Estad´ıstica Tema 1: Estad´ıstica Descriptiva Unidimensional

Estadı́stica
Tema 1: Estadı́stica Descriptiva Unidimensional
Unidad 1: Frecuencias y Gráficos
Área de Estadı́stica e Investigación Operativa
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Septiembre 2010
Contenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Introducción a la Estadı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Población, Muestra y Carácter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Frecuencias Absolutas y Relativas
Frecuencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . .
Frecuencia Relativa . . . . . . . . . . . . . . .
Frecuencias Absolutas y Relativas con R
Frecuencias Absolutas y Relativas con R
Frecuencias Acumuladas (Cumulative). .
Frecuencias Acumuladas con R . . . . . . .
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Gráficos para un Carácter Cualitativo
Diagrama de Rectángulos . . . . . . . . . . .
Diagramas de Rectángulos con R . . . . .
Diagrama de Sectores . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de Sectores con R . . . . . . . . .
Pictograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cartograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
8
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12
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14
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16
17
18
Ordenación de datos de Carácter Cuantitativo
19
Intervalos y Marcas de Clase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Ejemplo: Ingresos Anuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Gráficos para un Carácter Cuantitativo
Diagrama de Barras . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de Barras con R . . . . . . . . . . . .
Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histograma con R . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polı́gonos de Frecuencias . . . . . . . . . . . . .
Frecuencias Acumuladas . . . . . . . . . . . . . .
Tallo y Hojas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tallo y Hojas con R . . . . . . . . . . . . . . . . .
Box Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Box Plot con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
Contenidos
Introducción a la Estadı́stica.
Población, Muestra y Carácter.
Frecuencias Absolutas y Relativas.
Gráficos para un Carácter Cualitativo.
Ordenación de datos de Carácter Cuantitativo.
Gráficos para un Carácter Cuantitativo.
La Distribución de Frecuencias son el objeto de la Estadı́stica Descriptiva
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 2 / 32
Introducción a la Estadı́stica
Fenómenos Determinı́sticos: Aquellos que llevados a cabo en las mismas condiciones,
conducen siempre al mismo resultado.
Fenómenos Aleatorios: Sujetos al azar. Llevados a cabo en las mismas condiciones dan
resultados diferentes.
Estadı́stica,
Descriptiva: Establece normas para obtener datos, ordenarlos en tablas, representarlos
gráficamente y reducirlos.
Inferencial: Deduce o infiere a partir de los datos, leyes o propiedades para establecer un
modelo teórico de probabilidad que sigue la población de la que proceden los datos.
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 3 / 32
3
Población, Muestra y Carácter
Población: Conjunto de Individuos, objetos o entes en general, sobre los que van a recaer
observaciones de un número finito de caracterı́sticas.
Unidad Estadı́stica: Cada uno de los elementos que componen la población estadı́stica.
Muestra: Conjunto finito de unidades estadı́sticas, pudiendo estar repetidas o no.
En muchos experimentos cientı́ficos la población estadı́stica es el conjunto imaginario de infinitas
repeticiones del experimento.
Carácter: Propiedad o cualidad inherente en las unidades estadı́sticas. Algunos medibles,
cuantificables, otros no, cualidades.
– Cuantitativos o Medibles: altura, peso, longitud, densidad, etc.
– Cualitativos o Cualidades: Válido/Defectuoso, G/M/P, Soltero/Casado/Viudo, etc.
Modalidades: Diferentes valores o situaciones que puede tomar un carácter.
Variable Estadı́stica: El valor que adopta un carácter de entre sus distintas modalidades posibles.
Cuantitativas.
– Discretas (Cantidad finita o numerable): Pasos de vuelta completos en 1 m de barra
roscada.
– Continuas: Gramos de barniz por recipiente, en una planta de envasado.
Cualitativas.
– Nominal (No admite orden): Control de calidad, Válido, Desechar, Reparar.
– Ordinal (Admite orden): Clasificación en categorı́as, productos alimenticios (huevos).
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 4 / 32
4
Frecuencias Absolutas y Relativas
5 / 32
Frecuencia Absoluta
Consideremos una muestra de tamaño n, extraı́da de una población estadı́stica de la que
observamos un carácter C que puede tomar las modalidades C1 , C2 , . . . , Cm .
Se llama Frecuencia Absoluta de la modalidad Ci al número de veces ni que aparece repetida
esa modalidad en el conjunto de observaciones realizadas.
Es decir, número de unidades estadı́sticas de la muestra que presentan la modalidad Ci .
Debido a que las modalidades constituyen una partición del espacio muestral,
n1 + n2 + · · · + nm =
m
X
ni = n
i=1
0 ≤ ni ≤ n, para todo i = 1, 2, . . . , m
Ejemplo: Fábrica de barras roscadas de 5 m.
Población:
Unidad Estadı́stica:
Muestra:
120, 121, 120, 119, 121, 120, 120, 119, 120, 121,
120, 120, 122, 120, 121, 120, 119, 122, 120, 119
Carácter:
Modalidad:
Variable Estadı́stica:
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Tema 1,Unidad 1. – 6 / 32
5
Frecuencia Relativa
La Frecuencia Relativa de la modalidad Ci se define como el cociente entre la Frecuencia
Absoluta y el tamaño de la muestra,
fi = ni /n para todo i = 1, . . . , m
Es inmediato, por definición de Frecuencia Absoluta,
f1 + f2 + · · · + fm =
m
X
fi = 1
i=1
0 ≤ fi ≤ 1, para todo i = 1, . . . , m.
Suele ser frecuente hablar en términos de porcentajes, multiplicando las frecuencias relativas por
100.
Ejemplo:
Carácter Ci
C1 = 119
C2 = 120
C3 = 121
C4 = 122
Total
ni
P
ni = 20
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
fi
P
fi = 1
Tema 1,Unidad 1. – 7 / 32
Frecuencias Absolutas y Relativas con R
> x <- c(120, 121, 120, 119, 121, 120, 120, 119, 120, 121, 120,
+
120, 122, 120, 121, 120, 119, 122, 120, 119)
> table(x)
x
119 120 121 122
4 10
4
2
> table(x)/length(x)
x
119 120 121 122
0.2 0.5 0.2 0.1
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Tema 1,Unidad 1. – 8 / 32
6
Frecuencias Absolutas y Relativas con R
> addmargins(table(x))
x
119 120 121 122 Sum
4 10
4
2 20
> addmargins(table(x)/length(x))
x
119 120 121 122 Sum
0.2 0.5 0.2 0.1 1.0
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Tema 1,Unidad 1. – 9 / 32
Frecuencias Acumuladas (Cumulative)
Frecuencia Absoluta Acumulada: Tiene sentido para variables cuantitativas y cualitativas
ordinales.
i
X
Ni = n1 + n2 + · · · + ni =
nk
k=1
Verificándose Nm = n.
Frecuencia Relativa Acumulada: Tiene sentido para variables cuantitativas y cualitativas
ordinales.
i
X
n1 + n2 + · · · + ni
Fi =
= f1 + f2 + · · · + fi =
fk
n
k=1
Verificándose Fm = 1.
Ejemplo:
Carácter Ci
C1 = 119
C2 = 120
C3 = 121
C4 = 122
Total
ni
P
Ni
fi
=n
ni = 12
P
Fi
1
fi = 1
Ejercicio: Calcular la tabla de Frecuencias: Absolutas, Relativas y sus respectivas Acumuladas,
usando algún tipo de herramienta informática: Excel, Matlab, R, etc.
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Tema 1,Unidad 1. – 10 / 32
7
Frecuencias Acumuladas con R
> cumsum(table(x))
119 120 121 122
4 14 18 20
> cumsum(table(x)/length(x))
119 120 121 122
0.2 0.7 0.9 1.0
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Tema 1,Unidad 1. – 11 / 32
Gráficos para un Carácter Cualitativo
12 / 32
Diagrama de Rectángulos
0.2
Frecuencia
0
0.0
0.1
5
Frecuencia
10
0.3
0.4
15
Sobre el eje de Abcisas se representan las distintas modalidades de un carácter cualitativo y se
levantan sobre ellos rectángulos de bases iguales, no solapados y cuya altura es proporcional a la
frecuencia Absoluta o Relativa de cada modalidad.
nd
Pr
Se
Su
nd
Formación
Pr
Se
Su
Formación
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Tema 1,Unidad 1. – 13 / 32
8
Diagramas de Rectángulos con R
Datos referentes a la formación de trabajadores de una empresa:
>
+
+
+
+
>
>
+
form<-c('nd','Pr','Pr','Se','Su','Pr','Pr','Se',
'Su','Se','Su','Se','Su','Se','Su','Pr','Pr',
'Pr','Pr','Se','Su','Se','Su','Se','Su','Se',
'Su','Pr','Pr','Pr','Pr','Pr','Pr','Pr','Pr',
'Se','Se')
barplot(table(form),xlab="Formación",ylab="Frecuencia")
barplot(table(form)/length(form),xlab="Formación",
ylab="Frecuencia")
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Tema 1,Unidad 1. – 14 / 32
Diagrama de Sectores
Sobre un cı́rculo, se asigna a cada una de las modalidades un sector circular con amplitud
proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa).
Amplitudi = 360◦ ×
ni
= 360◦ × fi
n
Pr
nd
Se
Su
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Tema 1,Unidad 1. – 15 / 32
9
Diagrama de Sectores con R
A chart made by plotting the numeric values of a set of quantities as a set of adjacent circular
wedges with arc lengths proportional to the total amount.
> pie(table(form))
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Tema 1,Unidad 1. – 16 / 32
Pictograma
Cada modalidad se representa mediante un dibujo de tamaño proporcional a la frecuencia
de la misma.
Todos los dibujos empleados son del mismo tamaño, a cada modalidad se le asignan tantos
dibujos o partes del mismo según su frecuencia.
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Tema 1,Unidad 1. – 17 / 32
10
Cartograma
Representación por medio de un mapa.
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Tema 1,Unidad 1. – 18 / 32
11
Ordenación de datos de Carácter Cuantitativo
19 / 32
Intervalos y Marcas de Clase
En las observaciones de un Carácter Cuantitativo puede ocurrir:
La variable estadı́stica tome pocos valores diferentes.
Confeccionar la tabla de frecuencias ordenando los valores del carácter de menor a mayor:
Carácter Ci
C1
C2
..
.
Cm
Total
P
ni
n1
n2
..
.
Ni
N1 = n1
N2
..
.
nm
ni = n
Nm = n
P
fi
f1
f2
..
.
Fi
F1 = f1
F2
..
.
fm
fi = 1
Fm = 1
La variable estadı́stica tome muchos valores diferentes, caracteres cuantitativos continuos y
muestras de gran tamaño.
Agrupar los valores de la variable estadı́stica en Intervalos de Clase, contiguos y elegidos
convenientemente para perder la mı́nima información posible.
Los extremos de los intervalos de clase se denominan Extremos de Clase, bi , y sus puntos
medios Marcas de Clase, xi .
El número de Intervalos de Clase se elige entre 4 y 15 de forma que en cada intervalo haya al
menos 5 observaciones.
Los Intervalos de Clase no pueden solaparse.
Intervalo de Clase: [bi−1 , bi ).
Marca de Clase: xi =
bi−1 +bi
.
2
[b1 , b2 )
[b2 , b3 )
..
.
[bm−1 , bm ]
Total
xi
x1
x2
..
.
xm
P
ni
n1
n2
..
.
Ni
N1 = n1
N2
..
.
nm
ni = n
Nm = n
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
P
fi
f1
f2
..
.
Fi
F1 = f1
F2
..
.
fm
fi = 1
Fm = 1
Tema 1,Unidad 1. – 20 / 32
12
Ejemplo: Ingresos Anuales
66814.19
61674.64
78121.21
69897.92
59618.82
42144.33
53451.35
28781.49
58590.90
25697.76
25697.76
16446.57
12334.92
52423.44
26725.67
35976.87 39060.60 13362.83
9867.94 35976.87 7195.37
45947.61 54479.26 43172.24
25697.76 51395.53 87372.40
71953.74 48311.80 6475.83
[bi−1 , bi )
[0, 20000)
[20000, 40000)
[40000, 60000)
[60000, 80000)
[80000, 100000]
Total
xi
10000
90000
ni
P
Ni
fi
30
P
ni = 30
Fi
1
fi = 1
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 21 / 32
Gráficos para un Carácter Cuantitativo
22 / 32
Diagrama de Barras
0.3
Frecuencia
0.2
6
2
0.1
4
Frecuencia
8
0.4
10
0.5
Se utiliza para representar variables estadı́sticas no agrupadas, las alturas de las barras deben
ser proporcionales a las frecuencias, absolutas o relativas.
La suma de la altura de las barras deberá ser n o 1.
119.0
119.5
120.0
120.5
121.0
121.5
122.0
119.0
Nº Vueltas
119.5
120.0
120.5
121.0
121.5
122.0
Nº Vueltas
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 23 / 32
13
Diagrama de Barras con R
Número de vueltas completas en 1 m de barra roscada.
> pvuelta<-c(120, 121, 120, 119, 121, 120, 120, 119,
+ 120, 121,120, 120, 122, 120, 121, 120, 119,
+ 122, 120, 119)
> barplot(table(pvuelta),space=c(100,2))
> barplot(table(pvuelta)/length(pvuelta),space=c(100,2))
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 24 / 32
Histograma
Se utiliza para representar las frecuencias absolutas o relativas cuando los datos están
agrupados, el área de los rectángulos será proporcional a las frecuencias.
La suma de las áreas deberá ser n o 1.
Densidades de Frecuencias: altura de los rectángulos.
hi =
ni
fi
, o bien hi =
bi+1 − bi
bi+1 − bi
Cuidado cuando la amplitud de los Intervalos de Clase no sean del mismo tamaño.
1.0e−05
Densidad de Frecuencia
0.0e+00
5.0e−06
1.0e−05
5.0e−06
0.0e+00
Densidad de Frecuencia
1.5e−05
Histograma de Ingresos
1.5e−05
Histograma de Ingresos
0e+00
2e+04
4e+04
6e+04
8e+04
1e+05
0
Ingresos
20000
40000
60000
80000
Ingresos
Histogramas de los Ingresos Anuales. El área de cada rectángulo, es proporcional a la frecuencia
relativa, fi .
La suma de las áreas de los rectángulos es 1.
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 25 / 32
14
Histograma con R
>
+
+
+
+
+
>
+
+
>
>
>
>
>
Ingresos<-c(66814.195,42144.338,25697.767,35976.874,39060.606,
13362.839,61674.641,53451.356,16446.571,9867.943,35976.874,
7195.375,78121.212,28781.499,12334.928,459476.077,54479.266,
43172.249,69897.927,58590.909,52423.445,25697.767,51395.534,
87372.408,59618.820,25697.767,26725.678,71953.748,48311.802,
6475.837)
histograma<-hist(Ingresos,breaks=seq(0,100000,by=20000),
freq=FALSE,main="Histograma de Ingresos",
ylab="Densidad de Frecuencia")
histograma
histograma$breaks
histograma$counts
histograma$intensities
histograma$mids
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 26 / 32
15
Polı́gonos de Frecuencias
Si los datos están sin agrupar, se obtienen uniendo los extremos de las barras.
6
2
4
Frecuencia
8
10
119.0
119.5
120.0
120.5
121.0
121.5
122.0
Nº Vueltas
Si los datos están agrupados, se obtiene uniendo los puntos medios superiores de los
rectángulos y en los extremos con los puntos medios de las alturas de los rectángulos. Área
bajo el polı́gono n o 1.
1.0e−05
5.0e−06
0.0e+00
Densidad de Frecuencia
1.5e−05
Histograma de Ingresos
−20000
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Ingresos
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Tema 1,Unidad 1. – 27 / 32
16
Frecuencias Acumuladas
0.6
0.4
Frecuencia Acumulada
10
0
0.0
0.2
5
Frecuencia Acumulada
15
0.8
20
1.0
En el caso de datos sin agrupar se utiliza el Diagrama de Frecuencias Acumuladas.
118
119
120
121
122
123
118
119
120
Nº Vueltas
121
122
123
Nº Vueltas
0.6
0.8
0
0.0
5
0.2
0.4
Frecuencia Acumulada
20
15
10
Frecuencia Acumulada
25
30
1.0
Si los datos están agrupados se utiliza el Polı́gono de Frecuencias Acumuladas.
−20000
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
−20000
Ingresos
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
Ingresos
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Tema 1,Unidad 1. – 28 / 32
Tallo y Hojas
Procedimiento semigráfico útil con menos de 50 datos.
Redondear los datos a dos o tres cifras significativas. Disponerlos en una tabla con dos columnas,
tallo y hojas.
Cada tallo se escribe sólo una vez. El número de hojas representa la frecuencia de cada clase.
0|67
1|0236
2|66679
3|669
4|2368
Ingresos Anuales
5|12349
6|027
7|028
8|7
El punto decimal se sitúa 4 posiciones a la derecha de |.
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 29 / 32
17
Tallo y Hojas con R
Menú Paquetes, Instalar Paquetes..., elegir Mirror e instalar UsingR.
> library(UsingR)
> ingresos <- cfb$INCOME[1:15]
> stem(ingresos)
The decimal point is 4 digit(s) to the right of the |
0
2
4
6
|
|
|
|
70236
69669
23
278
> ingresos
[1] 66814.195 42144.338 25697.767 35976.874 39060.606 13362.839 61674.641
[8] 53451.356 16446.571 9867.943 35976.874 7195.375 78121.212 28781.499
[15] 12334.928
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Tema 1,Unidad 1. – 30 / 32
18
Box Plot
Permite mostrar la distribución de los datos de una muestra. Está especialmente indicado para
detectar valores atı́picos, outliers.
Mediana, Median , lı́nea central, Q2 .
Primer y Tercer Cuartiles, Quartiles , lı́mites de la caja, Q1 , Q2 .
Ingresos Anuales Modificado
0e+00
20000
1e+05
40000
2e+05
3e+05
60000
4e+05
80000
Ingresos Anuales
Lı́mites superior e Inferior, LI = Q1 − 1.5(Q3 − Q1 ), LS = Q3 + 1.5(Q3 − Q1 ).
Se considerarán como valores atı́picos los valores fuera del intervalo (LI, LS).
Dibujar las lı́neas que van desde los extremos de la caja hasta el valor más extremo, no
atı́pico.
Ingresos Anuales Modificado
0e+00
20000
1e+05
40000
2e+05
3e+05
60000
4e+05
80000
Ingresos Anuales
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Tema 1,Unidad 1. – 31 / 32
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Box Plot con R
library(UsingR)
ingresos <- cfb$INCOME[1:15]
boxplot(ingresos)
ingresos <- cfb$INCOME[1:16]
boxplot(ingresos)
0e+00
10000
1e+05
30000
2e+05
50000
3e+05
4e+05
70000
>
>
>
>
>
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Tema 1,Unidad 1. – 32 / 32
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