1Soluciones a las actividades de cada epígrafe

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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Este plano es de la parte del fondo de la sala del museo:
Cada loseta mide 40 cm de lado.
A lo largo hay 16 más 1/5.
A lo ancho, 10 más 1/2.
Fijándonos solo en 12 losetas, hay cuadrados de lado 1, de lado 2 y de lado 3.
Y rectángulos de lados 1 Ò 2, 1 Ò 3, …, 2 Ò 3, 3 Ò 2, …
1
¿Cuántas losetas enteras (sin partir) hay en total? Si las pusiéramos en fila, ¿qué
longitud alcanzarían?
Halla las dimensiones exactas de esa parte de la sala y su superficie en centímetros cuadrados.
Hay 10 Ò 16 = 160 losetas enteras.
Si las 160 losetas las ponemos en fila, alcanzarían una longitud de:
160 Ò 40 = 6 400 cm = 64 m
Dimensiones exactas del suelo:
1 de 40 = 20 cm 8 Ancho = 10 Ò 40 + 20 = 420 cm = 4,2 m
2
1 de 40 = 8 cm 8 Largo = 16 Ò 40 + 8 = 648 cm = 6,48 m
5
Las dimensiones del suelo son 4,2 m de ancho y 6,48 m de largo.
Superficie = 420 Ò 648 = 272 160 cm 2
2 ¿Cuántos cuadrados de cada tipo hay en las 12 losetas seleccionadas?
¿Cuántos en total?
Cuadrados de lado 1 8 4 Ò 3 = 12
Cuadrados de lado 2 8 6
Cuadrados de lado 3 8 2
Ø Total = 12 + 6 + 2 =
∞ = 20 cuadrados
±
3 ¿Y cuántos rectángulos de cada tipo? ¿Cuántos en total?
Rectángulos 2 Ò 1 8 17
Rectángulos 2 Ò 3 8 7
Rectángulos 3 Ò 1 8 10
Rectángulos 2 Ò 4 8 2
Rectángulos 4 Ò 1 8 3
En total hay 40 rectángulos.
Rectángulos 3 Ò 4 8 1
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Calcula:
a) 33 · 23 · 53
b) (2 · 5)6
2)
e) √3 375
3
d) 2(3
c) (23)2
6
f ) √1 000 000
a) 3 3 · 2 3 · 5 3 = (3 · 2 · 5) 3 = 30 3 = 27 000
b) (2 · 5) 6 = 10 6 = 1 000 000
c) (2 3) 2 = 2 6 = 64
2
d) 2 (3 ) = 2 9 = 512
3
3
e) √3 375 = √3 3 · 5 3 = 3 · 5 = 15
6
6
f ) √1 000 000 = √10 6 = 10
2
Hoy es lunes. Mañana será… Dentro de dos días será… Dentro de 25 días
será…
a) ¿Qué día de la semana será dentro de 357 días?
b) ¿Qué día de la semana será pasados 7a + 3 días, donde a es un número natural cualquiera?
c) ¿Cómo expresarías, en general, el número de días que han de transcurrir para
que sea sábado?
a) Calculamos la división 357 : 7. Si el resto es 0, será lunes; si es 1, será martes; si
es 2, será miércoles; … hasta llegar al domingo con resto 6.
357 = 7 Ò 51 8 resto 0 8 dentro de 357 días será lunes
b) Pasados 7a + 3 días (a é N) será jueves (resto 3).
c) Para que sea sábado han de transcurrir 7a + 5 días, siendo a un número natural cualquiera.
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Seis amigos organizan un torneo de pimpón. ¿Cuántas partidas han de jugar?
Descríbelas.
A
A
B
C
D
E
F
Ò
B
C
D
E
F
15 partidas si solo hay de ida:
AB, AC, AD, AE, AF
Ò
BC, BD, BE, BF
Ò
Ò
CD, CE, CF
Ò
DE, DF
Ò
EF
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Cinco amigos organizan un torneo de ajedrez, en el que cada dos jugadores se
enfrentan dos veces. ¿Cuántas partidas han de jugar? Descríbelas.
A
A
Ò
B
B
C
D
AB AC AD AE
Ò
C
Ò
D
BA BC BD BE
Ò
E
3
CA CB CD CE
DA DB DC DE
Ò
EA EB EC ED
¿De cuántas formas se pueden asignar 3 libros distintos a 6 chicos?
1.º
2.º
B
C
A
D
E
F
4
20 partidas:
E
3.º
C
D
E
F
B
D
E
F
B
C
E
F
B
C
D
F
B
C
D
E
5 · 4 si el 1.º es para A. Lo mismo para los
demás jugadores.
En total: 6 · 5 · 4 = 120 formas
Disponemos de 6 entradas para repartir entre 7 personas. ¿De cuántas formas
podemos seleccionar a los afortunados? ¿Y si fueran 8 candidatos?
• Es más fácil pensar en quién se queda sin entrada:
1 2 3 4 5 6 7 8 luego hay 7 formas.
• Si son 8:
1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8
2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8
3-4 3-5 3-6 3-7 3-8
4-5 4-6 4-7 4-8
5-6 5-7 5-8
6-7 6-8
7-8
Luego hay 28 formas.
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A
¿De cuántas formas podemos ir de A a B?
¿Y de B a C?
¿Y de A a C pasando por B?
B
C
A
A
B
A
B
B
• Hay 10 formas para ir de A a B.
B
• Hay 5 formas para ir de B a C.
C
• Hay 10 · 5 = 50 formas para ir de A a C pasando por B.
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Ordena de menor a mayor: – 4, 19, 7, 0, –6
–6 < –4 < 0 < 7 < 19
2
Calcula:
a) ||–3||
b) |5 + (3 – 11)|
c) |5 + |3 – 11||
d) |30 – (–20 – 9)|
a) || –3|| = 3
b) |5 + (3 – 11)| = |5 + 3 – 11| = |–3| = 3
c) |5 + |3 – 11|| = |5 + 8| = |13| = 13
d) |30 – (–20 – 9)| = |30 + 20 + 9| = |59| = 59
3
Calcula:
a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (– 6)] · [–3 + (–7)]
b) –3 (4 – 2) – 4 (3 – 8) – [4 · (–5)] · [(–3) · 11]
c) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)||
a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (–6)] · [–3 + (–7)] = [(–3) – (2) + 6] · [–3 – 7] =
= [–3 – 2 + 6] · [–10] = [1] · [–10] = –10
b) –3(4 – 2) – 4(3 – 8) – [4 · (–5)] · [(–3) · 11] = –3(2) – 4(–5) –[–20] · [–33] =
= –6 + 20 – (660) = 20 – 666 = –646
c) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)|| = |3 + 21 – |–40|| = |24 – 40| = |–16| = 16
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Calcula las siguientes potencias:
a) –105
b) (–10)5
c) (–10)6
d) –(–10)5
e) (–1)100
f ) –106
g) –16
h)–(–1)101
a) –105 = –10 · 10 · 10 · 10 · 10 = –100 000
b) (–10)5 = (–10) (–10) (–10) (–10) (–10) = –100 000
c) (–10)6 = (–10) (–10) (–10) (–10) (–10) (–10) = 1 000 000
d) –(–10)5 = –(–10) (–10) (–10) (–10) (–10) = 100 000
e) (–1)100 = (–1) (–1) · … · (–1) (–1) = 1
Ø
∞
±
100
f ) –106 = –10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = –1 000 000
g) –16 = –1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = –1
h) –(–1)101 = –(–1) = 1
5
5
8
Simplifica: (–3) · (–3)
· 54
3
3
[(–3) ]
(–3)5 · (–3)8 · 54 = (–3)13 · 54 = (–3)4 · 54 = (–3 · 5)4 = (–15)4 = 154
[(–3)3]3
(–3)9
6
Efectúa las siguientes operaciones:
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)5] · [15 + (–11)]2
b) (7 – 3) · [4 – (–3)] + (5 – 1)2 · [6 – (–3)4]
c) (–3)2 – (–33) + 52 · (–5)2 – [2 – (–3)4 · (–2)]
d) 17 – (– 4)(–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)7]2
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – (–2)5] · [15 + (–11)]2 = [(–6) – (5) – (–32)] · [4]2 =
= [21] · [16] = 336
b) (7 – 3) · [4 – (–3)] + (5 – 1)2 · [6 – (–3)4] = 4 · [7] + (4)2 · [–75] =
= 28 + 16 · (–75) = –1 172
c) (–3)2 – (–33) + 52 · (–5)2 – [2 – (–3)4 · (–2)] = 9 + 27 + 625 – [2 + 162] =
= 661 – 164 = 497
d) 17 – (– 4)(–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3)7]2 = 17 + 12 – 2[4 + 5]2 =
= 17 + 12 – 2 · 81 = –133
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Pon una fracción que complete cada frase:
a) Los
de los años son bisiestos.
b) Los meses con 31 días son
del total.
c) Entre los números menores que 30, la proporción de primos es
(Recuerda que el 1 no es primo).
d) Entre los números de 3 cifras, la proporción de capicúas es
a) 1
4
c) 9
30
.
.
b) 7
12
d) 90 = 1
900 10
2
Expresa como número mixto (suma de un entero y una fracción menor que la
unidad) las siguientes fracciones:
40 , 86 , 127 , 127 , – 43
9
5
10 12
8
40 = 4 + 4
9
9
86 = 17 + 1
5
5
127 = 12 + 7
10
10
127 = 10 + 7
12
12
– 43 = –5 – 3
8
8
3
Representa, aproximadamente, en la recta:
–2
–1
0
1
2
3
13 , 18 , – 7 , 5 , 11, 2 , 7 , – 17
5
9
3 2 5 5 10
10
7
–—
3
2
—
5
–2
–1
17
–—
10
18
—
9
0
1
7
—
10
5
—
2
2
3
11
—
5
13
—
5
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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4
El presupuesto anual de una oficina es 297 000 €. Gastan 2/11 partes en equipamiento. ¿Cuánto dinero les queda para lo demás?
297 000 · 2 = 54 000 € gastan.
11
Luego les quedan 243 000 €.
5
En un depósito había 2 600 l de gasolina. Se gastan 3/20 primero. Después, se
utilizan 2/13 de lo que quedaba. ¿Cuánto queda?
2 600 · 3 = 390 l se gastan la 1.ª vez, y quedan 2 210 l.
20
2 210 · 2 = 340 l
13
Luego gastan 340 l más y al final quedan 1 870 l.
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1
Calcula:
a) 4 – 11 + 7
3
3
b) 3 – 7 + 46
4
8
d) 1 + 1 + 1
2 4 8
e) 1 – 1 + 1
2 3
(
)
f) 5 – 1 – 2 + 1
2
3 4
a) 4 – 11 + 7 = 12 – 11 + 7 = 8
3
3
3
3
3 3
b) 3 – 7 + 46 = 6 – 56 + 46 = –4 = – 1
4
8
8
8
8
8
2
(
)
c) 7 – 2 + 5 = 7 – 2 – 5 = 42 – 6 – 10 = 26 = 13
3
6 9
3 6 9 18 18 18 18
9
d) 1 + 1 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
2 4 8 8 8 8 8
(
)
e) 1 – 1 + 1 = 1 – 1 – 1 = 6 – 3 – 2 = 1
2 3
2 3 6 6 6 6
[ (
f) 5 – 1 – 2 + 1
2
3 4
)]
(
( )
[ ( )]
c) 7 – 2 + 5
3
6 9
)
= 5 – 1– 2 – 1 = 5 –1+ 2 + 1 =
2
3 4
2
3 4
= 30 – 12 + 8 + 3 = 29
12 12 12 12 12
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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2
Calcula:
a) 2 · –3 · 5
3 5 –2
( )
1
3
—– —–1
2
4
b)
3
—+1
4
( )
( )
3 1
(–3) — – —
5 3
c)
4 6
(–2) — – —
3 5
4 2 1
—–—–—
5 3 10
d)
7
1–—
15
a) 1 · –3 · 5 = 1 · (–3) · 5 = 3
2 5 –2
2 · 5 · (–2)
4
( )
3
1
3
1 3
2 3 4
—– —–1
—–—+1
—–—+—
—
2
4
2 4
4 4 4
4
b)
=
=
=
= 3 · 4 = 3
3
3
3 4
7
4 7 7
—+1
—+1
—+—
—
4
4
4 4
4
( )
( )
3 1
(–3) — – —
5 3
c)
4 6
(–2) — – —
3 5
(
(
)
)
12
9 5
4
–—
(–3) — – —
(–3) · —
15 15
15
15
=
=
=
= –12 = 3
20 18
2
4
–4
(–2) — – —
(–2) · —
–—
15 15
15
15
1
4 2 1
24 – 20 – 3
—–—–—
—–––––––––– —–
5 3 10
30
30
15
d)
=
=
= 1 · 15 =
= 1
7
15 – 7
8
1–—
—–––
— 8 · 30 8 · 2 · 15 16
15
15
15
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3
Un terreno se divide en tres partes. Dos de ellas son 2/5 y 1/3 del total. ¿Cuál
es la más grande?
1.ª parte 8 2 =
5
2.ª parte 8 1 =
3
6
15
5
15
3.ª parte 8 1 – 2 – 1 = 15 – 6 – 5 = 4
5 3 15 15 15 15
La más grande es la primera, 2 .
5
4
De un sueldo de 1 500 €, se gasta en comida la sexta parte, y en el pago de la hipoteca, 350 € más que en comida. ¿Qué fracción del sueldo queda para otros gastos?
1 500 · 1 = 250 € se gastan en comida.
6
250 + 350 = 600 € de hipoteca.
Quedan 650 €.
1500 · x = 650 8 x = 650 = 13
1500 30
Quedan 13 del sueldo para otros gastos.
30
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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5
Los 2/5 de los chicos de una clase llevan gafas. En esa clase, 7/12 son chicas.
En la clase hay 36 personas. ¿Cuántos son chicos con gafas?
1 – 7 = 5 son chicos.
12 12
36 · 5 = 15 son chicos.
12
15 · 2 = 6 chicos llevan gafas.
5
6
Un dentista dedica 1 h y 3/4 a su consulta. Si recibe a 15 pacientes, ¿qué fracción de hora puede dedicar a cada uno? ¿Cuántos minutos son?
1 + 3 = 7 h dedica a la consulta.
4 4
7 : 15 = 7 h dedica a cada paciente.
4
60
7 · 60 = 7 8 Dedica 7 minutos a cada paciente.
60
7
Un club dispone de 1 200 entradas para un partido. Asigna 3/5 partes a su hinchada y 5/9 del resto a la visitante. ¿Cuántas entradas quedan para venta libre?
1 200 · 3 = 720 entradas para su hinchada.
5
)
(1 200 – 720) · 5 = 480 · 5 = 266,6 ≈ 267 entradas para la hinchada visitante.
9
9
Quedan 1 200 – (720 + 267) = 213 entradas para la venta libre.
8
Reparto entre cuatro: A y B se llevan, respectivamente, 2/7 y 13/21 del total.
C recibe 7/10 del resto. Y D, finalmente, 390 €. ¿Cuánto dinero se repartió?
A8 2
7
B 8 13
21
Ø Entre A y B: 2 + 13 = 19 . Quedan 2 .
∞
7 21 21
21
±
C 8 7 de 2 = 1 . Quedan 2 – 1 = 1 .
10
11 15
21 15 35
D se lleva 1 del total, que son 390 €.
35
Por tanto, en total se repartieron 35 · 390 = 13 650 €.
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Ordena de menor a mayor:
2–3, 2–1, 20, 2–2, 2– 4, (–2)–3, (–2)–1
(–2)–1 < (–2)–3 < 2–4 < 2–3 < 2–2 < 2–1 < 20
2
Expresa como una potencia de base 3.
( 13 ) · ( 13 ) · ( 13 )
–1
() () ()
1
3
3
–1
2
· 1
3
· 1
3
–3
2
–3
· (3–2)5 · 37
· (3–2)5 · 37 = 31 · 3–2 · 33 · 3–10 · 37 = 3–1
Calcula:
b) [( 5 ) ]
c) 0,2
( )
2
a) ( 1 ) = 10 = 1000 000
10
b) [( 5 ) ] = 25 = 4 = 64
4
25
2
15 625
c) 0,2 = ( 1 ) = 5 = 625
5
a) 1
10
–6
2 –3
–6
6
2 –3
–3
3
–3
–4
–4
4
–4
3
4
Reduce y expresa como una potencia.
( ) ( 109 ) 3(5 · )2
2
–5
a) 122 · 5–1
15 · 8
b) 3
5
–7
2
4
–7
–2
–3 –3
()
2
–5
2 2
–5
2
4
–5
a) 122 · 5–1 = (3 · 22) · 53 –1 = 32 · 22 · 5–3 = 27 · 5 –7 = 2
15 · 8
(3 · 5) · (2 )
3 ·5 ·2
5
() ( )
b) 3
5
–7
·
9
104
2
7
–7
–2
–7 · (32)2 · 3–7 · 2 –2
· 3 –3· 2–3 = 3 –7
= 3–10 · 2–10 · 5–10 =
(5 )
5 · (2 · 5)8 · 59
=
(
1
3·2·5
)
10
=
( )
1 = 1
3010
30
10