Unidad 0

Unidad 0
Aritmética Elemental
Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM)
1.
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Año 2009
Buen orden e inducción.
Empezamos haciendo hincapié en el carácter intrı́nseco de sucesión que tiene el conjunto
de los números naturales. Dos de las propiedades caracterı́sticas de la sucesión de los números
naturales son: la de constituir un conjunto bien ordenado, lo cual significa que tiene un primer
elemento (el 1), y la de ser válido en él el principio de inducción. Precisaremos a continuación
ambos conceptos, ası́ como su interrelación.
Definición 1 Llamaremos sección a la derecha de Z a todo subconjunto de Z de la forma
Sa = {x : x ≥ a}, con a ∈ Z.
Ası́, por ejemplo, tenemos las siguientes:
S−3 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ,
S0 = N0 ,
S1 = N,
etc.
Principio de buena ordenación (P.B.O.) (o principio del buen orden): todo subconjunto
no vacı́o de una sección a la derecha de Z posee menor elemento (o elemento mı́nimo).
En general aplicaremos este principio a N0 . También el principio de inducción, que a continuación enunciamos, lo referiremos directamente a N0 .
Principio de inducción (P.I.) Podemos enunciarlo de tres formas (desde un punto de
vista estrictamente lógico, puede probarse que todas las formas del P.I. son equivalentes entre
sı́, esto es: cada una de ellas puede deducirse a partir de cualquiera de las otras dos).
Forma I. Sea S un subconjunto de N0 tal que:
i) 0 ∈ S, y
ii) si n ∈ S entonces n + 1 ∈ S.
Entonces S = N0 .
Forma II. Sea P (n) una afirmación (o proposición) sobre un entero no negativo n tal
que:
i) P (0) es cierta, y
ii) si P (n) es cierta entonces es cierta P (n + 1).
Entonces P (n) es cierta para todo n ∈ N0 .
Forma III. (forma fuerte del P.I.) Como la Forma II, pero con:
ii) si P (m) es cierta para todo m tal que 0 ≤ m ≤ n, entonces es cierta P (n + 1).
1
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Unidad 0. Aritmética Elemental.
Tanto el P.B.O. como el P.I. son afirmaciones referidas al conjunto N0 de los números enteros
no negativos y ambas son “evidentes por sı́ mismas”: cuando nos detenemos a pensar en lo que
enuncian no lo ponemos en duda. De ahı́ que reciban el nombre de principios, porque no se basan
en ninguna propiedad “anterior” o “más evidente que ellas”, sino que al revés: otras propiedades
“menos inmediatas” de los números naturales hacen uso, en su demostración, del P.B.O. o del
P.I. Asimismo, como veremos a continuación, el P.I. es equivalente al P.B.O.
Proposición 1 P.B.O. ⇔ P.I.
Prueba. ⇒) Veremos que el P.B.O. implica la Forma II del P.I. Para ello, sea F el conjunto
formado por todos los enteros no negativos para los cuales la afirmación P (n) no es cierta. Si
F es no vacı́o, por el principio de buena ordenación aplicado a F llegamos a una conclusión que
contradice las hipótesis del P.I.
⇐) Veremos que la Forma I del P.I. implica el P.B.O. Para ello, sea A ⊆ N0 , A 6= ∅ y
S = {x ∈ N0 : para todo a ∈ A, x ≤ a}. Para ver que A posee un menor elemento bastará probar
que S ∩ A 6= ∅ (¿Por qué? Ver, además, el Ejercicio 1). Para ello observemos que:
i) 0 ∈ S.
ii) S 6= N0 , pues como A 6= ∅ existe a ∈ A y a + 1 ∈
/ S.
iii) Existe x0 ∈ S tal que x0 + 1 ∈
/ S, pues si no, por el P.I. (Forma I) serı́a S = N0 ,
contradiciendo ii).
Vamos a ver que x0 ∈ A (y según lo ya hemos expresado, esto completa la prueba).
Como x0 + 1 ∈
/ S entonces existe a0 ∈ A tal que x0 + 1 > a0 , o equivalentemente, tal que
x0 ≥ a0 . Pero como también x0 ∈ S es x0 ≤ a0 . Concluimos ası́ que a0 = x0 ∈ A.
La Proposición está completamente demostrada.
Nota 1 Otra forma de demostrar el P.B.O. es la siguiente: sea A ⊆ N0 , A 6= ∅. Entonces A
contiene algún entero a y entonces el primero entre los enteros 0, 1, . . . , a que esté contenido en
A es su menor elemento.
Esta demostración más sencilla que la hecha en la Prop. 1, lo es sólo en apariencia, ya que
en sus “puntos suspensivos” se “esconde” el P.I.
2.
Divisibilidad entera.
Definición 2 Si dados a, c ∈ Z existe b ∈ Z tal que ab = c diremos que a divide a c (o
indistintamente que a es un factor o divisor de c), hecho que simbolizaremos a|c. También
diremos que c es un múltiplo de a, como asimismo que b = ac es el divisor (de c) conjugado de
a. En caso contrario (si no existe b ∈ Z tal que ab = c) se dice que a no divide a c, y se anota
a - c; como también que c no es múltiplo de a. Simbolizaremos:
1) Da := {x ∈ Z : x|a} al conjunto de todos los divisores de a.
2) aZ := ȧ := {ax : x ∈ Z} al conjunto de todos los múltiplos de a.
Dado que para todo a ∈ Z : 0a = 0, se desprende de la Def. 2 que 0 es múltiplo de cualquier
entero, pero sólo es divisor de sı́ mismo (ver los Ejercicios 2a) y b)).
Puede comprobarse fácilmente que la relación de divisibilidad es reflexiva (pues para todo
a ∈ Z : a|a) y transitiva (a|b, b|c ⇒ a|c), pero no es simétrica.1
1
Los matemáticos húngaros Paul Erdös (1913–1996) y János Surányi (n.1918) consideraban “desafortunada”
la notación elegida para indicar que un entero es divisor de otro. En su libro Topics in the Theory of Numbers
2
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2.1.
Unidad 0. Aritmética Elemental.
Números Primos.
Definición 3 Se denominan divisores triviales de un entero a 6= 0 a los enteros: −1, 1, −a, a.
Un entero se dice: primo si sus únicos divisores son los triviales y éstos son todos distintos entre
sı́; y se dice compuesto si no es primo, ni −1, ni 0, ni 1.2
Los únicos primos pares son ±2, los demás son impares. Los diez primeros primos positivos
son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Como los divisores de a y −a son los mismos (Ejercicio 2e) se tiene que: a es primo (compuesto) si, y sólo si −a es primo (compuesto, respectivamente), de modo que para no complicar
la notación, en general trabajaremos con los primos positivos.
Teorema 1 Todo número compuesto es producto de primos.
Prueba. Sea P (n) = “ ± n son primos o producto de primos”. Para probar el Teorema es
suficiente demostrar que la proposición P (n) es cierta para todo n ∈ N, n > 1. Lo hacemos por
inducción:
i) P (2) es cierta (pues, como ya señalamos, ±2 son primos).
ii) Supongamos que P (m) es cierta para todo m tal que 1 < m < n (hipótesis inductiva
-H.I.-) y veamos que entonces P (n) es cierta. Si n es primo, P (n) es cierta. Si n no es primo
entonces tiene un divisor no trivial y por lo tanto n = ab con 1 < a < n, 1 < b < n. Por la H.I.
tanto a como b son primos o producto de primos y en cualquier caso resulta ser n un producto
de primos. De modo que P (n) nuevamente es cierta.
Luego, por el P.I. P (n) es cierta para todo n > 1.
Corolario 1 Sea n ∈ Z, n 6= 0, ±1. Entonces existe una sucesión finita de primos 0 < p1 ≤
. . . ≤ pk tal que n = ε · p1 · · · pk , donde ε = ±1.
Prueba. Si n es distinto de −1, 0 y 1 entonces n es primo o compuesto.
Si es primo entonces n = p y el Corolario se cumple tanto si es n > 0 como si n < 0. En el
primer caso es k = 1, p1 = p y ε = 1; y en el segundo: k = 1, p1 = |p| y ε = −1.
Si n es compuesto entonces por el Teo. 1 sabemos que n = q1 · · · qk , con q1 , . . . , qk primos.
Empezamos por reordenar los factores en orden creciente en valor absoluto: 0 < |qi1 | ≤ · · · ≤ |qik |
(donde la sucesión i1 , . . . , ik es una permutación de 1, . . . , k). Considerando a continuación
p1 = |qi1 | , . . . , pk = |qik | se verifica la tesis si, cuando es n > 0 tomamos ε = 1 y cuando
es negativo consideramos ε = −1. El Corolario está completamente demostrado.
Teorema 2 Existen infinitos números primos.
Prueba. Es suficiente ver que existen infinitos primos positivos.
Sea P (n) = “hay n primos positivos”. Para probar el Teorema es suficiente demostrar que
la proposición P (n) es cierta para todo n ∈ N. Lo hacemos por inducción:
i) Para n = 1 la proposición es cierta (cualquier número primo la verifica).
ii) Supongamos que P (n) es cierta (hipótesis inductiva -H.I.-) y veamos que entonces
P (n + 1) es cierta. Por la H.I. hay n primos positivos. Sean éstos p1 , . . . , pn y pasemos a considerar el número natural a = p1 · · · pn + 1, que como es mayor que 1, y de acuerdo con la Def.
3 sólo puede ser primo o compuesto.
(Springer, 2003. Ed. original: 1959) podemos leer (en p.7): ((Unfortunately, a siymmetric symbol is used for an
asymmetric relation; since this symbol is so widely accepted, we make no attempt to intorudce another.))
2
De modo que, por definición, −1, 0 y 1 no son números primos ni compuestos.
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Si a es primo, como es distinto de p1 , . . . , pn (pues es mayor que cualquiera de ellos), resulta
que hay n + 1 primos positivos (p1 , . . . , pn y a) y P (n + 1) es cierta.
Si a es compuesto, por el Teo. 1 es producto de primos. Pero ninguno de los primos p1 , . . . , pn
es divisor de a (pues si alguno de ellos lo fuera, entonces por el Ejercicio 3a), el mismo también
serı́a divisor de la diferencia a − p1 · · · pn = 1, cosa que no puede suceder porque ningún primo
es divisor de 1). Luego, entre los factores de a como producto de primos que es, aparecen primos
distintos de p1 , . . . , pn y por lo tanto hay n + 1 primos y P (n + 1) nuevamente es cierta.
Finalmente, por el P.I. P (n) es cierta para todo n ∈ N y ası́ resulta que el número de primos
es infinito.
2.2.
El Algoritmo de la División.
Proposición 2 (Algoritmo de la División) Si a, d son enteros y d 6= 0 entonces existen
únicos enteros c, r tales que:
a = cd + r,
0 ≤ r < |d| ,
denominándose: r resto (o residuo) de dividir a por d; a dividendo, d divisor, y c cociente.
Prueba. Sean a, d ∈ Z, d 6= 0. Sea C := {a − xd : x ∈ Z}. Dado que x recorre el conjunto de
todos los enteros, C contiene enteros no negativos (tomando x lo suficientemente pequeño o lo
suficientemente grande, según corresponda, dependiendo esto último del signo y la magnitud de
los números a y d dados).3
El conjunto de todos los enteros no negativos de C es C ∩ N0 6= ∅ y por el P.B.O. tiene un
menor elemento. Llamémoslo r. Como r ∈ N0 es r ≥ 0. Sólo falta ver que r < |d|.
Si fuera r ≥ |d| entonces serı́a r −|d| ≥ 0. Como r ∈ C existe un x =: c ∈ Z tal que r = a−cd
y en consecuencia:
r − |d| =
a − cd − d = a − (c + 1) d
a − cd + d = a − (c − 1) d
si
si
d>0
d < 0,
y por lo tanto r − |d| ∈ C ∩ N0 , lo cual es absurdo, pues no hay en C ∩ N0 números menores que
r. Como el absurdo provino de suponer que r ≥ |d|, concluimos que es r < |d|.
Para ver la unicidad, supongamos que a = c1 d+r1 = c2 d+r2 con 0 ≤ ri < |d| (i = 1, 2). Luego
|r1 − r2 | < |d|. Además r1 − r2 = (c2 − c1 ) d y por lo tanto d|r1 − r2 . Si fuera r1 6= r2 entonces
serı́a |d| ≤ |r1 − r2 | (Ejercicio 2g), lo que es un absurdo, con lo cual r1 = r2 . Consecuentemente
(c2 − c1 ) d = 0, es decir, c1 = c2 .
La Proposición está completamente demostrada.
Teorema 3 Si M es un conjunto no vacı́o de números enteros entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
1) M es cerrado bajo la sustracción.
2) M es cerrado bajo combinaciones lineales con coeficientes enteros.
3) El (único) menor entero no negativo m de M es tal que M = mZ.
3
Aquı́ estamos aplicando la propiedad Arquimediana de la recta real (aparentemente debida a Eudoxio), la
cual establece que ((para todo ε > 0 y cualquier x > 0, existe un entero positivo n tal que nε > x)).
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Prueba. Sea M ⊆ Z, M 6= ∅.
1) ⇒ 2) Como M 6= ∅ existe x ∈ M . Entonces, por hipótesis, 0 = x − x ∈ M y
−x = 0 − x ∈ M
(1)
Si también y ∈ M , entonces y + x = y − (−x) ∈ M , de modo que M también es cerrado bajo
la adición. Si x ∈ M y nx ∈ M , con n ∈ N, entonces (n + 1) x = nx + x ∈ M ; luego por el P.I.
tenemos que nx ∈ M para todo n ≥ 0, y por (1) también para todo n ∈ Z. Finalmente, toda
combinación lineal de elementos de M con coeficientes enteros está en M .
2) ⇒ 3) Si M = {0}, el Teorema es cierto con m = 0. Si no, como el conjunto M ∩ N de
elementos positivos de M no es vacı́o (¿por qué?), por el P.B.O. M ∩ N tiene un (único) menor
elemento, al que llamamos m. Por hipótesis, todos los múltiplos de m están en M . Tomando
cualquier a ∈ M como dividendo y m como divisor, por la Prop. 2 sabemos que existen únicos
enteros c, r tales que a = cm + r con 0 ≤ r < m, resultando que r = a − cm está en M . En vista
de cómo fue definido m, esto implica que r = 0, a = cm y consecuentemente M = mZ.
3) ⇒ 1) Sean a, b ∈ M . Dado que M = mZ existen enteros r, s tales que a = rm, b = sm.
Luego a − b = (r − s) m ∈ M y por lo tanto M es cerrado bajo la sustracción.
Corolario 2 Sean a, b, . . . , c ∈ Z y C = {ax + by + · · · + cz : x, y, . . . , z ∈ Z}. Entonces el
(único) menor entero no negativo m de C es tal que C = mZ.
Prueba. Como C es cerrado bajo la sustracción (Ejercicio 3b), por el Teo. 3 en su parte 1) ⇒
3), tenemos la tesis: C = mZ.
2.3.
Máximo Común Divisor.
Proposición 3 Sean a, b, . . . , c ∈ Z, C = {ax + by + · · · + cz : x, y, . . . , z ∈ Z} y d ∈ N0 . Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
1) C = dZ.
2)
i) d|a, d|b, . . . , d|c,
ii)
y
d0 |a, d0 |b, . . . , d0 |c
⇒
d0 |d.
Prueba. 1) ⇒ 2) Cada uno de los enteros a, b, . . . , c pertenece a C y como C = dZ existen
r, s, . . . , t ∈ Z tales que a = dr, b = ds, . . . , c = dt lo que muestra que d|a, d|b, . . . , d|c y por
lo tanto se verifica i). Sea ahora d0 un divisor común de a, b, . . . , c. Entonces d0 es divisor de
cualquier combinación lineal de los mismos (Ejercicio 3a) y dado que d es una combinación
lineal de a, b, . . . , c (pues d ∈ C = dZ), tenemos que d0 |d, lo cual prueba ii).
2) ⇒ 1) Por el Cor. 2 existe un único m ≥ 0 tal que C = mZ y por el 1) ⇒ 2) de esta
Porposición (recién probado) tenemos que:
i’) m|a, m|b, . . . , m|c,
ii’) m0 |a, m0 |b, . . . , m0 |c
y
⇒
m0 |m.
Por i) podemos considerar a d como m0 y ası́ concluir, por ii’), que d|m.
Por i’) podemos considerar a m como d0 y ası́ concluir, por ii), que m|d. Luego es m = d
(Ejercicio 2e) y ası́ C = dZ.
Corolario 3 Sean a, b, . . . , c ∈ Z y C = {ax + by + · · · + cz : x, y, . . . , z ∈ Z}. Entonces el
(único) menor entero no negativo d de C verifica las siguientes condiciones equivalentes:
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1) C = dZ.
2)
i) d|a, d|b, . . . , d|c,
ii) d0 |a, d0 |b, . . . , d0 |c
y
⇒
d0 |d.
Prueba. Que 1) es equivalente a 2) es la Prop. 3 y que se cumple 1) es el Cor. 2.
Definición 4 Sean a, b, . . . , c ∈ Z. El entero no negativo d cuya existencia y unicidad nos
asegura el Cor. 3 se denomina máximo común divisor (brevemente m.c.d.) de a, b, . . . , c y lo
simbolizaremos d =: (a, b, . . . , c).
Nota 2 Antes de dar otras condiciones para que un divisor común de un conjunto de enteros
sea el m.c.d. de los mismos (Proposición 4), observemos que el m.c.d. de los enteros a, b, . . . , c:
1) Es el único d ∈ N0 que verifica las condiciones i) y ii) del apartado 2) del Cor. 3.
2) Es una combinación lineal de a, b, . . . , c ya que por el apartado 1) del Cor. 3, él es el menor
número no negativo del conjunto de dichas combinaciones lineales, y en consecuencia puede
escribirse de la forma:
(a, b, . . . , c) = ax0 + by0 + · · · + cz0
(2)
donde x0 , y0 , . . . , z0 son todos enteros.
Nota 3 No toda combinación lineal de a, b, . . . , c da su m.c.d. d; y ası́, si m = ar + bs · · · + ct
para ciertos enteros r, s, . . . , t, entonces m no es necesariamente el m.c.d. de a, b, . . . , c.
En el caso particular de dos enteros, aunque (a, b) es el menor entero postivo que puede ser
expresado como combinación lineal de a y b, esta representación no es única. Notar que si:
(a, b) = ax0 + by0
(donde x0 , y0 son enteros) es una de tales combinaciones lineales, entonces:
(a, b) = a (x0 + bt) + b (y0 − at)
son otras representaciones (para cualquier t ∈ Z) y ası́ tenemos infinitas.
Proposición 4 Sean a, b, . . . , c ∈ Z y d ∈ N0 tal que d|a, d|b, . . . , d|c. Entonces:
(a, b, . . . , c) = d si, y sólo si existen enteros x0 , y0 , . . . , z0 tales que ax0 + by0 + · · · + cz0 = d.
Prueba. ⇒) Es válido por (2).
⇐) Por la hipótesis general d|a, d|b, . . . , d|c se verifica la condición i) del apartado 2) del
Cor. 3. Para ver que también se verifica la condición ii), sean x0 , y0 , . . . , z0 ∈ Z tales que
ax0 + by0 + · · · + cz0 = d y sea d0 un divisor común de a, b, . . . , c. Entonces (Ejercicio 3a) es
divisor de cualquier combinación lineal de los mismos. Luego, en particular d0 es un divisor de
d, es decir: d0 |d, lo cual prueba ii).
Teorema 4 Sean a, b, . . . , c, e ∈ Z y d = (a, b, . . . , c). Entonces: la ecuación ax+by+· · ·+cz = e
tiene solución en enteros x, y, . . . , z si, y sólo si d|e.
Prueba. Sea C = {ax + by + · · · + cz : x, y, . . . , z ∈ Z}.
ax + by + · · · + cz = e tiene solución
⇔
⇔
⇔
e∈C
e ∈ dZ
d|e.
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(pues por el Cor. 3 es C = dZ)
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El Teorema está demostrado.
Definición 5 Los enteros a, b, . . . , c se dicen primos relativos si su m.c.d. es 1 (esto es, si no
tienen otro divisor común más que ±1). Dos enteros primos relativos se dicen coprimos o primos
entre sı́. Si se trata de los enteros a, b se dice, simplemente, que a es primo con b (y que b es
primo con a).
Teorema 5 Los enteros a, b, . . . , c son primos relativos si, y sólo si la ecuación ax+by+· · ·+cz =
1 tiene solución en enteros x, y, . . . , z.
Prueba. Si a, b, . . . , c son primos relativos, por definición (a, b, . . . , c) = 1 y la ecuación dada
tiene solución (Teo. 4, pues 1|1). Recı́procamente, si la ecuación del enunciado tiene solución,
entonces (a, b, . . . , c) |1 (Teo. 4) , y siendo por definición (a, b, . . . , c) no negativo, necesariamente
debe ser (a, b, . . . , c) = 1 y por lo tanto a, b, . . . , c son primos relativos (Def. 5).
Corolario 4 Sean a, b, . . . , c ∈ Z y d ∈ N tal que d|a, d|b, . . . , d|c. Entonces:
a b
c
(a, b, . . . , c) = d ⇔
= 1.
, ,...,
d d
d
Prueba.
(a, b, . . . , c) = d ⇔
⇔
⇔
⇔
existen x0 , y0 , . . . , z0 ∈ Z tales que ax0 + by0 + · · · + cz0 = d
existen x0 , y0 , . . . , z0 ∈ Z tales que ad x0 + db y0 + · · · + dc z0 = 1
a b
c
d , d , . . . , d son primos relativos
a b
c
d , d , . . . , d = 1.
Prop. 4
Teo. 5
Def. 5
El Corolario está demostrado.
Teorema 6 Si a, b, c son enteros tales que a divide al producto bc y es primo con uno de dichos
factores, entonces a divide al otro factor. (Simbólicamente: a|bc, (a, b) = 1 ⇒ a|c.)
Prueba. Como (a, b) = 1, por el Teo. 5 la ecuación ax + by = 1 tiene solución. Multiplicando
por c:
c = c (ax + by) = a (cx) + (bc) y.
Como a divide a ambos términos del último miembro, entonces divide a c (Ejercicio 3a).
2.4.
El Algoritmo de Euclides.
Comencemos observando el verdadero carácter de “algoritmo” que tiene el Algoritmo de la
División (Prop. 2). Ası́, si se aplica al dividendo a y al divisor d (supongamos ambos positivos),
previa verificación de que a ≥ d se efectúa la sustracción a − d y se compara el resultado
nuevamente con d. Si a − d ≥ d se repite el ciclo y si no, el algoritmo termina. La cantidad
de veces c que hayamos podido repetirlo va a ser el cociente y la diferencia a − cd, el resto de
dividir a por d. El Algoritmo de la División “termina”, ya que a − d, a − 2d, . . . es una sucesión
estrictamente decreciente y en algún momento resultará a − (c + 1) d < d, dando fin al mismo.
Queda claro que el Algoritmo de la División es una reiteración de “restas”. El Algoritmo de
Euclides, será una reiteración de “divisiones” cuyos dividendos serán los divisores anteriores y
cuyos divisores serán los restos anteriores (si éstos no son nulos).
Concretamente, dados a, b ∈ Z, con b 6= 0, por el Algoritmo de la División existen únicos
c1 , r1 ∈ Z tales que a = c1 b + r1 , con 0 ≤ r1 < |b|.
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Si r1 = 0 termina el Algoritmo de Euclides, y si r1 6= 0 continúa como decı́amos: pensando
ahora a b como dividendo y a r1 como divisor, por el Algoritmo de la División existen únicos
c2 , r2 ∈ Z tales que b = c2 r1 + r2 , con 0 ≤ r2 < r1 .
Y ası́ nuevamente: si r2 = 0 el algoritmo termina, y si r2 6= 0, pensando a r1 como dividendo
y a r2 como divisor, existen únicos c3 , r3 ∈ Z tales que r1 = c3 r2 + r3 , con 0 ≤ r3 < r2 , etc.
Este proceso no puede continuar “indefinidamente”, ya que, como r1 , r2 , . . . es una secuencia
estrictamente decreciente de enteros no negativos: r1 > r2 > . . . ≥ 0 y sólo puede existir un
número finito k de enteros no negativos menores que |b|, entonces debe llegar un momento en
el que sea, efectivamente, rk = 0, finalizando ası́ el algoritmo. De modo que si el Algoritmo
de Euclides llega a su fin “en el paso k” es porque es rk = 0 y los restos de las precedentes
divisiones fueron todos positivos: r1 > r2 > . . . > rk−1 > rk = 0.
Una de las virtudes del Algoritmo de Euclides es que va reduciendo el cálculo del m.c.d. de
dos números, al cálculo del m.c.d. de dos números menores o iguales (en valor absoluto) a los
dos de partida (Ejercicio 6). Al concluir el Algoritmo, uno de estos dos números menores es el
cero, de modo que el m.c.d. es el otro.
Concretamente, aplicando el Ejercicio 6b) a las sucesivas divisiones que aparecen al aplicar
el Algoritmo de Euclides a dos enteros dados a, b con b 6= 0, resulta la siguiente cadena de
igualdades de máximos comunes divisores:
(a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = (r2 , r3 ) = · · · = (rk−2 , rk−1 ) = (rk−1 , 0) = rk−1 ,
concluyendo ası́ que (a, b) = rk−1 , como querı́amos demostrar.
El Algoritmo de Euclides puede ser utilizado, además, para calcular los enteros x0 e y0 tales
que (a, b) = ax0 + by0 (cuya existencia destacamos en el apartado 2) de la Nota 2). Veamos
ambas cosas con un ejemplo.
Ejemplo 1 Hallar (45, 132) y expresarlo como combinación lineal de 45 y 132.
Aplicando el Algoritmo de Euclides tenemos
45 = 0 · 132 + 45
132 = 2 · 45 + 42
45 = 1 · 42 + 3
42 = 14 · 3 + 0
Luego (45, 132) = 3, pues 3 es el último resto no nulo:
(45, 132) = (132, 45) = (45, 42) = (42, 3) = (3, 0) = 3.
Además:
(45, 132) = 3 = 45 − 1 · 42 = 45 − (132 − 2 · 45) = 3 · 45 − 132,
resultando ası́ que x0 = 3 y y0 = −1.
2.5.
El Teorema Fundamental de la Aritmética
El Teorema Fundamental de la Aritmética (T.F.A.) es el que habitualmente se enuncia
diciendo: “todo número natural distinto de 1 puede escribirse como un producto de primos de
modo único, salvo por el orden de los factores”. En esta formulación se sobreentiende que los
primos son positivos.
8
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Si quisiéramos extender el T.F.A. al conjunto de los enteros (positivos y negativos) podrı́amos
enunciarlo, tal vez, ası́: “todo entero distinto de −1, 0 y 1 puede escribirse como un producto
de primos de modo único, salvo por el orden de los factores y el signo de los mismos”. Pero el
enunciado preciso de esta extensión a Z es el siguiente.
Teorema 7 (T.F.A.) Sea n ∈ Z, n 6= 0, ±1. Sabemos por el Cor. 1 que existe una sucesión
finita de primos 0 < p1 ≤ . . . ≤ pk tal que n = ε · p1 · · · pk , donde ε = ±1. La forma anterior de
expresar n es única, o sea que si 0 < q1 ≤ . . . ≤ qh son primos tales que n = ε0 · q1 · · · qh , con
ε0 = ±1, entonces: h = k, q1 = p1 , . . . , qk = pk y ε0 = ε.
Prueba. Como obviamente el signo de ε es igual al signo de n, sin pérdida de generalidad
podemos suponer que n es positivo. Vamos a probar el Teorema por inducción sobre el número
k de factores de la descomposición de n.
i) Para k = 1 resulta ser n primo y sólo puede ser h = 1, con n = p1 = q1 (por definición de
número primo), verificándose el Teorema en este caso.
ii) Supongamos que el Teorema es cierto para k (hipótesis inductiva -H.I.-) y vamos a probarlo
para k + 1. Sea pues:
p1 · · · pk pk+1 = q1 · · · qh
(3)
con pi y qi primos y tales que pi ≤ pj si i < j, etc. (es decir, con las condiciones sobre pi y
qi dadas en el enunciado). Como p1 |n, el Ejercicio 10b) implica que p1 debe dividir a alguno
de los primos q1 , . . . , qh , digamos a qj . Pero tratándose de primos positivos: p1 |qj ⇒ p1 = qj .
Simplificando en (3), vale entonces la igualdad: p2 · · · pk pk+1 = q1 · · · qbj · · · qh , donde qbj indica
que debe excluirse el término de ı́ndice j. Vamos a probar que j = 1. En efecto, razonando
análogamente: como q1 |n, el Ejercicio 10b) implica que q1 debe dividir a alguno de los primos
p1 , . . . , pk+1 , digamos a pm . Pero tratándose de primos positivos: q1 |pm ⇒ q1 = pm . Entonces
p1 ≤ pm = q1 ≤ qj = p1 con lo que p1 = q1 , como se querı́a probar. Por consiguiente, luego de
cancelar en ambos miembros de (3) resulta:
p2 · · · pk pk+1 = q2 · · · qh
Como el primer miembro tiene k factores, aplicando la H.I. concluimos que k = h − 1, con lo
que: k + 1 = h, p2 = q2 , . . . , pk+1 = qh . Como también p1 = q1 , podemos afirmar que el Teorema
es cierto para k + 1.
Luego, por el P.I. el Teorema ha quedado completamente demostrado.
Nota 4 En virtud del T.F.A. (Teo. 7) se dice que Z es un dominio de factorización única
(D.F.U.). Asimismo, por existir en Z el Algoritmo de la División (Prop. 2), se dice que Z es
un dominio Euclı́deo (D.E.). La propiedad de ser D.F.U. es consecuencia de la propiedad de
ser D.E. Ambos tipos de propiedades serán consideradas en la asignatura, más adelante, en
situaciones más generales dentro de lo que se llama álgebra conmutativa.
Sean p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . todos los primos positivos en su orden natural (esto es, en
orden “creciente”) y sea n ∈ Z, n 6= 0, ±1. Para cada i ∈ N, sea αi el número de veces que pi
aparece entre los factores primos de n cuando n se escribe como producto de tales factores (con
αi = 0 si pi - n). Entonces tenemos que:
n = ±pα1 1 pα2 2 . . . pαr r
suponiendo que r es lo suficientemente grande como para que todos los divisores primos positivos
de n se encuentre entre p1 , p2 , . . . , pr .
9
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Ejemplo 2 Como ejemplo de aplicación del T.F.A. veamos que no existen enteros m, n tales
que m2 = 6n2 . Sin perder generalidad, podemos restringirnos a m, n positivos (¿por qué?).
Claramente m 6= 1.
Si fuera n = 1 entonces m2 = 6. Sea m = p1 · · · pk la factorización de m en producto de primos. Entonces m2 = (p1 · · · pk ) (p1 · · · pk ) = (p1 p1 ) · · · (pk pk ) y en consecuencia serı́a
(p1 p1 ) · · · (pk pk ) = 2 · 3, lo que por el T.F.A es una contradicción. Luego n 6= 1 (y por lo tanto
podemos suponer m 6= 1, n 6= 1).
Sean m = p1 · · · pk , n = q1 · · · qh las factorizaciones de m y n respectivamente en producto de
primos. Entonces: m2 = 6n2 ⇔ (p1 p1 ) · · · (ph ph ) = 2 · 3 · (q1 q1 ) · · · (qk qk ), igualdad que también
contradice el T.F.A. (¿por qué?).
√
Claramente esto tiene como consecuencia la irracionalidad de 6. (Hacer el Ejercicio 12)
3.
La relación de congruencia en Z.
Definición 6 Dado m ∈ Z, m 6= 0 definimos para todo a, b ∈ Z la siguiente relación ∼m ,
llamada relación de congruencia módulo m:
a ∼m b
⇔
m|a − b.
a ∼m b también suele simbolizarse ası́: a ≡ b mód m y se lee “a es congruente con b módulo m”.
Si m - a − b escribiremos a 6≡ b mód m.
Ası́, por ejemplo 16 ∼5 −9 (o bien: 16 ≡ −9 mód 5) y 13 6≡ 22 mód 5.
Proposición 5 Dados a, b, m ∈ Z, m 6= 0, las siguientes proposiciones son equivalentes:
1) a ∼m b.
2) a y b tienen el mismo resto al dividirlos por m.
3) Existe k ∈ Z tal que a = b + km (como asimismo: existe h ∈ Z tal que b = a + hm).
Prueba. 1) ⇒ 2) Sean a = cm + r, 0 ≤ r < |m| y b = c0 m + r0 , 0 ≤ r0 < |m|. Queremos ver
que r = r0 . Como por hipótesis a − b = km, k ∈ Z resulta a = b + km = (c0 m + r0 ) + km =
(c0 + k) m + r0 , y por la “unicidad” es r = r0 (además de ser c0 + k = c).
2) ⇒ 3) Sea r el resto de a y b al dividirlos por m. Entonces a = c1 m + r y b = c2 m + r, con
0 ≤ r < |m|, para enteros c1 y c2 que existen por el Algoritmo de la División (Prop. 2). Entonces:
a − b = c1 m + r − (c2 m + r) = (c1 − c2 ) m. Luego: a = b + (c1 − c2 ) m y está demostrado que
existe k := c1 − c2 tal que a = b + km (además b = a − km y por lo tanto existe h := −k ∈ Z
tal que b = a + hm).
3) ⇒ 1) Si existe h ∈ Z tal que a = b + km entonces a − b = km y por lo tanto m|a − b y
a ≡ b mód m.
Ası́, en el ejemplo anterior, 16 y −9 tienen ambos resto 1 al dividirlos por 5, y por eso son
congruentes módulo 5; y 13 tiene resto 3 y 22 resto 2, y por eso no son congruentes módulo 5.
Proposición 6 La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia en Z.
Prueba. Es claramente reflexiva, dado que m|a − a = 0 (Ejercicio 2b) y por lo tanto, para todo
a ∈ Z : a ∼m a. Es claro también que es simétrica, dado que si a ∼m b entonces a = b + km para
algún k ∈ Z. Luego b = a + (−k) m con lo cual b ∼m a. Veamos por último que la relación es
transitiva: si a ∼m b y b ∼m c entonces a = b + k1 m y b = c + k2 m para k1 , k2 ∈ Z que existen.
Luego a = b + k1 m = (c + k2 m) + k1 m = c + (k1 + k2 ) m y por lo tanto a ∼m c.
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Definición 7 Las clases de equivalencia de una relación de congruencia se llaman clases residuales. Simbolizaremos (a)m a la clase residual de a ∈ Z en la relación de congruencia módulo
m, y la llamaremos clase residual de a módulo m.4 De modo que:
(a)m = {b ∈ Z : b ∼m a} = {b ∈ Z : b ≡ a mód m} .
Si queda claro por el contexto a qué módulo nos estamos refiriendo, podemos simbolizar
directamente a a la clase residual de a módulo m. (Ver el Ejercicio 17a)
Proposición 7 El número de clases residuales de la relación de congruencia módulo m es |m|.
Prueba. De acuerdo con el apartado 2) de la Prop. 5, dos enteros están en una misma clase
si, y sólo si tienen el mismo resto al dividirlos por m. Como hay |m| restos posibles al dividir
cualquier entero por m, que son los números 0, 1, . . . , |m| − 1, entonces habrá una clase por cada
uno de ellos.
3.1.
Los enteros módulo m.
Definición 8 Simbolizaremos Z/∼m , o indistintamente Zm , al conjunto de las clases residuales
módulo m.5 El mismo es el conjunto cociente de la relación de congruencia módulo m y lo
llamaremos conjunto de enteros módulo m:
n
o
Zm = (0)m , (1)m , . . . , (|m| − 1)m .
(4)
Hemos elegido como “representantes” a los |m| restos posibles de dividir un entero por m.
Ası́, por ejemplo, la relación de congruencia módulo 5, que se simboliza ∼5 , “particiona”
a Z en
n cinco clases residuales,oque son los elementos del conjunto de los enteros módulo 5:
Z5 = (0)5 , (1)5 , (2)5 , (3)5 , (4)5 . Cada clase residual es la siguiente (¡verificarlo!):
(0)5 = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .} ,
(1)5 = {. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .} ,
(2)5 = {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .} ,
(3)5 = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .} ,
(4)5 = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .} .
Proposición 8 Sean a, b, c, d, m ∈ Z y m 6= 0. Si a ≡ b mód m y c ≡ d mód m, entonces:
1) a ± c ≡ b ± d mód m.
2) ac ≡ bd mód m.
Prueba. Las hipótesis, junto con 1) ⇒ 3) de la Prop. 5, nos permiten escribir que:
a = b + k1 m,
k1 ∈ Z
(5)
c = d + k2 m,
k2 ∈ Z
(6)
4
Algunos autores simbolizan “a mód m” a la clase residual de a módulo m. Otros simbolizan a mód m al resto
de dividir a por m.
5
Actualmente esta más difundida la notación Z/mZ para indicar el conjunto de los enteros módulo m.
11
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1) Sumando (o restando) miembro a miembro (5) y (6) resulta:
a ± c = (b + k1 m) ± (d + k2 m) = (b ± d) + (k1 ± k2 ) m
y ası́, por 3) ⇒ 1) de la Prop. 5, tenemos la tesis.
2) Multiplicando miembro a miembro (5) y (6) resulta:
ac = (b + k1 m) (d + k2 m) = bd + (bk2 + k1 d) m + k1 k2 m2 = bd + (bk2 + k1 d + k1 k2 m) m
y nuevamente, por 3) ⇒ 1) de la Prop. 5, tenemos la tesis.
La Proposición está completamente demostrada.
Definición 9 Definimos una suma (que llamaremos suma módulo m) y un producto (que
llamaremos producto módulo m) entre las clases residuales módulo m del siguiente modo:
a + b := a + b
y
ab := ab,
con lo cual estamos diciendo que: la suma de las clases residuales de a y b es la clase residual
de a + b; y que el producto de las clases residuales de a y b es la clase residual de ab.
La Prop. 8 implica que estas definiciones son independientes del representante elegido. (Ver
el Ejercicio 18)
Hasta ahora las congruencias con respecto a un mismo módulo se pueden tratar como “igualdades” (se pueden: sumar, restar o multiplicar miembro a miembro). Sin embargo, con un simple
ejemplo podemos ver que, en general, dos congruencias no se pueden dividir miembro a miembro:
48
48 ≡ 18 mód 10 y 12 ≡ 2 mód 10 pero sin embargo 12
6≡ 18
2 mód 10 (es decir 4 6≡ 9 mód 10).
Ni siquiera se pueden dividir ambos miembros de una congruencia por un mismo número,
como podemos comprobar con el siguiente ejemplo: 48 ≡ 18 mód 10 y dividiendo por 6 ambos
18
miembros obtenemos que 48
6 6≡ 6 mód 10 (es decir 8 6≡ 3 mód 10).
En el próximo Corolario 5 veremos, no obstante, que si el número por el cual dividimos es
un divisor común primo relativo con el módulo, lo anterior sı́ es posible. Ası́ por ejemplo, si en
la congruencia precedente dividimos por 3 ambos miembros, dado que (3, 10) = 1, obtenemos
18
una congruencia válida, es decir, que 48
3 ≡ 3 mód 10 (o bien 16 ≡ 6 mód 10).
Proposición 9 Sean a, b, d, m ∈ Z tales que m 6= 0 y d|a, d|b, d|m. Entonces:
a ≡ b mód m
⇔
a
b
m
≡ mód .
d
d
d
Prueba. Ante todo observemos que como m 6= 0 y d|m es d 6= 0 (Ejercicio 2a). Luego:
a ≡ b mód m
⇔
⇔
⇔
⇔
m|a − b
a
b
dm
d |d d − d
m a
b
d |d − d
a
b
m
d ≡ d mód d .
Def. 6
Ejercicios 2c) y d )
Def. 6
La Proposición está demostrada.
Teorema 8 Sean c, m ∈ Z, m 6= 0 y d = (c, m). Entonces
ac ≡ bc mód m
⇔
12
a ≡ b mód
m
.
d
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Prueba. Por lo pronto, como m 6= 0 es d 6= 0 (Ejercicio 5a). Además, observemos que:
1) d|ac, d|bc y d|m (es decir, estamos en las hipótesis de la Prop. 9).
c m
2) dc y m
d son primos relativos, es decir: d , d = 1 (Cor. 4). Luego:
ac ≡ bc mód m
⇔
⇔
⇔
⇔
ac
bc
m
d ≡ d mód d
m c
d | d (a − b)
m
d |a − b
a ≡ b mód m
d.
Prop. 9 (y Obs. 1)
Def. 6
Ejercicio 11 (y Obs. 2)
Def. 6
El Teorema está demostrado.
Corolario 5 Sean a, b, c, m ∈ Z tales que m 6= 0, c|a, c|b y (c, m) = 1. Entonces:
a ≡ b mód m
⇔
b
a
≡ mód m.
c
c
Prueba. Como c|a y c|b existen enteros a0 , b0 tales que a0 c = a y b0 c = b. Entonces a ≡
b mód m ⇔ a0 c ≡ b0 c mód m, y por el Teo. 8: a0 c ≡ b0 c mód m ⇔ a0 ≡ b0 mód m, pero esta
última congruencia no es más que la siguiente: ac ≡ cb mód m.
Nota 5 Otro hecho que diferencia congruencias e “igualdades” es el siguiente: un producto de
dos enteros puede ser congruente con 0 módulo m sin ser congruente con cero ninguno de los
factores. Ası́ por ejemplo 2 · 3 ≡ 0 mód 6 siendo 2 6≡ 0 mód 6 y 3 6≡ 0 mód 6 (pero un producto
de enteros no puede dar 0 sin ser igual a 0 alguno de los factores).
En término de clases residuales esto se expresa ası́ ab = 0 6⇒ a = 0 ∨ b = 0.
3.2.
Congruencias lineales.
Definición 10 Dado m ∈ Z, m 6= 0, un subconjunto C ⊂ Z se dice un sistema completo de
residuos módulo m si cada entero es congruente a uno y sólo uno de los elementos de C.
Ası́, por ejemplo, C = {0, 1, . . . , |m| − 1} es un sistema completo de residuos módulo m,
para todo m. Si m = 5 entonces C = {0, 1, 2, 3, 4} es un sistema completo de residuos módulo 5.
También lo es C 0 = {0, 1, 12, −2, 4} (pues 12 ≡ 2 mód 5 y −2 ≡ 3 mód 5). (Ver el Ejercicio 20b)
Proposición 10 Sean a, m ∈ Z, m 6= 0 y (a, m) = 1. Probar que si C es un sistema completo de
residuos módulo m entonces para cualquier entero b, el conjunto C 0 = {ax + b : x ∈ C} también
es un sistema completo de residuos módulo m.
Prueba. Por el Ejercicio 20a) sabemos que C tiene |m| enteros y claramente lo mismo vale para
C 0 . Sean ax1 + b ≡ ax2 + b mód m, con x1 , x2 ∈ C. Entonces ax1 ≡ ax2 mód m (¿por qué?) y
como (a, m) = 1, por el Teo. 8 es x1 ≡ x2 mód m. Entonces, por ser C es un sistema completo
de residuos módulo m es x1 = x2 (Ejercicio 20a). Luego ax1 + b = ax2 + b, y nuevamente por
el Ejercicio 20a), resulta que C 0 es un sistema completo de residuos módulo m.
Definición 11 Se llama totalizador de Euler o función φ de Euler, a aquella función φ que a
cada número natural n le hace corresponder la cantidad de naturales menores o iguales que n
que son primos con n (da el “total” de primos con n menores o iguales que n).
13
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Los primeros valores de φ son:
φ (1) = |{1}| = 1,
φ (4) = |{1, 3}| = 2,
φ (2) = |{1}| = 1,
φ (5) = |{1, 2, 3, 4}| = 4,
φ (3) = |{1, 2}| = 2,
φ (6) = |{1, 5}| = 2,
etc.
Otros valores aislados:
φ (10) = |{1, 3, 7, 9}| = 4,
φ (23) = |{1, 2, . . . , 21, 22}| = 22,
etc.
Definición 12 Dado m ∈ Z, m 6= 0, un subconjunto R ⊂ Z se dice un sistema reducido de
residuos módulo m si:
1) para todo r ∈ R : (r, m) = 1,
2) R contiene φ (m) elementos (|R| = φ (m)), y
3) ningún par de elementos distintos de R son congruentes módulo m.
Ası́, por ejemplo, R = {1, 3, 7, 9} es un sistema reducido de residuos módulo 10.
Proposición 11 Si R es un sistema reducido de residuos módulo m y (a, m) = 1, entonces el
conjunto R0 = {ax : x ∈ R} también es un sistema reducido de residuos módulo m.
Prueba. Sea x ∈ R. Como (a, m) = 1 y (x, m) = 1 entonces, por el Ejercicio 9b), es (ax, m) = 1,
y se cumple la condición 1) de la Def. 12 para R0 .
Como claramente R0 contiene el mismo número de elementos que R, la condición 2) de la
Def. 12 también se satisface.
Finalmente, supongamos (razonando por el absurdo) que ax1 ≡ ax2 mód m, con x1 , x2 ∈ R
y x1 6= x2 . Entonces por el Teo. 8 es x1 ≡ x2 mód m (ya que (a, m) = 1), lo que contradice
la hipótesis de ser R un sistema reducido de residuos módulo m. Como este absurdo provino
de suponer que podı́a ser ax1 ≡ ax2 mód m, con x1 , x2 ∈ R y x1 6= x2 , dicha suposición es
impracticable y por lo tanto ningún par de elementos distintos de R0 son congruentes módulo
m. De este modo, la condición 3) de la Def. 12 también se cumple en R0 .
Por lo tanto R0 es un sistema reducido de residuos módulo m.
Ası́, por ejemplo, tomando a = 9 y dado que (9, 10) = 1, el sistema
R0 = {1 · 9, 3 · 9, 7 · 9, 9 · 9} = {9, 27, 63, 81}
es un sistema reducido de residuos módulo 10 (en efecto: 9 ≡ 9 mód 10, 27 ≡ 7 mód 10, 63 ≡
3 mód 10 y 81 ≡ 1 mód 10).
Teorema 9 (Teorema de Euler) Si (a, m) = 1 entonces aφ(m) ≡ 1 mód m.
Prueba. Sea R = r1 , . . . , rφ(m)
de residuos módulo m. Entonces, por
un sistema reducido
la Prop. 11, el conjunto R0 = ar1 , . . . , arφ(m) también es un sistema reducido de residuos
módulo m (pues por hipótesis es (a, m) = 1). Entonces, por el Ejercicio 21 cada elemento de R0
es congruente a un elemento diferente de R; esto es:
ar1 ≡ r10 mód m
ar2 ≡ r20 mód m
..
.
0
arφ(m) ≡ rφ(m)
mód m
14
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0
donde r10 , r20 , . . . , rφ(m)
son r1 , r2 , . . . , rφ(m) en algún reordenamiento. Por el apartado 2) de la
Prop. 8:
0
mód m
ar1 ar1 · · · arφ(m) ≡ r10 r20 · · · rφ(m)
aφ(m) r1 r2 · · · rφ(m) ≡ r1 r2 · · · rφ(m) mód m.
Como para todo i = 1, . . . , φ (m) : (ri , m) = 1 (Def. 12) entonces r1 r2 · · · rφ(m) , m = 1 (Ejercicio 9c) y por lo tanto, por el Teo. 8: aφ(m) ≡ 1 mód m, como querı́amos demostrar.
Definición 13 Llamaremos congruencia lineal a una de la forma
ax ≡ b mód m
(7)
Dados a, b, m ∈ Z (m 6= 0), los enteros x que verifican (7) son sus soluciones.
Ejemplo 3
1) Si a = 1 entonces: x0 es solución de (7) si, y sólo si x0 ∈ b. En efecto, de acuerdo
con la Def. 7, la clase residual de b en la relación de congruencia módulo m es: b =
{x ∈ Z : b ≡ x mód m}. Luego, si a = 1: x0 es solución de (7) ⇔ b ≡ x0 mód m ⇔ x0 ∈ b.
2) Si x0 es solución de (7) entonces todos los enteros de su clase residual x0 también son
solución. En efecto, como x0 = {x0 + km : k ∈ Z} (Ejercicio 17a) debemos ver que para
todo k ∈ Z : a (x0 + km) ≡ b mód m. Como x0 es solución sabemos que ax0 ≡ b mód m.
Además, para todo k ∈ Z : akm ≡ 0 mód m (Ejercicio 15b). Luego, por el apartado 1) de
la Prop. 8 resulta lo que debı́amos ver.
3) Hay congruencias que no tienen solución, como la siguiente: 2x ≡ 3 mód 4. En efecto:
2x ≡ 3 mód 4 ⇔ 2x − 3 ≡ 0 mód 4 ⇔ 2x − 3 ∈ 4̇, pero 2x − 3 es un número impar y por
lo tanto no puede ser múltiplo de 4.
Se desprende de los Ejemplos precedentes que una congruencia lineal: no tiene solución o tiene
infinitas. Estas infinitas son, al menos, todos los enteros de una clase residual. Las preguntas,
entonces, son dos: i ) ¿bajo qué condiciones sobre a, b y m es que (7) tiene solución? Y en caso
de tenerla, ii ) ¿cuáles son todas sus soluciones?
La siguientes Proposiciones nos responderán ambas preguntas.
Proposición 12 Sean a, b, m ∈ Z, m 6= 0 y d = (a, m). Entonces la congruencia lineal (7) tiene
solución si, y sólo si d|b.
Prueba. De acuerdo con la Def. 13 sabemos que (7) tiene solución si, y sólo si existe x0 ∈ Z
tal que ax0 ≡ b mód m. Pero de acuerdo con la Prop. 5:
ax0 ≡ b mód m
⇔
existe k ∈ Z tal que ax0 = b + km.
Luego, (7) tiene solución si, y sólo si existen enteros x0 , k tales que ax0 − km = b y por el
Teo. 4 esto sucede si, y sólo si d|b.
Proposición 13 Sean a, b, m ∈ Z, m 6= 0 y (a, m) = 1. Entonces (7) tiene solución, siendo x0
solución de (7) si, y sólo si x0 ∈ aφ(m)−1 b (la clase residual de aφ(m)−1 b módulo m).
15
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Prueba. Como (a, m) = 1, por la Prop. 12 la congruencia lineal (7) tiene solución. Además:
aφ(m)−1
aφ(m)−1
≡
b
mód m,
aφ(m)−1
aφ(m)−1
y teniendo en cuenta que: si (a, m) = 1 entonces para todo h, k ∈ N : ah , mk = 1 (se deja
como ejercicio), entonces por el Cor. 5 tenemos que:
x0 es solución de (7)
⇔
ax0 ≡ b mód m
ax0
x0 aφ(m) ≡ baφ(m)−1 mód m.
⇔
x0 es solución de (7)
⇔
(8)
Como aφ(m) ≡ 1 mód m (Teorema de Euler) entonces x0 aφ(m) ≡ x0 mód m y teniendo en
cuenta (8), por transitividad llegamos a que:
x0 es solución de (7)
x0 ≡ baφ(m)−1 mód m,
⇒
es decir: x0 ∈ aφ(m)−1 b (pues por definición: aφ(m)−1 b = x ∈ Z : x ≡ aφ(m)−1 b mód m ).
Recı́procamente, si x0 ≡ baφ(m)−1 mód m entonces, multiplicando ambos miembros por a
resulta que ax0 ≡ baφ(m) mód m, y como baφ(m) ≡ b mód m (que resulta de multiplicar por
b ambos miembros del Teorema de Euler), por transitividad tenemos que ax0 ≡ b mód m, es
decir: x0 es solución de (7).
Proposición 14 Si d = (a, m) y d|b entonces (7) tiene solución, siendo las siguientes afirmaciones equivalentes entre sı́:
1) x0 es solución de (7).
2) x0 es solución de la congruencia lineal:
a
b
m
x ≡ mód .
d
d
d
(9)
3) x0 ∈ (t) m , donde t es cualquier solución de (7).
d
4) x0 ∈ (t)m ∪ t +
de (7).
m
d m∪
t + 2m
d
m
∪ · · · ∪ t + (|d| − 1) m
d
m
, donde t es cualquier solución
Prueba. Como (a, m) |b, por la Prop. 12 la congruencia lineal (7) tiene solución.
1) ⇔ 2). Por la Prop. 9: ax ≡ b mód m ⇔ ad x ≡ db mód m
d , de modo que (7) y (9) tienen las
mismas soluciones.
2) ⇔ 3). Como ad , m
d = 1 (Cor. 4) resulta, por la Prop. 13, que todas las soluciones de (9)
φ m −1
son los enteros de la clase residual de a ( d ) b módulo m . Si t es cualquier entero de dicha
d
d
d
clase (y por lo tanto t es solución de (9)), lo que nos dice la Prop. 13 es que x0 es solución de (9)
si, y sólo si x0 ∈ (t) m . Pero por el 1) ⇔ 2) de esta misma Proposición (aplicado a t), tenemos
d
que x0 es solución de (9) si, y sólo si x0 ∈ (t) m , donde t es cualquier solución de (7).
d
S|d|−1
3) ⇔ 4). Por el Ejercicio 17e): (t) m = `=0 t + ` m
d m , lo que completa la demostración
d
de la Proposición.
16
Estructuras Algebraicas I (LM-PM) - Año 2009
3.3.
Unidad 0. Aritmética Elemental.
La ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas.
Definición 14 Si f (x, y, . . . , z) es un polinomio en las variables x, y, . . . , z con coeficientes
enteros, diremos que f (x, y, . . . , z) = 0 es una ecuación Diofántica 6 si restringimos los valores
de sus incógnitas x, y, . . . , z al conjunto de los enteros.
Al presentar el Algoritmo de Euclides (Sección §2.4) vimos un procedimiento para calcular
una solución de la ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas:
ax + by = c
(10)
cuando c = (a, b). Observemos que el mismo procedimiento permite encontrar una solución
c
c
cuando (a, b) |c. En efecto: si x0 , y0 es un par solución de ax + by = (a, b) entonces x0 (a,b)
, y0 (a,b)
es un par solución de ax+by = c (ver el Ejercicio ...). Además, el mismo tipo de representaciones
vistas en la Nota 3 nos permite obtener infinitos pares solución de (10) a partir de uno de ellos.
En el próximo Teorema haremos uso de las congruencias lineales para obtener todas las
soluciones en enteros de ax + by = c cuando (a, b) |c, si conocemos al menos una de ellas.
Teorema 10 Si x0 , y0 es un par solución de la ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas
(10), entonces:
1) x es solución de (10) si, y sólo si x ∈ (x0 )
2) y es solución de (10) si, y sólo si y ∈ (y0 )
b
(a,b)
a
(a,b)
;
;y
b
a
3) x, y es un par solución de (10) si, y sólo si x = x0 + k (a,b)
, y = y0 − k (a,b)
, para algún
entero k.
Prueba. Sabemos por el Teo. 4 que la ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas (10) tiene
solución en enteros x, y si, y sólo si (a, b) |c. Supongamos que éste sea el caso. Como por hipótesis
conocemos un par x0 , y0 que es solución de (10), resulta que:
ax0 + by0 = c.
(11)
1) x ∈ Z es solución de (10) ⇔ existe y ∈ Z tal que ax + by = c ⇔ ax ≡ c mód b. Dado que
x0 es solución de (10), por lo que acabamos de probar es ax0 ≡ c mód b, y por el 1) ⇔ 3)
de la Prop. 14 tenemos que x ∈ (x0 ) b .
(a,b)
2) Igual razonamiento que en 1) (por simetrı́a).
3) Sea x, y un par solución de (10). Por el apartado 1) de este mismo Teorema sabemos que
b
x ∈ (x0 ) b y por lo tanto existe k ∈ Z tal que x = x0 + k (a,b)
. El y correspondiente lo
(a,b)
0
obtenemos despejando de la ecuación (y teniendo en cuenta, de (11), que y0 = c−ax
b ):
b
c
−
a
x
+
k
0
(a,b)
c − ax
c − ax0
a
a
y=
=
=
−k
= y0 − k
.
b
b
b
(a, b)
(a, b)
El Teorema está completamente demostrado.
6
En honor a Diofanto, matemático griego que vivió en Alejandrı́a alrededor del año 250 D.C. Lo más relevante
de su obra es la aparición de ecuaciones del tipo x2 − dy 2 = ±1, planteándose el problema de su resolución, pero
en números enteros. Su famoso libro Aritmética se considera, además, uno de los primeros tratados de Álgebra
por la manipulación algebraica de sı́mbolos.
17
Estructuras Algebraicas I (LM-PM) - Año 2009
4.
Unidad 0. Aritmética Elemental.
Práctica 0.
1) Sea A ⊆ N0 , A 6= ∅ y S = {x ∈ N0 : para todo a ∈ A, x ≤ a}. Mostrar que S ∩ A tiene un
único elemento (en la Prop. 1 vimos que S ∩ A 6= ∅).
2) Mostrar que:
a)
c)
e)
g)
0|x ⇒ x = 0
a|c ⇒ para todo k ∈ Z : ka|kc
(a|c, c|a) ⇔ |a| = |c| ⇔ Da = Dc ⇔ aZ = cZ
(a|c, c 6= 0) ⇒ 0 < |a| ≤ |c|
b)
d)
f)
h)
Para todo x ∈ Z : x|0
(ka|kc, k 6= 0) ⇒ a|c
(a|c, a 6= 0) ⇒ ac |c
(a|b + c, a|b) ⇒ a|c
3) Sean a, b, . . . , c ∈ Z. Probar que:
a) Si d|a, d|b, . . . , d|c entonces para todo x, y, . . . , z ∈ Z : d|ax + by + · · · + cz.
b) C = {ax + by + · · · + cz : x, y, . . . , z ∈ Z} es cerrado bajo la sustracción.
4)
a) Mostrar que dados a, d ∈ Z, d 6= 0, existe un único entero c tal que cd ≤ a < cd + |d|
(existe un único múltiplo cd de d que es el mayor entre los menores o iguales que a).
b) Hallar el cociente c y el resto r cuya existencia y unicidad asegura el Algoritmo de
la División, correspondientes a cada uno de los siguientes dividendos a y divisores d.
Verificar, en todos los casos, que dc ≤ a < dc + |d|:
a) a = 51, d = 3
b) a = −32, d = 5
c) a = −52, d = 4
d ) a = 18, d = −5
e) a = 95, d = −19
f ) a = −32, d = −5
g) a = −91, d = −7
h) a = 46, d = 5
i ) a = 170, d = 23.
5) Probar que:
a) x1 = · · · = xn = 0 ⇔ (x1 , . . . , xn ) = 0.
b) Para todo a, b ∈ Z : Da ∩ Db 6= ∅ y si a 6= 0 o b 6= 0 entonces Da ∩ Db es finito.
c) Para todo a, b ∈ Z no ambos nulos: (a, b) = máx (Da ∩ Db ).
¿Por qué no es cierta la igualdad si a = b = 0?
d ) Si a, b, . . . , c no son todos nulos, entonces (a, b, . . . , c) = máx (Da ∩ Db ∩ . . . ∩ Dc ).
6) Dados a, d ∈ Z, d 6= 0 sean c, r el cociente y el resto de dividir a por d. Probar que:
a) Da ∩ Dd = Dd ∩ Dr .
b) a y d tienen el mismo m.c.d. que d y r, esto es: (a, d) = (d, r).
7) Usar el Algoritmo de Euclides para calcular enteros x0 e y0 tales que (a, b) = ax0 + by0 ,
en cada uno de los siguientes casos:
i)
a = 56, b = 35,
ii )
a = 309, b = 186,
iii )
a = 1024, b = 729.
8) Decir cuáles de las siguientes ecuaciones Diofánticas lineales tienen solución (en Z):
a) 6x + 35y = 1
d ) 14x − 21y + 6z = −1
g) 12x + 8y = 2
b) 6x + 35y = 2
e) 10x − 15y = 5
h) 10x − 15y = −10
c) 6x + 35y = −3
f ) 14x − 21y + 6z = 0
i ) 14x − 21y + 28z = −7.
9) Probar que:
a) si a es primo con b entonces todo divisor de a también es primo con b;
18
Estructuras Algebraicas I (LM-PM) - Año 2009
Unidad 0. Aritmética Elemental.
b) si a es primo con b y c, entonces a es primo con su producto bc;
c) si un entero es primo con cada uno de los enteros a, b, . . . , c, entonces es primo con
su producto (usar inducción sobre el número de factores).
10) Probar que:
a) si a ∈ Z y p es primo, entonces p divide a a o bien es primo con a;
b) si un primo divide a un producto, entonces divide al menos a uno de los factores.
11) Si (a, b) = 1, entonces para todo c ∈ Z : a|bc ⇔ a|c.
12) Haciendo uso del T.F.A.
a) Determinar si existen números enteros a y b no nulos tales que:
i ) 2a2 = 3b2 ,
ii ) a2 = 15b2 ,
iii ) a3 = b2 (a 6= 1, b 6= 1).
b) Repetir el apartado a), pero con números racionales a y b.
c) Probar que todo número racional puede escribirse de una forma y sólo una como
con (p, q) = 1 y q > 0.
p
q
13) El menor entero positivo múltiplo de los enteros a, b, . . . , c (en número finito) todos distintos de 0, se denomina el mı́nimo común múltiplo (brevemente m.c.m.) de los mismos y
se denota [a, b, . . . , c]. Si alguno es cero, entonces [a, b, . . . , c] = 0.
Como en clase, (a, b, . . . , c) indicará el máximo común divisor (m.c.d.) de los enteros
a, b, . . . , c. Probar que (si m 6= 0):
a)
ii ) (ma, mb, . . . , mc) = |m| (a, b, . . . , c).
i ) (a, b, . . . , c) = (a, (b, . . . , c)),
i ) [a, b, . . . , c] = [a, [b, . . . , c]],
ii ) [ma, mb, . . . , mc] = |m| [a, b, . . . , c].
Q
Qr
β
c) Si a = i=1 pαi i y b = ri=1 pi i , donde αi ≥ 0 y βi ≥ 0 para todo i = 1, 2, . . . , r,
Q
Q
entonces: i ) (a, b) = ri=1 pγi i y ii ) [a, b] = ri=1 pδi i ; donde, para todo i =
1, 2, . . . , r : γi = mı́n {αi , βi } y δi = máx {αi , βi }. Luego, calcular de este modo
(312, 900) y [312, 900] indicando explı́citamente quiénes son: r, pi , αi , etc.
b)
d)
14)
i)
|ab| = (a, b) [a, b],
|abc| = (ab, ac, bc) [a, b, c].
ii )
a) Hallar (624, 504, 90) y expresarlo como combinación lineal de 624, 504 y 90. Sugerencia: vı́a el Ejercicio 13a)i ), considerar (624, 504, 90) = (624, (504, 90)).
b) Para aquellas ecuaciones del Ejercicio 8 con solución, hallar al menos una.
15) Sea m ∈ Z, m 6= 0. Probar que:
a) si r es el resto de dividir a ∈ Z por m, entonces a ≡ r mód m.
b) a ∈ Z es múltiplo de m si, y sólo si a ≡ 0 mód m.
16) Sea m ∈ Z, m 6= 0. Probar que si a ≡ b mód m:
a) y c ∈ Z entonces ac ≡ bc mód m;
b) para todo n ∈ N0 : an ≡ bn mód m;
c) y P (x) es un polinomio con coeficientes enteros, entonces P (a) ≡ P (b) mód m.
17) Sean a, m ∈ Z, m 6= 0. Probar que:
19
Estructuras Algebraicas I (LM-PM) - Año 2009
Unidad 0. Aritmética Elemental.
a) Si a es la clase residual de a módulo m entonces: a = {a + km : k ∈ Z}.
b) (a)m = (a)−m .
c) (0)m = mZ.
d ) d|m ⇔ (a)m ⊆ (a)d .
e) Si d|m entonces:
| md[
|−1
m =
(a)d = (a)m ∪ (a + d)m ∪ (a + 2d)m ∪ · · · ∪ a + − 1 d
(a + `d)m .
d
m
`=0
18) Sea m ∈ Z, m 6= 0, sea ∼m la relación de congruencia módulo m en Z y sea Zm el conjunto
de los enteros módulo m (Def. 8). Para cada a ∈ Z sea a la clase residual de a módulo m.
Sabemos que si a0 ∈ a entonces a0 = a, es decir: cualquier elemento de una clase residual
puede tomarse como “representante” de la misma. Habı́amos definido (Def. 9) la suma
módulo m y el producto módulo m entre las clases residuales de Zm del siguiente modo:
si a ∈ Zm y b ∈ Zm entonces
a + b := a + b
y
ab := ab.
Probar que esta definición es independiente del representante elegido. Esto significa que:
si a0 ∈ a y b0 ∈ b entonces a0 + b0 = a + b y a0 b0 = ab (o equivalentemente, que entonces:
a0 + b0 = a + b y a0 b0 = ab).
19)
a) Buscar un módulo m ∈ Z, m 6= 0 y dos clases residuales a y b módulo m, tales que
a 6= 0, b 6= 0 y sin embargo ab = 0.
b) Probar que si p es primo, y:
1) ac ≡ bc mód p y c 6≡ 0 mód p entonces a ≡ b mód p;
2) ab ≡ 0 mód p entonces a ≡ 0 mód p o b ≡ 0 mód p.
20) Sea m ∈ Z, m 6= 0 y C ⊂ Z. Probar que:
a) C es un sistema completo de residuos módulo m si, y sólo si C tiene |m| enteros y
xi ≡ xj mód m (con xi , xj ∈ C) ⇒ xi = xj .
b) En general, cualquier conjunto de |m| enteros consecutivos es un sistema completo
de residuos módulo m.
21) Probar que si R y R0 son dos sitemas reducidos de residuos módulo m entonces no hay
dos elementos distintos de R congruentes a un mismo elemento de R0 .
22) Hallar las infinitas soluciones de las ecuaciones Diofánticas lineales del tipo ax + by = c
que hay en el Ejercicio 8 y tienen solución.
23) Sean a, b, c, d ∈ Z tales que ad − bc = ±1. Mostrar que entonces, para todo x, y ∈ Z :
(x, y) = (ax + by, cx + dy).
20