MaquetaciÛn 1

Dibujo técnico 2
Tabla de contenidos
Conocimientos teóricos
1. Generación de las curvas cónicas
1.1 Clasificación
1.2 Elementos de una curva cónica
2. La elipse
Aplicaciones prácticas
1. Construcciones de la elipse
1.1 Conocidos los ejes, por puntos
1.2 Conocidos los ejes, por afinidad
1.3 Conocidos los ejes, por haces proyectivos
1.4 Conocidos dos diámetros conjugados
1.5 Conocidos los ejes, método de la tarjeta
UNIDAD 1
3. La parábola
2. Construcción de la parábola
2.1 Conocidos el foco y la directriz
4. La hipérbola
Curvas cónicas y
técnicas
p. 9
2.2 Conocidos el vértice, el eje y uno de sus puntos
5. La circunferencia
5.1 Ángulos relacionados
5.2 Arco capaz
6. Curvas técnicas
6.1 Curvas cíclicas
3. Construcción de la hipérbola
3.1 Conocidos los ejes, por puntos
4. Trazados de curvas cíclicas
4.1 Evolvente de la circunferencia
4.2 La cicloide
4.3 La epicicloide
4.4 La hipocicloide
1. Trazados de triángulos
1. Triángulos
1.1 Elementos, triángulos relacionados
1.2 Relaciones entre los elementos de un triángulo
UNIDAD 2
1.4 Circunferencia de los nueve puntos
Ampliación
de polígonos
y escalas
2. Trazados de polígonos regulares
1.3 Segmento de Euler
3. Construcción de escalas
2. Polígonos regulares
2.1 Pentágono regular y número fi
2.2 Decágono regular y número fi
p. 29
3. Proporcionalidad y semejanza
3.1 Tipos de escalas. Escalas normalizadas
1. Concepto y tipos de transformaciones
1.1 Transformaciones isométricas
1.2 Transformaciones isomórficas
1. Utilización de las transformaciones
1.1 Aplicación de la homotecia
1.2 Aplicaciones de la homología
1.3 Aplicaciones de la afinidad
2. Homología
1.4. Resolución de tangencias por inversión
2.1 Homología en el espacio
2.2 Homología en el plano. Características
UNIDAD 3
2.3 Rectas límite de una homología plana
2.4 Construcciones fundamentales
Transformaciones
geométricas
p. 49
en homología plana
2.5 Determinación de una homología plana
3. Afinidad
4. Inversión
4.1 Concepto de inversión y elementos
4.2 Inverso de un punto
4.3 Inversa de una recta
4.4 Inversa de una circunferencia
UNIDAD 4
Generalización
del estudio
de tangencias
p. 75
1. Potencia respecto a una circunferencia
1.1 Concepto de potencia. Expresiones
de la misma
1.2 Eje radial de dos circunferencias. Propiedades
1.3 Centro radical de tres circunferencias.
Propiedades
2. Propiedades de las tangentes a las cónicas
2.1 Elipse
2.2 Parábola
2.3 Hipérbola
1. Tangencias con circunferencias
1.1 Casos posibles
1.2 Resoluciones basadas en el eje radical
1.3 Resoluciones basadas en la inversión
2. Tangencias con otras cónicas
2.1 Tangentes a la elipse
2.2 Tangentes a la parábola
2.3 Tangentes a la hipérbola
Conocimientos teóricos
1. Cambios de plano
1.1 Nuevas proyecciones del punto
1.2 Nuevas proyecciones de la recta
1.3 Nuevas proyecciones del plano
UNIDAD 5
Sistema diédrico.
Movimientos
p. 99
2. Giro
2.1 Giro de un punto
2.2 Giro de una recta
2.3 Giro de un plano
3. Abatimiento
3.1 Abatimiento de un plano
3.2 Abatimiento de los elementos
contenidos en un plano
1. Distancias entre los elementos fundamentales.
Posiciones favorables de resolución
UNIDAD 6
Sistema diédrico.
Verdaderas
magnitudes
p. 117
Aplicaciones prácticas
1. De los cambios de plano
1.1 Obtener posiciones favorables de rectas
1.2 Obtener posiciones favorables de planos
2. De los giros
2.1 Obtener posiciones favorables de rectas
2.2 Obtener posiciones favorables de planos
3. De los abatimientos
3.1 Trazado de formas en verdadera magnitud
3.2 Restituir a proyecciones formas abatidas
1. Distancias en verdadera magnitud. Resolución en proyecciones
1.1 Entre dos puntos
1.1 Entre dos puntos
1.2 Entre punto y plano
1.2 Entre punto y plano
1.3 Entre punto y recta
1.3 Entre punto y recta
1.4 Entre rectas paralelas
1.5 Entre planos paralelos
1.4 Entre rectas paralelas
1.5 Entre planos paralelos
1.6 Entre rectas que se cruzan
1.6 Entre rectas que se cruzan
2. Ángulos entre elementos fundamentales.
Posiciones favorables
2.1 Entre dos rectas
2.2 Entre dos planos
2. Ángulos en verdadera magnitud. Resolución en proyecciones
2.1 Entre dos rectas que se cruzan
2.2 Entre dos planos
2.3 Entre recta y plano
2.4 Con los planos de proyección
2.3 Entre recta y plano
2.4 Con los planos de proyección
UNIDAD 7
Sistema diédrico.
Poliedros regulares
p. 135
1. Superficies y cuerpos. Introducción
1.1 Concepto de superficie
1.2 Generación y clasificación
1.3 Poliedros regulares
1.4 Fórmula de Euler
1.5 Poliedros conjugados
1. Representaciones de los poliedros regulares
1.1 El tetraedro
1.2 El hexaedro o cubo
1.3 El octaedro
1.4 El dodecaedro
1.5 El icosaedro
2. Características de los diferentes poliedros regulares
2.1 Tetraedro: elementos y relaciones
2.2 Hexaedro: elementos y relaciones
2.3 Octaedro: elementos y relaciones
2.4 Dodecaedro e icosaedro
2. Secciones planas, desarrollos y transformadas
2.1 Secciones planas de los poliedros
2.2 Intersecciones recta-poliedro
2.3 Desarrollos
3. Presencia de los poliedros regulares
3.1 Antecedentes históricos
3.2 Poliedros y arte
1. Superficies radiales de vértice propio
1.1 Concepto y clasificación
1.2 La pirámide: clasificación y elementos
1.3 El cono: clasificación y elementos
UNIDAD 8
Superficies
radiales
p. 163
2. Superficies radiales de vértice impropio
2.1 Concepto y clasificación
2.2 El prisma: clasificación y elementos
2.3 El cilindro: clasificación y elementos
3. Secciones planas. Intersecciones con rectas
3.1 Sección plana. Métodos de determinación
3.2 Secciones planas particulares
3.3 Intersección recta-cuerpo
4. Desarrollos
4.1 Concepto
4.2 Desarrollo de un prisma oblicuo
4.3 Desarrollo del cono de revolución. Rectificación
1. Representaciones más usuales de las diferentes superficies
1.1 La pirámide
1.2 El cono
1.3 El prisma
1.4 El cilindro
2 Secciones planas e intersecciones
2.1 Secciones planas de sólidos
2.2 Intersección recta-cuerpo
3 Desarrollos y transformadas
Dibujo técnico 2
Tabla de contenidos
Conocimientos teóricos
1. Características del sistema axonométrico
2. Proyección de los elementos fundamentales
2.1 Representación del punto
2.2 Representación de la recta
2.3 Representación del plano
Aplicaciones prácticas
1. Paso de diédrico a axonométrico
1.1 Abatimiento de las caras del triedro
1.2 Perspectiva por intersección de proyecciones
2. Representación de sólidos
2.1 Cuerpos poliédricos
2.2 Cuerpos de revolución
UNIDAD 9
Axonometria
ortogonal
y oblicua
3. Trazas de un plano
3.1 Con las caras del triedro de referencia
3.2 Traza ordinaria de un plano
4. Determinación de intersecciones
4.1 De dos planos cualesquiera
4.2 Entre recta y plano
4.3 Entre dos superficies o sólidos
p. 191
5. Determinación de verdaderas magnitudes
5.1 Determinación de la cota de un punto
5.2 Abatimiento de un plano
6. Formas de definir un sistema axonométrico
1. Percepción visual y fotográfica
2. Fundamentos de la perspectiva cónica
2.1 Elementos a considerar
UNIDAD 10
La perspectiva
cónica
p. 211
3. Perspectiva cónica: tipos
4. Variaciones y tipologías de la perspectiva cónica
1. Construcción de perspectivas frontales
1.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva
1.2 Perspectiva de formas planas
1.3 Perspectiva de sólidos
2. Construcción de perspectivas oblicuas
2.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva
2.2 Perspectiva de formas planas
2.3 Perspectiva de sólidos
5. Representación de los elementos fundamentales
5.1 Representación del punto
5.2 Representación y tipos de rectas
5.3 Representación y tipos de planos
6. Determinación de intersecciones
6.1 Intersección de planos
6.2 Intersección de recta y plano
1. Representación normalizada de cuerpos
1.1 Sistema europeo
1.2 Sistema americano
1.3 Elección del alzado y vistas necesarias
1.4 Vistas especiales
UNIDAD 11
Normalización
p. 243
2. Cortes, secciones y roturas
2.1 Concepto de corte y sección; representación
2.2 Tipos de cortes
2.3 Tipos de secciones
2.4 Simplificación por rotura
3. Representación de elementos roscados
3.1 Tipos de roscas y dimensiones fundamentales
3.2 Representación simbólica de roscas
4. Acotación
4.1 Elementos de acotación
4.2 Sistema de distribución de cotas
4.3 Principios de acotación
1. Representar los cortes indicados en las vistas de una pieza
2. Representar las vistas de una pieza dada
3. Despiece de un conjunto mecánico
4. Dibujo de construcción
Conocimientos teóricos
1. Elementos de trabajo 3D
1.1 Las ventanas gráficas
1.2 El sistema de coordenadas personales SCP
1.3 Modos de visualización
Aplicaciones prácticas
1. Creación de objetos 3D
2. Superficies y sólidos
2.1 Superficies
2.2 Sólidos
2.3 Región
UNIDAD 12
Dibujo en CAD,
tres dimensiones
p. 275
3. Órdenes de creación y edición de superficies y sólidos
3.1Generar sólidos a partir de las 2D
3.1.1 Extrusión
3.1.2 Revolución
3.1.3 Solevar
3.2 Edición de sólidos
3.2.1 Matriz 3D
3.2.2 Girar 3D
3.2.3 Simetría 3D
4. Operaciones boleanas en sólidos
4.1 Unión
4.2 Diferencia
4.3 Intersección
1. Espacio papel
UNIDAD 13
Dibujo en CAD,
espacio papel
p. 299
UNIDAD 14
2. Obtención de vistas a partir de un sólido 3D
2.1 Solview (configurar vista) y soldraw
2.2 Creación del perfil de un sólido
3. Acotación de vistas en espacio papel
4. Visualización de sólidos en perspectiva cónica
4.1 Crear cámaras
4.2 Visualización 3D
1.
2.
3.
4.
Configuración del modelizado
Ventana render
Utilización de materiales y texturas
Asignación de luces y determinación de sombras
1. Realizar renders de instalaciones sencillas
4.1 Luz puntual
4.2 Luz distante
4.3 Foco de luz
Dibujo en CAD,
modelaje
de sólidos
p. 319
1. Presentaciones en espacio papel e impresión de las mismas
5. Otros elementos paisajísticos y efectos realistas
5.1 Fondo
5.2 Niebla
Pág. 343 Términos utilizados
Pág. 347 Bibliografía
Cuestiones y ejercicios.
Contenido básico de todas las unidades en formato hipermedia navegable mediante mapas conceptuales.
1
UNIDAD
Curvas cónicas
y técnicas
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
1 Generación de las curvas cónicas
1.1 Clasificación
1.2 Elementos de una curva cónica
2 La elipse
3 La parábola
4 La hipérbola
5 La circunferencia
5.1 Ángulos relacionados
5.2 Arco capaz
6 Curvas técnicas
6.1 Curvas cíclicas
APLICACIONES PRÁCTICAS
1 Construcciones de la elipse
1.1 Conocidos los ejes, por puntos
1.2 Conocidos los ejes, por afinidad
1.3 Conocidos los ejes, por haces proyectivos
1.4 Conocidos dos diámetros conjugados
1.5 Conocidos los ejes, método de la tarjeta
2 Construcción de la parábola
2.1 Conocidos el foco y la directriz
2.2 Conocidos el vértice, el eje y uno de sus puntos
3 Construcción de la hipérbola
3.1 Conocidos los ejes, por puntos
4 Trazados de curvas cíclicas
4.1 Evolvente de la circunferencia
4.2 La cicloide
4.3 La epicicloide
4.4 La hipocicloide
CUESTIONES Y EJERCICIOS
UNIDAD
1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Curvas cónicas y técnicas
Las curvas planas se subdividen en cónicas y técnicas; de las primeras
hablaremos en los próximos apartados. Una parte de las técnicas, óvalos,
espirales, volutas, etc., las conocemos de Dibujo técnico 1; en la presente unidad y como ampliación de las curvas técnicas, estudiaremos las
denominadas curvas cíclicas.
1 GENERACIÓN DE LAS CURVAS CÓNICAS
Las curvas cónicas se obtienen como sección plana de un cono de revolución; debemos empezar, por tanto, por referirnos a las superficies de
revolución (de las que volveremos a hablar en la unidad 8) y, dentro de
éstas, a la superficie cónica.
Una superficie de revolución se genera por el movimiento de rotación,
alrededor de un eje, de una línea a la que llamamos generatriz y de
forma que sus puntos, durante todo el movimiento, se mantienen a la
misma distancia del eje. Según el tipo de generatriz y de su posición en
relación al eje, tendremos, por ejemplo, las diferentes superficies de revolución de la figura 1.
Superficie cilíndrica
Superficie cónica
Superficie esférica
Fig. 1
La superficie cónica se genera por el movimiento de una generatriz recta
alrededor de un eje con el que se corta en un punto, al que llamamos vértice de la superficie cónica. El ángulo con que la generatriz corta al eje es
constante; el espacio delimitado por la superficie cónica es el volumen llamado cono de revolución.
Superficie parabólica
10
Dos son, por tanto, los elementos necesarios para generar una curva cónica: la superficie cónica de revolución y un plano secante que, en función de
su posición, determinará las curvas cónicas que veremos a continuación.
Curvas cónicas y técnicas
TEÓRICOS UNIDAD
CONOCIMIENTOS
UNIDAD
CONOCIMIENTOS
TEÓRICOS
1.1 Clasificación
Cuatro son las posiciones que puede ocupar el plano secante en relación
a los elementos de la superficie cónica, siendo, por tanto, cuatro diferentes las curvas cónicas que podemos generar:
• Circunferencia. Cuando el plano secante es perpendicular al eje de
la superficie cónica (Fig. 2).
• Hipérbola. Si el plano secante es paralelo al eje de la superficie
cónica (Fig. 3). Es el único caso en que el plano secante corta las dos
ramas de la superficie cónica, opuestas por el vértice.
• Parábola. Cuando el plano secante es paralelo a una de las generatrices de la superficie cónica (Fig. 4).
• Elipse. Si el plano secante es oblicuo al eje y a las generatrices de
la superficie cónica, cortando a todas ellas (Fig. 5). Junto con la circunferencia, la elipse es la única curva cónica cerrada; las otras dos,
parábola e hipérbola, son abiertas.
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
11
1
UNIDAD
1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Curvas cónicas y técnicas
De la circunferencia y de sus elementos ya hablamos en la unidad 5 de
Dibujo técnico 1. Ahora, al estudiar las curvas cónicas, nos referiremos a
las otras tres; el estudio de la circunferencia lo centraremos en los ángulos
relacionados con la misma y, en especial, en el arco capaz.
1.2 Elementos de una curva cónica
En todas las cónicas encontraremos los siguientes elementos, que describimos de forma general, y con las particularidades señaladas para cada
una de las curvas:
Monumento a la paz en Hiroshima
con forma de paraboloide hiperbólico.
• Ejes de simetría. La elipse y la hipérbola tienen dos ejes de simetría
perpendiculares entre sí. La parábola tiene un único eje de simetría.
• Vértices. Son los puntos de intersección entre cada curva cónica y
sus ejes respectivos.
• Centro. Es el punto de intersección de los ejes.
• Focos. Están situados sobre un eje de simetría. Son los puntos de
contacto de las esferas inscritas en el cono con el plano secante que
produce la sección cónica. La elipse y la parábola tienen dos focos,
F y F’, y la parábola, uno sólo.
• Circunferencia principal. Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las rectas tangentes a la cónica; su centro es
el de la elipse o hipérbola, siendo su diámetro igual a la longitud del
eje mayor de la cónica.
• Circunferencia focal. Es el lugar geométrico de los puntos simétricos de un foco en relación a las rectas tangentes a la cónica; su centro es el otro foco y su radio es igual a la longitud del eje mayor. En
el caso de la parábola, tanto la circunferencia focal como la principal tienen radio infinito.
2 LA ELIPSE
La elipse es una curva, cerrada y plana, lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F y F’, es constante e igual a la longitud del eje
mayor de la cónica.
Los elementos que en el apartado 1.2 hemos definido de forma
general para cualquier curva cónica, los concretamos en la figura 6 para la elipse. En ella tenemos:
Fig. 6
12
• Ejes. Eje mayor o real, el segmento AB, y eje menor o virtual,
el segmento CD. Ambos se cortan en sus puntos medios determinando el centro O.
• Vértices. Son los puntos A, B, C y D. A la longitud AB se la
Curvas cónicas y técnicas
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
representa por 2a, y, de forma similar, a la longitud CD, por 2b. Las longitudes a y b representan
a los semiejes mayor y menor, respectivamente.
• Focos. Son los puntos F y F’. Conocidos los ejes,
podemos determinar los focos haciendo centro
en C o D y, con radio igual a la longitud a del
semieje mayor, trazar un arco que cortará al eje
mayor en los puntos F y F’.
El vértice C, por pertenecer a la elipse, ha de
cumplir la definición dada como lugar geométrico, por tanto, la suma de distancias a los focos
CF y CF’ ha de ser igual a la longitud 2a; en nuestro caso se cumple al ser CF = CF’ = a.
La distancia entre los focos se denomina distancia focal de la elipse, representándose el segmento FF’ como 2c. En matemáticas, a
partir de los valores a, b y c se establece la ecuación analítica de la
elipse.
• Circunferencias focal y principal. Trazadas de acuerdo a las definiciones dadas en el apartado anterior. Podemos trazar dos circunferencias focales, cada una de ellas con centro en uno de los focos
y con radio igual a la longitud 2a.
UNIDAD
Anfiteatro del s. I a.C. Pompeya, Italia.
En las Aplicaciones prácticas veremos diferentes maneras de construir una
elipse a partir, normalmente, de las longitudes de sus ejes. En todos los
casos, y como en las restantes cónicas a excepción de la circunferencia, el
trazado debe realizarse a mano alzada uniendo los puntos de la cónica
previamente determinados.
3 LA PARÁBOLA
La parábola es una curva, abierta y plana, lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado foco, F, y de una
recta denominada directriz. Los elementos a considerar en una parábola
(Fig. 7), son:
• Eje. Un único eje de simetría que es perpendicular a la directriz;
sobre él se hallan el vértice y el foco de la parábola.
• Vértice. Es el punto A de intersección entre la parábola y el eje de
simetría. Como todos los demás puntos de la parábola, equidista
del foco y de la directriz.
• Foco. Junto con la directriz son los dos elementos fijos de referencia en el trazado de la parábola. La directriz es la forma que en la
parábola toma la circunferencia focal al tener radio infinito.
• Parámetro. Es la distancia entre el foco y la directriz.
Fig. 7
13
1
UNIDAD
1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Curvas cónicas y técnicas
4 LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es una curva abierta y plana, lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados
focos, F y F’, es constante e igual a la longitud del eje mayor de la cónica; la hipérbola está formada por dos ramas simétricas respecto a los dos
ejes de la curva. Los elementos a considerar en una hipérbola (Fig. 8), son:
Fig. 8
• Ejes. El eje real contiene los vértices (puntos A y B de intersección
entre eje y cónica) y los focos. La mediatriz del segmento AB es el
eje imaginario; sobre él medimos el segmento CD, de valor 2b.
Como en la elipse, el eje real se representa por 2a. Ambos ejes lo
son de simetría de la hipérbola.
• Focos. Son los puntos F y F’, citados en la definición de la hipérbola,
y situados en el eje real de la cónica. Se determinan haciendo centro
en el punto O de intersección de los dos ejes y con un radio igual a
la distancia AC. El segmento FF’ es la distancia focal e igual a 2c.
Los parámetros a, semieje real, b, semieje imaginario, y c, semidistancia focal, están relacionados por la expresión c2 = a2 + b2 obtenida aplicando el teorema de Pitágoras en la figura 8.
• Circunferencias focal y principal. Trazadas de acuerdo con los elementos descritos en 1.2. Podemos trazar dos circunferencias focales, cada una de ellas con
centro en uno de los focos, siendo sus radios iguales a
la longitud 2a. La circunferencia principal tiene su centro en O y su radio es igual a la longitud del semieje
real.
• Asíntotas. Son rectas que pasan por el centro O de
intersección entre los ejes de la hipérbola, y a las cuales la curva tiende a aproximarse sin llegar a incidir en
ellas. Para determinar su posición, trazamos desde los
focos rectas tangentes a la circunferencia principal,
obteniendo así el punto T por el que pasará una de las
asíntotas; la otra se obtiene de la misma manera, o
por simetría de la anterior en relación a los ejes de la
hipérbola.
5 LA CIRCUNFERENCIA
Noria del Milenio (London eye). Londres.
14
La circunferencia es una curva, cerrada y plana, lugar
geométrico de los puntos del plano equidistantes de
otro interior llamado centro; la distancia entre éste y
cualquiera de los puntos de la circunferencia es el radio
de la misma.
Curvas cónicas y técnicas
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
UNIDAD
5.1 Ángulos relacionados
En relación a una circunferencia podemos establecer los siguientes ángulos:
• Ángulo central
Es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados
dos radios de la misma (Fig. 9). La medida del arco es la del ángulo central correspondiente y viceversa. Este ángulo se utiliza como referencia
para determinar el valor de los otros ángulos relacionados.
Fig. 9
• Ángulo inscrito
Llamamos ángulo inscrito a aquel que, con el vértice sobre la circunferencia, tiene sus lados secantes. La intersección de los lados con la circunferencia define un arco que diremos está comprendido o delimitado por el
ángulo.
El valor del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el
mismo arco. En la figura 10, el triángulo AOV es isósceles, siendo iguales
los ángulos de vértices A y V; su suma es lo que falta al ángulo de vértice
en O del mismo triángulo para valer 180º. Por tanto, OAV + AVO = AOB,
y dada la igualdad entre los dos primeros ángulos, podremos establecer
que 2AVO = AOB y, finalmente, que AVO = AOB/2.
Fig. 10
La demostración anterior, efectuada cuando uno de los lados del ángulo
inscrito pasa por el centro de la circunferencia, puede efectuarse de igual
manera y, por tanto, generalizarse para cualquier posición de los lados del
ángulo inscrito.
• Ángulo semiinscrito
Puede considerarse como un caso particular del anterior, cuando uno de
los lados del ángulo sea tangente a la circunferencia (Fig. 11). Su valor
también será la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco delimitado por los lados del ángulo semiinscrito: AVB = VOB/2.
• Ángulo interior
Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto del interior de la circunferencia
(Fig. 12), y sus lados son secantes a la misma. Su valor es la semisuma de
los dos ángulos centrales correspondientes a los arcos abarcados por sus
lados y por las prolongaciones de éstos.
Fig. 11
En cualquier triángulo, en el AVB’, por ejemplo, el valor de un ángulo
exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes; así, el ángulo AVB es igual a la suma de los ángulos AB’B y A’AB’. Al ser éstos últimos ángulos inscritos en la circunferencia, su valor será la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco, y por tanto:
AVB = AB’B + A’AB’ = AOB/2 + A’OB’/2 = ½ (AOB + A’OB’)
Fig. 12
15
1
UNIDAD
1 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Fig. 13
Curvas cónicas y técnicas
• Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia, siendo sus lados rectas
secantes a ella (Fig. 13); en casos extremos, los lados pueden ser uno
secante y otro tangente o ambos tangentes. Tal como hemos procedido
con el ángulo interior, determinamos su valor: el ángulo AB’B es igual a la
suma de los ángulos VAB’ y AVB, interiores no adyacentes en el triángulo AVB’; por tanto, podremos establecer que: AVB = AB’B - VAB’ =
AOB/2 – A’OB’/2 = ½ (AOB – A’OB’). Es decir, que el valor del ángulo
exterior es la semidiferencia de los dos ángulos centrales correspondientes
a los arcos abarcados por sus lados.
5.2 Arco capaz
Sea un segmento AB y un ángulo α (Fig. 14); llamamos arco capaz del
ángulo α sobre el segmento AB, al lugar geométrico formado por los vértices de los ángulos iguales a α y cuyos lados pasan por los extremos A y
B del segmento. Para trazar el arco capaz del segmento AB, se traza por
uno de sus extremos, el A en la figura, una semirrecta que forme un ángulo α con el segmento y, por el mismo extremo A, se traza una perpendicular a dicha semirrecta. La intersección de esta perpendicular con la
mediatriz del segmento AB es el centro O del arco capaz.
En la figura anterior el ángulo AOM es igual al ángulo α, por tener sus
lados respectivamente perpendiculares. Por tanto, el ángulo central AOB
será igual a 2α, y cualquier ángulo inscrito en la circunferencia que pasa
por A y B tendrá por valor la mitad de AOB, es decir, el valor de α.
Fig. 14
Tipo de curva
Evolvente
Ruleta
Directriz
Cicloide
Ruleta
Directriz
Epicicloide
Ruleta
Directriz
Posición
Hipocicloide
Ruleta
Directriz
Posición
16
Considerando al segmento AB como eje de simetría, el arco capaz se
extendería en ambos semiplanos simétricamente respecto de AB; desde
cualquiera de los puntos de los dos arcos simétricos se «ve» el segmento
AB bajo el mismo ángulo α. El arco capaz tiene numerosas aplicaciones
en diferentes construcciones de geometría plana (triángulos, por ejemplo),
en navegación, etc.
Recta
Circunferencia
6 CURVAS TÉCNICAS
Circunferencia
Recta
6.1 Curvas cíclicas
Circunferencia
Circunferencia
Exterior
Circunferencia
Circunferencia
Interior
Las curvas cíclicas son curvas generadas por las posiciones del movimiento
de un punto, perteneciente a una recta o a una circunferencia, que rueda
sin resbalar sobre otra recta o circunferencia. A la circunferencia o recta que
se mueve la llamamos ruleta o generatriz, y la recta o circunferencia que
sirve de base recibe el nombre de directriz. Tenemos diferentes tipos de
curvas cíclicas, que veremos en el apartado 4 de las Aplicaciones Prácticas;
las resumimos en la tabla.
Curvas cónicas y técnicas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
Una vez definidas las diferentes cónicas, veremos a continuación los pasos
a seguir para su construcción; en todos los casos el proceso pasa por
determinar diversos puntos de la cónica y por realizar su unión a mano
alzada para formar cada una de las curvas.
1 CONSTRUCCIONES DE LA ELIPSE
En jardinería, como elemento ornamental, se distribuyen parterres de flores
en forma de elipse; para dibujar la elipse sobre el terreno debemos disponer
de una cuerda con una longitud igual al eje mayor de la curva, que fijaremos en el suelo por sus extremos en dos puntos que harán las veces de focos
de la elipse; apoyaremos una estaca, palo o cualquier elemento trazador
sobre la cuerda y, manteniendo ésta tensada, lo iremos desplazando sobre
el terreno en un recorrido que nos describirá la forma de elipse (Fig.15).
1.1 Conocidos los ejes, por puntos
Fig. 15
Situamos los ejes dados AB y CD que, por ser ejes de simetría, se cortarán
en sus respectivos puntos medios (Fig. 16). Conocidos los ejes, y aplicando la definición de elipse dada en el apartado 2 de los Conocimientos teóricos, determinamos la posición de los focos; para ello, con radio igual al
semieje mayor, haremos centro en uno de los extremos del eje menor C o
D, y trazaremos dos arcos que en su intersección con el eje mayor nos
marcarán la posición F y F’ de los focos.
Dividimos el espacio entre los focos por una serie de divisiones 1, 2, 3, etc.;
si tomamos dos radios iguales a las distancias 1A y 1B, y haciendo centro
alternativamente en los dos focos, describimos ocho arcos de circunferencia
que, en sus intersecciones, nos determinan otros tantos puntos de la elipse.
Repetimos el proceso con las distancias 2A y 2B, 3A y 3B, etc. para encontrar nuevos puntos de la elipse; todos los puntos encontrados cumplen la
definición dada para la elipse, ya que desde cualquiera de ellos las sumas de
distancias a los dos focos serán iguales a la longitud del eje real AB.
Fig. 16
Finalmente, unimos los puntos obtenidos con los cuatro vértices de la
curva, manualmente o con plantillas, para obtener la elipse.
1.2 Conocidos los ejes, por afinidad
Trazamos dos circunferencias cuyos diámetros coincidan con las longitudes
de los ejes de la elipse (Fig. 17), y trazamos una serie de radios comunes a
las dos circunferencias, ocho en la figura. Por el punto de corte de cada radio
con la circunferencia mayor, trazamos una paralela al eje menor, y por el
punto de corte del mismo radio con la circunferencia menor, una paralela al
eje mayor. La intersección de ambas paralelas es un punto de la elipse.
Fig. 17
17
1
UNIDAD
1
APLICACIONES PRÁCTICAS
Curvas cónicas y técnicas
Repetimos el proceso con todos los radios trazados y obtenemos un
número suficiente de puntos que, junto a los cuatro vértices, nos permiten
el trazado de la cónica.
1.3 Conocidos los ejes, por haces proyectivos
Dibujamos el rectángulo EFGH, de lados iguales y paralelos a las longitudes de los ejes de la elipse y cuyos puntos medios coinciden con los extremos de cada eje. Dividimos el semieje OA y la mitad AH del lado del rectángulo en el mismo número de partes, cuatro en la figura 18.
Santiago Calatrava. Puente Nuevo,
puente peatonal. Plenzia, Vizcaya.
Fig. 18
Las intersecciones de los haces D1 y C1, D2 y C2, D3 y C3 nos determinan
puntos de la elipse. Repetimos el proceso en los restantes cuadrantes y
obtenemos otros tantos puntos en cada uno de ellos.
Como en los casos anteriores, la unión a mano alzada, o con plantilla, de los
vértices con los puntos hallados nos permite completar el trazado de la elipse.
1.4 Conocidos dos diámetros conjugados
Como en la circunferencia, en la elipse un diámetro es el segmento que une
dos de sus puntos pasando por el centro; lógicamente, ahora no todos los
diámetros tienen la misma longitud. En la elipse de la figura 19, el segmento AB es uno de sus diámetros; para este diámetro, y para cualquier otro,
siempre hay un diámetro al que llamamos conjugado del primero; en
nuestro caso es el diámetro CD, trazado por el punto medio de AB y paralelo a las tangentes a la elipse que pasen por los extremos de AB.
Fig. 19
18
Si conocemos un par de diámetros conjugados de una elipse, AB y CD en
la figura 20, también podemos efectuar su trazado. Empezaremos por
dibujar un cuadrilátero cuyos lados pasen por los extremos de los diámetros
conjugados y sean paralelos a éstos; en relación a uno de sus lados, trazamos una semicircunferencia y el rectángulo tangente que la circunscribe.
Curvas cónicas y técnicas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
Fig. 20
En este rectángulo dibujamos dos radios que cortan a la semicircunferencia
en los puntos 1 y 2; por afinidad referimos estos puntos al cuadrilátero trazado inicialmente. Desde 1 y 2 trazamos paralelas a los lados del rectángulo hasta determinar los puntos M y N y, desde ellos, paralelas a los lados
del cuadrilátero; estas últimas paralelas interceptan sobre las diagonales
cuatro puntos de la elipse; por ellos y por los extremos de los dos diámetros conjugados, pasa la curva cuyo trazado efectuaremos a mano alzada.
El procedimiento que acabamos de ver también lo podemos usar cuando conocemos los dos ejes de la elipse, tras circunscribir un rectángulo a los mismos.
1.5 Conocidos los ejes, método de la tarjeta
Otro procedimiento práctico para dibujar elipses es el denominado método de la tarjeta; por la cantidad de puntos que facilita, puede usarse con
bastante precisión en dibujo técnico, resultando rápido y fácil.
Sobre el canto de una tira de papel marcamos las longitudes correspondientes a los dos semiejes de la elipse, a partir de un extremo común (Fig. 21).
Se hace coincidir el punto R sobre el semieje menor de la elipse a representar y el punto Q sobre el semieje mayor; la posición del punto P nos determina puntos de la elipse (Fig.22).
Repetiremos el proceso tantas veces como queramos, obteniendo nuevos
puntos que enlazaremos a mano alzada o con plantilla; en todos los casos
los puntos Q y R estarán, respectivamente, sobre los semiejes mayor y
menor de la elipse a dibujar.
Fig. 21
Fig. 22
19
1
UNIDAD
1
APLICACIONES PRÁCTICAS
Curvas cónicas y técnicas
2 CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA
2.1 Conocidos el foco y la directriz
Situamos sobre el papel la directriz y el foco F de la parábola a representar, según los datos conocidos. Desde el foco trazamos la perpendicular a
la directriz, perpendicular que corresponde al eje de la cónica; el punto
medio del segmento FO, situado sobre el eje, es el vértice V de la parábola (Fig.23).
Para determinar puntos de paso de la parábola, dibujamos las paralelas a
la directriz 1, 2, 3, 4, etc.; sobre cada una de estas paralelas habrá dos
puntos de la parábola que, como todos sus puntos, serán equidistantes de
la directriz y del foco. Tomamos con el compás un radio igual a la distancia de la paralela 1 a la directriz, y, haciendo centro en el foco F, trazamos
dos arcos que cortarán la paralela 1 en dos puntos de la parábola.
Fig. 23
Repetimos el proceso con la distancia de la paralela 2 a la directriz, y de
las restantes paralelas; iremos encontrando nuevos puntos que, enlazados a mano alzada o mediante una plantilla de curvas, nos definirán la
parábola.
2.2 Conocidos el vértice, el eje y uno de sus puntos
Desde el vértice V y el punto conocido P trazamos, respectivamente, una
perpendicular y una paralela al eje, que se cortarán en el punto A.
Dividimos los segmentos VA y PA en el mismo número de partes, cuatro
en la figura 24. Por las divisiones del segmento VA, trazamos paralelas al
eje de la parábola y unimos las divisiones del segmento PA con el vértice
V; los puntos de intersección son puntos de paso de la parábola.
Completaremos el trazado de la parábola determinando los simétricos en
relación al eje de la curva, tanto del punto P, dado inicialmente, como de
los puntos hallados posteriormente.
Fig. 24
20
Curvas cónicas y técnicas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
3 CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA
3.1 Conocidos los ejes, por puntos
A partir de los ejes AB y CD, determinamos los focos F y F’; para ello, con
radio igual a la distancia AC, haremos centro en O para cortar con dos
arcos la prolongación del eje AB en los puntos F y F’ (Fig. 25).
Situamos las divisiones 1, 2, 3, etc. a partir de uno de los focos; con radios
iguales a las distancias 1A y 1B, y haciendo centros, alternativamente, en
los focos F y F’, describimos ocho arcos que, al cortarse, nos determinarán
cuatro puntos de la hipérbola. Repetimos el proceso con radios iguales a
las distancias 2A y 2B, 3A y 3B, etc.; todos los puntos obtenidos cumplen
con la definición de hipérbola al ser la diferencia de sus distancias a los
focos igual al eje real AB = 2a.
Fig. 25
A mano alzada, como en las otras cónicas, efectuaremos el trazado de la
hipérbola uniendo los puntos obtenidos previamente.
4 TRAZADO DE CURVAS CÍCLICAS
En engranajes, ruedas dentadas, etc., se utilizan las curvas cíclicas como
las más idóneas para conformar los flancos de los dientes por su sencillez
de trazado, por la disminución del rozamiento entre dientes que presentan este perfil y por su resistencia. Entre la gran diversidad de perfiles posibles, se prefieren los de mecanizado más fácil por el ahorro de herramientas y de tiempo; en este grupo están los de perfil cicloidal y, sobre todo,
los de perfil de evolvente. De aquí el interés en conocer estas curvas.
4.1 Evolvente de la circunferencia
Se llama evolvente a la curva plana descrita por
un punto de una recta, generatriz, que gira sin
deslizar sobre una circunferencia a la que llamamos circunferencia base o directriz.
Para su trazado (Fig.26), dividimos la circunferencia directriz en un número de partes iguales,
doce en la figura (la evolvente será más exacta
cuantas más partes hagamos sobre la circunferencia). Por cada punto de división se trazan las
tangentes a la circunferencia, llevando sobre
cada una de ellas longitudes iguales a las rectificadas de los arcos correspondientes; dada la
Fig. 26
21
1
UNIDAD
1
APLICACIONES PRÁCTICAS
Curvas cónicas y técnicas
proximidad de los puntos, aproximamos la longitud de la cuerda a la de su
arco. De esta manera, hacemos centro en T1 y, con un radio igual a la distancia T1T0, trazamos el arco A0A1; a continuación, con centro en T2 y
radio igual a la distancia T2A1, trazamos el arco A1A2, prosiguiendo de la
misma forma para completar los restantes puntos A3, A4, A5, etc. de la
evolvente. La unión a mano alzada, o mediante una plantilla de curvas, de
los puntos determinados nos completa el trazado de la evolvente.
4.2 La cicloide
La cicloide es la curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia (ruleta) que gira sin resbalar sobre una recta directriz. Conocida
la circunferencia generatriz o ruleta, situamos sobre ella el punto P que,
durante el movimiento de rotación de la ruleta, nos irá describiendo puntos de la cicloide.
Empezaremos por dibujar (Fig.27), una recta tangente r, que hará la función de directriz de la cicloide, y sobre la cual llevaremos una longitud igual
a la rectificada de la circunferencia; dividiremos esta longitud y la ruleta en
el mismo número de partes, doce en la construcción de la figura. Por los
puntos de división de la recta r levantaremos perpendiculares que, en su
intersección con la paralela a r trazada por el centro O de la ruleta, nos
determinarán los centros O1, O2, O3.... O12 correspondientes a las posiciones de la ruleta en su desplazamiento. Por los puntos de división de la ruleta trazaremos paralelas a la recta directriz; sobre estas rectas se encontrarán los puntos P1, P2, P3…. P12 de la cicloide, determinados en las intersecciones respectivas con las posiciones de la ruleta de centros O1, O2,
O3.... O12. A mano alzada, o con plantilla de curvas, uniremos los puntos
P1, P2, P3…. P12 para tener la cicloide.
La curva representada en la figura 27 es la denominada cicloide normal.
A partir de ella podemos determinar dos más, la alargada y la acortada;
esta última sería la determinada por un punto interior de la ruleta, por
Fig. 27
22
Curvas cónicas y técnicas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
ejemplo, el extremo de la válvula en la rueda de una bicicleta; para determinar la alargada, el punto sería exterior a la ruleta.
Para trazar la cicloide acortada (Fig. 28), partimos de la cicloide normal;
unimos cada uno de los puntos determinados de la cicloide normal con su
respectivo centro de determinación, por ejemplo, P5O5; sobre este segmento, y a partir de P5, llevamos el segmento P5P5’= PP’ igual al valor
acortado de la cicloide. Repetimos el proceso con los restantes puntos de
la cicloide normal.
Fig. 28
De forma similar, en la figura 29, hemos obtenido la cicloide alargada:
sumamos la longitud del segmento PP’ a los segmentos de unión de cada
uno de los puntos de la cicloide normal con su respectivo centro. Así, por
ejemplo, trazaremos el segmento P7P7’ igual a PP’, medido a partir de la
prolongación de O7P7.
Fig. 29
23
1
UNIDAD
1
APLICACIONES PRÁCTICAS
Curvas cónicas y técnicas
4.3 La epicicloide
La epicicloide es la curva plana que describe un punto situado sobre una circunferencia (ruleta) que gira sin resbalar,
mediante tangencia exterior, sobre otra circunferencia a la
que llamamos directriz. Conocida la circunferencia generatriz
o ruleta, situamos sobre ella el punto P que, con el movimiento de rotación de la ruleta, nos irá describiendo puntos
de la epicicloide.
Detalle de las ruedas y la biela de
una máquina de vapor.
Sobre la recta de unión del centro O de la ruleta con el punto
P, situamos el centro O’ de la circunferencia directriz y efectuamos su trazado (Fig. 30). Dividimos la ruleta en partes
iguales y, al llevar la longitud rectificada de cada una de estas
partes sobre la directriz, obtenemos los puntos 1, 2, 3…. 12;
las prolongaciones de los radios que hacemos pasar por estas
divisiones, en sus intersecciones con la circunferencia de centro O’ y radio
igual al segmento O’O, determinan los centros O1, O2, O3.... O12, correspondientes a las posiciones intermedias de la ruleta en su desplazamiento.
Trazamos circunferencias concéntricas con la directriz que pasen por los
puntos de división de la ruleta, y, al cortarse con las posiciones de la ruleta de centros O1, O2, O3.... O12, nos determinarán los puntos de paso P1,
P2, P3…. P12, correspondientes a la epicicloide normal.
Fig. 30
24
Curvas cónicas y técnicas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
A partir de la epicicloide normal, podemos obtener las correspondientes
epicicloides acortada y alargada (Fig. 31 y 32, respectivamente) procediendo como en el caso de la epicicloide: restando o sumando los segmentos PP’ sobre los segmentos de unión de cada uno de los puntos de la epicicloide normal con su respectivo centro de determinación.
Fig. 31
Fig. 32
25
1
UNIDAD
1
APLICACIONES PRÁCTICAS
Curvas cónicas y técnicas
4.4 La hipocicloide
La hipocicloide es la curva plana que describe un punto situado sobre una
circunferencia (ruleta) que gira sin resbalar, mediante tangencia interior,
sobre otra circunferencia a la que llamamos directriz.
Rectificamos la longitud de la ruleta y la llevamos sobre la directriz, dividiendo ambas circunferencias en el mismo número de partes, doce en la
construcción de la figura 33. A partir de aquí procederíamos como en la
epicicloide, realizando el trazado interiormente a la directriz.
Procediendo de forma similar
a como hemos hecho en las
curvas cíclicas anteriores, en
este caso a partir de la hipocicloide normal, determinamos
las hipocicloides acortada y
alargada (Fig. 34).
Fig. 33
Fig. 34
26
Curvas cónicas y técnicas
1. Describe las curvas cónicas estudiadas
en esta unidad. ¿Alguna de ellas podría
obtenerse también como sección plana
de otras superficies de revolución?
Indícalo con una representación
perspectiva que aclare tus afirmaciones.
2. Compara los elementos fundamentales
(ejes, focos, circunferencias focales, etc.)
correspondientes a las cónicas estudiadas;
para cada una de ellas, determina su
número, características, etc.
3. Compara las diferentes cónicas desde el
punto de vista de la definición dada de
cada una de ellas como lugar geométrico;
¿cómo influyen estas definiciones en sus
trazados por puntos?
Elipse
4. Dibuja una elipse cuyos ejes midan 70 y
46 mm, por el procedimiento que hemos
denominado por puntos en esta unidad.
5. Dibuja una elipse por afinidad, cuyos ejes
midan 60 y 33 mm, respectivamente.
6. Sobre el segmento AB de la figura 35
tenemos situado uno de los focos de la
elipse; determina la posición del otro foco
y del eje menor de la curva. Traza la elipse
mediante el procedimiento denominado
de intersección de rayos proyectivos.
Fig. 35
7. Determina los ejes de una elipse de la que
conocemos sus dos focos y la posición de
uno de sus puntos (Fig. 36). Traza la curva
mediante el procedimiento de la tarjeta.
CUESTIONES Y EJERCICIOS
UNIDAD
8. Traza una elipse de la que conocemos
un par de sus diámetros conjugados,
de longitudes 67 y 54 mm, siendo de
75º el ángulo bajo el que se cortan.
Hipérbola
9. Dibuja una hipérbola de la que conocemos sus dos ejes; AB de 55 mm y CD
de 33 mm.
Parábola
10. Traza una parábola por puntos, sabiendo
que la distancia del foco a la directriz es
de 45 mm.
Circunferencia
11. Por el punto de tangencia de dos
circunferencias se traza una secante
común a ambas; demostrar que:
a) Los radios trazados en los extremos
de la secante son paralelos.
b) Las tangentes trazadas en esos mismos
extremos serán también paralelas.
12. Llamamos ángulo exinscrito al ángulo
que tiene su vértice sobre la circunferencia,
siendo secante uno de sus lados y el otro,
exterior a la circunferencia. Demostrar que
su medida es la semisuma de los ángulos
centrales, correspondientes a los arcos
comprendidos entre el vértice y los extremos del lado interior y la prolongación
del lado exterior.
Arco capaz
13. Desde la posición X de un barco sobre el
mar, se divisan los tres puntos conocidos
Fig. 37
Fig. 36
27
1
UNIDAD
1
CUESTIONES Y EJERCICIOS
Curvas cónicas y técnicas
de la costa A, B y C de la figura 37, y se
miden los ángulos AXB, de 45º y BXC,
de 15º, que forman entre sí las visuales.
Con estos datos fijar la posición del
punto X en el mapa.
14. Determinar un punto interior a un triángulo ABC, equidistante de los lados a y b,
y desde el cual se vea el tercer lado del
triángulo bajo un ángulo de 60º. Lados
a = 9’5 cm, b = 11’3 cm y c = 7’5 cm.
Curvas cíclicas
15. ¿Qué es una curva cíclica? Indica los
tipos y la forma de generación de cada
una de ellas.
16. Para una determinada curva cíclica,
la hipocicloide por ejemplo, indica las
diferencias entre la normal, alargada y
acortada.
17. Traza la envolvente de una circunferencia
directriz de radio 2cm.
18. Dibuja la cicloide normal, cuya ruleta es
una circunferencia de radio 2,5 cm.
19. Dibuja una epicicloide en la que los radios
de la ruleta y de la circunferencia directriz
son, respectivamente, 20 y 50 mm.
Traza las correspondientes epicicloides
alargada y acortada, para puntos que
disten 6 mm en cada uno de los casos.
20. Con los mismos datos de la actividad
anterior traza la hipocicloide.
Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD.
Más actividades en el CD
La belleza perece en la vida, pero es inmortal en
el arte.
LEONARDO DA VINCI
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