¡ Actividad

¡Pare! Recuerde: Un polinomio es un suma
Actividad
de potencias enteras no negativas es decir
(los exponentes de las potencias deben ser
números naturales y positivos
¿Identificas correctamente un polinomio?
De las siguientes Expresiones algebraicas marque (F) ó (V) y justifique según
corresponda.
1.
A. 5x-1 +2x3+x-2es un polinomio ( ) ¿por qué?
B.
1 2
x
2
1
- 2x3+5x no es un polinomio ( )¿por qué?
C. 6y-3 +9xy -12z1/2es un polinomio ( )¿por qué?
D. 12√𝑥 +4yz5 -14xes un polinomio ( ) ¿por qué?
E. -4xy + 14yzes un polinomio ( ) ¿por qué?
F. 3m3 -2m2 + n no es un polinomio ( ) ¿por qué?
¡Curiosidad!
¿Podríamos sumar dólares y pesos colombianos?
Términos semejantes: dos o más términos (expresiones) son semejantes cuando
poseen la misma dimensión. Dicho de otra forma siempre y cuando estén afectados
por la misma parte literal (la misma letray el mismo exponente) x2y x3¿son
términos semejantes?
Ejemplo:construyamos un
también.
x
x2
x
cuadrado (objeto) de lado x y un cubo de lado x
observemos que el área del cuadrado es x2se obtiene
elevando a l cuadrado la longitud de uno de sus lado
Alto
x
Observemos que el volumen del cubo es x3se obtiene
Elevando al cubo la longitud
Ancho
x3
x
x
Largo
¿podría sumar un cuadrado y un cubo?
Observación #1: Se detalla claramente que el exponente de la parte literal (letra) podría
representar la dimensión en la cual estoy trabajando, como vemos cuando tenemos x2estamos
trabajando en dos dimensiones podría ser un cuadrado de lados x y cuando tenemos
x3tendríamos un cubo cuyo largo, ancho y alto valen lo mismo en este caso x también.
Noteseque tener x4 me representaría 4 dimensiones y así sucesivamente hasta las
dimensiones conocidas.
(Ojo) Advertencia #1: objetos de dimensiones diferentes no pueden simplificarse. Solo podrían
dejarse como una expresión
indicada.
Por otra parte tener 2x2significa tener dos cuadrados de lados xasí:
Solo podrá simplificarse o reducirse los objetos de una misma dimensión. Sería incorrecto
decir que x2 + x3 = x5óx4 - x3 = x1 lo correcto sería dejarlos indicados así: x2 + x3
Así como 3 peras y 2 piñas no se pueden sumar los términos que no sean semejantes
X
x
tampoco.
x2
x
x2
x
Por tener la misma dimensión pueden sumarse x2 + x2 = 2x2
También 4y3 significaría tener 4 recipientes cúbicos de lados y
y
y3
y
y
y
y3
y
y3
y
y
y3
yy
xy 3
y
xy3
yx3
yx3
4Y3Exponente o Dimensión
coeficiente
Cantidad de recipientes u objetos De la dimensión
Ejercicio: (identifique los términos semejantes)
Teniendo en cuanta la explicación anterior marque (F) ó (v) los términos que la flecha indique
si son semejantes o no.
-7x2y2
2a4
3z2
1 2
y
2
2xm+1
8u2y
5x3y
6a4
5z2
5y
xm+1
10u2y
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Es una operación cuyo objetivo es:convertir en un solo término dos o más expresiones
algebraicas.
Clave:se simplifican los coeficientes y se deja indicada la misma parte literal
Ejemplos:
1.
6 a2b3 – 2a2b3 = 4 a2b3
1
2. 6 a3b2 + 2a3b2 =
12𝑎3 𝑏2 +𝑎3 𝑏2
2
=
13𝑎 3 𝑏2
2
3. 12xm+1 -12xm+1 = 0
4. -7yz3+6yz3 -5yz3 = -6yz3
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
LA SUMA O ADICIÓN: Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas (sumandos)en una sola expresión algebraica suma. Por
ejemplo la suma de c y d seria c+d porque el objeto es reunirlas agruparlas.
Advertencia #2: Mientras que en aritmética la suma significa aumento en algebra no
siempre, porque en algebra la suma es un concepto más generalpor ejemplo la suma
de 2x -5y es:
2x + (-5y) que es el equivalente a restar de 2x el valor absoluto de 5y.
SUMA DE POLINOMIOS:
Convenio O Regla General
 parasumar dos o más polinomios se reducen los términos semejantes:
Ejemplo: sumarx2 -3x-1 con -7x3 + 5x – 1. Se realiza de la forma siguiente: podemos asociar o
agrupar términos semejantes
Se realiza (x3 -3x-1) + (-7x3 + 5x – 1) = (x3-7x3) +(-3x+5x) -1-1) =-6x3+2x -2
Observación#2: El orden de los sumandos no altera el resultado
También podemos escribir dichos términos en columna y sumarlos“escribiendo letra debajo de
de letras y numero debajo de número.
x3-3x-1
-7x3+5x -1
-6x3 + 2x -2
¿Por qué la suma algebraica podemos realizarla de derecha a izquierda o de izquierda a
derecha?
Ejemplo #2: también podemos tener coeficientes fraccionarios y exponentes literales
acompañando a los factores.
1
1
Sumar2am+1 -2bn+2+ 9c -8 con 5bn+2 +6c -7 am+1
1
1
Solucion:2am+1 -2bn+2+ 9c -8
-7 am+1 + 5bn+2+6c
-
13 m+1 9 n+1
a +2b
2
+15c – 8
sumandos
total
Observación #3: Observe que al sumar dos polinomios el total o suma será también otro
polinomio esto es que se conoce como la propiedad clausurativade la suma de polinomios.
LA RESTA O SUSTRACCIÓN: Es una operación que tiene por objeto. Dada la suma de dos
sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo) determinar la diferencia.
Regla general: La resta de polinomios se realiza sumando el minuendo con el opuesto aditivo
del sustraendo.
Ejemplo: en la operación 4x2 -5x +8 restar -5x2 +9x -7
El primer polinomio es el minuendo y el segundo es el sustraendo, por lo tanto se escribe:
(4x2 -5x +8) – (-5x2 +9x -7)
= 4x2 -5x +8 + 5x2- 9x +7 “ojo se le cambia el signo a todos los términos del sustraendo”
= (4x2+ 5x2) +(-5x - 9x) +8 +7 “Asociando términos semejantes”
=9x2 -14x + 15factor diferencia.
Observación #4: si usted desea probar la diferencia entre polinomios puede hacerlo aplicando
los mismos criterios cuando efectuaba números (solamente) en aritmética. Así
Minuendo – sustraendo =Diferencia Minuendo = Diferencia + sustraendo
Al igual que la suma de polinomios nosotros podemos efectuar la resta de polinomios en
columnas siempre y cuando hayamos cambiado los signos de todos los factores del
sustraendo. Así:
4x2 -5x +8
minuendo
5x2 - 9x +7
sustraendo
9x2 – 14x + 15
Diferencia
Observación #5: En muchos textos de matemáticas especialmente en el algebra nosotros
encontraremos algunos términos de enlace para realizar la diferencia por ejemplo
De 2x4 +9y5 -3 restar12x4 -9y5 +3 se procederá de la misma forma
Minuendo
sustraendo
De la expresión del minuendo se extrae (saca) el termino sustraendo y simplemente la
expresión restar se sustituye por el signo (-) que es el equivalente a sumar el minuendo con el
opuesto aditivo del sustraendo.
(2x4 +9y5 -3)– (12x4 -9y5 +3)=2x4 +9y5 -3 -12x4 + 9y5-3 = -10x4+18y5 -6
Otra forma aparecería así: restar12x4 -9y5 +3De 2x4 +9y5 -3 en este caso lo que hay que tener
en mente es que siempre el termino que aparece después de la expresión De es el minuendo
este termino siempre va de primero, finalmente el termino que aparece después de la
expresiónrestar12x4 -9y5 +3 es el sustraendo y este siempre va de ultimo, obviamente
sustituyendo la expresión restar por el signo (-) y efectuando los procedimientos anteriores
Observación #6:Al igual que en la suma en la resta de polinomio también pueden aparecer
coeficientes fraccionarios acompañando a las expresiones las cuales tienen exponentes
1
1
literalesEjemplo De 3ar+3 -5bd-8 +9 restar De 5ar+3 + 12bd-8 -14
Solución:
1
1
1
1
(3ar+3 -5bd-8 +9) – (5ar+3 + 12bd-8 -14) = 3ar+3 -5bd-8 +9 - 5ar+3 -12bd-8 +14 =
2 r+3
a
15
-17bd-8 + 23
De igual forma podemos realizar varias operaciones indicadas
(3x5+3) + (2x5+x) – (12x5+4x) = 3x5+3 + 2x5+x -12x5 - 4x = (3x5 +2x5 -12x5)+ (x-4x) + 3
= -7x5 -3x + 3
SIGNOS DE AGRUPACION
Se emplean para indicar que las cantidades contenidas o encerradas en ellas han de
considerarse como una sola cantidad. Los signos de agrupación son de cuatro clases. El
paréntesis ordinario( ),el paréntesis angular o corchete[ ], las llaves { } y el vínculo
obarra.
Orden a utilizar.
 ( ) se usa para encerrar dos o más cantidades (a+b+c)
 [ ] indica que las cantidades están más encerradas que las del paréntesis y lo
abarca así: [ a+(b+d)]
 { }indica que las cantidades están más encerradas que las del corchete y abarca
tanto el corchete como el paréntesis asi: { c-[a+(b-c)] }

Su uso no es tan frecuente pero tiene la misma función del paréntesis,
del corchete y de las llaves Asi. - a+b
Ejemplos: (a+b) + c “Nos indica que el resultado de la suma de a con b debe sumarse
con c.”
–{d + [ a - (b-c)] }“Nos indica que primeramente debe realizarse la diferencia entre b y
c, luego a esa diferencia se le cambia el signo, después se resta con a, luego se suma con
d y finalmente se le cambia el signo.Todo depende del contexto en el cual se está
utilizando es decir. Podemos tener [ 2x +{2y-3x}]
¿CÓMO SUPRIMIMOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN?
Caso I: para suprimir signos de agrupación precedidos por el signo (+) se deja el mismo
signo que tengan cada una de las cantidades que hayan dentro de él. Se sugiere
simplificar o reducir los términos semejantes (si los hay)
Ejemplo: x2 + (-3x –x2 + 5) = x2 -3x –x2+5 = -3x +5
Caso II:para suprimir signos de agrupación precedidos por el signo (-) se cambia el
signo a cada una de las cantidades que hayan dentro de él. Se sugiere simplificar o
reducir los términos semejantes (si los hay)
Ejemplo: x2 - (-3x –x2 + 5) = x2 +3x +x2- 5 = 2x2 +3x -5
Ejemplo # 3: simplificar suprimiendo signos de agrupación y reduciendo términos
semejantes. 2x + [-5x – (-2y + {-x+y})]
Clave: se resuelve desde el signo de agrupación más interno hasta el más externo.
2x + [-5x – (-2y + {-x+y})]
= 2x + [-5x – (-2y -x+y)]“suprimiendo las llaves
= 2x + [-5x – (-2y -x+y)] “suprimiendo el paréntesis cambiando los signostenemos
= 2x + [-5x +2y + x - y] = 2x + [- 4x + y ] = 2x - 4x + y
= -2x + y
Ejercicios: simplificar suprimiendo signos de agrupación y reduciendo términos
semejantes.
1.
2.
3.
4.
5.
2x - (-2y -x+y)
2z3+ (9y +12z3)
2xy2- 5xy2–7x3
x - [ - (-5x + 2y )]
2x - [-5x – (-2y + {-2x+3y})]
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicandoy multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto.
Propiedad # 1: El orden del os factores no altera el productoesta propiedad
enunciada en aritmética, también se cumple en algebraAsi: abcnos indica el producto de
entre a, b y c también puede escribirse cbaóbac etc. Es lo que se conoce como
propiedad conmutativa de la multiplicación.
Propiedad # 2: los factores de un grupo pueden agruparse de cualquier
modoasipqr = p. (qr) = (pq).res lo que se conoce como ley asociativa de la
multiplicación.
En conclusión al realizar el producto de expresiones algebraicas se cumplen dos
propiedades:


Conmutativa
Asociativa
Observación:Antes de realizar multiplicación entre monomios y polinomios se debe tener en
cuenta lo siguiente:

LEY DE LO SIGNOS
Caso I: producto de cantidades positivas (+a) x (+b) = +abel producto sigue siendo
positivo.
Caso II: producto de una cantidadpositivas por una negativa (+a) x (-b) = -ab el
producto es negativo.
Caso III: producto de una cantidad negativa por una positiva (-a) x (+b) = -ab el
producto sigue siendo negativo. “Recuerde la propiedad conmutativa”
Caso IV: producto de dos cantidad negativas (-a) x (-b) = +ab el producto espositivo
Para entender mejor el principio enunciado anteriormente observe lo siguiente
Resumen:
1. (+) por (+) da (+)
2.(+) por (-) da (-)
3. (-) por (+) da (-)
4. (-) por (-) da (+)


Ojo:
Producto de signos iguales da (+)
Producto de signos contarios da (-)
Note que esta ley de los signos no está desligada de la realidad,así por ejemplo este principio se
podría ilustrar de la siguiente forma: Utilizando la analogía de las relaciones que se establecen
entre distintas personas.
1.
2.
3.
4.
Los amigos de mis amigos podrían llegar a sermis amigos
Los amigos de mis enemigos podrían llegar a sermis enemigos
Los enemigos de mis amigos podrían llegar a sermis enemigos
Los enemigos de mis enemigos podrían llegar a seramigos
LEY DE LOS EXPONENTES: Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma
base, y se pone por exponente la suma de los exponente de los factores.Ejemplo:
a2xa3xa4 = a2+3+4base suma de exponentes a9
Poseen la misma base (letra)
En pocas palabras tener am x an = am+n generalizando an = axaxaxa…n(veces) ó n copias de n
LEY DE LOS COEFICIENTES: El coeficiente del producto de dos factores, es el producto de los
coeficientes de los factores Así: 3ax4b =12ab
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:
Regla
 Se Multiplican los coeficientes de los factores
 Se escriben las letras en su orden
 Si hay factores que posean la misma base sumar los exponentes
Ejemplo: -4m2 por -5mn2 = (-4m2)(-5mn2) = 20m2+1n2= 20m3n2
(-6pm+1qn+2) por (8pm+1qn+2) = -48p2m+2q2n+4
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:
El producto de dos polinomios se encuentra aplicando la ley distributiva y las propiedades de la
potenciación:
Ejemplos: Multiplicar (a2 -4)(a2 +3) = a2(a2 +3)– 4(a2 +3) “propiedad distributiva”
a2(a2 +3) – 4(a2 +3) =a4+3a2 -4a2 – 12 =a4- a2-12
También podemos multiplicar los términos en columna así:escribiendo debajo de la
expresión multiplicandoel multiplicador. Se toma el primer termino del
multiplicador y se realiza el producto con cada uno de los términos del
multiplicando, de igual se toma el segundo término y se realiza el proceso anterior,
escribiendo debajo del primer producto letra debajo de letra y numero debajo de número
(siempre ycuando sean semejantes)
a2 – 4
X a2 +3
multiplicando
multiplicador
a4 -4a2
+3a2 -12
a4 -a2 -12
Producto
También podemos tener coeficientes fraccionarios y exponentes literales en la
multiplicación
Ejercicios: Realizar el producto de:
1 s+1
x +2ym+2
2
1 s+1
x
8
- 2ym+2
1
1
x2s+2 + 4 xs+1ym+2
- xs+1ym+2 - 4y2m+4
16
1 2s+2
x
16
3
- 4xs+1ym+2 - 4y2m+4
ACOMPAÑANDO A LOS ESTUDIANTES EN SUS EXPERIENCIAS
ALGEBRAICAS UTILIZANDO LOS BLOQUES DE DIENES.
Los bloques de Dienes, son cuadrados y regletas de ciertas dimensiones.
Estos bloques se pueden elaborar en diversos materiales y dimensiones y de
acuerdo a las posibilidades y preferencias; entre ellos cartulina, madera, cartón
paja, plástico, etc.
En la construcción del material es importante asegurarse de que:

El lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de la regleta
(rectángulos).

La medida de los lados de los cuadrados grandes es la medida del largo de
los rectángulos.

Los rectángulos pueden ser equivalentes a tres cuadrados pequeños.

Los cuadrados grandes pueden ser equivalentes a tres rectángulos
grandes.

Se pueden considerar las figuras con colores positivas y las blancas
negativas y viceversa.

En los rectángulos, se considera que la longitud de el lado más corto es la
unidad y el otro lado es X, de donde el área es también X.
¡Recuerde! El área de un
cuadrado o rectángulo se
obtiene multiplicando la
base por su altura

El cuadrado más grande tiene como medida de sus lados, la medida del
lado mayor del rectángulo, es decir X.
Con este material conocido como bloques de Dienes, se puede:

Representar expresiones algebraicas.

Realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios.
 REPRESENTEMOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
 SUMEMOS Y RESTEMOS POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
 HACIA LA SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
 HACIA LA SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
 HACIA LA MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo 1
2 (4X – 3)
Primero que todo representamos los indicado en el paréntesis.
Luego duplicamos como lo indica la constante.
Ejemplo 2.
3 (2X2 – X + 1)
Tres veces dicha expresión es:
Columnas
Ejemplo 3. Producto de binomios
(2X + 1) (3X + 2)
(2X + 1) (3X + 2) = 6X2 + 7X + 2
Ejemplo 4.
(2X – 1) (X – 3)
Filas
(2X – 1) (X – 3) = 2X2 – 7X + 3
Ejemplo 5.
(X + 2) (X – 3)
(X + 2) (X – 3) = X2 – X – 6
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La división es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores
(dividendo) y uno de los factores (divisor) hallar el otro factor (cociente).
Por lo tanto podemos afirmar que: cociente x Divisor = Dividendo
Ley de los signos: La ley de los signos en la división es la misma que la de la
multiplicación.
+
+
−
+
+
−
−
−
=+
===+
LEY DE LOS EXPONENTES:
Regla General: Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se
pone de exponente la resta entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor
𝑥𝑚
= xm-n
𝑛
𝑥
Ejemplo:
𝑥4
= x4-2
2
𝑥
=𝑥 2
LEY DE LOS COEFICIENTES: El coeficiente del cociente es el cociente de dividir
35𝑚3
el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
= 5m
7𝑚2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
Regla general: “Ley Distributiva”
Sean (p +q+ r) ÷ s =
p +q+ r
𝑠
=
p
𝑠
q r
+ +
𝑠 𝑠
Dividendo Divisor
Se dividen cada uno de los términos del dividendo entre el monomio, separándolos con
sus respectivos signos y aplicando los casos anteriores.
Ejemplo:
DIVISION DE POLINOMIOS
La división de polinomios algebraicos se realiza de forma similar al proceso de
división de números enteros.
A continuación se describen los pasos para dividir polinomios.
1. Se ordenan (organizan)
los polinomios con relación a una letra
(preferiblemente en orden descendente) Ejemplo: supongamos que nos
pidan dividir
-5a + 4a2+7 entre a-3
Orden: 4a2-5a +7 a-3 “polinomio ordenado con relación a la letra a en
orden descendente.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor; así se obtiene el primer término del cociente.
Ejemplo:
𝟒𝒂𝟐
𝒂
= 4a “primer término del cociente” 4a2 -5a +7 a-3 “
4a
3. Se multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del
divisor. Antes de efectuar la operación, se cambia el signo de dicho
producto y se reducen los términos semejantes.Así:
4a2 -5a +7 a-3
-4a2 + 12a 4a
7a +7
4. Se baja el siguiente termino y se repite el proceso
Dividendo
4a2
-4a2
-5a +7 a-3 Divisor
+ 12a 4a+7
Cociente
7a +7
-7a + 21
28
Ejemplo # 2:
Residuo