Axiomas de pertenencia, paralelismo, orden y partición

UNIDAD 1.-
CONCEPTOS REQUERIDOS
CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN.
1 – NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS.
SÍMBOLOS.
1.1 – Determinaciones de un conjunto.
Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombran todos sus elementos.
H = {0, 1, 2, 3}
Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se indican las propiedades que
caracterizan a sus elementos.
K = {x / x ∈ N ∧ x < 3 }
Notación: ∧ igual por notación a “y” (conjunción)
∧ =n y
1.2 – Igualdad
A = B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Considerando el ejemplo anterior H = K
Notación: ∀ =n para todo
1.3 – Inclusión
Inclusión amplia: A ⊆ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B)
También se dice que A está incluido en forma amplia en B, que A está contenido en forma amplia
en B o que A es un subconjunto de B.
Inclusión estricta: A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∃ y / y ∈ B ∧ x ∈ A)
También diremos que A está incluido estrictamente en B, que A está contenido estrictamente en B
o que A es un subconjunto estricto de B.
Observación: A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
1.4 – Operaciones con conjuntos
Unión
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
Intersección A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
Diferencia
A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
2 - CONCEPTOS PRIMITIVOS.
Consideramos que el conjunto universal de la Geometría Métrica es un conjunto llamado
ESPACIO (E
E) cuyos elementos se denominan PUNTOS, que escribiremos con letras mayúsculas de
nuestro alfabeto (A, B, C, ..... P, .....)
En E, encontramos subconjuntos llamados PLANOS que designaremos con letras del
alfabeto griego (α, β, γ, δ, ϕ, π,..... ω, ....), y en cada plano subconjuntos llamados RECTAS que se
nombrarán con letras minúsculas de nuestro alfabeto (a, b, c, ..... r .....).
Los conceptos primitivos de la Geometría Métrica son: ESPACIO, PUNTO, PLANO y
RECTA.
3 – RELACIONES DE PERTENENCIA.
3.1 – AXIOMAS DE PERTENENCIA.
AXIOMA 1
Existe un conjunto infinito ( E ) llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos.
AXIOMA 2
En E existen subconjuntos estrictos, llamados planos, cada uno de los cuales tiene infinitos
puntos.
AXIOMA 3
En cada plano existen subconjuntos estrictos, llamados rectas, cada uno de los cuales tiene
infinitos puntos.
AXIOMA 4 – DETERMINACIÓN DE UNA RECTA.
Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen.
AXIOMA 5 – PRIMERA DETERMINACIÓN DE UN PLANO.
Dados tres puntos distintos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen.
AXIOMA 6
Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, la recta está contenida en él.
DEFINICIONES.
Familia de rectas, es el conjunto de todas las rectas del espacio, R.
Familia de rectas de π, es el conjunto de todas las rectas contenidas en el plano π, Rπ.
Rectas coplanares: Dos rectas contenidas en un plano, se llaman coplanares.
3.2 – SEGUNDA DETERMINACIÓN DEL PLANO
Una recta y un punto que no pertenece a ella, determinan un plano que los contiene.
(H)
(T)
P∉r
∃α / P ∈ α
α es único
∧
r ⊂ α.
Por el axioma 3, en ( r ) existen infinitos puntos, consideremos
dos: A y B.
P ∉ r y A, B ∈ r entonces A, B y P no están alineados, por el axioma 5 determinan un plano α tal
que A, B, P ∈ α.
A, B ∈ r
⇒
r⊂ α
(Por el axioma 6)
A, B ∈ α
Hemos probado que existe un plano α tal que P ∈ α y r ⊂ α, para demostrar que es único,
razonemos por el método de reducción al absurdo suponiendo que además de α en esas
condiciones, existe β ≠ α tal que P ∈ β y r ⊂ β
r ⊂ β y A, B ∈ r ⇒ A, B ∈ β
por lo que
A, B, P ∈ β (1)
además
A, B, P ∈ α (2)
Dado que β ≠ α (1) y (2) contradicen el axioma 5. Llegamos a una contradicción por suponer que
α no es único por lo que el teorema queda demostrado.
3.3 – TERCERA DETERMINACIÓN DEL PLANO
Dos rectas distintas que tienen un punto común, determinan un plano que los contiene.
(H)
(T)
r∩s={O}
∃α / r ⊂ α ∧ s ⊂ α
α es único
Demostrar este teorema utilizando un procedimiento similar al de la justificación del item 3.2.
3.4 – POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
TEOREMA
Existen en E rectas no coplanares.
xQ
x
P
r
α
Dado el plano α de la figura, sea r una recta
contenida en él, P un punto perteneciente a α
pero no perteneciente a r y Q un punto no
perteneciente a α.
Demostrar que las rectas PQ y r son disjuntas
y no coplanares.
TEOREMA
Dadas dos rectas, contenidas en un plano π,
posibilidades:
1) son la misma recta.
2) su intersección es un conjunto unitario.
3) son rectas disjuntas.
r, s ∈ Rπ
se cumple una y sólo una de las siguientes
∃P/P∈r ∧ P∈s
∃Q/Q≠P ∧ Q∈r∧ Q∈s ⇒ r=s
∃ Q / Q ≠ P ∧ Q∈ r ∧ Q ∈ s ⇒
r∩s={P}
∃P/P∈r ∧ P∈s ⇒
r∩s=φ
DEFINICIONES.
RECTAS COINCIDENTES: Dos rectas son COINCIDENTES cuando todos sus puntos son
comunes.
RECTAS SECANTES: Dos rectas son SECANTES cuando tienen un sólo punto común.
RECTAS QUE SE CRUZAN (ALABEADAS): Dos rectas se cruzan cuando no son coplanares.
RECTAS PARALELAS: Dos rectas son PARALELAS si y sólo si, son coplanares y no son
secantes.
∃α / r ⊂ α ∧ s ⊂ α ∧ r ∩ s = φ
Paralelas disjuntas
r // s ⇔
r=s
Paralelas coincidentes
1)
2)
3)
4)
5)
OBSERVACIONES:
Dos rectas secantes, son coplanares.
Dos rectas que se cruzan, son disjuntas.
Si dos rectas coplanares no son secantes, son paralelas.
Si dos rectas son distintas, a lo sumo tienen un punto común.
Si dos rectas distintas tienen un punto común, son secantes.
TEOREMAS:
Para todo punto existen en un plano infinitas rectas a las que pertenece dicho punto.
Para toda recta existen infinitos planos que pasan por dicha recta.
CONSECUENCIA
En el espacio existen infinitos planos y en cada plano, infinitas rectas.
TEOREMA
Si dos planos distintos tienen dos puntos comunes, su intersección es la recta que esos puntos
determinan.
4 – PARALELISMO.
AXIOMA 7 - AXIOMA DE EUCLIDES. (Visitar la página: http://www.arrakis.es/~mcj/euclides.htm )
Para cada recta r y para cada punto P, existe y es única la paralela a la recta r por el punto P.
TEOREMA - Relación paralelismo definida en Rπ.
La relación Paralelismo es una relación de equivalencia en Rπ.
1) Propiedad REFLEXIVA o IDÉNTICA:
∀ r ∈ Rπ ⇒ r // r
2) Propiedad SIMÉTRICA o RECÍPROCA:
∀ r, s ∈ Rπ r // s ⇒ s // r
r // s ⇒
r=s
⇒ s=r
⇒ s // r
r∩s=φ
⇒ s∩r=φ
⇒ s // r
3) Propiedad TRANSITIVA:
∀ r, s, t ∈ Rπ r // s y s // t ⇒ r // t
∀ r, t ∈ Rπ
∃Q∈ r∩t
⇒
∃Q∈ r∩t
por (H) r // s
s // t
⇒
r∩t=φ
⇒ r // t
⇒
r=t
⇒ r // t
Ax. 7
(Por Q existe una sola paralela a la recta s)
DIRECCIONES DEL PLANO π
Como el paralelismo es una relación de equivalencia en Rπ (familia de rectas del plano π ),
determina en este conjunto una partición.
DEFINICIÓN: Llamamos DIRECCIONES DEL PLANO π, a las clases de equivalencia que la
relación PARALELISMO determina en Rπ.
NOTACIÓN: La clase de equivalencia a la que pertenece una recta r se llama
DIRECCIÓN de r y la notaremos δr. Para representar una dirección consideramos una recta
cualquiera perteneciente a la clase.
Así que: Si a // b y c // a podemos anotar: b ∈ δa , c ∈ δa , b ∈ δc .
OBSERVACIONES:
1) Si dos rectas son paralelas decimos que tienen la misma dirección.
2) Por el axioma de Euclides diremos que por un punto existe y es única la recta de una dirección
dada.
DEFINICIONES:
HAZ DE RECTAS DE CENTRO P es el conjunto de todas las rectas de un plano a las que
pertenece P.
HAZ DE RECTAS PARALELAS es el conjunto de todas las rectas de un plano que
pertenecen a la misma DIRECCIÓN.
5 – ORDEN EN LAS RECTAS.
AXIOMA 8
1 – En toda recta está definida una relación
de ORDEN TOTAL AMPLIO.
2 – Una recta no tiene primer ni último punto.
3 – Para todo par de puntos de una recta, existe otro punto de ella entre ambos
NOTACIÓN:
A
B
DEFINICIÓN:
AB ⇔ A
se lee “A precede o coincide con B”
B ∧ A ≠ B
A B se lee “A precede estrictamente a B”
El axioma 8, establece que:
1−∀r∈R
:r → r
cumple las propiedades:
a) idéntica
∀A∈r ⇒ A A
b) antisimétrica
A
B ∧ B
A ⇒ Α=Β
c) transitiva
A
B ∧ B
C ⇒ A
C
d) de orden total
∀ A, B ∈ r ⇒ A
B ∨ B
A
2– ∀A∈r ∃P∈r / P A
∀A∈r ∃Q∈r / A Q
3 – ∀ A, B ∈ r A B ⇒ ∃ P ∈ r / A P ∧ P B
(P “está entre” A y B)
∀ A, B ∈ r B A ⇒ ∃ P ∈ r / B P ∧ P A
(P “está entre” A y B)
RECTA ORIENTADA es toda recta provista de un orden.
Indicamos que está orientada nombrando dos de sus puntos
X
en el orden considerado. X Y
r
Y
Si leemos: “recta orientada XY”, se entiende que X Y.
En virtud de este axioma, dados dos puntos X e Y, uno de ellos precede al otro en la recta orientada
a la cual pertenecen.
DEFINICIONES:
A
B ⇔ B
A
A B ⇔ B A
A
B
A B
se lee “A sigue a o coincide con B”
se lee “A sigue estrictamente a B”
OBSERVACIONES:
1) La relación
también es un orden total amplio en toda recta r.
2) El axioma de orden en la recta afirma que en toda recta hay dos órdenes o sentidos, uno opuesto
del otro y ninguno de ellos está en situación privilegiada respecto del otro.
DEFINICIÓN:
SEMIRRECTA:
Dados A y B tales que A B,
SEMIRRECTAS OPUESTAS.
SEMIRRECTA ABIERTA.
AB = { X / X ∈ r ∧ X
PUNTOS INTERIORES.
DEFINICIONES:
a) SEGMENTO AB.
Extremos, puntos interiores.
b) SEGMENTO NULO.
Segmento abierto y semiabierto por la izquierda o por la derecha.
DEFINICIONES:
FIGURA es todo subconjunto del espacio.
A}
RECTA SOPORTE o SOSTÉN.
FIGURA CONVEXA es toda figura para la cual todo par de puntos pertenecientes a ella
determinan un segmento incluido en ella.
TEOREMA:
La intersección de dos figura convexas, es una figura convexa.
( H ) F y G son dos figuras convexas
⇒
( T ) F ∩ G es una figura convexa
Consideremos dos puntos A y B cualesquiera, pertenecientes a F ∩ G
A∈F
A∈F∩G ⇒
además
B∈F∩G ⇒
A∈G
B∈F
B∈G
A ∈ F , B ∈ F y F es convexa ⇒ el segmento AB está contenido en forma amplia en F
A ∈ G , B ∈ G y G es convexa ⇒ el segmento AB está contenido en forma amplia en G
⇒
el segmento AB está contenido en forma amplia en F ∩ G.
Hemos probado que si A y B son dos puntos cualesquiera, pertenecientes a F ∩ G , entonces el
segmento AB está contenido en forma amplia en F ∩ G , por lo cual se cumple la tesis.
6 – PARTICIÓN DEL PLANO.
7 – PARTICIÓN DEL ESPACIO.
AXIOMA 9:
Para toda recta r ∈ Rπ , existen en el plano
π dos únicos conjuntos ϕ y ϕ’ que cumplen:
a) { r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano π.
b) ϕ y ϕ’ son convexos.
c) para todo punto de ϕ y para todo punto de
ϕ’, existe en el segmento que determinan un
único punto que también pertenece a la recta
r.
AXIOMA 10:
Para todo plano π , existen en el espacio
E dos únicos conjuntos γ y γ’ que cumplen:
a) {π , γ , γ’} es una partición del espacio E.
b) γ y γ’ son convexos.
c) para todo punto de γ y para todo punto de
γ’, existe en el segmento que determinan un
único punto que también pertenece al plano
π.
OBSERVACIONES:
1) Se dice que r SEPARA a un par de
puntos cuando uno de ellos pertenece a ϕ y
el otro a ϕ’.
OBSERVACIONES:
1) Se dice que π SEPARA a un par de
puntos cuando uno de ellos pertenece a γ y el
otro a γ’.
2) Si r separa a un par de puntos A y B
por el axioma 9 – c, existe en el segmento
AB un punto I que también pertenece a r,
por lo que:
A∈ϕ ∧ Β∈ϕ’
I ∈r
⇒
r ∩ ϕ = φ ∧ r ∩ ϕ’ = φ
Ι ≠ A ∧ Ι ≠ B ⇒ I es interior al
segmento AB.
2) Si π separa a un par de puntos A y B
por el axioma 10 – c, existe en el segmento
AB un punto I que también pertenece a π,
por lo que:
DEFINICIONES:
SEMIPLANO ABIERTO DE BORDE r.
Cada uno de los subconjuntos ϕ y ϕ’
mencionados en el axioma 9 se llaman
semiplanos abiertos de borde r.
DEFINICIONES:
SEMIESPACIO ABIERTO DE BORDE π.
Cada uno de los subconjuntos γ y γ’
mencionados en el axioma 10 se llaman
semiespacios abiertos de borde π.
SEMIPLANO DE BORDE r
(SEMIPLANO CERRADO). Los conjuntos
ϕ ∪ r y ϕ’ ∪ r se llaman semiplanos de
borde r.
NOTACIÓN: { r, ϕ, ϕ’} es una
partición del plano, P ∈ ϕ ⇒ r ∪ ϕ = r, P
se lee “semiplano de borde r al que
pertenece P”.
SEMIESPACIO DE BORDE π
(SEMIESPACIO CERRADO).Los conjuntos
γ ∪ π y γ’ ∪ π se llaman semiespacios de
borde π.
NOTACIÓN: {π, γ , γ’} es una
partición del espacio, P ∈ γ ⇒ π ∪ γ = π, P
se lee “semiespacio de borde π al que
pertenece P”.
Los puntos pertenecientes a ϕ se llaman
puntos interiores al semiplano r, P.
Los puntos pertenecientes a γ se llaman
puntos interiores al semiespacio π ,P.
Toda recta incluida en un plano π determina
dos semiplanos. Se dice que cada uno es el
semiplano opuesto al otro.
TEOREMAS.
Consecuencias del Axioma de partición del
plano:
1) El segmento determinado por dos puntos
de un mismo semiplano abierto, es disjunto
con el borde del mismo.
2) Dada una recta r, si un segmento del
plano es disjunto con ella, entonces sus
extremos pertenecen a un mismo semiplano
abierto con borde en r.
3) Dado un segmento, si uno y sólo uno de
sus puntos interiores pertenece a una recta r,
entonces sus extremos pertenecen a distintos
semiplanos abiertos con borde r.
Todo plano determina dos semiespacios. Se
dice que cada uno es el semiespacio opuesto
al otro.
TEOREMAS.
Consecuencias del Axioma de partición del
espacio:
1)
2)
3)
En el APÉNDICE II del ANEXO
BIBLIOGRÁFICO podrá estudiar las
demostraciones de los siguientes teoremas
TEOREMA:
Si { r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano,
P ∈ ϕ y S = { X / X ∈ r ∨ XP ∩ r = φ},
entonces S = r, P
OTRA DEFINICIÓN DE SEMIPLANO:
r,P = { X / X ∈ r ∨ XP ∩ r = φ}
TEOREMA:
La caracterización de un semiplano es
independiente del punto interior utilizado.
TEOREMA:
OTRA DEFINICIÓN DE SEMIESPACIO:
TEOREMA:
( H ) { r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano,
A ≠ B, A,B ∈ ϕ
( T ) r, A = r, B
TEOREMA:
Todo semiplano cerrado es una figura
convexa.
( H ) { r, ϕ, ϕ’} es una partición del plano
( T ) r ∪ ϕ es una figura convexa.
TEOREMA:
TEOREMA DE PASCH:
Dados en un plano una recta y tres puntos
que no le pertenecen, si la recta es secante
con uno de los tres segmentos que los puntos
determinan, entonces también es secante con
otro pero no lo es con el tercero.
TEOREMA DE PASCH:
Dado un plano y tres puntos que no le
pertenecen, si el plano es secante con uno de
los tres segmentos que los puntos
determinan, entonces también es secante con
otro pero no lo es con el tercero.
COROLARIO:
Si en un plano una recta es disjunta con dos
de los segmentos que tres puntos
determinan, también es disjunta con el
tercero.
COROLARIO:
Si un plano es disjunto con dos de los
segmentos que tres puntos determinan,
también es disjunto con el tercero.
8 – ÁNGULOS.
9 – ÁNGULOS DIEDROS.
DEFINICIONES:
Ángulo convexo AOB: Si A, O y B son
tres puntos no alineados, se llama ángulo
convexo AOB a la intersección de los
semiplanos OA,B y OB,A.
Las semirrectas OA y OB se llaman lados y
el punto O, vértice.
DEFINICIONES:
Ángulo diedro convexo αaβ
β : Si aα y aβ
son dos semiplanos no opuestos ni
coincidentes,
se llama ángulo diedro
convexo αaβ a la intersección de los
semiespacios aα que contiene a aβ y aβ que
contiene a aα.
Los semiplanos aα y aβ se llaman caras y la
recta a, arista.
Punto interior a un ángulo convexo: Es
todo punto del ángulo convexo, no
perteneciente a sus lados.
Punto interior a un ángulo diedro convexo: Es todo punto del ángulo diedro
convexo, no perteneciente a sus caras.
Rayo interior a un ángulo convexo: Es
toda semirrecta con origen en el vértice y a
la cual pertenece un punto interior.
Angulo cóncavo AOB: Es el conjunto de
los puntos del plano AOB, no interiores al
ángulo convexo AOB.
Angulo diedro cóncavo αaβ
β : Es el conjunto de los puntos, no interiores al ángulo
diedro convexo αaβ.
Angulo llano: Es cada uno de los
semiplanos determinados por una semirrecta
y su opuesta. Estas semirrectas son sus
lados.
Angulo diedro llano: Es cada uno de los
semiespacios determinados por un semiplano
y su opuesto. Estos semiplanos son sus caras.
Angulo nulo: Es una semirrecta, que es
considerada como lados coincidentes del
ángulo.
Angulos consecutivos:
Son los ángulos que tienen un lado común.
Angulos adyacentes:
Son los ángulos que tienen un lado común y
los otros, son semirrectas opuestas.
Angulos opuestos por el vértice:
Son dos ángulos tales que los lados de uno
son las semirrectas opuestas de los lados del
otro.
TEOREMA DEL RAYO INTERIOR
Todo rayo interior a un ángulo convexo,
interseca en un punto a cualquier segmento
cuyos extremos pertenezcan a lados distintos
del ángulo.
Ver la demostración en el APÉNDICE II del
ANEXO BIBLIOGRÁFICO.
Pase a la próxima página.
Angulo diedro nulo: Es un semiplano,
considerado como caras coincidentes del
ángulo diedro.
Angulos diedros consecutivos:
Son los ángulos diedros que tienen una cara
común.
Angulos diedros adyacentes:
Son los ángulos diedros que tienen una cara
común y las otras, son semiplanos opuestos.
Angulos diedros opuestos por el vértice:
Son dos ángulos diedros tales que las caras
de uno son los semiplanos opuestos de las
caras del otro.
Copie las siguientes tablas en una página de word. Complete los lugares indicados con
guiones y las celdas en blanco. Envíe el trabajo terminado a su Tutor, como un
documento adjunto.
10 – TRIÁNGULOS.
11 – ÁNGULOS TRIEDROS.
Si A, B y C son tres puntos no alineados, se
llama triángulo ABC a la _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ de los semiplanos _ _ _ _ _ _ _
___________.
Si Oa, Ob y Oc son tres semirrectas no
coplanares, se llama triedro abc a la
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ de los semiespacios _
_________________.
A, B y C son los _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del
triángulo. Los segmentos AB, BC y CA son
los _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
O se llama _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del triedro.
Las semirrectas Oa, Ob y Oc son las _ _ _ _ _
_ _ _ _ y los ángulos aOb, bOc y cOa son
las _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
Puntos interiores, son los puntos del triángulo,
______________________.
Puntos interiores, son los puntos del triedro, _
_____________________.
Puntos exteriores, son los puntos del plano, no
_____________________.
Puntos exteriores, son los puntos del plano, no
Contorno del triángulo, es el conjunto de los
puntos perteneciente a _ _ _ _ _ _ _ _ _.
_____________________.
ABC, BCA y CAB son los ángulos internos del
triángulo.
Los diedros de caras a(b) y a(c); b(a) y b(c);
c(a) y c(b) son los diedros internos del triedro.
Los adyacentes a los internos se llaman ángulos
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del triángulo.
Los adyacentes a los internos se llaman
diedros _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del triedro.
12 – POLÍGONOS CONVEXOS.
13 – ÁNGULOS POLIEDROS
CONVEXOS.
Dados n puntos A1, A2, A3, . . . . . An
ordenados del plano tales que tres consecutivos no estén alineados y las rectas
determinadas por dos consecutivos dejen a los
restantes en un mismo semiplano, se llama
polígono convexo A1A2A3 . . . An a la _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ de estos semiplanos.
Dadas n semirrectas Oa1, Oa2, Oa3, . . . . . Oan
ordenadas tales que tres consecutivas no sean
coplanares y los planos deter-minados por dos
consecutivas dejen a las restantes en un mismo
semiespacio,
se llama ángulo políedro
convexo a1a2 . . . an a la _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ de estos semiespacios.
Los puntos A1, A2, A3, . . . . . An son los _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ del polígono. Los segmentos
determinados por vértices consecutivos se
llaman _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
Las semirrectas Oa1, Oa2, Oa3, . . . . . Oan son
las _ _ _ _ _ _ _ _ _ del ángulo poliedro
convexo.
Los ángulos convexos
determinados por aristas consecutivas se
llaman _ _ _ _ _ _ _ .
Los segmentos determinados por dos vértices
no consecutivos se llaman diagonales.
Problema: Obtener una fómula que permita
calcular el número de diagonales de un
polígono convexo de n vértices.
Puntos interiores, son los puntos _ _ _ _ _ _ _
_______________________
Puntos exteriores, son los puntos del plano, no
_____________________.
Contorno del polígono convexo, es el conjunto
de los puntos perteneciente a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _.
AnA1A2, A1A2A3, A2A3A4, . . . son los ángulos
internos del polígono convexo.
Los adyacentes a los internos se llaman ángulos
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ del polígono convexo.
Se llaman polígonos regulares a los polígonos
convexos que tienen _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
______________ .
14 – SUPERFICIE POLIÉDRICA.
POLIEDRO CONVEXO.
Se llama superficie poliédrica a la unión de
un número finito de polígonos, llamados
caras de la superficie, que cumplen las
siguientes condiciones:
1 – Cada lado de una cara pertenece
también a otra y sólo a otra. Ambas caras se
llaman contiguas.
2 – Dos caras contiguas están contenidas
en planos distintos.
La superficie poliédrica se llama convexa si
cada cara deja a las restantes en un mismo
semiespacio.
Poliedro convexo es la intersección de todos
estos semiespacios.
Los vértices y lados de las caras se llaman
vértices y aristas del poliedro.
Se llaman poliedros regulares a los
poliedros convexos cuyas caras son
polígonos regulares iguales y en cuyos
vértices concurren el mismo número de ellas.
Teorema de Euler
En todo poliedro convexo la suma del
número c de caras más el número v de
vértices excede en 2 al número a de aristas.
c+v=a+2 .