Medición de la Desigualdad 1

Desigualdad
• El concepto de desigualdad está asociado a las diferencias entre personas.
• Identificación de existencia de desigualdad: trivial
• El principio de las transferencias de Dalton-Pigou guía la medición del grado de
desigualdad.
• Dalton-Pigou: una transferencia de un individuo de mayor ingreso a otro de ingreso
menor que no cambia sus posiciones relativas da origen a una distribución más
igualitaria.
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1
Dalton (Economic Journal, 1920)
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2
• Las evaluaciones cualitativas de la desigualdad de problemas simples pueden
hacerse por simple inspección de vectores
x1 = (2, 4, 12) → x2 = (3, 6, 9)
•
Complicaciones
o comparaciones ambiguas (ej. x2=(1, 8, 9))
o evaluaciones cuantitativas
o número de observaciones grande
En estos casos es útil acudir a medidas o índices de desigualdad I(x)
I ( x): ℜ N → ℜ
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INDICES
• Sencillos: cociente de ingresos extremos, participaciones en el ingreso
• Basados en la curva de Lorenz: Gini, Schutz
• Estadísticos: coeficiente de variación, desvío medio relativo, varianza logarítmica
• Entropía: Theil, entropía generalizada
• Organización industrial: Herfindahl
• Teoría del bienestar: Atkinson
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4
Indices de desigualdad: propiedades
1. Principio de las transferencias de Dalton-Pigou
Para todo par de vectores x1 , x2 y escalar δ tal que
x2i=x1i+δ
, x2j=x1j-δ , x2k=x1k para todo k≠i,j ,
x1i < x2i ≤ x2j < x1j
⇒ I(x2) ≤ I(x1)
(en sentido estricto, I(x2)< I(x1))
2. Invarianza a la escala
I(kx) = I(x) donde k>0
3. Invarianza a las réplicas
I(x…x) = I(x)
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5
Indicadores simples
(1)
Cociente de ingresos extremos
o ratio entre ingreso promedio de dos percentiles extremos
o ej: decil 10/decil 1; quintil 5/quintil 1
o cumple con Dalton sólo en sentido débil
o cumple con invarianza a la escala y a las réplicas
o por problemas de medición suelen usarse percentiles no extremos (ej. percentil
90/percentil 10) → no respeta Dalton (ej. transferencia del percentil 95 al 90)
(2)
Participaciones en el ingreso de grupos extremos
o share del percentil p más rico (ej. share del quintil 5)
o share del percentil p más pobre → es un índice de igualdad
o cumple con Dalton sólo en sentido débil
o cumple con invarianza a la escala y a las réplicas
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6
Indicadores basados en la curva de Lorenz
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
L(G,p)
0.6
L(F,p)
0.8
1
LPI
• Una distribución es más igualitaria cuánto más se acerca su curva de Lorenz a la LPI.
• Construir índices basados en la “cercanía” entre la curva de Lorenz y la LPI
o área entre Lorenz y LPI → Gini
o distancia vertical entre Lorenz y LPI → Schutz
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7
Coeficiente de Gini
Gini (Economic Journal, 1921)
1
L(p)
LPI
área A
L(p)
área B
0
G=
p
A
= 2 A = 2(0.5 − B ) = 1 − 2 B ,
A+ B
1
G ∈ [0,1]
En términos continuos
1
G = 1 − 2 ∫ L( p )dp
0
Resolviendo la integral por partes, operando y cambiando la variable de integración
1
∞
G = −1 + 2 ∫ pL′( p )dp = −1 + 2 ∫ F ( y ).
0
0
y
μ
. f ( y )dy
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En términos discretos, el Gini es una suma de rectángulos y triángulos.
1
0.8
0.6
0.4
T
0.2
R
0
0
0.2
0.4
LPI
0.6
0.8
1
Lorenz 1
G =1+
1
2
−
N μ. N 2
∑ x ( N + 1 − i)
i
con
x1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x N
i
2
=
−
+
G
1
Cuando N tiende a infinito,
μ.N 2
i xi 1
μ N
∑ x i = −1 + 2 ∑ N
i
i
i
Esta ecuación es el equivalente discreto a la versión continua de G.
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Fórmulas equivalentes
G = −1 −
1
2
+
N μ.N 2
∑xi
i
i
G = ∑∑
i
j
xi − x j
2N 2 μ
Cambio en el Gini ante una transferencia igualadora
dxj=-dxk >0;
ΔG = −
xj < xj + dxj ≤ xk +dxk < xk
2
[( N + 1 − j )dx j + ( N + 1 − k )dxk ]
μN 2
ΔG =
2
[ j − k ]dx j
μN 2
Dado que xj < xk, entonces j<k, por lo que ΔG<0.
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Ejemplo hipotético de dos distribuciones
Personas
A
B
C
D
E
t1
100
200
3000
4000
5000
t2
50
200
3100
4000
4950
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Frontera de posibilidades de desigualdad, tasa de extracción y Gini potencial
• Milanovic, Lindert y Williamson (2000): nivel máximo de desigualdad alcanzable en una
sociedad, otorgando a toda la población un mínimo de subsistencia s, con excepción de una
pequeña elite (proporción ε)
• Máximo ingreso medio de elite
xe =
μN − sN (1 − ε ) 1
= [ μ − s (1 − ε )]
εN
ε
• Sin desigualdad interna en la elite, el máximo Gini alcanzable es
G* =
1
μ
( x e − s )ε (1 − ε )
• Combinando ambas ecuaciones y definiendo α=μ/s≥1,
G* =
α −1
(1 − ε )
α
• El máximo Gini es una función creciente y cóncava del grado de desarrollo del país, aproximado
por α.
• Tasa de extracción (TE): ratio entre Gini real y el Gini máximo
• Milanovic et al. (2009) proponen la TE para realizar comparaciones de desigualdad entre
economías con distinto grado de desarrollo.
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Indice de Schutz
Máxima distancia vertical entre la curva de Lorenz y la LPI
1
LPI
L(p)
b
a
L(p)
0
ps
p
1
S = ab = p s b − p s a
S = ps − L( ps ) = F( y s ) − L(F( y s ))
s
Máxima distancia se da donde L′( p ) = 1 . Luego, y / μ = 1
s
S = F(μ) − L(F(μ))
μ
μ
0
0
S = ∫ f ( x )dx − ∫
xf ( x )dx
μ
μ
=∫
0
( μ − x ) f ( x )dx
μ
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Otros indicadores de desigualdad
Estadísticos
Varianza y desvío estándar: no cumplen con invarianza a la escala
Coeficiente de variación
CV =
( xi − μ ) 2
∑i N
μ
⎡ ( xi − μ )2 ⎤
1 ⎢∑
⎥
i
dCV =
⎢
⎥
Nμ
N
⎢⎣
⎥⎦
−1 / 2
[x
j
− xk ]dx j
Ejemplo: x1={2, 8, 30}, x2={1, 10, 29}
CV cae de 1.106 a 1.072
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Desvío medio relativo
D=∑
i
xi − μ 1
.
μ
N
Sensible sólo a transferencias que cruzan la media
Varianza logarítmica
1
VL1 =
N
∑ (ln x
i
Varianza de los logaritmos
− ln μ )
1
VL2 =
N
2
i
1⎞
⎛
−
x
x
ln
ln
.
⎜
∑i ⎝ i ∑i i N ⎟⎠
2
Estas dos varianzas no cumplen con el principio de las transferencias (Foster y Ok, 1999)
Utiles para modelos lnwi=βei,
VL2 ( w) = β 2Var ( e)
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Indices de entropía
• pi a la probabilidad de que ocurra un evento i
• h(pi) al valor de saber que ocurrió i antes de que el resto de la gente lo sepa
• h(pi) debe ser decreciente en pi,
asumamos
h( pi ) = − ln( pi )
• conjunto de N eventos= “sistema”. La información contenida en un sistema=”entropía”
entropía=
∑ p h( p )
i
i
i
• Theil: dos pasos para llegar a un índice de desigualdad
(i) reinterpretar pi como la participación de la persona i en el ingreso total
pi = s i =
xi
Nμ
(ii) escribir el índice como la diferencia entre la máxima entropía y la real.
T =∑
i
1 ⎛1⎞
h ⎜ ⎟ − ∑ si h ( si )
N ⎝N⎠ i
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Usando h( pi ) = − ln( pi ) y operando
T=
1
N
∑
i
⎛x ⎞
ln⎜⎜ i ⎟⎟ ,
μ ⎝μ⎠
xi
T ∈ [0, ln N ]
índice de Theil
Diferenciando y haciendo dxj=-dxk>0
dT =
1
[
ln x j − ln xk ]dx j
Nμ
Indice de entropía generalizado
c
⎡
⎤
⎛ xi ⎞
1
E (c) =
⎢⎜ ⎟ − 1⎥
∑
N .c.(c − 1) i ⎢⎣⎝ μ ⎠
⎥⎦
con
c ≠ 0,1
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Indices derivados de la Organización Industrial
Indice de Herfindahl
H =∑
i
xi
Nμ
No respeta la invarianza al tamaño de la población
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Indices de Atkinson
A = 1−
x*
μ
*
, donde x es tal que
W ( x1 ,..., x N ) = W ( x * ,..., x * ) , con W simétrica y cóncava
x* es el ingreso igualmente distribuido
El índice de Atkinson
x2
M
N
uM
EN
x*N
W(N)
EM
x*M
W(M)
x*M
x*N
uM
x1
Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 19
Asumiendo dxj=-dxk>0 y xj<xk
(4.38)
⎤
∂x *
1 ⎡ ∂x *
1
dA = − ⎢
dx j +
dxk ⎥ = −
∂xk
μ ⎢⎣ ∂x j
μ
⎥⎦
⎡ ∂x * ∂x * ⎤
−
⎢
⎥ dx j
⎢⎣ ∂x j ∂xk ⎥⎦
De la definición de x*,
(4.39)
∂W ∂x *
∂W
= N. * .
∂x j
∂x ∂x j
por lo que
(4.40)
∂x * ∂W
=
∂x j ∂x j
N.
∂W
∂x *
Reemplazando (4.40) en (4.38) y operando,
(4.41)
dA = −
1
1
.
μN ∂W ∂x *
⎡ ∂W ∂W ⎤
−
⎢
⎥ dx j
⎢⎣ ∂x j ∂xk ⎥⎦
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El índice de Atkinson con diferentes funciones de bienestar
x2
M
u
x*(R)
x*(I)
u=x*(U)
x1
Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 21
Función de bienestar propuesta
1
W =
N
ln W =
1−ε
xi
∑i 1 − ε
1
N
∑ ln x
i
,
con ε≠1, ε≥0
si ε=1
i
x* surge de W(x1,…xN)= W(x*,…x*).
1
N
1−ε
xi
1
=
∑i 1 − ε N
1−ε
x*
∑i 1 − ε
Despejando x* y aplicandolo a la fórmula de A, resulta
⎡1
⎢N
A =1− ⎣
∑ xi
i
μ
1−ε
⎤
⎥
⎦
1
1−ε
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