PDF (Capítulo X: Ap0licación de programación lineal -P

= "»rT""7'^^;^^cT"' •• V ^ , ' • - ' ^ y j •<
'^ - "^H,. fie, -Li,jp|^w
f
_L
85-
X.
10.1
APLICACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL-P.L-: A PROBLEMAS
DE APROVECHAMIENTO DE BOSQUES TROPICALES.
Posibles aplicaciones de programación lineal en aprovechamiento de bosques tropicales.
Hasta aquí los problemas de optimización en aprovechamiento forestal los hemos resuelto por cálculo diferencial; pero en
el aprovechamiento de los bosques tropicales se presentan algunos
problemas de optimización que merecen atención especial. Estos
problemas los podemos considerar como problemas de programación.
En general las técnicas clásicas de optimización suministradas
pol" el cálculo diferencial no contribuyen mucho para resolver
estos problemas de programación, en consecuencia el autor cree
que algunas técnicas de programación lineal son las herramientas
indicadas para la solución de estos problemas especiales, en el
aprovechamiento de bosques tropicales,
10.2
Solución de problemas de aprovechamiento de bosques tropicales por P,L,
Antes de entrar al estudio del problema es esencial definir claramente el concepto de programación lineal :
a) Programación lineal es una técnica matemática cuyo proposito
es'determinar la combinación óptima de varias alternativas de •
producción sometidas a algunas restricciones,
b) Desde un punto de vista estrictamente matemático, programación lineal puede ser definida como la optimización de fun-
' ^ ^ - •^*^""
• 'jT-"" ' . - f\,
H ' • .- -- •- .j"j^r:' .1 I . ~-.¡1. J V •. ^ ••'—
: ._•,'^P^^^iM^^Wffi-r
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"1
-86-
ciones lineales sujetas a un conjunto de restricciones expresadas por desigualdades lineales.
Con el objeto de aplicar la técnica de programación lineal a
problemas de aprovechamiento forestal analicemos el siguiente
ejemplo :
Condiciones: En un bosque tropical se van a aprovechar dos especies A y B, para ser llevadas a un aserradero; se emplean 2 motosierras, 1 tractor forestal de oruga y un camión. El tiempo requerido en horas máquina por metro cúbico para cada operación y para
cada especie está dado en la siguiente tabla :
^->„^peración
Especie ^'"'"^v,^.^^^
Apeo
(2 motosierras)
Arrastre
(1 tractor for)
Transporte
( 1 camión )
A
.30
.30
.17
B
.40
.15
.17
El tiempo efectivo de trabajo por día para las máquinas es
Apeo
Arrastre
Transporte
9 horas
6 horas
6 horas
La ganacia neta por la venta de las trozas en el aserradero es de
10$/m^ para la especie A y 12$/m3 para la especie B.
r!"iR-
ü|jj..> . ' . m . f p "
_n
^^^mm^mi^Bife
-87-
Problema :
Determinar los metros cúbicos X.^ y X2 de las especies A y B respectivamente que maximicen la ganancia diaria.
Solución: La función objetiva (ecuación de ganacia) a maximizar
es la siguiente :
Z = 10x1 + 12X2
Sujeta a las siguientes restricciones :
. 30X1 -i ,40X2 , 30X1 •^,15X2 •$•
, 17Xi •••,17X2 ^
^1 ^
X2 .^^
9,
6,
6,
O,
O,
apeo
arrastre
transporte
imposible producción negativa
imposible producción negativa
Este problema se puede representar gráficamente ya que solo
tiene dos variables X-| y X2, es decir se trata de un caso
bidimensional, Primero se determina gráficamente la región de
restricción (región de soluciones factibles) de las cinco desigualdades, lo cual se obtiene trazando las rectas correspondientes a estas restricciones conforme se ve en la fig, 34,
Transporte
Arrastre
Z3 = 500
Región de
soluciones 1 10
factibles T
2l= 100.^^^
5
10
15
20 25
30
Fig, 34, Diagrama de función objetiva.
j-i
55 60'
'^'^"L^?^..=^'''"iJí^-CTr' =
' - ' T ••' ' -'••- •' • ' - V
-" •"*".: g'Har'' ••
" —.
•
- ^ ^ ^
88-
El conjunto de puntos que satisface las cinco restricciones, es
el conjunto de puntos en la región rayada de la fig, 34, Cualquier punto de esta región es una solución factible y solamente
los puntos en esta región son soluciones factibles.
Para la solución del problema debemos encontrar el punto (o puntos) en la región de soluciones factibles que de el valor máximo
de. la función objetiva (ecuación de ganancia) . Ahora para cualquier valor fijo d e Z , la función Z = 10Xi + 12X2 es una línea
recta y en cualquier punto sobre esta línea, Z tendrá el mismo valor. Para cada valor diferente de Z se obtiene una línea diferente. Todas las líneas correspondientes a diferentes valores Z
son paralelas, debido a que la pendiente de cualquier línea
Z = C-jX-i + C2X2 es _ Cj_ y es independiente de Z; en nuestro caso
C2
C-i = 10 y C2 = 12.
La solución del problema consiste en encontrar la línea que de el
máximo valor de Z (ganancia) y que tenga por lo menos un punto
en común con la región de soluciones factibles. Las líneas ppfalelas en la fig. 34 representan la función objetiva para tres valores diferentes de Z. De estos tres valores de Z vemos que Z2
es el máximo valor de Z que tiene un punto en comfún con la región
de soluciones fac-tibles. En consecuencia los valores de las variables X"! y X2 que maximizan la ganancia se obtienen en la intersección de la recta de apeo con la recta de arrastre.
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones de apeo y arrastre se
determinan los valores de Xi y X2 que dan la solución óptima :
. 30X1 + .40X2
=
9 ; Xi = 14 í
•'•'^^p^ji.^ , m . . jLu«u!«
89-
. 30Xi + . 15X2 " 6 ; X2 = 12
y la máxima ganancia diaria será :
Z = 10 X 14 -^ 12x12
284$/ día
En éste problema podemos ver que las operaciones de apeo y arrastre son las que limitan las ganancias.
Después de analizar este problema de dos variables podemos generalizar un poco más los problemas de programación lineal. Es posible resolver problemas con tres variables, es decir casos tridimensionales aunque la representación geométrica es más complicada. Cuando los problemas presentan más de tres variables ya no
es posible aplicarles solución geométrica, siendo por lo tanto
necesario emplear un proceso algebraico del método "Simplex" que
se acerca progresivamente a la optimización a través de un proceso iterativo bien definido, hasta que finalmente se llega a la
solución óptima (9).
Generalizando el problema resuelto tenemos que en vez de dos especies sean n especies y m operaciones. La ganancia de la especie
i es Pi y el programa de producción es el siguiente :
Operación
a
ejecutar "
1
2
.
•
•
.. m
Especies
.
1
Horas
^11
a21
•
•
a-jTii
2
1
n
requeridas para c/especie
^12
"n
•
.••••
^22
a2n
Horas disponible
para cada operación.
b2
«
•
•
, . . am2
amn
bn,
'^iñ
^ l ^ A.^! ^'. '"iy .- • 'T-,"y^ ' ^ f ^
y-•.;._._ _ .>•
mmp
-90-
La función lineal a maximizar (ecuación de ganancia) está dada
por :
.
Z = Pl Xi + P2 X2 +
Pn Xn
Sujeta a las siguientes restricciones :
i^
O donde i
=
1,2
n
aiiXi * ai2X2 +
* ^^n\^
^1
a2iXi -f a22X2 +
+ ^2^^ ^
b2
amiXi
+ amnXn ^
b^
+ am2X2 +
No es el objetivo de este trabajo detallar el procedimiento
algebraico del método"simplex, ya que este método está tratado
con la suficiente' profundidad en textos de programación linear
ó investigación de operaciones. El aspecto interesante es proporcionar al Ingeniero una orientación para la posible aplicación
de esta técnica con el fín de optimizar el aprovechamiento de
los recursos forestales en el trópico.
Cuando un problema incluye muchas variables y restricciones, el ,
cálculo manual es muy largo y tedioso, teniéndose en consecuencia que apelar a un computador electrónico para la ejecución de
estos cálculos. La IBM ha elaborado un programa "standar" (programa orientado) para resolver problemas de este tipo. La manera
de usar este programa en un computador IBM-1130 (disponible en
la U.N.) está claramente explicado eri el manual correspondiente
a la referencia ( 5 ) de la bibliografía.
•^•L.
IU II
I^^f^VP
-91-
10.3
El problema del transporte en aprovechamiento de bosques
tropicales.
Un problema de transporte típico de aprovechamiento forestal para ser resuelto por P.L. puede ser descrito como sigue : Dadas ciertas cantidades de madera disponible en cada
lino de cierto número de orígenes (áreas boscosas) , se desea
transportar cantidades específicas de cada origen a cierto número de destinos (fábricas). El costo de transporte por una unidad de cualquier origen a cualquier destino es conocido. Asumiendo que es posible transportar madera de cualquier área boscosa a cualquier fábrica nos interesa determinar el costo mínimo de transporte desde las áreas boscosas hasta las fábricas.
Supongamos que hay m orígenes y n destinos. Se toma Xi-j como el
número de unidades enviadas del origen i al destino j. Usándose
un subíndice doble se simplifica la anotación. Para un i dado
(área boscosa) hay n posibles valores de j (fábricas). Por lo
tanto tenemos un total de m.n diferentes Xjj . Puesto que cantidades negativas no pueden ser enviadas se tiene que Xj^j^ O
para todos los valores de i, j (9).
Tenemos a."como el número de unidades de madera disponible en
el origen i, y b.: como el número de unidades requeridas en el ..
destino j. No se puede transportar más madera de cualquier orígen que la disponible en ese origen. Por tanto sumando todos
los destinos tenemos :
^ X i l = Xii + Xi2 +
j=1
+ Xin ^ ai, i = 1... m(1-10)
-92-
Hay m restricciones, una para cada origen. Debemos suministrar a cada destino el número de unidades requeridas; por lo
tanto :
m
2^
Xij=Xij-fX2j
i=1
+
+Xnjj= b j , j = 1 . . . n . . .
(1-11)
La cantidad total recibida en cualquier destino es la suma total de las cantidades despachadas de cada origen a ese destino.
Las necesidades de los destinos pueden ser satisfechas si y solamente si :
m
n
y
aj ^
i=i
y
bj
(1-12)
n^r
Se asume que este sea el caso.
Si C^^ es el costo de enviar una unidad del origen i al des ti-/
no j , entonces el costo total del envío será :
n
m
Z = >
j^T
•f
/ ^ i j ^ i j = C^ll^JjÍ?4-2^12*---^^In^ln^ * (C21X21+... .
1=1
4n^2n) ^•••- •^ÍCml\l*---- " ^ ^ m n ^
^^'^^^
El primer término de la expresión de la derecha de la ecuación
(1-13) es el costo de envío del origen 1, el segundo es el costo de envío de origen 2, etc. Deseamos encontrar X ^ j ' ^ O,que
satisfaga las restricciones(1-10), (1-11) y "minimice"(1-13).
•93-
Ahora podemos resumir el "problema del transporte", como si
gue :
Encontrar X^."^ O que "minimice"
m
' °Z¡1 2¡I cij'tij
('-""
Sujeto a
n
y ^
Xij <
ai
i= 1, ... .m
( 1-15 )
y
Xij =
bj
j = 1, ... n
1^1
Este es un problema de programación linear coj| m.n
variables
y con m -^ n restricciones.
En lugar de escribir todas las ecuaciones involucradas, el
modelo para un problema de transporte usualmente se presenta en una forma tabulada concisa, como se ilustra a continuación :
•I
••
—J rr——nrrrí
'•'líf.
94-
Destino
2
'11
'12
'21
'22
^m1
''m2
Demanda
n
•ln
Origen
m
Oferta
. C
2n
mn
1
ai
a~
m
n
E s t a tabla de c o s t o s y d e m a n d a es s u f i c i e n t e p a r a
especificar
c o m p l e t a m e n t e u n p r o b l e m a de t r a n s p o r t e p r e p a r a t o r i o a s u s o l u c i ó n . Los c á l c u l o s s o n h e c h o s d i r e c t a m e n t e s o b r e la " m a t r i z
de t r a n s p o r t e " s i g u i e n t e :
1
n
^11
^12
^1n
^1
2
X21
^22
^2n
^2
•
•
•
•
•
1
Origen
•
m
Demanda
•
1'
•
•
•
•
•
^m1
Xm2
Xmn
bl
b2
bn
•
•
^h.
Oferta
Destino
2
-•
'
I • ! • 11 fcfc ll
am
mm^^m
-95-
Estas dos tablas son a menudo combinadas insertando Cij en una
esquina de la respectiva celda.
Aplicación del "Problema del Transporte" en aprovechamiento
forestal :
Condiciones: Una empresa forestal tiene cinco concesiones
(orígenes) y tres plantas de pulpa (destinos). El volumen en
las cinco concesiones ^^ igual al volumen necesario para las
plantas así :
Concesiones (miles de toneladas)
Plantas (miles de toneladas)
1:
10
A:
30
B:
2:
20
25
C:
50
3:
20
4:
35
5:
10
suma: 100
100
Los costos de madera en $/Ton. de cada concesión a las plantas
son:
Concesiones
Plantas
B
40
C
150
1
A
300
2
50
300
100
3
250
100
90
4
75
300
250
5
150
200
60
Matriz 1. $/Ton.
",*«; e y •• '••'-5'j
•F^T^^^r^^^'T^^'*^
- I
II ^*!a^^sva0P7T^
•96-
Es decir que la madera de la concesión 1 tiene un costo para la
fábrica A de 300 pesos por tonelada. Este costo incluye el precio de la madera en pié, los costos de explotación y los costos
de transporte hasta la planta.
Problema :Qué cantidad de madera en toneladas se debe enviar de
cada concesión a cada planta con el objeto de minimizar los
costos ?
Solución : Comenzamos con una solución poniendo cantidades lo
más grande posible en las celdas que tienen los costos menores.
El costo menor en la matriz 1 es de 40 pesos para madera de concesión 1 a planta B (C.|2).
Entonces ponemos la cantidad más grande en esta celda, es decir
10,000 toneladas V^-to) porque no hay más en la concesión 1. El
menor costo después dé C..2 es C2i= 50 y para X21 es posible dar
25,000 toneladas.
En la misma forma continuamos hasta abastecer completamente todas las plantas. La matriz 2 muestra el resultado.
Plantas
B
Concesión
1
2
-
10
-
25
-
-
10
25
3
-
10
10
20
4
5
-
30
35
5
-
-
10
10
30
20
50
Matriz 2, Primera solución en miles de toneladas.
' * ibj-;
-••.
•
-_'^ • .'"íJ^^^^IJJ FJ Jí?,
'-• 'i"-":"
•P-í'-^^^^^p
-97-
Ahora tenemos una solución que cumple las condiciones 1-15 con
un costo total Z^ = $ 12.025.000. Es éste el costo, mínimo ?
Para encontrar el costo mínimo tenemos que confeccionar una matriz con costos ficticios (C^); pero antes tenemos que controlar
si la matriz 2 es una solución "válida".
Las condiciones para una solución válida son :
i.
Las condiciones 1-15
^y
ii.
El número Xij ^
O tiene qué ser exactamente m •^ n - 1
en este caso 5 + 3 - 1 = 7
iii. Que no sea posible trazar un polígono cerrado con los lados verticales y horizontales cuyas esquinas sean los puntos centrales de las celdas donde Xij > O,
La matriz 2 cumple todas estas condiciones entonces es una solución válida.
Los costos ficticios se calculan de la siguiente maneta :
1,
2,
Llenar en la matriz 3 las celdas que tienen cantidades en
la matriz 2, con los costos reales (Cij) encerrando en
círculos estos costos,
En las márgenes de la misma matriz 3 se colocan los números que cumplan la siguiente condición:
Ki
+
fj
=
Cij
(1-16)
Donde Ki son los números en el margen vertical y fj los del
horizontal,
"•¿L-
.^dé,-
^7?^—.- • •
¡•I < m
<•:
-V^-g"i,7B5»'»it
- '- ^m
98-
Se asigna a uno de los Ki ó fj el valor O, En la matriz 3 se
asigna K3 = O, Entonces f2 = 100 y f3 = 90, K4 y K5 tienen los
valores 160 y 30 respectivamente, De la misma forma es posible
calcular todos los valores de Ki y fj, Después se calculan los
costos (Cfij) para las celdas que les faltan (en la matriz 3)
los valores Cij, de la manera siguiente :
Cfij = . Ki + fj
(En los subíndices dobles siempre figura primero el correspondiente a la fila y en segun'do lugar el correspondiente a la columna)
De este modo Cf11 = - 60 + (-85) = - 145
Cfi3 = -60 + 90 = 30 ; Cf22 = 135 •^ 100 = 235, etc.
B
1
2
3
4
5
M
M
M
M
145
235
30
Ki
-60
225
135
O
85
160
260
115
70
- 85
100
-30
^
90
Matriz 3, Costos reales (en círculos) y costos ficticios
Una solución es óptima si la diferencia de los costos ficticios y los costos reales para cada celda resultan í: O es decir;
•-
A í-
!.:'!!.••''. . !'-.•"' ' U
'''
•Pa^i^PiP
-99-
Cfij - Gij^O
i = 1,2,3,4,5, y
j = 1,2,3
En la matriz 4 se hallan/estas diferencias calculadas
B
1
2
3
4
5
-445
0
-335
0
-265
0
-120
-65
-H25
0
0
-40
0
-130
0
Matriz 4, Diferencias de costos ficticios y costos reales
(Cfiij
'ij )
El Cf23 en la matriz 4 tiene un valor>0 (Cf23 - C23 = 225100 = 125 ). Entonces la solución en la matriz 2 no es la
óptima, es decir el costo total no es mínimo.
Para mejorar la primera solución (matriz 2) se remueve la cantidad (toneladas) más grande posible a la celda que tenga la
diferencia más grande (Cfij - Cij ) positiva (matriz. 4 .). Esta
cantidad más grande posible se determina de las cantidades ^e
la primera solución (matriz 2) que forman un rectángulo con la
celda que acabamos de identificar ubicada en una esquina (condiciones de una solución válida). En este caso son las cantida
des X43, X41 y X21 las que van a ser afectadas. La menor de
las cantidades X43 y X21 decide cuantas toneladas es posible
remover a X23 en cumplimiento de las condiciones i) - iii).
^ 1.1, iJ._Jt !¥ .ULL .qpp
JU -..IIRW^B^'^^H^
-100-
La matriz 5 muestra los traslados de las cantidades.
B
10
25 - 25 = 0
••25
10
5
25= 30
10
3 0 - 25 =5
•
10
Matriz 5. Cambio de cantidades. Segunda solución.Esta solución dá otra matriz (matriz 6) de costos ficticios
conforme a la técnica descrita antes, y otra matriz con las
diferencias Cfij - Cij (matriz 7),
A
1
-145
2
-
75
3
-
85
O
t)
110
260
4
C
30
Ki
-60
(^oo\
10
/goS
O
/Í50\
160
-30
5
- ( " )
-115
70
/6jo^
f^
- 85
100
90
Matriz 6, Costos reales y ficticios de la segunda solución
'.¡a.
• !t^'
i.-TV--**^ - ^ -
-L
J.H-..
~
.3**
.r-JWi-i r=".'^>^'
III^^^^WWiBBl^
-101-
B
-120 1
-445
0
2
-125
-190
0
3
-335
0
4
0
-
5
-265
-130
0
0
0
40
1
1
1
Matríz 7. Cf-- - Cij para la segunda solución.
La matriz 7 muestra que todas las diferencias Cfi-- Cij tienen
valores iguales o menores a cero. Entonces la segunda solución
(matriz 5) es la óptima, cuyos envíos serán :
Plantas
Concesiones
(miles de toneladas)
10
Fig.3S . Asignación óptima de cada concesión a cada planta.
Esta solución presenta el costo total mínimo que se puede determinar así :
UN1VT,-Sn).\'- V'^^ -,^^
B\h.
-. r
102
5
y
3
^
CijXij - 0x300 + 10000 X 40•^0 x 150 +
i=1
j=1
,,,0x 200 + 10000 X 60=8,9 millones
Zl - Z2 = 12,025,000 - 8,900,000 = 3,125,000
Entonces se disminuyen los costos en $ 3.125.000 con estos
cálculos simples.
•M
• .lllM. -