuesta Editorial
José María Gairín Sallán y José María Muñoz Escolano
Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza.
http://www.seiem.es/publicaciones/archivospublicaciones/comunicacionesgrupos/c
d/grupos/grupopna/gairinmunoz.pdf
WEBGRAFIA
www.cidse.itcr.ac.cr.
http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Reales/FTPropiedades.pdf.
http://www.youtube.com/watch?v=x2EEmTWVhq8
http://www.youtube.com/watch?v=sgutYwXEOOk
http://www.youtube.com/watch?v=9ZxfdIAWPUk
http://www.youtube.com/watch?v=zNnIFUycImI
http://www.youtube.com/watch?v=KMKKZ8igOw8
http://www.youtube.com/watch?v=603qZRBbtUI
http://www.youtube.com/watch?v=FR_bF0C4Jq4
http://www.vitutor.com/di/p/a_5.html
http://www.vitutor.com/di/p/a_11.html
http://www.youtube.com/watch?v=8xPi9q549hs
http://www.youtube.com/watch?v=rfST6YtvjUs
http://www.youtube.com/watch?v=BdRAhV0JDjM
http://www.youtube.com/watch?v=T-s6jCs7PuY
http://www.youtube.com/watch?v=jlKv4Vugy8c
http://precalculo.carimobits.com/PrecalcII/Material%20del%20Curso/func%20expo
nencial%20Feb%2021%202012.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=MMQ--yo2gJY
http://www.youtube.com/watch?v=vczBsAh5voo
http://www.youtube.com/watch?v=8chvVkeoUzE
http://www.youtube.com/watch?v=9bWiXT5EjkM
http://www.youtube.com/watch?v=8gEyd4oekz0
http://www.youtube.com/watch?v=ieiRIATCOUI
http://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o
http://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY
http://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs
http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/DICM.pdf
http://www.slideshare.net/ingenriquez1/guia-de-orientacion-2009
http://www.wiziq.com/tutorial/361621-APTITUD-NUMERICA-2
http://4.bp.blogspot.com/L8TgdoAibyA/UiYDq8KTgmI/AAAAAAAAIK0/nQwu1Krk8EM/s1600/FRACCIONES
+PROBLEMAS+RESUELTOS+TIPO+ADMISION+A+LA+UNIVERSIDAD+(7).gif
importante sobre fracciones.
http://matematica.pe/tanto-por-ciento-problemas-resueltos-tipo-examen-deadmision-a-la-universidad-pdf/ sobre tanto por ciento.
http://matematica.pe/cuatro-operaciones-razonadas-problemas-resueltos-tipoexamen-de-admision-a-la-universidad-pdf/ sobre operaciones básicas.
http://matematica.pe/problemas-sobre-edades-ejercicios-resueltos-tipo-examende-admision-a-la-universidad-pdf/ sobre esdades
http://dme.ufro.cl/pedmat/images/stories/cursos/taller-fracc-tco.pdf taller sobre
fracciones
http://www.youtube.com/watch?v=Hl7mx-XtPl8 representacion grafica de
fracciones
http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_con_decimales.pdf
sobre operaciones con decimales
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena5/1qu
incena5.pdf sobre fracciones sirve pal modulo.
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